SlideShare a Scribd company logo
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 1
ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
( )
( )
( )nnf
nnf
nenf
nnf
nn
nn
nn
4
4
3
loglog
2
log3)(log
1
log)(
log2)(
)(
)(log2)(
2
=
+=
+=
+=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 2
(Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατος έχουµε στη διάθεσή µας τέσσερις αλγόριθµους:
Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά τέσσερα υποπροβλήµατα
µεγέθους n/9 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο /
.
Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά σαραντα εννέα υποπροβλήµατα
µεγέθους n/7 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n2
.
Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n-1 και βρίσκει την λύση του αρχικού προβλήµατος σε
χρόνο Ω(n).
Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον
ταχύτερο αλγόριθµο.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 3
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 20/20)
(1) Εξετάστε αν:
)(O2.
)(log.Α
log2log
log
nnn
nn
n
nOn
=Β
=
(2) ∆ίνεται το πρόβληµα Π και ένας αλγόριθµος Α που το λύνει, ο οποίος λύνει ένα πρόβληµα µεγέθους n,
επιλύοντας ένα πρόβληµα µεγέθους 4n/5 και ένα πρόβληµα µεγέθους 5n/2 και συνδυάζει τις λύσεις σε χρόνο
n3
. Να υπολογίσετε τον ασυµπτωτικό χρόνο εκτέλεσης του προβλήµατος.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 4
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20)
∆ίδεται η κανονική έκφραση:: 1∗
0∗
10∗
0
(Α) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό ΠΑ που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της γλώσσας.
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό ΠΑ
(Γ) ∆ώστε Κανονική Γραµµατική για το ντετερµινιστικό ΠΑ του ερωτήµατος Β
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 5
2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια
από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε
ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = { | ∈ 0,1 ∗
}
Β = {	0 1 	|	 ∈ , 1 4
Γ = {	0 1 	|	 1,			1 4
∆ = {0n
1m
0k
| k<1,n<1,m<1}
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ∈ µε | | να
µπορεί να γραφεί στην µορφή όπου για τις συµβολοσειρές , και ισχύει:
| |
!
"
∈ για κάθε φυσικό " #
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 6
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20)
Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι;
L1 = {am
bn
ck
| m-k>n}
L2 = {cj
aj+2
bj
| j≥0 }
(A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα:
(1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της.
(2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της:
a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας,
αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών
καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε
πίνακα.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 7
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο
λήµµα άντλησης:
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω $ µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ $ µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή & '( )* όπου για τις συµβολοσειρές
', (, , ) και * ισχύει:
|( )|
|()| + 0
'( ) * ∈ $ για κάθε φυσικό 0
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20)
Α: Έστω αλφάβητο Σ={b,c} και η γλώσσα: $ ,- ,- ,|	 0 . Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε
αλφάβητο Σ0={b,c,#,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για κάποιο
∈ .∗
.
(1) ∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (τον αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της) και
σην συνέχεια τυπική περιγραφή µέσω γραφήµατος ΤΜ.
(2) ∆ώστε αναλυτικά τα βήµατα της εκτέλεσης για τη συµβολοσειρά #bcbcb#
Β: ∆ίνεται η γλώσσα L={M | η µηχανή Turing Μ δεν τερµατίζει µε καµία είσοδο}. ∆είξτε ότι η L δεν είναι
επιλύσιµη δεδοµένου ότι η γλώσσα L’={M,w | H M µε είσοδο w τερµατίζει} δεν είναι επιλύσιµη.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 9
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20)
Χαρακτηρίστε ως (α) Αληθείς (β) Ψευδείς (γ) Αληθές αν P≠NP (δ) Αληθές αν P=NP.
(1) Το πρόβληµα VERTEX COVER λύνεται σε πολυωνυµικό χρόνο.
(2) Το πρόβληµα INDEPENDEND SET δεν επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο.
(3) Το πρόβληµα CLIQUE επιλύεται σε µη ντετερµινιστικό πολυωνυµικό χρόνο
(4) Το πρόβληµα 3SAT δεν επιλύεται σε εκθετικό χρόνο.
(5) Υπάρχει αναγωγή του NOT-ALL-ZERO-SAT στο πρόβληµα 3SAT.
(6) Υπάρχει αναγωγή του 3SAT στο πρόβληµα MINIMUM-SPANNING-TREE.
(7) Υπάρχει αναγωγή του MINIMUM-SPANNING-TREE στο πρόβληµα TSP
(8) Υπάρχει αναγωγή του MINIMUM-SPANNING-TREE στο πρόβληµα PATH

