FILE_2.FUNGSI_VARIABEL_KOMPLEKS_LANJUT.ENCUMS.pdf

1.1 Integral Garis
Sebelum membicarakan integral garis, terlebih dahulu akan dibahas kurva,
kurva mulus, lintasan, dan orientasi suatu lintasan.
Lintasan
Kurva (lengkungan) C di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk
parameter, yaitu:
dengan x= x(t) dan y = y(t), a  t  b,
x dan y kontinu pada [a,b]. Kurva C disebut kurva mulus, jika x’ dan y’ kontinu
pada selang tertutup [a,b].
DEFINISI 1.1.1:
Fungsi f: [a,b] R disebut kontinu bagian demi bagian, jika terdapat partisi P =
{x0, x1, x2, …, xn} dari selang [a,b] sehingga f kontinu pada selang terbuka
(xi,xi-1), i=1,2,3,…,n
Berdasarkan definisi tersebut, kurva C disebut kurva mulus bagian demi bagian
jika di dalam x = x(t) dan y = y(t), a  t  b berlaku x’ dan y’ kontinu bagian
demi bagian pada [a,b]. Kurva mulus bagian demi bagian disebut lintasan.
Pada kurva C dengan x= x(t) dan y = y(t), a  t  b, titik (x(a),y(a)) disebut titik
pangkal kurva C dan (x(b),y(b)) disebut titik ujung kurva C.

Kurva C disebut tertutup sederhana, jika berlaku:
(i) (x(t1),y(t1))  (x(t2),y(t2)) untuk setiap t1, t2  (a,b)
(ii) (x(a).y(a)) = (x(b),y(b))
Kurva tertutup sederhana Kurva tertutup tak sederhana
DEFINISI 5.1.2:
Suatu lintasan tertutup sederhana C disebut berorientasi positif jika C ditelusuri dari
titik awal ke titik akhir maka interiornya terletak di sebelah kiri C, sebaliknya
berorientasi negatif.
C C
Berorientasi positif Berorientasi negatif
Integral Garis
Misalkan y, a  t  b adalah kurva mulus dan M permukaan terbatas yaitu paling
sedikit terdefinisi pada kurva C.
Kontruksi integral garis .
(1) Buatlah partisi  untuk selang [a,b] dengan titik pembagian
selang bagian ke-I dari partisi  adalah [ti-1,ti] dan panjang partisinya dengan =
maks ti, 1  i  n
(2) Kurva C terbagi atas n bagian yaitu P0P1, P1P2, …, Pi-1Pi, …, Pn-1Pn
(3) Pilih Pi* = (ci,di)  Pi-1Pi , i = 1,2,3,….,n

(4)Didefinisikan jumlah , xi = xi – xi-1 dimana xi absis Pi dan xi-1
absis Pi-1, i = 1,2,3,…,n
(5) Tentukan
Jika limit ini ada, maka M terintegralkan pada C. Dalam kasus M terintegralkan
pada C, integral garis dari M(x,y) pada C didefionisikan dengan
Secara geometri integral garis diperlihatkan pada gambar di bawah ini.



n
i
i
i
i x
d
c
M
1
)
,
(





n
i
i
i
i x
d
c
M
1
0
)
,
(
lim

 




n
i
i
i
i
C
x
d
c
M
dx
y
x
M
1
0
)
,
(
lim
)
,
(
dx
y
x
M
C
 )
,
(
z
L=M(ci,di)
xi P0 (x(a),y(a)
a = to
P0(x(b),y(b))
b = to
Y
X
Y

artinya proyeksi daerah di bawah permukaan z = M(x,y) dan di atas kurva C pada bidang XOY yang menghasilkan
daerah di atas sumbu X.
DEFINISI 5.1.3:
Diberikan kurva mulus , a  t  b. Jika z = M(x,y) permukaan terbatas pada C, maka
Apabila lintasan integral yang diberikan bukan dalam bentuk parameter, tetapi berbentuk y = f(x) dan x = g(y) dengan titik awal
(a,b) dan titik akhir (c,d), maka dengan substitusi diperoleh:
(1)
(2)
Sifat-sifat dari
1. C tetap, integral M dipandang sebagai variabel
(a) Jika M kontinu dan C terbatas maka ada
dx
y
x
M
C
 )
,
(
j
t
y
i
t
x
t
F
C



)
(
)
(
)
(
: 










C
n
i
i
i
i
C
dt
t
t
t
x
t
x
M
dx
y
x
M
a
)
(
y(t))x
M(x(t),
))
(
),
(
(
lim
)
,
(
)
(
'
1
*
'
*
0









C
'
n
i
i
i
i
C
(t)dt
))y
M(x(t),y(t
t
t
y
t
x
M
dy
y
x
M
b ))
(
),
(
(
lim
)
,
(
)
(
1
*
'
*
0


 

d
b
c
a
C
dy
y
g
y
y
g
M
dx
x
f
x
M
dx
y
x
M )
(
)
),
(
(
))
(
,
(
)
,
( '


 

c
a
d
b
C
dx
y
f
x
f
x
M
dy
y
y
g
M
dy
y
x
M )
(
))
(
,
(
)
),
(
(
)
,
( '

C
dx
y
x
M )
,
(

C
dx
y
x
M )
,
(

C
dx
y
x
M )
,
(



 


C
C
C
N(x,y)dx
dx
y
x
M
dx
y
x
N
y
x
M )
,
(
)]
,
(
)
,
(
[
b.
c. 
 
