SlideShare a Scribd company logo
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Ιδιότητες
∆υνάµεων
Λογάριθµοι µε βάση το b Λογάριθµοι µε βάση το 2 Ιδιότητες Αθροισµάτων
1, 				 				 				 				2 1
2
1/α,
1/
∙
	
∙ 	 1 2 1
6
"# "#
" "
$ 	
$ 	
% $ 1
$ 1
"
∙ "%
"/ "
& & & &
'
(
)
' 1
(
)
, 	': ,- ..
"
∙ "
∙ "
"
/ "
"
&
0 ∙ &
0 ∙
log	 &
0 ∙ Α Β
&
6
&
7
&
/ .8 9:;<& 0 29:;& 0
1
(
)
7 $ 6 1
(= (
) >
>
>
>2
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
(1): Επειδή κάνουµε ασυµπτωτική σύγκριση των
συναρτήσεων εξάγουµε το Θ(.) των συναρτήσεων
Αν έχουµε έστω µία απροσδιόριστη συνάρτηση
προχωράµε στο επόµενο βήµα
(2): Γράφουµε τα Θ(.) ως εκθετικές µε βάση το 2.
(3): Κάνουµε πράξεις στους εκθέτες για να είναι όλες
οι µορφές στην βασική ιεραρχία.
Σε περίπτωση απροσδιοριστίας =>
Εκθετικές µε βάση 2 στους όρους
του αθροίσµατος
Σε περίπτωση απροσδιοριστίας =>
Ξανά εκθετικές µε βάση το 2
(4): Σε περίπτωση ισόπαλίας => Προτεραιότητα στον
πολλαπλασιασµό και έπειτα στην πρόσθεση
(εναλλακτικά όρια µε χρήση κανόνα De L’Hospital)
Παράδειγµα: Ιεραρχήστε τις παρακάτω
συναρτήσεις σε αύξουσα σειρά ασυµπτωτικής
πολυπλοκότητας:
? 5 1 												4 9:; 												 2 ∙ 5
Απάντηση:
B ? 5 1
?
5 5
C
5 5 Θ C
B 4 9:; Θ 9:;
BC 2 ∙ 5 Θ 5 )
Εκφράζουµε τις συναρτήσεις ως εκθετικές µε βάση το 2:
B :	 C 						 2EFG	 H
B :	 9:;
2EFG	 IJK#
BC:	5 						 2EFG	 8#
Για τους εκθέτες έχουµε:
B : log C 3 log
B : log 9:; log ∙ log log
BC: log	 5 						 n ∙ log 5 2,32
Ισχύει: 3 log N N 2,32
Άρα έπεται: B N B N BC
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΚΛΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
Και πιο αναλυτικά:
Μορφή Συναρτήσεων Σχόλια
ΣΤΑΘΕΡΕΣ Θ 1
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ N N O Το Κ>1 σταθερά
«καθαρό» n
ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
N N ⋯ N O
Το Κ σταθερά
«καθαρό» n
ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ N ⋯ N 2 N 3 N ⋯ N
a>1,b: Σταθερές
«καθαρό» n
ΥΠΕΡΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ! N
«καθαρό» n
ΒΑΣΙΚΗ ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ:
ΣΤΑΘΕΡΕΣ < ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ < ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ < ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ < ΥΠΕΡΕΚΘΕΤΙΚΕΣ
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Μία συνάρτηση που δεν έχει µία από τις παραπάνω µορφές είναι απροσδιοριστη και για να την
συγκρίνουµε µε άλλες πρέπει να ακολουθήσουµε ειδική διαδικασία (εκθετικές µε βάση το 2)
Μικρότερη Πολυπλοκότητα
= Πιο Γρήγορος Αλγόριθµος
= Καλύτερη Πολυπλοκότητα
Μεγαλύτερη Πολυπλοκότητα
= Πιο Αργός Αλγόριθµος
= Χειρότερη Πολυπλοκότητα
Θ 1 Θ O Θ O
Θ Θ n!
Θ
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ( Υπολογισμός Θ )
Υπολογισμός του Θ(.) μιας συνάρτησης πολυπλοκότητας
Για να εξάγουμε το Θ(.) μιας συνάρτησης πολυπλοκότητας, θα πρέπει να κάνουμε τις όποιες επιμεριστικές
