رياضيات سادس علمي

2014 / 2015
‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫العلمي‬ ‫السادس‬

2014 / 2015
‫ا‬
‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫العلمي‬ ‫السادس‬

[ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬5/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫ا‬‫لفصل‬‫االول‬(‫المركبة‬ ‫االعداد‬):
1]–1[‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫الى‬ ‫الحاجة‬:‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫نحاول‬ ‫عندما‬+16 = 02
x:‫ان‬ ‫نجد‬
x2
+16 = 0 ⇒ x2
= -16 ⇒ x = ± √−16 = ± √16. √−1 = ± 4√−1
‫قيمة‬ ‫فما‬√−1‫ي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫وهل‬ ‫؟‬‫س‬‫ا‬‫وي‬(-1).‫كهذا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫انه‬ ‫الواضح‬ ‫من‬‫والعجز‬
‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫حل‬ ‫عن‬0=16+2
x‫في‬ ‫الرغبة‬ ‫أوجد‬ , ‫حل‬
‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫يضم‬ ‫جديد‬ ‫مجال‬ ‫على‬ ‫الحصول‬0=16+2
x‫المجال‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫حل‬
( ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫بمجال‬ ‫يسمى‬ ‫ما‬ ‫ابتكار‬ ‫الى‬ ‫ذلك‬ ‫ويدفعنا‬ ‫الجديد‬Complex Number‫فرضن‬ ‫فاذا‬ )‫ـــــــــــــــ‬‫ا‬
‫ان‬i = √−1‫كلمة‬ ‫من‬ ‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫وهو‬(Imaginary Numbers)‫ا‬‫ي‬‫االعداد‬‫الخيالية‬‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫فان‬
‫المعادلة‬0=16+2
x‫هي‬{4i±}
‫الجبرية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫ولكنه‬ ‫والقياس‬ ‫العد‬ ‫مع‬ ‫تقترن‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫ليس‬ ‫هو‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫ان‬‫لألعداد‬‫ما‬ ‫الحقيقية‬
.‫الترتيب‬ ‫خاصية‬ ‫عدا‬
‫قوى‬i:-i = √−1
i2
= -1
i3
= i2
. i = -1 . i = -i
i4
= i2
. i2
= (-1) . (-1) = 1 ⇒ ∴ i4
= 1
‫عامة‬ ‫وبصورة‬:‫يكون‬ ‫عندما‬
i4n + r
= ir
, n ∈ N . r = 0 , 1 , 2 , 3 …
‫رفع‬ ‫عند‬ ‫انه‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬i‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫احد‬ ‫يكون‬ ‫فالناتج‬ ‫موجب‬ ‫صحيح‬ ‫لعدد‬{i , -1 , -i , 1}‫اس‬ ‫نقسم‬ ‫حيث‬
i‫على‬4‫لـ‬ ‫الجديد‬ ‫االس‬ ‫هو‬ ‫والباقي‬i:
/‫مثال‬i = i.6
i = 1.6
)4
i = (i.24
= i25
i
i99
= i96
. i3
=(i4
)24
. i3
= 124
. i3
= i3
= -i
‫مثال‬1/:‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬-
i27
= i24
. i3
= (i4
)6
. i3
= 16
. i3
= -i
i18
= i18
. i = (i4
)28
. i = 128
. i = i
i7
= i4
. i3
= 8 . i3
= -i
i81
= (i4
)4
= 8
i81
= i81
. i2
=(i4
)84
. i2
=184
(-1)= -1
i104
= (i4
)26
= 126
= 1
i10
= i8
. i2
= (i4
)2
. i2
= 8 . i2
= -1
i17
= i16
. i = (i4
)4
. i = 14
. i = i
i12n+93
= i12n
. i93
= (i4
)3n
. (i4
)23
. i = 13n
. 1 . i = i
:‫تعريف‬‫للعدد‬ ‫يقال‬c = a + bi‫حيث‬a,b‫وان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬√−1i =‫مركبا‬ ‫عددا‬ ,)ComplexNumber(
‫يسمى‬a‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬Real Part‫ويسمى‬b‫التخيلي‬ ‫الجزء‬Imaginary Part‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ويرمز‬ .
‫بالرمز‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ℂ‫للصيغة‬ ‫ويقال‬a+bi.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬ ‫او‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬

i -13
= i -13
. (i4
)4
=i -13
.(i16
)= i3
= -i OR i -13
=
1
i131
=
i16
i131
= i3
= -i
/‫مالحظة‬‫إذا‬‫اسس‬ ‫كانت‬i‫أ‬‫العدد‬ ‫نستبدل‬ ‫ان‬ ‫فيمكن‬ ‫سالبة‬ ‫صحيحة‬ ‫عداد‬(1)( ‫بـ‬ ‫البسط‬ ‫في‬i‫من‬ ‫لقوة‬ ‫مرفوع‬ )
‫العدد‬ ‫مضاعفات‬(4)‫أكبر‬‫اس‬ ‫يساوي‬ ‫او‬(i).
‫الجذور‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ /‫مالحظة‬‫ألي‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬i:‫فمثال‬
√−16 = √16 .√−1 = 4 i
√−25 = √25 .√−1 = 5 i
√−12 = √12 .√−1 = 2√3 i
√−15 = √15 .√−1 = √15 i
:‫يكون‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
√−a = √a .√−1 = √a i , ∀ a ≥ 0
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬c = a + bi‫المرتب‬ ‫للزوج‬ ‫مناظرا‬ ‫جعله‬ ‫يمكن‬(a , b):‫مثال‬ ,
2 + 3i = (2,3)
-1 + i = (-1 , 1)
2 = 2 + 0 i = (2,0)
3i = 0 + 3 i = (0,3)
‫مثال‬2/‫صورة‬ ‫على‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫أكتب‬a+bi:
a) √−100 = √100 .i = 0 +10i
b) -1 + √−3 = -1 + √3 i
c)
1+√−25
4
=
1
4
+
√−25
4
=
1
4
+
5i
4
d) -5 = -5 + 0 i
‫مثل‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬a‫بالشكل‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬a + 0i‫او‬(a,0)‫عدد‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬ ‫اي‬ ,
:‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫التخيلي‬ ‫جزؤه‬ ‫مركب‬
2]-[1‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬:
‫ا‬‫ال‬‫او‬/:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬
‫مثال‬:(25 + 3i)+(7 - 12i) = 32 – 9i‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬32 – 9i‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫مركبا‬ ‫عددا‬
)ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ ‫ان‬ ‫(اي‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬
‫مثال‬3/‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ل‬:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬
a) 3 + 4 √2 i , 5 - 2√2 i
b) 3 , 2 – 5 i
c) 1 – 3 i , i
/‫الحل‬
a) (3 + 4 √2 i) + (5 - 2√2 i) = 8 + 2√2 i
/‫مالحظة‬‫ان‬ ‫اي‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬R ⊂ C.
: ‫تعريف‬-
‫ليكن‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬:)i2+ b1) + (b2+ a1= (a2c+1c
:‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2+ b1(b,R∈)2+ a1(a.‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الن‬
∴ (a1 + a2) + (b1 + b2)i ∈ ℂ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬

b) )3 + 0i) + (2 – 5 i) = 5 – 5 i
c) (1 – 3i) + (0 + i) = 1 – 2i
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬
‫تتمتع‬:‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ℂ∈3, c2, c1c∀
1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1+ c2c=2c+1c
2)( ‫التجميعية‬ ‫الخاصية‬Associativity):3) + c2+ c1(c=)3+ c2(c+1c
3)( ‫الجمعي‬ ‫النظير‬Additive Inverse):-c ∈ ℂc = a + bi ∃,∀ c ∈ ℂ
‫حيث‬–c = -a-bi‫يسمى‬(-c)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬c.
4)( ‫الجمعي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬AdditiveIdentity):‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫يرمز‬e‫ويعرف‬∈ ℂe = 0 = 0 + 0i
‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫سبق‬ ‫مما‬(ℂ , +)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬ ‫هي‬Commutative Group
‫مثال‬4/:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (4-5i) - (3+2i) = (4-5i) + (-3-2i) = 1-7i
b) (7-13i) - (9+4i) = (7-13i) + (-9-4i) = -2-17i
‫مثال‬5/‫المعادلة‬ ‫حل‬∈ ℂ,x(2-4i)+x = 5+i
/‫الحل‬
(2-4i)+x = 5+i ⇒ x = (5+i) – (2-4i) = (5+i) +(-2+4i) ⇒ ∴ x = 3 + 5i
‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫عملية‬ /‫الضرب‬:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬‫بصفتهما‬ ‫بضربهما‬ ‫نقوم‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫عملية‬ ‫اليجاد‬
‫من‬ ‫بدال‬ ‫ونعوض‬ ‫جبريين‬ ‫مقدارين‬2
i‫العدد‬1)-(:‫مبين‬ ‫كما‬
‫كان‬ ‫اذا‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c:‫فان‬
c1. c2 = (a1 +b1i) (a2 +b2i)= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i + b1 .b2i2
= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i - b1 .b2 = (a1 .a2 - b1 .b2) + (a1 .b2 + a2 .b1)i
/‫مثال‬
(2+5i).(3-4i)
= 6 – 8i + 15i – 20 i2
i2
= -1
= 6 + 20 + 7i = 26 + 7i
‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬∈ ℂ26 + 7i‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬‫الضرب‬‫ان‬ ‫(اي‬
‫ضرب‬ ‫حاصل‬)ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬
/‫مالحظة‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬
.‫الثاني‬
/‫مالحظة‬‫كان‬ ‫اذا‬k ∈ R,c = a + bi:‫فان‬kc = ka + kbi
: ‫تعريف‬-
‫ليكن‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬:
c1.c2 =(a1.a2 - b1.b2)+(a1.b2 + a2.b1)i
:‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2b.1b-2a.1a(,R∈)1b.2a+2b.1a(‫مجموعة‬ ‫الن‬R‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلق‬
‫فان‬ ‫لذلك‬ ‫الضرب‬ℂ∈2c.1c.‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬

‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬
:‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀
1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1cX2c=2cX1c
2)( ‫التجميعية‬ ‫الخاصية‬Associativity):3c)2c.1c)=)3c.2(c.1c
3)( ‫الضربي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬ ‫يتوفر‬Multiplicative Identity‫)وهو‬1=(1+0i)
4)‫الضربي‬ ‫النظير‬(Multiplicative Inverse:)∀ c ≠(0+0i) , ∃
1
c
∈ ℂ‫بحيث‬
1
c
= (1+0i)c x
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫اي‬c‫عد‬‫ا‬‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫له‬ ‫يوجد‬ ‫الصفر‬
1
c
.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬
:‫ان‬ ‫اي‬(ℂ - (0+0i), X)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬
:‫ان‬ ‫اي‬(ℂ,+,X)‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫حقل‬ ‫يسمى‬ ‫حقل‬
‫مثال‬6/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬
1) (3+4i)2
2) i(1+i)
3) −
5
2
(4+3i)
4) (1+i)2
+ (1-i)2
5) (1+i)3
+ (1-i)3
/‫الحل‬
1) (3+4i)2
= 9 + 24i – 16 = -7 + 24i
.‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نجمع‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫مالحظة/نستخدم‬
2) i(1+i) = i + i2
= -1 + i
‫توزيع‬ ‫مالحظة/يتم‬i‫القوس‬ ‫حدود‬ ‫على‬(1+i).
3) −
5
2
(4+3i) = -10 -
15
2
i
4) (1+i)2
+ (1-i)2
= (1+2i-1) +(1–2i-1) = 2i – 2i = 0
.)‫الحدانية‬ ‫(مربع‬ ‫االقواس‬ ‫مالحظة/نفتح‬
5) (1+i)3
+ (1-i)3
= (1+i)2
(1+i) + (1-i)2
(1-i)=2i(1+i) + (-2i)(1-i)= 2i - 2 - 2i – 2 = -4
‫االعتماد‬ ‫مالحظة/يكون‬.‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫على‬
/‫مالحظة‬‫ليكن‬k ∈ R,c ∈ ℂ‫حيث‬c=a+bi:‫فان‬
1) k. c = k)a + bi( = ka + kbi
2) ki. c = ki(a + bi) = -kb + kai