C
C
y
x
M
k
dx
y
x
kM )
,
(
)
,
( , k  R
2. M tetap, C dipandang sebagai variabel.
Misalkan mulus , a  t  b, maka
a. (x(a),y(a)) titik pangkal dari C dan (x(b),y(b)) titik ujung dari C. Perubahan t
dari a ke b menghasilkan orientasi dari C. Perubahan t dari b ke a, akan diperoleh kurva yang sama dengan orientasi yang
berlawanan
b. Jika, ,a1  t  b1 dan ,a2  t  b2
dengan (x1 (b)1 ,y1 (b1 ))=(x1(b1),y2(b1)), maka C = C1 + C2.
Secara sama didefinisikan C =
C.
d. .
j
t
y
i
t
x
t
F
C



)
(
)
(
)
(
: 

(x(b),y(b))
(x(a),y(a))
C
-C
j
t
y
i
t
x
t
F
C



)
(
)
(
)
(
: 1
1
1 
 j
t
y
i
t
x
t
F
C



)
(
)
(
)
(
: 2
2
2 



n
i
i
c
1
dx
y
x
M
dx
y
x
M
C
C

 


)
,
(
)
,
(


 

 2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
C
C
C
C
dx
y
x
M
dx
y
x
M
dx
y
x
M

3. Jika M kontinu , untuk setiap (x,y)  C, C terbatas dan panjang
kurva C, maka
Contoh:
Tentukan integral garis terhadap kedua peubah bagian fungsi (x,y) = 2x + y2 sepanjang kurva C = C1 + C2 + C3 dimana
C1: Busur lingkaran x2 + y2 = 4 dengan orientasi negatif dari (-2,0) ke (2,0)
C2: Ruas garis lurus dari (2,0) ke (-2,-2)
C3: Ruas garis lurus dari (-2,-2) ke (-2,0)
Penyelesaian:
Dalam hal ini akan dihitung nilai dari sedangakan dipersilakan untuk anda coba sendiri.
k
y
x
M 
)
,
( C
C
k
dx
y
x
M
C
.
)
,
( 

-2 2
X
Y
dy
y
x
M
C
 )
,
( dx
y
x
M
C
 )
,
(














3
2
1
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
,
(
2
2
2
2
C
C
C
C
C
dy
y
x
dy
y
x
dy
y
x
dy
y
x
dy
y
x
M
dengan C1: x2 + y2 = 4, x: –2  2. Kurva C1 dapat dinyatakan dalam bentuk parameter, yaitu
Sehingga diperoleh x = 2 cos t dan y = -2 sin t.
Dengan demikian diperoleh,
C2 :
Diperoleh:

 2
,
sin
2
cos
2
)
(
:
1 


 t
j
t
i
t
t
F
C



 
 





















2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
)
(sin
sin
8
-
)
2
cos
1
(
4
)
(sin
sin
8
-
cos
8
)
cos
2
).(
sin
4
cos
4
(
)
2
(
1
t
td
dt
t
t
td
tdt
dt
t
t
t
dy
y
x
C





4
]
sin
3
8
]
)
sin
2
1
(
4
2
3
2





 t
t
t
2
0
:
,
2
2
:
,
1
2
1





 y
x
x
y






2
0
2
)
)
1
(
4
(
)
,
(
2
dy
y
y
dy
y
x
M
C
3
2
2
]
)
2
(
3
1
)
2
(
)
2
(
2
0
3
2
0
2









 y
y
d
y

C3: x = -2, y : -2  0
Diperoleh,
Jadi,
Arti dari = adalah proyeksi daerah di bawah z = 2x + y2 dan di atas C pada bidang YOZ yang
menghasilkan daerah di bawah sumbu Y.
LATIHAN 5.1
1. Hitunglah jika
a. C adalah busur parabola x = y2 dari (0,0) ke (4,2)
b. C adalah ruas garis lurus dari (4,2) ke (0,0)
c. C adalah ruas garis lurus dari (0,0) ke (4,0) dilanjutkan dari (0,4) ke (4,2)
d. C adalah busur parabola 2y + x2 = 5x dari (0,0) ke (4,2)
2 Hitung nilai dari jika C adalah lingkaran x2 + y2 = 4 dengan orientasi positif.
Kerjakan pula soal ini, jika C lingkaran x2 + y2 = 2x dengan orientasi negatif
3. Hitung nilai dari jika C adalah ellips dengan orientasi positif. Kerjakan soal ini,
jika C berorintasi negatif

