1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 3)
้
การจัดหมู
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความนาจะเปน (การจัดหมู)

หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 3 (3/7)
หัวขอยอย 1. วิธีจัดหมู
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. สามารถหาจํานวนวิธีการเลือกสิ่งของได
2. เขาใจและสามารถใชเทคนิคการนับแบบอืน ๆ ได
่
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายความแตกตางระหวางการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนและการจัดหมูได

2. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวิธีในการจัดหมูได

3. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวิธีของเหตุการณที่กําหนดใหได
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. วิธีจัดหมู
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. วิธีจัดหมู
ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดศกษาเรื่อง “วิธจัดหมู” โดยในสื่อการสอนจะเริ่มโดยการยกตัวอยางเพื่อให
ึ ี
ผูเรียนเห็นความเชื่อมโยงระหวาง “วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน” และ “วิธจดหมู”
ีั 
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนควรย้าใหผูเรียนเห็นความแตกตางระหวาง “วิธีเรียง
ํ
สับเปลี่ยน” และ “วิธีจัดหมู” ซึ่งสําหรับ “วิธีเรียงสับเปลี่ยน” ลําดับของสิ่งของที่นํามาจัดเรียงมีความสําคัญ แต
สําหรับ “วิธจัดหมู” ลําดับของสิ่งของไมมีความสําคัญ ยกตัวอยางเชน เลือกนักเรียน 2 คนจากนักเรียน 8 คนที่มี
ี 
โอมและไอซรวมอยูดวย จะพบวา การเลือกได “โอมกับไอซ” หรือ “ไอซกับโอม” ไมแตกตาง ดังนั้น การจัด

แบบนี้เปนวิธจัดหมู แตถาเลือกนักเรียน 2 คน เพื่อมายืนเขาแถวหนาชั้นเรียน “โอม ไอซ” และ “ไอซ โอม” มี
ี
ความแตกตาง เนื่องจากมีลําดับของการยืนมาเกี่ยวของ ดังนั้นการจัดแบบนี้ เปนวิธีการเรียงสับเปลี่ยน
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
จากนั้นผูสอนอาจยกตัวอยาง “การจัดหมู” เพิ่มเติม เชน

1. การเลือกมะมวง 3 ผลจากตะกราซึ่งบรรจุมะมวงทั้งหมด 10 ผล
2. การเลือกผูแทน 2 คน จากผูสมัครทั้งหมด 5 คน

3. การสุมหยิบลูกแกว 2 ลูกพรอมกัน จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวทั้งหมด 8 ลูก
4. การเลือกตัวเลข 3 ตัว จากเลขโดด 0-9
5. การเลือกวิชาเรียน 2 วิชา จากวิชาที่มใหเลือกทั้งหมด 6 วิชา
ี
เมื่อผูเรียนเขาใจเรื่อง “การจัดหมู” ดีแลว ผูสอนควรยกตัวอยางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนเขาใจการหา

“จํานวนวิธีจดหมู” ไดดยิ่งขึ้น
ั ี
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีที่จะเลือกคณะกรรมการชุดหนึ่งซึ่งมี 6 คน จากผูสมัครซึ่งมีอยูทั้งหมด 9 คน
วิธีทํา การเลือกคน 6 คน จากทั้งหมด 9 คน เพื่อเปนคณะกรรมการ จะเห็นวา ลําดับในการเลือกไมมความสําคัญ
ี
ดังนั้น จํานวนวิธีเลือกคณะกรรมการชุดนี้ = 
9
  = 84 วิธี
6
ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีเลือกอาหารคาว 2 อยาง จากอาหารคาวทั้งหมด 12 อยาง
วิธีทํา การเลือกอาหารคาว 2 อยาง จากทั้งหมด 12 อยาง จะเห็นวา ลําดับในการเลือกไมมีความสําคัญ
ดังนั้น จํานวนวิธเี ลือกอาหารชุดนี้ = 
12 
  = 66 วิธี
2
ตัวอยาง คนกลุมหนึ่งประกอบดวยคุณครู 4 คน นักเรียนชาย 2 คน นักเรียนหญิง 2 คน ตองการเลือกตัวแทน
4 คน โดยตองมีคุณครู 1 คนและนักเรียนหญิงอยางนอย 1 คน จะมีวิธีการเลือกทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทํา กรณี 1 ตัวแทนมีคุณครู 1 คน นักเรียนหญิง 1 คน (ดังนันเปนนักเรียนชาย 2 คน)
้
 4 2 2
จํานวนวิธีในการเลือก =     = 8
11 2
กรณี 2 ตัวแทนมีคุณครู 1 คน นักเรียนหญิง 2 คน (ดังนันเปนนักเรียนชาย 1 คน)
้
 4 2 2
จํานวนวิธีในการเลือก =     = 8
1 21
โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธีเลือกผูแทนที่โจทยตองการ = 8 + 8 = 16 วิธี
 
