初版，最後小節還沒處理完，要去休息放鬆了。

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
6 萬有引力
2021/8/27
本章簡介
長久以來人類對於為什麼停留在地球上、月亮為什麼繞著地球及
天體的運行，都有各種「有趣」解釋。然而只有牛頓真正對這個
現象做出正確解釋。
現在，我們已經知道這些現象背後的原因是重力-也是宇宙中最
神秘結構-黑洞的根本原因。
藉由對萬有引力的發展歷史來引出大家對宇宙組成要素有最基本
的概念。
相關版權說明：
 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
萬有引力
高中物理

2. 6 萬有引力
6-2
REVIEW AND SUMMARY

3. 6.1 萬有引力定律
6-3
6.1 萬有引力定律
萬有引力 Universal Gravitational Force
1.起源：蘋果落下不偏向，也不向上；月亮為什麼不會掉下
呢？
圖 6-1 牛頓的林肯郡住家，他在這裡研究微積分、光學、力學、天文學，
奠定他在科學史上的定位。
2.定義：
 任一兩質點(均勻球體)之間都會互相 吸引
 吸引力的量值與兩質點的質量乘積成 正比 ，和它們之
間的距離成 平方反比 的關係。
1 2
2
m m
F G
r
= (6.1)
 萬有引力常數 11 2 2
6.67 10 Nm / kg
G −
= × 在牛頓死後約 110
年，由卡文狄希(Henry Cavendish)以扭秤實驗計算出來
3.性質：
 引力是指向均勻球體的質心
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道萬有引力是宇宙中的四
種基本交互作用力之一
2. 理解萬有引力的量值與兩質
點之間的質量及距離有關。
3. 能畫出某質點受到某物體的
萬有引力的力圖
4. 能夠找出某一質點受到的多
個萬有引力作用的合力。
圖 6-3 PhET 萬有引力模擬動畫，
https://bit.ly/3kAidne
圖 6-2 萬有引力是連心力，更滿足
牛頓第三運動定律

4. 6 萬有引力
6-4
 作用範圍極大。例如：太陽吸引冥王星繞太陽運行。
 不需要與物體接觸，就有作用。例如：地球吸引人造衛
星，不需接觸。
 在相同比例條件下，與庫侖靜電力相比，重力是非常微弱
 萬有引力(又稱重力)遵守向量加法
4.萬有引力的應用：當考慮對行、衛星系統而言(或更大的範
圍)，因為討論距離遠大於星體體積，所有星體都可視為質
點。
 證實克卜勒行星運動定律，給予理論的基礎(稍後說明)
 解釋天文學的雙星運動
 解釋潮汐現象：海水受月球的萬有引力而有漲落潮之現象
圖 6-6 地球潮汐(藍色)主要受球引力而產生。
球體內部的重力狀況
均勻球殼對球殼內的任一位置的質點所產生的萬有引力為 零
簡易推論：
錐面質量各為 m1 與 m2，對應的面積 A1 與 A2
2 2 2
1 1 1 2 2
4
4
A r r A r
θ
π θ θ
π
∆
= × = ∆ = ∆
；
質量比為
2 2
1 2 1 2 1 2
: : :
m m A A r r
= =
兩錐面對質點的吸引力彼此抵銷
1 2
1 2 2 2
1 2
: : 1:1
Gm m Gm m
F F
r r
= =
可推論整個球殼對該質點產生的吸引力(合力)=0
質心
圖 6-5 雙星繞質心旋轉。
圖 6-4 PhET 重力與軌道的模擬動
畫，https://bit.ly/3DuIRGu

5. 6.1 萬有引力定律
6-5
答：約2:1
類題：60 kg的人若站在另一個星球上，這個星球的半徑是地
球半徑的1/2，質量是地球質量的1/3，他受這星球重力多大
答：800 N 約 2:1
答:9:7
據報導,最近在太陽系外發現了首顆“宜居”行星，其質量約
為地球質量的 6.4 倍，一個在地球表面重量為 600 N 的人在這
個行星表面的重量將變為 960 N，由此可推知該行星的半徑與
地球半徑之比約為
基本題
例題
如圖所示，在距一質量為 M、半徑為 R、密度均勻的球體 R 處
有一質量為 m 的質點，此時球體對質點的萬有引力為 F1.當從
球體中挖去一半徑為 的球體時，剩下部分對質點的萬有引
力為 F2，求 F1:F2
重力的向量和-非規則形物體
例題
m
B
O
2R
R

