Bab2 1 model matematis sistem dinamis

Bab 2: Model Matematis Sistem Dinamis EL303 Sistem Kendali
_____________________________________________________________________________

MODEL MATEMATIS
SISTEM DINAMIS

 PENDAHULUAN

 KLASIFIKASI SISTEM

 MODEL MATEMATIS SISTEM FISIS

 PEMODELAN STATE SPACE

Teknik Elektro ITB [EYS- 98] hal 1 dari 28
_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

PENDAHULUAN

 Untuk analisis dan desain sistem kendali, sistem fisis harus
dibuat model fisisnya.

 Model fisis harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis
sistem tsb secara memadai.

 Model matematis diturunkan dari hukum-hukum fisis sistem
ybs.
- Dinamika sistem mekanis dimodelkan dengan hukum-hukum
Newton.
- Dinamika sistem elektrik dimodelkan dengan hukum-hukum
Kirchoff, Ohm.

 Model matematis suatu sistem: kumpulan persamaan yang
menggambarkan dinamika suatu sistem secara memadai.

 Model matematis dapat meningkat akurasinya dengan
memodelkan secara lebih lengkap, bila diperlukan dalam
analisis yang teliti.

 Perlu kompromi antara kesederhanaan model dengan akurasi
hasil analisis.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 Kesederhanaan model dicapai dengan memperhatikan faktor-
faktor penting saja dalam pemodelan.

- Pemodelan dengan persamaan differential (bukan parsial),
akan menghilangkan sifat-sifat nonlinear tertentu dan
parameter-parameter terdistribusi yang mungkin ada pada
sistem.
- Pemodelan suatu komponen pada frekuensi rendah tidak
dapat digunakan pada frekuensi tinggi.

 Suatu sistem yang memiliki model matematis sama tidak selalu
menggambarkan model fisis yang sama (Misal: analogi sistem
mekanis dengan sistem elektrik).

 Dua pendekatan analisis :
- Fungsi Alih (Tradisional, untuk sistem SISO)
- State Space (Modern, untuk sistem modern, misal MIMO)

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

KLASIFIKASI SISTEM

- LINEAR VS NONLINEAR

- TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME

- DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- LUMPED- VS DISTRIBUTED - PARAMETERS

- TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

- LINEAR VS NON-LINEAR

- Sistem fisis umumnya bersifat nonlinear dalam tingkat
tertentu.

- Untuk daerah kerja yang kecil, sistem nonlinear dapat
dianggap linear (piece-wise linearisation)

Daerah linear

- Sistem linear : berlaku hukum superposisi:
- respons suatu sistem terhadap beberapa input berbeda
merupakan kombinasi respons masing-masing input.

- Pengujian kelinearan suatu sistem melalui input sinusoidal.

- Dalam beberapa hal elemen-elemen nonlinear sengaja
disertakan dalam sistem kendali untuk optimasi unjuk kerja.
- Relay on-off dipakai pada sistem kontrol optimal waktu,
sistem kendali pesawat dan sistem peluru kendali.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

TIME-INVARIANT VS TIME-VARYING

- Sistem time-invariant memiliki parameter-parameter yang
konstan, tak tergantung waktu.

- Respons nya tak tergantung pada saat kapan input diberikan.

- Sistem time-varying memiliki satu atau lebih parameter yang
berubah terhadap waktu.

- Respons nya tergantung pada waktu diberikan input.

- Contoh Sistem Kendali Time-varying:
Sistem kendali pesawat ruang angkasa : bobotnya berkurang
akibat konsumsi bahan bakar.

CONTINUOUS-TIME VS DISCRETE-TIME
- Sistem kontinyu waktu : memiliki semua variabel / sinyal
yang kontinyu terhadap waktu.

- Sistem diskrit waktu : memiliki satu atau lebih variabel /
sinyal yang diskrit terhadap waktu.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

DETERMINISTIC VS STOCHASTIC

- Sistem deterministik memiliki respons terhadap suatu input
yang dapat ditebak dan berulang / konsisten.

- Sistem stokastik: respons terhadap input yang sama tidak
selalu menghasilkan output yang sama.

LUMPED- VS DISTRIBUTED – PARAMETERS

- Pemodelan komponen yang sederhana bila dapat dianggap
bahwa parameter-parameter komponen tsb dapat dimodelkan
secara terkumpul disatu titik.

- Dicirikan dengan persamaan differensial biasa.

- Pemodelan parameter terdistribusi lebih tepat digunakan,
misalnya pada sistem transmisi.

- Dicirikan dengan persamaan differensial parsial.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

TRANSFER FUNCTION VS STATE SPACE

- Analisis sistem sederhana, SISO yang bersifat linear,
kontinyu, time-invariant, lumped-parameters, deterministik,
dapat dilakukan melalui pendekatan tradisional (fungsi alih)
yang merupakan domain frekuensi kompleks. Alat bantu
analisis dan perancangan dapat berupa Root Locus (domain
waktu), Bode Plot atau Nyquist (domain frekuensi).

