Teks tersebut membahas tentang filter waktu diskrit dan beberapa metode desain filter digital. Metode-metode tersebut adalah: 1) menggunakan solusi numerik dari persamaan perbedaan, 2) desain analog kemudian dikonversi ke digital, 3) transformasi antar jenis filter digital, 4) desain impulse tidak berubah, dan 5) desain FIR filter. Metode transformasi bilinier digunakan untuk mengkonversi spesifikasi analog menjadi spesifikasi digital.

1. TKE-5205-BAB V
BAB V
Filter Waktu Diskrit
Filter waktu diskrit mengolah deret input waktu diskrit x(n) dan menghasilkan
output waktu diskrit y(n). Kelas khusus dari sistem linier waktu diskrit tidak
berubah oleh waktu (LTI) dapat dikarakteristikkan oleh respons sample unit h(n),
fungsi sistem H(z), atau realisasi persamaan perbedaan. Fungsi transfer dari
suatu persamaan perbedaan adalah:







N
k
k
k
M
k
k
k
za
zb
zH
0
0
)(
Jika sistem stabil BIBO, maka respons frekuensi diperoleh dengan menggantikan
nilai z pada persamaan di atas dengan ej.
Gambar 4.1 Simulasi Filter Analog
1

2. TKE-5205-BAB V
Download slide di http://rumah-belajar.org

3. TKE-5205-BAB V
Beberapa cara desain filter digital adalah:
1. Desain menggunakan solusi secara numeric dari persamaan perbedaan
(menggunakan transformasi bilinier)
2. Desain Analog menggunakan Filter Digital
3. Desain Filter Digital menggunakan Transformasi Digital-to-Digital
4. Desain Impulse Tidak berubah
5. Desain FIR Filter
4.1 Desain Filter Digital menggunakan Transformasi Bilinier
Spesifikasi desain filter digital yang perlu diperhatikan adalah (1) frekuensi-frekuensi
kritis (1, 2, 3,….) dan (2) magnitude (K1, K2, K3, …) pada frekuensi-frekuensi kritis
tersebut. Jika menggunakan filter analog sebagai protipe desain filter digital maka dapat
dilihat hubungannya sebagai frekuensi kritisnya berikut:
)2/ωtan(
2
i
'
T
i 
 2/tan2ω '1
i Ti 
2

4. TKE-5205-BAB V
     11 1/1/2
)()(  

zzTsa sHzH





 





 

11
112
zT
z
s
 
 2/1
2/1
sT
sT
z



dan hubungan fungsi transfernya adalah:
dimana:
Transformasi ini tidak akan mengubah persyaratan magnitude analog dan sama dengan
persyaratan digitalnya.
Karena T pada dan T pada transformasi bilinear pada desain low pass filter
dihilangkan, maka T = 1 pada kedua tempat. Lebih mudah dilihat jika dilihat dari
transformasi analog-to-analog pada frekuensi radian, dimana s s/ dan jika
menggunakan transformasi bilinear s2(1-z-1)/ [T(1+z-1)] maka transformasi
kaskadenya adalah:
 
 
 
    
 
   2/ωtan1
1
2/ωtan/21
12
1
12
1
1
`
1
'1
1
iii z
z
TzT
z
zT
z
s















'
i
'
i
'
i
3

5. TKE-5205-BAB V
Prosedurnya dapat dilihat pada gambar 4.2, yaitu:
Gambar 4.2 Prosedur desain filter digital menggunakan metode bilinier
Tahapan mendesain filter dengan transformasi bilinier.
Tahap 1. Ubah spesifikasi digital menjadi spesifikasi analog
Tahap 2. Desain filter analog dari hasil pengubahan nilai digital menjadi analog
Tahap 3. Gunakan transformasi bilinear.
Contoh:
Desain dan realisasikan filter low-pass digital menggunakan metode transformasi
bilinear untuk mendapatkan karakteristik: (a) monotonic stopband dan passband; (b)
frekuensi cut-off –3.01 dB pada 0.4 rad; (c) Penurunan magnitude pada 0.75 rad
minimal 15 dB.
4

6. TKE-5205-BAB V
Gambar 4.3 Frekuensi Respons yang diinginkan
Tahap 1.
2)2/ωtan(
2
i
'
1 
T
8282.4)2/ωtan(
2
i
'
2 
T
Tahap 2 Desain filter low-pass analog dengan frekuensi kritis dan
'
1 '
2
1
'
1 01.3)(log200 KdBjHa 
2
'
2 15)(log20 KdBjHa 
5

7. TKE-5205-BAB V
1
'
1 01.3)(log200 KdBjHa 
2
'
2 15)(log20 KdBjHa 
    
  