6. 6 萬有引力
6-6
答：(1)
2𝐺𝐺𝑚𝑚1𝑚𝑚(𝑅𝑅2+𝑑𝑑2)
[𝑅𝑅2−𝑑𝑑2]2 (2)
𝐺𝐺𝑚𝑚1(2𝑚𝑚)
𝑅𝑅2
類題：四個質點排在正方形的角上，如圖所示，則圖中對角線
交點 O 處放置質量為 M 物體，該物體的重力大小？ 答：
2
2GmM
L
HD 188753 是一個三星系統，位於天鵝座，也是迄今唯一發現
有行星運行的三星系統。該系統的主星質量約為太陽的 1.06
倍，而兩顆伴星的總質量則為太陽的 1.63 倍，它們互相繞對
方公轉，而該雙星系統也繞著主星公轉。假設主星質量為 m1
與兩個伴星質量為 m，彼此距離為 2d。主星 m1 與兩顆伴星 m
物體的質心距離為 R，則如兩圖所示，雙 m 系統與 m1 的萬有
引力各為何？若當 d << R 時，萬有引力為何？
重力的向量和(閱讀素養應用)
例題

7. 6.1 萬有引力定律
6-7
答：(1)𝐹𝐹 =
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺
(𝑅𝑅2+𝑥𝑥2)3/2
(2)0 (3) SHM 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�
𝑅𝑅3
𝐺𝐺𝐺𝐺
類題：兩物質量都是 M，固定且相距 2d，另一小質點 m，放在
二固定 M 的垂直平分線上，距兩物之中點為 x，m 會受到二個
M 的萬有引力而來回運動。當 x <<d 時，此時運動為 S.H.M，
求週期。
答：𝑇𝑇 = 𝜋𝜋�
2𝑑𝑑3
𝐺𝐺𝐺𝐺
很多行星(木星、土星、天王星)都是被無法形成衛星的小物質
形成的圓環包圍，此外，宇宙中類似的環狀結構也不在少數。
讓我們假設均勻的細圓環半徑為 R，質量為 M，在中心軸上距
環中心 x 處有一質點 m，則：
(1) m 受的引力 F 的大小為何？
(2)當 m 落下經環心 O 瞬間受力 F 的大小為何？
(3)若 R >
> d，則 m 會做何種運動？
綜合運用-簡諧運動與萬有引力【進階題】
例題
來自 Principles of physics 9/e

8. 6 萬有引力
6-8
卡文迪西實驗 CAVENDISH EXPERIMENT
G 為萬有引力常數，是一個普遍性的常數，不受時間地點而
改變。測量 G 的方法則由卡文迪西在 1798 年經由實驗測
得，實驗裝置簡圖如下
實驗方式：
 以兩等重的大鉛球(質量 M )置於兩小鉛球(質量 m )旁 ，
M 和 m 的吸引使扭線扭轉一小角 ∆θ，此時 M 和 m 距
離 R。
 由反射光線的角度變化，計算出扭轉的角度∆θ。
 由絲線的平均扭角 ∆θ 及扭線對扭轉的彈性係數，可計算
出 M 與 m 的吸引力，代入公式即可得 G 值
G=6.67×10-11
m3
/kg.s2
測得重力常數 G 之後，再加上地表附近的重力加速度資料，
就可推得地球質量約為5.97 × 1024
kg
參考資料
1.Wiki, http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
2.邱韻如,前人的足跡,
3.科學教授，故鄉出版社。
4.郭奕玲、沈慧君著：物理學演義，凡異出版社。
圖 6-7
當年 Cavendish Experiment 的裝置圖
From: Henry Cavendish

