طبعة جديدة ومنقحة حل تمارين الكتاب شرح المواضيع الرياضية بالتفصيل وبأسلوب واضح ومفهوم لجميع المستويات حلول الاسألة الوزارية اعداد الدكتور أنس ذياب خلف email: anasdhyiab@gmail.com

1. ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬
–
‫ال‬
‫أحيائي‬
‫الفصل‬
‫الاول‬
‫الاعداد‬
‫المركبة‬
‫داد‬‫ع‬‫ا‬
‫الجبوري‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬ ‫الدكتور‬
2021 - 2022

3. ‫تقديم‬
‫سلسلة‬ ‫من‬ ‫واحدة‬ ‫هي‬ ‫والتطبيقي‬ ‫االحيائي‬ ‫بفرعيه‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫للصف‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫مواضيع‬ ‫كل‬ ‫مسائل‬ ‫لحل‬ ‫توضيحية‬ ‫خطوات‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫وهي‬ , ‫الرياضيات‬ ‫لمادة‬ ‫الحديثة‬ ‫المالزم‬
‫والتمارين‬ ‫لالمثلة‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫مع‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتاب‬
‫كما‬ ‫الوزارية‬ ‫االسألة‬ ‫الى‬ ‫واالشارة‬
‫الرياضات‬ ‫مادة‬ ‫تقديم‬ ‫هو‬ ‫الملزمة‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫الغرض‬ ‫ان‬ . ‫االضافية‬ ‫التمارين‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬
‫من‬ ‫وذلك‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫الضعيف‬ ‫المستوى‬ ‫ذوي‬ ‫للطلبة‬ ‫حتى‬ ‫ومفهوم‬ ‫واضح‬ ‫باسلوب‬ ‫للطلبة‬
‫واضا‬ ‫للحل‬ ‫الطرق‬ ‫ابسط‬ ‫واختيار‬ ‫الدقيق‬ ‫بالتفصل‬ ‫الحل‬ ‫خطوات‬ ‫شرح‬ ‫خالل‬
‫رسوم‬ ‫فة‬
‫ذلك‬ ‫من‬ ‫والهدف‬ ‫مباشرة‬ ‫لها‬ ‫المشابهة‬ ‫التمارين‬ ‫ثم‬ ‫االمثلة‬ ‫حل‬ ‫وتم‬ ‫كما‬ . ‫توضيحية‬ ‫ومخططات‬
‫االسألة‬ ‫بكل‬ ً‫ا‬‫ملم‬ ‫الطالب‬ ‫يكون‬ ‫وان‬ ‫األسألة‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫منصب‬ ‫الطالب‬ ‫تركيز‬ ‫ابقاء‬ ‫هو‬
. ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫حول‬ ‫ترد‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬
‫س‬ ‫طموح‬ ‫و‬ ‫مجد‬ ‫طالب‬ ‫كل‬ ‫الى‬ ‫هذه‬ ‫جهدي‬ ‫ثمرة‬ ‫اهدي‬
‫كل‬ ‫رغم‬ ‫اهدافه‬ ‫تحقيق‬ ‫الى‬ ‫دوما‬ ً‫ا‬‫اعي‬
‫له‬ ‫وأقول‬ , ‫حياته‬ ‫في‬ ‫والنجاح‬ ‫التوفيق‬ ‫دوام‬ ‫له‬ ‫وجل‬ ‫عز‬ ‫هللا‬ ‫فأسأل‬ ‫والتحديات‬ ‫الصعوبات‬
"
‫ة‬‫م‬‫ق‬‫ل‬‫ا‬‫ب‬‫لا‬‫ا‬‫ي‬‫ض‬‫ر‬‫ت‬‫لا‬‫و‬‫ة‬‫م‬‫ه‬‫ال‬‫ي‬‫ل‬‫ا‬‫ع‬ً‫ا‬‫م‬‫دو‬‫ن‬‫ك‬
."
‫الدكتور‬
‫خلف‬ ‫ذياب‬ ‫أنس‬
07818192576
anasdhyiab@gmail.com
‫محفوظة‬ ‫الحقوق‬ ‫جميع‬
©
2021
.‫المؤلف‬ ‫بموافقة‬ ‫اال‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫طباعة‬ ‫اعادة‬ ‫او‬ ‫قص‬ ‫او‬ ‫تعديل‬ ‫يجوز‬ ‫ال‬

4. ‫مقدمة‬
‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫اردنا‬ ‫اذا‬
𝒙𝟐
+ 𝟏 = 𝟎
:‫كاالتي‬ ‫سيكون‬ ‫الحل‬ ‫فان‬
𝒙𝟐
+ 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐
= −𝟏,
⇒ 𝒙 = ∓√−𝟏,
‫الواضح‬ ‫من‬ ‫انه‬
‫يساوي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫النستطيع‬ ‫اننا‬
-1
‫جديد‬ ‫نوع‬ ‫تعريف‬ ‫الضروري‬ ‫من‬ ‫لذلك‬ ,
. ) ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ( ‫هي‬ ‫االعداد‬ ‫وهذه‬ ‫االعداد‬ ‫من‬
( ‫الرمز‬ ‫سنعرف‬ ‫البداية‬ ‫في‬
𝒊 = √−𝟏
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫اسم‬ ‫عليه‬ ‫سنطلق‬ ‫والذي‬ )
:‫ان‬ ‫حيث‬
𝑖2
= 𝑖. 𝑖 = √−1. √−1 = −1,
𝑖3
= 𝑖2
. 𝑖 = −1. 𝑖 = −𝑖,
𝑖4
= 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1 = 1,
𝑖5
= 𝑖3
. 𝑖2
= −𝑖. −1 = 𝑖,
: ‫مثال‬
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يلي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬
1) 𝑖6
= 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1. −1 = −1, 𝒐𝒓 𝒊𝟔
= 𝒊𝟐
. 𝒊𝟒
= −𝟏(𝟏) = −𝟏
2) 𝑖8
= 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
. 𝑖2
= −1. −1. −1. −1 = 1, 𝒐𝒓 𝒊𝟖
= 𝒊𝟒
. 𝒊𝟒
= 𝟏. 𝟏 = 𝟏
3) 𝑖16
= (𝑖4
)4
= (1)4
= 1
4) 𝑖17
= (𝑖4
)4
. 𝑖 = (1)4
. 𝑖 = 𝑖
5) 𝑖58
= (𝑖4
)14
. 𝑖2
= (1)14
. (−1) = −1
6) 𝑖12𝑛+93
= (𝑖4
)3𝑛
. 𝑖93
= (1)3𝑛
. (𝑖4)32
. 𝑖 = 𝑖
7) 𝑖−13
= 𝑖−13
. 1 = 𝑖−13
. (𝑖4)4
= 𝑖16−13
= 𝑖3
= −𝑖
8) 𝑖−26
= 𝑖−26
. 1 = 𝑖−26
. (𝑖4)7
= 𝑖28−26
= 𝑖2
= −1
‫مالحظة‬
‫استخدام‬ ‫يمكن‬ :
(i)
. ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬
√−𝑏2 = √𝑏2. √−1 = 𝑏𝑖, ∀𝑏 ≥ 0 .
6=4+2
58=56+2
= 4(14)+2