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
หลังจากผูเรียนไดชม “ปญหาชวนคิด” ในสื่อการสอนแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันแปลความหมาย
ของ “รูปหลายเหลี่ยม” วาเปนอะไรไดบาง จากนั้นใหผูเรียนชวยกันคิดหาคําตอบ แลวผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนดู
ปญหาชวนคิด กําหนดวงกลม ดังรูป
B C
A
D
F E
จงหาจํานวนวิธีสรางรูปหลายเหลี่ยม โดยใชจุดบนวงกลมเปนจุดยอดมุม
วิธีทํา ในการสรางรูปหลายเหลี่ยม โดยใชจุดบนวงกลมเปนจุดยอดมุม สามารถพิจารณาเปนกรณีตาง ๆ ไดดังนี้
กรณี 1 สรางรูปสามเหลี่ยม
 6
จํานวนวิธีสรางรูปสามเหลี่ยม มีทั้งหมด   = 20 วิธี
 3
กรณี 2 สรางรูปสี่เหลี่ยม
จํานวนวิธีสรางรูปสี่เหลี่ยม มีทั้งหมด 
6
  = 15 วิธี
 4
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
กรณี 3 สรางรูปหาเหลี่ยม
จํานวนวิธีสรางรูปหาเหลี่ยม มีทั้งหมด 
6
 =6 วิธี
5
กรณี 4 สรางรูปหกเหลี่ยม
 6
จํานวนวิธีสรางรูปหกเหลียม มีทั้งหมด 
่  =1 วิธี
6
โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธสรางรูปหลายเหลียมดังตองการ มีทั้งหมด 20 + 15 + 6 + 1 = 42 วิธี
ี ่
ตัวอยาง ตูเสือผาใบหนึ่ง มีเสื้อสีขาวแบบตาง ๆ กัน 6 ตัว และเสื้อสีเหลืองแบบตาง ๆ กัน 4 ตัว ถาสุมหยิบเสื้อผา
้
จากตูใบนี้มา 5 ตัว ใหมีสคละกัน จํานวนวิธีที่จะหยิบไดเสื้อสีขาวมากกวาเสื้อสีเหลือง เทากับเทาใด
ี
วิธีทา โจทยกาหนดวาสุมหยิบเสื้อผามา 5 ตัว ใหมีสีคละกัน หมายความวา ตองหยิบไดทั้งเสื้อสีขาวและเสื้อสี
ํ ํ
เหลือง สิ่งที่สนใจคือจํานวนวิธีไดเสื้อสีขาวมากกวาเสื้อสีเหลือง ซึ่งสามารถแบงพิจารณาไดเปน 2 กรณี
กรณี 1 หยิบไดเสื้อสีขาว 4 ตัวและเสื้อสีเหลือง 1 ตัว
จํานวนวิธีในการหยิบ = 
6 4
    = 60 วิธี
 41
กรณี 2 หยิบไดเสื้อสีขาว 3 ตัวและเสื้อสีเหลือง 2 ตัว
จํานวนวิธีในการหยิบ = 
6 4
    = 120 วิธี
 3 2
โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธีหยิบไดเสื้อสีขาวมากกวาเสื้อสีเหลือง = 60 + 120 = 180 วิธี
ตัวอยาง ในการเลือกคณะกรรมการ 4 คน จากผูสมัคร 10 คน ซึ่งมีอดิศักดิ์และอดิศรรวมอยูดวย ถาอดิศักดิ์และ

