1. “Barisan dan deret”
&
“persamaan kuadrat”
Khairul Umam
Puspa Ristina Kusumawardani
Nur Laili Mustofa
>201010060311104<
>201010060311115<
>201010060311122<
Jurusan Matematika & Komputasi
FKIP-UMM
2010

2. Materi
Barisan & Deret
Pola Bilangan
Barisan Bilangan
Barisan Aritmetika
Barisan geometri
Deret
Deret Aritmatika
Deret Geometri
Penerapan Pola, Barisan, dan
Deret Bilangan
Persamaan Kuadrat
Pengertian
Penyelesaian Persamaan
Kuadrat
 Memfaktorkan
 Melengkapkan kuadrat
sempurna
 Rumus Formula (ABC)

3. Pola Bilangan
Pola bilangan adalah aturan yang digunakan
untuk membentuk kelompok bilangan. Ada banyak
macam pola bilangan. Seperti pola berikut:
1. Bilangan asli = n
2. Bilangan genap = 2 x n
3. Bilangan ganjil = 2n-1
4. Bilangan persegi = n2
5. Bilangan segitiga = n(n+1) : 2
6. Bilangan persegi panjang = n(n+1)
7. Bilangan segitiga pascal = 2(n-1)

4. Barisan Bilangan
Barisan Bilangan adalah urutan bilangan. Bilangan-
bilangan yang menyusun barisan disebut suku. Contoh:

5. Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika adalah suatu bilangan yang suku
selanjutnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi
dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku sebelumnya.
Bilangan yang tetap itu disebut beda.
Maka bisa diambil kesimpulan, mencari beda pada bilangan
artimatika adalah b=Un-U(n-1).
• Jika b > 0 = barisan aritmetika naik
• Jika b < 0 = barisan aritmetika turun

6. Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu
Barisan Aritmetika
A. Menentukan suku ke-n dengan pola
Untuk menentukan suku tertentu dari suatu barisan
bilangan, diperlukan pola tertentu untuk mempermudahnya.
Pola tersebut merupakan rumus aljabar yang
menghubungkan barisan bilangan yang diketahui dengan
barisan bilangan asli.

7. B. Menentukan suku ke-n dengan rumus
Misalkan barisan aritmetika dengan suku pertama a dan
beda b. Suku ke-n (Un) barisan tersebut adalah:
U1 = a
U2 = a + b = a + (2-1) b
U3 = a + 2b = a + (3-1) b
Un = ……………………………a + (n-1) b
Jadi untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika
digunakan rumus:
Un = a + (n-1)b
Dengan:
Un = Suku ke-n
a = Suku pertama
b = Beda
n = banyak suku

8. Barisan Geometri
Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh
dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang
tidak sama dengan nol dinamakan barisan geometri.
Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio).
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum
barisan geometri adalah:
a, ar , ar2
, ar3, . . .arn-1
r rr rr
Dengan:
Un = Suku ke-n
a = Suku pertama
r = Rasio
n = banyak suku

9. Menentukan Rumus Suku ke-n
Suatu Barisan Geometri
Misalkan barisan geometri dengan suku pertama a dan
rasio r. Suku ke-n (Un ) barisan tersebut adalah
• U1 = a = a x r1-1
• U2 = a x r1 = a x r2-1
• U3 = a x r2 = a x r3-1
• Un = …………………a x rn-1
Jadi untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika
digunakan rumus:
Un = a x rn-1

10. Deret Bilangan
Deret Bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku
barisan bilangan.
A. Deret Aritmetika
Deret Aritmetika adalah penjumlahan suku-suku dari
barisan aritmetika . Jadi bentuk umum deret Aritmetika
adalah:
a = suku awal (U1)
b = beda
n = banyak suku
+ ++ ++ +
Contoh: 2 + 6 + 10 + 14 + 18

11. Jumlah n Suku Pertama Deret
Aritmetika
Kita dapat menentukan suku-suku pada deret aritmetika
dengan rumus. Misalkan, jumlah n suku pertama deret
tersebut dilambangkan dengan Sn maka:
Dengan:
= Jumlah n suku pertama
n = Banyak suku
b = Beda
a = Suku pertama

