Makalah ini membahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi Gauss. Metode ini digunakan untuk mengubah sistem persamaan ke dalam bentuk eselon dengan mengeliminasi nilai variabel satu persatu hingga diperoleh nilai variabel terakhir. Contoh penyelesaian secara manual dan menggunakan program MATLAB disajikan untuk mempermudah pemahaman.

1. Matakuliah: Fisika komputasi
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR
DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS
DISUSUN OLEH:
Kelompok 6
AISYAH (8176175001)
DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004)
PENDIDIKAN FISIKA REGULER A 2017
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2017

2. i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNya sehingga
makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami juga mengucapkan banyak
terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan
baik materi maupun pemikirannya.
Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan
pengalaman bagi para pembaca, Untuk kedepannya dapat memperbaiki bentuk maupun
menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi.
Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin masih
banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan
kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.
Medan, Februari 2018
Kelompok VI

3. ii
DAFTAR ISI
Kata pengantar ..................................................................................................................... i
Daftar isi.............................................................................................................................. ii
Bab I Pendahuluan
1.1 Latar Belakang.................................................................................................. 1
1.2 Rumusan Masalah............................................................................................. 1
1.3 Tujuan Penulisan ............................................................................................. 1
Bab II Pembahasan
2.1 Sistem Persamaan Linear................................................................................ 2
2.2 Metode Eliminasi Gauss................................................................................. 2
2.3 Contoh Penyelesaian Sistem Persamaan Linear............................................. 2
2.3.1 Kalkulasi Manual................................................................................ 3
2.3.2 Penyelesaian Dengan Matlab ............................................................. 6
2.3.2.1 Metode Eliminasi Gauss....................................................... 6
2.3.2.2 Metode Iterasi Gauss-Seidel................................................. 11
2.3.2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan........................................... 14
2.4 Aplikasi Dalam Fisika.................................................................................... 18
Bab III Penutup
3.1 Kesimpulan..................................................................................................... 24
DAFTAR PUSTAKA......................................................................................................... 25

4. i

5. 1
BAB I
PEMBAHASAN
1.1. Latar Belakang
Pada saat teknologi informasi belum maju pesat, para praktisi dan profesional di
bidang rekayasa teknik dan sains menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi
digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih
sederhana. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa.
Sering kali permodelan matematika muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga
tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi
sebenarnya (exact solution).
Dengan menggunakan metode numerik, solusi dari persoalan yang dihadapi tidak
akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau
menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran
(approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi
sejati, sehingga ada selisih antara keduanya.
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis tertarik untuk membuat makalah mengenai
Metode Numerik untuk Solusi sistem persamaan linear menggunakan metode Eliminasi
Gauss menggunakan Bahasa Pemograman Matlab.
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam makalah ini adalah
1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metode
eliminasi Gauss?
2. Bagaimana membuat program MATLAB dalam menyelesaikan persamaan linear
dengan metode eliminasi Gauss ?
1.3 Tujuan
Adapun tujuan dalam makalah ini adalah
1. Mampu menyelesaikan persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi
Gauss?
2. Mampu membuat program MATLAB dalam menyelesaikan persamaan linear
dengan metode eliminasi Gauss ?

6. 2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Sistem Persamaan Linear
Di dalam matematika, sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan-
persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem
persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
: : : = :
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
2.2 Metode Eliminasi Gauss
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui
beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-
Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss
untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa
menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks
sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi
baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan
sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
2.3 Contoh Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi Gauss.
Selesaikan Persamaan Linear Berikut
4X1 + 5X2 + 0X3 = 4 P1
2X1 – 2X2 + 3X3 = 8 P2
2X1+ 1X2 + 5X3 = 12 P3

7. 3
2.3.1. Kalkulasi Manual
Tahap Pertama : Eliminasi Maju
Langkah pertama adalah dengan mengeliminasi x1 dari persamaan P2 dengan
syarat a11 ≠ 0
Rumus :
1212
'
2 PmPP  , dimana
11
21
21
a
a
m 
 11
11
21
2121' a
a
a
aa 






4
4
2
2'21 





a
0'21 a
 12
11
21
2222 ' a
a
a
aa 






  5
4
2
2'22 





a
2
9
'22 a
 13
11
21
2323 ' a
a
a
aa 






0
4
2
3'23 





a
3'23 a
 1
11
21
22 ' b
a
a
bb 






4
4
2
8'2 





b
6'2 b
6'2 b
Langkah kedua adalah dengan megeliminasi maju x1 dari P3 dengan syarat 𝑎11 ≠ 0.
Rumus:
13133
'
PmPP  , dimana
11
31
31
a
a
m 
 11
11
31
3131' a
a
a
aa 