อดิศรจะถูกเลือกพรอมกันไมได จงหาวิธการเลือกคณะกรรมการชุดนี้
ี
วิธีทา วิธีท่ี 1 เราสามารถแบงพิจารณาเปนกรณีตาง ๆ ไดดังนี้
ํ
กรณี 1 อดิศักดิ์และอดิศรไมถูกเลือกเปนกรรมการ
ดังนั้น ตองเลือกกรรมการ 4 คนจากผูสมัครที่เหลือ 8 คน ซึ่งมีจํานวนวิธี = 
8
  วิธี
 4
กรณี 2 อดิศักดิ์ถูกเลือกเปนกรรมการ แตอดิศรไมถูกเลือกเปนกรรมการ
ดังนั้น กรรมการ 1 คน คืออดิศักดิ์ และกรรมการอีก 3 คน เลือกจากผูสมัครที่เหลือ 8 คน
ซึ่งมีจานวนวิธี = 
8
ํ   วิธี
 3
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
กรณี 3 อดิศรถูกเลือกเปนกรรมการ แตอดิศักดิ์ไมถกเลือกเปนกรรมการ
ู
ดังนั้น กรรมการ 1 คน คืออดิศร และกรรมการอีก 3 คน เลือกจากผูสมัครที่เหลือ 8 คน
ซึ่งมีจํานวนวิธี = 
8
  วิธี
 3
โดยหลักการบวก จะไดวา
 8  8 8
จํานวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการชุดนี้ =   +   +   = 70 + 56 + 56 = 182 วิธี
 4   3  3
วิธีที่ 2 สามารถหาจํานวนวิธี โดยใช “นิเสธ” ของขอความซึ่งผูเรียนไดเรียนไปกอนหนานี้เขาชวย ดังนี้
จํานวนวิธเี ลือกคณะกรรมการ โดยอดิศักดิ์และอดิศรจะถูกเลือกพรอมกันไมได
= (จํานวนวิธีการเลือกคณะกรรมการ โดยไมมีเงื่อนไขใด ๆ )
− (จํานวนวิธีการเลือกคณะกรรมการ โดยอดิศักดิ์และอดิศรตองถูกเลือกทั้งคู)
 10   8 
=  − 
 4   2
= 210 − 28 = 182 วิธี
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นความแตกตางระหวาง
1. การสุมหยิบลูกแกวพรอมกัน
2. การสุมหยิบลูกแกวครั้งละ 1 ลูก และใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป และ
3. การสุมหยิบลูกแกวครั้งละ 1 ลูก และไมใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป
ซึ่งสําหรับการสุมหยิบลูกแกวพรอมกัน จะพบวาลําดับของสีลูกแกวที่ไดไมมีความสําคัญ นั่นคือ การ
หยิบไดลูกแกวสีแดงกับสีดา กับ การหยิบไดลูกแกวสีดํากับสีแดง ไมมีความแตกตาง ซึ่งวิธีการสุมหยิบใน
ํ
ลักษณะนี้ คือ “วิธจัดหมู” ที่เราไดเรียนในสื่อตอนนี้นั่นเอง
ี 
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แตสําหรับการหยิบลูกแกวครั้งละ 1 ลูก ทั้งแบบใสกลับคืนและไมใสกลับกอนหยิบลูกถัดไป จะเห็นวา
ลําดับของสีลูกแกวที่ไดมีความสําคัญ เชน การที่หยิบครั้งแรกไดลกแกวสีแดงและหยิบครั้งที่สองไดลูกแกวสีดา
ู ํ
แตกตางจาก การหยิบครั้งแรกไดลูกแกวสีดําและหยิบครั้งที่สองไดลูกแกวสีแดง ซึ่งการสุมหยิบเมื่อคํานึงถึง
ลําดับกอนหลังที่ได จะเปนเรื่องของ “การเรียงสับเปลี่ยน” ที่เราไดเรียนไปในสื่อตอนที่แลว
เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องการจัดหมูและการเรียงสับเปลี่ยนไดดยิ่งขึ้น
 ี ผูสอนอาจใหผูเรียนทําตัวอยาง
ตอไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 12 ลูกซึ่งแตกตางกันทั้งหมด โดยเปนลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูก และ
สีน้ําเงิน 3 ลูก ถาสุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองนี้พรอมกัน จงหาจํานวนวิธีที่
1. หยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก
2. หยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก
3. หยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก
วิธีทํา 1. สุมหยิบลูกบอล 3 ลูก ใหไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก นั่นคือ ลูกบอลอีก 2 ลูก ตองไมใชสีขาว
ดังนั้น ลูกบอลสีขาว 1 ลูก ตองหยิบจากลูกบอลสีขาวที่มี 4 ลูก และ
ลูกบอลอีก 2 ลูก ตองหยิบจากลูกบอลสีแดงหรือสีน้ําเงิน
ทําใหไดวา จํานวนวิธีในการหยิบใหไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก = 
48
    = 112 วิธี
1 2
2. สุมหยิบลูกบอล 3 ลูก ใหไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก ดังนั้น ลูกบอลอีก 1 ลูก
ตองไมใชสขาวและไมใชสีแดง นั่นคือ ตองเปนสีน้ําเงิน ทําใหไดวา
ี 
จํานวนวิธในการหยิบใหไดลกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก
ี ู
 4   5  3 
=      = 60 วิธี
 1   1  1 
3. จํานวนวิธสุมหยิบลูกบอล 3 ลูก ใหไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก
ี
= (จํานวนวิธีสุมหยิบลูกบอล 3 ลูก โดยไมมีเงื่อนไข)
− (จํานวนวิธีสุมหยิบลูกบอล 3 ลูก โดยไมไดลูกบอลสีขาวเลย)
 12   4   8 
=   −     = 220 − 56 = 164 วิธี
 3   0   3
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ขอควรระวัง สําหรับตัวอยางที่ผานมา เราตองการหาจํานวนวิธหยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก
ี
ถาพิจารณาวาสุมหยิบลูกบอลสีขาว 1 ลูก แลวที่เหลืออีก 2 ลูกจะหยิบไดสอะไรก็ได จะไดวา
ี
จํานวนวิธีในการหยิบไดลกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก เทากับ
ู
 4  11
    = 220 วิธี
1 2 
หยิบสีขาว
สุมหยิบอีก 2 ลูก
1 ลูก
สีอะไรก็ได
ซึ่งไมตรงกับตัวอยางขางตน ลองพิจารณาสาเหตุวาเปนเพราะอะไร
สังเกตวา วิธการนับขางตน จะเกิดเหตุการณที่ได
ี
มาจาก 
4
มาจาก  
11  
  1
2
{ ขาว1 , ขาว2, ขาว3 } และ { ขาว2 , ขาว1, ขาว3 }
มาจาก 
4
มาจาก 
11
   
