Buku osn 2015-didik

Langkah Emas
Menuju Sukses
OSN Matematika
BIDANG ALJABAR & TEORI BILANGAN
2015
Buku-OSN-Didik Sadianto
SMA Darul Ulum 2 Jombang,
Jawa Timur
DidikSadianto,M.Pd.
Edisi Buku Siswa

LANGKAH EMAS MENUJU SUKSES OSN MATEMATIKA
BIDANG ALJABAR & TEORI BILANGAN (Edisi Buku Siswa)
PEMBINAAN KHUSUS OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA
(CALON PESERTA SELEKSI OSN 2016)
DISUSUN OLEH
DIDIK SADIANTO, M.Pd.
Telp. 0321-865265, Website:http://www.smulandu2-jbg.sch.id
Tahun 2015

ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah Penulis ucapkan kepada Allah, SWT karena dengan karunia-Nya Penulis
dapat menyelesaikan penulisan buku ini. Buku ini Penulis tulis dalam rangka mempermudah tugas
dalam mempersiapkan siswa-siswa SMA Darul Ulum 2 Unggulan BPPT CIS ID 113 Jombang
menghadapi olimpiade matematika pada tahap-tahap awal, yakni OSK dan OSP 2016. Buku ini
merupakan hasil revisi 03 dari buku edisi 2012 (merupakan edisi buku pegangan siswa).
Penulis menyarankan sebagai bahan penunjang untuk materi dalam buku ini, Pembina
Olimpiade di sekolah dapat menyampaikan materi tentang pembuktian langsung maupun tidak
langsung serta Strategi Penyelesaian Masalah (Problem Solving Strategies) yang dapat dipelajari
dari beberapa buku yang ada seperti Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika karya
Wono Setya Budhi, Problem-Solving Strategies karya Arthur Engel maupun Problem-Solving
Through Problems karya Loren C. Larson dan mengujungi blog Pak Eddy Hermanto yang berisi
Soal & Solusi OSN Matematika Mulai Tahun 2002 (www.baktiolimpiade.wordpress.com).
Ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian
buku ini, khususnya kepada isteri tercinta Penulis, Rahayu Lestari, S.Pd., yang telah memberi
dukungan yang besar kepada Penulis serta juga telah melahirkan puteri pertama kami, Qonitah
Ayu Nabilah Nuruljannah pada 23 Nopember 2010.
Penulis juga berharap semoga, buku ini dapat menjadi salah satu panduan belajar TIM
OSN 2016 SMA Darul Ulum 2 Unggulan BPPT CIS ID 113 Jombang dan juga memberi manfaat
kepada semua TIM Pembinaan Matematika. Pada akhirnya bisa mewakili Sekolah, Pondok
Pesantren Darul Ulum, Kab. Jombang, Propinsi JATIM di level OSN Matematika Tahun 2016.
Amin…Amin.
Penulis merasa bahwa buku ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu Penulis
mengharapkan saran dan kritik dari Pembaca yang budiman sebagai bahan perbaikan buku ini.
Akhir kata semoga buku ini dapat bermanfaat yang sebesar-besarnya bagi Pembaca
sekalian.
Jombang, 28 Oktober 2015
DIDIK SADIANTO, M.Pd.
(didiksadianto.UTS2MAT@gmail.com)
(http://www.osn-matematika.blogspot.com)

iii
DAFTAR ISI
Cover ……………………………………………………………. i
Kata Pengantar ……………………………………………………………. ii
Daftar Isi ……………………………………………………………. iii
BAB I ALJABAR
1 Identitas Aljabar ……………………………………………………………. 1
2 Ketaksamaan ……………………………………………………………. 8
3 Nilai Mutlak ……………………………………………………………. 17
4 Polinomial/Suku Banyak ……………………………………………………………. 26
5 Fungsi ……………………………………………………………. 36
6 Persamaan & Sistem
Persamaan
……………………………………………………………. 45
7 Barisan & Deret ……………………………………………………………. 68
8 Prinsip Teleskopik ……………………………………………………………. 72
9 Metode Pembuktian dalam
Aljabar
……………………………………………………………. 75
BAB II TEORI BILANGAN
1 Keterbagian ……………………………………………………………. 80
2 Bilangan Prima & Teorema
Dasar Aritmatika
……………………………………………………………. 86
3 FPB & KPK ……………………………………………………………. 92
4 Bilangan Kuadrat Sempurna &
Kubik Sempurna
……………………………………………………………. 97
5 Modulo ……………………………………………………………. 101
6 Fungsi Euler ……………………………………………………………. 106
7 Persamaan Bilangan Bulat ……………………………………………………………. 110
8 Fungsi Tangga ……………………………………………………………. 115
DAFTAR RUJUKAN

Didik Sadianto, M.Pd. 2015
Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Aljabar Hal 1
BAB I
ALJABAR
1. Identitas Aljabar
a. Identitas yang melibatkan bentuk kuadrat.
Ingat kembali konsep dasar pada waktu SMP:




Contoh 1:
Jumlah dua bilangan adalah 21 dan hasil kalinya adalah -7.
Tentukan:
i. jumlah kuadrat dari dua bilangan tersebut
ii. jumlah kebalikan dari dua bilangan tersebut
iii. jumlah pangkat empat dari dua bilangan tersebut
Pembahasan:
Misalkan dua bilangan tersebut a dan b, maka kita mempunyai
Sehingga:
1.
2.
3.
Contoh 2:
Tentukan bilangan bulat positif a dan b sehingga √ √ √ √ dengan
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
√ √ (√ √ )
Sehingga
√ √ √ √
Jadi,

Contoh 3:
Hitunglah
√
tanpa menggunakan kalkulator.
Pembahasan:
Misalkan Maka
Misalkan Maka
Jadi,
√
Contoh 4:
Tentukan nilai dari
Pembahasan:
Misalkan Maka
Contoh 5:
(AIME, 1989) Hitunglah nilai dari √
Pembahasan:
Misalkan 4 bilangan bulat berurutan:
Perhatikan bahwa:
Sehingga:
√

Selanjutnya, kita bahas tentang identitas aljabar yang belum kalian pelajari pada waktu
SMP. Tetapi identitas ini sangat bermanfaat untuk penyelesaian soal-soal olimpiade.
Identitas ini lebih di kenal dengan sebutan Sophie Germain’s Identity
Bukti identitas:
Perhatikan bahwa
Contoh 6:
Buktikan hanya n = 1, , yang menyebabkan bahwa merupakan bilangan
prima
Pembahasan:
Dengan menggunakan Sophie Germain’s trik,
Masing-masing faktor di atas, untuk maka
Sehingga untuk maka bukan prima.
Jelas untuk n = 1,
LATIHAN SOAL 1.a
1. (HSMC-USC, 2004) Tentukan solusi untuk persamaan
√ √
2. (UG-HSMT, 2005) Jika maka nilai dari
3. (UG-HSMT, 2008) Hitunglah
4. Jumlah dari dua bilangan adalah -7 dan hasil kalinya 2. Tentukan: (i) jumlah
kebalikannya (ii) jumlah kuadrat kedua bilangan tersebut
𝑎 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 𝑏 𝑎 𝑎𝑏 𝑏

5. Jika a dan b memenuhi tentukan nilai dari
6. Diketahui memenuhi . Tentukan nilai dari
jika
7. Diketahui memenuhi . Tentukan nilai
dari
8. Tentukan bilangan bulat a, b sehingga √ √ √
9. Tentukan nilai dari
∑
( )( ) ( )
11. Diketahui bahwa selisih bentuk
√ √ √ √
merupakan bilangan bulat, tentukan bilangan bulat tersebut.
12. (AIME, 1986) Hitunglah perkalian:
(√ √ √ ) ( √ √ √ )(√ √ √ )(√ √ √ )
13. Buktikan bahwa dapat ditulis sebagai perkalian dua bilangan,
dimana kedua bilangan tersebut lebih besar dari
14. (HSMC-USC, 2014) Tentukan banyaknya solusi real yang memenuhi persamaan
√ √ √ √
15. Tunjukkan bahwa
[ ]
16. (AIME, 1987) Hitunglah
17. (SMT, 2007) Berapakah faktor prima terbesar dari
b. Identitas yang melibatkan bentuk Kubik/Pangkat Tiga.





Contoh 1:
Jumlah dua bilangan adalah 2 dan hasil kalinya adalah 5. Tentukan jumlah kubik dari
kedua bilangan tersebut.
Pembahasan:
Misalkan kedua bilangan tersebut
Contoh 2:
Tentukan semua bilangan prima yang berbentuk
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
dan untuk maka
Hal ini berakibat pada kasus ini haruslah
Jadi bilangan prima yang berbentuk hanya 7.
Contoh 3:
Tunjukkan bahwa
Pembahasan:
Kita menggunakan identitas:
dua kali.
Perhatikan bahwa
[ ]
LATIHAN SOAL 1.b
1. (UG-HSMT, 2003) Jika dan maka nilai dari
2. Jika tentukan
3. Tentukan semua bilangan prima yang berbentuk dimana
4. Bilangan memenuhi . Tentukan nilai

5. Tentukan nilai dari jika
6. Buktikan bahwa untuk berlaku:
7. (HSMC-USC, 2012) Jika maka tentukan nilai
8. (HSMC-USC, 2008) Misalkan dan bilangan real dengan dan
. Tentukan nilai dari
9. (HSMC-USC, 2007) Jika maka tentukan nilai dari ( )
10. (HSMC-USC, 2004) Jika dan maka tentukan nilai dari
11. (HSMC-USC, 2001) Misalkan bilangan real sedemikian sehingga
dan . Tentukan nilai dari
12. (HSMC-USC, 2000) Bilangan √ √ √ √ sama dengan ....
c. Identitas Aljabar Lanjutan
Kita telah mempunyai bentuk dasar identitas aljabar:
Lebih lanjut, kita mempunyai:



Bentuk umum dari identitas di atas adalah sebagai berikut
Bukti:
Pertama kita akan membuktikan bahwa untuk berlaku
Misalkan maka
Jadi
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
𝑎 𝑏 𝑎 𝑛
𝑎 𝑛
𝑏 𝑎 𝑛
𝑏 𝑎𝑏 𝑛
𝑏 𝑛
Jika 𝑛 bilangan bulat positif, maka

Sekarang, kita subtitusikan , maka
( ) ( )
( )
( ) ( ( ) ( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
(Terbukti)
Contoh 1:
Tanpa penghitungan dengan kalkulatir, kita mengetahui bahwa habis
membagi
Contoh 2:
Diketahui bahwa mempunyai faktor prima , tentukan
faktor prima tersebut.
Pembahasan:
Jika maka
Ekspresi terakhir ekuivalen:
dimana
Jadi,
Berikut beberapa identitas lanjutan:
Jika 𝑥 𝑦 bilangan bulat 𝑥 𝑦 dan 𝑛 bilangan bulat positif
maka 𝑥 𝑦 habis membagi 𝑥 𝑛
𝑦 𝑛
Jika 𝑓 𝑥 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
suatu sukubanyak dengan
koefisien bilangan bulat dan jika 𝑎 𝑏 bilangan bulat maka
𝑏 habis membagi 𝑓 𝑏 𝑓 𝑎

2. Ketaksamaan
a. Sifat Bilangan Kuadrat
Dalam bagian ini, akan kita bahas tentang sifat dasar dalam matematika. Sifat
dasar ini sangat berguna dalam penyelesaian soal-soal olimpiade atau sejenisnya.
Dari sifat di atas maka dapat ditulis yang lebih umum, yakni dalam bahasa
matematika lebih dikenal dengan istilah Sum of Square (S.o.S)
∑
Kesamaan ini berlaku jika dan hanya jika untuk semua i.
Contoh 1:
Buktikan bahwa .222
xyyx 
Pembahasan:
Perhatikan bahwa untuk setiap x, y bilangan real berlaku:
  02
 yx
0222
 xyyx
xyyx 222
 terbukti.
Contoh 2:
Tunjukkan bahwa 2
1

a
a untuk setiap bilangan real a>0, dan akan merupakan
kesamaan jika dan hanya jika a = 1.
Pembahasan:
Untuk setiap bilangan real 𝑥, maka berlaku 𝑥
Kesamaan ini hanya berlaku jika dan hanya jika 𝑥
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
𝑎 𝑏 𝑎 𝑛
𝑎 𝑛
𝑏 𝑎 𝑛
𝑏 𝑎𝑏 𝑛
𝑏 𝑛
Jika 𝑛 bilangan bulat positif ganjil, maka
Jika 𝑥 𝑦 bilangan bulat 𝑥 𝑦 dan 𝑛 bilangan bulat positif ganjil
maka 𝑥 𝑦 habis membagi 𝑥 𝑛
𝑦 𝑛

Untuk setiap bilangan real a berlaku
  0112 22
 aaa sehingga aa 212
 . Karena a>0 maka .2
1

a
a
Selanjutnya,   .1010122
1 22
 aaaa
a
a (Terbukti)
Contoh 3:
Jika a bilangan real, buktikan bahwa .34 4
 aa
Pembahasan:
Andaikan benar bahwa 34 4
 aa .
34 4
 aa
0344
 aa
    024212 224
 aaaa
    0121 222
 aa
Karena untuk setiap a bilangan real, berlaku   01
22
a dan   01 2
a , Maka
    0121 222
 aa adalah suatu yang benar atau equivalen dengan 34 4
 aa
adalah benar. (terbukti)
Contoh 4:
Bilangan real x dan y sedemikian sehingga dan Nilai dari xy adalah ...
Pembahasan:
Kalikan kedua persamaan pada soal, maka kita peroleh:
Jadi, jelas bahwa xy = 2.
LATIHAN SOAL 2.a
1. Dari sistem persamaan maka nilai
dari sama dengan ....
2. Jika , maka nilai dari
3. Jika bilangan real yang memenuhi persamaan √ maka
nilai dari
4. Nilai minimal dari adalah ...