8. 4
4
4
2
2'31 





a
0'31 a
 12
11
31
3232 ' a
a
a
aa 






5
4
2
1'32 





a
2
3
'32 a
 13
11
31
3333 ' a
a
a
aa 






0
4
2
5'33 





a
0'33 a
 1
11
31
33 ' b
a
a
bb 






4
4
2
12'3 





b
10'3 b
Setelah mengeliminasi x1 pada persamaan P2 dan P3, maka persamaan linear
tersebut menjadi:
4X1 + 5X2 + 0X3 = 4 P1
0 −
9
2
X2 + 3X3 = 6 P2
0 −
3
2
X2 + 5X3 = 10 P3
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi x2 pada persamaan P3, dengan cara :
Rumus:
2323
'
3 PmPP  dimana
22
32
32
a
a
m 
 22
22
32
3232 ' a
a
a
aa 







9. 5




























2
9
2
9
2
3
2
3
'32a
0'32 a
 23
22
32
3333 ' a
a
a
aa 






 3
2
9
2
3
5'33 














a
4'33 a
 2
22
32
33 ' b
a
a
bb 






6
2
9
2
3
10'3 














b
8'3 b
Setelah mengeliminasi x2 pada persamaan P3, maka persamaan linear tersebut
menjadi:
4X1 + 5X2 + 0X3 = 4 P1
0 −
9
2
X2 + 3X3 = 6 P2
0 − 0 + 4X3 = 8 P3
Tahap Kedua : Substitusi Mundur
 84 3 x
4
8
3 x
23 x
 63
2
9
32  xx
  623
2
9
2  x
02 x

10. 6
 454 21  xx
  4054 1 x
11 x
2.3.2. Penyelesaian dengan Matlab
2.3.2.1. Metode algoritma
 Koding Program
clc;
clear;
disp('Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi Gauss')
disp(' KELOMPOK VI ')
disp(' 1. AISYAH 2. DEWI RATNA PERTIWI SITEPU)
disp('------------------------------------------------------------')
a=input('Masukkan Elemen Matriks a : ');
n=input('Jumlah Persamaan :');
disp('Elemen Matriks');a
%eliminasi maju
for k=1:n-1
for i=k+1:n
qt=a(i,k)/a(k,k);
for j=k+1:n+1
a(i,j)=a(i,j)-qt*a(k,j);
end
end
for i=k+1:n
a(i,k)=0;
end
end
%substitusi mundur
x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);
for nx=1:n-1
jumlah=0;
i=n-nx;
for j=i+1:n
jumlah=jumlah+a(i,j)*x(j);
end
x(i)=(a(i,n+1)-jumlah)/a(i,i);
end
disp('Nilai-nilai x');
x

11. 7
 Buka Program Matlab
Pilih Menu File, Kemudian Pilih M-file
 Kemudian akan muncul Command Window seperti tampak pada gambar berikut:

12. 8
 Masukkan Coding Program dalam Command Window . Pilih Menu Debug kemudian
Save and Run, Seperti gambar dibawah:

13. 9
 Maka akan tampil seperti dialog dibawah. Kemudian Save
Catatan: Dalam melakukan penyimpanan jangan menggunakan spasi ataupun tanda
baca.
 Maka akan muncul dialog seperti dibawah

14. 10
 Masukkan Persamaan Linearnya.
4X1 + 5X2 + 0X3 = 4
2X1 – 2X2 + 3X3 = 8
2X1+ 1X2 + 5X3 = 12
Output programnya didapatkan x1=1, x2=0, dan x3=2. Dibandingkan dengan hasil
kalkulasi manual didapatkan hasil yang sama.