[ 1 – 3 ]‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬)‫المركبة‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
]3-[1:‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
:‫ا‬‫ال‬‫فمث‬3+i‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫هو‬3-i‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬(i)‫هو‬(-i)‫وبالعكس‬,‫وان‬5-4i‫مرافق‬5+4i
‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬7‫هو‬7.‫وبالعكس‬
‫مالحظة‬1:‫االتية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫انه‬ ‫المرافق‬ ‫تعريف‬ ‫من‬ ‫يتضح‬ /
1)c1 ± c2
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 ± c̅2
2)c1 . c2̅̅̅̅̅̅̅ = c1̅ . c2̅
3) c c̅ = a2
+ b2
‫فان‬ c = a+bi ‫كان‬ ‫اذا‬
4) c̅ = c ‫فان‬ c ∈ R
5) c + c̅ = 2a
6) c̅̅ = c
7) (
c1
c2
) = (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
)
‫مالحظة‬2:‫القسمة‬ ‫عملية‬ ‫اجراء‬ ‫في‬ ‫الخاصية‬ ‫هذه‬ ‫تفيدنا‬ /
c1 ÷ c2 = c1 .
1
c2
, c1 , c2 ∈ ℂ
‫مالحظة‬3/‫إلجراء‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫قسمة‬ ‫عملية‬c1‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫على‬2c‫حيث‬0≠2c‫فإننا‬‫بسط‬ ‫نضرب‬
‫ومقام‬‫المقدار‬
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
:‫فيكون‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬
c1
c2
=
c1
c2
(
c2̅̅̅
c2̅̅̅
)=
c1.c2̅̅̅
c2.c2̅̅̅
=
c1.c2̅̅̅
a2+b2
ً‫ال‬‫مث‬: )‫(الجبرية‬ ‫العادية‬ ‫بالصورة‬ ‫ضع‬ :
2+3i
4−5i
/‫الحل‬‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نضرب‬(4+5i):
2+3i
4−5i
=
2+3i
4−5i
.
4+5i
4+5i
=
(2+3i)(4+5i)
42+52 =
8+12i+10i−15
16+25
=
−7+22i
41
=
−7
41
+
22i
41
‫مثال‬7/‫كان‬ ‫اذا‬2i-= 32= 1 + i , c1c:‫ان‬ ‫فاثبت‬
a) c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 + c̅2
b)c1 . c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 . c̅2
c) (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
)
/‫الحل‬
a) c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 + c̅2 ⇒ c1 + c2 = (1+ i) + (3 - 2i) = 4 – i ⇒ c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 4 + i
c̅1 + c̅2 = (1 – i) + (3 + 2i) = 4 + i ⇒ ∴ 𝐜 𝟏 + 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 + 𝐜̅2
b) c1. c2̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 . c̅2
c1. c2 = (1+ i) (3 - 2i) = 3 + 3i – 2i + 2 = 5 + i ⇒ c1. c2̅̅̅̅̅̅̅ = 5 – i
c̅1 . c̅2 = (1- i) (3 + 2i) = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 – i ⇒ ∴ 𝐜 𝟏. 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 . 𝐜̅2
: ‫تعريف‬-‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬c = a + bi‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫هو‬c̅ = a - biR ,∀ a , b ∈
‫مال‬)‫(ضرب‬ ‫عند‬ ‫او‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ /‫حظة‬‫مركبين‬ ‫عددين‬
.‫صحيح‬ ‫والعكس‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مترافقين‬

c) (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
)
c1
c2
=
1+ i
3 − 2i
=
(1+ i)(3+ 2i)
9+4
=
3+3i+2i−2
13
=
1+5i
13
=
1
13
+
5i
13
⇒ (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅̅
=
1
13
-
5i
13
c1̅̅̅
c2̅̅̅
=
1− i
3+ 2i
=
(1− i)(3− 2i)
9+4
=
3−3i−2i−2
13
=
1−5i
13
=
1
13
-
5i
13
∴ (
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
)
̅̅̅̅̅
= (
𝐜 𝟏̅̅̅
𝐜 𝟐̅̅̅
)
‫مثال‬8/‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬2-2i.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬
/‫الحل‬‫الضربي‬ ‫النظير‬‫للعدد‬2-2i‫هو‬
1
2− 2i
1
2− 2i
=
1
2− 2i
.
2+ 2i
2+ 2i
=
2+ 2i
4+4
=
2
8
+
2i
8
=
1
4
+
1
4
i
‫في‬ ‫عاملين‬ ‫الى‬ ‫التحليل‬ℂ
‫مربعين‬ ‫مجموع‬ ‫صورة‬ ‫على‬ )‫(المقدار‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬ : ‫هي‬ ‫التحليل‬ ‫فكرة‬2
+ y2
x‫بـ‬ ‫احدهما‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬)2
i-(‫فيصبح‬
.‫تحليله‬ ‫فيتم‬ ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫المقدار‬
x2
+ y2
= x2
- y2
i2
= (x - yi)(x + yi)
‫مثال‬9/‫العددين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫حلل‬53 , 10‫صورة‬ ‫من‬ ‫عاملين‬ ‫الى‬a+bi‫حيث‬a,b‫عدد‬.‫نسبيين‬ ‫ين‬
/‫الحل‬
10 = 9 + 1 = 32
+ 12
‫مربعين‬ ‫مجموع‬
‫بـ‬ ‫نضرب‬2
i-:
32
- 12
i2
= (3 – i)(3+i) ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫تحليل‬
53 = 4 + 49 = 22
+ 72
‫مربعين‬ ‫مجموع‬
‫بـ‬ ‫نضرب‬2
i-:
22
- 72
i2
=(2–7i)(2+7i) ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫تحليل‬
‫مركبين‬ ‫حدين‬ ‫تساوي‬
‫وبالعكس‬ ‫التخيليان‬ ‫جزءاهما‬ ‫وتساوى‬ ‫الحقيقيان‬ ‫جزءاهما‬ ‫تساوى‬ ‫اذا‬ ‫المركبان‬ ‫العددان‬ ‫يتساوى‬ ‫اي‬.
‫مثال‬11/‫قيمة‬ ‫جد‬x‫و‬y:‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقيقيتين‬
1) )2x -1( + 2i = 1 + (y+1)i ⇒ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
2 = y+1 ⇒ y = 1
.)‫(العادية‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬
.)‫(العادية‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬
.‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ ‫نستفيد‬
2) 3x – 4i = 2 + 8yi
3x = 2 ⇒ x =
2
3
-4 = 8y ⇒ y =
−1
2
‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نضرب‬
‫المقام‬ ‫بمرافق‬2 + 2i
: ‫تعريف‬-: ‫كان‬ ‫اذا‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫فان‬:2= b1, b2= a1a⇔2c=1c

3) (2y+1) – (2x-1)i = -8 + 3i
2y+1 = - 8 ⇒ 2y = -9 ⇒ y =
−9
2
-(2x-1) = 3 ⇒ -2x = 2 ⇒ x = -1
4) (x + yi)(3 + 2i) = 5 - 3i
(x + yi) =
5 – 3i
3 + 2i
=
5 – 3i
3 + 2i
.
3− 2i
3− 2i
‫نضرب‬‫المقام‬ ‫بمرافق‬
(x + yi) =
15−9i−10i−6
9+4
=
9−19i
13
=
9
13
−
19
13
i
x =
9
13
, y = −
19
13
5) y + 5i = (2x + i)(x + 2i) ⇒ y + 5i = 2x2
+ xi + 4xi - 2
y + 5i = (2x2
-2)+ (5x)i
5 = 5x ⇒ x = 1
y = 2x2
- 2 x = 1 ‫نعوض‬
y = 2 – 2 = 0
6)
3−2i
i
,
x−yi
1+5i
‫مترافقان‬
‫ليكن‬c =
x−yi
1+5i
∵ c =
x−yi
1+5i
⇒ ∴ c̅ =
x+yi
1−5i
(
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
) ‫الن‬
∴
x+yi
1−5i
=
3−2i
i
‫متساويان‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ ‫المرافقين‬
(x + yi)i = (1 − 5i)(3 − 2i) ‫بطرفين‬ ‫وسطين‬
Xi − y = 3 – 15i – 2i – 10 ⇒ −y + xi = -7 – 17i
-y = -7 ⇒ y = 7
x = -17
‫التمارين‬ ‫حلول‬1–1
8)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ضع‬∀ n ∈ N:
1. i5
= i4
. i = i = 0 + i
2. i6
= i4
. i2
= -1 = -1 + 0i
3. i124
= (i4
)31
= 1 = 1 + 0i
4. i999
= i996
. i3
=(i4
)242
. i3
= -i = 0 - i
5. i4n+1
= i4n
. i = i = 0 + i
6.(2 + 3i)2
+ (12 + 2i) = (4 + 12i - 9) + (12 + 2i) = (-5 + 12i) + (12 + 2i) = 7 + 14i
7. (10 + 3i) (0 + 6i) = 0 + 0 + 60i -18 = -81 + 60i
8.(1 + i)4
- (1 - i)4
= ((1 + i)2
)2
– ((1 - i)2
)2
= (1 + 2i -1)2
– (1 – 2i -1)2
= (2i)2
– (-2i)2
= -4 –(-4)=0 = 0 + 0i
9.
12+i
i
=
12+i
i
.
−i
−i
=
−12i− i2
−i2 =
−12i+1
1
= 1 – 12i

10.
3+4i
3−4i
=
3+4i
3−4i
.3+4i
3+4i
=
9 +12i+12i−16
9+16
=
−7+24i
25
=
−7
25
+
24
25
i
11.
i
2+3i
=
0+i
2+3i
.
2−3i
2−3i
=
0+2i−0+3
4+9
=
3+2i
13
=
3
13
+
2
13
i
12. (
3+i
1+i
)
3
= (
3+i
1+i
.
1−i
1−i
)
3
= (
3+i−3i+1
1+1
)
3
= (
4−2i
2
)
3
=(2 − i)3
=(2 − i)2
. (2 − i)=(4 − 4i − 1)
2
. (2 − i)
=(3 − 4i). (2 − i)= 6 – 8i - 3i – 4= 2 – 11i
13.
2+3i
1−i
.
1+4i
4+i
=
2+3i+8i−12
4−4i+i+1
=
−10+11i
5−3i
=
−10+11i
5−3i
.
5+3i
5+3i
=
−10+11i
5−3i
.
5+3i
5+3i
=
−50+55i−30i−33
25+9
=
−83+25i
34
=
−83
34
+
25i
34
14. (1 + i)3
+ (1 - i)3
= (1 + i)2
.(1 + i) + (1 - i)2
.(1 - i)
= (1 + 2i -1).(1 + i) + (1 - 2i -1).(1 - i) = (2i).(1 + i) + (-2i).(1 - i)
= 2i – 2 + [-2i - 2] = 2i – 2 – 2i - 2 = -4 = -4 + 0i
2)‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬y , x:‫االتية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
a) y + 5i = (2x + i)(x + 2i)
/‫الحل‬
y + 5i = 2x2
+ xi + 4xi - 2 ‫االقواس‬ ‫نضرب‬
y + 5i = 2x2
+ 5xi - 2 ⇒ y + 5i = (2x2
– 2) + 5xi
:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
5x = 5 ⇒ x = 1
y = 2x2
– 2 = 2 – 2 = 0
b) 8i = (x + 2i)(y + 2i) + 1
/‫الحل‬:‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬
-1 + 8i = xy + 2yi + 2xi - 4 ⇒ -1 + 8i = (xy – 4) + (2y + 2x)i
-1 = xy – 4 ⇒ xy = 3 ……
8 = 2y + 2x ⇒ 4 = y + x ⇒ y = 4 – x .…
‫نعوض‬‫قيمة‬y‫من‬‫معادلة‬‫في‬:
xy = 3 ⇒ x(4 – x) = 3 ⇒ 4x – x2
= 3 ⇒ x2
– 4x + 3 = 0
(x - 3)(x - 1) = 0
∴ x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1
x = 1 ⇒ y = 4 – 1 = 3
c) (
1−i
1+i
) + (x+yi) = (1+2i)2
/‫الحل‬
(
1−i
1+i
.
1−i
1−i
) + (x+yi) = (1 + 4i - 4) ⇒ (
1−i−i−1
1+1
) + (x+yi) = -3 + 4i