ιδιότητες έτσι ώστε να έχουμε «καθαρά» αθροίσματα. Κάνουμε και τυχόν εύκολες πράξεις (ρίζες=>δυνάμεις,
απλοποίηση λογαρίθμων κ.λπ.)
Έπειτα επιλέγουμε τον μέγιστο από τους όρους του αθροίσματος, και τον εισάγουμε στο Θ(.)
Προσοχή ότι απαλείφονται οι σταθερές που είναι πολλαπλασιασμένες με τους όρους του αθροίσματος.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ:
)()1()( 22
nnnnnn Θ=+=+=Τ
)(
6
1
6
3
6
2
6
)12)((
6
)12)(1(
)( 323
2
nnnn
nnnnnn
n Θ=++=
++
=
++
=Τ
.
Στοιχειώδης Ιεραρχία Συναρτήσεων πολυπλοκότητας:
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (και ΕΚΤΙΜΗΣΗ) ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1: Ο λογάριθµος µπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Τον υπολογίζουµε σύµφωνα µε την εξίσωση του
λογαρίθµου (δοκιµάζοντας τις διαδοχικές δυνάµεις)
Παράδειγµα 1: 32 ?
Λύση: 32 5
2 32
2 2	
2 4
2C
8
2T 16
28
32
ΠΡΟΧΕΙΡΟ
Παράδειγµα 2: ?216 ?
Λύση: ?216 3
6 216
6 6	
6 36
6C 216
ΠΡΟΧΕΙΡΟ
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2: Ο λογάριθµος δεν µπορεί να υπολογιστεί ακριβώς, αλλά παρατηρούµε ότι βάση και αριθµός του
λογαρίθµου είναι δυνάµεις του ίδιου αριθµού. Τότε κάνουµε αλλαγή βάσης βάζοντας νέα βάση τον κοινό αριθµό τ.
Τον υπολογίζουµε σύµφωνα µε την εξίσωση του λογαρίθµου (δοκιµάζοντας τις διαδοχικές δυνάµεις)
Παράδειγµα: U27 ?
Λύση: U27
9:;H W
9:;HU
C
1.5
3 27
3 3	
3 9
3C
27
ΠΡΟΧΕΙΡΟ
ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3: Ο λογάριθµος δεν µπορεί να υπολογιστεί ακριβώς, ούτε η βάση και ο αριθµός του λογαρίθµου
είναι δυνάµεις του ίδιου αριθµού. Τότε κάνουµε εκτίµηση του λογαρίθµου υπολογίζοντας τις διαδοχικές δυνάµεις
της βάσης στις οποίες µπορούµε να εντοπίσουµε τον αριθµό.
Παράδειγµα: 11 ?
Λύση: 3 N 11 N 4
2 11
2 2	
2 4
2C
8
2T
16
ΠΡΟΧΕΙΡΟ
11
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΟΡΙΑ και ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ
Ορισµός Ορίων για Απόδειξη Ασυµπτωτικών Συµβολισµών
lim
→
]
;
^
' _ 0 -ό-b	B Θ
0 -ό-b	B
∞ -ό-b	B d
Και ισχύουν και τα ακόλουθα:
• Λήµµα 1: B Θ αν και µόνο αν B Ο και B Ω
• Λήµµα 2: Αν B ο τότε B Ο
• Λήµµα 3: Αν B ω τότε B Ω
..και ανάποδα:
B N lim
→
]
;
0 B αλλά και B Ο
B lim
→
]
;
' _ 0 B Θ αλλά και B Ω και B Ο
B i lim
→
]
;
∞ B d αλλά και B Ω
Παράδειγµα: Αποδείξτε ότι 2 Ο 3
Λύση:
lim
→
]
;
lim
→
#
C# lim
→ C
0
Άρα: 2 ο 3 άρα και 2 Ο 3
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΘΕΩΡΗΜΑ ΚΥΡΙΑΡΧΙΑΣ (MASTER THEOREM)
Το Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση j k lm
n
o
p n
όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και B είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες
τρεις περιπτώσεις:
Α) Αν p n q nrsto u v
για κάποια σταθερά ε>0, τότε: w n x nyz{o u
Β) Αν p n x nrsto u
τότε: w n x nyz{o u
yz{	n
Γ) Αν p n | nrsto u%v
για κάποια σταθερά ε>0 και lp
n
o
} ~p n για κάποια σταθερά c<1, τότε: w n x p n
Έχω:
Ισχύει: για κάποια σταθερά ε>0
Άρα από την Α’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι:
n
n
TnT +





=
2
8)(
38loglog,)(,2,8 2 ===== annfba b
)()( 3 ε−
== nOnnf
)()( 3
nnT Θ=
Έχω:
Ισχύει:
Άρα από την B’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι:
2
3
9)( n
n
TnT +





=
29loglog,)(,3,9 3
2
===== annfba b
)()( 22
nnnf Θ==
)log()( 2
nnnT Θ=
Έχω:
Ισχύει: για κάποια σταθερά ε>0
Ελέγχω αν υπάρχει c<1 τέτοιο ώστε:
Άρα ισχύει για ½≤c<1.
Άρα από την Γ’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι:
3
2
4)( n
n
TnT +





=
24loglog,)(,2,4 2
3
===== annfba b
)()( 23 ε+
Ω== nnnf
cccn
n
cn
n
ncf
n
fncf
b
n
af ≤⇔≤⇔≤⇔≤





⇔≤





⇔≤





2
1
8
4
2
4
2
4)(
2
4)( 3
3
3
3
3
)()( 3
nnT Θ=
Σύγκριση:
B 			? 		 9:;< ‡
N Α’ΘΚ
Β’ΘΚ
i Γ’ΘΚ
Παραδείγµατα:
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
Παράδειγµα: Να λύσετε την αναδροµή:
Τ ‰
3Š
T
i 1
0 1
Λύση:
Τ 3Š
T
3 3Š
T‹ T
3 Š
T‹ 3
T
3 3Š
TH T‹ 3
T
3C
Š
TH 3
T‹ 3 T
⋯
3 Š
TΠ3
TŒ•Ž ⋯ 3
T‹ 3
T
Η αναδροµή σταµατά όταν TŒ 1 ⇒ n 4 ⇒ k logT
3EFG‘ Š
T’“”‘ # 3EFG‘
T’“”‘ #•Ž ⋯ 3 T‹ 3 T
3EFG‘ Š 1 3EFG‘
T’“”‘ #•Ž ⋯ 3 T‹ 3 T
∑ 3
T–
EFG‘
∑ 3
‹
T– ‹
EFG‘
∑
C–
T‹ –
EFG‘
∑
C–
?–
EFG‘
∑
C
?
EFG‘
H
Ž—
’“”‘ #
H
Ž—
Θ
1. Κάνουµε 3 εφαρµογές της αναδροµικής σχέσης (µέχρι
να φτάσουµε στη µορφή: Τ n CŠ H ).
Χρήσιµο το πρόχειρο
2. Εκτίµηση της σειράς που προκύπτει µετά από k
επαναλήψεις (µας καθοδηγεί ο όρος: Š Œ )
3. Υπολογίζουµε πότε σταµατάει η αναδροµή (Θέτουµε
Œ και λύνουµε ως προς k). Π.χ. αν 1, τότε
k log
4. Αντικατάσταση του k στον τύπο του βήµατος 2
5. Υπολογισµός της σειράς που προκύπτει. Χρήσιµος ο
τύπος: ∑
#˜Ž
Η µέθοδος της επανάληψης χρησιµοποιείται για την
επίλυση της αναδροµικής σχέσης
j n ™
š›
n
o
p n , n i nœ
~, n nœ
• Όταν το ζητάει ρητά η εκφώνηση
• Όταν αποτυγχάνει το θεώρηµα κυριαρχίας
• Όταν δεν θέλουµε απλά µία ασυµπτωτική εκτίµηση
Τ 	 		3Š T
		 			 	
Š T
	 	3Š T‹ 	 T
Š T‹ 3Š TH T‹
Πρόχειρο: 0
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ › n š› n $ o ~
Παράδειγµα: Να λύσετε την αναδροµή:
Τ •
3Š $ 2 4 i 0
1 0
Λύση:
Τ 3Š $ 2 4 3 3Š $ 4 4 4
3 Š $ 4 3 ∙ 4 4 3 3Š $ 6 4 3 ∙ 4 4
3CŠ $ 6 3 ∙ 4 3 ∙ 4 4
⋯
3 Š $ 2ž 3 ∙ 4 ⋯ 3 ∙ 4 3 ∙ 4 4
Η αναδροµή σταµατά όταν $ 2ž 0 ⇒ k /2
3
#
‹Š 0 3
#
‹ ∙ 4 ⋯ 3 ∙ 4 3 ∙ 4 4
3
#
‹ 4 3
#
‹ ⋯ 3 3 1
3
#
‹ 4 ∑ 3
#
‹
3
#
‹ 4
C
#
‹
C
3
#
‹ 2 3
#
‹ $ 1 Θ 3
#
‹
1. Κάνουµε 3 εφαρµογές της αναδροµικής σχέσης (µέχρι
να φτάσουµε στη µορφή: Τ n C
Š $ ž ).
Χρήσιµο το πρόχειρο
2. Εκτίµηση της σειράς που προκύπτει µετά από k
επαναλήψεις (µας καθοδηγεί ο όρος: Š $ ž )
3. Υπολογίζουµε πότε σταµατάει η αναδροµή (Θέτουµε
$ ž και λύνουµε ως προς k). Π.χ. αν 0,
τότε k /
4. Αντικατάσταση του k στον τύπο του βήµατος 2
5. Υπολογισµός της σειράς που προκύπτει. Χρήσιµοι οι
τύποι:∑
#˜Ž
Η µέθοδος της επανάληψης χρησιµοποιείται για την
επίλυση της αναδροµικής σχέσης
j n Ÿ
š› n $ o ~, n i nœ
, n nœ
• Όταν το ζητάει ρητά η εκφώνηση
• Προσοχη: š _ ¡
Τ 								 		3Š $ 2 4	
Š $ 2 	 	3Š $ 4 4
Š $ 4 	 	3Š $ 6 4
Πρόχειρο:
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ › n › n $ o p n
Παράδειγµα: Να λύσετε την αναδροµή:
Τ •
Š $ 1 3 i 0
1 0
Λύση:
1. Γράφουµε όλους τους αναδροµικούς όρους T(n), T(n-
1),… µέχρι και την οριακή περίπτωση της αναδροµής
2. Προσθέτουµε τις εξισώσεις κατά µέλη
3. Υπολογισµός της σειράς που προκύπτει. Χρήσιµοι οι
τύποι: ∑
%
∑
% %
?
Η µέθοδος της επανάληψης (κάνοντας άθροισµα κατά
µέλη) χρησιµοποιείται για την επίλυση της αναδροµικής
σχέσης
j n Ÿ
› n $ o p n , n i nœ
~, n nœ
1)0(
13)0()1(
23)1()2(
...
)2(3)3()2(
)1(3)2()1(
3)1()(
=
⋅+=
⋅+=
−+−=−
−+−=−
+−=
T
TT
TT
nnTnT
nnTnT
nnTnT
)(+
15,15,1
2
)1(
3131
])1()2(...21[31
3)1(3)2(3...23131
11323...)2(3)1(33)(
2
1
++=
=
+
+=+=
+−+−++++=
+−+−++⋅+⋅+=
+⋅+⋅++−+−+=
∑=
nn
nn
i
nnn
nnn
nnnnT
n
i
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ:
Λύση:
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΑΝΑΔΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ › n ›
n
u
›
n
o
p n
Λύση της αναδρομής: › n ›
n
u
›
n
o
p n
Υπολογίζουμε την ποσότητα
1. Αν τότε (δραστ.3.6)
2. Αν τότε (δραστ.3.6)
3. Αν τότε η δραστηριότητα 3.6 έχει αποτύχει και πάμε
υποχρεωτικά με δένδρο αναδρομής
ba
11
+
))(()( nfnT Θ=
)log)(()( nnfnT ⋅Θ=
1
11
<+
ba
1
11
=+
ba
1
11
>+
ba
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ:
Να υπολογίσετε µια ασυµπτωτική εκτίµηση της
αναδροµής:
Λύση:
Ισχύει: άρα από την
δραστ.3.6 ισχύει:
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ:
Να υπολογίσετε µια ασυµπτωτική εκτίµηση της
αναδροµής:
Λύση:
Ισχύει: άρα από την
δραστ.3.6 ισχύει:
1
12
7
12
3
12
4
4
1
3
1
<=+=+
)()( 2
nnT Θ=
n
n
T
n
TnT +





