SlideShare a Scribd company logo
ΠΛΗ30
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Μάθηµα 1.3:
Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ηµήτρης Ψούνης∆ηµήτρης Ψούνης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
1. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Ο
2. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός ο
3. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Ω
4. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός ω
5. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Θ
2. Χρήση Ορίων για την απόδειξη ισχύος ασυµπτωτικών
συµβολισµών
3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς
Γ. Ασκήσεις
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Οι στόχοι του µαθήµατος είναι:
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Επίπεδο Α
Ερµηνεία των ασυµπτωτικών συµβολισµών (να ξέρουµε πως µεταφράζεται
κάθε συµβολισµός)
Επίπεδο Β
Χρήση των ορίων για την απόδειξη ότι ισχύει ένας ασυµπτωτικός
συµβολισµός
Επίπεδο ΓΕπίπεδο Γ
Ορισµοί των ασυµπτωτικών συµβολισµών και απόδειξη µε τον ορισµό ότι
ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Εισάγουµε τους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς ο,Ο,Θ,Ω,ω για να µπορούµε
να περιγράψουµε την πολυπλοκότητα αγορίθµων µέσω άνω και κάτωνα περιγράψουµε την πολυπλοκότητα αγορίθµων µέσω άνω και κάτω
φραγµάτων.
Έστω δύο συναρτήσεις πολυπλοκότητας f(n) και g(n). Τότε:
Συµβολίζουµε ∆ιαβάζουµε Εµπειρικά
καταλαβαίνουµε ότι
f=o(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως
γνήσιο άνω φράγµα την g
f<g
f=O(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως άνω
φράγµα την g
f≤g
φράγµα την g
f=Θ(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως άνω
και κάτω φράγµα την g
f=g
f=Ω(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως
κάτω φράγµα την g
f≥g
f=ω(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως
γνήσιο κάτω φράγµα την g
f>g
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
1. Ο συµβολισµός Ο
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=O(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f≤g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η
f(n) είναι πάντα µικρότερη ή ίση από την cg(n) για κάποια κατάλληλη
σταθερά c.
αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngOnf = )()(0:0,00 ngcnfcn ⋅≤≤>>∃ 0nn ≥
H σχέση f(n)=O(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως άνω φράγµα την g»
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
1. Ο συµβολισµός Ο
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 1Παράδειγµα 1
Να αποδείξετε ότι: 2n=O(n3)
Απόδειξη:
Έχουµε f(n)=2n, g(n)=n3
Επιλέγουµε n0=1, c=2.
3
22
)()(
nn
ncgnf
⇒≤
⇒≤
που ισχύει για κάθε n≥1
2
1 n≤
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
2. Ο συµβολισµός o
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=ο(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f<g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι για κάθε θετική σταθερά c η f(n)
είναι πάντα µικρότερη από την cg(n) µετά από κάποια σταθερά n0
H σχέση f(n)=ο(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως ΓΝΗΣΙΟ άνω
φράγµα την g»
Προσοχή!!
n=O(n)
αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngonf = )()(0::0 0 ngcnfnc ⋅<≤∃>∀ 0nn ≥
n=O(n)
n≠o(n)
n=o(n2)
n=o(n3)
…κ.ο.κ.
Η απόδειξη είναι πιο δύσκολη γιατί πρέπει να γίνεται για κάθε σταθερά
