Dokumen tersebut membahas tentang integral pasti dan aplikasinya untuk menemukan luas wilayah yang dibatasi oleh kurva. Metode integral pasti digunakan untuk menghitung luas wilayah antara dua kurva dan panjang busur kurva. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan.

1. Aplikasi Integral Pasti
Luas Wilayah Dengan Satu Kurva
Salah satu kemajuan utama kalkulus adalah kemampuan untuk menemukan area daerah
pesawat yang dibatasi oleh kurva. Geometri Euclidean mengembangkan formula dan metode untuk
menemukan area daerah pesawat yang dibatasi oleh segmen garis, Tapi goyah saat dihadapkan.
Jika f adalah fungsi kontinu dengan ƒ(x) ≥ 0 on [a, b], maka∫ ƒ
𝑏
𝑎
(x)dx Sebuah
daerahnya Dari wilayah yang dibatasi oleh kurva y = ƒ(x), sumbu x, dan garis x = a dan x = b.
masalah Temukan daerah daerah yang dibatasi oleh sumbu x, garis x = 4
dan x = 6, dan kurva y = 𝑥2
+ 2x.
solusi Fungsi f didefinisikan oleh y = 𝑥2
+ 2x is kontinyu dan
tidak negatif pada [4, 6]. Dengan demikian, wilayah wilayah yang ditentukan sama
dengan unit ∫ (𝑥26
4
+ 2𝑥) dx = [
𝑥3
3
+
2𝑥2
2
] = 70
2
3
kotak ini.Solusi mengasumsikan,
tentu saja, bahwa semua pengukuran ada diunit yang sama.
masalah Tentukan daerah yang dibatasi oleh y = 𝑥2
− 2x + 3, sumbu 𝑥, dan garis −
garis 𝑥 = −2 dan x = 1.
solusi Fungsi yang didefinisikan oleh y = 𝑥2
- 2x + 3 kontinyu dan tidak negatif, [−2,1].
Dengan demikian, luas yang ditentukan sama dengan ∫ ( 𝑥2
− 2𝑥 + 3 )
1
−2
𝑑𝑥 =
[
𝑥3
3
−
2𝑥2
2
] = 70
2
3
masalah Tentukan daerah daerah yang dibatasi oleh kurva y = tan2 x,
sumbu x, dan garis x = 0 dan x
𝜋
4
solusi Fungsi yang didefinisikan oleh y = tan2 x � kontinyu dan
tidak negative [0,
𝜋
4
] pada area spesifik squals ∫ 𝑡𝑎𝑛2
𝜋
4
0
𝑥𝑑𝑥 = [tan 𝑥 − 𝑥]
𝜋
4
0
=
(1 −
𝜋
4
) unit persegi.
masalah Tentukan daerah wilayah yang dibatasi oleh y = x2, sumbu x, dan garis x = 0 dan x=1
solusi Fungsi yang didefinisikan oleh y = x2dx adalah kontinyu dan tidak negatif pada [0,
1] jadi daerah diberikan oleh ∫ 𝑥21
0
𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
] =
1
3
unit persegi.