 



o
C
dy
y
dy
y
x
M
2
2
)
4
(
)
,
(
3
3
1
5
]
)
3
1
4
(
0
2
3






y
y
8
4
3
1
5
3
2
2
)
2
( 2








 

C
dy
y
x
 
C
dy
y
x )
2
( 2
8
4 
 
 

C
dy
y
x
ydy )
(
 
C
ydx
xdy
 


C
dy
x
y
dx
y
x )
2
(
)
2
( 1
9
16
2
2


y
x

5.2 Pengintegralan Kompleks
Misalkan C : z(t) = x(t) + iy(t), a  t  b adalah kurva mulus dan w = f(z) didefinisikan pada C, maka pengintegralan kompleks
dikontruksi sebagai berikut.
(1) Buatlah partisi  pada [a,b] dengan titik pembagian a = tO < t1 < t3 < …< ti-1 < ti < … < tn = b
Selang bagian ke-I pada partisi  adalah [ti-1,ti] dan panjang partisinya adalah dengan . Situasi tersebut
diperlihatkan pada gambar berikut
(2) Kurva terbagi atas n bagian yaitu zo z1 , z1z2, ..., zi-1zi, ..., zn-1zn dengan
zo = (x(a),y(a)) dan zn = (x(b),y(b))
(3) Pilih ci  zi-1 zi , 1  i  n

C
dz
z
f )
(
 



 n
tt
maks
t1
ti-1 ti
tn-1
tn = b
zo
z1
Zi-1
z1
Zn-1
zn
a=to
C

(4) Definisikan jumlah dimana
(5) Tentukan . Jika limit ini ada, maka f terintegralkan pada C.
(6) Dalam kasus f terintegralkan pada C, integral kompleks dari f pada C
dinotasikan dengan dimana =
Contoh:
Tentukanlah integral berikut
a.
b.
Penyelesaian:
Misalkan f(z) = 1, maka f(ci) = 1 untuk setiap ci  zi-1 zi .
Jadi, diperoleh



n
i
i
i z
c
f
1
)
(





n
i
i
i z
c
f
1
0
)
(
lim

C
dz
z
f )
( 
C
dz
z
f )
( 




n
i
i
i z
c
f
1
0
)
(
lim

C
dz
z
f )
(

C
dz

C
zdz
















n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
C
z
z
c
f
z
z
c
z
c
f
dz
1
1
0
1
1
0
)
).(
(
lim
,
)
(
lim
a.

 





n
i
i
i
C
z
z
dz
1
1
0
)
(
lim
n
z
z
n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
0
]
)
(
lim
)]
(
)
....(
)
(
)
[(
lim
0
1
0
1
2
1
1
2
0
1
0






































n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
i
C
z
z
c
f
z
z
c
z
c
f
zdz
1
1
0
1
1
0
)
).(
(
lim
,
)
(
lim
b.
Misalkan f(z) = z, maka f(ci) = ci . Diambil ci = zi-1. Jadi, diperoleh

 






n
i
i
i
i
C
z
z
z
zdz
1
1
1
0
)
.(
lim
)
........(1
..........
..........
)
(
lim
1
2
1
1
0








n
i
i
i
i z
z
z

 





n
i
i
i
i
C
)
z
z
.(
z
zdz
1
1
0
lim
)
........(2
..........
..........
)
(
lim
1
1
2
0







n
i
i
i
i z
z
z
Diambil ci = zi , maka
Persamaan (1) + (2)diperoleh
)
(
lim
)
(
2
2
1
1
2
0






  i
C
n
i
i z
z
dz
z
f
)
(
lim
)]
(
)
(
...
)
(
)
[(
lim
2
0
2
0
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
2
1
0
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
n
n
n
n
n


















2
0
2
z
zn 


Jadi, diperoleh bahwa
TEOREMA 5.2.1 (Eksistensi Integral Kompleks):
Jika f(z) = u(x,y) +iv(x,y) kontinu pada setiap titik di suatu kurva mulus C, maka integral f
sepanjang C ada dan
Pada teorema di atas, terdapat hal yang menarik untuk disimak bahwa jika C merupakan suatu
unterval pada sumbu real, maka f pada C akan menjadi fungsi dari x saja. Dengan demikian
adanya integral untuk fungsi x yang kontinu merupakan kasus khusus pada teorema di atas.
Dalam pengertian tersebut suatu integral kompleks dapat dipandang sebagai perluasan dari
integral real.
Penggunaan rumus pada Teorema 5.2.1 akan diilustrasikan melalui contoh-contoh, setelah
disampaikan beberapa sifat dasar integral kompleks yang disajikan di bawah ini.
SIFAT-SIFAT :
1. C tetap, f dipandang sebagai variabel
(a) Jika f kontinu dan C terbatas, maka ada
(b) Jika f dan g kontinu pada C, maka
(c) Jika   C dan f kontinu pada C, maka
2. Fungsi f tetap, C dipandang sebagai variabel
(a)
(b)
)
(
2
1
)
(
2
0
2
z
z
dz
z
f n
C



n
z
z
z
0
]
2
1 2





 



