ΠΛΗ20
ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
Μάθηµα 2.5:
Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
1. Το Θεώρηµα Απαγωγής
2. Το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής
3. Το Θεώρηµα Απαγωγής σε Άτοπο
4. Το Θεώρηµα Εγκυρότητας
5. Το Θεώρηµα Πληρότητας
2. Τρία Σηµαντικά Τυπικά Θεωρήµατα
1. Το τυπικό Θεώρηµα ⊢ φ → φ
2. Το τυπικό Θεώρηµα ⊢ φ → φ
3. Το τυπικό Θεώρηµα ⊢ φ → φ
Γ.Ασκήσεις
1. Ασκήσεις Κατανόησης
2. Ερωτήσεις
3. Εφαρµογές
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού

Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Το θεώρηµα απαγωγής και η χρήση του
Το θεώρηµα αντιθετοαναστροφής και η χρήση του
Το θέωρηµα εγκυρότητας και η χρήση του
Το θεώρηµα πληρότητας και η χρήση του
Επίπεδο Β
Το θεώρηµα απαγωγής σε άτοπο και η χρήση του
Επίπεδο Γ
(-)
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Τα θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού:
Απαγωγή
Αντιθετοαναστροφή
Απαγωγή σε Άτοπο
Τροποποιούν την προς απόδειξη τυπική συνεπαγωγή ώστε η τυπική απόδειξη να
γίνει πιο εύκολα.
Τα θεωρήµατα:
Εγκυρότητας
Πληρότητας
Σχετίζουν τους δύο κόσµους που έχουµε µελετήσει:
Την Προτασιακή Λογική µε
Τον προτασιακό Λογισµό.

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
1. Το Θεώρηµα Απαγωγής
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Θεώρηµα (Απαγωγής):
Αν ∪ ⊢ τότε Τ ⊢ → ψ
Το θεώρηµα έχει δύο χρήσεις:
Την ευθεία χρήση:
Αν γνωρίζουµε (π.χ. από την εκφώνηση) ότι: T ∪ ⊢
Τότε από το θεώρηµα απαγωγής «έπεται» (ή «προκύπτει άµεσα») ότι ισχύει:
Τ ⊢ → ψ
Την αντίστροφη χρήση:
Για να δείξουµε ότι: Τ ⊢ → ψ
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξουµε ότι: T ∪ ⊢

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
1. Το Θεώρηµα Απαγωγής
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 1:
Να αποδείξετε ότι:
Ⱶ φ → (ψ → (χ → φ)
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ ψ → (χ → φ)
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
{φ,ψ} Ⱶ χ → φ
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
{φ,ψ,χ} Ⱶ φ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
1. Το Θεώρηµα Απαγωγής
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 2:
Να αποδείξετε ότι:
Ⱶ (φ →χ) → ((φ → (χ → ψ)) →(φ → ψ))
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ →χ Ⱶ (φ → (χ → ψ)) →(φ → ψ)
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
{φ →χ, φ → (χ → ψ)} Ⱶ φ → ψ
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
{φ →χ, φ → (χ → ψ),φ} Ⱶ ψ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
2. φ →χ Υπόθεση
3. χ MP1,2
4. φ → (χ → ψ) Υπόθεση
5. χ → ψ MP1,4
6. ψ MP3,5

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
1. Το Θεώρηµα Απαγωγής
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 3:
Να αποδείξετε ότι:
Ⱶ φ → φ → φ →
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ → φ →
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
{ φ, φ → φ} Ⱶ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
2. φ → φ Τυπικό Θεώρηµα
3. φ MP1,2
Και παραθέτουµε την απόδειξη του τυπικού θεωρήµατος: Ⱶ φ → φ (Βλέπε
τέλος φυλλαδίου)

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
2. Το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Θεώρηµα (Αντιθετοαναστροφής):
T ∪ ⊢ αν και µόνο αν T ∪ ⊢
Με εφαρµογή του θεωρήµατος της αντιθετοαναστροφής µπορούµε να
εναλάσσουµε τον προς απόδειξη τύπο µε µία από τις υποθέσεις.
ΠΡΟΣΟΧΗ: Η αντιθετοαναστροφή βρίσκει εφαρµογή µόνο αν ο προς απόδειξη
τύπος ξεκινά µε άρνηση και η άρνηση αυτή δεν αλλοιώνεται από την εφαρµογή
του θεωρήµατος (µενει «κάγκελο»)

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
2. Το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 1:
Να αποδείξετε ότι:
Ⱶ ψ → ψ → → → ψ → ψ
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
ψ → ψ → Ⱶ → ψ → ψ
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
ψ → ψ → , Ⱶ ψ → ψ
Από το θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής αρκεί να δείξω:
ψ → ψ → , ψ → ψ Ⱶ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. ψ → ψ Υπόθεση
2. ψ → ψ → Υπόθεση
3. MP1,2

