SlideShare a Scribd company logo

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5

.

1 of 6
Download to read offline
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 1
ΠΛΗ20
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ-5
Ονοµατεπώνυµο:…………………………………………………………………
Ηµεροµηνία: ………………………………………………………………………
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) 6 ζευγάρια συναντούνται σε ένα σπίτι και ανταλλάσουν χειραψίες. Κάθε άτοµο δεν ανταλλάσει χειραψία µε
οποιοδήποτε άλλο περισσότερες από µία φορές.
1. Το µέγιστο δυνατό πλήθος χειραψιών είναι 120.
2. Το µέγιστο δυνατό πλήθος χειραψιών ανάµεσα σε άτοµα διαφορετικού φύλου είναι 36.
3. Το µέγιστο δυνατό πλήθος χειραψιών ανάµεσα σε άτοµα ίδιου φύλου είναι ίσο µε τον αριθµό των
υποσυνόλων που αποτελούνται από 2 ή 4 στοιχεία, τα οποία επιλέγονται από ένα σύνολο που αποτελείται
από 6 διακεκριµένα στοιχεία.
4. Το µέγιστο δυνατό πλήθος χειραψιών στις οποίες µετέχουν 4 άτοµα είναι 38.
(2) Έστω Α σύνολο µε n στοιχεία
1. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι ίσος µε 2
n
2. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α µε k στοιχεία είναι ίσος µε το συντελεστή του n k
x −
στην παράσταση
(1 )n
x+
3. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α µε k στοιχεία είναι ίσος µε τους συνδυασµούς k στοιχείων από n-k+1
στοιχεία µε επανάληψη.
4. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι ίσος µε το άθροισµα όλων των συντελεστών του πολυωνύµου
(1 )n
x+
(3) Ένα Σούπερ-µάρκετ προµηθεύεται σε καθηµερινή βάση 2000 λίτρα γάλακτος σε συσκευασίες του ενός λίτρου
και των δύο λίτρων. Από αυτές τουλάχιστον 100 είναι συσκευασίες του ενός λίτρου και τουλάχιστον 100
συσκευασίες των δύο λίτρων. Οι διαφορετικοί τρόποι προµήθειας της συγκεκριµένης ποσότητας των 2000
λίτρων δίνονται:
Από το συντελεστή του όρου 2000
x στη γεννήτρια συνάρτηση ( )( )100 101 102 200 201 202
... ...x x x x x x+ + + + + +1.
Από το συντελεστή του όρου 2000
x στη γεννήτρια συνάρτηση ( )( )100 101 102 200 202 204
... ...x x x x x x+ + + + + +2.
Από το συντελεστή του όρου 1700
x στη γεννήτρια συνάρτηση ( )( )2 2 4 6
1 ... 1 ...x x x x x+ + + + + + +3.
Από το συντελεστή του όρου 2000
x στη γεννήτρια συνάρτηση4.
( )( )100 101 102 1800 200 202 204 1800
... ...x x x x x x x x+ + + + + + +
(4) Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές;
1. φ ∧ ¬φ |= φ → ¬ψ.
2. φ → ¬ (φ ∧ ψ) |= φ ∨ ¬φ.
3. Ο τύπος (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) είναι ταυτολογία.
4. Ο τύπος (φ → ψ) → (¬φ → ¬ψ) είναι αντίφαση.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 2
(5) Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές και ποιες όχι:
1. Το | ( )ψ ϕ χ θ− → → , προκύπτει από το { , , )}|ψ ϕ χ θ− , χρησιµοποιώντας το θεώρηµα Απαγωγής
µία ή περισσότερες φορές το καθένα.
2. Το { , }|ϕ ψ ψ− ¬¬ , προκύπτει από το { , }|ψ ψ ϕ¬ − ¬ , χρησιµοποιώντας το θεώρηµα
Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα.
3. Το |ϕ ψ χ− → ¬ , προκύπτει από το { , }|ψ χ ϕ−¬ , χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα Απαγωγής και
Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα.
4. Το |ϕ ψ χ− ¬ → , προκύπτει από το { , }|ϕ χ ψ¬ − , χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα Απαγωγής και
Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα.
(6) ∆ίνονται τα γραφήµατα
Οι παρακάτω δοµές ικανοποιούν την πρόταση ∀x∀y[P(x, y) → ∃z(P(x,z) ∧ P(z,y))]
To σύνολο των φυσικών αριθµών ΙN µε το P(x, y) να σηµαίνει ότι x ≤ y.1.
Το σύνολο των ακεραίων αριθµών Ζ µε το P(x,y) να σηµαίνει ότι τα x και y είναι αντίθετοι αριθµοί (δηλ.ότι x2.
+ y = 0).
Το γράφηµα Α µε το P(x, y) να σηµαίνει ότι τα x και y συνδέονται µε ακµή.3.
Το γράφηµα Β που αποτελείται από 4 αποµονωµένες κορυφές µε το P(x, y) να σηµαίνει ότι τα x και y4.
συνδέονται µε ακµή.
(7) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αφορούν την επιπεδότητα αληθεύουν;
Κάθε απλό επίπεδο γράφηµα περιέχει αναγκαστικά µια τουλάχιστον κορυφή βαθµού µικρότερου ή ίσου1.
του 5.
Όλες οι αποτυπώσεις επίπεδου γραφήµατος έχουν ίδιο αριθµό όψεων.2.
Ένα µη επίπεδο γράφηµα περιέχει σαν υπογράφηµα το Κ5 ή/και το Κ3,3.3.
Ένα γράφηµα που δεν έχει κύκλο Hamilton είναι αναγκαστικά µη επίπεδο4.
(8) Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Π ο πίνακας πρόσπτωσης ενός µη κατευθυντικού (µη κατευθυνόµενου)
απλού γραφήµατος.
1. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Α είναι ίσο µε το άθροισµα των στοιχείων της i-
οστης στήλης
2. Ο αριθµός των άσσων του Α είναι άρτιος.
3. ∆ύο ισόµορφα γραφήµατα έχουν ίσους πίνακες γειτνίασης.
4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη στον Π µόνο µε άσσους.
(9) Τα παρακάτω (απλά µη κατευθυνόµενα) γραφήµατα είναι δυνατόν να κατασκευασθούν:
1. ∆ιχρωµατίσιµο γράφηµα µε 6 κορυφές και 9 ακµές
