Dokumen tersebut membahas tentang konsep integral untuk menghitung luas daerah bidang datar. Terdapat beberapa contoh soal yang mendemonstrasikan penggunaan integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, baik secara vertikal maupun horizontal. Metode pengirisan digunakan untuk mendekati luas daerah tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar dengan menjelaskan tiga metode yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung beserta contoh soalnya.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran ini membahas tentang menerapkan konsep fungsi linear. Materi yang diajarkan antara lain bentuk umum fungsi linear, membuat grafik fungsi linear, menentukan persamaan garis lurus, titik potong dua garis lurus, dua garis tegak lurus dan sejajar, serta invers fungsi linear. Metode pembelajaran yang digunakan adalah ceramah, penugasan, dan tanya jawab. Penilaian dilakukan dengan tes tertulis
Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuanAjengKusmayanti
Β
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan. Ia menjelaskan bahwa fungsi trigonometri dapat didefinisikan berdasarkan koordinat titik pada lingkaran satuan dengan jari-jari 1, di mana sin x adalah ordinat titik, cos x adalah absis titik, dan tan x adalah rasio ordinat dan absis titik. Dokumen tersebut juga menjelaskan cara menggambar grafik fungsi trigonometri menggun
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai relasi satu lawan satu antara himpunan domain dan himpunan nilai. Dibahas pula cara menggambar grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, fungsi khusus seperti fungsi mutlak dan bilangan bulat terbesar, serta operasi pada fungsi seperti penjumlahan, perkalian, dan komposisi fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar dengan menjelaskan tiga metode yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung beserta contoh soalnya.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran ini membahas tentang menerapkan konsep fungsi linear. Materi yang diajarkan antara lain bentuk umum fungsi linear, membuat grafik fungsi linear, menentukan persamaan garis lurus, titik potong dua garis lurus, dua garis tegak lurus dan sejajar, serta invers fungsi linear. Metode pembelajaran yang digunakan adalah ceramah, penugasan, dan tanya jawab. Penilaian dilakukan dengan tes tertulis
Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuanAjengKusmayanti
Β
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan. Ia menjelaskan bahwa fungsi trigonometri dapat didefinisikan berdasarkan koordinat titik pada lingkaran satuan dengan jari-jari 1, di mana sin x adalah ordinat titik, cos x adalah absis titik, dan tan x adalah rasio ordinat dan absis titik. Dokumen tersebut juga menjelaskan cara menggambar grafik fungsi trigonometri menggun
Dokumen tersebut membahas tentang fungsi dan grafiknya. Fungsi didefinisikan sebagai relasi satu lawan satu antara himpunan domain dan himpunan nilai. Dibahas pula cara menggambar grafik fungsi, fungsi genap dan ganjil, fungsi khusus seperti fungsi mutlak dan bilangan bulat terbesar, serta operasi pada fungsi seperti penjumlahan, perkalian, dan komposisi fungsi.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep dasar statistika seperti kejadian acak, frekuensi relatif, ruang sampel dan titik sampel, peluang suatu kejadian, komplemen suatu kejadian, frekuensi harapan, kejadian saling lepas dan kejadian saling bebas.
Fisika matematika bab4 differensial danintegralRozaq Fadlli
Β
Bab 4 membahas konsep diferensial dan integral untuk fungsi satu dan lebih variabel. Differensial parsial digunakan untuk menentukan turunan fungsi multivariabel terhadap satu variabel dengan variabel lain dianggap konstan. Aplikasi diferensial parsial meliputi penentuan titik ekstremum dan jarak terdekat ke permukaan.
Fungsi kontinuitas dan jenis-jenis ketidakterusan fungsi. Fungsi dikatakan kontinu jika memenuhi tiga syarat yaitu limit harus ada, nilai fungsi di titik tersebut harus ada, dan limit sama dengan nilai fungsi. Ada empat jenis ketidakterusan yaitu dapat dihilangkan, loncat, tak hingga, dan limit tidak ada.
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
KOSET GRUP , DALAM MAKALAH INI TERDAPAT PEMBAHASAN TENTANG KOSET GRUP. SELAIN ITU JUGA TERDAPAT SIFAT-SIFAT DAN DEFINSI KOSET KIRI DAN KOSET KANAN. DALAM FILE INI JUGA TERDAPAT PENGERTIAN INDEX SERTA SOAL-SOAL YANG DAPAT DI APLIKASIN DALAM TEOREMA-TEOREMA
Sistem persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua persamaan dan juga dua variabel. Hasil penyelesaian SPLDV adalah berupa titik potong.