Misalkan bilangan real positif. Maka , yakni
.
Kesamaan ini berlaku jika dan hanya jika
5. Bilangan real memenuhi persamaan √ .
Tentukan nilai dari
6. (SMT, 2009/Algebra Test) Tentukan kemungkinan nilai minimum dari
untuk bilangan real dan
7. (SMT, 2014/General Test) Misalkan ABC suatu segitiga sehingga
Misalkan X adalah titik dalam segitiga. Hitunglah kemungkinan nilai
terkecil untuk
8. Buktikan untuk sebarang bilangan real a, b, c maka berlaku
9. Bilangan real a, b, c yang memenuhi persamaan . Tentukan
nilai terkecil dari
10. Bilangan real berbeda a, b, c yang memenuhi Tentukan
nilai dari
11. (HSMC-USC, 2014) Jika dan bilangan positif dan adalah titik pada kurva
berapa kemungkinan nilai terbesar untuk
b. Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatika (AM), Rataan Geometri
(GM), dan Rataan Harmonik (HM)
Konsep tentang rataan kuadratik, aritmatika, geometri, dan harmonik ini sering digunakan
dalam menyelesaikan soal-soal problem solving pada event olimpiade khususnya topik
ketaksamaan. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut: Untuk bilangan real
positif a dan b, maka bentuk berikut
2
22
ba 
,
2
ba 
, ab , dan
ba
11
2

berturut-turut
disebut oleh rataan kuadrat (QM), rataan aritmatika (AM), rataan geometri (GM), dan
rataan harmonik (HM). Secara umum, konsep tentang rataan ini, perhatikan teorema
berikut:

Contoh 1:
a) Buktikan ketaksamaan AM-GM untuk 2 variabel (a dan b)
b) Buktikan ketaksamaan AM-GM untuk 3 variabel (a, b, dan c)
Pembahasan:
a) Kita akan tunjukkan bahwa √
Perhatikan bahwa:
√ ( √ ) (√ √ )
Jadi terbukti bahwa
√
b) Kita akan tunjukkan bahwa √
Perhatikan bahwa Kita mempunyai identitas cantik, silahkan dibuktikan
“ ”
Untuk kita mempunyai
dan [ ]
Sehingga kita peroleh:
Hal ini ekuivalen dengan
Sekarang misalkan maka
√ √
Contoh 2:
Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan real positif x dan y berlaku
Pembahasan:
Dengan menggunakan AM-GM kita mempunyai
√
Contoh 3:
Buktikan bahwa untuk sebarang dua bilangan real positif a dan b berlaku

√
Pembahasan:
Dengan menggunakan AM-GM pada bilangan ⏟
⏟
√ ⏟
√
Contoh 4:
Misalkan a dan b bilangan real sehingga 0 ba . Tentukan kemungkinan nilai terkecil
dari
 bab
a


1
Pembahasan:
Dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM, kita peroleh
   
 
 
.3
1
3
1
)(
1
3 






bab
bba
bab
bba
bab
a Kesamaan ini
berlaku jika
 bab
bba


1
, yakni .1&2  ba
Jadi, nilai minimum yang mungkin untuk
 bab
a


1
adalah 3.
Contoh 5:
(SMT, Algebra/2007) Tentukan nilai minimum dari
yxxy
yxxy
111
 untuk
0, yx
Pembahasan:
Dengan menggunkan AM-GM, maka kita peroleh
6
1
.
1
.
1
..
6
111
yxxy
xyxy
yxxy
yxxy


6
111

yxxy
yxxy
Jadi, nilai minimal
yxxy
yxxy
111
 adalah 6 dan tercapai saat x=y=1.

Contoh 6:
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real positif a, b, c, maka
  9
111







cba
cba
Pembahasan:
Dengan menggunkan ketaksamaan AM-HM, maka kita peroleh
  9
111
111
3
3










cba
cba
cba
cba
. (Terbukti)
Contoh 7:
Diketahui empat bilangan positif . Buktikan bahwa
( )
Pembahasan:
Dengan menggunakan AM-GM pada bilangan
√
( )
LATIHAN SOAL 2.b
1. Bilangan real positif a dan b. Tentukan nilai terkecil
2. Tentukan nilai minimal dari dan kapan nilai terkecil itu terjadi?
3. Jika bilangan-bilangan real positip yang memenuhi ,
maka tentukan nilai terbesar dari
a.
b.
4. a. Jika bilangan-bilangan real positip yang memenuhi
, maka tentukan nilai terbesar dari
b. Jika bilangan-bilangan real positip yang memenuhi , maka
tentukan nilai terkecil dari .
5. Volume prisma persegi panjang adalah 27 satuan volume, maka tentukan luas
permukaan terkecil dari prisma tersebut
6. (OSK, 2014) Untuk , nilai minimum dari

7. (OSP 2009) Tentukan nilai minimal dari
untuk
8. (OSK, 2014) Diberikan fungsi kuadrat yang didefinisikan
pada himpunan bilangan real dengan . Jika tidak pernah negatif,
maka nilai terkecil yang mungkin untuk adalah ....
9. Tentukan nilai maksimum dari untuk
10. (HSMC-USC, 2012) Jika x dan y bilangan real positif yang tidak sama
dengan1, Berapakah nilai terkecil non-negatif dari
11. (HSMC-USC, 2008) Di antara beberapa ketaksamaan berikut, manakah yang
benar untuk semua bilangan real positif a dan b.
i.
ii.
iii.
iv.
12. (CMC, 2003) Andaikan dan . Maka nilai minimum dari
adalah ....
13. (CMC, 2005) Misalkan bilangan real sedemikian sehingga ketaksamaan
√ √ mempunyai solusi. Nilai maksimum untuk k adalah ...
c. Ketaksamaan Cauchy-Schwarz
Berikut ini bentuk dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz adalah
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑛
𝑖
Untuk sebarang bilangan real 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 maka berlaku
𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑛 𝑦𝑛
atau
Kesamaan terjadi saat
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥 𝑛
𝑦 𝑛

Seorang matematikawan terkenal, yakni Mr. Titu Andreescu memodifikasi bentuk
ketaksamaan Cauchy-Schwarz dengan cara substitusi bentuk
√
√
dan ketaksamaan ini dikenal dengan Cauchy-Schwarz Engel (CS-Engel). Untuk
bilangan real dan bilangan real positif berlaku
( )
Kadang-kadang bentuk ketaksamaan Cauchy-Schwarz juga ditulis dalam bentuk:
Contoh 1:
Kita mulai pada contoh ini, dengan membuktikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz untuk
yakni
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
Jadi, ( ) ( ) ( )
Contoh 2:
Buktikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz
∑ ∑ ∑
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖
∑ √ 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑛
𝑖
Untuk sebarang bilangan real positif 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 𝑦 𝑦 𝑦𝑛 maka
berlaku

∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑( )
Jadi,
∑ ∑ ∑
LATIHAN SOAL 2.c
1. Misalkan dan . Tentukan nilai terkecil dari
2. (USAMO,1978) Diketahui bilangan real sedemikian sehingga
,
Tentukan nilai maksimum nilai dari e.
3. Misalkan bilangan real positif, Buktikan bahwa
4. (CMC, 2003) Andaikan . Buktikan bahwa √ √
√ √
5. Tunjukkan untuk setiap bilangan real positif a, b, c, d berlaku
( )
6. Misalkan Buktikan bahwa
7. Jika a,b,c adalah bilangan real positif . Buktikan ketaksamaan
8. (Ketaksamaan Nesbitt’s) Jika a, b, c adalah bilangan real positif. Buktikan
berlaku

9. (APMO, 1991). Misalkan adalah bilangan-bilangan
real positif sehingga . Tunjukkan bahwa
10. Jika Buktikan bahwa
11. Misalkan merupakan bilangan real positif yang memenuhi
Buktikan bahwa
√ √ √ √
3. Nilai Mutlak
a. Definisi dan Sifat-Sifat Nilai Mutlak
Definisi Nilai Mutlak
Untuk sebarang bilangan real a, kita definisikan nilai mutlak dari a, yang
disimbolkan dengan a :






0,
0,
aa
aa
a .
Secara geometri, sebarang bilangan real a dinotasikan oleh titik pada garis
bilangan, dan nilai mutlak a adalah jarak titik yang menyatakan a dari titik origin
pada garis bilangan (the number axis).
Secara umum, ekspresi ba  menotasikan jarak antara titik-titik pada garis
bilangan yang menyatakan bilangan a dan b.

Sifat-Sifat Nilai Mutlak
Berikut ini sifat-sifat tentang nilai mutlak:
a. | |
b. | | | |
c. | | | |
d. | | | | jika dan hanya jika
e. | | | | untuk sebarang bilangan bulat positif
f. | | | || |
g. | |
| |
| |
h. | | | | | |
i. √ | |
Contoh 1:
(OSP 2003) Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan .1432  xx
Pembahasan:
Perhatikan bahwa






2),2(
2,2
2
xx
xx
x dan






0,3
0,3
3
xx
xx
x
o Untuk 2x , maka persamaan menjadi 1432  xx sehingga 4x
(memenuhi)
o Untuk 02  x , maka persamaan menjadi 1432  xx sehingga 6x
(tidak memenuhi)
o Untuk 0x , maka persamaan menjadi 1432  xx sehingga 3x
(memenuhi)
Jadi, Himpunan penyelesaian dari persamaan ini adalah  3,4 .
Contoh 2:
Apakah ada bilangan real x sedemikian hingga
x
xx 
adalah bilangan positif?
Pembahasan:
Jelas bahwa 0x .
o Untuk 0x , 0
0




xx
xx
x
xx
.
o Untuk ,0x .2
22






x
x
x
x
x
xx
x
xx

Jadi, tidak ada bilangan real x sedemikian hingga
x
xx 
adalah bilangan positif.
Contoh 3:
Tentukan kondisi agar kesamaan ini berlaku: .
a
ab
a
ba 


Pembahasan:
Perhatikan bahwa: 0a dan
a
ba
a
ba 


, jadi 0

a
ba
.
Karena 0

a
ba
.101 
a
b
a
b
Jadi, kondisi a dan b agar persamaan pada soal berlaku adalah .1
a
b
LATIHAN SOAL 3.a
1. Jika maka bentuk sederhana dari √
2. Jika | | √ , maka tentukan nilai yang
mungkin.
3. (OSP, 2013/ OSP 2006/AHSME 1988) Jika | | dan | |
maka nilai dari adalah ....
4. Jika bilangan real tidak nol, tentukan kemungkinan nilai terbesar dari
bentuk
| | | | | |
5. Jika x, y, z adalah real yang memenuhi
| | | |
Tentukan nilai dari
6. Diketahui bahwa sederhanakan bentuk | | | |
7. Sederhanakan bentuk || | | | | || untuk interval
8. (AHSME, 1990) Tentukan banyaknya solusi real dari persamaan
| | | |
9. Diketahui | | | | | | . Tentukan
kemungkinan terbesar untuk
10. Jika dua bilangan real dan yang memenuhi | | . Tentukan
nilai dari
11. Diketahui bilangan bulat | | | | . Tentukan nilai
dari | | | | | |

12. Diketahui . Tentukan nilai dari
| | | |
13. merupakan dua konstanta dengan | | . Jika persamaan
|| | | mempunyai tiga solusi berbeda untuk tentukan nilai dari
b.
14. Diketahui bilangan real memenuhi | | dan
| | | | | | | |
Tentukan nilai minimum dari
15. Diketahui bilangan real tidak nol dan Tentukan nilai dari
dimana
| | | | | |
16. (AHSME, 1977) Untuk a, b, c bilangan real tak nol, tentukan semua
kemungkinan nilai dari
| | | | | | | |
b. Persamaan Nilai Mutlak
Untuk menyelesaikan persamaan linear yang melibatkan nilai mutlak, kita harus
mengubah tanda nilai mutlak dalam persamaan.
Dalam kasus yang paling sederhana, )()( xQxP  , dimana )(),( xQxP dua
ekspresi dengan 0)( xQ , dengan sifat-sifat nilai mutlak, kita dapat mengubah
tanda nilai mutlak dengan menggunakan bentuk equaivalennya:
)()( xQxP  atau )()( xQxP  atau )()( 22
xQxP 
Contoh 1:
Selesaikan persamaan 31 x .
Pembahasan:
Alternatif 1,
Berdasarkan pengertian nilai mutlak didapat:
Jika 1x , maka 31x , sehingga 4x (memenuhi persamaan)
Jika 1x , maka 31  x , sehingga 2x (memenuhi persamaan).
Jadi, nilai x yang memenuhi: 42  xataux .
Alternatif 2,

Karena 1x bernilai tak negatif maka selesaiannya dapat dilakukan dengan
mengkuadratkan kedua ruas.
9)1( 2
x
0822
 xx
4,2  xx
Jadi, nilai x yang memenuhi: 42  xataux .
Contoh 2:
Selesaikan persamaan 413  xx .
Pembahasan:
Berdasarkan definisi, maka kita peroleh:
413  xx atau 413  xx .
Dari 413  xx , kita punya
.1341341340  xxatauxxxx
Jadi,
2
5
4
3
 xataux , ini kontradiksi dengan 4x sehingga dua solusi
tersebut tidak ada yang memenuhi.
Dari 413  xx , kita punya
.1341341340  xxatauxxxx
Jadi,
4
5
x atau
2
3
x . Dua solusi tersebut memenuhi persamaan pada soal
karena nilai x tersebut terletak pada selang  404  xx .
Jadi, selesaian dari persamaan tersebut pada soal adalah
2
3
,
4
5
21  xx .
Contoh 3:
Jika 654  bm adalah persamaan dalam m, dan persamaan tersebut
memiliki 3 solusi berbeda, tentukan nilai bilangan rasional b.
Pembahasan:
Dari persamaan yang diketahui kita memiliki (i) 654  bm atau (ii)
654  bm .