1 2
ซึ่งไมแตกตางกัน ดังนันการนับแบบนี้ทําใหมีการนับซ้ําเกิดขึ้น ซึ่งเปนสิ่งที่ผูเรียนควรระมัดระวัง
้
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 12 ลูกซึ่งแตกตางกันทั้งหมด โดยเปนลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูก และ
สีน้ําเงิน 3 ลูก ถาสุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองนี้ โดยหยิบครังละ 1 ลูก และใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป
้
จงหาจํานวนวิธีที่
1. หยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก
2. หยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก
3. หยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก
วิธีทํา การหยิบลูกบอลครั้งละ 1 ลูก แสดงวาลําดับของสีที่ไดมีความสําคัญ
ดังนัน จึงเปนเรื่องของการเรียงสับเปลี่ยน
้
1. กรณี 1 หยิบลูกแรกไดสีขาว
จํานวนวิธในการหยิบลูกแรกไดสีขาว = 4 × 8 × 8 = 256 วิธี
ี
กรณี 2 หยิบลูกที่สองไดสีขาว
จํานวนวิธในการหยิบลูกที่สองไดสีขาว = 8 × 4 × 8 = 256 วิธี
ี
กรณี 3 หยิบลูกที่สามไดสีขาว
จํานวนวิธีในการหยิบลูกที่สามไดสีขาว = 8 × 8 × 4 = 256 วิธี
โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก = 256 + 256 + 256 = 768
วิธี
หรือ อาจพิจารณาดังนี้
จํานวนวิธในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก = 
3
ี   × 4 × 8 × 8 = 768 วิธี
1
ในการหยิบ 3 ครั้ง สีขาว ไมใชสีขาว
ตองไดสีขาว 1 ครั้ง
2. จํานวนวิธีในการหยิบไดลกบอลสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก
ู = 3!(4 × 5 × 3) = 360 วิธี
สลับตําแหนงของ สีขาว สีแดง สีน้ําเงิน
สีขาว สีแดง สีน้ําเงิน
3. จํานวนวิธีในการหยิบไดลกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก
ู
= (จํานวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 ครั้ง โดยไมมีเงื่อนไข)
− ( จํานวนวิธีในการหยิบลูกบอล โดยไมไดลกบอลสีขาวเลย)
ู
= (12 ×12 ×12) − (8 × 8 × 8) = 1, 216 วิธี
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 12 ลูกซึ่งแตกตางกันทั้งหมด โดยเปนลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูก และ
สีน้ําเงิน 3 ลูก ถาสุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองนี้ โดยหยิบครังละ 1 ลูก และไมใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป
้
จงหาจํานวนวิธีท่ี
1. ไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก
2. ไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก
3. ไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก
วิธีทํา 1. จํานวนวิธีในการหยิบไดลกบอลสีขาว 1 ลูก = 
3
ู   × 4 × 8 × 7 = 672 วิธี
1
ในการหยิบ 3 ครั้ง สีขาว ไมใชสขาว
ี
ตองไดสีขาว 1 ครั้ง
2. จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก = 3!(4 × 5 × 3) = 360 วิธี
สลับตําแหนงของ สีขาว สีแดง สีน้ําเงิน