2. Luas Wilayah Antara Dua Kurva
Jika f dan g adalah fungsi kontinu dengan f (x) ≥ g (x) aktif [a, b], maka area antara keduanya
kurva diberikan oleh ∫ [ 𝑓(𝑥) − g(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
.
Seperti yang Anda lihat, masalah menemukan area di antara kurva pada dasarnya melibatkan
eksploitasi
Gagasan dikembangkan di bagian pertama bab ini.
masalah Tentukan daerah yang tertutup oleh kurva y = f (x) = x3 + x dan y = h(x) =
sin𝑥, sumbu x, dan garis 𝑥 =
𝜋
2
dan 𝑥 = 𝜋.
solusi Baik f dan h kontinu maupun nonnegatif [
𝜋
2
, 𝜋] dan f( 𝑥) ≥ ℎ( 𝑥) di
[
𝜋
2
, 𝜋] .∫ [( 𝑥3
+ 𝑥) − sin𝑥] 𝑑𝑥 = [
𝑥4
4
+
𝑥2
2
+ cos𝑥]
𝜋/2
𝜋
𝜋
𝜋/2
= [
𝜋4
26 +
𝜋2
23 ]=〈
15𝜋4
64
+
3𝜋2
8
−
1〉 unit kotak.
masalah Tentukan daerah yang dilingkupi oleh garis x = 0, x = 1, sumbu x, dan kurva y=
𝑓( 𝑥) = −𝑥 + 1 dan 𝑦 = 𝑔( 𝑥) = 𝑥2
.
Solusi Selesaikan persimpangan dua fungsi dengan menyamakan ungkapan
dapatkan𝑥2
= −𝑥 + 1 atau 𝑥2
+x−1 = 0. Solusi untuk persamaan kuadrat ini
adalah𝑥 =
−1±√5
2
dan nilai pada interval [0, 1] adalah𝑥 =
√5−1
2
. Juga, f mendominasi
bila x kurang dari nilai ini dan g mendominasi ketika x lebih besar dari nilai ini
sehingga area yang ditentukan sama dengan
√5−1
∫ [(−𝑥+1)−𝑥2] 𝑑𝑥=
2
0
[
−𝑥2
2
+ 𝑥 −
𝑥3
3
] +
[
𝑥3
3
+
𝑥2
2
− 𝑥] = [−
[
√5−1
2
]
2
+ [
√5−1
2
] −
[
√5−1
2
]
3
] + [
1
3
+
1
2
− 1] − [
√5−1
2
3
+
√5−1
2
2
−
[
√5−1
2
]] = 2[−
√5−1
2
2
+ [
√5−1
2
] −
√5−1
2
3
] −
1
6
= 2 [
5√5−7
12
] −
1
6
= 2 [−
(3−√5)
4
+
√5−1
2
−
(√5−2)
3
] −
1
6
= 2 [−
3
4
−
1
2
+
2
3
+
√5
4
+
√5
2
−
√5
3
] −
1
6
= 2[
5√5−7
12
] −
1
6
=
5√5−8
5
=
11.1
Temukan daerah daerah yang dibatasi oleh kurva yang diberikan.
1. y = 2x2 + 2x – 24; 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥; 𝑥 = 3; 𝑥 = 6
2. y = sinx; sumbu x; x=
𝜋
3
;x=1; x
2𝜋
3
3. y= 8𝑥 − 2𝑥2
; sumbu 𝑥; 𝑥 = 1; 𝑥 = 3
4. y= 𝑆𝑒𝑐2
𝑥; 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥; 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦; 𝑥 =
𝜋
4
5. y= √4𝑥 + 4;sumbu x; sumbu y; x=
𝜋
6
6. y= cos 𝑥;sumbu 𝑥;sumbu 𝑦; 𝑥 =
π
6

3. 0.530057 unit kotak.
masaalah Tentukan daerah wilayah yang dibatasi oleh grafik f(x) = x2+2 dan g(x)= 1 −
𝑥 antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 1.
solusi Fungsi f dan g kontinu pada [0, 1] . Misalnya, karena x ≥ 0, 𝑥2
+ 𝑥 + 1 > 0.
Demikian 𝑥2
+ 2 > 1 − 𝑥 dan f( 𝑥) ≥ 𝑔( 𝑥). Luas wilayah yang ditentukan adalah
∫ [(2𝑥3
− 𝑥) − (1 − 𝑥)]
2
1
𝑑𝑥 = ∫ [ 𝑥2
+ 𝑥 + 1] 𝑑𝑥 = [
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+ 𝑥]
1
0
= 〈
1
3
+
1
2
+ 1〉 =
11
6
unit kotak.
masalah Temukan daerah daerah yang dibatasi oleh grafik f( 𝑥) = 𝑥3
− 3𝑥 + 2 dan 𝑔( 𝑥) =
𝑥 + 2.
solusi Mempertimbangkan 𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥) = ( 𝑥3
− 3𝑥 + 2) –(x + 2) = x3
− 4𝑥 =
𝑥( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 2). Ketika −2 ≤ 𝑥 ≤ 0, kamu memiliki 𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥) ≥ 0 atau,
setara dengan, 𝑓( 𝑥) ≥ g( 𝑥);dan ketika 0≤ 𝑥 ≤ 2, kamu memiliki 𝑓( 𝑥) −
𝑔( 𝑥). Berdasarkan informasi ini, kamu tahu area yang dibutuhkan tertutup di dua
wilayah. Dengan demikian, daerah diberikan oleh jumlah dari dua integral yang
mengikutinya. Area = ∫ [( 𝑥3
− 3𝑥 + 2) − ( 𝑥 + 2)]
0
−2
𝑑𝑥 + ∫ [( 𝑥 + 2) −
2
0
( 𝑥3
− 3 𝑥
+ 2)] 𝑑𝑥 = ∫ ( 𝑥3
− 4𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ (4𝑥 − 𝑥3) 𝑑𝑥 = [
𝑥4
4
−
4𝑥2
2
] +
2
0
0
−2
[
4𝑥2
2
−
𝑥4
4
] = 4 + 4 = 8 unit kotak.
11.2
Temukan daerah daerah yang dibatasi oleh kurva yang diberikan.
1. 𝑓( 𝑥) = 4 − 𝑥2
dan sumbu 𝑥.
2. 𝑦 = 𝑥2
dan y=x+2.
3. 𝑦 = 𝑥2
dan 𝑦 = √ 𝑥.
4. 𝑦 = ( 𝑥 + 1)3
dan 𝑦 = 𝑥 + 1
5. 𝑦 = 𝑥3
+ 𝑥; 𝑦 = 0; 𝑥 = −1; 𝑥 = 1
6. 𝑦 = 2𝑥 + 3; 𝑦 = −𝑥 + 6; 𝑥 = 0; 𝑥 = 1
7. 𝑦 = 𝑒 𝑥
; 𝑦 = 𝑒; 𝑥 = 0
8. 𝑦 = 𝑥4
− 2𝑥3
− 𝑥2
+ 2𝑥 + 1; 𝑦 = 1; 𝑥 = −1; 𝑥 = 0
9. 𝑦 = 3 − 𝑥2
; 𝑦 = 1 − 𝑥; 𝑥 = −1; 𝑥 = 1
10. 𝑦 = 𝑥2
; 𝑦 = 1

