ΠΛΗ20
ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ
Μάθηµα 2.1:
Προτασιακοί ΤύποιΠροτασιακοί Τύποι
∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
1. Προτασιακή Γλώσσα
2. Προτασιακοί Τύποι
1. Προτεραιότητα Συνδέσµων
2. ∆ενδροδιάγραµµα Τύπου
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
2. ∆ενδροδιάγραµµα Τύπου
3. Αποτίµηση Τύπου
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
1. Ταυτολογία
2. Αντίφαση
3. Ικανοποιήσιµος Τύπος
3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
Γ.Ασκήσεις
1. Ασκήσεις Κατανόησης
2. Ερωτήσεις
3. Εφαρµογές

Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Η προτασιακή γλώσσα
Προτασιακοί τύποι και χαρακτηρισµοί τους
Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή Τύπου
Επίπεδο Β
(-)
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
(-)
Επίπεδο Γ
(-)

B. Θεωρία
Μαθηµατική Λογική
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Η Μαθηµατική Λογική είναι η προσπάθεια να µοντελοποιήθουν µε
µαθηµατικά:
Η ανθρώπινη γλώσσα, και το συντακτικό της.
Ο τρόπος µε τον οποίο συνδυάζουµε επιχειρήµατα προκειµένου να
εξάγουµε συµπεράσµατα.
Προκειµένου να επιτευχθεί αυτός ο (δύσκολος) στόχος, κατασκευάζονται σε
στάδια γλώσσες που µπορούν να µοντελοποιήσουν ολοένα και πιο
περίπλοκες δοµές της συµπερασµατολογίας, αλλά και της περιγραφής του
κόσµου:
Η Προτασιακή Γλώσσα ( Γ0-Γλώσσα Βαθµού 0) είναι απλή λογική που
µοντελοποιεί προτάσεις που είναι Α(ληθείς) ή Ψ(ευδέις).
Η Γλώσσα της Κατηγορηµατικής Λογικής (Γ1-Γλώσσα Βαθµού 1) είναι
προχωρηµένη λογική που µπορεί να µοντελοποιήσει περίπλοκες
προτάσεις των µαθηµατικών.
….και πολλές ακόµη που είναι εκτός ύλης….

B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
1. Προτασιακή Γλώσσα
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι

B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
2. Προτασιακοί Τύποι
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
)(),(),(),(),( ψφψφψφψφφ ↔→∧∨¬

B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
2. Προτασιακοί Τύποι (1.Προτεραιότητα συνδέσµων)
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Καθορίζεται προτεραιότητα των λογικών τελεστών, ώστε να µην είναι
αναγκαία η πλήρης παρενθετοποίηση των προτασιακών τύπων:
Παραδείγµατα:
1. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται:
2. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται:
3. Ο τύπος µε βάση την προτεραιότητα των συνδέσµων παρενθετοποιείται ως
εξής:
qp ∧¬ ))(( qp ∧¬
rqp ∨→ ( ))( rqp ∨→
rqqp ¬∨↔¬∧
( )( ) ( )( )( )rqqp ¬∨↔¬∧

B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
2. Προτασιακοί Τύποι (2.∆ενδροδιάγραµµα Τυπου)
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Η προτεραιότητα των λογικών συνδέσµων υποδεικνύεται και µε το
δενδροδιάγραµµα του τύπου που υποδεικνύει την προτεραιότητα των
λόγικών πράξεων.
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να κατασκευαστεί το δενδροδιάγραµµα του τύπου: ( ) qrpqp ¬∨→→¬∧
( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧
Πρακτικά στο δενδροδιάγραµµα σε κάθε µετάβαση «διώχνουµε» τον
λογικό σύνδεσµο µε την χαµηλότερη προτεραιότητα.
( ) ( ) ( )( )qrpqp ¬∨→→¬∧
qp ¬∧ ( ) ( )qrp ¬∨→
p q¬ rp → q¬
qq p r

B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
3. Αποτίµηση Τύπου
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Αποτίµηση των µεταβλητών είναι να αναθέσουµε τιµές Α (=αλήθεια) ή Ψ (=Ψέµα)
στις προτασιακές µεταβλητές ενός τύπου. Είναι δηλαδή µια συνάρτηση α που
δίνει τιµές στις προτασιακές µεταβλητές:
Η αποτίµηση ενός τύπου είναι η διαδικασία που εφαρµόζουµε προκειµένου να
καταλήξουµε ότι ένας τύπος είναι Αληθής ή Ψευδής ανάλογα µε την αποτίµηση
},{)(: 0 ΨΑ→ΓMa
Με µια αποτίµηση των µεταβλητών, µπορούµε να αποτιµήσουµε έναν
προτασιακό τύπο, µε βάση τον αληθοπίνακα των προτασιακών συνδέσµων:
καταλήξουµε ότι ένας τύπος είναι Αληθής ή Ψευδής ανάλογα µε την αποτίµηση
των προτασιακών µεταβλητών.
Α Α Ψ Α Α Α Α
Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ
Ψ Α Α Α Ψ Α Ψ
Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α
φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔

B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
3. Αποτίµηση Τύπου
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Χρήσιµες παρατηρήσεις για τον αληθοπίνακα των συνδέσµων:
Α Α Ψ Α Α Α Α
Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ
Ψ Α Α Α Ψ Α Ψ
Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α
φ¬φ ψ ψφ ∨ ψφ ∧ ψφ → ψφ ↔
Χρήσιµες παρατηρήσεις για τον αληθοπίνακα των συνδέσµων:
Ο τύπος έχει την αντίθετη τιµή από τον τύπο
Ο τύπος είναι Ψ µόνο όταν
είναι Α αν έστω ένα από τα είναι Α
Ο τύπος είναι Α µόνο όταν
είναι Ψ αν έστω ένα από τα είναι Ψ
Ο τύπος είναι Ψ µόνο όταν (δηλαδή )
είναι Α σε κάθε άλλη περίπτωση και ισχύουν:
και
Ο τύπος είναι Α όταν (έχουν την ίδια τιµή)
είναι Ψ όταν (έχουν διαφορετική τιµή)
φ¬ φ
ψφ ∧ Α==ψφ
ψφ,
ψφ ∨ Ψ==ψφ
ψφ,
ψφ → Ψ=Α= ψφ , Ψ=Ψ→Α
Α=→Ψ ... Α=Α→...
ψφ ↔ ψφ =
ψφ ≠

B. Θεωρία
1. Προτασιακή Λογική
3. Αποτίµηση Τύπου
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Με χρήση του πίνακα αλήθειας των προτασιακών συνδέσµων µπορούµε να
αποτιµήσουµε οποιονδήποτε προτασιακό τύπο, όταν έχουµε γνώση της
αποτίµησης των προτασιακών µεταβλητών:
Χρήσιµη θα φανεί η προτεραιότητα των τελεστών έτσι ώστε να κάνουµε
σωστά την σειρά των λογικών πράξεων:
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 1: Να αποτιµηθεί ο τύπος: υπό την αποτίµηση των
µεταβλητών:
Λύση:
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ 2: Να αποτιµηθεί ο τύπος: υπό την αποτίµηση των
µεταβλητών:
Λύση:
rqqp ¬∨→¬∧
Ψ=Ψ=Α= )(,)(,)( raqapa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Α=Α∨Ψ→Α∧Α=Ψ¬∨Ψ→Ψ¬∧Α=¬∨→¬∧ rqqp
rqqp ¬∨→¬∧
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α∨Α→Ψ∧Ψ=Ψ¬∨Α→Α¬∧Ψ=¬∨→¬∧ rqqp
Ψ=Α=Ψ= )(,)(,)( raqapa

B. Θεωρία
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Ένας προτασιακός τύπος θα χαρακτηρίζεται:
Ταυτολογία: Αν είναι Αληθής για κάθε αποτίµηση
Αντίφαση: Αν είναι Ψευδής για κάθε αποτίµηση
Ικανοποιήσιµος: Αν υπάρχει αποτίµηση για την οποία είναι αληθής.

B. Θεωρία
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
1. Ταυτολογία
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι ταυτολογία, πρέπει:
Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Α(ληθής)
Ορισµός:
Ένας προτασιακός τύπος είναι ταυτολογία αν είναι αληθής για όλες τις
αποτιµήσεις των µεταβλητών.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Α(ληθής)
Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι ταυτολογία
Α’ τρόπος:
Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
Συνεπώς είναι ταυτολογία
Β’ τρόπος: Παρατηρούµε ότι είναι πάντα Ψ, άρα ο τύπος είναι άρα είναι
πάντα αληθής
( ) qpp →¬∧
Α Α
Α Ψ
Ψ Α
Ψ Ψ
( ) qpp →¬∧qp
( ) AAAAA =→Ψ=→¬∧
( ) AAA =Ψ→Ψ=Ψ→¬∧
( ) AAA =→Ψ=→Ψ¬∧Ψ
( ) A=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ
( )pp ¬∧ ...→Ψ