2. Επίπεδο γράφηµα µε 6 κορυφές και 14 ακµές
3. Αυτοσυµπληρωµατικό γράφηµα µε 11 κορυφές
4. Επίπεδο και διχοτοµίσιµο γράφηµα µε 8 κορυφές και 15 ακµές.
(10) Έστω G και Η απλά µη κατευθυντικά γραφήµατα που είναι οµοιοµορφικά µεταξύ τους. Ποιες από τις
παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Αν το G είναι επίπεδο γράφηµα, πρέπει και το H να είναι επίπεδο γράφηµα.
2. Αν το G είναι δέντρο, πρέπει και το H να είναι δένδρο.
3. Αν τα G,H είναι επίπεδα γραφήµατα τότε πρέπει να έχουν το ίδιο πλήθος όψεων.
4. Αν τα G,H έχουν το ίδιο πλήθος κορυφών πρέπει να είναι ισοµορφικά µεταξύ τους.
4 3
21
Γράφηµα Β
4 3
21
Γράφηµα Α
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
Μελετάται η κατασκευή ενός πρότυπου οικισµού που αποτελείται από 9 κατοικίες τύπου Χ και 9 κατοικίες τύπου
Υ. Οι δύο τύποι κατοικιών θεωρούνται διακεκριµένοι
Α) Έστω ότι οι κατοικίες κάθε τύπου είναι διακεκριµένες.
i) Με πόσους τρόπους µπορεί ένας υποψήφιος αγοραστής να επιλέξει µια κατοικία που µπορεί να είναι είτε
τύπου Χ είτε τύπου Υ;
ii) Με πόσους τρόπους µπορεί ό υποψήφιος αγοραστής να επιλέξει τρεις κατοικίες από τις οποίες µία
τουλάχιστον να είναι τύπου Χ;
iii) Με πόσους τρόπους µπορεί να σχεδιαστεί ο οικισµός αν ανά τρεις οι κατοικίες κάθε τύπου έχουν κοινή
αυλή και δεν παίζει ρόλο η σχετική θέση των κατοικιών που µοιράζονται την ίδια αυλή και η σχετική θέση
των τριάδων κατοικιών στον οικισµό;
iv) Με πόσους τρόπους µπορεί να σχεδιαστεί ο οικισµός αν κάθε κατοικία τύπου Χ έχει κοινή αυλή µε µια
ακριβώς κατοικία τύπου Υ και δεν παίζει ρόλο η σχετική θέση των κατοικιών που µοιράζονται την ίδια αυλή
και η σχετική θέση των κατοικιών µε κοινή αυλή στον οικισµό;
B) Έστω ότι οι κατοικίες κάθε τύπου δεν είναι διακεκριµένες. Οι κατοικίες τύπου Χ κοστίζουν 100.000€ και οι
κατοικίες τύπου Υ κοστίζουν 200.000€. Μια εταιρία επενδύσεων έχει στη διάθεσή της 2.000.000€. Γράψτε
γεννήτρια συνάρτηση και προσδιορίστε το συντελεστή του όρου που δίνει τον πλήθος των διαφορετικών
τρόπων µε τους οποίους µπορεί να επενδυθεί το συνολικό ή µέρος του ποσού των 2.000.000€, αν
αγοραστούν τουλάχιστον µια κατοικία τύπου Χ και το πολύ 7 κατοικίες τύπου Υ. ∆εν απαιτείται ο υπολογισµός
του συντελεστή.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 4
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
α) ∆ίδεται ο προτασιακός τύπος 1 2 1n n
p p p pϕ −
= ∧ ∧ ∧ →L ορισµένος σε n προτασιακές µεταβλητές. Έστω 1
α
και 2
α δύο αποτιµήσεις των n µεταβλητών 1 2
, , , n
p p pK που ικανοποιούν τον ϕ . ∆είξτε ότι ο ϕ ικανοποιείται
επίσης και από την αποτίµηση α η οποία αποδίδει στην µεταβλητή , 1, ,i
p i n= K , την σύζευξη των τιµών που
αποδίδουν στην i
p οι 1
α και 2
α .
β) ∆ώστε τυπική απόδειξη του τύπου (( ) )ϕ ϕ ϕ ϕ¬¬ → ¬ → ¬ → . Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε όλα τα γνωστά
θεωρήµατα εκτός από τα Θεωρήµατα Εγκυρότητας και Πληρότητας.
γ) ∆είξτε ότι η κανονική ποσοδεικτική µορφή ενός τύπου δεν είναι µοναδική.
Υπόδειξη: Εξετάστε τον τύπο ∀x P(x)→∀y Q(y) .
δ) Έστω L µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές σύµβολο κατηγορήµατος P κι ένα σύµβολο
σταθεράς c.
(1) Περιγράψτε µια ερµηνεία της γλώσσας που να ικανοποιεί και τις δύο προτάσεις ( ( , ) ( , ))x y P x c P c y∃ ∃ ∧ και
( ( , ) ( ( , ) ( , )))x P x c y P x y P y c∀ → ∃ ∧
(2) Εξετάστε αν οι δυο παραπάνω προτάσεις αληθεύουν στο τροχό Wn .
(Ο τροχός Wn είναι το γράφηµα µε n+1 κορυφές 1,2,3,…,n+1 και µε ακµές {1,2}, {2,3},…,{n-1,n}, {n,1},
{n+1,1}, {n+1,2},…, {n+1,n} όπου γράφοντας {α,β} ή {β,α} θεωρούµε ότι υπάρχει η ακµή (α,β) ).
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 5
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
k-κανονικό γράφηµα είναι ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα που όλες οι κορυφές έχουν βαθµό k.
α) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει απλό 5-κανονικό γράφηµα µε 2m+1 κορυφές, για κάθε m≥3.
β) Θεωρήστε ένα απλό 5-κανονικό γράφηµα µε τριάντα (30) ακµές. Αν το γράφηµα αυτό είναι συνδεδεµένο
και επίπεδο, ποιος ο αριθµός των όψεών του;
γ) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει απλό 5-κανονικό γράφηµα µε διάµετρο ένα (1) που να είναι επίπεδο.
Ορισµός: ∆ιάµετρος ενός γραφήµατος ορίζεται η ποσότητα max{d(u,v) | u,v∈V}, όπου d(u,v) είναι το µήκος του
ελάχιστου µονοπατιού από την κορυφή u στην κορυφή v.
∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 6
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
Για ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G=(V,E) µε m ακµές και n κορυφές συµβολίζουµε µε ∆ τον µέγιστο
βαθµό των κορυφών του G και δ τον ελάχιστο βαθµό των κορυφών του G.
(α) Κατασκευάστε γράφηµα 10 κορυφών για το οποίο να ισχύει δ=∆=5
(β) Κατασκευάστε γράφηµα 9 κορυφών για το οποίο να ισχύει δ>2, ∆<7 και δ=∆/2.
(γ) Να δειχθεί ότι δ≤2m/n≤∆
Ad