- Untuk sistem modern yang kompleks dan berakurasi tinggi
(ditandai dengan MIMO, non-linear, time-varying, optimal,
robust) harus digunakan pendekatan state space yang bersifat
domain waktu.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)

L R Hukum Fisis : Kirchoff
Persamaan dinamis sistem
c / Persamaan differensial
ei eo
di 1
 Ri   idt  ei
i
L
dt c
1
c
idt  eo

Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)

1
sLI ( s)  RI ( s)  I ( s)  Ei ( s)
Cs

1 I (s)
I ( s )  Eo ( s )   sEo ( s)
sC C
I (s)
s 2 LI ( s )  RsI ( s )   sEi ( s )
c

Fungsi alih :

I (s)
Eo ( s ) C 1
 
E i (s)  2 1 LCs 2  RCs  1
 s L  Rs   I ( s)
 C

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)

R L1

e(t) C+
- L2 e0(t)
i1(t) i2(t)

di1
e(t )  Ri1  L1  e0 (1)
dt
di2
e0  L2 ( 2)
dt

ic  i1 (t )  i2 (t )
d (t )
ic  C e 0
dt
 i1  i2  C
de0
dt
(3)

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Transformasi Laplace :
E0 ( s)
E0 ( s)  sL2 I 2 ( s) (2)  I 2 ( s)  ( 2)
sL2
I1 ( s)  I 2 ( s)  sC E0 ( s) (3)
E ( s)   R  sL1  I1 ( s)  E0 ( s) (1)
E ( s)  E0 ( s)
I1 ( s)  (1)
R  sL1
(1) & (2)  (3)

E ( s)  E0 ( s) E0 ( s)
  sC E0 ( s)
R  sL1 sL2

SL2 E ( s)  sL2 E0 ( s)   R  sL1  E0 ( s)
 sC E0 ( s)
 R  sL sL 
1 2

   
sL 2 E  s  R  s L1  L2  E0  s   R  sL1  s2 L2 C E0 ( s)

sL E ( s)   s L C R  sL   s L  L   R E ( s)
2
2
2 1 1 2 0

E0 ( s) sL2
 2
E ( s) s L2 C R  sL1   s L1  L2   R

sL2

s3 L1 L2 C  s2 L2 CR  s L1  L2   R

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________


i2 R2 Op Amp ideal :
Zin = ~
R1 Sehingga i0 = 0
-
ei i1 ex i0
+ eo ex ~0virtual ground,
sehingga
i 1  i 2

Persamaan Rangkaian:

ei  ex ex  eo e e
  i  o
R1 R2 R1 R2

Diperoleh:

R2
eo   e:
R1

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

i2 c i1  i2  i3
ei  e x ei
i3 R2
i1  ~
R1 Ri
R1
- d (e x  eo )
i1 ex
+
i2  C
ei eo
dt
 de o
~C
dt
e e e
i3  x o ~ o
R2 R2

ei deo eo
 C 
R1 dt R2

Ei ( s ) E ( s)
  sCEo ( s )  o
R1 R2
sehingga
Eo ( s ) R  1
  2 
 R  R Cs  1
Ei ( s )  1 2

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Model Matematis untuk Sistem Mekanis:
Translasi(1)
u input pada t < 0 : sistem tak bergerak
pada t = 0 gerobak di gerakan
y output dengan
kecepatan konstan
k
m
du
b  kons tan
dt

y = output relatif terhadap
ground

d2y  dy du 
m 2  b    k  y  u   0
dt  dt dt 
d2y dy du
m 2  b  ky  b  ku
dt dt dt

Laplace :

ms 2

 bs  k Y ( s)  bs  k U ( s)
Y ( s) bs  k

U ( s) ms 2  bs  k

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2)

x

k
m gaya luar f
b

Hukum Newton kedua : M = massa, (kg)
ma   F A = percepatan, m / s2
F = gaya, N
d2x dx
m  b  kx  f
d 2 dt

Laplace :

ms2 X ( s)  bs X ( s)  kX ( s)  F ( s)

Diperoleh Fungsi Alih:
X ( s) 1
 2
F ( s) ms  bs  k

Ambil :
f = (t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1

1 1
X ( s)  
s2  2 s  1 ( s  1)( s  1)
_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi

J   T

J = momen inersia beban kg m2
 = percepatan sudut beban rad / s2
T = torsi yang diberikan pada sistem Nm

J
T w

b

d 2 d
J 2 b T
dt dt  = kecepatan sudut rad / s
atau :  = simpangan sudut (rad)

d
J  b  T
dt

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Model Matematis untuk Generator DC :
Rf Rg Lg

ef eg ea zL
Lf
ia
if
if = arus medan n ia = arus jangkar
 Kecepatan konstan n
 Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if

eg  k1  n  
  k2  i f
 eg  k g  i f (1)

Konstanta generator

KVL pada kiri/input :

dif
e f : R f i f  L f
(1) ( 2)
dt
eg
if  (3)
kg
Substitusi (3) - (2):

eg L f deg
ef  Rf 
kg k g dt

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Dalam Laplace:

E f ( s) 
1
kg
 
R f  sL f E g ( s )