Jika (i) memiliki tepat satu solusi, maka 06 b (b = -6) yang mengakibatkan (ii)
menjadi 1254 m (tidak memiliki solusi untuk m), jadi .6b .
Jika (i) memiliki tepat dua solusi dan (ii) memiliki tepat satu solusi, jadi 06 b (b
=6). Jika b= 6, maka (i) menjadi ,1254 m
,12541254  mataum
,
4
17
4
7
 mataum dan dari (ii) .
4
5
m
Jadi, nilai b = 6.
Contoh 4:
Jika   021 2
 yx dan 13  ayax , tentukan nilai dari a.
Pembahasan:
Karena 01 x dan   02 2
y untuk semua nilai x dan y, jadi
02&01  yx yaitu, 2,1  yx . Substitusikan nilai tadi ke persamaan
13  ayax , maka kita peroleh .
5
1
a
LATIHAN SOAL 3.b
1. Selesaikan persamaan ||| | | |
2. Selesaikan persamaan
| | | | | | | |
3. Berapa banyak pasangan bilangan bulat yang memenuhi persamaan
| | | |
4. Jika | | | | adalah persamaan dalam variabel dan
persamaan ini mempunyai takhingga solusi, maka tentukan nilai dari
5. Selesaikan persamaan | |
6. adalah bilangan bulat yang memenuhi persamaan
| | | |
Maka banyaknya solusi untuk a adalah ...
7. (AHSME, 1984) Banyaknya bilangan bulat x berbeda yang memenuhi
persamaan
| | ||

adalah ....
8. Jika persamaan || | | mempunyai tepat tiga solusi bulat untuk
variabel x, maka tentukan nilai a yang mungkin.
9. (OSP, 2006) Diberikan fungsi 32)(  axxf . Jika grafik f memotong sumbu-
x tepat di tiga titik, maka nilai a sama dengan ....
10. Jika persamaan
| |
hanya mempunyai solusi negatif untuk x, tentukan range untuk nilai .
11. Selesaikan sistem
{
| |
| | | |
12. Selesaikan sistem persamaan
{
| |
c. Ketaksamaan Nilai Mutlak
Teknik yang paling penting untuk menyelesaikan ketaksamaan nilai mutlak adalah
sama saja dengan menyelesaikan persamaan nilai mutlak yaitu cukup mengubah
tanda nilai mutlak, sedemikian hingga ketaksamaan tersebut menjadi
ketaksamaan normal untuk diselesaikan.
Metode Dasar untuk Mengubah Tanda Nilai Mutlak
(i) | | ekuivalen dengan
Jika , maka tidak mempunyai solusi untuk a.
(ii) ba  ekuivalen dengan 22
ba  .
(iii) ba  ekuivalen dengan atau
(iv) Untuk mensederhanakan ketaksamaan yang diketahui dan mengubah tanda
nilai mutlak, harus menggunakan metode substitusi variabel seperti xy  .
(v) Jika dua atau lebih pasang tanda mutlak ada pada ”layer” yang sama dari
ketaksamaan yang diketahui, metode umum untuk mengubah tanda nilai
mutlak adalah mempartisi range dari variabel kedalam beberapa interval.
Untuk ini, kita cukup memisalkan pembuat nol masing ekspresi, dan
mengambil akar-akar ini menjadi titik-titik partisinya. Sebagai contoh:

,342  xx
maka garis bilangan dipartisi menjadi 3 interval yaitu: ),4(&],4,2(],2,(  ,
dimana 2 dan 4 diperoleh dengan cara menjadi pembuat nol berturut-turut
untuk 2x dan .4x
Contoh 1:
Selesaikan ketaksamaan dari .4522
 xx
Pembahasan:
4564452 22
 xxxx
960 2
 xx dan 0162
 xx
Dari 30)3(960 22
 xxxx , dan
Dari 2232230162
 xxx .
Jadi, himpunan selesaiannya adalah   }3{223223  x
Contoh 2:
Tentukan himpunan selesaian dari ketaksamaan .1
1
1



x
x
Pembahasan:
Jelas bahwa 1x dan 01 x , sehingga kita peroleh:
111
1
1



xx
x
x
22
)1()1(  xx
.0041212 22
 xxxxxx
Jadi, himpunan selesaiannya adalah  0x .
Contoh 3:
Tentukan himpunan selesaian dari ketaksamaan .22
 xx
Pembahasan:
Karena .222 222
 xxatauxxxx

Dari 022 22
 xxxx . Ketaksamaan ini tidak memiliki solusi real
(mengapa?)
Dari .210)1()2(022 22
 xatauxxxxxxx
Jadi, himpunan selesaiannya adalah ),2()1,(  .
Contoh 4:
Selesaikan ketaksamaan dari 071522
 xxx .
Pembahasan:
,615)1(615)12(7152 222
 xxxxxxxx
Misal 1 xy , ketaksamaan yang diketahui menjadi:
0652
 yy
0)3()2(  yy
.......(*)32  y
Susbtitusikan 1 xy ke (*), kita peroleh bentuk:
.312  x
Dari 12  x , maka 2121  xataux , jadi solusinya adalah
31  xataux .......(**)
Dari ,31 x maka 313  x , jadi solusinya adalah .42  x .....(***)
Dari (**) dan (***) kita iriskan, maka solusi dari ketaksamaan pada soal adalah
12  x atau 43  x
LATIHAN SOAL 3.c
1. Selesaikan ketaksamaan | |
2. Selesaikan ketaksamaan
| |
3. Selesaikan ketaksamaan | | | |
4. Selesaikan ketaksamaan | | | |
5. (AHSME, 1964) Jika bilangan real dan | | | | dimana
bilangan positif, tentukan nilai a yang memenuhi ketaksamaan tersebut
6. Tentukan nilai yang memenuhi | |

7. Tentukan himpunan selesaian dari ketaksamaan
| |
8. Selesaikan ketaksamaan | |
9. Selesaikan ketaksamaan berikut:
a. | |
| |
b.
| |
| |
10. Selesaikan ketaksamaan:
| |
| |
11. (HSMC-USC, 2006) Berapa banyak bilangan real yang memenuhi
ketaksamaan
| | | |
4. Polinomial
Definisi Polinomial
Misalkan  menyatakan sistem bilangan real atau sistem bilangan rasional dan n merupakan
bilangan bulat non-negatif.
Bentuk 01
1
1 ...)( axaxaxaxf n
n
n
n  

dengan naaa ...,,, 10 dan 0na disebut polinomial atas  berderajat n. Kemudian dua
buah polinomial berderajat tidak nol dikatakan identik atau sama jika derajatnya sama dan
koefisien dengan x berpangkat sama juga sama. Jadi, dua polinomial )(xf dan dengan
01
1
1 ...)( axaxaxaxf n
n
n
n  
 dan 01
1
1 ...)( bxbxbxbxg m
m
m
m  

dikatakan identik  )()( xgxf  untuk setiap x jika mn  dan
001111 &,...,,, babababa mnmn   .
Nilai suatu Polinomial
Contoh 1:
Hitunglah )5(f jika .2342)( 23
 xxxxf
Pembahasan:
33725.35.45.2)5(2342)( 2323
 fxxxxf
Contoh 2:
Jika merupakan sukubanyak derajat tiga dengan
Tentukan
)(xg

Pembahasan:
Misalkan
Perhatikan bahwa adalah sukubanyak yang berderajat 3 dan
Sehingga untuk suatu konstanta c.
Sehingga,
Akhirnya:
Contoh 3:
(HSMC-USC 2001) Diketahui identitas sukubanyak
Berapa nilai dari
Pembahasan:
Jika perkalian dijabarkan maka koefisien dari
adalah .
Sehingga
LATIHAN SOAL 4.(1)
1. (HSMC-USC, 1998) Andaikan untuk suatu bilangan kita mempunyai
faktorisasi
Berapakah nilai k yang memenuhi?
2. (HSMC-USC, 2000) Tentukan nilai k dalam identitas sukubanyak berikut
3. Misalkan , dimana a, b, dan c konstanta. Jika ,
maka
4. (HSMC-USC, 1998) Misalkan adalah sebuah sukubanyak derajat empat
sehingga dan Tentukan nilai dari

5. (SMT, 2012) Sukubanyak quartic (berderajat 4) memenuhi dan
mencapai maksimum saat , adapun nilai maksimumnya adalah 3.
Hitunglah
6. (HSMC-USC, 2008) Diketahui bahwa sukubanyak
berapakah
7. (HSMC-USC, 2005) Misalkan dimana
bilangan real. Andaikan grafik dari memotong grafik dari di
. Berapakah nilai dari
8. Sukubanyak derajat dua, mempunyai sifat-sifat berikut: (i) untuk
semua bilangan real (ii) , (iii) . Tentukan nilai dari
9. Diketahui dan adalah
sukubanyak sehingga . Tentukan nilai dari
10. Diketahui bahwa . Jika dapat dinyatakan
sebagai dimana dan
. Tentukan nilai dari
11. Tentukan jumlah dari semua koefisien dari sukubanyak setelah dijabarkan dan
dikelompokkan dalam suku yang sama pada perkalian berikut
12. Diketahui
Jika
Maka nilai dari
Teorema Sisa dan Faktor
Sebelum kita membahas tentang teorema sisa, kita bahas dahulu Algoritma
Pembagian sukubanyak:
𝑃 𝑥 𝐻 𝑥 𝑄 𝑥 𝑟 𝑥
Jika sukubanyak 𝑃 𝑥 dibagi oleh 𝐻 𝑥 maka ada sukubanyak 𝑄 𝑥 𝑟 𝑥
sehingga
dan de 𝑟 𝑥 de 𝐻 𝑥

Contoh 1:
Jika dibagi oleh , maka tuliskan dalam bentuk
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
Dimana,
Hasil bagi :
Sisa pembagian :
Contoh 2:
Tentukan sisa ketika dibagi oleh
Pembahasan:
Karena pembaginya berderajat 1, maka sisa pembagiannya adalah sukubanyak
berderajat 0, yakni suatu konstanta. Sehingga
Misalkan , maka kita memperoleh:
Jadi, sisanya adalah 2.
Contoh 3:
Suatu sukubanyak memiliki sisa – 2 ketika dibagi oleh dan berisa – 4 ketika dibagi oleh
. Tentukan sisa ketika sukubanyak tersebut dibagi oleh .
Pembahasan:
Dari informasi yang diketahui dalam soal, ada sukubanyak dengan
Sehingga,
Perhatikan bahwa:
adalah sukubanyak berderajat 2, maka
Sisa pembagian P(x) oleh adalah sukubanyak berderajat maksimal 1, yakni
Berdasarkan algoritma pembagian:
Oleh sebab itu, kita memperoleh

Dengan menyelesaikan dua persamaan terakhir, kita peroleh
Jadi, sisa yang diminta adalah
Contoh 4:
Tentukan sisa pembagian ketika dibagi oleh:
(i)
(ii)
Pembahasan:
(i) Berdasarkan teorema sisa, maka
Sisa pembagiannya sama dengan
(ii) Berdasarkan teorema sisa, maka
Sisa pembagiannya sama dengan
( ) ( ) ( ) ( )
Contoh 5:
Tunjukkan bahwa adalah faktor dari
Pembahasan:
Untuk menunjukkan bahwa faktor dari P(x), maka berdasarkan teorema faktor, kita
cukup membuktikan bahwa ( )
Perhatikan bahwa
( ) ( ) ( ) ( )
Teorema Sisa
Jika sukubanyak 𝑓 𝑥 dibagi oleh 𝑥 𝑎 maka sisanya adalah 𝑓 𝑎
Teorema Faktor
Sukubanyak 𝑓 𝑥 habis dibagi oleh 𝑥 jika dan hanya jika a merupakan
akar dari atau dengan kata lain mempunyai faktor jika dan
hanya jika .

