10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจอธิบายแนวคิดของวิธกําลังสองนอยสุด(method of
ี
least square) เพิ่มเติม ดังนี้
ให x เปนตัวแปรอิสระและ y เปนตัวแปรตาม
n
แนวคิดของวิธการนี้คือ การทําให ∑ ( yi − yi )2 มีคานอยที่สุด
ี ˆ
i =1
n
ให SSE = ∑ ( yi − yi ) 2
ˆ
i =1
n
เนื่องจาก y = ax + b
ˆ ดังนั้น SSE = ∑ (axi + b − yi )2
i =1
จากนั้นใชความรูเรื่องแคลคูลัสในการหาคา a และ b ที่ทําให SSE มีคานอยสุด ดังนี้
∂ ( SSE ) n
= 2∑ (axi + b − yi ) xi
∂a i =1
∂ ( SSE ) n
= 2∑ (axi + b − yi )
∂b i =1
9
11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
∂ ( SSE ) ∂ ( SSE )
จากทฤษฎีบทการหาคาต่ําสุด เราตองการหาคา a และ b ที่ทําให =0 และ =0
∂a ∂b
ดังนั้น
n n
∑ (ax + b − y ) x
i =1
i i i =0 และ ∑ (axi + b − yi ) = 0
i =1
นั่นคือ คาคงตัว a และ b ตองสอดคลองสมการ
n n
∑y i =1
i = a ∑ xi + nb
i =1
n n n
∑ xi yi = a∑ xi2 + b∑ xi
i =1 i =1 i =1
โดยสมการขางตนที่ไดจากวิธีกําลังสองนอยสุด เรียกวา สมการปกติ(normal equations)
จากนั้นในสื่อการสอนผูเรียนจะไดชมตัวอยางการวาดแผนภาพการกระจายและการหาความสัมพันธเชิง
ฟงกชันที่กราฟเปนเสนตรง ดังนี้
10
12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
หมายเหตุ
1. ถาตองการประมาณคาของตัวแปรใดตองใหตัวแปรนั้นเปนตัวแปรตามและตัวแปรอีกตัวหนึ่งเปน
ตัวแปรอิสระ
2. สําหรับสมการความสัมพันธเชิงฟงกชันของตัวแปร x และตัวแปร y เราจะใสสัญลักษณ “ ^ ” ไว
เหนือตัวแปรตาม นั่นคือ
ตัวแปร สมการความสัมพันธ
x เปนตัวแปรอิสระ และ y เปนตัวแปรตาม y = ax + b
ˆ (1)
x เปนตัวแปรตาม และ y เปนตัวแปรอิสระ x = ay + b
ˆ (2)
โดยคาคงตัว a และ b ในสมการ (1) และ (2) ไมจําเปนตองเทากัน ซึ่งผูเรียนจะไดชมจากตัวอยาง
ตอไปนี้ในสื่อการสอน
11
13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สําหรับสองตัวอยางขางตน จะพบวาขอมูลที่โจทยกําหนดใหมาเปนขอมูลชุดเดียวกัน เพียงแตคาถาม
ํ
แตกตางกัน
ตัวอยาง โจทยตองการหาสมการเสนตรงที่ สมการเสนตรงที่ได
1 ประมาณรายจายจากรายได y = 0.7 x + 0.9
ˆ
2 ประมาณรายไดจากรายจาย x = 0.5 y + 1.5
ˆ
โดยในตัวอยางแรก ถาทราบรายได ( x ) สามารถประมาณรายจาย ( y ) จากสมการ y = 0.7 x + 0.9 แต
ˆ
ถาหากทราบรายจาย ( y ) แลวตองการประมาณรายได ( x ) ตองใชสมการ x = 0.5 y + 1.5 ในตัวอยางที่ 2
ˆ
ดังนั้นในการหาสมการความสัมพันธ ผูเรียนตองระมัดระวังวาตัวแปรใดเปนตัวแปรอิสระและตัวแปร
ใดเปนตัวแปรตาม จากนันจึงหาคาคงตัว a และ b ซึ่งสรุปไดดังนี้
้
12
15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
n n
∑y
i =1
i = a ∑ xi + nb
i =1
n n n
∑ xi yi = a∑ xi2 + b∑ xi
i =1 i =1 i =1
เมื่อ n = 7
xi yi xi2 xi yi
1 1 1 1
4 5 16 20
3.5 3.5 12.25 12.25
3 2.5 9 7.5
5 6.5 25 32.5
3 3.5 9 10.5
1.5 1.5 2.25 2.25
7 7 7 7
∑ xi = 21
i =1
∑ yi = 23.5
i =1
∑ xi2 = 74.5
i =1
∑ x y = 86
i =1
i i
ดังนัน
้
23.5 = 21a + 7b
86 = 74.5a + 21b
ทําใหไดวา a = 1.3478 และ b = −0.6863
ดังนัน สมการเสนตรงที่ประมาณคาซอมบํารุงจากอายุการใชงานของรถยนต คือ
้
y = 1.3478 x − 0.6863
ˆ
3. ถารถยนตคันหนึ่งมีอายุการใชงาน 4 ป ดังนั้น
y = 1.3478(4) − 0.6863 = 4.7050
ˆ
นั่นคือ คาซอมบํารุงของรถยนตคันนี้ประมาณ 4,705 บาทตอป
14
