الفصل الثاني لملزمة الرياضيات السادس العلمي القطوع المخروطية حلول التمارين والاسئلة الاثرائية والوزارية

1. ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693749/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
2016 / 2017
‫ملزمة‬‫الرياضيات‬
‫العلمي‬ ‫السادس‬-‫تطبيقي‬

2. ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693750/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937

3. [ 2 – 1 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المخروطي‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693751/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬):
‫تمهيد‬:‫اذا‬:‫بـ‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬
‫فان‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫رأس‬ ‫يحوي‬ ‫وال‬ ‫القاعدة‬ ‫ويوازي‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ٍ‫و‬‫مست‬
‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫يمثل‬ ‫المقطع‬‫دائرة‬ ‫يسمى‬ ‫هندسيا‬(Circle).
‫مول‬ ‫الحد‬ ٍ‫مواز‬ ٍ‫و‬‫مست‬( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬‫ا‬‫هندسي‬ ‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫يمثل‬ ‫المقطع‬ ‫فأن‬ ‫داته‬Parabola.)
‫غير‬ ٍ‫و‬‫مست‬‫مول‬ ‫احد‬ ‫يوازي‬ ‫وال‬ ‫لقاعدته‬ ٍ‫مواز‬‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬‫ا‬‫هندسي‬ ‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫يمثل‬ ‫المقطع‬ ‫فأن‬ ‫داته‬
(Ellipse.)
‫المقطع‬ ‫فأن‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫مولدات‬ ‫من‬ ‫مولدين‬ ‫ويقطع‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ٍ‫و‬‫مست‬
( ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬‫ا‬‫هندسي‬ ‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫يمثل‬Hyperbola.)
:‫التالية‬ ‫االشكال‬ ‫الحظ‬
]1–2[:‫المخروطي‬ ‫القطع‬‫لتكن‬)1,y1x(‫نقطة‬‫ثابتة‬‫ولتكن‬ , ‫المستوي‬ ‫في‬ax + by + c = 0‫ثابتا‬ ‫مستقيما‬
‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بعد‬ ‫نسبة‬ ‫التي‬ ‫النقاط‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ٍ‫ذ‬‫عندئ‬ , ‫المستوي‬ ‫نفس‬ ‫في‬)1,y1x(‫المستقيم‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫الى‬
‫الثابت‬ax + by + c = 0‫ثابتا‬ ‫عددا‬ ‫تساوي‬(e).‫المخروطي‬ ‫القطع‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬‫ا‬‫هندسي‬ ‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫ن‬ ّ‫تكو‬
:‫هي‬ ‫اساسية‬ ‫مفاهيم‬ ‫ثلثة‬ ‫مخروطي‬ ‫قطع‬ ‫لكل‬ ‫ان‬
1-‫الثابتة‬ ‫النقطة‬)1,y1x(‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫تسمى‬
‫المخروطي‬Focus.
2-‫الثابت‬ ‫المستقيم‬ax + by + c = 0‫دليل‬ ‫يسمى‬
‫المخروطي‬ ‫القطع‬Directrix.
3-‫النسبة‬(e)‫المركزي‬ ‫االختلف‬ ‫تسمى‬
Eccentricity.
:‫المخروطي‬ ‫للقطع‬ ‫العامة‬ ‫المعادلة‬‫لتكن‬)x,y(‫المخروطي‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫نقطة‬‫ولتكن‬)1,y1x(‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬
.‫المخروطي‬
‫بين‬ ‫المسافة‬)yx,(‫و‬)1,y1x(‫هي‬S:√(x − x1)2 + (y − y1)2=S
‫بين‬ ‫المسافة‬)oy,ox(‫الدليل‬ ‫و‬]0=c+yb+xa[‫هي‬D:
|a.xo + b.y0 + c |
√a2 + b2
=D
‫النسبة‬ ‫فان‬ ‫المخروطي‬ ‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬e:‫تساوي‬
e =
√(x−x1)2+(y−y1)2
|ax + by + c |
√
a2 + b
2
⟹ √(x − x1)2 + (y − y1)2 = e.
|ax + by + c |
√a2 + b2
:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
(x − x1)2
+ (y − y1)2
= e2
.
(ax + by + c)2
a2 + b
2
.‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫وهي‬ ‫المخروطي‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ‫وهذه‬
/‫ملحظة‬
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫في‬((Parabola))⟸e = 1
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫في‬((Ellipse))⟸e < 1
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫في‬((Parabola))⟸e > 1

4. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693752/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
]2–2[‫القطع‬‫المكافئ‬)Parabola(:
:‫تعريف‬‫المستوي‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬M(x,y)‫البؤرة‬ ‫تسمى‬ ‫ثابتة‬ ‫نقطة‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بعد‬ ‫يكون‬ ‫والتي‬
F(P,0)‫حيث‬P > 0‫الدليل‬ ‫يسمى‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫عن‬ ‫لبعدها‬ ‫دائما‬ ‫مساويا‬D⃡.‫البؤرة‬ ‫يحوي‬ ‫ال‬
:‫التالي‬ ‫الرسم‬ ‫في‬‫النقطة‬ ‫تسمى‬O‫القطع‬ ‫(رأس‬
‫المكافئ‬)‫المستقيم‬ ‫ويسمى‬X‫والعمود‬ ‫بالبؤرة‬ ‫المار‬
‫القطع‬ ‫(محور‬ ‫الدليل‬ ‫على‬‫المكافئ‬:‫حيث‬ , )
MF = MQ ⟹
MF
MQ
= e = 1
‫المسافة‬ ‫وتسمى‬ / ‫مهمة‬ ‫ملحظة‬OP‫الى‬ ‫القطع‬ ‫راس‬ ‫من‬
: ‫بـ‬ ‫البؤرة‬‫البؤري‬ ‫البعد‬‫نفس‬ ‫وهي‬ ‫المكافئ‬ ‫للقطع‬
‫الدليل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫المسافة‬
‫القطع‬ ‫معادلة‬‫المكافئ‬‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫الذي‬)axis–x(‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
‫النقطة‬ ‫لتكن‬F(p,0)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬‫المكافئ‬‫والنقطة‬ ,
Q(-p,y)‫الدليل‬ ‫على‬ ‫تقع‬D⃡‫والنقطة‬ ,M(x,y)‫على‬ ‫تقع‬
‫القطع‬ ‫منحني‬‫المكافئ‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬
O(0,0):‫مبين‬ ‫كما‬
‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬‫المكافئ‬:
MF = MQ ⟹ √(x − p)2 + (y − 0)2 = √(x + p)2 + (y − y)2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
(x − p)2
+ y2
= (x + p)2
⟹ x2
– 2xp + p2
+ y2
= x2
+ 2xp + p2
y2
= x2
+ 2xp + p2
- x2
+ 2xp - p2
⟹ ∴ y2 = 4px ∀ 𝐩 > 𝟎
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫الذي‬‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬F(p,0)‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬x = -p
‫(فتحة‬)‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫الى‬ ‫القطع‬
‫اما‬‫إذا‬‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫كانت‬‫المكافئ‬‫الى‬‫محور‬ ‫(على‬ ‫اليسار‬ ‫جهة‬
‫السينات‬)‫السالب‬‫كما‬:‫مبين‬
‫معادلته‬ ‫فأن‬:‫تكون‬
y2 = -4px ∀ 𝐩 > 𝟎
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫الذي‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬
‫وبؤرته‬F(-p,0)‫ومعادلة‬‫الدليل‬(x = p(‫القطع‬ ‫فتحة‬
‫اليسار‬ ‫جهة‬ ‫الى‬
Y
X
F(p,0)
M(x,y)Q(-p,y)
O
𝑫⃡
Y
XF(p,0)
M(x,y)Q(-p,y)
O
𝑫⃡
Y
X F(-p,0)
M(x,y) Q(p,y)
O
𝑫⃡

5. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693753/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫المعادلة‬ ‫لندرس‬ /‫مالحظة‬= 4px2y‫لتكن‬ : ‫الدالة‬ ‫مفهوم‬ ‫ضوء‬ ‫في‬0>p,0>x:√ 𝐩𝐱±2y =‫من‬
‫ان‬ ‫الواضح‬∀ 𝐱 > 𝟎‫للمتغير‬ ‫مختلفتين‬ ‫قيمتين‬ ‫توجد‬y‫فان‬ ‫لذلك‬y.‫دالة‬ ‫ليست‬
‫مثال‬1/‫للقطع‬ ‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬= 8x2
y.
/‫الحل‬‫إليجاد‬‫قطع‬ ‫دليل‬ ‫او‬ ‫بؤرة‬‫مكافئ‬:‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫معلومة‬ ‫معادلته‬
1-‫القياسية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬.
2-:‫القياسية‬ ‫الصيغة‬ ‫معادلة‬ ‫مع‬ ‫المعلومة‬ ‫المعادلة‬ ‫مقارنة‬
y2
= 8x
y2
= 4px
∴ 4p = 8 ⟹ p = 2
x = -p ⟹ x = -2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F(p,0) = F(2,0) ‫البؤرة‬ ‫إحداثيات‬
‫مثال‬2/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬‫إذا‬:‫علم‬-
1)‫بؤرته‬F(1,0)‫دليله‬ ‫ومعادلة‬x = -1‫ارسمه‬ ‫ثم‬
2)‫بؤرته‬F(3,0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
3)‫معادلة‬‫ال‬‫دليل‬2x-6=0.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
/‫الحل‬
1)‫بؤرته‬F(1,0)‫دليله‬ ‫ومعادلة‬x = -1‫ارسمه‬ ‫ثم‬:-
‫لبؤرته‬ ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬1‫دليله‬ ‫ومعادلة‬x = -1.‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫الى‬ ‫فتحته‬ ‫ان‬ ‫اي‬
F(1,0) ⟹ p = 1
y2
= 4px ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
y2
= 4 x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
/‫ملحظة‬:‫نجد‬ ‫الجدول‬ ‫خلل‬ ‫من‬-‫لكل‬x > 0‫صورتان‬ ‫له‬ ‫توجد‬
‫العدد‬ ‫فمثل‬1‫هما‬ ‫صورتان‬ ‫له‬ ‫توجد‬2‫و‬-2‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ,
(1,2)‫ونظيرها‬(1,-2).
: ‫عامة‬ ‫وبصورة‬-‫لكل‬(x,y)‫للقطع‬ ‫تنتمي‬‫المكافئ‬‫يوجد‬(x,-y)‫تنتمي‬
‫للقطع‬‫المكافئ‬‫القطع‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬‫المكافئ‬‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرا‬
.‫السينات‬
2)‫بؤرته‬F(3,0)‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬:-
‫لبؤرته‬ ‫السيني‬ ‫واالحداثي‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫الرأس‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬3‫جهة‬ ‫الى‬ ‫فتحته‬ ‫ان‬ ‫اي‬
.‫اليمين‬
F(p,0) = (3,0) ⟹ p = 3 ⟹ y2
= 4px ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
y2
= 4 (3) x ⟹ y2
= 12x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
3)‫دليله‬ ‫معادلة‬2x - 6 = 0‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬:-
2x - 6 = 0 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
2x = 6 ⟹ x = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∵‫و‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫القطع‬ ‫رأس‬‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الدليل‬
∴‫القطع‬‫على‬ ‫المكافئ‬.‫اليسار‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬
y2
= -4px ⟹ y2
= -4(3)x ⟹ y2
= -12x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
1641x
8±4±2±y
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(1,0)
(1,2)
(1,-2)
O
𝐃⃡
(-1,0)
x = -1

6. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693754/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬3/‫القطع‬ ‫ودليل‬ ‫بؤرة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬4x-=2
y,.‫ارسمه‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬‫اليسار‬ ‫جهة‬ ‫الى‬ ‫فتحته‬ ‫ان‬ ‫نجد‬
y2
= -4x
y2
= -4px
∴ -4p = -4 ⟹ p = 1
x = p ⟹ x = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F(-p,0) = F(-1,0) ‫البؤرة‬ ‫إحداثيات‬
/‫مالحظة‬‫إذا‬‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ ‫كانت‬‫فإننا‬‫قطع‬ ‫نرسم‬‫مكافئ‬‫ثم‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬
‫قيم‬ ‫يتضمن‬ ‫جدول‬ ‫نأخذ‬x‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوض‬ ‫البؤرة‬ ‫احداثي‬ ‫اشارة‬ ‫بنفس‬‫إليجاد‬‫لـ‬ ‫قيمتن‬y.
‫مثال‬4/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬‫المكافئ‬‫بؤرته‬ ‫الذي‬(√3,0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
‫النقطة‬ ‫لتكن‬M(x,y)‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫نقط‬ ‫من‬‫المكافئ‬.
F(√3,0)‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬.
Q(−√3,0)‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬M‫الدليل‬ ‫مع‬D⃡.
‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬‫المكافئ‬:
MF = MQ ⟹ ∴ √(x − √3)
2
+ y2 = √(x + √3)
2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
(x − √3)
2
+ y2
= (x + √3)
2
⟹ x2
– 2√3x + 3 + y2
= x2
+ 2√3x + 3
y2
= x2
+ 2√3x + 3 - x2
+ 2√3x - 3 ⟹ y2
= 2√3x + 2√3x
y2
= 4√3x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫القطع‬ ‫معادلة‬‫المكافئ‬‫الذي‬‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬)axis–y(‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
‫النقطة‬ ‫لتكن‬F(0,p)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬‫المكافئ‬,
‫والنقطة‬Q(x,-p)‫الدليل‬ ‫على‬ ‫تقع‬D⃡‫والنقطة‬ ,M(x,y)
‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫على‬ ‫تقع‬‫المكافئ‬‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬
‫االصل‬O(0,0):‫مبين‬ ‫كما‬
‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬‫المكافئ‬:
MF = MQ ⟹ √(x − 0)2 + (y − p)2 = √(x − x)2 + (y + p)2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
x2
+ (y − p)2
= (y + p)2
⟹ x2
+ y2
– 2yp + p2
= y2
+ 2yp + p2
x2
= y2
+ 2yp + p2
- y2
+ 2yp - p2
⟹ ∴ x2 = 4py ∀ 𝐩 > 𝟎
-4-1x
4±2±y
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(-1,0)
(-1,2)
(-1,-2)
O
𝐃⃡
(1,0)
x = 1
Y
X
F(√3,0)
M(x,y)Q(-√3,y)
O
𝐃⃡
Y
X
F(0,p)
M(x,y)
Q(x,-p)
O
𝐃⃡

7. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693755/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫الذي‬‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬F(0,p)‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬y = -p
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬‫الموجب‬(‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬)
‫بالصيغة‬ ‫المعادلة‬ ‫تكتب‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬y =
1
4p
x2
‫لكل‬ ‫ان‬ ‫الواضح‬ ‫من‬x ∈ R‫لـ‬ ‫واحدة‬ ‫قيمة‬ ‫توجد‬y‫فان‬ ‫لذلك‬y‫للمتغير‬ ‫دالة‬ ‫تمثل‬x.
‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬‫المكافئ‬‫الى‬‫االسفل‬‫محور‬ ‫(على‬
‫الصادات‬)‫السالب‬:‫مبين‬ ‫كما‬
: ‫تكون‬ ‫معادلته‬ ‫فأن‬
x2 = -4py ∀ 𝐩 > 𝟎
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬
F(0,-p)‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬y = p
‫مثال‬5/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬F (0,2)‫دليله‬ ‫ومعادلة‬y = -2.‫ارسمه‬ ‫ثم‬ ,
/‫الحل‬
F(0,2) = F(0,p) ⟹ p = 2
x2
= 4py ‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
x2
= 8y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
x y
±4 2
‫لـ‬ ‫قيمة‬ ‫نأخذ‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرته‬ ‫مكافيء‬ ‫قطع‬ ‫لرسم‬ /‫مالحظة‬y‫اشارته‬
‫لـ‬ ‫قيمتين‬ ‫اليجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوض‬ ‫البؤرة‬ ‫احداثي‬ ‫اشارة‬ ‫تشبه‬x.
‫لكل‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫الجدول‬ ‫مالحظة‬ ‫من‬ /‫مالحظة‬y > 0‫للمتغير‬ ‫قيمتان‬ ‫توجد‬x‫باالشارة‬ ‫مختلفتان‬‫ان‬ ‫اي‬ ,
‫النقطة‬(4,2)‫ونظيرتها‬(-4,2).
‫لكل‬ : ‫عامة‬ ‫وبصورة‬(x,y)‫للقطع‬ ‫تنتمي‬‫المكافئ‬‫توجد‬ ,(-x,y)‫للقطع‬ ‫تنتمي‬‫المكافئ‬‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ,‫ايضا‬
‫القطع‬ ‫منحني‬‫المكافئ‬.‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرا‬ ‫يكون‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرته‬ ‫الذي‬
‫مثال‬6/‫للقطع‬ ‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬24y = 0–2
3x.
/‫الحل‬‫القياسية‬ ‫بالصيغة‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫نكتب‬
3x2
– 24y = 0 ⟹ 3x2
= 24y ⟹ x2
=
24
3
y
x2
= 8y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
x2
= 8y
x2
= 4py
∴ 4p = 8 ⟹ p = 2
y = -p ⟹ y = -2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F(0,p) = F(0,2) ‫البؤرة‬ ‫إحداثيات‬
Y
X
F(0,2)
(-4,2) (4,2)
O
𝐃⃡
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(0,-p)
M(x,y)
Q(x,p)
O
𝐃⃡

8. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693756/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬7/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫إذا‬ ‫المكافئ‬:‫ان‬ ‫علم‬
1-‫بؤرته‬(0,5).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
2-‫الدليل‬ ‫معادلة‬y = 7.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬
/‫الحل‬
1)‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
F(0,5) = F(0,p) ⟹ p = 5
x2
= 4py ‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
x2
= 4(5) y ⟹ x2
= 20y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
2)‫الدليل‬ ‫معادلة‬y = 7.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬
∵‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫القطع‬ ‫وراس‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الدليل‬
∴.‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
y = 7 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ p = 7
x2
= -4py ‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
x2
= -4(7)y ⟹ x2
= -28y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬8/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬‫المكافئ‬‫وبؤرته‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬(0,√3)
/‫الحل‬‫النقطة‬ ‫لتكن‬M(x,y)‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫نقط‬ ‫من‬.‫المكافئ‬
F(0, √3)‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬.
Q(x, −√3)‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬M‫الدليل‬ ‫مع‬D⃡.
‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬:‫المكافئ‬
MF = MQ ⟹ √(x − 0)2 + (y − √3)
2
= √(x − x)2 + (y + √3)
2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
x2
+ (y − √3)
2
= (y + √3)
2
⟹ x2
+ y2
– 2√3y + 3 = y2
+ 2√3y + 3
x2
= y2
+ 2√3y + 3 - y2
+ 2√3y - 3 ⟹ x2
= 4√3y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬9/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫إذا‬ ‫المكافئ‬‫علم‬:‫ان‬-
1)‫ر‬‫أ‬‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫سه‬(2,-4)،(2,4)
2)‫ر‬‫أ‬‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫سه‬(-2, 4)،(2,4)
/‫الحل‬
1)‫ر‬‫أ‬‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫سه‬(2,-4)،(2,4)
/‫مالحظة‬‫النقطتين‬(2, -4),(2,4)‫اي‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬
.‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ ‫ان‬
y2
= 4px ⟹ 42
= 4 . p . 2 ⟹ 16 = 8 . p ⟹ p = 2
y2
= 4px = 4 . 2 . x ⟹ ∴ y2
= 8x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
2)‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫راسه‬(-2, 4)،(2,4)
/‫مالحظة‬‫النقطتين‬(-2, 4),(2,4)‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬
.‫الصادات‬
Y
X
F(0, √3)
M(x,y)
Q(x,- √3)
O
𝐃⃡
(2,-4)
(2,4)
O
(2,-4)

9. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693757/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
x2
= 4py ⟹ 22
= 4 . p . 4 ⟹ 4 = 16 . p ⟹ p =
1
4
x2
= 4(
1
4
) y ⟹ ∴ x2
= y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬10/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬‫بالنقطة‬ ‫دليله‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬(3,-5).
/‫الحل‬‫البؤرة‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫كونه‬ ‫القياسية‬ ‫للمعادلة‬ ‫احتمالين‬ ‫يوجد‬:‫هما‬-
/‫اوال‬:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬
y = -5 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴.‫االعلى‬ ‫نحو‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
∴ p = 5
x2 = 4py ⟹ ∴ x2 = 20y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
/‫ثانيا‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬
x = 3 ‫معادلة‬‫الدليل‬
∴.‫اليسار‬ ‫نحو‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
∴ p = 3
y2 = -4px ⟹ ∴ y2 = -12x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬11/‫قطع‬‫مكافئ‬‫نقطة‬ ‫رأسه‬،‫االصل‬‫على‬ ‫تقع‬ ‫بؤرته‬
‫محور‬،‫السينات‬‫النقطة‬(2,y)‫مجموع‬ ‫ان‬ ‫بحيث‬ ‫اليه‬ ‫تنتمي‬
‫يساوي‬ ‫والدليل‬ ‫البؤرة‬ ‫عن‬ ‫بعديها‬18،‫وحدة‬‫معادلة‬ ‫جد‬
،‫القطع‬‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬y.
/‫الحل‬
MF+MQ = 18
MF = MQ ‫التعريف‬ ‫من‬
∴ MF = 9 , MQ = 9
MF = √(p − 2)2 + (y − 0)2 = 9
‫بمجهولين‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬y,p‫عن‬ ‫بالتعويض‬ ‫حلها‬ ‫ويمكن‬= 4px2
y‫نأخذ‬ ‫ان‬ ‫االسهل‬ ‫ولكن‬MQ:‫مبين‬ ‫كما‬
MQ = √(2 + p)2 + (y − y)2 = 9 ⟹ √4 + 4p + p2 = 9 ⟹ 4 + 4p + p2
= 81
p2
+ 4p – 77 = 0 ⟹ (p + 11)(p - 7) = 0
p + 11 = 0 ⟹ p = -11 ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ ‫الن‬ ‫تهمل‬
p – 7 = 0 ⟹ p = 7
y2
= 4px ⟹ y2
= 28x ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫قيمة‬ ‫نحسب‬y‫النقطة‬ ‫عند‬Q:‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
y2
= 28x ⟹ y2
= 28(2) = 56 ⟹ ∴ y = ± √56
Y
X
F(-p,0)
(3,-5)
O
𝐃⃡
Y
X
F(0,p)
(3,-5)
O
D⃡
Y
X
F(p,0)
M(2,y)Q(-p,y)
O
𝐃⃡
(-2,4)
O
(2, 4)

10. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693758/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
]3–2[‫ﺇ‬‫للقطع‬ ‫المحاور‬ ‫نسحاب‬‫المكافئ‬:‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫المحورين‬ ‫أحد‬ ‫يوازي‬ ‫محوره‬ ‫الذي‬
‫النقطة‬ ‫ورأسه‬ ‫االحداثيين‬(h,k).
/‫ا‬‫ال‬‫او‬‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬= 4px2
y‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬‫مكافئ‬‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬
‫االصل‬O(0,0).
‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الرأس‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬O̅(h, k)‫المعادلة‬ ‫فان‬
‫القياسية‬:‫تصبح‬-(y – k)2 = 4p(x – h)
‫انسحاب‬‫الرأس‬O̅(h , k)
‫انسحاب‬‫البؤرة‬F̅(p + h , k)
‫انسحاب‬‫الدليل‬x = -p + h
‫انسحاب‬‫التناظر‬ ‫محور‬y = k
p‫هو‬‫البؤري‬ ‫البعد‬‫للقطع‬‫المكافئ‬‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫ويساوي‬
‫الرأس‬O̅‫والبؤرة‬F̅‫ومعادلة‬ ‫الرأس‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫ويساوي‬
‫الدليل‬
‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫ويمكن‬‫باالتجاه‬ ‫المكافئ‬‫السالب‬
:‫السينات‬ ‫لمحور‬
‫مثال‬12/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬2)-= 4(x2
(y+1).‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلة‬ ‫والبؤرة‬ ‫الرأس‬ ‫عين‬
/‫الحل‬
(y + 1)2
= 4(x - 2)
(y – k)2
= 4p(x – h)
⟹ h = 2 , k = -1
O̅(h , k) = (2, -1) ‫الرأس‬
4p = 4 ⟹ p = 1
F̅(p+h,k) = F̅(1+2 ,-1) = F̅(3 ,-1) ‫البؤرة‬
y = k ⟹ y = -1 ‫المحور‬ ‫معادلة‬
x = -p + h ⟹ x = -1 + 2
x = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
Y
F̅(−p + h, k)
𝐃⃡
X̅
Y̅
𝑂̅(h, k)
X
(y – k)2 = -4p(x – h)
‫البؤرة‬F̅(−p + h , k)
‫الدليل‬ ‫معادلة‬x = p + h
‫المحور‬ ‫معادلة‬y = k
‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬
‫بعد‬‫االنس‬‫ح‬‫اب‬ B
Y
X
F̅(p + h, k)
𝑂
𝐃⃡
x = -p + h
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝐗̅
𝐘̅
𝑂̅(h, k)

11. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693759/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
/‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬= 4py2
x‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬‫مكافئ‬‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬
‫االصل‬O(0,0).
‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الرأس‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬O̅(h,k)‫المعادلة‬ ‫فان‬
: ‫تصبح‬ ‫القياسية‬-k)–p(y4=2h)–(x
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫رأسه‬ ‫الذي‬O̅(h,k)‫ومحوره‬
.‫االعلى‬ ‫نحو‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬
‫انسحاب‬‫الرأس‬O̅(h , k)
‫انسحاب‬‫البؤرة‬F̅(h, p + k)
‫انسحاب‬‫الدليل‬y = k - p
‫انسحاب‬‫التناظر‬ ‫محور‬x = h
‫البؤري‬ ‫البعد‬p
‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫ويمكن‬‫الى‬ ‫المكافئ‬‫االسفل‬
:)‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫السالب‬ ‫(االتجاه‬
‫مثال‬13/‫القطع‬ ‫ناقش‬‫المكافئ‬x4+2
= xy
/‫الحل‬‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬2
x‫وذلك‬ )‫كامل‬ ‫(مربع‬ ‫حدانية‬ ‫مربع‬ ‫شكل‬ ‫على‬‫بإضافة‬‫نصف‬ ‫مربع‬
‫معامل‬x‫العدد‬ ‫وهو‬ ‫الطرفين‬ ‫الى‬4:
y + 4 = x2
+ 4x + 4
y + 4 = (x + 2)2
(x + 2)2
= y + 4
(x – h)2
= 4p(y – k)
∴ h = -2 , k = -4
4p = 1 ⟹ p =
1
4
‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫مفتوح‬ ‫القطع‬
O̅(h , k) = (-2 , -4) ‫الرأس‬
F̅(h, p+k) ⟹ F̅ (-2 ,
1
4
– 4) ⟹ F̅ (-2 , – 3
3
4
) ‫البؤرة‬
y = k – p ⟹ y = -4 -
1
4
⟹ y = -4
1
4
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
(x – h)2 = -4p(y – k)
‫البؤرة‬F̅(h , k - p)
‫الدليل‬ ‫معادلة‬y = p + k
‫التناظر‬ ‫محور‬ ‫معادلة‬x = h
y = k+p
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
Y
X
F̅(h,k − p)
𝑂
𝐃⃡
𝐗̅
𝐘̅
𝑂̅(h, k)
‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬
Y
X
F̅(h, p + k)
𝑂
𝐃⃡
𝐗̅
𝐘̅
𝑂̅(h, k)
‫بعد‬‫االنس‬‫ح‬‫اب‬ B

12. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693760/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬14/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬‫النقطة‬ ‫رأسه‬(3,-5)‫النقطة‬ ‫وبؤرته‬(3,-3).
/‫الحل‬‫هو‬ ‫التناظر‬ ‫ومحور‬ ‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫الرأس‬ ‫من‬ ‫اعلى‬ ‫البؤرة‬ ‫ان‬ ‫بما‬x = 3
∴ (x – h)2
= 4p(y – k) ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
: ‫فان‬ ‫الرأس‬ ‫احداثيات‬ ‫خلل‬ ‫من‬
F̅(3,-3) = (h , p+k) ⟹ h = 3 , k = -5
p + k = -3 ⟹ p – 5 = -3 ⟹ p = 2
(x – 3)2
= 4(2)(y + 5)
∴ (x – 3)2
= 8(y + 5) ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬1-2
1)‫للقطع‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬‫في‬ ‫المكافئ‬:‫لها‬ ‫البياني‬ ‫المنحني‬ ‫ارسم‬ ‫ثم‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬
‫أ‬.‫البؤرة‬(5,0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
F(5,0) ⟹ p = 5
‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
y2
= 4px ⟹ y2
= 20x ‫القطع‬ ‫معادلة‬
x = -p ⟹ x = -5 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫ب‬.‫البؤرة‬(0,-4).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬F(0,-4)
∴ p = 4
x2
= -4py ⟹ x2
= -16y ‫القطع‬ ‫معادلة‬
y = p ⟹ y = 4 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
±40x
-10y
‫ج‬.‫البؤرة‬(0,√2).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬‫األعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬F(0, √2)
∴ p = √2
x2
= 4py ⟹ x2
= ‫القطع‬ ‫4معادلة‬√2y
y = -p ⟹ y = -√2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
10x
±2 √50y
Y
X
F(0,-4)
y = 4
O
D⃡
Y
X
F(5,0)O
D⃡
x = -5
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
Y
X
F(3,-3)
𝑂
𝐃⃡
𝐗̅
𝐘̅
𝑂̅(3 , −5)

13. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693761/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫د‬.‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫معادلة‬‫المكافئ‬(4y – 3 = 0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
4y – 3 = 0 ⟹ y =
3
4
‫الدليل‬
F(0 , −
3
4
) ⟹ p =
3
4
‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬‫االسفل‬ ‫نحو‬
x2
= -4py ⟹ x2
= -3y ‫القطع‬ ‫معادلة‬
±√30x
-10y
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫بؤرته‬(1,2).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬
/‫الحل‬.‫اليمين‬ ‫الى‬ ‫وفتحته‬ ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
y2
= 4px ‫القطع‬ ‫معادلة‬
22
= 4p(1) p ‫لنجد‬ (1,2) ‫النقطة‬ ‫نعوض‬
∴ p = 1
F(p,0) = (1 , 0) ‫البؤرة‬
x = -p ⟹ x = -1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y2
= 4x ‫القطع‬ ‫معادلة‬
10x
±20y
2)‫للقطع‬ ‫والدليل‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلتي‬ ‫والرأس‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬‫المكافئ‬:
a) x2
= 4y
/‫الحل‬
x2
= 4y
x2
= 4py
4p = 4 ⟹ p = 1 ⟹ ∴ F(0,p) = (0,1) ‫البؤرة‬
y = -p ⟹ y = -1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
(0 , 0) ‫القطع‬ ‫رأس‬
x = 0 )‫الصادات‬ ‫(محور‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
±√80x
√20y
Y
X
F(1,0)O
D⃡
x = -1
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(0,-
3
4
)
y =
3
4
O
D⃡

14. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693762/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
b) 2x + 16y2
= 0
/‫الحل‬
2x + 16y2
= 0 ⇒ 16y2
= -2x ⟹ y2
= −
2
16
x
y2
= −
1
8
x
y2
= -4px
-4p = −
1
8
⟹ 4p =
1
8
⟹ p =
1
32
c) y2
= -4(x - 2)
/‫الحل‬
y2
= -4(x - 2)
(y – 0)2
= -4(x - 2)
(y – k)2
= -4p(x - h)
h = 2 , k = 0
-4 = -4p ⟹ p = 1
d) (x - 1)2
= 8(y – 1)
/‫الحل‬
(x - 1)2
= 8(y – 1)
(x – h)2
= 4p(y - k)
h = 1 , k = 1
4p = 8 ⟹ p = 2
e) y2
+ 4y + 2x = -6 2012-1
/‫الحل‬
y2
+ 4y = -2x – 6
‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫يتم‬‫بإضافة‬‫معامل‬ ‫نصف‬ ‫مربع‬y:‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫الى‬
y2
+ 4y + 4 = -2x – 6 + 4
(y + 2)2
= -2x – 2
(y + 2)2
= -2(x + 1)
(y – k)2
= -4p(x - h)
h = -1 , k = -2
-4p = -2 ⟹ p =
−2
−4
=
1
2
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
F(−
1
32
, 0) ‫البؤرة‬
x =
1
32
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
(0 , 0) ‫القطع‬ ‫رأس‬
y = 0 )‫السينات‬ ‫(محور‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
O̅(h,k) = (2,0) ‫القطع‬ ‫رأس‬
F̅(-p+h k) = (-1+2 , 0) = (1,0) ‫البؤرة‬
x = p + h = 1+2 = 3 ⟹ x = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y = k ⟹ y = 0 ‫المحور‬ ‫معادلة‬
O̅(h,k) = (1,1) ‫القطع‬ ‫رأس‬
F̅(h ,p+k) = (1 , 2+1) = (1, 3) ‫البؤرة‬
y = -p + k = -2+1= -1 ⟹ y = -1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
x = h ⟹ x = 1 ‫المحور‬ ‫معادلة‬
O̅(h,k) = (-1,-2) ‫القطع‬ ‫رأس‬
F̅(-p+h , k) =(−
1
2
-1, -2) =(−
3
2
,-2) ‫البؤرة‬
x = p + h =
1
2
– 1= −
1
2
⟹ x = −
1
2
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y = k ⟹ y = -2 ‫المحور‬ ‫معادلة‬

15. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693763/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
f) x2
+ 6x-y = 0
/‫الحل‬‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬+ 6x = y2
x‫معامل‬ ‫نصف‬ ‫مربع‬ ‫اضافة‬x:‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫الى‬
x2
+ 6x + 9 = y + 9
(x + 3)2
= (y + 9)
(x – h)2
= 4p(y - k)
h = -3 , k = -9
4p = 1 ⟹ p =
1
4
3)‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬(2,-5),(2,5).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬‫النقطتان‬(2,-5),(2,5)‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬‫ا‬‫ا‬‫اذ‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
‫الى‬ ‫القطع‬ ‫(فتحة‬ ‫الموجب‬‫اليمين‬)
∴ y2
= 4px ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫النقطتين‬ ‫من‬ ‫اي‬ ‫نعوض‬p:
52
= 4p(2) ⟹ 25 = 8p ⟹ p =
25
8
y2
= 4(
25
8
)x ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ p ‫نعوض‬
y2
=
25
2
x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬‫الذي‬‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬(2,-5)،(-2,-5).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬‫النقطتان‬(2,-5),(-2,-5)‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ ‫ا‬‫ا‬‫اذ‬
)‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫(فتحة‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬
∴ x2
= -4py ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫النقطتين‬ ‫من‬ ‫اي‬ ‫نعوض‬p:
22
= -4p(-5) ⟹ 4 = 20p ⟹ p =
1
5
x2
= -4(
1
5
) y ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ p ‫نعوض‬
x2
= −
4
5
y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
4)‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬‫يمر‬ ‫المكافئ‬‫بالنقطة‬(-3,4)‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬،‫االصل‬‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫ان‬ ‫علما‬ ‫معادلته‬ ‫جد‬
.‫المحورين‬ ‫الحد‬
/‫الحل‬∵‫القطع‬ ‫دليل‬‫يمر‬ ‫المكافئ‬‫بالنقطة‬(-3,4)‫الحد‬ ‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬،‫المحورين‬∴:‫احتمالين‬ ‫يوجد‬-
:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ /‫اوال‬
x = -3 ‫الدليل‬
p = 3 ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
y2
= 4px ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
y2
= 12x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(3,0)O
D⃡
x = -3
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
O̅(h,k) = (-3,-9) ‫القطع‬ ‫رأس‬
F̅(h ,p+k) = (-3,
1
4
-9) = (-3,-
35
4
) ‫البؤرة‬
y = -p + k = −
1
4
- 9 ⟹ y = −
37
4
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
x = h ⟹ x = -3 ‫المحور‬ ‫معادلة‬

16. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693764/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ /‫ثانيا‬
y = 4 ‫الدليل‬
p = 4 ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
x2
= -4py ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
x2
= -16y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
5)‫قطع‬‫مكافئ‬‫معادلته‬+ 8y = 02
Ax‫بالنقطة‬ ‫يمر‬)1,2(‫قيمة‬ ‫جد‬ ,A.‫القطع‬ ‫وارسم‬ ‫ودليله‬ ‫بؤرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫القطع‬(1,2):‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫اي‬2011-1
A(1)2
+ 8(2) = 0
A + 16 = 0 ⟹ A = -16
-16x2
+ 8y = 0 ⟹ 16x2
= 8y
x2
=
1
2
y
x2
= 4py
4p =
1
2
⟹ p =
1
8
F(0 ,
1
8
) ‫البؤرة‬
y = -
1
8
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
6)‫باستخدام‬،‫التعريف‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬:‫المكافئ‬
‫أ‬.‫البؤرة‬(7,0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
F(7 , 0) ‫البؤرة‬
x = -7 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
M(x,y) , Q(-p,y) = (-7,y)
:‫التعريف‬ ‫من‬
MF = MQ ⟹ √(x − 7)2 + y2 = √(x + 7)2 + 0
(x − 7)2
+ y2
= (x + 7)2
‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
x2
– 14x + 49 + y2
= x2
+ 14x + 49 ⟹ ∴ y2
= 28x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
±10x
20y
Y
X
F(0,-4)
y = 4
O
D⃡
‫بالمقارنة‬ Y
X
F(0,
1
8
)
𝑂(0,0)
D⃡
y = -p
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
(1,2)(-1,2)

17. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693765/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫ب‬.‫الدليل‬ ‫معادلة‬y = √3.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
y = √3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F(0,- √3) ‫البؤرة‬
M(x,y) , Q(x,p) = (x, √3)
MF = MQ ‫التعريف‬ ‫من‬
√x2 + (y + √3)
2
= √0 + (y − √3)
2
x2
+ (y + √3)
2
= (y − √3)
2
x2
+ y2
+ 2√3y + 3 = y2
- 2√3y + 3
∴ x2
= -4√3y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
Y
X
F(0,- √3)
M(x,y)
Q(x, √3)
O
D⃡ y = √3

18. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693766/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
]4–2[‫الناقص‬ ‫القطع‬(Ellipse:)
:‫تعريف‬-‫ثابتتين‬ ‫نقطتين‬ ‫عن‬ ‫بعديها‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫المستوي‬ ‫في‬ ‫النقط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬
= ‫ثابت‬ ‫عدد‬ )‫(البؤرتان‬2a
)‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫(مركز‬ ‫بـ‬ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫منتصف‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫تسمى‬Center,
( ‫بـ‬ ‫بالبؤرتين‬ ‫المار‬ ‫المستقيم‬ ‫ويسمى‬‫البؤري‬ ‫المحور‬)Focal axis‫رأسا‬ ‫يسميان‬ ‫بنقطتين‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ويقطع‬
.‫الناقص‬ ‫القطع‬
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬:
‫لتكن‬P(x,y)‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬:
PF1 + PF2 = 2a ‫التعريف‬ ‫من‬
√(x − c)2 + (y + 0)2 + √(x + c)2 + (y + 0)2 = 2a
‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫تبسيط‬ ‫ومن‬‫نحصل‬:‫على‬
𝐱 𝟐
𝐚 𝟐
+
𝐲 𝟐
𝐛 𝟐
= 𝟏
‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬:‫فيه‬-
1-‫البؤرتان‬c,0)-(2(c,0) , F1F‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬(a‫مقام‬ ‫يكون‬x).
2-‫الرأسان‬,0)a-(2,0) , Va(1V.
3-( ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تقاطعه‬ ‫نقطتي‬ ‫احداثيات‬‫القطبين‬: ‫هما‬ )b)-(0,2Mb) ,,0)1M.
4-‫تسمى‬ ‫الرأسين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬‫الكبير‬ ‫المحور‬(Major axis)‫وطولها‬2a.
5-‫تسمى‬ ‫القطبين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬‫الصغير‬ ‫المحور‬(Minor axis)‫وطولها‬2b.
6-‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬F1F2
̅̅̅̅̅̅‫تساوي‬2c‫وتدعى‬‫البوري‬ ‫البعد‬‫الناقص‬ ‫للقطع‬.
7-‫ان‬‫االعداد‬cb,a,‫موجبة‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫ثلثة‬‫المعادلة‬ ‫تحقق‬2
+ c2
= b2
a.
8-‫ان‬a > c‫و‬a > b‫ا‬‫ا‬‫دائم‬‫القطع‬ ‫في‬ ‫(فقط‬)‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫في‬ ‫تطبق‬ ‫وال‬ ‫الناقص‬.
9-‫المركزي‬ ‫االختلف‬e =
𝐜
𝐚
‫من‬ ‫اصغر‬ ‫ويكون‬1‫ان‬ ‫اي‬e < 1.‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫في‬
‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬:‫األصل‬
𝐱 𝟐
𝐛 𝟐 +
𝐲 𝟐
𝐚 𝟐 = 𝟏
:‫فيه‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬-
1-‫ا‬‫لبؤرتان‬c)-0,(2c) , F0,(1F‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬
2-‫الرأسان‬)a-,0(2) , V,a0(1V
3-‫القطبين‬),0b-(2M) ,,0b)1M
4-‫الكبير‬ ‫المحور‬(Major axis)‫وطولها‬2a.
5-‫الصغير‬ ‫المحور‬(Minor axis)‫وطولها‬2b.
6-‫المسافة‬F1F2
̅̅̅̅̅̅‫تساوي‬2c‫وتدعى‬‫البوري‬ ‫البعد‬.
7-‫بين‬ ‫العلقة‬a , b , c‫هي‬2
+ c2
= b2
a
8-a > c‫و‬a > b‫دائما‬.
9-‫المركزي‬ ‫االختلف‬e =
𝐜
𝐚
‫من‬ ‫اصغر‬ ‫ويكون‬1‫ان‬ ‫اي‬e < 1
F2
F1
(0,-c)
(0,c)
‫بؤرة‬
‫بؤرة‬
V2(0, -a)
M1(b,0)
‫قطب‬
‫قطب‬M2
‫رأس‬
‫رأس‬ V1(0,a)
P(x,y)
(-b,0)
F2 F1
(-c,0) (c,0)
‫بؤرة‬
‫بؤرة‬
V2
(-a,0)
M1(0,b)‫قطب‬
‫قطب‬ M2(0,-b)
‫رأس‬ ‫رأس‬
V1
(a,0)
P(x,y)
y
x

19. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693767/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
:‫مالحظات‬-
1-‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫منطقة‬ ‫مساحة‬Area (A):𝝅A = a b
2-‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫محيط‬)P(Perimeter:√ 𝐚 𝟐+𝐛 𝟐
𝟐
𝟐𝝅=P
3-.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫وحول‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫وحول‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫ا‬‫ا‬‫متناظر‬ ‫يكون‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬
4-‫اليجاد‬a , b‫يتوفر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫يأت‬ ‫ما‬‫ي‬:
a.‫للمعادلة‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬‫يساوي‬1.
b.‫معامل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬2
x‫البسط‬ ‫في‬‫يساوي‬1.
c.‫معامل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬2
y‫البسط‬ ‫في‬‫يساوي‬1.
5-‫مقام‬ ‫كان‬ ‫اذا‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اكبر‬2
y.‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫فالبؤرتان‬
6-‫مقام‬ ‫كان‬ ‫اذا‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اقل‬2
y.‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫فالبؤرتان‬
7-‫القطع‬ ‫مرور‬ ‫نقطة‬( ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫الحد‬ ‫تنتمي‬ ‫عندما‬ )‫(يمر‬ ‫الناقص‬‫أحد‬‫فهي‬ )‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫احداثياتها‬
‫نقطة‬ ‫او‬ ‫رأس‬ ‫نقطة‬ ‫اما‬،‫قطب‬‫اما‬ ‫االخر‬ ‫االحداثي‬ ‫ان‬ ‫اي‬a‫أو‬b.
‫مثال‬15/‫واالختلف‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثيي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬.‫المركزي‬
1)
x2
25
+
y2
16
= 1
/‫الحل‬‫مقام‬ ‫كان‬ ‫اذا‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اكبر‬2
y‫لذلك‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫فالبؤرتان‬‫مع‬ ‫نقارن‬‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
x2
25
+
y2
16
= 1
x2
a2 +
y2
b2 = 1
a2
= 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10 ‫الكبير‬ ‫المحور‬
b2
= 16 ⇒ b = 4 ⇒ 2b = 8 ‫الصغير‬ ‫المحور‬
a2
= b2
+ c2
⇒ 25 = 16 + c2
⇒ c2
= 9 ⇒ c = 3
e =
c
a
=
3
5
‫المركزي‬ ‫الختلف‬
F1(3,0) , F2(-3,0) ‫البؤرتان‬
V1(5,0) , V2(-5,0) ‫الرأسان‬
2) 4x2
+ 3y2
=
4
3
/‫الحل‬‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫قسمة‬ ‫خلل‬ ‫من‬
4
3
3x2
+
9
4
y2
= 1 ⇒
x2
1
3
+
y2
4
9
= 1
x2
1
3
+
y2
4
9
= 1
x2
b2 +
y2
a2 = 1
a2
=
4
9
⇒ a =
2
3
⇒ 2a =
4
3
‫الكبير‬ ‫المحور‬
b2
=
1
3
⇒ b =
1
√3
⇒ 2b =
2
√3
‫الصغير‬ ‫المحور‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬

20. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693768/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
c2
= a2
- b2
⇒ c2
=
4
9
−
1
3
⇒ c2
=
1
9
⇒ c =
1
3
F(0,±
1
3
) ‫البؤرتان‬
V(0,±
2
3
) ‫الرأسان‬
e =
c
a
=
1
3
2
3
=
1
2
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
3) 4x2
+ y2
= 4
/‫الحل‬‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫قسمة‬ ‫خلل‬ ‫من‬4
x2
+
1
4
y2
= 1 ⇒
x2
1
+
y2
4
= 1
:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
1
+
y2
4
= 1
x2
b2 +
y2
a2 = 1
a2
= 4 ⇒ a = 2 ⇒ 2a = 4 ‫الكبير‬ ‫المحور‬
b2
= 1 ⇒ b = 1 ⇒ 2b = 2 ‫الصغير‬ ‫المحور‬
c2
= a2
– b2
⇒ c2
= 4 – 1 ⇒ c2
= 3 ⇒ c = √3
F(0,± √3) ‫البؤرتان‬
V(0,± 2) ‫الرأسان‬
e =
c
a
=
√3
2
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
‫مثال‬16/, ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫ويقطع‬
‫طوله‬ ‫ا‬‫ا‬‫جزء‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬8‫طوله‬ ‫ا‬‫ا‬‫جزء‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬12‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫وحدة‬
.‫ومحيطه‬ ‫منطقته‬ ‫ومساحة‬
/‫الحل‬‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬‫أكبر‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬
∴‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2a = 12 ⇒ a = 6
2b = 8 ⇒ b = 4
x2
b2 +
y2
a2 = 1 ⇒
x2
16
+
y2
36
= 1 ‫المعادلة‬
c2
= a2
- b2
⇒ c2
= 36 – 16 = 20 ⇒ c = √20 = 2√5
2c = 4√5 ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
A = a.b.𝜋 = 6(4) 𝜋 = 24𝜋 unit2
‫المساحة‬
P = 2𝜋√a2+b
2
2
= 2𝜋√
36+16
2
= 2𝜋 √
52
2
= 2𝜋 √26 unit ‫المحيط‬
‫بالمقارنة‬

21. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693769/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬17/‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬),03-(2,0) , F3(1F‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫ومجموع‬
‫يساوي‬ ‫البؤرتين‬ ‫عن‬ ‫اليه‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬10.‫وحدات‬
/‫الحل‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
F1(3,0) , F2(-3,0) ⇒ c = 3
2a = 10 ⇒ a = 5
a2
= b2
+ c2
⇒ 25 = b2
+ 9 ⇒ b2
= 16 ⇒ b = 4
x2
a2 +
y2
b2 = 1 ⇒
x2
25
+
y2
16
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬18/‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫والمسافة‬ , ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
6‫المحورين‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫والفرق‬ ‫وحدات‬2.‫وحدة‬
/‫الحل‬
2c = 6 ⇒ c = 3
2a – 2b = 2 ⇒ a – b = 1 ⇒ a = b + 1 ……….
a2
= b2
+ c2
………..
‫نعوض‬‫في‬:
(b+1)2
= b2
+ 9 ⇒ b2
+ 2b + 1 = b2
+ 9 ⇒ 2b + 1 = 9 ⇒ 2b = 8 ⇒ b = 4
a = b + 1 ⇒ a = 4 + 1 = 5
x2
25
+
y2
16
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬19/‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الكبير‬ ‫ومحوره‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
(4,0) , (-4,0)‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫والنسبة‬
2
5
.
/‫الحل‬‫والنقطتين‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬(4,0) , (-4,0)‫هما‬ ‫النقطتين‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬‫ال‬‫قطبي‬‫ن‬.
∴ b = 4 ⇒ ∴
x2
b2 +
y2
a2 = 1
2b
2a
=
2
5
⇒
8
2a
=
2
5
⇒ 4a = 40 ⇒ ∴ a = 10 ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫من‬
x2
16
+
y2
100
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬20/‫احدى‬ ‫وتبعد‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الكبير‬ ‫ومحوره‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫بالعددين‬ ‫الرأسين‬ ‫عن‬ ‫بؤرتيه‬7 , 3.‫الترتيب‬ ‫على‬
/‫الحل‬
2a = 3 + 7 = 10 ⇒ a = 5
c = 5 – 3 = 2
a2
= b2
+ c2
⇒ 25 = b2
+ 4 ⇒ b2
= 21
x2
25
+
y2
21
= 1 ‫المعادلة‬
F1
V2
(-a,0)
V1
(a,0)
37
ca

22. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693770/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬21/‫لتكن‬= 362
+ 4y2
kx‫بؤرتيه‬ ‫احدى‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ , ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬)3,0(‫قيمة‬ ‫جد‬ ,k.
/‫الحل‬‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫بقسمة‬ ‫وذلك‬ ‫القياسية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المعادلة‬ ‫نكتب‬36
kx2
+ 4y2
= 36 ⇒
x2
36
k
+
y2
9
= 1
a2
=
36
k
, b2
= 9 , c2
= 9 ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
a2
= b2
+ c2
⇒
36
k
= 9 + 9 = 18 ⇒ k =
36
18
= 2
‫مثال‬22/‫مع‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ادلة‬),02-(2,0) , F2(1F= ‫الثابت‬ ‫والعدد‬6
.‫وحدات‬
/‫الحل‬‫لتكن‬P(x,y)‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬
PF1 + PF2 = 2a ‫التعريف‬ ‫من‬
√(x − 2)2 + (y + 0)2 + √(x + 2)2 + (y − 0)2 = 6
√(x − 2)2 + y2 = 6 - √(x + 2)2 + y2
(x − 2)2
+ y2
= 36 - 12√(x + 2)2 + y2+ (x + 2)2
+ y2
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
–4x +4 +y2
= 36 - 12√(x + 2)2 + y2 + x2
+4x +4 +y2
–4x = 36 - 12√(x + 2)2 + y2 + 4x ⇒ 12√(x + 2)2 + y2 = 36 + 8x
3√(x + 2)2 + y2 = 9 + 2x ‫على‬ ‫بالقسمة‬4
9((x + 2)2
+ y2
) = 81 + 36x + 4x2
⇒ 9(x2
+ 4x + 4 + y2
) = 81 + 36x + 4x2
9x2
+ 36x + 36 + 9y2
= 81 + 36x + 4x2
⇒ 9x2
+ 36 + 9y2
= 81 + 4x2
5x2
+ 9y2
= 81 – 36 ⇒ 5x2
+ 9y2
= 45 45 ‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫بقسمة‬
x2
9
+
y2
5
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬23/‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬،‫االصل‬‫وإحدى‬‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫بؤرتيه‬‫المكافئ‬
12x = 0–2
y‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬10.‫وحدات‬
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫نستخدم‬‫إليجاد‬ ‫المكافئ‬:‫البؤرة‬
y2
– 12x = 0
y2
= 12x
y2
= 4px
4p = 12 ⇒ p = 3
∴‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬F(3,0).‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫احدى‬ ‫وهي‬
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬)3,0-(2F,)3,0(1F
∴ c = 3
2b = 10 ⇒ b = 5
a2
= b2
+ c2
⇒ a2
= 25 + 9 = 34
x2
34
+
y2
25
= 1 ‫المعادلة‬
‫بالمقارنة‬

23. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693771/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
]5–2[:‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫القطع‬ ‫مركز‬ ‫ان‬‫فاذا‬ , ‫التناظر‬ ‫محوري‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هو‬ ‫الناقص‬
‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫المركز‬ ‫كان‬(h , k)‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫يوازيان‬ ‫والمحوران‬‫فإننا‬‫في‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
:‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫الجديدة‬ ‫االحداثيات‬
‫النقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫يوازي‬ ‫االكبر‬ ‫محوره‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬)h,k(
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫انسحاب‬ ‫عند‬O(0,0)‫بمقدار‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬h‫وعلى‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬
‫بمقدار‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬k:‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫تصبح‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬-
(𝐱 − 𝐡) 𝟐
𝐚 𝟐
+
(𝐲 − 𝐤) 𝟐
𝐛 𝟐
= 𝟏
‫المركز‬ ‫انسحاب‬:𝑶̅(𝐡 , 𝐤)
‫البؤرتين‬ ‫انسحاب‬:
(c + h , k) , 𝐅̅𝟐 (h - c , k)𝐅̅𝟏
‫الرأسين‬ ‫انسحاب‬:
(a + h , k) , 𝐕̅𝟐 (h - a , k)𝐕̅𝟏
‫القطبين‬ ‫انسحاب‬:
(h , k + b) , 𝐌̅ 𝟐(h , k - b)𝐌̅ 𝟏
‫الكبير‬ ‫المحور‬‫طوله‬2a‫من‬،‫الوحدات‬
‫ومعادلته‬y = k
‫طوله‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬2b‫من‬،‫الوحدات‬
‫ومعادلته‬x = h
‫النقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫يوازي‬ ‫االكبر‬ ‫محوره‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬)h,k(
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫انسحاب‬ ‫عند‬O(0,0)‫بمقدار‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬h‫وعلى‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬
‫بمقدار‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬k:‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫تصبح‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬-
(𝐱 − 𝐡) 𝟐
𝐛 𝟐
+
(𝐲 − 𝐤) 𝟐
𝐚 𝟐
= 𝟏
‫المركز‬ ‫انسحاب‬𝑶̅(𝐡 , 𝐤)
‫البؤرتين‬ ‫انسحاب‬:
)k+c-h ,(2𝐅̅) ,k+ch ,(𝐅̅𝟏
‫الرأسين‬ ‫انسحاب‬:
)k+a-h ,(2𝐕̅) ,k+ah ,(𝐕̅𝟏
‫القطبين‬ ‫انسحاب‬:
)k,b-h(2𝐌̅) ,k,b+h(𝐌̅ 𝟏
‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬‫الصادات‬
‫وطوله‬2a‫من‬،‫الوحدات‬‫ومعادلته‬x = h
‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬‫السينات‬
‫وطوله‬2b‫من‬،‫الوحدات‬‫ومعادلته‬y = k
F̅2
F̅1
(h ,k-a)
(h ,c+k)
M̅1
(b+h ,k)
V̅1 (h ,a+k)
𝑋
𝑌
𝑋̅
𝑌̅
ℎ
𝑘
V̅2
M̅2
(h-b ,k)
(h,k-c)
F̅2 F̅1
(h-c ,k) (c+h ,k)
M̅1(h ,k-b)
V̅1
(a+h ,k)
𝑋
𝑌
𝑋̅
𝑌̅
ℎ
𝑘
V̅2
(h-a ,k)
M̅2(h ,k+b)

24. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693772/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
‫مثال‬24/: ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ومعادلة‬ ‫وطول‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫جد‬
(x−2)2
9
+
(y−1)2
25
= 1‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,e.
/‫الحل‬‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬ , ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
(x−2)2
9
+
(y−1)2
25
= 1
(x−h)2
b2 +
(y−k)2
a2 = 1
b2
= 9 ⇒ b = 3
a2
= 25 ⇒ a = 5
h = 2 , k = 1
a2
= b2
+ c2
⇒ 25 = 9 + c2
c2
= 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4
𝑂̅(h , k) = (2,1) : ‫المركز‬
2a = 10 unit :‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = 2 :‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 6 unit :‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = 1 :‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
F̅1(h , c+k) = (2, 4+1) = (2,5)
F̅2(h , k-c) = (2, -4+1) = (2,-3)
V̅1(h , a+k) = (2,5+1) = (2,6)
V̅2(h , k-a) = (2,-5+1) = (2,-4)
e =
c
a
=
4
5
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬2-2
1)‫المركزي‬ ‫واالختلف‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ومعادلة‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫والمركز‬ ‫والقطبين‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عين‬
‫المبينة‬ ‫الناقصة‬ ‫للقطوع‬:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫معادالتها‬
a. x2
+ 2y2
= 1
/‫الحل‬: ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫يتم‬
x2
+ 2y2
= 1
x2
1
+
y2
1
2
= 1
x2
a2
+
y2
b2 = 1
𝑂(h , k) = (0,0) ‫المركز‬
a2
= 1 ⟹ a = 1
b2
=
1
2
⟹ b =
1
√2
a2
= b2
+ c2
⟹ 1 =
1
2
+ c2
c2
=
1
2
⟹ c =
1
√2
‫بالمقارنة‬
F(±
1
√2
, 0) ‫البؤرتان‬
V(±1, 0) ‫الرأسان‬
M(0, ±
1
√2
) ‫القطبان‬
2a = 2(1) = 2unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = 0 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(
1
√2
) = √2 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = 0 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
1
√2
1
=
1
√2
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
F̅2
F̅1
(2 ,-4)
(2 ,5)
M̅1
(5 ,1)
V̅1 (2 ,6)
𝑋
𝑌
𝑋̅
𝑌̅
2
1
V̅2
M̅2
(-1 ,1)
(2,-3)
‫البؤرتان‬
‫الرأسان‬
‫بالمقارنة‬

25. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693773/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
b. 9x2
+ 13y2
= 117
/‫الحل‬‫ترتيب‬ ‫يتم‬:‫المعادلة‬
9x2
+ 13y2
= 117 ⟹
9x2
117
+
13y2
117
= 1
x2
13
+
y2
9
= 1
a2
= 13 ⟹ a = √13
b2
= 9 ⟹ b = 3
c2
= a2
- b2
⟹ c2
=13 -9 = 4 ⟹ c = 2
𝑂(h , k) = (0,0) ‫المركز‬
F(±2, 0) ‫البؤرتان‬
V(±√13, 0) ‫الرأسان‬
M(0, ±3) ‫القطبان‬
2a = 2(√13) = 2√13 unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = 0 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(3) = 6 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = 0 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
2
√13
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
c.
(x−4)2
81
+
(y+1)2
25
= 1 2013-2
/‫الحل‬
(x−4)2
81
+
(y+1)2
25
= 1
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
b
2 = 1
:‫بالمقارنة‬
a2
= 81 ⟹ a = 9
b2
= 25 ⟹ b =5
c2
= a2
- b2
= 81 – 25 = 56 ⟹ c = √56
2a = 2(9) = 18unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⟹ y = -1 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(5) = 10 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⟹ x = 4 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
√56
9
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
h = 4 , k = -1
‫المحور‬ ‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬
‫المركز‬ , ‫السيني‬𝐎̅(𝟒,−𝟏)
‫مقام‬ ‫ألن‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اكبر‬2
y
‫البؤرتان‬:
F̅1(c+h, k) = (√56+4, -1)
F̅2 (-c+h, k) = (-√56+4, -1)
‫الرأسان‬:
V̅1(a+h, k) = (13, -1)
V̅2 (-a+h, k) = (-5, -1)
‫القطبان‬:
M̅1(h, b+k) = (4, 4)
M̅2 (h, -b+k) = (4, -6)

26. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693774/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
d.
(x+3)2
9
+
(y+2)2
25
= 1 2013-1 2015-‫ت‬
/‫الحل‬
(x+3)2
9
+
(y+2)2
25
= 1
(x−h)2
b
2 +
(y−k)2
a2 = 1
a2
= 25 ⟹ a = 5
b2
= 9 ⟹ b =3
c2
= a2
- b2
⟹ c2
= 25 – 9 = 16
c = 4
2a = 2(5) = 10unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⟹ x = -3 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(3) = 6 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⟹ y = -2 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
4
5
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
e. 9x2
+ 16y2
– 72x – 96y + 144 = 0
/‫الحل‬:‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
9x2
+ 16y2
– 72x – 96y + 144 = 0 ⟹ 9x2
– 72x + 16y2
– 96y = -144
‫نضيف‬144:‫المعادلة‬ ‫لطرفي‬ ‫مرتين‬
9x2
– 72x + 144 + 16y2
– 96y +144 = -144 + 144 + 144
9)x2
– 8x + 16) + 16(y2
– 6y + 9) = 144 ⟹ 9)x - 4)2
+ 16(y – 3)2
= 144 ÷144
(x−4)2
16
+
(y−3)2
9
= 1
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
b
2 = 1
‫بالمقارنة‬:
a2
= 16 ⟹ a = 4
b2
= 9 ⟹ b = 3
c2
= a2
- b2
⟹ c2
= 16 – 9 = 7
c = √7
f. x2
+ 25y2
+ 4x – 150y + 204 = 0
/‫الحل‬:‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
x2
+ 25y2
+ 4x – 150y + 204 = 0
x2
+ 4x + 25y2
– 150y = -204
‫المعادلة‬ ‫لطرفي‬ ‫نضيف‬4‫و‬225:
x2
+ 4x + 4 + 25y2
– 150y + 225 = -204 + 4 + 225
)x2
+ 4x + 4) + 25(y2
– 6y + 9) = 25 ⟹ )x + 2)2
+ 25(y – 3)2
= 25 ÷25
‫بالمقارنة‬
h = 4 , k = 3
‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬
, ‫السيني‬ ‫المحور‬
‫المركز‬𝐎̅(4, 3)
h = -3 , k = -2
‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬
‫المحور‬‫الصادي‬,
‫المركز‬𝐎̅(-3, -2)
‫البؤرتان‬:
F̅1(h, c+k) = (-3, 2)
F̅2 (h, -c+k) = (-3, -6)
‫الرأسان‬:
V̅1(h, a+k) = (-3, 3)
V̅2 (h, -a+k) = (-3, -7)
‫القطبان‬:
M̅1(b+h, k) = (0, -2)
M̅2 (-b+h, k) = (-6, -2)
F̅1 (√7+4, +3),F̅2 (-√7+4, +3) ‫البؤرتان‬
V̅1 (8, 3) , V̅2 (0, 3) ‫الرأسان‬
M̅1 (4, 6) , M̅2 (4, 0) ‫القطبان‬
2a = 2(4) = 8unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⟹ y = 3 ‫المحور‬ ‫معادلة‬‫الكبير‬
2b = 2(3) = 6 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⟹ x = 4 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
√7
4
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬

27. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693775/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
(x+2)2
25
+
(y−3)2
1
= 1
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
b
2 = 1
‫بالمقارنة‬:
a2
= 25 ⟹ a = 5
b2
= 1 ⟹ b =1
c2
= a2
- b2
⟹ c2
= 25 – 1 = 24
c = √24 = 2√6
F̅1 (2√6-2, 3) , F̅2 (-2√6-2, 3) ‫البؤرتان‬
V̅1 (3, 3) , V̅2 (-7, 3) ‫الرأسان‬
M̅1 (-2, 4) , M̅2 (-2, 2) ‫القطبان‬
2):‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬
a.‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬(-5,0),(5,0)‫يساوي‬ ‫الكبير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬12.‫وحدة‬2015-1
/‫الحل‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
F1(5, 0) , F2(-5, 0) ⟹ c = 5
2a = 12 ⟹ a = 6 ⟹ a2
= 36
a2
= b2
+ c2
a,c ‫عن‬ ‫نعوض‬
36 = b2
+ 25 ⟹ b2
= 11 ⟹
x2
36
+
y2
11
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
b.‫هما‬ ‫البؤرتان‬(0,±2)‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ويتقاطع‬x = ±4.
/‫الحل‬‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
F1 (0, 2) , F2 (0, -2) ⟹ c = 2
∵‫التقطاع‬ ‫نقطتي‬ ‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫يتقاطع‬ ‫الناقص‬ ‫والقطع‬ , ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬(4,0) , (-4,0)
∴‫النقطتان‬(4,0) , (-4.0):‫القطبين‬ ‫تمثلن‬
b = 4
a2
= b2
+ c2
a,c ‫عن‬ ‫نعوض‬
a2
= 16 + 4 ⟹ a2
= 20 ⟹
x2
16
+
y2
20
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
c.‫بالعددين‬ ‫الكبير‬ ‫محوره‬ ‫نهايتي‬ ‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫بؤرتيه‬ ‫احدى‬5 , 1.‫الترتيب‬ ‫على‬ ‫وحدة‬
/‫الحل‬‫محور‬ ‫اي‬ ‫على‬ ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬‫فإننا‬:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االحتمالين‬ ‫نأخذ‬
1):‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2a = 5 + 1 = 6 ⟹ a = 3
c = 3 – 1 = 2
a2
= b2
+ c2
a,c ‫عن‬ ‫نعوض‬
9 = b2
+ 4 ⟹ b2
= 5
x2
9
+
y2
5
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
h = -2 , k = 3
‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬
, ‫السيني‬ ‫المحور‬
‫المركز‬𝐎̅(-2, 3)
F1
V2
(-a,0)
V1
(a,0)
15
ca
2a = 2(5) = 10unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⟹ y = 3 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(1) = 2 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⟹ x = -2 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
2√6
5
< 1 ‫ا‬‫المركزي‬ ‫الختلف‬

28. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693776/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
2):‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
5
+
y2
9
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
d.= ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
1
2
‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬12.‫طولية‬ ‫وحدة‬
/‫الحل‬‫محور‬ ‫اي‬ ‫على‬ ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬‫فإننا‬:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االحتمالين‬ ‫نأخذ‬
1):‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2b = 12 ⟹ b = 6
e =
c
a
⟹ a =
c
e
=
c
1
2
⟹ a = 2c
a2
= 4c2
……………❶
a2
= b2
+ c2
………❷
‫قيمة‬ ‫نعوض‬b= 6‫وقيمة‬2
a‫معادلة‬ ‫من‬❶‫المعادلة‬ ‫في‬❷:
4c2
= 36 + c2
3c2
= 36 ⟹ c2
= 12
a2
= 4c2
= 4 . 12 = 48 ❶ ‫المعادلة‬ ‫في‬ c2
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
x2
48
+
y2
36
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
2)‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬:‫الصادات‬
x2
36
+
y2
48
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
e.‫تساوي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬8‫يساوي‬ ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫ونصف‬ , ‫وحدات‬3.‫وحدة‬
/‫الحل‬
1)‫إذا‬:‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ‫كانت‬
2c = 8 ⟹ c = 4 , b = 3
a2
= b2
+ c2
⟹ a2
= 9 + 16 ⟹ a2
=25 ⟹ a = 5
x2
25
+
y2
9
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
2)‫إذا‬‫المحور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ‫كانت‬‫الصادي‬:
x2
9
+
y2
25
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫فروع‬‫السنوات‬ ‫من‬ ‫اضافية‬‫السابقة‬:
f.‫رأساه‬(0.-6),(0.6)‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫ومجموع‬16.‫وحدة‬
/‫الحل‬
V1 (0, -6) , V2 (0, 6) ⟹ a = 6 ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2a + 2b = 16 ÷2
a + b = 8 ⟹ 6 + b = 8 ⟹ b = 2 ⟹
x2
4
+
y2
36
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
g.‫المستطيل‬ ‫اضلع‬a,b,c,d‫حيث‬ ‫له‬ ‫مماسات‬a(4,3) , b(-4,3) , c(-4,-3) , d(4,-3).
/‫الحل‬
2a = 8 ⇒ a = 4
2b = 6 ⇒ b = 3 ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
16
+
y2
9
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
3
3
4
4

29. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693777/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
h.‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫بنقطتي‬ ‫يمر‬2x + y = 8.‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫مع‬
/‫الحل‬
2x + y = 8
‫نأخذ‬x = 0‫قيمة‬ ‫لنحدد‬y:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫في‬
x = 0 ⇒ y = 8 ⇒ (0,8)
‫نأخذ‬y = 0‫لنحدد‬‫قيمة‬x:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫في‬
y = 0 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4 ⇒ (4,0)
‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫اذا‬(0,8) , (4,0)
: ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬a = 8 , b = 4
x2
16
+
y2
64
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
i.‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬6‫بالنقطتيــــن‬ ‫ويمر‬ ‫وحدات‬(-3,0) , (3,0).
/‫الحل‬
2c = 6 ⟹ c = 3
‫بالنقطتيــــن‬ ‫يمر‬(-3,0) , (3,0)
‫االحداثي‬ ‫فان‬ )‫صفر‬ ‫احداثييها‬ ‫احد‬ ‫ان‬ ‫(اي‬ ‫المحورين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫وتقع‬ , ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ )‫(تمر‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
‫اما‬ ‫االخر‬a‫او‬b.
‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬a = 3‫الن‬a > c
b = 3
∴‫النقطتين‬(-3,0) , (3,0)‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫قطبي‬ ‫هما‬:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتين‬ ‫ان‬ ‫اي‬
a2
= b2
+ c2
⟹ a2
= 9 + 9 ⟹ a2
=18
x2
9
+
y2
18
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
j.‫البؤرتان‬(-2,0) , (2,0)‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬(2,-3).
/‫الحل‬
F1 (2, 0) , F2 (-2, 0) ⟹ c = 2
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
‫النقطة‬(2,-3):‫المعادلة‬ ‫تحقق‬
x2
a2 +
y2
b2 = 1
4
a2 +
9
b2 = 1 . a2
.b2
4b2
+ 9a2
= a2
.b2
……..…..❶
a2
= b2
+ c2
= b2
+ 4
‫في‬ ‫نعوض‬❶‫عن‬2
a‫بـ‬+ 42
b:
4b2
+ 9(b2
+ 4) = (b2
+ 4).b2
⟹ 4b2
+ 9b2
+ 36 = b4
+ 4b2
9b2
+ 36 = b4
⟹ b4
- 9b2
– 36 = 0 ⟹ (b2
-12)(b2
+3) = 0
b2
- 12 = 0 ⇒ b2
= 12 , b2
+3≠0 ‫تهمل‬
a2
= b2
+ 4 = 12 + 4 = 16
x2
16
+
y2
12
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬

30. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693778/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
F1 (2, 0) , F2 (-2, 0) , P(2,-3) ⟹ c = 2 /‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
PF1 + PF2 = 2a ‫التعريف‬
√(2 − 2)2 + (−3)2 + √(2 + 2)2 + (−3)2 = 2a
√9 + √16 + 9 = 2a ⟹ √9 + √25 = 2a ⟹ 3 + 5 = 2a ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4
a2
= b2
+ c2
⇒ 16 = b2
+ 4 ⇒ b2
= 12
x2
16
+
y2
12
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
3):‫علم‬ ‫اذا‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
a.‫النقطتان‬ ‫بؤرتاه‬(0,±2)‫النقطتان‬ ‫وراساه‬(0,±3)‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬.
/‫الحل‬‫الصادي‬ ‫للمحور‬ ‫تنتميان‬ ‫البؤرتان‬
MF1 + MF2 = 2a = 6 ‫التعريف‬
√(x − 0)2 + (y − 2)2 + √(x − 0)2 + (y + 2)2 = 6
√x2 + (y − 2)2 = 6 - √x2 + (y + 2)2
x2
+ (y − 2)2
= 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + x2
+ (y + 2)2
x2
+ y2
− 4y + 4 = 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + x2
+ y2
+ 4y + 4
−4y = 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + 4y
12√x2 + (y + 2)2 = 36 + 8y ÷ 4
3√x2 + (y + 2)2 = 9 + 2y ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
9(x2
+ (y + 2)2) = 81 + 36y + 4y2
9x2
+ 9y2
+ 36y + 36 = 81 + 36y + 4y2
9x2
+ 5y2
= 81- 36 = 45 ÷ 45
x2
5
+
y2
9
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
b.‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬6‫الثابت‬ ‫والعدد‬ ‫وحدة‬10‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫والبؤرتان‬.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
/‫الحل‬‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬6
2c = 6 ⇒ c = 3
‫الثابت‬ ‫البعد‬ = 2a = 10 ⟹ a = 5
MF1 + MF2 = 2a
√(x + 3)2 + (y − 0)2 + √(x − 3)2 + (y − 0)2 = 2a = 10
√(x + 3)2 + y2 = 10 - √(x − 3)2 + y2 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
(x + 3)2
+ y2
= 100 - 20√(x − 3)2 + y2 + (x − 3)2
+ y2
x2
+ 6x + 9 = 100 - 20√(x − 3)2 + y2 + x2
− 6x + 9
6x = 100 - 20√(x − 3)2 + y2 −6x
20√(x − 3)2 + y2 = 100 − 12x ÷ 4
5√(x − 3)2 + y2 = 25 − 3x ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
25((x − 3)2
+ y2) = 625 − 150x + 9x2
25(x2
− 6x + 9 + y2) = 625 − 150x + 9x2
25x2
− 150x + 225 + 25y2
= 625 − 150x + 9x2
16x2
+ 25y2
= 400 ÷ 400
x2
25
+
y2
16
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
F2 (0,-2)
F1 (0,2)
V2(0, -3)
V1(0,3)
M(x,y)
F2
F1
M(x,y)
3
3

31. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693779/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
4)‫معادل‬ ‫جد‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ة‬‫وإحدى‬‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬‫معادلته‬
+ 8x = 02
y‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بان‬ ‫علما‬)√3,√32(.2014-2
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫نجد‬ ‫المكافئ‬:‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫احدى‬ ‫وهي‬ ‫البؤرة‬
y2
+ 8x = 0
y2
= -8x
y2
= -4px
(-2,0) ‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬
(2,0) , (-2,0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
c = 2
a2
= b2
+ c2
⟹ a2
= b2
+ 4 ……❶
x2
a2 +
y2
b2 = 1 ‫القياسية‬ ‫والمعادلة‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
(2√3 , √3) ∈ ‫للقطع‬
12
a2 +
3
b2 = 1 a2
.b2
‫بـ‬ ‫نضرب‬
12b2
+ 3a2
= a2
b2
…….. ❷
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
a‫معادلة‬ ‫من‬❶‫معادلة‬ ‫في‬❷:
12b2
+ 3(b2
+ 4) = (b2
+ 4)b2
⟹ 12b2
+ 3b2
+ 12 = b4
+ 4b2
b4
- 11 b2
- 12 = 0 ⟹ (b2
- 12)( b2
+ 1) = 0
b2
+ 1 = 0 ‫تهمل‬ ⟹ ∴ b2
– 12 = 0 ⟹ b2
= 12
a2
= 12 + 4 = 16 ⟹
x2
16
+
y2
12
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
5)‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(6,2) ,
(3,4).
/‫الحل‬:‫هي‬ ‫المعادلة‬ , ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
a2 +
y2
b2 = 1
(3,4) ∈ ‫للقطع‬ ⇒
9
a2 +
16
b2 = 1 …..… ❶
(2,6) ∈ ‫للقطع‬ ⇒
36
a2 +
4
b2 = 1 …..… ❷
‫المعادلة‬ ‫نضرب‬❶‫بـ‬4‫معادلة‬ ‫من‬ ‫ونطرحها‬❷:
36
a2 +
64
b2 = 4
36
a2 +
4
b2 = 1
‫بالطرح‬
0 +
60
b
2 = 3
b2
=
60
3
= 20
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
b‫على‬ ‫لنحصل‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬2
a:
9
a2 +
16
20
= 1 ⇒
9
a2 +
4
5
= 1 ⟹
9
a2 =
1
5
⇒ a2
= 45
x2
45
+
y2
20
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
4p = 8
p = 2
‫بالمقارنة‬ ⟹

32. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693780/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
6)‫المنحني‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطتا‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
3x = 16–2
+ y2
x‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬‫المكافئ‬= 12x2
y.
/‫الحل‬‫عندما‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬ ‫نستخرج‬ ‫المنحني‬ ‫معادلة‬ ‫من‬x = 0:
02
+ y2
– 3(0) = 16 ⇒ y2
= 16
y = ± 4
(0,4) , (0,-4) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬4c =
‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬:‫الدليل‬ ‫نجد‬
y2
= 12x
y2
= 4px
4p = 12 ⇒ p = 3 ⇒ x = -3 ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫معادلة‬‫المكافئ‬
‫القطع‬ ‫دليل‬‫المكافئ‬x = -3‫عند‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫يمس‬(-3,0)
(3,0) , (-3,0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫قطبي‬
a2
= b2
+ c2
⇒ a2
= 9 + 16 = 25
x2
9
+
y2
25
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
7)‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ومركزه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتميان‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫القطع‬ ‫ويقطع‬ ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫ضعف‬ ‫الكبير‬‫المكافئ‬+ 8x = 02
y‫السيني‬ ‫احداثيها‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫عند‬
‫يساوي‬(-2).
/‫الحل‬‫عن‬ ‫نعوض‬x = -2‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬‫إليجاد‬ ‫المكافئ‬‫قيمتي‬y
‫ل‬:‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬
y2
+ 8x = 0 ⇒ y2
+ 8(-2) = 0
y2
= 16 ⇒ y = ±4
‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬(-2, ±4):‫ومعادلته‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتميان‬
x2
a2 +
y2
b2 = 1 ⇒
(−2)2
a2 +
(4)2
b2 = 1 ⇒
4
a2 +
16
b2 = 1………… ❶
2a = 2(2b) ⇒ a = 2b ……….. ❷
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫معادلة‬ ‫من‬❷‫معادلة‬ ‫في‬❶:
4
(2b)2 +
16
b2 = 1 ⇒
4
4b2 +
16
b2 = 1 ⇒
1
b2 +
16
b2 = 1
17
b2 = 1 ⇒ b2
= 17 ⇒ b = √17
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
b‫معادلة‬ ‫في‬❶‫لنجد‬2
a:
a = 2b ⇒ a = 2√17 ⇒ a2
= 68
x2
68
+
y2
17
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
8)‫معادلته‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬= 362
+ ky2
hx( ‫يساوي‬ ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مربعي‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬60, )
‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬‫المكافئ‬‫معادلته‬ ‫الذي‬x√3= 42
y‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ ,R∈h , k‫؟‬
/‫الحل‬‫على‬ ‫بقسمتها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫نعيد‬36:
‫بالمقارنة‬
(-2,4)
(-2,4)
-2

33. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693781/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
hx2
+ ky2
= 36 ⇒
x2
36
h
+
y2
36
k
= 1
(2a)2
+ (2b) 2
= 60 ⇒ 4a2
+ 4b2
= 60 ⟹ a2
+ b2
= 15 ……. ❶ 4 ‫على‬ ‫بالقسمة‬
‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬:‫بؤرته‬ ‫نجد‬
y2
= 4√3x
y2
= 4px
)√3 , 0) ‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬
)√3 , 0) , )−√3 , 0) ‫بؤرتي‬‫الناقص‬ ‫القطع‬
c = √3
a2
= b2
+ c2
⟹ a2
= b2
+ 3
a2
- b2
= 3 ..….. ❷
a2
+ b2
= 15 ……. ❶
‫بالجمع‬
2a2
+ 0 = 18 ⇒ 2a2
= 18 ⇒ a2
= 9
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
a‫معادلة‬ ‫في‬❶‫لنجد‬2
b:
9 + b2
= 15 ⇒ b2
= 6
‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬h‫و‬k(‫البؤر‬‫تان‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬: )
a2
=
36
h
⇒ 9 =
36
h
⇒ h =
36
9
= 4
b2
=
36
k
⇒ 6 =
36
k
⇒ k =
36
6
= 6
9)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬= 24y2
x
‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫ومجموع‬36.‫وحدة‬2012-2
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫نجد‬:
x2
= 24y
x2
= 4py
F(0,6) ‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬
F1(0,6) , F2(0.-6) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
c = 6 ⟹ a2
= b2
+ c2
⇒ a2
= b2
+ 36 ………... ❶
2a + 2b = 36 ⇒ a + b = 18 ⟹ a = 18 - b ………. ❷
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫معادلة‬ ‫في‬❶:
a2
= b2
+ 36 ⇒ (18 - b)2
= b2
+ 36 ⟹ 324 – 36b + b2
= b2
+ 36
36b = 324 – 36 = 288 ⟹ b =
288
36
= 8
‫معادلة‬ ‫من‬❶‫قيمة‬ ‫نعوض‬b‫قيمة‬ ‫لنجد‬a:
a = 18 – b ⇒ a = 18 – 8 = 10
:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
64
+
y2
100
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬ 4p = 24
p = 6
⇒
⇒ 4p = 4√3 ⇒ p = √3

34. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693782/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
10)‫بؤرتيه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬F)0,4-(2F) ,0,4(1‫والنقطة‬P‫بحيث‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬
‫المثلث‬ ‫محيط‬ ‫ان‬2F1FP‫يساوي‬24.‫وحدة‬2014-1
/‫الحل‬
‫الثلث‬ ‫اضلعه‬ ‫اطوال‬ ‫مجموع‬ = ‫المثلث‬ ‫محيط‬
PF1 + PF2 + F1F2 = 24
PF1+PF2 = 2a , F1F2 =2c ‫التعريف‬ ‫من‬
2a + 2c = 24 ⇒ a + c = 12 ..…. ❶
F1(4 , 0) , F2(-4 , 0) ‫البؤرتان‬
c = 4
‫قيمة‬ ‫نعوض‬c‫المعادلة‬ ‫في‬❶‫على‬ ‫لنحصل‬a:
a + 4 = 12 ⇒ a = 8
a2
= b2
+ c2
⇒ 64 = b2
+ 16 ⇒ b2
= 64 - 16 = 48
x2
64
+
y2
48
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫لتكن‬+12x=02
y,x=012–2
y, ‫مكافئين‬ ‫قطعين‬ ‫معادلتي‬‫ثم‬ , ‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بؤرة‬ ‫جد‬
‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫المكافئين‬ ‫القطعين‬ ‫بؤرتي‬ ‫هما‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬10.‫وحدات‬
/‫الحل‬
y2
+ 12x = 0 ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫نعيد‬
y2
= -12x
y2
= -4px
F1(-3,0) ‫المكافئ‬ ‫بؤرة‬ , x = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y2
- 12x = 0 ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫نعيد‬
y2
= 12x
y2
= 4px
F2(3,0) ‫المكافئ‬ ‫بؤرة‬ , x = -3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F1(-3,0) , F2(3,0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
c = 3
2b = 10 ⇒ b = 5
a2
= b2
+ c2
⇒ a2
= 25 + 9 = 34
:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
34
+
y2
25
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
F1
P(x,y)
(-4,0)
F2
(4,0)
‫بالمقارنة‬ 4p = 12
p = 3
⇒
‫بالمقارنة‬ 4p = 12
p = 3
⇒

35. [ 2 – 6 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫الزائد‬ ‫القطع‬(Hyperbola)
‫أحمد‬ ‫االستاذ‬‫الشمري‬/0770451693783/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
]6–2[‫الزائد‬ ‫القطع‬)Hyperbola(:
: ‫تعريف‬‫نقطتين‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫بعدي‬ ‫لفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫تكون‬ ‫التي‬ ‫المستوي‬ ‫في‬ ‫النقط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬
( ‫ثابتا‬ ‫عددا‬ ‫يساوي‬ )‫(البؤرتان‬ ‫ثابتتين‬2a.‫الوحدات‬ ‫من‬ )
1-‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬:
‫النقطة‬P(x,y)‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬
:‫التعريف‬ ‫من‬
|PF1 – PF2| = 2a
√(x − c)2 + y2 − √(x + c)2 + y2 = 2a
: ‫المعادلة‬ ‫تبسيط‬ ‫ومن‬
:‫فيه‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬
𝐱 𝟐
𝐚 𝟐 −
𝐲 𝟐
𝐛 𝟐 = 𝟏
1-‫نقطة‬ ‫مركزه‬.‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫منتصف‬ ‫وهي‬ ‫االصل‬
2-‫البؤرتان‬c,0)-(2(c,0) , F1F‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
3-‫الرأسان‬)0a,-(2) , V0(a,1V
4-1PF,2PF‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسومين‬ ‫البؤريين‬ ‫القطرين‬ ‫نصفي‬ ‫طولي‬ ‫يسميان‬P.
5-‫الرأسين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬V1V2
̅̅̅̅̅̅‫تسمى‬‫الحقيقي‬ ‫المحور‬‫يساوي‬ ‫وطوله‬2a.‫الوحدات‬ ‫من‬
6-‫المحور‬‫العمود‬‫يسمى‬ ‫القطع‬ ‫بمركز‬ ‫والمار‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫ي‬‫المرافق‬ ‫المحور‬‫وط‬ )‫(التخيلي‬‫ــــــــ‬‫يساوي‬ ‫وله‬
2b.‫الوحدات‬ ‫من‬
7-‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬F1F2
̅̅̅̅̅̅‫تسمى‬‫البؤري‬ ‫البعد‬‫و‬‫تساوي‬2c.
8-a,b,c‫موجبة‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫ثلثة‬‫بينهم‬ ‫العلقة‬ ,‫هي‬2
b+2
a=2
c
9-‫المقدار‬ ‫قيمة‬c‫من‬ ‫اكبر‬ ‫دائما‬a‫و‬b(:ً‫ا‬‫جد‬ ‫مهم‬‫شرط‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫هنا‬a > b‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫في‬ ‫نفعل‬ ‫مثلما‬).
2-:‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫النقطة‬P(x,y)‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬
:‫التعريف‬ ‫من‬
|PF1 – PF2| = 2a
√(x − 0)2 + (y − c)2 − √(x − 0)2 + (y + c)2 = 2a
: ‫المعادلة‬ ‫تبسيط‬ ‫ومن‬
:‫فيه‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬
𝐲 𝟐
𝐚 𝟐 −
𝐱 𝟐
𝐛 𝟐 = 𝟏
1-.‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫منتصف‬ ‫وهي‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬
2-‫البؤرتان‬c)-0,(2c) , F0,(1F‫على‬‫السينات‬ ‫محور‬
3-‫الرأسان‬a)-,0(2a) , V,0(1V
4-1PF,2PF‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسومين‬ ‫البؤريين‬ ‫القطرين‬ ‫نصفي‬ ‫طولي‬ ‫يسميان‬P.
5-‫الرأسين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬V1V2
̅̅̅̅̅̅‫يساوي‬ ‫وطوله‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫تسمى‬2a.‫الوحدات‬ ‫من‬
6-‫العمودجي‬ ‫المحور‬‫يساوي‬ ‫وطوله‬ )‫(التخيلي‬ ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫يسمى‬ ‫القطع‬ ‫بمركز‬ ‫والمار‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫على‬
2b.‫الوحدات‬ ‫من‬
7-‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬F1F2
̅̅̅̅̅̅‫تسمى‬‫البؤري‬ ‫البعد‬‫و‬‫تساوي‬2c.
8-‫بين‬ ‫العلقة‬a , b , c‫هي‬2
b+2
a=2
c‫حيث‬b>c‫و‬a>c‫ان‬ ‫كما‬ ‫دائما‬a,b,c‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫ثلثة‬
.‫موجبة‬
(b,0)(-b,0)
F2(o,-c)
P(x,y)
V1(0,a)
V2(0,-a)
F1(0,c)
x
y
(0,b)
(0,-b)
F2(-c,0)
F1(c,0)
P(x,y)
V2(-a,0)
V1(a,0)
x
y