More Related Content
Similar to 臺灣高中數學講義 - 第一冊 - 數與式 (20)
臺灣高中數學講義 - 第一冊 - 數與式
- 2. 數與式: 教育部課綱
數與數線
數線上的有理點及其十進位表示法
實數系, 實數的十進位表示法
四則運算、絕對值、大小關係
乘法公式、分式與根式的運算
數線上的幾何
數線上的兩點距離與分點公式
含絕對值的一次方程式與不等式
- 3. 大綱
1 – 1: 數與數線
1 – 2: 根式的運算
1 – 3: 數線上的幾何
- 4. 大綱
1 – 1: 數與數線
1 – 2: 根式的運算
1 – 3: 數線上的幾何
- 5. 整數
正整數 = 自然數 = {1, 2, 3, … } = ℕ = ℤ+
說明:
例如1,2,3, …, 100, 10000 等等這些數字, 都是正的整數, 稱之為正整數(positive
integers), 別名為自然數(natural numbers)
一般常用ℕ = ℤ+ = {1,2,3, . . . } 表示正整數所形成的集合(Set), 可以將「集合」理
解為「收集了一些數字的抽象籃子」, 注意集合的表示一定要用大括號 { }
負整數 = {-1, -2, -3, … } = ℤ−
整數 = 負整數 + 零 + 正整數 = {…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } = ℤ− ∪ { 0 } ∪ ℤ+ = ℤ+
說明:
一般常用ℤ去表示整數的集合, 上述符號∪稱為「聯集」(union)
- 6. 有理數
有理數(rational numbers)的定義:
如果𝑥可以被表示成 𝑥 =
𝑚
𝑛
, 其中𝑚. 𝑛皆為整數(𝑚, 𝑛 ∈ ℤ), 則我們稱𝑥為有理數
例如:
1
3
,
2
5
,
−7
1000
, 這些都是有理數
我們用ℚ這個符號來代表有理數所形成的集合
按照這個定義, 可以推論出所有整數也都是有理數, 用數學式表示的話, 就是𝑍 ⊂ Q,
讀作「整數被包含於有理數」, 也可以說「整數是有理數的子集合」
所有循環小數(例如0.333 … = 0. 3)都是有理數 (見例題1)
所有的有理數都能夠用尺規作圖的方式, 將它的長度在紙張上表示出來 (見下頁)
這符號讀作”屬於”
- 7. 有理數作圖
有理數的尺規作圖法 (增長知識用, 很少拿來考試) :
假設已給定OA, 假設它長度正好1公分。
那麼我們該怎麼做出
𝑚
𝑛
這個數字呢?
1. 我們以O點為原點, 畫出直線L (方向隨意,能畫出下圖即可)
2. 尺規作圖, 作出B點與D點, 使得OB: OD = 𝑚: 𝑛
3. 連接AD, 過B作AD之平行線,交OA於P點
4. OB: OD = OP: OA ⇒ OP =
𝑚
𝑛
∙ OA =
𝑚
𝑛
OP即為所求
- 8. 無理數
無理數(irrational numbers)的定義: 在數線上, 不是有理數的點, 就稱為無理數
例如: 2, 3, 圓周率𝜋, 自然對數𝑒,…
注意: 根據這個定義, 如果我們要宣稱某個數x為無理數, 我們就要去證明x不是
有理數, 也就是x不能被用”整數相除”的形式表達出來
一般來說, 要證明一個數是無理數是很困難的, 事實上, 有相當多的數我們還無
法證明它是有理數或是無理數, 例如𝜋 + 𝑒, 𝜋 − 𝑒, 𝜋 2,等等
有些無理數可以由尺規作圖做出來(例如:利用直角三角形的斜邊, 我們就能畫
出 2), 但大部分的無理數是無法畫出來的
想像我們在數線上把所有的有理數都標記出來, 做完這件事我們會發現, 數線上還有
很多點沒有被標記到, 這些點就叫做無理數
- 9. 關於無理數的重要定理
定理1: 設𝑛, 𝑘為正整數, 𝑘 ≥ 2,若𝑛不等於某個正整數的𝑘次方, 則 𝑘
𝑛為無理數
- 這個定理的證明不難, 但需要數論的一些知識才能做到, 有興趣的人, 可以參閱附錄
- 請注意, 我們在接下來會不斷用這個定理, 並且不會特別提醒, 例如我們會直接說 3是無理
數,
3
5是無理數,
5
11也是無理數, …等等
𝑘
𝑛表示𝑛的𝑘次方根,也就是說( 𝑘
𝑛) 𝑘 = 𝑛
定理2: 圓周率𝜋為無理數
這個定理的證明較難, 需要不少微積分的知識才能辦到, 在這裡不提供證明
- 11. 例題 - 循環小數
將下列循環小數化為分數:
(a) 0. 7
(b) 0.2134
解: (a) Let 𝑥 = 0. 7 ⇒ 10𝑥 = 7. 7
⇒ 10𝑥 − 𝑥 = 7. 7 − 0. 7 = 7
⇒ 9𝑥 = 7 ⇒ 𝑥 =
7
9
■
(b) Let 𝑥 = 0.2134 ⇒ 100𝑥 = 21. 34
⇒ 100𝑥 − 𝑥 = 21. 34 − 0.2134 = 21.13
⇒ 99𝑥 = 21.13 ⇒ 𝑥 =
21.13
99
=
2113
9900
■
藉由這個例子, 我們來看看把循環小數變成分數的
一般性方法, 注意這種方法對所有循環小數都適用,
只要把它的”精神”學起來,不需要去記任何公式
注意: 在(a)與(b)中, 我們使用的方法是一樣的,
我們只不過把𝑥中“不循環’’的部分乘上常數C,
讓C𝑥扣掉𝑥之後, “循環’’ 的部分消失,
最後再做點算術, 就得到𝑥了.
