Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh..
Hai para Intelektual Muda, kali ini mimin mau berbagi soal dan pembahasan tentang Integral Permukaan ..
semoga Bermanfaat:)
UNTUK DOSEN Materi Sosialisasi Pengelolaan Kinerja Akademik DosenAdrianAgoes9
Β
sosialisasi untuk dosen dalam mengisi dan memadankan sister akunnya, sehingga bisa memutakhirkan data di dalam sister tersebut. ini adalah untuk kepentingan jabatan akademik dan jabatan fungsional dosen. penting untuk karir dan jabatan dosen juga untuk kepentingan akademik perguruan tinggi terkait.
2. β’ Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G
x
y
z
G
b
a
c d
)y,x( ii
)z,y,x( iii
Gi
R
Ri
Misalkan permukaan G berupa grafik z = f(x,y)
atau F(x,y,z) = f(x,y) β z
-Misalkan R proyeksi G pada bidang XOY
-Partisi R menjadi n bagian; R1, R2,β¦,Rn
-Pilih
(partisi G yang bersesuaian dgn R)
-Bentuk jumlah riemann
( , ) ( , , )i i i i i i ix y R dan x y z Gβ β
1
( , , ) ,
n
i i i i i i
i
g x y z G dengan G luasG
=
β β =β
KPB
3. KPB 3
2 2
( , , ) ( , , ( , )) 1x y
G R
g x y z dS g x y f x y f f dA= + +β«β« β«β«
0
1
( , , ) lim ( , , )
n
i i i i
P
iG
g x y z dS g x y z G
β
=
= βββ«β«
2 2
sec , sec 1i x yG xi yi f fΞ³ Ξ³β = β β = + +
Ξ³ = Sudut antara normal satuan keatas di (x,y,f(x,y)) dengan
sumbu z positif.
Maka integral permukaan dari G: R adalah proyeksi G pada XOY.
4. 2 2
( , , ) ( ( , ), , ) 1 y z
G R
g x y z dS g f y z y z f f dA= + +β«β« β«β«
2 2
( , , ) ( , ( , ), ) 1x z
G R
g x y z dS g x f x z z f f dA= + +β«β« β«β«
KPB
Dengan cara yang sama diperoleh:
1. Jika permukaan G berupa grafik ( , ) ; ( , )x f y z y z R= β
( proyeksi G pada YOZ), maka
2. Jika permukaan G berupa grafik ( , ) ; ( , )y f x z x z R= β
( proyeksi G pada XOZ), maka
5. ContohContoh
1. Hitung
G
z dSβ«β« , G adalah permukaan
2 2
4z x y= β β
Jawab.
2 2
4z x y= β β
2 2 2
4z x y= β ββ 2 2 2
4z x yβ + + =
G bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2.
R (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x2
+y2
=4.
2 2
4z x y= β β
( )
1/22 2
2 2
1
4 . 2
2 4
x
x
f x y x
x y
β β
= β β β =
β β
( )
1/ 22 2
2 2
1
4 . 2
2 4
y
y
f x y y
x y
β β
= β β β =
β β
Kita punya , maka
KPB
6. 2 2
1x y
G R
z dS z f f dA= + +β«β« β«β«
Jadi
2 2
2 2
4
4
4R
x y dA
x y
= β β
β ββ«β«
2
R
dA= β«β«
dimana daerah R={(r,ΞΈ)|0 β€ r β€ 2, 0β€ ΞΈ β€ 2Ο }, sehingga
2
G R
z dS dA=β«β« β«β«
2 2 2
2
0 0 0
2 2
2 4
0 0
r dr d r d
Ο Ο
Ο
ΞΈ ΞΈ ΞΈ= = =β« β« β«
8 .Ο=
KPB
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
1
4 4 4 4
x x
x y x y
f f
x y x y x y x y
β β
+ + = + + =
β β β β β β β β
7. LatihanLatihan
1. Hitung , dengan G bagian kerucut z2
= x2
+ y2
di antara z = 1 dan z = 2
2 2
G
x z dSβ«β«
2. Hitung
a. g(x,y,z) = x2
+ y2
+ z , dengan G: z = x+y+1, 0β€xβ€1, 0β€yβ€1
( , , )
G
g x y z dSβ«β«
c. g(x,y,z) = x+y , dengan G: , 0β€xβ€β3, 0β€yβ€1
2
4 xz β=
d. g(x,y,z) = , dengan G: z =x2
-y2
, 0β€x2
+y2
β€12 2
4 4 1x y+ +
e. g(x,y,z) = x + y , dengan G adalah permukaan kubus,
0β€xβ€1, 0β€yβ€1, 0β€zβ€1
KPB
b. g(x,y,z) = x y+z, dengan G: bagian bidang 2x-y+z = 3, di atas segitiga
dengan titik sudut (0,0),(1,0),(1,1).