(
−2i
2
) + (x+yi) = -3 + 4i ⇒ -i + (x+yi) = -3 + 4i
(x+yi) = -3 + 4i + i ⇒ (x+yi) = -3 + 5i
∴ x = -3 , y = 5
d)
2−i
1+i
x +
3−i
2+i
y =
1
i
/‫الحل‬
(
2−i
1+i
.
1−i
1−i
) x + (
3−i
2+i
.
2−i
2−i
) y =
1
i
⇒ (
2−i−2i−1
1+1
) x + (
6−2i−3i−1
4+1
) y =
i4
i
(
1−3i
2
) x + (
5−5i
5
) y = i3
⇒ (
1−3i
2
) x + (
5−5i
5
) y = - i
(
1
2
−
3i
2
) x + (1 − i ) y = 0 – i ⇒
1
2
x −
3x
2
i + y - yi = 0 - i
(
1
2
x + y) + (
−3x
2
− y) i = 0 - i
1
2
x + y = 0 …… 
−3x
2
− y = -1 ………
‫بالجمع‬---------------------
-x + 0 = -1 ⇒ ∴ x = 1
‫في‬ ‫نعوض‬‫قيمة‬ ‫لنجد‬y:
1
2
. 1 + y = 0 ⇒ ∴ y = −
1
2
3):‫ان‬ ‫اثبت‬
a)
1
(2−i)2 −
1
(2+i)2 =
8
25
i
L.H.S =
1
4−4i−1
−
1
4+4i−1
=
1
3−4i
−
1
3+4i
=
1
3−4i
.
3+4i
3+4i
−
1
3+4i
.
3−4i
3−4i
=
3+4i
9+16
−
3−4i
9+16
=
3+4i−(3−4i)
25
=
3+4i−3+4i
25
=
8
25
i = R.H.S
b)
(1−i)2
1+i
+
(1+i)2
1−i
= −2
L.H.S =
1−2i−1
1+i
+
1+2i−1
1−i
=
−2i
1+i
+
2i
1−i
=
−2i
1+i
.
1−i
1−i
+
2i
1−i
.
1+i
1+i
=
−2i−2
1+1
+
2i−2
1+1
=
−2i−2
2
+
2i−2
2
= -1 – i + i -1 = -2 = R.H.S

c) (1 – i) (1 – i2
)(1 – i3
) = 4
L.H.S = (1 – i) (1 – i2
)(1 – i3
) = (1 – i) (1 – (-1))(1 – (-i)) = (1 – i) (1 + 1)(1 + i)
= 2(1 – i) (1 + i) ‫مرافقين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
= 2(1 + 1) = 4 = R.H.S
4)‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬18,48,828,22‫الصورة‬ ‫من‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬a+bi‫حيث‬b , a
.‫نسبيان‬ ‫عددان‬
a) 85 = (81 + 4) = 81 - 4i2
= (9-2i)(9+2i)
OR 85 = (4 + 81) = 4 - 81i2
= (2-9i)(2+9i)
OR 85 = (49 + 36) = 49 - 36i2
= (7-6i)(7+6i)
b) 41 = (25 + 16) = 25 - 16i2
= (5-4i)(5+4i)
c) 125 = (121 + 4) = 121 - 4i2
= (11-2i)(11+2i)
OR 125 = (100 + 25) = 100 - 25i2
= (10-5i)(10+5i)
d) 29 = (25 + 4) = 25 - 4i2
= (5-2i)(5+2i)
8)‫قيمة‬ ‫جد‬y , x‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ‫الحقيقيتين‬
6
x+yi
,
3+i
2−i
.‫مترافقان‬
/‫الحل‬‫نفرض‬c =
3+i
2−i
c =
3+i
2−i
⇒ c̅ =
3−i
2+i
(
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
) ‫الن‬
6
x+yi
=
3−i
2+i
‫بطرفين‬ ‫وسطين‬
6(2 + i) = (3 − i)(x + yi) ⇒ 12 + 6i = 3x – xi + 3yi + y
12 + 6i = (3x + y) + (-x + 3y)i
12 = 3x + y ⇒ y = 12 – 3x …… 
6 = -x +3y …….
‫نعوض‬‫في‬:
6 = -x +3y ⇒ 6 = -x +3(12 – 3x) ⇒ 6 = -x +36 –9x ⇒ 10x = 30 ⇒ x = 3
‫قيمة‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬:
y = 12 – 3x = 12 – 9 = 3 ⇒ y = 3
i2
= -1
i3
= - i

‫السابقة‬ ‫السنوات‬ ‫من‬ ‫اضافية‬ ‫تمارين‬
‫س‬8‫العدد‬ ‫اكتب‬ /1-4n
i: ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬
i4n-1
= i4n
.i-1
= i-1
= i-1
.i4
= i3
= 0 – i
‫س‬2‫ان‬ ‫اثبت‬ /
3i
√2+i
−
3i
√2−i
= 2
/‫الحل‬
L.H.S =
3i
√2+i
−
3i
√2−i
=
3i
√2+i
.
√2−i
√2−i
−
3i
√2−i
.
√2+i
√2+i
=
3√2i+3
2+1
−
3√2i−3
2+1
=
3√2i+3
3
−
3√2i−3
3
= (√2i + 1) − (√2i − 1) = √2i + 1 − √2i + 1 = 2
= R.H.S

[ 1 – 4 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
4]–[1:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬‫كان‬ ‫اذا‬a‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫يوجد‬ ‫فانه‬ ‫موجبا‬ ‫حقيقيا‬ ً‫ا‬‫عدد‬±√a
‫المعادلة‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫يحقق‬= a2
x‫ويسمى‬±√a‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬a.
: ‫مثال‬5±x =⇒= 252
x‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬a = 0‫هو‬ ‫واحد‬ ‫تربيعي‬ ‫جذر‬ ‫له‬ ‫فان‬8
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬c = a+bi‫الصورة‬ ‫من‬ ‫تربيعيين‬ ‫جذرين‬x+yi.
‫مثال‬11/‫من‬ ‫لكل‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬-25‫و‬-17.
/‫الحل‬
a) c2
= -25 ⇒ c = ±√−25 = ± 5i
b) c2
= -17 ⇒ c = ±√−17 = ± √17 i
:‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫اليجاد‬
8-‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬a+bi.
2-‫اخر‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫يساوي‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬x+yi.
3-: ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫ومن‬ ‫معادلتين‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ‫نأخذ‬
a.= ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬2
y-2
x.
b.= ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬2xy.
4-‫اليجاد‬ ً‫ا‬‫اني‬ ‫المعادلتين‬ ‫نحل‬x , y ∈ R.
‫مثال‬12/:‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
1) -3 + 4i
c = -3 + 4i
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √−3 + 4i
(x + yi)2
= -3 + 4i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -3 + 4i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -3 + 4i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = 4 ⇒ y =
4
2x
⇒ y =
2
x
…..❶
x2
– y2
= -3 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
2
x
)
2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3
x4
– 4 = -3x2
x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
+ 3x2
– 4 = 0 ⇒ (x2
- 1)(x2
+ 4) = 0
x2
+ 4 = 0 ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ x ‫الن‬ ‫تهمل‬
x2
- 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ±1
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i
x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(1+2i)

2) 8 + 6i
c = 1 + 1i
∴ x + yi = √8 + 6i
(x + yi)2
= 1 + 1i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 1 + 1i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 1 + 1i
2xy = 1 ⇒ y =
6
2x
⇒ y =
3
x
…..❶ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
x2
– y2
= 1 ……..❷ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
x2
– (
3
x
)
2
= 1 ⇒ x2
–
9
x2 = 1
x4
– 2 = 8x2
x2
x4
- 8x2
– 9 = 0 ⇒ (x2
- 9)(x2
+ 1) = 0
x2
x2
- 9 = 0 ⇒ x2
= 9 ⇒ x = ±3
x = 3 ⇒ y = 1 ⇒ c1 = 3 + i
x = −3 ⇒ y = −1 ⇒ c2 = -3 - i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(3+i)
3) –i
c = 0 - i
∴ x + yi = √0 − i
(x + yi)2
= 0 - i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 – I ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - i
2xy = -1 ⇒ y =
−1
2x
…..❶ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
x2
– y2
= 0 ……..❷ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
x2
– (
−1
2x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
1
4x2 = 0 ⇒ x4
–
1
4
= 0 x2
x4
=
1
4
⇒ x = ∓
1
√2
x =
1
√2
⇒ y =
−1
2
1
√2
=
−1
√2
⇒ c1 =
1
√2
-
1
√2
i
x = −
1
√2
⇒ y =
−1
2
−1
√2
=
1
√2
⇒ c2 = −
1
√2
+
1
√2
i
:‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(
𝟏
√ 𝟐
-
𝟏
√ 𝟐
i)

4) 8i
c = 0 + 8i
∴ x + yi = √0 + 8i
(x + yi)2
x2
+ 2xyi – y2
= 0 + 8i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 + 8i
2xy = 8 ⇒ y =
4
x
…..❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
x2
– (
4
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
16
x2 = 0 ⇒ x4
– 16 = 0 x2
x4
– 16 = 0 ⇒ x4
= 16 ⇒ x = ±2
x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 2 + 2i
x = −2 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -2 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(2 + 2i)

[ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
5 ]–[ 1‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ:‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫تعلمت‬+ bx + c = 02
ax‫حيث‬a ≠ 0‫و‬
a,b,c ∈ R‫بالدستور‬ ‫ايجادهما‬ ‫يمكن‬ ‫حلين‬,x =
−b±√b2−4ac
2a
,‫المميز‬ ‫المقدار‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫وعلمت‬
4ac-2
b‫يو‬ ‫ولكن‬ , ‫حقيقية‬ ‫حلول‬ ‫للمعادلة‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫فانه‬ ‫سالبا‬‫ال‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫حالن‬ ‫لها‬ ‫جد‬.‫مركبة‬
‫مثال‬13/‫المعادلة‬ ‫حل‬+ 2x + 2 = 02
x.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬
/‫الحل‬
x2
+ 2x + 2 = 0 a = 1 , b = 2 , c = 2
x =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
x =
−2±√4−8
2
=
−2±√−4
2
=
−2 ± 2i
2
= -1 ± i
‫جذران‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫اي‬(-1+ i)‫و‬(-1- i).‫مترافقان‬ ‫عددان‬ ‫وهما‬
‫مثال‬14/‫المعادلة‬ ‫حل‬0=5+4x+2
x.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬
/‫الحل‬
x2
+ 4x + 5 = 0 a = 1 , b = 4 , c = 5
x =
−b±√b2−4ac
2a
x =
−4±√16−20
2
=
−4±√−4
2
=
−4 ± 2i
2
= -2 ± i
‫جذران‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫اي‬(-2+ i)‫و‬(-2- i).‫مترافقان‬ ‫عددان‬ ‫وهما‬
/‫مالحظة‬‫المعادلة‬ ‫لجذري‬ ‫التالية‬ ‫الخصائص‬ ‫نجد‬ ‫السابقة‬ ‫واالمثلة‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬+ bx + c = 02
ax
‫حيث‬a ≠ 0‫و‬a,b,c ∈ R:
8-‫كان‬ ‫اذا‬x+yi‫فان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬x-yi.‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬
2-‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫بقسمة‬a‫حيث‬a ≠ 0:
x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
:‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫هي‬ ‫والتي‬
x2
– (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬ x + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫)حاصل‬ = 0
‫ذلك‬ ‫من‬ ‫ونستنتج‬ , ‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫وهي‬‫ان‬:
𝐜
𝐚
= ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ,
−𝐛
𝐚
= ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
‫مثال‬15/( : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬2+2i( ‫و‬ )2-2i-.)
/‫الحل‬
(2 + 2i) +(-2 – 2i) = 0 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(2 + 2i)(-2 – 2i) = - 4 - 4i – 4i + 4 = -8i ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
x2
– (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬x + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫)حاصل‬ = 0 ‫المعادلة‬
x2
– 0 x + (-8i) = 0 ⇒ x2
- 8i = 0 ⇒ x2
= 8i
‫مثال‬16/‫كون‬( ‫جذريها‬ ‫واحد‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫حدودها‬ ‫معامالت‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬3-4i.)
/‫الحل‬∵‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعادلة‬ ‫معامالت‬
∴‫مترافقان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬
∴( ‫هما‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬3-4i( ‫و‬ )3+4i)
(3 + 4i) +(3 – 4i) = 6 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(3 + 4i)(3 – 4i) = 9 +12i –12i +16 = 25 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
x2
– 6x + 25 = 0 ‫المعادلة‬
/‫مالحظة‬√−4 = √4 i = 2i