C
C
C
C
C
vdx
udy
i
vdy
udx
dz
z
f )
(
)
(

C
dz
z
f )
(

C
dz
z
f )
(


 


C
C
C
dz
z
g
dz
z
f
dz
z
g
f )
(
)
(
)
)(
(
 

C C
dz
z
f
dz
z
f )
(
)
( 


 

 C
C
dz
z
f
dz
z
f )
(
)
(


 

 2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
C
C
C
C
dz
z
f
dz
z
f
dz
z
f

3. Jika fungsi f kontinu pada C, C terbatas, untuk suatu M > 0 berlaku
untuk setiap z pada C dan panjang C, maka
Contoh:
Hitunglah dengan
C1 : y = 4x – x2; x : 3  0, y : 3  4  0
C2 : y = x; x : 0  3, y : 0  1
C3 : x = 3; y : 1  3
C = C1 + C2 + C3
Penyelesaian:
M
z
f 
)
(
C C
M
dz
z
f
C
.
)
( 

dz
z
C

Y
X
2 3
1
1
3
4
C1
4
C2
C
d
z
dz
z
dz
z
dz
z
C
C
C
C



 


3
2
1
dz
z
C

1
(1)
=
(2)
i
i
dx
x
x
dx
x
x
i
ydy
ydy
xdx
dx
y
dy
x
i
dy
y
dx
x
C
C
C
C
9
9
)
9
0
(
2
1
4
2
1
4
)
)
4
(
)
2
4
(
(
)
(
)
(
0
3
2
0
3
4
3
0
4
0
3
1
1
1
1





















 





idy
dx
iy
x
C


 
1
)(
(

(2) )
(
2
2
2
2
2




 



C
C
C
C
C
ydx
xdy
i
ydy
xdx
dz
z
0
2
1
2
1
4
)
3
1
3
1
(
3
0
3
0
1
0
3
0






 


 xdx
xdx
i
ydy
xdx
i
i
y
dy
i
ydy
xdx
ydx
xdy
i
ydy
xdx
dz
z
C
C
C
C
C
6
4
6
4
0
)
0
.
3
(
)
(
)
3
(
3
1
3
1
3
1
3
3
3
3
3
3
3






















Jadi, dz
z
dz
z
dz
z
dz
z
C
C
C
C



 


3
2
1
= (-9 + 9i) + 5 + (4 + 6i) = 15i
Contoh:
Misalkan C : = 1 dengan orientasi negatif. Hitunglah
Penyelesaian
a.
1

z dz
z
C

Y
X
t = 0 = 2
t = 
t = /2
t = 3/2

 


C
C
idy
dx
iy
x
dz
z )
)(
( )
( 


 



C
C
C
C
ydx
xdy
i
ydy
dx
x

C :
C :
C : , 0  t  2
1
1 

z
1
)
1
( 2
2


 y
x
j
t
i
t
t
F



sin
)
1
(cos
)
( 











t
y
t
t
x
sin
2
0
,
1
cos 
)
dt
t
sin
)(
t
(cos
xdx
C


 
 1
2
0

0
1
2
1
1
1
2
0
2
2
0





 


]
)
t
(cos
)
t
(cos
d
)
t
(cos
Diperoleh,

 



2
0
)
t
sin
((
d
)
t
sin
(
ydy
C
0
2
1 2
0
2




]
t
sin

 



2
0
1 dt
)
t
cos
)(
t
(cos
xdy
C

 





  
2
0
2
0
2
1
2
1
dt
t
cos
dt
)
t
cos
(


 



2
0
)
sin
)(
sin
( dt
t
t
ydx
C




 
2
0 2
1
2
1
dt
)
t
cos
(
i
))
(
(
i
dz
z
C


 2
0
0 







Jadi,
LATIHAN 5.2
1. Hitunglah , jika
a. C adalah busur parabola y = 1 – x2 dari z = -2 – 3i ke z = i
b. C adalah ruas garis lurus dari z = 0 ke z = 2 + i
c. C adalah ruas garis lurus dari z = 0 ke z = -2i dilanjutkan dari z = 2i ke
z = 2 + I
2. Hitunglah , jika
a. C adalah lingkaran dengan orientasi positif
b. C adalah persegi panjang dengan titik sudut z = 0, z = 2i, z = 4 + 2i, dan z=4,
dengan orientasi C negatif
3. Hitunglah , jika
a. C adalah lingkaran x2 + y2 = 29 dengan orientasi pisitif
b. C adalah bujursangkar dengan titik sudut (0,0), (1,0), (1,1), dan (0,1) dengan orientasi C negatif
dz
z
C