12. Rumus tersebut didapat dari:
Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)
Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a
2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)
+
n faktor sama
Didapat:
maka
Jadi, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
Karena Un = a + (n-1)b, rumus Sn dapat dituliskan sebagai berikut:

13. B. Deret Geometri
Jika adalah bentuk
dari barisan geometri, maka penjumlahan dari bentuk
barisan geometri tersebut di sebut Deret Geometri. Jadi
deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku baris
geometri. Bentuk umumnya adalah:
Dengan:
a = Suku pertama
r = Rasio
n = Banyak suku

14. Jumlah n Suku Pertama Deret
Aritmetika
Misalkan, jumlah n suku pertama deret geometri
dilambangkan dengan Sn maka berlaku hubungan berikut:
Untuk r>1
Untuk r<1
Dengan:
Sn = jumlah n suku pertama deret geometri
a = Suku pertama
r = Rasio
n = banyak suku

15. Penerapan Pola, Barisan, dan
Deret Bilangan
Untuk memahami penerapan pola, barisan dan deret
Bilangan, kita dapat perhatikan contoh berikut!
Gambar tersebut adalah persegi. Dimana titik tengah
persegi ABCD membentuk persegi EFGH, titik tengah
persegi EFGH membentuk persegi IJKL, dan seterusnya.
Jika panjang sisi AB adalah 1 satuan, maka kita dapat
menentukan panjang persegi ke-n dengan menggunakan
rumus aljabar suku ke-n.
A B
CD
E
F
G
H
I J
KL

16. Dari gambar:
Persegi terluar
Persegi ke-2
Persegi ke-3
Persegi ke-n
Dari panjang-panjang persegi tersebut didapat barisan bilangan berikut:
A B
CD
F
G
H
I J
KL
Sehingga didapat suatu barisan geometri, sebab:

17. Pengertian
• Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat
tertinggi dari variabelnya adalah 2.
• Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0
dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan bilangan real dan
a ≠ 0 .
• Contoh :
x2 − 4 = 0 ,
x2 − 9x = 0,
x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.

18. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
• Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian persamaan kuadrat.
• Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akar-akar)
persamaan kuadrat :
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
3. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)

19. Memfaktorkan
 Sebelum akan dibahas mengenai aturan faktor nol.
 Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali sebarang
bilangan dengan bilangan nol adalah nol.
Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0.
 Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah
satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol.
 Secara simbolik dinyatakan bahwa
jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 .
 Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa salah satu
dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duanya
sama dengan nol.

20. • Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah
penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini.
a. 4x2 − 32x = 0
b.
d. x2 + 5x + 6 = 0

21. • Persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0
dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0
dengan menggunakan aturan distributif.
• Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol akan
diperoleh
4x = 0 atau x − 8 = 0
• Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 .
• Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0
adalah x = 0 atau x = 8
Penyelesaian:

22.  Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat
x2 + 5x + 6 = 0 ?
 Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat
tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini.
 Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti
gambar 1
berikut ini.
a) b) c)
1
x2
x
x x
1
1

23. • Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi panjang (b)
menyatakan banyaknya x dan persegi (c) menyatakan
konstanta.
• Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x2 + 5x + 6 = 0
dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun (b) dan 6 bangun (c)
seperti berikut ini.

24. • Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah
persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran
luas yang sama.
x +3
x +2
• Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar
masing-masing
(x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x + 2)(x + 3).
• Jadi persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan
persamaan (x + 2)(x + 3) = 0 .
• Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
tersebut akan lebih mudah.

25. • Denganmenggunakan aturan faktor nol diperoleh
(x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 .
• Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0
adalah x = −2 atau x = −3.
• Jadi secara umum, jika x1 dan x2 merupakan penyelesaian
suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut
adalah
x2 - x ( x1 + x2 )+ x1 . x2 = 0.
• Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut
menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan

26. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
• Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk
(x + p)2 = q, dengan q 0
• Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan
bentuk persamaan yang terakhir.
• (x + p) = , atau x = -pq q

27. Rumus abc (Al-khawarizmi)
• Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx +
c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering
disebut rumus abc.
• Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara
sebagai berikut : (cobalah melengkapi)
• ax2 + bx + c = 0
 ax2 + bx = - c

2
22
4a
4acb
2a
b
x


28. Rumus abc (Al-khawarizmi)
• Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0
• Maka
2a
4acbb
x
2
12