4. Panjang Busur
Jika fungsi f memiliki turunan kontinyu pada [a, b], maka panjang busur kurva y=f(x)
antara titik (a, f (a)) dan titik (b, f (b)) � diberikan oleh rumus :
Panjang busur = L =∫ √1 + [ 𝑓`( 𝑥)]2𝑏
𝑎
𝑑𝑥.
Di sisi lain, jika x=h(y) dinyatakan sebagai fungsi y dan h` terus berlanjut pada
Interval [c, d], lalu L=∫ √1 + [ℎ`( 𝑦)]
2𝑑
𝑐
𝑑𝑦.
Masalah Tentukan panjang lengkung kurva𝑦 = 𝑓( 𝑥 = 𝑥2) dari titik (1, 1) sampai
Titik (8, 4).
solusi Panjang busur yang ditentukan= 𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑓`( 𝑥)]2𝑏
𝑎
𝑑𝑥 =
∫ √1 + 〈
2
3𝑥
1
3
〉28
1
𝑑𝑥 = ∫ √1 +
4
9𝑥
2
3
𝑑𝑥
8
1
= = ∫ √9𝑥
2
3+4
9𝑥
2
3
8
1
𝑑𝑥 =
1
3
∫
√
9𝑥
2
3+4
𝑥
1
3
8
1
d.
Sekarang jika Anda membuat substitusi Aplikasi integral pasti 𝑢 = 9𝑥
2
3 + 4
telah di integral berubah menjadi L=
1
18
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
1
18
[
2𝑢
3
2
3
]
40
=
1
27
40
13
〈40
3
2 −
13
3
2 〉 = 7.6. Integrasi yang lebih sederhana dapat dicapai dengan pemecahan
pertama x dalam hal y dan menggunakan rumus yang sesuai.
masalah Tentukan panjang busur𝑓( 𝑥) =
2
3
(1 + 𝑥2)
3
2 antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 3.
solusi
𝐿 = ∫ √1 + [ 𝑓`( 𝑥)]2𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ∫ √1 + [(1 + 𝑥2)
1
2 (2𝑥)]
2
3
0
𝑑𝑥 =
∫ √1 + 4𝑥2 + 4𝑥43
0
𝑑𝑥 = ∫ √(1 + 2𝑥2)23
0
dx=[𝑥 +
2𝑥3
3
]
0
3
=21.
masalah Tentukan panjang busur 𝑥2
= 1 − 𝑒 𝑦
antara 𝑥 = 0 dan 𝑥 =
1
2
.
solusi Pertama, pecahkan untuk y dalam hal x untuk mendapatkan y=ln (1−𝑥2
).
Kemudian terapkan rumusnya untuk mendapatkan L=
∫ √1 + [ 𝑓`( 𝑥)]2𝑏
𝑎
dx=∫ √1 + 〈
−2𝑥
1−𝑥2
〉2
1
2
0
𝑑𝑥 =
∫ √
𝑥4
+2𝑥2
+1
(1−𝑥2 )2
1
2
0
dx=∫ √
( 𝑥2
+1)2
(1−𝑥2)2
1
2
0
dx=∫
𝑥2
+1
1−𝑥2
1
2
0
𝑑𝑥 = ∫ 〈
2
1−𝑥2 − 1〉 𝑑𝑥 =
1
2
0
[ln |
𝑥+1
𝑥−1
| − 𝑥]
0
1
2
= ln3 −
1
2
.

5. 11.3
Carilah panjang lengkung kurva yang ditunjukkan pada interval yang diberikan.
1. 𝑦 =
𝑥2
2
antara x=−√3 dan x=0
2. 𝑦 = 4 −
4𝑥
9
antara potongan 𝑥 dan 𝑦
3. y=
( 𝑥2
+2)
3
2
3
di [0,3]
4. 6xy=𝑦4
+ 3 dari 𝑦 = 1 untuk 𝑦 = 2
5. y=
𝑥4
4
+
1
8𝑥2 di [1, 2]
6. y=
√𝑥(3𝑥−1)
3
di [1,4]
7. y=ln x untuk [1,√3]
8. y=
𝑥3
3
+
1
4𝑥
di [1,3]
9. 𝑦2
=
𝑥( 𝑥−3)2
9
panjang yang diinginkan ada di kuadran pertama di [1, 3]
10. 𝑦 = 2( 𝑥 − 1)
3
2 di [1,
17
9
]