Ένα μαθητής του 6ου ΓΕΛ Ζωγράφου δίνει διαφορετικές λύσεις σε γνωστές ασκήσεις

1. http://lisari.blogspot.gr
Εισαγωγή
Ο αγαπητός μαθητής του 6ου
ΓΕΛ Ζωγράφου Σπύρος Βίτσος μας προσφέρει ένα
διαφορετικό τρόπο προσέγγισης τριών γνωστών ασκήσεων. Αξίζει να τις παρακολουθήσετε!
Πρέπει να επιβραβεύουμε τους μαθητές που δεν ακολουθούν τις μεθοδολογίες και τους κλασικούς
τρόπους επίλυσης που διδάσκουμε ή υπάρχουν στα βοηθήματα.
Άσκηση 1η
Έστω οι συναρτήσεις f,g : R R που είναι γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα
αντίστοιχα. Αν    0 0f x g x τότε να αποδείξετε ότι οι f gC ,C τέμνονται ακριβώς μία
φορά!
Λύση
Σημείωση: Προφανώς υπάρχει απλό τρόπος αντιμετώπισης. Να θεωρήσουμε τη συνάρτηση
     h x f x g x ,x  R και να αποδείξουμε απλά ότι είναι γν. αύξουσα. Όμως ο αγαπητός
μαθητής είχε διαφορετική προσέγγιση που εντυπωσιάζει!
Έστω οι f gC ,C έχουν δύο κοινά σημεία τα 0 1x ,x δηλαδή    0 0f x g x και    1 1f x g x
τότε:
αν 0 1x x τότε επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε
       
f
0 1 0 1 0 1g x g x f x f x x x    
,<
άτοπο
αν 0 1x x τότε επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε
       
f
0 1 0 1 0 1g x g x f x f x x x    
,<
άτοπο
Άρα οι f gC ,C τέμνονται σε ένα ακριβώς σημείο.
Άσκηση 2η
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R με  f x 0 για κάθε xR και η f μηδενίζεται
σε πεπερασμένο πλήθος σημείων. Αν
β
α
f(x)dx 0 τότε να αποδείξετε ότι α β .
Λύση
Σημείωση: Ο κλασικός τρόπος αντιμετώπισης είναι με απαγωγή σε άτοπο.
Έστω F αρχική της f στο R τότε    F x f x 0   και επειδή η F είναι συνεχής τότε F είναι
γνησίως αύξουσα στο R(άρα και 1 – 1) .

2. http://lisari.blogspot.gr
Έχουμε,
         
F1 1β β
αα
f(x)dx 0 F x 0 F β F α 0 F β F α α β

            .
Άσκηση 3η
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  f : α,β  R με  f x 0 για κάθε  x α,β . Να
αποδείξετε ότι
β
α
f(x)dx 0 .
Λύση
Σημείωση: Ο κλασικός τρόπος αντιμετώπισης είναι με την αντίθετη συνάρτηση.
Έστω F αρχική της f στο R τότε    F x f x 0   για κάθε xR και επειδή η F είναι
συνεχής τότε F είναι γνησίως φθίνουσα. Έχουμε, ισοδύναμα:
         
Fβ β
αα
f(x)dx 0 F x 0 F β F α 0 F β F α α β           
.>
που ισχύει!
β
α
f(x)dx 0