สีขาว สีแดง สีน้ําเงิน
ผูเรียนสังเกตวา จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีแดง 1 ลูก ทั้งกรณีใส
กลับคืนและไมใสกลับคืน มีคาเทากัน เนื่องจาก เราตองการลูกบอลสีขาว สีแดงและ สีน้ําเงิน
อยางละ 1 ลูก ดังนั้นการใสกลับคืนหรือไมใสกลับคืน จึงไมมีผลกระทบตอการหยิบครั้งถัดไป
3. จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก
= (จํานวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 ครั้ง โดยไมมีเงื่อนไข)
− ( จํานวนวิธีในการหยิบลูกบอล โดยไมไดลูกบอลสีขาวเลย)
= (12 ×11× 10) − (8 × 7 × 6) = 984 วิธี
ตัวอยาง ขอสอบชุดหนึ่งมีทงหมด 12 ขอ ใหเลือกทําเพียง 8 ขอ จะมีวิธการเลือกทําไดทั้งหมดกี่วิธี ถา
ั้ ี
1. ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
2. ตองทํา 3 ขอแรก
วิธีทํา 1. จํานวนวิธีเลือกขอสอบ 10 ขอ จากทั้งหมด 15 ขอ = 
12 
  = 495 วิธี
8
2. กําหนดวาตองทํา 3 ขอแรก ดังนั้น ตองเลือกทําอีก 5 ขอจากอีก 9 ขอที่เหลือ
จํานวนวิธีเลือกทําขอสอบ 8 ขอ โดยตองทํา 3 ขอแรก = 
3  9 
    = 126 วิธี
 3  5
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง ไพสารับหนึ่งมีท้งหมด 52 ใบ สุมหยิบไพ 4 ใบพรอมกันจากไพสํารับนี้ จงหาจํานวนวิธีที่
ํ ั 
1. หยิบไดไพครบทุกหนา
2. หยิบไดไพหนาโพดําทั้ง 4 ใบ
3. หยิบไดไพหนาโพดํา 1 ใบและโพแดง 2 ใบ
วิธีทํา 1. ตองการหยิบไดไพครบทุกหนา นั่นคือ
ตองหยิบไดไพหนาโพดํา โพแดง ขาวหลามตัดและดอกจิก อยางละ 1 ใบ
ดังนั้น จํานวนวิธีหยิบไดไพครบทุกหนา = 
13  13   13   13 
        = 13
4
วิธี
 1  1  1  1 
2. ตองการหยิบไดไพหนาโพดําทั้ง 4 ใบ
นั่นคือ ไพหนาโพแดง ขาวหลามตัด และดอกจิกตองไมถกหยิบได
ู
ดังนั้น จํานวนวิธีหยิบไดไพหนาโพดําทั้ง 4 ใบ = 
13  13   13   13 
        = 715 วิธี
 4  0  0  0 
3. ตองการหยิบไดไพหนาโพดํา 1 ใบและโพแดง 2 ใบ
นั่นคือ ไพอีก 1 ใบที่เหลือ เปนไพหนาขาวหลามตัดหรือดอกจิก ก็ได
ดังนั้น จํานวนวิธีหยิบไดไพหนาโพดํา 1 ใบและโพแดง 1 ใบ = 
13  13   26 
      = 26,364 วิธี
 1  2  1 
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ในบางครั้ง จํานวนวิธีที่เราตองการนับ อาจตองประยุกตใชทั้งเรื่อง “การเรียงสับเปลี่ยน” และ
“การจัดหมู” เขาดัวยกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง มีมะลิ 6 กระถางตาง ๆ กัน และกุหลาบ 4 กระถางตาง ๆ กัน จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการเลือกมะลิ
3 กระถางและกุหลาบ 2 กระถาง เพื่อมาจัดเปนวงกลม
วิธีทํา ขั้นที่ 1 เลือกมะลิ 3 กระถางและกุหลาบ 2 กระถาง
จํานวนวิธีการเลือกมีทั้งหมด = 
6 4
    = 120 วิธี
 3 2
ขั้นที่ 2 นํามะลิและกุหลาบที่เลือกไดในขันที่ 1 มาจัดเรียงเปนวงกลม
้
จํานวนวิธีจดเรียงกระถางตนไม 5 กระถางเปนวงกลม = (5 − 1)! = 4! = 24 วิธี
ั
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีการจัดเรียงที่ตองการ = 120 × 24 = 2,880 วิธี
