matematika pokok bahasan himpunan

1. HIMPUNAN
.

2. HIMPUNAN
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang
didefinisikan (diterangkan) dengan jelas
Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D,
…,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung
kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma
Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau
objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan
anggota dari himpunan itu
Contoh:
A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10
A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

3. Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi
pembentuk himpunan
3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20
1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x  A}
1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang
atau sama dengan 15
2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan
-5 tetapi kurang dari 10
Jawaban :
2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x  B }
3. D = { x | x < 20 , x  A }

4. Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya
Jawaban:
= { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }
= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }
1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x  A}
2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x  B }
3. D = { x | x < 20 , x  A }

5. Keanggotaan Suatu Himpunan
Contoh:
A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 }
1  A 1  B
3  A 3  B
5  A 5  B
7  A 7  B
9  A 9  B
2  B 2  A
4  B 4  A
6  B 6  A
8  B 8  A
10  B 10  A
Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5
Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6
12  B 12  A
Catatan: Lambang  dibaca “elemen” atau anggota
Lambang  dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota
Lambang n(A), n(B) disebut bilangan kardinal

6. D = { x | x orang yang tingginya lebih dari
5 m}
HIMPUNAN KOSONG
DEFINISI:
Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota
dan dilambangkan dengan { } atau 
Contoh :
F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }
Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5
meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)
Sekarang cobalah kalian membuat notasi himpunan yang
mendefinisikan himpunan kosong (waktumu 5 menit)

7. Himpunan Lepas
Definisi:
Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua
himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama
Contoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }
Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ?
Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L
dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G
Himpunan Tidak Saling Lepas
Definisi:
Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas
(berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama
Contoh :
P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Q = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }
Himpunan P dan himpunan Q tidak saling lepas karena mempunyai
anggota yang sama (persekutuan) yaitu 2, 4, 6, dan 8, jadi P  Q

8. Himpunan Semesta
Definisi :
Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek
yang dibicarakan
Contoh :
A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}
B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }
C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }
D = { 2,3,5,7,11 }
E = { 0, 2, 4, 6 }
Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E
1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ?
2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ?
Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh
karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D
Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi
angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu Himpunan B dan C
merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, dan Himpunan A bukan himpunan
semesta dari himpunan E

9. HIMPUNAN BAGIAN
Definisi:
A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota
himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan
dengan A  B
Contoh:
S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }
a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?
b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?
Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C
a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota
himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari
himpunan A, jadi B  A
b. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di
dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari
himpunan A, jadi C  A

10. Rumus Banyaknya Himpunan Bagian
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya
himpunan bagian dari A adalah sebanyak 2n(A)
Contoh:
Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut
1. A = { a, b, c }
2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Jawab:
1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari
A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8
2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari
B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
3. n(C) = 7 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari
C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

11. Himpunan Sama
Definisi:
Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu
sama bentuk dan jumlahnya
Contoh :
A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }
Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o
maka himpunan A = B
Himpunan Ekuivalen
Definisi:
Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan
itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama
Contoh :
P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Kedua himpunan P dan Q anggota-anggotanya tidak sama tetapi jumlah
anggotanya sama maka himpunan P Ekuivalen dengan Q, jadi ( P ~ Q )

12. Irisan Dua Himpunan (Interseksi)
Definisi:
Irisan himpunan A dan B ditulis A  B adalah himpunan semua objek yang
menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B
Contoh:
Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P  Q
P  Q = { d, e }
Jawab :
Gabungan Dua Himpunan ( Union)
Definisi:
Gabungan himpunan A dan B ditulis A  B adalah himpunan semua objek
yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B
Contoh:
Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P  Q
Jawab : P  Q = { a, b, c, d, e, f, g, h }

13. Diagram Venn
Langkah-langkah menggambar diagram venn
1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan
2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama
3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah
4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi
anggota bersama tadi
5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan
6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam
lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu
7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana
segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah
anggotanya apabila belum lengkap

14. Contoh:
Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }
A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 }
Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas
Jawab:
6
3
2
4
1
5
8 10
9
12
A
B
C
S
7
11
13
14
6 adalah anggota yg dimiliki
oleh himpunan A,B,C
3 dan 6 adalah anggota yg
dimiliki oleh himpunan A
dan C
2,4, 6 adalah anggota yg
dimiliki oleh himpunan A
dan B
0

15. Contoh 2:
Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari
dan 10 orang gemar keduanya.
a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis?
b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari?
c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?
Jawab:
N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21
B = {siswa gemar menari} n(B) = 16
A  B = {siswa gemar keduanya} n(A  B) = 10
Perhatikan Diagram Venn berikut
10
A B
11 6
S
5
a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis
b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari
c. Ada 5 siswa yang tidak gemar keduanya

16. Contoh 3:
Diketahui : S = { x | 10 < x ≤ 20, x  B }
M = { x | x > 15, x  S }
N = { x | x > 12, x  S }
Gambarlah diagram vennya
Jawab : S = { x | 10 < x ≤ 20, x  B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }
M = { x | x > 15, x  S } = { 16,17,18,19,20}
N = { x | x > 12, x  S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}
M  N = { 16,17,18,19,20 }
16
17
18
19
20
M
N
13
14 15
S
11
12
Diagram Vennya adalah sbb:

17. Contoh 4:
Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5
orang tidak suka keduanya.
a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?
b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?
c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?
Jawab: N(S) = 60
Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20
B = {siswa suka siomay} n(B) = 46
Maka A B = {suka keduanya}
(A B)c = {tidak suka keduanya} n((A B)c) = 5
n(A B) = x
{siswa suka bakso saja} = 20 - x
{siswa suka siomay saja} = 46 - x
Perhatikan Diagram Venn berikut
x
A B
20 - x 46 - x
S
5
n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5
60 = 71 - x
X = 71 – 60 = 11
a. Yang suka keduanya adalah x
= 11 orang
b. Yang suka bakso saja adalah
20-x = 20-11= 9 orang
c. Yang suka siomay saja adalah
46-x = 46-11= 35 orang

18. Kembali ke halaman utama