تتناول الوثيقة موضوع التطبيقات في الرياضيات ومتوسطها، حيث يقدم الأستاذ أحمد الشمري مجموعة من الأمثلة والتمارين المتعلقة بالعلاقات الرياضية والتطبيقات بينها. تشمل الوثيقة مفاهيم أساسية مثل قيم المجال والمدى، بالإضافة إلى طرق رسم المخططات البيانية السهمية. تم تقديم أمثلة عملية لتوضيح كيفية الربط بين المجموعات وتطبيق الدوال الرياضية.

1. ‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169371‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
2016 / 2017
‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫متوسط‬ ‫الثالث‬

2. ‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169372‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937

3. ‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169373‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
2016 / 2017
‫ا‬
‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫متوس‬ ‫الثالث‬‫ط‬

4. ‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169374‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937

5. [1-1]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169375‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫ا‬‫لفصل‬‫االول‬(‫التطبيقات‬):
]1–1[‫التطبيق‬:
1-‫قيم‬A‫قيم‬ ‫تمثل‬x‫المجال‬ ‫وتسمى‬x = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}.
2-‫قيم‬B‫قيم‬ ‫تمثل‬y‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫وتسمى‬y = {a , b , c , d}.
3-‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫صور‬A‫المجموعة‬ ‫في‬B‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫تسمى‬‫حيث‬
= ‫التطبيق‬ ‫مدى‬{a , b , d}.‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫وهو‬
4-r‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫بين‬ ‫العالقة‬ ‫تمثل‬A‫المجموعة‬ ‫وعناصر‬B
:‫اذا‬ ‫وفقط‬ ‫اذا‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫وتسمى‬
a.‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫لكل‬A.‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫سهم‬ ‫يخرج‬
b.‫في‬ ‫عنصر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬A.‫سهم‬ ‫بدون‬
5-‫التالية‬ ‫بالصيغة‬ ‫التطبيق‬ ‫يكتب‬(r‫من‬ ‫عالقة‬A‫الى‬B: )
r : A → B
r = {(0,0) , (1,1) , (2,4) , (-1,1) , (-2,4)} ‫مرتبة‬ ‫ازواج‬
‫مثال‬1/:‫الشكل‬ ‫الحظ‬-‫لتكن‬A‫ولتكم‬ ،‫طالب‬ ‫مجموعة‬B‫والعالقة‬ ،‫لغات‬ ‫مجموعة‬r‫من‬ ‫معرفة‬A
‫الى‬B"‫"يدرس‬ ‫عالقة‬ ‫هي‬:‫كانت‬ ‫فاذا‬ ،
‫مثال‬2/
0
1
2
-1
-2
0
1
4
A B
r
x y
x x2
r(x) = x2
‫االقتران‬ ‫قاعدة‬

6. [1-1]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169376‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫مثال‬3/‫كانت‬ ‫اذا‬A = {1,2,-3}‫و‬B = {2,3,-2,-4}،f: ‫كاالتي‬ ‫معرف‬ ‫تطبيق‬-f : A → B‫حيث‬
x → x + 1:‫المطلوب‬ ،-
:ً‫ال‬‫او‬‫التطبيق‬ ‫اكتب‬f.‫لمرتبة‬ ‫األزواج‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫شكل‬ ‫على‬
:ً‫ا‬‫ثاني‬.‫هندسي‬ ‫بمخطط‬ ‫مثله‬
:ً‫ا‬‫ثالث‬‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫اوجد‬f.
/‫الحل‬:ً‫ال‬‫او‬
:ً‫ا‬‫ثاني‬‫السهمي‬ ‫المخطط‬
‫ثا‬:ً‫ا‬‫لث‬= ‫التطبيق‬ ‫مدى‬{2,3,-2}
‫مثال‬4/‫كانت‬ ‫اذا‬Q→: Ag‫حيث‬Q‫النسبية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬}3-,1,1,2-= {A،4-2
g(x) = x
1).‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫اوجد‬
2).‫للتطبيق‬ ‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫ارسم‬
3).‫عناصره‬ ‫بذكر‬ ‫التطبيق‬ ‫اكتب‬
/‫الحل‬
f