9. 6.2 地表的重力與重力加速度
6-9
6.2 地表的重力與重力加速度
場(Field)
1.當某些物體(或現象)出現時，會在它們四周的空間裡造成某
些影響，場即代表這些影響。
 場就是一種空間的分布，場可以是向量，也可以是純量
 純量場：溫度 等溫線 ，壓力 等壓線 ，高度 等
高線
 向量場： 重力場 、 電場 、 磁場
萬有引力、電力及磁力等超距力藉由 場 的觀念分布在空
間之中（包含真空）
，進而影響進入該區域的相關物質。
重力場與重力加速度
1.重力場(Gravitational field)：任一具有質量的物體會在空間中
建立特定效應，另一物體進入此空間中則受到萬有引力牽
引，此【空間】又稱為重力場。
定義：某個位置的單位質量所受的重力。SI 單位：N/kg
F
g
m
=


(6.2)
2.重力加速度(Gravitational acceleration)：質量為 m 的物體置於
地球重力場(或任意星體)，會受到重力作用而產生加速度，
其量值如下。
2
F GM
g
m r
= = (6.3)
3.性質：
 在地表附近，重力加速度可視為定值，與高度無關。
說明：
表格 6-1 重力加速度與高度關係
高度(km) g值(m/s2
)
一般地表 0 9.83
喜馬拉雅山 8.8 9.80
熱氣球最大高度 36.6 9.71
同步衛星 35700 0.225
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分 g 與 G 的差異
2. 理解【重力場】的概念
3. 計算均勻天體對任意位置形
成的重力加速度
4. 理解地表附近的重力加速度
g 為什麼可視為定值
圖 6-8 (a)測試物質的質量𝑚𝑚增為兩
倍，重力也會變大兩倍，可發現
𝐹𝐹
⃑/𝑚𝑚只與場源物質質量𝑀𝑀及 P 點到
場源物質的距離 r 有關。(b)質量 M
的物體在空間形成重力場。
𝑀𝑀
P
𝑟𝑟
𝑔𝑔
⃑
𝐹𝐹
⃑
𝑀𝑀
𝑚𝑚
𝑟𝑟
P
𝑀𝑀
𝑟𝑟
2𝐹𝐹
⃑
2𝑚𝑚
P
(a)
(b)

10. 6 萬有引力
6-10
 屬於向量，具有疊加性。
說明：當空間有數個具有質量的物體，分別建立各自的
重力場
 均勻球體的重力加速度分布
圖 6-10 重力場強度與地心距離關係圖
答：1:3600
類題：某星球之質量為地球的 5 倍，其半徑為地球之半，且密
度均勻。則此星球之重力加速度為地球表面重力加速度幾倍？
答：20
已知月球中心和地球中心的距離大約是地球半徑的 60 倍，則
月球繞地球運行的向心加速度與地球表面上的重力加速度的
比為何?
重力加速度【基本題】
例題
P
圖 6-9 重力疊加需考慮向量法則

11. 6.2 地表的重力與重力加速度
6-11
答：(1)
𝐺𝐺𝐺𝐺
𝑟𝑟2
−
1
2
𝐺𝐺𝐺𝐺
(2𝑟𝑟−𝑅𝑅)2
，方向向左 (2)
𝐺𝐺𝐺𝐺
2𝑅𝑅2
，方向向左
類題：O 為地球 ( 質量 M ) 的球心，在地表 A 點 ( 如附圖 )
的重力場強度為 g，今若內切去質量
1
64
的圓球 ( 斜線部分 )
移去，則 A 點的重力場強度變為原來若干？ 答：
195
196
𝑔𝑔
質量 M、半徑 R 的鐵球，挖去直徑 R 的內切圓球部分，如附
圖所示，挖去部分的球心為 B，則剩餘部分對於(1)與原球心
相距 r 的 A 點 (2)在 B 點所產生的重力加速度強度量值各為
多少??
非球體物質的重力加速度【進階題】
例題