dz
z
C

1
1 

z

C
dz
z

Pengintegralan Cauchy
0
)
( 

C
dz
z
f
Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik dengan
daerah integrasi suatu lintasan tertutup sederhana. Pengintegralan dari fungsi analitik tersebut
disajikan dalam teorema Cauchy Goursat. Sebelum membicarakan teorema Cauchy Goursat,
didahului dengan teorema Cauchy yang merupakana dasar lahirnya teorema Cauchy Goursat
tersebut.
TEOREMA 5.3.1 (Teorema Cauchy):
Diberikan daerah terhubung sederhana D dan lintasan tertutup sederhana C di D. Jika
f analitik dan f ’ kontinu pada D, maka
Bukti:
Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dan f analitik pada D. Jadi f ’ ada untuk setiap z  D dan
f ’(z) = ux(x,y) + ivx(x,y) = vy(x,y) –iuy(x,y). Karena f ’ kontinu pada D, maka u, v, ux, uy,v, dan vy
semuanya kontinu pada D. Dengan demikian u dan v memenuhi syarat berlakunya teorema
Green, yaitu



 







D
y
x
D
y
x
C
C
dxdy
v
u
i
dxdy
u
v
udy
vdx
i
vdy
udx )
(
)
(
)
(
)
(

Karena u dan v memenuhi persamaan Cauchy Reimann pada D, maka integral lipat dua
di ruas kanan menjadi nol. Sedangkan di ruas kiri adalah rumus untuk . Jadi = 0.

C
dz
z
f )
( 
C
dz
z
f )
(
Pada Teorema Cauchy di atas mencakup hipotesis tambahan bahwa f ’ kontinu
pada D tetapi jika f analitik pada daerah D, maka f ’ juga analitik dan kontinu pada D. Oleh
karena itu, Goursat berpendapat bahwa kekontinuan f ’ merupakan suatu hipotesis yang
berlebihan. Hal ini sudah diimplikasikan oleh keanalitikan f.
TEOREMA 5.3.2 (Teorema Cauchy-Goursat):
Diberikan daerah terhubung sederhana D dan lintasan tertutup sederhana C di D. Jika f
analitik pada D, maka 0
)
( 

C
dz
z
f
Bukti teorema tersebut cukup panjang, oleh karena itu dalam pembicaraan di sini tidak akan
dibuktikan.
Konvers dari Teorema Cauchy Goursat adalah salah, yaitu
“Jika untuk setiap lintasan tertutup sederhana C di dalam daerah terhubung
sederhana D, maka f analitik di D”.
0
)
( 

C
dz
z
f

Sebagai contoh yang menggambarkan kenyataan ini diperlihatkan oleh fungsi . Integral
jika C lintasan tertutup sederhana yang tak melalui 0, tetapi f tak analitik di 0.
z
z
f
1
)
( 
0


C z
dz
TEOREMA 5.3.3 (Perluasan Teorema Cauchy-Goursat):
Diberikan daerah terhubung sederhana D, z1 dan z2 titik tetap dalam D, dan C,
K dua lintasan yang menghubungkan z1 dan z2 dimana C, K  D. Jika f analitik
pada D, maka

 
2
1
2
1
)
(
)
(
z
K
z
z
C
z
dz
z
f
dz
z
f
Bukti:
D
Y
0 X
0
)
(
)
(
)
( 

 

 
dz
z
f
dz
z
f
dz
z
f
K
C
L
dz
)
z
(
f
dz
)
z
(
f
C
K

 


dz
)
z
(
f
dz
)
z
(
f
C
K

 
Misalkan L = C + (-K), maka

Contoh:
Hitunglah
 
C
dz
)
z
z
( 2
3 2
dimana
C1 : busur lingkaran x2 + y 2=1 dari titik (-1,0) ke (0,1)
C2 : ruas garis dari titik (0,1) ke (1,0)
C = C1 + C2
Penyelesaian:
Y
C
1
0
-1
C2 X
1
Karena f(z) = 3z2 – 2z analitik pada C yang memuat z1 = -1 dan z2 = 1. Menurut teorema di atas harus
dipilih lintasan sebarang dari z1 dan z2. Lintasan yang paling mudah dalam kasus ini garis lurus dari
ke z2 adalah lintasan K: y = 0, -1  x  1.
Dengan demikian diperoleh,
2
2
3
2
3
1
1
2
2



 
 
dx
)
x
x
(
dz
)
z
z
(
C

TEOREMA 5.3.4 (Teorema Dasar Pertama Integrasi Kompleks):
Jika D daerah terhubung sederhana, z1 suatu titik tetap di D dan f analitik pada D, maka untuk
setiap z  D berlaku
)
z
(
f
)
dw
)
w
(
f
(
dz
d
)
z
(
A
dw
)
w
(
f
)
z
(
A
z
z
'
z
z



 

1
1
z
)
z
(
A
)
z
z
(
A
lim
)
z
(
A
z
'






 0
z
dw
)
z
(
f
lim
z
dw
))
z
(
f
)
w
(
f
(
lim
z
dw
)
z
(
f
dw
))
z
(
f
)
w
(
f
(
lim
z
dw
))
z
(
f
)
z
(
f
)
w
(
f
(
lim
z
dw
)
w
(
f
lim
z
dw
)
w
(
f
dw
)
w
(
f
lim
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z




















































