1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 1 1
ΠΛΗ30 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1
Ιεραρχία Συναρτήσεων
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Ανάλυση Αλγορίθµων – Μάθηµα 1: Ανάλυση ∆ιαδικαστικών Αλγορίθµων
• Ανάλυση Αλγορίθµων – Μάθηµα 2: Ιεραρχία Συναρτήσεων Πολυπλοκότητας
• Ανάλυση Αλγορίθµων – Μάθηµα 3: Ασυµπτωτικοί Συµβολισµοί
• Ανάλυση Αλγορίθµων – Μάθηµα 4: Η αναδροµή T(n)=aT(n/b)+f(n) – Μόνο το Master Theorem.
Ιδιαίτερα προσπαθήστε να κάνετε καλή επανάληψη στο µάθηµα 2 και να επαναλάβετε όσο πιο πολλές
ασκήσεις µπορείτε από τα τεστ µε τις ασκήσεις ιεραρχίας. Πιάνει µια µονάδα που είναι υποχρεωτικό να
είναι ολόσωστη! Επίσης το Θεώρηµα Κυριαρχίας πιάνει περίπου 0,5 που είναι επίσης υποχρεωτικό να
είναι 100% σωστή!!
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕ Ν:
Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων. Οι ασκήσεις ιεραρχίας πρέπει να βγαίνουν
ολόσωστα σε περίπου 25’-30’ η κάθε µία. Όλες οι ασκήσεις πρέπει να λυθούν εντός του
προτεινόµενου χρόνου. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε
ολοκλήρωµένα τις λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Επανάληψης: 2.00’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 3.00’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’
2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 1 2
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Ιεραρχήστε τις παρακάτω συναρτήσεις σε αύξουσα σειρά ασυµπτωτικής πολυπλοκότητας καθώς το n
τείνει στο άπειρο:
( )
( )
n
n
n
n
nf
nnf
nf
nnf
nnf
log
5
4
log
3
5/7
2
log
1
2)(
log)(
3)(
)(
)(
=
=
=
=
=
Άσκηση 2
Ιεραρχήστε τις παρακάτω συναρτήσεις σε αύξουσα σειρά ασυµπτωτικής πολυπλοκότητας καθώς το n
τείνει στο άπειρο:
( )
( )
( )
n
nn
n
n
n
nf
nnf
nnf
nf
nnf
log
5
lg
4
3
2
log
1
4)(
log)(
)(
3)(
lg)(
=
=
=
=
=
Στις παραπάνω συναρτήσεις, ο συµβολισµός log συµβολίζει λογάριθµο µε βάση 2 και ο συµβολισµός
lg συµβολίζει λογάριθµο µε βάση 10.
Άσκηση 3
Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τις ακόλουθες συναρτήσεις καθώς το n τείνει στο άπειρο:
n
n
n
n
nf
nnf
enf
nf
nf
log
5
01.3
4
ln
3
2
1
7)(
)(
)(
2)(
2)(
2
=
=
=
=
=
Στις παραπάνω συναρτήσεις, ο συµβολισµός ln συµβολίζει λογάριθµο µε βάση e
3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 1 3
Άσκηση 4
Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τις ακόλουθες συναρτήσεις καθώς το n τείνει στο άπειρο:
n
n
nnf
nnnf
nnnf
nnf
nnf
n
n
nn
nn
n
2log
5
11
4
2)log(log3
3
log
2
14log
1
2
2
2
2)(
3)(
log2)(
3)(
log2)(
+=
+=
+⋅=
+=
+=
Άσκηση 5
Να λύσετε τις ακόλουθες αναδροµικές σχέσεις:
n
n
TnT
n
n
TnT
nn
TnT
100
5
4)(.3
2
2
8)(.2
36
2)(.1
2
+
=
+
=
+
=
Άσκηση 6
Υποθέτουµε ότι έχουµε να επιλέξουµε για ένα πρόβληµα Π από τους εξής τρεις αλγόριθµους:
Ο αλγόριθµος Α λύνει ένα στιγµιότυπο µεγέθους n επιλύοντας αναδροµικά δύο υποπροβλήµατα
µεγέθους 2n/3 και συνδυάζοντας τις λύσεις σε γραµµικό χρόνο.
Ο αλγόριθµος Β λύνει ένα στιγµιότυπο µεγέθους n επιλύοντας αναδροµικά δύο υποπροβλήµατα
µεγέθους n/3 και συνδυάζοντας τις λύσεις σε χρόνο (n2
)
Ο αλγόριθµος Γ λύνει ένα στιγµιότυπο µεγέθους n επιλύοντας αναδροµικά εννιά υποπροβλήµατα
µεγέθους n/9 και συνδυάζοντας τις λύσεις σε χρόνο 2n
Ποιοι είναι οι ασυµπτωτικοί χρόνοι εκτέλεσης για κάθε ένα από τους τρεις αλγόριθµους και ποιον θα
επιλέγατε µε βάση την ασυµπτωτική του πολυπλοκότητα.
Άσκηση 7
Να εξετάσετε αν ισχύουν τα ακόλουθα:
)(logloglog.4
)(5.3
)2(3.2
)4(3.1
2
nnn
nnn
nn
nn
Ο=+
Ω=++
Ω=
Θ=