7. [1-1]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169377‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫مثال‬5/
‫مثال‬6/
N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , …} ‫ا‬‫الطبيعية‬ ‫العداد‬‫والصفر‬ ‫الموجبة‬ ‫الصحيحة‬ ‫االعداد‬ ‫وهي‬
Z = {…,-2 , -1 , 0 , 1 , 2 , …} ‫الصحيحة‬ ‫االعداد‬‫والصفر‬ ‫والسالبة‬ ‫الموجبة‬
Q = ‫النسبية‬ ‫االعداد‬‫صحيحة‬ ‫اعداد‬ ‫ومقامها‬ ‫بسطها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫كسرية‬ ‫االعداد‬ ‫هي‬

8. [1-1]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169378‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
1-1 ‫تمارين‬
‫س‬1/‫كان‬ ‫اذا‬r : A → B‫وكانت‬B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } , A = { a , b , c }
1) r = {(a , 4) , (b , 7) , (c , 3)}
2) r = {(a , 3) , (b , 3) , (c , 3)}
/ً‫ال‬‫او‬‫هل‬r.‫ولماذا‬ ً‫ا‬‫تطبيق‬/ً‫ا‬‫ثاني‬.‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫ارسم‬
/‫الحل‬
1) r = {(a , 4) , (b , 7) , (c , 3)}
/ً‫ال‬‫او‬r‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫الن‬ ‫تطبيقا‬ ‫يمثل‬A‫يرتبط‬
‫من‬ ‫واحد‬ ‫بعنصر‬B
‫السهمي‬ ‫المخطط‬
2) r = {(a , 3) , (b , 3) , (c , 3)}
/ً‫ا‬‫ثاني‬r‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫الن‬ ‫تطبيقا‬ ‫يمثل‬A‫يرتبط‬
‫من‬ ‫واحد‬ ‫بعنصر‬B
‫السهمي‬ ‫المخطط‬
‫س‬2/‫كانت‬ ‫اذا‬A‫الطبيعية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬‫من‬ ‫األصغر‬ ‫الزوجية‬7‫وكانت‬B‫الطبيعية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬
‫من‬ ‫األصغر‬ ‫الفردية‬8،f‫من‬ ‫عالقة‬A‫الى‬B‫حيث‬f(x) = x+1.
/ً‫ال‬‫او‬‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫ارسم‬/ً‫ا‬‫ثاني‬f‫ولماذا؟‬ ، ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫يمثل‬
/‫الحل‬
A = { 0 , 2 , 4 , 6 } ‫األ‬ ‫الزوجية‬ ‫الطبيعية‬ ‫االعداد‬‫من‬ ‫صغر‬7
B = { 1 , 3 , 5 , 7 } ‫من‬ ‫األصغر‬ ‫الفردية‬ ‫الطبيعية‬ ‫االعداد‬8
a
b
c
3
4
5
6
7
A
B
r
a
b
c
3
4
5
6
7
BA
r

9. [1-1]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-077045169379‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
/ً‫ال‬‫او‬
x → x + 1
0 → 0 + 1 = 1
2 → 2 + 1 = 3
4 → 4 + 1 = 5
6 → 6 + 1 = 7
/ً‫ا‬‫ثاني‬f‫في‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫الن‬ ، ً‫ا‬‫تطبيق‬ ‫يمثل‬A‫في‬ ‫واحد‬ ‫بعنصر‬ ‫يرتبط‬B
‫س‬3/‫كانت‬ ‫اذا‬A = {1 , 2 , -2 , -3}‫وكان‬g: A → Z‫كان‬ ‫اذا‬ ‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫جد‬𝒈(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟑
/‫الحل‬
g(1) = 5(1) - 3 = 2
g(2) = 5(2) - 3 = 7
g(-2) = 5(-2) - 3 = -13
g(-3) = 5( -3) -3 = -18
= ‫التطبيق‬ ‫مدى‬}18-,13-,7,2{
‫س‬4/‫لتكن‬A‫االثرية‬ ‫المناطق‬ ‫مجموعة‬‫العراق‬ ‫في‬}‫الملوية‬ ، ‫الحضر‬ ، ‫عشتار‬ ‫باب‬{A=
‫ولتكن‬}‫بغداد‬ ، ‫بابل‬ ، ‫الدين‬ ‫صالح‬ ،‫قار‬ ‫ذي‬ ، ‫البصرة‬ ، ‫الموصل‬ ، ‫كركوك‬{B=‫وان‬r : A → B‫انسب‬
.‫تختاره‬ ‫سهمي‬ ‫بمخطط‬ ‫عراقية‬ ‫محافظة‬ ‫لكل‬ ‫االثرية‬ ‫المناطق‬
/‫الحل‬
‫س‬5/‫كان‬ ‫اذا‬f : N → Q‫حيث‬𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8
ً‫ال‬‫او‬/.‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫اكتب‬
/ً‫ا‬‫ثاني‬‫كان‬ ‫اذا‬f(x) = 16‫قيمة‬ ‫فجد‬x.
/ً‫ا‬‫ثالث‬.‫التطبيق‬ ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫المرتبة‬ ‫األزواج‬ ‫مجموعة‬ ‫اكتب‬
0
2
4
6
1
3
5
7
A B
r
A
Z
g
8
7
6
…..
2
1
0
…….
-12
-13
-14
…..
-17
-18
1
2
-2
-3
A
r ‫عشتار‬ ‫باب‬
‫الحضر‬
‫الملوية‬
‫كركوك‬
‫الموصل‬
‫البصرة‬
‫قار‬ ‫ذي‬
‫الدين‬ ‫صالح‬
‫بابل‬
‫بغداد‬
B