Recommended

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9Dimitris Psounis
 

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 12
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 22
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 7
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 25
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 7
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 23
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 15
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 24
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 27
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 21
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 9
 
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
ΠΛΗ20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8
 
Plh20 test 21
Plh20 test 21Plh20 test 21
Plh20 test 21
 

Viewers also liked

ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (18)

ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 26
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.3
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.4
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.2
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.2
 
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 5.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛ
ΠΛΠΛ
ΠΛ
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 13
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 13ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 13
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 13
 

Similar to ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4Dimitris Psounis
 
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFMBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFPETER638359
 
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης Neo 10-3-15
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης Neo 10-3-15θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης Neo 10-3-15
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης Neo 10-3-15Μάκης Χατζόπουλος
 
Συνοδευτικές Ασκήσεις 2ης Εργασίας(1).pdf
Συνοδευτικές Ασκήσεις 2ης Εργασίας(1).pdfΣυνοδευτικές Ασκήσεις 2ης Εργασίας(1).pdf
Συνοδευτικές Ασκήσεις 2ης Εργασίας(1).pdfacademicstudent2023
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3Dimitris Psounis
 
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια ΔούκαΔιαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια ΔούκαΜάκης Χατζόπουλος
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2Dimitris Psounis
 
Θέματα ΟΕΦΕ 2001 2015 γενικής παιδείας σε word
Θέματα ΟΕΦΕ 2001 2015 γενικής παιδείας σε wordΘέματα ΟΕΦΕ 2001 2015 γενικής παιδείας σε word
Θέματα ΟΕΦΕ 2001 2015 γενικής παιδείας σε wordΜάκης Χατζόπουλος
 
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4ηΜάκης Χατζόπουλος
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Christos Loizos
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Μάκης Χατζόπουλος
 
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15Μάκης Χατζόπουλος
 
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutions
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutionsOefe gkat 2001 2015 problems and solutions
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutionsChristos Loizos
 

Similar to ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 (20)

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 17
 
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDFMBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
MBG_BOLONAKES_TSIONKES_.PDF
 
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης Neo 10-3-15
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης Neo 10-3-15θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης Neo 10-3-15
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης Neo 10-3-15
 
Συνοδευτικές Ασκήσεις 2ης Εργασίας(1).pdf
Συνοδευτικές Ασκήσεις 2ης Εργασίας(1).pdfΣυνοδευτικές Ασκήσεις 2ης Εργασίας(1).pdf
Συνοδευτικές Ασκήσεις 2ης Εργασίας(1).pdf
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 20
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια ΔούκαΔιαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
Διαγωνίσματα εξοικείωσης περίοδος Ιανουαρίου από τα εκπαιδευτήρια Δούκα
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
Θέματα ΟΕΦΕ 2001 2015 γενικής παιδείας σε word
Θέματα ΟΕΦΕ 2001 2015 γενικής παιδείας σε wordΘέματα ΟΕΦΕ 2001 2015 γενικής παιδείας σε word
Θέματα ΟΕΦΕ 2001 2015 γενικής παιδείας σε word
 
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
13 Βήματα στον Διαφορικό Λογισμό - Έκδοση 4η
 
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
Ekpaideutiriadoukaakaiblukeiou2017 170121140246
 
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
Διαγωνίσματα Α και Β Λυκείου Άλγεβρα 2017 και μια άσκηση τριγωνομετρίας με πο...
 