Jadi, terbukti bahwa adalah faktor dari
LATIHAN SOAL 4.(2)
Teorema Sisa
1. (AHSME/1980) Derajat dari    3342
11  xx sebagai sukubanyak dalam x sama
dengan ...
2. Misalkan . Tentukan sisa pembagian ketika
ketika dibagi oleh .
3. Sukubanyak memberikan sisa berturut-turut – 95 dan
3 ketika dibagi oleh . Tentukan nilai dari
4. (HSMC-USC, 2011) Berapa sisa ketika dibagi oleh
5. (HSMC-USC, 1998) Berapa sisa ketika
ketika dibagi oleh
6. (HSMC-USC, 2010) Berapa banyak sukubanyak yang memenuhi kondisi
dan
7. Tentukan sisanya ketika
dibagi oleh
8. Tentukan sisanya jika dibagi oleh
9. (HSMC-USC, 2006) Tentuka sisa pembagian sukubanyak ketika
dibagi oleh
10. Sukubanyak memenuhi . Ketika dibagi oleh
bersisa 6. Tentukan sisa ketika dibagi oleh
11. (AHSME/1977) Misalkan 1)( 2345
 xxxxxxg . Berapakah sisa pembagian
ketika polinom  12
xg dibagi oleh polinom g(x)?
12. Sukubanyak dibagi sisa – 2 dan jika dibagi sisa 7.
Sukubanyak dibagi sisa 3 dan jika dibagi bersisa 2. Jika
, maka tentukan sisa pembagian oleh
Untuk suatu polinomial dengan koefisien bilangan bulat,
jika polinomial ini mempunyai faktor
dimana , maka 𝑝 faktor dari 𝑎 dan 𝑞 faktor dari 𝑎 𝑛 .

13. Sukubanyak berderajat , jika dibagi bersisa ,
jika dibagi oleh bersisa . Tentukan persamaan
tersebut.
Teorema Faktor
1. Tentukan nilai m ketika habis dibagi oleh
2. (AHSME/1970) Jika dua faktor dari khxx 3
2 adalah (x+2) dan (x-1), maka nilai dari
kh 32  adalah ...
3. Sukubanyak mempunyai koefisien bilangan bulat dan untuk empat
nilai x yang berbeda. Tunjukkan bahwa .
4. (AHSME/1980) Untuk suatu bilangan real r, sukubanyak 454248 23
 xxx habis
dibagi oleh   .2
rx  Tentukan nilai dari  r . Dimana  x menyatakan bilangan bulat yang
kurang dari atau sama dengan x.
5. Diketahui adalah faktor sukubanyak . Jika
dibagi oleh maka sisa pembagiannya – 50 . Tentukan nilai dari
6. (SMT, 2011) Misalkan sukubanyak berderajat sedemikian sehingga
. Hitunglah koefisien dari suku
dalam
7. (SMT, 2008) Berapa banyak sukubanyak monik sedemikian sehingga
untuk suatu sukubanyak yang lain dimana koefisien P dan Q adalah bilangan
kompleks.
Teorema Vi’eta
Sebelum kita membahas lebih jauh tentang bagaimana wujud dari teorema Vi’eta,
perhatikan dahulu contoh berikut:
Contoh 1:
Jabarkan perkalian
Pembahasan:
Hasil perkalian pada soal adalah sukubanyak berderajat 5.
 Untuk mendapatkan koefisien kita hitung dari koefisien dari x dalam masing-
masing faktor, Koef.

 Untuk mendapatkan koefisien kita hitung:
Koef.
Koef.
Koef.
Koef.
 Untuk mendapatkan suku konstanta
Jadi, hasil perkalian yang diminta adalah
Jika dan
merupakan sukubanyak dengan akar-akar maka dapat kita tulis dalam
bentuk:
Dari bentuk ini, kita dapat menformulasi tentang rumus Vi’eta
∑ ∑ ∑
∑
Beberapa rumus berkaitan dengan teorema Vi’eta:
1)
2)
3)
4)
Contoh 2:
Tentukan jumlah dari akar-akar, jumlah dari kombinasi dua-dua-an akar-akar, jumlah dari
kuadrat akar-akar dan jumlah dari kebalikan akar-akar dari persamaan

Pembahasan:
Misalkan adalah akar-akar persamaan
Berdasarkan rumus vieta:
Untuk mendapatkan perhatikan bahwa
( )
Untuk mendapatkan perhatikan bahwa;
.
⁄
Contoh 3:
Misalkan adalah akar-akar dari . Tentukan nilai dari
Pembahasan:
Berdasarkan rumus vieta, maka
Dari bentuk kita peroleh
Sehingga:
Contoh 4:
Misalkan adalah akar-akar dari . Tentukan nilai dari
Pembahasan:
Berdasarkan teorema vieta, kita peroleh:

 Alternatif 1

Alternatif 2
Dari persamaan , kita peroleh
 Dari maka
LATIHAN SOAL 4.(3)
1. (HSMC-USC, 2000) Misalkan adalah tiga akar-akar dari .
Tentukan nilai dari
2. Jika adalah akar-akar dari
maka tentukan nilai dari
∑
3. Misalkan akar-akar dari . Tentukan
a)
b)
4. (HSMC-USC, 2006) Misalkan bilangan real sehingga sukubanyak
dan mempunyai akar persekutuan.
Tentukan nilai dari a.
5. (HSMC-USC, 2005) Misalkan dan bilangan real sedemikian sehingga
[ ] untuk suatu sukubanyak Tentukan nilai
dari
6. (HSMC-USC, 2002) Andaikan adalah akar dari . Tentukan nilai dari
7. (HSMC-USC, 2004) Tentukan banyaknya akar real berbeda dari sukubanyak
8. (HSMC-USC, 2003) Misalkan
Tentukan jumlah semua akar-akar dari .
9. Misalkan dan adalah bilangan prima. Jika diketahui persamaan

mempunyai akar-akar bilangan bulat maka nilai dari
10. Sukubanyak memiliki tiga solusi bulat positif. Berapakah
kemungkinan nilai terkecil dari
11. Jika p dan q adalah akar-akar sukubanyak derajat dua: Tentukan
nilai dari
12. Misalkan adalah akar-akar dari
Tentukan nilai dari
13. Tentukan jumlah kubik dari akar-akar real persamaan
14. Tentukan akar real terkecil dari persamaan sukubanyak
15. Akar-akar dari adalah Tentukan akar-akar
dari
16. Sukubanyak memiliki tiga akar real berbeda. Jika r bilangan
prima, tentukan nilai dari q.
17. Jika adalah solusi persamaan . Tentukan nilai dari
18. Diketahui bahwa
Jika , maka tentukan nilai dari
5. Fungsi
a. Operasi Biner
Pada umumnya, operasi biner dalam kompetisi-kompetisi matematika akan dinyatakan
dengan menggunakan simbol-simbol yang tidak biasanya, seperti . Hasil
dari operasi setelah diterapkan pada bilangan a dan b biasanya di tulis sebagai
Contoh 1:
(OSK, 2002) Jika untuk setiap x, y bilangan real berlaku , maka
sama dengan ....
Definisi
Suatu operasi biner pada suatu himpunan bilangan adalah suatu cara
mengambil dua dari kumpulan bilangan-bilangan dan menghasilkan bilangan
yang ketiga.

A. C. E.
B. D.
Pembahasan:
Perhatikan berdasarkan definisi:
Contoh 2:
(OSP, 2002) Didefinisikan untuk semua bilangan real a dan b. Jika
, tuliskan S sebagai sebuah selang(interval).
Pembahasan:
Perhatikan bahwa berdasrkan definisi:
Jadi, |
Contoh 3:
(AHSME, 1993) Didefinisikan operasi dengan untuk semua
bilangan real x dan y. Berapa banyak bilangan real y yang memenuhi
Pembahasan:
Perhatikan bahwa:
Jadi, persamaan pada soal benar untuk sebarang bilangan real y.
Contoh 4:
(AMC, 2002/10A) Untuk bilangan real tidak nol a, b, dan c, didefinisikan
Berapakah nilai dari
Pembahasan:
Perhatikan bahwa:
-1 0
+++ ---- +++

Contoh 5:
(OSK, 2006) Didefinisikan untuk semua bilangan bulat a dan b. Jika p
memenuhi untuk setiap bilangan bulat a, maka p sama dengan ...
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
LATIHAN SOAL 5.a
1. (AMC, 2002/10B) Untuk bilangan real tidak nol a, b, dan c, didefinisikan
Berapakah nilai dari (2, 4, 6)?
2. (AMC, 2003/10B) Misalkan menyatakan jumlah dari digit-digit dari bilangan
bulat positif x. Sebagai contoh, dan . Berapa
banyak bilangan x dua digit sehingga
3. (AMC, 2004/10A) Untuk sebarang tiga bilangan real a, b, dan c dengan Operasi
didefinisikan
Berapakah nilai ( ( ) )
4. Untuk tiap pasangan bilangan real , didefinisikan operasi * sebagai
Berapakah nilai dari ( )
5. (HSMC-USC, 2007) Dalam planet Pluto, penghuninya menggunakan operator
matematika yang sama di bumi seperti dan mereka juga menggunakan
operator “@” . Para saintis menentukan kebenaran operator tersebut untuk bilangan
real dan
Tentukan nilai dari
6. (NC-SMC, 2011) Jika didefinisikan untuk semua bilangan bulat sebagai berikut

dan jika sama dengan 7, berapakah kemungkinan nilai untuk
7. (NC-SMC, 2011) Untuk semua bilangan operasi didefinisikan sebagai
Jika Maka tentukan nilai y yang
memenuhi
8. (NC-SMC, 2010) Suatu operasi didefinisikan untuk semua bilangan rasional
positif sebagai
Tentukan semua nilai x yang memenuhi
9. (NC-SMC, 2008) Misalkan didefinisikan sebagai
Tentukan himpunan solusi untuk
10. (NC-SMC, 2008) Misalkan menyatakan bilangan prima terbesar yang kurang dari
n dan menyatakan bilangan prima terkecil yang lebih dari n. Tentukan nilai dari
[ ]
b. Persamaan Fungsi
Persamaan fungsi adalah persamaan untuk fungsi yang belum diketahui
(unknown functions) sebagai ganti bilangan-bilangan yang belum diketahui. Dalam
bagian ini, kita akan mencoba mengeksplorasi bagaimana kita dapat menemukan
“the unknown function” ketika kondisi-kondisi tertentu sudah diketahui.
Persamaan fungsi ini biasanya memiliki banyak selesaian, dan kadang kita sulit
untuk mencari semua solusinya. Persamaan fungsi dalam buku ini akan dibahs
dalam dua bagian, yakni Persamaan fungsi satu variabel & Persamaan fungsi
lebih dari satu variabel.
i. Persamaan Fungsi Satu Variabel
Contoh 1:
(OSK, SMP/2013) Jika adalah fungsi linier, dan
maka nilai
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
Dari bentuk di atas maka
( )

Jika proses itu diteruskan maka,
Contoh 2:
(OSK, Tipe 3/2011) Misalkan f suatu fungsi yang memenuhi untuk
semua bilangan real positif x dan y. Jika 3)100( f maka )10(f adalah ...
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
Contoh 3:
(AMC12B, 2007) Suatu fungsi memiliki sifat untuk
semua bilangan real Berapa
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
Sehingga
Contoh 4:
(AHSME, 1998) Misalkan fungsi memenuhi sifat bahwa untuk sebarang
dua bilangan . Jika , maka tentukan nilai
dari
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
Jika maka
Contoh 5:
(OSK, 2003) Misalkan suatu fungsi yang memenuhi
( )
untuk setiap bilangan real . Berapakah nilai dari
Pembahasan:
Substitusikan berturut-turut, maka kita peroleh
( ) ( )
Dengan eliminasi, maka
LATIHAN SOAL 5.b.(i)
1. Jika adalah fungsi kuadrat sedemikian sehingga
dan tentukan nilai dari

2. (AHSME, 1998) Misalkan )(xf adalah fungsi yang memenuhi: (i) untuk setiap
bilangan real x dan y maka )()( yfxyxf  dan (ii) .2)0( f Nilai dari
)1998(f adalah ....
3. Untuk semua bilangan bulat , fungsi memenuhi
Jika , maka tentukan nilai dari
4. (AMC-12A, 2009) Andaikan dan
. Berapakah nilai dari
5. (HSMC-USC, 2006) Andaikan adalah fungsi sedemikian sehingga
untuk setiap bilangan real Berapakah nilai dari
6. Jika )(xf adalah fungsi yang tidak terdefinisi untuk x = 0 dengan
.3
1
2)( x
x
fxf 





 Tentukan ).(xf
7. (AMC-12, 2000) Misal suatu fungsi sehingga ( ) .
Tentukan jumlah semua nilai z sehingga
8. (HSMC-USC, 2005) Misalkan adalah fungsi, untuk setiap bilangan
real
9. (HSMC-USC, 2003) Fungsi bernilai real didefinisikan untuk bilangan
real tak nol sebagai
( )
10. (HSMC, USC 2002) Misalkan merupakan fungsi dimana
. Andaikan [ ] [ ] untuk semua
bilangan Berapakah nilai dari
ii. Persamaan Fungsi Lebih dari Satu Variabel
Untuk persamaan fungsi lebih dari satu variabel, kita dapat juga menerapkan
metode-metode yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya. Di samping
itu juga kita dapat mencoba mensubtitusikan beberapa bilangan spesial,
misalkan ke dalam kondisi yang diketahui. Untuk hal ini tidak

ada cara/metode yang tetap dalam menyelesaikannya. Untuk lebih jelasnya
perhatikan contoh-contoh berikut:
Contoh 1:
Berikut ini contoh-contoh dari persamaan fungsi dalam dua variabel yang
terkenal. Fungsi ini lebih dikenal dari “Cauchy’s functional equations”
1.
2.
3.
4.
Contoh 2:
Jika memenuhi
1.
2. Untuk semua
Tentukan .
Pembahasan:
Subtitusikan maka
Dengan menerapkan kondisi 1 dan dengan induksi matematika, untuk
semua bilangan bulat kita mempunyai
Untuk sebarang bilangan rasional, misalkan dimana bilangan
bulat dan .
Substitusikan maka
( ) ( )
Karena maka
( ) ( )
Subtitusikan ini ke persamaan semula, kita mempunyai
( ) ( )
Sehingga, ( )
Jadi,
Contoh 3:
Jika untuk semua .
Tentukan
Pembahasan:

Kondisi yang diketahui ekuivalen dengan
untuk semua
Jadi, konstant.
Misalkan maka
Contoh 4:
Jika fungsi kontinu sedemikian sehingga untuk
maka buktikan bahwa dimana c suatu konstanta.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
Subtitusikan ke (1), maka
Sekarang jika , maka atau
Sekarang untuk
Subtitusikan , kita peroleh , dan dengan induksi
matematika
untuk semua
Untuk bilangan rasional, yaitu dengan (4) kita
memperoleh dan
Jika maka dari (2), (3), (5), kita peroleh untuk bilangan
rasional .
Misalkan irasional
Kita pilih barisan rasional dengan limit
Karena kontinu, maka
Maka kita mempunyai untuk semua nilai bilangan real.
Contoh 5:
Sebagai akibat dari contoh 4, maka diperoleh beberapa sifat berikut:
Jika fungsi kontinu dan untuk semua dan

a. maka
b. maka
c. maka
dimana c suatu konstanta
LATIHAN SOAL 5.b.(ii)
1. Tentukan semua solusi kontinu dari persamaan fungsi:
2. Tentukan fungsi yang didefinisikan untuk sehingga
3. Tentukan semua fungsi yang memenuhi
7. Tentukan semua fungsi kontinu yang memenuhi
8. (VMO, 1985) Misalkan merupakan suatu himpunan fungsi yang
terdefinisi pada bilangan bulat dengan nilai real yang memenuhi dua
kondisi:
1)
2)
Tentukan semua sedemikian sehingga
9. (VMO, 1991) Tentukan semua fungsi real yang memenuhi
untuk semua bilangan real
10. (VMO, 1992B) Andaikan fungsi bernilai real, pada bilangan real
sedemikian sehingga
untuk semua bilangan real dimana a bilangan real.
Hitunglah nilai dari

11. (VMO, 2000B) Tentukan semua fungsi bernilai real yang terdefnisi
pada bilangan real sedemikian sehingga
untuk semua bilangan real
6. Persamaan dan Sistem Persamaan
a. Persamaan Lingkaran
Dari definisi di atas, yang dimaksud dengan titik tetap adalah pusat lingkaran, dan
jaraknya disebut jari-jari lingkaran. Ruas garis yang panjangnya 2r dan melalui titik
pusat disebut diameter lingkaran.
Ada dua hal penting untuk menemukan persamaan lingkaran (dalam aljabar), yakni harus
ada pusat dan jari-jari lingkaran.
Definisi:
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah
titik tertentu
𝑥 𝑦 𝑘 𝑟
Persamaan lingkaran yang berpusat (h,k) dan jari-jari r:
𝑥 𝑦 𝑟
Persamaan lingkaran yang berpusat (0,0) dan jari-jari r:
Persamaan lingkaran dalam bentuk standart:
 Pusat
 Jari-jari =
Persamaan lingkaran yang berpusat (h,k) dan menyinggung sumbu X:
dimana
Persamaan lingkaran yang berpusat (h,k) dan menyinggung sumbu Y:
dimana

Dua rumus yang sering digunakan dalam mencari persamaan lingkaran:
o Jarak diantara dua titik dan Titik tengah. Konsep ini digunakan jika diketahui titik-
titik ujung diameter lingkaran.
Diketahui titik  11, yxA dan  22, yxB , maka:
Jarak    2
21
2
21 yyxxAB 
Titik tengah antara A dan B =    





 2121
2
1
,
2
1
yyxx
o Jarak titik ke garis lurus. Konsep ini digunakan jika diketahui pusat lingkaran dan
garis singgung lingkaran.
Diketahui titik  11, yxA dan garis 0 cbyaxg , maka jarak titik A ke garis
g adalah
22
11
ba
cbyax
d



Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan
(a). berjari-jari 4 (b) melalui titik P(3, -5)
Pembahasan:
a. Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari 4 mempunyai persamaan
1622
 yx
b. Pusat lingkaran O(0,0). Karena lingkaran melalui P, maka jari-jari lingkaran adalah
jarak titik O ke titik P. Jarak     340503 22
OP . Jadi persamaan
lingkaran yang diminta adalah
.3422
 yx
Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya  5,3P dan
(a). berjari-jari 5 (b) melalui titik (2, 3) (c) menyinggung sumbu-y
Pembahasan:
a. Persamaan lingkaran dengan pusat )5,3(P dan berjari-jari 5 adalah
    222
55)3(  yx
    2553 22
 yx
Persamaan lingkaran yang berpusat (h,k) dan menyinggung sumbu X dan Y:
dimana atau dengan kata lain bahwa

b. Lingkaran dengan pusat P(-3,5) dan melalui titik (2,3) mempunyai jari-jari
    2953)3(2 22

Persamaan lingkaran itu:
    2953 22
 yx
c. Lingkaran dengan pusat P(-3,5) dan menyinggung sumbu-y, jari-jarinya adalah
jarak P(-3,5) dengan sumbu-y, yaitu 33  . Jadi persamaannya adalah
    .953 22
 yx
Contoh 3:
Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaan:
a. 0156222
 yxyx
b. 03422 22
 yxyx
Pembahasan:
a. Dari 0156222
 yxyx , maka kita peroleh: 15,6,2  CBA
1
2
1
 A dan 3
2
1
 B , Sehingga  3,1P
Jari-jari = 51591 
b. Dari 03422 22
 yxyx , maka kita bagi kedua ruas dengan 2:
0
2
3
222
 yxyx . Sehingga kita peroleh 0,
2
3
,2  CBA
4
3
2
1
&1
2
1
 BA , Maka 






4
3
,1P
Jari-jari =
4
5
16
9
1 
Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Misalkan suatu lingkaran pusat (h,k) dan jari-jari r, yakni     222
rkyhx  dan
sebuah titik  11, yxA , Maka titik A akan mempunyai tiga kemungkinan kedudukan
terhadap lingkaran:
 Jika     22
1
2
1 rkyhx  , maka A terletak di luar lingkaran
 Jika     22
1
2
1 rkyhx  , maka A terletak pada lingkaran
 Jika     22
1
2
1 rkyhx  , maka A terletak di dalam lingkaran

Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Misalkan diketahui suatu garis cmxyg : dan lingkaran     222
: rkyhxL  ,
Maka untuk menentukan kedudukan garis g terhadap lingkaran L ikuti langkah-langkah
berikut:
 Substitusikan persamaan garis g ke persamaan lingkaran L, sehingga diperoleh
persamaan kuadrat dalam variabel x, yakni 02
 cbxax
 Tentukan nilai a, b, dan c, kemudian hitunglah nilai diskriminannya  acbD 42

 Bandingkan nilai D hasil perhitungan dengan nol.
 Jika 0D , maka garis g memotong di dua titik pada lingkaran L
 Jika 0D , maka garis g memotong di satu titik pada lingkaran
L/menyinggung
 Jika 0D , maka garis g tidak memotong lingkaran L
Contoh 4:
Diketahui garis mxy  dan lingkaran 161022
 xyx . Tentukan nilai m sehingga
garis tersebut bersinggungan dengan lingkaran.
Pembahasan:
Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran, kita peroleh bentuk
persamaan kuadrat dalam x:
  016101 22
 xxm .
Diskriminan,     mmmmD 434346436164100 22

Agar garis bersinggungan dengan lingkaran maka haruslah D = 0, yakni ketika
4/3m atau 4/3m
Contoh 5:
Tentukan kedudukan titik A(-6, 8) terhadap lingkaran:
a. 10022
 yx
b. 0258622
 yxyx
c.     6421 22
 yx
Pembahasan:
a. A(-6,8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran 10022
 yx maka diperoleh:
  100643686 22
 .
Jadi, titik A terletak pada lingkaran.
b. A(-6,8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran 0258622
 yxyx maka
diperoleh:
    0252564366436258.86686 22
 .
Jadi, titik A terletak di luar lingkaran.

c. A(-6,8) disubstitusikan ke persamaan lingkaran     6421 22
 yx maka
diperoleh:
    646136252816 22
 .
Jadi, titik A terletak di dalam lingkaran.
Contoh 6:
Tentukan kedudukan garis 1:  xyg terhadap lingkaran 25: 22
 yxL .
Pembahasan:
Substitusikan persamaan garis g ke persamaan lingkaran L, maka kita peroleh:
  251 22
 xx
02422 2
 xx
0122
 xx
049 D
Jadi, garis g memotong lingkaran di dua titik.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
 Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran
Jika titik terletak pada lingkaran , maka
persamaan garis singgung yang melalui titik A adalah
Jika titik terletak pada lingkaran , maka persamaan garis
singgung yang melalui titik A adalah
Jika titik terletak pada lingkaran , maka
persamaan garis singgung yang melalui titik A adalah

 Persamaan Garis Singgung yang Bergradien tertentu
Contoh 7:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran     222
rkyhx  melalui titik  3,4 A
Pembahasan:
o Check kedudukan titik A terhadap lingkaran L
  2534 22

Jadi, titik A terletak pada lingkaran
o Karena A terletak pada lingkaran L, maka persamaan garis singgung lingkaran L
yang memalui A adalah:
2511  yyxx
2534  yx
Contoh 8:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 036422
 yxyx yang sejajar
garis 243  yx
Pembahasan:
Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis
singgung lingkaran L yang bergradien m adalah
Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgung
lingkaran L yang bergradien m adalah
Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis
singgung lingkaran L yang bergradien m adalah
 Cari dahulu Pusat(h,k) dan jari-jari(r), Kemudian gunakan rumus di bawah
ini:


Misalkan persamaan garis singgung = g dan garis 243  yx adalah k, maka
4
3
 kg mm .
Dari 036422
 yxyx , maka kita peroleh
 3,2P dan 4394 r
Sehingga, persamaan garis singgungnya:
  1
4
3
42
4
3
3
2









 xyg
4
5
1663124  xy
20634  xy
 Persamaan Garis Singgung melalui titik di luar lingkaran
Jika melalui titik  11, yxA di luar lingkaran
222
: ryxL  dibuat dua buah garis
singgung pada lingkaran dengan titik
singgungnya    3322 ,&, yxCyxB , maka
persamaan garis yang melalui B dan C
adalah 2
11 ryyxx  disebut garis polar (gp) pada lingkaran L dan titik
 11, yxA disebut titik polar (tp).
Untuk mencari persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran dapat
ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
o Mencari garis polar dari titik A terhadap lingkaran L
o Mencari titik potong gp dan lingkaran L
o Membuat persamaan garis singgung yang melalui titik potong tersebut.
LATIHAN 6A.I
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan melalui titik (7,-2)
2. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran (i) 2544 22
 yx
18)( 22
 yxii
3. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai pusat sama (kosentrik) dengan
lingkaran 922
 yx tetapi jari-jarinya tiga kali lebih panjang.

4. Tentukan m agar titik (m, -2) terletak pada lingkaran 1322
 yx
5. Misalkan titik A(1,0) dan B(9,0). Tentukan tempat kedudukan dari semua titik P(x,y)
sehingga PB=3 PA.
LATIHAN 6A.II
1. (AMC, 12A/2002/18) Misalkan 21 & CC lingkaran dengan persamaan berturut-turut
  3610 22
 yx dan   8115 22
 yx . Berapa panjang dari ruas garis
terpendek PQ yang menyinggung lingkaran 1C di P dan lingkaran 2C di Q?
2. (OSK, 2011/Tipe 1) Luas daerah di dalam lingkaran 222
21 yx tetapi di luar
lingkaran   222
147  yx dan   222
147  yx adalah ...
3. (AHSME, 1996/25/AMC8) Diketahui bahwa 661422
 yxyx , berapa
kemungkinan nilai terbesar dari yx 43  ?
4. (AHSME, 1996/20/AMC8) Dalam bidang koordinat xy, berapa rute terpendek dari titik
(0,0) ke (12,6) yang tidak melewati daerah di dalam lingkaran
    ?2586 22
 yx
5. (AHSME, 1978/10/Book IV) Jika r bilangan positif dan garis yang persamaannya
ryx  adalah garis singgung lingkaran ryx  22
, maka r sama dengan ....
6. (AHSME, 1965/13/Book II) Misalkan n adalah banyaknya pasangan bilangan (x,y) yang
memenuhi persamaan 1535  xy dan .1622
 yx Maka n sama dengan ....
7. (NYCIML, Fall 1975/3) Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi
2522
 yx dan 3 xy .
8. (NYCIML, Spring 1980/15) Ada dua lingkaran yang mempunyai pusat pada sumbu X,
melalui titik asal (0,0), dan menyinggung lingkaran     2567 22
 yx . Tentukan
jari-jari dari lingkaran yang terkecil dari keduanya.
9. (NYCIML, Fall 1981/12) Luas daerah persekutuan lingkaran     2522 22
 yx dan
    2562 22
 yx dibagi menjadi dua bagian yang sama oleh garis kyx  314
. Tentukan nilai k.
b. Persamaan Kuadrat (PK)
Bentuk Umum PK
Cara Menyelesaikan PK
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan bentuk dapat dengan
cara mengganti variabel x dengan suatu bilangan real sehingga kalimat terbuka tersebut
bernilai benar. Nilai pengganti x yang memenuhi PK disebut
penyelesaian atau akar dari PK.
𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐
Persamaan kuadrat dalam variabel x, dapat ditulis dalam bentuk umum:
dengan 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 dimana a merupakan koefisien x2
, b merupakan
koefisien x, dan c konstanta.

