Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, representasi vektor, operasi-operasi vektor seperti penjumlahan dan perkalian skalar vektor, serta komponen-komponen vektor dalam sistem koordinat kartesius.

1. 1
1.2 VEKTOR
Istilah vektor digunakan untuk mengindikasikan suatu kuantitas (seperti
perpindahan atau kecepatan atau juga gaya) yang memiliki besar dan juga arah.
Sebuah vektor sering direpresentasikan oleh sebuah panah atau segmen garis
berarah. Panjang panah merepresentasikan besar vektor dan ujung panah menunjuk
pada arah vektor. Kita nyatakan sebuah vektor dengan huruf bercetak tebal (𝐯) atau
dengan meletakkan panah diatas huruf (𝑣⃗).
Sebagai contoh, andarikan sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah
segmen garis dari titik 𝐴 ke titik 𝐵. Vektor perpindahan 𝐯, sebagaimana yang
diperlihatkan dalam Gambar 1, memiliki titik asal 𝐴 (ekor) dan titik ujung 𝐵
(kepala) dan kita mengindikasikan hal ini dengan menuliskan 𝐯 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Catat bahwa
vektor 𝐮 = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ memiliki panjang dan arah yang sama dengan 𝐯 meskipun berada
posisi yang berbeda. Kita katakan bahwa 𝐮 dan 𝐯 adalah ekivalen (atau sama) dan
kita tuliskan 𝐮 = 𝐯. Vektor nol, dinotasikan dengan 𝟎, memiliki panjang 0. Hanya
vektor nol inilah vektor satu-satunya yang tidak memiliki arah tertentu.
Gambar 1
Vektor-vektor yang ekivalen
Andaikan sebuah partikel bergerak dari 𝐴 ke 𝐵, jadi vektor perpindahannya adalah
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Kemudian partikel tersebut merubah arah dan bergerak dari 𝐵 ke 𝐶, dengan
vektor perpindahan 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sebagaimana dalam Gambar 2.
Gambar 2

2. 2
Efek kombinasi dari perpindahan ini adalah bahwa partikel tersebut telah
bergerak dari 𝐴 ke 𝐶. Vektor perpindahan yang dihasilkan 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ disebut jumlah dari
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan kita tuliskan
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Secara umum, jika kita mulai dengan vektor-vektor 𝐮 dan 𝐯, pertama kita
menggerakkan 𝐯 sedemikan sehingga ekornya bertemu dengan kepala dari 𝐮 dan
definisikan penjumlahan 𝐮 dan 𝐯 sebagai berikut.
Definisi Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah vektor-vektor yang ditempatkan sedemikian
sehingga titik asalah dari 𝐯 berada pada titik ujung dari 𝐮, maka jumlah 𝐮 + 𝐯
adalah vektor dari titik asal 𝐮 ke titik ujung 𝐯.
Definisi penjumlahan vektor diilustrasikan dalam Gambar 3. Anda dapat
melihat mengapa definisi ini terkadang disebut Aturan Segitiga.
Gambar 3
Aturan Segitiga
Gambar 4
Aturan Jajar-genjang
Dalam Gambar 4, kita mulai dengan vektor-vektor yang sama, 𝐮 dan 𝐯
sebagaimana dalam Gambar 3 dan kita gambarkan duplikasi dari 𝐯 dengan titik asal
yang sama dengan 𝐮. Dengan melengkapkan gambar menjadi sebuah jajar-genjang,
kita lihat bahwa 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮. Hal ini tentunya memberikan cara lain dalam
membangun penjumlahan: Jika kita tempatkan 𝐮 dan 𝐯 sehingga kedua vektor ini
mulai dari titik yang sama, maka 𝐮 + 𝐯 terletak disepanjang diagonal dengan 𝐮 dan
𝐯 sebagai sisi-sisinya. (Ini disebut Aturan Jajar-genjang)
Adalah mungkin untuk mengalikan sebuah vektor dengan sebuah bilangan
riil 𝑐. (dalam konteks ini kita sebut bilangan riil 𝑐 sebagai sebuah skalar untuk
membedakannya dari vektor). Sebagai contoh, kita mau bahwa 2𝐯 merupakan
vektor yang sama dengan 𝐯 + 𝐯, yang memiliki arah yang sama dengan 𝐯 tetapi dua
kali lebih panjang. Secara umum, kita kalikan sebuah vektor dengan sebuah skalar
sebagai berikut.