Dalam Modul ini, kita mempelajari :
Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan
Fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
Sifat-sifat komposisi fungsi.
Komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.
Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.
Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
Fungsi invers dari suatu fungsi.
Sifat-sifat fungsi invers.
Persamaan diferensial parsial memainkan peran penting dalam menggambarkan fenomena fisika di mana besaran berubah terhadap ruang dan waktu. Ada tiga jenis persamaan diferensial parsial: hiperbolik, parabolik, dan eliptik. Jenisnya ditentukan oleh diskriminan dari persamaan. Contohnya adalah persamaan gelombang untuk hiperbolik, persamaan difusi untuk parabolik, dan persamaan Poisson untuk eliptik.
Dokumen tersebut berisi contoh-contoh penggunaan notasi sigma untuk menuliskan deret matematika dan menghitung nilainya. Contoh-contoh tersebut meliputi penulisan ulang deret aritmatika dan geometri menggunakan notasi sigma serta penghitungan nilai dari notasi sigma tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang filsafat matematika dan hubungannya dengan ilmu pengetahuan. Secara khusus, dibahas tentang berbagai aliran dalam filsafat matematika seperti logisisme, formalisme, dan intuisionisme serta perbedaan pandangan antara ketiganya. Juga dibahas mengenai hubungan erat antara matematika dan ilmu pengetahuan, di mana ilmu tanpa matematika tidak akan berkembang dan sebaliknya.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang fungsi kuadrat, termasuk bentuk umum, sifat, cara menggambar grafik, dan cara menyusun fungsi kuadrat berdasarkan informasi titik-titik yang diketahui. Di antaranya adalah penjelasan bahwa grafik fungsi kuadrat memiliki sifat seperti kurva mulus, memiliki sumbu simetri, dan memiliki titik balik berupa maksimum atau minimum.
Perkalian skalar dua vektor dan proyeksi vektorGita Setiawan
Β
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar vektor, termasuk perkalian skalar dengan vektor, proyeksi vektor, dan perbandingan vektor. Indikator yang dijelaskan adalah mampu menggambar vektor lain jika diketahui dua vektor. Contoh soal yang diberikan mencakup menentukan besar sudut antara dua vektor, panjang proyeksi satu vektor pada vektor lain, dan vektor proyeksi.
Dokumen tersebut membahas tentang bangun datar segi empat dan segitiga, termasuk pengertian, jenis-jenis segi empat seperti persegi panjang, persegi, jajargenjang, trapesium, layang-layang, dan belah ketupat serta sifat-sifatnya. Dokumen ini juga menjelaskan pengertian segi tiga dan tujuan pembelajaran materi bangun datar tersebut.
Dokumen tersebut membahas hypothetical learning trajectory untuk materi bangun datar yang bertujuan agar siswa memahami konsep keliling. Terdapat beberapa aktivitas matematika seperti memecahkan masalah kontekstual dan menemukan rumus keliling melalui diskusi kelompok dan presentasi hasilnya.
Bab ini membahas integral lipat dua pada berbagai koordinat dan daerah integrasi. Integral lipat dua digunakan untuk menghitung volume, pusat massa, dan momen inersia. Contoh soal mendemonstrasikan teknik penyelesaian integral lipat dua dengan merubah urutan integrasi sesuai bentuk daerah integrasinya.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep dasar statistika seperti kejadian acak, frekuensi relatif, ruang sampel dan titik sampel, peluang suatu kejadian, komplemen suatu kejadian, frekuensi harapan, kejadian saling lepas dan kejadian saling bebas.
Fisika matematika bab4 differensial danintegralRozaq Fadlli
Β
Bab 4 membahas konsep diferensial dan integral untuk fungsi satu dan lebih variabel. Differensial parsial digunakan untuk menentukan turunan fungsi multivariabel terhadap satu variabel dengan variabel lain dianggap konstan. Aplikasi diferensial parsial meliputi penentuan titik ekstremum dan jarak terdekat ke permukaan.
Fungsi kontinuitas dan jenis-jenis ketidakterusan fungsi. Fungsi dikatakan kontinu jika memenuhi tiga syarat yaitu limit harus ada, nilai fungsi di titik tersebut harus ada, dan limit sama dengan nilai fungsi. Ada empat jenis ketidakterusan yaitu dapat dihilangkan, loncat, tak hingga, dan limit tidak ada.
