∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 23 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ23
ΘΕΜΑ 1: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Άσκηση 1) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
n
nn
n
n
nnnf
nnf
n
nnn
nf
4loglog)(
)3log()001,1()(
loglog
log
)(
32
3
100
2
2log
1
+=
+=
+
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 23 2
(Ασκηση 2) Να λύσετε τις αναδροµές:
n
n
T
n
TnT loglog
11
8
11
3
)()1( +





+





=
4/1
121
11)()2( n
n
TnT +





=
n
n
TnT +





=
7
49)()3(
( ) 5321)()4( 3
+++−= nnnTnT
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nε−
= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
ε+
= Ω
 
≥ ≤ Θ 
 
Υπόδειξη: Θεωρείστε γνωστό ότι: )( 4
1
3
ni
n
i
Θ=∑=

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 23 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = (0+1)(0+1)(0+1)
L2 = (111+010+011)*
L3 = 01*01*+10*10*
L4 = (1+00+010)*(0+01+011+0111)*(11)*
L5 = (1*00*+11*0*1*0)*

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 23 4
Άσκηση 2:
1. ∆ίδεται η κανονική έκφραση: 10(0+1)*+01(0+1)*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L
Άσκηση 3:
∆ίδονται οι γλώσσες του αλφαβήτου {a,b}:
εκ των οποίων η µία είναι κανονική και η άλλη δεν είναι κανονική.
(A) Επιλέξτε την γλώσσα που είναι κανονική και αποδείξτε το, δίνοντας ΝΠΑ που αναγνωρίζει
τις συµβολοσειρές της
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι κανονική: ∆είξτε ότι δεν είναι κανονική µε το λήµµα
άντλησης
}1||,{},1||,{ 21 ≥=≤= wwwLwwwL

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 23 5
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΧΩΡΙΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΑ
Άσκηση 1: ∆ώστε γραµµατικές χωρίς συµφραζόµενα για τις γλώσσες:
L 1 0 | 0
L | , 0
L | 2
L | , ∈ , ∗
, | | | |
L , , ! 0
L" # !
L$ | %

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 23 6
Άσκηση 2
Έστω Σ το αλφάβητο Σ={a,b} και L η γλώσσα που σχηµατίζεται ακριβώς και µόνον µε τους κανόνες
• aab∈L
• Αν x∈L, τότε και aaxbbbb∈ L
(Α) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική.
(Β) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
(∆) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Αυτόµατο Στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω & µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός ' (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ( ∈ & µε |)| ' να
µπορεί να γραφεί στην µορφή ( *+, όπου για τις συµβολοσειρές *, + και , ισχύει:
|*+| - '
+ . /
*+0
, ∈ & για κάθε φυσικό 0 1

∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 23 7
ΘΕΜΑ 5: ΑΠΟΦΑΣΙΣΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1: Να κατασκευάσετε ντετερµινιστική µηχανή Turing M, µε αλφάβητο Σ = {a,b, #, $, Y, N}, που να
αποφασίζει την γλώσσα της προηγούµενης άσκησης
Θεωρήστε ότι η Μ µε είσοδο x∈{a,b}* ξεκινά την λειτουργία της από τον σχηµατισµό #x#. Οι χαρακτήρες Υ
(YES) και Ν (NO) χρησιµοποιούνται αποκλειστικά για την σηµατοδότηση της αποδοχής ή της απόρριψη της
εισόδου, αντίστοιχα.
(1) ∆ώστε µια άτυπη περιγραφή της λειτουργίας της Μ (έναν αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της).
(2) ∆ώστε το γράφηµα ροής της Μ (σχηµατική αναπαράσταση µε χρήση γνωστών µηχανών).