c>0.
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
2. Ο συµβολισµός o
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 2Παράδειγµα 2
Να αποδείξετε ότι: 2n=ο(n2)
Απόδειξη:
Έστω c>0:
nc
cn
cnn
ncgnf
<
⇒<
⇒<
⇒<
/2
2
2
)()(
2
Άρα υπάρχει επιλέγουµε ως n0 το
nc </2
 c/2
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
4. Ο συµβολισµός Ω
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=Ω(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f≥g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η
f(n) είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση από την cg(n) για κάποια
κατάλληλη σταθερά c.
αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngnf Ω= 0)()(:0,00 ≥⋅≥>>∃ ngcnfcn 0nn ≥
H σχέση f(n)=Ω(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως κάτω φράγµα την
g»
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
4. Ο συµβολισµός Ω
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 3Παράδειγµα 3
Να αποδείξετε ότι: 4n=Ω(logn)
Απόδειξη:
Έχουµε f(n)=4n, g(n)=logn
Επιλέγουµε n0=1, c=4.
nn
ncgnf
log44
)()(
⇒≥
⇒≥
που ισχύει για κάθε n≥1
nn log≥
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
5. Ο συµβολισµός ω
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=ω(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά: f>g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι για κάθε θετική σταθερά c η f(n)
είναι πάντα µεγαλύτερη από την cg(n) µετά από κάποια σταθερά n0
H σχέση f(n)=ω(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως ΓΝΗΣΙΟ κάτω
φράγµα την g»
Προσοχή!!
n=Ω(n)
αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngnf ω= 0)()(::0 0 ≥⋅>∃>∀ ngcnfnc 0nn ≥
n=Ω(n)
n≠ω(n)
n=ω(logn)
n=ω(loglogn)
…κ.ο.κ.
Η απόδειξη είναι πιο δύσκολη γιατί πρέπει να γίνεται για κάθε σταθερά
c>0.
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
5. Ο συµβολισµός ω
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 4Παράδειγµα 4
Να αποδείξετε ότι: 0.5n2=ω(n)
Απόδειξη:
Έστω c>0:
c
n
cnn
ncgnf
5.0
5.0
)()(
2
>
⇒>
⇒>
⇒>
Άρα υπάρχει επιλέγουµε ως n0 το
cn 2>
c2
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
5. Ο συµβολισµός Θ
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=Θ(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά f=g.
Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει:
Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η
f(n) φράσσεται από πάνω και από κάτω από την g(n), όταν αυτή
πολλαπλασιάζεται αντίστοιχα µε κάποιες κατάλληλες σταθερές:
αν και µόνο αν
για κάθε
))(()( ngnf Θ= )()()(0:0,,0 21210 ngcnfngcccn ≤≤<>>∃
0nn ≥
H σχέση f(n)=Θ(g(n)) θα διαβάζεται «η f είναι ασυµπτωτικά ίση µε
την g»
Β. Θεωρία
1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
5. Ο συµβολισµός Θ
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 5Παράδειγµα 5
Να αποδείξετε ότι: 4n=Θ(n)
Απόδειξη:
Έχουµε f(n)=4n, g(n)=n
Επιλέγουµε n0=1, c1=2.
24
24
)()( 1
≥
⇒≥
⇒≥
nn
ngcnf
που ισχύει για κάθε n≥1
Επιλέγουµε n0=1, c2=6.
που ισχύει για κάθε n≥1
24 ≥
64
64
)()(
≤
⇒≤
⇒≤
nn
ncgnf
Για να αποδείξουµε ότι ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός µεταξύ 2
συναρτήσεων:
Β. Θεωρία
2. Όρια και Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
συναρτήσεων:
Είτε χρησιµοποιούµε τον αντίστοιχο ορισµό,
Είτε κάνουµε χρήση του ακόλουθου θεωρήµατος:
Συνεπώς ένας εναλλακτικός (και πιο εύκολος) τρόπος να