‫مثال‬17/‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬i = 0-5x +7–2
x
/‫الحل‬
x2
–5x +7-i = 0 a = 1 , b = -5 , c = 7-i
x =
−b±√b2−4ac
2a
x =
5±√25−4(7−i)
2
=
5±√25−28+4i
2
=
5±√−3+4i
2
/‫مالحظة‬‫المقدار‬ ‫كان‬ ‫اذا‬√b2 − 4ac‫التعريف‬ ‫من‬ ‫ايجاده‬ ‫فيمكن‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬√−a = √a i,‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
√b2 − 4ac‫الفقرة‬ ‫في‬ ‫سابقا‬ ‫بنا‬ ‫مرت‬ ‫التي‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫ايجاد‬ ‫بطريقة‬ ‫ايجاده‬ ‫فيجب‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬[1-4]‫في‬
‫الصفحة‬2.
‫اذا‬‫ايجاد‬ ‫يجب‬√b2 − 4ac‫مثال‬ ‫في‬ ‫ايجاده‬ ‫لنا‬ ‫سبق‬ ‫وقد‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫ايجاد‬ ‫بطريقة‬82
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫سابقا‬
c = -3 + 4i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √−3 + 4i
(x + yi)2
= -3 + 4i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -3 + 4i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -3 + 4i
2xy = 4 ⇒ y =
4
2x
⇒ y =
2
x
…..❶
x2
– y2
= -3 ……..❷
x2
– (
2
x
)
2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3
x4
– 4 = -3x2
x2
x4
+ 3x2
– 4 = 0 ⇒ (x2
- 1)(x2
+ 4) = 0
x2
x2
- 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ±1
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i
x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(1+2i)
:‫الحل‬ ‫لنكمل‬ ‫االن‬ ‫نعود‬
x =
5±√−3+4i
2
⇒ x =
5±(1+2i)
2
x =
5+(1+2i)
2
=
6+2i
2
= 3 + i
x =
5−(1+2i)
2
=
4−2i
2
= 2 - i
∴‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬{3 + i , 2 - i }

‫التمارين‬ ‫حلول‬2-1
1)‫مترافقان؟‬ ‫جذراها‬ ‫يكون‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫وبين‬ ‫االتية‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
a) z2
= -12
z = ±√−12 = ±√12 i = ±2√3 i
∴ S = {0+𝟐√ 𝟑 i , 0-𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
:‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
z2
= -12 ⇒ z2
+ 12 = 0 ⇒ z2
– 12 i2
= 0
(z - 2√3 i) (z + 2√3 i) = 0
z - 2√3 i = 0 ⇒ z = 2√3 i
z + 2√3 i = 0 ⇒ z = −2√3 i
∴ S = {0±𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
‫(باستخدام‬ ‫للحل‬ ‫ثالثة‬ ‫طريقة‬:)‫الدستور‬
z2
= -12 ⇒ z2
+ 12 = 0 a = 1 , b = 0 , c = 12
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
0±√0−4(12)
2
=
±√−48
2
=
±4√3 i
2
= ±2√3 i
∴ S = {0±𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
b) z2
– 3z + 3+ i = 0
z2
– 3z + 3+ i = 0 a=1 , b=-3 , c=3+i
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
3±√9−4(3+i)
2
=
3±√9−12−4i
2
=
3±√−3−4i
2
‫المقدار‬ ‫جذري‬ ‫نجد‬√−3 − 4i:
(x + yi)2
= −3 − 4i
2xy = -4 ⇒ y =
−2
x
x2
– y2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3 ⇒ x4
– 4 = -3x2
x2
x4
+ 3x2
- 4 = 0 ⇒ (x2
+ 4)( x2
– 1) = 0 ⇒ x2
– 1 = 0 ⇒ x = ±1
∴ √−3 − 4i = ±(1 - 2i)
:‫المعادلة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬
z =
3 ± √−3−4i
2
=
3 ± (1 − 2i)
2
∴ z =
3 + 1 − 2i
2
=
4 − 2i
2
= 2 - i
or z =
3− 1+ 2i
2
=
2+ 2i
2
= 1 + i
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{2- i , 1+ i}

c) 2z2
– 5z + 13 = 0 ⇒ 2z2
– 5z + 13 = 0 a=2 , b=-5 , c=13
𝐳 =
−𝐛±√ 𝐛 𝟐−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
𝐳 =
𝟓±√𝟐𝟓−𝟒( 𝟐 .𝟏𝟑)
𝟐 .𝟐
=
𝟓±√𝟐𝟓−𝟏𝟎𝟒
𝟒
=
𝟓±√−𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓±√ 𝟕𝟗 𝐢
𝟒
∴ S = {
𝟓
𝟒
+
√ 𝟕𝟗
𝟒
𝐢 , 𝟓
𝟒
−
√ 𝟕𝟗
𝟒
𝐢 } ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
d) z2
+ 2z + i(2-i) = 0
z2
+ 2z + (2i - i2
) = 0
z2
+ 2z + (2i + 1) = 0 ⇒ a = 1 , b = 2 , c =1+ 2i
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
−2±√4−4(1+2i)
2
=
−2±√4−4−8i
2
=
−2±√0−8i
2
‫المقدار‬ ‫جذري‬ ‫نجد‬√0 − 8i:
x + yi = √0 − 8i ⇒ (x + yi)2
= 0 - 8i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 - 8i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - 8i
2xy = -8 ⇒ y =
−4
x
…..❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
x2
– (
−4
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
16
x2 = 0 ⇒ x4
– 16 = 0 x2
x4
– 16 = 0 ⇒ x4
= 16 ⇒ x = ±2
x = 2 ⇒ y = −2
x = −2 ⇒ y = 2
:‫المعادلة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬
z =
−2±√0−8i
2
=
−2±(2−2i)
2
=
−2 + 2 − 2i
2
= - i
or z =
−2− 2 + 2i
2
=
− 4 + 2i
2
= -2 + i
∴ S = {- i , -2+ i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
:)‫الدستور‬ ‫استخدام‬ ‫يطلب‬ ‫لم‬ ‫للحل(اذا‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
z2
+ 2z + i(2-i) = 0 ⇒ z2
+ 2z + 2i - i2
= 0 ⇒ (z2
– i2
) + (2z + 2i) = 0
(z2
– i2
) + 2(z + i) = 0 ⇒ (z - i)(z + i) + 2(z + i) = 0
(z + i) [(z – i) + 2] = 0
z + i = 0 ⇒ z = -i
or (z – i) + 2 = 0 ⇒ z – i = -2 ⇒ z = -2 + i
∴ S = {- i , -2+ i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
√0 − 8i = ± (2 - 2i)

e) 4z2
+ 25 = 0 ⇒ 4z2
– 25i2
= 0 ⇒ z2
=
25
4
i2
⇒ z = ±
5
2
i
∴ S = { 0 ±
𝟓
𝟐
‫كما‬ ‫الدستور‬ ‫بطريقة‬ ‫السؤال‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬:‫مبين‬
4z2
+ 25 = 0 a = 4 , b = 8 , c = 28
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
0±√0−4(4 .25)
2 .4
=
±√−400
8
=
±√400 i
8
= ±
20 i
8
= ±
5 i
2
∴ S = { 0 ±
𝟓
𝟐
f) z2
- 2zi + 3 = 0 … ‫بطريقتين‬
/ً‫ال‬‫او‬:‫الدستور‬ ‫بطريقة‬ ‫االول‬ ‫الحل‬
z2
- 2zi + 3 = 0 a=1 , b=-2i , c=3
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
2i ±√4i2−4(3)
2
=
2i±√−4−12
2
=
2i ± √−16
2
=
2i ± √16 i
2
=
2i ± 4 i
2
=
2i ± 4 i
2
∴ z =
2i+ 4 i
2
= 3i
or z = 2i− 4 i
2
= -i
∴ S = {0 - i , 0 + 3i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
/ً‫ا‬‫ثاني‬:‫الثاني‬ ‫الحل‬
z2
- 2zi + 3 = 0 ⇒ z2
- 2zi – 3i2
= 0 ⇒ (z - 3i)(z + i) = 0
z - 3i = 0 ⇒ z = 3i
or z + i = 0 ⇒ z = -i
∴ S = {0 - i , 0 + 3i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
2)‫جذرها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬m.L:‫حيث‬
a) m = 1 +2i , L = 1- i
m+L = (1 + 2i) + (1 - i) = 2 + i
m.L = (1 + 2i)(1 - i) = 1 + 2i – i + 2
m.L = 3 + i
x2
– (2 + i) x + (3 + i) = 0 ‫المعادلة‬
b) m =
3− i
1+ i
, L = (3- 2i)2
m =
3− i
1+ i
=
3− i
1+ i
.
1− i
1− i
=
(3− i)(1− i)
1+ 1
=
3−i−3i−1
2
=
2−4i
2
= 1 – 2i
L = (3- 2i)2
= 9 – 12i – 4 = 5 – 12i
m+L = (1 - 2i) + (5 - 12i) = 6 - 14i
m.L = (1-2i)(5-12i) = 5 –10i – 12i – 24 = -19 - 22i
:‫المعادلة‬
x2
– (6 - 14i) x + (-19 - 22i) = 0

3):‫االتية‬ ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
a) -6i
c = 0 - 6i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √0 − 6i
(x + yi)2
= 0 - 6i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -0 - 6i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - 6i
2xy = -6 ⇒ y =
−6
2x
⇒ y =
−3
x
...❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
x2
– (
−3
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
9
x2 = 0
x4
– 9 = 0 x2
x4
= 9 ⇒ x2
= ±3 ⇒ x = ± √3
x = √3 ⇒ y =
−3
√3
= −√3 ⇒ c1 = √3 − √3 i
x = −√3 ⇒ y =
−3
−√3
= √3 ⇒ c2 = -√3 + √3 i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(√ 𝟑 - √ 𝟑i)
b) 7+24i
c = 7 + 24i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √7 + 24i
(x + yi)2
x2
+ 2xyi – y2
= 7 + 24i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 7 + 24i
2xy = 24 ⇒ y =
24
2x
⇒ y =
12
x
...❶
x2
– y2
= 7 ……..❷
x2
– (
12
x
)
2
= 7 ⇒ x2
–
144
x2 = 7 ⇒ x4
– 144 = 7x2
x2
x4
–7x2
- 144 = 0 ⇒ (x2
- 16)( x2
+ 9) = 0
x2
+ 9 = 0 ‫تهمل‬
x2
– 16 = 0 ⇒ x2
= 16 ⇒ x = ± 4
x = 4 ⇒ y = 3 ⇒ c1 = 4 + 3i
x = −4 ⇒ y = −3 ⇒ c2 = -4 - 3i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±( 𝟒 + 3i)

c)
4
1−√3 i
‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬
4
1−√3 i
=
4
1−√3 i
.
1+√3 i
1+√3 i
=
4(1+√3 i)
1+3
=
4(1+√3 i)
4
= 1 + √3 i
c = 1 + √3 i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √1 + √3 i ⇒ (x + yi)2
= 1 + √3 i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 1 + √3 i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 1 + √3 i
2xy = √3 ⇒ y =
√3
2x
…....❶
x2
– y2
= 1 ……..❷
x2
– (
√3
2x
)
2
= 1 ⇒ x2
–
3
4x2 = 1 ⇒ 4x4
– 3 = 4x2
4x2
≠0 ‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
4x4
– 4x2
- 3 = 0 ⇒ (2x2
- 3)(2x2
+ 1) = 0
2x2
+ 1 = 0 ‫تهمل‬
2x2
– 3 = 0 ⇒ x2
=
3
2
⇒ x = ±
√3
√2
x =
√3
√2
⇒ y =
√3
2(
√3
√2
)
=
√3√2
2√3
=
√2
2
=
1
√2
x = −
√3
√2
⇒ y =
−1
√2
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(
√ 𝟑
√ 𝟐
+
𝟏
√ 𝟐
i)
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫للمقدار‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫جد‬-1+2√−2
/‫الحل‬
c = -1+2√−2 = -1+2√2 i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √−1 + 2√2 i ⇒ (x + yi)2
= -1+2√2 i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -1+2√2 i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -1+2√2 i
2xy =2√2 ⇒ y =
2√2
2x
⇒ y =
√2
x
...❶
x2
– y2
= -1 ……..❷
x2
– (
√2
x
)
2
= -1 ⇒ x2
–
2
x2 = -1 ⇒ x4
– 2 = -x2
x2

x4
+ x2
– 2 = 0 ⇒ (x2
- 1)( x2
+ 2) = 0
x2
+ 2 = 0 x ∈ R ‫الن‬ ‫تهمل‬
x2
– 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ± 1
x = 1 ⇒ y = √2
x = −1 ⇒ y = −√2
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±( 𝟏 + √ 𝟐i)
4):‫هو‬ ‫جذريها‬ ‫وأحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعامالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
a) i
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬i , -i
i + (-i) = 0 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
i. (-i) = 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- (0) x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
x2
+ 1 = 0 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
b) 5 – i
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬5+i , 5-i
5+i + (5-i) = 10 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(5+i)(5-i)=25 + 1= 26 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- 10x + 26 = 0 ‫المعادلة‬
c)
√2+ 3i
4
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬
√2+ 3i
4
,
√2− 3i
4
√2− 3i
4
+
√2+ 3i
4
=
2√2
4
=
√2
2
=
1
√2
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
√2− 3i
4
.
√2+ 3i
4
=
2+9
16
=
11
16
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
-
1
√2
x +
11
16
= 0 ‫المعادلة‬
5)‫كان‬ ‫اذا‬3+i: ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬ax + (5+5i) = 0–2
x‫قيمة‬ ‫فما‬∈ ℂa‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬‫؟‬
‫االول‬ ‫الجذر‬ ‫ليكن‬= 3 + i1x,= ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬2x
∵= ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
‫المطلق‬ ‫الحد‬
x2 ‫معامل‬
∴ x1 . x2 =
5+5i
1
= 5+5i ⇒ (3 + i) . x2 = 5 + 5i
x2 =
5+5i
3+i
=
5+5i
3+i
.
3−i
3−i
=
15+15i−5i+5
9+1
=
20+10i
10
= 2 + i ‫الثاني‬ ‫الجذر‬
∵= = ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
x ‫معامل‬ −
x2 ‫معامل‬
∴ x1 + x2 =
−(−a)
1
⇒ (2 + i) + (3 + i) = a ⇒ a = 5 + 2i

:‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
‫قيمة‬ ‫اليجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫االول‬ ‫الجذر‬ ‫نعوض‬a
(3 + i)2
– a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ (9 + 6i - 1) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0
(8 + 6i) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ a(3 + i) = (8 + 6i) + (5 + 5i) = 13 + 11i
a =
13+11i
3+i
=
13+11i
3+i
.
3−i
3−i
=
39+33i−13i+11
9+1
=
50+20i
10
= 5 + 2i
: ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫اليجاد‬:‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫او‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫القانون‬ ‫تطبيق‬ ‫يتم‬
= ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬2x
(3 + i) + x2 = 5 + 2i
x2 = (5 + 2i) – (3 + i)
x2 = 2 + i ‫االخر‬ ‫الجذر‬

[ 1 – 6 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
6 ]–[ 1‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬:‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الي‬ ‫انه‬ ‫تعلمت‬a‫يحقق‬ ‫واحد‬ ‫تكعيبي‬ ‫جذر‬ ‫يوجد‬
‫المعادلة‬= a3
x‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ويكتب‬√a
3
‫جذور‬ ‫ثالثة‬ ‫هناك‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫اما‬‫تكعيبية‬
‫ال‬ ‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫عن‬ ‫االن‬ ‫ولنبحث‬ ‫الحقيقي‬ ‫للعدد‬‫ح‬‫واليجاد‬ , ‫الصحيح‬ ‫الواحد‬ ‫وهو‬ ‫ابسطها‬ ‫ولنأخذ‬ ‫قيقي‬
:‫االتية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ )‫(الثالثة‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬-
8-‫نفرض‬:= ‫العدد‬3
z= 13
z
2-: ‫نجعل‬8‫العدد‬ =-3
z= 01-3
z
3-‫ال‬ ‫نحل‬‫مع‬:‫مكعبين‬ )‫مجموع‬ ‫او‬ ‫(الفرق‬ ‫بـ‬ ‫ادلة‬
z3
– 1 = 0 ⇒ (z – 1)(z2
+ z +1) = 0
z – 1 = 0 ⇒ z = 1
z2
+ z +1 = 0 ⇒ z =
−1±√1−4
2
=
−1±√−3
2
=
−1±√3 i
2
4-:‫هي‬ ‫اعداد‬ ‫ثالثة‬ ‫فتكون‬ ‫النواتج‬ ‫نجد‬
1 ,
−1
2
+
√3
2
i ,
−1
2
−
√3
2
i
‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫خواص‬‫الصحيح‬
8-‫العدد‬ ‫هو‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الجذور‬ ‫احد‬8.‫مترافقان‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬ ‫هما‬ ‫االخران‬ ‫والجذران‬ ,
2-‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الثالثة‬ ‫الجذور‬ ‫مجموع‬:
1 + )
−1
2
+
√3
2
i( + )
−1
2
−
√3
2
i( = 0
3-= ‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬8
)
−1
2
+
√3
2
i()
−1
2
−
√3
2
i( = 8
4-‫االخر‬ ‫التخيلي‬ ‫الجذر‬ = ‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫احد‬ ‫مربع‬
(
−1
2
+
√3
2
i)2
=
−1
2
−
√3
2
i
(
−1
2
−
√3
2
i)2
=
−1
2
+
√3
2
i
‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫الحد‬ ‫رمزنا‬ ‫فاذا‬(
−1
2
−
√3
2
i),(
−1
2
+
√3
2
i)‫بالرمز‬w( ‫اوميكا‬ ‫ويقرأ‬Omega)‫فان‬
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬2
w‫الصورة‬ ‫على‬ ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ ‫ولذلك‬2
1 , w , w‫الجذور‬ ‫وهذه‬
:‫العالقتين‬ ‫تحقق‬
1- w3
= 1
2- 1 + w + w2
= 0
‫الخاصية‬ ‫ومن‬2:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
1 + w = -w2
⇒ 1 + w2
= -w ⇒ w + w2
= -1 ⇒ w = -1 - w2
⇒ w2
= -1 - w ⇒ 1 = -w2
- w
2
w , w.‫مترافقان‬ ‫عددان‬
‫كان‬ ‫اذا‬ : ‫عامة‬ ‫وبصورة‬a‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫فان‬ , ‫حقيقيا‬ ‫عددا‬a:‫هي‬
√a
3
, √a
3
w , √a
3
w2
:‫مثال‬-
‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬1: ‫هي‬2
2 , 2w , 2w
‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬1-: ‫هي‬2
w-w ,-1 ,-

‫قوى‬w:
w3
= 1 , w4
= w3
. w = w
w5
= w3
. w2
= w2
w6
= w3
. w3
= 1
‫قوى‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫وباالستمرار‬(w)‫القيم‬ ‫احدى‬ ‫تأخذ‬ ‫موجبة‬ ‫صحيحة‬ ‫السس‬2
1 , w , w‫زادت‬ ‫كلما‬ ‫القيم‬ ‫هذه‬ ‫وتتكرر‬
‫بمقدار‬ ‫المتتالية‬ ‫االسس‬3,:‫مثال‬-
w20
= w18
. w2
= (w3
)6
. w2
= w2
w100
= w99
. w = (w3
)33
. w = w
w3n
= (w3
)n
= 1 ‫صحيح‬ ‫عدد‬ n ‫حيث‬
w3n-1
= (w3
)n
.w-1
= w-1
=
1
w
=
w3
w
= w2
w-4
=
1
w4 =
1
w3 .w
=
1
w
= w2
‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬w‫بـ‬ ‫نضرب‬ ‫ان‬ ‫فيمكن‬ ‫سالب‬ ‫الس‬ ‫مرفوع‬w‫مضاعفات‬ ‫من‬ ‫موجب‬ ‫الس‬ ‫مرفوع‬
‫العدد‬3‫اس‬ ‫يساوي‬ ‫او‬ ‫اكبر‬w.
or w-4
= w6
. w-4
= w2
w-5
= w6
. w-5
= w
w-6
= w6
. w-6
= w0
= 1
w-20
= w21
. w-20
= w
w-31
= w33
. w-31
= w2
:‫ان‬ ‫بمعنى‬‫حيث‬n‫صحيح‬ ‫عدد‬r = 0 , 1 , 2,r
= w3n+r
w
:‫مثال‬
w33
= w3(11) + 0
= w0
= 1
w25
= w3(8) + 1
= w1
= w
w-58
= w3(-20) + 2
= w2
:‫ان‬ ‫بمعنى‬‫اس‬ ‫قسمة‬ ‫باقي‬w‫على‬3‫لـ‬ ‫الجديد‬ ‫االس‬ ‫هو‬w
‫مثال‬18/:‫قيمة‬ ‫جد‬
a) (3 + 2w + 2w2
)20
= [3 + 2(w + w2
)]20
‫مشترك‬ ‫عامل‬ 2 ‫نستخرج‬
= [3 + 2(-1)]20
w + w2
= -1 ‫نعوض‬
= [3 – 2]20
= 1
/‫مالحظة‬‫متشابهة‬ ‫المعامالت‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫فاننا‬‫نستخر‬‫مشترك‬ ‫عامل‬ ‫ج‬.
b) (1 - 3w - 3w2
)4
= [1 – 3(w + w2
)]4
= [1 – 3(w + w2
)]4
w + w2
= -1‫نعوض‬
= [1 – 3(-1)]4
= [1 + 3]4
= 44
= 256
c) (3 + 4w + 5w2
)2
/‫الحل‬‫نعوض‬w-1-=2
w
= [3 + 4w + 5(-1 – w)]2
= [3 + 4w - 5 – 5w]2
= [-2 - w]2
= 4 + 4w + w2
= 4(1 + w) + w2
1 + w = -w2
= 4(-w2
) + w2
= -4w2
+ w2
= -3w2

/‫مالحظة‬‫المعامالت‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫مختلفة‬‫فيمكن‬‫تحويل‬w‫الى‬2w.‫بالعكس‬ ‫او‬
‫مثال‬19/:‫ان‬ ‫اثبت‬
1) w7
+ w5
+ 1 = 0
L.H.S= w7
+ w5
+1= w6
. w + w3
. w2
+1 = w + w2
+ 1 = 0 = R.H.S
2) (5+3w+3w2
)2
= -4(2+w+2w2
)3
= 4
L.H.S = (5 + 3w + 3w2
)2
‫االيمن‬ ‫الطرف‬
= [5 + 3(w + w2
)]2
= [5 + 3(-1)]2
w + w2
= -1‫نعوض‬
= [5 - 3]2
= 22
= 4 = R.H.S
M.H.S = -4(2+w+2w2
)3
‫االوسط‬ ‫الطرف‬
= -4(w + 2 + 2w2
)3
= -4[(w + 2(1+ w2
)]3
1+w2
= -w ‫نعوض‬
= -4[(w + 2(-w)]3
= -4[w – 2w]3
= -4[-w]3
= -4[-1] = 4 = L.H.S = R.H.S
‫مثال‬21/‫كو‬:‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ن‬
1) 1 – iw , 1 - iw2
(1 – iw) + (1 – iw2
) = 2 – iw – iw2
= 2 – i(w + w2
) = 2 – i(-1) = 2 + i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1 – iw) (1 – iw2
) ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
=8 – iw – iw2
+ i2
w3
= 8 – iw – iw2
-1 = – iw – iw2
= – i(w + w2
) = – i(–1) = i
x2
– (2+i) x + i = 0 ‫المعادلة‬
2) 3w + w2
, w + 3w2
(3w + w2
) + (w + 3w2
) ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
= 4w + 4w2
= 4(w + w2
)= 4(-1) = -4
(3w + w2
)(w + 3w2
= 3w2
+ w3
+ 9w3
+ 3w4
= 3w2
+ 1 + 9 + 3w3
.w = 3w2
+ 10+ 3w
=10 + 3w + 3w2
= 10 + 3(w + w2
) = 10 + 3(-1) = 10 – 3 = 7
x2
+ 4x + 7= 0 ‫المعادلة‬
3) 1-2w , 1-2w2
(1-2w) + (1-2w2
) = 2 - 2w - 2w2
= 2 - 2(w + w2
) = 2 - 2(-1) = 4 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1-2w)(1-2w2
= 1 –2w -2w2
+4w3
= 1 –2w -2w2
+ 4 = 5 – 2w – 2w2
= 5 – 2(w + w2
)
= 5 – 2(-1) = 7
x2
- 4x + 7= 0 ‫المعادلة‬
‫المثالين‬ ‫في‬ /‫مالحظة‬2‫و‬3‫اذا‬‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫فان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬
.‫مترافقان‬ ‫عددان‬