5. 2
:‫مثال‬
‫استخدم‬
(i)
: ‫التالية‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫لكتابة‬
1) √−16 = √16. √−1 = 4𝑖
2) √−25 = √25. √−1 = 5𝑖
3) √−12 = √12. √−1 = 2√3 𝑖
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬
‫حقيقي‬ ‫االول‬ , ‫جزئين‬ ‫من‬ ‫العادية‬ ‫بصيغته‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يتكون‬
: ‫ان‬ ‫بحيث‬ , ‫تخيلي‬ ‫والثاني‬
𝑪 = 𝒂 + 𝒃𝒊,
‫تمثل‬
a
‫اما‬ , ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬
b
‫ايضا‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬ . ‫له‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫فتمثل‬
‫كاالتي‬ ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬
(𝒂, 𝒃)
:‫مثال‬
( ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬ ‫استخدم‬
𝒂 + 𝒃𝒊
: ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫لكتابة‬ )
a) −5 = −5 + 0𝑖
b) √−100 = √100. √−1 = 10𝑖 = 0 + 10𝑖
c) – 1 − √−3 = −1 − √3𝑖
d)
1+√−25
4
=
1
4
+
5
4
𝑖
e) 𝑖999
= (𝑖4
)249
. 𝑖2
. 𝑖 = 1. −1. 𝑖 = 0 − 𝑖
f) 𝑖4𝑛+1
= (𝑖4
)𝑛
. 𝑖 = 1. 𝑖 = 0 + 𝑖
:‫ان‬ ‫أي‬ . ‫والتخيلية‬ ‫الحقيقية‬ ‫اجزائهما‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫تتساوى‬ :‫مالحظة‬
𝒄𝟏 = 𝒄𝟐 ⇔ 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐, 𝒃𝟏 = 𝒃𝟐

6. 3
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ :‫مثال‬
x , y
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
a) 2𝑥 − 1 + 2𝑖 = 1 + (𝑦 + 1)𝑖
Sol/
2𝑥 − 1 = 1 ⟹ 2𝑥 = 1 + 1 ⟹ 2𝑥 = 2
∴ 𝑥 = 1
2 = 𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2 − 1
∴ 𝑦 = 1
b) (2𝑦 + 1) − (2𝑥 − 1)𝑖 = −8 + 3𝑖
Sol/
2𝑦 + 1 = −8 ⟹ 2𝑦 = −8 − 1 ⟹ 2𝑦 = −9
∴ 𝑦 =
−9
2
−2𝑥 + 1 = 3 ⟹ −2𝑥 = 3 − 1 ⟹ 2𝑥 = −2
∴ 𝑥 = −1
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬

‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ‫عمليتي‬ :ً‫ال‬‫او‬

‫ليكن‬ :‫مالحظة‬
𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊
‫و‬
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊
: ‫فان‬ , ‫مركبان‬ ‫عددان‬
𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒂𝟐)+(𝒃𝟏 + 𝒃𝟐)𝒊.
R R
I I
R
I
R I R I
R
I

‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نساوي‬
‫بالحقيقي‬
. ‫بالتخيلي‬ ‫والتخيلي‬

‫لـ‬ ‫معادلة‬ : ‫معادلتين‬ ‫نكون‬
x
‫ومعادلة‬
‫لـ‬
y
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫نجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬
x,y
.

7. 4
:‫مثال‬
‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬
: ‫يأتي‬
a) 3+4√2𝑖 , 5-2√2𝑖
(3+4√2𝑖 )+ (5-2√2𝑖 ) = (3+5)+(4√2 −2√2)𝑖
=8+2√2𝑖
b) 3 , 2-5𝑖
(3+2) + (0-5)𝑖 = 5-5𝑖
c) 1 − 𝑖, 3𝑖
1-𝑖 + 3𝑖 = (1 + 0) + (−1 + 3)𝑖 = 1 + 2𝑖.
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
(𝟕 − 𝟏𝟑𝒊) − (𝟗 + 𝟒𝒊)
(7 − 13𝑖) − (9 + 4𝑖) =7 − 13𝑖 − 9 − 4𝑖 = (7 − 9) − (13 − 4)𝑖
=−2 − 17𝑖
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
(𝟐 − 𝟒𝒊) + 𝒙 = −𝟓 + 𝒊
Sol
𝑥 = −5 + 𝑖 − 2 + 4𝑖 ⟹ 𝑥 = (−5 − 2) + (1 + 4)𝑖
∴ 𝑥 = −7 + 5𝑖

‫الثاني‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫عدد‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬

‫نظير‬
a+bi
‫هو‬
–a-bi

8. 5

‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬
‫حدودية‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫باستخدام‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬
×
. ‫اخرى‬
‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫اي‬
‫لدينا‬
𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊
‫و‬
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊
: ‫فان‬
𝒄𝟏. 𝒄𝟐 = (𝒂𝟏 + 𝒃𝟏𝒊)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐𝒊)
= 𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝒂𝟏𝒃𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒂𝟐𝒊 + 𝒃𝟏𝒃𝟐𝒊𝟐
= (𝒂𝟏𝒂𝟐 − 𝒃𝟏𝒃𝟐) + (𝒂𝟏𝒃𝟐 + 𝒃𝟏𝒂𝟐)𝒊.
:‫مثال‬
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الضرب‬ ‫حاصل‬ ‫جد‬
a) (𝟐 − 𝟑𝒊)(𝟑 − 𝟓𝒊)
(2 − 3𝑖)(3 − 5𝑖) = 6 − 10𝑖 − 9𝑖 + 15𝑖2
= 6 − 15 − 19𝑖
= −9 − 19𝑖
b) (𝟐 + 𝒊)(𝟑 + 𝟔𝒊)
(2 + 𝑖)(3 + 6𝑖) = 6 + 12𝑖 + 3𝑖 + 6𝑖2
= 6 − 6 + 15𝑖
= 0 + 15𝑖 = 15𝑖
c) (𝟑 + 𝟒𝒊)𝟐
(3 + 4𝑖)2
= 9 + 24𝑖 + 16𝑖2
= 9 − 16 + 24𝑖
= −7 + 24𝑖

9. 6
d) −
𝟓
𝟐
(𝟒 + 𝟑𝒊)
−
5
2
(4 + 3𝑖) = −
5
2
4 −
5
2
3𝑖 = −10 −
15
2
𝑖
e) (𝟏 + 𝒊)𝟒
− (𝟏 − 𝒊)𝟒
(1 + 𝑖)4
− (1 − 𝑖)4
= ((1 + 𝑖)2
)2
− ((1 − 𝑖)2
)2
= (1 + 2𝑖 + 𝑖2
)2
− (1 − 2𝑖 + 𝑖2
)2
= (1 − 1 + 2𝑖)2
− (1 − 1 − 2𝑖)2
= (2𝑖)2
− (2𝑖)2
= 4𝑖2
− 4𝑖2
= −4 + 4 = 0 + 0𝑖

‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬
𝒄 = 𝒂 + 𝒃𝒊
: ‫هو‬
𝑐̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.