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
KOSET GRUP , DALAM MAKALAH INI TERDAPAT PEMBAHASAN TENTANG KOSET GRUP. SELAIN ITU JUGA TERDAPAT SIFAT-SIFAT DAN DEFINSI KOSET KIRI DAN KOSET KANAN. DALAM FILE INI JUGA TERDAPAT PENGERTIAN INDEX SERTA SOAL-SOAL YANG DAPAT DI APLIKASIN DALAM TEOREMA-TEOREMA
Sistem persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua persamaan dan juga dua variabel. Hasil penyelesaian SPLDV adalah berupa titik potong.
Dalam Modul ini, kita mempelajari :
Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan
Fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
Sifat-sifat komposisi fungsi.
Komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.
Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers.
Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya
Fungsi invers dari suatu fungsi.
Sifat-sifat fungsi invers.
Persamaan diferensial parsial memainkan peran penting dalam menggambarkan fenomena fisika di mana besaran berubah terhadap ruang dan waktu. Ada tiga jenis persamaan diferensial parsial: hiperbolik, parabolik, dan eliptik. Jenisnya ditentukan oleh diskriminan dari persamaan. Contohnya adalah persamaan gelombang untuk hiperbolik, persamaan difusi untuk parabolik, dan persamaan Poisson untuk eliptik.
Dokumen tersebut berisi contoh-contoh penggunaan notasi sigma untuk menuliskan deret matematika dan menghitung nilainya. Contoh-contoh tersebut meliputi penulisan ulang deret aritmatika dan geometri menggunakan notasi sigma serta penghitungan nilai dari notasi sigma tertentu.
Dokumen tersebut membahas tentang filsafat matematika dan hubungannya dengan ilmu pengetahuan. Secara khusus, dibahas tentang berbagai aliran dalam filsafat matematika seperti logisisme, formalisme, dan intuisionisme serta perbedaan pandangan antara ketiganya. Juga dibahas mengenai hubungan erat antara matematika dan ilmu pengetahuan, di mana ilmu tanpa matematika tidak akan berkembang dan sebaliknya.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang fungsi kuadrat, termasuk bentuk umum, sifat, cara menggambar grafik, dan cara menyusun fungsi kuadrat berdasarkan informasi titik-titik yang diketahui. Di antaranya adalah penjelasan bahwa grafik fungsi kuadrat memiliki sifat seperti kurva mulus, memiliki sumbu simetri, dan memiliki titik balik berupa maksimum atau minimum.
Perkalian skalar dua vektor dan proyeksi vektorGita Setiawan
Β
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar vektor, termasuk perkalian skalar dengan vektor, proyeksi vektor, dan perbandingan vektor. Indikator yang dijelaskan adalah mampu menggambar vektor lain jika diketahui dua vektor. Contoh soal yang diberikan mencakup menentukan besar sudut antara dua vektor, panjang proyeksi satu vektor pada vektor lain, dan vektor proyeksi.
Dokumen tersebut membahas tentang bangun datar segi empat dan segitiga, termasuk pengertian, jenis-jenis segi empat seperti persegi panjang, persegi, jajargenjang, trapesium, layang-layang, dan belah ketupat serta sifat-sifatnya. Dokumen ini juga menjelaskan pengertian segi tiga dan tujuan pembelajaran materi bangun datar tersebut.
Dokumen tersebut membahas hypothetical learning trajectory untuk materi bangun datar yang bertujuan agar siswa memahami konsep keliling. Terdapat beberapa aktivitas matematika seperti memecahkan masalah kontekstual dan menemukan rumus keliling melalui diskusi kelompok dan presentasi hasilnya.
Bab ini membahas integral lipat dua pada berbagai koordinat dan daerah integrasi. Integral lipat dua digunakan untuk menghitung volume, pusat massa, dan momen inersia. Contoh soal mendemonstrasikan teknik penyelesaian integral lipat dua dengan merubah urutan integrasi sesuai bentuk daerah integrasinya.
Dokumen menjelaskan tentang penggunaan integral untuk menghitung luas daerah kurva yang dihasilkan oleh persamaan kuadrat dan kubik. Kemudian memberikan 8 contoh soal beserta penyelesaiannya yang melibatkan penentuan batas integral dan pemecahan daerah berdasarkan titik potong sumbu koordinat.