+





=
3
2
3
)(
1
3
3
3
2
3
1
==+
)log()( nnnT ⋅Θ=
2
43
)( n
n
T
n
TnT +





+





=
Το ύψος του δένδρου είναι log2n (αν c είναι ο µικρότερος από τους
δύο παρονοµαστές (δηλ. c=min{a,b} ) έπεται ότι το ύψος του
δένδρου είναι logcn.)
ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΡΑΓΜΑΤΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ
Παράδειγµα: Υπολογίστε ασυµπτωτικά άνω και κάτω φραγµατα του αθροίσµατος:
Š log
Υπολογισµός Άνω Φράγµατος: Εκτιµούµε από ποια ποσότητα είναι πάντα µικρότερος ο όρος του αθροίσµατος
Άνω Φράγµα: (αφού ισχύει ότι log } log για κάθε 1, … , )
Š log } log log 1 log $ 1 1 log Θ log
Συνεπώς Š £ log
Υπολογισµός Κάτω Φράγµατος: Εκτιµούµε από ποια ποσότητα είναι πάντα µεγαλύτερος ο όρος του αθροίσµατος. Στην άσκηση
αυτή έχουµε και µία αρκετά έξυπνη ιδέα!
Κάτω Φράγµα:
Š log ¤ log ¤ log
2
log
2
1 log
2
1 log $ log 2 $
2
1 log $ 1
2
1
											
2
log $
2
log $ 1 Θ n	log	n
Συνεπώς Š Ω log
Αν το άνω και το κάτω φράγµα είναι ίδια τότε ισχύει και το Θ(.) του κοινού φράγµατος. Αλλιώς ισχύουν τα φράγµατα της
συνάρτησης πολυπλοκότητας που έχουµε υπολογίσει
Συνεπώς αφού Š £ log και Š Ω log ισχύει ότι: Š Θ log

More Related Content

What's hot

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΧΑΡΤΗΣ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΠΛΗ30 ΧΑΡΤΗΣ ΓΛΩΣΣΩΝΠΛΗ30 ΧΑΡΤΗΣ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΠΛΗ30 ΧΑΡΤΗΣ ΓΛΩΣΣΩΝ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
Dimitris Psounis
 

What's hot (20)

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.3
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2
 
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΛΗ30.ΚΑΡΤΑ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
 
ΠΛΗ30 ΧΑΡΤΗΣ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΠΛΗ30 ΧΑΡΤΗΣ ΓΛΩΣΣΩΝΠΛΗ30 ΧΑΡΤΗΣ ΓΛΩΣΣΩΝ
ΠΛΗ30 ΧΑΡΤΗΣ ΓΛΩΣΣΩΝ
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 0.3
 
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.5
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4in1)
 
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
ΠΛΗ20 ΜΑΘΗΜΑ 2.1
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 6.4
 
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
ΠΛΗ20 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2
 
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
ΠΛΗ30 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 4.1
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 1
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 5
 

Viewers also liked

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 

Viewers also liked (19)

ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.1 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.2 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ - ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.2 (4in1)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.4 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.4 (4in1)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.4
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.5
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.5 (4in1)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.3 (4in1)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ 1.3 (4sl)
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΑ ΜΑΘΗΜΑ 1.3
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
ΠΛΗ30 ΜΑΘΗΜΑ 1.6 ΚΑΡΤΑ
 
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ30 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.3 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 

Similar to ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1

ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 3
ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 3ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 3
ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 3
Theodoros Leftheroudis
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
Dimitris Psounis
 
Electric Circuits: Final experiment
Electric Circuits: Final experimentElectric Circuits: Final experiment
Electric Circuits: Final experiment
ntsormpa
 
Interference
InterferenceInterference
Interference
ntsormpa
 
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
Dimitris Psounis
 
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
ThemataeisagwgikwnmathimatikwnThemataeisagwgikwnmathimatikwn
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
Christos Loizos
 
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
λυγάτσικας ζήνων   ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6λυγάτσικας ζήνων   ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
Christos Loizos
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
Dimitris Psounis
 
Paper on electric circuits: Second experiment
Paper on electric circuits: Second experimentPaper on electric circuits: Second experiment
Paper on electric circuits: Second experiment
ntsormpa
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
Dimitris Psounis
 
τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!
τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!
τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!
filipj2000
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
Dimitris Psounis
 
Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου
Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου
Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου
Μάκης Χατζόπουλος
 
Μαθηματικά Δ΄. 2. 13. ΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄
Μαθηματικά Δ΄. 2. 13. ΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄Μαθηματικά Δ΄. 2. 13. ΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄
Μαθηματικά Δ΄. 2. 13. ΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄
Χρήστος Χαρμπής
 
ΑΕΠΠ: 22ο Φύλλο Ασκήσεων
ΑΕΠΠ: 22ο Φύλλο ΑσκήσεωνΑΕΠΠ: 22ο Φύλλο Ασκήσεων
ΑΕΠΠ: 22ο Φύλλο Ασκήσεων
Nikos Michailidis
 

Similar to ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1 (20)

ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 3
ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 3ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 3
ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 3
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.2 - ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
 
Algorithms - Exercise 1
Algorithms - Exercise 1Algorithms - Exercise 1
Algorithms - Exercise 1
 
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
ΠΛΗ30 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2
 
Electric Circuits: Final experiment
Electric Circuits: Final experimentElectric Circuits: Final experiment
Electric Circuits: Final experiment
 
Interference
InterferenceInterference
Interference
 
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑ 6.1
 
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
ThemataeisagwgikwnmathimatikwnThemataeisagwgikwnmathimatikwn
Themataeisagwgikwnmathimatikwn
 
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
λυγάτσικας ζήνων   ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6λυγάτσικας ζήνων   ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
 
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 31
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 31ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 31
ΠΛΗ31 ΤΕΣΤ 31
 
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
ΠΛΗ31 ΜΑΘΗΜΑ 4.4
 
Paper on electric circuits: Second experiment
Paper on electric circuits: Second experimentPaper on electric circuits: Second experiment
Paper on electric circuits: Second experiment
 
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
ΠΛΗ30 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3
 
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
ΠΛΗ30 ΤΕΣΤ 8
 
τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!
τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!
τυπολογιο πραγματικοι αριθμοι !!!!!!
 
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
ΠΛΗ20 ΤΕΣΤ 28
 
Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου
Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου
Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου
 
Lec3 number systems_number_theory
Lec3 number systems_number_theoryLec3 number systems_number_theory
Lec3 number systems_number_theory
 
Μαθηματικά Δ΄. 2. 13. ΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄
Μαθηματικά Δ΄. 2. 13. ΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄Μαθηματικά Δ΄. 2. 13. ΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄
Μαθηματικά Δ΄. 2. 13. ΄΄Τέλεια και ατελής διαίρεση΄΄
 
ΑΕΠΠ: 22ο Φύλλο Ασκήσεων
ΑΕΠΠ: 22ο Φύλλο ΑσκήσεωνΑΕΠΠ: 22ο Φύλλο Ασκήσεων
ΑΕΠΠ: 22ο Φύλλο Ασκήσεων
 

More from Dimitris Psounis

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
Dimitris Psounis
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Dimitris Psounis
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
Dimitris Psounis
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
Dimitris Psounis
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
Dimitris Psounis
 

More from Dimitris Psounis (20)

Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 4 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ (4διαφ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)
 
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣΗ ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ
 
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ CC++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C
 
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6
 
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
ΠΛΗ20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.2
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
ΠΛΗ10 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2.1
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 8
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 7 (ΕΚΤΥΠΩΣΗ)
 
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
ΠΛΗ31 - ΤΕΣΤ 33
 
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6 ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΕ C - ΜΑΘΗΜΑ 6
 

