Numerical Solutions to Ordinary Differential Equations in Scilabguest92ceef
Techniques and methods for obtaining solutions to different kind of Ordinary Differential Equations is investigated in Scilab. The
approach is based on solving different kind of Ordinary Differential Equations with different method some which are user defined for example Euler's method and other which are ready made in Scilab for example Runge-Kutta, Fehlberg's runge-Kutta, Adams-Bashforth and Stiff (belonging to stiff category problems). Emphasis is placed on mathematical justifiation of the approach. Time required to complete a task and step size for desired accuracy of solution are the main concern and basis of comparison between methods. On the basis of this approach problem and difficulties in Scilab are observed and suggestions are made for their remedies.
Numerical Solutions to Ordinary Differential Equations in Scilabguest92ceef
Techniques and methods for obtaining solutions to different kind of Ordinary Differential Equations is investigated in Scilab. The
approach is based on solving different kind of Ordinary Differential Equations with different method some which are user defined for example Euler's method and other which are ready made in Scilab for example Runge-Kutta, Fehlberg's runge-Kutta, Adams-Bashforth and Stiff (belonging to stiff category problems). Emphasis is placed on mathematical justifiation of the approach. Time required to complete a task and step size for desired accuracy of solution are the main concern and basis of comparison between methods. On the basis of this approach problem and difficulties in Scilab are observed and suggestions are made for their remedies.
This Presentation Is Specially Made For Those Engineering Students Who are In Gujarat Technological University. This Presentation Clears Your All Doubts About Basics Fundamentals of Numerical Integration. Also You Will Learn Different Types Of Error Formula To Solve the Numerical Integration Sum.
Numerical Analysis and Its application to Boundary Value ProblemsGobinda Debnath
here is a presentation that I have presented on a webinar. in this presentation, I mainly focused on the application of numerical analysis to Boundary Value problems. I described one of the most useful traditional methods called the finite difference method. those who are interested to do research in applied mathematics, CFD, Numerical analysis may go through it for the basic ideas.
Computer Oriented Numerical Analysis
What is interpolation?
Many times, data is given only at discrete points such as .
So, how then does one find the value of y at any other value of x ?
Well, a continuous function f(x) may be used to represent the data values with f(x) passing through the points (Figure 1). Then one can find the value of y at any other value of x .
This is called interpolation
Newton’s Divided Difference Formula:
To illustrate this method, linear and quadratic interpolation is presented first.
Then, the general form of Newton’s divided difference polynomial method is presented.
Linear Combination, Span And Linearly Independent, Dependent SetDhaval Shukla
In this presentation, the topic of Linear Combination, Span and Linearly Independent and Linearly Dependent Sets have been discussed. The sums for each topic have been given to understand the concept clearly for viewers.
Regula Falsi or False Position Method is one of the iterative (bracketing) Method for solving root(s) of nonlinear equation under Numerical Methods or Analysis.
This Presentation Is Specially Made For Those Engineering Students Who are In Gujarat Technological University. This Presentation Clears Your All Doubts About Basics Fundamentals of Numerical Integration. Also You Will Learn Different Types Of Error Formula To Solve the Numerical Integration Sum.
Numerical Analysis and Its application to Boundary Value ProblemsGobinda Debnath
here is a presentation that I have presented on a webinar. in this presentation, I mainly focused on the application of numerical analysis to Boundary Value problems. I described one of the most useful traditional methods called the finite difference method. those who are interested to do research in applied mathematics, CFD, Numerical analysis may go through it for the basic ideas.
Computer Oriented Numerical Analysis
What is interpolation?
Many times, data is given only at discrete points such as .
So, how then does one find the value of y at any other value of x ?
Well, a continuous function f(x) may be used to represent the data values with f(x) passing through the points (Figure 1). Then one can find the value of y at any other value of x .
This is called interpolation
Newton’s Divided Difference Formula:
To illustrate this method, linear and quadratic interpolation is presented first.
Then, the general form of Newton’s divided difference polynomial method is presented.