12. 6 萬有引力
6-12
1. 某行星其平均密度與地球相同，半徑則為地球之 2 倍，在
地球上 64 公斤的人到該星球上時，其體重為多少公斤
重？
2. 四個質點排在正方形的角上，如圖所示，
則圖中對角線交點 O 處的重力場強度為
何？
3. A 與 B 兩星球之半徑比為 2：1，密度比
為 1：3，則兩者表面之重力加速度比為
若干？
4. 假設地球為均勻球體，又假設地球保持現有的密度不改
變，半徑縮小一半，則地球上物體的重量變為原來的幾
倍？
大考試題觀摩
5. 將萬有引力常數當作已知，則從下面哪些選項中的兩個數
據，就可以估計出地球的質量? (A)地球與同步衛星間的
距離，地球的自轉周期 (B)人造衛星的運動速率，人造
衛星的周期 (C)人造衛星與地球間的距離，人造衛星的
周期 (D)地球繞太陽運轉的周期，地球與太陽間的距離
(E)月球繞地球運轉的周期，月球與地球間的距離。[96.指
定科考]
6. 若有一行星繞著恆星S作橢圓軌道運動
，
則下列有關行星在
右圖所示各點的加速度量值的
敘述，何者正確？ (A)所有點
都 一 樣 大 (B) 點 A 處 最 大
(C)點B與點F處最大 (D)點C
與點E處最大 (E)點D處最
大。[98.指定科考]
練習題答案
1. 128 kgw 2.
2𝐺𝐺𝐺𝐺
𝐿𝐿2
3. 2:3 4. 1/2 5. ABCE 6. B
課後 練習題

13. 6.3 行星與衛星運動
6-13
6.3 行星與衛星運動
科學家對太陽系的了解
1. 西元二世紀時，托勒密認為地球是宇宙的中心，提出「地心
說」
。
2. 十六世紀哥白尼提出「日心說」
，認為太陽才是宇宙的中
心，建構了現在所認識的太陽系
3. 克卜勒利用第谷所遺留給他的大量有關行星運動的精確數
據，發現了行星運動的規律，稱為克卜勒定律(Kepler's Laws
of Planetary Motion) 天文立法者
 1609 年，發表行星運動第一定律與第二定律
 1619 年，發表行星運動第三定律
4. 牛頓發現了萬有引力定律，從理論上直接的導出了克卜勒定
律。牛頓證明了天體運動和地面物體的運動都遵守同樣的力
學定律。
克卜勒行星運動定律(Kepler’s laws of planetary motion)
1.第一定律：行星在以太陽為 焦點的橢圓形軌道運行。
 橢圓軌方程式
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = (6.4)
圖 6-11 (a)克卜勒第一定律示意圖 (b)橢圓軌道的數學概念：a 是半長軸，b 是半短軸，
c 稱為焦距，其中 𝑎𝑎2
+ 𝑏𝑏2
= 𝑐𝑐2
；F1、F2 為橢圓的雙焦點。
2.第二定律：同一行星與太陽的連線在相同時間間隔內，掃過
相同的面積。
1 2
1 2
A A
t t
= = 定值 (6.5)
由近日點移動到遠日點，速率逐漸 減少
由遠日點移動到近日點，速率逐漸 增加
遠日點
太陽
近日點
(b)
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 以萬有引力驗證克卜勒的行
星運動定律。
2. 理解克卜勒第二定律是角動量
守恆的應用
3. 應用克卜勒定律處理衛星的繞
行周期和半徑與軌道上天體質
量之間的關係。
A1
A2
A1
A2
=
para tiempos iguales
圖 6-12 克卜勒第二定律示意圖

14. 6 萬有引力
6-14
3.第三定律：不同行星距太陽的平均距離 R 的立方與行星繞太
陽週期 T 的平方之比值皆相同。
3 3
1 2
2 2
1 2
R R
T T
= = =
 定值 (6.6)
軌道為橢圓：R 為行星的遠日點距離與近日點距
距離的算術平均數 ( )
max min
1
2
R r r
= +
軌道如為圓形，則 R = 圓的半徑。
第三定律是不同行星對同一被繞星球間的比較
行星 公轉週期(yr) 平均公轉半徑(AU) T2/R3
Mercury 0.241 0.39 0.98
Venus 0.615 0.72 1.01
Earth 1.00 1.00 1.00
Mars 1.88 1.52 1.01
Jupiter 11.8 5.20 0.99
Saturn 29.5 9.54 1.00
Uranus 84.0 19.18 1.00
Neptune 165 30.06 1.00
Pluto 248 39.44 1.00
以太陽系諸行星來看，可知平均軌道半徑越小，其行星週
期越 小 、速率越 大 、加速度越 大
確立以太陽為中心的行星運動學說
克卜勒行星運動定律可視為牛頓導出萬有引力定律的根據
說明：
同步衛星