ΠΛΗ30 Τυπολόγιο Ενότητας 1

  • 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Ιδιότητες ∆υνάµεων Λογάριθµοι µε βάση το b Λογάριθµοι µε βάση το 2 Ιδιότητες Αθροισµάτων 1, 2 1 2 1/α, 1/ ∙ ∙ 1 2 1 6 "# "# " " $ $ % $ 1 $ 1 " ∙ "% "/ " & & & & ' ( ) ' 1 ( ) , ': ,- .. " ∙ " ∙ " " / " " & 0 ∙ & 0 ∙ log & 0 ∙ Α Β & 6 & 7 & / .8 9:;<& 0 29:;& 0 1 ( ) 7 $ 6 1 (= ( ) > > > >2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1): Επειδή κάνουµε ασυµπτωτική σύγκριση των συναρτήσεων εξάγουµε το Θ(.) των συναρτήσεων Αν έχουµε έστω µία απροσδιόριστη συνάρτηση προχωράµε στο επόµενο βήµα (2): Γράφουµε τα Θ(.) ως εκθετικές µε βάση το 2. (3): Κάνουµε πράξεις στους εκθέτες για να είναι όλες οι µορφές στην βασική ιεραρχία. Σε περίπτωση απροσδιοριστίας => Εκθετικές µε βάση 2 στους όρους του αθροίσµατος Σε περίπτωση απροσδιοριστίας => Ξανά εκθετικές µε βάση το 2 (4): Σε περίπτωση ισόπαλίας => Προτεραιότητα στον πολλαπλασιασµό και έπειτα στην πρόσθεση (εναλλακτικά όρια µε χρήση κανόνα De L’Hospital) Παράδειγµα: Ιεραρχήστε τις παρακάτω συναρτήσεις σε αύξουσα σειρά ασυµπτωτικής πολυπλοκότητας: ? 5 1 4 9:; 2 ∙ 5 Απάντηση: B ? 5 1 ? 5 5 C 5 5 Θ C B 4 9:; Θ 9:; BC 2 ∙ 5 Θ 5 ) Εκφράζουµε τις συναρτήσεις ως εκθετικές µε βάση το 2: B : C 2EFG H B : 9:; 2EFG IJK# BC: 5 2EFG 8# Για τους εκθέτες έχουµε: B : log C 3 log B : log 9:; log ∙ log log BC: log 5 n ∙ log 5 2,32 Ισχύει: 3 log N N 2,32 Άρα έπεται: B N B N BC ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΚΛΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ Και πιο αναλυτικά: Μορφή Συναρτήσεων Σχόλια ΣΤΑΘΕΡΕΣ Θ 1 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ N N O Το Κ>1 σταθερά «καθαρό» n ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ N N ⋯ N O Το Κ σταθερά «καθαρό» n ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ N ⋯ N 2 N 3 N ⋯ N a>1,b: Σταθερές «καθαρό» n ΥΠΕΡΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ! N «καθαρό» n ΒΑΣΙΚΗ ΙΕΡΑΡΧΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ: ΣΤΑΘΕΡΕΣ < ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ < ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ < ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ < ΥΠΕΡΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Μία συνάρτηση που δεν έχει µία από τις παραπάνω µορφές είναι απροσδιοριστη και για να την συγκρίνουµε µε άλλες πρέπει να ακολουθήσουµε ειδική διαδικασία (εκθετικές µε βάση το 2) Μικρότερη Πολυπλοκότητα = Πιο Γρήγορος Αλγόριθµος = Καλύτερη Πολυπλοκότητα Μεγαλύτερη Πολυπλοκότητα = Πιο Αργός Αλγόριθµος = Χειρότερη Πολυπλοκότητα Θ 1 Θ O Θ O Θ Θ n! Θ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ( Υπολογισμός Θ ) Υπολογισμός του Θ(.) μιας συνάρτησης πολυπλοκότητας Για να εξάγουμε το Θ(.) μιας συνάρτησης πολυπλοκότητας, θα πρέπει να κάνουμε τις όποιες επιμεριστικές ιδιότητες έτσι ώστε να έχουμε «καθαρά» αθροίσματα. Κάνουμε και τυχόν εύκολες πράξεις (ρίζες=>δυνάμεις, απλοποίηση λογαρίθμων κ.λπ.) Έπειτα επιλέγουμε τον μέγιστο από τους όρους του αθροίσματος, και τον εισάγουμε στο Θ(.) Προσοχή ότι απαλείφονται οι σταθερές που είναι πολλαπλασιασμένες με τους όρους του αθροίσματος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: )()1()( 22 nnnnnn Θ=+=+=Τ )( 6 1 6 3 6 2 6 )12)(( 6 )12)(1( )( 323 2 nnnn nnnnnn n Θ=++= ++ = ++ =Τ . Στοιχειώδης Ιεραρχία Συναρτήσεων πολυπλοκότητας: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (και ΕΚΤΙΜΗΣΗ) ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1: Ο λογάριθµος µπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Τον υπολογίζουµε σύµφωνα µε την εξίσωση του λογαρίθµου (δοκιµάζοντας τις διαδοχικές δυνάµεις) Παράδειγµα 1: 32 ? Λύση: 32 5 2 32 2 2 2 4 2C 8 2T 16 28 32 ΠΡΟΧΕΙΡΟ Παράδειγµα 2: ?216 ? Λύση: ?216 3 6 216 6 6 6 36 6C 216 ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2: Ο λογάριθµος δεν µπορεί να υπολογιστεί ακριβώς, αλλά παρατηρούµε ότι βάση και αριθµός του λογαρίθµου είναι δυνάµεις του ίδιου αριθµού. Τότε κάνουµε αλλαγή βάσης βάζοντας νέα βάση τον κοινό αριθµό τ. Τον υπολογίζουµε σύµφωνα µε την εξίσωση του λογαρίθµου (δοκιµάζοντας τις διαδοχικές δυνάµεις) Παράδειγµα: U27 ? Λύση: U27 9:;H W 9:;HU C 1.5 3 27 3 3 3 9 3C 27 ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3: Ο λογάριθµος δεν µπορεί να υπολογιστεί ακριβώς, ούτε η βάση και ο αριθµός του λογαρίθµου είναι δυνάµεις του ίδιου αριθµού. Τότε κάνουµε εκτίµηση του λογαρίθµου υπολογίζοντας τις διαδοχικές δυνάµεις της βάσης στις οποίες µπορούµε να εντοπίσουµε τον αριθµό. Παράδειγµα: 11 ? Λύση: 3 N 11 N 4 2 11 2 2 2 4 2C 8 2T 16 ΠΡΟΧΕΙΡΟ 11 ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΟΡΙΑ και ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΟΙ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Ορισµός Ορίων για Απόδειξη Ασυµπτωτικών Συµβολισµών lim → ] ; ^ ' _ 0 -ό-b B Θ 0 -ό-b B ∞ -ό-b B d Και ισχύουν και τα ακόλουθα: • Λήµµα 1: B Θ αν και µόνο αν B Ο και B Ω • Λήµµα 2: Αν B ο τότε B Ο • Λήµµα 3: Αν B ω τότε B Ω ..και ανάποδα: B N lim → ] ; 0 B αλλά και B Ο B lim → ] ; ' _ 0 B Θ αλλά και B Ω και B Ο B i lim → ] ; ∞ B d αλλά και B Ω Παράδειγµα: Αποδείξτε ότι 2 Ο 3 Λύση: lim → ] ; lim → # C# lim → C 0 Άρα: 2 ο 3 άρα και 2 Ο 3
  • 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΘΕΩΡΗΜΑ ΚΥΡΙΑΡΧΙΑΣ (MASTER THEOREM) Το Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση j k lm n o p n όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και B είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις: Α) Αν p n q nrsto u v για κάποια σταθερά ε>0, τότε: w n x nyz{o u Β) Αν p n x nrsto u τότε: w n x nyz{o u yz{ n Γ) Αν p n | nrsto u%v για κάποια σταθερά ε>0 και lp n o } ~p n για κάποια σταθερά c<1, τότε: w n x p n Έχω: Ισχύει: για κάποια σταθερά ε>0 Άρα από την Α’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι: n n TnT +      = 2 8)( 38loglog,)(,2,8 2 ===== annfba b )()( 3 ε− == nOnnf )()( 3 nnT Θ= Έχω: Ισχύει: Άρα από την B’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι: 2 3 9)( n n TnT +      = 29loglog,)(,3,9 3 2 ===== annfba b )()( 22 nnnf Θ== )log()( 2 nnnT Θ= Έχω: Ισχύει: για κάποια σταθερά ε>0 Ελέγχω αν υπάρχει c<1 τέτοιο ώστε: Άρα ισχύει για ½≤c<1. Άρα από την Γ’ περίπτωση του Θεωρήµατος Κυριαρχίας έπεται ότι: 3 2 4)( n n TnT +      = 24loglog,)(,2,4 2 3 ===== annfba b )()( 23 ε+ Ω== nnnf cccn n cn n ncf n fncf b n af ≤⇔≤⇔≤⇔≤      ⇔≤      ⇔≤      2 1 8 4 2 4 2 4)( 2 4)( 3 3 3 3 3 )()( 3 nnT Θ= Σύγκριση: B ? 9:;< ‡ N Α’ΘΚ Β’ΘΚ i Γ’ΘΚ Παραδείγµατα: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Παράδειγµα: Να λύσετε την αναδροµή: Τ ‰ 3Š T i 1 0 1 Λύση: Τ 3Š T 3 3Š T‹ T 3 Š T‹ 3 T 3 3Š TH T‹ 3 T 3C Š TH 3 T‹ 3 T ⋯ 3 Š TŒ 3 TŒ•Ž ⋯ 3 T‹ 3 T Η αναδροµή σταµατά όταν TŒ 1 ⇒ n 4 ⇒ k logT 3EFG‘ Š T’“”‘ # 3EFG‘ T’“”‘ #•Ž ⋯ 3 T‹ 3 T 3EFG‘ Š 1 3EFG‘ T’“”‘ #•Ž ⋯ 3 T‹ 3 T ∑ 3 T– EFG‘ ∑ 3 ‹ T– ‹ EFG‘ ∑ C– T‹ – EFG‘ ∑ C– ?– EFG‘ ∑ C ? EFG‘ H Ž— ’“”‘ # H Ž— Θ 1. Κάνουµε 3 εφαρµογές της αναδροµικής σχέσης (µέχρι να φτάσουµε στη µορφή: Τ n CŠ H ). Χρήσιµο το πρόχειρο 2. Εκτίµηση της σειράς που προκύπτει µετά από k επαναλήψεις (µας καθοδηγεί ο όρος: Š Œ ) 3. Υπολογίζουµε πότε σταµατάει η αναδροµή (Θέτουµε Œ και λύνουµε ως προς k). Π.