Kef1.1 1.2
Kef1.1 1.2Kef1.1 1.2
Kef1.1 1.2
 
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσηςθεωρια μαθηματικων κατευθυνσης
θεωρια μαθηματικων κατευθυνσης
 
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
θεωρία μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου 23 3-15
 
Επανάληψη στη Γ Γυμνασίου 2017
Επανάληψη στη Γ Γυμνασίου 2017Επανάληψη στη Γ Γυμνασίου 2017
Επανάληψη στη Γ Γυμνασίου 2017
 
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutions
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutionsOefe gkat 2001 2015 problems and solutions
Oefe gkat 2001 2015 problems and solutions
 
ALGEBRA B
ALGEBRA B ALGEBRA B
ALGEBRA B
 
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_aCpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
Cpro sxol 2015-2016_papagrigorakis_a
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣDimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CDimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 32
 

Recently uploaded

Έξι σκεπτόμενα καπέλα & Μοναχισμός. Μοναχός ή μόνος;
Έξι σκεπτόμενα καπέλα & Μοναχισμός. Μοναχός ή μόνος;Έξι σκεπτόμενα καπέλα & Μοναχισμός. Μοναχός ή μόνος;
Έξι σκεπτόμενα καπέλα & Μοναχισμός. Μοναχός ή μόνος;Δήμητρα Τζίνου
 
Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα "Εβδομάδα Ιωάννη Καποδίστρια"
Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα "Εβδομάδα Ιωάννη Καποδίστρια"Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα "Εβδομάδα Ιωάννη Καποδίστρια"
Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα "Εβδομάδα Ιωάννη Καποδίστρια"LiaMitraga
 
Σπύρος Χαρίδημος διαδικτυακός εθισμός.pptx
Σπύρος Χαρίδημος διαδικτυακός εθισμός.pptxΣπύρος Χαρίδημος διαδικτυακός εθισμός.pptx
Σπύρος Χαρίδημος διαδικτυακός εθισμός.pptxPennyMarinaki
 
Συμφωνία του Αποχαιρετισμού του Haydn.pptx
Συμφωνία του Αποχαιρετισμού του Haydn.pptxΣυμφωνία του Αποχαιρετισμού του Haydn.pptx
Συμφωνία του Αποχαιρετισμού του Haydn.pptx7gymnasiokavalas
 
Sara_and_Jessica_Kolymvari_addiction.pptx
Sara_and_Jessica_Kolymvari_addiction.pptxSara_and_Jessica_Kolymvari_addiction.pptx
Sara_and_Jessica_Kolymvari_addiction.pptxPennyMarinaki
 
Τι είναι σεξουαλική διαπαιδαγώγηση ;
Τι   είναι  σεξουαλική  διαπαιδαγώγηση ;Τι   είναι  σεξουαλική  διαπαιδαγώγηση ;
Τι είναι σεξουαλική διαπαιδαγώγηση ;Dimitra Mylonaki
 
Άσια και Βάσω Πρόληψη διαδικτυακού εθισμού.pptx
Άσια και Βάσω Πρόληψη διαδικτυακού εθισμού.pptxΆσια και Βάσω Πρόληψη διαδικτυακού εθισμού.pptx
Άσια και Βάσω Πρόληψη διαδικτυακού εθισμού.pptxPennyMarinaki
 
Ο Μοναχισμός με τα έξι καπέλα σκέψης του Edward de Bono
Ο Μοναχισμός με τα έξι καπέλα σκέψης του  Edward de BonoΟ Μοναχισμός με τα έξι καπέλα σκέψης του  Edward de Bono
Ο Μοναχισμός με τα έξι καπέλα σκέψης του Edward de BonoΔήμητρα Τζίνου
 
ΝΙΚΟΛΕΤΑ ΣΚΟΡΔΥΛΗ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΕΡΚΑΚΗΣ2.pptx
ΝΙΚΟΛΕΤΑ ΣΚΟΡΔΥΛΗ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΕΡΚΑΚΗΣ2.pptxΝΙΚΟΛΕΤΑ ΣΚΟΡΔΥΛΗ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΕΡΚΑΚΗΣ2.pptx
ΝΙΚΟΛΕΤΑ ΣΚΟΡΔΥΛΗ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΕΡΚΑΚΗΣ2.pptxPennyMarinaki
 
Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΞΗΜΕΡΩΝΕΙ», ΑΡΧΑΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΞΗΜΕΡΩΝΕΙ», ΑΡΧΑΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,ΕΝΟΤΗΤΑ 6ηΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΞΗΜΕΡΩΝΕΙ», ΑΡΧΑΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΞΗΜΕΡΩΝΕΙ», ΑΡΧΑΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,ΕΝΟΤΗΤΑ 6ηΕΥΗ ΚΑΡΟΥΝΙΑ
 
Γιώργος Μπαμιακης και Άντζελο Λεσι.pptx
Γιώργος Μπαμιακης και Άντζελο  Λεσι.pptxΓιώργος Μπαμιακης και Άντζελο  Λεσι.pptx
Γιώργος Μπαμιακης και Άντζελο Λεσι.pptxPennyMarinaki
 
Politistiko_Idrima_Trapeza_Peiraios.pptx
Politistiko_Idrima_Trapeza_Peiraios.pptxPolitistiko_Idrima_Trapeza_Peiraios.pptx
Politistiko_Idrima_Trapeza_Peiraios.pptx36dimperist
 
ΕΞΕ - 15195 - 2024 - Ενημέρωση για την έκδοση προκήρυξης διαγωνισμού για την ...
ΕΞΕ - 15195 - 2024 - Ενημέρωση για την έκδοση προκήρυξης διαγωνισμού για την ...ΕΞΕ - 15195 - 2024 - Ενημέρωση για την έκδοση προκήρυξης διαγωνισμού για την ...
ΕΞΕ - 15195 - 2024 - Ενημέρωση για την έκδοση προκήρυξης διαγωνισμού για την ...2lykkomo
 
Περιγραφή ανθρώπου: Ο φίλος μου/Η φίλη μου
Περιγραφή ανθρώπου: Ο φίλος μου/Η φίλη μουΠεριγραφή ανθρώπου: Ο φίλος μου/Η φίλη μου
Περιγραφή ανθρώπου: Ο φίλος μου/Η φίλη μουDimitra Mylonaki
 
Μάριος Νίκος για τον διαδικτυακός εθισμός.pptx
Μάριος Νίκος για τον διαδικτυακός εθισμός.pptxΜάριος Νίκος για τον διαδικτυακός εθισμός.pptx
Μάριος Νίκος για τον διαδικτυακός εθισμός.pptxPennyMarinaki
 
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΕΤΕΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΚΗΣ.pptx
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΕΤΕΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΚΗΣ.pptxΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΕΤΕΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΚΗΣ.pptx
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΕΤΕΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΚΗΣ.pptxPennyMarinaki
 
Έρευνα του ΣΤ1 για τις σχολικές δραστηριότητες.
Έρευνα του ΣΤ1 για τις σχολικές δραστηριότητες.Έρευνα του ΣΤ1 για τις σχολικές δραστηριότητες.
Έρευνα του ΣΤ1 για τις σχολικές δραστηριότητες.Sotiris Poukamisas
 
A.2.1 παραγωγικοι συντελεστες.pptx sidiropo
A.2.1 παραγωγικοι συντελεστες.pptx sidiropoA.2.1 παραγωγικοι συντελεστες.pptx sidiropo
A.2.1 παραγωγικοι συντελεστες.pptx sidiroposidiropo
 
Επίσκεψη στο ιστορικό και λαογραφικό Μουσείο Αιγίου
Επίσκεψη στο ιστορικό και λαογραφικό Μουσείο ΑιγίουΕπίσκεψη στο ιστορικό και λαογραφικό Μουσείο Αιγίου
Επίσκεψη στο ιστορικό και λαογραφικό Μουσείο ΑιγίουDimitra Mylonaki
 
ΜΑΡΙΑ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΖΙΑΚΗ διαδικτυακός εθισμός.pptx
ΜΑΡΙΑ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΖΙΑΚΗ διαδικτυακός εθισμός.pptxΜΑΡΙΑ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΖΙΑΚΗ διαδικτυακός εθισμός.pptx
ΜΑΡΙΑ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΖΙΑΚΗ διαδικτυακός εθισμός.pptxPennyMarinaki
 

Recently uploaded (20)

Έξι σκεπτόμενα καπέλα & Μοναχισμός. Μοναχός ή μόνος;
Έξι σκεπτόμενα καπέλα & Μοναχισμός. Μοναχός ή μόνος;Έξι σκεπτόμενα καπέλα & Μοναχισμός. Μοναχός ή μόνος;
Έξι σκεπτόμενα καπέλα & Μοναχισμός. Μοναχός ή μόνος;
 
Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα "Εβδομάδα Ιωάννη Καποδίστρια"
Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα "Εβδομάδα Ιωάννη Καποδίστρια"Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα "Εβδομάδα Ιωάννη Καποδίστρια"
Εκπαιδευτικό Πρόγραμμα "Εβδομάδα Ιωάννη Καποδίστρια"
 
Σπύρος Χαρίδημος διαδικτυακός εθισμός.pptx
Σπύρος Χαρίδημος διαδικτυακός εθισμός.pptxΣπύρος Χαρίδημος διαδικτυακός εθισμός.pptx
Σπύρος Χαρίδημος διαδικτυακός εθισμός.pptx
 
Συμφωνία του Αποχαιρετισμού του Haydn.pptx
Συμφωνία του Αποχαιρετισμού του Haydn.pptxΣυμφωνία του Αποχαιρετισμού του Haydn.pptx
Συμφωνία του Αποχαιρετισμού του Haydn.pptx
 
Sara_and_Jessica_Kolymvari_addiction.pptx
Sara_and_Jessica_Kolymvari_addiction.pptxSara_and_Jessica_Kolymvari_addiction.pptx
Sara_and_Jessica_Kolymvari_addiction.pptx
 
Τι είναι σεξουαλική διαπαιδαγώγηση ;
Τι   είναι  σεξουαλική  διαπαιδαγώγηση ;Τι   είναι  σεξουαλική  διαπαιδαγώγηση ;
Τι είναι σεξουαλική διαπαιδαγώγηση ;
 
Άσια και Βάσω Πρόληψη διαδικτυακού εθισμού.pptx
Άσια και Βάσω Πρόληψη διαδικτυακού εθισμού.pptxΆσια και Βάσω Πρόληψη διαδικτυακού εθισμού.pptx
Άσια και Βάσω Πρόληψη διαδικτυακού εθισμού.pptx
 
Ο Μοναχισμός με τα έξι καπέλα σκέψης του Edward de Bono
Ο Μοναχισμός με τα έξι καπέλα σκέψης του  Edward de BonoΟ Μοναχισμός με τα έξι καπέλα σκέψης του  Edward de Bono
Ο Μοναχισμός με τα έξι καπέλα σκέψης του Edward de Bono
 
ΝΙΚΟΛΕΤΑ ΣΚΟΡΔΥΛΗ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΕΡΚΑΚΗΣ2.pptx
ΝΙΚΟΛΕΤΑ ΣΚΟΡΔΥΛΗ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΕΡΚΑΚΗΣ2.pptxΝΙΚΟΛΕΤΑ ΣΚΟΡΔΥΛΗ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΕΡΚΑΚΗΣ2.pptx
ΝΙΚΟΛΕΤΑ ΣΚΟΡΔΥΛΗ ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΕΡΚΑΚΗΣ2.pptx
 
Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΞΗΜΕΡΩΝΕΙ», ΑΡΧΑΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΞΗΜΕΡΩΝΕΙ», ΑΡΧΑΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,ΕΝΟΤΗΤΑ 6ηΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΞΗΜΕΡΩΝΕΙ», ΑΡΧΑΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΞΗΜΕΡΩΝΕΙ», ΑΡΧΑΙΑ Γ΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ,ΕΝΟΤΗΤΑ 6η
 
Γιώργος Μπαμιακης και Άντζελο Λεσι.pptx
Γιώργος Μπαμιακης και Άντζελο  Λεσι.pptxΓιώργος Μπαμιακης και Άντζελο  Λεσι.pptx
Γιώργος Μπαμιακης και Άντζελο Λεσι.pptx
 
Politistiko_Idrima_Trapeza_Peiraios.pptx
Politistiko_Idrima_Trapeza_Peiraios.pptxPolitistiko_Idrima_Trapeza_Peiraios.pptx
Politistiko_Idrima_Trapeza_Peiraios.pptx
 
ΕΞΕ - 15195 - 2024 - Ενημέρωση για την έκδοση προκήρυξης διαγωνισμού για την ...
ΕΞΕ - 15195 - 2024 - Ενημέρωση για την έκδοση προκήρυξης διαγωνισμού για την ...ΕΞΕ - 15195 - 2024 - Ενημέρωση για την έκδοση προκήρυξης διαγωνισμού για την ...
ΕΞΕ - 15195 - 2024 - Ενημέρωση για την έκδοση προκήρυξης διαγωνισμού για την ...
 
Περιγραφή ανθρώπου: Ο φίλος μου/Η φίλη μου
Περιγραφή ανθρώπου: Ο φίλος μου/Η φίλη μουΠεριγραφή ανθρώπου: Ο φίλος μου/Η φίλη μου
Περιγραφή ανθρώπου: Ο φίλος μου/Η φίλη μου
 
Μάριος Νίκος για τον διαδικτυακός εθισμός.pptx
Μάριος Νίκος για τον διαδικτυακός εθισμός.pptxΜάριος Νίκος για τον διαδικτυακός εθισμός.pptx
Μάριος Νίκος για τον διαδικτυακός εθισμός.pptx
 
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΕΤΕΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΚΗΣ.pptx
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΕΤΕΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΚΗΣ.pptxΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΕΤΕΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΚΗΣ.pptx
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΜΠΕΤΕΙΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΤΣΟΥΛΑΚΗΣ.pptx
 
Έρευνα του ΣΤ1 για τις σχολικές δραστηριότητες.
Έρευνα του ΣΤ1 για τις σχολικές δραστηριότητες.Έρευνα του ΣΤ1 για τις σχολικές δραστηριότητες.
Έρευνα του ΣΤ1 για τις σχολικές δραστηριότητες.
 
A.2.1 παραγωγικοι συντελεστες.pptx sidiropo
A.2.1 παραγωγικοι συντελεστες.pptx sidiropoA.2.1 παραγωγικοι συντελεστες.pptx sidiropo
A.2.1 παραγωγικοι συντελεστες.pptx sidiropo
 
Επίσκεψη στο ιστορικό και λαογραφικό Μουσείο Αιγίου
Επίσκεψη στο ιστορικό και λαογραφικό Μουσείο ΑιγίουΕπίσκεψη στο ιστορικό και λαογραφικό Μουσείο Αιγίου
Επίσκεψη στο ιστορικό και λαογραφικό Μουσείο Αιγίου
 
ΜΑΡΙΑ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΖΙΑΚΗ διαδικτυακός εθισμός.pptx
ΜΑΡΙΑ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΖΙΑΚΗ διαδικτυακός εθισμός.pptxΜΑΡΙΑ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΖΙΑΚΗ διαδικτυακός εθισμός.pptx
ΜΑΡΙΑ ΣΑΡΙΔΑΚΗ ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΖΙΑΚΗ διαδικτυακός εθισμός.pptx
 

ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5

  • 1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 1 ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ-5 Ονοµατεπώνυµο:………………………………………………………………… Ηµεροµηνία: ……………………………………………………………………… ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού) (1) 6 ζευγάρια συναντούνται σε ένα σπίτι και ανταλλάσουν χειραψίες. Κάθε άτοµο δεν ανταλλάσει χειραψία µε οποιοδήποτε άλλο περισσότερες από µία φορές. 1. Το µέγιστο δυνατό πλήθος χειραψιών είναι 120. 2. Το µέγιστο δυνατό πλήθος χειραψιών ανάµεσα σε άτοµα διαφορετικού φύλου είναι 36. 3. Το µέγιστο δυνατό πλήθος χειραψιών ανάµεσα σε άτοµα ίδιου φύλου είναι ίσο µε τον αριθµό των υποσυνόλων που αποτελούνται από 2 ή 4 στοιχεία, τα οποία επιλέγονται από ένα σύνολο που αποτελείται από 6 διακεκριµένα στοιχεία. 4. Το µέγιστο δυνατό πλήθος χειραψιών στις οποίες µετέχουν 4 άτοµα είναι 38. (2) Έστω Α σύνολο µε n στοιχεία 1. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι ίσος µε 2 n 2. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α µε k στοιχεία είναι ίσος µε το συντελεστή του n k x − στην παράσταση (1 )n x+ 3. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α µε k στοιχεία είναι ίσος µε τους συνδυασµούς k στοιχείων από n-k+1 στοιχεία µε επανάληψη. 4. Ο αριθµός των υποσυνόλων του Α είναι ίσος µε το άθροισµα όλων των συντελεστών του πολυωνύµου (1 )n x+ (3) Ένα Σούπερ-µάρκετ προµηθεύεται σε καθηµερινή βάση 2000 λίτρα γάλακτος σε συσκευασίες του ενός λίτρου και των δύο λίτρων. Από αυτές τουλάχιστον 100 είναι συσκευασίες του ενός λίτρου και τουλάχιστον 100 συσκευασίες των δύο λίτρων. Οι διαφορετικοί τρόποι προµήθειας της συγκεκριµένης ποσότητας των 2000 λίτρων δίνονται: Από το συντελεστή του όρου 2000 x στη γεννήτρια συνάρτηση ( )( )100 101 102 200 201 202 ... ...x x x x x x+ + + + + +1. Από το συντελεστή του όρου 2000 x στη γεννήτρια συνάρτηση ( )( )100 101 102 200 202 204 ... ...x x x x x x+ + + + + +2. Από το συντελεστή του όρου 1700 x στη γεννήτρια συνάρτηση ( )( )2 2 4 6 1 ... 1 ...x x x x x+ + + + + + +3. Από το συντελεστή του όρου 2000 x στη γεννήτρια συνάρτηση4. ( )( )100 101 102 1800 200 202 204 1800 ... ...x x x x x x x x+ + + + + + + (4) Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές; 1. φ ∧ ¬φ |= φ → ¬ψ. 2. φ → ¬ (φ ∧ ψ) |= φ ∨ ¬φ. 3. Ο τύπος (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) είναι ταυτολογία. 4. Ο τύπος (φ → ψ) → (¬φ → ¬ψ) είναι αντίφαση.
  • 2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 2 (5) Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές και ποιες όχι: 1. Το | ( )ψ ϕ χ θ− → → , προκύπτει από το { , , )}|ψ ϕ χ θ− , χρησιµοποιώντας το θεώρηµα Απαγωγής µία ή περισσότερες φορές το καθένα. 2. Το { , }|ϕ ψ ψ− ¬¬ , προκύπτει από το { , }|ψ ψ ϕ¬ − ¬ , χρησιµοποιώντας το θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα. 3. Το |ϕ ψ χ− → ¬ , προκύπτει από το { , }|ψ χ ϕ−¬ , χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα Απαγωγής και Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα. 4. Το |ϕ ψ χ− ¬ → , προκύπτει από το { , }|ϕ χ ψ¬ − , χρησιµοποιώντας τα θεωρήµατα Απαγωγής και Αντιθετοαναστροφής µία ή περισσότερες φορές το καθένα. (6) ∆ίνονται τα γραφήµατα Οι παρακάτω δοµές ικανοποιούν την πρόταση ∀x∀y[P(x, y) → ∃z(P(x,z) ∧ P(z,y))] To σύνολο των φυσικών αριθµών ΙN µε το P(x, y) να σηµαίνει ότι x ≤ y.1. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών Ζ µε το P(x,y) να σηµαίνει ότι τα x και y είναι αντίθετοι αριθµοί (δηλ.ότι x2. + y = 0). Το γράφηµα Α µε το P(x, y) να σηµαίνει ότι τα x και y συνδέονται µε ακµή.3. Το γράφηµα Β που αποτελείται από 4 αποµονωµένες κορυφές µε το P(x, y) να σηµαίνει ότι τα x και y4. συνδέονται µε ακµή. (7) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αφορούν την επιπεδότητα αληθεύουν; Κάθε απλό επίπεδο γράφηµα περιέχει αναγκαστικά µια τουλάχιστον κορυφή βαθµού µικρότερου ή ίσου1. του 5. Όλες οι αποτυπώσεις επίπεδου γραφήµατος έχουν ίδιο αριθµό όψεων.2. Ένα µη επίπεδο γράφηµα περιέχει σαν υπογράφηµα το Κ5 ή/και το Κ3,3.3. Ένα γράφηµα που δεν έχει κύκλο Hamilton είναι αναγκαστικά µη επίπεδο4. (8) Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Π ο πίνακας πρόσπτωσης ενός µη κατευθυντικού (µη κατευθυνόµενου) απλού γραφήµατος. 1. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Α είναι ίσο µε το άθροισµα των στοιχείων της i- οστης στήλης 2. Ο αριθµός των άσσων του Α είναι άρτιος. 3. ∆ύο ισόµορφα γραφήµατα έχουν ίσους πίνακες γειτνίασης. 4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη στον Π µόνο µε άσσους. (9) Τα παρακάτω (απλά µη κατευθυνόµενα) γραφήµατα είναι δυνατόν να κατασκευασθούν: 1. ∆ιχρωµατίσιµο γράφηµα µε 6 κορυφές και 9 ακµές 2. Επίπεδο γράφηµα µε 6 κορυφές και 14 ακµές 3. Αυτοσυµπληρωµατικό γράφηµα µε 11 κορυφές 4. Επίπεδο και διχοτοµίσιµο γράφηµα µε 8 κορυφές και 15 ακµές. (10) Έστω G και Η απλά µη κατευθυντικά γραφήµατα που είναι οµοιοµορφικά µεταξύ τους. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν; 1. Αν το G είναι επίπεδο γράφηµα, πρέπει και το H να είναι επίπεδο γράφηµα. 2. Αν το G είναι δέντρο, πρέπει και το H να είναι δένδρο. 3. Αν τα G,H είναι επίπεδα γραφήµατα τότε πρέπει να έχουν το ίδιο πλήθος όψεων. 4. Αν τα G,H έχουν το ίδιο πλήθος κορυφών πρέπει να είναι ισοµορφικά µεταξύ τους. 4 3 21 Γράφηµα Β 4 3 21 Γράφηµα Α