15. 6.3 行星與衛星運動
6-15
天體運動的運動特徵
1.衛星質量 m，以軌道半徑 r 繞質量 M 的行星作等速率圓周
運動
2.同步衛星(synchronous satellite)：在地球靜止軌道(geostationary
orbit,GEO)繞地球公轉的人造衛星，用於通訊、電視廣播、天
氣預測及國防應用。
 週期：與地球自轉同步，週期為 86400 秒 。
 位置：恆停留於赤道上空約 3 萬 6 千公里 。
 相對於地球來說，軌道型態為 圓形
 中新一號(退役)、中新二號由中華電信、新加坡電信共同
投資的以通訊為主的商業衛星。
3.繞極衛星(Polar-Orbiting satellite)：在每次環繞地球的圓周運動
中都從兩極上空經過的人造衛星，用於地球繪測、遙測、偵察
等。
 週期、位置：由任務決定。
 相對於地球來說，軌道型態可以是 圓形 或 橢圓
形 。
 福爾摩沙衛星五號、福爾摩沙衛星五號屬於此類衛星，用
於光學遙測、全球氣象預報、氣象變遷研究、及電離層動
態監測等科學用途。
圖 6-15 衛星遙測的成像圖，可用於海岸變化、板塊等
繞極衛星
同步衛星
(a)
(b)
圖 6-14 (a)常見的人造衛星 (b)繞極
衛星繞地球一圈後，在地表呈現的
軌跡。
圖 6-13 人造衛星繞地球做等速圓
周運動

16. 6 萬有引力
6-16
4.雙星(Binary star)又稱聯星，是兩顆恆星各自在軌道上環繞著
共同質量中心的恆星系統，較亮的一顆稱為主星，而另一顆
稱為伴星、伴隨者，或是第二星。
 獨立系統的兩個星球，彼此以萬有引力為向心力，繞共同
質心旋轉
 觀測與確認雙星運動的方式： 亮度變化週期 、 光譜
分析 。
圖 6-18 從地球視角觀測的雙星運動模式與亮度變化關係圖
亮
度
時間
質心
圖 6-16 雙星繞質心旋轉。
天樞
天璇
天璣
天權
玉衡
瑤光
開陽
圖 6-17 北斗七星是由大熊座的七
顆明亮的恆星組成，在北天排列成
斗（或勺）形。開陽是位在北斗的
斗柄尾端第二顆星，實際上是六合
星系統(三組雙星)

17. 6.3 行星與衛星運動
6-17
答：8 年
類題：假定火星和太陽的平均距離與地球和太陽的平均距離的
比為 3:2，求(1)火星繞太陽一週的時間需要多少年？(2)火星與
地球的公轉切線速率比為多少？ (3)火星與地球的公轉角速率
比為多少？ (4)火星與地球和太陽的連線在單位時間掃過面積
比為多少？ 答： 3/2 1/2 3/2 1/2
3 3 3 3
(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)( )
2 2 2 2
− −
答案：
2 3 2 2 2
2 2 2 2
4 4 4 400
(1) (2) (3) (4)
r r mr r
GT T T T
π π π π
類題：半徑比為 1：2 之兩行星 A 與 B，分別有一表面衛星 a
土星與地球質量比約 100：1，半徑比約 10：1，軌道半徑比 4：
1，則土星上的一年約相當於地球上的______年。
克卜勒行星運動第三定律【基本題】
例題
一行星之旁有一質量為 m 的小衛星繞其轉動，軌道半徑為
r，週期為 T。試求：(1)此行星的質量。(2)衛星向行星的加速
度。(3)衛星所受行星的引力。(4)若行星的半徑為衛星軌道的
十分之一，則此行星表面的 g 值若干？
行星運動與萬有引力-基礎題
例題

18. 6 萬有引力
6-18
與 b，若兩衛星之公轉週期比為 1：4，則 A 與 B 之密度比為?
答：16：1
類題：假設地球半徑為 R，其質量為 M，又自轉週期為 T。則永
遠停留在地球赤道某處上空之人造衛星，距離地球表面之高度
為多少？答： R
GMT
−
3
1
2
2
)
4
(
π
類題：甲、乙兩衛星分別環繞地球作等速率圓周運動，已知兩
者的週期比值為 T1:T2=27，則兩者的速率比值為若干？
答：1/3
答：
6
9
T
設地球半徑為 R
，
一太空船以半徑 3R 的圓軌道環繞地球運轉
，
其週期為 T。現太空船欲返回地球，可在其軌道上某點 A 將
速率降低至某適當數值，然後使太空船沿著以地心為焦點的橢
圓軌道運行，此橢圓軌道與地表相切於 B 點，如右圖。太空
船由 A 至 B 需時 多少？
綜合運動-克卜勒行星運動第三定律【進階題】
例題
原軌道
A
B