 


8282.4/2log2
110/110log
10
10/1510/01.3
10
n
  2110/000.2
4/110/01.3
 
c
=[1.9241] = 2
Filter Butterworth digunakan untuk memenuhi sifat monotonic, sedangkan orde n filter,
dan frekuensi kritis dengan diperoleh dengan cara sebagai berikut:
Untuk transformasi lowpass-to-lowpasss, sesuai tabel butterworth pada bab 3. maka
diperoleh:
422
4
122
1
)(
22/2



 
ssss
sH ssa
Tahap 3. Gunakan trnsformasi bilinear (T=1).
4
)1(
)1(2
22
)1(
)1(2
4
122
1
)(
1
12
1
1)]1/()1(2[2 11




























 
z
z
z
zss
zH
zzs
6

8. TKE-5205-BAB V
1
21
5857876.04142135.3
21
)( 




z
zz
zH
sedangkan y(n) dapat diperoleh dengan cara: H(z)=Y(z)/X(z), dan dicari Invers
Transformasi Z-nya.
4.2 Desain Analog menggunakan Filter Digital
Diberikan syarat-syarat filter analog yaitu: 1, 2,… N dan magnitude frekuensi respons
dalam decibel pada frekuensi-frekuensi tersebut. Kecepatan sampling 1/T dari konverter
A/D akan ditentukan atau dapat dicari dari sinyal input. Prosedurnya:
Gambar 4.4 Ilustrasi konsep prosedur desain filter analog yang menggunakan struktur
A/D-H(z)-D/A
7

9. TKE-5205-BAB V
input untuk ekivalen filter analog:
xa(t)=sin ct
Output konverter A/D dengan kecepatan sampling 1/T adalah:
x(n)=xa(nT) = sin (cT.n) = sin in
Jadi magnitude sinyal sinus waktu diskrit sama dengan sinusoida waktu kontinyu apabila
k diberikan dalam bentuk frekuensi analog i sbb:
I = iT
Contoh:
Desain filter digital H(z) yang digunakan pada struktur A/D-H(z)-D/A, dengan
spesifikasi analog ekivalennya: (a) cutoff –3.01 dB pada frekuensi 500 Hz, (b) Stop dan
passband monotonic, (c) Magnitude respons frekuensi berkurang minimal 15 dB pada
750 Hz, (d) Kecepatan sample-nya 2000 sample/detik.
8

10. TKE-5205-BAB V
Spesifikasi analog:
1=2pf1 = 2p.500  p. 103 rad/detik K1= -3.01 dB
2=2pf2 = 2p.750  1.5p. 103 rad/detik K2= -15 dB
Dan Spesifikasi Digitalnya:
1 = iT = p. 103 1/2000  0.5p rad/det K1= -3.01 dB
2 = 2T = 1.5 p.103 1/2000 0.75p. rad/detik K2= -15 dB
Prosedur selanjutnya adalah mendesain filter digital H(z) sesuai dengan spesifikasi
digitalnya.
4.3 Desain Filter Digital menggunakan Transformasi Digital-to-Digital
Sama halnya dengan mendesain filter analog, yaitu transformasi dari digital
low pass filter yang diubah menjadi bandpass filter, highpass, bandstop, atau
low-pass filter dalam bentuk lain.
9

11. TKE-5205-BAB V
4.4 Desain Filter FIR
Pada bagian sebelumnya, filter digital didesain untuk memberikan magnitude
respons frekuensi tanpa memperhatikan respons fasanya. Pada beberapa kasus
karakteristik fasa linier diperlukan pada passband suatu filter untuk menjaga
bentuk sinyal pada daerah passband.
Teorema: Jika h(n) merupakan representasi dari respons impuls sistem waktu
diskrit, kondisi fasa linier yang perlu dan cukup bahwa h(n) mempunyai N finit
durasi, dan simetris pada titik tengahnya.
Pada filter FIR kausal dimana respons impulsenya dimulai pada 0 dan berakhir
pada N-1, h(n) harus memenuhi syarat:
h(n) = h(N - 1- n) n = 0, …, N-1 4.8
Untuk kondisi ini bentuk umum h(n) yang memberikan fasa linier baik untuk N
genap maupun N ganjil adalah seperti gambar berikut.
10

12. TKE-5205-BAB V
Gambar 4.5 Bentuk umum respons impuls h(n) yang memberikan fasa linier untuk N
genap dan ganjil
Jika h(n) sesuai dengan teori di atas, maka H(ejw) adalah fasa linier. Untuk kasus ini
apabilan N genap:
 





n
N
n
njnjej
enhenheH
1
0
)()()( 
 





12/
0
1
2/
)()()(
N
n
N
Nn
njnjej
enhenheH 
Dapat dipecah menjadi 2 bagian:
11

13. TKE-5205-BAB V
  

 