Untuk mencari akar-akar dari suatu PK ada beberapa cara. Dan kalian semua telah
mempelajarinya pada saat SMP. Cara tersebut diantaranya:
 Memfaktorkan
 Melengkapkan kuadrat sempurna
 Menggunakan rumus kuadrat







 

a
acbb
x
2
42
2,1
 Menggambarkan sketsa grafik fungsi 0: 2
 cbxaxf
Contoh:
(OSK 2002) Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga 2
10
10




ab
ba
b
a
.
Tentukan nilai .
b
a
Pembahasan:
Misalkan maka
Karena a tidak sama dnegan b maka jelas maka
Untuk lebih jelasnya silahkan direview kembali materi yang ada dibuku SMP Kalian.
Hubungan Jenis-Jenis Akar PK dengan nilai Diskriminan
Sebelum kita mengulas tentang hubungan jenis-jenis akar dari PK, kita kenalkan dahulu
arti dari Diskriminan PK.
Diskriminan dari suatu PK merupakan suatu yang membedakan jenis akar suatu PK. Dan
disimbolkan dengan D. Adapun rumus untuk diskriminan PK adalah:
acbD 42

Berikut ini hubungan jenis-jenis akar Pk dengan nilai D:
 Jika D>0, maka PK mempunyai dua akar real yang berlainan.
 Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya itu rasional
 Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya itu irasional
 Jika D = 0, maka PK mempunyai dua akar yang sama (akarnya kembar), real, dan
rasional.
 Jika D < 0, maka PK tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real.
Rumus Jumlah & Hasil Kali Akar-Akar PK
Jika 21 & xx adalah akar-akar PK 02
 cbxax , dengan 0a , jumlah dan hasil
kali akar-akar PK itu adalah
a
b
xx  21 dan
a
c
xx 21 .
Dari rumus di atas, maka kita peroleh identitas-identitas berikut:
   21
2
21
2
2
2
1 2 xxxxxx 
    2121
3
21
3
2
3
1 3 xxxxxxxx 

21
21
21
11
xx
xx
xx


     21
2
21
2
21 4 xxxxxx 


 
 2
21
21
2
21
2
2
2
1
21
xx
xxxx
xx




 
21
21
2
21
1
2
2
1 2
xx
xxxx
x
x
x
x 

Silahkan kalian buktikan kebenaran semua identitas di atas.
Jika 21 & xx adalah akar-akar PK 02
 cbxax , dengan 0a :
 Akar-akarnya berlawanan:   021  bxx
 Akar-akarnya berkebalikan: ca
x
x 






2
1
1
 Sebuah akarnya sama dengan nol:  
a
b
xcx  21 &00
 Kedua akarnya sama besar:  
a
b
xxxx
2
2121 
Contoh:
(OSP 2010) Persamaan kuadrat 022
 ppxx mempunyai dua akar real  & .
Jika 1633
  , maka hasil tambah semua nilai p yang memenuhi adalah ....
Pembahasan:
022
 ppxx akar-akarnya  &
Syarat akar-akar real adalah
   02142
 pp
  08  ppp
Maka syarat agar  & real adalah 08  pvp
Perhatikan bahwa 1633
 
    1633
 
   16233
 ppp
0166 23
 pp
   0842 2
 ppp
2p tidak memenuhi syarat 08  pvp
Jika 0842
 pp maka
  
 
322
12
81444 2
2,1 

p
Yang memenuhi syarat hanya 322 p
Jadi, jumlah semua nilai p yang memenuhi sama dengan 322  .
Menyusun PK
 Menyusun PK yang diketahui akar-akarnya
Untuk menyusun PK jika diketahui akar-akarnya, ada dua metode:
 Metode Faktor
   021  xxxx
dimana 21 & xx akar-akar PK

 Metode memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK
  02121
2
 xxxxxx
dimana 21 & xx akar-akar PK
 Menyusun PK jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar
PK lainnya
Untuk menyusun PK dengan kriteria ini, juga ada dua metode:
 Memakai rumus jumlah & hasil kali akar
 Penghapusan indeks, jika bentuk akar-akarnya simetris
LATIHAN 6B.I
1. (AHSME, 1950/13/Book I) The roots     04232
 xxxx are ...
2. (AHSME, 1950/38/Book I) Jika ekspresi
bd
ca
mempunyai nilai ab-cd untuk semua
nilai a, b, c, dan d, maka nilai x yang memenuhi persamaan .3
12

xx
x
adalah ...
3. (AHSME, 1950/42/Book I) The equation 2
...

xx
x is satisfied when x is equal to
...
4. (NYCIML, Fall 1976/27) Jika 0 ac dan jika 0 cba , tentukan akar yang
terbesar dari persamaan .02
 cbxax
5. (NYCIML, Fall 1978/9) Tentukan semua nilai x yang memenuhi
050
1
35
1
6
2













x
x
x
x
6. (NYCIML, Spring 1979/7) Grafik fungsi kuadrat melalui titik dengan koordinat
 ,2,1   0,1 ,  ,7,2 dan  y,3 . Tentukan nilai y.
7. (NYCIML, Spring 1979/23) Jika n bilangan bulat positif, tentukan (dalam suku n)
semua nilai x lebih dari 1 yang memenuhi 034 /1)2/(1
 nn
xx
8. (NYCIML, Fall 1980/29) If reciprocal dari (x+y) is equal to the sum of reciprocal of x
and reciprocal of y, find all possible numerical value of .
y
x
9. (NYCIML, Spring 1981/3) Find all ordered pairs (p,q) of real numbers for which
1 qp and the equation 02
 qpxx has only real roots.
10. (NYCIML, Fall 1982/1) Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi
.
3
101

x
x
LATIHAN 6B.II
1. (AMC12, 2001/23) A polynomial of degree four with leading coefficient 1 and
integer coefficients has two real zeros, both of which are integers. Which of the
following can also be a zero of polynomial?
2
111 i
;
2
131 i
;
2
1 i
; i
2
1
;or
2
1
i

2. (AMC12A, 2002/1) Berapa jumlah semua akar-akar dari persamaan
      0632432  xxxx ?

3. (AMC12A, 2002/12) Kedua akar-akar persamaan kuadrat 0632
 kxx adalah
bilangan prima. Berapa banyak nilai k yang mungkin?
4. (AMC12A, 2002/13) Two different positive numbers a and b each differ from their
reciprocals by 1. What is a + b?
5. (AMC12B, 2002/6) Andaikan a dan b bilangan real tidak nol, dan persamaan
02
 baxx mempunyai solusi a dan b. Berapakah pasangan yang mungkin
untuk (a,b)?
6. (AMC12A, 2005/9) Ada dua nilai a yang memenuhi persamaan
0984 2
 xaxx hanya mempunyai satu solusi untuk x. Berapakah jumlah
dari dua nilai a tersebut?
7. (AMC12B, 2005/8) For how many values of a is it true that the line axy 
passes through the vertex of the parabola ?22
axy 
8. (AMC12B, 2005/12) Persamaan kuadrat 02
 nmxx mempunyai akar-akar
dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat 02
 mpxx , dan tidak ada nilai m,
n, dan p yang nol. Berapa nilai dari ?
p
n
9. (AMC12B, 2006/12) Parabola cbxaxy  2
mempunyai vertek/Titik balik (p,p)
dan titik perpotongan dengan sumbu Y (0,-p) dimana p tidak sama nol. Berapa nilai
b?
10. (AMC12B, 2007/24) Berapa banyak bilangan bulat positif (a,b) sedemikian sehingga
FPB(a,b)=1 dan
a
b
b
a
9
14
 merupakan bilangan bulat?
c. Persamaan Eksponent
Sifat-Sifat Fungsi Eksponent
Jika ba, , ,0a m dan n bilangan rasional, maka sifat-sifat fungsi eksponent adalah
sebagai berikut:
 nmnm
aaa 
.
 nm
n
m
a
a
a 

   mnnm
aa 

m
m
a
a
1

   npmppnm
baba .. 

np
mp
p
n
m
b
a
b
a










m
n
m n
aa 

mn
p
mn pm n p
aaa 
 10
a

Persamaan Eksponent
1. Bentuk mxf
aa )(
2. Bentuk )()( xgxf
aa 
3. Bentuk baba xfxf
 ,)()(
4. Bentuk )()(
)()( xhxg
xfxf 
5. Bentuk      cbaabbckbka xfxf
,,,0,1,0,0)(2)(
Untuk menyelesaikan bentuk ini, ikuti langkah-langkah berikut:
 Memisalkan dahulu )(xf
ky 
 Dari pemisalan tersebut, akan diperoleh bentuk persamaan kuadrat dalam y,
yakni 02
 cbyay
 Selesaikan persamaan kuadrat yang kamu peroleh tadi, sehingga diperoleh
nilai y.
 Substitusikan nilai y tadi ke pemisalan semula, yakni )(xf
ky 
 Sehingga akan kita peroleh nilai x
LATIHAN 6C
1. (AMC12, 2001/5) Berapakah perkalian semua bilangan bulat ganjil positif kurang
dari 10.000?
A.
 2
!5000
!10000
Jika maka
Jika , maka
Jika , ,dan maka
Jika , maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut:


 , asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
 , asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya
ganjil

B.
5000
2
!10000
C.
5000
2
!9999
D.
!5000.2
!10000
5000
E.
5000
2
!5000
2. (AMC12A, 2002/3) According to the standard convention for exponentiation,
536.65222 16
22
2
222


















. If the order in which the exponentiations are
performed is changed, how many other values are possible?
3. (AMC12A, 2004/6) Misalkan 2005
2004.2U , 2005
2004V ,
, 2004
2004.2X , 2004
2004Y dan 2003
2004Z .
Dari bilangan-bilangan berikut, mana yang paling besar?
A. U – V
B. V – W
C. W – X
D. X – Y
E. Y - Z
4. (NYCIML, Fall 1977/30) Andaikan f dan g fungsi berturut-turut didefinisikan
2)(  xxf dan .)( xxg  Tentukan semua x>-2 yang memenuhi
)(3 )(3log).(
xfxfxg

5. (NYCIML, Fall 1981/8) Jika   xxx
9642  dan ax 3/2log , tentukan nilai dari
a?
6. (AHSME,1996/6/AMC7) Jika    ,2)( 31 
 xx
xxxf maka
        ....3210  ffff
7. (AHSME,1998/5/AMC7) Jika 19951995199619971998
2.2222 k , Berapakah
nilai k yang memenuhi?
d. Bentuk Akar
Konsep Bilangan Irasional
Sebelum kita mendefinisikan bilangan irasional, kita ulas kembali, pengertian dari
bilangan rasional. Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan
dalam bentuk 0,,,  qqp
q
p
.
Dari definisi di atas, maka dapat kita definisikan bahwa bilangan irasional
merupakan bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 0,,,  qqp
q
p
.
2004
2004.2003W

Bilangan Irasional Bilangan Rasional
....141592,3
....17171717,0
99
17

.....718281,2e .....00000,39 
.....414213,12  4 = 4,000000....
......6457,27 
9
15
.....66666,16,1 
UJI DIRI:
Ubahlah bentuk desimal berikut ke bentuk rasional/pecahan:
o ......777777,17,1 
o .....23232323,223,2 
o .....401401401,3401,3 
Definisi Bentuk Akar
Secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk n a
 a"darinpangkatakar"dibacan a
dengan:
√ disebut bentuk akar (radikal)
√ disebut lambang bentuk akar
disebut indeks (pangkat akar)
disebut radikan (bilangan di bawah tanda akar), dengan a bilangan riil positif
untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil
negatif.
Bentuk akar terbagi atas 2 jenis:
1. Akar Senama
Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar)nya
sama,
Contoh:
 31,19,7 , mempunyai indeks 2
 555 19,7,2 , mempunyai indeks 5

2. Akar Sejenis
Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama,
Contoh:
 75,72,7 , mempunyai indeks 2 dan radikan 7
 555 27,23,2 , mempunyai indeks 5 dan radikan 2
Operasi pada Bentuk Akar
Untuk semua bilangan real a dan b serta n bilangan asli maka berlaku:
1. √ √ √
2.
√
√
√
3. √ √ √
Catatan:
Untuk sebarang a bilangan real dan a tidak sama dengan nol, m bilangan bulat, n
bilangan asli, dan n lebih dari atau sama dengan 2 berlaku:
Merasionalkan Penyebut
 Bentuk
b
a
, 0b
Cara merasionalkan bentuk ini adalah
 Bentuk
cb
a
cb
a
cb
a
cb
a

///





 Bentuk
cb
a

 Bentuk
√ √
Menyederhanakan Bentuk Akar √ √
Bentuk   abba 2 dapat disederhanakan menjadi bentuk  ba  dengan
a, b bilangan real dan .
Contoh 1:
(OSK, 2013) Misalkan a dan b adalah bilangan asli dengan a > b. Jika √ √
√ √ maka nilai a – b adalah ...
Pembahasan:
Untuk maka kita peroleh
√ √ √ √


𝑎
√𝑏 √ 𝑐
𝑎
√𝑏 √ 𝑐
(√𝑏 √𝑏𝑐 √𝑐 )
(√𝑏 √𝑏𝑐 √𝑐 )
𝑎(√𝑏 √𝑏𝑐 √𝑐 )
𝑏 𝑐
𝑎
√𝑏 √ 𝑐
𝑎
√𝑏 √ 𝑐
(√𝑏 √𝑏𝑐 √𝑐 )
(√𝑏 √𝑏𝑐 √𝑐 )
𝑎(√𝑏 √𝑏𝑐 √𝑐 )
𝑏 𝑐

Sehingga untuk kasus
√ √ √ √ √ √
Jadi,
Contoh 2:
Tentukan nilai dari [ * √ √ + ]
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
√ √ √ √ √ √ √
* √ √ + √ (√ ) √ √ √ √ √
* * √ √ + + √ (√ ) √ √
√ √ √ √
(√ √ )
(√ √ )
Contoh 3:
Tentukan nilai dari √ √ √ √
Pembahasan:
Alternatif 1
Perhatikan bahwa
√ √ √ √ √ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √ √
Jadi, √ √ √ √ ( √ ) ( √ )
Alternatif 2
Misalkan √ √ √ √ maka
√ √ √
√

Contoh 4:
Jika
√
(√ √ ) dimana maka tentukan nilai dari
Pembahasan:
√ √
(√ √ )
(√ √ )
(√ √ )
(√ √ )
Jadi,
LATIHAN SOAL 6.d
Bagian I
1. Diketahui
√ √
√ √
√ √
√ √
Tentukan nilai dari
2. Sederhanakan bentuk berikut dengan merasionalkan penyebutnya
√ √ √
√ √ √
3. (SSSMO, 2002) Hitunglah nilai dari
(√ √ √ )(√ √ √ )(√ √ √ )(√ √ √ )
4. Nilai x yang memenuhi 2/3223223 



 



 
xx
adalah ...
5. Hitunglah nilai dari
√ √ √
√ √ √
6. Diketahui bahwa:
√ √ √ √ √ √
dimana dan relatif prima, maka tentukan nilai dari
7. Susunlah tiga bilangan berikut mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar.
√ √ √ √ √ √
8. Banyaknya bilangan prima yang memenuhi ketaksamaan
√ √ √
adalah ...