19. 6.3 行星與衛星運動
6-19
答：
2 3
4 ( )
R h
L
T g
π +
=
例題7.：雙星運動-相關特徵
外太空中，有相距 d，質量分別為 m1 及 m2 的雙星，在同一平面
上互繞其共同的質心做等速圓週運度，試求各星球的
偵察衛星在通過地球兩極上空的圓軌道(經線)上運行，它的
運行軌道距地面的高度為 h，要使衛星在一天的時間內將地
面上赤道各處在日照條件下的情況全都拍攝下來，衛星在通
過赤道上空時，衛星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周
的弧長是多少？已知地球的半徑為 R，地面處的重力加速度
為 g，地球自轉的週期為 T 。
人造衛星運動-進階應用
例題

20. 6 萬有引力
6-20
(1)軌道半徑 (2)受力 (3)加速度 (4)速度 (5)週期
解：
答：(1) 1 2
2 1
1 2 1 2
m d m d
r r
m m m m
= =
+ +
(2) 1 2
2
m m
F G
d
⋅
=
(3) 2 1
1 2
2 2
m m
a G a G
d d
= = (4)
1 2 2 1
1 2 1 2
( ) ( )
G G
v m v m
d m m d m m
= =
+ +
(5)
3
1 2
1 2
2
( )
d
T T
G m m
π
= =
+
類題：質量為 m 與 3m 的 A、B 兩恒星成一雙星系統，與外界
獨立無關。兩星相距 d 則：(1)A 星環繞的週期為何？ (2)B 星
的軌道速率為何？ 答：(1)π
3
d
Gm
(2)
2
m G
d m
．
課後 練習題

21. 6.3 行星與衛星運動
6-21
1. 一行星之旁有一質量 m 的小衛星繞其轉動，軌道半徑
r，週期 T。求 (1) 此行星質量 (2) 衛星向行星之加速
度 (3) 衛星所受行星之引力 (4) 若行星的半徑為衛星軌
道半徑的 1/10，則此行星表面的重力加速度為若干？
2. 史波泥克一號衛星軌道為橢圓，已知該衛星離地最小高度
為 228 km，最大高度為 947 km，求此衛星的週期。
3. 若地球密度加倍，半徑不變，則繞轉地球的衛星在原來軌
道上的 (1)軌道速率 (2)運轉週期 (3)所受引力 (4)向心加
速度各變為原來幾倍？
4. 假設萬有引力與兩物體間距離立方成反比，則 (1) 繞地
球運轉的人造衛星與軌道半徑的關係為何？ (2) 繞星球
表面的人造衛星，其週期與星球半徑關係為何？ (星球密
度一定 )
5. 設有一行星之半徑 500 km，表面重力加速度為 3 m/s2
，則
此行星所有可能衛星中，最小的週期約幾分鐘？
6. 土星與地球質量比 100 : 1，半徑比 10 : 1，軌道半徑比 9 :
1，則(1) 土星一年相當地球上幾年？ (2) 若一太空人在
地球上的重量為 70 kg，則在土星上的重量為若干 ?
7. 設宇宙間另有一星球的質量、密度都和地球一樣，則 (1)
當兩球熔成一新地球後，密度不變 (2) 若兩球熔成一新
地球後，體積與地球相等 (3) 若兩球熔成一新地球後，
密度變為原來 1/4；求地表之重力場強度各變為原來倍？
8. 同步衛星繞地球運行時，相對於地面某處而言是靜止於空
中的，則下列何者正確？ (A) 衛星不受地球引力的作用
(B) 衛星仍受地球引力的作用 (C) 衛星受何力為零 (D)
衛星受到一對大小相等方向相反的力作用。
9. 宇宙邊際有一星球，其半徑為 r，距其表面 3r 處有一衛
星繞其旋轉，週期為 T，則此被繞星球之密度可推測為若
干？
10. 兩行星密度比為 d1：d2，則其表面衛星週期比為何？
11. 地球繞日運動時，近日點與太陽相距為 r、運行速度為
v，若太陽的質量為 M，則地球繞日的橢圓軌道於近日點
處的曲率半徑為何？
12. 兩個繞地球作等速圓周運動之人造衛星，其軌道半徑比為
4：9，則在軌道上運轉之 (1)速率比 (2)向心加速度量值
比各若干？
13. 某行星之半徑為地球之兩倍，密度為地球之 3 倍，求其表
面運行的衛星與地球表面人造衛星的 (1)週期比 (2)速率
比 (3)向心加速度量值比。

