هذا المستند يتضمن نصوصاً تعليمية تتعلق بحساب المساحات والتكامل في الرياضيات، حيث يتم تقديم شروحات وأمثلة متنوعة لحل التمارين. يتطرق المستند إلى كيفية إيجاد المساحة تحت المنحنيات من خلال استخدام المستطيلات والمجموعات والمجاميع العلوية والسفلية. يعد عمل الأستاذ حميد علي مرجعاً شاملاً للطلاب في مادة الرياضيات من أجل تطبيق المفاهيم الرياضية بشكل فعال.

1. ‫أعداد‬‫األس‬‫ـتاذ‬
‫طبعة‬‫جديدة‬
‫ومنقحة‬
‫الدراسي‬ ‫للعام‬
2017
‫شرح‬‫مفصل‬‫الرابع‬ ‫الفصل‬ ‫وتمارين‬ ‫أمثلة‬ ‫لجميع‬.
‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫وجميع‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬‫الرابع‬ ‫للفصل‬.
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أسئلة‬.

2. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
304
‫ال‬ ‫الفصل‬‫رابع‬/‫التكامل‬
‫منط‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫اٌجاد‬‫م‬‫مستوٌة‬ ‫ة‬
‫كانت‬ ‫أذا‬𝒇‫وكانت‬ ) ً‫منحن‬ ( ‫دالة‬𝑨‫الفتيرة‬ ً‫اي‬ ً‫السيٌن‬ ً ‫اححيدا‬ ٌ‫وبي‬ ‫بٌنها‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطمة‬𝒂, 𝒃‫كميا‬
‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫أٌجاد‬ ‫اٌمكننا‬ , ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ً‫ا‬ ٌ‫مب‬ ‫هو‬𝑨. ‫بالرسم‬ ‫المحددة‬
: ‫مالحظات‬
①‫الفترة‬ ‫ضم‬ ً‫المنحن‬ ً‫ا‬ ‫نمطة‬ ‫أدنى‬ ‫م‬ ً‫ال‬ٌ‫مستط‬ ‫نرسم‬,‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬𝟏
②‫أ‬ ‫م‬ ً‫ال‬ٌ‫مستط‬ ‫نرسم‬‫عل‬‫الفترة‬ ‫ضم‬ ً‫المنحن‬ ً‫ا‬ ‫نمطة‬ ‫ى‬,‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬𝟐
③ٌ‫المستطٌلت‬ ٌ‫المنطمت‬ ‫مساحة‬ ‫نوجد‬𝟏‫و‬𝟐.
④‫حساب‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬‫لمساحة‬ ‫التمرٌبٌة‬ ‫المٌمة‬‫المنطمة‬A‫باالعتماد‬‫المانو‬ ‫على‬
𝟏 𝟐
𝟐
⑤‫سالب‬ ‫غٌر‬ ً‫حمٌم‬ ‫عدد‬ ً‫ه‬ ‫منطمة‬ ‫أي‬ ‫مساحة‬
⑥‫كانت‬ ‫أذا‬𝟏 𝟐‫مساحة‬ ‫اأ‬𝟏‫مساحة‬‫مساحة‬𝟐
⑦‫ليالل‬ ‫مي‬ ٌ‫المسيتطٌلت‬ ٌ‫المنطمت‬ ‫أبعاد‬ ‫تحدٌد‬ ‫ٌمكننا‬‫ٌات‬ ‫إحيدا‬‫ال‬ ‫السي‬ ً‫اي‬ ‫الميذكورة‬ ‫الفتيرة‬ ً‫نهياٌت‬ ً‫اي‬ ‫النمياط‬
‫احصلٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ا‬ ‫وتعوٌضها‬.
⑧‫الصغٌر‬ ‫المستطٌل‬ ‫حرتفاع‬ ‫نرمز‬𝟏‫بالرمز‬‫حٌث‬
⑨‫نرمز‬‫الكبٌر‬ ‫المستطٌل‬ ‫حرتفاع‬𝟐‫بالرمز‬‫حٌث‬
‫ال‬ ‫م‬(1)/‫المنطمة‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫اوجد‬Aٌ‫ح‬‫ث‬{ , 𝟐 𝟓, 𝟎 , √ 𝟏}
‫الحل‬/
𝟓 𝟐 𝟑
𝟐 √ 𝟐 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟑 𝟑
𝟓 √ 𝟓 𝟏 𝟐
𝟐 𝟐 𝟑 𝟔
𝟏 𝟐
𝟐
𝟑 𝟔
𝟐
𝟗
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
𝟐
‫للمنطقة‬ ‫التقرٌبٌة‬ ‫المساحة‬

3. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
305
‫ال‬ ‫م‬(2)/‫المنطمة‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫اوجد‬A‫حٌث‬{ , 𝟏 𝟐, 𝟐
𝟏}
‫الحل‬/
𝟐 𝟏 𝟏
𝟏 𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟓
𝟐 𝟓 𝟏 𝟓
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐 𝟓
𝟐
𝟕
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
‫للمنطقة‬ ‫التقرٌبٌة‬ ‫المساحة‬
/ ‫ال‬ ‫م‬‫المنط‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫اوجد‬‫م‬‫ة‬A‫حٌث‬{ , 𝟏 𝟑, 𝟎 , 𝟐
𝟏}
‫الحل‬/
𝟑 𝟏 𝟐
𝟏 𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 𝟒
𝟑 𝟑 𝟐
𝟏𝟎
𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟎
𝟏 𝟐
𝟐
𝟒 𝟐𝟎
𝟐
𝟐𝟒
𝟐
𝟏𝟐 𝟐
‫للمنطقة‬ ‫التقرٌبٌة‬ ‫المساحة‬
/ ‫ال‬ ‫م‬‫المنطمة‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫اوجد‬A‫حٌث‬{ , 𝟐 𝟓 , 𝟑 𝟐
𝟐}
‫الحل‬/
𝟓 𝟐 𝟑
𝟐 𝟐 𝟐
2 2 2 𝟏𝟎
𝟏 𝟏𝟎 𝟑 𝟑𝟎
𝟓 𝟓 𝟐
2 2 𝟕𝟑
𝟐 𝟕𝟑 𝟑 𝟐𝟏𝟗
𝟏 𝟐
𝟐
𝟑𝟎 𝟐𝟏𝟗
𝟐
𝟐𝟒𝟗
𝟐
𝟏𝟐𝟒
𝟏
𝟐
𝟐
‫للمنطقة‬ ‫التقرٌبٌة‬ ‫المساحة‬
/: ‫واجب‬‫المنطمة‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫اوجد‬A‫حٌث‬{ , 𝟏 𝟒, 𝟎 , 𝟐
𝟏}

4. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
306
‫أكبر‬ ‫بدلة‬ ‫مستوٌة‬ ‫منطمة‬ ‫مساحة‬
Ⓘ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫نجزأ‬,‫ولٌك‬ ‫الطلب‬ ‫حسب‬ ‫اترات‬ ‫الى‬‫هو‬ ‫الفترات‬ ‫عدد‬(n)‫وبذ‬‫ل‬‫ٌكو‬ ‫ن‬‫الفترة‬ ‫طول‬
‫م‬ ‫لالعداد‬ ‫ٌرمز‬ ‫حٌث‬(1,2,…,n )‫بالرمز‬(𝛔)) ‫(سكما‬‫أ‬ ‫حٌث‬𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, ,
②‫نحسب‬‫مستطٌلة‬ ‫منطمة‬ ‫أكبر‬ ‫مساحة‬‫دالل‬A‫حٌث‬‫تساوي‬𝟏 𝟐 𝟑
③‫نحسب‬‫مستطٌلة‬ ‫منطمة‬ ‫أصغر‬ ‫مساحة‬‫دالل‬A‫تساوي‬ ‫حٌث‬( 𝟏 𝟐 𝟑 )
④‫يد‬‫ي‬‫نج‬‫ية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫ياحة‬‫ي‬‫مس‬Aً‫يال‬‫ي‬‫الت‬ ‫يانو‬‫ي‬‫الم‬ ‫يب‬‫ي‬‫حس‬
∑ ∑
‫يأ‬‫ي‬‫ا‬ ‫ية‬‫ي‬ ‫التجز‬ ‫ياط‬‫ي‬‫نم‬ ‫يدد‬‫ي‬‫ع‬ ‫زادت‬ ‫يا‬‫ي‬‫كلم‬ ‫يه‬‫ي‬‫أن‬ ‫يظ‬‫ي‬‫ونالح‬
‫تمل‬ ‫ٌة‬ ‫النها‬ ‫المحصلة‬‫المنطمة‬ ‫لمساحة‬ ‫التمرٌبٌة‬ ‫المٌمٌة‬ ‫وتصبح‬(A). ‫دلة‬ ‫ر‬ ‫أك‬
‫يييال‬ ‫م‬()/‫المنطمييية‬ ‫لمسييياحة‬ ‫تمرٌبٌييية‬ ‫لٌمييية‬ ‫اوجيييد‬A‫حٌيييث‬{ , 𝟐 𝟓 , 𝟐
𝟏}‫وذلييين‬
‫باستلدام‬‫ة‬ ‫التجز‬
𝟏 𝛔 𝟏
𝟐, 𝟑, 𝟓
𝟐 𝟐 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓
‫الحل‬/
𝟏 𝛔 𝟏
𝟐, 𝟑, 𝟓 𝟐, 𝟑 𝟑, 𝟓
𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟑 𝟐
𝟏 𝟓 𝟐 𝟏𝟎 𝟓 𝟐𝟎 𝟐𝟓
𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝟓 𝟑 𝟐
𝟏 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟔 𝟏𝟎 𝟓𝟐 𝟔𝟐
𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝟐)
𝟐
𝟐𝟓 𝟔𝟐
𝟐
𝟖𝟕
𝟐
𝟒𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
∴‫المنطقة‬ ‫لمساحة‬ ‫التقرٌبٌة‬ ‫القٌمة‬=𝟒𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟐 𝛔 𝟐
𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 𝟐, 𝟑 𝟑, 𝟒 𝟒, 𝟓
𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 𝟒 𝟑
𝟏 𝟓 𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟕 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟑𝟐
𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟐 𝟓 𝟒 𝟑
𝟏 𝟏𝟎 𝟏 𝟏𝟕 𝟏 𝟐𝟔 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟐𝟔 𝟓𝟑
𝟏 𝟐 𝟑 ( 𝟏 𝟐 𝟑)
𝟐
𝟑𝟐 𝟓𝟑
𝟐
𝟖𝟓
𝟐
𝟒𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
‫المنطقة‬ ‫لمساحة‬ ‫التقرٌبٌة‬ ‫القٌمة‬
‫المنطمة‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫اوجد‬ /: ‫واجب‬A‫حٌث‬{ , 𝟐 𝟓 , 𝟎 , 𝟐
𝟑}
‫ة‬ ‫التجز‬ ‫باستلدام‬ ‫وذلن‬𝟏 𝛔 𝟏
𝟐, 𝟑, 𝟓 𝟐 𝟐 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓

5. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
307
‫السفلى‬ ‫والمجامٌع‬ ‫العلٌا‬ ‫المجامٌــــع‬
‫ٌرمز‬‫العلٌا‬ ‫للمجامٌع‬‫بالرمز‬,‫وٌرمز‬‫السفلى‬ ‫للمجامٌع‬‫بالرمز‬,‫حٌث‬‫أ‬, ,
: ‫الدالة‬ ‫سنعتبر‬,‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫أو‬ ‫متنالصة‬ ‫أو‬ ‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ ‫تكو‬ ‫أ‬ ‫ٌمك‬ ‫حٌث‬
‫احسفل‬ ‫المجموع‬ ‫مع‬ ‫احعلى‬ ‫المجموع‬ ‫ٌتساوى‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ً‫ا‬ ‫ابت‬ ‫ع‬ ‫عبارة‬ ً‫ه‬ ‫والدالة‬ ‫متساوٌة‬ ‫ات‬ ٌ‫التجز‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬
‫استلراج‬ ‫أردنا‬ ‫اذا‬‫استلراج‬ ‫اردنا‬ ‫واذا‬ ‫الفترة‬ ‫لبداٌة‬ ‫احصغر‬ ‫الرلم‬ ‫نعوض‬‫الفترة‬ ‫به‬ ً‫تنته‬ ‫الذي‬ ‫احكبر‬ ‫الرلم‬ ‫نعوض‬
ً‫ا‬‫حالة‬‫ع‬ ‫ٌة‬ ‫الجز‬ ‫الفترة‬ ‫أحتواء‬‫الصيغٌرة‬ ‫المٌمية‬ ‫وتكيو‬ ‫الحرجية‬ ‫النمطية‬ ‫ولٌمية‬ ‫ونهاٌتهيا‬ ‫الفتيرة‬ ‫بداٌية‬ ‫لٌم‬ ‫نحسب‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫لى‬ً‫هي‬
ً‫ه‬ ‫احكبر‬ ‫والمٌمة‬
‫يو‬‫ي‬‫تك‬ ‫أ‬ ‫يترط‬‫ي‬‫نش‬ ‫يم‬‫ي‬‫ل‬ ‫أذا‬𝟎‫يفلى‬‫ي‬‫الس‬ ‫ية‬‫ي‬‫المجموع‬ ‫يور‬‫ي‬‫ظه‬ ‫يع‬‫ي‬‫المتول‬ ‫ي‬‫ي‬‫م‬ ‫يأ‬‫ي‬‫ا‬,‫يفر‬‫ي‬‫ص‬ ‫أو‬ ‫يالب‬‫ي‬‫س‬ ‫أو‬ ‫يب‬‫ي‬‫موج‬ ‫يدد‬‫ي‬‫ع‬‫ل‬ ‫وبالم‬
‫العلٌا‬ ‫للمجموعة‬,‫واح‬‫بالتفصٌــــــــــــــــــــــــــــــل‬ ‫السابمة‬ ‫النماط‬ ‫لتوضٌح‬ ‫لة‬ ‫أم‬ ‫سنألذ‬
‫ييال‬‫ي‬ ‫م‬(4)/‫ييتك‬‫ي‬‫ل‬𝟓 𝟐‫ييتك‬‫ي‬‫ول‬𝟏, 𝟒‫ييفل‬‫ي‬‫احس‬ ‫ييوع‬‫ي‬‫المجم‬ ‫ييد‬‫ي‬‫اأوج‬,‫ييوع‬‫ي‬‫والمجم‬
‫احعلى‬,
‫الحل‬/
𝟓 𝟐 𝟐 (‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ )
𝟑
𝟒 𝟏
𝟑
𝟏 (‫فترات‬ ‫ثالث‬ ) 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟗 𝟗𝟏 𝟏 𝟕 𝟕𝟏 𝟐 𝟗𝟏 𝟏 𝟕1[1,2]
𝟐 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟐 𝟏 𝟗 𝟗𝟐 𝟑 𝟏𝟏𝟐 𝟐 𝟗1[2,3]
𝟑 𝟏 𝟏𝟑 𝟏𝟑𝟑 𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟑 𝟒 𝟏𝟑𝟑 𝟑 𝟏𝟏1[3,4]
, ∑ 𝟕 𝟗 𝟏𝟏 𝟐𝟕
, ∑ 𝟗 𝟏𝟏 𝟏𝟑 𝟑𝟑

6. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
308
‫يال‬‫ي‬ ‫م‬(5)/‫يتك‬‫ي‬‫ل‬𝟑 𝟐
‫يتك‬‫ي‬‫ول‬𝟎, 𝟒‫يفل‬‫ي‬‫احس‬ ‫يوع‬‫ي‬‫المجم‬ ‫يد‬‫ي‬‫اأوج‬,‫يوع‬‫ي‬‫والمجم‬
‫احعلى‬,‫ا‬ ٌ‫تجز‬ ‫أربعة‬ ‫مستلدما‬‫ت‬‫منتظمة‬
‫الحل‬/
𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒
𝟑 𝟐
𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟎 𝟐 𝟑
𝟑
𝟐
𝟎, 𝟒
𝟑
𝟐
𝟏, 𝟐 𝟏 𝟐 (
𝟑
𝟐
)
𝟗
𝟒
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏
𝟒
, 𝟐
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 𝟏 𝟐𝟏 𝟎 𝟎1[0,1]
𝟐 𝟏 (𝟐
𝟏
𝟒
) 𝟐
𝟏
𝟒
𝟐 𝟏 𝟐 𝟐𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐 𝟏 𝟐1[1,2]
𝟑 𝟏 𝟐 𝟐𝟑 𝟏 𝟎 𝟎𝟑 𝟐 𝟐𝟑 𝟑 𝟎1[2,3]
𝟒 𝟏 𝟎 𝟎𝟒 𝟏 𝟒 𝟒𝟒 𝟑 𝟎𝟒 𝟒 𝟒1[3,4]
, ∑ 𝟎 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐
, ∑ 𝟐 𝟐
𝟏
𝟒
𝟐 𝟔
𝟏
𝟒
: ‫مالحظة‬
‫ٌة‬ ‫الجز‬ ‫الفترة‬ ‫تحتوي‬𝟏, 𝟐‫ال‬ ‫الم‬ ً‫ا‬(5)‫السابك‬‫ولٌمة‬ ‫ونهاٌتها‬ ‫الفترة‬ ‫بداٌة‬ ‫لٌم‬ ‫نحسب‬ ‫لذا‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫على‬
ً‫ه‬ ‫الصغٌرة‬ ‫المٌمة‬ ‫وتكو‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ً‫ه‬ ‫احكبر‬ ‫والمٌمة‬

7. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
309
/ ‫ال‬ ‫م‬‫لتك‬𝟐
𝟐 𝟑‫ولتك‬𝟏, 𝟑‫احسيفل‬ ‫المجميوع‬ ‫اأوجد‬,‫احعليى‬ ‫والمجميوع‬
,‫أ‬ ‫علما‬𝟏, 𝟎, 𝟐, 𝟑
/ ‫الحل‬
𝟏, 𝟎 , 𝟎, 𝟐 , 𝟐, 𝟑
𝟐
𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝟎, 𝟐
𝟏 𝟎, 𝟐 𝟎 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 , 𝟑
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟔 𝟔𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟏 𝟏 𝟔𝟏 𝟎 𝟑1[-1,0]
𝟐 𝟐 𝟑 𝟔𝟐 𝟐 𝟐 𝟒𝟐 𝟎 𝟑𝟐 𝟏 𝟐2[0,2]
𝟑 𝟏 𝟔 𝟔𝟑 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟑 𝟔𝟑 𝟐 𝟑1[2,3]
, ∑ 𝟑 𝟒 𝟑 𝟏𝟎
, ∑ 𝟔 𝟔 𝟔 𝟏𝟖
: ‫مالحظة‬
) ‫(أعاله‬ ً‫اللارج‬ ‫ال‬ ‫الم‬ ً‫ا‬‫ٌة‬ ‫الجز‬ ‫الفترة‬ ‫تحتوي‬𝟎, 𝟐‫ولٌمية‬ ‫ونهاٌتهيا‬ ‫الفتيرة‬ ‫بداٌية‬ ‫ليٌم‬ ‫نحسيب‬ ‫ليذا‬ ‫حرجية‬ ‫نمطة‬ ‫على‬
ً‫ه‬ ‫الصغٌرة‬ ‫المٌمة‬ ‫وتكو‬ ‫الحرجة‬ ‫النمطة‬ً‫ه‬ ‫احكبر‬ ‫والمٌمة‬
/ ‫ال‬ ‫م‬‫لتك‬‫وليتك‬𝟎,‫احسيفل‬ ‫المجميوع‬ ‫اأوجيد‬,‫احعليى‬ ‫والمجميوع‬,
‫أ‬ ‫علما‬( 𝟎,
𝟑
,
𝟐
, )
/ ‫الحل‬
𝟎 𝟎, 𝟎,
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 (
𝟑
) 𝟏
𝟑𝟏 (
𝟑
) (
𝟏
𝟐
)
𝟔𝟏 𝟎 𝟏𝟏
𝟑
𝟏
𝟐𝟑
[0,
𝟑
]
𝟐 (
𝟔
) (
𝟏
𝟐
)
𝟏𝟐𝟐 (
𝟔
) 𝟎 𝟎𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟔
[
𝟑
,
𝟐
]
𝟑 (
𝟐
) 𝟎 𝟎𝟑 (
𝟐
) 𝟏
𝟐𝟐 (
𝟐
) 𝟎𝟐 𝟏
𝟐
[
𝟐
, ]
, ∑
𝟔
𝟎
𝟐
𝟑
𝟔 𝟑
, , ∑
𝟑 𝟏𝟐
𝟓
𝟏𝟐

8. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
310
/: ‫واجب‬‫لتك‬𝟔 𝟑 𝟐
‫ولتك‬𝟎, 𝟒‫احسفل‬ ‫المجموع‬ ‫اأوجد‬,‫احعلى‬ ‫والمجموع‬,‫مستلدما‬
‫ا‬ ٌ‫تجز‬ ‫أربعة‬‫ت‬‫منتظمة‬
/: ‫واجب‬‫لتك‬‫ولتك‬𝟎, 𝟐‫احسفل‬ ‫المجموع‬ ‫اأوجد‬,‫احعلى‬ ‫والمجموع‬,ٌ‫اترتت‬ ‫مستلدما‬
ٌ‫منتظمت‬ ٌ‫ٌت‬ ‫جز‬
𝟒 𝟏 ‫تمارين‬
‫اوجد‬‫م‬ ‫كل‬, , ,‫مما‬ ‫لكل‬ً‫ٌأت‬:
𝟏 𝟐, 𝟏 , 𝟑
𝟐, 𝟎, 𝟏
‫منتظمة‬ ‫جزئٌة‬ ‫فترات‬ ‫ثالث‬ ‫الى‬ 2, ‫الفترة‬ ‫تقسٌم‬
/ ‫الحل‬ً‫ه‬ ‫الفترات‬[-2,0] , [0,1]
𝟑 𝟏 𝟎 (‫متناقصة‬ ‫والدالة‬ ‫حرجة‬ ‫نقط‬ ‫التوجد‬ )
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟐 𝟓 𝟏𝟎𝟏 𝟐 𝟑 𝟔𝟏 𝟐 𝟓𝟏 𝟎 𝟑2[-2,0]
𝟐 𝟏 𝟑 𝟑𝟐 𝟏 𝟐 𝟐𝟐 𝟎 𝟑𝟐 𝟏 𝟐1[0,1]
, ∑ 𝟔 𝟐 𝟖
, ∑ 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟑
/ ‫الحل‬‫منتظمة‬ ‫ٌة‬ ‫جز‬ ‫اترات‬ ‫الث‬ ‫الى‬ ‫الفترة‬ ‫تمسم‬
𝟏 𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝟑 𝟏 𝟎 (‫متناقصة‬ ‫والدالة‬ ‫حرجة‬ ‫نقط‬ ‫التوجد‬ )
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟏 𝟐 𝟓𝟏 𝟏 𝟒1[-2,-1]
𝟐 𝟏 𝟒 𝟒𝟐 𝟏 𝟑 𝟑𝟐 𝟏 𝟒𝟐 𝟎 𝟑1[-1,0]
𝟑 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟏 𝟐 𝟐𝟑 𝟎 𝟑𝟑 𝟏 𝟐1[0,1]
, ∑ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟗
, ∑ 𝟓 𝟒 𝟑 𝟏𝟐

9. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
311
𝟐 𝟎, 𝟒 , 𝟒 𝟐
‫كا‬ ‫أذا‬𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
/ ‫الحل‬ً‫ه‬ ‫الفترات‬[0,1] , [1,2] , [2,3] , [3,4]
𝟒 𝟐
𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐 𝟏, 𝟐
ً‫ه‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫توجد‬(2,4)‫الفترة‬ ‫تجزئ‬ ‫وال‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ً‫وه‬
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 𝟏 𝟑𝟏 𝟎 𝟎1[0,1]
𝟐 𝟏 𝟒 𝟒𝟐 𝟏 𝟑 𝟑𝟐 𝟐 𝟒𝟐 𝟏 𝟑1[1,2]
𝟑 𝟏 𝟒 𝟒𝟑 𝟏 𝟑 𝟑𝟑 𝟐 𝟒𝟑 𝟑 𝟑1[2,3]
𝟒 𝟏 𝟑 𝟑𝟒 𝟏 𝟎 𝟎𝟑 𝟑 𝟑𝟒 𝟒 𝟎1[3,4]
, ∑ 𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟔 , , ∑ 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 𝟏𝟒
𝒍𝒆𝒕 𝑨 𝟏 𝑳 𝝈, 𝒇 𝟔 𝑨 𝟐 𝑼 𝝈, 𝒇 𝟏𝟒 𝑨
𝑨 𝟏 𝑨 𝟐
𝟐
𝟔 𝟏𝟒
𝟐
𝟐𝟎
𝟐
𝟏𝟎
‫المنطمة‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫أٌجاد‬ ‫ٌطلب‬ ً‫ا‬‫أحٌان‬𝐴: ً‫ٌل‬ ‫وكما‬
‫أذا‬‫كا‬𝒇 𝟎, 𝟒 𝑹 , 𝒇 𝒙 𝟒𝒙 𝒙 𝟐
‫جد‬‫لٌمة‬‫تمرٌبٌة‬‫لمسياحة‬‫المنطمية‬A‫تحيت‬ً‫المنحني‬‫كيا‬ ‫أذا‬
𝝈 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
‫له‬ ‫وٌضاف‬ ‫أعاله‬ ‫الحل‬ ‫نفس‬
∴‫الم‬‫ٌمة‬‫ال‬‫تمرٌبٌة‬‫لمساحة‬‫المنطمة‬A=𝟏𝟎 𝒖𝒏𝒊𝒕 𝟐

10. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
312
𝟑 𝟏, 𝟒 , 𝟑 𝟐
𝟐
𝟏, 𝟐, 𝟒
‫متساوٌة‬ ‫تجزٌئات‬ ‫ثالث‬ ‫أستخدام‬
/ ‫الحل‬ً‫ه‬ ‫الفترات‬[1,2] , [2,4]
𝟑 𝟐
𝟐 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏, 𝟒
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟏 𝟐 𝟏𝟔𝟏 𝟏 𝟓1[1,2]
𝟐 𝟐 𝟓𝟔 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐𝟐 𝟒 𝟓𝟔𝟐 𝟐 𝟏𝟔2[2,4]
, ∑ 𝟓 𝟑𝟐 𝟑𝟕
, ∑ 𝟏𝟔 𝟏𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟖
/ ‫الحل‬‫متساوٌة‬ ‫تجزٌئات‬ ‫ثالث‬ ‫أستخدام‬
𝟒 𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
ً‫ه‬ ‫الفترات‬[1,2] , [2,3] , [3,4]
𝟑 𝟐
𝟐 𝟔 𝟐 𝟔 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏, 𝟒
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟏 𝟐 𝟏𝟔𝟏 𝟏 𝟓1[1,2]
𝟐 𝟏 𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟐 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔𝟐 𝟑 𝟑𝟑𝟐 𝟐 𝟏𝟔1[2,3]
𝟑 𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟔𝟑 𝟏 𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟑 𝟒 𝟓𝟔𝟑 𝟑 𝟑𝟑1[3,4]
, ∑ 𝟓 𝟏𝟔 𝟑𝟑 𝟓𝟒
, ∑ 𝟏𝟔 𝟑𝟑 𝟓𝟔 𝟏𝟎𝟓

11. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
313
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫ييييال‬ ‫م‬/‫أذا‬‫كييييا‬𝟏, 𝟓 , 𝟒 𝟐
‫جييييد‬‫لٌميييية‬‫تمرٌبٌيييية‬‫لمسيييياحة‬‫المنطميييية‬A‫تحييييت‬ً‫المنحنيييي‬‫اذا‬
𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟓
𝟒 𝟐
𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟐
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟏 𝟐 𝟒𝟏 𝟏 𝟑1[1,2]
𝟐 𝟐 𝟒 𝟖𝟐 𝟐 𝟎 𝟎𝟐 𝟐 𝟒𝟐 𝟒 𝟎2[2,4]
𝟑 𝟏 𝟎 𝟎𝟑 𝟏 𝟓 𝟓𝟑 𝟒 𝟎𝟑 𝟓 𝟓1[4,5]
, 𝟑 𝟎 𝟓 𝟐 , , 𝟒 𝟖 𝟎 𝟏𝟐
𝟏 , 𝟐 𝟐 , 𝟏𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐 𝟏𝟐
𝟐
𝟏𝟎
𝟐
𝟓 𝟐
‫ال‬ ‫م‬/‫أذا‬‫كا‬𝟏, 𝟒 , 𝟐
𝟏‫جد‬‫لٌمة‬‫تمرٌبٌة‬‫لمساحة‬‫المنطمة‬A‫تحت‬ً‫المنحن‬‫اذا‬
𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒 𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟒 (‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ )
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟓𝟏 𝟏 𝟐1[1,2]
𝟐 𝟐 𝟏𝟕 𝟑𝟒𝟐 𝟐 𝟓 𝟏𝟎𝟐 𝟒 𝟏𝟕𝟐 𝟐 𝟓2[2,4]
, 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟐 , , 𝟓 𝟑𝟒 𝟑𝟗
𝟏 , 𝟏𝟐 𝟐 , 𝟑𝟗
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏𝟐 𝟑𝟗
𝟐
𝟓𝟏
𝟐
𝟐𝟓
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟒 (‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ )
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟓 𝟓𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟓𝟏 𝟏 𝟐1[1,2]
𝟐 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟐 𝟏 𝟓 𝟓𝟐 𝟑 𝟏𝟎𝟐 𝟐 𝟓1[2,3]
𝟑 𝟏 𝟏𝟕 𝟏𝟕𝟑 𝟏 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟑 𝟒 𝟏𝟕𝟑 𝟑 𝟏𝟎1[3,4]
, 𝟐 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 , , 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟕 𝟑𝟐
𝟏 , 𝟏𝟕 𝟐 , 𝟑𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏𝟕 𝟑𝟐
𝟐
𝟒𝟗
𝟐
𝟐𝟒
𝟏
𝟐
𝟐

12. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
314
: ‫مالحظة‬
‫السابك‬ ‫ال‬ ‫الم‬ ً‫ا‬ ‫ذكر‬ ‫أذا‬‫الفرع‬ ‫نفس‬ ‫ٌكو‬ ‫االحل‬ ‫متساوٌة‬ ‫ات‬ ٌ‫تجز‬ ‫الث‬ ‫أستلدم‬(b)‫السابك‬‫بالضبط‬
//: ‫واجب‬‫أذا‬‫كا‬𝟏, 𝟕 , 𝟐 𝟐
𝟏‫جد‬‫لٌمة‬‫تمرٌبٌة‬‫لمساحة‬‫المنطمة‬A‫تحت‬ً‫المنحن‬‫اذا‬
𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟒, 𝟕 ‫متساوٌة‬ ‫تجزٌئات‬ ‫أربع‬ ‫أستخدم‬
‫التكامـــل‬ ‫تعرٌف‬
‫كانت‬ ‫أذا‬,‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,‫وحٌد‬ ً‫حمٌم‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫اأنه‬k‫حي‬ ‫بحٌث‬‫ة‬ ‫تجز‬(𝛔)
‫الفترة‬ ً‫ا‬,‫اأ‬, ,
‫العدد‬ ً‫نسم‬K‫للدالة‬ ‫المحدد‬ ‫التكامل‬‫الفترة‬ ‫على‬,‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫ونرمز‬∫‫مي‬ ‫التكامل‬ ‫وٌمرأ‬
‫ل‬ ‫الى‬b‫للدالة‬ً‫ونسم‬,‫المحدد‬ ‫التكامل‬ ‫حدي‬
‫مالحظات‬
①‫يية‬‫ي‬‫الدال‬ ‫ييت‬‫ي‬‫كان‬ ‫أذا‬‫ييرة‬‫ي‬‫الفت‬ ‫ييى‬‫ي‬‫عل‬ ‫ييتمرة‬‫ي‬‫مس‬,‫ييأ‬‫ي‬‫ا‬, , ∫ , -‫ييو‬‫ي‬‫وتك‬
‫التمرٌبٌة‬ ‫المٌمة‬‫ل‬‫التكامل‬ ‫هذا‬∫
, ,
𝟐
②‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬𝟎,,‫اأ‬∫‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ً‫ٌعط‬Aً‫المنحني‬ ‫تحت‬f
‫سالب‬ ‫غٌر‬ ‫عدد‬ ‫وهو‬,dx‫التكامل‬ ‫حدي‬ ‫أ‬ ‫الى‬ ‫تشٌر‬‫أما‬ ,,‫للمتغٌر‬ ‫لٌمتا‬x
③‫ية‬‫ي‬‫الدال‬ ‫يت‬‫ي‬‫كان‬ ‫أذا‬𝟎,,‫يأ‬‫ي‬‫ا‬∫ 𝟎‫يا‬‫ي‬‫أم‬ , ‫ياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫يى‬‫ي‬‫عل‬ ‫يدل‬‫ي‬ٌ ‫ال‬ ‫يذا‬‫ي‬‫وه‬
‫المنطمة‬ ‫مساحة‬A‫ستساوي‬ ً‫اه‬
∫ |∫ |
④‫أ‬‫لٌمة‬∫‫الفترة‬ ‫على‬ ‫تتولف‬,‫لٌمة‬ ‫وعلى‬

13. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
315
‫ال‬ ‫م‬()/‫لتك‬𝟏, 𝟑‫حٌث‬𝟐
‫للتكامل‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ 𝟐𝟑
𝟏
‫الفترة‬ ‫ت‬ ‫جز‬ ‫أذا‬𝟏, 𝟑ٌ‫ت‬ ‫تجز‬ ‫الى‬
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟏, 𝟑‫حدود‬ ‫ٌرة‬ ‫ك‬ ‫حنها‬
𝟐
𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟑
𝟑 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏, 𝟐, 𝟑
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟒 𝟒𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟒𝟏 𝟏 𝟏1[1,2]
𝟐 𝟏 𝟗 𝟗𝟐 𝟏 𝟒 𝟒𝟐 𝟑 𝟗𝟐 𝟐 𝟒1[2,3]
, ∑ 𝟏 𝟒 𝟓 , , ∑ 𝟒 𝟗 𝟏𝟑
∫ 𝟐
𝟑
𝟏
, ,
𝟐
𝟓 𝟏𝟑
𝟐
𝟏𝟖
𝟐
𝟗 ‫تقرٌبا‬
‫ال‬ ‫م‬(2)/‫لتك‬𝟐, 𝟓‫حٌث‬𝟐 𝟑‫أوجد‬ ,∫
𝟓
𝟐
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟐, 𝟓‫حدود‬ ‫ٌرة‬ ‫ك‬ ‫حنها‬
𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎
𝛔 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝛔 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟓
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟑 𝟑𝟏 𝟐 𝟏1[2,3]
𝟐 𝟐 𝟕 𝟏𝟒𝟐 𝟐 𝟑 𝟔𝟐 𝟓 𝟕𝟐 𝟑 𝟑2[3,5]
, ∑ 𝟏 𝟔 𝟕 , , ∑ 𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟕
∫ 𝟐 𝟑
𝟑
𝟏
, ,
𝟐
𝟕 𝟏𝟕
𝟐
𝟐𝟒
𝟐
𝟏𝟐 ‫تقرٌبا‬

14. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
316
‫ال‬ ‫م‬(3)/‫لتك‬𝟑,𝟏, 𝟓‫أوجد‬ ,∫
𝟓
𝟏
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟏, 𝟓‫حدود‬ ‫ٌرة‬ ‫ك‬ ‫حنها‬
𝟑 𝟎
𝛔 𝟏, 𝟑, 𝟓 𝛔 𝟏, 𝟑 , 𝟑, 𝟓
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟐 𝟑 𝟔𝟏 𝟐 𝟑 𝟔𝟏 𝟑 𝟑𝟏 𝟏 𝟑2[1,3]
𝟐 𝟐 𝟐 𝟔𝟐 𝟐 𝟑 𝟔𝟐 𝟓 𝟑𝟐 𝟑 𝟑2[3,5]
, ∑ 𝟔 𝟔 𝟏𝟐 , , ∑ 𝟔 𝟔 𝟏𝟐
∫ 𝟑
𝟓
𝟏
, ,
𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟐
𝟐
𝟐𝟒
𝟐
𝟏𝟐 ‫تقرٌبا‬
𝟒 𝟐 ‫تمارين‬
‫س‬1/‫للتكامل‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫
𝟑𝟑
𝟏
‫ة‬ ‫التجز‬ ‫بأستلدام‬𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟑
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟏, 𝟑‫حدود‬ ‫ٌرة‬ ‫ك‬ ‫حنها‬
𝟑 𝟑
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎 𝟑
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟏 𝟏 (
𝟑
𝟐
)
𝟑
𝟐
𝟏 𝟏 𝟑𝟏 𝟐
𝟑
𝟐
1[1,2]
𝟐 𝟏 (
𝟑
𝟐
)
𝟑
𝟐
𝟐 𝟏 𝟏 𝟏𝟐 𝟐
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑 𝟏1[2,3]
, ∑ 𝟏
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐
𝟓
𝟐
, , ∑ 𝟑
𝟑
𝟐
𝟔 𝟑
𝟐
𝟗
𝟐
∫ .
𝟑
/
𝟑
𝟏
, ,
𝟐
𝟓
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐
(
𝟏𝟒
𝟐 )
𝟐
𝟕
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐

15. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
317
‫س‬2/‫لتك‬𝟑 𝟑,𝟏, 𝟒‫وزاري‬2015/‫د‬1
‫لٌمة‬ ‫أوجد‬‫ا‬‫لتكامل‬∫
𝟒
𝟏
‫ة‬ ‫التجز‬ ‫بأستلدام‬𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
‫م‬‫تحت‬ ‫المنطمة‬ ‫بحساب‬ ‫هندسٌا‬ ‫تحمك‬ً‫منحن‬‫الدالة‬F
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟏, 𝟒‫حدود‬ ‫ٌرة‬ ‫ك‬ ‫حنها‬
𝟑 𝟑 𝟑 𝟎 (‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ ‫و‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫التوجد‬ )
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟑 𝟑𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 𝟐 𝟑𝟏 𝟏 𝟎1[1,2]
𝟐 𝟏 𝟔 𝟔𝟐 𝟏 𝟑 𝟑𝟐 𝟑 𝟔𝟐 𝟐 𝟑1[2,3]
𝟑 𝟏 𝟗 𝟗𝟑 𝟏 𝟔 𝟔𝟑 𝟒 𝟗𝟑 𝟑 𝟔1[3,4]
, ∑ 𝟎 𝟑 𝟔 𝟗 , , ∑ 𝟑 𝟔 𝟗 𝟏𝟖
∫ 𝟑 𝟑
𝟒
𝟏
, ,
𝟐
𝟗 𝟏𝟖
𝟐
𝟐𝟕
𝟐
𝟏𝟑
𝟏
𝟐
ً‫الهندس‬ ‫الحل‬:
𝟏 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏, 𝟎
𝟒 𝟏𝟐 𝟑 𝟗 𝟒, 𝟗
‫مساحة‬ (
𝟏
𝟐
) (‫القاعدة‬ ‫طول‬ )(‫األرتفاع‬ )
‫مساحة‬ (
𝟏
𝟐
) 𝟒 𝟏 𝟗
𝟐𝟕
𝟐
𝟏𝟑
𝟏
𝟐
‫س‬3/‫لل‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬‫تكامل‬∫ 𝟑 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
‫ة‬ ‫التجز‬ ‫بأستلدام‬𝛔 𝟐, 𝟑, 𝟒
‫الحل‬/‫الفترات‬𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒
𝟑 𝟐
𝟑 𝟔 𝟎 𝟔 𝟎 𝟐, 𝟒 ‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬
‫طول‬‫الفترة‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟐𝟒 𝟐𝟒𝟏 𝟏 𝟗 𝟗𝟏 𝟑 𝟐𝟒𝟏 𝟐 𝟗1[2,3]
𝟐 𝟏 𝟒𝟓 𝟒𝟓𝟐 𝟏 𝟐𝟒 𝟐𝟒𝟐 𝟒 𝟒𝟓𝟐 𝟑 𝟐𝟒1[3,4]
, ∑ 𝟗 𝟐𝟒 𝟑𝟑 , , ∑ 𝟐𝟒 𝟒𝟓 𝟔𝟗
∫ ( 𝟑 𝟐 𝟑)
𝟒
𝟐
, ,
𝟐
𝟑𝟑 𝟔𝟗
𝟐
𝟏𝟎𝟐
𝟐
𝟓𝟏

16. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
318
‫س‬4/‫للتكامل‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫
𝟐
𝟑
‫أ‬ ‫حٌث‬𝟒
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟑, 𝟐‫حدود‬ ‫ٌرة‬ ‫ك‬ ‫حنها‬
𝟒 𝟎
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐𝟏 𝟎 𝟒𝟏 𝟑 𝟒3[-3,0]
𝟐 𝟐 𝟒 𝟖𝟐 𝟐 𝟒 𝟖𝟐 𝟐 𝟒𝟐 𝟎 𝟒2[0,2]
, ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎 , , ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎
‫التالٌة‬ ‫ات‬ ٌ‫التجز‬ ‫حسب‬ ‫نحل‬ ‫أو‬
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐𝟏 𝟑 𝟒 𝟏𝟐𝟏 𝟏 𝟒𝟏 𝟑 𝟒2[-3,-1]
𝟐 𝟐 𝟒 𝟖𝟐 𝟐 𝟒 𝟖𝟐 𝟐 𝟒𝟐 𝟏 𝟒3[-1,2]
, ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎 , , ∑ 𝟏𝟐 𝟖 𝟐𝟎
∫ 𝟒
𝟐
𝟑
, ,
𝟐
𝟐𝟎 𝟐𝟎
𝟐
𝟒𝟎
𝟐
𝟐𝟎
‫س‬5/‫التكامل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ 𝟑𝟓
𝟏
‫ممكنة‬ ‫ات‬ ٌ‫تجز‬ ‫أربعة‬ ‫بأستلدام‬
‫الحل‬/
𝟑 𝟑 𝟐 𝟎 (‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬ ‫و‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫التوجد‬ )
𝟓 𝟏
𝟒
𝟒
𝟒
𝟏
‫الفترات‬𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 , 𝟒, 𝟓
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟖 𝟖𝟏 𝟏 𝟏 𝟏𝟏 𝟐 𝟖𝟏 𝟏 𝟏1[1,2]
𝟐 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕𝟐 𝟏 𝟖 𝟖𝟐 𝟑 𝟐𝟕𝟐 𝟐 𝟖1[2,3]
𝟑 𝟏 𝟔𝟒 𝟔4𝟑 𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟕𝟑 𝟒 𝟔𝟒𝟑 𝟑 𝟐𝟕1[3,4]
𝟒 𝟏 𝟏𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓𝟒 𝟏 𝟔𝟒 𝟔4𝟒 𝟓 𝟏𝟐𝟓𝟒 𝟒 𝟔𝟒1[4,5]
, ∑ 𝟏 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟎𝟎 , , ∑ 𝟖 𝟐𝟕 𝟔𝟒 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟐𝟒
∫ 𝟑
𝟓
𝟏
, ,
𝟐
𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟒
𝟐
𝟑𝟐𝟒
𝟐
𝟏𝟔𝟐

17. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
319
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫يييال‬‫ي‬ ‫م‬/‫يييتك‬‫ي‬‫ل‬𝟑 𝟐
𝟒‫يييتك‬‫ي‬‫ول‬𝟎, 𝟑‫أوج‬‫يييـ‬‫ي‬‫ــ‬‫لٌم‬ ‫د‬‫يييـ‬‫ي‬‫ــ‬‫يييل‬‫ي‬‫للتكام‬ ‫ييية‬‫ي‬ٌ‫تمرٌب‬ ‫ة‬‫باس‬‫يييـ‬‫ي‬‫ــ‬‫تلدام‬‫ييية‬‫ي‬ ‫التجز‬
𝛔 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑‫أو‬‫بأستلدام‬‫متساوٌة‬ ‫ات‬ ٌ‫تجز‬ ‫الث‬
‫الحل‬/
𝟑 𝟐
𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒
𝟐
𝟑
𝟎 , 𝟏
𝟐
𝟑
𝟎 𝟎 (
𝟐
𝟑
)
𝟒
𝟑
𝟏 𝟏
𝟒
𝟑
‫قٌمة‬ ‫أصغر‬ 𝟎 ‫قٌمة‬ ‫أكبر‬
𝟑 𝟎
𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
‫الفترات‬𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟎 𝟎𝟏 𝟏 .
𝟒
𝟑
/
𝟒
𝟑𝟏 𝟎 𝟎𝟏 .
𝟐
𝟑
/
𝟒
𝟑
1[0,1]
𝟐 𝟏 𝟒 𝟒𝟐 𝟏 𝟏 𝟏𝟐 𝟐 𝟒𝟐 𝟏 𝟏1[1,2]
𝟑 𝟏 𝟏𝟓 𝟏𝟓𝟑 𝟏 𝟒 𝟒𝟑 𝟑 𝟏𝟓𝟑 𝟐 𝟒1[2,3]
, ∑
𝟒
𝟑
𝟏 𝟒
𝟓
𝟑
, , ∑ 𝟎 𝟒 𝟏𝟓 𝟏𝟗
∫
𝟑
𝟎
, ,
𝟐
(
𝟓
𝟑
) 𝟏𝟗
𝟐
(
𝟓 𝟓𝟕
𝟑
)
𝟐
(
𝟔𝟐
𝟑
)
𝟐
(
𝟔𝟐
𝟑
) (
𝟏
𝟐
)
𝟑𝟏
𝟑

18. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
320
‫ال‬ ‫م‬/‫لتك‬‫ولتك‬𝟎,‫للتكامل‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬‫متساوٌتا‬ ٌ‫ت‬ ‫تجز‬ ‫بأستلدام‬
‫الحل‬/
𝟎
𝟐
𝟎,
𝟐
𝟎 𝟎 (
𝟐
) 𝟏 𝟎 𝟎 ‫قٌمة‬ ‫أصغر‬ 𝟏 ‫قٌمة‬ ‫أكبر‬
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 (
𝟐
) 𝟏
𝟐𝟏 (
𝟐
) 𝟎 𝟎𝟏
𝟐
𝟏𝟏 𝟎 𝟎
𝟐
[ 𝟎 ,
𝟐
]
𝟐 (
𝟐
) 𝟏
𝟐𝟐 (
𝟐
) 𝟎 𝟎𝟐
𝟐
𝟏𝟐 𝟎
𝟐
[ 𝟐
, ]
, ∑ 𝟎 𝟎 𝟎 , , ∑
𝟐 𝟐
∫
𝟎
, ,
𝟐
𝟎
𝟐 𝟐
******************************************************************
‫س‬1:‫يل‬‫ي‬‫التكام‬ ‫ية‬‫ي‬‫لٌم‬ ‫يد‬‫ي‬‫أوج‬∫ 𝟐𝟏
𝟎
‫ية‬‫ي‬ ‫التجز‬ ‫يتلدام‬‫ي‬‫بأس‬𝛔 ( 𝟎,
𝟏
𝟒
,
𝟏
𝟐
,
𝟑
𝟒
, 𝟏 )‫يع‬‫ي‬‫أرب‬ ‫يتلدام‬‫ي‬‫بأس‬ ‫أي‬
‫منتظمة‬ ‫ات‬ ٌ‫تجز‬
‫س‬2:‫التكامل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ 𝟐𝟏
𝟎
‫ة‬ ‫التجز‬ ‫بأستلدام‬𝛔 ( 𝟎,
𝟏
𝟒
,
𝟏
𝟑
,
𝟗
𝟏𝟎
, 𝟏 )
‫س‬3:‫ييتك‬‫ي‬‫ل‬‫ييتك‬‫ي‬‫ول‬,‫أوج‬‫ييـ‬‫ي‬‫ـــ‬‫ييل‬‫ي‬‫للتكام‬ ‫يية‬‫ي‬ٌ‫تمرٌب‬ ‫يية‬‫ي‬‫لٌم‬ ‫د‬‫بأس‬‫ييـ‬‫ي‬‫ــــ‬‫ييع‬‫ي‬‫أرب‬ ‫تلدام‬
‫منتظمة‬ ‫ات‬ ٌ‫تجز‬
‫س‬4:‫ييييتك‬‫ي‬‫ل‬‫ييييتك‬‫ي‬‫ول‬*
𝟐
,
𝟔
+‫للتكام‬ ‫يييية‬‫ي‬ٌ‫تمرٌب‬ ‫يييية‬‫ي‬‫لٌم‬ ‫ييييد‬‫ي‬‫أوج‬‫ييييـ‬‫ي‬‫ــ‬‫ل‬‫باس‬‫ييييـ‬‫ي‬‫ـــ‬‫تلدام‬
𝛔 ( 𝟐
,
𝟔
, 𝟎 ,
𝟔
)

19. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
321
‫للتكامــــــــــل‬ ‫احساسٌة‬ ‫النظرٌة‬–‫الممابلة‬ ‫الدالة‬
‫كانت‬ ‫أذا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,‫دالة‬ ‫توجد‬ ‫اأنه‬F‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬,‫بحٌث‬:
, ,
‫وٌكو‬∫‫تسمى‬ ‫حٌث‬‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬f‫الفترة‬ ‫على‬,
‫ال‬ ‫م‬()/‫كانت‬ ‫أذا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟏, 𝟓‫بحٌث‬𝟑 𝟐
‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬f‫لٌمة‬ ‫اجد‬∫
𝟓
𝟏
‫الحل‬/
∫
𝟓
𝟏
𝟓 𝟏 𝟑 𝟐𝟓 𝟑 𝟏 𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐
: ‫احتٌة‬ ‫بالصورة‬ ‫ذلن‬ ‫نكتب‬ ‫أ‬ ‫وٌمك‬
∫
𝟓
𝟏
𝟓
𝟏
𝟑 𝟐
𝟓
𝟏
𝟕𝟓 𝟑 𝟕𝟐
‫ال‬ ‫م‬(2)/‫كانت‬ ‫أذا‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬*𝟎,
𝟐
+‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬ ‫أ‬ ‫و‬f: ً‫ه‬
*𝟎, 𝟐
+,
‫ا‬‫أو‬‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ 𝟐
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝟐
𝟎
(
𝟐
) 𝟎 (
𝟐
) 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎
‫م‬‫ال‬(3)/‫الدالة‬ ‫أ‬ ‫بت‬ ‫أ‬𝟑
𝟐,𝟏, 𝟑‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬𝟑 𝟐
‫الحل‬/∵𝟑
𝟐‫على‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬) ‫حدود‬ ‫ٌرة‬ ‫ك‬ ‫حنها‬ (
∴F‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬𝟏, 𝟑‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬‫على‬𝟏, 𝟑
𝟑 𝟐
𝟏, 𝟑
∴F‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫على‬𝟏, 𝟑

20. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
322
‫م‬‫ال‬(4)/‫الدالة‬ ‫أ‬ ‫بت‬ ‫أ‬
𝟏
𝟐
𝟐,‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
𝟐,
‫لٌمة‬ ‫جد‬ ‫م‬∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∵𝟐‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟐
𝟐‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
∴‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
∫
∫ 𝟐
𝟒
𝟎
[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟎
𝟒
[
𝟏
𝟐
𝟐 (
𝟒
)] [
𝟏
𝟐
𝟐 𝟎 ] [
𝟏
𝟐
(
𝟐
)] [
𝟏
𝟐
𝟎]
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐

21. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
323
ٌ‫ب‬ ‫العاللة‬ ‫ٌوضح‬ ‫أدناه‬ ‫والجدول‬f‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫والدالة‬F
‫لها‬ ‫الممابلة‬ ‫الدالة‬‫الدالة‬
𝟏
𝟏, 𝟏
𝟏
𝟏, 𝟏
𝟏
𝟏, 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
∫ ‫نستنتج‬ ‫الجدول‬ ‫من‬
‫دالة‬ ‫حٌة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫مجموعة‬ً‫ه‬ ‫أعاله‬ ‫الجدول‬ ً‫ا‬ ‫كما‬F+C‫أ‬ ‫حٌث‬Cً‫حمٌم‬ ‫ابت‬ ‫عدد‬

22. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
324
‫م‬‫ال‬()/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫ 𝟐
𝟒
𝟎
𝟎
𝟒
𝟒
𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
‫م‬‫ال‬(6)/‫أوجد‬∫ 𝟐𝟐
𝟒
‫الحل‬/
∫ 𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
𝟐
*
𝟐 𝟒
+ 𝟎 𝟏 𝟏
‫م‬‫ال‬(7)/‫أوجد‬∫ 𝟑
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝟑
𝟎
𝟎
𝟑
𝟑
𝟎
𝟏
𝟑
𝟏
𝟎
𝟏
(
𝟏
𝟐
)
𝟏 𝟐 𝟏 𝟏
‫م‬‫ال‬(8)/‫أوجد‬∫ 𝟑𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫ 𝟑
𝟑
𝟏
0
𝟒
𝟒
1
𝟏
𝟑
[
𝟖𝟏
𝟒
𝟏
𝟒
]
𝟖𝟎
𝟒
𝟐𝟎

23. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
325
‫المحدد‬ ‫التكامـــــل‬ ‫لواص‬
:‫أوال‬Ⓘ‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,‫وكانت‬𝟎 , ,
‫فأن‬∫ 𝟎ً‫ال‬‫مث‬:
𝑎 𝑓 𝑥 𝑥2
0 , 𝑥𝜖 ,2 ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟐
𝟐
𝟏
𝑑𝑥 𝟎
𝑏 𝑓 𝑥 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟑
𝟑
𝟐
𝑑𝑥 𝟎
𝑐 𝑓 𝑥 𝑥 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟏
𝟑
𝟐
𝑑𝑥 𝟎
②‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,‫وكانت‬𝟎 , ,
‫فأن‬∫ 𝟎ً‫ال‬‫مث‬:
𝑎 𝑓 𝑥 < 0 , 𝑥𝜖 ,2 ∶ ‫ألن‬ ∫ 𝟐
𝟐
𝟏
𝑑𝑥 < 𝟎
𝑏 𝑓 𝑥 < 0 , 𝑥𝜖 2, ∶ ‫ألن‬ ∫
𝟏
𝟐
𝑑𝑥 < 𝟎
:‫انٌا‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,‫وكان‬C‫ثابت‬ ً‫حقٌق‬ ‫عدد‬‫فأن‬
∫ 𝑪𝒇 𝒙 𝑪 ∫ 𝒇 𝒙
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
‫م‬‫ال‬(9)/‫كا‬ ‫أذا‬∫ 𝟖
𝟓
𝟐
‫اأوجد‬∫ 𝟓
𝟓
𝟐
‫الحل‬/
∫ 𝟓
𝟓
𝟐
𝟓∫
𝟓
𝟐
𝟓 𝟖 𝟒𝟎

24. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
326
:‫ا‬ ‫ال‬‫كانت‬ ‫أذا‬𝟏 , 𝟐‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالتٌن‬,‫فأن‬𝟏 𝟐∫ 𝟏∫ ∫ 𝟐
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
𝒂
‫على‬ ‫المستمرة‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫محدد‬ ‫عدد‬ ‫أي‬ ‫مجموع‬ ‫على‬ ‫الخاصٌة‬ ‫هذه‬ ‫تعمٌم‬ ‫وٌمكننا‬,
‫م‬‫ال‬(10)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ 𝟐 𝟏𝟕
𝟑
𝟏
,∫ 𝟏 𝟏𝟓
𝟑
𝟏
: ‫م‬ ‫كال‬ ‫اأوجد‬
∫ ( 𝟏 𝟐 )
𝟑
𝟏
, ∫ ( 𝟏 𝟐 )
𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫ ( 𝟏 𝟐 )
𝟑
𝟏
∫ 𝟏
𝟑
𝟏
∫ 𝟐
𝟑
𝟏
2
∫ ( 𝟏 𝟐 )
𝟑
𝟏
∫ 𝟏
𝟑
𝟏
∫ 𝟐
𝟑
𝟏
2
‫م‬‫ال‬(11)/‫كانت‬ ‫أذا‬𝟑 𝟐
𝟐‫اأوجد‬∫
𝟐
𝟏
‫الحل‬/
∫
𝟐
𝟏
∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟏
∫ 𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
4 0
:‫رابعا‬‫كانت‬ ‫أذا‬‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,‫وكانت‬,‫فأن‬:
∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥
𝒄
𝒂
∫ 𝒇 𝑥 𝑑𝑥
𝒃
𝒄
𝒃
𝒂
‫م‬‫ال‬(21)/‫كانت‬ ‫أذا‬∫ 𝟖
𝟕
𝟑
,∫ 𝟓
𝟑
𝟏
‫اأوجد‬∫
𝟕
𝟏
‫الحل‬/
∫
𝟕
𝟏
∫
𝟑
𝟏
∫
𝟕
𝟑
𝟓 𝟖 𝟏𝟑

25. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
327
‫م‬‫ال‬(31)/‫كا‬ ‫أذا‬| |‫أوجد‬∫
𝟒
𝟑
‫الحل‬/‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟑, 𝟒: ‫هما‬ ‫لاعدتا‬ ‫ولها‬
,
𝟎
< 𝟎
∫
𝟒
𝟑
∫
𝟎
𝟑
∫ 0
𝟐
𝟐
1
𝟑
𝟎 𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
𝟎
[0 (
9
2
)] [
6
2
0]
9 6
2
2
2
‫م‬‫ال‬(14)/‫كا‬ ‫أذا‬,
𝟐 𝟏 𝟏
𝟑 < 𝟏
‫اأوجد‬∫
𝟓
𝟎
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬𝟎, 𝟓‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫حنها‬ ‫وذلن‬𝟏‫ح‬
𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 ‫معرفة‬
𝟏
{
𝟐 𝟏 𝟑 𝟏
𝟑 𝟑 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟏 𝟑 ‫موجودة‬ 𝟏 𝟏
∴‫الدالة‬‫م‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬{ < 𝟏} , { 𝟏}
∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬𝟎, 𝟓
∴ ∫ ∫
𝟏
𝟎
∫
𝟓
𝟏
∫ 𝟑
𝟏
𝟎
∫ 𝟐 𝟏
𝟓
𝟏
𝟓
𝟎
𝟑
𝟏
𝟎
𝟐
𝟓
𝟏
𝟑 𝟎 𝟑𝟎 𝟐 𝟑 𝟐𝟖 𝟑𝟏

26. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
328
‫م‬/ ‫ال‬‫كا‬ ‫أذا‬{ 𝟑 𝟐
𝟐 𝟏
𝟔 𝟏 < 𝟏
‫اأوجد‬∫
𝟑
𝟐
‫الحل‬/‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬𝟐, 𝟑‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫حنها‬ ‫وذلن‬𝟏‫ح‬
𝟏 𝟑 𝟏 𝟐
𝟐 𝟏 𝟓 ‫معرفة‬
𝟏
{
𝟑 𝟐
𝟐 𝟓 𝟏
𝟔 𝟏 𝟓 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟏 𝟓 ‫موجودة‬ 𝟏 𝟏
∴‫الدالة‬‫م‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬{ < 𝟏} , { 𝟏}
∵‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬𝟐, 𝟑
∴ ∫ ∫
𝟏
𝟐
∫
𝟑
𝟏
∫ 𝟔 𝟏
𝟏
𝟐
∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐
𝟑
𝟏
𝟐 𝟏𝟒 𝟑𝟔 𝟐 𝟏𝟐 𝟑𝟒 𝟐𝟐
‫م‬/ ‫ال‬‫كا‬ ‫أذا‬| | 𝟑‫اأوجد‬∫
𝟒
𝟑
‫الحل‬/‫السابك‬ ‫ال‬ ‫الس‬ ً‫ا‬ ‫الحل‬ ‫بات‬ ‫أ‬ ‫طرٌمة‬ ‫نفس‬
,
𝟑 𝟎
𝟑 < 𝟎
∫
𝟒
𝟑
∫ 𝟑
𝟎
𝟑
∫ 𝟑 0𝟑
𝟐
𝟐
1
𝟑
𝟎
0
𝟐
𝟐
𝟑 1
𝟎
𝟒𝟒
𝟎
[𝟎 ( 𝟗
𝟗
𝟐
)] [(
𝟏𝟔
𝟐
𝟏𝟐) 𝟎]
𝟐𝟕 𝟒𝟎
𝟐
𝟔𝟕
𝟐

27. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
329
:‫لامسا‬
∫ 𝟎 , ∫ ∫
: ً‫ال‬‫مث‬
∫
𝟑
𝟑
0
𝟐
𝟐
1
𝟑
𝟑
9
2
9
2
𝟎
∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟑
∫ 𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
2
2 2 9
𝟒 𝟑 ‫تمارين‬
‫س‬1/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫م‬ ‫كال‬ ‫أحسب‬:
∫ 𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
0 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐 1
𝟐
𝟐
0
𝟑 𝟒
𝟐
𝟒1 0
𝟑 𝟒
𝟐
𝟒1 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟐 𝟏𝟎 𝟖
∫ 𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟏
0
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
1
𝟏
𝟐
[
𝟏 𝟐
]
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
𝟒 𝟐) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟓
𝟏
𝟐
𝟏 𝟒
𝟏
𝟐
∫ 𝟒
𝟒
𝟑
𝟏
0
𝟓
𝟓
𝟐 𝟐
1
𝟏
𝟑
[
𝟐𝟒𝟑
𝟓
𝟏𝟖] [
𝟏
𝟓
𝟐]
𝟐𝟒𝟐
𝟓
𝟏𝟔
𝟐𝟒𝟐 𝟖𝟎
𝟓
𝟑𝟐𝟐
𝟓

28. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
330
∫ | 𝟏|
𝟐
𝟎
| 𝟏| ,
𝟏 𝟏
𝟏 < 𝟏
∫ | 𝟏|
𝟐
𝟎
∫ ∫
2
0
2
2
1 0
2
2
1
2
[(
2
) 0] [ 2 2 (
2
)]
2 2
𝟏
∫
𝟎
𝟐
0
𝟐
𝟐
1
𝟐
𝟎
0
𝟎 𝟐
𝟐
𝟎 1 [
(
𝟐
)
𝟐
𝟐
(
𝟐
)]
𝟎 𝟎 [
(
𝟐
𝟒
)
𝟐
𝟏]
𝟐
𝟖
𝟏 𝟏
𝟐
𝟖
‫مالحظة‬
∫
𝟑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
∫
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
∫
𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
∫ 𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
0
2
2
1
2
.0
2 9
2
1 0
4
2
21/ .
4 2 6 2 2
6
/
9
6
∫
𝟐 𝟑
𝟒 2
𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
∫ 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐
𝟑
𝟏
0 2
4 1 2
4
𝟑
𝟏
[9 2 ] 4
0

29. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
331
‫س‬2/‫الدالة‬ ‫أ‬ ‫بت‬ ‫أ‬‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬f(x)‫حٌث‬
*𝟎,
𝟔
+‫حٌث‬
𝟏‫حٌث‬*𝟎,
𝟔
+‫م‬‫أحسب‬∫ 𝟔
𝟎
‫الحل‬/‫ل‬‫ـ‬‫أ‬ ‫بت‬ ‫ن‬ ً‫ك‬‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬
‫أ‬ ‫بت‬ ‫ن‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬*𝟎,
𝟔
+
, * 𝟎,
𝟔
+
∴‫مجالها‬ ً‫ا‬ ‫مستمرة‬
̅ 𝟏
∴‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬
∫
𝟔
𝟎
(
𝟔
) 𝟎 [
𝟔 𝟔
] 𝟎 𝟎
𝟏
𝟐 𝟔
𝟑
𝟔
‫س‬3/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫م‬ ‫كال‬ ‫أوجد‬:
∫ 𝟐 𝟏 𝟐
𝟒
𝟏
∫ 𝟐 ( 𝟐
𝟐 𝟏)
𝟒
𝟏
∫ ( 𝟑
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐)
𝟒
𝟏
∫ ( 𝟑
𝟑 𝟐)
𝟒
𝟏
[
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐 ]
𝟏
𝟒
𝟔𝟒 𝟐𝟒 𝟖 0
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐1
𝟑𝟐
𝟏
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑𝟒
𝟓
𝟒
𝟏𝟑𝟔 𝟓
𝟒
𝟏𝟒𝟏
𝟒

30. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
332
∫ | 𝟏|
𝟏
𝟏
| 𝟏| {
𝟏 𝟏
𝟏 < 𝟏 (‫الفترة‬ ‫خارج‬ )
∫ | 𝟏| ∫ 0
2
2
1 (
2
) (
2
) 𝟐
∫
𝟒
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
∫
( 𝟐
𝟏)( 𝟐
𝟏)
𝟏
𝟑
𝟐
∫
𝟏 𝟏 ( 𝟐
𝟏)
𝟏
∫ 𝟏 ( 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
∫ ( 𝟑 𝟐
𝟏)
𝟑
𝟐
0
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
1
𝟐
𝟑
[
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟗
𝟐
𝟑] [𝟒
𝟖
𝟑
𝟐 𝟐]
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟐
𝟏𝟐 𝟖
𝟖
𝟑
𝟒
𝟖𝟏
𝟒
𝟗
𝟐
𝟖
𝟑
𝟒𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟓𝟒 𝟑𝟐
𝟏𝟐
𝟑𝟏𝟑
𝟏𝟐
∫ √ (√ 𝟐)
𝟐
𝟏
𝟎
∫ √ ( 𝟒√ 𝟒)
𝟏
𝟎
∫
(
𝟏
𝟐
)
( 𝟒
(
𝟏
𝟐
)
𝟒)
𝟏
𝟎
∫ (
(
𝟑
𝟐
)
𝟒 𝟒
(
𝟏
𝟐
)
)
𝟏
𝟎
[
(
𝟓
𝟐
)
(
𝟓
𝟐
)
𝟐 𝟐
𝟒
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐
)
]
𝟎
𝟏
[
𝟐
𝟓
𝟐
𝟖
𝟑
] 𝟎
𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟎
𝟏𝟓
𝟕𝟔
𝟏𝟓
‫س‬4/‫كان‬ ‫أذا‬‫ت‬,
𝟐 𝟑
𝟔 < 𝟑
‫اأوجد‬∫
𝟒
𝟏
‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أ‬ ‫نبره‬‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬𝟏, 𝟒
𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ )
𝟑
{
𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 𝟏
𝟔 𝟔 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑
𝟑 𝟔 ( 𝟑 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ )
∫
𝟒
𝟏
∫ 𝟔
𝟑
𝟏
∫ 𝟐 𝟔
𝟑
𝟏
𝟐
𝟒
𝟑
𝟏𝟖 𝟔 𝟏𝟔 𝟗
𝟒
𝟑
𝟏𝟐 𝟕 𝟏𝟗

31. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
333
‫س‬5/‫كا‬ ‫أذا‬{ 𝟑 𝟐
𝟎
𝟐 < 𝟎
‫اأوجد‬∫
𝟑
𝟏
‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫الحل‬/‫الدالة‬ ‫أ‬ ‫نبره‬‫على‬ ‫مستمرة‬‫الفترة‬𝟏, 𝟑‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫أنها‬ ‫بات‬ ‫بأ‬ ‫وذلن‬𝟎
𝟎 𝟑 𝟎 𝟐
𝟎 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫معرفة‬ ‫الدالة‬ )
𝟎
{ 𝟎
𝟑 𝟐
𝟑 𝟎 𝟐
𝟎 𝟏
𝟎
𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟐
𝟎
𝟎 𝟔 ( 𝟎 ‫عندما‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬ )
∫
𝟑
𝟏
∫ 𝟐
𝟎
𝟏
∫ 𝟑 𝟐 𝟐
𝟎
𝟏
𝟑
𝟑
𝟎
𝟎 𝟏 𝟐𝟕 𝟎
𝟑
𝟎
𝟏 𝟐𝟕 𝟐𝟔
******************************************************************
‫التكامـــل‬‫الغٌــر‬‫المحدد‬
‫للدالة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫المستمرة‬,‫ممابلة‬ ‫دالة‬F‫للدالة‬ ‫الممابلة‬ ‫الدوال‬ ‫م‬ ً ‫نها‬ ‫ال‬ ‫عدد‬ ‫ٌوجد‬ ‫اأنه‬f‫وكل‬
‫ٌساوي‬ ‫منها‬F + C‫حٌث‬C‫ابت‬ ‫عدد‬ ‫ٌساوي‬ ‫منها‬ ٌ‫ن‬ ‫أ‬ ‫م‬ ‫ر‬ ‫أك‬ ٌ‫ب‬ ‫والفرق‬ ‫ابت‬ ‫عدد‬ ‫ل‬ ‫ٌم‬
‫تس‬‫ـــــ‬‫مجموع‬ ‫مى‬‫ــــ‬‫الممابل‬ ‫الدوال‬ ‫ة‬‫ـــــ‬‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ة‬F+C‫للدالية‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫بالتكامل‬𝒇‫المسيتمرة‬‫الفتيرة‬ ‫عليى‬
,‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫وٌرمز‬∫ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙ٌ‫متغ‬ ‫رمز‬ ‫كا‬ ‫أذا‬‫الدالة‬ ‫ر‬‫هو‬𝒙
‫بالصورة‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫كتابة‬ ‫على‬ ‫ٌصطلح‬∫ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 𝑭 𝒙 𝑪 , 𝑪 𝐑
‫هو‬ ‫المحدد‬ ‫غٌر‬ ‫التكامل‬ ‫عملٌة‬‫احلرى‬ ‫دور‬ ً‫تنه‬ ‫أحداهما‬ ‫أي‬ ‫التفاضل‬ ‫لعملٌة‬ ‫المعاكسة‬ ‫العملٌة‬
‫م‬‫ال‬(1)/‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ‫التكامل‬:
𝒂 ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑
𝒙 𝟑
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝒄
𝒃 ∫( 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒙 𝟐) 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒙 𝟏
𝟏
𝒄 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝟏
𝒙
𝒄
𝒄 ∫ 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒄
𝒅 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝟒 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝟒 𝒄

32. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
334
‫م‬‫ال‬(2)/: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬
𝒂 ∫( 𝒙 𝟐 𝟑)
𝟐
𝟐𝒙 𝒅𝒙
( 𝒙 𝟐 𝟑)
𝟑
𝟑
𝒄
𝒃 ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓)
𝟔
𝟑𝒙 𝟒 𝒅𝒙 .
𝟏
𝟐
/ ∫( 𝟑𝒙 𝟐 𝟖𝒙 𝟓)
𝟔
2 𝟑𝒙 𝟒 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝟑𝒙 𝟐
𝟖𝒙 𝟓 𝟕
𝟕
𝒄
𝟏𝟒
𝟑𝒙 𝟐
𝟖𝒙 𝟓 𝟕
𝒄
𝒄 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟒
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟓
𝒙
𝟓
𝒄
𝒅 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟔
𝑥 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟕
𝑥
𝟕
𝒄
‫ٌة‬ ‫ل‬ ‫الم‬ ‫الدوال‬ ً‫ا‬ ‫العاللات‬ ‫بعض‬
𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝟏
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
𝟑 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽 𝟏 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝟏
𝟓 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
𝟕 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝜽 𝟏
𝟖 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝑨 𝑩 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝑨 𝑩 𝒙
𝟗 𝒄𝒐𝒔𝑨𝒙 𝒄𝒐𝒔𝑩𝐱
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙
𝟏𝟎 𝒔𝒊𝒏𝑨𝒙 𝒔𝒊𝒏𝑩𝒙
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝑨 𝑩 𝒙
𝟏𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝑠𝜃

33. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
335
‫التربٌعٌة‬ ‫المثلثٌة‬ ‫الدوال‬ ‫تكامالت‬
𝟏 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝒄
𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝒄
𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝟏 𝒅𝜽 ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒕𝒂𝒏𝜽 𝜽 𝒄
𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝜽 𝟏 𝒅𝜽 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫ 𝒅𝜽 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜽 𝒄
𝟓 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫
𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽
𝟐
𝒅𝜽
𝟏
𝟐
(∫ 𝒅𝜽
𝟏
𝟐
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽)
𝟏
𝟐
(𝜽
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄
𝟏
𝟐
𝜽
𝟏
𝟒
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝒄
𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝜽 𝒅𝜽 ∫
𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽
𝟐
𝒅𝜽
𝟏
𝟐
(∫ 𝒅𝜽
𝟏
𝟐
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝜽 𝟐 𝒅𝜽)
𝟏
𝟐
(𝜽
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽) 𝒄
𝟏
𝟐
𝜽
𝟏
𝟒
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜽 𝑐
‫صفحة‬ ‫الكتاب‬ ‫م‬ ( ‫لة‬ ‫أم‬185‫و‬‫صفحة‬618)
𝟏 ∫ 𝟗 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅 𝒙 𝟑 ∫ 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒄
𝟐 ∫ 𝒙 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑
𝒅 𝒙
𝟏
𝟑
∫ 𝟑𝒙 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝟑
𝒅𝒙
𝟏
𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟑
𝒄
𝟑 ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄 ∓ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄
‫وزاري‬2012/‫د‬3
4 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 0
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 1
𝟐
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝟒
( 𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙) 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
(∫ ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙 ) 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
.∫ ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 ∫
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 / 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
. 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄
𝟏
𝟒
.
𝟑
𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄
𝟑
𝟖
𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒙
𝟏
𝟑𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 𝒄

34. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
336
𝟓 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟕 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐝𝐱
𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟖
𝟖
𝒄
𝟔 ∫
𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝟐
𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟑 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟑
𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
𝟏
𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝒙
𝒄
𝟕 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝒙
𝟑
𝒄
‫وزار‬‫ي‬4201/‫د‬2
𝟖 ∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙) 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬6201/‫د‬1
𝟗 ∫ 𝐬𝐢𝐧𝟔𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟑𝐱 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝒅𝒙
𝟐
𝟑
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟑𝐱 𝐬𝐢𝐧𝟑𝐱 𝟑 𝒅𝒙 .
𝟐
𝟑
/
𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱
𝟒
𝐜
𝟏
𝟔
𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟑𝐱 𝐜
‫مالحظة‬
𝐜𝐨𝐬 𝟒
𝟑𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱 𝟒
𝟏𝟎 ∫
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝒅𝒙
∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝟐 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄
𝟏𝟏 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝟑𝐱 𝐝𝐱 ∫ 0
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 1 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
. 𝒙
𝟏
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙/ 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
𝟏𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟓
𝒄𝒐𝒕𝟓𝒙 𝒙 𝒄
𝟏𝟑 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟕𝐱 𝐝𝐱 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
𝒕𝒂𝒏 𝟕𝒙 𝒙 𝒄
‫وزاري‬2014/‫د‬1

35. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
337
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫ال‬ ‫م‬/‫احتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫أوجد‬:
𝟏 ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝟐 𝟏
𝟑
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 ( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑)
𝒅𝒙 .
𝟏
𝟔
/
( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑)
(
𝟒
𝟑
)
𝒄
𝟏
𝟖
( 𝟑𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓
𝟐 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 .
𝟏
𝟐
/
𝒕𝒂𝒏 𝟔
𝟐 𝒙
𝟔
𝒄
𝒕𝒂𝒏 𝟔
𝟐 𝒙
𝟏𝟐
𝒄
𝟑 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟒 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 .
𝟏
𝟒
/
𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟒 𝒙
𝟒
𝒄
𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝟒 𝒙
𝟏𝟔
𝒄
𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟓 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 .
𝟏
𝟑
/
𝐜𝐨𝐬 𝟔 𝒙
𝟑
𝟔
𝒄
𝐜𝐨𝐬 𝟔 𝒙 𝟑
𝟏𝟖
𝒄
𝟓 ∫
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝟐𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝟐𝒙
(
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙
)
𝒅𝒙 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
𝐬𝐢𝐧 𝟒
𝟐𝒙
𝟒
𝒄
𝐬𝐢𝐧 𝟒
𝟐𝒙
𝟖
𝒄
𝟔 ∫ 𝒙 𝒙 𝟐 𝟗 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙 𝟐
𝟗)
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
(𝒙 𝟐
𝟗)
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
(𝒙 𝟐
𝟗)
(
𝟑
𝟐
)
𝟑
𝒄
𝒙 𝟐 𝟗 𝟑
𝟑
𝒄
𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝐬 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)𝒅𝒙
∫ (𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓
𝒙 𝒄𝒐𝐬𝒙)𝒅𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝒙
𝟒
𝒔𝒊𝒏 𝟔
𝒙
𝟔
𝒄
𝟖 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝒙
𝟓
𝒄
𝟗 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝒙 𝟑𝟑
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒙 𝟐 𝟐
𝟑
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝒙 𝟐
𝟐)
(
𝟏
𝟑
)
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟐
)
(𝒙 𝟐
𝟐)
(
𝟒
𝟑
)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
(
𝟑
𝟖
) (𝒙 𝟐
𝟐)
(
𝟒
𝟑
)
𝒄
𝟏𝟎 ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓 𝒅𝒙 .
𝒙 𝟐
𝟐
𝟓𝒙/ 𝒄
𝟏𝟏 ∫
𝟑
𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝟏
𝒅𝒙 ∫
𝟑
𝒙 𝟏 𝟐
𝒅𝒙 𝟑 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐
𝒅𝒙
𝟑 𝒙 𝟏 𝟏
𝟏
𝒄
𝟑
𝒙 𝟏
𝒄

36. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
338
𝟏𝟐 ∫
𝒙 𝟐
𝟏
√𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝟏
𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝟏 𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏
(
𝟏
𝟓
)
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟑
)
𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏
(
𝟒
𝟓
)
(
𝟒
𝟓
)
𝒄
𝟓
𝟏𝟐
𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟏
(
𝟒
𝟓
)
𝒄
𝟏𝟑 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝟒
𝒙
𝟒
𝒄
𝟏𝟒 ∫ 𝟗𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟗 (
𝟏
𝟐
) 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒄
𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝟐
𝑐
‫ال‬ ‫م‬/‫التكامالت‬ ‫أوجد‬‫للدوال‬‫احتٌة‬:
𝟏 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝟑𝒙 𝒙 𝒄
𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫( 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝟏) 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
𝒄𝒐𝒕𝟕𝒙 𝒙 𝒄
𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
2
𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝟑
𝒙 𝐜
𝟒 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟏 𝒅𝒙
∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝟑
𝒙
𝟑
𝟐𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒙 𝒄
𝟓 ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝟐 𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄 ∓ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄
𝟔 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟓
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙
𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙
𝟔
𝒄
𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙)
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄

37. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
339
𝟖 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝟏 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟓 𝟏 𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫ 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟒
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝟏
𝟔
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟖
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄
𝟗 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 ( 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄
𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝟏 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝒙
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒙 𝒄
𝟏𝟎 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟔
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙)
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏 𝟐
𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏 𝒅𝒙
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏 𝟓
𝒙
𝟓
𝟐
𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝒙
𝟑
𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒄
𝟔 ‫من‬ ‫بدل‬ 𝟒 ‫األس‬ ‫أجعل‬ ‫ولكن‬ 𝟏𝟎 ‫السؤال‬ ‫حل‬ ∶ ‫واجب‬
𝟏𝟏 ∫
𝒙 𝟓
𝒙 𝟒
𝟏
𝒙 𝟑 𝒙 𝟏
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝒙 𝟏 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄 (‫نكامل‬ ‫ثم‬ ‫المقام‬ ‫على‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟏𝟐 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝐱 𝐝𝐱 ∫ 0
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 1 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
. 𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄
𝟏𝟑 ∫ 𝒙 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
∫ 𝟑 𝒙 𝟐
𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝟑 𝐝𝒙
𝟏
𝟑
𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 𝒄
𝟏𝟒 ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 𝐝𝐱
𝟏
𝟐
∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝟐 𝟐 𝐝𝒙
𝟏
𝟐
𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝟐 𝒄
𝟏𝟓 ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟕𝐱 𝟕 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
𝐜𝐨𝐭 𝟕𝒙 𝒄
𝟏𝟔 ∫
𝒙 𝟐
9
𝒙 𝟑
𝒅𝒙 ∫
𝑥 𝑥
𝑥
𝒅𝒙 ∫ 𝑥 𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄
𝟏𝟕 ∫
𝒙 𝟒
6
𝒙 𝟐
𝒅𝒙 ∫
𝒙 𝟐
4 𝒙 𝟐
4
𝑥 2
𝒅𝒙 ∫
𝑥 2 𝑥 2 𝒙 𝟐
4
𝑥 2
𝒅𝒙
∫ 𝑥 2 𝒙 𝟐
4 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟑
4𝑥 2𝒙 𝟐
𝒅𝒙
𝒙 𝟒
𝟒
2𝒙 𝟐
2
𝒙 𝟑
𝟑
𝑥 𝒄
𝟏𝟖 ∫
𝒙 𝟑
𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝑥 𝒙 𝟐
𝑥
𝑥
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝑥 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄

38. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
340
𝟏𝟗 ∫
𝒙 𝟐
√𝒙 𝟑 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝒙 𝟑
𝟓 2 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝒙 𝟑
𝟓 2 𝒅𝒙 ×
𝒙 𝟑
𝟓 2
2
𝒄
2
𝒙 𝟑 𝟓 𝒄
𝟐𝟎 ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑
𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝟗 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑
𝟗 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝟗 𝒙 𝟗 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
×
𝐜𝐨𝐭 𝟒
𝟗 𝒙
𝟒
𝒄
𝟐𝟏 ∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
∫ 𝐬𝐢𝐧 𝟗 𝒙 𝟗 𝐝𝐱
𝟏
𝟗
𝒄𝒐𝒔 𝟗𝒙 𝒄
𝟐𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟕 𝒙 𝟕 𝐝𝐱
𝟏
𝟕
𝒄𝒐𝒔 𝟕𝒙 𝒄
‫وزاري‬2012/‫د‬2
𝟐𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑
𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙𝐝𝐱
𝟏
𝟑
𝒄𝒔𝒄 𝟑
𝒙 𝒄
𝟐𝟒 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙 𝐝𝐱 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝟑𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
∫ 𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝟑𝒙 𝐝𝐱
𝟏
𝟑
×
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙
𝟓
𝐜
𝟏
𝟏𝟓
𝒔𝒆𝒄 𝟓
𝟑𝒙 𝐜
‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫ال‬ ‫م‬(𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
)‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1)
‫الحل‬/
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫ (𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
) 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
( 𝟎 , 𝟏 ‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟏 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬

39. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
341
‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ : ‫ال‬ ‫م‬𝟑 𝟐
‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(0 , 1)
‫الحل‬/
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
) 𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
( 𝟎 , 𝟏 ‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟏 𝟐 𝟑
𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫ال‬ ‫م‬‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟑 𝟐
𝟔 𝟗‫تساوي‬ ‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(15)
‫الحل‬/
𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 ( 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 𝟎
𝟑
⇒ 𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
𝟑 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏
‫النمطة‬𝟏, 𝟏𝟓‫محلٌة‬ ‫عظمى‬ ‫نهاٌة‬
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
𝟔 𝟗) 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗 ( 𝟏 , 𝟏𝟓 ‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏𝟓 𝟏 𝟑 𝟗 𝟏𝟎 𝟑
𝟑 𝟐
𝟗 𝟏𝟎 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫ال‬ ‫م‬‫م‬ ‫جد‬ً‫المنحن‬ ‫عادلة‬( 𝟔 )‫عند‬ ‫حرجة‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ً‫والمنحن‬(-1,4)
‫الحل‬/
∫ ∫ 𝟔 𝟑 𝟐
( 𝟏 ‫عندما‬ 𝟎 ‫نجعل‬ ) 𝟑 𝟐
𝟎 𝟑
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫(𝟑 𝟐
𝟑) 𝟑
𝟑 ( 𝟏 , 𝟒 ‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟒 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑
𝟑 𝟐 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬

40. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
342
: ‫ال‬ ‫م‬ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫مٌله‬ ‫الذي‬𝟐‫والمستمٌم‬𝟑 𝟕‫عندما‬ ‫له‬ ‫مماسا‬𝟐
‫الحل‬/
Ⓘ‫لٌمة‬ ‫نعوض‬(x)‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ً‫ا‬‫الستلراج‬‫لٌمة‬(y)‫التماس‬ ‫نمطة‬ ‫أٌجاد‬ ‫م‬
𝟑 𝟕 𝟑 𝟐 𝟕 𝟏 𝟐, 𝟏 ‫التماس‬ ‫نقطة‬
②‫المستمٌم‬ ‫معادلة‬ ‫نشتك‬‫إلٌجاد‬‫احولى‬ ‫المشتمة‬ ‫ألر‬ ‫بمعنى‬ ‫أي‬ ‫المٌل‬
𝟑 𝟕 𝟑 𝟕 𝟑
③‫المنح‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ً‫ا‬ ‫المجاهٌل‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬‫ن‬ً‫حٌث‬𝟑
𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬
④‫التكامل‬ ‫ابت‬ ‫لٌمة‬ ‫نجد‬ ‫م‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫معادلة‬ ‫نكامل‬(C)ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫اٌتم‬‫المطلوبة‬
∫(‫)المٌل‬ ∫ ∫ 𝟐 𝟏 𝟐
( 2 , ‫النقطة‬ ‫نعوض‬ )
𝟏 𝟒 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑 ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
: ‫مالحظات‬
‫ل‬ ‫م‬ ‫مجهول‬ ‫ابت‬ ‫واٌه‬ ً‫منحن‬ ‫مٌل‬ ‫تكامل‬ ‫ال‬(C)‫او‬(P)‫المجهول‬ ‫لٌمة‬ ‫تجد‬ ‫حتى‬.
‫ال‬ ‫الس‬ ‫معلومات‬ ‫م‬ ‫كاملة‬ ‫نمطة‬ ‫أوال‬ ‫تجد‬ ‫أ‬ ‫ٌفضل‬ ‫دالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫حٌجاد‬‫حستلدمها‬‫وابت‬ ‫أٌجاد‬ ً‫ا‬
‫المجهولة‬ ‫التكامل‬

41. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
343
𝟒 𝟒 ‫تمارين‬
: ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫ضم‬ ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬
∫
2𝒙 𝟐
𝟑 𝟐
𝟗
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
𝟒𝒙 𝟒
𝟏𝟐𝒙 𝟐
𝟗 𝟗
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
𝟒𝒙 𝟒
𝟏𝟐𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
𝐝𝐱 ∫
𝒙 𝟐
𝟒𝒙 𝟐
𝟏𝟐
𝒙 𝟐
𝐝𝐱
𝟒𝒙 𝟑
𝟑
𝟏𝟐𝒙 𝒄
𝟐 ∫
(𝟑 √𝟓𝒙)
𝟕
√ 𝟕𝒙
𝒅𝒙 ∫
(𝟑 √𝟓 (√ 𝒙))
𝟕
√𝟕 (√ 𝒙)
𝒅𝒙
𝟏
√𝟕
∫
(𝟑 √𝟓 (√ 𝒙))
𝟕
(√ 𝒙)
𝒅𝒙 (‫المشتقة‬ ‫)نوفر‬
𝟏
√𝟕
(
𝟐
√𝟓
) ∫ .
√𝟓
𝟐
/
(𝟑 √𝟓 (√ 𝒙))
𝟕
(√ 𝒙)
𝒅𝒙
𝟏
√𝟕
(
𝟐
√𝟓
)
(𝟑 √𝟓 (√ 𝒙))
𝟖
𝟖
𝒄
𝟒 √𝟑𝟓
(𝟑 √𝟓𝒙 )
𝟖
𝒄
𝟑 ∫
𝐜𝐨𝐬 𝟑
𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝐜𝐨𝐬 𝒙(𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝒙)
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙
∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
𝒄
‫وزاري‬3201/‫د‬1
𝟒 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟏
𝒙
𝟏
𝐜
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝐜 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄
‫ألر‬ ‫حل‬:
∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏
𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄
𝟓 ∫
𝒙
𝟑𝒙 𝟐 𝟓 𝟒
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟒
𝒅𝒙
𝟏
𝟔
∫ 𝟔 𝒙 (𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟒
𝒅𝒙
𝟏
𝟔
(𝟑𝒙 𝟐
𝟓)
𝟑
𝟑
𝒄
𝟏
𝟏𝟖 𝟑𝒙 𝟐 𝟓 𝟑
𝒄
𝟔 ∫ 𝒙 𝟐 𝟏𝟎𝒙 𝟐𝟓
𝟑
𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐𝟑
𝐝𝐱 ∫ 𝒙 𝟓
(
𝟐
𝟑
)
𝐝𝐱
𝒙 𝟓
(
𝟓
𝟑
)
(
𝟓
𝟑)
𝒄
𝟑
𝟓
𝒙 𝟓
(
𝟓
𝟑
)
𝒄
𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙 (𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙) 𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟑
𝒙
𝟑
𝒄
𝟖 ∫
𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝒅𝒙 𝟐 ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒄𝒐𝒔√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝐝𝐱 𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟏 𝒙 𝒄

42. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
344
(‫المثال‬ ‫كان‬ ‫)لو‬
∫
𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝒅𝒙 𝟐 ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒔𝒊𝒏√𝟏 𝒙
√𝟏 𝒙
𝐝𝐱 𝟐 𝒄𝒐𝒔 √𝟏 𝒙 𝒄
𝟗 ∫(𝟑𝒙 𝟐
𝟏)
𝟐
𝒅𝒙 ∫(𝟗𝒙 𝟒
𝟔𝒙 𝟐
𝟏)𝒅𝒙
𝟗
𝟓
𝒙 𝟓
𝟐𝒙 𝟑
𝒙 𝒄
𝟏𝟎 ∫
√ 𝒙 𝒙
√𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) √ 𝒙(𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ). √ 𝒙/ (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙
∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) (𝒙
𝟏
𝟒) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟐
𝟒 ) (𝟏 √ 𝒙) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙
(
𝟏
𝟐
)
] (𝟏 𝒙
(
𝟏
𝟐
)
)
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙
𝟐 ∫ [
𝟏
𝟐
𝒙
(
𝟏
𝟐
)
] (𝟏 𝒙
(
𝟏
𝟐
)
)
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙 𝟐
(𝟏 𝒙
(
𝟏
𝟐
)
)
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
𝟒
𝟑
(𝟏 𝒙
(
𝟏
𝟐
)
)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
𝟒
𝟑
(𝟏 √ 𝒙)
𝟑
𝒄
(‫المثال‬ ‫كان‬ ‫)لو‬
∫
𝒙 √ 𝒙
√𝒙 𝟑𝟒 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) √ 𝒙(√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) . √ 𝒙/ (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
∫ (𝒙
𝟑
𝟒 ) (𝒙
𝟏
𝟒) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ (𝒙
𝟐
𝟒 ) (√ 𝒙 𝟏) 𝒅𝒙 ∫ [𝒙
(
𝟏
𝟐
)
] (𝒙
(
𝟏
𝟐
)
𝟏)
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙
𝟐 ∫ (
𝟏
𝟐
) [𝒙
(
𝟏
𝟐
)
] (𝒙
(
𝟏
𝟐
)
𝟏)
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙 𝟐
(𝒙
(
𝟏
𝟐
)
𝟏)
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐)
𝒄
𝟒
𝟑
(𝒙
(
𝟏
𝟐
)
𝟏)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
𝟒
𝟑
(√ 𝒙 𝟏)
𝟑
𝒄
‫وزا‬‫ري‬2013/‫د‬2
𝟏𝟏 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐
𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝒙 𝟐 (
𝟏
𝟑
) 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ [
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 ] 𝒅𝒙
𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 ∫ (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙) 𝒅𝒙 𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟔
) 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟑
𝟐
𝒙
𝟐
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄
𝟏𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟒𝒙 𝒅𝒙 (
𝟏
𝟒
) ∫ 𝟒 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟒𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
𝒕𝒂𝒏𝟒𝒙 𝒄
𝟏𝟑 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 .
𝟏
𝟐
/ ∫ 𝟐 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 𝒄
𝟏𝟒 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟖𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝟖𝒙 𝟏) 𝒅𝒙
𝟏
𝟖
𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒙 𝒄

43. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
345
‫وزاري‬2016/‫د‬1
𝟏𝟓 ∫
√𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟏
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟏
𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫ 𝟐 𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟑
𝟐
(
𝟑
𝟐)
𝒄
𝟏
𝟑
𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙
𝟑
𝟐 𝒄
𝟏𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟒
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟖
𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄
𝟏𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟖𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟐
∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝒙
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟏𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙) 𝒄
𝟏
𝟐
𝒙
𝟏
𝟑𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟔𝒙 𝒄
𝟏𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟒
𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫(𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙)
𝟐
𝒅𝒙 ∫ (
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 )
𝟐
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝟒
𝟏 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟔𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟒
(∫ 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟔𝒙 𝒅𝒙)
𝟏
𝟒
[𝒙
𝟐
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 ∫
𝟏
𝟐
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝒙 𝒅𝒙]
𝟏
𝟒
[𝒙
𝟏
𝟑
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟐
(𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙)] 𝒄
𝟏
𝟒
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟖
𝒙
𝟏
𝟗𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝒄
𝟑
𝟖
𝒙
𝟏
𝟏𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙
𝟏
𝟗𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝑐
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫ال‬ ‫م‬/‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
∫ 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟐 (
𝟏
𝟒
) 𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒄𝟒𝒙 𝒄
𝟐 ∫
𝒔𝒊𝒏√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐 ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝒔𝒊𝒏√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔√ 𝒙 𝒄
𝟑 ∫
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒂𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒂𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐
(
𝒂
𝟐) 𝒙
𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐 (
𝒂
𝟐
) 𝒙
𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝟐
(
𝒂
𝟐
) 𝒙 𝒅𝒙 ∫ *𝐬𝐞𝐜 𝟐
(
𝒂
𝟐
) 𝒙 𝟏+ 𝒅𝒙
𝟐
𝒂
𝒕𝒂𝒏 (
𝒂
𝟐
) 𝒙 𝒙 𝒄
𝟒 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙𝒅𝒙
𝟐
𝟑
∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟐
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝟐
𝟑
×
𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟑
𝟑
𝐜
𝟐
𝟗
𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 𝟑
𝐜

44. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
346
𝟓 ∫ √𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
(
𝟏
𝟐
)
𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙
4
∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
(
𝟏
𝟐
)
𝟒𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒅𝒙
(
𝟏
𝟒
)
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙
(
𝟑
𝟐
)
𝟔
𝒄
𝟔 ∫
𝒅𝒙
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙 ∫
(
𝟏
𝟐
) 𝒅𝒙
(
𝟏
𝟐
) 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝐝𝐱 ∫
(
𝟏
𝟐
) 𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 (
𝟏
𝟐
) 𝒙
∫ (
𝟏
𝟐
) 𝒔𝒆𝒄 𝟐
(
𝟏
𝟐
) 𝒙𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏 (
𝟏
𝟐
) 𝒅𝒙 𝒄
𝟕 ∫
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝐝𝒙 ∫(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝐝𝒙
(𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝒙)
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝒄 𝟐 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄
𝟖 ∫
𝟑
𝒙 𝟐
𝒄𝒐𝒔 (
𝟏
𝒙
) 𝒅𝒙 𝟑 ∫
𝟏
𝒙 𝟐
𝐜𝐨𝐬 (
𝟏
𝒙
) 𝐝𝐱 𝟑𝒔𝒊𝒏(
𝟏
𝒙
) 𝐜
𝟗 ∫
𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒅𝒙 ∫ (
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙
) 𝐝𝐱 ∫ (𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝟏
𝒔𝒊𝒏𝒙
) 𝐝𝐱 ∫(𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄)𝐝𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄
𝟏𝟎 ∫
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝟏 𝟐
𝒄𝒐𝒕 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐
𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝟐
𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝟐
𝒅𝒙 ∫ (
𝒔𝒆𝒄𝒙
𝒄𝒔𝒄𝒙
)
𝟒
𝒅𝒙 ∫
*
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒙
+
*
𝟏
𝒔𝒊𝒏
+
𝟒
𝒅𝒙 ∫ (
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
)
𝟒
𝒅𝒙
∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟒
𝒙 𝒅𝒙
‫ال‬ ‫الم‬ ً‫ا‬ ‫كما‬ ‫الحل‬ ‫نكمل‬ ‫م‬)9(‫الصفحة‬ ً‫ا‬)36(
𝟏𝟏 ∫ (
𝟓
𝒙 𝟑
𝟕
𝒙 𝟐
)
(
𝟏
𝟑
)
𝒙 𝒅𝒙 ∫ (
𝟓 𝟕𝒙
𝒙 𝟑
)
(
𝟏
𝟑
)
𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝟓 𝟕𝒙
(
𝟏
𝟑
)
𝒙
𝒙 𝒅𝒙
𝟏
𝟕
𝟓 𝟕𝒙
(
𝟒
𝟑
)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
𝟑
𝟐𝟖
𝟓 𝟕𝒙
(
𝟒
𝟑
)
𝒄
𝟏𝟐 ∫
𝟕𝒙 𝟒
𝒙 𝟓 𝟔
𝒅𝒙 ∫
𝟕𝒙 𝟒
𝒙 𝟓 𝟒 𝒙 𝟓 𝟐
𝒅𝒙 𝟕 ∫
𝒙 𝟒
𝒙 𝟓 𝟒
𝒙 𝟓 𝟐
𝒅𝒙 𝟕 ∫ (
𝒙
𝒙 𝟓
)
𝟒
𝒙 𝟓 𝟐
𝒅𝒙
(
𝟕
𝟓
) ∫ 𝟓 (
𝒙
𝒙 𝟓
)
𝟒
[
𝟏
𝒙 𝟓 𝟐] 𝒅𝒙
𝟕
𝟓
(
𝒙
𝒙 𝟓
)
𝟓
𝟓
𝒄
𝟕
𝟐𝟓
(
𝒙
𝒙 𝟓
)
𝟓
𝐜
𝟏𝟑 ∫ 𝒙 𝟓 𝒙 𝟑𝟑
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒙 𝟐 𝟏
𝟑
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 ( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑
)
𝒅𝒙 .
𝟏
𝟐
/ ∫ 𝟐𝒙 ( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟏
𝟑
)
𝒅𝒙
.
𝟏
𝟐
/
( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑
)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
𝟑
𝟖
( 𝒙 𝟐 𝟏)
(
𝟒
𝟑
)
𝒄

45. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
347
𝟏𝟒 ∫ 𝟓𝒙 𝟒 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟓𝒙 𝟐 𝟑 𝒅𝒙 ∫ 𝒙(𝟓𝒙 𝟐
𝟑)
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙 (
𝟏
𝟏𝟎
) ∫ 𝟏𝟎 𝒙(𝟓𝒙 𝟐
𝟑)
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙
.
𝟏
𝟏𝟎
/
( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑)
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐)
𝒄
𝟏𝟓
( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
𝟏𝟓 ∫
𝟓 𝟕√ 𝒙
𝟑
√ 𝒙
𝒅𝒙 ∫ (𝟓 𝟕𝒙
(
𝟏
𝟐
)
)
(
𝟏
𝟑
)
𝒙
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙 [
𝟐
𝟕
] ∫ [
𝟕
𝟐
] (𝟓 𝟕𝒙
(
𝟏
𝟐
)
)
(
𝟏
𝟑
)
𝒙
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙
[
𝟐
𝟕
]
(𝟓 𝟕𝒙
(
𝟏
𝟐
)
)
(
𝟒
𝟑
)
(
𝟒
𝟑)
𝒄
𝟑
𝟏𝟒
(𝟓 𝟕𝒙
(
𝟏
𝟐
)
)
(
𝟒
𝟑
)
𝒄
𝟏𝟔 ∫ 𝒙 𝟔
(𝟓
𝟑
𝒙
)
𝟔
𝒅𝒙 ∫ (𝒙 [𝟓
𝟑
𝒙
])
𝟔
𝐝𝐱 ∫ 𝟓𝒙 𝟑 𝟔
𝐝𝐱 (
𝟏
𝟓
)
𝟓𝒙 𝟑 𝟕
𝟕
𝒄
𝟑𝟓
𝟓𝒙 𝟑 𝟕
𝒄
𝟏𝟕 ∫ 𝒙 𝟐
𝒙 𝟔
𝟔𝒙 𝟑
𝟗 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝒙 𝟑
𝟑 𝟐 𝟓
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝒙 𝟑
𝟑 𝟏𝟎
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝒙 𝟑
𝟑 𝟏𝟎
𝒅𝒙
(
𝟏
𝟑
)
𝒙 𝟑
𝟑 𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝒄
𝟏
𝟑𝟑
𝒙 𝟑
𝟑 𝟏𝟏
𝒄
𝟏𝟖 ∫ 𝟕𝒙 𝟐
𝒙 𝟔 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟐
𝒙 𝟐 𝒙 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝟕𝒙 𝟑
𝒙 𝟒 𝟏 𝒅𝒙 (
𝟕
𝟒
) ∫ 𝟒 𝒙 𝟑
(𝒙 𝟒
𝟏)
(
𝟏
𝟐
)
𝒅𝒙
(
𝟕
𝟒
)
(𝒙 𝟒
𝟏)
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐
)
𝒄
𝟕
𝟔
(𝒙 𝟒
𝟏)
(
𝟑
𝟐
)
𝑐

46. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
348
‫اللوغارٌتم‬‫الطبٌعــ‬ً‫ـ‬
‫يييييييتك‬‫ي‬‫ل‬u‫يييييييى‬‫ي‬‫ال‬ ‫يييييييبة‬‫ي‬‫بالنس‬ ‫يييييييتماق‬‫ي‬‫لالش‬ ‫ييييييية‬‫ي‬‫لابل‬ ‫ييييييية‬‫ي‬‫موجب‬ ‫ييييييية‬‫ي‬‫دال‬x‫ييييييية‬‫ي‬‫للدال‬ ً‫ييييييي‬‫ي‬‫الطبٌع‬ ‫يييييييارٌتم‬‫ي‬‫اللوغ‬ ‫يييييييتمة‬‫ي‬‫مش‬ ‫يييييييأ‬‫ي‬‫ا‬uً‫ييييييي‬‫ي‬‫ه‬
‫الدالة‬ ‫مشتقة‬
‫الدالة‬
( )
‫و‬‫اأ‬ ‫علٌه‬∫
𝟏
| |‫الدالة‬ ‫تكو‬ ‫أ‬ ‫شرط‬‫موجبية‬‫هيذه‬ ‫وتسيتلدم‬
‫ٌصعب‬ ً‫الت‬ ‫الدوال‬ ‫بعض‬ ً‫ا‬ ‫احولى‬ ‫المشتمة‬ ‫تواٌر‬ ً‫ا‬ ‫الدالة‬‫اشتمالها‬‫ل‬ ‫م‬ ‫اللاصة‬ ‫ص‬ ‫اللصا‬ ‫م‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬:
𝟏 𝟎 , , ,
‫ال‬ ‫م‬()/‫كا‬ ‫اذا‬𝟑 𝟐
𝟒‫اأ‬‫و‬‫جد‬
𝟑 𝟐
𝟒
𝟔
𝟑 𝟐 𝟒
‫ال‬ ‫م‬(2)/‫جد‬∫
𝜃 𝑑
𝟏
𝜃
𝜃
𝟏 𝜃
𝜃
𝜃 𝜃 𝜃
∫
𝜃 𝑑
𝟏
𝜃
𝜃
∫ | | |𝟏 |𝜃
/ ‫ال‬ ‫م‬: ‫التالٌة‬ ‫الدوال‬ ‫مشتمة‬ ‫جد‬ :
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( )
( )

47. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
349
/ ‫ال‬ ‫م‬‫التكامل‬ ‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
∫ ∫ ( )
𝟐
𝟐
∫ 𝟐
(
𝟏
𝟐
) ∫
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
| 𝟐
|
∫
𝟏
| |
∫ ∫ ∫ | |
∫ ∫ | |
∫
𝟐
𝟑
𝟏 𝟑
𝟏
𝟑
∫
𝟑 𝟐
𝟑
𝟏 𝟑
𝟏
𝟑
|𝟏 𝟑 |
‫دالة‬‫اللوغارٌت‬‫م‬ً‫الطبٌع‬
‫ييٌة‬‫ي‬‫احس‬ ‫يية‬‫ي‬‫الدال‬‫يية‬‫ي‬‫لدال‬ ‫ييٌة‬‫ي‬‫عكس‬ ‫يية‬‫ي‬‫دال‬ ً‫يي‬‫ي‬‫ه‬‫ييارٌتم‬‫ي‬‫اللوغ‬‫أو‬ ‫ييتمها‬‫ي‬‫نش‬ ‫ييدما‬‫ي‬‫عن‬ ‫ييدوال‬‫ي‬‫ال‬ ‫ييض‬‫ي‬‫بع‬ ‫ييان‬‫ي‬‫هن‬ ‫يير‬‫ي‬‫أل‬ ‫ييى‬‫ي‬‫بمعن‬ ً‫يي‬‫ي‬‫الطبٌع‬
‫ييا‬‫ي‬‫علٌه‬ ‫ييدلل‬‫ي‬‫ن‬ ‫ييا‬‫ي‬‫نكامله‬‫ال‬‫يية‬‫ي‬‫دال‬‫يية‬‫ي‬‫دال‬ ‫ييال‬‫ي‬‫أدل‬ ‫ييك‬‫ي‬ٌ‫طر‬ ‫يي‬‫ي‬‫ع‬ ‫ييٌة‬‫ي‬‫احس‬ ‫يية‬‫ي‬‫الدال‬ ‫يياء‬‫ي‬‫بألغ‬ ‫ييوم‬‫ي‬‫نم‬ ً‫يي‬‫ي‬‫ننته‬ ‫ييدما‬‫ي‬‫عن‬ ‫ييم‬‫ي‬ ‫ييٌة‬‫ي‬‫احس‬‫ييارٌتم‬‫ي‬‫اللوغ‬
‫علٌها‬ ‫العمل‬ ‫المراد‬ ‫الدالة‬ ‫شكل‬ ‫لتغٌٌر‬ ً‫ه‬ ‫العملٌة‬ ‫هذه‬ ‫م‬ ‫الهدف‬ ً‫الطبٌع‬
‫يي‬‫ي‬‫ل‬‫ذا‬‫يي‬‫ي‬‫ا‬‫ييتمة‬‫ي‬‫مش‬ ‫أ‬‫ييٌة‬‫ي‬‫أس‬ ‫يية‬‫ي‬‫دال‬ ‫اي‬‫ييوة‬‫ي‬‫للم‬ ‫يية‬‫ي‬‫مراوع‬uً‫يي‬‫ي‬‫ه‬(‫االس()الدالة‬ ‫)مشتقة‬‫ييأ‬‫ي‬‫ا‬ ‫ييه‬‫ي‬ٌ‫وعل‬
∫‫ل‬ ‫م‬ ‫اللاصة‬ ‫ص‬ ‫اللصا‬ ‫م‬ ‫مجموعة‬ ‫تمتلن‬ ً‫وه‬
𝟐 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 𝟎
𝟏
𝟏
‫ال‬ ‫م‬(3)/‫لتك‬‫اجد‬
𝟐
‫ال‬ ‫م‬(4)/‫جد‬∫
𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
∫
𝟐 𝟏
𝟐
∫ 𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐

48. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
350
‫احسٌــ‬ ‫الدالة‬‫احساس‬ ( ‫ــة‬)‫ثابت‬ ‫عدد‬
‫أ‬ ‫نفييييييرض‬‫يييييأ‬‫ي‬‫ا‬ ‫يييييٌة‬‫ي‬‫احس‬ ‫ييييية‬‫ي‬‫الدال‬ ‫أسيييييياس‬ ‫يييييل‬‫ي‬ ‫ٌم‬ ‫يييييت‬‫ي‬‫اب‬ ‫يييييدد‬‫ي‬‫ع‬‫للمييييييوة‬ ‫مراوعيييييية‬ ‫يييييٌة‬‫ي‬‫أس‬ ‫داليييييية‬ ‫اي‬ ‫يييييتمة‬‫ي‬‫مش‬uً‫هيييييي‬
(‫()الدالة‬ ‫األساس‬ )(‫االس‬ ‫)مشتقة‬‫ييييييييييييييييأ‬‫ي‬‫ا‬ ‫ييييييييييييييييه‬‫ي‬ٌ‫وعل‬∫
𝟏
. ً‫التال‬ ‫ال‬ ‫الم‬ ً‫ا‬ ‫ذلن‬ ‫نوضح‬ ‫وسوف‬ ‫السابمة‬ ‫احسٌة‬ ‫الدالة‬ ً‫ا‬ ‫ذكرناها‬ ً‫الت‬ ‫ص‬ ‫اللصا‬ ‫ببعض‬ ‫وتتمٌز‬
‫ال‬ ‫م‬()/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
𝟑 𝟐 𝟓
𝟑 𝟐 𝟓
𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 (𝟐
𝟐
)
𝟓 𝟓 𝟓
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
‫ال‬ ‫م‬/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐 𝟒
𝟑 𝟐 𝟒
𝟑 𝟒 𝟒 𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 𝟐 𝟓
𝟑 𝟐 𝟓
𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟓
𝟓 𝟓 𝟓

49. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
351
‫ال‬ ‫م‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬:
∫ 𝟕
𝟏
𝟕
𝟕
∫
∫
∫
√
√
𝟐 ∫
√
𝟐 √
𝟐 √
‫ال‬ ‫م‬/ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫جد‬:
∫ 𝟒 𝟒 (
𝟏
𝟒
)
∫ 𝟐 𝟐 (
𝟏
𝟐
)
∫ 𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
∫ 𝟑 𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
∫ 𝟑 𝟕 𝟐
𝟕 (
𝟏
𝟕
) ∫ 𝟕 𝟑 𝟕 𝟐
𝟕 (
𝟏
𝟕
) 𝟑 𝟕
(
𝟏
𝟑
)
∫
𝟐 𝟑 𝟑
𝟒 𝟐 𝟏
𝟐 𝟑
∫
𝟐 𝟑 𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐 𝟑
∫ .
𝟐 𝟑 𝟑
𝟐 𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐 𝟑
/
∫(𝟐 𝟑 𝟑 𝟑
𝟐 𝟒 𝟐 𝟑
) ∫ 𝟐 𝟐
∫ 𝟐 𝟑 𝟓
(
2
) ∫ 𝟐 𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟑
) ∫ 𝟑 𝟐 𝟑 𝟓
(
2
) 𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟐
) (
𝟏
𝟑
) 𝟐 𝟑 𝟓
(
𝟏
𝟐
)
∫ 𝟐

50. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
352
𝟒 𝟓 ‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬:
𝒂 𝟑
𝟑
𝟑
𝟏
𝒃 𝐲 𝐥𝐧 (
𝒙
𝟐
)
(
𝟏
𝟐
)
(
𝒙
𝟐
)
(
𝟏
𝟐
) (
𝟐
𝒙
)
𝟏
𝒙
𝒄 𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟐
𝟐𝒙
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙
𝒅 𝐲 𝒍𝒏𝒙 𝟐
𝟐 𝒍𝒏𝒙 (
𝟏
𝒙
)
𝟐
𝒙
𝐥𝐧𝐱
𝒆 𝒚 𝒍𝒏 (
𝟏
𝒙
)
𝟑
𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝟑
.
𝟑𝒙 𝟒
𝒙 𝟑
/ 𝟑𝒙 𝟏
𝟑
𝒙
𝒇 𝒚 𝒍𝒏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒈 𝐲 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓)
𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓)
𝟏𝟎𝒙 𝟑 𝟏𝟎𝒙 𝟑 𝒆( 𝟓𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝟓)
𝒉 𝒚 𝟗√ 𝒙
𝟗√ 𝒙
𝒍𝒏𝟗 (
𝟏
𝟐√ 𝒙
)
𝟗√ 𝒙
𝟐√ 𝒙
𝒍𝒏𝟗
𝒊 𝒚 𝟕
(
𝒙
𝟒
)
𝟕
(
𝒙
𝟒
)
𝒍𝒏𝟕 (
𝟏
𝟒
)
𝒍𝒏𝟕
𝟒
𝟕
(
𝒙
𝟒
)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐

51. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
353
‫س‬2/‫احتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
𝑎 ∫
𝟏
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒙 𝟏
𝟑
𝟎
| 𝒍𝒏|𝟑 𝟏| 𝒍𝒏|𝟎 𝟏| 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟒 𝟎 𝒍𝒏𝟒 𝒍𝒏𝟐 𝟐
𝟐𝒍𝒏𝟐
𝒃 ∫
𝟐
𝟐 𝟗
𝟒
𝟎
𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝟐
𝟗
𝟒
𝟎
| | 𝒍𝒏|𝟏𝟔 𝟗| 𝒍𝒏|𝟎 𝟗| 𝒍𝒏𝟐𝟓 𝒍𝒏𝟗 𝒍𝒏𝟓 𝟐
𝒍𝒏𝟑 𝟐
𝟐𝒍𝒏𝟓 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏
𝟓
𝟑
‫وزاري‬4201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬1
𝒄 ∫ 𝟐
𝟓
𝟑
𝒅𝒙 𝟐
𝟓
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟓 𝟐 𝟑
𝟏
𝟐
𝟓 𝟐
* 𝟑 𝟐
+
𝟏
𝟐
𝟐𝟓 𝟗
𝟏
𝟐
𝟏𝟔 𝟖
𝒅 ∫
𝟐
𝟎
𝒅𝒙
𝟐
𝟎
𝟐 𝟎 𝟐 𝟏
* 𝟏+ 𝟐 𝟏
* 𝟏+
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
‫وزاري‬2011/‫د‬1‫وزاري‬2013/‫د‬2
𝒆 ∫ 𝟏 2
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 0
𝟏
1
0
𝟏
𝟏
𝟎
[ ( 𝒆 𝟏) ( 𝒆 𝟎) ]
𝟑
𝟏
𝟏 𝒆 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑
𝟑
𝟏
𝟏 𝒆 𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
𝟏
𝟏 𝒆 𝟑
𝟑
𝟖
‫ال‬ ‫الس‬ ‫كا‬ ‫لو‬:
∫ 𝟏
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 ∫ ( 𝟐 )
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 0 𝒆 𝒙 𝒆 𝟐𝒙
𝟐
1
0
0 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐
𝟐
1 0 𝒆 𝟎 𝒆 𝟎
𝟐
1 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
‫وزاري‬2011/‫د‬2‫وزاري‬2013/‫د‬1
𝒇 ∫
𝟑 𝟐 𝟒
𝟑 𝟒 𝟏
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝟑 𝟒 𝟏
𝟏
𝟎
( ) 𝒍𝒏𝟔 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟔 𝟎 𝒍𝒏𝟔
‫وزاري‬5201/‫د‬2‫وزاري‬2012/‫د‬2
𝒈 ∫
√
𝟐√
𝟒
𝟏
𝒅𝒙 √
𝟒
𝟎
*𝒆√𝟒 𝒆√𝟏+ 𝒆 𝟐
𝒆 𝟏
‫وزاري‬2011/‫د‬1
𝒉 ∫ .
𝟐
𝟐
/
𝟒
𝟒
𝒅𝒙 |𝟐 |
𝟒
𝟒
𝒍𝒏 |𝟐
𝟒
|𝒍𝒏 |𝟐
𝟒
|𝒍𝒏 𝒍𝒏𝟑 𝒍𝒏𝟏 𝒍𝒏𝟑 𝟎 𝒍𝒏𝟑

52. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
354
𝒊 ∫
√
𝟐
𝟔
𝒅𝒙 ∫
(
𝟏
𝟐
)𝟐
𝟔
𝐝𝐱
(
𝟏
𝟐
)
[
(
𝟏
𝟐
)
𝟔
𝟐
] 𝟐√
𝟐
𝟔
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝟐
𝟐
𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝟔
𝒔𝒊𝒏 𝟐 √𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
√𝟐
𝟐 √𝟐
∫ 𝟑
𝟓 ∫ 𝟐
𝟓 𝟓 ∫ 𝟐
𝟓 𝟏 𝟓
∫ 𝟐
𝟓 𝟓 𝟓 ∫ 𝟓 𝟐
𝟓 ∫ 𝟓 𝒅𝒙
(
𝟏
𝟓
)
𝟐
𝟓
𝟐
∫
𝟓
𝟓
𝒅𝒙
𝟏
𝟏𝟎
𝟐
𝟓
𝟏
𝟓
𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏 𝟓𝒙| 𝒄
‫وزاري‬2015/‫د‬1
𝒌 ∫
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 𝟐
* (
𝟐
) 𝟎
+ 𝟎 𝟏
𝟏 𝒆
𝑳 ∫
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ∫ 𝟏
𝟐
𝟏
𝒅𝒙 ∫
𝟐
𝟏
𝒅𝒙
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏 𝟏
‫س‬3/‫بت‬ ‫أ‬‫أ‬:
∫
√
𝟑
𝟏
√ 𝟐𝟑 𝟐
𝟖
𝟏
‫األٌسر‬ ∫
𝟐
𝟑 (
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟏
𝟐𝟖
𝟏
𝟑 ∫ (
𝟏
𝟑
)
𝟐
𝟑 (
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟏
𝟐𝟖
𝟏
𝟑
[
(
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
] 𝟏
𝟖
𝟐 [(
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
]
𝟏
𝟖
𝟐 [(𝟖
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
(𝟏
𝟏
𝟑 𝟏)
𝟑
𝟐
]
𝟐 [ 𝟐 𝟏
𝟑
𝟐 𝟏 𝟏
𝟑
𝟐] 𝟐 [ 𝟏
𝟑
𝟐 𝟎] 𝟐 𝟏 𝟐 ‫األٌمن‬

53. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
355
∫ |𝟑 𝟔|
𝟒
𝟐
𝒅𝒙 𝟑𝟎
‫مالحظة‬𝟑 𝟔 𝟐
| 6| ,
6 2
6 < 2
‫األٌسر‬ ‫الطرف‬ ∫ | 6|
2
𝑑𝑥 ∫ 6
2
2
𝑑𝑥 ∫ 6
2
𝑑𝑥 06
2
2
1
2
2
0
2
2
6 1
𝟐
𝟒
2 𝟔 2 6 ( 24 24 𝟔 2 ) 6 6 ‫األٌمن‬ ‫الطرف‬𝟑𝟎
‫وزاري‬2016/‫د‬1
‫س‬4/‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬𝟐, 𝟔‫كا‬ ‫اأذا‬∫
𝟔
𝟏
𝟔‫وكا‬∫ 𝟑
𝟔
𝟐
𝟑𝟐‫اج‬‫ـــــ‬‫د‬
∫
𝟏
𝟐
∫ 𝟑
𝟔
𝟐
𝟑𝟐
∫
𝟔
𝟐
∫ 𝟑
𝟔
𝟐
𝟑𝟐
∫
𝟔
𝟐
| 𝟑 | 𝟐
𝟔
𝟑𝟐
∫
𝟔
𝟐
𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟐
∫
𝟔
𝟐
𝟐𝟒 𝟑𝟐
∫
𝟔
𝟐
𝟖
∫
𝟔
𝟐
∫
𝟏
𝟐
∫
𝟔
𝟏
𝟖 ∫
𝟏
𝟐
𝟔
∫
𝟏
𝟐
𝟖 𝟔 ∫
𝟏
𝟐
𝟐

54. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
356
‫س‬5/‫لٌمة‬ ‫جد‬‫أ‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬∫ (
𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐 ∫ 𝟐𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟏
𝟐∫ 𝟐𝟒
𝟎
0
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
1
𝟏
𝟐 𝟎
𝟒
.
𝟐
𝟐 𝟐
/ (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
) 𝟐 [
𝟒
𝟎]
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐 𝟏 𝟎
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟑
×𝟐
⇒ 𝟐
𝟔 𝟎 𝟑 𝟐 𝟎
𝟑 𝟐
‫س‬6/‫لتك‬𝟐
𝟐‫حٌث‬‫تساوي‬ ‫الصغرى‬ ‫نهاٌتها‬ ‫دالة‬𝟓‫اجد‬∫
𝟑
𝟏
‫الحل‬/‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫للدالة‬
∴̅ 𝟎
𝟐
𝟐
̅ 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
⇒ 𝟏
∴‫النمطة‬𝟏, 𝟓‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫تحمك‬ ً‫وه‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫نمطة‬
𝟓 𝟏 𝟐
𝟐 𝟏 𝟓 𝟏 𝟐 𝟒
𝟐
𝟐 𝟒
∫
𝟑
𝟏
∫ 𝟐
𝟐 𝟒
𝟑
𝟏
0
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒 1
𝟗 𝟗 𝟏𝟐 (
𝟏
𝟑
𝟏 𝟒) 𝟔 (
𝟏
𝟑
𝟑)
𝟔 (
𝟏 𝟗
𝟑
) 𝟔 (
𝟖
𝟑
)
𝟏𝟖 𝟖
𝟑
𝟐𝟔
𝟑

55. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
357
‫س‬7/ً‫للمنحنييي‬ ‫كيييا‬ ‫أذا‬𝟑 𝟑
𝟏‫انم‬ ‫ييية‬‫ي‬‫نمط‬‫ـــــيييـ‬‫الب‬,‫يييدار‬‫ي‬‫للمم‬ ‫العددٌييية‬ ‫ييية‬‫ي‬‫المٌم‬ ‫جيييد‬
∫𝟎
∫𝟎
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫الحل‬/‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫للدالة‬
∴̅̅ 𝟎
𝟑 𝟑
𝟏
̅ 𝟑 𝟑 𝟐
̅̅ 𝟔 𝟑 𝟔 𝟑 𝟎
𝟔
⇒ 𝟑 𝟎 𝟑
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
𝟏 𝟏 𝟏
∴‫احنمالب‬ ‫نمطة‬,ً‫ه‬𝟑, 𝟏‫أ‬ ‫أي‬𝟑 , 𝟏
∫
𝟎
∫
𝟎
∫ 𝟑 𝟑 𝟐
𝟏
𝟎
∫ 𝟔 𝟑
𝟑
𝟎
𝟑 0
𝟑 𝟑
𝟑
1
𝟎
𝟏
𝟔 0
𝟑 𝟐
𝟐
1
𝟎
𝟑
𝟑 0
𝟏 𝟑 𝟑
𝟑
𝟎 𝟑 𝟑
𝟑
1 𝟔 0
𝟑 𝟑 𝟐
𝟐
𝟎 𝟑 𝟐
𝟐
1
𝟑 [
𝟖
𝟑
𝟐𝟕
𝟑
] 𝟔 [ 𝟎
𝟗
𝟐
]
𝟑 [
𝟏𝟗
𝟑
] 𝟔 [
𝟗
𝟐
]
𝟏𝟗 𝟐𝟕 𝟒𝟔

56. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
358
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫ال‬ ‫م‬‫التالٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬:
𝟏 ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙
𝐝𝐱 𝐥𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙| 𝒄
𝟐 ∫ 𝒆𝒍𝒏(𝒙 𝟐 𝟓)
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝟓 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝟓𝒙 𝒄
𝟑 ∫ 𝒆|𝒙|
𝟐
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙
𝟎
𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 𝟏 𝒆 𝟐
𝒆 𝟐
𝟏 𝟐𝒆 𝟐
𝟐
𝟒 ∫
𝒅𝒙
𝒙√𝟏 𝒍𝒏𝒙
∫
𝟏 𝒍𝒏𝒙
𝟏
𝟐 𝒅𝒙
𝒙
𝟏 𝒍𝒏𝒙
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝒄 𝟐√𝟏 𝒍𝒏𝒙 𝒄
𝟓 ∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝒙| 𝒄 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝒙| 𝒄
𝟔 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒊𝒏𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒔𝒊𝒏𝒙| 𝒄
𝟕 ∫ 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙 𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒙| 𝒄
𝟖 ∫
𝒔𝒆𝒄√ 𝒙
√ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐 ∫
𝒔𝒆𝒄√ 𝒙
𝟐 √ 𝒙
𝒅𝒙 𝟐𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄√ 𝒙 𝒕𝒂𝒏√ 𝒙| 𝒄
𝟗 ∫ (
𝟏
𝒙
𝒍𝒏𝒙
𝒙
) 𝒅𝒙 ∫
𝟏
𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙
𝒅𝒙 𝒍𝒏𝒙
𝒍𝒏𝒙 𝟐
𝟐
𝒄
𝟏𝟎 ∫
𝒍𝒏𝒙
𝒙
𝟑
𝒅𝒙
𝒍𝒏𝒙 𝟒
𝟒
𝒄
𝟏𝟒 ∫
𝒆 𝒙
𝒆 𝒆 𝒙 𝟐
𝒅𝒙 ∫ 𝒆 𝒙
𝒆 𝒆 𝒙 𝟐
𝒅𝒙
𝒆 𝒆 𝒙 𝟏
𝟏
𝒄
𝟏
𝒆 𝒆 𝒙
𝒄

57. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
359
/ ‫ال‬ ‫م‬‫جد‬‫للدوال‬‫التالٌة‬:
𝟏 (
𝟏
) 𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
𝟐 (
𝟏
)
𝟐
(
𝟐
) (
𝟐
)
𝟑
𝟒 𝒙 𝟐
𝟏𝒙
𝟐 𝟐
𝒙
𝟐 𝟐
𝒙
𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
𝟐𝒙
𝟓
𝟑 𝟏
𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑
𝟑 𝟏 𝟐
𝟑 𝟏 𝟑 𝟑
𝟑 𝟏 𝟐
/ ‫ال‬ ‫م‬‫التالٌة‬ ‫للدوال‬ ً‫للمنحن‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬:
⒜‫عندما‬𝟎
𝟎
𝟏 𝟎, 𝟏 ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟎
𝟏 𝟏 𝟎 (‫المماس‬ ‫معادلة‬)

58. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
360
(b)𝟐‫عندما‬𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟐 𝟏, 𝟐 ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒
𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐 𝟒 𝟏 (‫المماس‬ ‫)معادلة‬
(c)‫عندما‬
𝟏 , ‫التماس‬ ‫نقطة‬
‫المماس‬ ‫مٌل‬ (
𝟏
) 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐 (‫المماس‬ ‫)معادلة‬
/ ‫ال‬ ‫م‬‫الدالة‬ ‫أ‬ ‫بت‬ ‫أ‬,*𝟎,
𝟒
+‫للدالة‬ ‫ممابلة‬ ‫دالة‬‫م‬
‫لٌمة‬ ‫جد‬∫ 𝟒
𝟎
/ ‫الحل‬
‫وكذلن‬ ‫لألشتماق‬ ‫لابلة‬ ‫و‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬‫أٌضا‬ ‫لألشتماق‬ ‫ولابلة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬
𝟐
( ‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ً‫ه‬ )
∫
𝟒
𝟎
√𝟐 𝟏 𝟏 𝟎 √𝟐 𝟏

59. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
361
:‫مالحظة‬
‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫ٌحتوي‬ ً‫المنحن‬ ‫مٌل‬ ‫كا‬ ‫أذا‬‫نستلدم‬( )ٌ‫الطرا‬ ‫نكامل‬ ‫م‬ ‫جهة‬ ‫على‬ ‫متغٌر‬ ‫كل‬ ‫نضع‬ ‫م‬ ‫للمٌل‬
******************************************************************
‫س‬1:‫المستمٌم‬ ‫ٌمس‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫جد‬𝟑 𝟕‫ٌساوي‬ ‫نماطه‬ ‫م‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬𝟑 𝟐
𝟔
‫س‬2:‫انٌية‬ ‫ال‬ ‫المشتمة‬ ‫كانت‬ ‫أذا‬𝟔‫للدالية‬ ‫وكيا‬‫النمطية‬𝟏, 𝟒‫يم‬ ‫الدالية‬ ً‫منحني‬ ‫جيد‬ ‫محلٌية‬ ‫عظميى‬ ‫نهاٌية‬ ‫نمطية‬
‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫أرسم‬ ‫التفاضل‬ ‫بأستلدام‬
‫س‬3:‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫م‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫مٌله‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ً‫منحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟐
𝟔‫لٌمتهيا‬ ‫محلٌية‬ ‫صيغرى‬ ‫نهاٌية‬ ‫وله‬
𝟑‫ممعر‬ ً‫المنحن‬ ‫وكا‬𝟏‫لكل‬ ‫ومحدب‬< 𝟏
‫س‬4:‫بالنمطة‬ ‫المار‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬𝟏, 𝟐‫ٌساوي‬ ‫نمطه‬ ‫م‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬ ‫عند‬ ‫ومٌله‬
𝟑 𝟐 𝟐 𝟏
𝟑 𝟐 𝟐 𝟑
‫س‬5:‫جد‬‫معادلة‬‫أ‬ ‫علمت‬ ‫أذا‬ ‫المنحنٌات‬‫عند‬ ‫مٌلها‬‫نمطها‬ ‫م‬ ‫نمطة‬ ‫كل‬,‫هو‬
𝟐
𝟐
******************************************************************
‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫اٌجاد‬
‫مسا‬‫حة‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المستوٌة‬ ‫المنطمة‬‫السـ‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬‫ــٌنات‬
‫لتك‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬,‫ولتك‬Aً‫بيالمنحن‬ ‫المحيددة‬ ‫المنطمية‬ ‫مسياحة‬‫ومحيور‬
ٌ‫والمستمٌم‬ ‫السٌنات‬,‫اأ‬|∫ |
‫الحل‬ ‫لطوات‬:
ٌ‫ب‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬‫ما‬ ‫نتبع‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬ ً‫منحن‬ً‫ٌل‬:
Ⓘ‫يييل‬‫ي‬‫نجع‬𝟎‫يييرة‬‫ي‬‫للفت‬ ً‫ييي‬‫ي‬‫ٌنتم‬ ‫يييات‬‫ي‬‫الن‬ ‫يييا‬‫ي‬‫ك‬ ‫يييأذا‬‫ي‬‫ا‬ ‫يييٌنات‬‫ي‬‫الس‬ ‫يييور‬‫ي‬‫مح‬ ‫يييع‬‫ي‬‫م‬ ‫ييياطع‬‫ي‬‫التم‬ ‫ييياط‬‫ي‬‫نم‬ ‫ييياد‬‫ي‬‫الٌج‬,‫يييزي‬‫ي‬‫انج‬
‫امط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫لذ‬ ‫وت‬ ‫اٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كا‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬ ‫تعلمنا‬ ‫كما‬ ‫الفترة‬.
②‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫الدالة‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫لالل‬ ‫م‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫االفترة‬ ‫اترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬
③‫مجموع‬ = ‫المساحة‬‫لل‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬‫ة‬ ‫المجز‬ ‫تكامالت‬

60. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
362
‫يييال‬‫ي‬ ‫م‬(1)/‫ييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫ييي‬‫ي‬‫بمنحن‬ ‫يييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫ييياحة‬‫ي‬‫مس‬ ‫يييد‬‫ي‬‫ج‬𝟑
𝟒‫يييى‬‫ي‬‫وعل‬ ‫يييٌنات‬‫ي‬‫الس‬ ‫يييور‬‫ي‬‫ومح‬
‫الفترة‬𝟐, 𝟐
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟒 𝟎 𝟐
𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐
∴ً‫ه‬ ‫التكامل‬ ‫اترات‬𝟐, 𝟎 , 𝟎, 𝟐
|∫ 𝟑
𝟒
𝟎
𝟐
| |∫ 𝟑
𝟒
𝟐
𝟎
| 0
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
1
𝟐
𝟎
0
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
1
𝟎
𝟐
| 𝟎 𝟒 𝟖 | | 𝟒 𝟖 𝟎 | 𝟒 | 𝟒| 𝟖 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫ييييييال‬‫ي‬ ‫م‬(2)/‫مس‬ ‫ييييييد‬‫ي‬‫ج‬‫ييييييـ‬‫ي‬‫ـــ‬‫المح‬ ‫يييييية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ييييييـ‬‫ي‬‫ـــ‬‫الدال‬ ً‫يييييي‬‫ي‬‫بمنحن‬ ‫ددة‬‫ييييييـ‬‫ي‬‫ــ‬‫ة‬𝟐
‫ييييييٌنات‬‫ي‬‫الس‬ ‫ييييييور‬‫ي‬‫ومح‬
ٌ‫والمستمٌم‬𝟏 , 𝟑
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟎 𝟎 𝟏, 𝟑
|∫ 𝟐
𝟑
𝟏
|
𝟑
0
𝟑
𝟑
1
𝟏
|[
𝟐𝟕
𝟑
] [
𝟏
𝟑
]|
𝟐𝟔
𝟑
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫ال‬ ‫م‬()/‫الدالة‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬𝟑
𝟑 𝟐
𝟐‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 𝟎 ( 𝟐
𝟑 𝟐) 𝟎 𝟏 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐
|∫ 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟏
𝟎
| |∫ 𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
| 0
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
1
𝟎
𝟏
0
𝟒
𝟒
𝟑 𝟐
1
𝟏
𝟐
|(
𝟏
𝟒
𝟏 𝟏) 𝟎 | | 𝟒 𝟖 𝟒 (
𝟏
𝟒
𝟏 𝟏)|
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟒
|
𝟐
𝟒
𝟏
𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

61. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
363
‫يييال‬ ‫م‬(4)/‫الدالييية‬ ً‫ييي‬‫ي‬‫بمنحن‬ ‫يييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫المنطمييية‬ ‫ييياحة‬‫ي‬‫مس‬ ‫يييد‬‫ي‬‫ج‬𝟐
𝟏‫يييى‬‫ي‬‫وعل‬ ‫يييٌنات‬‫ي‬‫الس‬ ‫يييور‬‫ي‬‫ومح‬
‫الفترة‬𝟐, 𝟑
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟐, 𝟑
|∫ 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
| |∫ 𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
| |∫ 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
|
0
𝟑
𝟑
1
𝟐
𝟏
0
𝟑
𝟑
1
𝟏
𝟏
0
𝟑
𝟑
1
𝟏
𝟑
|[(
𝟏
𝟑
𝟏) (
𝟖
𝟑
𝟐)] [(
𝟏
𝟑
𝟏) (
𝟏
𝟑
𝟏)] [ 𝟗 𝟑 (
𝟏
𝟑
𝟏)]|
|
𝟕
𝟑
𝟏| |
𝟐
𝟑
𝟐| |𝟕
𝟏
𝟑
|
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐𝟎
𝟑
𝟐𝟖
𝟑
𝟗
𝟏
𝟑
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫يييال‬‫ي‬ ‫م‬(5)/‫مس‬ ‫يييد‬‫ي‬‫ج‬‫يييـ‬‫ي‬‫ـــ‬‫ييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫ييي‬‫ي‬‫بمنحن‬ ‫يييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫يييى‬‫ي‬‫وعل‬ ‫يييٌنات‬‫ي‬‫الس‬ ‫يييور‬‫ي‬‫ومح‬
‫الفترة‬*
𝟐
, +
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 𝟎 [
𝟐
, ]
|∫
𝟎
𝟐
| |∫
𝟎
| |
𝟎
𝟐
| |
𝟎
|
| 𝟎 (
𝟐
)| | 𝟎 | 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 | 𝟏| 𝟐 𝟑 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

62. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
364
‫ييييال‬ ‫م‬(6)/‫مس‬ ‫جييييد‬‫ــييييـ‬‫الدال‬ ً‫بمنحنيييي‬ ‫المحييييددة‬ ‫المنطميييية‬ ‫احة‬‫ـــييييـ‬‫ة‬‫وعلييييى‬ ‫السييييٌنات‬ ‫ومحييييور‬
‫الفترة‬,
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎
𝟐
,
|∫
𝟐
| |∫
𝟐
𝟐
| |∫
𝟐
| | 𝟐 | |
|
𝟐
𝟐
|
| |
𝟐
|
| (
𝟐
) | | (
𝟐
) (
𝟐
)| | (
𝟐
)|
| 𝟏 𝟎| |𝟏 𝟏| |𝟎 𝟏| | 𝟏| 𝟐 | 𝟏| 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫ييييال‬‫ي‬ ‫م‬‫مس‬ ‫ييييد‬‫ي‬‫ج‬‫ييييـ‬‫ي‬‫ـــ‬‫يييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫يييي‬‫ي‬‫بمنحن‬ ‫ييييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫يييية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫احة‬𝟐
𝟒‫ييييى‬‫ي‬‫وعل‬ ‫ييييٌنات‬‫ي‬‫الس‬ ‫ييييور‬‫ي‬‫ومح‬
‫الفترة‬𝟏, 𝟑
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟒 𝟎 𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏, 𝟑 (‫السالب‬ ‫ٌهمل‬ )
|∫ 𝟐
𝟒
𝟐
𝟏
| |∫ 𝟐
𝟒
𝟑
𝟐
| |0
𝟑
𝟑
𝟒 1
𝟏
𝟐
| |0
𝟑
𝟑
𝟒 1
𝟐
𝟑
|
|(
𝟖
𝟑
𝟖) (
𝟏
𝟑
𝟒)| | 𝟗 𝟏𝟐 (
𝟖
𝟑
𝟖)| |
𝟗
𝟑
𝟖 𝟒| | 𝟑
𝟖
𝟑
𝟖|
|𝟑 𝟏𝟐| |𝟓
𝟖
𝟑
| | 𝟗| |
𝟏𝟓 𝟖
𝟑
| 𝟗
𝟕
𝟑
𝟐𝟕 𝟕
𝟑
𝟑𝟒
𝟑
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

63. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
365
/ ‫ال‬ ‫م‬‫مس‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫الدال‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫احة‬‫ــــ‬‫ة‬‫الس‬ ‫ومحور‬‫ــــ‬‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫ٌنات‬𝟎, 𝟐
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 ( ‫الصفر‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫موجب‬ ‫عدد‬ ‫دائما‬ ‫ألنه‬ ‫الٌمكن‬ )
|∫
𝟐
𝟎
| | 𝟐 𝟎
| 𝟐
𝟏 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
/ ‫ييييال‬ ‫م‬‫الداليييية‬ ً‫بمنحنيييي‬ ‫المحييييددة‬ ‫المنطميييية‬ ‫مسيييياحة‬ ‫جييييد‬𝟐 𝟐
‫السييييٌنات‬ ‫ومحييييور‬
‫الفترة‬ ‫وعلى‬*𝟎,
𝟐
+
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
𝟐 𝟒
[ 𝟎,
𝟐
]
|∫ 𝟐
𝟒
𝟎
| |∫ 𝟐
𝟐
𝟒
| |[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟎
𝟒
| |[
𝟏
𝟐
𝟐 ]
𝟒
𝟐
| [
𝟏
𝟐
𝟏 𝟎 ] [
𝟏
𝟐
𝟎 𝟏 ]
𝟏
𝟐
|
𝟏
𝟐
| 𝟏 (‫مربعة‬ ‫وحدة‬ )
******************************************************************
ٌٌ‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬
‫لتك‬,‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرتا‬ ٌ‫دالت‬,‫المحيد‬ ‫المساحة‬ ‫اأ‬ٌٌ‫بيالمنحن‬ ‫دة‬f,gٌ‫والمسيتمٌم‬
,ً‫ه‬|∫ |
: ‫الحل‬ ‫لطوات‬
ً‫ماٌل‬ ‫نتبع‬ ٌ‫دالت‬ ً‫منحن‬ ٌ‫ب‬ ‫المساحة‬ ‫الٌجاد‬:
Ⓘ‫نجعيييل‬‫للفتيييرة‬ ً‫ييي‬‫ي‬‫ٌنتم‬ ‫النيييات‬ ‫يييا‬‫ي‬‫ك‬ ‫ايييأذا‬ ‫التمييياطع‬ ‫ييياط‬‫ي‬‫نم‬ ‫الٌجييياد‬,‫يييا‬‫ي‬‫تعلمن‬ ‫كميييا‬ ‫يييرة‬‫ي‬‫الفت‬ ‫انجيييزي‬
‫امط‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫لذ‬ ‫وت‬ ‫اٌهمل‬ ‫للفترة‬ ً‫الٌنتم‬ ‫النات‬ ‫كا‬ ‫واذا‬ ‫سابما‬.
②ٌ‫الدالت‬ ‫تماطع‬ ‫نماط‬ ‫لالل‬ ‫م‬ ‫تحدٌدها‬ ‫ٌتم‬ ‫االفترة‬ ‫اترة‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫تعطى‬ ‫لم‬ ‫اذا‬.
③= ‫المساحة‬‫ة‬ ‫المجز‬ ‫للتكامالت‬ ‫المطلمة‬ ‫المٌم‬ ‫مجموع‬(‫احكبر‬ ‫للدالة‬–) ‫احصغر‬ ‫الدالة‬

64. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
366
‫وزار‬‫ي‬2011/‫د‬1
‫ال‬ ‫م‬(1)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬ً‫بالمنحن‬ ‫المحددة‬√‫والمستمٌم‬
/ ‫الحل‬
‫نجد‬‫التماطع‬ ‫نمط‬‫بجعل‬ ‫وذلن‬√
√
(‫)بالتربٌع‬
⇒ 𝟐 𝟐
𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏
|∫ (√ )
𝟏
𝟎
| |∫ (
(
𝟏
𝟐
)
)
𝟏
𝟎
| |[
(
𝟑
𝟐
)
(
𝟑
𝟐
)
𝟐
𝟐
]
𝟎
𝟏
| [0
𝟐 √ 𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
1
𝟎
𝟏
]
[(
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
) 𝟎 ]
𝟒 𝟑
𝟔
𝟏
𝟔
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫ال‬ ‫م‬(2)/‫مساحة‬ ‫جد‬‫المنطمة‬ٌ‫ب‬ ‫المحصورة‬ً‫المنحن‬𝟑
‫والمستمٌم‬
/ ‫الحل‬
‫بجعل‬ ‫وذلن‬ ‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫نجد‬𝟑
𝟑 𝟑
𝟎 𝟐
𝟏 𝟎 𝟎 𝟏
|∫ 𝟑
𝟎
𝟏
| |∫ 𝟑
𝟏
𝟎
| |0
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
1
𝟏
𝟎
| |0
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
1
𝟎
𝟏
|
| 𝟎 (
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
)| |(
𝟏
𝟒
𝟏
𝟐
) 𝟎 |
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟒
|
𝟏
𝟐
(‫مساحة‬ ‫)وحدة‬

65. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
367
‫يييييييال‬‫ي‬ ‫م‬(3)/‫مس‬ ‫يييييييد‬‫ي‬‫ج‬‫يييييييـ‬‫ي‬‫ـــ‬‫ييييييي‬‫ي‬‫ب‬ ‫يييييييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييييييية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫احة‬‫ال‬ٌٌ‫منحن‬‫و‬
‫الفترة‬ ‫وعلى‬*
𝟐
,
𝟐
+
/ ‫الحل‬‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟏
𝟒
[
𝟐
,
𝟐
] (‫الموجب‬ ‫األتجاه‬)
|∫
𝟒
𝟐
| |∫
𝟐
𝟒
| |
|
𝟒
𝟐
|
|
|
|
𝟐
𝟒
|
|
|. (
𝟒
) (
𝟒
)/ . (
𝟐
) (
𝟐
)/| |. (
𝟐
) (
𝟐
)/ . (
𝟒
) (
𝟒
)/|
|(
𝟏
√𝟐
𝟏
√𝟐
) 𝟏 𝟎 | | 𝟏 𝟎 (
𝟏
√𝟐
𝟏
√𝟐
)|
|
𝟐
√𝟐
𝟏| |𝟏
𝟐
√𝟐
| |√𝟐 𝟏| |𝟏 √𝟐| √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟏 𝟐√𝟐 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
******************************************************************
‫محلولة‬ ‫أضافٌة‬ ‫أمثلة‬
/ ‫يييييييال‬ ‫م‬‫بييييييي‬ ‫المحيييييييددة‬ ‫المنطمييييييية‬ ‫مسييييييياحة‬ ‫جيييييييد‬‫ال‬ٌٌ‫منحن‬𝟐
𝟐 𝟏‫و‬𝟓
‫الفترة‬ ‫وعلى‬𝟐, 𝟑
‫الحل‬/‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟐 𝟏 𝟓 𝟐
𝟑 𝟒 𝟎 𝟒 𝟏 𝟎
𝟏 𝟐, 𝟑 𝟒 𝟐, 𝟑
|∫ 𝟐
𝟑 𝟒
𝟏
𝟐
| |∫ 𝟐
𝟑 𝟒
𝟑
𝟏
| |0
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟒 1
𝟐
𝟏
| |0
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟒 1
𝟏
𝟑
|
|(
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒) (
𝟖
𝟑
𝟔 𝟖)| |(𝟗
𝟐𝟕
𝟐
𝟏𝟐) (
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟒)|
|
𝟐 𝟗 𝟐𝟒 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟒𝟖
𝟔
| |
𝟓𝟒 𝟖𝟏 𝟕𝟐 𝟐 𝟗 𝟐𝟒
𝟔
|
𝟏𝟕
𝟔
|
𝟏𝟏𝟐
𝟔
|
𝟏𝟕
𝟔
𝟏𝟏𝟐
𝟔
𝟏𝟐𝟗
𝟔
𝟒𝟑
𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

66. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
368
/ ‫ال‬ ‫م‬‫جد‬‫المساحة‬ٌٌ‫بالمنحن‬ ‫المحددة‬𝟒
𝟏𝟐‫و‬𝟐
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟐
𝟏𝟐 𝟎 𝟐
𝟒 𝟐
𝟑 𝟎 𝟐 ∓√ 𝟑 ‫ٌهمل‬
|∫ ( 𝟒 𝟐 𝟏𝟐)
𝟐
𝟐
| |0
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
𝟏𝟐 1
𝟐
𝟐
| 0
𝟑𝟐
𝟓
𝟖
𝟑
𝟐𝟒1 0
𝟑𝟐
𝟓
𝟖
𝟑
𝟐𝟒1
|
𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟓
| |
𝟗𝟔 𝟒𝟎 𝟑𝟔𝟎
𝟏𝟓
| |
𝟑𝟎𝟒
𝟏𝟓
|
𝟑𝟎𝟒
𝟏𝟓
𝟔𝟎𝟖
𝟏𝟓
𝟒𝟎
𝟖
𝟏𝟓
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
/ ‫ييييييال‬ ‫م‬ٌٌ‫بييييييالمنحن‬ ‫المحييييييددة‬ ‫المنطميييييية‬ ‫مسيييييياحة‬ ‫جييييييد‬𝟐 𝟐
𝟏‫و‬𝟐
‫الفترة‬ ‫وعلى‬*𝟎,
𝟐
+
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐
𝟏 𝟏
𝟏
𝟐
[ 𝟎,
𝟐
] 𝟏 (‫ٌهمل‬ )
|∫ 𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
| |∫ 𝟐
𝟐
𝟎
∫
𝟐
𝟎
| |∫ (
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 )
𝟐
𝟎
∫
𝟐
𝟎
|
|[
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐 ]
𝟎
𝟐
𝟎
𝟐
| |[(
𝟏
𝟐
×
𝟐
𝟎) 𝟎] *
𝟐
𝟎+| |
𝟒 𝟐
| |
𝟒
|
𝟒
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

67. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
369
/ ‫ال‬ ‫م‬ٌٌ‫المنحن‬ ٌ‫ب‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬| 𝟏| 𝟐‫و‬
𝟏
𝟓
𝟕 ,
/ ‫الحل‬,
𝟏 𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 < 𝟏
,
𝟏 𝟏
𝟑 < 𝟏
‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟏
𝟏
𝟓
𝟕
𝟔
𝟓
𝟔 𝟓 𝟏
𝟑
𝟏
𝟓
𝟕
𝟒
𝟓
𝟒 𝟓 < 𝟏
|∫ (
𝟒
𝟓
𝟒)
𝟏
𝟓
| |∫ (
𝟔
𝟓
𝟔)
𝟓
𝟏
| |0
𝟒 𝟐
𝟏𝟎
𝟒 1
𝟓
𝟏
| |0
𝟔 𝟐
𝟏𝟎
𝟔 1
𝟏
𝟓
|
|.
𝟒
𝟏𝟎
𝟒/ 𝟏𝟎 𝟐𝟎 | | 𝟏𝟓 𝟑𝟎 .
𝟔
𝟏𝟎
𝟔/| |
𝟒𝟒
𝟏𝟎
𝟏𝟎| | 𝟏𝟓
𝟓𝟒
𝟏𝟎
|
|
𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟓𝟒
𝟏𝟎
|
𝟐𝟒𝟎
𝟏𝟎
𝟐𝟒 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
/ ‫ال‬ ‫م‬ٌٌ‫بالمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬𝟐
,
𝟏
𝟐
𝟐‫الفترة‬ ‫وعلى‬𝟎, 𝟏
/ ‫الحل‬‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟎
(‫بالدستور‬)
⇒
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟖
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑𝟑
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
√𝟑𝟑
𝟐
𝟐
𝟏 √𝟑𝟑
𝟒
𝟏 √ 𝟑𝟑
𝟒
𝟎, 𝟏
‫الدالة‬ ‫نلتبر‬0 0 < 0 2‫الدالة‬ ‫اأ‬ ‫لذا‬‫احكبر‬ ‫الدالة‬ ً‫ه‬
|∫ (
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
)
𝟏
𝟎
| |0
𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
1
𝟎
𝟏
| |(
𝟏
𝟒
𝟐
𝟏
𝟑
) 𝟎 |
𝟑 𝟐𝟒 𝟒
𝟏𝟐
𝟐𝟑
𝟏𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

68. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
370
‫المســــــااة‬
‫ييتك‬‫ي‬‫ل‬‫ييرة‬‫ي‬‫الفت‬ ً‫يي‬‫ي‬‫ا‬ ‫يية‬‫ي‬‫الممطوع‬ ‫ييااة‬‫ي‬‫المس‬ ‫ييأ‬‫ي‬‫ا‬ ‫ييا‬‫ي‬‫م‬ ‫ييتوي‬‫ي‬‫مس‬ ً‫يي‬‫ي‬‫وا‬ ‫ييتمٌم‬‫ي‬‫مس‬ ‫ييط‬‫ي‬‫ل‬ ‫ييى‬‫ي‬‫عل‬ ‫ييرن‬‫ي‬‫ٌتح‬ ‫ييم‬‫ي‬‫جس‬ ‫ييرعة‬‫ي‬‫س‬
‫الزمنٌة‬𝟏 , 𝟐ً‫ه‬:∫ | |𝟐
𝟏
‫ل‬ ‫تم‬ ‫حٌث‬‫متجهة‬ ‫غٌر‬ ‫كمٌة‬ ً‫وه‬ ‫المسااة‬ ‫ممدار‬
‫أم‬‫يييييـ‬‫ي‬‫ــــــــــ‬‫ييييية‬‫ي‬‫احزاح‬ ‫ا‬‫والس‬‫يييييـ‬‫ي‬‫ـــــــ‬‫رعة‬‫يييييل‬‫ي‬ٌ‫والتعج‬ٌ‫كم‬ ً‫ييييي‬‫ي‬‫اه‬‫يييييـ‬‫ي‬‫ــــ‬‫أزاح‬ ‫وأ‬ ‫ييييية‬‫ي‬‫متجه‬ ‫ات‬‫يييييـ‬‫ي‬‫ـــــــ‬‫ة‬
ً‫ه‬ ‫الجسم‬∫
𝟐
𝟏
‫الجسم‬ ‫سرعة‬ ‫و‬∫
: ‫مالحظات‬
Ⓘ‫ال‬ ‫النات‬ ‫ح‬ ‫مطلك‬ ‫بدو‬ ‫وٌكو‬ ‫للسرعة‬ ‫محدد‬ ‫تكامل‬ ‫احزاحة‬‫صفر‬ ‫أو‬ ‫سالب‬ ‫أو‬ ‫موجب‬ ‫كا‬ ‫أذا‬ ‫ٌهم‬
②‫ال‬ ً‫لك‬ ‫هو‬ ‫المسااة‬ ‫لانو‬ ً‫ا‬ ‫المطلك‬ ‫وجود‬‫سالب‬ ‫النات‬ ‫ٌكو‬
③‫ال‬ ‫الس‬ ً‫ا‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬‫ال‬ ‫م‬‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫اهذا‬ ‫امنة‬ ‫ال‬ ‫انٌة‬ ‫ال‬ ‫لالل‬ ‫احزاحة‬ ‫جد‬∫ ‫الدالة‬
④‫حساب‬ ً‫ٌعن‬ ‫اهذا‬ ‫احولى‬ ‫اللمس‬ ً‫وان‬ ‫ال‬ ‫لالل‬ ‫احزاحة‬ ‫جد‬ ‫ال‬ ‫م‬ ‫ال‬ ‫الس‬ ً‫ا‬ ‫طلب‬ ‫أذا‬∫ ‫الدالة‬
⑤‫اأ‬ ‫الجسم‬ ‫تعجٌل‬ ‫ال‬ ‫الس‬ ً‫ا‬ ً‫أعط‬ ‫أذا‬‫السرعة‬ ∫ ‫التعجٌل‬‫محدد‬ ‫غٌر‬ ‫تكامل‬ ‫وهو‬
⑥‫يية‬‫ي‬‫حال‬ ً‫يي‬‫ي‬‫وا‬ ‫ييد‬‫ي‬‫وج‬ ‫أ‬ ‫ييل‬‫ي‬‫التكام‬ ً‫يي‬‫ي‬‫ا‬ ‫يية‬‫ي‬ ‫تجز‬ ‫ييدوث‬‫ي‬‫ح‬ ً‫يي‬‫ي‬‫ٌعن‬ ‫ييذا‬‫ي‬‫وه‬ ‫ييم‬‫ي‬‫الجس‬ ‫يياه‬‫ي‬‫أتج‬ ‫يير‬‫ي‬ٌ‫ٌتغ‬ ‫ييااة‬‫ي‬‫المس‬ ‫يياد‬‫ي‬‫أٌج‬ ‫يية‬‫ي‬‫حال‬ ً‫يي‬‫ي‬‫ا‬
. ‫وجدت‬ ‫أ‬ ‫التكامل‬ ً‫ا‬ ‫ة‬ ‫التجز‬ ‫تهمل‬ ‫لذا‬ ‫ابت‬ ‫الجسم‬ ‫أتجاه‬ ‫ٌكو‬ ‫احزاحة‬

69. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
371
‫ال‬ ‫م‬()/‫بسرعة‬ ‫مستمٌم‬ ‫لط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬𝟐 𝟒 ⁄‫اجــــــــــــــد‬:
ⓐ‫الفترة‬ ً‫ا‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسااة‬𝟏, 𝟑ⓑ‫الفترة‬ ً‫ا‬ ‫الممطوعة‬ ‫احزاحة‬𝟏, 𝟑
ⓒ‫الل‬ ‫انٌة‬ ‫ال‬ ً‫ا‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسااة‬‫امسة‬ⓓً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫بعده‬(4)‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫م‬ ً‫وان‬
‫الح‬‫ل‬/2 4 0 2 4 𝟐 ,
|∫ 𝟐 𝟒
𝟐
𝟏
| |∫ 𝟐 𝟒
𝟑
𝟐
| | 𝟐
𝟒
𝟐
𝟏
| | 𝟐
𝟒
𝟑
𝟐
|
| 𝟒 𝟖 𝟏 𝟒 | | 𝟗 𝟏𝟐 𝟒 𝟖 | | 𝟒 𝟑| | 𝟑 𝟒| 𝟏 𝟏 𝟐
∫ 𝟐 𝟒
𝟑
𝟏
𝟐
𝟒
𝟑
𝟏
𝟗 𝟏𝟐 𝟏 𝟒 𝟑 𝟑 𝟎
|∫ 𝟐 𝟒
𝟓
𝟒
| | 𝟐
𝟒
𝟓
𝟒
| | 𝟐𝟓 𝟐𝟎 𝟏𝟔 𝟏𝟔 | 𝟓
∫ 𝟐 𝟒
𝟒
𝟎
| 𝟐
𝟒
𝟒
𝟎
| 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟎 𝟎
‫ييييال‬ ‫م‬(2)/‫بتعجٌييييل‬ ‫مسييييتمٌم‬ ‫لييييط‬ ‫ييييى‬‫ي‬‫عل‬ ‫ٌتحييييرن‬ ‫جسييييم‬𝟏𝟖 𝟐⁄‫ييييبحت‬‫ي‬‫أص‬ ‫لييييد‬ ‫سييييرعته‬ ‫كانييييت‬ ‫ييييأذا‬‫ي‬‫ا‬
𝟖𝟐‫مرور‬ ‫بعد‬(4)ً‫وان‬‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫م‬‫اجد‬:
ⓐ‫لالل‬ ‫المسااة‬‫انٌة‬ ‫ال‬‫ة‬ ‫ال‬ ‫ال‬ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫نمطة‬ ‫ع‬ ‫بعده‬(3)ً‫وان‬
/ ‫الحل‬
∫ ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖
𝟖𝟐 𝟏𝟖 𝟒 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎
𝟏𝟖 𝟏𝟎
|∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎
𝟑
𝟐
| | 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
𝟐
| | 𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟔 𝟐𝟎 | 𝟏𝟏𝟏 𝟓𝟔 𝟓𝟓
∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎
𝟑
𝟎
𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
𝟎
𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟏
ⓒ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫السرعة‬ ‫جد‬ ‫أعاله‬ ‫ال‬ ‫الم‬ ً‫ا‬(10)ً‫وان‬
𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟗𝟎

70. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
372
𝟒 𝟔 ‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟒
ٌ‫والمستمٌم‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬𝟏 , 𝟏
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟎 𝟑
𝟏 𝟎 𝟎 𝟏, 𝟏 𝟏 𝟏, 𝟏
|∫ 𝟒
𝟎
𝟏
| |∫ 𝟒
𝟏
𝟎
| |0
𝟓
𝟓 𝟐
𝟐
1
𝟏
𝟎
| |0
𝟓
𝟓 𝟐
𝟐
1
𝟎
𝟏
|
| 𝟎 (
𝟏
𝟓
𝟏
𝟐
)| |(
𝟏
𝟓
𝟏
𝟐
) 𝟎 | | (
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
)| |(
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
)|
𝟕
𝟏𝟎
𝟑
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟏 (‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬2/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬𝟒
𝟑 𝟐
𝟒‫الفترة‬ ‫وعلى‬𝟐, 𝟑‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒
𝟑 𝟐
𝟒 𝟎 𝟐
𝟒 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐 𝟐, 𝟑 , 𝟐
𝟏 ‫ٌهمل‬
|∫ ( 𝟒
𝟑 𝟐
𝟒)
𝟐
𝟐
| |∫ ( 𝟒
𝟑 𝟐
𝟒)
𝟑
𝟐
| |0
𝟓
𝟓
𝟑
𝟒 1
𝟐
𝟐
| |0
𝟓
𝟓
𝟑
𝟒 1
𝟐
𝟑
|
|(
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖) (
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖)| |(
𝟐𝟒𝟑
𝟓
𝟐𝟕 𝟏𝟐) (
𝟑𝟐
𝟓
𝟖 𝟖)|
|
𝟔𝟒
𝟓
𝟑𝟐| |
𝟐𝟏𝟏
𝟓
𝟐𝟑| |
𝟔𝟒 𝟏𝟔𝟎
𝟓
| |
𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟓
𝟓
|
| 𝟗𝟔| 𝟗𝟔
𝟓
𝟏𝟗𝟐
𝟓
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬3/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫الدالة‬𝟒 𝟐
‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟒 𝟐
𝟎 𝟐 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐
𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏
|∫ 𝟒 𝟐
𝟎
𝟏
| |∫ 𝟒 𝟐
𝟏
𝟎
| |0
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
1
𝟏
𝟎
| |0
𝟓
𝟓
𝟑
𝟑
1
𝟎
𝟏
|
| 𝟎 (
𝟏
𝟓
𝟏
𝟑
)| |(
𝟏
𝟓
𝟏
𝟑
) 𝟎 | |
𝟑 𝟓
𝟏𝟓
| |
𝟑 𝟓
𝟏𝟓
| |
𝟐
𝟏𝟓
| |
𝟐
𝟏𝟓
|
𝟒
𝟏𝟓
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2012/‫د‬2

71. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
373
‫س‬4/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟑‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬*𝟎,
𝟐
+
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑 𝟎 𝟑 𝟎, , 𝟐 𝟎 *𝟎,
𝟐
+
𝟑
*𝟎,
𝟐
+
𝟐
𝟑
*𝟎,
𝟐
+
|∫ 𝟑
𝟑
𝟎
| |∫ 𝟑
𝟐
𝟑
| |0
𝟑
𝟑
1
𝟎
𝟑
| |0
𝟑
𝟑
1
𝟑
𝟐
|
|[
𝟑 ( 𝟑)
𝟑
] 0
𝟑 𝟎
𝟑
1| |[
𝟑 ( 𝟐)
𝟑
] [
𝟑 ( 𝟑)
𝟑
]|
|0
𝟑
1 0
𝟎
𝟑
1| |[
(
𝟑
𝟐 )
𝟑
] 0
𝟑
1|
|0
𝟏
𝟑
1 0
𝟏
𝟑
1| | 𝟎 0
𝟏
𝟑
1| |
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
| |
𝟏
𝟑
|
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫س‬5/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـ‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫احة‬‫ال‬ً‫منحن‬𝟐 𝟐
𝟏‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬*𝟎,
𝟐
+
/ ‫الحل‬
‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐
𝟐
,
𝟑
𝟐 𝟒
* 𝟎,
𝟐
+
𝟑
𝟒
* 𝟎,
𝟐
+
|∫ 𝟐
𝟒
𝟎
| |∫ 𝟐
𝟐
𝟒
| |0
𝟐
𝟐
1
𝟎
𝟒
| |0
𝟐
𝟐
1
𝟒
𝟐
|
|
𝟐 (
𝟒
)
𝟐
𝟐 𝟎
𝟐
| |
𝟐 (
𝟐
)
𝟐
𝟐 (
𝟒
)
𝟐
| |
(
𝟐
)
𝟐
𝟎
𝟐
| |
𝟐
(
𝟐
)
𝟐
|
|
𝟏
𝟐
𝟎 | | 𝟎
𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬

72. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
374
‫س‬6/‫جد‬‫ال‬ٌ‫بالدالت‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬√ 𝟏
𝟏
𝟐
,‫الفترة‬ ‫وعلى‬[2,5]
/ ‫الحل‬‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
√ 𝟏
𝟏
𝟐
((‫بالتربٌع‬ ))
⇒ 𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
× 𝟒
⇒ 𝟐
𝟒 𝟒 𝟎 𝟐 𝟐
𝟎 𝟐 𝟐, 𝟓
|∫ [
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐]
𝟓
𝟐
| |[
𝟐
𝟒
𝟏
𝟑
𝟐
(
𝟑
𝟐)
]
𝟐
𝟓
| |[
𝟐
𝟒
𝟐 𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
]
𝟐
𝟓
|
|
𝟐𝟓
𝟒
𝟐 𝟒
𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐 𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
| |
𝟐𝟓
𝟒
𝟐(𝟐 𝟐
)
𝟑
𝟐
𝟑
(𝟏
𝟐
𝟑
)|
|
𝟐𝟓
𝟒
𝟏𝟔
𝟑
𝟏
𝟑
| |
𝟕𝟓 𝟔𝟒 𝟒
𝟏𝟐
| |
𝟕
𝟏𝟐
|
𝟕
𝟏𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬7/‫المساحة‬ ‫جد‬ٌ‫بالدالت‬ ‫المحددة‬𝟒
𝟏𝟐𝟐
,
/ ‫الحل‬‫صفحة‬ ‫محلول‬𝟔𝟓
‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫س‬8/‫جد‬‫ال‬‫مس‬‫ـــــ‬‫احة‬ٌ‫بالدالت‬ ‫المحددة‬,‫حٌث‬𝟎, 𝟐
/ ‫الحل‬‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎, 𝟐 𝟎, 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟐
𝟏 𝟎 𝟎, 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟐
|∫
𝟎
| |∫
𝟐
|
|0
𝟐
𝟐
1
𝟎
| |0
𝟐
𝟐
1
𝟐
|
|0
𝟐
𝟐
1 0
𝟐
𝟎
𝟐
𝟎 1| |0
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 1 0
𝟐
𝟐
1|
| 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 | | 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 | | 𝟏 𝟏| |𝟏 𝟏| | 𝟐| 𝟐 𝟒 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬

73. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
375
‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫س‬9/‫جد‬‫المساحة‬‫با‬ ‫المحددة‬ٌ‫لدالت‬, 𝟐 𝟏‫حٌث‬*𝟎,
𝟑
𝟐
+
/ ‫الحل‬‫نجعل‬‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏
𝟑
𝟐
[𝟎,
𝟑
𝟐
]
|∫ 𝟏
𝟑
𝟐
𝟎
| | 𝟎
𝟑
𝟐
|
|(
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
) 𝟎 𝟎 | |(𝟎
𝟑
𝟐
) 𝟏 | |
𝟑
𝟐
𝟏|
𝟑
𝟐
𝟏 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬
‫س‬10/‫جد‬‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬‫الدالة‬𝟑
𝟒 𝟐
𝟑‫السٌنات‬ ‫ومحور‬
/ ‫الحل‬‫نجعل‬𝟎‫التماطع‬ ‫نمط‬ ‫الٌجاد‬
𝟑
𝟒 𝟐
𝟑 𝟎 𝟐
𝟒 𝟑 𝟎
𝟏 𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 𝟑
|∫ 𝟑
𝟒 𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
| |∫ 𝟑
𝟒 𝟐
𝟑
𝟎
𝟏
|
|0
𝟒
𝟒
𝟒 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
1
𝟑
𝟏
| |0
𝟒
𝟒
𝟒 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
1
𝟏
𝟎
|
|(
𝟏
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
) (
𝟖𝟏
𝟒
𝟑𝟔
𝟐𝟕
𝟐
)| | 𝟎 (
𝟏
𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
)|
|
𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖 𝟐𝟒𝟑 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟔𝟐
𝟏𝟐
| |
𝟑 𝟏𝟔 𝟏𝟖
𝟏𝟐
|
𝟑𝟐
𝟏𝟐
|
𝟓
𝟏𝟐
|
𝟑𝟐 𝟓
𝟏𝟐
𝟑𝟕
𝟏𝟐
𝟑
𝟏
𝟏𝟐
(‫مساحة‬ ‫وحدة‬ )

74. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
376
‫س‬11/‫مستمٌم‬ ‫لط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬‫بسرعة‬𝟑 𝟐
𝟔 𝟑‫أحسب‬
ⓐ‫الفترة‬ ً‫ا‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسااة‬2,4ⓑ‫الفترة‬ ً‫ا‬ ‫احزاحة‬0,
‫الحل‬/‫وزاري‬2015/‫د‬1
𝟑 𝟐
𝟔 𝟑 0
𝟐
𝟐 𝟏 0 0 𝟏 𝟎 2,4
|∫ (𝟑 𝟐
𝟔 𝟑)
𝟒
𝟐
| | 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
| | 𝟔𝟒 𝟒𝟖 𝟏𝟐 𝟖 𝟏𝟐 𝟔 | |𝟐𝟖 𝟐| 𝟐𝟔
∫ 𝟑 𝟐
𝟔 𝟑
𝟓
𝟎
| 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟓
𝟎
| 𝟏𝟐𝟓 𝟕𝟓 𝟏𝟓 𝟎 𝟔𝟓
‫وزاري‬2011/‫د‬2
‫س‬12/‫جس‬‫ييييـ‬‫ي‬‫ــــ‬‫ييييدره‬‫ي‬‫ل‬ ‫ييييل‬‫ي‬ٌ‫بتعج‬ ‫ييييتمٌم‬‫ي‬‫مس‬ ‫ييييط‬‫ي‬‫ل‬ ‫ييييى‬‫ي‬‫عل‬ ‫ييييرن‬‫ي‬‫ٌتح‬ ‫م‬𝟒 𝟏𝟐 𝟐
‫ييييد‬‫ي‬‫بع‬ ‫ييييرعته‬‫ي‬‫س‬ ‫ييييت‬‫ي‬‫وكان‬
‫مرور‬(4)‫تساوي‬ ً‫وان‬𝟗𝟎‫أحسب‬
ⓐ‫عندما‬ ‫السرعة‬𝟐
ⓑ‫الفترة‬ ‫لالل‬ ‫المسااة‬,2
ⓒ‫بعد‬ ‫االزاحة‬(10)‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫م‬ ً‫وان‬
‫الحل‬/
∫ ∫ 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟐
𝟗𝟎 𝟐 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟒 𝟗𝟎 𝟑𝟐 𝟒𝟖 𝟗𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟎
𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏𝟐 𝟐 𝟏𝟎 𝟖 𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟒𝟐
∫ (𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎)
𝟐
𝟏
0
𝟐 𝟑
𝟑
𝟔 𝟐
𝟏𝟎 1
𝟏
𝟐
|(
𝟏𝟔
𝟑
𝟐𝟒 𝟐𝟎) (
𝟐
𝟑
𝟔 𝟏𝟎)|
|
𝟏𝟔
𝟑
𝟒𝟒
𝟐
𝟑
𝟏𝟔| |
𝟏𝟒
𝟑
𝟐𝟖|
𝟏𝟒 𝟖𝟒
𝟑
𝟗𝟖
𝟑
∫ 𝟐 𝟐
𝟏𝟐 𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟎
0
𝟐 𝟑
𝟑
𝟔 𝟐
𝟏𝟎 1
𝟎
𝟏𝟎
|(
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝟑
𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎) 𝟎 |
𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎
𝟑
𝟒𝟏𝟎𝟎
𝟑

75. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
377
‫س‬13/‫وبعد‬ ‫السكو‬ ‫م‬ ‫نمطة‬ ‫تتحرن‬‫انٌة‬‫سيرعتها‬ ‫اصيبحت‬ ‫الحركية‬ ‫بدء‬ ‫م‬00 6 2
‫أو‬‫جيد‬
‫ال‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزم‬‫نمطة‬‫موضع‬ ‫الى‬‫ها‬‫اال‬‫ول‬‫بدا‬ ‫الذي‬‫ت‬‫أحس‬ ‫م‬ ‫منه‬‫ب‬‫عندها‬ ‫التعجٌل‬.‫وزاري‬2014/‫د‬2
/ ‫الحل‬
00 6 2
‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬
∫( 00 6 2
) 𝟓𝟎
2
𝟐
𝟑
‫السكون‬ ‫من‬ ‫تتحرك‬ ‫النقطة‬
∴𝟎 , 𝟎
𝟎 𝟓𝟎 0 2 𝟐 𝟎 𝟑
𝟎
𝟓𝟎
2
𝟐
𝟑
‫األزاحة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫عودة‬ ‫عند‬‫صفر‬ ‫تساوي‬: ‫ٌكون‬ ‫لذا‬
𝟓𝟎
2
𝟐 𝟑
𝟎
2
𝟓𝟎 𝟐 𝟎
2
𝟎 𝟎 ‫ٌهمل‬
0 2 𝟎 𝟐 𝟓𝟎 𝟐𝟓 ‫األول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬
̅ ‫التعجٌل‬
00 2
𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ⁄ 𝟐

76. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
378
‫الدورانٌـ‬ ‫الحجــوم‬:‫ـة‬
1.‫ية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫ي‬‫ي‬‫منحن‬ ٌ‫ي‬‫ي‬‫ب‬ ‫يددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫دورا‬ ‫ي‬‫ي‬‫م‬ ‫يد‬‫ي‬‫المتول‬ ‫يكل‬‫ي‬‫الش‬ ‫يم‬‫ي‬‫حج‬ ‫ياب‬‫ي‬‫لحس‬‫ي‬‫ي‬‫م‬ ‫يتمرة‬‫ي‬‫المس‬‫الى‬
‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐
2.‫ية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫ي‬‫ي‬‫منحن‬ ٌ‫ي‬‫ي‬‫ب‬ ‫يددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫دورا‬ ‫ي‬‫ي‬‫م‬ ‫يد‬‫ي‬‫المتول‬ ‫يكل‬‫ي‬‫الش‬ ‫يم‬‫ي‬‫حج‬ ‫ياب‬‫ي‬‫لحس‬‫ي‬‫ي‬‫م‬ ‫يتمرة‬‫ي‬‫المس‬‫الى‬
‫التالٌة‬ ‫العاللة‬ ‫نطبك‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬∫ 𝟐
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫يييييال‬‫ي‬ ‫م‬()/ً‫ييييي‬‫ي‬‫المنحن‬ ٌ‫ييييي‬‫ي‬‫ب‬ ‫يييييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييييية‬‫ي‬‫المنطم‬0 4√ ,‫يييييٌنات‬‫ي‬‫الس‬ ‫يييييور‬‫ي‬‫ومح‬,‫دارت‬
‫السٌنات‬ ‫محور‬ ‫حول‬,. ‫حجمها‬ ‫جد‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (√ )
𝟐
𝟒
𝟎
∫
𝟒
𝟎
0
2
2
1 [(
6
2
) 0 ] (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2014/‫د‬3
‫ال‬ ‫م‬(2)/ٌ‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المنطمة‬ً‫المنحن‬𝟏 𝟒
𝟏
,‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫دارت‬.‫حجمها‬ ‫جد‬.
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ .
𝟏
/
𝟐𝟒
𝟏
∫ (
𝟏
)
𝟒
𝟏
𝟒
𝟏
𝟒 𝟏 𝟐 𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2011/‫د‬2
‫يييال‬ ‫م‬()/‫يييه‬‫ي‬‫معادلت‬ ‫يييذي‬‫ي‬‫ال‬ ‫ييياا‬‫ي‬‫المك‬ ‫بيييالمطع‬ ‫يييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫دورا‬ ‫ييي‬‫ي‬‫م‬ ‫النيييات‬ ‫يييم‬‫ي‬‫الحج‬ ‫يييد‬‫ي‬‫أوج‬2
ٌ‫والمستمٌم‬2 , 0‫المحور‬ ‫حول‬ً‫السٌن‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫
𝟐
𝟎
4 2
𝟐
𝟎
6 0 6 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )

77. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
379
‫يييال‬ ‫م‬(4)/‫معادلتيييه‬ ‫اليييذي‬ ‫المكييياا‬ ‫بيييالمطع‬ ‫المحيييددة‬ ‫المسييياحة‬ ‫دورا‬ ‫مييي‬ ‫النيييات‬ ‫الحجيييم‬ ‫أوجيييد‬2 2
ٌ‫والمستمٌم‬0 ,ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (𝟐 𝟐
)
𝟐
𝟓
𝟎
∫ 𝟒 𝟒
𝟓
𝟎
0
𝟒 𝟓
𝟓
1
𝟎
𝟓
0
𝟒 𝟓 𝟓
𝟓
𝟎 1 𝟐𝟓𝟎𝟎 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫يييييييال‬‫ي‬ ‫م‬(5)/‫الم‬ ‫دورا‬ ‫ييييييي‬‫ي‬‫م‬ ‫يييييييات‬‫ي‬‫الن‬ ‫يييييييم‬‫ي‬‫الحج‬ ‫يييييييد‬‫ي‬‫أوج‬‫ييييييياا‬‫ي‬‫المك‬ ‫يييييييالمطع‬‫ي‬‫ب‬ ‫يييييييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييييييياحة‬‫ي‬‫س‬4 2
ٌ‫والمستمٌم‬0 , 6‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (
𝟒
)
𝟏𝟔
𝟎
0
𝟐
𝟖
1
𝟎
𝟏𝟔
0
𝟏𝟔 𝟐
𝟖
𝟎 1 𝟑𝟐 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫يييال‬‫ي‬ ‫م‬(6)/‫يييادات‬‫ي‬‫الص‬ ‫يييور‬‫ي‬‫مح‬ ٌ‫ييي‬‫ي‬‫ب‬ ‫يييورة‬‫ي‬‫المحص‬ ‫ييية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫دورا‬ ‫ييي‬‫ي‬‫م‬ ‫ييي‬‫ي‬‫الناش‬ ‫يييم‬‫ي‬‫الحج‬ ‫يييد‬‫ي‬‫أوج‬‫ييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫ييي‬‫ي‬‫ومنحن‬
𝟏
ٌ‫والمستمٌم‬,
2
. ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬
‫الحل‬/
2
2
∫ 𝟐
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟏
[
𝟏
]
𝟏
𝟐
[
𝟏
𝟐
𝟏]
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬3201/‫د‬2
‫ييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫ييي‬‫ي‬‫منحن‬ ٌ‫بييي‬ ‫يييورة‬‫ي‬‫المحص‬ ‫ييية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫يييم‬‫ي‬‫حج‬ ‫أوجيييد‬
𝟏
ٌ‫يييتمٌم‬‫ي‬‫والمس‬2 ,‫يييور‬‫ي‬‫ومح‬
‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬ ‫الصادات‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟏
[
𝟏
]
𝟏
𝟐
[
𝟏
𝟐
𝟏]
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )

78. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
380
𝟒 𝟕 ‫تمارين‬
‫س‬(1)/:‫ييييياا‬‫ي‬‫المك‬ ‫يييييالمطع‬‫ي‬‫ب‬ ‫يييييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييييياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫دورا‬ ‫ييييي‬‫ي‬‫م‬ ‫يييييد‬‫ي‬‫المتول‬ ً‫يييييدوران‬‫ي‬‫ال‬ ‫يييييم‬‫ي‬‫الحج‬ ‫يييييد‬‫ي‬‫أوج‬2
ٌ‫والمستمٌم‬, 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ 2 2
𝟐
𝟏
∫
𝟐
𝟏
0 1
2
[
2
] (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫س‬2/‫ييييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫ييييي‬‫ي‬‫منحن‬ ٌ‫ييييي‬‫ي‬‫ب‬ ‫يييييورة‬‫ي‬‫المحص‬ ‫ييييياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫دورا‬ ‫ييييي‬‫ي‬‫م‬ ‫يييييات‬‫ي‬‫الن‬ ‫يييييم‬‫ي‬‫الحج‬ ‫يييييد‬‫ي‬‫أوج‬2
‫والمستمٌم‬4‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
0
2 2
∫ 𝟐
∫ 𝟏
𝟒
𝟏
0
𝟐
𝟐
1
𝟏
𝟒
[ 𝟖 𝟒 (
𝟏
𝟐
𝟏)] [𝟒
𝟏
𝟐
] 𝟒
𝟏
𝟐
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫س‬3/ً‫ييييييي‬‫ي‬‫المنحن‬ ٌ‫ييييييي‬‫ي‬‫ب‬ ‫يييييييورة‬‫ي‬‫المحص‬ ‫ييييييياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫دورا‬ ‫ييييييي‬‫ي‬‫م‬ ‫يييييييد‬‫ي‬‫المتول‬ ‫يييييييم‬‫ي‬‫الحج‬ ‫يييييييب‬‫ي‬‫أحس‬2
‫والمستمٌم‬0‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
2 2
𝟎 2
𝟏 (‫التكامل‬ ‫)حدود‬
∫ 𝟐
∫ ( 2)
𝟐
𝟏
𝟏
∫ (𝟏 𝟐 2 4)
𝟏
𝟏
0
𝟐 𝟑
𝟑
𝟓
𝟓
1
𝟏
𝟏
[(𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟓
) ( 𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
𝟓
)] [𝟐
𝟒
𝟑
𝟐
𝟓
]
𝟑𝟎 𝟐𝟎 𝟔
𝟏𝟓
𝟏𝟔
𝟏𝟓
(‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫س‬4/ً‫يييييييي‬‫ي‬‫المنحن‬ ٌ‫يييييييي‬‫ي‬‫ب‬ ‫ييييييييورة‬‫ي‬‫المحص‬ ‫يييييييياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫دورا‬ ‫يييييييي‬‫ي‬‫م‬ ‫ييييييييد‬‫ي‬‫المتول‬ ‫ييييييييم‬‫ي‬‫الحج‬ ‫ييييييييب‬‫ي‬‫أحس‬2
‫والمستمٌم‬‫ا‬0 , 2ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫ا‬‫لحل‬/
∫ 𝟐
∫
𝟐
𝟎
0
4
1
2
[
6
4
0] 4 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )

79. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
381
‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫س‬6/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ‫لكل‬‫الفروع‬,‫الت‬ ‫بموضوع‬ ‫مرتبطة‬‫فاض‬‫ل‬
𝟐
|𝟐 |
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 | 𝟐 |
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
| 𝟐 |
𝟐 𝟐
𝟐 | |
𝟐
𝟏
| | 𝟐 𝟐 | |
| 𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 𝟐
𝟐 𝟎 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐

80. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
382
‫س‬13/‫جد‬: ً‫ٌأت‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫تكامالت‬
∫ 𝟒 𝟒
∫ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
∫ 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
∫ 𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
∫ 𝟐 𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
∫ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
∫ 𝟐
𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐
𝟐 𝟐 ∫
𝟏
𝟐
∫ 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
∫ 𝟏 𝟒 𝟐 ∫
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟒
𝟒 ) 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟖
𝟒 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑
𝟐 𝟐
𝟓
𝟐
𝟏
𝟖
𝟒
∫
| |
∫
𝟏 𝟐
𝟐
∫
𝟐 √
𝟑
√ 𝟐𝟑
∫ 𝟐
(
𝟐
𝟑
)
𝟏
𝟑 𝟐 𝟑 ∫ (
𝟏
𝟑
)
(
𝟐
𝟑
)
𝟏
𝟑 𝟔
𝟏
𝟑 𝟔 √
𝟑

81. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
383
∫ 𝟑
∫ 𝟐
∫ 𝟐
𝟑
𝟑
∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟓𝟑
∫ 𝟑 𝟑 𝟓 𝟐𝟑
∫ 𝟑 𝟓 𝟐𝟑
∫ 𝟑 𝟓 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏𝟎
∫ 𝟏𝟎 𝟑 𝟓 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏𝟎
×
𝟑 𝟓 𝟐
𝟒
𝟑
𝟒
𝟑
𝟑
𝟒𝟎
𝟑 𝟓 𝟐
𝟒
𝟑
∫
𝟏
𝟐 𝟏𝟒 𝟒𝟗
∫
𝟏
𝟕 𝟐
∫ 𝟕 𝟐
𝟕 𝟏
𝟏
𝟏
𝟕
∫ 𝟐
𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
∫ 𝟑 𝟐
𝟑 𝟑
𝟏
𝟑
𝟑

82. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
384
‫الرابع‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬96‫/د‬1⁄: ‫نات‬ ‫جد‬
∫ 2
2 ∫
√
∫ 2 [
2
2
] [2 2] [2 22 2] [2 2] 4 2 2
∫ 6
∫ 2 2
∫ 2 ∫ 2
2
2
9
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬96‫/د‬2⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫
∫ 2 2
∫ 2
2
∫ 2
2
(
2
2 )
2 4
2
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫ √ 2
∫ 2 2
2
∫ 2 2 2
02
1 * 2
+ * 2
+ * +
2
4

83. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
385
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬97‫/د‬1⁄‫نات‬ ‫جد‬:
∫ 2 2
∫ 2
2
2
2
∫ 2
2
∫ 2
2
2 2
∫ 2 2
2 2
∫ 4
4
2
4
(
4
4 )
4
2
4 6
4
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬97‫/د‬2⁄: ‫نات‬ ‫جد‬
∫ 2
∫ 2 2
∫ 2 ∫
2
∫ 6
2
2
(
6
6 )
2
2
2
6
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬98‫/د‬1:‫جد‬ :
∫ 2 2
∫ 2
2 2 2
2
2
∫ 2 2 ∫ 2
2
∫ 4
2
(
2
2 ) 4
2
(
4
4 )
2 4
2
4
2
4
4
2
4
4

84. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
386
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬98‫/د‬1:‫كا‬ ‫إذا‬∫ 𝟑 𝟗
𝟒𝟏
‫لٌمة‬ ‫ما‬‫؟‬
*
2
+ *
2
+ *
2
+
2 2
2
2 4 4
9
4
×
⇒ 2 2
9 2 2
9 0
2 2
0 2 2
0
2
4 2
2 0
2
2 ‫ٌهمل‬
2
4 0 2
4 2
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬98‫/د‬2:‫كا‬ ‫إذا‬∫ 𝟐 𝟑 𝟏𝟐‫وكا‬𝟐 𝟑‫لٌمة‬ ‫ما‬,‫؟‬
/‫الحل‬
2
∫ 2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
2
9 2 4 2
9 6 2 0
2
9 2 4 2
9 6 2 0 2
2 0 0 ⇒
2
0 0 2 0
2 0 2 2 2
0 2

85. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
387
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫يييييي‬‫ي‬‫س‬2000‫/د‬2‫يييييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫يييييي‬‫ي‬‫بمنحن‬ ‫ييييييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫يييييياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫ييييييد‬‫ي‬‫ج‬ :𝟏 𝟐 𝟐
‫ييييييور‬‫ي‬‫ومح‬
‫وعلى‬ ‫السٌنات‬‫الفترة‬*𝟎,
𝟐
+
:‫الحل‬
2 2
0 2 0 2
2
,
2
2
4
*𝟎,
𝟐
+ ,
4
*𝟎,
𝟐
+
*0, + , * ,
2
+ ‫التكامل‬ ‫فترات‬
||∫ 2 || ||∫ 2
2
|| |[
2
2 ] | |[
2
2 ]
2
|
|[
2 2
] [
2
0]| |[
2
] [
2 2
]|
|
2 2
0 | |
2
0
2
|
2 2
‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬96‫/د‬1:‫جد‬ :
∫ 2 2
∫ 2
∫ [
2
2 ]
2
∫ (
2
2 )
2
∫
4
2
2
4 2
∫ 4
(
4
4 )
2
4
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2001‫/د‬2:‫جد‬ :
∫
9 2 4 2
∫
2 2
∫ 2 2
2
∫ 2 2
2
0
2
2
1 [
2 2
]
[
2
] [
2
]
2 0 0
4
0
2

86. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
388
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫ييي‬‫ي‬‫س‬2001‫د‬ /1‫ييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫ييي‬‫ي‬‫بمنحن‬ ‫يييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫يييد‬‫ي‬‫ج‬ :𝟑
𝟗‫يييى‬‫ي‬‫وعل‬ ‫يييٌنات‬‫ي‬‫الس‬ ‫يييور‬‫ي‬‫ومح‬
‫الفترة‬𝟑, 𝟑.
/‫الحل‬9 0 2
9 0 0 2
9 0
2
9
∴‫التكامل‬ ‫فترات‬,0 , 0,
|∫ 9 | |∫ 9 |
|* 2
+ | |* 2
+ | | 0 *
2
+| |*
2
+ 0 |
|
2
| |
2
|
2
40
2
‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2001‫/د‬1::‫لٌمة‬ ‫جد‬
∫ 2 2
∫ 2 2 2 [
2 2
2
] [
2 2 2]
[
2
6 20 2] [
2
0 2] [
2
62 2]
2
2 6
4 2
44
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2002‫/د‬1ٌ‫الدالت‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟒
𝟒 , 𝟑 𝟐
.
/‫الحل‬4 2 2
4 2
4 0
2
4 2
0
2
4 0 2
4 2 2
0 ‫ٌهمل‬
|∫ 2
4
2
2
| |* 4 +
2
2
|
|[
2
] [
2
]| |
64
2| |
96
|
96
‫مربعة‬ ‫وحدة‬

87. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
389
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2002‫د‬ /1ٌ‫الدالت‬ ً‫بمنحن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐 , 𝟐
‫وعلى‬𝟏, 𝟑.
:‫الحل‬2
2 2
2 0 2 0
0 0, 2 0 2 0,
|∫ 2
2
2
| |∫ 2
22
| |* 2
+
2
| |* 2
+
2
|
|* 4+ * +| | 9 9 * 4+| | 4 | | 4|
| | |
2
| | | | |
2
2 ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2004‫/د‬1‫كا‬ ‫إذا‬ :∫ 𝟐 𝟗
𝟐
𝟒
‫لٌمة‬ ‫اجد‬h.
/‫الحل‬
∫
2 9 2
2 ∫ 2
9 2 2
2
∫ 2 2
9 2 2
02
1 2 * 6 9 + * 2
9 + 2
2 2
9 2 2
9 2 2
9
‫بالتربٌع‬
⇒
2
9 9 2
0 0
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2006‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟓 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
.
/‫الحل‬∫ 2 2
2
∫ 2 2
2 *
2
2
+
2
22
[
2 2
]
2
[
2 4
] [
2 2
]
2 6 6
2
6

88. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
390
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2006‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟑 𝟒 𝟐
𝟐
𝟏
.
∫ 4 2
∫ 4 2
* +
2
22
* +
2
* + * +
2
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2008‫/د‬1‫كا‬ ‫إذا‬ :∫ 𝟓 , ∫ 𝟑‫وكانت‬,‫لٌمة‬ ‫جد‬
∫
/‫الحل‬
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ 2
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2008‫/د‬2‫جد‬ :∫ 𝟐
𝟐
∫ 2 2 2
∫ 4 4 2
‫الدالة‬ ‫المشتقة‬∫ 4 ∫ 4 2
∫
4 ∫ 4 ∫ 2
∫
4 4
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2009‫/د‬1‫بسرعة‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :𝟑 𝟐
𝟏𝟐 𝟗‫زم‬ ‫أي‬ ً‫ا‬t:‫إحسب‬
1-‫لالل‬ ‫الممطوعة‬ ‫المسااة‬[ ‫الفترة‬0,2.]
2-‫التعجٌل‬ ‫اٌه‬ ‫ٌصبح‬ ‫الذي‬ ‫الزم‬𝟏𝟖 𝟐
.
/‫الحل‬2
2 9 0
2
4 0 0
0 0,2
0 0,2
|∫ 2
2 9 | |∫ 2
2 9
2
| | 6 2
9
0
| | 6 2
9
2
|
| 6 9 0 | | 24 6 9 | |4| |2 4| 4 2 6
2 ̅ 6 2
6 2 6 2 6 0

89. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
391
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2009‫/د‬2‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟑 𝟐
𝟖
𝟑
/‫الحل‬
∫
2
∫
2
∫ 2 [
2
2
]
[2 2] [2 2] [2 2] [2 2 2] [2 22 2] 6 4 2
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2009‫/د‬2: ٌ‫المنحن‬ ٌ‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬ :𝟐
, 𝟐
‫الفترة‬ ً‫ا‬*𝟎,
𝟐
+.
/‫الحل‬
2 2
2
2 0 2
2
,
2
2
4
*𝟎,
𝟐
+ ,
4
*𝟎,
𝟐
+
||∫ 2 || ||∫ 2
2
|| |[
2
2 ] | |[
2
2 ]
2
|
|*
2 2
+ *
2
0+ *
2
+ *
2 2
+|
|
2 2
0 | |
2
0
2
|
2 2
‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2010‫/د‬1‫جد‬ :‫ال‬ٌ‫المنحن‬ ٌ‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫مساحة‬, √ 𝟐 𝟏[ ‫الفترة‬ ً‫ا‬1,5.]
/‫الحل‬
√2 √2 0 √2 ‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬
2 2 2
2 0 2
0
0
|∫ [ 2 2 ] | |∫ 2 2 | |∫ |
|[
2
2 2
2
] | |0
2
2
1 | |[ 2 2] | |0
2
2
1 |
|[ 9 2 2] [
2
2 2
]| |[ 2 2 ] [
24
2
]|
|9
24
2
| |
4 2 2
6
| |
20
6
|
0
‫مربعة‬ ‫وحدة‬

90. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
392
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2010‫/د‬1‫لٌمة‬ ‫جد‬ :∫ 𝟐𝟐
𝟎
.
/‫الحل‬
∫ 2
2 2
2
∫ 2
2
∫ 2 [
2
2 ]
22
[
2 2
] [
2
0 0] [
2 2
] [
2
]
2 2 2
(
2
) ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2010‫/د‬1‫مشتم‬ ً‫منحن‬ :‫ته‬‫احولى‬
𝟐
𝟐 𝟒 𝟒
( ‫بالنمطة‬ ‫ٌمر‬1,2.ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ )
/‫الحل‬
2
‫الطرفٌن‬ ‫بتكامل‬
∫
2
∫
2
2
∫ 2 2 2
2
2 2
2
‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ً‫المنحن‬ ,2 ‫ان‬ ‫وبما‬
2
2
2
2 2 0
2
2
ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫يييييييييييييييي‬‫ي‬‫س‬2010‫/د‬2‫ييييييييييييييييا‬‫ي‬‫ك‬ ‫إذا‬ :∫ 𝟐 , ∫ 𝟔
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
:‫يييييييييييييييية‬‫ي‬‫لٌم‬ ‫ييييييييييييييييد‬‫ي‬‫ج‬
∫ 𝟒
𝟑
𝟏
/‫الحل‬
∫ 4 ∫ ∫ ∫ 4
6 2 *
2
+ 4 2 2
4 2 4 6 20

91. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
393
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2010‫/د‬2‫سرعته‬ ‫بحٌث‬ ‫مستمٌم‬ ‫لط‬ ‫على‬ ‫ٌتحرن‬ ‫جسم‬ :𝟑 𝟐
𝟒 𝟕‫المسااة‬ ‫جد‬
( ً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫ٌمطعها‬ ً‫الت‬4‫تماس‬ ‫المسااة‬ ‫أ‬ ً‫ا‬‫علم‬ ‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫جد‬ ‫م‬ ,‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫م‬ ً‫وان‬ ).‫باحمتار‬
/‫الحل‬
2
4 0
∫ 2
4 2 2 4
0
64 2 2 0 24
̅ 6 4 ‫لحظة‬ ‫أي‬ ً‫ف‬ ‫التعجٌل‬
4 6 4 4 24 4 2 2
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2012‫/د‬1‫لتك‬ :𝟏, 𝟑‫حٌث‬𝟐 𝟐
‫للتكامل‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫جد‬ ,∫
𝟑
𝟏
‫إذا‬
[ ‫الفترة‬ ‫لسمت‬1,3. ٌ‫منتظمت‬ ٌ‫ٌت‬ ‫جز‬ ٌ‫اترت‬ ‫إلى‬ ]
/‫الحل‬2 2
4 4 0 0 ,
2
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
82821[1,2]
1881881[2,3]
2610
∫
0 26
2
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2012‫/د‬1‫المساحة‬ ‫جد‬ :‫المحددة‬ً‫بالمنحن‬𝟏 𝟑
[ ‫الفترة‬ ً‫ا‬ ‫السٌنات‬ ‫ومحور‬-1,3. ]
/‫الحل‬0 0 ,
| ∫ | |∫ | 0
4
1 |
4
|
|00
2
4
1| |0
2
4
01| | 4| |4| 4 4 ‫مساحة‬ ‫وحدة‬

92. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
394
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫سييي‬2012‫/د‬1ً‫المنحنييي‬ ٌ‫بييي‬ ‫المحصيييورة‬ ‫المسييياحة‬ ‫دورا‬ ‫مييي‬ ‫النيييات‬ ‫الحجيييم‬ ‫جيييد‬ :𝟐
𝟏
ٌ‫والمستمٌم‬𝟐, 𝟏.‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
/‫الحل‬
∫ 2
∫ 0
2
2
1
2
[(
4
2
2) (
2
)]
2
* 2 2 ( 2
)+ (0 2
) 2
‫مكعبة‬ ‫وحدة‬
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫ييييي‬‫ي‬‫س‬2012‫/د‬2:‫يييييا‬‫ي‬‫الن‬ ‫يييييم‬‫ي‬‫الحج‬ ‫يييييد‬‫ي‬‫ج‬ً‫يييييالمنحن‬‫ي‬‫ب‬ ‫يييييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫ييييياحة‬‫ي‬‫المس‬ ‫دورا‬ ‫ييييي‬‫ي‬‫م‬ ‫ت‬√ 2
ٌ‫والمستمٌم‬2 ,ً‫السٌن‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
‫الحل‬/
∫ 𝟐
∫ ( 2)
𝟐𝟐
𝟏
∫ 𝟓 𝟒
𝟐
𝟏
𝟓
𝟎
𝟓
𝟓 𝟓
𝟎 𝟑𝟏𝟐𝟓 (‫مكعبة‬ ‫وحدة‬ )
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫سييي‬2012‫/د‬3:‫بتعجٌيييل‬ ‫مسيييتمٌم‬ ‫ليييط‬ ‫عليييى‬ ‫ٌتحيييرن‬ ‫جسيييم‬𝟏𝟖 𝟐⁄‫ليييد‬ ‫سيييرعته‬ ‫كانيييت‬ ‫ايييأذا‬
‫أصبحت‬𝟖𝟐‫مرور‬ ‫بعد‬(4)‫ساعات‬‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫م‬‫اجد‬:
ⓐ‫انٌة‬ ‫ال‬ ‫الساعة‬ ‫لالل‬ ‫لطعها‬ ً‫الت‬ ‫المسااة‬
ⓑ‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫نمطة‬ ‫ع‬ ‫بعده‬(3)‫ساعات‬
/ ‫الحل‬
∫ ∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟖 𝟏𝟖
𝟖𝟐 𝟏𝟖 𝟒 𝟖𝟐 𝟕𝟐 𝟏𝟎
𝟏𝟖 𝟏𝟎
|∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎
𝟐
𝟏
| | 𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟐
𝟏
| | 𝟑𝟔 𝟐𝟎 𝟗 𝟏𝟎 | 𝟓𝟔 𝟏𝟗 𝟑𝟕
∫ 𝟏𝟖 𝟏𝟎
𝟑
𝟎
𝟗 𝟐
𝟏𝟎
𝟑
𝟎
𝟖𝟏 𝟑𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟏

93. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
395
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2012‫/د‬3:‫جد‬: ‫امط‬ ‫واحدة‬ ‫ة‬ ‫تجز‬ ‫مستلدما‬ ً‫احت‬ ‫للتكامل‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬∫ 4
2
/‫الحل‬4 0
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
-20-20-4-45[-3,2]
-20-20
∫
20 20
2
20
2
20
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2013‫/د‬1:‫جد‬∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
‫الحل‬/
∫
𝒕𝒂𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙
𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
∫ 𝒕𝒂𝒏𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
𝝅
𝟒
𝟎
0
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙
𝟐
1
𝟎
𝝅
𝟒 𝒕𝒂𝒏 𝟐
(
𝝅
𝟒
)
𝟐
𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2014‫/د‬3:‫أن‬ ‫أثبت‬∫ | 𝟑 𝟔| 𝟑𝟎
𝟒
𝟐
‫الحل‬/
|𝟑 𝟔| {
𝟑 𝟔 , 𝟐
𝟑 𝟔 , < 𝟐
‫الدالة‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬𝟐, 𝟒‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫حنها‬ ‫وذلن‬𝟐‫ح‬:
𝟐 𝟑 𝟐 𝟔 𝟎 ‫معرفة‬
𝟐
{
𝟐
𝟑 𝟔 𝟎 𝟏
𝟐
𝟔 𝟑 𝟎 𝟐
∵ 𝟏 = 𝟐
∴ 𝟐 𝟎 ‫موجودة‬ 𝟐 𝟐
∫ |𝟑 𝟔|
𝟒
𝟐
∫ 𝟑 𝟔
𝟐
𝟐
∫ 𝟑 𝟔
𝟒
𝟐
[
𝟑
𝟐
𝟐
𝟔 ]
𝟐
𝟐
[
𝟑
𝟐
𝟐
𝟔 ]
𝟐
𝟒
𝟔 𝟏𝟐 𝟔 𝟏𝟐 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟔 𝟏𝟐
𝟔 𝟏𝟖 𝟔 𝟑𝟎

94. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
396
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2014‫/د‬3‫جد‬ :∫ √ 𝟐 𝟒
‫الحل‬/
∫ √ 𝟐 𝟒 ∫ √ 𝟐 𝟐 ∫ 𝟐 𝟐
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2015‫/د‬1‫جد‬ :∫
𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
‫الحل‬/
∫
𝟐 𝟑
𝟒 𝟐
𝟓
𝟐
𝟑
𝟏
∫ 𝟐 𝟒 𝟓 𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
0 4𝑥
𝟏
1 𝟐
[ 4𝑥
𝑥
]
𝟗[ 2
𝟓
] 𝟏 4
𝟓 0
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫يييي‬‫ي‬‫س‬2015‫/د‬2:‫يييية‬‫ي‬‫الدال‬ ً‫يييي‬‫ي‬‫بمنحن‬ ‫ييييددة‬‫ي‬‫المح‬ ‫يييية‬‫ي‬‫المنطم‬ ‫يييياحة‬‫ي‬‫مس‬ ‫ييييد‬‫ي‬‫ج‬𝟑
𝟗‫ييييور‬‫ي‬‫ومح‬
‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السٌنات‬𝟑, 𝟑
/ ‫الحل‬
‫الصفحة‬ ً‫ا‬ ‫محلول‬𝟖𝟓‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2001‫د‬ /1:
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫يي‬‫ي‬‫س‬2015‫/د‬2:‫بتعجٌيييل‬ ‫مسيييتمٌم‬ ‫ليييط‬ ‫عليييى‬ ‫ٌتحيييرن‬ ‫جسيييم‬𝟏𝟎 𝟐⁄‫وبعيييد‬2‫بيييدء‬ ‫مييي‬ ‫انٌييية‬
‫السرعة‬ ‫أصبحت‬ ‫الحركة‬𝟐𝟒: ‫أحسب‬ ,
ⓐ‫المسااة‬. ‫اللامسة‬ ‫انٌة‬ ‫ال‬ ً‫ا‬ ‫الممطوعة‬
ⓑً‫مض‬ ‫بعد‬ ‫الجسم‬ ‫بعد‬4)) ً‫وان‬.
/ ‫الحل‬
∫ ∫ 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟐𝟒 𝟏𝟎 𝟐 𝟐𝟒 𝟐𝟎 𝟒
𝟏𝟎 𝟒
|∫ 𝟏𝟎 𝟒
𝟓
𝟒
| | 𝟓 𝟐
𝟒
𝟓
𝟒
| | 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟎 𝟖𝟎 𝟏𝟔 | 𝟏𝟒𝟓 𝟗𝟔 𝟒𝟗
∫ 𝟏𝟎 𝟒
𝟒
𝟎
𝟓 𝟐
𝟒
𝟒
𝟎
𝟖𝟎 𝟏𝟔 𝟎 𝟗𝟔

95. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
397
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2015‫/د‬3:: ‫تكامل‬ ‫جد‬∫
√ 2
/ ‫الحل‬
∫
6
√ 2
∫ 2 2 ( ‫األسس‬ ‫تجمع‬ ‫الضرب‬ ‫)عند‬
∫ 2
2 2 9
2
9
2
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2015‫/د‬3:: ‫األتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2
𝒅𝒙 2 ∫
𝒙 𝟑
𝒙
𝒅𝒙
/ ‫الحل‬
∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2
𝒅𝒙 ∫ 𝑠𝑖𝑛2
2𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
2𝑥 𝑑𝑥 ∫ 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑑𝑥 𝑥
4
𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑐
2 ∫
𝒙 𝟑
𝒙
𝒅𝒙 ∫
𝑥 𝒙 𝟐
𝑥
𝑥
𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟐
𝑥 𝒅𝒙
𝒙 𝟑
𝟑
𝒙 𝟐
𝟐
𝒙 𝒄
‫وزاري‬ ‫ال‬ ‫س‬2016‫/د‬1:‫لل‬ ‫التمرٌبٌة‬ ‫المٌمة‬ ‫جد‬‫تكامل‬∫ 𝟐 𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
‫ة‬ ‫التجز‬ ‫بأستلدام‬𝛔 𝟑, 𝟒, 𝟓
‫الحل‬/‫الفترات‬𝟑, 𝟒 , 𝟒, 𝟓
𝟐 𝟐
𝟐 𝟒 𝟎 𝟒 𝟎 𝟑, 𝟓 ‫متزاٌدة‬ ‫الدالة‬
‫الفترة‬ ‫طول‬‫الفترة‬
[a,b]
𝟏 𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟎𝟏 𝟏 𝟏𝟔 𝟏𝟔𝟏 𝟒 𝟑𝟎𝟏 𝟑 𝟏𝟔1[3,4]
𝟐 𝟏 𝟒𝟖 𝟒𝟖𝟐 𝟏 𝟑𝟎 𝟑𝟎𝟐 𝟓 𝟒𝟖𝟐 𝟒 𝟑𝟎1[4,5]
, ∑ 𝟏𝟔 𝟑𝟎 𝟒𝟔 , , ∑ 𝟑𝟎 𝟒𝟖 𝟕𝟖
∫ ( 𝟐 𝟐 𝟐)
𝟓
𝟑
, ,
𝟐
𝟒𝟔 𝟕𝟖
𝟐
𝟏𝟐𝟒
𝟐
𝟔𝟐

96. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
398
‫التكامل‬ ‫حول‬ ‫إضااٌة‬ ‫لة‬ ‫أس‬
‫س‬1:‫اآلتٌة‬ ‫التكامالت‬ ‫م‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫جد‬ /
𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓
𝐱𝐝𝐱𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟕
𝐱 𝐝𝐱𝟏 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐱 𝐝𝐱
𝟔 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝐱 𝐬𝐞𝐜𝐱 𝐝𝐱𝟓 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝟒
𝐱 𝐝𝐱𝟒 ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐱 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝐱𝐝𝐱
𝟗 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱𝟖 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟕𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝐱 𝐝𝐱
𝟕 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟕𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟑𝐱 𝐝𝐱
𝟏𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑
(
𝒙
𝟑
) 𝒅𝒙𝟏𝟏 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟑
𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟓
𝟑𝒙 𝒅𝒙𝟏𝟎 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝟏𝟓 ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟓𝐱 𝐝𝐱𝟏𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝐱 𝐝𝐱𝟏𝟑 ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟒
𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝟑𝒙 𝒅𝒙
𝟏𝟖 ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙
(
𝟑
𝟐
)
𝒅𝒙
𝟏𝟕 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟓
𝒙 𝒅𝒙𝟏𝟔 ∫ √𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
𝟐𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑
𝟐𝒙 𝒅𝒙𝟐𝟎 ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝟑
𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝟑𝒙 𝒅𝒙𝟏𝟗 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟒
𝟐𝒙 𝒅𝒙
𝟐𝟒 ∫
𝟑
𝟒𝟐𝟑 ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝟑
𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟓
𝒙 𝒅𝒙𝟐𝟐 ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝟔
𝒙 𝒅𝒙
𝟐𝟕 ∫
𝟏
√ 𝟏
𝟒
𝟎
𝟐𝟔 ∫
𝟏
√ 𝟏 √
𝟐𝟓 ∫
𝟖 𝟑
𝟐
𝟑𝟎 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏
𝟑
𝟗
𝟎
𝟐𝟗 ∫|𝟐 𝟒|
𝟑
𝟑
𝟐𝟖 ∫ 𝟑 | |
𝟏
𝟐
𝟑𝟑 ∫
𝟐
𝟐 𝟐
𝟔
𝟎
𝟑𝟐 ∫
𝟐
𝟒
𝟑𝟏 ∫ 𝟐
𝟒
𝟎

97. ‫أعداد‬ ‫التكامــــــــــــــــــل‬ /‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫حميد‬ ‫علي‬ ‫األستاذ‬ /𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
399
‫س‬2/‫المنطمة‬ ‫لمساحة‬ ‫تمرٌبٌة‬ ‫لٌمة‬ ‫اوجد‬A
‫حٌث‬{ , 𝟓 𝟖 , 𝟎 , 𝟑 𝟐
𝟐 𝟔}
‫س‬3/‫يتك‬‫ي‬‫ل‬𝟑 𝟑 𝟓 𝟐
‫يتك‬‫ي‬‫ول‬𝟏, 𝟒‫يفل‬‫ي‬‫احس‬ ‫يوع‬‫ي‬‫المجم‬ ‫يد‬‫ي‬‫اأوج‬,‫يوع‬‫ي‬‫والمجم‬
‫احعلى‬,
‫س‬4/‫التكامل‬ ‫لٌمة‬ ‫أوجد‬∫ 𝟑 𝟐
𝟖
𝟒
𝟐
‫ة‬ ‫التجز‬ ‫بأستلدام‬𝛔 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒
‫س‬5/‫مٌله‬ ‫الذي‬ ً‫المنحن‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫بالنمطة‬ ‫وٌمر‬(3,1)
‫س‬6/‫ياوي‬‫ي‬‫تس‬ ‫ية‬‫ي‬‫نمط‬ ‫أي‬ ‫يد‬‫ي‬‫عن‬ ‫ية‬‫ي‬‫لدال‬ ‫ية‬‫ي‬ٌ‫ان‬ ‫ال‬ ‫يتمة‬‫ي‬‫المش‬ ‫أ‬ ‫يت‬‫ي‬‫علم‬ ‫أذا‬‫يث‬‫ي‬ٌ‫ح‬,‫يذا‬‫ي‬‫ه‬ ‫ية‬‫ي‬‫معادل‬ ‫يد‬‫ي‬‫ج‬
‫أنمالب‬ ‫نمطة‬ ‫ٌمتلن‬ ‫كا‬ ‫أذا‬ ً‫المنحن‬(0,1)‫عند‬ ‫محلٌة‬ ‫صغرى‬ ‫نهاٌة‬ ‫ونمطة‬(1,-1)
‫س‬7/‫يد‬‫ي‬‫وبع‬ ‫يكو‬‫ي‬‫الس‬ ‫ي‬‫ي‬‫م‬ ‫ية‬‫ي‬‫نمط‬ ‫يرن‬‫ي‬‫تتح‬t‫يرعتها‬‫ي‬‫س‬ ‫يبحت‬‫ي‬‫اص‬ ‫ية‬‫ي‬‫الحرك‬ ‫يدء‬‫ي‬‫ب‬ ‫ي‬‫ي‬‫م‬ ‫ية‬‫ي‬ٌ‫ان‬𝟏𝟎𝟎 𝟐
‫يد‬‫ي‬‫أوج‬
‫عندها‬ ‫التعجٌل‬ ‫أحسب‬ ‫م‬ ‫منه‬ ‫بدات‬ ‫الذي‬ ‫االول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النمطة‬ ‫لعودة‬ ‫الالزم‬ ‫الزم‬