Linear Combination, Span And Linearly Independent, Dependent SetDhaval Shukla
In this presentation, the topic of Linear Combination, Span and Linearly Independent and Linearly Dependent Sets have been discussed. The sums for each topic have been given to understand the concept clearly for viewers.
Regula Falsi or False Position Method is one of the iterative (bracketing) Method for solving root(s) of nonlinear equation under Numerical Methods or Analysis.
اختبار رياضيات ثانوي
اعداد مجموعة طلاب قسم الرياضيات
اشراف: د. عمر بشارة أحمد بشارة
أستاذ مشارك : جامعة دنقلا
Dr. Omer Boshara Ahmed
University of Dongola
Mathematical description of Legendre Functions.
Presentation at Undergraduate in Science (math, physics, engineering) level.
Please send any comments or suggestions to improve to solo.hermelin@gmail.com.
More presentations can be found on my website at http://www.solohermelin.com.
دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...Naglaa Yassin
قدم هذا المشروع ضمن متطلبات الحصول على درجة الليسانس في تخصص المكتبات والمعلومات كلية الآداب جامعة مصراته - ليبيا. بعنوان دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة الكلية االجزء الثاني
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...أمل التَّميمي
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام، بعنوان التَّقنية وأثرها في الحياة ، أستاذة المقرر د أمل بنت الخياط التميمي
نشاط ذوات4 برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بج...أمل التَّميمي
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام، بعنوان التَّقنية وأثرها في الحياة ، أستاذة المقرر د أمل بنت الخياط التميمي
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام...أمل التَّميمي
برنامج النّشاط الصَّفي لمقرر التحرير العربي لطالبات كلية الآداب بجامعة الدمام، بعنوان التَّقنية وأثرها في الحياة ، أستاذة المقرر د أمل بنت الخياط التميمي
دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة كلية الآداب جامعة مصراتة الجزء ا...Naglaa Yassin
قدم هذا المشروع ضمن متطلبات الحصول على درجة الليسانس في تخصص المكتبات والمعلومات كلية الآداب جامعة مصراته - ليبيا. بعنوان دليل الإنتاج الفكري في مجال علم النفس بمكتبة الكلية االجزء الأول
هذه محاضرة الى الاستاذ الدكتور / رجب الكلزة وكان العرض لى ومجموعة زملاء العمل فى الدبلومة المهنية عام 2010 قسم مناهج وطرق تدريس تحية الى جميع الاساتذة والدكاترة لى فى جامعة الاسكندرية
هناء أحمد محمد إبراهيم معلم حاسب آلى باحثة ماجيستر مناهج وطرق تدريس حاسب آلى معهد الدراسات والبحوث التربوية جامعة القاهرة
لقد تعلمنا كيف يكون التطوير من أستاذنا رحمة الله علية رجب الكلزة
تعدّدت نظريات التعلم، ومن أهمّها نظرية التعلّم بالإستقبال لأوزوبل... هذه النظرية معتمدة في كافة المراحل التعليمية، وذلك لبساطتها ولكثرة تطبيقاتها التربوية في التعليم.