ตัวอยาง จัดเด็ก 10 คน ยืนเปนวงกลมคราวละ 6 คน ไดทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทา ขั้นที่ 1 เลือกเด็ก 6 คนจากเด็ก 10 คน
ํ
จํานวนวิธีเลือกเด็ก 6 คน จากเด็ก 10 คน มีทั้งหมด 
10 
  วิธี
6
ขั้นที่ 2 จัดเด็ก 6 คน ยืนเปนวงกลม
จํานวนวิธีจดเด็ก 6 คน ยืนเปนวงกลม มีทงหมด (6 − 1)! = 5! วิธี
ั ั้
โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีจัดเด็ก 10 คน ยืนเปนวงกลมคราวละ 6 คน = 
10 
  5! = 25, 200 วิธี
6
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การจัดหมู
1. ในการพิมพปกหนังสือมีสใหเลือกทั้งหมด 12 สี ถาใหเลือกพิมพไดเพียง 3 สี จะมีวธีเลือกกี่วธี
ี ิ ิ
2. จํานวนวิธีเลือกผูแทน 3 คน จากคน 9 คน ซึ่งประกอบดวยชาย 4 คน หญิง 5 คน โดยตองมีชายอยางนอย
1 คน มีกวิธี
ี่
3. ตองการเลือกตัวแทน 4 คน จากอาจารย 4 คน นักเรียนชาย 5 คน นักเรียนหญิง 2 คน โดยใหมอาจารย 1 คน
ี
และนักเรียนหญิงอยางนอย 1 คน จํานวนวิธีการเลือกเทากับเทาใด
4. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกแกว 8 ลูก(แตกตางกันทั้งหมด) เปนลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก และสีขาว 3 ลูก
สุมหยิบลูกแกว 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน จงหาจํานวนวิธีที่
4.1 หยิบไดลูกแกวสีเขียวทั้งสองลูก
4.2 หยิบไดลูกแกวสีเหมือนกัน
4.3 หยิบไมไดลูกแกวสีเขียวเลย
5. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 10 ลูก เปนลูกบอลสีแดง 4 ลูก สีเขียว 2 ลูก สีขาว 3 ลูก และสีนําเงิน 1 ลูก สุม
้
หยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน จงหาจํานวนวิธที่ ี
5.1 หยิบไดลูกบอลสีใดก็ได
5.2 หยิบไดลูกบอลสีแดงทั้ง 3 ลูก
5.3 หยิบไดลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 1 ลูก
5.4 หยิบไดลูกบอลสีแดงอยางนอย 1 ลูก
5.5 หยิบไดลูกบอลสีขาวอยางมาก 2 ลูก
6. ไพสํารับหนึ่งมี 52 ใบ สุมหยิบไพ 4 ใบจากไพสํารับนี้พรอมกัน จงหาจํานวนวิธีที่
6.1 หยิบไดไพหนาโพดําทั้ง 4 ใบ
6.2 หยิบไดไพครบทุกหนา
6.3 หยิบไดไพหนาขาวหลามตัด 2 ใบ
6.4 หยิบไดไพหนาดอกจิกอยางนอย 1 ใบ
7. ชมรมบาสเกตบอล ตองการเลือกคณะกรรมการ 3 คนจากสมาชิกชมรม 30 คน ซึ่งมีนายนิพนธและนาย
นิพจนรวมอยูดวย จะมีวิธีการเลือกไดกวธี ถา
 ี่ ิ
7.1 นายนิพนธตองไดรับคัดเลือกเปนกรรมการ
7.2 นายนิพนธและนายนิพจนจะถูกเลือกเปนกรรมการพรอมกันไมได
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
8. ตองการเลือกคณะกรรมการ 5 คน จากทั้งหมด 12 คน ซึงประกอบดวย ครู 5 คน และนักเรียน 7 คน จะมี
่
วิธีการเลือกไดกี่วิธี ถา
8.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
8.2 คณะกรรมการตองมีครู 1 คนเทานั้น
8.3 คณะกรรมการตองมีครูอยางนอย 1 คน
8.4 คณะกรรมการตองมีทั้งครูและนักเรียน
9. ขอสอบชุดหนึงมีทั้งหมด 10 ขอ ใหเลือกทําเพียง 6 ขอ จะมีวธีการเลือกทําไดทั้งหมดกี่วิธี ถา