10. [1-1]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693710‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
/‫الحل‬
f(0) = 2(0) + 8 = 8
f(1) = 2(1) + 8 = 10
f(2) = 2(2) + 8 = 12
f(3) = 2(3) + 8 = 14
.
.
.
/ً‫ا‬‫ثاني‬
f(x) = 2x + 8 = 16 ⇒ 2x + 8 = 16 ⇒ 2x = 16-8 = 8
2x = 8 ‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫بقسمة‬2
x = 4
/ً‫ا‬‫ثالث‬
f = {(0,8) , (1,10) , (2,12) , (3,14) , …} ‫المرتبة‬ ‫األزواج‬ ‫مجموعة‬
‫س‬6/‫كانت‬ ‫اذا‬r = {(1,a) , (2,b) , (3,c) , (4,d) , (5,a)}‫حيث‬r : A → B
1)‫من‬ ‫كال‬ ‫جد‬A , B.
2).‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫اكتب‬
3).‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫ارسم‬
/‫الحل‬
1) A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} , B = {a , b , c , d }
2)= ‫التطبيق‬ ‫مدى‬{a , b , c , d }
3)
‫س‬7/‫كان‬ ‫اذا‬f : A → B‫حيث‬f(x) = 2x2
– x + 3‫وان‬A = {1 , -1 , 0}
1).‫المدى‬ ‫اكتب‬
2).‫التطبيق‬ ‫تمثل‬ ‫التي‬ ‫المرتبة‬ ‫األزواج‬ ‫مجموعة‬ ‫اكتب‬
3).‫السهمي‬ ‫المخطط‬ ‫ارسم‬
/‫الحل‬
1)
f(1) = 2(1)2
– 1 + 3 = 2 – 1 + 3 = 4
f(−1) = 2(−1)2
– (−1) + 3 = 2(1) + 1 + 3 = 6
f(0) = 2(0)2
– 0 + 3 = 3
/ً‫ال‬‫او‬= ‫التطبيق‬ ‫مدى‬{8 ,10 , 12 , 14 , …}
A
r
a
b
c
d
1
2
3
4
5
B
= ‫التطبيق‬ ‫مدى‬}3,6,4{

11. [1-1]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693711‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
2)
f = {(1,4) , (-1,6) , (0,3)} ‫مجم‬‫المرتبة‬ ‫األزواج‬ ‫وعة‬
3)
A
f
3
4
6
1
-1
0
B

12. [1-2]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬ ‫نوع‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693712‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
]2–1[‫نوع‬:‫التطبيق‬
‫ا‬‫ال‬‫او‬/:‫الشامل‬ ‫التطبيق‬‫كان‬ ‫اذا‬( ‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬B‫عناصر‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫او‬ ‫بعنصر‬ ‫مرتبط‬ )
( ‫المجال‬A)
‫مثال‬7/‫أي‬ ‫حدد‬ً‫ا‬‫تطبي‬ ‫تمثل‬ ‫التالية‬ ‫السهمية‬ ‫المخططات‬ ‫من‬ً‫ال‬‫شام‬ ‫قا‬‫؟‬
1)Fً‫ال‬‫شام‬ ‫تطبيقا‬
2)G‫شامل‬ ‫غير‬ ‫تطبيق‬
3)H‫شامل‬ ‫غير‬ ‫تطبيق‬
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A
r
B
‫شامل‬ ‫تطبيق‬
3
4
6
1
-1
0
A
f
B
‫تمثل‬ ‫ال‬‫تطبيق‬