=∝+
=
Θ=≠
=
∝+→
))(()(,
))(()(,0
))(()(,0
)(
)(
lim
ngnfό
ngonfό
ngnfόc
ng
nf
n
ωτετ
τετ
τετ
Συνεπώς ένας εναλλακτικός (και πιο εύκολος) τρόπος να
εξετάσουµε αν ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός είναι:
Υπολογίζουµε το παραπάνω όριο
Ανάλογα µε το αποτέλεσµά του να αποφασίσουµε αν ισχύει ή
όχι ο αντίστοιχος ασυµπτωτικός συµβολισµός
Β. Θεωρία
2. Όρια και Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό:
Παράδειγµα 6Παράδειγµα 6
Να αποδείξετε ότι: 0.5n2=ω(n)
Απόδειξη:
Συνεπώς 0.5n2=ω(n)
∝+===
∝+→∝+→∝+→
)5.0(lim
5.0
lim
)(
)(
lim
2
n
n
n
ng
nf
nnn
Παράδειγµα 6Παράδειγµα 6
Να αποδείξετε ότι: 2n=o(3n)
Απόδειξη:
Συνεπώς 2n=o(3n)
0)66.0(lim
3
2
lim
3
2
lim
)(
)(
lim ==





==
∝+→∝+→∝+→∝+→
n
n
n
nn
n
nn ng
nf
Β. Θεωρία
3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Ισχύουν οι ακόλουθες προφανείς προτάσεις για τους ασυµπτωτικούς
συµβολισµούς:συµβολισµούς:
∆ιαισθητικά: f=g αν και µόνο αν f≤g και f≥g
Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το Θ ισχύει και το Ο και το Ω
∆ιαισθητικά: Αν f<g τότε f≤g
Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ο ισχύει και το Ο
Λήµµα 1: αν και µόνο αν και))(()( ngOnf =))(()( ngnf Θ= ))(()( ngnf Ω=
Λήµµα 2: Αν τοτε))(()( ngnf ο= ))(()( ngOnf =
Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ο ισχύει και το Ο
(∆εν ισχύει το αντίστροφο)
∆ιαισθητικά: Αν f>g τότε f≥g
Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ω ισχύει και το Ω
(∆εν ισχύει το αντίστροφο)
Λήµµα 3: Αν τοτε))(()( ngnf ω= ))(()( ngnf Ω=
Β. Θεωρία
4. Οι ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ως Σύνολα
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
Έστω η παράσταση O(n2):
Ισχύουν τα εξής:Ισχύουν τα εξής:
1=O(n2)
n+2=O(n2)
logn=O(n2)
logn+5loglogn=O(n2)
3n2=O(n2)
Στην πραγµατικότητα ο συµβολισµός O(n2) εκφράζει όλες τις συναρτήσεις
που είναι ασυµπτωτικά µικρότερες ή ίσες από την n2.που είναι ασυµπτωτικά µικρότερες ή ίσες από την n2.
Άρα το O(n2) θα έπρεπε να απεικονίζεται ως σύνολο συναρτήσεων και να
γράφουµε αντίστοιχα:
Αλλά ευτυχώς έχει επικρατήσει ο συµβολισµός µε την ισότητα.
)(2
)(1
2
2
nOn
nO
∈+
∈
Γ. Ασκήσεις
Ασκηση Κατανόησης 1
Στον πίνακα που ακολουθεί για κάθε ζευγάρι συναρτήσεων f και g
σηµειώστε µε √ αν ισχύει η σχέση του αντίστοιχου συµβολισµού της f µε την
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
σηµειώστε µε √ αν ισχύει η σχέση του αντίστοιχου συµβολισµού της f µε την
g.
f(n) g(n) o O Θ Ω ω
n2 n3 √ √
n1.5 n
4logn 8logn
5n2 0.5n2
Π.χ. έχει σηµειωθεί µε √ το 1ο κελί, διότι n2=o(n3)
5n2 0.5n2
n3-5n 8logn
Γ. Ασκήσεις
Ασκηση Κατανόησης 2
Στον πίνακα που ακολουθεί για κάθε ζευγάρι συναρτήσεων f και g
σηµειώστε µε Θ ή ο ή ω ανάλογα µε το ποιος από τους 3 ασυµπτωτικούς
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
σηµειώστε µε Θ ή ο ή ω ανάλογα µε το ποιος από τους 3 ασυµπτωτικούς
συµβολισµούς ισχύει µεταξύ της f και της g
g(n)=5 g(n)=logn g(n)=n2 g(n)=2n g(n)=5n g(n)=nn
f(n)=loglogn ω
f(n)=4logn
f(n)=n
f(n)=2n2
Π.χ. στο 1ο κελί έχει σηµειωθεί ω αφού loglogn=ω(1)
f(n)=2n
f(n)=6n5+n
f(n)=3n
f(n)=n!
Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
Να αποδείξετε, κάνοντας χρήση του αντιστοιχου ορισµού ασυµπτωτικού
συµβολισµού ότι:
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
συµβολισµού ότι:
)(.6
)3(2.5
)(46.4
)(loglog.3
)(4.2
)log(.1
2
2
22
nn
o
nn
nn
nnn
nnOn
n
nn
ω=
=
Θ=+
Ω=
Θ=+
=
)(.6 nn ω=
Γ. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
Να αποδείξετε, κάνοντας χρήση του ορισµού των ορίων ότι:
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
)(.6
)3(2.5
)(46.4
)(loglog.3
)(4.2
)log(.1
2
2
22
nn
o
nn
nn
nnn
nnOn
n
nn
ω=
=
Θ=+
Ω=
Θ=+
=
)(.6 nn ω=

