1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 2) Άπληστος Αλγόριθμος (Αντιπαράδειγμα ε μη ορθό αλγόριθμο υπολογισμού συντομότερου μονοπατιού) 3.1) 0*1*11*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ και Κανονική Γραμματική 3.2) Διακριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών 4) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών Όχι Χωρίς Συμφραζόμενα (Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Αυτόματο Στοίβας) και (Λήμμα Άντλησης για Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα. 5.1) Μηχανή Turing για συμπλήρωμα ισότητας 5.2) Αναγωγές μη Επιλυσιμότητας 6) NP-πληρότητα (το πρόβλημα της κομβικής επικάλυψης και το πρόβλημα του ανεξαρτήτου συνόλου)

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 1
ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
n n nnn n nn
n
n
nnf
nnnf
nnf
nf
log
4
)(log loglog log
3
log5
2
log
1
)(log)(
)(log)(
)(log)(
4)(
2 2 232
2
2
=
+=
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 2
(Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατο έχουµε στη διάθεσή µας τρεις αλγόριθµους:
Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά επτά υποπροβλήµατα µεγέθους
n/3 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n3
.
Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά δέκα υποπροβλήµατα µεγέθους
n/2 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n.
Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά ένα υποπρόβληµα µεγέθους n-1
το καθένα και εξάγει την τελική λύση σε χρόνο n3
.
Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον
ταχύτερο αλγόριθµο για την επίλυση του προβλήµατος. Θεωρείστε γνωστό ότι: )n( 4
1
3
Θ=∑=
n
i
i
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 3
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 10/20)
Μελετάµε το πρόβληµα της εύρεσης του συντοµότερου µονοπατιού από µία κορυφή αφετηρία σε µία κορυφή
– προορισµό σε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα , µε θετικά ακέραια βάρη στις ακµές για το οποίο
προτείνεται ο εξής άπληστος αλγόριθµος:
1. Θέσε ως τρέχουσα κορυφή την .
2. Θέσε 0
3. Επανέλαβε εως ότου :
a. Επέλεξε την ακµή , ∈ , για κάθε γειτονική της µε το ελάχιστο βάρος.
b. Θέσε την ακµή , στο ελάχιστο µονοπάτι και αύξησε το W µε το βάρος της ακµής ,
c. Θέσε
4. Επέστρεψε το
Εξετάστε αν ο παραπάνω αλγόριθµος είναι βέλτιστος. Αν ναι, δώστε απόδειξη ορθότητας. Αν όχι δώστε ένα
κατάλληλο αντιπαράδειγµα.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 4
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20)
1. ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 0*1*11*
(Α) ∆ώστε ένα Μη Ντετερµινιστικό ΠΑ που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές που παράγονται από την παραπάνω
κανονική έκφραση.
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο του ερωτήµατος Α
(Γ) ∆ώστε Κανονική Γραµµατίκη για το αυτόµατο του ερωτήµατος Α.

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 5
2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια
από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε
ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {0n
1m
| n ≥ 0, m ≥ 0}
B = {0n
1m
| n=m}
Γ = {0n
1m
| n ≥ 1, m ≥ 2}
∆ = {0n
1m
| n<m}
E = {0n
1m
| n ≥ 0, m∈{0,1,2}}
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ∈ µε | | να
µπορεί να γραφεί στην µορφή όπου για τις συµβολοσειρές , και ισχύει:
| |
∈ για κάθε φυσικό

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 6
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20)
Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι;
L1 = {an
bk
am
| k ∈ , n=m}.
L2 = {an
bk
am
| k =2n, n=m}.
Σηµείωση: είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών
(A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα:
(1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της.
(2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της:
a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας,
αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών
καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε
πίνακα.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 7
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο
λήµµα άντλησης:
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή !" όπου για τις συµβολοσειρές
, , , ! και " ισχύει:
| !|
| !| # 0
$
!$
" ∈ για κάθε φυσικό % 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20)
Εξετάστε το κατά πόσον τα παρακάτω προβλήµατα είναι επιλύσιµα.
Α: Μία συµβολοσειρά του αλφαβήτου {0,1,2} περιέχει διαφορετικό πλήθος από 0 και 1.
Β: Ένα πρόγραµµα αποδέχεται την συµβολοσειρά 00.
Υπόδειξη: Το πρόβληµα του τερµατισµού δεν είναι επιλύσιµο

9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 1 9
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20)
Εξετάστε αν το ακόλουθο πρόβληµα είναι NP-πλήρες: ∆ίδεται γράφος G=(V,E) και ένας ακέραιος k και τίθεται το
ερώτηµα για το αν υπάρχει ένα υποσύνολο των κορυφών του γραφήµατος που κάθε ακµή του γραφήµατος έχει
τουλάχιστον το ένα άκρο της σε κορυφή του υποσυνόλου.
Υπόδειξη: Θεωρείστε γνωστό ότι το πρόβληµα της εύρεσης ενός υποσυνόλου κορυφών µεγέθους k που δεν
συνδέονται µε ακµή είναι NP-πλήρες.