10. 7
‫خصائص‬
‫مرافق‬
‫المركب‬ ‫العدد‬
 
 
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
1 1
2
2 2
1)
2)
3)
4)
5)( ) , 0.
c c c c
c c c c
c c
if c a bi c c a b
c c
c
c c
  
  

      
 
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
1 2
1 , 3 2
c i c i
   
: ‫ان‬ ‫فاثبت‬
 
 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
2 2
1)
2)
3)
c c c c
c c c c
c c
c c
  
  
 

 
 

11. 8
Sol/
1-
 
     
1 2
1 2
1 2
. . .:
1 3 2 4 4
. . .: (1 ) (3 2 ) 1 3 2
4
. . . .
L H S c c
c c i i i i
R H S c c i i i i
i
L H S R H S

        
        
 
 
2-
 
   
   
1 2
2
1 2
2
. . .:
(1 )(3 2 ) 3 2 3 2
3 2 5 5
. . .:
(1 ) (3 2 ) (1 )(3 2 )
3 2 3 2 3 2 5
. . . .
L H S c c
i i i i i
i i i
R H S c c
i i i i
i i i i i
L H S R H S

      
      

      
        
 

12. 9
3-
1
2
2 2
1
2
2 2
. . .:
3 2 3 2 1 3 3 2 2
1 1 1 1 1
1 5 1 5 1 5
2 2 2 2 2
. . .:
3 2 3 2 3 2 1 3 3 2 2
1 1 1 1 1
1
1 5 1 5
2 2 2
. . . .
c
L H S
c
i i i i i
i i i
i
i i
c
R H S
c
i i i i i i
i i i
i
i
i
L H S R H S
 
 
 
     
     
   
     
   
     

   
    
   
   
      
    
   


  
 
:‫مثال‬
‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬
2 2
c i
 
. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬
Sol/
2 2
1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 1
8 8 8 4 4
i i
c i i i
i i
i
 
   
   

    

‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫ان‬
c
‫هو‬
𝟏
𝒄


‫نضرب‬
×
‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫مرافق‬
×
‫ومقام‬ ‫بسط‬
×
‫مقام‬


13. 10
:‫تمرين‬
: ‫المركب‬ ‫لعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬
1)
𝟐−𝒊
𝟑+𝟒𝒊
=
2 − 𝑖
3 + 4𝑖
.
3 − 4𝑖
3 − 4𝑖
=
6 − 8𝑖 − 3𝑖 − 4
9 + 16
=
2 − 11𝑖
25
=
2
25
−
11
25
𝑖
2)
𝟏𝟐+𝒊
𝒊
=
12 + 𝑖
𝑖
.
−𝑖
−𝑖
=
−12𝑖 − 𝑖2
1
=
1 − 12𝑖
1
= 1 − 12𝑖
3)
𝒊
𝟐+𝟑𝒊
=
𝑖
2 + 3𝑖
×
2 − 3𝑖
2 − 3𝑖
=
2𝑖 + 3
4 + 9
=
3 + 2𝑖
13
=
3
13
+
2
13
𝑖
4) (
𝟑+𝒊
𝟏+𝒊
)
𝟑
= (
3 + 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
)
3
= (
3 − 3𝑖 + 𝑖 − 𝑖2
1 + 1
)
3
= (
4 − 2𝑖
2
)
3
= (
4
2
−
2𝑖
2
)
3
= (2 − 𝑖)3
= (2 − 𝑖)2
. (2 − 𝑖) = (4 − 4𝑖 − 1)(2 − 𝑖)
= (3 − 4𝑖)(2 − 𝑖) = 6 − 3𝑖 − 8𝑖 − 4 = 2 − 11𝑖
5)
𝟐+𝟑𝒊
𝟏−𝒊
×
𝟏+𝟒𝒊
𝟒+𝒊
=
2 + 8𝑖 + 3𝑖 − 12
4 + 𝑖 − 4𝑖 + 1
=
−10 + 11𝑖
5 − 3𝑖
=
−10 + 11𝑖
5 − 3𝑖
×
5 + 3𝑖
5 + 3𝑖
=
−50 − 30𝑖 + 55𝑖 − 33
52 + 32
==
−83 + 25𝑖
34
=
−83
34
+
25
34
𝑖

14. 11
6) (𝟏 + 𝒊)𝟑
+ (𝟏 − 𝒊)𝟑
= (1 + 𝑖)2(1 + 𝑖) + (1 − 𝑖)2(1 − 𝑖)
= (1 + 2𝑖 − 1)(1 + 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1)(1 − 𝑖)
= (1 + 2𝑖 − 1 + 𝑖 − 2 − 𝑖) + (1 − 2𝑖 + 1 − 𝑖 − 2 − 𝑖)
= 2𝑖 − 2 − 2𝑖 − 2 = −4 + 0𝑖
:‫تمرين‬
‫ان‬ ‫اثبت‬
1)
1
(2−𝑖)2 −
1
(2+𝑖)2 =
8
25
𝑖.
L.H.S:
1
(2−𝑖)2 −
1
(2+𝑖)2 =
1
4−4𝑖−1
−
1
4+4𝑖−1
=
1
3−4𝑖
×
3+4𝑖
3+4𝑖
−
1
3+4𝑖
×
3−4𝑖
3−4𝑖
=
3 + 4𝑖
9 + 16
−
3 − 4𝑖
9 + 16
=
3 + 4𝑖 − 3 + 4𝑖
25
=
8
25
𝑖
2) (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = 4
L.H.S: (1 − 𝑖)(1 − 𝑖2)(1 − 𝑖3) = (1 − 𝑖)(1 − (−1))(1 − 𝑖2
. 𝑖)
= 2(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) = 2(1 + 𝑖 − 𝑖 − 𝑖2)
= 2(1 − (−1)) = 2.2 = 4 = R.H.S

‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬ ‫ونبسط‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬


‫بدل‬ ‫نعوض‬
𝒊𝟐
= −𝟏
‫وبدل‬
𝒊𝟑
= −𝒊
‫نضرب‬ ‫ثم‬


15. 12

‫المقدار‬ ‫تحليل‬ ‫يمكن‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
: ‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
𝒊𝟐
= (𝒙 − 𝒚𝒊)(𝒙 + 𝒚𝒊)
:‫مثال‬
‫بصورة‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬
a+bi
.
a) 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑥2
− 𝑦2
𝑖2
= (𝑥 − 𝑦𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖)
b) 9𝑥2
+ 49𝑦2
= 9𝑥2
− 49𝑦2
𝑖2
= (3𝑥 − 7𝑦𝑖)(3𝑥 + 7𝑦𝑖)
c) 85 = 81 + 4 = 81 − 4𝑖2
= (9 − 2𝑖)(9 + 2𝑖)
d) 125 = 100 + 25 = 100 − 25𝑖2
= (10 − 5𝑖)(10 + 5𝑖)
‫تمرين‬
:
‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
x , y
:‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
1) 𝒚 + 𝟓𝒊 = (𝟐𝒙 + 𝒊)(𝒙 + 𝟐𝒊).
Sol/
𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2
+ 4𝑥𝑖 + 𝑥𝑖 − 2 ⇒ 𝑦 + 5𝑖 = 2𝑥2
− 2 + 5𝑥𝑖
𝑦 = 2𝑥2
− 2 … (1) and 5 = 5𝑥 …. (2),
( ‫معادلة‬ ‫من‬
2
)
( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
1
: )
𝑥 =
5
5
= 1,
𝑦 = 2(1)2
− 2 = 0.