Dokumen tersebut membahas tentang integral pasti dan aplikasinya untuk menemukan luas wilayah yang dibatasi oleh kurva. Metode integral pasti digunakan untuk menghitung luas wilayah antara dua kurva dan panjang busur kurva. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan.
Dokumen tersebut membahas tentang perhitungan luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi, garis, dan sumbu koordinat dengan menggunakan integral. Metode perhitungan luas daerah dijelaskan untuk berbagai kondisi seperti daerah dibatasi satu atau dua grafik fungsi, daerah positif atau negatif, serta contoh soal latihan perhitungan luas daerah.
1. Dokumen tersebut membahas konsep integral Riemann dan cara menghitung luas daerah di bawah kurva menggunakan pendekatan jumlah Riemann.
2. Jumlah Riemann merupakan pendekatan luas daerah dengan membagi daerah menjadi beberapa bidang datar kecil dan menjumlahkan luasnya.
3. Luas daerah sebenarnya diperoleh dengan mengambil batas jumlah Riemann ketika ukuran bidang datar mendekati
Dokumen tersebut membahas tentang:
1. Penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah bidang dan volume benda putar
2. Metode kulit tabung untuk menghitung volume benda putar
3. Rumus panjang kurva dan luas permukaan benda putar
Dokumen ini membahas tentang penggambaran grafik persamaan matematika. Terdapat beberapa langkah untuk menggambar grafik persamaan yaitu dengan membuat tabel nilai, merajah titik-titik, dan menghubungkan titik-titik dengan kurva. Dokumen ini juga menjelaskan tentang simetri grafik dan perpotongan grafik.
Dokumen tersebut membahas penggunaan matriks untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel, termasuk definisi determinan, perkalian matriks, dan metode penyelesaian seperti invers matriks dan determinan.
1. Persamaan kuadrat adalah persamaan dimana pangkat tertinggi dari variabel yang tidak diketahui adalah 2. Terdapat 3 metode untuk memecahkan persamaan kuadrat yaitu faktorisasi, melengkapi kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang penggunaan integral untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan ordinat. Secara khusus dijelaskan tentang pengertian luas daerah, rumus integral untuk menghitung luas daerah, contoh soal, serta penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.
Dokumen tersebut membahas penerapan distribusi normal dan pendekatan distribusi normal ke distribusi binomial. Beberapa contoh menunjukkan bagaimana distribusi normal dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan peluang, seperti menghitung peluang terjadinya suatu peristiwa. Dokumen ini juga menjelaskan bahwa distribusi normal dapat digunakan sebagai pendekatan yang baik untuk distribusi binomial bila jumlah percobaan besar dan
Similar to 5.1 Luas Daerah Bidang Datar. (1).pdf (20)
2. Luas Daerah Bidang Datar
Pembahasan singkat tentang luas daerah pada Subbab 4.1 diperlukan untuk
memberikan dasar tentang definisi integral tentu. Setelah mempelajari TDK I dan
TDK II, kita bisa menghitung integral tentu dengan cara yang jauh lebih sederhana
(seperti yang kita pelajari di SMA), sehingga sekarang kita bisa menggunakan
integral tentu untuk menghitung luas daerah yang lebih rumit.
3. Contoh 1 (Daerah di Atas Sumbu-x)
Carilah luas daerah R di bawah kurva y = π₯4 β 2π₯3 + 2 di antara x = -1 dan x = 2.
Jawab:
Luas daerah R diperlihatkan dalam Gambar 1 di samping. Nilai estimasi wajar untuk luas R
adalah alas kali rata-rata tinggi = 3 . 2 = 6, sedangkan nilai eksaknya adalah
πΏ π =
β1
2
π₯4
β 2π₯3
+ 2 ππ₯ =
π₯5
5
β
2π₯4
4
+ 2π₯
β1
2
=
π₯5
5
β
π₯4
2
+ 2π₯
β1
2
=
25
5
β
24
2
+ 2(2) β
β1 5
5
β
β1 4
2
+ 2 β1 =
32
5
β 8 + 4 β
β1
5
β
1
2
β 2
=
51
10
= 5,1.
Nilai 5,1 cukup dekat dengan nilai estimasi 6, sehingga kita bisa yakin dengan
kebenarannya.
