Dokumen tersebut membahas tentang integral dan beberapa konsep terkaitnya seperti luas, volume, dan substitusi pada integral. Secara singkat, dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang: 1) definisi integral sebagai operasi kebalikan dari turunan, 2) rumus dasar integral, dan 3) penerapan integral untuk menentukan luas dan volume."

1. Integral
November 10, 2015

2. Rumus dasar
integral
Substitusi Parsial
Integral
Fungsi Aljabar
Integral Fungsi
Transenden
Luas Volume Benda Putar
Integral Tak
Tentu
Integral Tentu
Integral
Mempelajari
Meliputi Untuk menentukan
diselesaikan dengan
November 10, 2015

3. 1. Tentukan turunan pertama dari fungsi y = 2x3
+ 6x – 1
dan y = (2 – 6x)3.
2. Sebuah benda diluncurkan ke bawah pada suatu
permukaan yang miring dengan persamaan gerak
s = t3
– 6t2
+ 12t + 1. Tentukan waktu yang diperlukan
agar percepatan benda 48 m/s2
.
3. Tentukan gradien garis singgung pada kurva
y = (4x + 3)(2x + 5) di x = –1.
November 10, 2015

4.  Pengintegralan merupakan operasi kebalikan dari
pendiferensialan.
 Fungsi F(x) disebut integral dari f(x) pada suatu domain
jika
yaitu turunan dari F(x) ke x sama dengan f(x).
November 10, 2015

5. 1. Notasi Integral Tak Tentu
Integral tertentu dinotasikan sebagai berikut.
∫ f(x) dx = F(x) + c
 ∫ f (x) dx dibaca ”integral f(x) dx”.
 ∫ f (x) dx = notasi dari integral tak tentu
 F(x) + c = fungsi antiturunan
 f(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)
 c = konstanta
 dx = diferensial (turunan) dari x
November 10, 2015

6. 2. Rumus Dasar Integral Tak Tentu
a. Integral Fungsi Aljabar
Rumus-rumus dasar integral:
1. ∫ dx = x + c
2. ∫ xn
dx
3. ∫ axn
dx
4. ∫ a dx = ax + c
5. ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
6. ∫[f(x) − g(x)] dx = ∫f(x) dx − ∫ g(x) dx
7. ∫ a f(x) dx = a ∫ f(x) dx
November 10, 2015

7. Contoh:
Selesaikan setiap pengintegralan berikut.
a.
b.
Jawab:
a.
b.
November 10, 2015

8. 1) ∫ sin x dx = –cos x + c
2) ∫ cos x dx = sin x + c
3) ∫ sin ax dx
4) ∫ cos ax dx
5) ∫ sin (ax + b) dx
6) ∫ cos (ax + b) dx
November 10, 2015
b. Integral Fungsi Trigonometri
7) ∫ tan x dx = ln |sec x| + c
8) ∫ cot x dx = ln |sin x| + c
9) ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + c
10) ∫ csc x dx = ln |csc x – cot x| + c
11) ∫ sec2
x dx = tan x + c
12) ∫ csc2
x dx = –cot x + c

9. Contoh:
Tentukan hasil integral dari ∫ (5 cos x + 2 sin x) dx.
Jawab:
∫ (5 cos x + 2 sin x) dx = ∫ 5 cos x dx + ∫ 2 sin x dx
= 5 sin x + 2 (–cos x) + c
= 5 sin x – 2 cos x + c
November 10, 2015
3. Menentukan Persamaan Kurva
Jika gradien garis singgung kurva diketahui maka
persamaan kurva-kurvanya adalah
y = ∫ f′(x) dx = F(x) + c
Nilai c ditentukan dari titik yang diketahui.

10. Contoh:
Gradien garis singgung kurva di titik (x, y) adalah 2x – 7.
Jika kurva melalui titik (4, –2), tentukan persamaan
kurvanya.
Jawab:
y = f(x) = ∫ (2x − 7) dx = x2
– 7x + c
Karena kurva melalui titik (4, –2) maka
f(4) = –2 ⇔ 42
– 7(4) + c = –2
⇔ –12 + c = –2
⇔ c = 10
Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = x2
– 7x + 10.
November 10, 2015

11. 1. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu Bangun
Datar
November 10, 2015

12. Daerah atau bangun datar pada gambar di atas terbentuk
dari suatu fungsi kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a dan
x = b.
Luas bangun datar tersebut adalah
Jika n → ∞ maka Δx → 0.
November 10, 2015

13.  Dengan kata lain, jika untuk [a, b] ada
maka luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X,
garis x = a,dan x = b adalah
disebut integral tertentu untuk f dari a sampai b.
November 10, 2015