4) 2iw –
3w2
i
, 3iw –
2w2
i
/‫الحل‬:‫الكسور‬ ‫من‬ ‫لنتخلص‬ ‫الجذرين‬ ‫شكل‬ ‫نبسط‬
2iw –
3w2
0+i
.
0−i
0−i
= 2iw + 3iw2
‫االول‬ ‫الجذر‬
3iw –
2w2
0+i
.
0−i
0−i
= 3iw + 2iw2
‫الثاني‬ ‫الجذر‬
(2iw + 3iw2
) + (3iw + 2iw2
) = 5iw + 5iw2
= 5i(w + w2
)= 5i(-1) = –5i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(2iw+3iw2
)(3iw+2iw2
) = –6w2
– 4 – 9 – 6w = –13 – 6(w + w2
)= –13 + 6 = –7
x2
+ 5ix – 7 = 0 ‫المعادلة‬
5)
2
1−w
,
2
1−w2
(
2
1−w
) + (
2
1−w2) ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
=
2(1−w2)+ 2(1−w)
(1−w)(1−w2)
=
2−2w2+ 2−2w
(1−w)(1−w2)
=
4−2w2−2w
1−w−w2+1
=
4−2(w2+w)
2−(w+w2)
=
4+2
2+1
=
6
3
= 2
(
2
1−w
)(
2
1−w2) =
4
1−w− w2+ 1
=
4
2−(w+ w2)
=
4
2+1
=
4
3
x2
– 2x +
4
3
= 0 ‫المعادلة‬
‫مثال‬21/‫قيمة‬ ‫جد‬
a + bw + cw2
b + cw + aw2
/‫الحل‬/‫مالحظة‬‫ي‬ ‫كسر‬ ‫الختصار‬‫ــ‬‫ت‬‫ــ‬‫ف‬‫ــ‬‫ق‬‫فاننا‬ )‫باشاراتها‬ ‫المعامالت‬ , ‫الحدود‬ ‫(عدد‬ ‫بـ‬ ‫مقامه‬ ‫مع‬ ‫بسطه‬
‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫نضرب‬w‫بـ‬ ‫البسط‬ ‫في‬3
w.‫االختصار‬ ‫فيتم‬
a + bw + cw2
b + cw + aw2 =
aw3+ bw + cw2
b + cw + aw2 =
w(aw2+ b + cw)
b + cw + aw2 = w
‫مثال‬22/‫كان‬ ‫اذا‬2
)
1
w
a+bi=(1+2w+,R∈a,b
8)‫ان‬ ‫برهن‬:= 12
+ b2
a
2)‫جذريها‬ ‫واحد‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫حدودها‬ ‫معامالت‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬a+bi.
/‫الحل‬
1) a + bi = (1 + 2w +
1
w
)2
= (1 + 2w +
w3
w
)2
= (1 + 2w + w2
)2
= (– w + 2w)2
= w2
∴ a + bi = w2
a2
+ b2
= a2
– b2
i2
= (a - bi)(a + bi)
‫ان‬ ‫بما‬w‫و‬2
w:‫مترافقان‬ ‫عددان‬
a2
+ b2
= w . w2
= w3
= 1
‫و‬‫قي‬ ‫عن‬ ‫بالتعويض‬ ‫الحل‬ ‫يمكن‬‫م‬2
w , w‫بـ‬)
−1
2
±
√3
2
i(
2)‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫اذا‬‫مترافقان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬
‫كان‬ ‫اذا‬‫االول‬ ‫الجذر‬2
w‫هو‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬w

w + w2
= -1 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
w . w2
= 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
1):‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫في‬ ‫االتية‬ ‫المقادير‬ ‫اكتب‬
a) w64
= w63
. w = (w3
)21
. w = w
b) w–325
= w327
. w–325
= w2
c)
1
(1+w−32)12 =
1
(1+w33.w−32)12 =
1
(1+w)12 =
1
(−w2)12 =
1
w24 = 1
d) (1+w2
)–4
= (-w)–4
=
1
(−w)4 =
1
w4 =
w6
w4 = w2
e) w9n+5
, n ∈ N ‫حيث‬
w9n+5
= w9n
. w5
= (w3
)3n
. w5
= w5
= w3
.w2
= w2
2)‫كو‬:‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ن‬
a) 1+w2
, 1+w
/‫الحل‬
(1+w2
) + (1+w) = 2 + w + w2
= 2 – 8 = 1 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1+w2
)(1+w) = 1 + w2
+ w + w3
= 1 + w + w2
+ 1 = 2 + -1 = 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
b)
w
2−w2 ,
w2
2−w
(
w
2−w2) + (
w2
2−w
) ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
=
w(2−w) + w2(2−w2)
(2−w2)(2−w)
=
2w−w2+ 2w2−w4
4−2w2−2w+w3 =
2w+ w2−w
5−2w2−2w
=
w+ w2
5−2(w2+w)
=
−1
5+2
=
−1
7
(
w
2−w2)(
w2
2−w
=
w3
4−2w2−2w+w3=
1
5−2w2−2w
=
1
5−2(w2+w)
=
−1
5+2
=
1
7
x2
+
1
7
x +
1
7
= 0 ⇒ 7x2
+ x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
c)
3i
w2 ,
−3w2
i
/‫الحل‬:‫الكسور‬ ‫من‬ ‫لنتخلص‬ ‫الجذرين‬ ‫شكل‬ ‫نبسط‬
3i
w2 .
w
w
= 3iw ‫االول‬ ‫الجذر‬
−3w2
i
.
−i
−i
= 3iw2
‫الثاني‬ ‫الجذر‬
(3iw + 3iw2
) = 3i(w + w2
) = -3i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
3iw . 3iw2
= 9i2
w3
= –9 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
+ 3ix – 9 = 0 ‫المعادلة‬

3): ‫كان‬ ‫اذا‬+ z + 1 = 02
z: ‫قيمة‬ ‫فجد‬
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8
/‫الحل‬‫قيمة‬ ‫نحسب‬z
z2
+ z + 1 = 0 a = 1 , b = 1 , c = 1
z =
−1±√1−4
2
=
−1±√−3
2
=
−1±√3 i
2
⇒ z =
−1
2
±
√3
2
i ⇒ z = w or w2
‫لتكن‬z = w
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8 =
1+3w10+3w11
1−3w7−3w8 =
1+3w+3w2
1−3w−3w2 =
1+3(w+w2)
1−3(w+w2)
=
1−3
1+3
=
−2
4
= −
1
2
‫لتكن‬2
z = w
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8 =
1+3(w2)10+3(w2)11
1−3(w2)7−3(w2)8 =
1+3w20+3w22
1−3w14−3w16=
1+3w2+3w
1−3w2−3w
=
1+3(w2+w)
1−3(w2+w)
=
1−3
1+3
=
−2
4
= −
1
2
4):‫ان‬ ‫اثبت‬
a) (
1
2+w
−
1
2+w2)
2
= −
1
3
L.H.S = (
1
2+w
−
1
2+w2)
2
=(
(2+w2)− (2+w)
(2+w)(2+w2)
)
2
= (
w2− w
4+2w+2w2+w3)
2
=(
w2− w
5+2(w+w2)
)
2
=(
w2− w
5−2
)
2
=(
w2− w
3
)
2
=(
± √3 i
3
)
2
=
−3
9
=
−1
3
= R.H.S
b)
w14+w7−1
w10+w5−2
=
2
3
L.H.S =
w14+w7−1
w10+w5−2
=
w2+w−1
w+w2−2
=
−1−1
−1−2
=
−2
−3
=
2
3
= R.H.S
c) (1 −
2
w2 + w2
) (1 + w −
5
w
) = 18
L.H.S = (1 −
2
w2 + w2
) (1 + w −
5
w
) = (1 −
2w3
w2 + w2
) (1 + w −
5w3
w
)
= (1 − 2w + w2)(1 + w − 5w2) = (−w − 2w)(−w2
− w2)
= (−3w)(−6w2) = 18 w3
= 18 = R.H.S
d) (1+ w2
)3
+ (1+ w)3
= -2
L.H.S = (1+ w2
)3
+ (1+ w)3
= (–w)3
+ (–w2
)3
= – w3
– w6
= – w3
– (w3
)2
= –1 – 1 = –2 = R.H.S
= 13
w
2
w–1+w =
w–=2
1+w

[ 1 – 7 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
7 ]–[ 1:‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يعرف‬z‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫انه‬ ‫على‬
(x,y)‫بالشكل‬ ‫ويكتب‬z(x,y)‫للعدد‬ )‫ارجاند‬ ‫(شكل‬ ‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬ ‫ويسمى‬z‫المجموعة‬ ‫وتسمى‬ ,
ℂ = {(x, y) ∶ x , y ∈ R}‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬.
‫االزواج‬ ‫من‬ ‫منتهية‬ ‫غير‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫المجموعة‬ ‫هذه‬ ‫ان‬ ‫الواضح‬ ‫من‬
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫ونالحظ‬ , ‫المرتبة‬(x,y)‫في‬ ‫وحيدة‬ ‫نقطة‬ ‫تمثله‬
‫المحورين‬ ‫المتعامد‬ ‫المستوي‬)2
or E2
(R‫المستوي‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫كما‬
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫بين‬ ‫تقابل‬ ‫هناك‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ً‫ا‬‫وحيد‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫تمثل‬
.‫المستوي‬ ‫نقط‬ ‫ومجموعة‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫تمثيل‬ ‫ويمكن‬z = x+yi‫بالمتجه‬𝐎𝐏⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫من‬O(0,0)‫النقطة‬ ‫الى‬P(x,y)‫وذلك‬‫بتمثيل‬
‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬x‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬X-Axis‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫وتمثيل‬y‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬Y– Axis.
‫مثال‬23/:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ‫هندسيا‬ ‫االتية‬ ‫العمليات‬ ‫مثل‬
1) (3 + 4i) + (5 + 2i)
(3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i
‫مثلنا‬ ‫فاذا‬ , ‫متجهين‬ ‫جمع‬ ‫هو‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫جمع‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬
‫بالنقطتين‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬1P‫و‬2P‫مجموعهما‬ ‫فان‬ ‫المستوي‬ ‫في‬
‫بالنقطة‬ ‫يمثل‬3P‫االضالع‬ ‫لمتوازي‬ ‫الرابع‬ ‫الرأس‬
3,P2,P1O,P‫حيث‬O. ‫االصل‬ ‫نقطة‬
‫العدد‬ ‫نمثل‬3+4i‫بالنقطة‬(3,4)1P
‫العدد‬ ‫نمثل‬5+2i‫بالنقطة‬(5,2)2P
‫حيث‬ ‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫نكمل‬ ‫ثم‬𝐎𝐏 𝟏
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,𝐎𝐏 𝟐
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫ضلعان‬
‫النقطة‬ ‫ونمثل‬ ‫متجاوران‬3P.‫العددين‬ ‫جمع‬ ‫ناتج‬
2) (6 - 2i) - (2 - 5i(
(6 - 2i) - (2 - 5i) = (6 - 2i) + (-2 + 5i)= 4 + 3i
‫الطرح‬ ‫عملية‬ ‫تعرف‬‫جمع‬ ‫عملية‬ ‫انها‬ ‫على‬
‫العدد‬ ‫نمثل‬2i-6‫بالنقطة‬2)-(6,1P
‫العدد‬ ‫نمثل‬i5+2-‫بالنقطة‬)5,2-(2P
‫الناتج‬ ‫فيكون‬ ‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫نكمل‬𝐎𝐏 𝟑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫جمع‬ ‫ناتج‬ ‫وهو‬
‫العددين‬
y
x
O(0,0)
P(x,y)
y
x
O(0,0) 2)-(6,1P
2,5)-(2P
(4,3)3P
y
xO(0,0)
(5,2)2P
(3,4)1P
(8,6)3P

‫التمارين‬ ‫حلول‬4–1
1)‫مث‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫ل‬:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬
z1 = 2+3i , z2 = -1+3i , z3 = 1-i , z4 = i
z2 = -1+3i = (-1,3)
-z2 = 1-3i = (1,-3) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z1 = 2+3i = (2,3)
-z1 = -2-3i = (-2,-3) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z4 = i =0 + i = (0, 1)
-z4 = - i = 0 - i = (0,-1) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z3 = 1- i = (1,-1)
-z3 = -1+ i = (-1,1) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
2)‫العدد‬ ‫اكتب‬‫مث‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫ل‬
z1 =8+3i , z2 =-3+2i , z3 =1-i , z4 = -2i
z2 = -3 + 2i = (-3, 2)
z2̅ = -3 - 2i = (-3,-2) ‫المرافق‬
z1 = 5 + 3i = (5, 3)
z1̅ = 5 - 3i = (5,-3) ‫المرافق‬
z4 = -2i = 0 - 2i = (0, -2)
z4̅ = 2i = 0 + 2i = (0,2) ‫المرافق‬
z3 = 1 - i = (1, -1)
z3̅ = 1 + i = (1,1) ‫المرافق‬
(1,-1)
(-1, 1)
(5,-3)
(5, 3)
(-3,-2)
(-3, 2)
(1,-1)
(1, 1)
(0,-2)
(0, 2)
(-1,3)
(1,-3)
(0,-1)
(0, 1)
1z
1z-
(2,3)
(-2,-3)