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
 
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
 
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.4
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 7
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
 

Viewers also liked

ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (19)

ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
 
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 

Similar to ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3

ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
Dimitris Psounis
 
Interference
InterferenceInterference
Interference
ntsormpa
 
20-05-13 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας
20-05-13 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας20-05-13 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας
20-05-13 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας
Nickos Nickolopoulos
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
Dimitris Psounis
 
Thmeta plus lyseis_3o_gel_komotinis
Thmeta plus lyseis_3o_gel_komotinisThmeta plus lyseis_3o_gel_komotinis
Thmeta plus lyseis_3o_gel_komotinis
Christos Loizos
 
kef6-8MT-Synepeies.pdf
kef6-8MT-Synepeies.pdfkef6-8MT-Synepeies.pdf
kef6-8MT-Synepeies.pdf
ssuserf4769e1
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
Dimitris Psounis
 

Similar to ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (20)

Algorithms - Exercise 1
Algorithms - Exercise 1Algorithms - Exercise 1
Algorithms - Exercise 1
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.5
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.3
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.3
 
Interference
InterferenceInterference
Interference
 
20-05-13 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας
20-05-13 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας20-05-13 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας
20-05-13 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.4
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
 
Thmeta plus lyseis_3o_gel_komotinis
Thmeta plus lyseis_3o_gel_komotinisThmeta plus lyseis_3o_gel_komotinis
Thmeta plus lyseis_3o_gel_komotinis
 
kef6-8MT-Synepeies.pdf
kef6-8MT-Synepeies.pdfkef6-8MT-Synepeies.pdf
kef6-8MT-Synepeies.pdf
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3