0
0
0
0
0
0
1
1
Bukti:








z
z
z
z
z
z
dw
)
z
(
f
dw
)
z
(
f
z
)
z
(
f
]
z
)
z
z
)[(
z
(
f
]
w
)[
z
(
f
z
z
z









Karena
maka diperoleh,
)
z
(
f
z
z
).
z
(
f
lim
z
dw
)
z
(
f
lim
z
z
z
z
z




 






0
0
.
Fungsi f(w) analitik di z C, mengakibatkan f kontinu di z C. Hal ini berarti untuk
setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan  > 0 sehingga jika w–z < berlaku
 f(w) – f(z)  < 
z
dw
z
f
w
f
z
z
z






.
)]
(
)
(
[ 

 








z
z
.
z
dw
)]
z
(
f
)
w
(
f
[
z
z
z
Oleh karena itu, diperoleh

Akibatnya,
0
)]
(
)
(
[
lim
0







 z
dw
z
f
w
f
z
z
z
z
Jadi terbukti bahwa A’(z) = f(z).
Dari teorema di atas, dapat diperluas menjadi suatu teorema yang lebih sederhana,
teorema tersebut dikenal dengan nama teorema dasar kedua integral kompleks. Sebelumnya,
akan didahulu dengan pengertian anti turunan dari suatu fungsi yang disajikan di dalam Definisi
5.3.5 dan Teorema 5.3.6 berikut.
DEFINISI 5.3.5:
Diberikan D  C terbuka dan fungsi f : D  C. Fungsi F : D  C disebut anti turunan f
pada D, jika berlaku F’(z) = f(z) untuk setiap z  D.

TEOREMA 5.3.6:
Diberikan fungsi f : D  C analitik pada D. Jika fungsi G : D  C anti turunan dari f,
maka terdapat konstanta k  C sehingga H(z) = G(z) + k, untuk setiap z D.
Bukti:
Karena G dan H anti turunan fungsi f pada D, diperoleh
G’(z)=f(z)=H’(z) untuk setiap z D atau (H’– G’)(z)=f(z) - f(z)=0 untuk setiap z D.
Jika (H – G)’(z) = 0 untuk setiap z  D, maka terdapat k  C sehingga berlaku
(H-G)(z) = k, untuk setiap z  D.
Jadi terbukti bahwa
H(z) = G(z) + k, untuk setiap z  D.

TEOREMA 5.3.7(Teorema Dasar Kedua Integrasi Kompleks):
Diberikan D daerah terhubung sederhana, z1 dan z2 titik tetap di D. Jika f analitik pada D
dan F anti turunan dari f pada D, maka
2
1
2
1
2
1
z
z
z
z
]
)
z
(
f
)
z
(
f
)
z
(
f
dz
)
z
(
f 





2
1
z
z
dw
)
w
(
f
)
z
(
F 
z
z
dw
)
w
(
f
1
k
k
dw
)
w
(
f
k
)
z
(
G
dw
)
w
(
f
k
)
z
(
G
z
z
z
z









0
1
1
2
1
1
2
Bukti:
adalah suatu anti turunan dari f dan G(z)=k+
anti turunan sebarang dari f, maka
Akibatnya



2
1
1
2
z
z
dw
)
w
(
f
)
z
(
G
)
z
(
G

)
z
(
G
)
z
(
G
dw
)
w
(
f
z
z
1
2
2
1



)
z
(
F
)
z
(
F
)
z
(
F
k
)
z
(
F
k
dz
)
z
(
f
z
z
1
2
1
2
2
1







Jadi, diperoleh
Integral dari suatu fungsi yang menyeluruh sepanjang sebarang lintasan yang menghubungkan
dua titik pada bidang datar dapat dihitung secara langsung, asalkan anti turunan fungsi
tersebut dapat ditemukan. Demikian pula integral dari fungsi analitik, asalkan titik awal dan
titik akhir lintasan integrasinya seluruhnya terletak di dalam daerah terhubung sedehana di
mana fungsi itu analitik.
i
]
z
zdz
i
i
i
i
2
1
2
1
2
1








e
]
e
dz
e
i
z
i
z
2
0
1
0
1


 




i
cos
]
z
cos
dz
z
sin
i
i





 1


Contoh:
1.
2.
3.

LATIHAN 5.3
dz
)
z
z
(
i




2
1
2
1
dz
z
cosh
i
i



2
dz
ze
i
o
z

2
 

0
dz
)
z
sin
e
( z
 
i
z
dz
)
z
sin
e
(

0


0
2
dz
z
cos
z
1. Hitunglah integral berikut.
a.
b.
c.
d.
e.
f.

2. Misalkan sebarang lintasan tertutup yang tidak memuat nol. Carilah 

dz
z
z
sin
2
 

dz
)
z
(
'
f
)
z
(
f
3. Misalkan f analitik pada region yang memuat . Tunjukkan bahwa
adalah imajiner murni (kekontinuan f’(z) yang menjamin).