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
2. Το Θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 2:
Να αποδείξετε ότι:
Ⱶ φ → ψ → φ →
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ ψ → φ →
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ , ψ Ⱶ φ →
Από το θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής αρκεί να δείξω:
φ , φ → , Ⱶ ψ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
2. φ → ψ Υπόθεση
3. MP1,2
4. → ψ ΣΑ στο Τυπικό Θεώρηµα Ⱶ φ → φ όπου φ:ψ.
5. ψ MP3,4
Και παραθέτουµε την απόδειξη του τυπικού θεωρήµατος: Ⱶ φ → φ (Βλέπε
τέλος φυλλαδίου)

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
3. Το Θεώρηµα Απαγωγής σε Άτοπο
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Θεώρηµα (Απαγωγής σε Άτοπο):
Αν ∪ είναι αντιφατικό τότε Τ ⊢
Το θεώρηµα έχει δύο χρήσεις:
Την ευθεία χρήση:
Αν γνωρίζουµε (π.χ. από την εκφώνηση) ότι: T ∪ είναι αντιφατικό
Τότε από το θεώρηµα απαγωγής σε άτοπο «έπεται» (ή «προκύπτει άµεσα») ότι
ισχύει: Τ ⊢
Την αντίστροφη χρήση:
Για να δείξουµε ότι: Τ ⊢
Από το θεώρηµα απαγωγής σε άτοπο αρκεί να δείξουµε ότι: T ∪ είναι
αντιφατικό.

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
3. Το Θεώρηµα Απαγωγής σε Άτοπο
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Ορισµοί:
Αντιφατικό Σύνολο Τύπων (Τυπικός Ορισµός)
Ένα σύνολο τύπων Τ καλείται αντιφατικό αν υπάρχει ένας τύπος ψ τέτοιος
ώστε να ισχύει:
Τ ⊢ (ο έπεται µε τυπική απόδειξη από τις υποθέσεις του Τ)
Τ ⊢ (ο έπεται µε τυπική απόδειξη από τις υποθέσεις του Τ)
∆ηλαδή να συνεπάγεται τυπικά κάποιος τύπος και η άρνησή του από τις
υποθέσεις του Τ.
Συνεπές Σύνολο Τύπων (Τυπικός Ορισµός)
Ένα σύνολο τύπων Τ καλέιται συνεπές αν δεν είναι αντιφατικό
∆ηλαδή δεν υπάρχει τύπος ψ τέτοιος ώστε:
Τ ⊢ (ο έπεται µε τυπική απόδειξη από τις υποθέσεις του Τ)
Τ ⊢ (ο έπεται µε τυπική απόδειξη από τις υποθέσεις του Τ)
Με βάση τα παραπάνω σχετίζοντας Πρ.Λογική µε Πρ.Λογισµό
ΣΥΝΕΠΕΣ==ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟ και ΑΝΤΙΦΑΤΙΚΟ == ΜΗ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΣΙΜΟ

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
3. Το Θεώρηµα Απαγωγής σε Άτοπο
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 1:
Να αποδείξετε ότι:
Ⱶ φ → φ
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
Από το θεώρηµα Απαγωγής σε Ατοπο αρκεί να δείξω ότι το σύνολο τύπων:
Τ= , φ είναι αντιφατικό
Πράγµατι θεωρώ τον τύπο φ.
Ισχύει Τ Ⱶ φ. Πράγµατι έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
Ισχύει Τ Ⱶ φ. Πράγµατι έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
Συνεπώς το σύνολο τύπων είναι αντιφατικό.

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
3. Το Θεώρηµα Απαγωγής σε Άτοπο
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 2:
Να αποδείξετε ότι:
{χ → ¬ψ, φ} |- χ → ¬(φ → ψ)
Απάντηση:
Από το θεώρηµα απαγωγής αρκεί να δείξουµε ότι:
{χ → ¬ψ, φ, χ} |- ¬(φ → ψ)
Από το θεώρηµα απαγωγής σε άτοπο αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο τύπων:
{χ → ¬ψ, φ, χ, φ → ψ} είναι αντιφατικό.
Για να δείξουµε ότι είναι αντιφατικό θεωρούµε τον τύπο ψ.
Ισχύει ότι {χ → ¬ψ, φ, φ → ψ, χ } |- ψ µε την τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
2. φ → ψ Υπόθεση
3. ψ MP1,2
Ισχύει ότι {χ → ¬ψ, φ, φ → ψ, χ } |- ¬ψ µε την τυπική απόδειξη:
1. χ Υπόθεση
2. χ → ¬ψ Υπόθεση
3. ¬ψ MP1,2
Συνεπώς το σύνολο τύπων είναι αντιφατικό.