  • 1. ΠΛΗ30 ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ∆ηµήτρης Ψούνης∆ηµήτρης Ψούνης
  • 2. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 1. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Ο 2. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός ο 3. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Ω 4. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός ω 5. Ο ασυµπτωτικός συµβολισµός Θ 2. Χρήση Ορίων για την απόδειξη ισχύος ασυµπτωτικών συµβολισµών 3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς Γ. Ασκήσεις
  • 3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος Οι στόχοι του µαθήµατος είναι: 3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Επίπεδο Α Ερµηνεία των ασυµπτωτικών συµβολισµών (να ξέρουµε πως µεταφράζεται κάθε συµβολισµός) Επίπεδο Β Χρήση των ορίων για την απόδειξη ότι ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός Επίπεδο ΓΕπίπεδο Γ Ορισµοί των ασυµπτωτικών συµβολισµών και απόδειξη µε τον ορισµό ότι ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός
  • 4. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Εισάγουµε τους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς ο,Ο,Θ,Ω,ω για να µπορούµε να περιγράψουµε την πολυπλοκότητα αγορίθµων µέσω άνω και κάτωνα περιγράψουµε την πολυπλοκότητα αγορίθµων µέσω άνω και κάτω φραγµάτων. Έστω δύο συναρτήσεις πολυπλοκότητας f(n) και g(n). Τότε: Συµβολίζουµε ∆ιαβάζουµε Εµπειρικά καταλαβαίνουµε ότι f=o(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως γνήσιο άνω φράγµα την g f<g f=O(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως άνω φράγµα την g f≤g φράγµα την g f=Θ(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως άνω και κάτω φράγµα την g f=g f=Ω(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως κάτω φράγµα την g f≥g f=ω(g) Ασυµπτωτικά, η f έχει ως γνήσιο κάτω φράγµα την g f>g
  • 5. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 1. Ο συµβολισµός Ο 5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=O(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f≤g. Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει: Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η f(n) είναι πάντα µικρότερη ή ίση από την cg(n) για κάποια κατάλληλη σταθερά c. αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngOnf = )()(0:0,00 ngcnfcn ⋅≤≤>>∃ 0nn ≥ H σχέση f(n)=O(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως άνω φράγµα την g»
  • 6. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 1. Ο συµβολισµός Ο 6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό: Παράδειγµα 1Παράδειγµα 1 Να αποδείξετε ότι: 2n=O(n3) Απόδειξη: Έχουµε f(n)=2n, g(n)=n3 Επιλέγουµε n0=1, c=2. 3 22 )()( nn ncgnf ⇒≤ ⇒≤ που ισχύει για κάθε n≥1 2 1 n≤
  • 7. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 2. Ο συµβολισµός o 7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=ο(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f<g. Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει: που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι για κάθε θετική σταθερά c η f(n) είναι πάντα µικρότερη από την cg(n) µετά από κάποια σταθερά n0 H σχέση f(n)=ο(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως ΓΝΗΣΙΟ άνω φράγµα την g» Προσοχή!! n=O(n) αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngonf = )()(0::0 0 ngcnfnc ⋅<≤∃>∀ 0nn ≥ n=O(n) n≠o(n) n=o(n2) n=o(n3) …κ.ο.κ. Η απόδειξη είναι πιο δύσκολη γιατί πρέπει να γίνεται για κάθε σταθερά c>0.
  • 8. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 2. Ο συµβολισµός o 8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό: Παράδειγµα 2Παράδειγµα 2 Να αποδείξετε ότι: 2n=ο(n2) Απόδειξη: Έστω c>0: nc cn cnn ncgnf < ⇒< ⇒< ⇒< /2 2 2 )()( 2 Άρα υπάρχει επιλέγουµε ως n0 το nc </2  c/2