15. 11
2.3.2.2. Metode Iterasi
 Masukkan Koding Program pada Work Sheet

16. 12
 Hasil dengan menggunakan iterasi

17. 13

18. 14
2.3.2.3 Metode Eliminasi Gauss Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekali dengan metode Eliminasi
Gauss, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh lebih besar,
karena matriks A. mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan matriksidentitas (I).
Karena kendala tersebut, maka metode ini sangat jarang dipakai, namun sangat bermanfaat
untuk menginversikan matriks.
Dasar Teori : Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss,
hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal sebagai
berikut:
Contoh Soal
Selesaikan sistem persamaan berikut dengan Metode Eliminasi Gauss Jordan:
x + y + 2z = 9

19. 15
2x+4y - 3z = 1
3x+6y - 5z = 0
Note: penyelesaian secara manual di kertas*
Penyelesaian menggunakan MATLAB
- Pada command window, ketikkan edit
- Tekan Enter, maka akan muncul layar editor, tuliskan listing program seperti dibawah ini

20. 16

21. 17

22. 18

23. 19
Jadi, dari hasil penyelesaian, diperoleh nilai:
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
2.4 Aplikasi Dalam Fisika
HUKUM II KIRCHHOFF
Contoh 1
 Berdasarkan hukum II Kirchhoff maka diperoleh,
I1 + I3 = I2 => I1 = I2 - I3 . . . . . (1)
 Berdasarkan hukum II Kirchhoff, untuk loop I maka diperoleh:
Ʃε + ƩIR = 0

24. 20
-4 + (0,5+1+0,5)I1 + 6I2 = 0
-4 + 2I1 + 6I2 = 0
I1 + 3I2 = 2 . . . . . (2)
 Berdasarkan hukum II Kirchhoff, untuk loop II maka diperoleh:
Ʃε + ƩIR = 0
-2 + (2,5 +0,5)I3 + 6I2 = 0
-2 + 3I3 + 6I2 = 0
3I3 + 6I2 = 2 . . . . . . (3)
 Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka akan diperoleh:
I1 + 3I2 = 2
- I3 + 4I2 = 2
I3 = 4I2 – 2 . . . . . (4)
 Kemudian substitusikan persamaan (4) ke persamaan (3) maka diperoleh:
3I3 + 6I2 = 2
3(4I2 – 2) + 6I2 = 2
12I2 – 6 + 6I2 = 2
18I2 = 8
I2 = 8/18
I2 = 4/9 A atau 0,44 A
 Dari persamaan (4) akan diperoleh:
I3 = 4I2 – 2
I3 = 4(4/9) – 2
I3 = 16/9 – 2
I3 = 16/9 – 18/9
I3 = – 2/9A atau – 0,22 A
 Dari persamaan (1) akan diperoleh:
I1 = I2 - I3
I1 = 4/9A – (– 2/9A)
I1 = 6/9A atau 0,67 A
 Bentuk Persamaan :
I1 - I2 + I3 = 0 . . . . . (1)
I1 + 3I2 = 2 . . . . . (2)

25. 21
6I2 + 3I3 = 2 . . . . . (3)
 Hasil Output Program Matlab sepertitampak pada gambar berikut:

26. 22
Contoh 2
Gunakan metode Eliminasi Gauss untuk menentukan arus i1,i2 dan i3 yang mengalir
pada rangkaian berikut ini:
 Berdasarkan Hukum Kirchhoff:
02610
0410614
31
21
321



II
II
III

27. 23
 Lalu kita susun ulang ketiga persamaan di atas menjadi seperti ini:
1026
2446
0
31
21
321



II
II
III
 Kemudian dinyatakan dalam bentuk matriks:
10
24
0
206
046
111


Implementasi Dengan Program Matlab

28. 24

29. 25

30. 26
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1) Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks menggunakan operasi baris elementer (OBE) sehingga menjadi matriks yang
lebih sederhana lagi. Matriks yang diperoleh menggunakan metode ini biasanya
berupa matriks segitiga atas atau biasa disebut matriks eselon-baris.
2) Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya
lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi
Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat
digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam
matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris
tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa
substitusi balik.
3) Metode ini merupakan salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear
dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah sistem persamaan linear
tersebut ke dalam bentuk matriks ter-augmentasi dan mengoperasikannya. Setelah
menjadi matriks eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari
variabel-variabel sistem.

31. 27
DAFTAR PUSTAKA
Alatas,Husin.Buku Pelengkap Fisika Matematika.Derpartemen Fisika FMIPA Institut
Pertanian Bogor
Munir, R. 2003. Metode Numerik. Informatika. Bandung.
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Andi. Yogyakarta.
Sahyar.2014.Komputasi Sains Fisika.Medan: Unimed Press.
Suparno, Supriyanto.2014. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan
Matlab.Depok: Departemen Fisika FMIPA Univ