5.4 Annulus
Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik pada suatu annulus tertutup dan bagaimana mengkaji
penggunaan Teorema Cauchy dalam masalah ini. Sebelum membicarakan masalah tersebut lebih lanjut, akan disajikan
terlebih dahulu definisi dari annulus. 5.4 Annulus
Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik pada suatu annulus tertutup dan bagaimana mengkaji
penggunaan Teorema Cauchy dalam masalah ini. Sebelum membicarakan masalah tersebut lebih lanjut, akan disajikan
terlebih dahulu definisi dari annulus.
DEFINISI 5.4.1:
(a) Diberikan C lintasan sederhana dan D daerah yang dibatasi oleh C. Interior C didefinisikan dengan IntC = D0 dan eksterior
C dengan EksC=(Dc)0
(b) Diberikan C dan K dua lintasan tertutup sederhana dengan Int K  Int C.
Annulus yang ditentukan oleh C dan K didefinisikan dengan
Ann(C,K) = Int C  Eks K = Himpunan semua titik yang terletak di dalam C dan di luar K
K
C Ann(C,K)
(c) Diberikan C,K1 ,K2 , …,Kn adalah (n+1) lintasan tertutup sederhana dengan Int Ki  Int C, (i = 1, 2, 3, …, n) dan
Int Ki  Int Kj =, (i  j).

Annulus yang ditentukan oleh C, K1, K2, …, dan Kn didefinisikan dengan
Ann(C, K1, K2, …, Kn) = Int C  ( eks
n
i 1

 Ki) = Himpunan semua titik yang terletak di dalam C dan di luar K1, K2, …, Kn
C K1
K2
K3
Kn
TEOREMA 5.4.2(Teorema Annulus):
Jika C dan K dua lintasan tertutup sederhana dan f analitik pada C  K  Ann(C,K), maka

 
K
C
dz
)
z
(
f
dz
)
z
(
f asalkan C dan K dijelajahi dengan orientasi yang sama.
C
K
Catatan:
Teorema Annulus digunakan jika f tak analitik di suatu titik pada interior K.

Bukti:
C1
r1 C2
K2
K1
r2
Lintasan C = C1 + C2 , dan lintasan K = K1 + K2. Perhatikan dua lintasan tertutup sederhana
C1 + r1- K1 – r2 dan C2 + r2 – K2 – r1
Menurut Teorema Cauchy diperoleh
0
1
2
2
2
2
1
1
1

 
 




 r
K
r
C
r
K
r
C
dz
)
z
(
f
dz
)
z
(
f
Karena r1 dan r2 dijelajahi dalam kedua arah, maka dari integrasi di atas tidak memeberikan arti apa-apa, sehungga
0
)
(
)
(
2
2
1
1

 
 
 K
C
K
C
dz
z
f
dz
z
f
0
2
1
2
1

 
 
 K
K
C
C
dz
)
z
(
f
dz
)
z
(
f

 
K
C
dz
)
z
(
f
dz
)
z
(
f

)
K
,...,
K
,
K
,
C
(
Ann
)
K n
i
n
i
2
1
1



 
 

n
i K
C i
dz
z
f
dz
z
f
1
)
(
)
(
TEOREMA 5.4.3 ( Teorema Perluasan Teorema Annulus):
Diberikan C, K1, K2, …, Kn adalah (n + 1) lintasan tertutup sederhana. Jika f analitik pada C  (
maka
Contoh:
Hitunglah 
C
z
dz
, lintasan C tak melalui 0.
Penyelesaian:
Kasus (1): 0  Int C
Y
X
C
0
z
)
z
(
f
1
 0


C z
dz
Misalkan D = C  Int C dan , maka f analitik pada D dan
.
Kasus (2): 0 Int C.

Kasus (2): 0 Int C.
C
X
Y
1

z
:
z

 
K
C z
dz
z
dz
it
e
z  dt
ie
dz it

Misalkan K = { }.
.
Misalkan dengan 0  t  2, maka
Karena f analitik pada C  K  Ann(C,K) dengan C, K lintasan tertutup sederhana, maka menurut Teorema Annulus diperoleh
Dari sini, diperoleh
i
]
it
idt
e
ie
z
dz
it
it
K




2
2
0
2
0
2
0



 


Dengan demikian






 IntC
i
IntC
z
dz
C
0
,
2
0
,
0
 dengan C tak melalui 0.