10. فهرس المحتويات
أوًا:ًفهرسًالمحتوياتً
ل
هـ-ًو المقدمــــــــةًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً
71-1ً البابًاألول:ً المبادىءًاألساسيةًوتصنيفًالمعادلتًالتفاضلية ً
79-91ً البابًالثانى:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًاألولىًوالدرجةًاألولىًًًً
21 مقدم ـ ـ ــة
11 لا : فصل المتغي ات )(Separation of variables
ر أو
82 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت يمكن تحويلها إلى معادلت يتم حلها بفصل
المتغي ات
ر
23 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : المعادلت التفاضلية ذات المعامالت المتجانسة
63 ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلت تفاضلية تؤول إلى معادلت تفاضلية متجانسة
ر
14 خامس ا : المعادلة التفاضلية التامة ()Exact
54 سادسا : معادلت تفاضلية تُحول إلى تامة عن طريق عامل المكاملة
75 سابع ـ ا : المعادلت التفاضلية الخطية
06 ثامنـ ـ ـ ا : معادلت تؤول إلى معادلت تفاضلية خطية
76 تاسع ا : معادلة ريكاتي
07 عاشر : طريقة تغيير البا امت ات ()Variation of Parameters
ر ر ا
27 الحادي عشر : تبديل المتغي ات المستقلة مكان المتغي ات التابعة
ر ر
67 الثاني عشر : تطبيقات على المعادلت التفاضلية
971-99ً المعادلتًالتفاضليةًالخطيةًمنًالرتبًالعليا ً البابًالثالث:ً
101 مقدم ـ ـ ــة
901 لا : المعادلت التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت الثابتة
أو
711 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طرق إيجاد الحل الخاص () Particular Solution
711 (2-1) طريقة المؤثر التفاضلي العكسي
031 (1-1) طريقة تغيير البارمت ات
ا ر
141 (3-1) طريقة المعامالت غير المحددة
___________________________________________________________
-ط-
11. فهرس المحتويات
251 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة ذات المعامالت المتغي ة
ر
122 (2-3) معادلة كوشي أويلر ))Cauchy-Euler
522 (1-3) معادلة ليجندر الخطية
602 (3-3) طريقة التحليل )(Method of Factorization
302 (4-3) تخفيض الرتبة )(Reduction of order
471 ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية اآلنية
ر
971-181ً البابًال ابع:ً المعادلتًالتفاضليةًمنًالرتبةًًاألولىًوالدرجاتًالعلياً
ر
382 مقدم ـ ـ ــة
481 لا : معادلت تفاضلية تُستبدل بمعادلت تفاضلية من الدرجة األولى أو
681 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة إلى x
881 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: معادلت يمكن حلها بالنسبة الى y
191 ابعـ ـ ـ ـ ـ ا : معادلة كليرو )(Clairaut Equation ر
491 خامس ا: معادلة لج انج )(Lagrange's Equation
ر
البابًالخامس:ً حلًالمعادلتًالتفاضليةًباستخدامًالمتسلسالتًالالنهائيةًًًً 240-771ً
102 مقدم ـ ـ ــة
502 لا : مفكوك تيلور ()Taylor
أو
012 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : الحل قرب النقطة العادية
222 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: الحل قرب النقطة الشاذة المنتظمة (فروبينيس) ()Frobenius
البابًالسادس: ً الحلولًالعدديةًللمعادلتًالتفاضليةًالعاديةًًًًًًًًًًًً 880-140ً
341 مقدم ـ ـ ــة
442 لا : طريقة أويلر( )Eulerلحل المعادلت التفاضلية العادية
أو
352 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادلت التفاضلية
362 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة
ر
172 ابعـ ـ ـ ـ ـا: طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل مجموعة من
ر ر
المعادلت التفاضلية ذات الرتبة األولى
___________________________________________________________
-ي-
12. فهرس المحتويات
372 خامس ا : طريقة رونج كوتا من الرتبة ال ابعة لحل المعادلت التفاضلية
ر
من الرتبة الثانية
082 سادس ا : طريقة الفروق المحدودة لحل المعادلت التفاضلية العادية
933-780ً
ًًًًًًًًًًًًًًًًًًً البابًالسابع :ً تحويالتًًلبالسًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًًً
192 مقدم ـ ـ ــة
492 لا : تحويالت لبالس لبعض الدوال
أو
892 ثانيـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا : خواص تحويالت لبالس
013 ثالث ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس العكسي
523 ابعـ ـ ـ ـ ـ ا: تحويالت لبالس لحل المعادلت التفاضلية الخطية العادية
ر
ذات المعامالت الثابتة
133 خامس ا: حل مجموعة من المعادلت التفاضلية الخطية
333 سادسا : معادلة فولتر التكاملية ()Volterra integral equation
ا
443-733ً الـملحق : المرشدًالوجيزًفيًًًًًًًًًًًًًًًًًً ًًًًًًًMATLAB
203 الم اجع ً
ر
963 دليلًالمصطلحاتًً
___________________________________________________________
-ك-
13. فهرس األشكال
ثانيـــــــــــــً:ًفهرسًاألشكالً
ا
3 شكلً(1-1): عائلة الدوال y x 2 cلقيم مختلفة من الثابت c
12 2x
y ceلقيم 3ً c 1, 2, 2
شكل(0-1):ًعائلة الدوال
41 شكلً(1-0): قانون نيوتن الثاني للحركةً
01 عة مع الزمنًشكلً(0-0): منحنى السر
05 شكلً(3-0): سقوط جسمً
95 شكلً(4-2): هبوط الجهد لكل من المكثف والملف والمقاومةً
68 شكلً(5-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف
ر
28 شكلً(4-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة مكثف.