่ ิ
9.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
9.2 ตองทํา 2 ขอแรก
9.3 ตองทําอยางนอย 4 ขอจาก 5 ขอแรก
10. ถา A = {a, b, c, d , e, f , g} และ B = {a, b} แลวจํานวนเซต C ซึ่ง B ⊆ C ⊆ A เทากับเทาใด
11. บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนึ่งมีจด 7 จุด จงหาจํานวนวิธีสรางรูปหลายเหลี่ยมบรรจุในวงกลมโดยอาศัย
ุ
จุดยอดเหลานัน ้
12. มีเด็ก 8 คน จัดเขาแถวเปนวงกลมคราวละ 6 คน ไดทั้งหมดกี่วิธี
13. นักเรียนอนุบาลหองหนึ่งมี 10 คน เปนหญิง 5 คนและชาย 5 คน ครูประจําชั้นคิดจะจัดเกมใหเลนรวมกัน
โดยการจัดใหเขานั่งรอบโตะกลมครั้งละ 6 คน และใหเด็กหญิงนั่งสลับกับเด็กชาย คุณครูจะมีวิธีการจัดให
เขานั่งไดตาง ๆ กันกี่วิธี
14. ตองการทาสีดําและสีขาวลงในชองบนแผนวงแหวนที่มี 8 ชอง ดังรูป
โดยทาสีดํา 6 ชอง จะมีจํานวนวิธีทั้งหมดเทากับเทาใด
15. มีนกเรียน 10 คน เปนชาย 4 คน หญิง 6 คน เลือกมายืนเขาแถวหนาหองเพียง 5 คน ไดทั้งหมดกี่วิธี ถา
ั
15.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
15.2 เปนชาย 3 คน หญิง 2 คน
15.3 เปนชาย 3 คน หญิง 2 คน โดยชายทั้งหมดตองยืนติดกันและหญิงทั้งหมดตองยืนติดกัน
15.4 เปนชาย 3 คน หญิง 2 คน โดยหญิง 2 คนหามยืนติดกัน
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดระคน
1. กลองใบหนึ่งมีปากกาสีขาว 5 ดาม และปากกาสีเหลือง 4 ดามปนกันอยู หยิบปากกามา 2 ดามอยางสุม
จํานวนวิธที่จะไดปากกาสองดามเปนสีเดียวกันเทากับเทาไร
ี
1. 12 วิธี 2. 16 วิธี
3. 36 วิธี 4. 60 วิธี
2. ถามีส่งของ n สิ่งแตกตางกัน และจํานวนวิธีที่จัดเรียงลําดับสิ่งของทั้ง n สิ่งเปน 576 เทาของจํานวนที่
ิ
เลือกสิ่งของ n สิ่งนี้คราวละ 4 สิ่งแลว n เทากับเทาไร
1. ไมสามารถหาคา n ได 2. 4
3. 8 4. 28
3. กลองใบหนึ่งมีหนังสืออยู 4 เลม ปากกา 2 ดาม และดินสอ 3 แทง สุมหยิบของออกมาจากกลองครั้งหนึ่ง
จํานวน 3 ชิ้น จํานวนวิธีที่จะหยิบไดดินสออยางนอย 1 แทง มีทงหมดกีวิธี
ั้ ่
1. 20 วิธี 2. 28 วิธี
3. 45 วิธี 4. 64 วิธี
4. ในการแขงขันฟุตบอล คณะกรรมการจัดการแขงขันจัดใหมีการแขงขันแบบพบกันหมด ปรากฏวา
จะตองจัดใหมีการแขงขันทั้งหมด 45 คู การแขงขันนี้มีทีมเขารวมแขงขันทั้งหมดกี่ทีม
1. 7 ทีม 2. 8 ทีม
3. 9 ทีม 4. 10 ทีม
5. ในชมรมสงเสริมศีลธรรม มีสมาชิกเปนพอบาน 5 คน แมบาน 3 คน และเยาวชน 6 คน ตองการเลือก
กรรมการชุดหนึ่งที่มี 3 คน โดยจะตองมีเยาวชนอยางนอย 1 คน จํานวนวิธเี ลือกเทากับขอใดตอไปนี้
1. 84 วิธี 2. 168 วิธี
3. 308 วิธี 4. 468 วิธี
6. ในการเลือกคณะกรรมการ 5 คน จากผูสมัคร 12 คน ถาผูสมัครสองคนที่กําหนดใหจะไมถูกเลือกพรอมกัน
จํานวนวิธีการเลือกมีทั้งหมดกี่วิธี
1. 132 วิธี 2. 264 วิธี
3. 660 วิธี 4. 672 วิธี
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
7. บอตกปลาแหงหนึ่งเปนวงกลม อนุญาตใหเขาตกปลาไดทีละ 4 คน โดยใหนั่งอยูรอบบอ ถาครอบครัวหนึ่ง