  • 9. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 4. Ο συµβολισµός Ω 9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=Ω(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά : f≥g. Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει: Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η f(n) είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση από την cg(n) για κάποια κατάλληλη σταθερά c. αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngnf Ω= 0)()(:0,00 ≥⋅≥>>∃ ngcnfcn 0nn ≥ H σχέση f(n)=Ω(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως κάτω φράγµα την g»
  • 10. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 4. Ο συµβολισµός Ω 10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό: Παράδειγµα 3Παράδειγµα 3 Να αποδείξετε ότι: 4n=Ω(logn) Απόδειξη: Έχουµε f(n)=4n, g(n)=logn Επιλέγουµε n0=1, c=4. nn ncgnf log44 )()( ⇒≥ ⇒≥ που ισχύει για κάθε n≥1 nn log≥
  • 11. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 5. Ο συµβολισµός ω 11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=ω(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά: f>g. Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει: που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι για κάθε θετική σταθερά c η f(n) είναι πάντα µεγαλύτερη από την cg(n) µετά από κάποια σταθερά n0 H σχέση f(n)=ω(g(n)) θα διαβάζεται «η f έχει ως ΓΝΗΣΙΟ κάτω φράγµα την g» Προσοχή!! n=Ω(n) αν και µόνο αν για κάθε))(()( ngnf ω= 0)()(::0 0 ≥⋅>∃>∀ ngcnfnc 0nn ≥ n=Ω(n) n≠ω(n) n=ω(logn) n=ω(loglogn) …κ.ο.κ. Η απόδειξη είναι πιο δύσκολη γιατί πρέπει να γίνεται για κάθε σταθερά c>0.
  • 12. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 5. Ο συµβολισµός ω 12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό: Παράδειγµα 4Παράδειγµα 4 Να αποδείξετε ότι: 0.5n2=ω(n) Απόδειξη: Έστω c>0: c n cnn ncgnf 5.0 5.0 )()( 2 > ⇒> ⇒> ⇒> Άρα υπάρχει επιλέγουµε ως n0 το cn 2> c2
  • 13. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 5. Ο συµβολισµός Θ 13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ∆ιαισθητικά, όταν βλέπουµε f=Θ(g), καταλαβαίνουµε ότι ασυµπτωτικά f=g. Τυπικά ο ορισµός λέει:Τυπικά ο ορισµός λέει: Που µε απλά λόγια ερµηνεύεται ότι µετά από κάποια σταθερά n0, η f(n) φράσσεται από πάνω και από κάτω από την g(n), όταν αυτή πολλαπλασιάζεται αντίστοιχα µε κάποιες κατάλληλες σταθερές: αν και µόνο αν για κάθε ))(()( ngnf Θ= )()()(0:0,,0 21210 ngcnfngcccn ≤≤<>>∃ 0nn ≥ H σχέση f(n)=Θ(g(n)) θα διαβάζεται «η f είναι ασυµπτωτικά ίση µε την g»
  • 14. Β. Θεωρία 1. Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 5. Ο συµβολισµός Θ 14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό: Παράδειγµα 5Παράδειγµα 5 Να αποδείξετε ότι: 4n=Θ(n) Απόδειξη: Έχουµε f(n)=4n, g(n)=n Επιλέγουµε n0=1, c1=2. 24 24 )()( 1 ≥ ⇒≥ ⇒≥ nn ngcnf που ισχύει για κάθε n≥1 Επιλέγουµε n0=1, c2=6. που ισχύει για κάθε n≥1 24 ≥ 64 64 )()( ≤ ⇒≤ ⇒≤ nn ncgnf
  • 15. Για να αποδείξουµε ότι ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός µεταξύ 2 συναρτήσεων: Β. Θεωρία 2. Όρια και Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί συναρτήσεων: Είτε χρησιµοποιούµε τον αντίστοιχο ορισµό, Είτε κάνουµε χρήση του ακόλουθου θεωρήµατος: Συνεπώς ένας εναλλακτικός (και πιο εύκολος) τρόπος να      =∝+ = Θ=≠ = ∝+→ ))(()(, ))(()(,0 ))(()(,0 )( )( lim ngnfό ngonfό ngnfόc ng nf n ωτετ τετ τετ Συνεπώς ένας εναλλακτικός (και πιο εύκολος) τρόπος να εξετάσουµε αν ισχύει ένας ασυµπτωτικός συµβολισµός είναι: Υπολογίζουµε το παραπάνω όριο Ανάλογα µε το αποτέλεσµά του να αποφασίσουµε αν ισχύει ή όχι ο αντίστοιχος ασυµπτωτικός συµβολισµός