- 12. 例題 - 循環小數
設𝑎 ∈ ℤ+,
13
99
< 0.1𝑎2 <
14
99
, 求𝑎值?
解: Let 𝑥 = 0.1𝑎2
⇒ 100𝑥 = 1𝑎. 2𝑎2
⇒ 100𝑥 − 𝑥 = 1𝑎. 1 ⇒ 𝑥 =
1𝑎.1
99
⇒ 13 < 1𝑎. 1 < 14
⇒ 𝑎 = 3 ■
- 13. 例題: 無理數之大小比較
設𝑎 = 10 + 8, 𝑏 = 12 + 6, 𝑐 = 11 + 7, 試比較𝑎, 𝑏, 𝑐之大小順序?
解: 𝑎2
= 18 + 80
𝑏2
= 18 + 72
𝑐2 = 18 + 77
⇒ 𝑎2
> 𝑐2
> 𝑏2
⇒ 𝑎 > 𝑐 > 𝑏 ■
不要試著用十分逼近法求a,b,c的近似值, 太費力了
(與其那樣, 不如直接拿計算機出來按).
我們先觀察與簡化問題,
可以看到, a,b,c的平方會有共同項18,
而且平方後, 只剩一個根號, 這樣比大小就容易多了
留下一個問題給你思考:
你能不能證明𝑎2
> 𝑏2
⟺ 𝑎 > 𝑏 ?
如果你證明了這件事, 你就證明了𝑓(𝑥) = 𝑥2在𝑥 > 0的
地方為嚴格遞增函數? (實際圖表如右圖)
- 14. 例題: 無理數之大小比較
請問 6比較接近 5或 7?
這題最快的方法是用計算機(如果你有的話), 如果沒有, 可用十分逼近法暴力求解,
不過我們要練習的是怎麼不用這兩種方法解決這個問題.
我們有 5 < 6 < 7, 事實上, 𝑓 𝑥 = 𝑥在𝑥 > 0的地方為嚴格遞增函數(見上圖).
我們可以去判斷 6落在
5+ 7
2
的左邊還是右邊(見右圖),
如果在右邊, 就證明了 6比較接近 7, 否則就證明了 6比較接近 5
5 75 + 7
2
6
?
解: (
5+ 7
2
)2
− ( 6)2
=
1
2
35 − 3 < 0 (注意
1
2
35 <
6
2
< 3)
⇒ (
5+ 7
2
)2
< ( 6)2
⇒
5+ 7
2
< 6
⇒ 6落在
5+ 7
2
的右邊
⇒ 6比較接近 7 ■
- 15. 有理數運算封閉性
定理2: 設𝑥 ∈ ℚ, 𝑦 ∈ ℚ, 我們有以下兩件事實:
𝑥 + 𝑦 ∈ ℚ, 𝑥 − 𝑦 ∈ ℚ, 𝑥𝑦 ∈ ℚ
若 𝑦 ≠ 0, 則
𝑥
𝑦
∈ ℚ
證明: ∵ 𝑥 ∈ ℚ, 𝑦 ∈ ℚ ⇒ 𝑥 =
𝑎
𝑏
, 𝑦 =
𝑐
𝑑
其中a, b, c, d ∈ ℤ
⇒ 𝑥 + 𝑦 =
𝑎𝑑+𝑐𝑏
𝑏𝑑
∈ ℚ ■
這個定理是說, 給定兩個有理數, 那麼這兩個數字加
減乘除後的結果, 也會是有理數,
也就是有理數的運算是封閉在Q裡面的.