3. 3
DEFINISI PERKALIAN SKALAR Jika 𝑐 adalah skalar dan 𝐯 adalah
vektor, maka perkalian skalar 𝑐𝐯 adalah vektor yang panjangnya adalah |𝑐|
kali panjang 𝐯 dan yang arahnya sama dengan arah 𝐯 jika 𝑐 > 0 dan berlawanan
dengan arah 𝐯 jika 𝑐 < 0. Jika 𝑐 = 0 atau 𝐯 = 𝟎, maka 𝑐𝐯 = 𝟎.
Definisi di atas diilustrasikan dalam Gambar 5. Kita lihat bahwa bilangan-
bilangan riil bekerja seperti sebagai faktor penskala; itu mengapa bilangan-bilangan
ini disebut skalar.
Gambar 5
Kelipatan skalar dari 𝐯
Catat bahwa dua vektor tak-nol adalah sejajar jika vektor yang satu adalah
kelipatan skalar dari vektor yang lainnya. Secara khusus, vektor −𝐯 = (−1)𝐯
memiliki panjang yang sama dengan 𝐯 tetapi berlawan arah dengan 𝑣. Kita sebut
yang demikian sebagai negatif dari 𝑣.
Kita maksudkan selisih dua vektor, 𝐮 − 𝐯 sebagai
𝐮 − 𝐯 = 𝐮 + (−𝐯)
Jadi kita dapat membentuk 𝐮 − 𝐯 dengan pertama sekali menggambar
negatif dari 𝐯, yaitu −𝐯, dan kemudian menambahkannya kepada 𝐮 dengan
menerapkan Hukum Jajar-genjang sebagaimana dalam Gambar 6(a). Secara
alternatif, karena 𝐯 + (𝐮 − 𝐯) = 𝐮, vektor 𝐮 − 𝐯, ketika ditambahkan kepada 𝐯,
memberikan 𝐮. Jadi kita dapat membentuk 𝐮 − 𝐯 sebagaimana dalam Gambar 6(b)
dengan menerapkan Aturan Segitiga.

4. 4
Gambar 6(a)
Menggambar 𝐮 − 𝐯 dengan Aturan
Jajar-genjang
Gambar 6(b)
Menggambar 𝐮 − 𝐯 dengan
Aturan Segitiga
Jika kita tempatkan titik asal vektor 𝐚 pada titik asal dari sebuah sistem
koordinat Cartesius, maka titik ujung 𝐚 memiliki koordinat dalam bentuk (𝑎1, 𝑎2)
pada sistem koordinat dua-dimensi atau (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) pada sistem koordinat tiga-
dimensi (lihat Gambar 7). Koordinat-koordinat ini disebut komponen dari 𝐚 dan
kita tuliskan
𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 atau 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉
Gambar 7
Kita menggunakan notasi 〈𝑎1, 𝑎2〉 untuk pasangan terurut yang mengacu kepada
sebuah vektor sehingga dapat dibedakan dari pasangan terurut (𝑎1, 𝑎2) yang
mengacu kepada sebuah titik pada bidang.
Sebagai contoh, vektor-vektor yang terlihat dalam Gambar 8 semuanya
ekivalen dengan vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 〈3, 2〉 yang titik ujungnya adalah 𝑃(3, 2). Kesamaan
diantara vektor-vektor itu adalah bahwa titik ujung dicapai dari titik asala dengan
suatu perpindahan tiga unit ke kanan dan dua unit ke atas. Kita dapat memikirkan
semua vektor geometris ini sebagai representasi dari vektor aljabar 𝐚 = 〈3, 2〉.
Representasi khusus 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dari titik asal ke titik 𝑃(3, 2) disebut vektor posisi dari
titik 𝑃.