12/
0
0
12/
)1(
)1()(
N
n Nm
mNjnj
emNhenh 
 





12/
0
12/
0
)1(
)()()(
N
n
N
m
mNjnjej
emhenheH 






12/
0
)]
2
1
(ω[
]}
2
1
[ωcos{)(2)(
N
n
N
ej N
nenheH 







 12/
0
)]
2
1
(ω[ ]}
2
1
[ωcos{)(2
)(
N
n
N
ej
N
nnh
eeH  N genap 4.9
fasa liner magnitude
Misalkan m = N-1-n pada penjumlahan kedua:
dan h(N-1-m) =h(m) menjadi:
jika gabungkan menjadi:
dengan memfaktorkan maka H(ejw) dapat dibagi menjadi 2 bagian:
12

14. TKE-5205-BAB V
Oleh sebab itu, apabila bernilai positif, maka H(ejw) mempunyai fasa linier
dengan slopenya: -(N-1)/2.
Untuk N ganjil:
 













 




 2/3
0
)]
2
1
(ω[
]}
2
1
[ωcos{)(2
2
1
)(
N
n
N
ej N
nnh
N
heeH 
Pada N genap, slope –(N-1)/2 menyebabkan delay pada output (N-1)/2 yang
merupakan sample integer, sedangkan pada N genap menyebabkan delay tidak
integer. Noninteger delay dapat menyebab nilai deret berubah, dimana dalam
beberapa kasus perubahan ini tidak diinginkan.
Dapat dilihat dari teori bahwa fasa linier lebih mudah diselesaikan jika respons
impuls dibentuk simetris.
13

15. TKE-5205-BAB V
4.4.1 Desain FIR menggunakan Windows
Cara mudah membuat filter FIR adalah dengan memotong respons impuls filter
IIR. Apabila hd(n) adalah respons impuls suatu filter IIR, maka filter FIR dengan
h(n) dpt diperoleh sebagai berikut:


 
lainnuntuk
NnNnh
nh d
0
)(
)( 21
Secara umum h(n) dapat dibentuk dengan mengalikan hd(n) dan ‘fungsi
window’, w(n), sebagai berikut:
h(n) = hd(n) . w(n) 4.12
Dengan Tranformasi fourier:
4.11
)((*)())(()(
2
1
)( p
pp
 jeHWjeHjeWjedHjeH 

14

16. TKE-5205-BAB V
Contoh dengan rectangular window
Gambar 4.6 Respons frekuensi yang dihasilkan dengan menambahkan rectangular
window pada respons impuls lowpass ideal
Beberapa window yang digunakan adalah window rectangular, Bartlett,
Hanning, Hamming, Blackman, dan Keiser, dan didefinisikan secara
matematis sebagai berikut:
15

17. TKE-5205-BAB V
16

18. TKE-5205-BAB V
 π2
0
θcos
0 θ/2)( pdexI x
dimana I0(x) fungsi Bessel orde 0 yang telah dimodifikasi yang diperoleh dari
Prosedur Desain:
Filter low-pass ideal dengan slope fasa linier - dan c cutoff mempunyai
karakterisktik pada domain frekuensi:






p


c
c
j
j
d
e
eH
,0
,
)(
 
)(
)(sin
)(
pp




n
nh c
d
Respons Impulsnya dapat dihitung menggunakan Inverse Transformasi Fourier,
dan diperoleh:
17

19. TKE-5205-BAB V
Filter FIR kausal fasa linier dengan respons impuls h(n) dapat diperoleh
dengan cara mengalikan hd(n) dengan window yang dimulai pada origin
dan berakhir pada N-1, yaitu sebagai berikut:
  )(
)(
)(sin
)( nw
n
nh c
pp




Agar h(n) filter fasa linier maka  dipilih sehingga hasil h(n) simetris. Sin
[c(n-)]/(n-) simetris pada n =  dan window simetris pada n =(N-1)/2
adalah hasil filter fasa linier jika perkaliannya simetris. Syaratnya adalah:
 = (N-1)/2
18

20. TKE-5205-BAB V
Beberapa sifat window:
1. Gain Stopband untuk filter low-pass didesain secara relatif tidak dapat
dilihat pada panjang window dan pemilihan nilai c tergantung pada tipe
window.
2. Lebar transisi filter lowpass yang didesain dapat dikatakan sama dengan
main lobe window yang digunakan.
19

21. TKE-5205-BAB V
Download slide di http://rumah-belajar.org