原因很簡單, 因為兩個有理數加減可以通分, 通分後
依然是”分子與分母都是整數”的形式.
這裡我們只證𝑥 + 𝑦的部分, 其餘請自行練習.
定理3: 設𝑥 ∈ ℚ, 𝑦 ∉ ℚ, 若𝑥 ≠ 0, 則𝑥 + 𝑦 ∉ ℚ, 𝑥 − 𝑦 ∉ ℚ, 𝑥𝑦 ∉ ℚ,
𝑥
𝑦
∉ ℚ
證明: 用反證法, 假設𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑄, 令 z = 𝑥 + 𝑦
⇒ 𝑦 = 𝑥 − 𝑧 ∈ ℚ (根據定理2)
與命題條件𝑦 ∉ ℚ矛盾,
所以𝑥 + 𝑦 ∈ ℚ這個假設是錯的
故我們有𝑥 + 𝑦 ∉ ℚ ■
- 這個定理是說, 給定一個不為零的有理數與一個無理數, 那麼它
們四則運算的結果一定會是無理數
- 同樣地, 我們只證明𝑥 + 𝑦的部分, 其它請自行練習.如果你是第
一次見到反證法, 請仔細想想並且試著學起這個邏輯
- 16. 無理數運算並沒有封閉性
設𝑥 ∉ ℚ, 𝑦 ∉ ℚ, 則𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 𝑥𝑦 ,
𝑥
𝑦
可能為有理數, 也可能是無理數
舉例: 𝑥 = 1 − 2, 𝑦 = 1 + 2 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 2
舉例: 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 ⇒ 𝑥𝑦 = 2,
𝑥
𝑦
= 1
換句話說, 無理數與無理數之間的運算並沒有封閉
在無理數的集合裡面.
定理4: 設a, b, c, d ∈ ℚ, 𝑥 ∉ ℚ,
則a + b𝑥 = 𝑐 + 𝑑𝑥 ⇔ 𝑎 = 𝑐且b = 𝑑
證明(⇒): a + b𝑥 = 𝑐 + 𝑑𝑥 ⇒ 𝑎 − 𝑐 = (𝑑 − 𝑏)𝑥
根據定理1, 我們有𝑎 − 𝑐 ∈ ℚ,
因此, 𝑑 − 𝑏 𝑥 ∈ ℚ
但根據定理2&3, 只有在𝑑 − 𝑏 = 0的情況下, 我們才能有 𝑑 − 𝑏 𝑥 ∈ ℚ
∴ 𝑎 − 𝑐 = 0
故得證𝑎 = 𝑐且b = 𝑑 ■
- 17. 例題: 有理數/無理數運算封閉性
設𝑎, 𝑏 ∈ ℚ, 2𝑎 − 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 2 = 3 + 4𝑎 2, 求𝑎, 𝑏 =?
解: 根據定理4, 我們有
2a − b = 3
𝑎 + 𝑏 = 4𝑎
⇒ 𝑎 = −3, 𝑏 = −9 ■
設𝑎 ∉ 𝑄, (𝑎 + 1)2
與(𝑎 − 1)2
有沒有可能同時是有理數?
解: 不可能, 證明如下
(反證法)假設(𝑎 + 1)2 ∈ 𝑄而且(𝑎 − 1)2 ∈ ℚ,
那麼根據定理2, 我們有 (𝑎 + 1)2 − (𝑎 − 1)2 ∈ ℚ,
但(𝑎 + 1)2 − (𝑎 − 1)2 = 2𝑎 ∙ 2 ∉ ℚ (根據定理2), 矛盾 ■
- 18. 例題: 有理數/無理數運算封閉性
請判斷下列兩個敍述是否正確
(a) 設𝑥9, 𝑥12 ∈ 𝑄, 則𝑥 ∈ ℚ
(b) 設𝑥7
, 𝑥12
∈ 𝑄, 則𝑥 ∈ ℚ
解: (a) 否; 𝑥 =
3
2即為反例
(b) 是, 證明如下:
𝑥7
, 𝑥12
∈ ℚ ⇒
𝑥12
𝑥7 = 𝑥3
∈ ℚ
⇒ 𝑥6 ∈ ℚ ⇒
𝑥7
𝑥6 = 𝑥 ∈ ℚ ■
- 19. 算幾不等式
定理(算幾不等式):
設𝑎, 𝑏為非負實數, 則我們有
𝑎+𝑏
2
≥ 𝑎𝑏, 其中等號在𝑎 = 𝑏的時候才會成立
證明: ( 𝑎 − 𝑏)2 ≥ 0 ⇔ 𝑎 − 2 𝑎𝑏 + 𝑏 ≥ 0 ⇔
𝑎+𝑏
2
≥ 𝑎𝑏 ■
算術平均數 幾何平均數
高中有三個重要的不等式, 這是其中之一(另外兩個是三角不等式與柯西不等式), 它們同
時也是數學上最基本的不等式
這個不等式有數個幾何上的意義, 下面的圖示是其中一個:
注意算幾不等式的形式, 我們也可以用以下這個角度檢視它:
它巧妙地建立起「兩數相加」與「兩數相乘」的關係, 透過它, 我
們得知「兩數相加」給出「兩數相乘」的上界, 而「兩數相乘」給
出「兩數相加」的下界.