5. 5
Gambar 8
Representasi vektor 𝐚 = 〈3, 2〉
Dalam tiga-dimensi, vektor 𝐚 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 adalah vektor posisi dari
titik 𝑃(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3). (Lihat Gambar 9). Perhatikan representasi lain 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dari 𝐚, dimana
titik pangkalnya adalah 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan titik ujungnya adalah 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). Maka
haruslah 𝑥1 + 𝑎1 = 𝑥2, 𝑦1 + 𝑎2 = 𝑦2 dan 𝑧1 + 𝑎3 = 𝑧2 dan dengan demikian 𝑎1 =
𝑥2 − 𝑥1, 𝑎2 = 𝑦2 − 𝑦1, dan 𝑎3 = 𝑧2 − 𝑧1. Jadi,
Diberikan titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan titik 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), vektor 𝐚 dengan
representasi 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah
𝐚 = 〈𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1〉
vektor posisi P
Gambar 9
Representasi vektor 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉
Contoh 1
Tentukan vektor yang direpresentasikan oleh segmen garis berarah dengan
titik pangkal 𝐴(2, −3, 4) dan titik ujung 𝐵(−2, 1, 1).

6. 6
Penyelesaian
Vektor yang berhubungan dengan 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah
𝑎 = 〈−2 − 2, 1 − (−3), 1 − 4〉 = 〈−4, 4, −3〉
□
Besar atau panjang dari vektor 𝐯 adalah panjang dari sebarang
representasinya dan dinotasikan dengan simbol |𝐯| atau ‖𝐯‖. Dengan menggunakan
rumus jarak untuk menghitung panjang segmen 𝑂𝑃, kita peroleh rumus berikut.
Panjang vektor dua-dimensi 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 adalah
|𝐚| = √𝑎1
2
+ 𝑎2
2
Panjang vektor tiga- dimensi 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 adalah
|𝐚| = √𝑎1
2
+ 𝑎2
2
+ 𝑎3
2
Untuk mengetahui bagaimana menjumlahkan vektor-vektor secara aljabar,
perhatikan Gambar 10 bahwa jika 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 dan 𝐛 = 〈𝑏1, 𝑏2〉, maka jumlahnya
adalah 𝐚 + 𝐛 = 〈𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2〉. Dengan kata lain, untuk menjumlahkan vektor-
vektor kita menjumlahkan komponen-komponennya. Dengan cara yang sama,
untuk mengurangkan vektor-vektor kita kurangkan komponen-komponennya.
Gambar 10
Dari segitiga-segitiga yang sebangun dalam Gambar 11, kita lihat bahwa
komponen-komponen dari 𝑐𝐚 adalah 𝑐𝑎1 dan 𝑐𝑎2. Jadi, untuk mengalikan sebuah
vektor dengan sebuah skalar kita mengalikan setiap komponennya dengan skalar
itu.

7. 7
Gambar 11
Jika 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 dan 𝐛 = 〈𝑏1, 𝑏2〉, maka
𝐚 + 𝐛 = 〈𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2〉 𝐚 − 𝐛 = 〈𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2〉
𝑐𝐚 = 〈𝑐𝑎1, 𝑐𝑎2〉
Dengan cara yang sama, untuk vektor-vektor tiga-dimensi,
〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 + 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 = 〈𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3〉
〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 + 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 = 〈𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, 𝑎3 + 𝑏3〉
𝑐〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 = 〈𝑐𝑎1, 𝑐𝑎2, 𝑐𝑎3〉
Contoh 2
Jika 𝐚 = 〈4, 0, 3〉 dan 𝐛 = 〈−2, 1, 5〉, tentukan |𝐚| dan vektor-vektor 𝐚 + 𝐛,
𝐚 − 𝐛, 3𝐛, dan 2𝐚 + 5𝐛.
Penyelesaian
|𝐚| = √42 + 02 + 32 = √25 = 5
𝐚 + 𝐛 = 〈4, 0, 3〉 + 〈−2, 1, 5〉
= 〈4 + (−2), 0 + 1, 3 + 5〉 = 〈2, 1, 8〉
𝐚 − 𝐛 = 〈4, 0, 3〉 − 〈−2, 1, 5〉
= 〈4 − (−2), 0 − 1, 3 − 5〉 = 〈6, −1, −2〉
3𝐛 = 3〈−2, 1, 5〉 = 〈3(−2), 3(1), 3(5)〉 = 〈−6, 3, 15〉
2𝐚 + 5𝐛 = 2〈4, 0, 3〉 + 3〈−2, 1, 5〉
= 〈8, 0, 6〉 + 〈−10, 5, 25〉 = 〈−2, 5, 31〉
□