มากัน 6 คน จะจัดคนในครอบครัวนีน่งรอบบอตกปลาไดทั้งหมดกี่วิธี
้ ั
1. 15 วิธี 2. 24 วิธี
3. 45 วิธี 4. 90 วิธี
8. โรงเรียนแหงหนึ่ง มีชมรมทั้งหมด 10 ชมรม โดยนักเรียนแตละคนตองเปนสมาชิกชมรม 1 ชมรม จงหา
จํานวนวิธที่มานะและมานีเลือกอยูชมรมเดียวกันซึ่งเปนคนละชมรมกับปติ
ี
1. 45 วิธี 2. 90 วิธี
3. 180 วิธี 4. 900 วิธี
9. บริษัทนักสืบเอกชนแหงหนึ่งมีพนักงาน 15 คน เปนหญิง 7 คน ชาย 8 คน ผูจดการรับงานมา 2 งาน โดยงาน
ั
ชิ้นแรกใชพนักงานหญิง 3 คน งานชินที่สองใชพนักงานชาย 4 คน จํานวนวิธีที่ผูจัดการจะจัดพนักงานให
้
ทํางานทั้งสองงานนี้เทากับขอใดตอไปนี้
1. 1,225 วิธี 2. 1,550 วิธี
3. 2,450 วิธี 4. 4,900 วิธี
10. สามีภรรยาคูหนึ่ง มีลูก 2 คน มีทรัพยสินเปนที่ดิน 10 แปลง และเครื่องเพชร 5 ชุด ถาตองการแบงสมบัติให
ลูกคนโตโดยลูกคนโตตองไดที่ดิน 6 แปลงและเครืองเพชร 2 ชุด จะมีวิธีการแบงทรัพยสินใหลูกคนโตได
่
ทั้งหมดกีวธี
่ิ
1. 55 วิธี 2. 700 วิธี
3. 1,050 วิธี 4. 2,100 วิธี
24

26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝกหัด
25

27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การจัดหมู
1. 220 2. 74 3. 100
4. 4.1 1 4.2 7 4.3 15
5. 5.1 120 5.2 4 5.3 3
5.4 100 5.5 119
6. 6.1 715 6.2 28,561 6.3 57,798 6.4 188,474
7. 7.1 406 7.2 4,032
8. 8.1 792 8.2 175 8.3 771 8.4 770
9. 9.1 210 9.2 70 9.3 55
10. 32 11. 99 12. 3,360
13. 1,200 14. 4
15. 15.1 30,240 15.2 7,200 15.3 1,440 15.4 4,320
เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 2 2. 3 3. 4 4. 4
5. 3 6. 4 7. 4 8. 2
9. 3 10. 4
26

28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
27

29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
28

30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
29

31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
30