1. Dokumen membahas tentang integral tak wajar, yaitu integral yang tidak memenuhi syarat sebagai integral biasa karena batas pengintegralannya tak hingga atau integran tidak kontinu. Jenis integral tak wajar dijelaskan beserta contoh perhitungan kekonvergensannya. Soal latihan kekonvergensan integral tak wajar juga diberikan.

1. MA1114 KALKULUS I
INTEGRAL TAK WAJAR

2. Kalkulus 2-unpad
Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlah
Riemann ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
∫
b
a
dxxf )(
a. Batas pengintegralan berhingga
b. Integran(f (x)) kontinu pada selang pengintegralan
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka
integral itu disebut integral tak wajar.
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga.
b. Integral tak wajar dengan integran tak kontinu.

3. Kalkulus 2-unpad
a. Integral Tak Wajar karena Batas Pengintegralan Tak
Hingga
Definisi :
∫∫∞−
−∞→
=
b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
∫∫
∞
∞→
=
b
aa
b
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, maka integral tak wajar
disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen.
(i)
(ii)
(iii) ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
+=
c
c
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
∫∫ ∞→−∞→
+=
b
cb
c
aa
dx)x(flimdx)x(flim
∫
∞−
c
dx)x(f ∫
∞
c
dx)x(f ∫
∞
∞−
dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen.

4. 







=
∞→
12
1
lim
2 b
ex
b
Kalkulus 2-unpad
Contoh: Periksa kekonvergenan ITW
∫
∞−
−
0 2
dxxe x
dxxxe∫
∞
1
2
∫
∞
∞− ++ )xx(
dx
522
a. b. c.
Jawab :
dxxedxxxe
b
x
b ∫∞→
=∫
∞
1
2
lim
1
2
a.
=





+−= −
∞−→
2
2
1
2
1
lim a
a
e
Jadi integral tak wajar
b. 







−= −
−∞→
a
e x
a
0
2
1
lim
2
dxxedxxxe
a
x
a ∫
−
−∞→
=∫
∞−
−
0
2
lim
0 2
( )=−= ∞→
12
2
1
lim eeb
b
Jadi integral tak wajar konvergen ke -1/2.
2
1
−
∞
dxxxe∫
∞
1
2
divergen.
∫
∞−
−
0 2
dxxe x

5. Kalkulus 2-unpad
( ) ( )∫∫
∞
∞− ++
+
++
=∫
∞
∞− ++ 1
2
1
2
5252522 xx
dx
xx
dx
)xx(
dx
∫ ∫ ++
+
++
=
∞→−∞→
1
1
22
52
lim
52
lim
a
b
ba xx
dx
xx
dx
( ) ( )
b
x
b
a
x
a
1
2
11
1
2
11
tan
2
1
limtan
2
1
lim +−
∞→
+−
−∞→
+=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1tantan
2
1
limtan1tan
2
1
lim 1
2
11
2
111 −+−
∞→
+−−
−∞→
−+−= b
b
a
a






−+










 −
−=
422
1
242
1 ππππ
c.
2
π
2
π
=
Jadi integral tak wajar tersebut konvergen ke

6. Kalkulus 2-unpad
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak
Kontinu
(i) Integran Tak Kontinu di Ujung Selang
Jika f kontinu pada [a,b) dan maka±∞=
−
→
)x(flim
bx
∫∫ −
→
=
s
a
bs
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Jika f kontinu pada (a,b] dan maka±∞=
+
→
)x(flim
ax
∫∫ +
→
=
b
t
at
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan
konvergen, sebaliknya dikatakan divergen.

7. Kalkulus 2-unpad
(ii) Integran Tak Kontinu di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan
±∞=
→
)(lim xf
cx
,maka
∫∫ +∫ =
b
c
dxxf
c
a
dxxf
b
a
dxxf )()()( ∫∫
+→
+
−→
=
b
t
dxxf
s
a ct
dxxf
cs
)(lim)(lim
I II
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar ∫
b
a
dxxf )(
konvergen.

8. Kalkulus 2-unpad
Contoh: Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
∫
1
0
dx
x
xln
Jawab :
x
xln
)x(f =Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan −∞=
+
→ x
xln
lim
x 0
maka
∫∫ +
→
=
1
0
1
0
ln
lim
ln
t
t
dx
x
x
dx
x
x
t
x
t
1
)(ln
2
1
lim 2
0+
→
=
( ) =−= +
→
2
0
)(ln0
2
1
lim t
t
divergen.Jadi integral tak wajar ∫
1
0
ln
dx
x
x
∞−

9. dx
x
x
∫ −
2
0
1
Kalkulus 2-unpad
dx
x
x
∫ −
2
0 1
Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar
Jawab :
Fungsi diskontinu di x=1 ,x
x
xf
−
=
1
)(
∫∫∫ −
+
−
=
−
2
1
1
0
2
0
111
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
∫ ∫ −
+
−
= +−
→→
s
t
ts
dx
x
x
dx
x
x
0
2
11 1
lim
1
lim
( ) ∞=−−−−−
→
0|1|lnlim
1
ss
s
∫ =−−−=
− −−
→→
s
s
ss
xxdx
x
x
0
011
|1|lnlim
1
lim
Karena
maka integral tak wajar divergen.
∞=
−
−∞=
− −+
→→ x
x
x
x
xx 1
limdan
1
lim
11

10. Kalkulus 2-unpad
Integral tak wajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan
dari dua jenis di atas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan
integran diskontinu pada batas pengintegralan, seperti contoh
berikut.
Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar
∫
∞
−0 1
dx
x
x
Jawab :
Integral di atas merupakan integral tak wajar karena
- batas atas integral tak hingga
sehingga
∫
∞
−0 1
dx
x
x
∫ ∫ ∫
∞
−
+
−
+
−
=
1
0
2
1 2
111
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
x
xf
−
=−
1
)( diskontinu di x = 1, ∞=
−
−∞=
− −+
→→ x
x
x
x
xx 1
limdan
1
lim
11

11. Kalkulus 2-unpad
∫∫∫ −
+
−
+
−
=
∞→→→ +−
b
btt
s
s
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
2
2
101 111 limlimlim
Karena
( ) ∞=−−−=−−=
− −−−
→→→
∫ 011
1 10
0
11
|s|lnslim|x|lnxlimdx
x
x
lim
s
s
s
ss
Maka integral tak wajar divergen .∫
∞
−0 1
dx
x
x
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
∫
∞+
+0
24 x
dx
∫
∞−
0
4 dxxe ∫
−
1
1 x
dx
∫
−
1
0 21 x
dx
1. 2. 3. 4.
∫
∞
+2
22
)1( x
dxx
5. ∫
∞
2
2
)(ln
.6
xx
dx
∫− −
3
3
2
9
.7
x
dxx