13. [1-2]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬ ‫نوع‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693713‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫مثال‬8/
‫مثال‬9/
‫مثال‬10/

14. [1-2]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬ ‫نوع‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693714‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
/‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫التطبيق‬‫المتباين‬(Injective Mapping):‫يمتلك‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬‫أي‬‫عنصرين‬‫مختلفين‬‫في‬
‫المجال‬A‫صورتان‬‫مختلفتان‬‫في‬‫المجال‬‫المقابل‬B‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫أي‬ ،B‫صورة‬ ‫يمثل‬
‫المجال‬ ‫في‬ ‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫لعنصر‬A
‫مثال‬11/
‫ال‬‫تطبيق‬F‫متباين‬ ‫ال‬‫تطبيق‬H‫غير‬‫متباين‬

15. [1-2]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬ ‫نوع‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693715‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫مثال‬12/
/‫ا‬‫ا‬‫ثالث‬( ‫تقابل‬ ‫التطبيق‬Bijective Mapping:)‫الشرطين‬ ‫حقق‬ ‫اذا‬ ً‫ال‬‫تقاب‬ ‫التطبيق‬ ‫يكون‬‫اآل‬‫تيين‬:
1).‫ا‬‫ال‬‫شام‬ ‫التطبيق‬
2).‫ا‬‫ا‬‫تباين‬ ‫التطبيق‬
‫مثال‬13/

16. [1-2]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيق‬ ‫نوع‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693716‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫مثال‬14/

17. [1-3]‫ال‬( ‫االول‬ ‫فصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫للتطبيق‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693717‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
]3-1[:‫للتطبيق‬ ‫البياني‬ ‫لمخطط‬‫التطبيقات‬ ‫تمثيل‬ ‫يمكننا‬ ‫المرتبة‬ ‫باألزواج‬ ‫التمثيل‬ ‫خالل‬ ‫من‬
:‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫باستخدام‬
‫مثال‬15/

18. [1-3]‫ال‬( ‫االول‬ ‫فصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫للتطبيق‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693718‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫مثال‬16/

19. [1-3]‫ال‬( ‫االول‬ ‫فصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫للتطبيق‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693719‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫مثال‬17/

20. [1-3]‫ال‬( ‫االول‬ ‫فصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫للتطبيق‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693720‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937

21. [1-4]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693721‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
]4-1[‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬:‫التطبيق‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬g(x)‫والتطبيق‬f(x)‫فان‬:
f( g(x) ) = (fog)(x) = f(g(x)) g ‫تركيب‬ f ‫وتقرأ‬
g( f(x) ) = (gof)(x) = g(f(x)) f ‫تركيب‬ g ‫وتقرأ‬
‫و‬‫كان‬ ‫اذا‬x = a:
1)‫ليكن‬)ag(b =‫فان‬)bf(=(fog)(a)
2)‫ليكن‬b = f(a)‫فان‬g(b)=(gof)(a)
‫مثال‬18/
/‫الحل‬
x = 1 ⟹ f(1) = 4(1) + 3 = 7 ⟹ g(7) = 7 + 1 = 8 ⟹ g(f(1)) = 8
x = 2 ⟹ f(2) = 4(2) + 3 = 11 ⟹ g(11) = 11 + 1 = 12 ⟹ g(f(2)) = 12
x = 3 ⟹ f(3) = 4(3) + 3 = 15 ⟹ g(15) = 15 + 1 = 16 ⟹ g(f(3)) = 16
∴‫مدى‬(gof(=}16,12,8{
‫مثال‬19/
x = a b = g(a) (fog)(a) = f(b)
(fog)(a)
x = a b = f(a) (gof)(a) = f(b)
(gof)(a)

22. [1-4]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693722‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫مثال‬20/

23. [1-4]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693723‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
(gof) ≠ (fog)
‫مثال‬21/