9. Hitunglah nilai dari
√ √ √
10. (CHINA, 1993) Tentukan angka terakhir dari ekspresi
√| | √ | |
11. (CHNMOL, 1993) Sederhanakan bentuk
√ (√ √ √ )
12. (CHINA, 1998) Hitunglah nilai dari
√
13. Diketahui √ √ , tentukan nilai dari
Bagian II
1. (SSSMO-J, 2007) Tentukan nilai dari
jika √ √
2. Diketahui bahwa adalah bilangan bulat yang mendekati bilangan
√
√
√
Tentukan nilai dari √ √ .
3. (CHINA, 1998) Diketahui √ √ √ √ √ √ , Tentukan nilai
dari
4. (CHINA, 1994) Sederhanakan bentuk √ √ √ √
5. Sederhanakan bentuk √ ( √ )( √ )
6. Sederhanakan bentuk
√ √ √ √ √ √
7. (SSSMO-J, 2002) Tentukan nilai dari

√
√
√
√
e. Persamaan Logaritma
Definisi Logaritma
Sifat-Sifat Logaritma
Kita asumsikan bahwa maka berlaku sifat-sifat berikut:
1)
2) ( )
3)
4) sebarang bilangan real
5) bilangan real
6)
7)
Persamaan Logaritma
1) Bentuk
2) Bentuk
3) Bentuk
4) Bentuk
Misalkan 𝑎 𝑎 bilangan real. Bilangan 𝑥 disebut
logaritma dari bilangan N , N > 0, dengan basis a jika 𝑎 𝑥
𝑁.
Dalam kasus ini ditulis sebagai 𝑥 𝑎 𝑁
Jika 𝑎 𝑓 𝑥 𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 , maka f(x) = n
Jika 𝑎 𝑔 𝑥 𝑏 𝑔 𝑥 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 , maka
𝑔 𝑥
Jika 𝑎 𝑓 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , maka
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
Jika 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 ,
maka 𝑔 𝑥 𝑥

5) Bentuk
Untuk menyelesaikan bentuk ini, ikuti langkah-langkah berikut:
 Memisalkan dahulu
 Dari pemisalan tersebut, akan diperoleh bentuk persamaan kuadrat
dalam y, yakni 02
 cbyay
 Selesaikan persamaan kuadrat yang kamu peroleh tadi, sehingga
diperoleh nilai y.
 Substitusikan nilai y tadi ke pemisalan semula, yakni
 Sehingga akan kita peroleh nilai x
 Cek, nilai x tersebut harus menyebabkan nilai f(x) > 0
Contoh 1:
(AMC12B, 2003/17) Jika dan , berapakah nilai
Pembahasan:
Perhatikan bahwa
Dari dan maka kita peroleh
Dengan eliminasi/substitusi (*) dan (**), maka kita peroleh:
Jadi,
Contoh 2:
(AMC12A, 2002/14) Untuk semua bilangan bulat positif n, misalkan .
Misalkan , maka nilai yang mungkin untuk N adalah
Pembahasan:
Contoh 3:
(AMC12B, 2002/22) Untuk semua bilangan bulat n lebih dari 1, didefinisikan
  1
2002log 
 nna . Misalkan 5432 aaaab  dan
1413121110 aaaaac  . Berapakah nilai b-c?
Pembahasan:
Kita mempunyai:
[ ] [ ]

( )
LATIHAN SOAL 6.e
1. (HSMC-USC, 2014) Misalkan bilangan didefinisikan
Tentukan nilai a?
2. (HSMC-USC, 2008) Tentukan nilai dari ( )
3. (HSMC-USC, 2012) Berapakah nilai dari ?
4. (HSMC-USC, 2012) Jika bilangan real positif, yang keduanya tidak
sama dengan 1, tentukan nilai terkecil non-negatif dari .
5. (HSMC-USC, 2011) Jika , tentukan dalam
suku dan
6. (HSMC-USC, 2010) Andaikan dan dua bilangan real positif yang
memenuhi . Tentukan nilai dari
7. (HSMC-USC, 2010) Andaikan , berapakah nilai dari
8. (HSMC-USC, 2006) Tentukan nilai dari
9. (HSMC-USC, 2006) Didefinisikan barisan dan untuk ,
{
Tentukan nilai terkecil bilangan bulat n sehingga
10. (HSMC-USC, 2003) Misalkan a dan b dua solusi positif persamaan
Berapa nilai dari
11. (HSMC-USC, 2001) Tentukan nilai yang memenuhi persamaan
√
12. (HSMC-USC, 2000) Berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan
untuk bilangan real
13. (HSMC-USC, 2013) Tentukan nilai sehingga persamaan
mempunyai tepat satu akar real.

7. Barisan dan Deret
Pendahuluan Barisan
Perhatikan barisan sederhana berikut: 1, 2, 3, 4, .... Ini mudah kita dapat menentukan suku
berikutnya, yakni dengan menambah 1 suku sebelumnya. Jadi, rumus suku ke-n barisan
sederhana ini adalah n. Di bawah ini ada tabel tentang rumus suku ke-n suatu barisan:
Barisan Rumus Suku Ke-n
1, 3, 5, ..... 2n - 1
13, 8, 3, .... 18-5n
1, 4, 9, 16, ... n2
1/2, 1/4, 1/8, ... 1/2n
...,
8
7
,
4
5
,
2
1 n







2
1
1
NB: untuk n dan 1n berkorespondensi dengan suku ke-1 dari suatu barisan, 2n
berkorespondensi dengan suku ke-2 dari suatu barisan, dst.
Notasi Penjumlahan
Perhatikan penulisan jumlah dari kuadrat n bilangan asli pertama dalam notasi sigma adalah


n
i
in
1
22222
...321 . Contoh lain penulisan dalam notasi sigma adalah sebagai
berikut:
  

n
i
in
0
)2()2(...8421
 

n
i
in
1
!!...!3!2!1
Contoh-contoh di atas merupakan jumlah berhingga, berikut diberikan contoh jumlah tak
berhingga:
  







0
2
2
1
....
8
1
4
1
2
1
1
i
i
 

0
2...8421
i
i
Contoh 1:
Tentukan nilai 

4
1 2
)!2(
i
n
n
(n!=1.2.3....(n-1).n)
Pembahasan:
.261725209061
16
!8
8
!6
4
!4
2
!2
2
)!2(4
1

i
n
n
Barisan & Deret Aritmatika (Deret Hitung)
Pada saat di SMP Kelas IX, telah di bahas tentang baik Barisan dan deret Aritmatika maupun
geometri. Di sini akan direview tentang rumus suku ke-n, rumus jumlah n suku pertama, dan
rumus suku tengah.
bnaUn )1( 

   bna
n
Ua
n
S nn )1(2
22

2
n
t
Ua
U

 , dimana n merupakan bilangan ganjil
Ket:
nU : Suku ke-n
nS : Jumlah n suku pertama
tU : Suku tengah
nba &,, berturut-turut: suku pertama, beda, dan banyaknya suku
12312 ....  nn UUUUUUb
Perhatikan deret berikut, nn  )1(....321 , merupakan jumlah n suku pertama
bilangan asli, juga merupakan deret aritmatika dengan a=b=1. Sehingga
     
2
1
)1(2
2
)1(2
2


nn
n
n
bna
n
Sn .
Jadi,
2
)1(
...321
1



nn
ni
n
i
.
Contoh 2:
Tentukan nilai jumlah: 222222
12...1993199419951996 
Pembahasan:
Jumlah pada soal, dapat kita tulis sebagai
     222222
12....1993199419951996  dan jika kita amati maka terdapat 998
pasang bilangan. Sehingga dapat dapat menulis dalam notasi sigma,
       

998
1
22
998
1
22
144412)2(
ii
nnnnn
  

998
1
14
i
n


998
1
998
1
14
ii
n
   .998000998
2
19989984



Contoh 3:
(OSK, 2009) Jika untuk dan maka
Pembahasan:
Perhatikan bahwa .
Ini merupakan deret aritmatika dengan beda 2 dan suku pertama 1.
( )
LATIHAN SOAL 7.(i)
1. (HSMC-USC, 2010) Berapa bilangan bulat positif terkecil sehingga
2. Misalkan adalah barisan bilangan bulat sehingga dan

untuk setiap bilangan bulat positif m dan n. Maka
adalah ...
3. Diketahui dengan untuk Jika
dan Tentukan
Catatan: ∑
4. Jika jumlah 2015 bilangan bulat positif berurutan adalah sebuah bilangan kuadrat
sempurna. Tentukan nilai minimum dari ke 2015 bilangan tersebut.
5. Misalkan adalah barisan aritmatika dengan
Berapakah nilai dari .
6. (OSK, 2006) Diketahui Jika bilangan
positif, maka
7. (OSK 2006) Barisan 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, ⋅⋅⋅ terdiri dari semua bilangan asli yang bukan
kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat. Suku ke-250 barisan adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
8. (OSP, 2009) Bilangan rasional membentuk barisan hitung (aritmatika)
dan Banyaknya bilangan positif a yang memenuhi adalah ...
9. (OSK, 2006) Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5.
Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ...
10. (OSP 2011) Diberikan barisan bilangan rasional   kka yang didefinisikan dengan
21 a dan
1
1
1



n
n
n
a
a
a , n . Nilai 2011a adalah ....
11. (SPMB, 2002/II) Enam buah bilangan membentuk deret aritmatika. Jika jumlah empat
bilangan pertama adalah 50 dan jumlah empat bilangan terakhir adalah 74, maka jumlah
bilangan ketiga dan keempat adalah ....
12. (SPMB, 2002/III) Suatu deret aritmatika terdiri dari sepuluh suku dan jumlahnya 145. Jika
jumlah dari suku keempat dan suku kesembilan sama dengan lima kali suku ketiganya,
maka beda deret adalah ....
13. (AIME, 1989) k adalah bilangan bulat positif yang memenuhi
adalah kuadrat dari tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Tentukan k.