3)‫كان‬ ‫اذا‬z = 4+2i‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬:z , z̅ , −z
/‫الحل‬
z = 4 + 2i = (4 , 2)
z̅ = 4 – 2i = (4 , -2) ‫المرافق‬
−z = -4 – 2i = (-4 , -2) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
4)‫كان‬ ‫اذا‬2i-= 41z,2i+1=2z:‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
-3z2 , 2z1 , z1 – z2 , z1 + z2
z1 = 4 - 2i
2z1 = 2(4 - 2i) = 8 - 4i = (8,-4)
z2 = 1 + 2i
-3z2 = -3(1 + 2i) = -3 -6i = (-3,-6)
z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i
z1 + z2 = (4 - 2i) + (1 + 2i)
= 5 - 0i = (5, 0)
z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i
z1 - z2 = (4 - 2i) – (1 + 2i)
= (4 - 2i) + (-1 - 2i) = 3 - 4i = (3,-4)
(4, -2)
(4, 2)
(-4, -2)
(-3,-6)
(3,-4)
(-1,-2)
(4,-2)
(4,-2)
(5, 0)
(1, 2)
(8,-4)

[ 1 – 8 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
8 ]–[ 1:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬z = x +yi‫بالنقطة‬ ‫ومثلناه‬P(x,y)‫فان‬
(r,θ)‫للنقطة‬ ‫القطبيان‬ ‫االحداثيان‬ ‫هما‬P‫حيث‬O)‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬ ‫تمثل‬‫و‬OX⃑⃑⃑⃑⃑.‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬
‫يسمى‬r‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬z‫ويقرأ‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫وهو‬
(Mod z)‫له‬ ‫ويرمز‬‖z‖:‫حيث‬
r = ‖z‖ = √x2 + y2
‫المتجه‬ ‫يصنعها‬ ‫التي‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫اما‬OP⃑⃑⃑⃑⃑‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫مع‬
‫لها‬ ‫ويرمز‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬θ:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫ايجادها‬ ‫ويتم‬
cos θ =
x
r
=
x
‖z‖
⇒ R(z) = x = r.cos θ
sin θ =
y
r
=
y
‖z‖
⇒ 𝐈(z) = y = r.sin θ
‫حيث‬:R(z)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫للجزء‬ ‫يرمز‬(z)
I(z)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫للجزء‬ ‫يرمز‬(z)
‫تسمى‬θ‫بالشكل‬ ‫وتكتب‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬θ = arg(z)‫الفترة‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫القيمة‬ ‫وهي‬
[0, 2π)‫اما‬ ,θ + 2nπ‫(حيث‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫فتسمى‬n)‫صحيح‬ ‫عدد‬.
‫حول‬ ‫مالحظات‬:‫السعة‬ ‫ايجاد‬-
8-.‫للدالة‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫من‬ )‫المنسبة‬ ‫(الزاوية‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫نحدد‬
2-‫الزاوية‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬ ‫نحدد‬θ.‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫من‬ ‫او‬ ‫الدالة‬ ‫اشارة‬ ‫من‬
3-‫ربعية‬ ‫الزاوية‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬{0 ,
π
2
, π ,
3π
2
}‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬ ‫تحديد‬ ‫يتم‬ ‫وال‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫تحديد‬ ‫يتم‬ ‫فال‬
.‫الزاوية‬
‫مثال‬24/:‫من‬ ‫لكل‬ ‫للسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬
1) z1 = 1- √3i
z1 = 1- √3i =(1,- √3)
Mod(z) = ‖z‖ = r = √x2 + y2 = √1 + 3 = 2 unit ‫المقياس‬ ‫نجد‬
cos θ =
x
‖z‖
=
1
2
, sin θ =
y
‖z‖
=
− √3
2
‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫نجد‬
∴= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝝅
𝟑
: ‫الزاوية‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬-θ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
θ = arg(z) = 2π -
𝜋
3
=
5𝜋
3
𝜽
𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
0
𝝅
𝟐
𝝅
𝟑𝝅
𝟐
sin
𝟏
𝟐
𝟏
√ 𝟐
√ 𝟑
𝟐
0 1 0 -1
cos √ 𝟑
𝟐
𝟏
√ 𝟐
𝟏
𝟐
1 0 -1 0
Y
XO
P(x,y)
θ
r
y
x
❶+, y+x
sin+ , cos+
‫االسناد‬ ‫زاوية‬ = ‫السعة‬
❷+, y–
x
sin+ , cos–
𝜃 = 𝜋 − ‫االسناد‬
❹–
, y+x
sin–
, cos+
𝜃 = 2𝜋 − ‫االسناد‬
❸–
, y–
x
sin–
, cos–
𝜃 = 𝜋 + ‫االسناد‬
‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬
‫الديكارتية‬ ‫والصيغة‬

2) -1-i
z2 = -1- i =(-1, -1)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2 unit
cos θ =
x
‖z‖
=
−1
√2
, sin θ =
y
‖z‖
=
− 1
√2
𝝅
𝟒
,θ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬‫الثالث‬
θ = arg(z) = π +
𝜋
4
=
5𝜋
4
3) i
z3 = 0 + i =(0, 1)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √0 + 1 = 1 unit
cos θ =
x
‖z‖
= 0 , sin θ =
y
‖z‖
=
1
1
= 1
∴ θ =
𝜋
2
‫مثال‬25/‫كان‬ ‫اذا‬z‫مقياسه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬2‫وسعته‬
𝜋
6
‫للعدد‬ ‫الجبري‬ ‫الشكل‬ ‫جد‬ ,z.
/‫الحل‬
r = ‖z‖ = 2 , θ = arg(z) =
𝜋
6
‫نجد‬x‫من‬cos 𝛉:cos θ =
x
r
x = r . cos θ = 2 (cos
𝜋
6
) = 2 (
√3
2
) = √3
‫نجد‬y‫من‬sin 𝛉:sin θ =
y
r
y = r . sin θ = 2 (sin
𝜋
6
) = 2 (
1
2
) = 1
∴ z = x + yi = √3 + i
‫مثال‬26/‫االساسية‬ ‫سعته‬ ‫الذي‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جد‬
𝜋
4
‫التخيلي‬ ‫وجزءه‬
1
√2
.
‫من‬sin θ‫المقياس‬ ‫نجد‬r:-sin θ =
y
r
r =
y
sin θ
. =
1
√2
sin
𝜋
4
=
1
√2
1
√2
= 1
‫من‬cos θ‫نجد‬x:-cos θ =
x
r
x = r.cos θ = 1 . cos
𝜋
4
= 1(
1
√2
) =
1
√2
z =
1
√2
+
1
√2
i ‫العدد‬ ∴

‫مثال‬27/:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬
1) -2+2i = (-2,2)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √4 + 4 = √8 = 2 √2
cos θ =
x
r
=
−2
2√2
=
−1
√2
, sin θ =
y
r
=
2
2√2
=
1
√2
𝝅
𝟒
,θ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬‫الثاني‬
θ = arg(z) = π -
𝜋
4
=
3𝜋
4
:‫القطبية‬ ‫الصيغة‬-
z = r (cos θ + i sin θ) = 2√2 (cos
3𝜋
4
+ i sin
3𝜋
4
)
2) 2√3 - 2i = (2√3 , -2)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √12 + 4 = √16 = 4
cos θ =
x
r
=
2√3
4
=
√3
2
, sin θ =
y
r
=
−2
4
=
−1
2
𝝅
𝟔
,θ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
θ = arg(z) = 2π -
𝜋
6
=
11𝜋
6
z = r (cos θ + i sin θ) = 4 (cos
11𝜋
6
+ i sin
11𝜋
6
) ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
8)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫ان‬z = 0.‫اتجاه‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫وذلك‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬
2)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫بكتابة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫من‬ ‫االفادة‬ ‫ممكن‬z = x+yi‫بصورة‬
‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫تسمى‬ ‫اخرى‬Polar form:‫يأتي‬ ‫وكما‬
∵ x = r cos θ , y = r sin θ
∴ z = r cos θ + i r sin θ
= r(cos θ + i sin θ)
z = ‖z‖[cos (arg z)+ i sin (arg z)] ‫أو‬
:‫حيث‬r = Mod(z) = ‖z‖,θ = arg(z)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬z

‫مثال‬28/‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬:
b) ia) 1
d) -ic) -1
:‫نضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫السابق‬ ‫االستنتاج‬ ‫وبتطبيق‬
3 = 3 . 1 = 3(cos 0 + i sin 0)
-2 = 2 . (-1) = 2(cos 𝜋 + i sin 𝜋)
5i = 5 . i = 5(cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
-7i = 7 .(-i) = 7(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)
:‫نستنتج‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫من‬-
 1 = (cos 0 + i sin 0)
 -1 = (cos 𝜋 + i sin 𝜋)
 i = (cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
 -i = 1(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)
(1, 0)
Pz1 = (1,0) = 1+0i
mod z1 = 1
arg z1 = 0
∴ z1 = 1(cos 0 + i sin 0)
(0, 1)
Pz2 = (0,1) = 0+1i
mod z2 = 0
arg z2 =
𝜋
2
∴ z2 = 1(cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
(-1, 0)
Pz3 = (-1,0) = -1+0i
mod z3 = 1
arg z3 =
𝜋
2
∴ z3 = 1(cos 𝜋 + i sin 𝜋) (0, -1)
Pz4 = (0,-1) = 0- i
mod z4 = 1
arg z4 =
3𝜋
2
∴ z4 = 1(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)

[ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
9 ]–[ 1:‫ديمواڤر‬ ‫مبرهنة‬1z,2z‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫تكتب‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬:
z1 = cos∅ + i sin∅
z2 = cosθ + i sinθ
‫نجد‬ ‫االن‬2z.1z:
z1 . z2 = (cos∅ + i sin∅)( cosθ + i sinθ)
= cosθ cos∅ + i cosθ sin∅ + i sinθ cos∅ - sinθ sin∅
z1 . z2 = (cosθ cos∅ - sinθ sin∅) + i (cosθ sin∅ + sinθ cos∅)
z1 . z2 = cos(θ + ∅) + i sin(θ + ∅)
‫كانت‬ ‫واذا‬θ = ∅:‫تصبح‬ ‫العالقة‬ ‫فان‬
z1 . z2 = cos(2θ) + i sin(2θ)
: ‫فان‬ ‫المثلثات‬ ‫قوانين‬ ‫خالل‬ ‫ومن‬
cos(2θ) + i sin(2θ) = (cosθ + i sinθ)2
:‫البرهان‬
R.H.S = (cosθ + i sinθ)2
= cos2
θ + 2i sinθ cosθ - sin2
θ
=(cos2
θ - sin2
θ) + i(2sinθ cosθ) = cos2θ + i sin2θ = L.H.S
:‫لتصبح‬ ‫ذلك‬ ‫تعميم‬ ‫ويمكن‬
‫مثال‬29/: ‫احسب‬-4
)
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
(cos
(cos
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
)4
= cos 4(
3𝜋
8
) + i sin4(
3𝜋
8
) = cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
= 0 + i(−1)
∴ (cos
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
)4
= −i
‫مثال‬38‫لكل‬ ‫انه‬ ‫بين‬ /N∈n,Rθ ∈: ‫فان‬nθi sin-nθcos=n
)θsini-θcos(
L.H.S = (cosθ - i sinθ)n
= [cosθ + i (-sinθ)]n
= [cos(−θ) + i sin(−θ)]n
‫وبجعل‬β = − θ: ‫العالقة‬ ‫تصبح‬
= [cos β + i sin β]n
= cos nβ + i sin nβ = cos (−nθ) + i sin (−nθ)
= cos nθ - i sin nθ = R.H.S
‫مثال‬31/‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫احسب‬‫ڤ‬‫ر‬11
(1 + i)
z = (1+ i) = (1 , 1)
‫للعدد‬ ‫للسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫نجد‬z:
mod(z) = r = √2
cos θ =
1
√2
, sin θ =
1
√2
‫العدد‬ ‫نكتب‬z:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
z = r )cos θ + i sin θ( θ =
𝝅
𝟒
‫لكل‬N∈n,Rθ ∈:‫فان‬nθi sin+nθcos=n
)θsin+ iθcos(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬:‫ر‬‫لكل‬N∈n,Rθ ∈‫كان‬ ‫اذا‬)θ+ i sinθz = r(cos: ‫فان‬
zn
= rn
(cosθ + i sinθ)n
= rn
(cos nθ + i sin nθ)