- 20. 例題:算幾不等式
例題: 設𝑎, 𝑏為正實數, 且3𝑎 + 2𝑏 = 6, 求𝑎𝑏之最大值, 以及此時𝑎, 𝑏的值
解: 由算幾不等式,
3𝑎+2𝑏
2
≥ 3𝑎 ∙ 2𝑏 = 6𝑎𝑏
⇒ 3 ≥ 6𝑎𝑏 ⇒
3
2
≥ 𝑎𝑏
∴ 𝑎𝑏之最大值為
3
2
, 此時3𝑎 = 2𝑏 ⇒ 6𝑎 = 6 ⇒ 𝑎 = 1, 𝑏 =
3
2
■
這個問題也可以用𝑎 =
6−2𝑏
3
⇒ 𝑎𝑏 =
6−2𝑏
3
𝑏, 到這裡我們有𝑏的一元二次方程式, 接著再用配
方法解決問題, 但是這樣比較麻煩, 而且比較慢. 用算幾不等式解決顯然比較優雅
- 21. 廣義的算幾不等式
定理(算幾不等式):
設𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛為非負實數, 則我們有
𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎 𝑛
𝑛
≥ 𝑛
𝑎1 𝑎2 ∙∙∙ 𝑎 𝑛,
其中等號在𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎 𝑛的時候才會成立
這個定理才是算幾不等式的廣義形式, 雖然它超出高中課綱的範圍, 但我們認為
多學一點無妨.
它的證明就沒有那麼簡單, 有一個證法是透過數學歸納法, 這裡不提供證明(讀
者可能還沒有學過數學歸納法), 暫時, 我們先把這個公式拿來用.
- 22. 例題: 廣義的算幾不等式
例題: 設𝑎, 𝑏為正實數, 且3𝑎 + 2𝑏 = 6, 求𝑎3 𝑏2之最大值, 以及此時𝑎, 𝑏的值
解: 由算幾不等式,
𝑎+𝑎+𝑎+𝑏+𝑏
5
≥
5
𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 =
5
𝑎3 𝑏2
⇒
6
5
≥
5
𝑎3 𝑏2 ⇒ (
6
5
)5
≥ 𝑎3
𝑏2
∴ 𝑎3 𝑏2之最大值為(
6
5
)5,
此時𝑎 = 𝑏 ⇒ 5𝑎 = 6 ⇒ 𝑎 = 𝑏 =
6
5
■
這個問題如果用𝑎 =
6−2𝑏
3
⇒ 𝑎3
𝑏2
= (
6−2𝑏
3
)3
𝑏2
, 到
這裡我們有𝑏的一元五次方程式, 需要微積分才能再
往下分析, 但一般來說這是很難解出來的 .
相對來看, 用算幾不等式, 這問題就變得很簡單, 4
行之內就能找到答案
這題就算把目標函數改為𝑎5
𝑏7
, 𝑎8
𝑏1
, 甚至𝑎100
𝑏100
,
我們都能用算幾不等式解決問題, 你知道為什麼嗎?