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
4. Το Θεώρηµα Εγκυρότητας
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Θεώρηµα (Εγκυρότητας):
Αν ⊢ τότε Τ ⊨
Το θεώρηµα έχει δύο χρήσεις:
Την ευθεία χρήση:
Αν γνωρίζουµε (π.χ. από την εκφώνηση) ότι: T ⊢
Τότε από το θεώρηµα εγκυρότητας «έπεται» (ή «προκύπτει άµεσα») ότι ισχύει:
Τ ⊨
Την αντίστροφη χρήση:
Για να δείξουµε ότι: Τ ⊨
Από το θεώρηµα εγκυρότητας αρκεί να δείξουµε ότι: ⊢

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
4. Το Θεώρηµα Εγκυρότητας
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 1:
Να αποδείξετε ότι:
, φ → → χ , φ → ψ ⊨
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Εγκυρότητας αρκεί να δείξω:
, φ → → χ , φ → ψ ⊢
Που έχει τυπική απόδειξη:
1. Υπόθεση
2. φ → ψ Υπόθεση
3. φ → → χ Υπόθεση
4. ψ MP1,2
5. → χ MP1,3
6. χ MP4,5

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
5. Το Θεώρηµα Πληρότητας
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Θεώρηµα (Πληρότητας):
Αν ⊨ τότε Τ ⊢
Το θεώρηµα έχει δύο χρήσεις:
Την ευθεία χρήση:
Αν γνωρίζουµε (π.χ. από την εκφώνηση) ότι: T ⊨
Τότε από το θεώρηµα πληρότητας «έπεται» (ή «προκύπτει άµεσα») ότι ισχύει:
Τ ⊢
Την αντίστροφη χρήση:
Για να δείξουµε ότι: Τ ⊢
Από το θεώρηµα πληρότητας αρκεί να δείξουµε ότι: ⊨

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
5. Το Θεώρηµα Πληρότητας
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Παράδειγµα 1:
Να αποδείξετε ότι:
p ∧ q, q → r Ⱶ r
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Πληρότητας αρκεί να δείξω:
p ∧ q, q → r ⊨ r
Εξετάζουµε σε ποιες αποτιµήσεις αληθεύουν οι τύποι του συνόλου τύπων:
• Ο 1ος τύπος αληθεύει όταν p ∧ q Α, δηλαδή όταν p=A και q=A
• Ο 2ος τύπος αληθεύει όταν q → r Α, άρα έχω: Α → r Α, άρα πρέπει r=Ψ
• Άρα το σύνολο τύπων ικανοποιείται στην αποτίµηση p=A,q=A,r=Ψ
Στην (µοναδική) αποτίµηση που ικανοποιούνται οι τύποι του συνόλου τύπων έχω
ότι ο προς απόδειξη τύπος είναι:
• r= Ψ A
Άρα ισχύει η ταυτολογική συνεπαγωγή.

B. Θεωρία
1. Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Τα Θεωρήµατα Εγκυρότητας - Πληρότητας
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Τα θεωρήµατα εγκυρότητας-πληρότητας (µαζί)
⊢ αν και µόνο αν Τ ⊨
Σε συνδυασµό τα θεωρήµατα εγκυρότητας-πληρότητας κάνουν ισοδύναµους τους
κόσµους του προτασιακού λογισµού. Π.χ. έχουµε ότι:
⊢ αν και µόνο αν ⊨
δηλαδή
(φ είναι τυπικό θεώρηµα) αν και µόνο αν (φ είναι ταυτολογία)
Θεώρηµα Εγκυρότητας
Θεώρηµα Πληρότητας

B. Θεωρία
2. Τρία Σηµαντικά Τυπικά Θεωρήµατα
1. Το τυπικό Θεώρηµα Ⱶ φ → φ
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Απόδειξη 1 (χωρίς Θεωρήµατα Προτασιακού Λογισµού)
Ⱶ φ → φ
Η τυπική απόδειξη είναι:
1. φ→((φ →φ) →φ) ΣΑ στο ΑΣ1 όπου φ:φ, ψ: φ →φ
2. (φ→((φ →φ) →φ)) →((φ→(φ →φ)) →(φ→φ)) ΣΑ στο ΑΣ2 όπου φ:φ, ψ: φ →φ,χ: φ
3. (φ→(φ →φ)) →(φ→φ) MP1,2
4. φ→(φ →φ) ΣΑ στο ΑΣ1 όπου φ: ψ, ψ:φ
5. φ→φ MP3,4
Απόδειξη 2 (µε Θεωρήµατα Προτασιακού Λογισµού)
Ⱶ φ → φ
Από το θεώρηµα απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση

B. Θεωρία
2. Τρία Σηµαντικά Τυπικά Θεωρήµατα
2. Το τυπικό Θεώρηµα Ⱶ φ → φ
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Απόδειξη:
Ⱶ φ → φ
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
Από το θεώρηµα Αντιθετοαναστροφής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση

B. Θεωρία
2. Τρία Σηµαντικά Τυπικά Θεωρήµατα
3. Το τυπικό Θεώρηµα Ⱶ φ → φ
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Απόδειξη:
Ⱶ φ → φ
Απάντηση:
Από το θεώρηµα Απαγωγής αρκεί να δείξω:
φ Ⱶ φ
που έχει τυπική απόδειξη:
1. φ Υπόθεση
2. φ → φ → φ ΣΑ στο ΑΣ1 όπου φ: φ, ψ: φ
3. φ → φ MP1,2
4. ( φ → φ) → ( φ → φ) → φ) ΣΑ στο ΑΣ3 όπου φ: φ, ψ: φ
5. ( φ → φ) → φ MP3,4
6. φ → φ ΣΑ στο Τυπικό Θεώρηµα Ⱶ φ → φ όπου φ: φ
7. φ MP6,5
Και παραθέτουµε την τυπική απόδειξη του τυπικού θεωρήµατος Ⱶ φ → φ

∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Θεωρούµε το αξιωµατικό σύστηµα του Προτασιακού Λογισµού. Ποιες από τις παρακάτω
δηλώσεις είναι σωστές και ποιες όχι;
1. Ο τύπος ¬¬φ → (¬φ → φ) προκύπτει άµεσα από το αξιωµατικό σχήµα ΑΣ1 µε
συντακτική αντικατάσταση.
2. Ο τύπος (¬¬φ → ¬(ψ → χ)) → ((¬¬φ → (ψ → χ)) → ¬φ) προκύπτει άµεσα από το
αξιωµατικό σχήµα ΑΣ3 µε συντακτική αντικατάσταση.
3. Το |– φ → ¬¬φ προκύπτει άµεσα από το φ |– ¬¬φ µε εφαρµογή του Θεωρήµατος
της Απαγωγής.
4. Το φ |– ¬¬φ προκύπτει άµεσα από το ¬φ |– ¬φ µε εφαρµογή του Θεωρήµατος της
Αντιθετοαναστροφής.

∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Το Θεώρηµα της Αντιθετοαναστροφής εξασφαλίζει ότι για κάθε υποσύνολο προτασιακών
τύπων T και για αυθαίρετα επιλεγµένους προτασιακούς τύπους φ και ψ, ισχύει ότι
Τ ∪ { φ } |–ΠΛ ¬ψ αν και µόνο αν Τ ∪ { ψ } |–ΠΛ ¬φ .
Είναι σωστό ότι οι παρακάτω δηλώσεις προκύπτουν άµεσα από το Θεώρηµα της
Αντιθετοαναστροφής µε συντακτική αντικατάσταση χωρίς τη χρήση άλλων θεωρηµάτων
ή προτάσεων;
1. Τ ∪ { φ } |–ΠΛ ψ αν και µόνο αν Τ ∪ { ¬ψ } |–ΠΛ ¬φ.
2. Τ ∪ { φ } |–ΠΛ ¬(¬ψ) αν και µόνο αν Τ ∪ { ¬ψ } |–ΠΛ ¬φ.
3. ¬φ |–ΠΛ ¬ψ αν και µόνο αν ψ |–ΠΛ φ.
4. ¬φ |= ¬ψ αν και µόνο αν ψ |= ¬(¬φ).

∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
∆είξτε τα παρακάτω:
(α) φ |- (φ → ψ) → ( (ψ → θ) → (( θ → ξ ) → ξ) )
(β) |- (φ → χ) → ( (φ →(χ → ψ)) → (φ → ψ) )
Επιτρέπεται η χρήση γνωστών θεωρηµάτων εκτός των θεωρηµάτων Εγκυρότητας και
Πληρότητας

∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
27∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Χρησιµοποιώντας οποιοδήποτε από τα θεωρήµατα Απαγωγής, Αντιθετοαναστροφής,
Απαγωγής σε Άτοπο ή συνδυασµό τους, να αποδειχθεί το τυπικό θεώρηµα:
|- ¬(ψ → φ) → ¬φ

∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 3
28∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.5: Θεωρήµατα του Προτασιακού Λογισµού
Να αποδείξετε µε δύο τρόπους το αντίστροφο του θεωρήµατος απαγωγής.
(α) Με χρήση των θεωρηµάτων εγκυρότητας-πληρότητας
(β) Χωρίς χρήση των θεωρηµάτων εγκυρότητας-πληρότητας