Bahan Ajar kesebangunan

1. KESEBANGUNAN
Untuk SMP Kelas IX
Ika Deavy Martyaningrum (4101414013)
Desinta Yosopranata (4101414008)

2.  Menunjukkan perilaku ingin tahu dalam melakukan
aktivitas di rumah, sekolah, dan masyarakat sebagai
wujud implementasi mempelajari sifat-sifat segitiga
sebangun dan kongruen (KI 2)
 Memahami konsep kesebangunan dan kekongruenan
geometri melalui pengamatan (KI 3)
 Menyelesaikan permasalahan nyata hasil pengamatan
yang terkait penerapan kesebangunan dan
kekongruenan (KI 4)
 Mengetahui 2 bidang datar
kongruen
 Mengetahui 2 bidang datar
sebangun
 Mengetahui Segitiga kongruen
 Mengetahui Segitiga sebangun
 Aplikasi kesebangunan
 Bangun datar (kelas VII)
 Perbandingan
 Mengidentifikasi besaran-besaran bangun datar
yang berkaitan dengan bentuk dan ukuran bangun.
 Mengidentifikasi dua bangun datar sebangun atau
kongruen.
 Mengetahui syarat 2 bidang datar kongruen
 Mengetahui syarat 2 bidang datar sebangun
 Mengetahui sifat 2 bidang datar kongruen
 Mengetahui sifat 2 bidang datar sebangun
 Mengidentifikasi segitiga kongruen atau sebangun
 Mengetahui syarat segitiga kongruen
 Mengetahui syarat segitiga sebangun
 Mengetahui sifat segitiga kongruen
 Mengetahui sifat segitiga sebangun
 Memecahkan masalah sederhana yang berkaitan
dengan kesebangunan

3. :
PETA KONSEP
Kesebangunan
Bangun Datar
2 bidang datar kongruen 2 bidang datar sebangun
segitiga kongruen segitiga sebangun
Syarat Sifat
Aplikasi

4. Persegi panjang ABCD dengan AB = 30 cm dan AD = 12 cm dibagi menjadi 4 persegi, yaitu
persegi AEMH, EBFM, HMND, dan MFCN.
Dengan melihat pada gambar di atas, maka kita mungkin bertanya, sebagai contoh, apakah
persegi panjang AEMH bentuknya sama dengan persegi panjang ABCD?
Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan persegi panjang AEMH dan ABCD.
Dan kita dapatkan,
i. = = ; = =
= = ; = =
ii. m = m ; m = m ; m = m ; m = m
Jadi, dapat dikatakan bahwa persegi panjang AEMH sebangun dengan persegi panjang ABCD,
dan bentuk kedua persegi panjang tersebut adalah sama.
Kita dapat menuliskan, persegi panjang AEMH ~ persegi panjang ABCD, yang dibaca “persegi
panjang AEMH sebangun dengan persegi panjang ABCD”
Bangun-Bangun Goemetri yang SebangunA.
Dua bangun geometri dikatakan sebangun jika dan hanya jika bentuknya sama.
A BE
D C
FH
M
N
6 cm
6 cm
6 cm
6 cm
15 cm 15 cm
15 cm 15 cm
12 cm
30 cm
Perhatikan gambar berikut.
Dua bangun geometri dengan sisi-sisi lurus dikatakan sebangun jika:
a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama
b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Lambang ~ biasa digunakan untuk menunjukkan kesebangunan.

5. Contoh :
AD = 2 cm, dan CD = 3 cm ; EH = 2 cm, dan GH = 4 cm.
Apakah persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang EFGH?
Jawab :
Hanya ada dua jenis sisi pada sebuah persegi panjang, yang satu disebut panjang dan yang
satu lagi disebut lebar. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah perbandingan dari panjang
terhadapa panjang dan lebar terhadap lebar. Di mana panjang adalah sisi yang lebih panjang dan
lebar adalah sisi yang lebih pendek.
Perbandingan dalam panjang = =
Perbandingan dalam lebar = = = 1
Karena perbandingan dalam panjang tidak sama dengan perbandingan dalam lebar, maka
persegi panjang ABCD tidak sebangun dengan persegi panjang EFGH.
Dapat ditulis sebagai :
Persegi panjang ABCD persegi panjang EFGH
A B
D C
E F
H G
Untuk keindahan estetika, gambar yang memiliki bentuk yang sama sering digunakan dalam desain
arsitektur. Jika kita berjalan-jalan disekitar lingkangan, kita dapat menemukan bangunan dengan
desain dinding dan lantai yang memiliki gambar yang bentuk dan ukurannya identik/ sama.
Disamping tujuan keindahan gambar, bentuk yang sama juga dapat digunakan untuk memecahkan
masalah dalam situasi nyata. Misalnya untuk menentukan ketinggian pohon yang tinggi tanpa
memanjatnya atau untuk memperkirakan jarak untuk melintasi danau.
Motif batikMotif wallpaper dinding Motif ubin

6. Bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika bangun-bangun datar tersebut mempunyai bentuk dan
ukuran yang sama. Lambang biasa digunakan untuk menunjukkan kekongruenan.
Bangun-Bangun Goemetri yang Sama dan Sebangun (Kongruen)B.
Dua bangun geometri dengan sisi-sisi lurus adalah kongruen jika
a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Ikuti langkah-langkah berikut ini.
1. Buatlah jajargenjang ABCD dan EFGH seperti pada gambar di bawah ini.
2. Guntinglah kedua gambar tersebut dengan mengikuti sisi-sisinya.
3. Tempelkan jajargenjang ABCD di atas jajargenjang EFGH sedemikian hingga menutup
dengan sempurna jajargenjang EFGH.
4. Sekarang perhatikan masing-masing sisi dan sudut yang saling berhimpitan.
5. Diskusikan dengan dengan teman, apakah pada kedua bangun di atas terdapat pasangan sisi-
sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar? Apakah kedua segitiga itu
kongruen? Jelaskan alasanmu.
A
B
D
C
E
F
H
G
1. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.
2. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang.

7. Contoh :
m = 30 dan m = 150
ABCD dan EFGH adalah jajar genjang - jajar genjang. Apakah ABCD kongruen dengan EFGH?
Jawab :
AB = EF = 6 cm; CD = GH = 6 cm
BC = FG = 4 cm; DA = HE = 4 cm
m = m = 150 ; m = m = 150
m = m = 30 ; m = m = 30
Jadi, ABCD EFGH
Seni Mozaik dan Kekongruenan
Seni mozaik adalah pola yang dibentuk oleh pengulangan bentuk utama, dengan tidak saling
tumpang tindih dan tidak ada celah diantara bentuk yang diulang.
Polygon beraturan yang dapat menjadi seni mozaik adalah persegi, segitiga sama sisi dan segienam
beraturan.
Seni mozaik juga dapat dibentuk dari polygon tak beraturan atau kombinasi dari dua atau lebih
polygon beraturan.
G
H
F EA
B C
D
6 cm
4 cm
6 cm
4 cm E

8. Banyak bentuk lain yang dikombinasikan ada dimodifikasi dari polygon yang dapat menjadi seni
mozaik.
Bentuk mozaik juga dapat ditemukan di alam. Misalnya, sarang lebah yang terdiri dari banyak sel
berbentuk segienam atau heksagonal.
Pola berulang dari bentuk kongruen biasanya juga digunakan dalam desain dan arsitektur.
Contohnya seni mozaik juga digunakan dalam gambar islami yang dapat dinikmati pada elemen
arsitektur.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972) seniman Belanda terkenal dengan seni gambar mozaik.

9. Contoh :
1.
Jika persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang EFGH, maka tentukan panjang sisi
EH!
Jawab :
Perbandingan dalam lebar = perbandingan dalam panjang
 =
 EH = 6 x = 9 cm
2. Pada segitiga ABC, AC = 8 cm dan m = 80 . Pada segitiga DEF, m = 40 . Jika
segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF, maka tentukan :
a. m
b. DF
Jawab :
a. m = m = 80
m = 180 - m - m = 180 - 40 - 80 = 60
b. DF = AC = 8 cm
Menentukan Sisi yang Belum Diketahui dari Bangun-
Bangun Geometri yang Sebangun atau Kongruen
C.
A B
C D
E F
G H
A
B
C
E
D F

10. Dalil kekongruenan segitiga:
1. Dalil S S S (sisi sisi sisi)
Dua segitiga kongruen jika semua sisi dari segitiga yang pertama kongruen dengan semua
sisi pada segitiga yang kedua.
2. Dalil S Sd S (sisi sudut sisi)
Jika dua sisi dan sudut diantara kedua sisi tadi pada suatu segitiga kongruen dengan dua sisi
dan dan sudut diantara kedua sisi pada segitiga lainnya, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
3. Dalil Sd S Sd (Sudut Sisi Sudut)
Jika dua sudut dan sisi diantara kedua sudut tadi pada suatu segitiga kongruen dengan dua
sudut dan sisi diantara kedua sudut pada segitiga lainnya, maka kedua segitiga tersebut
kongruen.
A B
C
Q
Segitiga-segitiga kongruenD.
𝐴𝐵 𝑃𝑄 atau 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄
𝐵𝐶 𝑄𝑅 atau 𝐵𝐶 = 𝑄𝑅
𝐶𝐴 𝑅𝑃 atau 𝐶𝐴 = 𝑅𝑃
Maka menurut dalil S S S, segitiga ABC
kongruen dengan segitiga PQR dapat ditulis:
∆𝐴𝐵𝐶 ∆𝑃𝑄𝑅 (S S S)
Maka ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑃𝑄𝑅, ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝑄𝑅𝑃,
∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝑅𝑃𝑄
𝐴𝐵 𝑄𝑅 atau 𝐴𝐵 = 𝑄𝑅
∠𝐴 ∠𝑃 atau 𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝑃
𝐶𝐴 𝑃𝑄 atau 𝐶𝐴 = 𝑃𝑄
Maka menurut dalil S Sd S, segitiga ABC kongruen
dengan segitiga PQR dapat ditulis: ∆𝐴𝐵𝐶 ∆𝑃𝑄𝑅
(SSdS)
Maka: 𝐵𝐶 𝑅𝑃, ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑃𝑄𝑅, ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝑄𝑅𝑃