  • 3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού) Άσκηση 1 (Μονάδες 25) Μελετάται η κατασκευή ενός πρότυπου οικισµού που αποτελείται από 9 κατοικίες τύπου Χ και 9 κατοικίες τύπου Υ. Οι δύο τύποι κατοικιών θεωρούνται διακεκριµένοι Α) Έστω ότι οι κατοικίες κάθε τύπου είναι διακεκριµένες. i) Με πόσους τρόπους µπορεί ένας υποψήφιος αγοραστής να επιλέξει µια κατοικία που µπορεί να είναι είτε τύπου Χ είτε τύπου Υ; ii) Με πόσους τρόπους µπορεί ό υποψήφιος αγοραστής να επιλέξει τρεις κατοικίες από τις οποίες µία τουλάχιστον να είναι τύπου Χ; iii) Με πόσους τρόπους µπορεί να σχεδιαστεί ο οικισµός αν ανά τρεις οι κατοικίες κάθε τύπου έχουν κοινή αυλή και δεν παίζει ρόλο η σχετική θέση των κατοικιών που µοιράζονται την ίδια αυλή και η σχετική θέση των τριάδων κατοικιών στον οικισµό; iv) Με πόσους τρόπους µπορεί να σχεδιαστεί ο οικισµός αν κάθε κατοικία τύπου Χ έχει κοινή αυλή µε µια ακριβώς κατοικία τύπου Υ και δεν παίζει ρόλο η σχετική θέση των κατοικιών που µοιράζονται την ίδια αυλή και η σχετική θέση των κατοικιών µε κοινή αυλή στον οικισµό; B) Έστω ότι οι κατοικίες κάθε τύπου δεν είναι διακεκριµένες. Οι κατοικίες τύπου Χ κοστίζουν 100.000€ και οι κατοικίες τύπου Υ κοστίζουν 200.000€. Μια εταιρία επενδύσεων έχει στη διάθεσή της 2.000.000€. Γράψτε γεννήτρια συνάρτηση και προσδιορίστε το συντελεστή του όρου που δίνει τον πλήθος των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορεί να επενδυθεί το συνολικό ή µέρος του ποσού των 2.000.000€, αν αγοραστούν τουλάχιστον µια κατοικία τύπου Χ και το πολύ 7 κατοικίες τύπου Υ. ∆εν απαιτείται ο υπολογισµός του συντελεστή.
  • 4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 4 Άσκηση 2 (Μονάδες 35) α) ∆ίδεται ο προτασιακός τύπος 1 2 1n n p p p pϕ − = ∧ ∧ ∧ →L ορισµένος σε n προτασιακές µεταβλητές. Έστω 1 α και 2 α δύο αποτιµήσεις των n µεταβλητών 1 2 , , , n p p pK που ικανοποιούν τον ϕ . ∆είξτε ότι ο ϕ ικανοποιείται επίσης και από την αποτίµηση α η οποία αποδίδει στην µεταβλητή , 1, ,i p i n= K , την σύζευξη των τιµών που αποδίδουν στην i p οι 1 α και 2 α . β) ∆ώστε τυπική απόδειξη του τύπου (( ) )ϕ ϕ ϕ ϕ¬¬ → ¬ → ¬ → . Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε όλα τα γνωστά θεωρήµατα εκτός από τα Θεωρήµατα Εγκυρότητας και Πληρότητας. γ) ∆είξτε ότι η κανονική ποσοδεικτική µορφή ενός τύπου δεν είναι µοναδική. Υπόδειξη: Εξετάστε τον τύπο ∀x P(x)→∀y Q(y) . δ) Έστω L µια πρωτοβάθµια γλώσσα που περιέχει ένα διµελές σύµβολο κατηγορήµατος P κι ένα σύµβολο σταθεράς c. (1) Περιγράψτε µια ερµηνεία της γλώσσας που να ικανοποιεί και τις δύο προτάσεις ( ( , ) ( , ))x y P x c P c y∃ ∃ ∧ και ( ( , ) ( ( , ) ( , )))x P x c y P x y P y c∀ → ∃ ∧ (2) Εξετάστε αν οι δυο παραπάνω προτάσεις αληθεύουν στο τροχό Wn . (Ο τροχός Wn είναι το γράφηµα µε n+1 κορυφές 1,2,3,…,n+1 και µε ακµές {1,2}, {2,3},…,{n-1,n}, {n,1}, {n+1,1}, {n+1,2},…, {n+1,n} όπου γράφοντας {α,β} ή {β,α} θεωρούµε ότι υπάρχει η ακµή (α,β) ).
  • 5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 5 Άσκηση 3 (Μονάδες 20) k-κανονικό γράφηµα είναι ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα που όλες οι κορυφές έχουν βαθµό k. α) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει απλό 5-κανονικό γράφηµα µε 2m+1 κορυφές, για κάθε m≥3. β) Θεωρήστε ένα απλό 5-κανονικό γράφηµα µε τριάντα (30) ακµές. Αν το γράφηµα αυτό είναι συνδεδεµένο και επίπεδο, ποιος ο αριθµός των όψεών του; γ) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει απλό 5-κανονικό γράφηµα µε διάµετρο ένα (1) που να είναι επίπεδο. Ορισµός: ∆ιάµετρος ενός γραφήµατος ορίζεται η ποσότητα max{d(u,v) | u,v∈V}, όπου d(u,v) είναι το µήκος του ελάχιστου µονοπατιού από την κορυφή u στην κορυφή v.
  • 6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, Επαναληπτικό ∆ιαγώνισµα 5 6 Άσκηση 4 (Μονάδες 20) Για ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G=(V,E) µε m ακµές και n κορυφές συµβολίζουµε µε ∆ τον µέγιστο βαθµό των κορυφών του G και δ τον ελάχιστο βαθµό των κορυφών του G. (α) Κατασκευάστε γράφηµα 10 κορυφών για το οποίο να ισχύει δ=∆=5 (β) Κατασκευάστε γράφηµα 9 κορυφών για το οποίο να ισχύει δ>2, ∆<7 και δ=∆/2. (γ) Να δειχθεί ότι δ≤2m/n≤∆