 IntC
z
,
ii
IntC
z
,
z
z
dz
o
o
C o 
2
0
,
r
z
z o 

it
re
z
z 
 0
it
o re
z
z 

dt
ire
dz it

i
dt
i
dt
re
ire
z
z
dz
it
it
C o



2
2
0
2
0



 


TEOREMA 5.4.4:
Diberikan C, K lintasan tertutup sederhana di daerah terhubung sederhana D. Jika f analitik pada C  K
 Ann(C,K), maka
dengan C tak melalui zo
Bukti:
Misalkan zo  Int C dan C lingkaran yang pusatnya di zo dengan jari-jari r, diperoleh
C :
sehingga
, 0  t  2, r > 0
Jadi terbukti bahwa

dz
z
z
)
z
(
f
i
)
z
(
f
C o
o  


2
1
dz
z
z
z
f
z
f
z
f
dz
z
z
z
f
C o
o
o
C o

 




)
(
)]
(
)
(
[
)
(

 




o
o
C o
o
z
z
dz
)
z
(
f
dz
z
z
)
z
(
f
)
z
(
f


 o
z
z


 )
z
(
f
)
z
(
f o
TEOREMA 5.4.5(Teorema Rumus Integral Cauchy):
Diberikan C lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif dan zo Int C. Jika f analitik pada C 
Int C, maka
Bukti:
Karena f analitik pada C  Int C, maka f ’(z) ada untuk setiap z  C  Int C. Karena zo  Int C, maka
f ’(zo) ada, sehingga f kontinu di zo. Hal ini berarti untuk setiap  > 0 terdapat  > 0 sehingga jika
berlaku


 




L o
o
C o
o
dz
z
z
z
f
z
f
dz
z
z
z
f
z
f )
(
)
(
)
(
)
(
}
2
:
{

 

 o
z
z
z







2
2
L
,
2
)
(
)
(






  L
dz
z
z
z
f
z
f
L o
o
0







 dz
z
z
)
z
(
f
)
z
(
f
dz
z
z
)
z
(
f
)
z
(
f
L o
o
C o
o
}
z
z
:
z
{
K
,
z
z
dz
z
z
dz
o
K o
C o
1





 
 i
z
z
dz
C o

2



)
z
(
if
i
).
z
(
f
dz
z
z
)
z
(
f
o
o
C o

 2
2
0 




Misalkan
dengan L =
Diperoleh 0
Jadi,
……………. (1)
, maka ……… (2)
Misalkan
Dari (1) dan (2) diperoleh

 


C
n
o
o
)
n
(
dz
)
z
z
(
)
z
(
f
i
!
n
)
z
(
f 1
2
 
C z
z
dz
4
3
1

z
4

z
TEOREMA 5.4.6(Teorema Perumuman Rumus Integral Cauchy):
Diberikan C lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, zo  Int C. Jika f analitik
pada C  Int C, maka
Contoh:
Tentukan dimana
a. C : , orientasi C positif
, orientasi C positif
b. C :
)
i
z
)(
i
z
(
z
)
z
(
z
z
z 2
2
4
4 2
3






z
z
)
z
(
f
4
1
3


Penyelesaian:
a.
tak analitik di z = 0, z = -2i, dan z = 2i

Y
2
1 C
X
-1
2
dz
z
z
z
dz
C
C

 





4
z
1
2i)
-
2i)(z
z(z
dz
4
2
C
3
4
1
2


z
)
z
(
g
i
)
(
g
.
i
dz
z
)
z
(
g
z
z
dz
C
C


2
1
0
2
4
3



 

Diambil , maka g analitik pada C  Int C.
Jadi, diperoleh

b. C : 4

z , orientasi C positif
Y
4
X
2
1
2 
 i
z
2
1

z
2
1
2 
 i
z
Misalkan lintasan K1, K2 , dan K3 adalah
K1 :
K2 :
K3 :
Dengan K1  K2 = , K1  K3 = , dan K2  K3 = .

Jadi, diperoleh
0
8
1
2
4
1
2
8
1
2
2
1
2
4
1
2
2
1
2
2i
z
2i)
-
z(z
1
z
4
z
1
2i
-
z
2i)
z(z
1
4
4
4
4
2i
z
0
z
2
2i
z
K3
K2
2
K
2
2
2
2
1
2 3
1







































































 


i
i
i
)
i
z
(
z
i
z
i
)
i
z
(
z
i
dz
dz
dz
)
z
(
z
dz
)
z
(
z
dz
)
z
(
z
dz
)
z
(
z
dz
K K
K
C







 
C )
z
(
z
dz
2
2
1
4

z
dz
)
z
(
z
e
C
z
 

3
2
2
2
3
1 

z
 
C
dz
z
Sinz
2
2

4
:
C
dan
2
2 

 z
i
z
 
C )
z
(
dz
z
2
2
2
4
4

z
1. Hitunglah integral berikut
:
a. , C : dengan orientasi positif
, C : dengan orientasi positif
LATIHAN 5.4
b.
c
.
d.

FILE_2.FUNGSI_VARIABEL_KOMPLEKS_LANJUT.ENCUMS.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to FILE_2.FUNGSI_VARIABEL_KOMPLEKS_LANJUT.ENCUMS.pdf

Similar to FILE_2.FUNGSI_VARIABEL_KOMPLEKS_LANJUT.ENCUMS.pdf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

FILE_2.FUNGSI_VARIABEL_KOMPLEKS_LANJUT.ENCUMS.pdf