ر
18 شكلً(9-0): دائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف.
ر
08 شكلً(8-0): مشكلة تخفيف التركيز
58 شكلً(7-0): تحت المماس وتحت العمودى
88 شكلً(21-0): عائلة المنحنيات التي تمثل المعادلة ) x 4(y c
2
98 شكلً(11-0): المسا ات المتعامدة
ر
29 شكلً(01-0): تمثيل المسا ات المتعامدة
ر
09 شكلً(31-0):ًدائ ة كهربية تحتوي على مقاومة وملف
ر
061 شكلً(1-5): العالقة ما بين الحل التحليلي والحل بمفكوك تيلور
861 شكلً(2-5): العالقة مابين الحل بالطرق العددية والحل بمفكوك تيلورً
611 ليجندر ) Pn (x شكلً(3-5): كثي ات حدود
ر
241 شكلً(1-6): الخطوة األولى باستخدام طريقة أويلر
041 شكلً(2-6): العالقة التكررية باستخدام طريقة أويلر
ا
941 شكلً(3-6): مقارنة الحل التقريبيي عند 2.0 h بالحل التام
941 شكلً(4-4): تأثير تغير طول الخطوة على دقة الحل باستخدام طريقةًأويل.ً
221 شكلً(5-4): الحل التقريبي باستخدام طريقة أويلر والحل التحليلي.
821 شكلً(4-4): مقارنة الحل التقريبي بطريقة هينز، عند 1.0 h بالحل التام
___________________________________________________________
-س-
14. فهرس األشكال
101 شكلً(9-4): مقارنة الحل التقريبي للثالثة طرق بطول خطوة مقدا ه 2.0 h
ر
201 شكلً(8-4): نتائج الحل باستخدام طريقة رونج من الرتبة ال ابعة والحل التام
ر
651 شكلً(7-4): تغير درجة الحر ة بالكلفن مع الزمن
ار
551 شكلً(21-4): العالقة مابين كل من y,vمع x
551 شكلً(11-4): وصف حركة البندول
951 شكلً(01-6): الحركة المخمدة لحركة البندول
281 شكلً(31-4): عتب مثبت على دعامات
281 شكلً(41-4):الفروق المحدوده باستخدام طريقة التقريب الفرقي المقسم األوسط
181 شكلً(51-6): الفروق المحدوده من 0 x إلى 57 x باستخدام 52 h
481 شكلً(61-6): الفروق المحدوده من 0 x إلى 1 x باستخدام 52.0 h
191 شكلً(1-7): التصال المجز
أ
491 شكلً(2-7): دالة خطوة الوحدة
491 شكلً(3-7): حالة خاصة من دالة خطوة الوحدة
663 شكلً(4-7): الدالة ) G (tكدالة في دالة خطوة الوحدة
563 شكلً(5-7): دالة دورية دورتها 0> pمعرفة لقيم 0> t
863 شكلً(6-7): دالة دورية دورتها 1= pمعرفة لقيم 0> t
963 شكلً(9-9): دالة دورية دورتها p = 2معرفة لقيم 0> t
143 شكل(م-1): ظهر أيقونة البرنامج فور إعداده