14. 2. Pengertian Integral Tertentu
Integral tertentu memiliki batas-batas integrasi, dituliskan
sebagai berikut.
F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada a ≤ x ≤ b.
Hubungan di atas dinamakan dengan teorema dasar
kalkulus.
November 10, 2015

15. Contoh:
Tentukan integral tertentu untuk luas daerah tertutup pada
gambar berikut.
Jawab:
Persamaan fungsinya y = 3 – x.
Batas-batas integrasi dari 0 sampai 3.
Jadi, integral tertentu yang
menyatakan luas daerah tertutup itu
adalah
∫ −
3
0
)3( dxx
November 10, 2015

16. 3. Sifat-Sifat Integral Tertentu
November 10, 2015

17. 1. Bentuk
dengan u = f(x) dan n ≠ –1
November 10, 2015
cu
n
duuxfdxf nnn
+
+
== +
∫∫
1
1
1
))(())((
∫ ))(())(( xfdxf n

18. Contoh:
Jawab:

19. 2. Bentuk
Kita dapat menentukan besar sudut dari nilai sin, cos, dan
tan dari invers fungi trigonometri yang dilambangkan ”arc”.
 Jika x = sin t maka t = arc sin x.
 Jika x = cos t maka t = arc cos x.
 Jika x = tan t maka t = arc tan x.
November 10, 2015
Misalnya:
1. maka arc
2. maka arc
3. maka arc

20. Contoh:
Tentukan nilai integral .
Jawab:
Substitusi x = 3 sin t ⇔
dx = 3 cos t dt
Dengan demikian, diperoleh
November 10, 2015

21. November 10, 2015

22. Bentuk-Bentuk Substitusi Lain:
November 10, 2015
Bentuk Substitusi yang Sesuai
3. Bentuk
Secara umum, jika u fungsi yang diferensiabel, berlaku

23. Contoh:
Tentukan integral berikut.
Jawab:
Misalkan u = x3
+ 2x + 4 sehingga du = (3x2
+ 2) dx.
= ln | u | + c
= ln | x3
+ 2x + 4 | + c
November 10, 2015

24. 4. Bentuk , dengan a ∈ R
Secara umum, jika u fungsi yang terdiferensial, berlaku:
November 10, 2015
Contoh:
Tentukan integral .
Jawab:
u = 2x2
+ 3x + 1 sehingga du = (4x + 3) dx.

25. Integral parsial dirumuskan sebagai berikut.
Integral dipisah menjadi 2 bagian sehingga disebut integral
parsial, yaitu:
bagian fungsi u (harus lebih mudah dideferensialkan);
bagian dv, yang mengandung dx, harus lebih mudah
diintegralkan.
 harus lebih sederhana daripada .
November 10, 2015

26. Contoh:
Tentukan .
Jawab:
Kemungkinan yang dapat terjadi untuk memilih u dan dv
adalah sebagai berikut.
a) Misalkan u = x cos x dan dv = dx.
du = (cos x – x sin x) dx dan v = x sehingga
Pemisalan u dan dv di atas ditolak.
November 10, 2015

27. b. Misalkan u = cos x dan dv = x dx.
Dengan demikian, diperoleh
du = –sin x dx dan v =
November 10, 2015
Pemisalan u dan dv di atas juga ditolak.

28. c. Misalkan u = x dan dv = cos x dx.
u = x
⇔ du = dx
dv = cos x dx
⇔ ∫ dv = ∫ cos x dx
⇔ v = sin x
Oleh karena itu, diperoleh
∫ x cos x dx = x sin x – ∫ sin x dx
= x sin x + cos x + c
November 10, 2015
Pemisalan u dan dv seperti ini yang diterima.

29. 1. Luas Daerah yang Dibatasi oleh Kurva y = f(x), Sumbu X,
Garis x = a, dan Garis x = b
a. Untuk f(x) ≥ 0 pada Interval a ≤ x ≤ b
November 10, 2015
Luas (L) daerah tersebut adalah

30. Contoh:
Suatu daerah dibatasi oleh kurva y = x – 1, x = 1, x = 3, dan
sumbu X.
a) Lukislah kurva tersebut dan arsir daerah yang dimaksud.
b) Tentukan luasnya.
Jawab:
a)
November 10, 2015

31. November 10, 2015

32. b. Kurva f(x) ≤ 0 pada Interval a ≤ x ≤ b
Nilai integral tertentu akan bernilai negatif.
Padahal luas suatu daerah harus bernilai positif sehingga
rumus untuk menghitung luas daerah di bawah sumbu X
sebagai berikut.
November 10, 2015

33. Contoh:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = –3, sumbu
X, garis x = 1 dan x = 5.
Jawab:
November 10, 2015
= [–3(1)] – [–3(5)]
= (–3) – (–15)
= 12 satuan luas