8. 8
Kita nyatakan himpunan semua vektor dimensi-dua dengan 𝑉2 dan
himpunan semua vektor dimensi-tiga dengan 𝑉3. Secara umum, kita akan perlu
memperhatikan himpunan 𝑉𝑛 dari semua vektor 𝑛-dimensi. Suatu vektor 𝑛-dimensi
adalah suatu 𝑛-pasangan terurut:
𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛〉
SIFAT-SIFAT VEKTOR Jika 𝐚, 𝐛, dan 𝐜 adalah vektor-vektor dalam
𝑉𝑛 dan 𝑐 dan 𝑑 adalah skalar, maka
1. 𝐚 + 𝐛 = 𝐛 + 𝐚 2. 𝐚 + (𝐛 + 𝐜) = (𝐚 + 𝐛) + 𝐜
3. 𝐚 + 𝟎 = 𝐚 4. 𝐚 + (−𝐚) = 𝟎
5. 𝑐(𝐚 + 𝐛) = 𝑐𝐚 + 𝑐𝐛 6. (𝑐 + 𝑑)𝐚 = 𝑐𝐚 + 𝑑𝐚
7. (𝑐𝑑)𝐚 = 𝑐(𝑑𝐚) 8. 1𝐚 = 𝐚
Kedelapan sifat vektor ini dapat diverifikasi secara geometris maupun
secara aljabar. Sebagai contoh, kita dapat melihat bahwa Sifat 2 (hukum assosiatif)
adalah benar dengan memperhatikan Gambar 12 dan menerapkan Aturan Segitiga
beberapa kali. Vektor 𝑃𝑄⃡⃗⃗⃗⃗⃗ diperoleh baik dengan pertama membangun 𝐚 + 𝐛 dan
kemudian menambahkan 𝐜 ataupun dengan menambahkan 𝐚 dengan vektor 𝐛 + 𝐜.
Gambar 12
Tiga vektor dalam 𝑉3 memiliki aturan yang khusus. Diberikan
𝐢 = 〈1, 0, 0〉 𝐣 = 〈0, 1, 0〉 𝐤 = 〈0, 0, 1〉
Vektor-vektor 𝐢, 𝐣, dan 𝐤 ini disebut vektor basis. Vektor-vektor basis memiliki
panjang 1 dan mengarah pada arah sumbu-𝑥, sumbu-𝑦, dan sumbu-𝑧 yang positif.
Dengan cara yang sama, dalam dua-dimensi kita definisikan 𝐢 = 〈1, 0〉 dan 𝐣 =
〈0, 1〉. (Lihat Gambar 13)

9. 9
Gambar 13
Vektor basis dalam 𝑉2 dan 𝑉3
Jika 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉, maka kita dapat menuliskan
𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 = 〈𝑎1, 0, 0〉 + 〈0, 𝑎2, 0〉 + 〈0, 0, 𝑎3〉
= 𝑎1〈1, 0, 0〉 + 𝑎2〈0, 1, 0〉 + 𝑎3〈0, 0, 1〉
𝐚 = 𝑎1 𝐢 + 𝑎2 𝐣 + 𝑎3 𝐤
Jadi, sebarang vektor dalam 𝑉3 dapat diekspresikan dalam suku-suku 𝐢, 𝐣, dan 𝐤.
Sebagai contoh,
〈1, −2, 6〉 = 𝐢 − 2𝐣 + 6𝐤
Dengan cara yang sama, dalam dua-dimensi, kita dapat menuliskan
𝑎 = 〈𝑎1, 𝑎2〉 = 𝑎1 𝐢 + 𝑎2 𝐣
Perhatikan Gambar 14 untuk interpretasi geometris dari ekspresi-ekspresi diatas
dan bandingkan dengan Gambar 13.
Gambar 14
Contoh 3
Jika 𝐚 = 𝐢 + 2𝐣 − 3𝐤 dan 𝐛 = 4𝐢 + 7𝐤, ekspresikan vektor 2𝐚 + 3𝐛 dalam
suku- suku 𝐢, 𝐣, dan 𝐤.