- 23. 例題: 廣義的算幾不等式
例題: 設0 < 𝑥 < 1, 求𝑥2(1 − 𝑥)之最大值, 以及此時𝑥的值
解: 由算幾不等式,
𝑥
2
+
𝑥
2
+(1−𝑥)
3
≥
3 𝑥
2
∙
𝑥
2
∙ 1 − 𝑥 =
5 1
4
𝑥2 1 − 𝑥
⇒ 4(
1
3
)3
≥ 𝑥2
1 − 𝑥
∴ 𝑥2 1 − 𝑥 之最大值為
4
27
,
此時
𝑥
2
= 1 − 𝑥 ⇒ 𝑥 =
2
3
■
注意因為0 < 𝑥 < 1,這題才能用算幾不等式解決; 如果
𝑥 > 2或𝑥 < 0, 算幾不等式就不適用, 我們就只能用微
積分解決這個問題
由此也可以看出, 不同的最佳化問題會需要不同的數學
工具來處理, 不同的工具所適用的條件不一樣, 效率也
不一樣
- 24. 大綱
1 – 1: 數與數線
1 – 2: 根式的運算
1 – 3: 數線上的幾何
- 25. 例題: 兩層平方根式
化簡 9 − 2 20
「化簡」的意思就是請我們想辦法把最外層的根號拿掉
這類問題目的只在練習觀察、分析、以及平方公式的使用, 本身沒有什麼數學意義
思考的理路如下: 根號要能開得出來 根號內必需要是完全平方式
猜測根號內是( 𝑎 − 𝑏)2的形式
由式子內的 20, 我們有以下的可能:
𝑎, 𝑏 = (20,1)
𝑎, 𝑏 = (10,2)
𝑎, 𝑏 = (5,4)
解: 9 − 2 20 = ( 5 − 4)2 = 5 − 4 = 5 − 2 ■
這個最合理!
- 26. 例題: 兩層平方根式
14 + 6 5的整數部分為𝑎, 小數部分為𝑏, 求𝑎, 𝑏的值
再觀察一次: 猜測根號內是( 𝑎 + 𝑏)2
的形式
由式子內的6 5 = 2 45, 我們有以下的可能:
𝑎, 𝑏 = (45,1)
𝑎, 𝑏 = (15,3)
𝑎, 𝑏 = (9,5) 找到了!
解: 14 + 6 5 = ( 9 + 5)2 = 9 + 5 = 3 + 5
又因為 5 ≅ 2.2 ⇒ 3 + 5 ≅ 5.2
∴ 𝑎 = 5, 𝑏 = 3 + 5 − 5 = 5 − 2 ■
整數部分 小數部分 = 完整的數 – 整數部分
- 27. 例題: 三次方展開公式/三次根式
化簡
3
2 + 5 +
3
2 − 5
基本公式:
(𝑎 + 𝑏)3
= 𝑎3
+ 3𝑎2
𝑏 + 3𝑎𝑏2
+ 𝑏3
= 𝑎3
+ 𝑏3
+ 3𝑎𝑏(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 − 𝑏3 + 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)
𝑎3
+ 𝑏3
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
𝑎3
− 𝑏3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
)
這些公式的證明都留給讀者自己練習
建議要把這些公式記下來 (有親手證明過會比較容易記住)
解: 令a = 2 + 5,
𝑏 = 2 − 5,
𝑥 =
3
2 + 5 +
3
2 − 5
⇒ 𝑥3
= 𝑎3
+ 𝑏3
+ 3𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏
= 𝑎3
+ 𝑏3
+ 3𝑎𝑏𝑥
⇒ 𝑥3
= 4 − 3𝑥
⇒ 𝑥 − 1 𝑥2
+ 𝑥 + 4 = 0
∵ 𝑥2 + 𝑥 + 4 > 0 for all 𝑥 ∈ ℝ
∴ 𝑥 − 1 = 0
⇒ 𝑥 = 1 ■
這裡用到上面列出的公式1, 整個解題過程是嘗試與觀察的
結果, 沒有什麼特別要提醒的
公式3作者本人也試過, 在這裡並不能幫助我們解決問題,
你也可以自己試用看看
- 28. 例題: 三次方展開公式/有理化
請將分式有理化:
3
3+1
3
3−1
解: 分式上下同乘(
3
3)2
+
3
3 + 1得
原式=
(
3
3+1)((
3
3)2+
3
3+1)
(
3
3)3−1
= 2 +
3
9 +
3
3 ■
高中所謂’’有理化”, 意思就是”把式子整理到分母沒有根號”的形式
這裡我們的問題是如何將分母的
3
3變不見, 這麼巧, 上頁的公式4就可以解
決問題, 於是我們得到下面的作法
- 29. 大綱
1 – 1: 數與數線
1 – 2: 根式的運算
1 – 3: 數線上的幾何
- 30. 絕對值
絕對值的定義: 設𝑎 ∈ ℝ, 則
𝑎 = 𝑎, 𝑖𝑓 𝑎 ≥ 0
𝑎 = −𝑎, 𝑖𝑓 𝑎 < 0
幾何意義: 𝑎 表示數線上𝑎點到原點的距離
−3 0
| − 3|
7
|7|
絕對值的性質:
|𝑎| ≥ 0,
−𝑎 = |𝑎|
|𝑎|2
= |𝑎2
| = 𝑎2
𝑎𝑏 = 𝑎 |𝑏|
|𝑎|
|𝑏|
= |
𝑎
𝑏
|
|𝑎| ≥ 𝑏 ⇔ 𝑎2 ≥ 𝑏2
𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + |𝑏|
絕對值性質1, 2,… ,6只需理解, 不需要記
性質7就是高中三大不等式之一的三角不等式, 要把它記下來.