34. c. Untuk f(x) ≥ 0 pada Interval a ≤ x ≤ c dan f(x) ≤ 0 pada
Interval c ≤ x ≤ b
 Luas daerah dari kurva f(x) ≥ 0 pada interval a ≤ x ≤ c dan
f(x) ≤ 0 pada interval c ≤ x ≤ b adalah
November 10, 2015

35. Contoh:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2
+ 4x + 3, sumbu X, sumbu Y, dan x = 3.
November 10, 2015
3

36. Jawab:
Luas = L1 + L2
November 10, 2015

37. 2. Luas Daerah antara Dua Kurva
Luas daerah antara dua kurva y1 = f(x), y2 = g(x), x = a, dan
x = b adalah
November 10, 2015
atau

38. Contoh:
Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2
dan y = x + 2.
November 10, 2015

39. Jawab:
Titik-titik potong kedua kurva, yaitu
x2
= x + 2 ⇔ x2
– x – 2 = 0
⇔ (x + 1)(x – 2) = 0
⇔ x = –1 atau x = 2
Untuk x = –1 maka nilai y = 1. Untuk x = 2 maka nilai y = 4.
November 10, 2015

40. Suatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva, baik kuadrat-
linear, maupun kuadrat-kuadrat, luas daerah itu dapat
ditentukan dengan rumus:
 D adalah diskriminan persamaan kuadrat gabungan dari
kedua kurva yang membentuk persamaan ax2
+ bx + c = 0.
November 10, 2015

41. Perhatikan kembali luas daerah yang dibatasi kurva y = x2
dan y = x + 2. Kita akan menentukan luasnya dengan rumus
diskriminan.
Kita cari persamaan kuadrat gabungan kedua kurva.
y1 = y2 ⇔ x + 2 = x2
⇔ x2
– x – 2 = 0
Jadi, a = 1; b = –1; c = –2.
D = b2
– 4ac
= (–1)2
– 4(1)(–2)
= 9
November 10, 2015
Jadi, luas

42. 3. Volume Benda Putar
a. Daerah Dibatasi Kurva y = f(x), Sumbu X atau
Sumbu Y, Garis x = a, dan Garis x = b
1) Perputaran Mengelilingi Sumbu X
Volume benda putar dari daerah yang dibatasi y = f(x),
sumbu X, x = a, dan x = b diputar mengelilingi sumbu X
sejauh 360° adalah
November 10, 2015

43. Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika bidang datar
yang dibatasi oleh kurva y = x2
– 2x dan sumbu X diputar
360º menurut sumbu X.
November 10, 2015

44. Jawab:
Dicari dahulu titik potong kurva dengan sumbu X.
x2
– 2x = 0 ⇔ x(x – 2) = 0
⇔ x = 0 atau x = 2
November 10, 2015

45. 2) Perputaran Mengelilingi Sumbu Y
Jika daerah yang dibatasi oleh x = f(y), sumbu Y, garis y = c,
dan garis y = d diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360°,
volume benda putar yang terjadi adalah
November 10, 2015

46. Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah yang
dibatasi oleh sumbu Y, kurva y = x2
, garis y = 2, dan garis
y = 5 diputar mengelilingi sumbu Y.
November 10, 2015

47. Jawab:
November 10, 2015

48. b. Volume Benda Putar Daerah di Antara Dua Kurva
1) Perputaran Mengelilingi Sumbu X
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), kurva y2 =
g(x), garis x = a, garis x = b, dengan | f(x) | ≥ | g(x) |
diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° maka volume
benda putar yang terjadi adalah
atau
November 10, 2015

49. Contoh:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva y = 6x – x2
dan y = x diputar mengelilingi
sumbu X sejauh 360°.
November 10, 2015

50. Jawab:
Perpotongan antara kurva y = 6x – x2
dan y = x.
y1 = y2
⇔ 6x – x2
= x
⇔ 5x – x2
= 0
⇔ x(5 – x) = 0
⇔ x = 0 atau x = 5
Nilai x = 0 dan x = 5 digunakan sebagai batas-batas integrasi
volume benda putarnya.
November 10, 2015

51. November 10, 2015

52. 2) Perputaran Mengelilingi Sumbu Y
Jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva x1 = f(y), kurva x2
= g(y), garis y = c, garis y = d dengan |f(y)| ≥ |g(y)| diputar
mengelilingi sumbu Y sejauh 360°, volume benda putar
yang terjadi adalah
atau
November 10, 2015

53. Contoh:
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi oleh kurva y = x2
, y = 3x2
, dan y = 3 di kuadran
pertama diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360°.
November 10, 2015

54. Jawab:
Kurva y = x2
⇔ ⇔
Kurva y = 3x2
⇔ ⇔
Dengan demikian, volume benda putarnya adalah
November 10, 2015