FungsiAlih :
E g (s) kg

E f ( s ) R f  sL f

KVL pada loop kanan/ouput
d ia
 ea  eg  ia Rg  Lg ;
dt
ea  ia  z L

Atau:
ea
ia 
zL

Substitusi :

ea Lg dea
 ea   e g  R g 
zL z L dt
 Rg Lg dea 
e g  eat  ea  
 zL z L dt 
 Rg sLg 
E g ( s )  1    Ea ( s)
 z L ( s) z L (s) 

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

 z L ( s) 
  E ( s)
 z L ( s)  a

Diperoleh:

Ea ( s) z L ( s)

E g ( s) z L ( s)  Rg  Lg s

Sehingga :

Ea ( s) E g ( s) Ea ( s)
 x
E f ( s) E f ( s) E g ( s)
Rg z L ( s)
 x
R  sLf z L ( s)  Rg  sLg

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Model Matematis untuk Motor DC dengan
Pengontrolan Arus Jangkar

rangkaian jangkar
Rm Lm

ea em   o(t) simpangan sudut
ia

J inersia
ia = arus jangkar Lf
B= damping
If

Ef = konstan
if = arus medan

em = tegangan terinduksi

em  k1    n n= kecepatan rotasi (putaran)motor

  k2  i f  = konstan
If = konstan

sehingga
do
em  ke  n  ke ke = konstanta tegangan motor
dt

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Persamaan rangkaian :

dia
ea  Rm ia  Lm  em
dt
d d
ea  Rm ia  Lm ia  k e o
dt dt
Ea ( s)   Rm  sLm  I a ( s)  k e so ( s)

Persamaan Beban

Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi  (yang
dalam hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar ia

T = k T . ia
KT = konstansta torsi motor

d 2o d
T  J 2 B
dt dt
atau :

kT I a (s)  Js 2  Bs o (s) 
sehingga :

 o ( s) kT

Ea s  J Lm s 2  Rm J  Lm B s 2  Rm B  k e kT s

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Dengan definisi :

Lm
Ta   Konstanta waktu jangkar
Rm

J Rm Konstanta waktu motor
Tm  
ke kT

Rm B
   Faktor redaman
ke kT

Diperoleh:

 s s  kT


Ea s  s TaTm s 2  Tm   Ta s    1 

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Pengontrolan Arus Jangkar :
back emf volt
Ra La
 simpangan sudut pores motor rad
ea eb  J
ia
moren
b = kref gesekan motor + beban
ia = arus jangkar inersia Nm / rad/s
motor + beban
if konstan kg m2
arus medan

torsi yang dihasilkan motor, Nm

Fluksi oleh arus medan :

  k f i f   untuk if konstan
Konstan

Torsi T :

T  ki ia   ki  ia  k f  i f  k  ia
k = konstanta motor - torsi

Tegangan Back EMF:

Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) &
kecepatan sudut putaran poros motor.

d
eb  kb 
dt

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Persamaan input :

dia
La  Ra ia eb  ea
dt
Persamaan output :

d 2 d
T  k  ia  J 2  b
dt dt

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Model Matematis untuk Sistem Generator-Motor
Ward-Leonard
Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar

Konfigurasi dasar :

Rf Rg Lg Rm Lm

ef Lf eg em
if ia o
n J
generator dc If
B
Ef
servo motor

Fungsi alih :

E g  s kg

E f  s R f  sL f

Persamaan Loop kanan :

d
  
eg  Rg  Rm ia  Lg  Lm  din
dt
 ke o
dt
E ( s)   R  R   s L  L I ( s)  k s ( s)
g g m g m a e o

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Persamaan Beban :

d 2 o d
T J B o
d 2 dt
 
kT  I a ( s )  Js 2  Bs o ( s )

I (s) 
Js 2
 Bs 
o ( s)
a
kT
atau :

  
ea  eg  Rm  Rm  Rg ; Lm  Lm  Lg , sehingga 
 o ( s) kT

 g m  
g m g   m g  
E g ( s) s J L  L s2  R  R J  L  L B s  R  R B  k k
m e T  
sehingga :

 o  s  o ( s) E g ( s)
 x
e f ( s) E g ( s) E f ( s)

= ……………………..

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Pengontrolan Arus Medan

Rf Ia = arus jangkar konstan

ef Lf Ea
if
if = arus medan  o(t)
J
B

Torsi yang dihasilkan motor :
T ~ a  kons tan
~ if
sehingga
T = kT . if
Pers beban :
d 2o do
T  J 2 B
dt dt
J d 2o do
if  B
kT dt 2 dt

Pers loop kiri / input :

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

di f
e f  i f Rf  Lf
dt
Diperoleh:

 o ( s) kT R f  B
 
E f ( s) s1  T f s 1  Tm s 

Lf
Tf   Konstanta waktu rangkaian
Rf medan
J
Tm   Konstanta waktu motor
B

_____________________________________________________________________________

Bab2 1 model matematis sistem dinamis

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Bab2 1 model matematis sistem dinamis

More from Rumah Belajar

Bab2 1 model matematis sistem dinamis