18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. สมการเอกซโพเนนเชียลที่ประมาณคะแนนสอบจากจํานวนชัวโมงในการทบทวนบทเรียน คือ
่
y = ab x
ˆ
ดังนั้น log y = log a + x log b
ˆ
โดยคาคงตัว a และ b หาไดจากสมการ
n n
∑ log yi = n log a + log b∑ xi
i =1 i =1
n n n
∑ x log y
i =1
i i = log a ∑ xi + log b∑ xi2
i =1 i =1
เมื่อ n = 6
xi yi log yi xi2 xi log yi
0.5 2 0.3010 0.25 0.1505
1 2.5 0.3979 1 0.3979
2 3.5 0.5441 4 1.0882
2.5 4.5 0.6532 6.25 1.6330
3 7 0.8451 9 2.5353
3.5 9.5 0.9772 12.25 3.4223
6 6 6 6
∑ xi = 12.5
i =1
− ∑ log yi = 3.7191
i =1
∑ xi2 = 32.75
i =1
∑ x log y = 9.2272
i =1
i i
ดังนัน
้ 3.7191 = 6 log a + 12.5log b
9.2272 = 12.5log a + 32.75log b
ทําใหไดวา log a = 0.1605 และ log b = 0.2205
ดังนัน
้ log y = 0.1605 + 0.2205 x
ˆ
ทําใหไดวา สมการเอกซโพเนนเชียลที่ประมาณคะแนนสอบจากจํานวนชัวโมงในการทบทวนบทเรียน
่
คือ
y = 100.1605+0.2205 x
ˆ
3. ถานักเรียนคนหนึ่งทบทวนบทเรียน 1 ชั่วโมง 30 นาที ตอวัน ดังนั้น
y = 100.1605+0.2205(1.5) = 100.49125 = 3.1
ˆ
นั่นคือ นักเรียนคนนีจะไดคะแนนประมาณ 3.1 คะแนน
้
17
19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สําหรับตัวอยางสุดทายในสื่อการสอนนี้เปนตัวอยางความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูลที่อยูในรูป
พาราโบลา เนื่องดวยเวลาในสื่อการสอนมีจํากัดจึงไมไดเฉลยวิธทําใหผูเรียนชม ดังนั้นผูสอนควรใหผูเรียน
ี
ชวยกันคิดหาคําตอบกอน จากนั้นผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนดู ดังนี้
ตัวอยาง จากขอมูล
xi 1 2 3
yi 1 5 10
1. จงหาสมการพาราโบลาที่ทํานายคา y จากคา x
2. จงทํานายคา y เมื่อ x = 6
วิธีทํา 1. ตองการทํานายคา y จากคา x ดังนั้น x เปนตัวแปรอิสระและ y เปนตัวแปรตาม
ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการอยูในรูป
y = ax 2 + bx + c
ˆ
โดยคาคงตัว a, b และ c หาไดจากสมการ
n n n
∑ yi = a∑ xi2 + b∑ xi + cn
i =1 i =1 i =1
(1)
n n n n
∑x y
i =1
i i = a ∑ xi3 + b∑ xi2 + c∑ xi
i =1 i =1 i =1
(2)
n n n n
∑ xi2 yi = a∑ xi4 + b∑ xi3 + c∑ xi2
i =1 i =1 i =1 i =1
(3)
สําหรับตัวอยางนี้ n = 3
18
20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 yi
1 1 1 1 1 1 1
2 5 4 8 16 10 20
3 10 9 27 81 30 90
3 3 3 3 3 3 3
∑ xi = 6
i =1
∑ yi = 16
i =1
∑ xi2 = 14
i =1
∑ xi3 = 36
i =1
∑ xi4 = 98
i =1
∑ xi yi = 41
i =1
∑x
i =1
2
y = 111
i i
นําคาในตารางไปแทนในสมการ (1), (2) และ (3) จะไดวา
16 = 14a + 6b + 3c
41 = 36a + 14b + 6c
111 = 98a + 36b + 14c
จากการแกสมการขางตน จะไดวา
a = 0.5 b = 2.5 c = −2
ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ทํานายคา y จากคา x คือ
y = 0.5 x 2 + 2.5 x − 2
ˆ
2. เมื่อ x=6 จะไดวา y = 0.5(62 ) + 2.5(6) − 2 = 31
ˆ
หมายเหตุ จากตัวอยางขางตน ผูเรียนตองหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสน 3 ตัวแปร ซึ่งการคํานวณคอนขาง
ยุงยาก ดังนัน ผูสอนควรทบทวนผูเรียนเรื่องการใชเมทริกซในการแกระบบสมการ ซึ่งจะทําใหหาคําตอบได
้
สะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น
จากระบบอสมการ
16 = 14a + 6b + 3c
41 = 36a + 14b + 6c
111 = 98a + 36b + 14c
นํามาเขียนในรูปเมทริกซไดดังนี้
19