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6
 
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.5
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.4
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.2
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.5
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 3.6
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
 
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.2
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.3
 

Viewers also liked

ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30
ΠΛΗ30ΠΛΗ30
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (20)

ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 6
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 6
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 15
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 16
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 16ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 16
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 16
 
ΠΛΗ30
ΠΛΗ30ΠΛΗ30
ΠΛΗ30
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 2
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 3
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 26
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 4
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 27
 

Similar to ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7

ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 25ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 25
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 24
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 13
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 13ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 13
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 13
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 14
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 14ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 14
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 14
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
Dimitris Psounis
 
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
Math pros 2020_neo_them_lyseis_lMath pros 2020_neo_them_lyseis_l
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
Christos Loizos
 
30 ασκήσεις Kεφάλαιο 1 ανάλυσης
30 ασκήσεις  Kεφάλαιο 1  ανάλυσης30 ασκήσεις  Kεφάλαιο 1  ανάλυσης
30 ασκήσεις Kεφάλαιο 1 ανάλυσης
Μάκης Χατζόπουλος
 

Similar to ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 (20)

ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 20
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 25ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 25
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 18
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 23
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 22
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 24
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 28
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 12
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 19
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 13
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 13ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 13
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 13
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 14
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 14ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 14
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 14
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
 
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
Math pros 2020_neo_them_lyseis_lMath pros 2020_neo_them_lyseis_l
Math pros 2020_neo_them_lyseis_l
 
30 ασκήσεις Kεφάλαιο 1 ανάλυσης
30 ασκήσεις  Kεφάλαιο 1  ανάλυσης30 ασκήσεις  Kεφάλαιο 1  ανάλυσης
30 ασκήσεις Kεφάλαιο 1 ανάλυσης
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 

Recently uploaded

Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΙΚΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΙΚΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΙΚΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΙΚΗ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
nikzoit
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
nikzoit
 
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
oureilidouan
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Μελίνα Νικόλας).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Μελίνα Νικόλας).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Μελίνα Νικόλας).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Μελίνα Νικόλας).ppt
nikzoit
 
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdfyear-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
MariaAlexiou13
 
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - ΑφίσαIndependence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Tassos Karampinis
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νίκη Γιάννης).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νίκη Γιάννης).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νίκη Γιάννης).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νίκη Γιάννης).ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
nikzoit
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
oureilidouan
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
nikzoit
 
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.pptΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
nikzoit
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝ.ppt
nikzoit
 

Recently uploaded (20)

Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΕΛΙΝΑ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΣΠΥΡΟΣ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΩΡΓΟΣ ΕΥΗ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΙΚΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΙΚΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΙΚΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΙΚΗ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΙΑ.ppt
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νεφέλη Λία).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΓΙΑΝΝΗΣ Φ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Χ.ppt
 
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
How to Utilize Technology in Learning Presentation in Green and Brown Cartoon...
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Μελίνα Νικόλας).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Μελίνα Νικόλας).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Μελίνα Νικόλας).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Μελίνα Νικόλας).ppt
 
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdfyear-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
year-2023-school-9290107-form-16-synopsis (1).pdf
 
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - ΑφίσαIndependence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
Independence day - Araw ng Kalayaan (09/06/2024). Πρόσκληση - Αφίσα
 
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νίκη Γιάννης).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νίκη Γιάννης).pptΕργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νίκη Γιάννης).ppt
Εργασία ΤΠΕ Μέσα μεταφοράς (Νίκη Γιάννης).ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΓΙΩΡΓΟΣ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΔΗΜΗΤΡΑ ΜΥΡΤΩ.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΗΛΙΑΝΑ ΜΑΡΙΑΝΝΑ.ppt
 
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson RefresherΑνακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
Ανακεφαλαίωση Μαθήματος - Lesson Refresher
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΧΡΙΣΤΙΑΝΝΑ ΦΩΤΕΙΝΗ.ppt
 
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.pptΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΛΛΑΔΑΣ Δ ΤΑΞΗ 12.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΕΙΡΕΤΗ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Π.ppt
 
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝ.pptΟι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝ.ppt
Οι περιπέτειες του Ηρακλή ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΑΝ.ppt
 

ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7

  • 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 1 ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20) (Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους: ( ) ( ) ( )nnf nnf nenf nnf nn nn nn 4 4 3 loglog 2 log3)(log 1 log)( log2)( )( )(log2)( 2 = += += += Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).
  • 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 2 (Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατος έχουµε στη διάθεσή µας τέσσερις αλγόριθµους: Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά τέσσερα υποπροβλήµατα µεγέθους n/9 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο / . Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά σαραντα εννέα υποπροβλήµατα µεγέθους n/7 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n2 . Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n-1 και βρίσκει την λύση του αρχικού προβλήµατος σε χρόνο Ω(n). Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον ταχύτερο αλγόριθµο. Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: log log ( ) ( ), ( )b ba a (1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−− = Θ= Θ= Θ= Θ log log ( ) ( ), ( log )b ba a (2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ log ( ) ( ), , ( ( )). b a 0 0 (3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια n ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n b εεεε++++ = Ω= Ω= Ω= Ω      ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ         
  • 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 3 ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 20/20) (1) Εξετάστε αν: )(O2. )(log.Α log2log log nnn nn n nOn =Β = (2) ∆ίνεται το πρόβληµα Π και ένας αλγόριθµος Α που το λύνει, ο οποίος λύνει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύοντας ένα πρόβληµα µεγέθους 4n/5 και ένα πρόβληµα µεγέθους 5n/2 και συνδυάζει τις λύσεις σε χρόνο n3 . Να υπολογίσετε τον ασυµπτωτικό χρόνο εκτέλεσης του προβλήµατος.
  • 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 4 ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20) ∆ίδεται η κανονική έκφραση:: 1∗ 0∗ 10∗ 0 (Α) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό ΠΑ που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της γλώσσας. (Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό ΠΑ (Γ) ∆ώστε Κανονική Γραµµατική για το ντετερµινιστικό ΠΑ του ερωτήµατος Β
  • 5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 5 2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση. A = { | ∈ 0,1 ∗ } Β = { 0 1 | ∈ , 1 4 Γ = { 0 1 | 1, 1 4 ∆ = {0n 1m 0k | k<1,n<1,m<1} Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες: Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ∈ µε | | να µπορεί να γραφεί στην µορφή όπου για τις συµβολοσειρές , και ισχύει: | | ! " ∈ για κάθε φυσικό " #
  • 6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 6 ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20) Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι; L1 = {am bn ck | m-k>n} L2 = {cj aj+2 bj | j≥0 } (A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα: (1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της. (2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της: a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ. b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας, αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε πίνακα.
  • 7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 7 (Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο λήµµα άντλησης: Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων Έστω $ µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε s ∈ $ µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή & '( )* όπου για τις συµβολοσειρές ', (, , ) και * ισχύει: |( )| |()| + 0 '( ) * ∈ $ για κάθε φυσικό 0
  • 8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 8 ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20) Α: Έστω αλφάβητο Σ={b,c} και η γλώσσα: $ ,- ,- ,| 0 . Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε αλφάβητο Σ0={b,c,#,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για κάποιο ∈ .∗ . (1) ∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (τον αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της) και σην συνέχεια τυπική περιγραφή µέσω γραφήµατος ΤΜ. (2) ∆ώστε αναλυτικά τα βήµατα της εκτέλεσης για τη συµβολοσειρά #bcbcb# Β: ∆ίνεται η γλώσσα L={M | η µηχανή Turing Μ δεν τερµατίζει µε καµία είσοδο}. ∆είξτε ότι η L δεν είναι επιλύσιµη δεδοµένου ότι η γλώσσα L’={M,w | H M µε είσοδο w τερµατίζει} δεν είναι επιλύσιµη.
  • 9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 9 ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20) Χαρακτηρίστε ως (α) Αληθείς (β) Ψευδείς (γ) Αληθές αν P≠NP (δ) Αληθές αν P=NP. (1) Το πρόβληµα VERTEX COVER λύνεται σε πολυωνυµικό χρόνο. (2) Το πρόβληµα INDEPENDEND SET δεν επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο. (3) Το πρόβληµα CLIQUE επιλύεται σε µη ντετερµινιστικό πολυωνυµικό χρόνο (4) Το πρόβληµα 3SAT δεν επιλύεται σε εκθετικό χρόνο. (5) Υπάρχει αναγωγή του NOT-ALL-ZERO-SAT στο πρόβληµα 3SAT. (6) Υπάρχει αναγωγή του 3SAT στο πρόβληµα MINIMUM-SPANNING-TREE. (7) Υπάρχει αναγωγή του MINIMUM-SPANNING-TREE στο πρόβληµα TSP (8) Υπάρχει αναγωγή του MINIMUM-SPANNING-TREE στο πρόβληµα PATH