8. KPB 8
Fluks Medan Vektor
menembus Permukaan Dua Sisi
Teorema
Andaikan G permukaan dua sisi yang diberikan oleh ( , )z f x y= at au
( , , ) ( , ) ,( , )F x y z z f x y x y R= β β (R=proyeksi G pada XOY)
Jika n
r
vektor normal satuan arah ke atas pada G, dan F Mi Nj Pk= + +
rr r r
suatu medan vektor, maka fluks yang melintasi G adalah :
( ). x y
G R
fluks F F n dS Mf Nf P dA= = β β +β«β« β«β«
r r
9. KPB 9
x
y
z
G
R
n
r
F
r
( ). .
G G
F
F n dS Mi Nj Pk dS
F
 ο£Άβ
= + +  ÷ Γ·βο£ ο£Έ
β«β« β«β«
rr r rr
( ) 2 2
.
1
x y
G x y
f i f j k
Mi Nj Pk dS
f f
 ο£Άβ β +
 ÷= + +
 Γ·+ +ο£ ο£Έ
β«β«
rr r
rr r
( ) 2 2
2 2
1
. 1
1
x y x y
R x y
Mf Nf P f f dA
f f
 
 Γ·= β β + + +
 Γ·+ +ο£ ο£Έ
β«β«
( ). x y
G R
fluks F F n dS Mf Nf P dA= = β β +β«β« β«β«
r r
Sehingga
Bukti:
10. KPB 10
Contoh:
Hitung fluks untuk medan vektor F xi yj zk= + +
rr r r
yang melintasi bagian G
dari paraboloid 2 2
1z x y= β β yang terletak di atas bidang xy, dengan
n
r
berupa normal ke atas.
Jawab: 2 2
1 2 , 2x yz x y f x f y= β β β = β = β
( ). x y
G R
fluks F F n dS Mf Nf P dA= = β β +β«β« β«β«
r r
R= lingkaran satuan
( )2 2
2 2
R
x y z dA= + +β«β« ( )2 2
1
R
x y dA= + +β«β«
2 1
2
0 0
(1 )r r drd
Ο
ΞΈ= +β« β«
2
2 4
0
1 21 1 3 3
.
0 02 4 4 2
r r d
Ο
Ο
ΞΈ ΞΈ Ο= + = =β«
11. KPB 11
Latihan
Hitung fluks F yang melintasi G untuk tiap hal berikut:
1. ; bagian bidang 8 4 5F yi xj G z x y= β + = β β
r r r
di atas segitiga dengan
titik sudut (0,0,0),(0,1,0),(1,0,0).
2
2. 9 ; bagian bidang 2 3 6 6F x j G x y z= β + + =
r r
di oktan pertama.
3. 2 ;F yi xj k= β +
rr r r
G permukaan yang ditentukan oleh
2
1 ,z y= β
0 5.xβ€ β€
12. KPB 12
Teorema Divergensi Gauss
Misalkan F Mi Nj Pk= + +
rr r r
medan vektor sehingga M,N,P
mempunyai turunan pertama yang kontinu pada benda pejal S,
dan permukaan Sβ adalah batas S.
Jika n
r
menyataka vektor normal satuan arah ke luar terhadap ,Sβ
maka,
.
S S S
M N P
F n dS divF dV dV
x y zβ
 ο£Άβ β β
= = + + ÷
β β βο£ ο£Έ
β«β« β«β«β« β«β«β«
r rr
Artinya; Fuks F yang melewati batas suatu daerah tertutup di ruang
=integral lipat tiga dari divergensi F atas daerah tersebut.
13. KPB 13
Contoh :
Hitung fluks medan vektor 2 3
2F x yi xzj yz k= + +
rr r r
melewati
permukaan benda pejal persegipanjang S ;
{ }( , , ) | 0 1,0 2,0 3S x y z x y z= β€ β€ β€ β€ β€ β€
a. secara langsung
b. dengan teorema Gauss
x
y
z
Sisi x = 1 ο
2
. .n i F n x y F n y= β = β =
r rrr r r
3 2
1 0 0
. 6
x
F n dS ydydz
=
= =β«β« β«β«
r r
a. hitung .
S
F ndS
β
β«β«
r r
atas keenam sisi balok
14. KPB 14
Dengan cara yang sama dihitung untuk lima sisi lainnya , hasilnya :
Sisi n F.n
x = 1 i y 6
x = 0 -i 0 0
y = 2 j 2xz 18
y = 0 -j -2xz -18
z = 3 k 27y 54
z= 0 -k 0 0
.