‫الى‬ + ‫نحول‬
−𝒊𝟐
‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫باستخدام‬ ‫نحلل‬ ‫ثم‬


16. 13
2) 𝟖𝒊 = (𝒙 + 𝟐𝒊)(𝒚 + 𝟐𝒊) + 𝟏
8𝑖 = 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑖 − 4 + 1 ⇒ 8𝑖 = 𝑥𝑦 − 3 + 2(𝑥 + 𝑦)𝑖
⇒ 𝑥𝑦 − 3 = 0 … (1), (𝑥 + 𝑦) = 4 … (2)
( ‫معادلة‬ ‫من‬
1
)
𝒙 =
𝟑
𝒚
( ‫في‬ ‫نعوضها‬
2
)
[(
3
𝑦
+ 𝑦) = 4] × 𝑦 ⇒ 3 + 𝑦2
= 4𝑦 ⇒ 𝑦2
− 4𝑦 + 3 = 0
(𝑦 − 3)(𝑦 − 1) = 0
Either 𝑦 = 3 ⇒ 𝑥 =
3
3
= 1, or 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 =
3
1
= 3.
3) (
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐
.
⇒ (
1 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = 1 + 4𝑖 − 4
⇒ (
1 − 𝑖 − 𝑖 + 𝑖2
12 + 𝑖2
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖
⇒ (
−2𝑖
2
) + (𝑥 + 𝑦𝑖) = −3 + 4𝑖 ⇒ 𝑥 + 𝑦𝑖 − 𝑖 = −3 + 4𝑖
⇒ 𝑥 = −3, and 𝑦 − 1 = 4 ⇒ 𝑦 = 5.
4)
𝟐−𝒊
𝟏+𝒊
𝒙 +
𝟑−𝒊
𝟐+𝒊
𝒚 =
𝟏
𝒊
.
(
2 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
) 𝑥 + (
3 − 𝑖
2 + 𝑖
×
2 − 𝑖
2 − 𝑖
) 𝑦 =
1
𝑖
×
−𝑖
−𝑖
⇒ (
2 − 2𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
) 𝑥 + (
6 − 3𝑖 − 2𝑖 − 1
4 + 1
) 𝑦 =
−𝑖
1

17. 14
⇒ (
1 − 3𝑖
2
) 𝑥 + (
5 − 5𝑖
5
) 𝑦 = −𝑖 ⇒ (
1 − 3𝑖
2
) 𝑥 + (1 − 𝑖)𝑦 = −𝑖
⇒
1
2
𝑥 −
3
2
𝑥𝑖 + 𝑦 − 𝑦𝑖 = −𝑖
1
2
𝑥 + 𝑦 = 0 … (1) and −
3
2
𝑥 − 𝑦 = −1 … (2),
1
2
𝑥 + 𝑦 = 0 … (1)
−
3
2
𝑥 − 𝑦 = −1 … (2)
−
2
2
𝑥 = −1 ⇒ −𝑥 = −1 ⇒ 𝑥 = 1, ( ‫معادلة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬
1
)
1
2
(1) + 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦 = −
1
2
.
:‫مثال‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒙−𝒚𝒊
𝟏+𝟓𝒊
,
𝟑−𝟐𝒊
𝒊
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
Sol/
: ‫فان‬ , ‫مترافقان‬ ‫العددان‬ ‫ان‬ ‫بما‬
(
𝑥 − 𝑦𝑖
1 + 5𝑖
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=
3 − 2𝑖
𝑖
⇒
𝑥 + 𝑦𝑖
1 − 5𝑖
=
3 − 2𝑖
𝑖
‫ألن‬
(
𝒄𝟏
𝒄𝟐
̅) =
𝒄𝟏
𝒄𝟐
̅̅̅
̅

18. 15
⇒ (𝑥 + 𝑦𝑖)𝑖 = (1 − 5𝑖)(3 − 2𝑖) ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = 3 − 2𝑖 − 15𝑖 − 10
⇒ 𝑥𝑖 − 𝑦 = −7 − 17𝑖
⇒ 𝑥 = −17, 𝑦 = 7
:‫مثال‬
‫قيمتي‬ ‫جد‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
‫تحققان‬ ‫اللتين‬
𝒚
𝟏+𝒊
=
𝒙𝟐+𝟒
𝒙+𝟐𝒊
.
Sol/
𝑦
1 + 𝑖
=
𝑥2
+ 4
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
=
𝑥2
− 4𝑖2
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
=
(𝑥 − 2𝑖)(𝑥 + 2𝑖)
𝑥 + 2𝑖
⇒
𝑦
1 + 𝑖
= 𝑥 − 2𝑖 ⇒ 𝑦 = (𝑥 − 2𝑖)(1 + 𝑖)
⇒ 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑖 − 2𝑖 + 2 ⇒ 𝑦 = 𝑥 + 2, and
𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2,
𝑦 = 2 + 2 = 4.
R R
I I
R
R I
I
R

19. 16
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ضع‬
a) 𝑖5
b) 𝑖124
c) 𝑖−7
d) 𝑖−15
e) √−25 f) 𝑖(1 + 𝑖)
g) (2 + 3𝑖)2
+ (12 + 2𝑖) h) (1 + 𝑖)2
+ (1 − 𝑖)2
i)
1+𝑖
1−𝑖
j)
1+2𝑖
−2+𝑖
k)
3+4𝑖
3−4𝑖
2
‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬ ‫التالية‬ ‫المقادير‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬ )
a) 41 b) 29
3
)
‫قيمتي‬ ‫جد‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ
‫تحققان‬ ‫اللتين‬
(
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
) + (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟏 + 𝟐𝒊)𝟐
.
4
‫كان‬ ‫اذا‬ )
𝟑+𝒊
𝟐−𝒊
6
𝑥+𝑦𝑖
‫و‬
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬
𝒙, 𝒚 ∈ ℝ

20. 17
 The square root of complex number
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
: ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذو‬ ‫اليجاد‬

‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نضع‬
𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑖
.

‫ان‬ ‫نفرض‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 𝑎 + 𝑏𝑖
.

. ‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫باخذ‬ ‫المعادلة‬ ‫ونحل‬ ‫التربيع‬ ‫نفك‬
===========================================
:‫مثال‬
: ‫التالية‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
1) 𝒄 = 𝟖 + 𝟔𝒊
Sol/
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 8 + 6𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 8 + 6𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 8 … (1), and
2𝑥𝑦 = 6 ⇒ 𝑦 =
6
2𝑥
=
3
𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
)
𝑥2
− (
3
𝑥
)
2
= 8 ⇒ [𝑥2
−
9
𝑥2
= 8] × 𝑥2

21. 18
𝑥4
− 9 = 8𝑥2
⇒ 𝑥4
− 8𝑥2
− 9 = 0 ⇒ (𝑥2
− 9)(𝑥2
+ 1) = 0,
Either (𝑥2
− 9) = 0 ⇒ 𝑥2
= 9 ⇒ 𝑥 = ∓3
Or (𝑥2
+ 1) = 0 ⇒ 𝑥2
= −1
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
3
3
= 1 or 𝑦 =
3
−3
= −1
∴ 𝑐1 = 3 + 𝑖, 𝑐2 = −3 − 𝑖
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
𝟑 + 𝒊 , −𝟑 − 𝒊 .
2) 𝒄 = −𝟔𝒊
Sol/
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 0 − 6𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 0 − 6𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 0 … (1), and
2𝑥𝑦 = −6 ⇒ 𝑦 =
−6
2𝑥
=
−3
𝑥
… (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
𝑥2
− (
−3
𝑥
)
2
= 0 ⇒ [𝑥2
−
9
𝑥2
= 0] × 𝑥2
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬

22. 19
𝑥4
− 9 = 0 ⇒ (𝑥2
− 3)(𝑥2
+ 3) = 0, either (𝑥2
− 3) = 0 ⇒ 𝑥2
= 3 ⇒
𝑥 = ∓√3 or (𝑥2
+ 3) = 0 ⇒ 𝑥2
= −3
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
3
√3
= √3 or 𝑦 =
3
−√3
= −√3
∴ 𝑐1 = √3 + √3𝑖, 𝑐2 = −√3 − √3𝑖
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
√𝟑 + √𝟑𝒊 , −√𝟑 − √𝟑𝒊.
3)
𝟒
𝟏−√𝟑𝒊
Sol/
4
1 − √3𝑖
×
1 + √3𝑖
1 + √3𝑖
=
4 + 4√3𝑖
12 + (√3)
2 =
4 + 4√3𝑖
4
= 1 + √3𝑖
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= 1 + √3𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= 1 + √3𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 1 … (1), and
2𝑥𝑦 = √3 ⇒ 𝑦 =
√3
2𝑥
… (2)
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬

23. 20
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
:‫نحصل‬ )
𝑥2
− (
√3
2𝑥
)
2
= 1 ⇒ [𝑥2
−
3
4𝑥2
= 1] × 4𝑥2
4𝑥4
− 3 = 4𝑥2
⇒ 4𝑥4
− 4𝑥2
− 3 = 0 ⇒ (2𝑥2
− 3)(2𝑥2
+ 1) = 0,
Either (2𝑥2
− 3) = 0 ⇒ 2𝑥2
= 3 ⇒ 𝑥 = ∓√
3
2
Or (𝑥2
+ 1) = 0 ⇒ 𝑥2
= −1 .
‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬
x
( ‫معادلة‬ ‫في‬
2
)
𝑦 =
√3
√2 . √2(−
√3
√2
)
=
1
√2
or 𝑦 =
√3
√2 . √2(
−√3
√2
)
=
−1
√2
‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫اذا‬
c
: ‫هي‬
±(√
3
2
+
1
√2
𝑖).
‫ألن‬ ‫القيمة‬ ‫هذه‬ ‫نهمل‬
x
‫حقيقي‬ ‫عدد‬

24. 21
 Solving the equation in ℂ
‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
ℂ
‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫لحل‬ ) ‫الدستور‬ ( ‫العام‬ ‫القانون‬ ‫نستخدم‬
𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
:‫ان‬ ‫اي‬
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
:‫مثال‬
‫في‬ ‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
ℂ
:
1) 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎
Sol/ 𝑎 = 1, 𝑏 = 4, 𝑐 = 5
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−4 ± √42 − 4(1)(5)
2
⇒ 𝑥 =
−4±√16−20
2
=
−4±√−4
2
=
−4±2𝑖
2
= −2 ± 𝑖
∴ 𝑆 = {−2 − 𝑖, −2 + 𝑖}
2) 𝑧2
= −12
Sol/
𝑧 = ±√−12 = ±√3 × 4𝑖 = ±2√3𝑖
∴ 𝑆 = {−2√3𝑖, 2√3𝑖}, ‫مترافقان‬ ‫جذران‬.

25. 22
3) 𝒛𝟐
− 𝟑𝒛 + 𝟑 + 𝒊 = 𝟎
𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟑, 𝒄 = 𝟑 + 𝒊
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
3 ± √(−3)2 − 4(1)(3 + 𝑖)
2
=
3 ± √9 − 12 − 4𝑖
2
=
3 ± √−3 − 4𝑖
2
‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬
−𝟑 − 𝟒𝒊
. ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= −3 − 4𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= −3 − 4𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= −3 … (1)
⇒ 𝑦 =
−4
2𝑥
=
−2
𝑥
… . . (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
: )
𝑥2
− (
−2
𝑥
)
2
= −3 ⇒ [𝑥2
−
4
𝑥2
= −3] × 𝑥2
⇒ 𝑥4
− 4 = −3𝑥2
⇒ 𝑥4
+ 3𝑥2
− 4 = 0
⇒ (𝑥2
+ 4)(𝑥2
− 1) = 0
𝑥2
= 1 ⇒ 𝑥 = ±1, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
2
)
𝑦 =
−2
±1
= ±2

26. 23
‫االن‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫جذر‬
−𝟑 − 𝟒𝒊
√−3 − 4𝑖 = ±(1 − 2𝑖)
: ‫ان‬ ‫اي‬
𝑧 =
3 ± (1 − 2𝑖)
2
Neither 𝑧 =
3
2
−
1+2𝑖
2
= 1 + 𝑖 or 𝑧 =
3
2
+
1−2𝑖
2
= 2 − 𝑖.
. ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬
4 ) 𝒛𝟐
+ 𝟐𝒛 + 𝒊(𝟐 − 𝒊) = 𝟎
Sol
𝑧2
+ 2𝑧 + 𝑖(2 − 𝑖) = 0 ⇒ 𝑧2
+ 2𝑧 + 2𝑖 + 1 = 0
𝑧 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−2 ± √22 − 4(1)(2𝑖 + 1)
2
=
−2 ± √4 − 8𝑖 − 4
2
=
−2 ± √−8𝑖
2
‫لـ‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫ايجاد‬ ‫اوال‬ ‫يجب‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لحل‬
−𝟖𝒊
. ‫السابقة‬ ‫بالطريقة‬
(𝑥 + 𝑦𝑖)2
= −8𝑖 ⇒ 𝑥2
+ 2𝑥𝑦𝑖 − 𝑦2
= −8𝑖
⇒ 𝑥2
− 𝑦2
= 0 … (1)

27. 24
⇒ 𝑦 =
−8
2𝑥
=
−4
𝑥
… . . (2)
( ‫من‬
1
( ‫و‬ )
2
: )
𝑥2
− (
−4
𝑥
)
2
= 0 ⇒ [𝑥2
−
16
𝑥2
= 0] × 𝑥2
⇒ 𝑥4
− 16 = 0
⇒ (𝑥2
− 4)(𝑥2
+ 4) = 0
∴ 𝑥2
− 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2, ( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
2
)
𝑦 =
−4
±2
= ±2
‫االن‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫جذر‬
−8𝑖
√−8𝑖 = ±(2 − 2𝑖)
𝑧 =
−2 ± (2 − 2𝑖)
2
Neither 𝑧 =
−2
2
−
2+2𝑖
2
= −2 + 𝑖 or 𝑧 =
−2
2
+
2−2𝑖
2
= 0 − 𝑖.
. ‫مترافقين‬ ‫ليسا‬ ‫الجذران‬

28. 25
: ‫وكاالتي‬ ‫جذورها‬ ‫باستخدام‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ :‫مالحظة‬

. ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الجذر‬ ‫نكتب‬

‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)
.

‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
(𝒄𝟏 × 𝒄𝟐)
.

‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
𝒙𝟐
− (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐)𝒙 + (𝒄𝟏 × 𝒄𝟐) = 𝟎

. ‫مرافقه‬ ‫هو‬ ‫االخر‬ ‫فان‬ ‫معلوم‬ ‫واحدهما‬ ‫حقيقية‬ ‫المعادلة‬ ‫جذور‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
==========================================================
:‫مثال‬
: ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
 ±(2 + 2𝑖)
𝑐1 + 𝑐2 = (2 + 2𝑖) + (−2 − 2𝑖) = 2 − 2 + (2 − 2)𝑖 = 0
𝑐1 × 𝑐2 = (2 + 2𝑖) × (−2 − 2𝑖) = −4 − 4𝑖 − 4𝑖 + 4 = −8𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− −8𝑖 = 0
 𝑀 =
3−𝑖
1+𝑖
, 𝐿 = (3 − 2𝑖)2
𝑀 =
3 − 𝑖
1 + 𝑖
=
3 − 𝑖
1 + 𝑖
×
1 − 𝑖
1 − 𝑖
=
3 − 3𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
=
2 − 4𝑖
2
= 1 − 2𝑖
𝐿 = (3 − 2𝑖)2
= 9 − 12𝑖 − 4 = 5 − 12𝑖
𝑀 + 𝐿 = (1 − 2𝑖) + (5 − 12𝑖) = (1 + 5) + (−2 − 12)𝑖 = 6 − 14𝑖

29. 26
𝑀 × 𝐿 = (1 − 2𝑖)(5 − 12𝑖) = 5 − 12𝑖 − 10𝑖 − 24 = −19 − 22𝑖
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− (6 − 14𝑖)𝑥 + (−19 − 22𝑖) = 0
:‫مثال‬
: ‫هو‬ ‫جذراها‬ ‫واحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعمالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
1) 𝑨 = 𝟑 − 𝟒𝒊.
Sol/
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
B=(3+4i)
𝐴 + 𝐵 = (3 − 4𝑖) + (3 + 4𝑖) = 6 + 0𝑖 = 6
𝐴 × 𝐵 = (3 − 4𝑖)(3 + 4𝑖) = 9 + 12𝑖 − 12𝑖 + 16 = 25
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
− 6𝑥 + 25 = 0
2 ) 𝑨 =
√𝟐+𝟑𝒊
𝟒
Sol/
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫جذرها‬ ‫فأن‬ ‫لذا‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالت‬ ‫لها‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
√𝟐−𝟑𝒊
𝟒
= 𝐵

30. 27
𝐴 + 𝐵 = (
√2
4
+
3
4
𝑖) + (
√2
4
−
3
4
𝑖) = (
√2
4
+
√2
4
) + (
3
4
𝑖 −
3
4
𝑖)
=
√2
2
+ 0𝑖 =
1
√2
𝐴 × 𝐵 = (
√2
4
+
3
4
𝑖) (
√2
4
−
3
4
𝑖) =
2
16
−
3√2
16
𝑖 +
3√2
16
𝑖 +
9
16
=
11
16
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫اذا‬
𝑥2
−
1
√2
𝑥 +
11
16
= 0
:‫تمرين‬
‫ا‬
‫كان‬ ‫ذا‬
𝟑 + 𝒊
‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬
𝒙𝟐
− 𝒂𝒙 + (𝟓 + 𝟓𝒊) = 𝟎
‫قيمة‬ ‫فما‬
a
‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬
‫؟‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬
Sol/
= ‫الخر‬ ‫الجذر‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬
L
: ‫هو‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫فان‬
𝐿 × (3 + 𝑖) = 5 + 5𝑖 ⇒ 𝐿 =
5 + 5𝑖
3 + 𝑖
⇒ 𝐿 =
5 + 5𝑖
3 + 𝑖
×
3 − 𝑖
3 − 𝑖
⇒ 𝐿 =
15 − 5𝑖 + 15𝑖 + 5
9 + 1
=
20 + 10𝑖
10
= 2 + 𝑖
: ‫الجذرين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫وان‬
⇒ 𝑎 = 𝐿 + 𝑀
⇒ 𝒂 = (2 + 𝑖) + (3 + 𝑖) = 5 + 2𝑖
⇒ 𝑎 = 5 + 2𝑖

31. 28
 Geometric Representation of Complex Numbers
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يمثل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
z
‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫بصورة‬
(𝒙, 𝒚)
‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬
𝒛(𝒙, 𝒚)
.
:‫مثال‬
: ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫التالية‬ ‫العمليات‬ ‫مثل‬
1)(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖)
(3 + 4 𝑖) + (5 + 2𝑖)
= (3 + 5) + (4 + 2)𝑖 = 8 + 6𝑖
2)(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖)
(6 − 2 𝑖) − (2 − 5𝑖)
= (6 − 2 𝑖) + (−2 + 5𝑖)
= 4 + 3𝑖
Figure 1: Geometric Representation (𝟑 + 𝟒 𝒊) + (𝟓 + 𝟐𝒊)
Figure 2: Geometric Representation (𝟔 − 𝟐𝒊) − (𝟐 − 𝟓𝒊)

32. 29
‫تمرين‬
‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬ :
. ‫ارجاند‬
.
a) 𝑧1 = 2 + 3𝑖
𝑧1 = 2 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(2, 3)
−𝑧1 = −2 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(−2, − 3)
b) 𝑧1 = −1 + 3𝑖
𝑧1 = −1 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(−1, 3)
−𝑧1 = 1 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(1, − 3)
‫تمرين‬
. ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬ :
a) 𝑧1 = 5 + 3𝑖
𝑧1 = 5 + 3𝑖 ⇒ 𝑝1(5, 3)
𝑧̅1 = 5 − 3𝑖 ⇒ 𝑝2(5, −3)
Figure 3: the geometric Representation for example a
Figure 4: the geometric Representation for example b
Figure 5: the geometric Representation for example a

33. 30
b ) 𝑧 = −2𝑖
𝑧 = 0 − 2𝑖 ⇒ 𝑝1(0, −2)
𝑧̅ = 0 + 2𝑖 ⇒ 𝑝2(0, 2)
:‫تمرين‬
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒛𝟏 = 𝟒 − 𝟐𝒊
‫و‬
𝒛𝟐 = 𝟏 + 𝟐𝒊
:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
a) −3𝑧2 = −3(1 + 2𝑖) = −3 − 6𝑖 ⇒ 𝑝1(−3, −6)
b) 2𝑧1 = 2(4 − 2𝑖) = 8 − 4𝑖 ⇒ 𝑝2(8, −4)
c) 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 2𝑖) − (1 + 2𝑖) = 3 − 4𝑖 ⇒ 𝑝3(3, −4)
d) 𝑧1 + 𝑧2 = (4 − 2𝑖) + (1 + 2𝑖) = 5 + 0𝑖 ⇒ 𝑝4(5, 0)
Figure 6: the geometric Representation for example b
(a) (b) (c) (d)
Figure 6: the geometric Representation for example

34. 31
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
𝜔14
, 𝜔64
, 𝜔−6
, 𝜔−8
2
)
‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫التالي‬ ‫المقدار‬ ‫ضع‬
:
𝜔12𝑛+5
3
)
: ‫أن‬ ‫أثبت‬
a) 𝜔7
+ 𝜔5
+ 1 = 0
b) (1 −
2
𝜔2
+ 𝜔2
) (1 + 𝜔 −
5
𝜔
) = 18
4
)
: ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
a) 𝐴 = 1 + 𝜔2
, 𝐵 = 1 + 𝜔 𝒃)
3𝑖
𝜔2
,
−3𝜔2
𝑖
5
)
‫النظير‬ ‫اكتب‬
‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫التالية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬
. ‫ارجاند‬
a) 𝑧 = 𝑖 b) 𝑧 = 3 − 2𝑖
6
)
. ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫مثل‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫أكتب‬
a) 𝑧1 = −3 + 2𝑖 b ) 𝑧2 = 1 − 𝑖
7
)
‫كان‬ ‫اذا‬
𝒛 = 𝟒 + 𝟐𝒊
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
a) 𝑧 b) 𝑧̅ c) – 𝑧