343 شكل(م-0): الواجهة األساسية للبرنامج فور تشغيلة
443 شكل(م-3): نافذة األوامرً
443 شكل(م-4): نافذة فضاء العملً
443 شكل(م-5): نافذة فضاء العملً
443 شكل(م-4): نافذة المسار الحاليً
243 شكل(م-9): نافذة الوامروفضاء العمل لدخال بعض المتغي اتً
ر
243 شكل(م-8): التخصيصً
___________________________________________________________
-ع-
29. حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية
xi 1 xi hyi
yi 1 yi h 0.5xi 0.5yi
ti 1 ti h
ق : نر 0 i ح ل 2 x 0 1, y0 اناط ح ل
2 x1 x 0 0.5y0 1 0.5(2)
57.1 y1 y0 0.5 0.5x 0 0.5y0
حلقمك حلحقرمتم لي x , yنر 5.0 t 1x1, y إل عم
ثطنمط : نر 1 i ح ل 57.1 x1 2, y1 اناط ح ل
578.2 x 2 x1 0.5y1
5218.1 y2 y1 0.5 0.5x1 0.5y1
حلقمك حلحقرمتم لي x , yنر 1 t إل 2x 2 , y عم
ثطلثط : نر 2 i ح ل 587.2 x 2 2.875, y 2 اناط ح ل
52187.3 x 3 x 2 0.5y2
521870.2 y3 y2 0.5 0.5x 2 0.5y2
حلقمك حلحقرمتم لي x , yنر 5.1 t إل 3x 3 , y عم
حت ط : نر 3 i ح ل 521870.2 x3 3.78125, y 3 اناط ح ل
ر
3028.4 x 3 x 3 0.5y3
9305.2 y4 y3 0.5 0.5x 3 0.5y3
حلقمك حلحقرمتم لي x , yنر 2 t إل 4x 4 , y عم
___________________________________________________
-252-
30. الباب السادس
ثانيا : طريقة رونج كوتا من الرتبة الثانية لحل المعادالت التفاضلية
ررمي طرمق طرمق ر نج ا حط ال حلرحت حلثطنم ()Runge-Kutta 2nd Order
ح يحخرك لعيل حلا يطرق مرال لاط تطلرال 2 RKحلح حلحلطلأم حل طرم لعل حلا طرق
أ حلص ة (6.6)
ر حلحلطلأم
dy
0 f x , y , y 0 y )6.6( ------------
dx
حلص ي ة
ر ااييط نالعييظ قتيير ل ححع ي ل حلا طرل ي حلحلطلييأم حل طرم ي اييل حلرحت ي حأل ل ي إل ي
مأر. لع ح طرمق (6.6) ااط تق ح لم
إل حلصي ي ة yi 1 yi f xi , yi hعمي ي
ر أي ي مأ يير ي ي حي ي ار ل ا طرلي ي
يينقرك إ ييحنحطدط ، h xi 1 xiلاي ي نلا ييك ا ييط ي ي طرمقي ي ر ن ييج ا ح ييط لأرحتي ي حلثطنمي ي
لع ااط مأ مأر تط حخرحك الا ع حمأ ر ))Taylor Expansion لطرمق
dy 1 d y 2
yi 1 yi xi 1 xi xi 1 xi
2
dx xi ,yi 2 2 ! dx xi ,yi
1 d 3y
xi 1 xi ...
3
3 3 ! dx xi ,yi
dy
نعصل أ عم إل f x , y
dx
1
yi f (xi , yi ) xi 1 xi f '(xi , yi ) xi 1 xi ...
2
1yi
!2
)7.6( ---
1
1yi ... yi f xi , yi h f x i , yi h
2
!2
ااط نالعظ ند ت اطل حلعر ر إتحرحءح ال حلعر حلثطل ، نعصل أ حلا طرل حلحطلم
yi 1 yi f xi , yi h
ناييط طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي مأيير أ ي مأيير ت ي لع مااييل ح ييام طرمق ي ي ا طرل ي
ي ايل حلعير ر حلحي ي م حلطرمقي حأل لي ( )Runge-Kutta 1st orderماي ل حلخطين حي
حك ع حاط
3 f xi , yi 2 f xi , yi
Et h ... h )8.6( -----------
!2 !3
___________________________________________________
-352-
31. حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية
نعصييل أ ي ي ف ننخ ي عييرح حلييطحمط تا ن ي جظاييطر طرمق ي ر نييج ا حييط لأرحت ي حلثطنم ي
ثالث عر ر اطلحطل
1
yi 1 yi f x i , yi h f x i , yi h 2
!2
)9.6( ---------
2 1
1yi yi hf i h f i
!2
اأا ييط، تل ييرل أي ي اث ييطل ييرري لنح ييرف أي ي املمي ي ر ن ييط حآلل نن ييطلل حأ ييع حلطرمقي ي
حلا طرل حلحلطلأم حلحطلم
dy
5 e 2 x 3y, y 0
dx
انا ي ييط ماي ي ي ل f x , y e 2x 3yنالع ي ييظ ل f x , y رحلي ي ي حي ي ي x , yحاي ي ي ل
حلا حق حأل ل لاط أ حلنع حلحطل
f x , y f x , y dy
f x, y )01.6( ------------
x y dx
ثك تطلح مل تقما حلرحل f x , y e 2 x 3y
f x, y
x
e 2x 3y e 2x 3y e 2x 3y
y
2e 2 x (3) e 2 x 3y 5e 2 x 9y
تطلح مل تطلا حق حأل ل ح حل الل (9.6) نعصل أ
yi 1 yi e 2 xi 3yi h 1
!2
2 5e 2 xi 9yi h
لأعصي ل تا ح عصأنط أ حل الل حلاطأ تي ، لايل يل قعظي اقرح حلا يق حلحي تي ل
ذ ر
ليع اايط ل صمطت ال لحأيع حل اللي أ حلا حق حأل ل ، f x , y ل ح نتع
مأ :
أ حلص ة حلحطلم
ر ماال احطت حلا حق حأل ل
f x , y f x , y dy dy
f x, y f f x fy
x y dx dx
___________________________________________________
-452-
32. الباب السادس
dy
f f x f y fتيطلح مل نايط نعصيل أي تط حخرحك حل الل f x , y
dx
ح حل الل (6.6) لنعصل أ
h f x fy f
2 1
yi 1 yi hf i
!2 i
حلص ة حلحطلم
ر حلح ححع ل إل
2h 2h
yi 1 yi hf i )11.6( --------- f x i f y i f i
!2 !2
نق ك تلرل حلا طرل حلحطلم لحاثل ا طرل ر نج ا حط لأرحت حلثطنم حآلل
yi 1 yi a1k1 a 2k 2 h
(66.6) ---
k1 f xi , yi , k 2 f xi p1h , yi q11k1h
حلص ة )21.6(
ر نعط ل لال حلا طرل )11.6( أ ء حلحطل
ح حلدل
ق: ر نط حآلل نق ك تلع حلاقرحر 2 kتط حخرحك الا ع حمأ ر
k2 f xi p1h , yi q11 k1 h f i p1h f x i q11 f i h f y
i
ثطنمط : تطلح مل ل لما 2 kح حلا طرل (66.6) نعصل أ
yi 1 yi a1k1 a 2k 2 h yi 1 yi a1 k1 h a 2 k 2 h
yi 1 yi a1 f i h a 2 f i p1h f x i q11 f i h f y h
i
yi 1 yi a1 a 2 h f i a 2 p1h 2 f x i a 2q11h 2 f y f i
i
ثطلثط : تاقطرن حلا طرل حلنطحد اال ا طرل ر نج ا حط )21.6( نعصل أ
1 1
(36.6) --------------------- a1 a2 1, a2 p1 , a2 q11