z = √2 )cos
𝝅
𝟒
+ i sin
𝝅
𝟒
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نطبق‬‫ڤ‬:‫ر‬
zn
= rn
(cos nθ + i sin nθ)
z11
= (√2)11
(cos
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
)
∴ z11
= (2)
11
2 (cos
𝟑 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟑 𝝅
𝟒
)
∴ z11
= (2)5
1
2 (
−1
√2
+
1
√2
i)
z11
= 32 √2 (
−1
√2
+
1
√2
i) = 32 (-1+ i)
∴ (1 + i)11
= 32 (-1+ i)
:‫االتي‬ ‫بالشكل‬ ‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫تعميم‬ ‫ويمكن‬
(cosθ + i sinθ)-n
= cos(nθ) - i sin(nθ)
‫مثال‬32/‫المعادلة‬ ‫حل‬+ 1 = 03
x,ℂ∈x
x3
+ 1 = 0 ⇒ x3
= -1
‫العدد‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬-1‫المثال‬ ‫في‬ ‫سابقا‬ ‫مبين‬ ‫كما‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬21:
∴ x = (cos π + i sin π)
1
3
1
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
θ = π , n = 3
∴ x = (cos
π+2πk
n
+ i sin
π+2πk
n
) k = 0 , 1 , 2
k = 0 ⇒ x = (cos
π
3
+ i sin
π
3
) =
1
2
+
√3
2
i
k = 1 ⇒ x = (cos π + i sin π)= −1 + i(0) = −1
k = 2 ⇒ x = (cos
5π
3
+ i sin
5π
3
)
‫الزاوية‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬ ‫نحدد‬
5π
3
x = cos
5π
3
+ i sin
5π
3
= cos (2π −
π
3
) + i sin (2π −
π
3
)
= cos(
π
3
) − i sin(
π
3
) =
1
2
−
√3
2
i
∴: ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬{ −1 ,
1
2
+
√3
2
i ,
1
2
−
√3
2
i }
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬‫ڤ‬:‫ر‬‫لكل‬N , n > 1∈n,Rθ ∈:‫فان‬
√ 𝐳
𝐧
= 𝐫
𝟏
𝐧
𝟏 (𝐜𝐨𝐬
𝛉+𝟐𝛑𝐤
𝐧
+ 𝐢 𝐬𝐢𝐧
𝛉+𝟐𝛑𝐤
𝐧
)
‫حيث‬:k = 0 , 1 , 2 , … , n-1
‫الزاوية‬ ‫نحدد‬
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
‫االولى‬ ‫الدورة‬ ‫في‬
/‫مالحظة‬=
𝟑 𝝅
𝟒
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
=
𝟖 𝝅
𝟒
+
𝟑 𝝅
𝟒
cos
3 π
4
= cos (π −
π
4
) = -cos
π
4
=
−𝟏
√𝟐
sin
3 π
4
= sin (π −
π
4
) = sin
π
4
=
𝟏
√𝟐
/‫مالحظة‬θi sin-θcos=)θ-(i sin+)θ-(cos=1-
)θsin+ iθcos(

‫مثال‬33/‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫اوجد‬(√3 + i)
2
.‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫ليكن‬z = √3 + i
z = √3 + i = (√3 , 1)
‫و‬ ‫المقياس‬ ‫نجد‬‫ا‬‫للعدد‬ ‫لسعة‬z:
mod(z) = r = √3 + 1 = 2
cos θ =
√3
2
, sin θ =
1
2
, arg(z) =
π
6
∴ z = 2 )cos
π
6
+ i sin
π
6
( ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ z ‫العدد‬ ‫نكتب‬
‫نأخذ‬2
z‫وذلك‬‫ب‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫تطبيق‬‫ڤ‬:‫ر‬
z2
= 22
)cos
π
6
+ i sin
π
6
(2
= 4 )cos
π
3
+ i sin
π
3
(
‫للعدد‬ ‫الخامس‬ ‫الجذر‬ ‫نأخذ‬2
z:‫فيصبح‬
z
2
5
2 = [4 (cos
π
3
+ i sin
π
3
)]
1
5
2 = 4
1
5
2 (cos
π
3
+ i sin
π
3
)
1
5
2
= √4
5
(cos
π
3
+ i sin
π
3
)
1
5
2
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫نطبق‬‫ڤ‬‫ر‬:θ =
π
3
, n = 5
k = 0 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
π
15
+ i sin
π
15
)
k = 8 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
7π
15
+ i sin
7π
15
)
k = 2 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
13π
15
+ i sin
13π
15
)
k = 3 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
19π
15
+ i sin
19π
15
)
k = 4 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
25π
15
+ i sin
25π
15
) = √4
5
(cos
5π
3
+ i sin
5π
3
)
)‫(اثرائي‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬
: ‫كان‬ ‫اذا‬)θ1+ i sinθ1(cos1= r1z‫و‬)θ2+ i sinθ2(cos2= r2z
: ‫فان‬
z1 . z2 = r1. r2[cos(θ1+θ2)+ i sin(θ1+θ2)]
/‫مثال‬‫كان‬ ‫اذا‬)
π
6
+ i sin
π
6
(cos2=1z‫و‬)
2π
3
+ i sin
2π
3
(cos3=2z‫ناتج‬ ‫اوجد‬2. z1z‫ثم‬
.‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الناتج‬ ‫اكتب‬
/‫الحل‬
z1 . z2= 2(3)[cos(
π
6
+
2π
3
)+ i sin(
π
6
+
2π
3
)] = 6 [cos(
5π
6
)+ i sin(
5π
6
)] ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
= 6 [−
√3
2
+ i (
1
2
)] = −3√3 + 3i ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬
‫المثال‬ ‫صيغة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ /‫مالحظة‬: ‫يلي‬ ‫كما‬‫المقدار‬ ‫اوجد‬(√3 + i)
2
5

)‫(اثرائي‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫قسمة‬
: ‫كان‬ ‫اذا‬)θ1+ i sinθ1(cos1= r1z‫و‬)θ2+ i sinθ2(cos2= r2z
: ‫فان‬
z1
z2
=
r1
r2
[cos(θ1-θ2)+ i sin(θ1-θ2)]
‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مثال‬)
5π
6
+ i sin
5π
6
= 4(cos1z,)
π
6
+ i sin
π
6
(cos3=2z‫ناتج‬ ‫اوجد‬
z1
z2
‫اكتب‬ ‫ثم‬
.‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الناتج‬
/‫الحل‬
z1
z2
=
4
3
[cos(
5π
6
-
π
6
)+ i sin(
5π
6
-
π
6
)] =
4
3
[cos(
4π
6
)+ i sin(
4π
6
)]
=
4
3
[cos(
2π
3
)+ i sin(
2π
3
)] ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
z1
z2
=
4
3
[-cos(
π
3
)+ i sin(
π
3
)] =
4
3
(
−1
2
+
√3
2
i) =
2
3
(-1 + √3 i) ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬
8-:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫أحسب‬
a) [cos
5
24
𝜋 + i sin
5
24
𝜋]
4
= cos 4 (
5𝜋
24
) + i sin 4 (
5π
24
) = cos (
5𝜋
6
) + i sin (
5π
6
)
= cos (𝜋 −
𝜋
6
) + i sin (𝜋 −
𝜋
6
) = −cos (
𝜋
6
) + i sin (
𝜋
6
) = −
√3
2
+ 1
2
i
b) [cos
7
12
𝜋 + 𝑖 sin
7
12
𝜋]
−3
= cos 3 (
7𝜋
12
) − i sin 3 (
7π
12
) = cos (
7𝜋
4
) − i sin (
7π
4
)
= cos (2𝜋 −
𝜋
4
) − i sin (2𝜋 −
𝜋
4
) = cos (
𝜋
4
) + i sin (
𝜋
4
) =
1
√2
+
1
√2
i
2-‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫احسب‬‫ڤ‬:‫يأتي‬ ‫ما‬ )‫التعميم‬ ‫(او‬ ‫ر‬
a) (1 – i)7
/‫الحل‬‫العدد‬ ‫نكتب‬(1-i):‫والسعة‬ ‫المقياس‬ ‫بايجاد‬ ‫وذلك‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
z = 1 – i = (1,-1) ‫ليكن‬
r = Mod(z) = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2unit
cos θ =
x
r
=
1
√2
, sin θ =
y
r
=
−1
√2
𝝅
𝟒
‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫يقع‬ ‫العدد‬ ,
∴ θ = arg(z) = 2𝜋 −
𝜋
4
=
7𝜋
4
z = √2 )cos
𝟕𝝅
𝟒
+ i sin
𝟕𝝅
𝟒
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
z7
= (√2)7
(cos
𝟕 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟕 𝝅
𝟒
)7
= (√2)7
(cos
𝟒𝟗 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟒𝟗 𝝅
𝟒
)

z7
= 8√2 (cos
𝝅
𝟒
+ i sin
𝝅
𝟒
)
z7
= 8√2 (
1
√2
+
1
√2
i)
∴ (1 - i)7
= 8 + 8 i
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االسهل‬ ‫الحل‬ ‫فيكون‬ "‫ديمواڤر‬ ‫مبرهنة‬ ‫"باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬
(1 - i)7
= [(1 - i)2
]3
(1- i) = (1 - 2i - 1)3
(1- i) = (-2i)3
(1- i) = -8 i3
(1- i)
= 8i (1- i) = 8 + 8i
b) (√3 + i)-9
/‫الحل‬
z = √3 + i = (√3, 1) ‫ليكن‬
r = Mod(z) = √x2 + y2 = √3 + 1 = 2unit
cos θ =
x
r
=
√3
2
, sin θ =
y
r
=
1
2
𝝅
𝟔
‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫يقع‬ ‫العدد‬ ,
∴ θ = arg(z) =
𝜋
6
z = 2 )cos
𝝅
𝟔
+ i sin
𝝅
𝟔
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
z-9
= (2)-9
(cos
𝝅
𝟔
+ i sin
𝝅
𝟔
)-9
= (
1
29) (cos
𝟗𝝅
𝟔
- i sin
𝟗𝝅
𝟔
) =
1
512
(cos
𝟑𝝅
𝟐
- i sin
𝟑𝝅
𝟐
)
z-9
=
1
512
(0 – (-i)) =
1
512
i
3-:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫بسط‬
a)
(cos 2θ + i sin 2θ)5
(cos 3θ + i sin 3θ)3 =
[(cos θ + i sin θ)2]
5
[(cos θ + i sin θ)3]3 =
(cos θ + i sin θ)10
(cos θ + i sin θ)9 = cos θ + i sin θ
b) (cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
…..
‫بطريقتين‬
/‫الحل‬:‫االولى‬ ‫الطريقة‬
(cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
= (cosθ + i sinθ)8
(cosθ + i sinθ)-4
= (cosθ + i sinθ)4
= cos4θ + i sin4θ
:‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
(cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
= [(cosθ + i sinθ)2
]4
(cosθ - i sinθ)4
= [(cosθ + i sin4θ)2
(cosθ - i sinθ)]4
=[(cos2
θ + 2i cosθ sinθ - sin2
θ)(cosθ - i sinθ)]4
=[cos3
θ + 2i cos2
θ sinθ - cosθ sin2
θ - icos2
θ sinθ + 2cosθ sin2
θ - i sin3
θ]4
=[cos3
θ + i cos2
θ sinθ + cosθ sin2
θ + isin3
θ]4
=[(cos3
θ + cosθ sin2
θ) + (i cos2
θ sinθ + isin3
θ)]4
Hint: x4
y4
= (x.y)4
/‫مالحظة‬
49 𝜋
4
=
49 𝜋
4
− 12 𝜋 =
𝝅
𝟒
√2= 8(√2)6
(√2)=7
(√2)

رياضيات سادس علمي

رياضيات سادس علمي

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (12)

Similar to رياضيات سادس علمي

Similar to رياضيات سادس علمي (20)

More from Ahmed Mahdi

More from Ahmed Mahdi (6)

رياضيات سادس علمي