11. Contoh :
∠𝐴 ∠𝑃 atau 𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝑃
𝐴𝐵 𝑃𝑄 atau 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄
∠𝐵 ∠𝑄 atau 𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝑄
Maka menurut dalil Sd S Sd, segitiga
ABC kongruen dengan segitiga PQR
dapat ditulis: ∆𝐴𝐵𝐶 ∆𝑃𝑄𝑅 (Sd S Sd)
Maka: ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝑄𝑅𝑃, 𝐵𝐶 𝑄𝑅,
𝐶𝐴 𝑅𝑃
Syarat kekongruenan pada segitiga
H
A B
C
D
E F
G
ABCD.EFGH adalah sebuah
kubus. Buktikan bahwa ∆𝐵𝐻𝐷
∆𝐴𝐺𝐶!
Jawab:
Misalkan AB=a, maka:
BH = AG = a 3
HD = GC = a
BD = AC = a 2
Jadi, ∆𝐵𝐻𝐷 ∆𝐴𝐺𝐶 (SSS)

12. G
J
K
Mengapa Sudut Sudut Sudut bukan
merupakan dalil kekongruenan dua segitiga?
Gambarlah dua segitiga dengan (model) ruas garis dan / atau sudut yang diketahui. Gunakan jangka
untuk “memindahkan” ruas garis dan sudut yang diketahui. (Guru memberi contoh terlebih dahulu)
1.
2.
Dari komponen yang diketahui pada soal nomor (1), (2), (3) dan (4), manakah yang dapat digambar
menjadi dua segitiga yang bentuk, panjang sisi dan besar sudutnya sama pada masing-masing soal?
Berikan tanggapan / argumen dari gambar yang kamu miliki!
Untuk mengetahi jawabannya, lakukan kegiatan
berikut!
A B
C
B
A
C
5 cm
2 cm
4 cm
D E5 cm
D F
4 cm
D 30°
3.
Titik sudut ketiga adalah titik I
4.
80°
G H
3 cm
30°
H
80°
L
60°
40°
J
G

13. Dalil kesebangunan segitiga:
1. Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat kesesuaian antara dua sudut pada kedua segitiga
tersebut.
Contoh :
2. Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat kesesuaian antara perbandingan panjang dua sisi dan
sudut yang terletak diantara kedua sisi tersebut pada kedua segitiga.
3. Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat kesesuaian antara perbandingan panjang semua sisi
pada kedua segitiga.
Segitiga-segitiga sebangunE.
A B
C
K L
M
𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝐾
𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐿
Maka 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝑀
Bukti :
𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵 + 𝑚∠𝐶 = 180 (jumlah sudut dalam segitiga)
 𝑚∠𝐶 = 180 − 𝑚∠𝐴 − 𝑚∠𝐵
𝑚∠𝐾 + 𝑚∠𝐿 + 𝑚∠𝑀 = 180 (jumlah sudut dalam segitiga)
 𝑚∠𝑀 = 180 − 𝑚∠𝐾 − 𝑚∠𝐿
 𝑚∠𝑀 = 180 − 𝑚∠𝐴 − 𝑚∠𝐵 ( 𝑚∠𝐾 = 𝑚∠𝐴 dan 𝑚∠𝐿 = 𝑚∠𝑀)
 𝑚∠𝑀 = 𝑚∠𝐶
 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝑀
A B
C
K L
M
𝐴𝐵
𝐴𝐶
=
𝐾𝐿
𝐾𝑀
dan 𝑚∠𝐴 = ∠𝐾
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝐾𝐿
𝐿𝑀
dan 𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐿
𝐵𝐶
𝐴𝐶
=
𝐿𝑀
𝐾𝑀
dan 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝑀
A B
C
K L
M
𝐴𝐵
𝐾𝐿
=
𝐴𝐶
𝐾𝑀
=
𝐵𝐶
𝑀𝐿