22. 6 萬有引力
6-22
14. 若繞日運轉之行星，其軌道平均半徑的立方與週期平方之
比值為 K，而萬有引力常數為 G，則太陽質量為何？
歷屆考題
15. 如右圖所示，甲、乙兩人造衛星以圓形軌道繞地球運
轉，假設運行的軌道在同一平面上，且運行的方向相
反。甲衛星發現每隔 1/9 週期會與乙衛星相遇（即
甲、乙兩衛星與地球恰在一直線上且在地球同側）
，
若忽略甲、乙兩衛星間的作用力，則甲、乙兩衛星軌
道半徑之比為何？ (A) 1：4 (B) 1：2 (C) 1：1 (D)
2：1 (E) 4：1。 [95.指定科考]
16. 假設有一星球其密度為地球的 a 倍，其半徑為地球的 b
倍，下列敍述何者正確？ (A)該星球質量為地球的 3
ab 倍
(B)該星球表面之重力加速度為地球的 ab 倍 (C)自該星
球表面之脫離速度為地球的 a b 倍 (D)同一單擺在該星
球表面上小角度擺動的頻率為地球的 ab 倍 (E) 自該星
球表面上以相同初速及仰角拋射之質點， 其水平射程為
地球的 ab 倍。 [95.指定科考]
17. 將萬有引力常數當作已知，則從下面哪些選項中的兩個數
據，就可以估計出地球的質量? (A)地球與同步衛星間的
距離，地球的自轉周期 (B)人造衛星的運動速率，人造
衛星的周期 (C)人造衛星與地球間的距離，人造衛星的
周期 (D)地球繞太陽運轉的周期，地球與太陽間的距離
(E)月球繞地球運轉的周期，月球與地球間的距離。 [96.
指定科考]
18. 設人造衛星以半徑 r 繞地心作圓軌道運動，令地球的質量
為 M，萬有引力常數為 G，則人造衛星與地心的連線，在
單位時間內所掃過的面積為下列哪一項？
(A)
1
4
GMr (B)
1
2
GMr (C) GMr (D) 2GMr
(E) 4GMr 。 [98.指定科考]
19. 甲行星的質量是乙行星的 25 倍
，
兩衛星分別以半徑為 甲
R 、
乙
R 的圓軌道繞行甲、乙兩行星。若 4
/ =
乙
甲 R
R ，則兩衛星
分別繞行甲
、
乙兩行星的週期之比值 乙
甲 T
T / 為何？ (A) 6.25
(B) 2.5 (C) 1.6 (D) 0.4 (E) 0.16。[99.指定科考]
20. 已知某行星自轉週期為 T，半徑為 R。環繞它的某一衛星
地球

