تتناول الوثيقة شرحاً تفصيلياً لمقرر دراسي عن الهندسة للصف السادس، بما في ذلك أمثلة وتمارين وحلول للأسئلة الوزارية. كما تتضمن القواعد المتعلقة بالزوايا المتعمدة والمتوازية، بالإضافة إلى أمثلة توضيحية على العلاقة بين المستقيمات والمستويات. الوثيقة تشمل أيضاً ملاحظات وإرشادات للطلاب حول كيفية التعامل مع المسائل الهندسية المتعلقة بهذا الموضوع.

1. ‫أعداد‬‫األس‬‫ـتاذ‬
‫جديدة‬ ‫طبعة‬
‫ومنقحة‬
‫الدراسي‬ ‫للعام‬
2017
‫شرح‬‫مفصل‬‫السادس‬ ‫الفصل‬ ‫وتمارين‬ ‫أمثلة‬ ‫لجميع‬.
‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫وجميع‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬‫السادس‬ ‫للفصل‬.
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أسئلة‬.

2. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
380
‫السادس‬ ‫الفصل‬
‫الفضائٌة‬ ‫الهندسة‬SPACE GEOMETRY/
‫مراجعة‬:
1-.‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬
2-‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬.‫ٌحتوٌهما‬
3-‫التوازي‬ ‫عبارة‬‫وٌوازي‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫ٌمر‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫فٌوجد‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫ونقطة‬ ‫مستقٌم‬ ‫علم‬ ‫(إذا‬
)‫المعلوم‬ ‫المستقٌم‬.
4-.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
5-‫عم‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫ود‬
6-‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ً‫تنتم‬ (
)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫أو‬ ‫للمستقٌم‬.
7-.‫ٌحتوٌهما‬ ‫فأنه‬ ‫اآلخر‬ ‫من‬ ‫ونقطة‬ ‫احدهما‬ ‫ٌحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬
8-‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوى‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
9-.‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫المستقٌمان‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
10-.‫اآلخر‬ ‫ٌوازي‬ ‫احدهما‬ ‫ٌحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬
11-.‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬
12-‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬.‫المستوي‬ ‫ضمن‬ ‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ٍ‫و‬‫مست‬
13-.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌهما‬ ‫فأن‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫ٌوازٌان‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
14-.‫مستوٌهما‬ ‫وتوازى‬ ‫الزاوٌتان‬ ‫تساوت‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
15-ٌ‫ب‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬.‫بالقٌاس‬ ‫نصفه‬ ‫وتساوي‬ ‫الثالث‬ ‫الضلع‬ ‫توازي‬ ‫مثلث‬ ً‫ضلع‬ ً‫منتصف‬ ‫ن‬
16-.‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقٌن‬ ‫المتساوي‬ ‫المثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬
17-‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬‫مستوي‬‫المعلاوم‬ ‫للمساتقٌم‬ ً‫ا‬‫موازٌا‬ ‫المساتوي‬ ‫نقااط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫أٌة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬
.‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬
18-‫المستق‬.‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫ٌمان‬
19-.‫متوازٌان‬ ‫الفراغ‬ ً‫ف‬ ‫ثالث‬ ‫لمستقٌم‬ ‫الموازٌان‬ ‫المستقٌمان‬
20-.‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ً‫الرباع‬ ‫الشكل‬ ‫ٌكون‬
21-.‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫وتساوى‬ ‫توازى‬ ‫إذا‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ً‫الرباع‬ ‫الشكل‬ ‫ٌكون‬
22-‫أ‬ ‫متوازي‬ ‫هو‬ ‫المستطٌل‬.‫قائمة‬ ‫زواٌاه‬ ‫أحدى‬ ‫ضالع‬
23-.‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬
24-.‫بهما‬ ‫محددة‬ ‫وزاوٌة‬ ‫بضلعٌن‬ ‫المثلثان‬ ‫ٌتطابق‬
25-.‫والمستوي‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫بٌن‬ ‫مسافة‬ ‫أقصر‬ ‫هو‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬
26-.‫ونتٌجتها‬ ‫الثالثة‬ ‫األعمدة‬ ‫مبرهنة‬

3. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
381
‫الزاوٌة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستوٌات‬ ‫الزوجٌة‬
:‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬‫حافة‬ ‫لهما‬ ‫مستوٌٌن‬ ً‫نصف‬ ‫اتحاد‬(Edge).‫مشتركة‬
‫بـ‬ ‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫وتسمى‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(حرف‬.
‫بـ‬ ‫المستوٌٌن‬ ً‫نصف‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وٌسمى‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(وجه‬:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬
‫حٌث‬⃡‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫هو‬
(X)‫و‬(Y)‫وجهاها‬ ‫هما‬
:‫بالتعبٌر‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫عن‬ ‫وٌعبر‬– ⃡ –
.‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ‫مع‬ ً‫ا‬‫مشترك‬ ‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫أن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫بحرف‬ ‫عنها‬ ‫ٌعبر‬ ‫وقد‬
:ً‫ال‬‫مث‬
:‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬
– ⃡ –
– ⃡ –
– ⃡ –
‫بشكل‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تكتب‬ ‫أن‬ ‫ٌمكن‬ ‫وال‬⃡‫الحرف‬ ‫ألن‬ ‫المثال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬⃡.‫زوجٌة‬ ‫زاوٌة‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ً‫ف‬ ‫مشترك‬
‫مالحظة‬:‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نكتب‬A – ⃡ – D‫أو‬
‫المستوٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬(DBC)‫و‬
(ABC:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ )

4. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
382
:ً‫كاآلت‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫وتقاس‬
‫نقطة‬ ‫نأخذ‬D‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫على‬⃡‫من‬ ‫ونرسم‬D‫العمود‬ً⃡‫ف‬‫والعمود‬ً⃡‫ف‬‫الحرف‬ ‫على‬
⃡‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫فٌكون‬‫الزاوٌة‬ ‫وتسمى‬‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬
:‫الشكل‬ ً‫ف‬ ‫كما‬ ,‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫لدٌنا‬ ‫أخرى‬ ‫بعبارة‬– ⃡ –
‫ولدٌنا‬⃡ ⃡
⃡ ⃡ ⃡ ⃡
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫أو‬– ⃡ –
‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫المستوٌة‬ ‫الزاوٌة‬:‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌان‬ ‫ضلعاها‬ ً‫الت‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬
.‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬
:‫أو‬ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫شعاعٌن‬ ‫اتحاد‬ ً‫ه‬
.‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬
‫والزو‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌتٌن‬ ‫تعرٌف‬ ‫ومن‬:ً‫اآلت‬ ‫استنتاج‬ ‫ٌمكن‬ ‫جٌة‬
1-.‫ثابت‬ ‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫عائدة‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬
2-.‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫ٌساوي‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
.‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬ ‫قائمة‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬
‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫أذا‬ : ‫أي‬– ⃡ – 𝟗𝟎°
‫فأن‬

5. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
383
( ‫مبرهنة‬7‫(وزاري‬ :)2011‫د‬ /1‫(وزاري‬ ‫و‬ )2013‫د‬ /2)‫و‬‫(وزاري‬5201‫د‬ /3):
‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬‫و‬.‫اآلخر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودي‬
:‫أنه‬ ‫أي‬
:‫كان‬ ‫إذا‬
⃡
‫في‬ ⃡ ⃡ ⃡
‫فأن‬⃡
:‫المعطٌات‬‫نقطة‬ ً‫ف‬, D⃡ ⃡ ⃡ ⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
ً‫ف‬‫نرسم‬⃡ ⃡()‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬
⃡ ⃡ ⃡)‫(معطى‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ⃡ –)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
∢ 𝟗𝟎)‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫ٌساوي‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(قٌاس‬
⃡ ⃡‫مستقٌمٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬𝟗𝟎)‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫فأن‬
⃡)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬7‫(وزاري‬ :)2013‫د‬ /3)‫و‬‫(وزاري‬5201‫د‬ /2):
ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬.‫فٌه‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ ‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬
:‫المعطٌات‬⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬‫لٌكن‬⃡
‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫ان‬⃡
‫نرسم‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬⃡
‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬

6. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
384
)‫(معطى‬
⃡‫(مبرهنة‬7‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫إذا‬ ( )
)‫اآلخر‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ولكن‬⃡)‫(معطى‬
⃡ ⃡‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫(ٌوجد‬
‫ال‬ ‫أو‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬
⃡
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬8‫(وزاري‬ :)2011‫د‬ /1)‫و‬‫(وزاري‬6201‫د‬ /1):
‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫آخر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫بمستقٌم‬ ‫مار‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫كل‬
: ‫أو‬‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫ٌتعامد‬.‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
:‫المعطٌات‬⃡,⃡⃡
‫إثباته‬ ‫المطلوب‬:
:‫البرهان‬‫لٌكن‬⃡)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
⃡)‫المشتركة‬ ‫النقاط‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ‫التقاطع‬ ‫(مستقٌم‬
ً‫ف‬‫نرسم‬⃡ ⃡)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫فٌه‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
⃡)‫معطى‬ (
⃡ ⃡ ⃡‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬ً‫ف‬ ‫المحتوى‬
)‫أثره‬ ‫من‬ ‫والمارة‬ ‫المستوي‬
⃡)‫(معطى‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬⃡)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
⃡ ⃡ ‫ألن‬ ∢ 𝟗𝟎°
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬– ⃡ – 𝟗𝟎°ٌ‫الزوج‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(قٌاس‬‫ـــــ‬‫ٌس‬ ‫ة‬‫ــــ‬‫اوي‬‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
)‫وبالعكس‬ ‫لها‬
(‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫كان‬ ‫إذا‬90 °‫وبالعكس‬ ‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬)
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
⇒ 𝑦 𝑥
‫أنه‬ ‫أي‬:𝑨𝑩⃡ 𝒙
𝑨𝑩⃡ 𝒚

7. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
385
( ‫مبرهنة‬9‫(وزاري‬ :)2014‫د‬ /1:)
ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫من‬‫ٌوجد‬ ‫معلوم‬ٍ‫و‬‫مست‬‫عمودي‬ ‫وحٌد‬
‫المعلوم‬ ‫المستوى‬ ‫على‬.
‫أنه‬ ‫أي‬:⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
‫ٌحتوي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستوي‬ ‫فٌوجد‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
:‫المعطٌات‬⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫ٌحتوي‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إٌجاد‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
:‫البرهان‬
‫نقطة‬ ‫من‬‫نرسم‬ً⃡‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫(ٌوجد‬)‫إلٌه‬
⃡ ⃡‫متقاطعان‬
‫مثل‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬‫ٌحوٌهما‬)‫ٌحوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
‫(م‬‫ب‬‫رهنة‬8))‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
:‫الوحدانٌة‬ ‫ولبرهنة‬
( ‫لٌكن‬Z‫ٌحوي‬ ‫آخر‬ ‫مستوي‬ )⃡‫على‬ ‫وعمودي‬
⃡)‫(بالبرهان‬
⃡‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬7)
)‫ٌحوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
( ‫مبرهنة‬ ‫نتٌجة‬9‫(وزاري‬ :)2012‫د‬ /3:)
‫مستقٌم‬ ‫فأن‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬
.‫الثالث‬
:‫المعطٌات‬⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫إن‬⃡‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ٌحوي‬ ‫مستوي‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫وجد‬ ‫لما‬⃡‫على‬ ‫وعمودي‬‫(مبرهنة‬9)
⃡
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

8. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
386
( ‫مثال‬1:)
ً‫ف‬∆ ABC
̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎°
𝟏𝟎 𝟓
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫جد‬– ̅̅̅̅ –
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅̅ ∢ 𝟑𝟎° 𝟏𝟎 𝟓
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫إٌجاد‬– ̅̅̅̅ –
:‫البرهان‬
‫المستوى‬ ً‫ف‬‫نرسم‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫نقطة‬ ً‫ف‬‫آخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
̅̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫األعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬̅̅̅̅‫العائد‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬‫ة‬)
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫(المس‬‫ـــ‬‫المستوى‬ ً‫ف‬ ‫المحتواة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫تقٌم‬
)‫أثره‬ ‫من‬ ‫والمارة‬
∆ DBEً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قائم‬B
ً‫ف‬∆ BEAً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬E:
𝟑𝟎 ⇒
𝟏
𝟐 𝟏𝟎
⇒ 𝟓
ً‫ف‬∆ DBEً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫القائم‬B:
∢
𝟓
𝟓
𝟏
‫قٌاس‬∢ 𝟒𝟓°
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬– ̅̅̅̅ – 𝟒𝟓°()‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

9. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
387
( ‫مثال‬2:)
‫لٌكن‬ABC‫ولٌكن‬ ً‫ا‬‫مثلث‬
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫أن‬ ‫برهن‬
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
:‫البرهان‬
̅̅̅̅)‫(معطى‬
‫(مبرهنة‬8‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬ ))‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅‫(مبرهنة‬7‫التقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫(إذا‬ )
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

10. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
388
( ‫مثال‬3‫(وزاري‬ :)2012‫د‬ /2)
‫متعامدان‬ ‫مستوٌان‬,
⃡ ⃡‫على‬ ‫عمودٌان‬⃡‫وٌقطعان‬ً‫ف‬C, D‫الترتٌب‬ ‫على‬
:‫أن‬ ‫برهن‬⃡
:‫المعطٌات‬
‫إن‬⃡ ⃡ ⃡ , )‫على‬ ‫عمودٌٌن‬⃡‫وٌقطعان‬ً‫ف‬C, D.‫الترتٌب‬ ‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬‫المتقاطعٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫مستوي‬⃡ ⃡)‫ٌحوٌهما‬ ً‫ا‬‫وحٌد‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
⃡ ⃡ ⃡)‫(معطى‬
⃡‫(المستقٌم‬)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬
⃡)‫(معطى‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫(معطى‬
‫كان‬ ‫ولما‬⃡)‫منهما‬ ‫كل‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫(ألنه‬
⃡‫ف‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقٌم‬ ‫أن‬
)‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

11. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
389
‫تمارين‬
‫س‬1/.‫حرفها‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫مستوي‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫(وزاري‬2013‫د‬ /1)
:‫المعطٌات‬‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬– ⃡ –
‫والزاوٌة‬CDE.‫لها‬ ‫عائدة‬ ‫مستوٌة‬ ‫زاوٌة‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫الزاوٌة‬CDE‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬ ‫زاوٌة‬– ⃡ –)‫(معطى‬
⃡ ⃡)‫زوجٌة‬ ‫لزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫تعرٌف‬ ‫(من‬
⃡ ⃡‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫(ه‬‫شعاعٌن‬ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬
‫وكل‬ ‫إلٌه‬‫اح‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬‫د‬)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬
⃡()‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫وزاري‬/2014‫د‬3)
‫س‬2/‫أن‬ ‫برهن‬‫ه‬.‫متعامدان‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫فأن‬ ‫آخر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫وكان‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
:‫المعطٌات‬⃡ ⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫أن‬‫ٌقطع‬‫فأن‬
⃡)‫(معطى‬
⃡‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬
‫المعطٌات‬ ‫خالف‬ ‫هذا‬ ‫ولكن‬‫يقطع‬
‫ولٌكن‬⃡)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
‫لتكن‬⃡‫ولتكن‬ ,⃡ ⃡‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوازي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫ٌوجد‬ :‫التوازي‬ ‫(عبارة‬
)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬
⃡)‫(معطى‬
⃡‫للمستقٌم‬ ً‫ا‬ٌ‫مواز‬ ‫المستوي‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫أٌة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقٌم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬
)‫فٌه‬ ‫محتوى‬ ‫ٌكون‬ ‫المعلوم‬
⃡ ⃡)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫(المستوي‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬‫أو‬‫بمستقٌم‬ ‫مار‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫(كل‬
)‫اآلخر‬ ٍ‫و‬‫المست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫ٌكون‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

12. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
390
‫(وزاري‬2014/‫د‬2)
‫س‬3/‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوي‬ ‫أن‬ ‫برهن‬ً‫ا‬‫أٌض‬.
:‫المعطٌات‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬⃡
⃡
‫ولتكن‬⃡
‫نرسم‬⃡‫بحٌث‬⃡ ⃡
‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬
‫(معط‬‫ى‬)
⃡‫المرس‬ ‫فالمستقٌم‬ ‫مستوٌان‬ ‫تعامد‬ ‫(إذا‬‫ـــ‬‫مس‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫وم‬‫ــــ‬‫ٌكون‬ ‫التقاطع‬ ‫تقٌم‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫ولكن‬)‫(معطى‬
⃡‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫س‬4/A, B, C, D‫بحٌث‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬‫و‬̅̅̅̅‫كانت‬ ‫فإذا‬∢
‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –‫برهن‬.
:‫المعطٌات‬A, B, C, D‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ً‫ف‬ ‫لٌست‬ ‫مختلفة‬ ‫نقاط‬ ‫أربع‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
∢‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬ ‫عائدة‬– ̅̅̅̅ –)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫شعاعٌن‬ ‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫العائدة‬ ‫(الزاوٌة‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫وجه‬ ‫أحد‬ ً‫ف‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬ ‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
‫المثلث‬ ً‫ف‬ABC)‫(معطى‬
‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬)‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬
‫المثلثان‬DEB‫و‬DEC:‫فٌهما‬
∢ 𝟏 ∢ 𝟐)‫(قوائم‬
)‫مشترك‬ ‫(ضلع‬
CE = BE)‫(بالبرهان‬
.‫بهما‬ ‫محددة‬ ‫وزاوٌة‬ ‫بضلعٌن‬ ‫المثلثان‬ ‫ٌتطابق‬
:‫ٌنتج‬ ‫التطابق‬ ‫ومن‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫ٌتقاطع‬

13. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
391
‫(وزاري‬2015/‫د‬1)
‫س‬5/‫برهن‬‫أنه‬‫إذا‬‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫على‬ ‫عمودٌٌن‬ ‫وكانا‬ ‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وازى‬
‫المعلوم‬ ‫المستوى‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫المتقاطعٌن‬ ‫المستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬.
:‫المعطٌات‬⃡ ⃡
‫يوازيان‬ ⃡ ⃡
⃡
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬⃡
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬‫المتقاطعٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫مستوي‬⃡ ⃡)‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ‫مستوي‬ ‫ٌوجد‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
⃡ ⃡)‫(معطى‬
ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫ٌوازٌان‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫(إذا‬)‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌهما‬ ‫فإن‬ ً‫ا‬‫معلوم‬
‫ولكن‬⃡
⃡
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫(معطى‬
⃡‫كل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ (‫من‬‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫متقاطعٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقٌم‬ ‫فأن‬ ‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫مست‬
)‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
⃡)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
)‫(معطى‬

14. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
392
‫س‬6/‫قطرها‬ ‫دائرة‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫مس‬ ‫على‬ ‫عمودي‬‫ــــ‬‫توٌها‬,D‫أن‬ ‫برهن‬ ‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬‫عمودي‬
‫على‬
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅‫و‬ ‫دائرة‬ ً‫ف‬ ‫قطر‬̅̅̅̅̅.‫الدائرة‬ ‫مستوي‬
D.‫للدائرة‬ ً‫تنتم‬ ‫نقطة‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
∢‫محٌطٌة‬ ‫زاوٌة‬
∢ 𝟗𝟎°)‫قائمة‬ ‫دائرة‬ ‫لنصف‬ ‫المقابلة‬ ‫المحٌطٌة‬ ‫(الزاوٌة‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫متعامدٌن‬ ‫المستقٌمٌن‬ ‫فأن‬ ‫قائمة‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الزاوٌة‬ ‫كانت‬ ‫(إذا‬
̅̅̅̅‫الدائرة‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
:‫لدٌنا‬ ‫اصبح‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫(بالبرهان‬
̅̅̅̅̅‫متقاطعٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬)‫مستوٌهما‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
‫ولكن‬̅̅̅̅
)‫اآلخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫على‬ ‫أحدهما‬ ‫احتوى‬ ‫إذا‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتعامد‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬

15. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
393
ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
1-:ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫مسقط‬‫العمود‬ ‫أثر‬ ‫هو‬.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬
2-:‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقط‬ ‫مجموعة‬ ‫مسقط‬‫لتكن‬L‫اثار‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫مسقطهما‬ ‫فأن‬ ‫الفراغ‬ ً‫ف‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬
‫نقاط‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫االعمدة‬‫ه‬.‫المستوي‬ ‫على‬
3-:‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫هو‬‫المرسومٌن‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬
.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫نهاٌت‬ ‫من‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غٌر‬
‫ولٌكن‬̅̅̅̅‫مسقط‬A‫على‬‫هو‬
̅̅̅̅̅‫مسقط‬B‫على‬‫هو‬
‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬‫هو‬̅̅̅̅
:‫مالحظة‬‫كان‬ ‫إذا‬̅̅̅̅‫فأن‬
4-ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫المائل‬ ‫المستقٌم‬.‫له‬ ‫وقاطع‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫غٌر‬ ‫المستقٌم‬ ‫هو‬ :
5-:‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬ ‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬
‫لٌكن‬⃡‫على‬ ً‫ال‬‫مائ‬ً‫ف‬
‫ولٌكن‬ً̅̅̅̅‫ف‬
‫مسقط‬‫على‬‫حٌث‬
‫كذلك‬‫حٌث‬ ‫نفسها‬ ‫مسقط‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
‫أن‬ ‫أي‬𝟎 𝛉 𝟗𝟎°
𝜽 𝟎 𝟗𝟎°
6-:‫المسقط‬ ‫طول‬= ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬ ‫طول‬‫المائل‬ ‫طول‬.‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫تمام‬ ‫جٌب‬
‫تكون‬ ‫فعندما‬̅̅̅̅‫على‬ ً‫ال‬‫مائ‬‫مٌلة‬ ‫وزاوٌة‬𝜽‫ومسقطه‬̅̅̅̅‫فأن‬𝛉
7-‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستوي‬ ‫مسقط‬:‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ٍ‫و‬‫مست‬‫على‬‫للزاوٌة‬ ‫العائدة‬ ‫المستوٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬
.‫بٌنهما‬ ‫الزوجٌة‬
= ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائلة‬ ‫منطقة‬ ‫مسقط‬ ‫مساحة‬‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫تمام‬ ‫جٌب‬
‫و‬ ‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫و‬ ‫المسقط‬ ‫مساحة‬𝜽‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬𝛉

16. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
394
( ‫مثال‬4‫(وزاري‬ :)2013‫د‬ /2:)
.‫متعامدان‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ضلعٌهما‬ ً‫مسقط‬ ‫فأن‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫قائمة‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫أحد‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬
:‫المعطٌات‬∢ً‫ف‬ ‫قائمة‬B
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬ ‫هو‬̅̅̅̅‫على‬
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬ ‫هو‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬A'B' ┴ B'C'
:‫البرهان‬
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
‫من‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومٌن‬)‫المستقٌمة‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫(المستقٌمان‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬
‫لكن‬̅̅̅̅)‫(معطى‬
)‫مستقٌم‬ ‫بخط‬ ‫المستوٌان‬ ‫(ٌتقاطع‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫المس‬ ‫جمٌع‬ ‫ٌوازي‬ ‫فأنه‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬‫ــــ‬‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫تقٌمات‬
‫تحوي‬ ً‫الت‬ ‫والمستوٌات‬ ‫المستوي‬)‫المستقٌم‬
‫كذلك‬̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅(‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقٌم‬ :‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ً‫ف‬)
‫لكن‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫ألن‬ (∢ 𝟗𝟎)‫معطى‬
̅̅̅̅̅̅)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستوي‬
̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
.)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬
‫هـــ‬ .‫(و‬.)‫م‬
(‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫لكل‬‫ٌحتوٌهما‬)
‫يحتويهما‬
)‫(معطى‬

17. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
395
( ‫مثال‬5:)
,‫مثلث‬̅̅̅̅‫المثلث‬ ‫مستوي‬ ‫بٌن‬ ‫الزوجٌة‬ ‫والزاوٌة‬‫والمستوي‬‫قٌاسها‬𝟔𝟎°‫كان‬ ‫فإذا‬
𝟏𝟑 𝟏𝟎‫اد‬‫ا‬‫ج‬‫اث‬‫ا‬‫المثل‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬‫اى‬‫ا‬‫عل‬‫اقط‬‫ا‬‫مس‬ ‫ااحة‬‫ا‬‫مس‬ ‫اد‬‫ا‬‫ج‬ ‫ام‬‫ا‬‫ث‬
ABC∆‫على‬.
:‫المعطٌات‬̅̅̅̅
‫قٌاس‬– ⃡ – 𝟔𝟎°
𝟏𝟑 𝟏𝟎
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬‫مسقط‬ ‫إٌجاد‬‫على‬
‫مسقط‬ ‫مساحة‬ ‫وإٌجاد‬‫على‬
:‫البرهان‬
‫نرسم‬ً‫ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅̅
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅
̅̅̅̅‫على‬ ‫نفسه‬ ‫مسقط‬
‫مسقط‬‫على‬
ً‫ف‬‫نرسم‬̅̅̅̅ ً̅̅̅̅‫ف‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫آخر‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوى‬ ً‫(ف‬
‫أن‬ ‫وبما‬)‫(معطى‬
𝟓)‫ٌنصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقٌن‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتٌجة‬
∢‫عائدة‬‫الزوجٌة‬ ‫للزاوٌة‬̅̅̅̅)‫العائدة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫(تعرٌف‬
‫الزوجٌة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قٌاس‬ ‫لكن‬𝟔𝟎° ̅̅̅̅)‫(معطى‬
ً‫ف‬ً‫ف‬ ‫القائم‬:√𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟓 √𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟐
ً‫ف‬ً‫ف‬ ‫القائم‬:𝟔𝟎 ⇒
𝟏
𝟐 𝟏𝟐
⇒ 𝟔
𝟏
𝟐
𝟏𝟎 𝟔 𝟑𝟎 𝟐
=‫المثلث‬ ‫مساحة‬BCD
)‫.م‬ ‫هـ‬ .‫(و‬
‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومٌن‬)‫المستقٌمة‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬

18. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
396
‫تمارين‬
‫س‬1/‫المس‬ ‫قطعة‬ ‫طول‬ ‫أن‬ ‫برهن‬‫ــ‬‫لمس‬ ‫الموازي‬ ‫تقٌم‬‫ــ‬‫مع‬ ٍ‫و‬‫ت‬‫ٌس‬ ‫لوم‬‫ـــــ‬‫مس‬ ‫طول‬ ‫اوي‬‫ـــ‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫قطه‬‫المعلوم‬
.‫وٌوازٌه‬‫(وزاري‬2011‫د‬ /1‫و‬2014‫د‬ /1‫و‬2016‫د‬ /1)
:‫المعطٌات‬̅̅̅̅
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
: ً‫ال‬‫أو‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅
: ً‫ا‬ٌ‫ثان‬
:‫البرهان‬
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودان‬‫المرس‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬‫ـ‬‫ومٌن‬
)‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅)‫متوازٌان‬ ‫واحد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫(المستقٌمان‬
‫المتوازٌٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن‬‫نعٌن‬)‫ٌحتوٌهما‬ ‫وحٌد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫ٌوجد‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستقٌمٌن‬ ‫(لكل‬
̅̅̅̅)‫(معطى‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅)‫اآلخر‬ ‫وٌوازي‬ ‫احدهما‬ ً‫ف‬ ‫محتوى‬ ‫مستقٌم‬ ‫كل‬ ‫ٌوازي‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫(مستقٌم‬
‫أو‬‫المستوي‬ ‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫المستقٌمات‬ ‫جمٌع‬ ‫ٌوازي‬ ‫فأنه‬ ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬ٌ‫مستو‬ ‫مستقٌم‬ ‫وازى‬ ‫(إذا‬
)‫المستقٌم‬ ‫هذا‬ ‫تحوي‬ ً‫الت‬ ‫المستوٌات‬ ‫مع‬
( )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬1)
‫الشكل‬‫أضالع‬ ‫متوازي‬)‫متوازٌٌن‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ ‫(ألن‬
‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫خواص‬)‫بالطول‬ ‫متساوٌٌن‬ ‫فٌه‬ ‫متقابلٌن‬ ‫ضلعٌن‬ ‫كل‬ (
( )‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬2)

19. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
397
‫س‬2/‫مس‬ ‫قطع‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫برهن‬‫ـــ‬.‫علٌه‬ ‫اآلخر‬ ‫مٌل‬ ‫ٌساوي‬ ‫احدهما‬ ‫على‬ ‫مٌله‬ ‫فأن‬ ‫بمستقٌم‬ ‫متوازٌان‬ ‫توٌان‬
‫(وزاري‬2012‫د‬ /2)‫و‬‫(وزاري‬2015‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
⃡ { }
⃡ { }
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬⃡‫على‬‫مٌل‬⃡‫على‬
:‫البرهان‬
‫نرسم‬⃡(‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
)‫(معطى‬
⃡‫نقطة‬ ً‫ف‬)‫اآلخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫أحد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقٌم‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
‫وكذلك‬⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
∢𝟏‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
∢𝟐‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
⃡ ⃡(‫ثالث‬ ٍ‫و‬‫بمست‬ ‫متوازٌٌن‬ ‫مستوٌٌن‬ ‫تقاطع‬ ‫خطأ‬‫متوازٌان‬)
∢𝟏 ∢ 𝟐(‫تساو‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬ ‫وازى‬ ‫إذا‬‫ى‬‫وتواز‬ ‫قٌاسهما‬‫ى‬‫مستوٌهما‬)
‫مٌل‬⃡‫على‬‫مٌل‬⃡‫على‬
)‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬
‫المستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
)‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫المرسومٌن‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬
(‫المحاددة‬ ‫الزاوٌاة‬ ً‫ها‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬
‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬‫ذلك‬‫المستو‬‫ي‬)

20. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
398
‫س‬3/‫بر‬‫ه‬.‫نفسه‬ ‫المٌل‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫المائلة‬ ‫المتوازٌة‬ ‫للمستقٌمات‬ ‫أن‬ ‫على‬ ‫ن‬
‫وزاري‬ (2011‫د‬ /3‫(وزاري‬ )2013‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
⃡ ⃡‫على‬ ‫مائل‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬⃡‫على‬=‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫قٌاس‬⃡‫على‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬ً⃡‫ف‬
‫و‬‫لٌكن‬ً⃡‫ف‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
1∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
2∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
⃡ ⃡(‫معطى‬)
⃡ ⃡(‫متوازٌان‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫العمودٌان‬ ‫المستقٌمان‬)
∢𝟑 ∢ 𝟒(‫وازى‬ ‫إذا‬‫تساو‬ ‫أخرى‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ضلع‬ ‫زاوٌة‬ ‫ضلعا‬‫ى‬‫مستوٌهما‬ ‫وتوازي‬ ‫قٌاسهما‬)
∢𝟓 ∢𝟔 𝟗𝟎°(‫المس‬‫ــ‬‫مس‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫تقٌم‬‫ــ‬‫جم‬ ‫على‬ ً‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ٌكون‬ ‫توي‬‫ـ‬‫المس‬ ‫ٌع‬‫ــــ‬‫تقٌمات‬
) ‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫أثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬
∢ 𝟏 ∢ 𝟐(‫المثلث‬ ‫زواٌا‬ ‫قٌاسات‬ ‫مجموع‬𝟏𝟖𝟎°)
‫قٌاس‬‫زاوٌة‬‫مٌل‬⃡‫على‬‫قٌاس‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬⃡‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
(‫اتقٌم‬‫ا‬‫المس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫او‬‫ا‬‫ه‬ ‫اوم‬‫ا‬‫معل‬ ٍ‫و‬‫ات‬‫ا‬‫مس‬ ‫اى‬‫ا‬‫عل‬ ‫اة‬‫ا‬ٌ‫عمود‬ ‫ار‬‫ا‬ٌ‫غ‬ ‫اتقٌم‬‫ا‬‫مس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬)
(ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬
‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬)

21. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
399
‫س‬4/‫زاوٌة‬ ‫أطولهما‬ ‫فإن‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الطول‬ ً‫ف‬ ‫مختلفان‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
‫مٌل‬‫ه‬.‫علٌه‬ ‫اآلخر‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
:‫المعطٌات‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅(‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
⃡‫مسقط‬⃡‫على‬
𝛉 𝟏∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
𝛉 𝟐∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬⃡‫على‬
(‫معطى‬)
𝟏𝟏
)‫التراجح‬ ‫(خواص‬
‫بـ‬ ‫المتراجحة‬ ً‫طرف‬ ‫وبضرب‬:‫ٌنتج‬
𝜽𝟏 𝜽𝟐(‫و‬‫ب‬‫رفع‬‫دالة‬ ‫ألن‬ ‫الطرفٌن‬)‫متزاٌدة‬ ‫دالة‬
𝛉 𝟏
𝜽 𝟐
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬
(‫ار‬‫ا‬ٌ‫غ‬ ‫اتقٌم‬‫ا‬‫مس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫اقط‬‫ا‬‫مس‬‫اتقٌم‬‫ا‬‫المس‬ ‫اة‬‫ا‬‫قطع‬ ‫او‬‫ا‬‫ه‬ ‫اوم‬‫ا‬‫معل‬ ٍ‫و‬‫ات‬‫ا‬‫مس‬ ‫اى‬‫ا‬‫عل‬ ‫اة‬‫ا‬ٌ‫عمود‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬)
(‫المح‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬‫ددة‬
‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬‫ذلك‬‫المستوي‬)

22. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
400
‫س‬5/.‫األطول‬ ‫هو‬ ً‫ال‬ٌ‫م‬ ‫فأصغرهما‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫إلى‬ ‫ما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫إذا‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅ ̅̅̅̅‫على‬ ‫مائالن‬
‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬̅̅̅̅‫على‬
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
:‫البرهان‬
‫لٌكن‬̅̅̅̅(‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫ٌمكن‬)
̅̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
‫وكذلك‬̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
𝛉 𝟏
∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬̅̅̅̅‫على‬
𝛉 𝟐
∢‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬ ً‫ه‬̅̅̅̅‫على‬
∢ 𝛉 𝟏
∢ 𝜽 𝟐
‫الـ‬ ‫دالة‬ ‫وبأخذ‬:‫للطرفٌن‬
𝛉 𝟏
𝛉 𝟐
‫و‬‫على‬ ‫المتراجحة‬ ً‫طرف‬ ‫بقسمة‬AD
𝟏 𝟏
‫ٌنتج‬ ‫التراجح‬ ‫وبقلب‬:
(‫التراجح‬ ‫خواص‬)
)‫م‬ . ‫هـ‬ .‫(و‬
(‫المساتقٌم‬ ‫قطعاة‬ ‫هاو‬ ‫معلاوم‬ ٍ‫و‬‫مسات‬ ‫علاى‬ ‫عمودٌاة‬ ‫غٌار‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬
‫المرسو‬ ‫العمودٌن‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ً‫طرف‬ ‫من‬ ‫مٌن‬‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬)
(‫المحددة‬ ‫الزاوٌة‬ ً‫ه‬ ‫معلوم‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستقٌم‬ ‫مٌل‬ ‫زاوٌة‬
‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬)

23. ‫حمٌد‬ ً‫عل‬ ‫األستاذ‬ /‫أعداد‬ ‫الفضائــــــــــــــــبة‬ ‫الهندسة‬ /‫السادس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
401
‫س‬6/‫المستقٌم‬ ‫بٌن‬ ‫المحصورة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫المستقٌم‬ ‫بٌن‬ ‫المٌل‬ ‫زاوٌة‬ ‫أنه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
‫آخر‬ ‫مستقٌم‬ ‫وأي‬ ‫نفسه‬‫مرسوم‬.‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫موقعه‬ ‫من‬‫(وزاري‬2012‫د‬ /3)
:‫المعطٌات‬
̅̅̅̅‫على‬ ‫مائل‬,̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬
∢ , ̅̅̅̅̅‫بـ‬ ‫محددة‬̅̅̅̅‫و‬̅̅̅̅
∢‫بـ‬ ‫محددة‬̅̅̅̅‫و‬̅̅̅̅̅
:‫إثباته‬ ‫المطلوب‬
∢ ∢
:‫البرهان‬
‫نرسم‬̅̅̅̅)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬
‫ونرسم‬̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحٌد‬ ‫مستقٌم‬ ‫رسم‬ ‫(ٌمكن‬)‫إلٌه‬ ً‫تنتم‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬
‫لتكن‬∢ 𝜽 𝟐 ∢ 𝜽 𝟏
̅̅̅̅‫مسقط‬̅̅̅̅‫على‬)‫(معطى‬
AC AD)‫والمستوي‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫بٌن‬ ‫مسافة‬ ‫أقصر‬ ‫هو‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬
‫على‬ ‫وبالقسمة‬AB
)‫التراجح‬ ‫(خواص‬
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐
∢ ∢
)‫م‬ .‫هـ‬ .‫(و‬