B. Θεωρία
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
2. Αντίφαση
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι αντίφαση, πρέπει:
Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Ψ(ευδής)
Ορισµός:
Ένας προτασιακός τύπος είναι αντίφαση αν είναι ψευδής για όλες τις
αποτιµήσεις των µεταβλητών.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε κάθε γραµµή: Ψ(ευδής)
Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι αντίφαση
Α’ τρόπος:
Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
Συνεπώς είναι αντίφαση
Β’ τρόπος:
Αν p=Ψ, τότε ο τύπος είναι
Αν p=A, τότε ο τύπος είναι . ‘Αρα είναι αντίφαση.
( )pqp →¬∧
Α Α
Α Ψ
Ψ Α
Ψ Ψ
qp ( )pqp →¬∧
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Α¬∧Α
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→Ψ¬∧Α
( ) Ψ=Ψ¬∧Ψ=Ψ→Α¬∧Ψ
( ) Ψ=Α¬∧Ψ=Ψ→Ψ¬∧Ψ
Ψ=∧Ψ ...
( ) Ψ=Α¬∧Α=Α→¬∧Α q

B. Θεωρία
2. Χαρακτηρισµός Τύπων
3. Ικανοποιήσιµος Τύπος
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Για να εξακριβώσουµε ότι ένας τύπος είναι ικανοποιήσιµος, πρέπει:
Είτε να κατασκευάσουµε τον πίνακα αλήθειας.
Θα πρέπει ο τύπος να είναι σε τουλάχιστον µία γραµµή: Α(ληθής)
Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου
Ορισµός: Ένας προτασιακός τύπος είναι ικανοποιήσιµος αν είναι αληθής για
τουλάχιστον µία αποτίµηση των προτασιακών µεταβλητών.
Είτε να ισχύει κάποια παρατήρηση για την δοµή του τύπου
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να µελετηθεί αν ο τύπος είναι ικανοποιήσιµος
Λύση:
Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
Άρα είναι ένας ικανοποιήσιµος τύπος (γιατί π.χ. ικανοποιείται µε την αποτίµηση p=A, q=A)
( )qpp →→
Α Α
Α Ψ
Ψ Α
Ψ Ψ
qp ( )qpp →→
( ) ( ) Α=Α→Α=Α→Α→Α=→→ qpp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Α→Α=→→ qpp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Α→Ψ→Ψ=→→ qpp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Ψ→Ψ=→→ qpp
Σηµαντικό! Κάθε ταυτολογία είναι ικανοποιήσιµος τύπος!

B. Θεωρία
3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Ορισµός:
Ένας τύπος είναι σε κανονική διαζευκτική µορφή (Κ∆Μ), αν είναι της µορφής:
όπου κάθε ψi είναι της µορφής:
Και τα xij είναι µεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών µεταβλητών
nψψψ ∨∨∨ ...21
1 2
... mi i ix x x∧ ∧ ∧
Κάθε τύπος γράφεται σε κανονική διαζευκτική µορφή µε την εξής διαδικασία:
Και τα xij είναι µεταβλητές ή αρνήσεις προτασιακών µεταβλητών

B. Θεωρία
3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
Βήµα 1: Κατασκευή Αληθοπίνακα
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί η Κ.∆.Μ. του τύπου:
Λύση:
Κατασκευάζουµε τον πίνακα αλήθειας του τύπου:
( )rqp →¬→
Α Α Α
Α Α Ψ
qp ( )rqp →¬→r
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Α¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp
Ο πίνακας αληθεύει στην 2η, την 5η, την 6η, την 7η και την 8η γραµµή.
Α Α Ψ
Α Ψ Α
Α Ψ Ψ
Ψ Α Α
Ψ Α Ψ
Ψ Ψ Α
Ψ Ψ Ψ
( ) ( ) Α=Α→Α=Ψ→Α¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Α→Ψ¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Ψ=Ψ→Α=Ψ→Ψ¬→Α=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Α¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Α→Ψ=Ψ→Α¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Α→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp
( ) ( ) Α=Ψ→Ψ=Ψ→Ψ¬→Ψ=→¬→ rqp

B. Θεωρία
3. Κανονική ∆ιαζευκτική Μορφή
Βήµατα 2-3: Εξαγωγή Κανονικής ∆ιαζευκτικής Μορφής
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
(…συνέχεια…)
Γράφουµε κάθε γραµµή που αληθεύει ο τύπος σαν σύζευξη:
• Η 2η γραµµή:
• Η 5η γραµµή:
• Η 6η γραµµή:
rqp ¬∧∧
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧∧¬
• Η 6 γραµµή:
• Η 7η γραµµή:
• Η 8η γραµµή:
Συνεπώς η κανονική διαζευκτική µορφή του τύπου είναι:
rqp ¬∧∧¬
rqp ∧¬∧¬
rqp ¬∧¬∧¬
( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqprqprqprqprqp ¬∧¬∧¬∨∧¬∧¬∨¬∧∧¬∨∧∧¬∨¬∧∧
( )rqp →¬→

Γ. Μεθοδολογία
1. Γνωστές Μορφές Τύπων
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

Γ. Μεθοδολογία
1. Γνωστές Μορφές Τύπων
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

Γ. Μεθοδολογία
1. Γνωστές Μορφές Τύπων
21∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 1.2: Συνδυασµοί

∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
22∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
1. Να αποτιµηθεί ο τύπος:
∆εδοµένης της αποτίµησης α(p)=A, α(q)=Ψ, α(r)=Ψ
2. Να αποτιµηθεί ο τύπος:
)( qrpp ¬→↔¬∧
2. Να αποτιµηθεί ο τύπος:
∆εδοµένης της αποτίµησης α(p)=Ψ, α(q)=Ψ, α(r)=Ψ
)()( rqqp ∧¬∨∧¬

∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
23∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Να κατασκευάσετε τον πίνακα αλήθειας των τύπων:
Α)
Β)
)()(1 qpqp ∨↔∧=φ
))(()(2 ppqpp →→→→=φ
Γ)
Και µε βάση τον πίνακα αλήθειας να εξετάσετε για κάθε τύπο, αν είναι
ταυτολογία, αντίφαση ή ικανοποιήσιµος.
)()(3 qrrp →∨¬∧=φ

∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 3
24∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Να εξετάσετε αν ο ακόλουθος τύπος είναι ταυτολογία, αντίφαση ή
ικανοποιήσιµος κατασκευάζοντας τον πίνακα αλήθείας του:
( )rqp →→=1φ

∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 4
25∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Να βρείτε την κανονική διαζευκτική µορφή του τύπου:
qpqp ∧→∨=1φ

∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
26∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Οι παρακάτω τύποι είναι ταυτολογίες.
1. 1 2 1( )p p p∨ →
2.
3.
4.
1 1 2( )p p p→ ∨
1 1 1 2( ( ))p p p p↔ ∨ ∧
1 1 2( )p p p→ →

∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
27∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Στους παρακάτω τύπους τα p1, p2 είναι προτασιακές µεταβλητές
1.1. Ο τύποςΟ τύπος είναι ταυτολογίαείναι ταυτολογία
2.2. ΟΟ τύποςτύπος είναιείναι ταυτολογίαταυτολογία
1 2 1( )p p p∨ →
1 2 1( )p p p∧ →2.2. ΟΟ τύποςτύπος είναιείναι ταυτολογίαταυτολογία
3.3. Ο τύποςΟ τύπος είναιείναι ταυτολογίαταυτολογία
4.4. ΟΟ τύποςτύπος είναι ταυτολογίαείναι ταυτολογία
1 2 1( )p p p∧ →
1 2 1 2( ) ( )p p p p∧ → ∨
( )212 ppp →→

∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
28∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
(Α) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις είναι τύποι της ΠΛ:
i) (p → ¬q) → (p¬q)
ii) p ∧ q → (p → r) ∨ ¬q
iii) p → (¬q → r ∨ q)
iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q))iv) p ∨ (¬q ↔ (p ∨ q))
v) p → q → r
vi) p ∨ q → (¬q → r ∧ q)
(Β) Ποιές από τις εκφράσεις του ερωτήµατος 1 που είναι τύποι, είναι της
µορφής: i) φ → ψ, ii) φ → (ψ → χ). Σε κάθε µια από τις περιπτώσεις, εξηγείστε
ποιοι είναι οι αντίστοιχοι υποτύποι φ, χ, ψ.

∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
29∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 2.1: Προτασιακοί Τύποι
Βρείτε µία αποτίµηση που να ικανοποιεί την πρόταση
ΑιτιολογήστεΑιτιολογήστε την απάντησή σας.την απάντησή σας.
3 3 1 1 1 2 1 2 3 4
1 4 2 2 4 5 6 3 2 3 6 5
(( ) ) (( ) ) ( )
( ) ( ) ( )
p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p
∨ ¬ → ∧ ∨ ¬ → ∧ ∧ ∧ →
∧ ∧ → ¬ ∧ ∧ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬ → ∧ ∧ ¬ ∧ → ¬
ΑιτιολογήστεΑιτιολογήστε την απάντησή σας.την απάντησή σας.