Gambar 1
4. Contoh 2 (Daerah di Bawah Sumbu-x)
Carilah luas daerah R yang dibatasi oleh y =
π₯2
3
β 4, sumbu-x, x = -2 dan x = 3.
Jawab:
Daerah R diperlihatkan oleh Gambar 2 di samping. Kita tahu bahwa jika grafik terletak di
bawah sumbu-x, maka nilai integral tentu π
π
π π₯ ππ₯ adalah bilangan negtaif. Padahal
kita tahu bahwa luas daerah tidak mungkin bernilai negatif. Namun sebenarnya, negatif
dari hasil integral tersebut tidak lain adalah luas daerah R. Oleh karena itu, luas daerah R
bisa kita hitung sebagai berikut.
πΏ π = β β2
3 π₯2
3
β 4 ππ₯ = β
1
3
.
π₯3
3
β 4π₯
β2
3
= β
π₯3
9
+ 4π₯
β2
3
= β
27
9
+ 12 β
8
9
β 8 =
145
9
= 16,11.
Nilai ini tidak terlalu jauh dengan nilai estimasi L = alas x tinggi = 5 x 3 = 15, sehingga
perhitungan kita yang demikian (yang dikali negatif) bisa kita yakini benar.
Gambar 2
5. Problem 1
Bagaimana jika daerah yang ingin dicari luasnya sebagiannya berada di atas sumbu-x dan
sebagian lainnya berada di bawah sumbu-x? Untuk memahaminya, coba kalian kerjakan soal
berikut.
Tentukan luas daerah diarsir di bawah ini menggunakan integral tentu.
6. Daerah di Antara Dua Kurva
Tinjaulah daerah R yang dibatasi kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) β€ f(x)
pada a β€ x β€ b, misalkan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3 di samping. Kita
gunakan metode βiris, aproksimasikan, integrasikanβ untuk mencari luasnya. Pastikan
bahwa f(x) β g(x) memberikan nilai tinggi yang benar untuk irisan tipis tersebut
sekalipun grafik g ada yang berada di bawah sumbu-x. Dalam kasus ini, saat kita
mengurangkan f(x) dengan g(x) yang negatif, maka sama saja dengan menambahkan
f(x) dengan bilangan positif, sehingga f(x) β g(x) memang mewakili tinggi dari irisan-
irisan daerah diarsir. Anda juga bisa memeriksa bahwa f(x) β g(x) memberikan nilai
tinggi yang benar sekalipun f(x) dan g(x) keduanya negatif.
πΏπ’ππ ππππ ππ = π π₯ β π(π₯) βπ₯
πΏ π =
π
π
π π₯ β π(π₯) ππ₯
Catatan: Fungsi dengan grafik lebih tinggi dikurang fungsi dengan grafik lebih rendah.
Gambar 3
R
7. Contoh 3 (Pengirisan Tegak)
Carilah luas daerah di antara kurva y = x4 dan y = 2x β x2.
Jawab:
Kita mulai dengan mencari titik-titik potong dari dua kurva tersebut. Untuk
ini, kita perlu menyelesaikan x4 = 2x β x2, suatu persamaan berderajat
empat yang biasanya sukar dicari penyelesaiannya. Namun dalam kasus ini,
cukup jelas bahwa x = 0 dan x = 1 adalah penyelesaiannya (coba saja
substitusikan untuk memeriksanya). Sketsa daerah tersebut, beserta
aproksimasi dan integral yang bersangkutan (lihat Gambar 4).
πΏ π =
0
1
(2π₯ β π₯2
) β π₯4
ππ₯ = π₯2
β
π₯3
3
β
π₯5
5 0
1
= 1 β
1
3
β
1
5
=
7
15
.
Gambar 4
8. Contoh 4 (Pengirisan Mendatar)
Carilah luas daerah di antara parabola y2 = 4x dan garis 4x β 3y = 4.
Jawab:
Persamaan 1: 4x = y2
Persamaan 2: 4x = 3y + 4.
Sama seperti contoh sebelumnya, kita cari dulu titik potongnya dengan cara menyamakan
kedua persamaan di atas. Pandang,
y2 = 3y + 4
y2 β 3y β 4 = 0
(y β 4)(y + 1) = 0
y = 4 atau y = -1
Ketika y = 4, maka x = 4 dan ketika y = -1, maka x =
1
4
. Jadi, kita simpulkan bahwa titik potong
adalah (4, 4) dan (
1
4
, -1). Daerah di antara kurva-kurva diberikan oleh Gambar 5.