24. [1-4]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693724‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
[1-2] ‫تمارين‬
‫س‬1/‫كان‬ ‫اذا‬g : Z → N‫حيث‬g(x) = x2
+ 3
‫اكتب‬g.‫مرتبة‬ ‫ازواج‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫عناصرها‬ ‫بذكر‬
.‫المدى‬ ‫اكتب‬
.‫التطبيق‬ ‫نوع‬ ‫بين‬
/‫الحل‬
‫اكتب‬g.‫مرتبة‬ ‫ازواج‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫عناصرها‬ ‫بذكر‬
g(−2) = (−2)2
+ 3 = 4 + 3 = 7
g(−1) = (−1)2
+ 3 = 1 + 3 = 4
g(0) = (0)2
+ 3 = 0 + 3 = 3
g(1) = (1)2
+ 3 = 1 + 3 = 4
g(2) = (2)2
+ 3 = 4 + 3 = 7
.‫المدى‬ ‫اكتب‬
= ‫المدى‬{3 , 4 , 7 , …}
.‫التطبيق‬ ‫نوع‬ ‫بين‬
‫التطبيق‬‫ليس‬ً‫ال‬‫شام‬‫المدى‬ ‫الن‬={3 , 4 , 7 , …}‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬N={0,1,2,3,4,…}
‫الن‬ ً‫ا‬‫متباين‬ ‫ليس‬ ‫التطبيق‬2 ≠ −2‫ولكن‬f(2) = f(-2)
∴ً‫ال‬‫تقاب‬ ‫ليس‬ ‫التطبيق‬‫ألنه‬‫وليس‬ ً‫ال‬‫شام‬ ‫ليس‬‫م‬ً‫ا‬‫تباين‬
‫س‬2/‫كان‬ ‫اذا‬f : N → N‫حيث‬f(x) = 5x + 2
g : N → N‫حيث‬g(x) = x + 3
‫اكتب‬fog.‫المرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫بذكر‬
‫المدى‬fog.
‫التطبيق‬ ‫نوع‬ ‫بين‬fog.
/‫الحل‬
‫اكتب‬fog.‫المرتبة‬ ‫االزواج‬ ‫بذكر‬
x = 0 ⟹ g(0) = 0 + 3 = 3 ⟹ f(3) = 5(3) + 2 = 17 ⟹ f(g(0)) = 17
x = 1 ⟹ g(1) = 1 + 3 = 4 ⟹ f(4) = 5(4) + 2 = 22 ⟹ f(g(1)) = 22
x = 2 ⟹ g(2) = 2 + 3 = 5 ⟹ f(5) = 5(5) + 2 = 27 ⟹ f(g(2)) = 27
x = 3 ⟹ g(3) = 3 + 3 = 6 ⟹ f(6) = 5(6) + 2 = 32 ⟹ f(g(3)) = 32
fog = {(0,17) , (1,22) , (2,27), …}
‫المدى‬fog.
= ‫المدى‬{17 , 22 , 27 , …}
‫التطبيق‬ ‫نوع‬ ‫بين‬fog.
‫المدى‬ ‫الن‬ ً‫ال‬‫شام‬ ‫ليس‬ ‫التطبيق‬‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬
‫الن‬ ً‫ا‬‫متباين‬ ‫التطبيق‬.‫المجال‬ ‫في‬ ‫مختلفين‬ ‫عنصرين‬ ‫ألي‬ ‫صورة‬ ‫يمثل‬ ‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
∴ً‫ال‬‫شام‬ ‫ليس‬ ‫ألنه‬ ً‫ال‬‫تقاب‬ ‫ليس‬ ‫التطبيق‬
g = {(-2,7) , (-1,4) , (0,3), (1,4) , (2,7)}