23. 6.3 行星與衛星運動
6-23
之圓軌道半徑為 32R，繞行週期為 8T。則環繞該行星運
行的同步衛星，其圓軌道半徑應是多少？(A) 16R (B) 8R
(C) 4R (D) 8R (E) 2R 。[100.指定科考]
練習題答案
1. (1) 2
3
2
4
GT
r
π
(2) 2
2
4
T
r
π
(3)
2
2
4 rm
T
π
(4) 2
2
400
T
r
π
2. 96.5 min
3. (1) 2 (2)
2
2
(3) 2 (4) 2 4. (1) V．R = 定值 (2) T 與 R 成
正比 5.約 43 分 6. (1) 27 年 (2) 70 kg 7. (1) 2
3 (2) 2
(3) 1/2 8. (B) 9. 2
192
GT
π
10. 2 1
:
d d 11.
( )
2
rv
GM
12.
(1)3：2 (2)81：16 13. (1)1： 3 (2)2 3 ：1 (3)6：1 14.
2
4 k
G
π
15. E 16. ABD 17. ABCE 18. A 19. C 20. B
天鵝座 X-1 物理學家史蒂芬•霍金和基普•索恩的科學賭局
天鵝座 X-1(簡稱 Cyg X-1)是一個銀河系內位於天鵝座的雙星系
統，是著名的 X 射線源，屬於高質量 X 射線聯星。而高質量 X
射線聯星的伴星是一顆緻密星，主星為大質量恆星(多數高於 10
倍太陽質量)而 X 射線輻射則主要由伴星(緻密星,是白矮星、中子
星、奇特星、黑洞等一類緻密天體的總稱)所貢獻。
天鵝座 X-1 是最先被廣泛承認為黑洞的候選星體，也是同類星體
中最受研究關注的。
1990 年霍金讓步，因爲觀測證據顯示這個系統中存在著引力奇
點。
截至 2006 年，人們已經在銀河系內發現了超過 300 個 X 射線聯
星。
From:Wiki(中文)，時間簡史(中文版)
老師的忠言
請你：
課堂中專心聽講，下課仍有疑問，
需向老師請教，不可敷衍自己。
學習任何事情，都會有不耐煩的心
裡，現在必須有「耐煩」的心。

24. 6 萬有引力
6-24

25. 6.3 行星與衛星運動
6-25
科學故事：為什麼是【距離平方反比】
在牛頓之前，運動學有兩支：一是天上的，由 Kepler 的三個運動
定律所統攝；一是人間的，是 Galileo Galilei 所描述的落體運動。牛頓
自大學畢業後斷斷續續探索運動學的問題，一直到 1684 年才確立了萬
有引力的想法與計算公式。
為什麼 知道 萬有引力是 向心的??
如圖一，假定經過一秒鐘後，行星從 P0 走到 P1。假定太陽 S 並沒
對行星施以任何力量，則根據 Galilei 的慣性原理，行星會繼續走直線等
速運動。因此在下一秒鐘，從 P1 走到 P2 的距離 P1 P2 與 P0 P1 相
等。 兩三角形 ΔSP0 P1 與 ΔSP1 P2 因為等底等高，所以面積相等，
亦即面積律成立。
然而行星並不走直線。如圖二，假定第二秒鐘，從 P1 走到 P'2，
則行星改變的方向為 P2P'2；由於克卜勒第二定律-等面積定律， 則
ΔSP1 P'2 與ΔSP0 P1 相等，也因此與ΔSP1P2 相等。所以 P2 P'2 與 SP1 平
行，因此得到引力是向心的結論。 反之，若假定了向心力，則 P2 P'2
與 SP1 平行， 因此ΔSP1P'2 與ΔSP1 P2 相等，也因此與ΔSP0P1 相
等，故得面積律。因此 解決了太陽的引力是向心的（即指向太陽）
解決了引力的方向，牛頓想要決定引力的大小。牛頓做了粗略的估
計如下：行星運行的軌道大致為圓形，半徑大約為 R。運動大致是等速
的，其角速度假定為 𝜔𝜔，則向心力為𝑚𝑚𝑚𝑚𝜔𝜔2
， m 為行星的質量。但因
𝜔𝜔𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 ，而且 T2/R3=k 為定值－Kepler 的第三運動定律（週期律）
，
所以
𝑚𝑚𝑚𝑚𝜔𝜔2
=
4𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑘𝑘𝑅𝑅2
牛頓猜出了平方反比律：引力的大小與距離的平方成反比。後續還
有他個人發展的微積分配合，才讓他解決原本理論中的矛盾，於是他開
始編寫《自然哲學的數學原理》一書，並於 1687 年（七月五日）出
版。
參考資料
1.曹亮吉,自然哲學的數學原理
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_18_07_1/
2.姚珩,田芷綾, 萬有引力平方反比律來自於橢圓律還是週期律, 科學教育
月刊 第 332 期 中華民國九十九年九月
http://phy.ntnu.edu.tw/~yao/newton-gravitation.pdf