χ. αν 1, τότε k log 4. Αντικατάσταση του k στον τύπο του βήµατος 2 5. Υπολογισµός της σειράς που προκύπτει. Χρήσιµος ο τύπος: ∑ #˜Ž Η µέθοδος της επανάληψης χρησιµοποιείται για την επίλυση της αναδροµικής σχέσης j n ™ š› n o p n , n i nœ ~, n nœ • Όταν το ζητάει ρητά η εκφώνηση • Όταν αποτυγχάνει το θεώρηµα κυριαρχίας • Όταν δεν θέλουµε απλά µία ασυµπτωτική εκτίµηση Τ 3Š T Š T 3Š T‹ T Š T‹ 3Š TH T‹ Πρόχειρο: 0 ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ › n š› n $ o ~ Παράδειγµα: Να λύσετε την αναδροµή: Τ • 3Š $ 2 4 i 0 1 0 Λύση: Τ 3Š $ 2 4 3 3Š $ 4 4 4 3 Š $ 4 3 ∙ 4 4 3 3Š $ 6 4 3 ∙ 4 4 3CŠ $ 6 3 ∙ 4 3 ∙ 4 4 ⋯ 3 Š $ 2ž 3 ∙ 4 ⋯ 3 ∙ 4 3 ∙ 4 4 Η αναδροµή σταµατά όταν $ 2ž 0 ⇒ k /2 3 # ‹Š 0 3 # ‹ ∙ 4 ⋯ 3 ∙ 4 3 ∙ 4 4 3 # ‹ 4 3 # ‹ ⋯ 3 3 1 3 # ‹ 4 ∑ 3 # ‹ 3 # ‹ 4 C # ‹ C 3 # ‹ 2 3 # ‹ $ 1 Θ 3 # ‹ 1. Κάνουµε 3 εφαρµογές της αναδροµικής σχέσης (µέχρι να φτάσουµε στη µορφή: Τ n C Š $ ž ). Χρήσιµο το πρόχειρο 2. Εκτίµηση της σειράς που προκύπτει µετά από k επαναλήψεις (µας καθοδηγεί ο όρος: Š $ ž ) 3. Υπολογίζουµε πότε σταµατάει η αναδροµή (Θέτουµε $ ž και λύνουµε ως προς k). Π.χ. αν 0, τότε k / 4. Αντικατάσταση του k στον τύπο του βήµατος 2 5. Υπολογισµός της σειράς που προκύπτει. Χρήσιµοι οι τύποι:∑ #˜Ž Η µέθοδος της επανάληψης χρησιµοποιείται για την επίλυση της αναδροµικής σχέσης j n Ÿ š› n $ o ~, n i nœ , n nœ • Όταν το ζητάει ρητά η εκφώνηση • Προσοχη: š _ ¡ Τ 3Š $ 2 4 Š $ 2 3Š $ 4 4 Š $ 4 3Š $ 6 4 Πρόχειρο: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ › n › n $ o p n Παράδειγµα: Να λύσετε την αναδροµή: Τ • Š $ 1 3 i 0 1 0 Λύση: 1. Γράφουµε όλους τους αναδροµικούς όρους T(n), T(n- 1),… µέχρι και την οριακή περίπτωση της αναδροµής 2. Προσθέτουµε τις εξισώσεις κατά µέλη 3. Υπολογισµός της σειράς που προκύπτει. Χρήσιµοι οι τύποι: ∑ % ∑ % % ? Η µέθοδος της επανάληψης (κάνοντας άθροισµα κατά µέλη) χρησιµοποιείται για την επίλυση της αναδροµικής σχέσης j n Ÿ › n $ o p n , n i nœ ~, n nœ 1)0( 13)0()1( 23)1()2( ... )2(3)3()2( )1(3)2()1( 3)1()( = ⋅+= ⋅+= −+−=− −+−=− +−= T TT TT nnTnT nnTnT nnTnT )(+ 15,15,1 2 )1( 3131 ])1()2(...21[31 3)1(3)2(3...23131 11323...)2(3)1(33)( 2 1 ++= = + +=+= +−+−++++= +−+−++⋅+⋅+= +⋅+⋅++−+−+= ∑= nn nn i nnn nnn nnnnT n i ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Λύση: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΑΝΑΔΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ › n › n u › n o p n Λύση της αναδρομής: › n › n u › n o p n Υπολογίζουμε την ποσότητα 1. Αν τότε (δραστ.3.6) 2. Αν τότε (δραστ.3.6) 3. Αν τότε η δραστηριότητα 3.6 έχει αποτύχει και πάμε υποχρεωτικά με δένδρο αναδρομής ba 11 + ))(()( nfnT Θ= )log)(()( nnfnT ⋅Θ= 1 11 <+ ba 1 11 =+ ba 1 11 >+ ba ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να υπολογίσετε µια ασυµπτωτική εκτίµηση της αναδροµής: Λύση: Ισχύει: άρα από την δραστ.3.6 ισχύει: ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να υπολογίσετε µια ασυµπτωτική εκτίµηση της αναδροµής: Λύση: Ισχύει: άρα από την δραστ.3.6 ισχύει: 1 12 7 12 3 12 4 4 1 3 1 <=+=+ )()( 2 nnT Θ= n n T n TnT +      +      = 3 2 3 )( 1 3 3 3 2 3 1 ==+ )log()( nnnT ⋅Θ= 2 43 )( n n T n TnT +      +      = Το ύψος του δένδρου είναι log2n (αν c είναι ο µικρότερος από τους δύο παρονοµαστές (δηλ. c=min{a,b} ) έπεται ότι το ύψος του δένδρου είναι logcn.) ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΡΑΓΜΑΤΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ Παράδειγµα: Υπολογίστε ασυµπτωτικά άνω και κάτω φραγµατα του αθροίσµατος: Š log Υπολογισµός Άνω Φράγµατος: Εκτιµούµε από ποια ποσότητα είναι πάντα µικρότερος ο όρος του αθροίσµατος Άνω Φράγµα: (αφού ισχύει ότι log } log για κάθε 1, … , ) Š log } log log 1 log $ 1 1 log Θ log Συνεπώς Š £ log Υπολογισµός Κάτω Φράγµατος: Εκτιµούµε από ποια ποσότητα είναι πάντα µεγαλύτερος ο όρος του αθροίσµατος. Στην άσκηση αυτή έχουµε και µία αρκετά έξυπνη ιδέα! Κάτω Φράγµα: Š log ¤ log ¤ log 2 log 2 1 log 2 1 log $ log 2 $ 2 1 log $ 1 2 1 2 log $ 2 log $ 1 Θ n log n Συνεπώς Š Ω log Αν το άνω και το κάτω φράγµα είναι ίδια τότε ισχύει και το Θ(.) του κοινού φράγµατος. Αλλιώς ισχύουν τα φράγµατα της συνάρτησης πολυπλοκότητας που έχουµε υπολογίσει Συνεπώς αφού Š £ log και Š Ω log ισχύει ότι: Š Θ log