S
F ndS
β
β«β«
r r
Jadi, . 6 0 18 18 54 0 60.
S
F ndS
β
= + + β + + =β«β«
r r
15. KPB 15
b. dengan teorema Gauss
2
. (2 0 3 )
S S
F ndS xy yz dV
β
= + +β«β« β«β«β«
r r
1 2 3
2
0 0 0
(2 3 )xy yz dzdydx= +β«β«β«
1 2
0 0
(6 27 )xy y dydx= +β«β«
1
2
0
1
(12 54) 6 54 60.
0
x dx x x= + = + =β«
.
S S
M N P
F n dS dV
x y zβ
 ο£Άβ β β
= + + ÷
β β βο£ ο£Έ
β«β« β«β«β«
r r 2 3
; 2F x yi xzj yz k= + +
rr r r
16. KPB 16
Latihan
Gunakan teorema divergensi Gauss untuk menghitung .
S
F ndS
β
β«β«
r r
2 2
1. ; :0 9F zi xj yk S z x y= + + β€ β€ β β
rr r r
2. 2 3 ; :0 1,0 1,0 1F xi yj zk S x y z= + + β€ β€ β€ β€ β€ β€
rr r r
2 2 2
3. 3 2 4 ; bola 9F xi yj zk S x y z= β + + + β€
rr r r
2 2 2 2 2
4. ; :0 4F x i y j z k S z x y= + + β€ β€ β β
rr r r
17. KPB 17
Teorema Stokes
Andaikan S permukaan dua sisi dan batas S (adalah Sβ ) berupa
kurva tertutup sederhana. F Mi Nj Pk= + +
rr r r
medan vektor sehingga
M,N,P mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada S dan Sβ
n
r
vektor normal satuan, T
r
vektor singgung satuan terhadap ,Sβ
maka
. .
S S
F T dS curl F n dS
β
=β« β«β«
r r r r
Γ
Catatan: jika kita bergerak sepanjang ,Sβ n
r
menyatakan arah kepala, maka S berada di sebelah kiri.
dengan
18. KPB 18
Contoh:
Hitung . , ( ) ( ) ( )
C
F T dS F y x i x z j x y k= β + β + ββ«
rr r r r r
Γ
C adalah batas S : 2 2x y z+ + = di oktan pertama, terarah sesuai
putaran jarum jam jika dipandang dari atas.
Jawab
x
y
z
n
r
( )* * *
. . x y
C S R
F T dS curl F n dS M f N f P dA= = β β +β« β«β« β«β«
r r r r
Γ
S Cβ =
19. KPB 19
( 1 1) (1 0) (1 1)
i j k
curl F i j k j
x y z
y x x z x y
β β β
= = β + β β + β = β
β β β
β β β
rr r
rr r r r
Bidang S: 2 2 1 , 2x yz x y f f= β β β = β = β
Proyeksi S pada XOY:
{ }( , ) | 0 2 2 ,0 1R x y x y y= β€ β€ β β€ β€
1
2
x
y
20. KPB 20
( )* * *
. . x y
C S R
F T dS curl F n dS M f N f P dA= = β β +β« β«β« β«β«
r r r r
Γ
( )( 0)( 1) ( 1)( 2) 0
R
dA= β β β β β β +β«β«
Dari * * *
curl F j M i N j P k= β = + +
rr r r r
2 21 1
0 0 0
2 2
2 2
0
y
y
dxdy x
β
β
= β β =β« β« β«
1
2
0
1
4 4 4 2 2.
0
y dy y y= β = β =β«
n
r
arah bawah
21. KPB 21
Latihan
A. Hitung dengan teorema Stokes .
S
curl F n dSβ«β«
r r
2 2 2
1.F x i y j z k= + +
rr r r
,S adalah belahan bola
2 2
1z x y= β β
dan n
r
normal arah atas.
2
2. 3F yzi xzj z k= + +
rr r r
,S adalah bagian bola
2 2 2
16x y z+ + =
dibawah bidang z = 2.
3. 4 2 3F yi zj xk= β + +
rr r r
,S adalah bagian dari paraboloida elips
2 2
10z x y= β β diatas bidang z = 1.
B. Hitung . ,
C
F T dSβ«
r r
Γ C adalah elips yang merupakan perpotongan bidang
z x= dan tabung 2 2
4,x y+ = terarah sesuai putaran jarum jam dari atas.
2 3F zi xj yk= + +
rr r r