你應該會想問這個不等式跟三角形有什麼關係? 我們在下一頁會證明+說明
- 31. 三角不等式
證明 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + |𝑏|, 等號成立在𝑎, 𝑏正負同號的時候
證明: ( 𝑎 + 𝑏 )2 = 𝑎2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏2 ≥ 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 =(a + 𝑏)2
⇒ 𝑎 + |𝑏| ≥ 𝑎 + |𝑏| ■
直覺上, 左式兩數有正負相加的可能, 而右式必定是兩個正數相加, 故右式≥左式,
按照這個邏輯去證明它也是可以的, 不過, 以下我們提供另一個證明
從這個證明, 還是看不出到底它跟三角形有什麼關係, 事實上, 它的確跟三角形沒
關係, 這是因為我們現在的只在一維的世界裡觀察它. 如果今天的我們討論的是二
維的世界, 𝑎, 𝑏是兩個向量的話, 這個不等式就有幾何意義:
三角形的兩邊之和大於第三邊
至於“向量”是什麼, 我們高二才會學到
| 𝑎| |𝑏|
| 𝑎 + 𝑏|
- 32. 例題: 絕對值不等式
求下列不等式的解: (1) |𝑥 − 2| ≥ 3 (2) |2𝑥 + 3| ≤ 5 (3) |𝑥 − 1| ≥ |𝑥 + 2|
解: (1) 𝑥 − 2 ≥ 3 ⇔ 𝑥 − 2 ≥ 3 或 𝑥 − 2 ≤ −3
⇔ 𝑥 ≥ 5 或 𝑥 ≤ −1 ■
(2) |2𝑥 + 3| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2𝑥 + 3 ≤ 5
⇔ −8 ≤ 2𝑥 ≤ 2
⇔ −4 ≤ 𝑥 ≤ 1 ■
(3) |𝑥 − 1| ≥ |𝑥 + 2| ⇔ (𝑥 − 1)2 ≥ (𝑥 + 2)2 [注意這裡用到P.30的絕對值性質6]
⇔ 𝑥2
− 2𝑥 + 1 ≥ 𝑥2
+ 4𝑥 + 4
⇔ 𝑥 ≤ −
1
2
■
注意我們每一步的推導都是雙向互通的, 也就是左
式跟右式總是可以互推, 這樣, 我們才能保證最後
解出來的𝑥的範圍沒有少算或者多算.
相對的, 如果你的某一步計算只有單箭頭成立, 就
要注意自己是否有少算到什麼
設𝑎 ≥ 0, 我們有以下兩件簡單的事實:
• 𝑥 ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
• 𝑥 > 𝑎 ⇔ 𝑥 > 𝑎 或 𝑥 < −𝑎
- 33. 例題: 絕對值不等式
不等式 𝑥 − 𝑎 < 𝑏之解為−3 < 𝑥 < 5, 其中𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 求𝑎, 𝑏之值?
解1: 𝑥 − 𝑎 < 𝑏 ⇔ −𝑏 < 𝑥 − 𝑎 < 𝑏
⇔ −𝑏 + 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 + 𝑎
⇔ −𝑏 + 𝑎 = −3 且 𝑏 + 𝑎 = 5
⇔ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4 ■
解2: 取−3與5的中點
−3+5
2
= 1, 再將−3 < 𝑥 < 5減去中點, 得
−3 < 𝑥 < 5 ⇔ −4 < 𝑥 − 1 < 4
⇔ |𝑥 − 1| < 4
⇔ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4 ■
解法1是將未知式化成與已知式相同形
式, 對比後, 解聯立方程式.
解法2是將已知式化成與未知式相同形
式, 不用解職立方程式, 可直觀得解,
在這題, 解法1與解法2相差不多, 但是
我們比較喜歡解法2,因為不需解聯立
方程式.