35. 32
 Polar form of complex number
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬

‫ليكن‬
z
‫بالنقطة‬ ‫هندسيا‬ ‫ممثل‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬
𝒑(𝒙, 𝒚)
‫فان‬
(𝒓, 𝜽)
‫للنقطة‬ ‫القطبي‬ ‫االحداثي‬ ‫يمثل‬
p
‫حيث‬
O
‫و‬ )‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬ ‫تمثل‬
𝑶𝑿
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
. ‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬

‫ليكن‬
r
‫فان‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬
r
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ‫يسمى‬
z
: ‫حيث‬
𝒓 = ‖𝒛‖ = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬
𝜽 = 𝐚𝐫𝐠(𝒛)
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
𝒙
𝒓
=
𝒙
‖𝒛‖
⇒ ℝ(𝒛) = 𝒙 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝒚
𝒓
=
𝒚
‖𝒛‖
⇒ 𝑰(𝒛) = 𝒚 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽

‫كانت‬ ‫اذا‬
𝜽
‫من‬ ‫كال‬ ‫فان‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬
𝜽 + 𝟐𝒏𝝅, 𝒏 ∈ ℤ
‫سعة‬ ‫ايضا‬ ‫يكون‬
‫العدد‬ ‫لنفس‬
. ‫المركب‬

‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅)
‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬ ‫لها‬ ‫فيقال‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫على‬ ‫الدالة‬
. ‫المركب‬
Figure 8: Polar form of complex number

36. 33
‫الخاصة‬ ‫الزوايا‬ ‫جدول‬
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = 𝟏 + √𝟑𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (√3)2 = √12 + 3 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬.
∴ arg(𝑧) =
𝜋
3
.
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = −𝟏 − 𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−1)2 = √1 + 1 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬
∴ arg(𝑧) = 𝜋 +
𝜋
4
=
5𝜋
4
.

37. 34
:‫مثال‬
‫ليكن‬
𝒛 = −𝟏 − √𝟑𝒊
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬
𝒛
.
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−12 + (−√3)2 = √1 + 3 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫تمتلك‬ ‫ايضا‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬ .
∴ arg(𝑧) = 𝜋 +
𝜋
3
=
4𝜋
3
.
: ‫مالحظة‬
1
)
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬
𝒛 = 𝟎
. ‫قيمة‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫معلومة‬ ‫غير‬
2
)
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
z
: ‫هي‬
𝒛 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)
=========================================================
:‫مثال‬
: ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
a) 𝑧 = −2 + 2𝑖
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √−22 + (2)2 = √8 = 2√2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫سالبه‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ .
∴ arg(𝑧) = 𝜋 −
𝜋
4
=
3𝜋
4
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2√2(cos
3𝜋
4
+ 𝑖 sin
3𝜋
4
)

38. 35
b) 7i
7𝑖 = 7(𝑖) = 7 (cos
𝜋
2
+ 𝑖sin
𝜋
2
)
 De Moivre’s Theorem
‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬
‫ليكن‬
𝒛𝟏
‫و‬
𝒛𝟐
‫أن‬ ‫حيث‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬
𝒛𝟏 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽 , 𝒛𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑
,
‫فان‬
𝒛𝟏. 𝒛𝟐 = (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) (𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝑)
= 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑
= (𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝑 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑) + 𝒊(𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝑 + 𝒊 𝐜𝐨𝐬 𝝑 𝐬𝐢𝐧 𝜽)
= 𝐜𝐨𝐬(𝜽 + 𝝑) + 𝒊(𝐬𝐢𝐧(𝜽 + 𝝑))
‫كانت‬ ‫واذا‬
𝜽 = 𝝑
‫فان‬
(𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝟐
= 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 + 𝒊(𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽)
‫فان‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒏
= 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽, ∀𝒏 ∈ ℕ, 𝜽 ∈ ℝ
==========================================================
:‫مثال‬
‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (cos
3𝜋
8
+ 𝑖sin
3𝜋
8
)4
‫ديموفر‬ ‫مبرهنة‬ ‫وباستخدام‬
(cos
3𝜋
8
+ 𝑖sin
3𝜋
8
)4
= cos 4
3𝜋
8
+ 𝑖sin 4
3𝜋
8
= cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
= 0 + 𝑖(−1) = −𝑖

39. 36
b) (𝐜𝐨𝐬
𝟓𝝅
𝟐𝟒
+ 𝒊𝐬𝐢𝐧
𝟓𝝅
𝟐𝟒
)𝟒
(cos
5𝜋
24
+ 𝑖sin
5𝜋
24
)4
= cos 4
5𝜋
24
+ 𝑖sin 4
5𝜋
24
= cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
= −
√3
2
+ 𝑖 (
1
2
)
==========================================================
c) (𝐜𝐨𝐬 𝜃 + 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟖
(𝐜𝐨𝐬 𝜃 − 𝒊𝐬𝐢𝐧 𝜃)𝟒
cos 𝑛𝜃 − 𝑖sin 𝑛𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−𝑛
‫المتطابقة‬ ‫هذه‬ ‫باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬
(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 − 𝑖sin 𝜃)4
= (cos 8𝜃 + 𝑖sin 8𝜃) (cos 4𝜃 − 𝑖sin 4𝜃)
= (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)8 (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)−4
= (cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)4
= cos 4𝜃 + 𝑖sin 4𝜃
==========================================================
d) (1 + 𝑖)11
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (1)2 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫االول‬ .
∴ 𝜃 =
𝜋
4
.

‫هنا‬
θ = 5 (30) = 150
‫إذن‬ ،
θ
‫لذلك‬ ، ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬
cos θ
‫و‬ ‫سالبة‬
sin
‫موجبة‬
.

40. 37
𝑧11
= 𝑟11(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)11
= (√2)
11
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)11
= (√2
2
)
5
. √2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋
4
)11
= 32√2 (cos 11
𝜋
4
+ 𝑖 sin 11
𝜋
4
)
= 32√2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −32 − 32𝑖.
==========================================================
c) (1 − 𝑖)7
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √12 + (−1)2 = √2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
1
√2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
−1
√2
⇒ sin 𝜃 ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫سالبة‬
‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ ,
‫الرابع‬ ..
∴ arg(𝑧) = 2𝜋 −
𝜋
4
=
7𝜋
4
.
𝑧7
= 𝑟7(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)7
= (√2)
7
(cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
)7
= (√2
2
)
3
. √2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑖 sin
7𝜋
4
)7
= 8√2 (cos 7
7𝜋
4
+ 𝑖 sin 7
7𝜋
4
)
= 8√2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = 8 + 8𝑖.

41. 38
‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬
‫لكل‬
𝒏 ∈ ℤ+
, 𝜽 ∈ ℝ
‫فان‬ ,
√𝒛
𝒏
= 𝒓
𝟏
𝒏 [𝐜𝐨𝐬
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
+ 𝒊 𝐬𝐢𝐧
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
],
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 − 𝟏.

‫حالة‬ ‫في‬ ‫او‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫جذور‬ ‫اليجاد‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫تستخدم‬
. ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫النسبية‬ ‫االسس‬
‫تمرين‬
4
:
‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
(−𝟏 + √𝟑𝒊)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−1)2 + (√3)2 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
−1
2
⇒ cos 𝜃 ‫لها‬
‫سالبة‬ ‫قيمة‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ sin 𝜃 ‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬.
∴ arg(𝑧) = 𝜋 −
𝜋
3
=
2𝜋
3
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos
2𝜋
3
+ 𝑖 sin
2𝜋
3
)
𝑧
1
2 = 𝑟
1
2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)
1
2
𝑧
1
2 = (2)
1
2 (cos
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘
2
+ 𝑖sin
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘
2
)
= √2 (cos
2𝜋 + 6𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
2𝜋 + 6𝜋𝑘
6
)

‫هنا‬
n=3
‫اذا‬
k
‫قيمتين‬ ‫لها‬
𝒌 = 𝟎, 𝟏
.