25. [1-4]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693725‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫س‬3/‫كان‬ ‫اذا‬f : Q → Q‫حيث‬f(x) = 6x − 1
g : Q → Q‫حيث‬g(x) =
1
2
x2
+ 1
‫قيمة‬ ‫جد‬x‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬(fog)(x) = 17.
/‫الحل‬
(fog)(x) = f(g(x)) = f(
1
2
x2
+ 1) = 6 (
1
2
x2
+ 1) − 1 = 3x2
+ 6 − 1 = 3x2
+ 5
∵ (fog)(x) = 17
∴ 3x2
+ 5 = 17 ⟹ 3x2
= 12 ⟹ x2
=
12
3
= 4 ⟹ 𝐱 = ±𝟐
‫س‬4/‫كان‬ ‫اذا‬f : Z → Z‫حيث‬f(x) = x3
g : Z → Z‫حيث‬g(x) = 7
:‫فأن‬
(fog)(-1): ‫يساوي‬-49 , 343 , -7 , 7
(fog)(-1): ‫يساوي‬-49 , 343 , -7 , 7
/‫الحل‬
)1-)(fog(: ‫يساوي‬7,7-,343,49-
(fog)(-1) = f(g(-1)) = f(7) = 73
= 343
)1-)(fog(: ‫يساوي‬7,7-,343,49-
(gof)(-1) = g(f(x)) = g((−1)3
) = g(-1) = 7
‫س‬5/‫كان‬ ‫اذا‬f : Q → Q‫حيث‬f(x) = 3x + 4
g : Q → Q‫حيث‬g(x) = 1 − 2x
‫جد‬(fog)(3)،(gog)(x)
‫كان‬ ‫اذا‬(gof)(x)= -43‫قيمة‬ ‫فجد‬x.
/‫الحل‬
‫جد‬(fog)(3)،(gog)(x)
(fog)(3) = f(g(3)) = f(1-2(3)) = f(-5) = 3(-5) + 4 = -15 + 4 = -11
(gog)(x) = g(g(x)) = g(1 – 2x) = 1 – 2(1 – 2x) = 1 – 2 + 4x = 4x - 1
‫كان‬ ‫اذا‬(gof)(x)= -43‫قيمة‬ ‫فجد‬x.
(gof)(x) = g(f(x)) = g(3x+4) = 1-2(3x+4) = 1 – 6x – 8 = -6x -7
∵ (gof)(x)= -43
∴ -6x -7 = -43 ⟹ -6x = -43 + 7 = - 36 ⟹ x =
−36
−6
= 6

26. [1-4]( ‫االول‬ ‫الفصل‬‫التطبيقات‬Mapping)‫التطبيقات‬ ‫تركيب‬
‫األستاذ‬/‫الشمري‬ ‫أحمد‬-0770451693726‫ا‬/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫لمرسل‬07703458937
‫س‬6/‫كان‬ ‫اذا‬f : {1,2,3,…} → Z‫حيث‬f(x) = 4x − 3
.‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫اكتب‬
‫التطبيق‬ ‫بيان‬f.‫عناصره‬ ‫بذكر‬
‫الت‬ ‫نوع‬.‫طبيق‬
‫كان‬ ‫اذا‬f(x) = 53‫قيمة‬ ‫جد‬ ،x.
‫جد‬(fof)(x) = 1‫قيمة‬ ‫جد‬ ،x.
/‫الحل‬
.‫التطبيق‬ ‫مدى‬ ‫اكتب‬
f(1) = 4(1) − 3 = 4 − 3 = 1
f(2) = 4(2) − 3 = 8 − 3 = 5
f(3) = 4(3) − 3 = 12 − 3 = 9
= ‫التطبيق‬ ‫مدى‬{1 , 5 , 9 , …}
‫التطبيق‬ ‫بيان‬f.‫عناصره‬ ‫بذكر‬
f = {(1,1) , (2,5) , (3,9) , …}
‫الت‬ ‫نوع‬.‫طبيق‬
‫المدى‬ ‫الن‬ ً‫ال‬‫شام‬ ‫ليس‬ ‫التطبيق‬‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬
‫الن‬ ً‫ا‬‫متباين‬ ‫التطبيق‬.‫المجال‬ ‫في‬ ‫مختلفين‬ ‫عنصرين‬ ‫ألي‬ ‫صورة‬ ‫يمثل‬ ‫المقابل‬ ‫المجال‬ ‫في‬ ‫عنصر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
∴ً‫ال‬‫شام‬ ‫ليس‬ ‫ألنه‬ ً‫ال‬‫تقاب‬ ‫ليس‬ ‫التطبيق‬
‫كان‬ ‫اذا‬f(x) = 53‫قيمة‬ ‫جد‬ ،x.
f(x) = 4x - 3 = 53 ⟹ 4x = 53 + 3 = 56 ⟹ x =
56
4
= 14