9. Sekarang bayangkan kita mengiris daerah ini secara tegak (lihat
Gambar 5). Kita menghadapi masalah karena daerah sebelah kiri x =
ΒΌ merentang dari cabang bawah parabola ke cabang atas parabola,
sedangkan daerah sebelah kanan x = ΒΌ merentang dari grafik garis
ke cabang atas parabola. Ini berarti daerah R memiliki cara berbeda
dalam menentukan tinggi irisan. Untuk memecahkan masalah ini
dengan irisan tegak, pertama kita harus pisahkan daerah menjadi
dua bagian, menyusun integral untuk masing-masing bagian, dan
kemudian menghitung kedua integral tersebut.
Pendekatan yang jauh lebih sederhana adalah dengan melakukan
irisan mendatar, seperti pada Gambar 6.
Gambar 5
R
10. Untuk melakukan integral dengan irisan mendatar, kita
harus cari dulu persamaan untuk x dari masing-masing
kurva, yaitu
Kurva 1: y2 = 4x β x =
y2
4
Kurva 2: 4x β 3y = 4 β x =
3y + 4
4
Perhatikan bahwa lebar irisan mendatar bisa diperoleh
dengan cara mengurangkan x yang lebih besar (grafik
kanan) dengan x yang lebih kecil (grafik kiri), yaitu
3y + 4
4
β
y2
4
. Selanjutnya, tinggi irisan adalah βπ¦ .
Sekarang kita siap untuk menghitung luas daerah antar
dua kurva tersebut, yaitu
πΏ =
β1
4
3y + 4
4
β
y2
4
ππ¦ =
1
4 β1
4
3y + 4 β y2 ππ¦ =
1
4
3π¦2
2
+ 4π¦ β
π¦3
3 β1
4
=
125
4
.
Gambar 6
12. Jarak dan Perpindahan
Pandang suatu benda yang bergerak di sepanjang garis lurus dengan kecepatan v(t) pada saat t.
ο΅ Jika v(t) β₯ 0, maka π
π
π£ π‘ ππ‘ sama dengan jarak yang ditempuh dalam interval a β€ t β€ b.
ο΅ Jika v(t) kadang kala negatif (yang berarti bergerak ke arah sebaliknya), maka
π
π
π£ π‘ ππ‘ = π (π‘) π
π
= π π β π (π)
sama dengan perpindahan benda dan jarak totalnya sama dengan π
π
π£(π‘) ππ‘.
13. Contoh 5
Sebuah benda berada pada posisi x = 3 saat t = 0. Kecepatannya pada waktu t
dinyatakan oleh v(t) = 5 sin 6πt. Di mana posisi benda pada saat t = 2 dan berapa
jauh benda tersebut menjelajah (jarak total) selama waktu tersebut?
Jawab:
Perpindahan benda adalah
π 2 β π 0 =
0
2
π£ π‘ ππ‘ =
0
2
5 sin 6πt ππ‘ = β
5
6π
πππ 6ππ‘
0
2
= 0 .
Jadi, posisi benda saat t = 2 adalah s(2) = s(0) + 0 = 3 + 0 = 3.
14. Sedangkan jarak total yang ditempuh adalah
0
2
π£(π‘) ππ‘ =
0
2
5 sin 6πt ππ‘
Dalam integrasi ini, kita menggunakan sifat simetri (lihat Gambar 7).
Jadi, 0
2
5 sin 6πt ππ‘ = 12 0
2/12
5 sin 6πt ππ‘ = 60 β
1
6π
cos 6ππ‘
0
1/6
=
20
π
β 6,3662. jarak total
Gambar 7
15. Question
Perhatikan penyelesaian contoh 5 tadi.
1. Saat mencari jarak total, kita menggunakan sifat kesimetrian. Mengapa kita
menggunakan sifat ini?
2. Jelaskan mengapa grafik π£(π‘) seperti itu (lihat Gambar 7)?
Petunjuk: Bandingkan dengan grafik π£(π‘).
3. Saat menghitung 0
2
5 sin 6πt ππ‘, kita menggunakan sifat simetri. Karena sifat
ini, kita bisa menghilangkan tanda mutlak, tetapi batas atas berubah jadi 2/12
dan di depan tanda integral dikali dengan konstanta 12. Jelaskan mengapa
demikian?