2 2
ادط مل، لعأاط نق ك تلرل احغمر رت ا طرق نالعظ نط ننط عصأنط أ ثال
لنعصل أ حلثالث حأل إل، ت ال طك ح ننط ن حخرك لما 2 aلأعص ل أ حلثالث
خر
2 1
أ لحنحج ثالث طرق اخحأل ، ,1 , حألخ إل حنخ 2 aثالث حعحاطق
ر
3 2
منل ( )Heun’s Methodطرمق حلنقط حل ط ()Midpoint method حلحرحمو طرمق
طرمق حل ح ل (. )Ralston’s method
ر
___________________________________________________
-552-
33. حل المعادالت التفاضلية باستخدام المتسلسالت الالنهائية
طريقة هينز ()Heun’s Method
1 1
a1 ال ثك حلح مل ح نلرل ل a2 لنعصل أ 1 , p1 1, q11
2 2
حلا طرل (21.6) لنعصل أ
1 1
yi 1 yi k1 k 2 h
2 2 (46.6) --------
k1 f xi , yi , k 2 f xi h , yi k1h
إعرإل ص ر طرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم منل ح ا حأع حلطرمق تطرمق
طريقة النقطة الوسطى ()Midpoint Method
1 1
a1 0, p1 , q11 ال ثك حلح مل ح نلرل ل 1 a2 لنعصل أ
2 2
حلا طرل (21.6) لنعصل أ
yi 1 yi k 2h
1 1 (56.6) -----
k1 f xi , yi , k 2 f x i h , yi k1h
2 2
ي إعيرإل صي ر طرمقي ر نيج ا حيط لأرحتي ح ا حأع حلطرمق تطرمق حلنقط حل ط
حلثطنم
طريقة الستون ()Ralston’s method
ر
1 3 3 2
a1 , p1 ا ييل ث ييك حلح ي ي مل , q11 a2 لنعص ييل أي ي نل ييرل ل
3 4 4 3
ح حلا طرل (21.6) لنعصل أ
1 2
yi 1 yi ( k1 k 2 )h
3 3
(66.6) ------
3 3
k1 f x i , yi , k 2 f x i h , yi k1h
4 4
حلص ة حلثطلث لطرمق ر نج ا حط لأرحت حلثطنم
ر ح ا حأع حلطرمق تطرمق حل ح ل
ر
___________________________________________________
-652-
34. الباب السادس
ني يير 1 x تا أ ام ي ي مثااااال (6-6): دي يير عي ييل حلا طرل ي ي حلحلطلي ييأم y y x
1 y (0)
حلع ييل
أ حلص ة 1=)0( y x y, yاناط ح ل f ( x, y) x y
ر ناحو حلا طرل
لع تلرل ل 1.0 h لنعصل أ منل (46.6) ن حخرك طرمق
, k1 f x i , yi k1 x i yi
k 2 f x i h , yi k1h k 2 x i h yi k1h
1 1
yi 1 yi k1 k 2 h
2 2
ق: نر 0 ، i نعصل أ
1k1 f x0 , y0 k1 x0 y0
8.0k2 x0 h y0 k1h 0 0.1 1 (1)(0.1)
1 1 1 1
19.0 y1 y0 k1 k2 h 1 1 0.8 0.1
2 2 2 2
ثطنمط : نر 1 ، i نعصل أ
18.0 k1 f x1 , y1 k1 x1 y1 0.1 0.91
926.0k2 x1 h y1 k1h 0.1 0.1 0.91 (0.81)(0.1)
1 1 1 1
838.0 y2 y1 k1 k2 h 0.91 0.81 0.629 0.1
2 2 2 2
تحا حر اط تق نعصل أ
ر
1 y0 y (0) 8896.0 y6 y (0.6)
19.0 y1 y (0.1) 4496.0 y7 y (0.7)
838.0 y2 y (0.2) 0007.0 y8 y (0.8)
4287.0 y3 y (0.3) 5417.0 y9 y (0.9)
6147.0 y4 y (0.4) 1737.0 y10 y (1.0)
0417.0 y5 y (0.5)
تط ييحخرحك طرمق ي ر نييج م ل ي حل الل ي تييمل حلعييل حلحييطك حلعييل حلحقرمت ي حل ييال حلحييطل
مأر منل) نالعظ ناط حلل تاثمر ال طرمق ا حط حلرحت حلثطنم (طرمق
___________________________________________________
-752-