10. 10
Penyelesaian
Dengan menggunakan Sifat-sifat vektor nomor 1, 2, 5, 6, dan 7, kita
memiliki
2𝐚 + 3𝐛 = 2(𝐢 + 2𝐣 − 3𝐤) + 3(4𝐢 + 7𝐤)
= 2𝐢 + 4𝐣 − 6𝐤 + 12𝐢 + 21𝐤 = 14𝐢 + 4𝐣 + 15𝐤
□
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Sebagai contoh, 𝐢, 𝐣, dan
𝐤 semuanya adalah vektor-vektor satuan. Secara umum, jika 𝐚 ≠ 𝟎, maka vektor
satuan yang memiliki arah yang sama dengan 𝐚 adalah
𝐮 =
1
|𝐚|
𝐚 =
𝐚
|𝐚|
Untuk memverifikasi ini, kita misalkan 𝑐 = 1/|𝐚|. Maka 𝐮 = 𝑐𝐚 dan 𝑐 adalah
skalar positif, sehinggu 𝐮 memiliki arah yang sama dengan 𝐚. Juga
|𝐮| = |𝑐𝐚| = |𝑐||𝐚| =
1
|𝐚|
|𝐚| = 1
Contoh 4
Tentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 2𝐢 − 𝐣 − 2𝐤.
Penyelesaian
Vektor yang diberikan memiliki panjang
|2𝐢 − 𝐣 − 𝐤| = √22 + (−1)2 + (−2)2 = √9 = 3
Jadi, vektor satuan dengan arah yang sama adalah
1
3
(2𝐢 − 𝐣 − 2𝐤) =
2
3
𝐢 −
1
3
𝐣 −
2
3
𝐤
□
LATIHAN 1.2
1. Jelaskan mengenai hubungan antara titik (4, 7) dan vektor 〈4, 7〉. Ilustrasikan
dengan sketsa gambar.
2. Sebutkan semua vektor yang sama dalam jajar-genjang berikut.

11. 11
3. Tuliskan setiap kombinasi vektor-vektor berikut sebagai satu vektor tunggal.
(a) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (b) 𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗⃗
(c) 𝑄𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ (d) 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4. Gunakan vektor-vektor dalam gambar berikut untuk menggambarkan vektor-
vektor
(a) 𝐚 + 𝐛 (b) 𝐚 − 𝐛
(c) 2𝐚 (d) −
1
2
𝐛
(e) 2𝐚 + 𝐛 (f) 𝐛 − 3𝐚
5. Tentukan vektor 𝐚 dengan representasi yang diberikan oleh segmen garis
berarah 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Gambarkan 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan representasi yang ekivalen yang dimulai dari
titik asal.
(a) 𝐴(2, 3), 𝐵(−2, 1) (b) 𝐴(−2, −2), 𝐵(5, 3)
(c) 𝐴(−1, 3), 𝐵(2, 2) (d) 𝐴(2, 1), 𝐵(0, 6)
6. Tentukan 𝐚 + 𝐛, 2𝐚 + 3𝐛, |𝐚|, dan |𝐚 − 𝐛| dan ilustrasikan secara geometris.
(a) 𝐚 = 〈5, −12〉, 𝐛 = 〈−3, −6〉
(b) 𝐚 = 4𝐢 + 𝐣, 𝐛 = 𝐢 − 2𝐣
(c) 𝐚 = 2𝐢 − 4𝐣 + 4𝐤, 𝑏 = 2𝐣 − 𝐤
7. Tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan vektor-vektor
(a) −3𝐢 + 7𝐣 dan (b) 〈−4, 2, 4〉