Barisan & Deret Geometri (Deret Ukur)
Berikut rumus-rumus berkaitan dengan barisan geometri:
Keterangan:
: Suku ke-n
: Jumlah n suku pertama
: Berturut-turut menyatakan suku pertama, rasio, dan banyaknya suku
Contoh 1:
Rumus jumlah n suku pertama diberikan sebagai berikut: 13 n
, berpakah suku pertama deret
ini? Apakah deret ini merupakan deret geometri dan jika ya, berapakah rasionya?
Pembahasan:
13  n
nS dan 13 1
1  

n
nS .
Sekarang, rumus suku ke-n deret ini:
.3.21313 11
1

  nnn
nnn SSU
Jadi, .21  aU
Jelas, ini merupakan deret geometri dengan rasio 3.
Contoh 2:
Tentukan rumus jumlah n suku deret: ....
16
177
8
63
4
21
2
3

Pembahasan:
....
16
177
8
63
4
21
2
3

...
16
1
11
8
1
8
4
1
5
2
1
1 
























...
2
1
11
2
1
8
2
1
5
2
1
2
432
























































 

  































 ...
2
1
2
1
2
1
2
1
...11852
4321
   





 

n
i
in
i
i
11 2
1
13
...
16
1
11
8
1
8
4
1
5
2
1
2 
























𝑈 𝑛 𝑎𝑟 𝑛
𝑆 𝑛
𝑎 𝑟 𝑛
𝑟
𝑟
𝑎 𝑟 𝑛
𝑟
𝑟

 









































1
2
1
3
1
2
13
1
2
1
1
2
1
2
1
3
1
n
n
n
i
n
nn
ni
 

































 1
2
1
3
1
2
13
1
2
1
3
1
2
3 2 nn
nnnn
.
LATIHAN SOAL 7.(ii)
1. (SPMB, 2002/II) Jika tiga bilangan q, s, dan t membentuk barisan geometri, maka
tunjukkan bahwa
2. (OSK, 2014) Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama
tetap, bilangan kedua ditambah 10 dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima,
maka ketiga bilangan ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan
bulat berurutan adalah ....
3. (CMO, 1975) Pada sebuah bilangan positif 3,27 mempunyai arti bahwa 3 mewakili
bagian bulat dari bilangan dan 0,27 mewakili bagian desimal suatu bilangan.
Tentukan bilangan positif yang memenuhi bagian desimal, bagian bulat, dan
bilangan itu sendiri membentuk barisan geometri.
4. (CMO, 1979) Buktikan bahwa jika
i.
ii. adalah barisan aritmatika dan
iii. adalah barisan geometri.
8. Prinsip Teleskopik
Ada dua bentuk umum dari prinsip teleskopik, yakni penjumlahan dan perkalian.
           11212312
2
1 ... FFFFFFFFFFFF nnnnn
n
k
kk  



112
1
3
4
2
3
1
2
2 1
.......
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F n
n
n
n
n
n
k k
k 


 
 .
Contoh 1:
....
2015
1
1....
6
1
1
5
1
1
4
1
1 
























Solusi:

Ini merupakan salah satu contoh penerapan dari teleskopik perkalian,
.
2015
3
.
2015
2014
.....
6
5
.
5
4
.
4
3
2015
1
1....
6
1
1
5
1
1
4
1
1 
























Contoh 2:
Hitunglah bentuk dari 
2015
1
!
k
kk
Solusi:
Jika kita tulis,     !!111!! kkkkkk  , maka soal di atas dapat ditulis menjadi
 

2015
1
!)!1(
k
kk setelah menerapkan konsep teleskopik penjumlahan kita dapat
  .1!2015!
2015
1
k
kk
Contoh 3:
Buktikan bahwa 









2
2 2
11
1
n n
Solusi:
Perhatikan bahwa:

































N
n
N
n
N
n
N
n nnnnn 2222
2
1
1.
1
1
1
1
1
1
1
1




N
n
N
n n
n
n
n
22
11
NN
NN
N 2
1
2
1
2
1
2
1
.
1





Ketika N medekati takhingga, maka 









2
2 2
11
1
n n
. (Terbukti)
Contoh 4:
Buktikan bahwa
√ √ √ √ √
Solusi:
Dengan merasionalkan penyebut masing-masing suku pada ruas kiri dan menggunakan prinsip
teleskopik penjumlahan maka kita peroleh:
[( √ ) (√ √ ) (√ √ )] (terbukti)

Contoh 5:
Hitunglah
Solusi:
Perhatikan bahwa
Sehingga permasalahn pada soal ekuivalen dengan
LATIHAN SOAL 8
1. (HSMC-USC, 2011) Misalkan ( ) ( ) ( ) . Tentukan
nilai dari
2. (HSCM-USC, 2010) Berapakah nilai dari
3. (HSMC-USC, 2007) Berapakah nilai dari
4. (HSMC-USC, 2003) Berapakah nilai dari
( ) ( ) ( ) ( )
5. Tentukan hasil dari
√ √ √ √ √
6. Untuk bilangan real dirumuskan suatu fungsi
Maka tentukan hasil dari
∑
7. Nilai dari

9. Segitiga harmonik (Variasi dari Segitiga Pascal) mempunyai sifat-sifat berikut:
i) Baris ke-n mempunyai n elemen/entri, elemen pertama dan terakhir adalah
1/n.
ii) Tiap-tiap elemen adalah jumlah dari dua elemen dibawahnya langsung
(pada baris sesudahnya).
Beberapa baris segitiga harmonic disajikan dalam gambar berikut:
Semua jumlah dari elemen/entri segitiga harmonik adalah ∑ adalah divergen.
Tentukan jumlah semua elemen/suku pada daerah yang diarsir.
10. (HSMC-USC, 2014) Barisan bilangan didefinisikan sebagai
√ √
dimana n bilangan bulat positif. Jumlah n suku pertama
barisan didefinisikan sebagai ∑ . Berapa banyak suku-suku dalam
barisan yang merupakan bilangan rasional?
NB:
√
irrasional
11. (HSMC-USC, 2000) Pertidaksamaan berikut berlaku untuk semua bilangan bulat
positif n:
√ √
√
√ √
Berapa nilai bilangan bulat terbesar yang kurang dari
∑
√
9. Metode Pembuktian
Pada hakekatnya, semua soal dalam matematika mempunyai struktur yang sama.
Struktur tersebut berbentuk Implikasi. Implikasi merupakan pernyataan majemuk yang
berbentuk “ ”, dibaca jika p maka q. Adapun tabel kebenaran untuk implikasi
adalah

B B B
B S S
S B B
S S B
Dari bentuk implikasi kita dapat membentuk implikasi baru. Implikasi baru itu adalah
konvers, invers, dan kontraposisi.
Implikasi Kontraposisi Konvers Invers
B B B B B B
B S S S B B
S B B B S S
S S B B B B
Dari tabel di atas maka jelas bahwa
 Implikasi ekuivalen dengan Kontraposisi
 Konvers ekuivalen dengan Invers.
Berikut ini akan dibahas dua metode pembuktian dalam matematika:
A. Bukti Langsung
Metode ini merujuk pada proposisi bahwa
Jika kita misalkan bahwa bernilai benar maka dengan informasi yang sudah kita
punyai dari , kita harus membuktikan bahwa benar. Secara umum alur dari
metode ini adalah:
Contoh 1:
Misalkan dan bilangan positif. Jika maka buktikan bahwa √ √ .
Pembahasan:
Andaikan
Kurangkan dari kedua sisi, maka kita peroleh
Proposisi: Jika p, maka q.
Bukti:
Andaikan p
…….
……
…….
Jadi q berlaku.

(√ ) (√ )
(√ √ )(√ √ )
Karena x, y bilangan positif, maka (√ √ ) merupakaan bilangan positif
Bagi kedua ruas dengan (√ √ ) maka kita peroleh
√ √ . Ini berarti √ √
Jadi terbukti bahwa √ √
Contoh 2:
Buktikan bahwa jika bilangan real positif maka √ .
Pembahasan:
Andaikan bilangan real positif
Maka kita mempunyai
√
Jadi, terbukti bahwa √
LATIHAN SOAL 9.A
1. Misalkan sehingga
( )
untuk setiap . Buktikan bahwa fungsi konstan.
2. Misalkan adalah bilangan real bukan nol yang berbeda sehingga
Buktikan bahwa
3. Jika merupakan faktor dari sukubanyak
dengan tidak sama dengan nol maupun satu. Buktikan bahwa
4. Misalkan √ √ √ dan

√ √ √ √ √ √
Buktikan bahwa
5. Jika memenuhi persamaan
buktikan bahwa
B. Kontradiksi
Cara pembuktian dengan metode ini adalah sebagai berikut:
1. Pernyataan diasumsikan salah
2. Kita harus menemukan suatu pertentangan dengan kondisi yang sudah
diketahui di soal/fakta dalam matematika/teorema sebelumnya. Kontradiksi
ini menunjukkan bahwa pernyataan pada soal adalah benar.
Untuk lebih memperjelas tentang metode pembuktian dengan kontradiksi, maka
perhatikan beberapa contoh berikut:
Contoh 1:
Buktikan bahwa tidak ada fungsi yang memenuhi untuk
semua sedemikian sehingga | |
Pembahasan:
Andaikan ada.
Misalkan
Karena | | | | maka kita mempunyai
Sehingga katakana saja bahwa
Akhirnya karena | | | | , kita mempunyai
Sehingga
Dari kondisi tersebut di atas maka untuk sebarang yang tidak sama dengan nol,
maka kita peroleh . Jelas hal ini kontradiksi dengan yang
diketahui bahwa untuk setiap berlaku .
Jadi, terbukti bahwa tidak ada fungsi yang memenuhi kondisi pada soal.
Contoh 2:
(COMC, 1999) Jika adalah bilangan ganjil, tunjukkan bahwa
sukubanyak tidak dapat diekspresikan ke dalam bentuk
dengan semuanya adalah bilangan bulat.

Pembahasan:
Andaikan sukubanyak dapat dinyatakan ke dalam
bentuk dengan semuanya adalah bilangan
bulat, maka kita peroleh:
Dari kesamaan di atas, maka
Karena bilangan ganjil maka jelas bahwa dan
keduanya ganjil. Karena d ganjil maka persamaan (1) maka jelas bahwa q dan r
juga ganjil. Dari persamaan (2) dan (3) kita peroleh:
Karena ruas kiri adalah bilangan ganjil. Karena r ganjil maka genap.
Untuk q ganjil maka genap. Sehingga ruas kanan genap. Hal ini suatu
kontradiksi.
Jadi, Terbukti jika adalah bilangan ganjil, tunjukkan bahwa sukubanyak
tidak dapat diekspresikan ke dalam bentuk
dengan semuanya adalah bilangan bulat.
LATIHAN SOAL 9.B
1. (COMC, 2001) Misalkan dengan p, q, dan r
bilangan bulat. Buktikan bahwa jika dan keduanya ganjil maka
tidak mungkin ketiga akar persamaan semuanya bilangan bulat.
2. (JMM, No 11/2009) Buktikan bahwa system persamaan
√
tidak memiliki solusi real taknol
3. Diberikan adalah bilangan real serta dan mempunyai
tanda yang sama. Tunjukkan bahwa persamaan kedua
akarnya tidak mungkin terletak pada interval

Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Teori Bilangan Hal 80
BAB II
TEORI BILANGAN
1. Keterbagian
Definisi
Jika a dan b bilangan bulat dengan kita katakan a membagi b jika ada bilangan bulat c
sedemikian sehingga Jika a membagi b, kita katakan juga bahwa a adalah pembagi
atau faktor dari b atau b merupakan kelipatan dari a.
Jika a membagi b dapat kita tulis | dan jika a tidak membagi b, kita tulis .
Contoh 1:
Berdasarkan ilustrasi tentang konsep keterbagian dari bilangan bulat, maka
| | | | |
Contoh 2:
Pembagi dari 6 adalah Adapun pembagi dari 17 adalah
Sifat-Sifat Keterbagian
Jika a, b, c, m, dan n merupakan bilangan bulat maka berlaku sifat-sifat berikut:
a. | ( )
b. Jika | | maka | ( )
c. Jika | | maka |( ). ( )
d. Jika | maka | ( )
e. |
f. Jika | maka
g. |
h. Jika | | maka
Bukti untuk sifat a & d – h diserahkan kepada pembaca. Sekarang akan kita buktikan sifat b
dan c.
Sifat b
Karena | | maka ada bilangan bulat e dan f sedemikian sehingga
Perhatikan bahwa ( ) ( ) Karena e dan f bilangan bulat, maka ef juga bilangan
bulat, sehingga dapat kita simpulkan bahwa | (terbukti)
Sifat c
Karena | | maka ada bilangan bulat e dan f sedemikian sehingga
Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) Karena m, e,n,f bilangan bulat
maka me+nf juga bilangan bulat Sehingga dapat kita simpulkan bahwa |( ) (terbukti)

Langkah Emas Menuju Sukses OSN Matematika- Bidang Teori Bilangan Hal 81
Contoh 3-a:
Karena | | berdasarkan sifat c maka 3 membagi .
Contoh 3-b:
Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, tidak habis dibagi oleh 121.
Pembahasan:
Perhatikan bahwa ( )( ) .
Sehingga | |( )( ). Jadi, jika ( )( ) maka 121 tidak
membagi .
Kita asumsikan 11 membagi (n+7)(n-4), maka | | .
Karena | | , maka |( )( ).
Jelas bahwa , sehingga ( )( ) .
Jadi, untuk kasus ini terbukti bahwa .
Algoritma Pembagian
Jika a dan b bilangan bulat sedemikian sehingga maka terdapat secara unik bilangan
bulat q dan r sedemikian sehingga dimana
Ket: q merupakan hasil bagi, r merupakan sisa pembagian, a merupakan bilangan yang dibagi, dan b
adalah pembagi.
Perhatikan bahwa a dapat habis dibagi b jika dan hanya jika sisa pada lagoritma pembagian
sama dengan nol.
Contoh 4:
Jika a=133 dan b=21, maka q=6 dan r=7, Karena Dan juga Jika a=-50 dan
b=8, maka q=-7 dan r=6, Karena ( )
Definisi
Jika sisa ketika n dibagi 2 adalah 0, maka untuk suatu bilangan bulat positif k dan ini
kita sebut bahwa n adalah bilangan genap. Sedangkan Jika sisa ketika n dibagi 2 adalah 1,
maka untuk suatu bilangan bulat positif k dan ini kita sebut bahwa n adalah
bilangan ganjil.
Dengan cara yang sama, ketika d=4, kita gunakan algoritma pembagian di atas: Jika n dibagi
dengan 4, maka sisanya adalah 0, 1, 2, atau 3. Sehingga, setiap bilangan bulat dapat
berbentuk: untuk suatu bilangan bulat k.

Buku osn 2015-didik

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Buku osn 2015-didik

Similar to Buku osn 2015-didik (20)

More from Didik Sadianto

More from Didik Sadianto (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Buku osn 2015-didik