ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΦΡΑΓΜΑΤΩΝ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ
Παράδειγµα: Υπολογίστε ασυµπτωτικά άνω και κάτω φραγµατα του αθροίσµατος:
log
Υπολογισµός Άνω Φράγµατος: Εκτιµούµε από ποια ποσότητα είναι πάντα µικρότερος ο όρος του αθροίσµατος
Άνω Φράγµα: (αφού ισχύει ότι log log για κάθε 1,… , )
log log log 1 log 1 1 log Θ log
Συνεπώς log
Υπολογισµός Κάτω Φράγµατος: Εκτιµούµε από ποια ποσότητα είναι πάντα µεγαλύτερος ο όρος του αθροίσµατος. Στην άσκηση
αυτή έχουµε και µία αρκετά έξυπνη ιδέα!
Κάτω Φράγµα:
log log log
2
log
2
1 log
2
1 log log 2
2
1 log 1
2
1
2
log
2
log 1 Θ n log n
Συνεπώς Ω log
Αν το άνω και το κάτω φράγµα είναι ίδια τότε ισχύει και το Θ(.) του κοινού φράγµατος. Αλλιώς ισχύουν τα φράγµατα της
συνάρτησης πολυπλοκότητας που έχουµε υπολογίσει
Συνεπώς αφού log και Ω log ισχύει ότι: Θ log