- 34. 例題: 絕對值不等式
已知不等式 𝑎𝑥 + 5 > 𝑏之解為𝑥 < −1或𝑥 > 6, 求𝑎, 𝑏之值?
解:∵ 𝑎𝑥 + 5 > 𝑏 ⇔ 𝑥 < −1或𝑥 > 6
∴ 𝑎𝑥 + 5 ≤ 𝑏 ⇔ −1 ≤ 𝑥 ≤ 6
⇔ −
7
2
≤ 𝑥 −
5
2
≤
7
2
⇔ |𝑥 −
5
2
| ≤
7
2
⇔ |2𝑥 − 5| ≤ 7 ⇔ | − 2𝑥 + 5| ≤ 7
故得𝑎 = −2, 𝑏 = 7 ■
若採取上頁解法1的思考方式(將未知式化成與已知式相同形式), 我們要打開絕對
值, 得𝑎𝑥 > 𝑏 − 5 或 𝑎𝑥 < −𝑏 − 5, 接下來要除以𝑎的時候, 就要分𝑎 > 0或𝑎 < 0的
情形去討論, 這樣比較麻煩.
我們這裡採用上頁解法2的思維, 做法如下:
- 35. 例題: 絕對值函數求極值
求𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 + 𝑥 − 5 + |𝑥 − 8|的最小值
解: 當𝑥 ≥ 8時, 三個絕對值都可以直接拿掉 ⇒ 𝑓(𝑥)為斜率3 > 0的直線
當5 ≤ 𝑥 < 8時, 第一個絕對值拿掉要變號 ⇒ 𝑓(𝑥)為斜率1 > 0的直線
當2 ≤ 𝑥 < 5時, 前兩個絕對值拿掉要變號 ⇒ 𝑓(𝑥)為斜率−1 < 0的直線
當𝑥 < 2時, 三個絕對值拿掉都要變號 ⇒ 𝑓(𝑥)為斜率− 3 < 0的直線
∴ 得右圖, 故最小值為𝑓 5 = 6 ■
解決這問題最好的方法是透過畫圖, 而畫圖最好要有斜率
的概念, 如果你沒學過斜率, 請先看右邊的說明.
1. 設直線L: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏,我們說𝑎為直線𝐿
的斜率 (斜率的定義這裡先不提, 下一章
會教)
2. 當𝑎 > 0,直線𝐿的走向是右上左下
3. 當𝑎 < 0,直線𝐿的走向是左上右下
4. 當𝑎 = 0,直線𝐿的為水平線
不過, 你可以自己試著說明上述2,3,4為何
會成立.
2 5 8
- 36. 例題: 絕對值不等式
求不等式 𝑥 + 2 + 2 𝑥 − 4 < 15之解?
解: (1) 若 𝑥 > 4, 原式⇒ 𝑥 + 2 + 2 𝑥 − 4 < 15
⇒ 3𝑥 < 21 ⇒ 𝑥 < 7
(2)若 −2 ≤ 𝑥 ≤ 4, 原式⇒ 𝑥 + 2 − 2 𝑥 − 4 < 15
⇒ −𝑥 + 10 < 15 ⇒ 𝑥 > −5
(3)若 𝑥 < −2, 原式⇒ − 𝑥 + 2 − 2 𝑥 − 4 < 15
⇒ −3𝑥 < 9 ⇒ 𝑥 > −3
由(1), (2), (3)得−3 < 𝑥 < 7, 如右圖所示 ■
為了將絕對值拿掉, 我們對−2,4這兩個點, 分左右邊去討論, 沒有什麼困難的,
只要仔細整理即可
4 7-2-3
(1)
(2)
(3)
4 7-2-3
- 37. 分點公式
設𝐴 𝑎 , 𝐵 𝑏 , P(𝑥)為數線上三點, 且𝑃𝐴: 𝑃𝐵 = 𝑚: 𝑛,
(1) 若𝑃 ∈ 𝐴𝐵, 則P點座標為𝑥 =
𝑚𝑏+𝑛𝑎
𝑚+𝑛
(2) 若𝑃 ∉ 𝐴𝐵, 則P點座標為𝑥 =
𝑚𝑏−𝑛𝑎
𝑚−𝑛
證明:
(1) 𝑥 − 𝑎 : 𝑥 − 𝑏 = 𝑚: 𝑛
⇒ 𝑥 − 𝑎: 𝑏 − 𝑥 = 𝑚: 𝑛 ∵ 𝑃 ∈ 𝐴𝐵
⇒ 𝑥 =
𝑚𝑏+𝑛𝑎
𝑚+𝑛
■
(2) 同理, 請自行練習