  • 16. Β. Θεωρία 2. Όρια και Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί 16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Ας δούµε πως χρησιµοποιούµε τον ορισµό: Παράδειγµα 6Παράδειγµα 6 Να αποδείξετε ότι: 0.5n2=ω(n) Απόδειξη: Συνεπώς 0.5n2=ω(n) ∝+=== ∝+→∝+→∝+→ )5.0(lim 5.0 lim )( )( lim 2 n n n ng nf nnn Παράδειγµα 6Παράδειγµα 6 Να αποδείξετε ότι: 2n=o(3n) Απόδειξη: Συνεπώς 2n=o(3n) 0)66.0(lim 3 2 lim 3 2 lim )( )( lim ==      == ∝+→∝+→∝+→∝+→ n n n nn n nn ng nf
  • 17. Β. Θεωρία 3. Λήµµατα στους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς 17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Ισχύουν οι ακόλουθες προφανείς προτάσεις για τους ασυµπτωτικούς συµβολισµούς:συµβολισµούς: ∆ιαισθητικά: f=g αν και µόνο αν f≤g και f≥g Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το Θ ισχύει και το Ο και το Ω ∆ιαισθητικά: Αν f<g τότε f≤g Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ο ισχύει και το Ο Λήµµα 1: αν και µόνο αν και))(()( ngOnf =))(()( ngnf Θ= ))(()( ngnf Ω= Λήµµα 2: Αν τοτε))(()( ngnf ο= ))(()( ngOnf = Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ο ισχύει και το Ο (∆εν ισχύει το αντίστροφο) ∆ιαισθητικά: Αν f>g τότε f≥g Θα ξέρουµε ότι όταν ισχύει το ω ισχύει και το Ω (∆εν ισχύει το αντίστροφο) Λήµµα 3: Αν τοτε))(()( ngnf ω= ))(()( ngnf Ω=
  • 18. Β. Θεωρία 4. Οι ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί ως Σύνολα 18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί Έστω η παράσταση O(n2): Ισχύουν τα εξής:Ισχύουν τα εξής: 1=O(n2) n+2=O(n2) logn=O(n2) logn+5loglogn=O(n2) 3n2=O(n2) Στην πραγµατικότητα ο συµβολισµός O(n2) εκφράζει όλες τις συναρτήσεις που είναι ασυµπτωτικά µικρότερες ή ίσες από την n2.που είναι ασυµπτωτικά µικρότερες ή ίσες από την n2. Άρα το O(n2) θα έπρεπε να απεικονίζεται ως σύνολο συναρτήσεων και να γράφουµε αντίστοιχα: Αλλά ευτυχώς έχει επικρατήσει ο συµβολισµός µε την ισότητα. )(2 )(1 2 2 nOn nO ∈+ ∈
  • 19. Γ. Ασκήσεις Ασκηση Κατανόησης 1 Στον πίνακα που ακολουθεί για κάθε ζευγάρι συναρτήσεων f και g σηµειώστε µε √ αν ισχύει η σχέση του αντίστοιχου συµβολισµού της f µε την 19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί σηµειώστε µε √ αν ισχύει η σχέση του αντίστοιχου συµβολισµού της f µε την g. f(n) g(n) o O Θ Ω ω n2 n3 √ √ n1.5 n 4logn 8logn 5n2 0.5n2 Π.χ. έχει σηµειωθεί µε √ το 1ο κελί, διότι n2=o(n3) 5n2 0.5n2 n3-5n 8logn
  • 20. Γ. Ασκήσεις Ασκηση Κατανόησης 2 Στον πίνακα που ακολουθεί για κάθε ζευγάρι συναρτήσεων f και g σηµειώστε µε Θ ή ο ή ω ανάλογα µε το ποιος από τους 3 ασυµπτωτικούς 20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί σηµειώστε µε Θ ή ο ή ω ανάλογα µε το ποιος από τους 3 ασυµπτωτικούς συµβολισµούς ισχύει µεταξύ της f και της g g(n)=5 g(n)=logn g(n)=n2 g(n)=2n g(n)=5n g(n)=nn f(n)=loglogn ω f(n)=4logn f(n)=n f(n)=2n2 Π.χ. στο 1ο κελί έχει σηµειωθεί ω αφού loglogn=ω(1) f(n)=2n f(n)=6n5+n f(n)=3n f(n)=n!
  • 21. Γ. Ασκήσεις Εφαρµογή 1 Να αποδείξετε, κάνοντας χρήση του αντιστοιχου ορισµού ασυµπτωτικού συµβολισµού ότι: 21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί συµβολισµού ότι: )(.6 )3(2.5 )(46.4 )(loglog.3 )(4.2 )log(.1 2 2 22 nn o nn nn nnn nnOn n nn ω= = Θ=+ Ω= Θ=+ = )(.6 nn ω=
  • 22. Γ. Ασκήσεις Εφαρµογή 2 Να αποδείξετε, κάνοντας χρήση του ορισµού των ορίων ότι: 22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ30, Μάθηµα 1.3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί )(.6 )3(2.5 )(46.4 )(loglog.3 )(4.2 )log(.1 2 2 22 nn o nn nn nnn nnOn n nn ω= = Θ=+ Ω= Θ=+ = )(.6 nn ω=