14. Contoh :
1.
Syarat kesebangunan pada segitiga
𝛼
𝐴
B
C
D
Buktikan ∆𝐴𝐷𝐵~∆𝐴𝐵𝐶!
Jawab :
𝑚∠𝐴𝐷𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 90
𝑚∠𝐵𝐴𝐷 = 𝑚∠𝐶𝐴𝐵 = 𝛼
Jadi, ∆𝐴𝐷𝐵~∆𝐴𝐵𝐶 (Sd Sd Sd)
Rumus-rumus yang diperoleh dari kesebangunan segitigaD.
𝐴
𝐵𝐶
𝐷𝐸
𝑐𝑏
𝑒𝑑
𝑓
𝑎
atau
atau
i) Jika garis yang memuat 𝐶𝐵 sejajar dengan 𝐶𝐵
ii) AC = b, AB = c, CE = d, BD = e, ED = a, CB = f
maka
(i)
(ii)
𝑏
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑐 + 𝑒
=
𝑓
𝑎
𝑏
𝑑
=
𝑐
𝑒
𝐴𝐶
𝐴𝐸
=
𝐴𝐵
𝐴𝐷
=
𝐶𝐵
𝐸𝐷
𝑏𝑒 = 𝑑𝑐

15. 2.
3.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷𝐸
𝑐𝑏
𝑒𝑑
𝜀
𝑓
𝛿
𝛾
Jika:
i) 𝛾 + 𝛿 = 180 atau 𝜀 + 𝛽 = 180
ii) AC=b, AB=c, CE=d, BD=e, ED=a, CB=f, maka:
𝐴𝐵
𝐴𝐸
=
𝐴𝐶
𝐴𝐷
=
𝐵𝐶
𝐸𝐷
𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑏
𝑐 + 𝑒
=
𝑓
𝑎
atau
𝐶
A
B
D
Jika:
iv) 𝐶𝐷 =
𝐶𝐴.𝐶𝐵
𝐴𝐵
v) 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴. 𝐷𝐵
vi) 𝐶𝐴 = 𝐴𝐷. 𝐴𝐵
Jika ∠𝐴𝐶𝐵 adalah sudut siku-siku dan garis yang
memuat 𝐶𝐷 tegak lutus dengan garis yang memuat
𝐴𝐵, maka:
i) 𝐶𝐵 = 𝐵𝐷. 𝐵𝐴
ii) 𝐴𝐶 =
𝐵𝐶.𝐶𝐷
𝐷𝐵
iii) 𝐵𝐶 =
𝐶𝐴.𝐶𝐷
𝐴𝐷
𝛽

16. 1.
2.
3.
~ Selamat Mengerjakan ~
LEMBAR EVALUASI PESERTA DIDIK
KESEBANGUNAN
𝐵
C
A
D
Pada gambar di samping, segitiga ABC siku-
siku di titik B.
Garis yang memuat 𝐵𝐷 ⊥ garis yang memuat
𝐴𝐶. Jika panjang AB = 40 cm, AC = 50 cm, dan
panjang BD adalah…
a. 18 cm
b. 24 cm
c. 30 cm
d. 32 cm
Perhatikan gambar limas di samping!
Bila garis yang memuat 𝑇𝑂 ⊥ bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷,
maka dua segitiga yang kongruen adalah…
a. ∆TOG dan ∆𝑇𝑂D
b. ∆TOG dan ∆TOG
c. ∆TOH dan ∆TOG
d. ∆ADT dan ∆CDF
PQST adalah sebuah trapezium dan garis yang
memuat 𝑈𝑅 sejajar dengan garis yang memuat
𝑇𝑆. Jika PQ=8 cm, PU=5 cm, UT=7 cm dan
TS=20cm. Carilah panjang 𝑈𝑅 !
𝑄
𝑅𝑈
𝑆𝑇
𝑃
5 𝑐𝑚
7 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
8 𝑐𝑚
𝐺
𝐻

17. Jawaban
1. Jawab : b
BC = − = 50 − 40 = 30 cm
BD = = = 24 cm
2. Jawab : c
∆EFH ∆EFG (S Sd S)
3.
𝑌Z 8 𝑐𝑚
𝑄
𝑅𝑈
𝑆𝑇
𝑃
5 𝑐𝑚
7 𝑐𝑚
20 𝑐𝑚
8 𝑐𝑚
𝑋𝑊
8 𝑐𝑚
Karena TZ=YS, maka 𝑇𝑍 = 𝑌𝑆 =
−
= 6
∆𝑃𝑈𝑊~∆𝑃𝑇𝑍 (sd sd sd)
𝑈𝑊
𝑇𝑍
=
𝑃𝑈
𝑃𝑈+𝑈𝑇

𝑈𝑊
=
+7
 𝑈𝑊 = 6 × = 2,5
XR = UW =2,5
UR = UW + WX +XR = 2,5 + 8 + 2,5 = 13
Jadi , panjang 𝑈𝑅 adalah 13 cm