P(x) B(b)A(a)
m n
𝑥 =
𝑚𝑏 + 𝑛𝑎
𝑚 + 𝑛
P(x) B(b)A(a)
m n
𝑥 =
𝑚𝑏 − 𝑛𝑎
𝑚 − 𝑛
內分點公式
外分點公式
- 38. 例題:分點公式
設三個相異實數𝑎, 𝑏, 𝑐為數線上三點, 且𝑏 =
5
6
𝑎 +
1
6
𝑐, 試判斷下列敘述何者正確
(1) 𝑏在𝑎與𝑐之間
(2) 𝑐 > 𝑏
(3) 𝑎到𝑏的距離是𝑏到𝑐的距離的5倍
(4) 若|𝑏| =
5
6
|𝑎| +
1
6
|𝑐|, 則𝑎, 𝑏, 𝑐皆為正數
解: 由內分點公式, (1) (3)直接成立
(2) 不一定, 𝑐可能在𝑏的左側
(3) 不一定, 𝑎, 𝑏, 𝑐也可能皆為負數
- 39. 附錄: 基本數論知識
定義(因數與倍數):
設𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, 若𝑎整除𝑏, 我們稱𝑎為𝑏的因數, 𝑏為𝑎的倍數
我們也定義符號𝑎|𝑏, 它就代表”𝑎整除𝑏”
EX. 3|27,3是27的因數, 27是3的倍數
定義(質數):
設𝑎 ∈ ℕ, 若𝑎的因數只有1與𝑎本身, 則我們稱𝑎為質數(prime number)
EX. 2,3,5,7,11,13,17,… 皆為質數
- 40. 附錄: 基本數論知識
定義(公因數);
若𝑑|𝑎且𝑑|𝑏, 則我們稱𝑑為𝑎與𝑏的公因數.
若𝑑為𝑎與𝑏的所有公因數中, 數值最大者,則我們稱𝑑為𝑎與𝑏的最大公因數,
記作 𝑎, 𝑏 = 𝑑
EX. 3|6, 3|18 ⇒ 3為6與18的公因數
但6與18的最大公因數為6, 也就是 6,18 = 6
定義(互質):
若 𝑎, 𝑏 = 1, 則我們稱𝑎, 𝑏兩數互質.
EX. (2,3)互質, (5,18)也互質
- 41. 附錄: 無理數的證明
定理: 2為無理數
證明: (反證) 假設 2為有理數,
⇒ 2 =
𝑚
𝑛
, 其中𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑚, 𝑛 = 1
∵ 2 不等於任何正整數, ∴ 𝑛 ≠ 1
⇒ 2𝑛2
= 𝑚2
∵ 𝑛 ≠ 1, ∴ 存在一個質數𝑝|𝑛, 且𝑝 > 1
⇒ 𝑝|𝑚2
⇒ 𝑝|𝑚
⇒ 𝑝為𝑛, 𝑚之公因數
⇒ 𝑛, 𝑚 ≠ 1 矛盾 ■
這裡我們使用了定理
“若𝑝為質數且𝑝|𝑚2
, 則 𝑝|𝑚”
這定理還算直觀, 但也需要證明,
很遺憾, 我們這裡不提供證明
因為那會需要一套完整的數論教材
- 42. 附錄: 無理數的證明
定理:設𝑛, 𝑘為正整數, 𝑘 ≥ 2,若𝑛不等於某個正整數的𝑘次方, 則 𝑘
𝑛為無理數
證明: 假設 𝑘
𝑛為有理數
⇒ 𝑘
𝑛 =
𝑎
𝑏
, 其中𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, 𝑎, 𝑏 = 1
⇒ 𝑛𝑏 𝑘
= 𝑎 𝑘
讓𝑝為一個整除𝑏的質數, 則𝑝也整除𝑎 𝑘 ⇒ 𝑝|𝑎
⇒ 𝑝為𝑎, 𝑏之公因數
∵ 𝑎, 𝑏 = 1, ∴ 𝑝 = 1
⇒ 𝑏 = 1
⇒ 𝑛 = 𝑎 𝑘
■
這裡我們使用了定理
“若𝑝為質數且𝑝|𝑚 𝑘
, 則 𝑝|𝑚”
同上頁, 我們這裡不提供證明
另外請注意, 這裡證明的邏輯是”如果
𝑘
𝑛為有理數, 那𝑛必等於某個正整數的𝑘
次方”, 這跟定理的敍述是等價的.
