Teleskopik

1. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
LATIHAN SOAL 8- TELESKOPIK
1. (HSMC-USC, 2011) Misalkan . / . / . / . Tentukan nilai dari
Solusi:
Karena
( )( )
, kita memperoleh
( ) ( ) ( )
Jadi,
2. (HSCM-USC, 2010) Berapakah nilai dari
Solusi:
Jika k bilangan bulat positif, maka
( ) ( ) ( ) ( )
Sehingga
( ) ( ) ( )
3. (HSMC-USC, 2007) Berapakah nilai dari
Solusi:
Perhatikan bahwa
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Sehingga, permasalahan ini adalah bentuk teleskopik:

2. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
( ) ( ) ( )
4. (HSMC-USC, 2003) Berapakah nilai dari
( ) ( ) ( ) ( )
Solusi:
Karena
( )( )
Sehingga
( ) ( ) ( ) ( )
5. Tentukan hasil dari
√ √ √ √ √
Solusi:
Perhatikan bahwa:
√ √
Sehingga
√ √ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √
6. Untuk bilangan real dirumuskan suatu fungsi
( )
Maka tentukan hasil dari
∑ ( )

3. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
Solusi:
Perhatikan bahwa
( ) ( )
Sehingga:
∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(⏟ ) ( )
7. Nilai dari
Solusi:
Perhatikan bahwa
( )
Sehingga
( ) ( ) ( )
8. Tentukan nilai dari
Solusi:
Perhatikan bahwa:
( ) ( )
( )
Sehingga:

4. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
( ) ( ) ( )
( )
9. Segitiga harmonik (Variasi dari Segitiga Pascal) mempunyai sifat-sifat berikut:
i) Baris ke-n mempunyai n elemen/entri, elemen pertama dan terakhir adalah 1/n.
ii) Tiap-tiap elemen adalah jumlah dari dua elemen dibawahnya langsung (pada
baris sesudahnya).
Beberapa baris segitiga harmonic disajikan dalam gambar berikut:
Semua jumlah dari elemen/entri segitiga harmonik adalah ∑ adalah divergen.
Tentukan jumlah semua elemen/suku pada daerah yang diarsir.
Solusi:
Jumlah dari diagonal pertama dari daerah yang diarsir adalah suatu deret teleskopik,
( ) ( ) ( )
Dengan cara yang sama, maka diagonal berikutnya jumlahnya adalah berikutnya ,
dst. Sehingga
( ) ( ) ( )
10. (HSMC-USC, 2014) Barisan bilangan * + didefinisikan sebagai ( )√ √
dimana n bilangan bulat positif. Jumlah n suku pertama barisan * + didefinisikan
sebagai ∑ . Berapa banyak suku-suku dalam barisan yang
merupakan bilangan rasional?
NB:
√
irrasional
Solusi:
Dari

5. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
√ ( )(√ √ )
√ √
√ ( ) √ √
Kita mempunyai
∑ ∑ (
√ √
)
√
Sehingga, rasional jika dan hanya jika bentuk kuadrat sempurna.
Karena √ , kita juga mempunyai
Jadi, diantara ada 43 suku rasional.
11. (HSMC-USC, 2000) Pertidaksamaan berikut berlaku untuk semua bilangan bulat positif
n:
√ √
√
√ √
Berapa nilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari
∑
√
Solusi:
Dari pertidaksamaan
√ √
√
√ √
Hal ini mengakibatkan:
∑
√
∑(√ √ )
(√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √
dan
∑
√
∑(√ √ )
(√ √ ) (√ √ ) (√ √ ) √
Jadi, bilangan bulat terbesar yang kurang dari

6. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
∑
√
adalah 4.
LATIHAN SOAL 7.A
1. Misalkan sehingga
( )
( ) ( )
untuk setiap . Buktikan bahwa fungsi konstan.
Solusi:
Subtitusikan , maka . / ( ) ( )
Subtitusikan , maka ( ) ( ) ( )
Dari (1) dan (2), maka . / ( )
Misalkan , maka . / ( ) ( ) . / ( )
Perhatikan bahwa
( ) . / . /
( ) ( )
Jelas bahwa ( ) ( ) .
Hal ini menunjukkan bahwa suatu fungsi konstan.
Jadi, terbukti bahwa fungsi konstan.
2. Misalkan adalah bilangan real bukan nol yang berbeda sehingga
Buktikan bahwa ( )
Solusi:
Perhatikan bahwa dari bentuk maka kita peroleh
Dengan cara yang sama maka kita peroleh
dan
Kalikan ketiga ketaksamaan di atas, maka kita mempunyai
( )( )( )
( )( )( )

7. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
Karena adalah bilangan real bukan nol yang berbeda maka
Jadi, terbukti bahwa ( )
3. Jika ( ) ( ) merupakan faktor dari sukubanyak
( )
dengan tidak sama dengan nol maupun satu. Buktikan bahwa
Solusi:
Perhatikan bahwa karena ( ) ( ) merupakan faktor dari sukubanyak
( ), maka menurut teorema faktor maka kita peroleh berturut-turut . /
( ) .
Dari dua kondisi terakhir, maka kita peroleh:
1.
2.
Dua bentuk ini berturut-turut ekuivalen dengan
dan
.
Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, maka kita peroleh
( ) ( )( ) ( )( )
( ), ( ) ( )-
Karena p tidak sama dengan 1, maka jelas bahwa
( ) ( )
( )
Jadi, terbukti bahwa nilai dari sama dengan – 1 .
4. Misalkan √ √ √ dan

8. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
√ √ √ √ √ √
Buktikan bahwa
Solusi:
Misalkan √ √
Maka kita peroleh bahwa
√ √(√ √ ) dan
√ √(√ √ )
Perhatikan bahwa
√ √ √ dan √ √ √
Sehingga dari bentuk di atas maka jelas bahwa
Jadi terbukti bahwa
5. Jika memenuhi persamaan
( ) ( )
buktikan bahwa ( ) ( )
Solusi:
Perhatikan bahwa
( ) ( )
Dari bentuk terakhir ini, kuadratkan kedua ruas, maka kita peroleh
( ) ( )
Dari bentuk terakhir, kita kelompokan dalam bentuk
( ) ( )
( ) ( )
Jadi, terbukti bahwa ( ) ( )

9. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
LATIHAN SOAL 7.B
1. (COMC, 2001) Misalkan ( ) dengan p, q, dan r bilangan
bulat. Buktikan bahwa jika ( ) dan ( )keduanya ganjil maka tidak mungkin
ketiga akar persamaan ( ) semuanya bilangan bulat.
Solusi:
Andaikan ketiga akar dari persamaan ( ) semuanya bilangan bulat, katakan
akar-akar tersebut Maka kita peroleh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Karena ( ) ganjil maka jelas ganjil.
Karena maka k, l, m jelas juga semuanya ganjil.
Perhatikan bahwa
( ) ( )( )( )
Karena k ganjil, maka ( ) genap. Hal ini mengakibatkan bahwa ruas kanan
genap. Ini kontradiksi dengan ( ) ganjil.
Jadi, terbukti bahwa jika ( ) dan ( )keduanya ganjil maka tidak mungkin
ketiga akar persamaan ( ) semuanya bilangan bulat.
2. (JMM, No 11/2009) Buktikan bahwa system persamaan
√
tidak memiliki solusi real taknol ( )
Solusi:
Andaikan persamaan yang diketahui mempunyai solusi real tak-nol ( )
Misalkan
Persamaan pertama ekuivalen dengan
( ) ( ) ( )
Persamaan kedua ekuivalen dengan
( ) ( )
( ) .
Karena maka jelas bahwa
Menurut AM-GM, maka kita mempunyai:

10. January 17, 2016 [DIDIK SADIANTO, M.PD.]
Pembahasan Materi Pembinaan OSN 2016 |
√
Perhatikan bahwa:
( )
( )
√
Sehingga ( ) √ ( √ )
Karena jelas dari persamaan yang diketahui pada soal bahwa
Sehingga, √ √
Karena maka kita mempunyai:
Sehingga
Padahal kita mempunyai sehingga haruslah
Hal ini kontradiksi dengan apa yang kita dapat pada bagain terdahulu.
Jadi, terbukti bahwa system persamaan disoal tidak mempunyai solusi real tak-
nol.
3. Diberikan adalah bilangan real serta dan mempunyai tanda
yang sama. Tunjukkan bahwa persamaan kedua akarnya tidak
mungkin terletak pada interval ( )
Solusi:
Jelas bahwa
Karena mempunyai tanda yang sama maka
Misalkan bahwa adalah akar-akar persamaan maka
( )
Sehingga kita mempunyai:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
Andaikan akar-akar persamaan pada soal , terletak pada interval ( )
Maka
( )( ) ( )( ) masing-masing bernilai negatif, sehingga
( )( ) ( )( ) . Hal ini kontradiksi dengan (*)
Jadi, terbukti bahwa persamaan kedua akarnya tidak mungkin
terletak pada interval ( )