42. 39
For 𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √2 (cos
2𝜋
6
+ 𝑖sin
2𝜋
6
) = √2 (cos
𝜋
3
+ 𝑖sin
𝜋
3
)
= √2 (
1
2
+
√3
2
𝑖) =
1
√2
+
√3
√2
𝑖
If 𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √2 (cos
2𝜋+6𝜋
6
+ 𝑖sin
2𝜋+6𝜋
6
) = √2 (cos
4𝜋
3
+ 𝑖sin
4𝜋
3
)
= √2 (
−1
2
−
√3
2
𝑖) =
−1
√2
−
√3
√2
𝑖
=====================================================
‫تمرين‬
6
:
‫الجذور‬ ‫جد‬
‫التربيعية‬
‫االربعة‬
‫للعدد‬
(−𝟏𝟔)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑧 = −16 = 16(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
𝑧
1
4 = (16)
1
4(cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
1
4 = 2 (cos
𝜋+2𝜋𝑘
4
+ 𝑖sin
𝜋+6𝜋𝑘
4
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos
𝜋
4
+ 𝑖sin
𝜋
4
) = 2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = √2 + √2𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
3𝜋
4
+ 𝑖sin
3𝜋
4
) = 2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −√2 + √2𝑖
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖sin
5𝜋
4
) = 2 (−
1
√2
−
1
√2
𝑖) = −√2 − √2𝑖
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
7𝜋
4
+ 𝑖sin
7𝜋
4
) = 2 (
1
√2
−
1
√2
𝑖) = √2 − √2𝑖

43. 40
‫تمرين‬
7
:
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
‫الستة‬
‫للعدد‬
(−𝟔𝟒𝒊)
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
Sol/
𝑧 = −64𝑖 = 64 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
)
𝑧
1
6 = (64)
1
6 (cos
3𝜋
2
+ 𝑖sin
3𝜋
2
)
1
6
= 2 (cos
3𝜋
2
+2𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
3𝜋
2
+6𝜋𝑘
6
)
= 2 (cos
3𝜋 + 4𝜋𝑘
12
+ 𝑖sin
3𝜋 + 4𝜋𝑘
12
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = 2 (cos
3𝜋
12
+ 𝑖sin
3𝜋
12
) = 2 (
1
√2
+
1
√2
𝑖) = √2 + √2𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = 2 (cos
7𝜋
12
+ 𝑖sin
7𝜋
12
) = 2 (−
1
√2
+
1
√2
𝑖) = −√2 + √2𝑖
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = 2 (cos
11𝜋
12
+ 𝑖sin
11𝜋
12
)
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = 2 (cos
15𝜋
12
+ 𝑖sin
15𝜋
12
) = 2 (cos
5𝜋
4
+ 𝑖sin
5𝜋
4
)
= 2 (−
1
√2
−
1
√2
𝑖) = −√2 − √2𝑖
𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = 2 (cos
19𝜋
12
+ 𝑖sin
19𝜋
12
)
𝑘 = 5 ⇒ 𝑧6 = 2 (cos
25𝜋
12
+ 𝑖sin
25𝜋
12
)

44. 41
:‫مثال‬
‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
(√𝟑 + 𝒊)𝟐
. ‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
Sol/
𝑚𝑜𝑑 𝑧 = ‖𝑧‖ = √𝑥2 + 𝑦2 = √(√3)2 + (1)2 = √4 = 2
cos 𝜃 =
𝑥
‖𝑧‖
=
√3
2
⇒ cos 𝜃 ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬
sin 𝜃 =
𝑦
‖𝑧‖
=
1
2
⇒ sin 𝜃 ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫الزاوية‬ ‫اذا‬ , ‫ايضا‬ ‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫له‬.
∴ 𝜃 =
𝜋
6
.
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃) = 2(cos
𝜋
6
+ 𝑖 sin
𝜋
6
)
𝑧2
= 𝑟2(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)2
= 22
(cos
2𝜋
6
+ 𝑖 sin
2𝜋
6
) = 4 (cos
𝜋
3
+ 𝑖 sin
𝜋
3
)
𝑧
2
5 = 𝑟
2
5(cos 𝜃 + 𝑖sin 𝜃)
2
5 = (2)
2
5 (cos 5.
𝜋
3
+2𝜋𝑘
2
+ 𝑖sin 5.
𝜋
3
+2𝜋𝑘
2
)
= √4
5
(cos
5𝜋 + 30𝜋𝑘
6
+ 𝑖sin
5𝜋 + 30𝜋𝑘
6
)
𝑘 = 0 ⇒ 𝑧1 = √4
5
(cos
5𝜋
6
+ 𝑖sin
5𝜋
6
) = √4
5
(−
√3
2
+
1
2
)
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = √4
5
(cos
35𝜋
6
+ 𝑖sin
35𝜋
6
)
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = √4
5
(cos
65𝜋
6
+ 𝑖sin
65𝜋
6
)
𝑘 = 3 ⇒ 𝑧4 = √4
5
(cos
95𝜋
6
+ 𝑖sin
95𝜋
6
)

45. 42
𝑘 = 4 ⇒ 𝑧5 = √4
5
(cos
155𝜋
6
+ 𝑖sin
155𝜋
6
)
===========================================================
:‫مثال‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝑥3
+ 1 = 0
‫حيث‬
𝑥 ∈ ℂ
.
Sol/
𝑥3
+ 1 = 0 ⇒ 𝑥3
= −1 ⇒ 𝑥3
= −1(1) = cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋
⇒ 𝑥 = (cos 𝜋 + 𝑖sin 𝜋)
1
3 = cos
𝜋+2𝜋𝑘
3
+ 𝑖sin
𝜋+2𝜋𝑘
3
𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = cos
𝜋
3
+ 𝑖sin
𝜋
3
=
1
2
+
√3
2
𝑖
𝑘 = 1 ⇒ 𝑧2 = cos
3𝜋
3
+ 𝑖sin
3𝜋
3
= −1 + 0 𝑖 = −1
𝑘 = 2 ⇒ 𝑧3 = cos
5𝜋
3
+ 𝑖sin
5𝜋
3
=
1
2
−
√3
2
𝑖
∴ 𝑆 = {
1
2
+
√3
2
𝑖 , −1 ,
1
2
−
√3
2
𝑖}.

46. 43
‫اضافية‬ ‫تمارين‬
1
)
: ‫من‬ ‫لكل‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬
a) 𝑧 = −1 + √3𝑖 b) 𝑧 = −1 + 𝑖 c) 𝑧 = 1 − 𝑖
2
)
: ‫من‬ ‫لكل‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫جد‬
a) –i b) -7i c) 3 d) 5i e) 2 f) -1
3
)
: ‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (cos
7𝜋
12
+ 𝑖 sin
7𝜋
12
)
−3
b)
(cos 2𝜃+𝑖 sin 2𝜃)5
(cos 3𝜃+𝑖 sin 2𝜃)3
4
)
( ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
27𝑖
. ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ )