تناقش الوثيقة محتوى مادة الرياضيات للسادس العلمي، حيث تتناول تعريف الأعداد المركبة وخصائصها، مثل الأعداد الحقيقية والخيالية. كما تشرح كيفية إجراء العمليات الأساسية كالجمع والطرح والضرب في الأعداد المركبة، بالإضافة إلى تقديم العديد من الأمثلة التوضيحية.

1. 2015 / 2016
‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫العلمي‬ ‫السادس‬
‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬
‫المنصور‬-‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬
80087430770

3. 2015 / 2016
‫ا‬
‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫العلمي‬ ‫السادس‬
‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬
‫المنصور‬-‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬
80087430770

5. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬5/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫ا‬‫لفصل‬‫االول‬(‫المركبة‬ ‫االعداد‬):
1]–1[‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫الى‬ ‫الحاجة‬:‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫نحاول‬ ‫عندما‬+16 = 02
x:‫ان‬ ‫نجد‬
x2
+16 = 0 ⇒ x2
= -16 ⇒ x = ± √−16 = ± √16. √−1 = ± 4√−1
‫قيمة‬ ‫فما‬√−1‫ي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫وهل‬ ‫؟‬‫س‬‫ا‬‫وي‬(-1).‫كهذا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫انه‬ ‫الواضح‬ ‫من‬‫والعجز‬
‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫حل‬ ‫عن‬0=16+2
x‫في‬ ‫الرغبة‬ ‫أوجد‬ , ‫حل‬
‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫يضم‬ ‫جديد‬ ‫مجال‬ ‫على‬ ‫الحصول‬0=16+2
x‫المجال‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫حل‬
( ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫بمجال‬ ‫يسمى‬ ‫ما‬ ‫ابتكار‬ ‫الى‬ ‫ذلك‬ ‫ويدفعنا‬ ‫الجديد‬Complex Number‫فرضن‬ ‫فاذا‬ )‫ـــــــــــــــ‬‫ا‬
‫ان‬i = √−1‫كلمة‬ ‫من‬ ‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫وهو‬(Imaginary Numbers)‫ا‬‫ي‬‫االعداد‬‫الخيالية‬‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫فان‬
‫المعادلة‬0=16+2
x‫هي‬{4i±}
‫الجبرية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫ولكنه‬ ‫والقياس‬ ‫العد‬ ‫مع‬ ‫تقترن‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫ليس‬ ‫هو‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫ان‬‫لألعداد‬‫ما‬ ‫الحقيقية‬
.‫الترتيب‬ ‫خاصية‬ ‫عدا‬
‫قوى‬i:-i = √−1
i2
= -1
i3
= i2
. i = -1 . i = -i
i4
= i2
. i2
= (-1) . (-1) = 1 ⇒ ∴ i4
= 1
:‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
i4n + r
= ir
, n ∈ N . r = 0 , 1 , 2 , 3 …
‫رفع‬ ‫عند‬ ‫انه‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬i‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫احد‬ ‫يكون‬ ‫فالناتج‬ ‫موجب‬ ‫صحيح‬ ‫لعدد‬{i , -1 , -i , 1}‫اس‬ ‫نقسم‬ ‫حيث‬
i‫على‬4‫لـ‬ ‫الجديد‬ ‫االس‬ ‫هو‬ ‫والباقي‬i:
/‫مثال‬i = i.6
i = 1.6
)4
i = (i.24
= i25
i
i99
= i96
. i3
=(i4
)24
. i3
= 124
. i3
= i3
= -i
‫مثال‬1/:‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬-
i20
= i24
. i3
= (i4
)6
. i3
= 16
. i3
= -i
i08
= i08
. i = (i4
)28
. i = 128
. i = i
i0
= i4
. i3
= 8 . i3
= -i
i81
= (i4
)4
= 8
i30
= i31
. i2
=(i4
)84
. i2
=184
(-1)= -1
i104
= (i4
)26
= 126
= 1
i10
= i8
. i2
= (i4
)2
. i2
= 8 . i2
= -1
i17
= i16
. i = (i4
)4
. i = 14
. i = i
i12n+93
= i12n
. i93
= (i4
)3n
. (i4
)23
. i = 13n
. 1 . i = i
:‫تعريف‬‫للعدد‬ ‫يقال‬c = a + bi‫حيث‬a,b‫وان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬√−1i =‫مركبا‬ ‫عددا‬ ,)ComplexNumber(
‫يسمى‬a‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬Real Part‫ويسمى‬b‫التخيلي‬ ‫الجزء‬Imaginary Part‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ويرمز‬ .
‫بالرمز‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ℂ‫للصيغة‬ ‫ويقال‬a+bi.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬ ‫او‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬

6. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬6/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
i -13
= i -13
. (i4
)4
=i -13
.(i16
)= i3
= -i OR i -13
=
1
i131
=
i16
i131
= i3
= -i
/‫مالحظة‬‫إذا‬‫اسس‬ ‫كانت‬i‫أ‬‫العدد‬ ‫نستبدل‬ ‫ان‬ ‫فيمكن‬ ‫سالبة‬ ‫صحيحة‬ ‫عداد‬(1)( ‫بـ‬ ‫البسط‬ ‫في‬i‫من‬ ‫لقوة‬ ‫مرفوع‬ )
‫العدد‬ ‫مضاعفات‬(4)‫أكبر‬‫اس‬ ‫يساوي‬ ‫او‬(i).
‫الجذور‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ /‫مالحظة‬‫ألي‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬i:‫فمثال‬
√−16 = √16 .√−1 = 4 i
√−25 = √25 .√−1 = 5 i
√−12 = √12 .√−1 = 2√3 i
√−15 = √15 .√−1 = √15 i
:‫يكون‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
√−a = √a .√−1 = √a i , ∀ a ≥ 0
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬c = a + bi‫المرتب‬ ‫للزوج‬ ‫مناظرا‬ ‫جعله‬ ‫يمكن‬(a , b):‫مثال‬ ,
2 + 3i = (2,3)
-1 + i = (-1 , 1)
2 = 2 + 0 i = (2,0)
3i = 0 + 3 i = (0,3)
‫مثال‬2/‫صورة‬ ‫على‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫أكتب‬a+bi:
a) √−100 = √100 .i = 0 +10i
b) -1 + √−3 = -1 + √3 i
c)
1+√−25
4
=
1
4
+
√−25
4
=
1
4
+
5i
4
d) -5 = -5 + 0 i
‫مثل‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬a‫بالشكل‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬a + 0i‫او‬(a,0)‫عدد‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬ ‫اي‬ ,
:‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫التخيلي‬ ‫جزؤه‬ ‫مركب‬
2]-[1‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬:
‫ا‬‫ال‬‫او‬/:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬
‫مثال‬:(25 + 3i)+(7 - 12i) = 32 – 9i‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬32 – 9i‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫مركبا‬ ‫عددا‬
)ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ ‫ان‬ ‫(اي‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬
‫مثال‬3/‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ل‬:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬
a) 3 + 4 √2 i , 5 - 2√2 i
b) 3 , 2 – 5 i
c) 1 – 3 i , i
/‫الحل‬
a) (3 + 4 √2 i) + (5 - 2√2 i) = 8 + 2√2 i
/‫مالحظة‬‫ان‬ ‫اي‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬R ⊂ C.
: ‫تعريف‬-
‫ليكن‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬:)i2+ b1) + (b2+ a1(a=2c+1c
:‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2+ b1(b,R∈)2+ a1(a.‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الن‬
∴ (a1 + a2) + (b1 + b2)i ∈ ℂ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬

7. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬0/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
b) )3 + 0i) + (2 – 5 i) = 5 – 5 i
c) (1 – 3i) + (0 + i) = 1 – 2i
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬
:‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀
1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1+ c2c=2c+1c
2)( ‫التجميعية‬ ‫الخاصية‬Associativity):3) + c2+ c1(c=)3+ c2(c+1c
3)( ‫الجمعي‬ ‫النظير‬Additive Inverse):-c ∈ ℂc = a + bi ∃,∀ c ∈ ℂ
‫حيث‬–c = -a-bi‫يسمى‬(-c)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬c.
4)( ‫الجمعي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬AdditiveIdentity):‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫يرمز‬e‫ويعرف‬∈ ℂe = 0 = 0 + 0i
‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫سبق‬ ‫مما‬(ℂ , +)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬ ‫هي‬Commutative Group
‫مثال‬4/:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (4-5i) - (3+2i) = (4-5i) + (-3-2i) = 1-7i
b) (7-13i) - (9+4i) = (7-13i) + (-9-4i) = -2-17i
‫مثال‬5/‫المعادلة‬ ‫حل‬∈ ℂ,x(2-4i)+x = 5+i
/‫الحل‬
(2-4i)+x = 5+i ⇒ x = (5+i) – (2-4i) = (5+i) +(-2+4i) ⇒ ∴ x = 3 + 5i
‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫عملية‬ /‫الضرب‬:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬‫بصفتهما‬ ‫بضربهما‬ ‫نقوم‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫عملية‬ ‫اليجاد‬
‫من‬ ‫بدال‬ ‫ونعوض‬ ‫جبريين‬ ‫مقدارين‬2
i‫العدد‬1)-(:‫مبين‬ ‫كما‬
‫كان‬ ‫اذا‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c:‫فان‬
c1. c2 = (a1 +b1i) (a2 +b2i)= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i + b1 .b2i2
= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i - b1 .b2 = (a1 .a2 - b1 .b2) + (a1 .b2 + a2 .b1)i
/‫مثال‬
(2+5i).(3-4i)
= 6 – 8i + 15i – 20 i2
i2
= -1
= 6 + 20 + 7i = 26 + 7i
‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬∈ ℂ26 + 7i‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬‫الضرب‬‫ان‬ ‫(اي‬
‫ضرب‬ ‫حاصل‬)ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬
/‫مالحظة‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬
.‫الثاني‬
/‫مالحظة‬‫كان‬ ‫اذا‬k ∈ R,c = a + bi:‫فان‬kc = ka + kbi
: ‫تعريف‬-
‫ليكن‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬:
c1.c2 =(a1.a2 - b1.b2)+(a1.b2 + a2.b1)i
:‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2b.1b-2a.1a(,R∈)1b.2a+2b.1a(‫مجموعة‬ ‫الن‬R‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلق‬
‫فان‬ ‫لذلك‬ ‫الضرب‬ℂ∈2c.1c‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬.‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬

8. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬0/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬
:‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀
1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1cX2c=2cX1c
2)‫الخاصية‬( ‫التجميعية‬Associativity):3c)2c.1c)=)3c.2(c.1c
3)( ‫الضربي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬ ‫يتوفر‬Multiplicative Identity‫)وهو‬1=(1+0i)
4)‫الضربي‬ ‫النظير‬(Multiplicative Inverse:)∀ c ≠(0+0i) , ∃
1
c
∈ ℂ‫بحيث‬
1
c
= (1+0i)c x
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫اي‬c‫عد‬‫ا‬‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫له‬ ‫يوجد‬ ‫الصفر‬
1
c
.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬
:‫ان‬ ‫اي‬(ℂ - (0+0i), X)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬
:‫ان‬ ‫اي‬(ℂ,+,X)‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫حقل‬ ‫يسمى‬ ‫حقل‬
‫مثال‬6/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬
1) (3+4i)2
2) i(1+i)
3) −
5
2
(4+3i)
4) (1+i)2
+ (1-i)2
5) (1+i)3
+ (1-i)3
/‫الحل‬
1) (3+4i)2
= 9 + 24i – 16 = -7 + 24i
.‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نجمع‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫مالحظة/نستخدم‬
2) i(1+i) = i + i2
= -1 + i
‫توزيع‬ ‫مالحظة/يتم‬i‫القوس‬ ‫حدود‬ ‫على‬(1+i).
3) −
5
2
(4+3i) = -10 -
15
2
i
4) (1+i)2
+ (1-i)2
= (1+2i-1) +(1–2i-1) = 2i – 2i = 0
‫مالحظة/نفتح‬‫االقواس‬.)‫الحدانية‬ ‫(مربع‬
5) (1+i)3
+ (1-i)3
= (1+i)2
(1+i) + (1-i)2
(1-i)=2i(1+i) + (-2i)(1-i)= 2i - 2 - 2i – 2 = -4
‫االعتماد‬ ‫مالحظة/يكون‬.‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫على‬
/‫مالحظة‬‫ليكن‬k ∈ R,c ∈ ℂ‫حيث‬c=a+bi:‫فان‬
1) k. c = k)a + bi( = ka + kbi
2) ki. c = ki(a + bi) = -kb + kai

9. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬7/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
]3-[1:‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
:‫ا‬‫ال‬‫فمث‬3+i‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫هو‬3-i‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬(i)‫هو‬(-i)‫وبالعكس‬,‫وان‬5-4i‫مرافق‬5+4i
‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬0‫هو‬0.‫وبالعكس‬
‫مالحظة‬1:‫االتية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫انه‬ ‫المرافق‬ ‫تعريف‬ ‫من‬ ‫يتضح‬ /
1) 𝐜 𝟏 ± 𝐜 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 ± 𝐜̅2
2) 𝐜 𝟏 . 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜 𝟏̅̅̅ . 𝐜 𝟐̅̅̅
3) (
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
)
̅̅̅̅̅
= (
𝐜 𝟏̅̅̅
𝐜 𝟐̅̅̅
)
4) c 𝐜̅ = a2
+ b2
‫فان‬ c = a+bi ‫كان‬ ‫اذا‬
5) 𝐜̅ = 𝐜 ‫فان‬ c ∈ 𝐑
6) c + 𝐜̅ = 2a
7) 𝐜̅̅ = c
‫مالحظة‬2:‫القسمة‬ ‫عملية‬ ‫اجراء‬ ‫في‬ ‫الخاصية‬ ‫هذه‬ ‫تفيدنا‬ /
c1 ÷ c2 = c1 .
1
c2
, c1 , c2 ∈ ℂ
‫مالحظة‬3/‫إلجراء‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫قسمة‬ ‫عملية‬c1‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫على‬2c‫حيث‬0≠2c‫فإننا‬‫بسط‬ ‫نضرب‬
‫ومقام‬‫المقدار‬
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
:‫فيكون‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬
c1
c2
=
c1
c2
(
c2̅̅̅
c2̅̅̅
)=
c1.c2̅̅̅
c2.c2̅̅̅
=
c1.c2̅̅̅
a2+b2
ً‫ال‬‫مث‬: )‫(الجبرية‬ ‫العادية‬ ‫بالصورة‬ ‫ضع‬ :
2+3i
4−5i
/‫الحل‬‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نضرب‬(4+5i):
2+3i
4−5i
=
2+3i
4−5i
.
4+5i
4+5i
=
(2+3i)(4+5i)
42+52 =
8+12i+10i−15
16+25
=
−7+22i
41
=
−7
41
+
22i
41
‫مثال‬7/‫كان‬ ‫اذا‬2i-= 32= 1 + i , c1c:‫ان‬ ‫فاثبت‬
a) c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 + c̅2
b)c1 . c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 . c̅2
c) (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
)
/‫الحل‬
a) c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 + c̅2 ⇒ c1 + c2 = (1+ i) + (3 - 2i) = 4 – i ⇒ c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 4 + i
c̅1 + c̅2 = (1 – i) + (3 + 2i) = 4 + i ⇒ ∴ 𝐜 𝟏 + 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 + 𝐜̅2
b) c1. c2̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 . c̅2
c1. c2 = (1+ i) (3 - 2i) = 3 + 3i – 2i + 2 = 5 + i ⇒ c1. c2̅̅̅̅̅̅̅ = 5 – i
c̅1 . c̅2 = (1- i) (3 + 2i) = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 – i ⇒ ∴ 𝐜 𝟏. 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 . 𝐜̅2
: ‫تعريف‬-‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬c = a + bi‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫هو‬c̅ = a - biR ,∀ a , b ∈
‫مال‬‫مركبين‬ ‫عددين‬ )‫(ضرب‬ ‫عند‬ ‫او‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ /‫حظة‬
.‫صحيح‬ ‫والعكس‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مترافقين‬

10. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬08/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
c) (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
)
c1
c2
=
1+ i
3 − 2i
=
(1+ i)(3+ 2i)
9+4
=
3+3i+2i−2
13
=
1+5i
13
=
1
13
+
5i
13
⇒ (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅̅
=
1
13
-
5i
13
c1̅̅̅
c2̅̅̅
=
1− i
3+ 2i
=
(1− i)(3− 2i)
9+4
=
3−3i−2i−2
13
=
1−5i
13
=
1
13
-
5i
13
∴ (
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
)
̅̅̅̅̅
= (
𝐜 𝟏̅̅̅
𝐜 𝟐̅̅̅
)
‫مثال‬8/‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬2-2i.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬
/‫الحل‬‫الضربي‬ ‫النظير‬‫للعدد‬2-2i‫هو‬
1
2− 2i
1
2− 2i
=
1
2− 2i
.
2+ 2i
2+ 2i
=
2+ 2i
4+4
=
2
8
+
2i
8
=
1
4
+
1
4
i
‫في‬ ‫عاملين‬ ‫الى‬ ‫التحليل‬ℂ
‫مربعين‬ ‫مجموع‬ ‫صورة‬ ‫على‬ )‫(المقدار‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬ : ‫هي‬ ‫التحليل‬ ‫فكرة‬2
+ y2
x‫بـ‬ ‫احدهما‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬)2
i-(‫فيصبح‬
.‫تحليله‬ ‫فيتم‬ ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫المقدار‬
x2
+ y2
= x2
- y2
i2
= (x - yi)(x + yi)
‫مثال‬9/‫من‬ ‫كل‬ ‫حلل‬‫االعداد‬53 , 10,0.65‫صورة‬ ‫من‬ ‫عاملين‬ ‫الى‬a+bi‫حيث‬a,b.‫نسبيين‬ ‫عددين‬
/‫الحل‬
10 = 9 + 1 = 32
+ 12
= 32
- 12
i2
= (3 – i)(3+i) ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫تحليل‬
‫مربعين‬ ‫مجموع‬ (-i2
) ‫بـ‬ ‫نضرب‬
53 = 4 + 49 = 22
+ 72
= 22
- 72
i2
= (2–7i) (2+7i)
0.65 = 0.49 + 0.16 = 0.49 - 0.16 i2
= (0.7–0.4i) (0.7+0.47i)
‫تساوي‬‫عددين‬‫مركبين‬
‫وتساوى‬ ‫الحقيقيان‬ ‫جزءاهما‬ ‫تساوى‬ ‫اذا‬ ‫المركبان‬ ‫العددان‬ ‫يتساوى‬ ‫اي‬‫وبالعكس‬ ‫التخيليان‬ ‫جزءاهما‬.
‫مثال‬11/‫قيمة‬ ‫جد‬x‫و‬y:‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقيقيتين‬
1) )2x -1( + 2i = 1 + (y+1)i ⇒ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
2 = y+1 ⇒ y = 1
.)‫(العادية‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬
‫الجبرية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬.)‫(العادية‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬
.‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ ‫نستفيد‬
2) 3x – 4i = 2 + 8yi
3x = 2 ⇒ x =
2
3
-4 = 8y ⇒ y =
−1
2
3) (2y+1) – (2x-1)i = -8 + 3i
2y+1 = - 8 ⇒ 2y = -9 ⇒ y =
−9
2
-(2x-1) = 3 ⇒ -2x = 2 ⇒ x = -1
‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نضرب‬
‫المقام‬ ‫بمرافق‬2 + 2i
: ‫تعريف‬-: ‫كان‬ ‫اذا‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫فان‬:2= b1, b2= a1a⇔2c=1c

11. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬00/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
4) (x + yi)(3 + 2i) = 5 - 3i
(x + yi) =
5 – 3i
3 + 2i
=
5 – 3i
3 + 2i
.
3− 2i
3− 2i
‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬
(x + yi) =
15−9i−10i−6
9+4
=
9−19i
13
=
9
13
−
19
13
i
x =
9
13
, y = −
19
13
5)
x−yi
(3+i)2 = 1 − 2i ⇒ x − yi = (1 − 2i)(3 + i)2
‫طرفين‬ ‫في‬ ‫وسطين‬
= (1 − 2i)(9 + 6i − 1) = (1 − 2i)(8 + 6i)
= (8 + 6i − 16i − 12 i2) = (20 − 10 i)
∴ x = 20 & y = 10
6)
3−2i
i
,
x−yi
1+5i
‫مترافقان‬
‫ليكن‬c =
x−yi
1+5i
∵ c =
x−yi
1+5i
⇒ ∴ c̅ =
x+yi
1−5i
(
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
) ‫الن‬
∴
x+yi
1−5i
=
3−2i
i
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ ‫المرافقين‬‫متساويان‬
(x + yi)i = (1 − 5i)(3 − 2i) ‫بطرفين‬ ‫وسطين‬
xi − y = 3 – 15i – 2i – 10 ⇒ −y + xi = -7 – 17i
-y = -7 ⇒ y = 7
x = -17
‫التمارين‬ ‫حلول‬1–1
8)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ضع‬∀ n ∈ N:
1. i5
= i4
. i = i = 0 + i
2. i6
= i4
. i2
= -1 = -1 + 0i
3. i124
= (i4
)31
= 1 = 1 + 0i
4. i999
= i996
. i3
=(i4
)247
. i3
= -i = 0 - i
5. i4n+1
= i4n
. i = i = 0 + i
6.(2 + 3i)2
+ (12 + 2i) = (4 + 12i - 9) + (12 + 2i) = (-5 + 12i) + (12 + 2i) = 7 + 14i
7. (10 + 3i) (0 + 6i) = 0 + 0 + 60i -18 = -80 + 60i
8.(1 + i)4
- (1 - i)4
= ((1 + i)2
)2
– ((1 - i)2
)2
= (1 + 2i -1)2
– (1 – 2i -1)2
= (2i)2
– (-2i)2
= -4 –(-4)=0 = 0 + 0i
9.
12+i
i
=
12+i
i
.
−i
−i
=
−12i− i2
−i2 =
−12i+1
1
= 1 – 12i
10.
3+4i
3−4i
=
3+4i
3−4i
.3+4i
3+4i
=
9 +12i+12i−16
9+16
=
−7+24i
25
=
−7
25
+
24
25
i

12. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬01/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
11.
i
2+3i
=
0+i
2+3i
.
2−3i
2−3i
=
0+2i−0+3
4+9
=
3+2i
13
=
3
13
+
2
13
i
12. (
3+i
1+i
)
3
= (
3+i
1+i
.
1−i
1−i
)
3
= (
3+i−3i+1
1+1
)
3
= (
4−2i
2
)
3
=(2 − i)3
=(2 − i)2
. (2 − i)=(4 − 4i − 1). (2 − i)
=(3 − 4i). (2 − i)= 6 – 8i - 3i – 4= 2 – 11i
13.
2+3i
1−i
.
1+4i
4+i
=
2+3i+8i−12
4−4i+i+1
=
−10+11i
5−3i
=
−10+11i
5−3i
.
5+3i
5+3i
=
−10+11i
5−3i
.
5+3i
5+3i
=
−50+55i−30i−33
25+9
=
−83+25i
34
=
−83
34
+
25i
34
14. (1 + i)3
+ (1 - i)3
= (1 + i)2
.(1 + i) + (1 - i)2
.(1 - i)
= (1 + 2i -1).(1 + i) + (1 - 2i -1).(1 - i) = (2i).(1 + i) + (-2i).(1 - i)
= 2i – 2 + [-2i - 2] = 2i – 2 – 2i - 2 = -4 = -4 + 0i
2)‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬y , x:‫االتية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
a) y + 5i = (2x + i)(x + 2i)
/‫الحل‬
y + 5i = 2x2
+ xi + 4xi - 2 ‫االقواس‬ ‫نضرب‬
y + 5i = 2x2
+ 5xi - 2 ⇒ y + 5i = (2x2
– 2) + 5xi
:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
5x = 5 ⇒ x = 1
y = 2x2
– 2 = 2 – 2 = 0
b) 8i = (x + 2i)(y + 2i) + 1
/‫الحل‬:‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬
-1 + 8i = xy + 2yi + 2xi - 4 ⇒ -1 + 8i = (xy – 4) + (2y + 2x)i
:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
-1 = xy – 4 ⇒ xy = 3 ……
8 = 2y + 2x ⇒ 4 = y + x ⇒ y = 4 – x .…
‫نعوض‬‫قيمة‬y‫من‬‫معادلة‬‫في‬:
xy = 3 ⇒ x(4 – x) = 3 ⇒ 4x – x2
= 3 ⇒ x2
– 4x + 3 = 0
(x - 3)(x - 1) = 0
∴ x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1
x = 1 ⇒ y = 4 – 1 = 3
c) (
1−i
1+i
) + (x+yi) = (1+2i)2
/‫الحل‬
(
1−i
1+i
.
1−i
1−i
) + (x+yi) = (1 + 4i - 4) ⇒ (
1−i−i−1
1+1
) + (x+yi) = -3 + 4i
(
−2i
2
) + (x+yi) = -3 + 4i ⇒ -i + (x+yi) = -3 + 4i
(x+yi) = -3 + 4i + i ⇒ (x+yi) = -3 + 5i

13. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬07/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
∴ x = -3 , y = 5
d)
2−i
1+i
x +
3−i
2+i
y =
1
i
/‫الحل‬
(
2−i
1+i
.
1−i
1−i
) x + (
3−i
2+i
.
2−i
2−i
) y =
1
i
⇒ (
2−i−2i−1
1+1
) x + (
6−2i−3i−1
4+1
) y =
i4
i
(
1−3i
2
) x + (
5−5i
5
) y = i3
⇒ (
1−3i
2
) x + (
5−5i
5
) y = - i
(
1
2
−
3i
2
) x + (1 − i ) y = 0 – i ⇒
1
2
x −
3x
2
i + y - yi = 0 - i
(
1
2
x + y) + (
−3x
2
− y) i = 0 - i
:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
1
2
x + y = 0 …… 
−3x
2
− y = -1 ………
‫بالجمع‬---------------------
-x + 0 = -1 ⇒ ∴ x = 1
‫في‬ ‫نعوض‬‫قيمة‬ ‫لنجد‬y:
1
2
. 1 + y = 0 ⇒ ∴ y = −
1
2
7):‫ان‬ ‫اثبت‬
a)
1
(2−i)2 −
1
(2+i)2 =
8
25
i
L.H.S =
1
4−4i−1
−
1
4+4i−1
=
1
3−4i
−
1
3+4i
=
1
3−4i
.
3+4i
3+4i
−
1
3+4i
.
3−4i
3−4i
=
3+4i
9+16
−
3−4i
9+16
=
3+4i−(3−4i)
25
=
3+4i−3+4i
25
=
8
25
i = R.H.S
b)
(1−i)2
1+i
+
(1+i)2
1−i
= −2 2882‫دور‬‫ثالث‬
L.H.S =
1−2i−1
1+i
+
1+2i−1
1−i
=
−2i
1+i
+
2i
1−i
=
−2i
1+i
.
1−i
1−i
+
2i
1−i
.
1+i
1+i
=
−2i−2
1+1
+
2i−2
1+1
=
−2i−2
2
+
2i−2
2
= -1 – i + i -1 = -2 = R.H.S
c) (1 – i) (1 – i2
)(1 – i3
) = 4
L.H.S = (1 – i) (1 – i2
)(1 – i3
) = (1 – i) (1 – (-1))(1 – (-i)) = (1 – i) (1 + 1)(1 + i)
= 2(1 – i) (1 + i) ‫مرافقين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
= 2(1 + 1) = 4 = R.H.S
i2
= -1
i3
= - i

14. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬04/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
4)‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬03,48,823,27‫الصورة‬ ‫من‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬a+bi‫حيث‬b , a
.‫نسبيان‬ ‫عددان‬
a) 85 = (81 + 4) = 81 - 4i2
= (9-2i)(9+2i)
OR 85 = (4 + 81) = 4 - 81i2
= (2-9i)(2+9i)
OR 85 = (49 + 36) = 49 - 36i2
= (7-6i)(7+6i)
b) 41 = (25 + 16) = 25 - 16i2
= (5-4i)(5+4i)
c) 125 = (121 + 4) = 121 - 4i2
= (11-2i)(11+2i)
OR 125 = (100 + 25) = 100 - 25i2
= (10-5i)(10+5i)
d) 29 = (25 + 4) = 25 - 4i2
= (5-2i)(5+2i)
3)‫قيمة‬ ‫جد‬y , x‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ‫الحقيقيتين‬
6
x+yi
,
3+i
2−i
.‫مترافقان‬
/‫الحل‬‫نفرض‬c =
3+i
2−i
c =
3+i
2−i
⇒ c̅ =
3−i
2+i
(
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
) ‫الن‬
6
x+yi
=
3−i
2+i
‫بطرفين‬ ‫وسطين‬
x + yi =
6(2+i)
(3−i)
=
12 + 6i
3−i
.
3+i
3+i
=
36 + 12i+18i−6
9+1
=
30 + 30i
10
= 3+ 3i
∴ x = 3 & y = 3
‫السابقة‬ ‫السنوات‬ ‫من‬ ‫اضافية‬ ‫تمارين‬
‫س‬8‫العدد‬ ‫اكتب‬ /1-4n
i: ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬
i4n-1
= i4n
.i-1
= i-1
= i-1
.i4
= i3
= 0 – i
‫س‬2‫ان‬ ‫اثبت‬ /
3i
√2+i
−
3i
√2−i
= 2
/‫الحل‬
L.H.S =
3i
√2+i
−
3i
√2−i
=
3i
√2+i
.
√2−i
√2−i
−
3i
√2−i
.
√2+i
√2+i
=
3√2 i+3
2+1
−
3√2 i−3
2+1
=
3√2 i+3
3
−
3√2 i−3
3
= (√2i + 1) − (√2i − 1) = √2i + 1 − √2i + 1 = 2 = R.H.S
OR:
L.H.S =
3i
√2+i
−
3i
√2−i
=
3i(√2−i)−3i(√2+i)
(√2+i) (√2−i)
=
3√2 i+3− 3√2 i+3
2+1
=
6
2+1
= 2
=R.H.S
‫س‬7/‫كان‬ ‫اذا‬
5
x+yi
‫و‬
2+i
3−i
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬x , y‫الحقيقيتين‬.(2882‫دور‬8)
‫س‬4/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغى‬ ‫ضع‬5
i)-+ (15
(1 + i).(2882‫دور‬2)

15. [ 1 – 4 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬05/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
4]–[1:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬‫كان‬ ‫اذا‬a‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫يوجد‬ ‫فانه‬ ‫موجبا‬ ‫حقيقيا‬ ً‫ا‬‫عدد‬±√a
‫المعادلة‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫يحقق‬= a2
x‫ويسمى‬±√a‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬a.
: ‫مثال‬5±x =⇒= 252
x‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬a = 0‫هو‬ ‫واحد‬ ‫تربيعي‬ ‫جذر‬ ‫له‬ ‫فان‬8
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬c = a+bi‫الصورة‬ ‫من‬ ‫تربيعيين‬ ‫جذرين‬x+yi.
‫مثال‬11/‫من‬ ‫لكل‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬-25‫و‬-17.
/‫الحل‬
a) c2
= -25 ⇒ c = ±√−25 = ± 5i
b) c2
= -17 ⇒ c = ±√−17 = ± √17 i
:‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫اليجاد‬
8-‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬a+bi.
2-‫اخر‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫يساوي‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬x+yi.
7-: ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫ومن‬ ‫معادلتين‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ‫نأخذ‬
a.= ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬2
y-2
x.
b.= ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬2xy.
4-‫اليجاد‬ ً‫ا‬‫اني‬ ‫المعادلتين‬ ‫نحل‬x , y ∈ R.
‫مثال‬12/:‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
1) -3 + 4i
c = -3 + 4i
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √−3 + 4i
(x + yi)2
= -3 + 4i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -3 + 4i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -3 + 4i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = 4 ⇒ y =
4
2x
⇒ y =
2
x
…..❶
x2
– y2
= -3 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
2
x
)
2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3
x4
– 4 = -3x2
x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
+ 3x2
– 4 = 0 ⇒ (x2
- 1)(x2
+ 4) = 0
x2
+ 4 = 0 ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ x ‫الن‬ ‫تهمل‬
x2
- 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ±1
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i
x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(1+2i)

16. [ 1 – 4 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬06/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
2) 8 + 6i
c = 0 + 1i
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √8 + 6i
(x + yi)2
= 0 + 1i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 + 1i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 + 1i
2xy = 1 ⇒ y =
6
2x
⇒ y =
3
x
…..❶ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
x2
– y2
= 0 ……..❷ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
3
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
9
x2 = 0
x4
– 7 = 8x2
x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
- 8x2
– 9 = 0 ⇒ (x2
- 9)(x2
+ 1) = 0
x2
+ 1 = 0 ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ x ‫الن‬ ‫تهمل‬
x2
- 9 = 0 ⇒ x2
= 9 ⇒ x = ±3
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 3 ⇒ y = 1 ⇒ c1 = 3 + i
x = −3 ⇒ y = −1 ⇒ c2 = -3 - i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(3+i)
3) –i
c = 0 - i
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √0 − i
(x + yi)2
= 0 - i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 – I ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - i
2xy = -1 ⇒ y =
−1
2x
…..❶ ‫من‬‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬
x2
– y2
= 0 ……..❷ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
−1
2x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
1
4x2 = 0 ⇒ x4
–
1
4
= 0 x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
=
1
4
⇒ x = ∓
1
√2
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x =
1
√2
⇒ y =
−1
2
1
√2
=
−1
√2
⇒ c1 =
1
√2
-
1
√2
i
x = −
1
√2
⇒ y =
−1
2
−1
√2
=
1
√2
⇒ c2 = −
1
√2
+
1
√2
i
:‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(
𝟏
√ 𝟐
-
𝟏
√ 𝟐
i)

17. [ 1 – 4 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬00/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
4) 8i
c = 0 + 8i
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √0 + 8i
(x + yi)2
= 0 + 8i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 + 8i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 + 8i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = 8 ⇒ y =
4
x
…..❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
4
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
16
x2 = 0 ⇒ x4
– 16 = 0 x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
– 16 = 0 ⇒ x4
= 16 ⇒ x = ±2
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 2 + 2i
x = −2 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -2 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(2 + 2i)

18. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬00/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
5 ]–[ 1‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ:‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫تعلمت‬+ bx + c = 02
ax‫حيث‬a ≠ 0‫و‬
a,b,c ∈ R‫بالدستور‬ ‫ايجادهما‬ ‫يمكن‬ ‫حلين‬,x =
−b±√b2−4ac
2a
,‫المقدار‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫وعلمت‬‫المميز‬
4ac-2
b‫يو‬ ‫ولكن‬ , ‫حقيقية‬ ‫حلول‬ ‫للمعادلة‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫فانه‬ ‫سالبا‬‫ال‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫حالن‬ ‫لها‬ ‫جد‬.‫مركبة‬
‫مثال‬13/‫المعادلة‬ ‫حل‬+ 2x + 2 = 02
x.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬
/‫الحل‬
x2
+ 2x + 2 = 0 a = 1 , b = 2 , c = 2
x =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
x =
−2±√4−8
2
=
−2±√−4
2
=
−2 ± 2i
2
= -1 ± i
‫جذران‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫اي‬(-1+ i)‫و‬(-1- i).‫مترافقان‬ ‫عددان‬ ‫وهما‬
‫مثال‬14/‫المعادلة‬ ‫حل‬0=5+4x+2
x.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬
/‫الحل‬
x2
+ 4x + 5 = 0 a = 1 , b = 4 , c = 5
x =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
x =
−4±√16−20
2
=
−4±√−4
2
=
−4 ± 2i
2
= -2 ± i
‫جذران‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫اي‬(-2+ i)‫و‬(-2- i).‫مترافقان‬ ‫عددان‬ ‫وهما‬
/‫مالحظة‬‫المعادلة‬ ‫لجذري‬ ‫التالية‬ ‫الخصائص‬ ‫نجد‬ ‫السابقة‬ ‫واالمثلة‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬+ bx + c = 02
ax
‫حيث‬a ≠ 0‫و‬a,b,c ∈ R:
8-‫كان‬ ‫اذا‬x+yi‫فان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬x-yi.‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬
2-‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫بقسمة‬a‫حيث‬a ≠ 0:
x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
:‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫هي‬ ‫والتي‬
x2
– (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬ x + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫)حاصل‬ = 0
‫ذلك‬ ‫من‬ ‫ونستنتج‬ , ‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫وهي‬‫ان‬:
𝐜
𝐚
= ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ,
−𝐛
𝐚
= ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
‫مثال‬15/( : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬2+2i( ‫و‬ )2-2i-.)
/‫الحل‬
(2 + 2i) +(-2 – 2i) = 0 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(2 + 2i)(-2 – 2i) = - 4 - 4i – 4i + 4 = -8i ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
x2
– (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬x + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫)حاصل‬ = 0 ‫المعادلة‬
x2
– 0 x + (-8i) = 0 ⇒ x2
- 8i = 0 ⇒ x2
= 8i
‫مثال‬16/( ‫جذريها‬ ‫واحد‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫حدودها‬ ‫معامالت‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬3-4i.)
/‫الحل‬∵‫معامالت‬‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعادلة‬
∴‫مترافقان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬
∴( ‫هما‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬3-4i( ‫و‬ )3+4i)
(3 + 4i) +(3 – 4i) = 6 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(3 + 4i)(3 – 4i) = 9 +12i –12i +16 = 25 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
x2
– 6x + 25 = 0 ‫المعادلة‬
/‫مالحظة‬√−4 = √4 i = 2i

19. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬07/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫مثال‬17/‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬i = 0-5x +7–2
x
/‫الحل‬
x2
–5x +7-i = 0 a = 1 , b = -5 , c = 7-i
x =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
x =
5±√25−4(7−i)
2
=
5±√25−28+4i
2
=
5±√−3+4i
2
/‫مالحظة‬‫المقدار‬ ‫كان‬ ‫اذا‬√𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜‫التعريف‬ ‫من‬ ‫ايجاده‬ ‫فيمكن‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬√−𝐚 = √ 𝐚 𝐢,‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
√𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜‫الفقرة‬ ‫في‬ ‫سابقا‬ ‫بنا‬ ‫مرت‬ ‫التي‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫ايجاد‬ ‫بطريقة‬ ‫ايجاده‬ ‫فيجب‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬[1-4]
‫الصفحة‬ ‫في‬9.
‫اذا‬‫ايجاد‬ ‫يجب‬√𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜‫مثال‬ ‫في‬ ‫ايجاده‬ ‫لنا‬ ‫سبق‬ ‫وقد‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫ايجاد‬ ‫بطريقة‬12
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫سابقا‬
c = -3 + 4i ‫ليكن‬
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √−3 + 4i
(x + yi)2
= -3 + 4i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -3 + 4i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -3 + 4i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = 4 ⇒ y =
4
2x
⇒ y =
2
x
…..❶
x2
– y2
= -3 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
2
x
)
2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3
x4
– 4 = -3x2
x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
+ 3x2
– 4 = 0 ⇒ (x2
- 1)(x2
+ 4) = 0
x2
+ 4 = 0 ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ x ‫الن‬ ‫تهمل‬
x2
- 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ±1
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i
x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(1+2i)
:‫الحل‬ ‫لنكمل‬ ‫االن‬ ‫نعود‬
x =
5±√−3+4i
2
⇒ x =
5±(1+2i)
2
x =
5+(1+2i)
2
=
6+2i
2
= 3 + i
x =
5−(1+2i)
2
=
4−2i
2
= 2 - i
∴‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬{3 + i , 2 - i }

20. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬18/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫حلول‬‫التمارين‬2-1
1)‫مترافقان؟‬ ‫جذراها‬ ‫يكون‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫وبين‬ ‫االتية‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
a) z2
= -12
z = ±√−12 = ±√12 i = ±2√3 i
∴ S = {0+𝟐√ 𝟑 i , 0-𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
:‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
z2
= -12 ⇒ z2
+ 12 = 0 ⇒ z2
– 12 i2
= 0
(z - 2√3 i) (z + 2√3 i) = 0
z - 2√3 i = 0 ⇒ z = 2√3 i
z + 2√3 i = 0 ⇒ z = −2√3 i
∴ S = {0±𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
:)‫الدستور‬ ‫(باستخدام‬ ‫للحل‬ ‫ثالثة‬ ‫طريقة‬
z2
= -12 ⇒ z2
+ 12 = 0 a = 1 , b = 0 , c = 12
z =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
z =
0±√0−4(12)
2
=
±√−48
2
=
±4√3 i
2
= ±2√3 i
∴ S = {0±𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
b) z2
– 3z + 3+ i = 0
z2
– 3z + 3+ i = 0 A=1 , B=-3 , C=3+i
z =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
z =
3±√9−4(3+i)
2
=
3±√9−12−4i
2
=
3±√−3−4i
2
‫المقدار‬ ‫جذري‬ ‫نجد‬√−3 − 4i:
(x + yi)2
= −3 − 4i
2xy = -4 ⇒ y =
−2
x
x2
– y2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3 ⇒ x4
– 4 = -3x2
x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
+ 3x2
- 4 = 0 ⇒ (x2
+ 4)( x2
– 1) = 0 ⇒ x2
– 1 = 0 ⇒ x = ±1
∴ √−3 − 4i = ±(1 - 2i)
:‫المعادلة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬
z =
3 ± √−3−4i
2
=
3 ± (1 − 2i)
2
∴ z =
3 + 1 − 2i
2
=
4 − 2i
2
= 2 - i
or z =
3− 1+ 2i
2
=
2+ 2i
2
= 1 + i
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{2- i , 1+ i}

21. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬10/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
c) 2z2
– 5z + 13 = 0 ⇒ 2z2
– 5z + 13 = 0 a=2 , b=-5 , c=13
𝐳 =
−𝐛±√ 𝐛 𝟐−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
‫من‬‫الدستور‬ ‫قانون‬
𝐳 =
𝟓±√𝟐𝟓−𝟒( 𝟐 .𝟏𝟑)
𝟐 .𝟐
=
𝟓±√𝟐𝟓−𝟏𝟎𝟒
𝟒
=
𝟓±√−𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓±√ 𝟕𝟗 𝐢
𝟒
∴ S = {
𝟓
𝟒
+
√ 𝟕𝟗
𝟒
𝐢 , 𝟓
𝟒
−
√ 𝟕𝟗
𝟒
𝐢 } ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
d) z2
+ 2z + i(2-i) = 0
z2
+ 2z + (2i - i2
) = 0
z2
+ 2z + (2i + 1) = 0 ⇒ a = 1 , b = 2 , c =1+ 2i
z =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
z =
−2±√4−4(1+2i)
2
=
−2±√4−4−8i
2
=
−2±√0−8i
2
‫المقدار‬ ‫جذري‬ ‫نجد‬√0 − 8i:
x + yi = √0 − 8i ⇒ (x + yi)2
= 0 - 8i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 - 8i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - 8i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = -8 ⇒ y =
−4
x
…..❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
−4
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
16
x2
= 0 ⇒ x4
– 16 = 0 x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
– 16 = 0 ⇒ x4
= 16 ⇒ x = ±2
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 2 ⇒ y = −2
x = −2 ⇒ y = 2
‫نعود‬:‫المعادلة‬ ‫الى‬
z =
−2±√0−8i
2
=
−2±(2−2i)
2
=
−2 + 2 − 2i
2
= - i
or z =
−2− 2 + 2i
2
=
− 4 + 2i
2
= -2 + i
∴ S = {- i , -2+ i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
:)‫الدستور‬ ‫استخدام‬ ‫يطلب‬ ‫لم‬ ‫للحل(اذا‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
z2
+ 2z + i(2-i) = 0 ⇒ z2
+ 2z + 2i - i2
= 0 ⇒ (z2
– i2
) + (2z + 2i) = 0
(z2
– i2
) + 2(z + i) = 0 ⇒ (z - i)(z + i) + 2(z + i) = 0
(z + i) [(z – i) + 2] = 0
z + i = 0 ⇒ z = -i
or (z – i) + 2 = 0 ⇒ z – i = -2 ⇒ z = -2 + i
∴ S = {- i , -2+ i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
√0 − 8i = ± (2 - 2i)

22. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬11/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
e) 4z2
+ 25 = 0 ⇒ 4z2
– 25i2
= 0 ⇒ z2
=
25
4
i2
⇒ z = ±
5
2
i
∴ S = { 0 ±
𝟓
𝟐
𝐢 } ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫الدستور‬ ‫بطريقة‬ ‫السؤال‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬
4z2
+ 25 = 0 a = 4 , b = 8 , c = 23
z =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
z =
0±√0−4(4 .25)
2 .4
=
±√−400
8
=
±√400 i
8
= ±
20 i
8
= ±
5 i
2
∴ S = { 0 ±
𝟓
𝟐
𝐢 } ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
f) z2
- 2zi + 3 = 0 … ‫بطريقتين‬
‫ب‬ /‫االولى‬ ‫الطريقة‬:‫الدستور‬
z2
- 2zi + 3 = 0 a=1 , b=-2i , c=3
z =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
z =
2i ±√4i2−4(3)
2
=
2i±√−4−12
2
=
2i ± √−16
2
=
2i ± √16 i
2
=
2i ± 4 i
2
=
2i ± 4 i
2
∴ z =
2i+ 4 i
2
= 3i
or z = 2i− 4 i
2
= -i
∴ S = {0 - i , 0 + 3i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
/‫الثانية‬ ‫الطريقة‬‫بضرب‬‫بـ‬ ‫الثالث‬ ‫الحد‬(2
i–:)
z2
- 2zi + 3 = 0 ⇒ z2
- 2zi – 3i2
= 0 ⇒ (z - 3i)(z + i) = 0
z - 3i = 0 ⇒ z = 3i
or z + i = 0 ⇒ z = -i
∴ S = {0 - i , 0 + 3i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
:‫للطرفين‬ ‫اكس‬ ‫معامل‬ ‫نصف‬ ‫مربع‬ ‫بأضافة‬ /‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
z2
- 2zi + 3 = 0 ⇒ z2
- 2zi = -3 ⇒ z2
- 2zi + i2
= -3 + i2
(z - i) (z - i) = -3 -1 = -4 ⇒ (z - i)2
= -4 ⇒ z - i = ±2i ⇒ z = i ± 2i
Neither: z = i + 2i ⇒ z = 3i
OR : z = i – 2i ⇒ z = -i
∴ S = {0 - i , 0 + 3i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
2)‫جذرها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬m.L:‫حيث‬
a) m = 1 +2i , L = 1- i
m+L = (1 + 2i) + (1 - i) = 2 + i
m.L = (1 + 2i)(1 - i) = 1 + 2i – i + 2
m.L = 3 + i
x2
– (2 + i) x + (3 + i) = 0 ‫المعادلة‬

23. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬17/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
b) m =
3− i
1+ i
, L = (3- 2i)2
m =
3− i
1+ i
=
3− i
1+ i
.
1− i
1− i
=
(3− i)(1− i)
1+ 1
=
3−i−3i−1
2
=
2−4i
2
= 1 – 2i
L = (3- 2i)2
= 9 – 12i – 4 = 5 – 12i
m+L = (1 - 2i) + (5 - 12i) = 6 - 14i
m.L = (1-2i)(5-12i) = 5 –10i – 12i – 24 = -19 - 22i
:‫المعادلة‬
x2
– (6 - 14i) x + (-19 - 22i) = 0
3)‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬:‫االتية‬ ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬
a) -6i
c = 0 - 6i ‫ليكن‬
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √0 − 6i
(x + yi)2
= 0 - 6i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -0 - 6i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - 6i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = -6 ⇒ y =
−6
2x
⇒ y =
−3
x
...❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
−3
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
9
x2 = 0
x4
– 9 = 0 x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
= 9 ⇒ x2
= ±3 ⇒ x = ± √3
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = √3 ⇒ y =
−3
√3
= −√3 ⇒ c1 = √3 − √3 i
x = −√3 ⇒ y =
−3
−√3
= √3 ⇒ c2 = -√3 + √3 i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(√ 𝟑 - √ 𝟑i)
b) 7+24i
c = 7 + 24i ‫ليكن‬
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √7 + 24i
(x + yi)2
= 7 + 24i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 7 + 24i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 7 + 24i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = 24 ⇒ y =
24
2x
⇒ y =
12
x
...❶
x2
– y2
= 7 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
12
x
)
2
= 7 ⇒ x2
–
144
x2 = 7 ⇒ x4
– 144 = 7x2
x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬

24. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬14/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
x4
–7x2
- 144 = 0 ⇒ (x2
- 16)( x2
+ 9) = 0
x2
+ 9 = 0 ‫تهمل‬
x2
– 16 = 0 ⇒ x2
= 16 ⇒ x = ± 4
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 4 ⇒ y = 3 ⇒ c1 = 4 + 3i
x = −4 ⇒ y = −3 ⇒ c2 = -4 - 3i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±( 𝟒 + 3i)
c)
4
1−√3 i
‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬
4
1−√3 i
=
4
1−√3 i
.
1+√3 i
1+√3 i
=
4(1+√3 i)
1+3
=
4(1+√3 i)
4
= 1 + √3 i
c = 1 + √3 i ‫ليكن‬
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √1 + √3 i ⇒ (x + yi)2
= 1 + √3 i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 1 + √3 i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 1 + √3 i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = √3 ⇒ y =
√3
2x
…....❶
x2
– y2
= 1 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
√3
2x
)
2
= 1 ⇒ x2
–
3
4x2 = 1 ⇒ 4x4
– 3 = 4x2
4x2
≠0 ‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
4x4
– 4x2
- 3 = 0 ⇒ (2x2
- 3)(2x2
+ 1) = 0
2x2
+ 1 = 0 ‫تهمل‬
2x2
– 3 = 0 ⇒ x2
=
3
2
⇒ x = ±
√3
√2
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x =
√3
√2
⇒ y =
√3
2(
√3
√2
)
=
√3√2
2√3
=
√2
2
=
1
√2
x = −
√3
√2
⇒ y =
−1
√2
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(
√ 𝟑
√ 𝟐
+
𝟏
√ 𝟐
i)
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫للمقدار‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫جد‬-1+2√−2
/‫الحل‬
c = -1+2√−2 = -1+2√2 i ‫ليكن‬
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √−1 + 2√2 i ⇒ (x + yi)2
= -1+2√2 i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬

25. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬15/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
x2
+ 2xyi – y2
= -1+2√2 i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -1+2√2 i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy =2√2 ⇒ y =
2√2
2x
⇒ y =
√2
x
...❶
x2
– y2
= -1 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
√2
x
)
2
= -1 ⇒ x2
–
2
x2 = -1 ⇒ x4
– 2 = -x2
x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
+ x2
– 2 = 0 ⇒ (x2
- 1)( x2
+ 2) = 0
x2
+ 2 = 0 x ∈ R ‫الن‬ ‫تهمل‬
x2
– 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ± 1
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 1 ⇒ y = √2
x = −1 ⇒ y = −√2
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±( 𝟏 + √ 𝟐i)
4):‫هو‬ ‫جذريها‬ ‫وأحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعامالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
a) i
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬i , -i
i + (-i) = 0 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
i. (-i) = 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- (0) x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
x2
+ 1 = 0 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
b) 5 – i
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬5+i , 5-i
5+i + (5-i) = 10 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(5+i)(5-i)=25 + 1= 26 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- 10x + 26 = 0 ‫المعادلة‬
c)
√2+ 3i
4
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬
√2+ 3i
4
,
√2− 3i
4
√2− 3i
4
+
√2+ 3i
4
=
2√2
4
=
√2
2
=
1
√2
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
√2− 3i
4
.
√2+ 3i
4
=
2+9
16
=
11
16
‫حاصل‬‫الجذرين‬ ‫ضرب‬
x2
-
1
√2
x +
11
16
= 0 ‫المعادلة‬

26. [ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬16/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
5)‫كان‬ ‫اذا‬3+i: ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬ax + (5+5i) = 0–2
x‫قيمة‬ ‫فما‬∈ ℂa‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬‫؟‬
‫االول‬ ‫الجذر‬ ‫ليكن‬= 3 + i1x,= ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬2x
∵= ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
‫المطلق‬ ‫الحد‬
x2 ‫معامل‬
∴ x1 . x2 =
5+5i
1
= 5+5i ⇒ (3 + i) . x2 = 5 + 5i
x2 =
5+5i
3+i
=
5+5i
3+i
.
3−i
3−i
=
15+15i−5i+5
9+1
=
20+10i
10
= 2 + i ‫الثاني‬ ‫الجذر‬
∵= = ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
x ‫معامل‬ −
x2 ‫معامل‬
∴ x1 + x2 =
−(−a)
1
⇒ (2 + i) + (3 + i) = a ⇒ a = 5 + 2i
:‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
‫قيمة‬ ‫اليجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫االول‬ ‫الجذر‬ ‫نعوض‬a
(3 + i)2
– a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ (9 + 6i - 1) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0
(8 + 6i) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ a(3 + i) = (8 + 6i) + (5 + 5i) = 13 + 11i
a =
13+11i
3+i
=
13+11i
3+i
.
3−i
3−i
=
39+33i−13i+11
9+1
=
50+20i
10
= 5 + 2i
:‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫او‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫القانون‬ ‫تطبيق‬ ‫يتم‬ : ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫اليجاد‬
= ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬2x
(3 + i) + x2 = 5 + 2i
x2 = (5 + 2i) – (3 + i)
x2 = 2 + i ‫االخر‬ ‫الجذر‬

27. [ 1 – 6 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬10/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
6 ]–[ 1‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬:‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الي‬ ‫انه‬ ‫تعلمت‬a‫يحقق‬ ‫واحد‬ ‫تكعيبي‬ ‫جذر‬ ‫يوجد‬
‫المعادلة‬= a3
x‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ويكتب‬√a
3
‫تكعيبية‬ ‫جذور‬ ‫ثالثة‬ ‫هناك‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫اما‬
‫ال‬ ‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫عن‬ ‫االن‬ ‫ولنبحث‬ ‫الحقيقي‬ ‫للعدد‬‫ح‬‫واليجاد‬ , ‫الصحيح‬ ‫الواحد‬ ‫وهو‬ ‫ابسطها‬ ‫ولنأخذ‬ ‫قيقي‬
:‫االتية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ )‫(الثالثة‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬-
8-‫نفرض‬:= ‫العدد‬3
z1=3
z
2-: ‫نجعل‬8‫العدد‬ =-3
z= 01-3
z
7-‫المع‬ ‫نحل‬:‫مكعبين‬ )‫مجموع‬ ‫او‬ ‫(الفرق‬ ‫بـ‬ ‫ادلة‬
z3
– 1 = 0 ⇒ (z – 1)(z2
+ z +1) = 0
z – 1 = 0 ⇒ z = 1
z2
+ z +1 = 0 ⇒ z =
−1±√1−4
2
=
−1±√−3
2
=
−1±√3 i
2
4-:‫هي‬ ‫اعداد‬ ‫ثالثة‬ ‫فتكون‬ ‫النواتج‬ ‫نجد‬
1 ,
−1
2
+
√3
2
i ,
−1
2
−
√3
2
i
‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫خواص‬
8-‫العدد‬ ‫هو‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الجذور‬ ‫احد‬8.‫مترافقان‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬ ‫هما‬ ‫االخران‬ ‫والجذران‬ ,
2-‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الثالثة‬ ‫الجذور‬ ‫مجموع‬:
1 + )
−1
2
+
√3
2
i( + )
−1
2
−
√3
2
i( = 0
7-= ‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬8
)
−1
2
+
√3
2
i()
−1
2
−
√3
2
i( = 8
4-‫االخر‬ ‫التخيلي‬ ‫الجذر‬ = ‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫احد‬ ‫مربع‬
(
−1
2
+
√3
2
i)2
=
−1
2
−
√3
2
i
(
−1
2
−
√3
2
i)2
=
−1
2
+
√3
2
i
‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫الحد‬ ‫رمزنا‬ ‫فاذا‬(
−1
2
−
√3
2
i),(
−1
2
+
√3
2
i)‫بالرمز‬w( ‫اوميكا‬ ‫ويقرأ‬Omega)‫فان‬
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬2
w‫الصورة‬ ‫على‬ ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ ‫ولذلك‬2
1 , w , w‫الجذور‬ ‫وهذه‬
:‫العالقتين‬ ‫تحقق‬
1- w3
= 1
2- 1 + w + w2
= 0
‫الخاصية‬ ‫ومن‬2:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
1 + w = -w2
⇒ 1 + w2
= -w ⇒ w + w2
= -1 ⇒ w = -1 - w2
⇒ w2
= -1 - w ⇒ 1 = -w2
- w
2
w , w.‫مترافقان‬ ‫عددان‬
‫كان‬ ‫اذا‬ : ‫عامة‬ ‫وبصورة‬a‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫فان‬ , ‫حقيقيا‬ ‫عددا‬a:‫هي‬
√a
3
, √a
3
w , √a
3
w2
:‫مثال‬-
‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬0: ‫هي‬2
2 , 2w , 2w
‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬1-: ‫هي‬2
w-w ,-1 ,-

28. [ 1 – 6 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬10/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫قوى‬w:
w3
= 1 , w4
= w3
. w = w
w5
= w3
. w2
= w2
w6
= w3
. w3
= 1
‫قوى‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫وباالستمرار‬(w)‫القيم‬ ‫احدى‬ ‫تأخذ‬ ‫موجبة‬ ‫صحيحة‬ ‫السس‬2
1 , w , w‫زادت‬ ‫كلما‬ ‫القيم‬ ‫هذه‬ ‫وتتكرر‬
‫بمقدار‬ ‫المتتالية‬ ‫االسس‬7,:‫مثال‬-
w20
= w18
. w2
= (w3
)6
. w2
= w2
w100
= w99
. w = (w3
)33
. w = w
w3n
= (w3
)n
= 1 ‫صحيح‬ ‫عدد‬ n ‫حيث‬
w3n-1
= (w3
)n
.w-1
= w-1
=
1
w
=
w3
w
= w2
w-4
=
1
w4 =
1
w3 .w
=
1
w
= w2
‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬w‫بـ‬ ‫نضرب‬ ‫ان‬ ‫فيمكن‬ ‫سالب‬ ‫الس‬ ‫مرفوع‬w‫مضاعفات‬ ‫من‬ ‫موجب‬ ‫الس‬ ‫مرفوع‬
‫العدد‬3‫اس‬ ‫يساوي‬ ‫او‬ ‫اكبر‬w.
or w-4
= w6
. w-4
= w2
w-5
= w6
. w-5
= w
w-6
= w6
. w-6
= w0
= 1
w-20
= w21
. w-20
= w
w-31
= w33
. w-31
= w2
:‫ان‬ ‫بمعنى‬‫حيث‬n‫صحيح‬ ‫عدد‬r = 0 , 1 , 2,r
= w3n+r
w
:‫مثال‬
w33
= w3(11) + 0
= w0
= 1
w25
= w3(8) + 1
= w1
= w
w-58
= w3(-20) + 2
= w2
:‫ان‬ ‫بمعنى‬‫اس‬ ‫قسمة‬ ‫باقي‬w‫على‬3‫لـ‬ ‫الجديد‬ ‫االس‬ ‫هو‬w
‫مثال‬18/:‫قيمة‬ ‫جد‬
a) (3 + 2w + 2w2
)20
= [3 + 2(w + w2
)]20
‫مشترك‬ ‫عامل‬ 2 ‫نستخرج‬
= [3 + 2(-1)]20
w + w2
= -1 ‫نعوض‬
= [3 – 2]20
= 1
/‫مالحظة‬‫متشابهة‬ ‫المعامالت‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫فاننا‬‫نستخر‬‫مشترك‬ ‫عامل‬ ‫ج‬.
b) (1 - 3w - 3w2
)4
= [1 – 3(w + w2
)]4
‫مشترك‬ ‫عامل‬ 7 ‫نستخرج‬
= [1 – 3(w + w2
)]4
w + w2
= -1‫نعوض‬
= [1 – 3(-1)]4
= [1 + 3]4
= 44
= 256
c) (3 + 4w + 5w2
)2
/‫الحل‬‫نعوض‬w-1-=2
w
= [3 + 4w + 5(-1 – w)]2
= [3 + 4w - 5 – 5w]2
= [-2 - w]2
= 4 + 4w + w2
‫مشترك‬ ‫عامل‬ 4 ‫نستخرج‬
= 4(1 + w) + w2
1 + w = -w2
= 4(-w2
) + w2
= -4w2
+ w2
= -3w2

29. [ 1 – 6 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬17/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
/‫مالحظة‬‫المعامالت‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫مختلفة‬‫فيمكن‬‫تحويل‬w‫الى‬2w.‫بالعكس‬ ‫او‬
‫مثال‬19/:‫ان‬ ‫اثبت‬
1) w7
+ w5
+ 1 = 0
L.H.S= w7
+ w5
+1= w6
. w + w3
. w2
+1 = w + w2
+ 1 = 0 = R.H.S
2) (5+3w+3w2
)2
= -4(2+w+2w2
)3
= 4
L.H.S = (5 + 3w + 3w2
)2
‫االيمن‬ ‫الطرف‬
= [5 + 3(w + w2
)]2
‫مشترك‬ ‫عامل‬ 7 ‫نستخرج‬
= [5 + 3(-1)]2
w + w2
= -1‫نعوض‬
= [5 - 3]2
= 22
= 4 = R.H.S
M.H.S = -4(2+w+2w2
)3
‫االوسط‬ ‫الطرف‬
= -4(w + 2 + 2w2
)3
‫مشترك‬ ‫عامل‬ 2 ‫نستخرج‬
= -4[(w + 2(1+ w2
)]3
1+w2
= -w ‫نعوض‬
= -4[(w + 2(-w)]3
= -4[w – 2w]3
= -4[-w]3
= -4[-1] = 4 = L.H.S = R.H.S
‫مثال‬21/‫كو‬:‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ن‬
1) 1 – iw , 1 - iw2
‫ثالث‬ ‫دور‬ 2882
(1 – iw) + (1 – iw2
) = 2 – iw – iw2
= 2 – i(w + w2
) = 2 – i(-1) = 2 + i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1 – iw) (1 – iw2
) ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
=8 – iw – iw2
+ i2
w3
= 8 – iw – iw2
-1 = – iw – iw2
= – i(w + w2
) = – i(–1) = i
x2
– (2+i) x + i = 0 ‫المعادلة‬
2) 3w + w2
, w + 3w2
(3w + w2
) + (w + 3w2
) ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
= 4w + 4w2
= 4(w + w2
)= 4(-1) = -4
(3w + w2
)(w + 3w2
) ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
= 3w2
+ w3
+ 9w3
+ 3w4
= 3w2
+ 1 + 9 + 3w3
.w = 3w2
+ 10+ 3w
=10 + 3w + 3w2
= 10 + 3(w + w2
) = 10 + 3(-1) = 10 – 3 = 7
x2
+ 4x + 7= 0 ‫المعادلة‬
3) 1-2w , 1-2w2
(1-2w) + (1-2w2
) = 2 - 2w - 2w2
= 2 - 2(w + w2
) = 2 - 2(-1) = 4 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1-2w)(1-2w2
) ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
= 1 –2w -2w2
+4w3
= 1 –2w -2w2
+ 4 = 5 – 2w – 2w2
= 5 – 2(w + w2
)
= 5 – 2(-1) = 7
x2
- 4x + 7= 0 ‫المعادلة‬
‫المثالين‬ ‫في‬ /‫مالحظة‬2‫و‬3‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫فان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
.‫مترافقان‬ ‫عددان‬

30. [ 1 – 6 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬78/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
4) 2iw –
3w2
i
, 3iw –
2w2
i
/‫الحل‬:‫الكسور‬ ‫من‬ ‫لنتخلص‬ ‫الجذرين‬ ‫شكل‬ ‫نبسط‬
2iw –
3w2
0+i
.
0−i
0−i
= 2iw + 3iw2
‫االول‬ ‫الجذر‬
3iw –
2w2
0+i
.
0−i
0−i
= 3iw + 2iw2
‫الثاني‬ ‫الجذر‬
(2iw + 3iw2
) + (3iw + 2iw2
) = 5iw + 5iw2
= 5i(w + w2
)= 5i(-1) = –5i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(2iw+3iw2
)(3iw+2iw2
) = –6w2
– 4 – 9 – 6w = –13 – 6(w + w2
)= –13 + 6 = –7
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
+ 5ix – 7 = 0 ‫المعادلة‬
5)
2
1−w
,
2
1−w2
(
2
1−w
) + (
2
1−w2) =
2(1−w2)+ 2(1−w)
(1−w)(1−w2)
=
2−2w2+ 2−2w
(1−w)(1−w2)
=
4−2w2−2w
1−w−w2+1
=
4−2(w2+w)
2−(w+w2)
=
4+2
2+1
=
6
3
= 2 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(
2
1−w
)(
2
1−w2) =
4
1−w− w2+ 1
=
4
2−(w+ w2)
=
4
2+1
=
4
3
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
– 2x +
4
3
= 0 ‫المعادلة‬
‫مثال‬21/‫قيمة‬ ‫جد‬
a + bw + cw2
b + cw + aw2
/‫الحل‬/‫مالحظة‬‫ي‬ ‫كسر‬ ‫الختصار‬‫ــ‬‫ت‬‫ــ‬‫ف‬‫ــ‬‫ق‬‫فاننا‬ )‫باشاراتها‬ ‫المعامالت‬ , ‫الحدود‬ ‫(عدد‬ ‫بـ‬ ‫مقامه‬ ‫مع‬ ‫بسطه‬
‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫نضرب‬w‫بـ‬ ‫البسط‬ ‫في‬3w.‫االختصار‬ ‫فيتم‬
a + bw + cw2
b + cw + aw2 =
aw3+ bw + cw2
b + cw + aw2 =
w(aw2+ b + cw)
b + cw + aw2 = w
‫مثال‬22/‫كان‬ ‫اذا‬2
)
1
w
a+bi=(1+2w+,R∈a,b
8)‫ان‬ ‫برهن‬:= 12
+ b2
a
2)‫جذريها‬ ‫واحد‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫حدودها‬ ‫معامالت‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬a+bi.
/‫الحل‬
1) a + bi = (1 + 2w +
1
w
)2
= (1 + 2w +
w3
w
)2
= (1 + 2w + w2
)2
= (– w + 2w)2
= w2
∴ a + bi = w2
a2
+ b2
= a2
– b2
i2
= (a - bi)(a + bi)
‫ان‬ ‫بما‬w‫و‬2
w:‫مترافقان‬ ‫عددان‬
a2
+ b2
= w . w2
= w7
= 1
‫و‬‫قي‬ ‫عن‬ ‫بالتعويض‬ ‫الحل‬ ‫يمكن‬‫م‬2
w , w‫بـ‬)
−1
2
±
√3
2
i(
2)‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬ً‫ا‬‫اذ‬‫مترافقان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬‫,فاذ‬‫كان‬ ‫ا‬‫االول‬ ‫الجذر‬2
w‫هو‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬w:
w + w2
= -1 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
w . w2
= 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- x + 1 = 0 ‫المعادلة‬

31. [ 1 – 6 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬70/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫التمارين‬ ‫حلول‬3-1
1):‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫في‬ ‫االتية‬ ‫المقادير‬ ‫اكتب‬
a) w64
= w63
. w = (w3
)21
. w = w
b) w–325
= w327
. w–325
= w2
c)
1
(1+w−32)12 =
1
(1+w33.w−32)12 =
1
(1+w)12 =
1
(−w2)12 =
1
w24 = 1
d) (1+w2
)–4
= (-w)–4
=
1
(−w)4 =
1
w4 =
w6
w4 = w2
e) w9n+5
, n ∈ N ‫حيث‬
w9n+5
= w9n
. w5
= (w3
)3n
. w5
= w5
= w3
.w2
= w2
2)‫كو‬:‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ن‬
a) 1+w2
, 1+w
/‫الحل‬
(1+w2
) + (1+w) = 2 + w + w2
= 2 – 8 = 1 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1+w2
)(1+w) = 1 + w2
+ w + w3
= 1 + w + w2
+ 1 = 2 + -1 = 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
b)
w
2−w2 ,
w2
2−w
(
w
2−w2) + (
w2
2−w
) ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
=
w(2−w) + w2(2−w2)
(2−w2)(2−w)
=
2w−w2+ 2w2−w4
4−2w2−2w+w3 =
2w+ w2−w
5−2w2−2w
=
w+ w2
5−2(w2+w)
=
−1
5+2
=
−1
7
(
w
2−w2)(
w2
2−w
) ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
=
w3
4−2w2−2w+w3=
1
5−2w2−2w
=
1
5−2(w2+w)
=
−1
5+2
=
1
7
x2
+
1
7
x +
1
7
= 0 ⇒ 7x2
+ x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
c)
3i
w2 ,
−3w2
i
/‫الحل‬:‫الكسور‬ ‫من‬ ‫لنتخلص‬ ‫الجذرين‬ ‫شكل‬ ‫نبسط‬
3i
w2 .
w
w
= 3iw ‫االول‬ ‫الجذر‬
−3w2
i
.
−i
−i
= 3iw2
‫الثاني‬ ‫الجذر‬
(3iw + 3iw2
) = 3i(w + w2
) = -3i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
3iw . 3iw2
= 9i2
w3
= –9 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
+ 3ix – 9 = 0 ‫المعادلة‬

32. [ 1 – 6 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬71/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
3): ‫كان‬ ‫اذا‬+ z + 1 = 02
z: ‫قيمة‬ ‫فجد‬
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8
/‫الحل‬‫قيمة‬ ‫نحسب‬z
z2
+ z + 1 = 0 a = 1 , b = 1 , c = 1
z =
−1±√1−4
2
=
−1±√−3
2
=
−1±√3 i
2
⇒ z =
−1
2
±
√3
2
i ⇒ z = w or w2
‫لتكن‬z = w
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8 =
1+3w10+3w11
1−3w7−3w8 =
1+3w+3w2
1−3w−3w2 =
1+3(w+w2)
1−3(w+w2)
=
1−3
1+3
=
−2
4
= −
1
2
‫لتكن‬2
z = w
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8 =
1+3(w2)10+3(w2)11
1−3(w2)7−3(w2)8 =
1+3w20+3w22
1−3w14−3w16=
1+3w2+3w
1−3w2−3w
=
1+3(w2+w)
1−3(w2+w)
=
1−3
1+3
=
−2
4
= −
1
2
4):‫ان‬ ‫اثبت‬
a) (
1
2+w
−
1
2+w2)
2
= −
1
3
L.H.S = (
1
2+w
−
1
2+w2)
2
=(
(2+w2)− (2+w)
(2+w)(2+w2)
)
2
= (
w2− w
4+2w+2w2+w3)
2
=(
w2− w
5+2(w+w2)
)
2
=(
w2− w
5−2
)
2
=(
w2− w
3
)
2
=
w4− 2w3+w2
3
=
w+w2− 2
3
=
−3
9
=
−1
3
= R.H.S
b)
w14+w7−1
w10+w5−2
=
2
3
L.H.S =
w14+w7−1
w10+w5−2
=
w2+w−1
w+w2−2
=
−1−1
−1−2
=
−2
−3
=
2
3
= R.H.S
c) (1 −
2
w2 + w2
) (1 + w −
5
w
) = 18 ‫وزاري‬2884‫دور‬8
L.H.S = (1 −
2
w2 + w2
) (1 + w −
5
w
) = (1 −
2w3
w2 + w2
) (1 + w −
5w3
w
)
= (1 − 2w + w2)(1 + w − 5w2) = (−w − 2w)(−w2
− 5w2)
= (−3w)(−6w2) = 18 w3
= 18 = R.H.S
d) (1+ w2
)3
+ (1+ w)3
= -2
L.H.S = (1+ w2
)3
+ (1+ w)3
= (–w)3
+ (–w2
)3
= – w3
– w6
= – w3
– (w3
)2
= –1 – 1 = –2 = R.H.S
= 13
w
2
w–1+w =
w–=2
1+w

33. [ 1 – 7 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬77/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
7 ]–[ 1‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬:‫المركبة‬ ‫لالعداد‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يعرف‬z‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫انه‬ ‫على‬
(x,y)‫بالشكل‬ ‫ويكتب‬z(x,y)‫للعدد‬ )‫ارجاند‬ ‫(شكل‬ ‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬ ‫ويسمى‬z‫المجموعة‬ ‫وتسمى‬ ,
ℂ = {(x, y) ∶ x , y ∈ R}‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬.
‫االزواج‬ ‫من‬ ‫منتهية‬ ‫غير‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫المجموعة‬ ‫هذه‬ ‫ان‬ ‫الواضح‬ ‫من‬
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫ونالحظ‬ , ‫المرتبة‬(x,y)‫في‬ ‫وحيدة‬ ‫نقطة‬ ‫تمثله‬
‫المحورين‬ ‫المتعامد‬ ‫المستوي‬)2
or E2
(R‫المستوي‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫كما‬
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫بين‬ ‫تقابل‬ ‫هناك‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ً‫ا‬‫وحيد‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫تمثل‬
‫ومجموعة‬.‫المستوي‬ ‫نقط‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫تمثيل‬ ‫ويمكن‬z = x+yi‫بالمتجه‬𝐎𝐏⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫من‬O(0,0)‫النقطة‬ ‫الى‬P(x,y)‫وذلك‬‫بتمثيل‬
‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬x‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬X-Axis‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫وتمثيل‬y‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬Y– Axis.
‫مثال‬23/:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ‫هندسيا‬ ‫االتية‬ ‫العمليات‬ ‫مثل‬
1) (3 + 4i) + (5 + 2i)
(3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i
‫مثلنا‬ ‫فاذا‬ , ‫متجهين‬ ‫جمع‬ ‫هو‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫جمع‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬
‫بالنقطتين‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬1P‫و‬2P‫مجموعهما‬ ‫فان‬ ‫المستوي‬ ‫في‬
‫بالنقطة‬ ‫يمثل‬3P‫االضالع‬ ‫لمتوازي‬ ‫الرابع‬ ‫الرأس‬
3,P2,P1O,P‫حيث‬O. ‫االصل‬ ‫نقطة‬
‫العدد‬ ‫نمثل‬3+4i‫بالنقطة‬(3,4)1P
‫العدد‬ ‫نمثل‬5+2i‫بالنقطة‬(5,2)2P
‫حيث‬ ‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫نكمل‬ ‫ثم‬𝐎𝐏 𝟏
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,𝐎𝐏 𝟐
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫ضلعان‬
‫النقطة‬ ‫ونمثل‬ ‫متجاوران‬3P.‫العددين‬ ‫جمع‬ ‫ناتج‬
2) (6 - 2i) - (2 - 5i(
(6 - 2i) - (2 - 5i) = (6 - 2i) + (-2 + 5i)= 4 + 3i
‫جمع‬ ‫عملية‬ ‫انها‬ ‫على‬ ‫الطرح‬ ‫عملية‬ ‫تعرف‬
‫العدد‬ ‫نمثل‬2i-6‫بالنقطة‬2)-(6,1P
‫العدد‬ ‫نمثل‬i5+2-‫بالنقطة‬)5,2-(2P
‫الناتج‬ ‫فيكون‬ ‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫نكمل‬𝐎𝐏 𝟑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫وهو‬‫جمع‬ ‫ناتج‬
‫العددين‬
y
x
O(0,0)
P(x,y)
y
x
O(0,0) 2)-(6,1P
2,5)-(2P
(4,3)3P
y
xO(0,0)
(5,2)2P
(3,4)1P
(8,6)3P

34. [ 1 – 7 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬74/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫التمارين‬ ‫حلول‬4–1
1)‫مث‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫ل‬
z1 = 2+3i , z2 = -1+3i , z3 = 1-i , z4 = i
z2 = -1+3i = (-1,3)
-z2 = 1-3i = (1,-3) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z1 = 2+3i = (2,3)
-z1 = -2-3i = (-2,-3) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z4 = i =0 + i = (0, 1)
-z4 = - i = 0 - i = (0,-1) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z3 = 1- i = (1,-1)
-z3 = -1+ i = (-1,1) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
2)‫مث‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫اكتب‬:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫ل‬
z1 =3+3i , z2 =-7+2i , z3 =1-i , z4 = -2i
z2 = -3 + 2i = (-3, 2)
z2̅ = -3 - 2i = (-3,-2) ‫المرافق‬
z1 = 5 + 3i = (5, 3)
z1̅ = 5 - 3i = (5,-3) ‫المرافق‬
z4 = -2i = 0 - 2i = (0, -2)
z4̅ = 2i = 0 + 2i = (0,2) ‫المرافق‬
z3 = 1 - i = (1, -1)
z3̅ = 1 + i = (1,1) ‫المرافق‬
(-1,1)
(1,-1)
(5,-3)
(5, 3)
(-3,-2)
(-3, 2)
(1,-1)
(1, 1)
(0,-2)
(0, 2)
(-1,3)
(1,-3)
(0,-1)
(0, 1)
1z
1z-
(2,3)
(-2,-3)

35. [ 1 – 7 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬75/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
3)‫كان‬ ‫اذا‬z = 4+2i‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬:z , z̅ , −z
/‫الحل‬
z = 4 + 2i = (4 , 2)
z̅ = 4 – 2i = (4 , -2) ‫المرافق‬
−z = -4 – 2i = (-4 , -2) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
4)‫كان‬ ‫اذا‬2i-= 41z,2i+1=2z:‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
-3z2 , 2z1 , z1 – z2 , z1 + z2
z1 = 4 - 2i
2z1 = 2(4 - 2i) = 8 - 4i = (8,-4)
z2 = 1 + 2i
-3z2 = -3(1 + 2i) = -3 -6i = (-3,-6)
z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i
z1 + z2 = (4 - 2i) + (1 + 2i)
= 5 - 0i = (5, 0)
z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i
z1 - z2 = (4 - 2i) – (1 + 2i)
= (4 - 2i) + (-1 - 2i) = 3 - 4i = (3,-4)
(4, -2)
(4, 2)
(-4, -2)
(-3,-6)
(3,-4)
(-1,-2)
(4,-2)
(4,-2)
(5, 0)
(1, 2)
(8,-4)

36. [ 1 – 8 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬76/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
8 ]–[ 1:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬z = x +yi‫بالنقطة‬ ‫ومثلناه‬P(x,y)‫فان‬
(r,θ)‫للنقطة‬ ‫القطبيان‬ ‫االحداثيان‬ ‫هما‬P‫حيث‬O)‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬ ‫تمثل‬‫و‬OX⃑⃑⃑⃑⃑.‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬
‫يسمى‬r‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬z‫ويقرأ‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫وهو‬
(Mod z)‫له‬ ‫ويرمز‬‖z‖:‫حيث‬
r = ‖z‖ = √x2 + y2
‫المتجه‬ ‫يصنعها‬ ‫التي‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫اما‬OP⃑⃑⃑⃑⃑‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫مع‬
‫لها‬ ‫ويرمز‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬θ:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫ايجادها‬ ‫ويتم‬
cos θ =
x
r
=
x
‖z‖
⇒ R(z) = x = r.cos θ
sin θ =
y
r
=
y
‖z‖
⇒ 𝐈(z) = y = r.sin θ
‫حيث‬:R(z)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫للجزء‬ ‫يرمز‬(z)
I(z)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫للجزء‬ ‫يرمز‬(z)
‫تسمى‬θ‫بالشكل‬ ‫وتكتب‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬θ = arg(z)‫الفترة‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫القيمة‬ ‫وهي‬
[0, 2π)‫اما‬ ,θ + 2nπ‫(حيث‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫فتسمى‬n)‫صحيح‬ ‫عدد‬.
:‫السعة‬ ‫ايجاد‬ ‫حول‬ ‫مالحظات‬-
8-.‫للدالة‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫من‬ )‫المنسبة‬ ‫(الزاوية‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫نحدد‬
2-‫الزاوية‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬ ‫نحدد‬θ.‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫من‬ ‫او‬ ‫الدالة‬ ‫اشارة‬ ‫من‬
7-‫ربعية‬ ‫الزاوية‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬{0 ,
π
2
, π ,
3π
2
}‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬ ‫تحديد‬ ‫يتم‬ ‫وال‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫تحديد‬ ‫يتم‬ ‫فال‬
.‫الزاوية‬
‫مثال‬24/:‫من‬ ‫لكل‬ ‫للسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬
1) z1 = 1- √3i
z1 = 1- √3i =(1,- √3)
Mod(z) = ‖z‖ = r = √x2 + y2 = √1 + 3 = 2 unit ‫المقياس‬ ‫نجد‬
cos θ =
x
‖z‖
=
1
2
, sin θ =
y
‖z‖
=
− √3
2
‫نجد‬‫االسناد‬ ‫زاوية‬
∴= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝝅
𝟑
: ‫الزاوية‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬-θ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
θ = arg(z) = 2π -
𝜋
3
=
5𝜋
3
𝜽
𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
0
𝝅
𝟐
𝝅
𝟑𝝅
𝟐
sin
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟐
√ 𝟑
𝟐
0 1 0 -1
cos √ 𝟑
𝟐
𝟏
√𝟐
𝟏
𝟐
1 0 -1 0
Y
XO
P(x,y)
θ
r
y
x
❶+, y+x
sin+ , cos+
‫االسناد‬ ‫زاوية‬ = ‫السعة‬
❷+, y–
x
sin+ , cos–
𝜃 = 𝜋 − ‫االسناد‬
❹–
, y+x
sin–
, cos+
𝜃 = 2𝜋 − ‫االسناد‬
❸–
, y–
x
sin–
, cos–
𝜃 = 𝜋 + ‫االسناد‬
‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬
‫الديكارتية‬ ‫والصيغة‬

37. [ 1 – 8 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬70/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
2) -1-i
z2 = -1- i =(-1, -1)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2 unit
cos θ =
x
‖z‖
=
−1
√2
, sin θ =
y
‖z‖
=
− 1
√2
∴= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝝅
𝟒
,θ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬‫الثالث‬
θ = arg(z) = π +
𝜋
4
=
5𝜋
4
3) i
z3 = 0 + i =(0, 1)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √0 + 1 = 1 unit
cos θ =
x
‖z‖
= 0 , sin θ =
y
‖z‖
=
1
1
= 1
∴ θ =
𝜋
2
‫مثال‬25/‫كان‬ ‫اذا‬z‫مقياسه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬2‫وسعته‬
𝜋
6
‫للعدد‬ ‫الجبري‬ ‫الشكل‬ ‫جد‬ ,z.
/‫الحل‬
r = ‖z‖ = 2 , θ = arg(z) =
𝜋
6
‫نجد‬x‫من‬cos 𝛉:cos θ =
x
r
x = r . cos θ = 2 (cos
𝜋
6
) = 2 (
√3
2
) = √3
‫نجد‬y‫من‬sin 𝛉:sin θ =
y
r
y = r . sin θ = 2 (sin
𝜋
6
) = 2 (
1
2
) = 1
∴ z = x + yi = √3 + i
‫مثال‬26/‫االساسية‬ ‫سعته‬ ‫الذي‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جد‬
𝜋
4
‫التخيلي‬ ‫وجزءه‬
1
√2
.
‫من‬sin θ‫المقياس‬ ‫نجد‬r:-sin θ =
y
r
r =
y
sin θ
. =
1
√2
sin
𝜋
4
=
1
√2
1
√2
= 1
‫من‬cos θ‫نجد‬x:-cos θ =
x
r
x = r.cos θ = 1 . cos
𝜋
4
= 1(
1
√2
) =
1
√2
z =
1
√2
+
1
√2
i ‫العدد‬ ∴

38. [ 1 – 8 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬70/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫مثال‬27/:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬
1) -2+2i = (-2,2)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √4 + 4 = √8 = 2 √2
cos θ =
x
r
=
−2
2√2
=
−1
√2
, sin θ =
y
r
=
2
2√2
=
1
√2
∴‫زاوية‬‫الاسناد‬=
𝝅
𝟒
,𝛉‫تقع‬‫في‬‫الربع‬‫الثاني‬
θ = arg(z) = π -
𝜋
4
=
3𝜋
4
:‫القطبية‬ ‫الصيغة‬-
z = r (cos θ + i sin θ) = 2√2 (cos
3𝜋
4
+ i sin
3𝜋
4
)
2) 2√3 - 2i = (2√3 , -2) ‫وزاري‬2882‫ثاني‬ ‫دور‬
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √12 + 4 = √16 = 4
cos θ =
x
r
=
2√3
4
=
√3
2
, sin θ =
y
r
=
−2
4
=
−1
2
∴= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝝅
𝟔
,𝛉‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
θ = arg(z) = 2π -
𝜋
6
=
11𝜋
6
z = r (cos θ + i sin θ) = 4 (cos
11𝜋
6
+ i sin
11𝜋
6
) ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
8)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫ان‬z = 0.‫اتجاه‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫وذلك‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬
2)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫بكتابة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫من‬ ‫االفادة‬ ‫ممكن‬z = x+yi‫بصورة‬
‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫تسمى‬ ‫اخرى‬Polar form:‫يأتي‬ ‫وكما‬
∵ x = r cos θ , y = r sin θ
∴ z = r cos θ + i r sin θ
= r(cos θ + i sin θ)
z = ‖z‖[cos (arg z)+ i sin (arg z)] ‫أو‬
:‫حيث‬r = Mod(z) = ‖z‖,θ = arg(z)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬z

39. [ 1 – 8 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬77/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫مثال‬28/‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬:
b) ia) 1
d) -ic) -1
:‫نضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫السابق‬ ‫االستنتاج‬ ‫وبتطبيق‬
3 = 3 . 1 = 3(cos 0 + i sin 0)
-2 = 2 . (-1) = 2(cos 𝜋 + i sin 𝜋)
5i = 5 . i = 5(cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
-7i = 7 .(-i) = 7(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)
:‫نستنتج‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫من‬-
 1 = (cos 0 + i sin 0)
 -1 = (cos 𝜋 + i sin 𝜋)
 i = (cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
 -i = 1(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)
(1, 0)
Pz1 = (1,0) = 1+0i
mod z1 = 1
arg z1 = 0
∴ z1 = 1(cos 0 + i sin 0)
(0, 1)
Pz2 = (0,1) = 0+1i
mod z2 = 0
arg z2 =
𝜋
2
∴ z2 = 1(cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
(-1, 0)
Pz3 = (-1,0) = -1+0i
mod z3 = 1
arg z3 = 𝜋
∴ z3 = 1(cos 𝜋 + i sin 𝜋) (0, -1)
Pz4 = (0,-1) = 0- i
mod z4 = 1
arg z4 =
3𝜋
2
∴ z4 = 1(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)

40. [ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬48/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
9 ]–[ 1:‫ديمواڤر‬ ‫مبرهنة‬1z,2z‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫تكتب‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬:
z1 = cos∅ + i sin∅
z2 = cosθ + i sinθ
‫نجد‬ ‫االن‬2z.1z:
z1 . z2 = (cos∅ + i sin∅)( cosθ + i sinθ)
= cosθ cos∅ + i cosθ sin∅ + i sinθ cos∅ - sinθ sin∅
z1 . z2 = (cosθ cos∅ - sinθ sin∅) + i (cosθ sin∅ + sinθ cos∅)
z1 . z2 = cos(θ + ∅) + i sin(θ + ∅)
‫كانت‬ ‫واذا‬θ = ∅:‫تصبح‬ ‫العالقة‬ ‫فان‬
z1 . z2 = cos(2θ) + i sin(2θ)
: ‫فان‬ ‫المثلثات‬ ‫قوانين‬ ‫خالل‬ ‫ومن‬
cos(2θ) + i sin(2θ) = (cosθ + i sinθ)2
:‫البرهان‬
R.H.S = (cosθ + i sinθ)2
= cos2
θ + 2i sinθ cosθ - sin2
θ
=(cos2
θ - sin2
θ) + i(2sinθ cosθ) = cos2θ + i sin2θ = L.H.S
:‫لتصبح‬ ‫ذلك‬ ‫تعميم‬ ‫ويمكن‬
‫مثال‬29/: ‫احسب‬-4
)
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
(cos
(cos
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
)4
= cos 4(
3𝜋
8
) + i sin4(
3𝜋
8
) = cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
= 0 + i(−1)
∴ (cos
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
)4
= −i
‫مثال‬78‫لكل‬ ‫انه‬ ‫بين‬ /N∈n,Rθ ∈: ‫فان‬nθi sin-nθcos=n
)θsini-θcos(
L.H.S = (cosθ - i sinθ)n
= [cosθ + i (-sinθ)]n
= [cos(−θ) + i sin(−θ)]n
‫وبجعل‬β = − θ: ‫العالقة‬ ‫تصبح‬
= [cos β + i sin β]n
= cos nβ + i sin nβ = cos (−nθ) + i sin (−nθ)
= cos nθ - i sin nθ = R.H.S
‫مثال‬31/‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫احسب‬‫ڤ‬‫ر‬11
(1 + i)
z = (1+ i) = (1 , 1)
‫للعدد‬ ‫للسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫نجد‬z:
mod(z) = r = √2
cos θ =
1
√2
, sin θ =
1
√2
‫العدد‬ ‫نكتب‬z:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
z = r )cos θ + i sin θ( θ =
𝝅
𝟒
‫لكل‬N∈n,Rθ ∈:‫فان‬nθi sin+nθcos=n
)θsin+ iθcos(
‫مبرهنة‬‫ديموا‬‫ڤ‬:‫ر‬‫لكل‬N∈n,Rθ ∈‫كان‬ ‫اذا‬)θ+ i sinθz = r(cos: ‫فان‬
zn
= rn
(cosθ + i sinθ)n
= rn
(cos nθ + i sin nθ)

41. [ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬40/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
z = √2 )cos
𝝅
𝟒
+ i sin
𝝅
𝟒
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نطبق‬‫ڤ‬:‫ر‬
zn
= rn
(cos nθ + i sin nθ)
z11
= (√2)11
(cos
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
)
∴ z11
= (2)
11
2 (cos
𝟑 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟑 𝝅
𝟒
)
∴ z11
= (2)5
1
2 (
−1
√2
+
1
√2
i)
z11
= 32 √2 (
−1
√2
+
1
√2
i) = 32 (-1+ i)
∴ (1 + i)11
= 32 (-1+ i)
:‫االتي‬ ‫بالشكل‬ ‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫تعميم‬ ‫ويمكن‬
(cosθ + i sinθ)-n
= cos(nθ) - i sin(nθ)
‫مثال‬32/‫المعادلة‬ ‫حل‬+ 1 = 03
x,ℂ∈x
x3
+ 1 = 0 ⇒ x3
= -1
‫العدد‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬-1‫المثال‬ ‫في‬ ‫سابقا‬ ‫مبين‬ ‫كما‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬20:
∴ x = (cos π + i sin π)
1
3
1
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
θ = π , n = 3
∴ x = (cos
π+2πk
n
+ i sin
π+2πk
n
) k = 0 , 1 , 2
k = 0 ⇒ x = (cos
π
3
+ i sin
π
3
) =
1
2
+
√3
2
i
k = 1 ⇒ x = (cos π + i sin π)= −1 + i(0) = −1
k = 2 ⇒ x = (cos
5π
3
+ i sin
5π
3
) ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬
𝟓𝛑
𝟑
‫الزاوية‬
x = cos (2π −
π
3
) + i sin (2π −
π
3
) = cos(
π
3
) − i sin(
π
3
) =
1
2
−
√3
2
i
∴: ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬{ −1 ,
1
2
+
√3
2
i ,
1
2
−
√3
2
i }
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬‫ڤ‬:‫ر‬‫لكل‬N , n > 1∈n,Rθ ∈:‫فان‬
√ 𝐳
𝐧
= 𝐫
𝟏
𝐧
𝟏
(𝐜𝐨𝐬
𝛉+𝟐𝛑𝐤
𝐧
+ 𝐢 𝐬𝐢𝐧
𝛉+𝟐𝛑𝐤
𝐧
)
‫حيث‬:k = 0 , 1 , 2 , … , n-1
‫الزاوية‬ ‫نحدد‬
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
‫االولى‬ ‫الدورة‬ ‫في‬
/‫مالحظة‬=
𝟑 𝝅
𝟒
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
=
𝟖 𝝅
𝟒
+
𝟑 𝝅
𝟒
cos
3 π
4
= cos (π −
π
4
) = -cos
π
4
=
−𝟏
√𝟐
sin
3 π
4
= sin (π −
π
4
) = sin
π
4
=
𝟏
√𝟐
/‫مالحظة‬θi sin-θcos=)θ-(i sin+)θ-(cos=1-
)θsin+ iθcos(

42. [ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬41/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫مثال‬33/‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫اوجد‬(√3 + i)
2
.‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫ليكن‬z = √3 + i
z = √3 + i = (√3 , 1)
‫و‬ ‫المقياس‬ ‫نجد‬‫ا‬‫للعدد‬ ‫لسعة‬z:
mod(z) = r = √3 + 1 = 2
cos θ =
√3
2
, sin θ =
1
2
, arg(z) =
π
6
∴ z = 2 )cos
π
6
+ i sin
π
6
( ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ z ‫العدد‬ ‫نكتب‬
‫نأخذ‬2
z‫وذلك‬‫ب‬‫مبرهنة‬ ‫تطبيق‬‫ديموا‬‫ڤ‬:‫ر‬
z2
= 22
)cos
π
6
+ i sin
π
6
(2
= 4 )cos
π
3
+ i sin
π
3
(
‫للعدد‬ ‫الخامس‬ ‫الجذر‬ ‫نأخذ‬2
z:‫فيصبح‬
z
2
5
2 = [4 (cos
π
3
+ i sin
π
3
)]
1
5
2 = 4
1
5
2 (cos
π
3
+ i sin
π
3
)
1
5
2
= √4
5
(cos
π
3
+ i sin
π
3
)
1
5
2
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫نطبق‬‫ڤ‬‫ر‬:θ =
π
3
, n = 5
k = 0 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
π
15
+ i sin
π
15
)
k = 8 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
7π
15
+ i sin
7π
15
)
k = 2 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
13π
15
+ i sin
13π
15
)
k = 7 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
19π
15
+ i sin
19π
15
)
k = 4 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
25π
15
+ i sin
25π
15
) = √4
5
(cos
5π
3
+ i sin
5π
3
)
)‫(اثرائي‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬
: ‫كان‬ ‫اذا‬)θ1+ i sinθ1(cos1= r1z‫و‬)θ2+ i sinθ2(cos2= r2z
: ‫فان‬
z1 . z2 = r1. r2[cos(θ1+θ2)+ i sin(θ1+θ2)]
/‫مثال‬‫كان‬ ‫اذا‬)
π
6
+ i sin
π
6
(cos2=1z‫و‬)
2π
3
+ i sin
2π
3
(cos7=2z‫ناتج‬ ‫اوجد‬2. z1z‫ثم‬
.‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الناتج‬ ‫اكتب‬
/‫الحل‬
z1 . z2= 2(3)[cos(
π
6
+
2π
3
)+ i sin(
π
6
+
2π
3
)] = 6 [cos(
5π
6
)+ i sin(
5π
6
)] ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
= 6 [−
√3
2
+ i (
1
2
)] = −3√3 + 3i ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬
‫المثال‬ ‫صيغة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ /‫مالحظة‬: ‫يلي‬ ‫كما‬‫المقدار‬ ‫اوجد‬(√3 + i)
2
5

43. [ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬47/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
)‫(اثرائي‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫قسمة‬
: ‫كان‬ ‫اذا‬)θ1+ i sinθ1(cos1= r1z‫و‬)θ2+ i sinθ2(cos2= r2z
: ‫فان‬
z1
z2
=
r1
r2
[cos(θ1-θ2)+ i sin(θ1-θ2)]
‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مثال‬)
5π
6
+ i sin
5π
6
= 4(cos1z,)
π
6
+ i sin
π
6
(cos7=2z‫ناتج‬ ‫اوجد‬
z1
z2
‫اكتب‬ ‫ثم‬
.‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الناتج‬
/‫الحل‬
z1
z2
=
4
3
[cos(
5π
6
-
π
6
)+ i sin(
5π
6
-
π
6
)] =
4
3
[cos(
4π
6
)+ i sin(
4π
6
)]
=
4
3
[cos(
2π
3
)+ i sin(
2π
3
)] ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
z1
z2
=
4
3
[-cos(
π
3
)+ i sin(
π
3
)] =
4
3
(
−1
2
+
√3
2
i) = −
2
3
+
2
√3
i ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬5-1
8-:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫أحسب‬
a) [cos
5
24
𝜋 + i sin
5
24
𝜋]
4
= cos 4 (
5𝜋
24
) + i sin 4 (
5π
24
) = cos (
5𝜋
6
) + i sin (
5π
6
)
= cos (𝜋 −
𝜋
6
) + i sin (𝜋 −
𝜋
6
) = −cos (
𝜋
6
) + i sin (
𝜋
6
) = −
√3
2
+ 1
2
i
b) [cos
7
12
𝜋 + 𝑖 sin
7
12
𝜋]
−3
= cos 3 (
7𝜋
12
) − i sin 3 (
7π
12
) = cos (
7𝜋
4
) − i sin (
7π
4
)
= cos (2𝜋 −
𝜋
4
) − i sin (2𝜋 −
𝜋
4
) = cos (
𝜋
4
) + i sin (
𝜋
4
) =
1
√2
+
1
√2
i
2-‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫احسب‬‫ڤ‬:‫يأتي‬ ‫ما‬ )‫التعميم‬ ‫(او‬ ‫ر‬
a) (1 – i)7
8 ‫دور‬ 2882 ‫وزاري‬ , 2887 ‫تمهيدي‬
/‫الحل‬‫العدد‬ ‫نكتب‬(1-i):‫والسعة‬ ‫المقياس‬ ‫بايجاد‬ ‫وذلك‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
z = 1 – i = (1,-1) ‫ليكن‬
r = Mod(z) = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2unit
cos θ =
x
r
=
1
√2
, sin θ =
y
r
=
−1
√2
∴= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝝅
𝟒
‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫يقع‬ ‫العدد‬ ,
∴ θ = arg(z) = 2𝜋 −
𝜋
4
=
7𝜋
4
‫العدد‬ ‫نكتب‬z:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
z = √2 )cos
𝟕𝝅
𝟒
+ i sin
𝟕𝝅
𝟒
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
z7
= (√2)7
(cos
𝟕 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟕 𝝅
𝟒
)7
= (√2)7
(cos
𝟒𝟗 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟒𝟗 𝝅
𝟒
)

44. [ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬44/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
z7
= 8√2 (cos
𝝅
𝟒
+ i sin
𝝅
𝟒
)
z7
= 8√2 (
1
√2
+
1
√2
i)
∴ (1 - i)7
= 8 + 8 i
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االسهل‬ ‫الحل‬ ‫فيكون‬ "‫ديمواڤر‬ ‫مبرهنة‬ ‫"باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬
(1 - i)7
= [(1 - i)2
]3
(1- i) = (1 - 2i - 1)3
(1- i) = (-2i)3
(1- i) = -8 i3
(1- i)
= 8i (1- i) = 8 + 8i
b) (√3 + i)-9
‫ثاني‬ ‫دور‬ 2887 ‫وزاري‬
/‫الحل‬
z = √3 + i = (√3, 1) ‫ليكن‬
r = Mod(z) = √x2 + y2 = √3 + 1 = 2unit
cos θ =
x
r
=
√3
2
, sin θ =
y
r
=
1
2
∴= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝝅
𝟔
‫العدد‬ ,‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫يقع‬
∴ θ = arg(z) =
𝜋
6
‫العدد‬ ‫نكتب‬z:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
z = 2 )cos
𝝅
𝟔
+ i sin
𝝅
𝟔
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
z-9
= (2)-9
(cos
𝝅
𝟔
+ i sin
𝝅
𝟔
)-9
= (
1
29) (cos
𝟗𝝅
𝟔
- i sin
𝟗𝝅
𝟔
) =
1
512
(cos
𝟑𝝅
𝟐
- i sin
𝟑𝝅
𝟐
)
z-9
=
1
512
(0 – (-i)) =
1
512
i
7-‫ما‬ ‫بسط‬:‫يأتي‬
a)
(cos2θ + i sin 2θ)5
(cos3θ + i sin 3θ)3 =
[(cos θ + i sin θ)2]
5
[(cos θ + i sin θ)3]3 =
(cos θ + i sin θ)10
(cos θ + i sin θ)9 = cos θ + i sin θ
b) (cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
…..
‫بطريقتين‬
/‫الحل‬:‫االولى‬ ‫الطريقة‬
(cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
= (cosθ + i sinθ)8
(cosθ + i sinθ)-4
= (cosθ + i sinθ)4
= cos4θ + i sin4θ
:‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
(cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
= (cos 8θ + isin 8θ)(cos4θ + isin 4θ)
=(cos 8θ cos 4θ + i cos 8θ sin 4θ + i cos 4θ sin 8θ + i2
sin 8θ sin 4θ)
=(cos 8θ cos 4θ − sin 8θ sin 4θ + i (cos 8θ sin 4θ + cos 4θ sin 8θ))
=(cos(8θ − 4θ) + i ( sin 8θ − 4θ)) = cos4θ + i sin4θ
Hint: x4
y4
= (x.y)4
/‫مالحظة‬
49 𝜋
4
=
49 𝜋
4
− 12 𝜋 =
𝝅
𝟒
√2= 8(√2)6
(√2)=7
(√2)

45. [ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬45/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
4-‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬-1+√3 i‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬‫ڤ‬‫البند‬ ‫في‬ ‫المعروضة‬ ‫بالطريقة‬ ‫ثم‬ ‫ر‬4-8.
/‫الحل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ : ‫اوال‬‫ڤ‬‫ر‬
‫ليكن‬z =−1 + √3 i
z = = −1 + √3 i = (-1 , √3)
‫للعدد‬ ‫والسعة‬ ‫المقياس‬ ‫نجد‬z:
mod(z) = r = √1 + 3 = 2 unit
cos θ =
−1
2
, sin θ =
√3
2
∴= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝝅
𝟑
‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫يقع‬ ‫العدد‬ ,
∴ arg(z) = 𝜋 −
𝜋
3
=
2𝜋
3
‫العدد‬ ‫نكتب‬z:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
∴ z = 2 )cos
2π
3
+ i sin
2π
3
(
‫جذر‬ ‫نأخذ‬h‫لعدد‬z:‫فيصبح‬
√z = √2 (cos
2π
3
+ i sin
2π
3
) = √2 (cos
2π
3 +2πk
2
+ isin
2π
3 +2πk
2
)
k = 0 , 1
k = 0 ⇒ √z = √2 (cos
2π
6
+ i sin
2π
6
) = √2 (cos
π
3
+ i sin
π
3
)
= √2 (
1
2
+
√3
2
i) =
1
√2
+
√3
√2
i
k = 8 ⇒ √z = √2 (cos
8π
6
+ i sin
8π
6
) = √2 (cos
4π
3
+ i sin
4π
3
)
= √2 (−cos
π
3
− i sin
π
3
) = √2 (
−1
2
−
√3
2
i) =
−1
√2
−
√3
√2
i
∴ √−1 + √3 i = ± (
1
√2
+
√3
√2
i)
‫البند‬ ‫باستخدام‬ /‫ثانيا‬4-8:
√−1 + √3 i = x+ y i
−1 + √3 i = (x + y i)2
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
−1 + √3 i = x2
+ 2xy i – y2
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = √3 ⇒ y =
√3
2x
…… ❶
x2
– y2
= -1 ……. ❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
√3
2x
)2
= -1 ⇒ x2
–
3
4x2 = -1
4x4
– 3 = -4x2
4x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
4x4
+ 4x2
– 3 = 0
(2x2
- 1) (2x2
+ 3) = 0
2x2
+ 3 = 0 ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ x ‫الن‬ ‫تهمل‬

46. [ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬46/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
∴ 2x2
– 1 = 0
2x2
= 1 ⇒ x2
=
1
2
⇒ x = ±
1
√2
‫قيم‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬8‫لنجد‬y:
x =
1
√2
⇒ y =
√3
2 .
1
√2
=
√3
√2
x =
−1
√2
⇒ y =
√3
2 .
−1
√2
= −
√3
√2
∴ √−1 + √3 i = ± (
1
√2
+
√3
√2
i)
3-‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬‫ڤ‬‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬ ‫ر‬27i.
27i = 27 (cos
π
2
+ i sin
π
2
)
√27i
3
= (27i)
1
3
1
= [27 (cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)]
1
3
1
= 3 (cos
𝜋
2
+2𝜋k
3
+ i sin
𝜋
2
+2𝜋k
3
)
k = 0 , 1 , 2
k = 0 ⇒ 3 (cos
𝜋
6
+ i sin
𝜋
6
) = 3(
√3
2
+
1
2
i)
k = 1 ⇒ 3 (cos
5𝜋
6
+ i sin
5𝜋
6
)
= 3 [cos (𝜋 −
𝜋
6
) + i sin (𝜋 −
𝜋
6
)] = 3 (−cos
𝜋
6
+ i sin
𝜋
6
)= 3(
−√3
2
+
1
2
i)
k = 2 ⇒ 3 (cos
9𝜋
6
+ i sin
9𝜋
6
) = 3 (cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
) = 3(0-i) = -3i
∴ √27i
3
= {
3√3
2
+
3
2
i ,
−3√3
2
+
3
2
i , -3i }
1-‫للعدد‬ ‫االربعة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬(-16)‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬‫ڤ‬.‫ر‬
/‫الحل‬
-16 = 16(-1) = 16 (cos π + i sin π)
√−16
4
= [16 (cos 𝜋 + i sin 𝜋)]
1
41
= 2 (cos
𝜋+2𝜋k
4
+ i sin
𝜋+2𝜋k
4
)
k = 0 , 1 , 2 , 3
k = 0 ⇒ √−16
4
= 2(cos
𝜋
4
+ isin
𝜋
4
) = 2(
1
√2
+
1
√2
i) = √2 + √2 i
k = 1 ⇒ √−16
4
= 2(cos
3𝜋
4
+ isin
3𝜋
4
)
‫الزاوية‬
3𝜋
4
‫الربع‬ ‫في‬‫الثاني‬
= 2 [cos ( 𝜋 −
𝜋
4
) + i sin ( 𝜋 −
𝜋
4
)]= 2 (−cos
𝜋
4
+ i sin
𝜋
4
)
= 2(
−1
√2
+
1
√2
i) = −√2 + √2 i
‫الزاوية‬
5𝜋
6
‫الثاني‬ ‫الربع‬ ‫في‬

47. [ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬40/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
k = 2 ⇒ √−16
4
= 2(cos
5𝜋
4
+ isin
5𝜋
4
)
‫الزاوية‬
5𝜋
4
‫الثالث‬ ‫الربع‬ ‫في‬
= 2 [cos ( 𝜋 +
𝜋
4
) + i sin ( 𝜋 +
𝜋
4
)]
= 2 (−cos
𝜋
4
− i sin
𝜋
4
) = 2(
−1
√2
-
1
√2
i) = −√2 − √2 i
k = 3 ⇒ √−16
4
= 2(cos
7𝜋
4
+ isin
7𝜋
4
)
‫الزاوية‬
7𝜋
4
‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬
= 2 [cos (2𝜋 −
𝜋
4
) + i sin (2𝜋 −
𝜋
4
)]
= 2 (cos
𝜋
4
− i sin
𝜋
4
)= 2(
−1
√2
-
1
√2
i) = √2 − √2 i
∴ √−16
4
= {±(√2 + √2 i) , ±(√2 − √2 i)}
0-‫للعدد‬ ‫الستة‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬(-64i)‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫بأستخدام‬‫ڤ‬.‫ر‬
/‫الحل‬
-64i = 14(-i) = 64 (cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)
√−64i
6
= [64 (cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)]
1
6
1 = 2 (cos
3𝜋
2
+2𝜋k
6
+ i sin
3𝜋
2
+2𝜋k
6
)
k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
k = 0 ⇒ √−64i
6
= 2(cos
3𝜋
12
+ i sin
3𝜋
12
) = 2(cos
𝜋
4
+ isin
𝜋
4
)
= 2(
1
√2
+
1
√2
i) = √2 + √2 i
k = 1 ⇒ 2(cos
7𝜋
12
+ isin
7𝜋
12
)
k = 2 ⇒ 2(cos
11𝜋
12
+ isin
11𝜋
12
)
k = 3 ⇒ 2(cos
15𝜋
12
+ i sin
15𝜋
12
) = 2(−cos
𝜋
4
− i sin
𝜋
4
)= 2(
−1
√2
−
1
√2
i) = −√2 − √2 i
k = 4 ⇒ 2(cos
19𝜋
12
+ isin
19𝜋
12
)
k = 5 ⇒ 2(cos
23𝜋
12
+ i sin
23𝜋
12
)

48. )‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫واالثرائية‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬40/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫العامة‬ ‫التمارين‬
8-‫قيمة‬ ‫جد‬x,y ∈ R‫تحقق‬ ‫والتي‬
y
1+i
=
x2+4
x+2i
2-‫ناتج‬ ‫جد‬(3w9n
+
5
w5 +
4
w4)6
‫حيث‬n ∈ Z.)‫صحيح‬ ‫(عدد‬
7-‫كان‬ ‫اذا‬
1+√3i
1+√−3
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫جد‬ , ‫مركبا‬ ‫عددا‬‫ڤ‬‫ر‬z
1
2
1
‫االثرائية‬ ‫التمارين‬
1-:‫االتية‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
a)
7+iw+iw2
1−iw−iw2 b) 2√3i + (1 + w4)6
− (1 + w5
)3
c)
5π
3
(‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬81‫االساسية‬ ‫وسعته‬ )
2-‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬a , b ∈ R‫وكان‬a + bi =
7−4i
2+i
‫قيمة‬ ‫فجد‬√2a − bi
3-‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬x , y ∈ R:‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬
a)(
1−i
1+i
)
2
+
1
x+yi
= 1 + i b) (2+xi)(-x+i)=
9y2+49
3y+7i
c) (y + √3)2
=
x3−27i
x2−3xi−9
d) √
iw2+i
w2 = xw + ywi
e) (
1−i
1+i
) x + (1 + 3i)y = (1 − i)(1 + 3i)
4-‫العددين‬ ‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬
4x+i
3+2i
,
y−i
1−i
‫قيمة‬ ‫فما‬ , ‫مترافقين‬x , y ∈ R.
5-: ‫المعادلة‬ ‫حل‬√3 i = 1-3
x‫في‬ℂ
6-‫كان‬ ‫اذا‬√3 ix = 2+,√3 i-y = 2‫قيمة‬ ‫جد‬ ,2
+ wy2
x2
w.
7-‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫جد‬(-i)‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫وباستخدام‬‫ڤ‬.‫ر‬
8-: ‫ان‬ ‫اثبت‬
a)
(cos 10 + i sin 10)10(cos 20 + i sin 20)6
(cos 30 + i sin 30)7(cos 25 + i sin 25)4 = i
b) (
1
1+3w2 −
1
1+3w4)
2
= −
27
49
9-‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬+x+1=02
x: ‫ان‬ ‫فاثبت‬+ 1 = 010
+ x5
x‫حيث‬R∈x
11-‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫للسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬i = 0–x–2
ix
11-: ‫ليكن‬)
7
w2+2
.(7 + 9w2
+ 2)
6
w
k = (2w +‫في‬ ‫جد‬ℂ: ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ki = 0–5
x
12-‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬ℂ:√x3 − √3 − i = 0
13-‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫عن‬ ‫عبر‬C‫حيث‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬C:3n+2
+ w1-3n
C = w,N∈n
14-: ‫كان‬ ‫اذا‬6
)
π
6
sini+
π
6
x = (cos‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫عن‬ ‫عبر‬z: ‫حيث‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
|x|+2
wx̅–wxz =
15-: ‫ليكن‬6
)
4
w4+
5
w5k = (3 +‫المعادلة‬ ‫حل‬+ ki = 03
x‫في‬ℂ
16-( ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬-8i)‫تمهيدي‬2887

49. )‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫واالثرائية‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬47/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
17-‫قيمتي‬ ‫جد‬x,y ∈ 𝑅‫تحققان‬ ‫والتي‬
y
1+i
=
x2+2
x+2i
.‫وزاري‬2887‫ثالث‬ ‫دور‬
18-‫كان‬ ‫اذا‬i4+3=1z,+ 2i5=2z‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬2+z1z2887‫ثالث‬ ‫دور‬
19-: ‫ان‬ ‫اثبت‬(
5w2i − 1
5 + i w
)
6
= −1‫وزاري‬2887‫ثاني‬ ‫دور‬
21-‫المقدار‬ ‫ضع‬
(1−i)11
64
.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬‫العراق‬ ‫خارج‬ ‫وزاري‬2887‫اول‬ ‫دور‬
21-‫كان‬ ‫اذا‬4i-= 71c‫و‬3i-= 42c‫من‬ ‫فتحقق‬(
𝐜 𝟏̅̅̅
𝐜 𝟐̅̅̅
)=(
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
)
̅̅̅̅̅
‫تمهيدي‬2884
22-‫كو‬‫ال‬ ‫ن‬‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫معادلة‬
w
3−w2 ,
w2
3−w
‫تمهيدي‬2884
23-‫قيمتي‬ ‫جد‬x‫و‬y‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫والتين‬ ‫الحقيقيتين‬7+yi = (3x + i)(x+2i)‫نازحين‬2884‫دور‬8
24-‫قيمة‬ ‫احسب‬[cos
7
12
𝜋 + 𝑖 sin
7
12
]
−3
‫نازحين‬2884‫دور‬8

50. )‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫واالثرائية‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬58/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770

51. 2015 / 2016
‫ملزمة‬‫الرياضيات‬
‫العلمي‬ ‫السادس‬

53. [ 2 – 1 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫المخروطي‬ ‫القطع‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬35/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬):
‫تمهيد‬::‫بـ‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫قطع‬ ‫اذا‬
‫رأس‬ ‫يحوي‬ ‫وال‬ ‫القاعدة‬ ‫ويوازي‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ٍ‫مستو‬‫فان‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬
‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫يمثل‬ ‫المقطع‬‫دائرة‬ ‫يسمى‬ ‫هندسيا‬(Circle).
‫مول‬ ‫الحد‬ ٍ‫مواز‬ ٍ‫مستو‬( ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬‫ا‬‫هندسي‬ ‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫يمثل‬ ‫المقطع‬ ‫فأن‬ ‫داته‬Parabola.)
‫غير‬ ٍ‫مستو‬‫مول‬ ‫احد‬ ‫يوازي‬ ‫وال‬ ‫لقاعدته‬ ٍ‫مواز‬‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬‫ا‬‫هندسي‬ ‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫يمثل‬ ‫المقطع‬ ‫فأن‬ ‫داته‬
(Ellipse.)
‫المقطع‬ ‫فأن‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫مولدات‬ ‫من‬ ‫مولدين‬ ‫ويقطع‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ٍ‫مستو‬
( ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬‫ا‬‫هندسي‬ ‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫يمثل‬Hyperbola.)
:‫التالية‬ ‫االشكال‬ ‫الحظ‬
1]–[2:‫المخروطي‬ ‫القطع‬‫لتكن‬)1,y1x(‫نقطة‬‫ثابتة‬‫ولتكن‬ , ‫المستوي‬ ‫في‬+ by + c = 0ax‫ثابتا‬ ‫مستقيما‬
‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بعد‬ ‫نسبة‬ ‫التي‬ ‫النقاط‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ٍ‫ذ‬‫عندئ‬ , ‫المستوي‬ ‫نفس‬ ‫في‬)1,y1(x‫المستقيم‬ ‫عن‬ ‫بعدها‬ ‫الى‬
‫الثابت‬ax + by + c = 0‫ثابتا‬ ‫عددا‬ ‫تساوي‬(e).‫المخروطي‬ ‫القطع‬ ‫يسمى‬ ‫ا‬‫ا‬‫هندسي‬ ‫ا‬‫ل‬‫شك‬ ‫ن‬ ّ‫تكو‬
:‫هي‬ ‫اساسية‬ ‫مفاهيم‬ ‫ثلثة‬ ‫مخروطي‬ ‫قطع‬ ‫لكل‬ ‫ان‬
1-‫الثابتة‬ ‫النقطة‬)1,y1(x‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫تسمى‬
‫المخروطي‬Focus.
2-‫الثابت‬ ‫المستقيم‬ax + by + c = 0‫دليل‬ ‫يسمى‬
‫المخروطي‬ ‫القطع‬Directrix.
5-‫النسبة‬(e)‫المركزي‬ ‫االختلف‬ ‫تسمى‬
Eccentricity.
:‫المخروطي‬ ‫للقطع‬ ‫العامة‬ ‫المعادلة‬‫لتكن‬(x,y)‫المخروطي‬ ‫القطع‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫نقطة‬‫ولتكن‬)1,y1(x‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬
.‫المخروطي‬
‫بين‬ ‫المسافة‬(x,y)‫و‬)1,y1(x‫هي‬S:√(x − x1)2 + (y − y1)2S =
‫بين‬ ‫المسافة‬(x,y)‫الدليل‬ ‫و‬ax+by+c=0‫هي‬D:D =
|ax + by + c |
√a2 + b2
‫النسبة‬ ‫فان‬ ‫المخروطي‬ ‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬e:‫تساوي‬
e =
√(x−x1)2+(y−y1)2
|ax + by + c |
√
a2 + b
2
⟹ √(x − x1)2 + (y − y1)2 = e.
|ax + by + c |
√a2 + b2
:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
(x − x1)2
+ (y − y1)2
= e2
.
(ax + by + c)2
a2 + b
2
.‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫وهي‬ ‫المخروطي‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ‫وهذه‬
/‫ملحظة‬
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫في‬((Parabola))⟸e = 1
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫في‬((Ellipse))⟸e < 1
‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫في‬((Parabola))⟸e > 1

54. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬35/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
2 ]–[ 2‫القطع‬‫المكافئ‬(Parabola):
:‫تعريف‬‫المستوي‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬M(x,y)‫البؤرة‬ ‫تسمى‬ ‫ثابتة‬ ‫نقطة‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بعد‬ ‫يكون‬ ‫والتي‬
F(P,0)‫حيث‬P > 0‫الدليل‬ ‫يسمى‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫عن‬ ‫لبعدها‬ ‫دائما‬ ‫مساويا‬D⃡.‫البؤرة‬ ‫يحوي‬ ‫ال‬
:‫التالي‬ ‫الرسم‬ ‫في‬‫النقطة‬ ‫تسمى‬O‫القطع‬ ‫(رأس‬
‫المكافئ‬)‫المستقيم‬ ‫ويسمى‬X‫والعمود‬ ‫بالبؤرة‬ ‫المار‬
‫القطع‬ ‫(محور‬ ‫الدليل‬ ‫على‬‫المكافئ‬:‫حيث‬ , )
MF = MQ ⟹
MF
MQ
= e = 1
‫القطع‬ ‫معادلة‬‫المكافئ‬‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫الذي‬axis)–(x‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
‫النقطة‬ ‫لتكن‬F(p,0)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬‫المكافئ‬‫والنقطة‬ ,
Q(-p,y)‫الدليل‬ ‫على‬ ‫تقع‬D⃡‫والنقطة‬ ,M(x,y)‫على‬ ‫تقع‬
‫القطع‬ ‫منحني‬‫المكافئ‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬
O(0,0):‫مبين‬ ‫كما‬
‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬‫المكافئ‬:
MF = MQ ⟹ √(x − p)2 + (y − 0)2 = √(x + p)2 + (y − y)2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
(x − p)2
+ y2
= (x + p)2
⟹ x2
– 2xp + p2
+ y2
= x2
+ 2xp + p2
y2
= x2
+ 2xp + p2
- x2
+ 2xp - p2
⟹ ∴ y2 = 4px ∀ 𝐩 > 𝟎
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬F(p,0)‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬x = -p
)‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫(فتحة‬
‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬‫المكافئ‬‫محور‬ ‫(على‬ ‫اليسار‬ ‫جهة‬ ‫الى‬
)‫السالب‬ ‫السينات‬:‫مبين‬ ‫كما‬
: ‫تكون‬ ‫معادلته‬ ‫فأن‬
y2 = -4px ∀ 𝐩 > 𝟎
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬
‫وبؤرته‬F(-p,0)‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬x = p‫القطع‬ ‫(فتحة‬
)‫اليسار‬ ‫جهة‬ ‫الى‬
Y
X
F(p,0)
M(x,y)Q(-p,y)
O
𝑫⃡
Y
XF(p,0)
M(x,y)Q(-p,y)
O
𝑫⃡
Y
X F(-p,0)
M(x,y) Q(p,y)
O
𝑫⃡

55. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬33/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫المعادلة‬ ‫لندرس‬ /‫مالحظة‬= 4px2y‫لتكن‬ : ‫الدالة‬ ‫مفهوم‬ ‫ضوء‬ ‫في‬0>p,0>x:√ 𝐩𝐱±2y =‫من‬
‫ان‬ ‫الواضح‬∀ 𝐱 > 𝟎‫للمتغير‬ ‫مختلفتين‬ ‫قيمتين‬ ‫توجد‬y‫فان‬ ‫لذلك‬y.‫دالة‬ ‫ليست‬
‫مثال‬1/‫للقطع‬ ‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬= 8x2
y.
/‫الحل‬:‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫معلومة‬ ‫معادلته‬ ‫مكافيء‬ ‫قطع‬ ‫دليل‬ ‫او‬ ‫بؤرة‬ ‫اليجاد‬
1-‫القياسية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المعادلة‬ ‫كتابة‬.
2-:‫القياسية‬ ‫الصيغة‬ ‫معادلة‬ ‫مع‬ ‫المعلومة‬ ‫المعادلة‬ ‫مقارنة‬
y2
= 8x
y2
= 4px
∴ 4p = 8 ⟹ p = 2
x = -p ⟹ x = -2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F(p,0) = F(2,0) ‫البؤرة‬ ‫أحداثيات‬
‫مثال‬2/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬:‫علم‬ ‫اذا‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬-
1)‫بؤرته‬F(1,0)‫دليله‬ ‫ومعادلة‬x = -1‫ارسمه‬ ‫ثم‬
2)‫بؤرته‬F(3,0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
5)‫معادلة‬‫ال‬‫دليل‬2x-6=0.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬
/‫الحل‬
1)‫بؤرته‬F(1,0)‫دليله‬ ‫ومعادلة‬x = -1‫ارسمه‬ ‫ثم‬:-
‫لبؤرته‬ ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬1‫دليله‬ ‫ومعادلة‬x = -1.‫اليمين‬ ‫جهة‬ ‫الى‬ ‫فتحته‬ ‫ان‬ ‫اي‬
F(1,0) ⟹ p = 1
y2
= 4px ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
y2
= 4 x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
/‫ملحظة‬:‫نجد‬ ‫الجدول‬ ‫خلل‬ ‫من‬-‫لكل‬x > 0‫صورتان‬ ‫له‬ ‫توجد‬
‫العدد‬ ‫فمثل‬1‫هما‬ ‫صورتان‬ ‫له‬ ‫توجد‬2‫و‬-2‫النقطة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ,
(1,2)‫ونظيرها‬(1,-2).
: ‫عامة‬ ‫وبصورة‬-‫لكل‬(x,y)‫للقطع‬ ‫تنتمي‬‫المكافئ‬‫يوجد‬(x,-
y)‫للقطع‬ ‫تنتمي‬‫المكافئ‬‫القطع‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬‫المكافئ‬‫متنا‬‫ظرا‬
.‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬
2)‫بؤرته‬F(3,0)‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬:-
‫لبؤرته‬ ‫السيني‬ ‫واالحداثي‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫الرأس‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬3‫جهة‬ ‫الى‬ ‫فتحته‬ ‫ان‬ ‫اي‬
.‫اليمين‬
F(p,0) = (3,0) ⟹ p = 3 ⟹ y2
= 4px ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
y2
= 4 (3) x ⟹ y2
= 12x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
5)‫دليله‬ ‫معادلة‬2x - 6 = 0‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬:-
2x - 6 = 0 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
2x = 6 ⟹ x = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∵‫و‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫القطع‬ ‫رأس‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الدليل‬‫الموجب‬
∴‫القطع‬‫المكافئ‬.‫اليسار‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
y2
= -4px ⟹ y2
= -4(3)x ⟹ y2
= -12x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
1641x
8±5±2±y
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(1,0)
(1,2)
(1,-2)
O
𝐃⃡
(-1,0)
x = -1

56. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬35/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫مثال‬3/‫القطع‬ ‫ودليل‬ ‫بؤرة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬4x-=2
y.‫ارسمه‬ ‫ثم‬ ,
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬‫اليسار‬ ‫جهة‬ ‫الى‬ ‫فتحته‬ ‫ان‬ ‫نجد‬
y2
= -4x
y2
= -4px
∴ -4p = -4 ⟹ p = 1
x = p ⟹ x = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F(-p,0) = F(-1,0) ‫البؤرة‬ ‫إحداثيات‬
‫السالب‬ ‫السينات‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬‫فإننا‬‫قطع‬ ‫نرسم‬‫مكافئ‬‫ثم‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬
‫قيم‬ ‫يتضمن‬ ‫جدول‬ ‫نأخذ‬x‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوض‬ ‫البؤرة‬ ‫احداثي‬ ‫اشارة‬ ‫بنفس‬‫إليجاد‬‫لـ‬ ‫قيمتن‬y.
‫مثال‬4/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬‫المكافئ‬‫بؤرته‬ ‫الذي‬(√3,0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
‫النقطة‬ ‫لتكن‬M(x,y)‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫نقط‬ ‫من‬‫المكافئ‬.
F(√3,0)‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬.
Q(−√3,0)‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬M‫الدليل‬ ‫مع‬D⃡.
‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬‫المكافئ‬:
MF = MQ ⟹ ∴ √(x − √3)
2
+ y2 = √(x + √3)
2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
(x − √3)
2
+ y2
= (x + √3)
2
⟹ x2
– 2√3x + 5 + y2
= x2
+ 2√3x + 5
y2
= x2
+ 2√3x + 5 - x2
+ 2√3x - 3 ⟹ y2
= 2√3x + 2√3x
y2
= 4√3x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫القطع‬ ‫معادلة‬‫المكافئ‬‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫الذي‬axis)–(y‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
‫النقطة‬ ‫لتكن‬F(0,p)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬‫المكافئ‬,
‫والنقطة‬Q(x,-p)‫الدليل‬ ‫على‬ ‫تقع‬D⃡‫والنقطة‬ ,M(x,y)
‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫على‬ ‫تقع‬‫المكافئ‬‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬
‫االصل‬O(0,0):‫مبين‬ ‫كما‬
‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬‫المكافئ‬:
MF = MQ ⟹ √(x − 0)2 + (y − p)2 = √(x − x)2 + (y + p)2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
x2
+ (y − p)2
= (y + p)2
⟹ x2
+ y2
– 2yp + p2
= y2
+ 2yp + p2
x2
= y2
+ 2yp + p2
- y2
+ 2yp - p2
⟹ ∴ x2 = 4py ∀ 𝐩 > 𝟎
-4-1x
4±2±y
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(-1,0)
(-1,2)
(-1,-2)
O
𝐃⃡
(1,0)
x = 1
Y
X
F(√3,0)
M(x,y)Q(-√3,y)
O
𝐃⃡
Y
X
F(0,p)
M(x,y)
Q(x,-p)
O
𝐃⃡

57. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬35/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬F(0,p)‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬y = -p
‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫(فتحة‬)
‫بالصيغة‬ ‫المعادلة‬ ‫تكتب‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬y =
1
4p
x2
‫لكل‬ ‫ان‬ ‫الواضح‬ ‫من‬x ∈ R‫لـ‬ ‫واحدة‬ ‫قيمة‬ ‫توجد‬y‫فان‬ ‫لذلك‬y‫للمتغير‬ ‫دالة‬ ‫تمثل‬x.
‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬‫المكافئ‬‫الى‬‫االسفل‬‫محور‬ ‫(على‬
‫الصادات‬)‫السالب‬:‫مبين‬ ‫كما‬
: ‫تكون‬ ‫معادلته‬ ‫فأن‬
x2 = -4py ∀ 𝐩 > 𝟎
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬
F(0,-p)‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬y = p
‫مثال‬5/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬‫وبؤرته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬F(0,2)‫دليله‬ ‫ومعادلة‬y = -2.‫ارسمه‬ ‫ثم‬ ,
/‫الحل‬
F(0,2) = F(0,p) ⟹ p = 2
x2
= 4py ‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
x2
= 8y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
x y
±4 2
‫لـ‬ ‫قيمة‬ ‫نأخذ‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرته‬ ‫مكافيء‬ ‫قطع‬ ‫لرسم‬ /‫مالحظة‬y‫اشارته‬
‫لـ‬ ‫قيمتين‬ ‫اليجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوض‬ ‫البؤرة‬ ‫احداثي‬ ‫اشارة‬ ‫تشبه‬x.
‫لكل‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫الجدول‬ ‫مالحظة‬ ‫من‬ /‫مالحظة‬y > 0‫للمتغير‬ ‫قيمتان‬ ‫توجد‬x‫ان‬ ‫اي‬ , ‫باالشارة‬ ‫مختلفتان‬
‫النقطة‬(4,2)‫ونظيرتها‬(-4,2).
‫لكل‬ : ‫عامة‬ ‫وبصورة‬(x,y)‫للقطع‬ ‫تنتمي‬‫المكافئ‬‫توجد‬ ,(-x,y)‫للقطع‬ ‫تنتمي‬‫المكافئ‬‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ,‫ايضا‬
‫القطع‬ ‫منحني‬‫المكافئ‬.‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرا‬ ‫يكون‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرته‬ ‫الذي‬
‫مثال‬6/‫للقطع‬ ‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬24y = 0–2
3x.
/‫الحل‬‫القياسية‬ ‫بالصيغة‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫نكتب‬
3x2
– 24y = 0 ⟹ 3x2
= 24y ⟹ x2
=
24
3
y
x2
= 8y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
x2
= 8y
x2
= 4py
∴ 4p = 8 ⟹ p = 2
y = -p ⟹ y = -2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F(0,p) = F(0,2) ‫البؤرة‬ ‫إحداثيات‬
Y
X
F(0,2)
(-4,2) (4,2)
O
𝐃⃡
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(0,-p)
M(x,y)
Q(x,p)
O
𝐃⃡

58. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬38/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫مثال‬7/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬:‫ان‬ ‫علم‬ ‫اذا‬
1-‫بؤرته‬(0,5).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
2-‫الدليل‬ ‫معادلة‬y = 7.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬
/‫الحل‬
1)‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
F(0,5) = F(0,p) ⟹ p = 5
x2
= 4py ‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
x2
= 4(5) y ⟹ x2
= 20y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
2)‫الدليل‬ ‫معادلة‬y = 7.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬
∵‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫القطع‬ ‫وراس‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الدليل‬
∴.‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
y = 7 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ p = 7
x2
= -4py ‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
x2
= -4(7)y ⟹ x2
= -28y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬8/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬‫المكافئ‬‫وبؤرته‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬(0,√3)
/‫الحل‬‫النقطة‬ ‫لتكن‬M(x,y)‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫نقط‬ ‫من‬‫المكافئ‬.
F(0, √3)‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬.
Q(x, −√3)‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬M‫الدليل‬ ‫مع‬D⃡.
‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬‫المكافئ‬:
MF = MQ ⟹ √(x − 0)2 + (y − √3)
2
= √(x − x)2 + (y + √3)
2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
x2
+ (y − √3)
2
= (y + √3)
2
⟹ x2
+ y2
– 2√3y + 3 = y2
+ 2√3y + 3
x2
= y2
+ 2√3y + 3 - y2
+ 2√3y - 3 ⟹ x2
= 4√3y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬9/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬:‫ان‬ ‫علم‬ ‫اذا‬-
1)‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫راسه‬(2,-4),(2,4)
2)‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫راسه‬(-2, 4),(2,4)
/‫الحل‬
1)‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫راسه‬(2,-4),(2,4)
‫النقطتين‬ ‫ان‬ ‫حيث‬ ‫التناظر‬ ‫من‬ ‫نستفيد‬ ‫نقطتان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬(2,-4),(2,4)‫حول‬ ‫متناظرتان‬
‫للنقطتين‬ ‫السيني‬ ‫االحداثي‬ ‫الن‬ ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫السينات‬ ‫محور‬
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫القطع‬ ‫وراس‬ ‫موجب‬
y2
= 4px ⟹ 42
= 4 . p . 2 ⟹ 16 = 8 . p ⟹ p = 2
y2
= 4px = 4 . 2 . x ⟹ ∴ y2
= 8x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
2)‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫راسه‬(-2, 4),(2,4)
Y
X
F(0, √3)
M(x,y)
Q(x,- √3)
O
𝐃⃡

59. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬35/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
/‫مالحظة‬‫النقطتين‬(-2, 4),(2,4)‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫القطع‬ ‫وراس‬ ‫موجب‬ ‫للنقطتين‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫الن‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬
x2
= 4py ⟹ 22
= 4 . p . 4 ⟹ 4 = 16 . p ⟹ p =
1
4
x2
= 4(
1
4
) y ⟹ ∴ x2
= y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬11/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬‫بالنقطة‬ ‫دليله‬ ‫ويمر‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬(3,-5).
/‫الحل‬:‫هما‬ ‫البؤرة‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫كونه‬ ‫القياسية‬ ‫للمعادلة‬ ‫احتمالين‬ ‫يوجد‬-
/‫اوال‬:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬
y = -5 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴‫فتحة‬.‫االعلى‬ ‫نحو‬ ‫القطع‬
∴ p = 5
x2 = 4py ⟹ ∴ x2 = 20y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
/‫ثانيا‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫البؤرة‬
x = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴.‫اليسار‬ ‫نحو‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
∴ p = 3
y2 = -4px ⟹ ∴ y2 = -12x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬11/‫على‬ ‫تقع‬ ‫بؤرته‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫مكافيء‬ ‫قطع‬
‫النقطة‬ , ‫السينات‬ ‫محور‬(2,y)‫مجموع‬ ‫ان‬ ‫بحيث‬ ‫اليه‬ ‫تنتمي‬
‫يساوي‬ ‫والدليل‬ ‫البؤرة‬ ‫عن‬ ‫بعديها‬18‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫وحدة‬
‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫القطع‬y.
/‫الحل‬
MF+MQ = 18
MF = MQ ‫التعريف‬ ‫من‬
∴ MF = 9 , MQ = 9
MF = √(p − 2)2 + (y − 0)2 = 9
‫بمجهولين‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬p,y‫عن‬ ‫بالتعويض‬ ‫حلها‬ ‫ويمكن‬= 4px2
y‫نأخذ‬ ‫ان‬ ‫االسهل‬ ‫ولكن‬MQ:‫مبين‬ ‫كما‬
MQ = √(2 + p)2 + (y − y)2 = 9 ⟹ √4 + 4p + p2 = 9 ⟹ 4 + 4p + p2
= 81
p2
+ 4p – 77 = 0 ⟹ (p + 11)(p - 7) = 0
p + 11 = 0 ⟹ p = -11 ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ ‫الن‬ ‫تهمل‬
p – 7 = 0 ⟹ p = 7
y2
= 4px ⟹ y2
= 28x ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫قيمة‬ ‫نحسب‬y‫النقطة‬ ‫عند‬Q:‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
y2
= 28x ⟹ y2
= 28(2) = 56 ⟹ ∴ y = ± √56
Y
X
F(-p,0)
(3,-5)
O
𝐃⃡
Y
X
F(0,p)
(3,-5)
O
D⃡
Y
X
F(p,0)
M(2,y)Q(-p,y)
O
𝐃⃡

60. [ 2 – 2 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬56/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫يمثل‬ ‫التالي‬ ‫الجدول‬‫المكافئ‬‫حيث‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬p > 0:
‫القطع‬ ‫فتحة‬‫المحور‬‫الدليل‬‫البؤرة‬‫المعادلة‬
‫االعلى‬y- axisy=-p(0,p)=4py2
x
‫االسفل‬y- axisy=p(0,-p)4py-=2
x
‫اليمين‬x- axisx=-p(p,0)x=4p2
y
‫اليسار‬x- axisx=p(-p, 0)x4p-=2
y

61. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬51/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
3 ]–[ 2‫ﺇ‬‫للقطع‬ ‫المحاور‬ ‫نسحاب‬‫المكافئ‬:‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫المحورين‬ ‫أحد‬ ‫يوازي‬ ‫محوره‬ ‫الذي‬
‫النقطة‬ ‫ورأسه‬ ‫االحداثيين‬(h,k).
/‫ا‬‫ال‬‫او‬‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬= 4px2
y‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫مكافيء‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬
‫االصل‬O(0,0).
‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الرأس‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬O̅(h,k)‫المعادلة‬ ‫فان‬
: ‫تصبح‬ ‫القياسية‬-h)–= 4p(x2k)–(y
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫رأسه‬ ‫الذي‬O̅(h,k)
‫باالتجاه‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫ومحوره‬
.‫الموجب‬
‫انسحاب‬O(0,0)⟵O̅(h , k)‫الرأس‬
‫انسحاب‬F(p,0)⟵F̅(p+h , k)‫البؤرة‬
‫انسحاب‬x = -p⟵x = -p + h‫الدليل‬
‫انسحاب‬y = 0⟵y = k‫التناظر‬ ‫محور‬
P‫للقطع‬ ‫البؤري‬ ‫البعد‬ ‫هو‬‫المكافئ‬‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫ويساوي‬
‫الرأس‬O̅‫والبؤرة‬F̅‫ومعادلة‬ ‫الرأس‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫ويساوي‬
‫ان‬ ‫اي‬ ‫الدليل‬p = |Q–h|‫حيث‬Q = p+h
‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫ويمكن‬‫المكافئ‬‫السالب‬ ‫باالتجاه‬
:‫السينات‬ ‫لمحور‬
‫مثال‬12/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬2)-= 4(x2
(y+1).‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلة‬ ‫والبؤرة‬ ‫الرأس‬ ‫عين‬
/‫الحل‬
(y + 1)2
= 4(x - 2)
(y – k)2
= 4p(x – h)
⟹ h = 2 , k = -1
O̅(h , k) = (2, -1) ‫الرأس‬
4p = 4 ⟹ p = 1
F̅(p+h,k) = F̅(1+2 ,-1) = F̅(3 ,-1) ‫البؤرة‬
y = k ⟹ y = -1 ‫المحور‬ ‫معادلة‬
x = -p + h ⟹ x = -1 + 2
x = 1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
Y
F̅(Q,K)
𝐃⃡
X̅
Y̅
𝑂̅(h, k)
X
(y – k)2
= -4p(x – h)
‫البؤرة‬F̅(-p+h , k)
‫الدليل‬ ‫معادلة‬x = p + h
‫المحور‬ ‫معادلة‬y = k
‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬
‫االنس‬ ‫قبل‬‫ح‬‫اب‬ A
Y
X
F(Q,K)𝑂(0,0)
𝐃⃡
x = -p
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫بعد‬‫االنس‬‫ح‬‫اب‬ B
Y
X
F̅(Q,K)
𝑂
𝐃⃡
x = -p + h
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
𝐗̅
𝐘̅
𝑂̅(h, k)

62. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬52/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
/‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫ان‬= 4py2
x‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬ ‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫مكافيء‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬
‫االصل‬O(0,0).
‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫في‬ ‫الرأس‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬O̅(h,k)‫المعادلة‬ ‫فان‬
: ‫تصبح‬ ‫القياسية‬-k)–= 4p(y2h)–(x
‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫المكافئ‬‫رأسه‬ ‫الذي‬O̅(h,k)‫ومحوره‬
.‫االعلى‬ ‫نحو‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬
‫انسحاب‬O(0,0)⟵O̅(h , k)‫الرأس‬
‫انسحاب‬F(0,p)⟵F̅(h,p+k)‫البؤرة‬
‫انسحاب‬y = -p⟵y = k - p‫الدليل‬
‫انسحاب‬x = 0⟵x = h‫التناظر‬ ‫محور‬
‫البؤري‬ ‫البعد‬p = |Q–k|‫حيث‬Q = p+k
‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫ويمكن‬‫المكافئ‬‫االسف‬ ‫الى‬‫ل‬
:)‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫السالب‬ ‫(االتجاه‬
‫مثال‬13/‫القطع‬ ‫ناقش‬‫المكافئ‬+ 4x2
y = x
/‫الحل‬‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬2
x‫نصف‬ ‫مربع‬ ‫باضافة‬ ‫وذلك‬ )‫كامل‬ ‫(مربع‬ ‫حدانية‬ ‫مربع‬ ‫شكل‬ ‫على‬
‫معامل‬x‫العدد‬ ‫وهو‬ ‫الطرفين‬ ‫الى‬5:
y + 4 = x2
+ 4x + 4
y + 4 = (x + 2)2
(x + 2)2
= y + 4
(x – h)2
= 4p(y – k)
∴ h = -2 , k = -4
(x – h)2
= -4p(y – k)
‫البؤرة‬F̅(h , -p+k)
‫الدليل‬ ‫معادلة‬y = p + k
‫التناظر‬ ‫محور‬ ‫معادلة‬x = h
y = k+p
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
Y
X
F̅(h,k-p)
𝑂
𝐃⃡
𝐗̅
𝐘̅
𝑂̅(h, k)
‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
‫المكافئ‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬
‫االنس‬ ‫قبل‬‫ح‬‫اب‬ AY
X
F(0,p)
𝑂(0,0)
𝐃⃡ y = -p
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
Y
X
F̅(h,p+K)
𝑂
𝐃⃡
𝐗̅
𝐘̅
𝑂̅(h, k)
‫بعد‬‫االنس‬‫ح‬‫اب‬ B

63. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
4p = 1 ⟹ p =
1
4
‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫مفتوح‬ ‫القطع‬
O̅(h , k) = (-2 , -4) ‫الرأس‬
F̅(h, p+k) ⟹ F̅ (-2 ,
1
4
– 4) ⟹ F̅ (-2 , – 3
3
4
) ‫البؤرة‬
y = k – p ⟹ y = -4 -
1
4
⟹ y = -4
1
4
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫مثال‬14/‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬‫النقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الذي‬(3,-5)‫النقطة‬ ‫وبؤرته‬(3,-3).
/‫الحل‬‫هو‬ ‫التناظر‬ ‫ومحور‬ ‫االعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫الرأس‬ ‫من‬ ‫اعلى‬ ‫البؤرة‬ ‫ان‬ ‫بما‬x = 3
∴ (x – h)2
= 4p(y – k) ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
: ‫فان‬ ‫الرأس‬ ‫احداثيات‬ ‫خلل‬ ‫من‬
F̅(3,-3) = (h , p+k) ⟹ h = 3 , k = -5
p + k = -3 ⟹ p – 5 = -3 ⟹ p = 2
(x – 3)2
= 4(2)(y + 5)
∴ (x – 3)2
= 8(y + 5) ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬1-2
1)‫للقطع‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬:‫لها‬ ‫البياني‬ ‫المنحني‬ ‫ارسم‬ ‫ثم‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬
‫أ‬.‫البؤرة‬(5,0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
F(5,0) ⟹ p = 5
‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
y2
= 4px ⟹ y2
= 20x ‫القطع‬ ‫معادلة‬
x = -p ⟹ x = -5 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫ب‬.‫البؤرة‬(0,-4).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬F(0,-4)
∴ p = 4
x2
= -4py ⟹ x2
= -16y ‫القطع‬ ‫معادلة‬
y = p ⟹ y = 4 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
±40x
-10y
10x
±2 √50y
Y
X
F(0,-4)
y = 4
O
D⃡
Y
X
F(5,0)O
D⃡
x = -5
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
Y
X
F(3,-3)
𝑂
𝐃⃡
𝐗̅
𝐘̅
𝑂̅(3 , −5)

64. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫ج‬.‫البؤرة‬(0,√2).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬‫األعلى‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫وفتحة‬ ‫الموجب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬F(0, √2)
∴ p = √2
x2
= 4py ⟹ x2
= 5√2y ‫القطع‬ ‫معادلة‬
y = -p ⟹ y = -√2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫د‬.‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫معادلة‬‫المكافئ‬4y – 3 = 0.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
4y – 3 = 0 ⟹ y =
3
4
‫الدليل‬
F(0 , −
3
4
) ⟹ p =
3
4
‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬‫االسفل‬ ‫نحو‬ ‫القطع‬ ‫فتحة‬
x2
= -4py ⟹ x2
= -5y ‫القطع‬ ‫معادلة‬
±√30x
-10y
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫بؤرته‬(1,2).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬
/‫الحل‬.‫اليمين‬ ‫الى‬ ‫وفتحته‬ ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
y2
= 4px ‫القطع‬ ‫معادلة‬
22
= 4p(1) p ‫لنجد‬ (1,2) ‫النقطة‬ ‫نعوض‬
∴ p = 1
F(p,0) = (1 , 0) ‫البؤرة‬
x = -p ⟹ x = -1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y2
= 4x ‫القطع‬ ‫معادلة‬
10x
±20y
2)‫للقطع‬ ‫والدليل‬ ‫المحور‬ ‫ومعادلتي‬ ‫والرأس‬ ‫البؤرة‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬‫المكافئ‬:
a) x2
= 4y
/‫الحل‬
x2
= 4y
x2
= 4py
4p = 4 ⟹ p = 1 ⟹ ∴ F(0,p) = (0,1) ‫البؤرة‬
y = -p ⟹ y = -1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
(0 , 0) ‫القطع‬ ‫رأس‬
x = 0 )‫الصادات‬ ‫(محور‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
±√80x
√20y
Y
X
F(1,0)O
D⃡
x = -1
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(0,-
3
4
)
y =
3
4
O
D⃡

65. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬53/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
b) 2x + 16y2
= 0
/‫الحل‬
2x + 16y2
= 0 ⇒ 16y2
= -2x ⟹ y2
= −
2
16
x
y2
= −
1
8
x
y2
= -4px
-4p = −
1
8
⟹ 4p =
1
8
⟹ p =
1
32
c) y2
= -4(x - 2)
/‫الحل‬
y2
= -4(x - 2)
(y – 0)2
= -4(x - 2)
(y – k)2
= -4p(x - h)
h = 2 , k = 0
-4 = -4p ⟹ p = 1
d) (x - 1)2
= 8(y – 1)
/‫الحل‬
(x - 1)2
= 8(y – 1)
(x – h)2
= 4p(y - k)
h = 1 , k = 1
4p = 8 ⟹ p = 2
e) y2
+ 4y + 2x = -6
/‫الحل‬
y2
+ 4y = -2x – 6
‫معامل‬ ‫نصف‬ ‫مربع‬ ‫باضافة‬ ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫يتم‬y:‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫الى‬
y2
+ 4y + 4 = -2x – 6 + 4
(y + 2)2
= -2x – 2
(y + 2)2
= -2(x + 1)
(y – k)2
= -4p(x - h)
h = -1 , k = -2
-4p = -2 ⟹ p =
−2
−4
=
1
2
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬
F(−
1
32
, 0) ‫البؤرة‬
x =
1
32
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
(0 , 0) ‫القطع‬ ‫رأس‬
y = 0 )‫السينات‬ ‫(محور‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
O̅(h,k) = (2,0) ‫القطع‬ ‫رأس‬
F̅(-p+h k) = (-1+2 , 0) = (1,0) ‫البؤرة‬
x = p + h = 1+2 = 3 ⟹ x = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y = k ⟹ y = 0 ‫المحور‬ ‫معادلة‬
O̅(h,k) = (1,1) ‫القطع‬ ‫رأس‬
F̅(h ,p+k) = (1 , 2+1) = (1, 3) ‫البؤرة‬
y = -p + k = -2+1= -1 ⟹ y = -1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
x = h ⟹ x = 1 ‫المحور‬ ‫معادلة‬
O̅(h,k) = (-1,-2) ‫القطع‬ ‫رأس‬
F̅(-p+h , k) =(−
1
2
-1, -2) =(−
3
2
,-2) ‫البؤرة‬
x = p + h =
1
2
– 1= −
1
2
⟹ x = −
1
2
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y = k ⟹ y = -2 ‫المحور‬ ‫معادلة‬

66. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
f) x2
+ 6x-y = 0
/‫الحل‬‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬+ 6x = y2
x‫معامل‬ ‫نصف‬ ‫مربع‬ ‫اضافة‬x:‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫الى‬
x2
+ 6x + 9 = y + 9
(x + 3)2
= (y + 9)
(x – h)2
= 4p(y - k)
h = -3 , k = -9
4p = 1 ⟹ p =
1
4
3)‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬(2,-5),(2,5).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬‫النقطتان‬(2,-5),(2,5)‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬‫ا‬‫ا‬‫اذ‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
‫الى‬ ‫القطع‬ ‫(فتحة‬ ‫الموجب‬‫اليمين‬)
∴ y2
= 4px ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫النقطتين‬ ‫من‬ ‫اي‬ ‫نعوض‬p:
52
= 4p(2) ⟹ 25 = 8p ⟹ p =
25
8
y2
= 4(
25
8
)x ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ p ‫نعوض‬
y2
=
25
2
x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬(2,-5),(-2,-5).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬‫النقطتان‬(2,-5),(-2,-5)‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ ‫ا‬‫ا‬‫اذ‬
)‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫القطع‬ ‫(فتحة‬ ‫السالب‬ ‫الصادات‬
∴ x2
= -4py ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫النقطتين‬ ‫من‬ ‫اي‬ ‫نعوض‬p:
22
= -4p(-5) ⟹ 4 = 20p ⟹ p =
1
5
x2
= -4(
1
5
) y ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ p ‫نعوض‬
x2
= −
4
5
y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
4)‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬‫المكافئ‬‫بالنقطة‬ ‫يمر‬(-3,4)‫تنتمي‬ ‫بؤرته‬ ‫ان‬ ‫علما‬ ‫معادلته‬ ‫جد‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬
.‫المحورين‬ ‫الحد‬
/‫الحل‬∵‫القطع‬ ‫دليل‬‫المكافئ‬‫بالنقطة‬ ‫يمر‬(-3,4)‫المحورين‬ ‫الحد‬ ‫تنتمي‬ ‫وبؤرته‬,∴:‫احتمالين‬ ‫يوجد‬-
:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬ /‫اوال‬
x = -3 ‫الدليل‬
p = 3 ‫الموجب‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
y2
= 4px ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
y2
= 12x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫بالمقارنة‬
Y
X
F(3,0)O
D⃡
x = -3
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
O̅(h,k) = (-3,-9) ‫القطع‬ ‫رأس‬
F̅(h ,p+k) = (-3,
1
4
-9) = (-3,-
35
4
) ‫البؤرة‬
y = -p + k = −
1
4
- 9 ⟹ y = −
37
4
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
x = h ⟹ x = -3 ‫المحور‬ ‫معادلة‬

67. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫على‬ ‫البؤرة‬ /‫ثانيا‬:‫الصادات‬ ‫محور‬
y = 4 ‫الدليل‬
p = 4 ‫السالب‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬
x2
= -4py ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
x2
= -16y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
5)‫قطع‬‫مكافئ‬‫معادلته‬+ 8y = 02
Ax‫بالنقطة‬ ‫يمر‬(1,2)‫قيمة‬ ‫جد‬ ,A.‫القطع‬ ‫وارسم‬ ‫ودليله‬ ‫بؤرته‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫القطع‬(1,2):‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫اي‬
A(1)2
+ 8(2) = 0
A + 16 = 0 ⟹ A = -16
-16x2
+ 8y = 0 ⟹ 16x2
= 8y
x2
=
1
2
y
x2
= 4py
4p =
1
2
⟹ p =
1
8
F(0 ,
1
8
) ‫البؤرة‬
y = -
1
8
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
6)‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬‫المكافئ‬:
‫أ‬.‫البؤرة‬(7,0).‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
/‫الحل‬
F(7 , 0) ‫البؤرة‬
x = -7 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
M(x,y) , Q(-p,y) = (-7,y)
:‫التعريف‬ ‫من‬
MF = MQ ⟹ √(x − 7)2 + y2 = √(x + 7)2 + 0
(x − 7)2
+ y2
= (x + 7)2
‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
x2
– 14x + 49 + y2
= x2
+ 14x + 49 ⟹ ∴ y2
= 28x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
±10x
20y
Y
X
F(0,-4)
y = 4
O
D⃡
‫بالمقارنة‬ Y
X
F(0,
1
8
)
𝑂(0,0)
D⃡
y = -p
‫الدليل‬ ‫معادلة‬
(1,2)(-1,2)

68. [ 2 – 3 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫المكافئ‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬58/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫ب‬.‫الدليل‬ ‫معادلة‬y = √3.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬
y = √3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F(0,- √3) ‫البؤرة‬
M(x,y) , Q(x,p) = (x, √3)
MF = MQ ‫التعريف‬ ‫من‬
√x2 + (y + √3)
2
= √0 + (y − √3)
2
x2
+ (y + √3)
2
= (y − √3)
2
x2
+ y2
+ 2√3y + 3 = y2
- 2√3y + 3
∴ x2
= -4√3y ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
Y
X
F(0,- √3)
M(x,y)
Q(x, √3)
O
D⃡ y = √3

69. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
]4–[ 2‫الناقص‬ ‫القطع‬(Ellipse:)
:‫تعريف‬-‫ثابتتين‬ ‫نقطتين‬ ‫عن‬ ‫بعديها‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫المستوي‬ ‫في‬ ‫النقط‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬
= ‫ثابت‬ ‫عدد‬ )‫(البؤرتان‬2a
)‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫(مركز‬ ‫بـ‬ ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫منتصف‬ ‫في‬ ‫تقع‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫تسمى‬Center,
)‫البؤري‬ ‫(المحور‬ ‫بـ‬ ‫بالبؤرتين‬ ‫المار‬ ‫المستقيم‬ ‫ويسمى‬Focal axis‫رأسا‬ ‫يسميان‬ ‫بنقطتين‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ويقطع‬
.‫الناقص‬ ‫القطع‬
‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫السينات‬:
‫لتكن‬P(x,y)‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬:
PF1 + PF2 = 2a ‫التعريف‬ ‫من‬
∴ √(x − c)2 + (y + 0)2 + √(x + c)2 + (y + 0)2 = 2a
‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫تبسيط‬ ‫ومن‬‫على‬ ‫نحصل‬:
𝐱 𝟐
𝐚 𝟐 +
𝐲 𝟐
𝐛 𝟐 = 𝟏
:‫فيه‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬-
1-‫البؤرتان‬c,0)-(2(c,0) , F1F‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
2-‫الرأسان‬,0)a-(2,0) , Va(1V
5-: ‫هما‬ )‫(القطبين‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تقاطعه‬ ‫نقطتي‬ ‫احداثيات‬0,b) , (0,-b))
5-‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫تسمى‬ ‫الرأسين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬(Major axis)‫وطولها‬2a.
3-‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫تسمى‬ ‫القطبين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬(Minor axis)‫وطولها‬2b.
5-‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬F1F2
̅̅̅̅̅̅‫تساوي‬2c.
5-‫بين‬ ‫العلقة‬a , b , c‫هي‬2
+ c2
= b2
a‫أو‬2
b-2
= a2
c‫حيث‬a > c‫و‬a > b‫دائما‬
‫ان‬ ‫كما‬a,b,c.‫موجبة‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫ثلثة‬
8-‫المركزي‬ ‫االختلف‬e =
c
a
‫من‬ ‫اصغر‬ ‫ويكون‬1‫ان‬ ‫اي‬e < 1
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
‫نقطة‬ ‫ومركزه‬:‫األصل‬
‫لتكن‬P(x,y):‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬
F2
F1
(0,-c)
(0,c)
‫بؤرة‬
‫بؤرة‬
V2(0, -a)
M1(b,0)
‫قطب‬
‫قطب‬ M2
‫رأس‬
‫رأس‬ V1(6,a)
P(x,y)
(-b,0)
F2 F1
(-c,0) (c,0)
‫بؤرة‬ ‫بؤرة‬
V2
(-a,0)
M1(0,b)‫قطب‬
‫قطب‬ M2(0,-b)
‫رأس‬ ‫رأس‬
V1
(a,0)
P(x,y)
y
x

70. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬56/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
PF1 + PF2 = 2a ‫التعريف‬ ‫من‬
∴√x2 + (y − c)2 + √x2 + (y + c)2 = 2a
: ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫تبسيط‬ ‫ومن‬
𝐱 𝟐
𝐛 𝟐 +
𝐲 𝟐
𝐚 𝟐 = 𝟏
‫معادلة‬ ‫تمثل‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬:‫فيه‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬-
1-‫ا‬‫لبؤرتان‬c)-0,(2c) , F0,(1F‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬
2-‫الرأسان‬)a-0,(2) , V0,a(1V
5-: ‫هما‬ )‫(القطبين‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تقاطعه‬ ‫نقطتي‬ ‫احداثيات‬b,0) , (-b,0))
5-‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫تسمى‬ ‫الرأسين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬(Major axis)‫وطولها‬2a.
3-‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫تسمى‬ ‫القطبين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬(Minor axis)‫وطولها‬2b.
5-‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬F1F2
̅̅̅̅̅̅‫تساوي‬2c.
5-‫بين‬ ‫العلقة‬a , b , c‫هي‬2
+ c2
= b2
a‫أو‬2
b-2
= a2
c‫حيث‬a > c‫و‬a > b‫ان‬ ‫كما‬ ‫دائما‬a,b,c
.‫موجبة‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫ثلثة‬
8-‫المركزي‬ ‫االختلف‬e =
c
a
‫من‬ ‫اصغر‬ ‫ويكون‬1‫ان‬ ‫اي‬e < 1
:‫ملحظات‬-
1-‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫منطقة‬ ‫مساحة‬: Area (A)A = a b 𝜋
2-‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫محيط‬(P)Perimeter:P = 2𝜋 √
a2+b2
2
5-‫المركزي‬ ‫االختلف‬e
5-‫لـ‬ ‫قيمة‬ ‫كل‬ ‫الن‬ ‫لدالة‬ ‫قاعدة‬ ‫ليست‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬x‫قيمتين‬ ‫توجد‬y.
3-‫منحني‬.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫وحول‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫وحول‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫ا‬‫ا‬‫متناظر‬ ‫يكون‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬
5-‫اليجاد‬a , b:‫مايأتي‬ ‫يتوفر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
a.= ‫للمعادلة‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬1.
b.‫معامل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬2
x= ‫البسط‬ ‫في‬1.
c.‫معامل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬2
y= ‫البسط‬ ‫في‬1.
5-‫مقام‬ ‫كان‬ ‫اذا‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اكبر‬2
y.‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫فالبؤرتان‬
8-‫مقام‬ ‫كان‬ ‫اذا‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اقل‬2
y.‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫فالبؤرتان‬
5-‫فهي‬ )‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫احداثياتها‬ ‫(احد‬ ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫الحد‬ ‫تنتمي‬ ‫عندما‬ )‫(يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مرور‬ ‫نقطة‬
‫اما‬ ‫االخر‬ ‫االحداثي‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ,‫قطب‬ ‫نقطة‬ ‫او‬ ‫رأس‬ ‫نقطة‬ ‫اما‬a‫أو‬b.
‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬‫األصل‬
‫ط‬= ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫ول‬2a
= ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬2b
= ‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬2c
‫بين‬ ‫العلقة‬a , b , c‫هي‬2
+ c2
= b2
a
‫أو‬2
b-2
= a2
c
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
a2
+
y2
b2
= 1
x2
b2
+
y2
a2
= 1
‫الرأسان‬a,0)-(2(a,0) , V1V‫الرأسان‬a)-(0,2(0,a) , V1V
‫البؤرتان‬c,0)-(2(c,0) , F1F‫البؤرتان‬c)-(0,2(0,c) , F1F
‫القطبين‬0,b) , (0,-b))‫القطبين‬b,0) , (-b,0))

71. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬51/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫مثال‬15/‫واالختلف‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫واحداثيي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬.‫المركزي‬
1)
x2
25
+
y2
16
= 1
/‫الحل‬‫مقام‬ ‫كان‬ ‫اذا‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اكبر‬2
y‫لذلك‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫فالبؤرتان‬‫مع‬ ‫نقارن‬‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫ناق‬ ‫لقطع‬‫ص‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬
x2
25
+
y2
16
= 1
x2
a2 +
y2
b2 = 1
a2
= 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10 ‫الكبير‬ ‫المحور‬
b2
= 16 ⇒ b = 4 ⇒ 2b = 8 ‫الصغير‬ ‫المحور‬
a2
= b2
+ c2
⇒ 25 = 16 + c2
⇒ c2
= 9 ⇒ c = 3
F1(3,0) , F2(-3,0) ‫البؤرتان‬
V1(5,0) , V2(-5,0) ‫الرأسان‬
e =
c
a
=
3
5
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
2) 4x2
+ 3y2
=
4
3
/‫الحل‬‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫قسمة‬ ‫خلل‬ ‫من‬
4
3
5x2
+
9
4
y2
= 1 ⇒
x2
1
3
+
y2
4
9
= 1
‫مقام‬ ‫كان‬ ‫اذا‬2x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اقل‬2y‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫نقارن‬ ‫لذلك‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫فالبؤرتان‬
:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫ناقص‬ ‫لقطع‬
x2
1
3
+
y2
4
9
= 1
x2
b2 +
y2
a2 = 1
a2
=
4
9
⇒ a =
2
3
⇒ 2a =
4
3
‫الكبير‬ ‫المحور‬
b2
=
1
3
⇒ b =
1
√3
⇒ 2b =
2
√3
‫الصغير‬ ‫المحور‬
c2
= a2
- b2
⇒ c2
=
4
9
−
1
3
⇒ c2
=
1
9
⇒ c =
1
3
F(0,±
1
3
) ‫البؤرتان‬
V(0,±
2
3
) ‫الرأسان‬
e =
c
a
=
1
3
2
3
=
1
2
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬

72. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬52/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
3) 4x2
+ y2
= 4
/‫الحل‬‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫قسمة‬ ‫خلل‬ ‫من‬5
x2
+
1
4
y2
= 1 ⇒
x2
1
+
y2
4
= 1
:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
1
+
y2
4
= 1
x2
b2 +
y2
a2 = 1
a2
= 4 ⇒ a = 2 ⇒ 2a = 4 ‫الكبير‬ ‫المحور‬
b2
= 1 ⇒ b = 1 ⇒ 2b = 2 ‫الصغير‬ ‫المحور‬
c2
= a2
– b2
⇒ c2
= 4 – 1 ⇒ c2
= 3 ⇒ c = √3
F(0,± √3) ‫البؤرتان‬
V(0,± 2) ‫الرأسان‬
e =
c
a
=
√3
2
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
‫مثال‬16/‫ويقطع‬ , ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫طوله‬ ‫ا‬‫ا‬‫جزء‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬8‫طوله‬ ‫ا‬‫ا‬‫جزء‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ومن‬ ‫وحدات‬12‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫وحدة‬
.‫ومحيطه‬ ‫منطقته‬ ‫ومساحة‬
/‫الحل‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫يقطع‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬
∴‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2a = 12 ⇒ a = 6
2b = 8 ⇒ b = 4
x2
b2 +
y2
a2 = 1 ⇒
x2
16
+
y2
36
= 1 ‫المعادلة‬
c2
= a2
- b2
⇒ c2
= 55 – 16 = 20 ⇒ c = √20 = 2√5
2c = 4√5 ‫بين‬ ‫المسافة‬‫البؤرتين‬
A = a.b.𝜋 = 6(4) 𝜋 = 24𝜋 unit2
‫المساحة‬
P = 2𝜋√a2+b
2
2
= 2𝜋√
36+16
2
= 2𝜋 √
52
2
= 2𝜋 √26 unit ‫المحيط‬
‫مثال‬17/‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬,0)3-(2,0) , F3(1F‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫ومجموع‬
‫يساوي‬ ‫البؤرتين‬ ‫عن‬ ‫اليه‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬16.‫وحدات‬
/‫الحل‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
F1(3,0) , F2(-3,0) ⇒ c = 3
2a = 10 ⇒ a = 5
a2
= b2
+ c2
⇒ 25 = b2
+ 9 ⇒ b2
= 16 ⇒ b = 4
x2
a2 +
y2
b2 = 1 ⇒
x2
25
+
y2
16
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬18/‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫والمسافة‬ , ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
5‫المحورين‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫والفرق‬ ‫وحدات‬2.‫وحدة‬
‫بالمقارنة‬

73. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
/‫الحل‬
2c = 6 ⇒ c = 3
2a – 2b = 2 ⇒ a – b = 1 ⇒ a = b + 1 ……….
a2
= b2
+ c2
………..
‫نعوض‬‫في‬:
(b+1)2
= b2
+ 9 ⇒ b2
+ 2b + 1 = b2
+ 9 ⇒ 2b + 1 = 9 ⇒ 2b = 8 ⇒ b = 4
a = b + 1 ⇒ a = 4 + 1 = 5
x2
25
+
y2
16
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬19/‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الكبير‬ ‫ومحوره‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
(4,0) , (-4,0)‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫والنسبة‬
2
5
.
/‫الحل‬‫والنقطتين‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬(4,0) , (-4,0)‫قطبي‬ ‫هما‬ ‫النقطتين‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
.‫الناقص‬ ‫القطع‬
∴ b = 4
x2
b2 +
y2
a2 = 1
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬ ‫من‬ ‫نستفيد‬ ‫او‬
2b
2a
=
2
5
⇒
8
2a
=
2
5
⇒ 4a = 40 ⇒ ∴ a = 10
x2
16
+
y2
100
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬21/‫احدى‬ ‫وتبعد‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الكبير‬ ‫ومحوره‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫بالعددين‬ ‫الرأسين‬ ‫عن‬ ‫بؤرتيه‬7 , 3.‫الترتيب‬ ‫على‬
/‫الحل‬
2a = 3 + 7 = 10 ⇒ a = 5
c = 5 – 3 = 2
a2
= b2
+ c2
⇒ 25 = b2
+ 4 ⇒ b2
= 21
x2
25
+
y2
21
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬21/‫لتكن‬= 362
+ 4y2
kx‫بؤرتيه‬ ‫احدى‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ , ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬(3,0)‫قيمة‬ ‫جد‬ ,k.
/‫الحل‬‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫بقسمة‬ ‫وذلك‬ ‫القياسية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المعادلة‬ ‫نكتب‬55
kx2
+ 4y2
= 36 ⇒
x2
36
k
+
y2
9
= 1
a2
=
36
k
, b2
= 9 , c2
= 5 ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
a2
= b2
+ c2
⇒
36
k
= 9 + 5 = 18 ⇒ k =
36
18
= 2
F1
V2
(-a,0)
V1
(a,0)
37
ca

74. [ 2 – 4 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬‫الناقص‬(Ellipse)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫مثال‬22/‫مع‬ ‫جد‬ , ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ادلة‬,0)2-(2,0) , F2(1F= ‫الثابت‬ ‫والعدد‬5
.‫وحدات‬
/‫الحل‬‫لتكن‬P(x,y)‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬
PF1 + PF2 = 2a ‫التعريف‬ ‫من‬
√(x − 2)2 + (y + 0)2 + √(x + 2)2 + (y − 0)2 = 6
√(x − 2)2 + y2 = 6 - √(x + 2)2 + y2
(x − 2)2
+ y2
= 36 - 12√(x + 2)2 + y2+ (x + 2)2
+ y2
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
–4x +4 +y2
= 36 - 12√(x + 2)2 + y2 + x2
+4x +4 +y2
–4x = 36 - 12√(x + 2)2 + y2 + 4x ⇒ 12√(x + 2)2 + y2 = 36 + 8x
3√(x + 2)2 + y2 = 9 + 2x ‫على‬ ‫بالقسمة‬5
9((x + 2)2
+ y2
) = 81 + 36x + 4x2
⇒ 9(x2
+ 4x + 4 + y2
) = 81 + 36x + 4x2
9x2
+ 36x + 36 + 9y2
= 81 + 36x + 4x2
⇒ 9x2
+ 36 + 9y2
= 81 + 4x2
5x2
+ 9y2
= 81 – 36 ⇒ 5x2
+ 9y2
= 45 53 ‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫بقسمة‬
x2
9
+
y2
5
= 1 ‫المعادلة‬
‫مثال‬23/‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫بؤرتيه‬ ‫وأحدى‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬
12x = 0–2
y‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬16.‫وحدات‬
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫نستخدم‬‫المكافئ‬:‫البؤرة‬ ‫اليجاد‬
y2
– 12x = 0
y2
= 12x
y2
= 4px
4p = 12 ⇒ p = 3
∴‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬F(3,0).‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫احدى‬ ‫وهي‬
‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬3,0)-(2F,(3,0)1F
∴ c = 3
2b = 10 ⇒ b = 5
a2
= b2
+ c2
⇒ a2
= 25 + 9 = 34
x2
34
+
y2
25
= 1 ‫المعادلة‬
: ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫رسم‬ ‫طريقة‬
1-‫النقطتين‬ ‫نعين‬2, V1V
2-‫القطبين‬ ‫نعين‬2, M1M
5-‫االربعة‬ ‫النقاط‬ ‫بين‬ ‫نصل‬2, M2, V1, M1V
5-‫البؤرتين‬ ‫نعين‬2, F1F
‫بالمقارنة‬

75. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬53/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
5 ]–[ 2:‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫القطع‬ ‫مركز‬ ‫ان‬‫فاذا‬ , ‫التناظر‬ ‫محوري‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫هو‬ ‫الناقص‬
‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫المركز‬ ‫كان‬(h , k)‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫يوازيان‬ ‫والمحوران‬‫فإننا‬‫في‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
:‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫الجديدة‬ ‫االحداثيات‬
‫ومركزه‬ ‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫يوازي‬ ‫االكبر‬ ‫محوره‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬‫النقطة‬(h,k)
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫انسحاب‬ ‫عند‬O(0,0)‫بمقدار‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬h‫وعلى‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬
‫بمقدار‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬k:‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫تصبح‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬-
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
b2 = 1
‫بين‬ ‫العالقة‬c,b,a‫هي‬2
c+2
b=2
a
‫حيث‬a > b , c
‫المركز‬ ‫انسحاب‬O(0 , 0)‫الى‬𝑶̅(h , k)
‫البؤرتين‬ ‫انسحاب‬0),c-(20) , F,(c1F
‫الى‬h , k)+c-(2𝐅̅h , k) ,+(c1𝐅̅
‫الرأسين‬ ‫انسحاب‬0),a-(20) , V,(a1V
‫الى‬h , k)+a-(2𝐕̅h , k) ,+(a1𝐕̅
‫القطبين‬ ‫انسحاب‬b)-,(02b) , M,(01M
‫الى‬k)+b-(h,2𝐌̅k) ,+b,(h1𝐌̅
‫وطوله‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬2a‫ومعادلته‬ , ‫الوحدات‬ ‫من‬y = k
‫وطوله‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬2b‫ومعادلته‬ , ‫الوحدات‬ ‫من‬x = h
‫النقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫يوازي‬ ‫االكبر‬ ‫محوره‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬(h,k)
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫انسحاب‬ ‫عند‬O(0,0)‫بمقدار‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬h‫وعلى‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬
‫بمقدار‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬k:‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫تصبح‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬-
(x−h)2
b2
+
(y−k)2
a2
= 1
‫بين‬ ‫العالقة‬a,b,c‫هي‬2
+c2
=b2
a
‫حيث‬a > b,c
‫المركز‬ ‫انسحاب‬O(0 , 0)‫الى‬𝑶̅(h , k)
‫البؤرتين‬ ‫انسحاب‬)c,0(2) , Fc,0(1F‫الى‬
k)+c-(h ,2𝐅̅k) ,+c(h ,1𝐅̅
‫الرأسين‬ ‫انسحاب‬)a-,0(2) , Va,0(1V‫الى‬
k)+a-(h ,2𝐕̅k) ,+a(h ,1𝐕̅
‫القطبين‬ ‫انسحاب‬)0,b-(2) , M0,b(1M
‫الى‬k),b-(h2𝐌̅k) ,,b+(h1𝐌̅
‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬‫الصادات‬‫وطوله‬
2a‫ومعادلته‬ , ‫الوحدات‬ ‫من‬x = h
‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬‫السينات‬‫وطوله‬
2b‫ومعادلته‬ , ‫الوحدات‬ ‫من‬y = k
F̅2 F̅1
(-c+h ,k) (c+h ,k)
M̅1(h ,-b+k)
V̅1
(a+h ,k)
𝑋
𝑌
𝑋̅
𝑌̅
ℎ
𝑘
V̅2
(-a+h ,k)
M̅2(h ,b+k)
F̅2
F̅1
(h ,-a+k)
(h ,c+k)
M̅1
(b+h ,k)
V̅1 (h ,a+k)
𝑋
𝑌
𝑋̅
𝑌̅
ℎ
𝑘
V̅2
M̅2
(-b+h ,k)
(h,-c+k)

76. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫مثال‬24/: ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ومعادلة‬ ‫وطول‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫جد‬
(x−2)2
9
+
(y−1)2
25
= 1‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ,e.
/‫الحل‬‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬ , ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
(x−2)2
9
+
(y−1)2
25
= 1
(x−h)2
b2 +
(y−k)2
a2 = 1
b2
= 9 ⇒ b = 3
a2
= 25 ⇒ a = 5
h = 2 , k = 1
𝑂̅(h , k) = (2,1) ‫المركز‬
a2
= b2
+ c2
⇒ 25 = 9 + c2
c2
= 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4
‫التمارين‬ ‫حلول‬2-2
1)‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ومعادلة‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫والمركز‬ ‫والقطبين‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عين‬‫المركزي‬ ‫واالختلف‬
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫معادالتها‬ ‫المبينة‬ ‫الناقصة‬ ‫للقطوع‬
a) x2
+ 2y2
= 1
/‫الحل‬: ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫يتم‬
x2
+ 2y2
= 1
x2
1
+
y2
1
2
= 1
x2
a2 +
y2
b2 = 1
a2
= 1 ⟹ a = 1
b2
=
1
2
⟹ b =
1
√2
a2
= b2
+ c2
⟹ 1 =
1
2
+ c2
c2
=
1
2
⟹ c =
1
√2
b) 9x2
+ 13y2
= 117
/‫الحل‬: ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫يتم‬
9x2
+ 13y2
= 117 ⟹
9x2
117
+
13y2
117
= 1
x2
13
+
y2
9
= 1
x2
a2 +
y2
b2 = 1
‫بالمقارنة‬
:‫بالمقارنة‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
‫مقام‬ ‫ألن‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اكبر‬2
y
𝑂(h , k) = (6,6) ‫المركز‬
‫ألن‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
‫مقام‬2
x‫مقام‬ ‫من‬ ‫اكبر‬2
y
𝑂(h , k) = (6,6) ‫المركز‬
F(±
1
√2
, 0) ‫البؤرتان‬
V(±1, 0) ‫الرأسان‬
M(0, ±
1
√2
) ‫القطبان‬
2a = 2(1) = 2unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = 0 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(
1
√2
) = √2 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = 0 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
1
√2
1
=
1
√2
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
2a = 10 unit : ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = 2 :‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 6 unit : ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = 1 :‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
:‫البؤرتان‬
F̅1(h , c+k) = (2, 4+1) = (2,5)
F̅2(h , -c+k) = (2, -4+1) = (2,-3)
:‫الرئسان‬
V̅1(h , a+k) = (2,5+1) = (2,6)
V̅2(h , -a+k) = (2,-5+1) = (2,-4)
e =
c
a
=
4
5
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
‫بالمقارنة‬

77. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
a2
= 15 ⟹ a = √13
b2
= 9 ⟹ b = 3
c2
= a2
- b2
⟹ c2
=13 -9 = 4 ⟹ c = 2
F(±2, 0) ‫البؤرتان‬
V(±√13, 0) ‫الرأسان‬
M(0, ±3) ‫القطبان‬
2a = 2(√13) = 2√13 unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = 0 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(3) = 6 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = 0 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
2
√13
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
c)
(x−4)2
81
+
(y+1)2
25
= 1
/‫الحل‬
(x−4)2
81
+
(y+1)2
25
= 1
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
b
2 = 1
:‫بالمقارنة‬
a2
= 81 ⟹ a = 9
b2
= 25 ⟹ b =5
c2
= a2
- b2
= 81 – 25 = 56 ⟹ c = √56
2a = 2(5) = 18unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⟹ y = -1 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(5) = 10 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⟹ x = 4 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
√56
9
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
d)
(x+3)2
9
+
(y+2)2
25
= 1
/‫الحل‬
(x+3)2
9
+
(y+2)2
25
= 1
(x−h)2
b
2 +
(y−k)2
a2 = 1
a2
= 25 ⟹ a = 5
b2
= 9 ⟹ b =3
‫بالمقارنة‬
h = 4 , k = -1
‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬
‫المركز‬𝐎̅(4, -1)
h = -3 , k = -2
‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬
‫المحور‬‫الصادي‬,
‫المركز‬𝐎̅(-3, -2)
‫البؤرتان‬:
F̅1(c+h, k) = (√56+4, -1)
F̅2 (-c+h, k) = (-√56+4, -1)
‫الرأسان‬:
V̅1(a+h, k) = (13, -1)
V̅2 (-a+h, k) = (-5, -1)
‫القطبان‬:
M̅1(h, b+k) = (4, 4)
M̅2 (h, -b+k) = (4, -6)

78. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬58/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
c2
= a2
- b2
⟹ c2
= 25 – 9 = 16 ⟹ c = 4
2a = 2(5) = 10unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⟹ x = -3 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(5) = 5 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⟹ y = -2 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
4
5
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
e) 9x2
+ 16y2
– 72x – 96y + 144 = 0
/‫الحل‬:‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
9x2
+ 16y2
– 72x – 96y + 144 = 0 ⟹ 9x2
– 72x + 16y2
– 96y = -144
‫نضيف‬155:‫المعادلة‬ ‫لطرفي‬ ‫مرتين‬
9x2
– 72x + 144 + 16y2
– 96y +144 = -144 + 144 + 144
9)x2
– 8x + 15) + 16(y2
– 6y + 9) = 144 ⟹ 9)x - 4)2
+ 16(y – 3)2
= 144 ÷144
(x−4)2
16
+
(y−3)2
9
= 1
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
b
2 = 1
‫بالمقارنة‬:
a2
= 16 ⟹ a = 4
b2
= 9 ⟹ b = 3
c2
= a2
- b2
⟹ c2
= 16 – 9 = 7
c = √7
f) x2
+ 25y2
+ 4x – 150y + 204 = 0
/‫الحل‬:‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
x2
+ 25y2
+ 4x – 150y + 204 = 0
x2
+ 4x + 25y2
– 150y = -204
‫المعادلة‬ ‫لطرفي‬ ‫نضيف‬5‫و‬223:
x2
+ 4x + 4 + 25y2
– 150y + 225 = -204 + 4 + 225
)x2
+ 4x + 4) + 25(y2
– 6y + 9) = 25 ⟹ )x + 2)2
+ 25(y – 3)2
= 25 ÷25
(x+2)2
25
+
(y−3)2
1
= 1
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
b
2 = 1
‫بالمقارنة‬:
a2
= 25 ⟹ a = 5
b2
= 1 ⟹ b =1
h = 4 , k = 3
‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬
, ‫السيني‬ ‫المحور‬
‫المركز‬𝐎̅(4, 3)
h = -2 , k = 3
‫يوازي‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬
, ‫السيني‬ ‫المحور‬
‫المركز‬𝐎̅(-2, 3)
‫البؤرتان‬:
F̅1(h, c+k) = (-3, 2)
F̅2 (h, -c+k) = (-3, -6)
‫الرأسان‬:
V̅1(h, a+k) = (-3, 3)
V̅2 (h, -a+k) = (-3, -7)
‫القطبان‬:
M̅1(b+h, k) = (0, -2)
M̅2 (-b+h, k) = (-6, -2)
F̅1 (√7+4, +3),F̅2 (-√7+4, +3) ‫البؤرتان‬
V̅1 (8, 3) , V̅2 (0, 3) ‫الرأسان‬
M̅1 (4, 6) , M̅2 (4, 0) ‫القطبان‬
2a = 2(4) = 8unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⟹ y = 3 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(3) = 6 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⟹ x = 4 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
√7
4
< 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬

79. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
c2
= a2
- b2
⟹ c2
= 25 – 1 = 24
c = √24 = 2√6
F̅1 (2√6-2, 3) , F̅2 (-2√6-2, 3) ‫البؤرتان‬
V̅1 (3, 3) , V̅2 (-7, 3) ‫الرأسان‬
M̅1 (-2, 4) , M̅2 (-2, 2) ‫القطبان‬
2):‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬
a)‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬(-5,0),(5,0)‫يساوي‬ ‫الكبير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬12.‫وحدة‬
/‫الحل‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
F1(5, 0) , F2(-5, 0) ⟹ c = 5
2a = 12 ⟹ a = 6 ⟹ a2
= 36
a2
= b2
+ c2
a,c ‫عن‬ ‫نعوض‬
55 = b2
+ 23 ⟹ b2
= 11 ⟹
x2
36
+
y2
11
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
b)‫هما‬ ‫البؤرتان‬(0,±2)‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ويتقاطع‬x = ±4.
/‫الحل‬‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
F1 (0, 2) , F2 (0, -2) ⟹ c = 2
∵‫التقطاع‬ ‫نقطتي‬ ‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫يتقاطع‬ ‫الناقص‬ ‫والقطع‬ , ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬(4,0) , (-4,0)
∴‫النقطتان‬(4,0) , (-4.0):‫القطبين‬ ‫تمثلن‬
b = 4
a2
= b2
+ c2
a,c ‫عن‬ ‫نعوض‬
a2
= 16 + 4 ⟹ a2
= 20 ⟹
x2
16
+
y2
20
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
c)‫بالعددين‬ ‫الكبير‬ ‫محوره‬ ‫نهايتي‬ ‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫بؤرتيه‬ ‫احدى‬5 , 1.‫الترتيب‬ ‫على‬ ‫وحدة‬
/‫الحل‬:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االحتمالين‬ ‫نأخذ‬ ‫فاننا‬ ‫محور‬ ‫اي‬ ‫على‬ ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬
1):‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2a = 5 + 1 = 6 ⟹ a = 3
c = 3 – 1 = 2
a2
= b2
+ c2
a,c ‫عن‬ ‫نعوض‬
9 = b2
+ 4 ⟹ b2
= 5
x2
9
+
y2
5
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
2):‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
5
+
y2
9
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
F1
V2
(-a,0)
V1
(a,0)
15
ca
2a = 2(5) = 10unit ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⟹ y = 3 ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2(1) = 2 unit ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⟹ x = -2 ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
e =
c
a
=
2√6
5
< 1 ‫ا‬‫المركزي‬ ‫الختلف‬

80. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬86/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
d)= ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
1
2
‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬12.‫طولية‬ ‫وحدة‬
/‫الحل‬:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االحتمالين‬ ‫نأخذ‬ ‫فاننا‬ ‫محور‬ ‫اي‬ ‫على‬ ‫البؤرتين‬ ‫موقع‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬
1):‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2b = 12 ⟹ b = 6
e =
c
a
⟹ a =
c
e
=
c
1
2
⟹ a = 2c
a2
= 5c2
……………❶
a2
= b2
+ c2
………❷
‫قيمة‬ ‫نعوض‬b= 6‫وقيمة‬2
a‫معادلة‬ ‫من‬❶‫المعادلة‬ ‫في‬❷:
4c2
= 36 + c2
3c2
= 36 ⟹ c2
= 12
a2
= 4c2
= 4 . 12 = 48 ❶ ‫المعادلة‬ ‫في‬ c2
‫قيمة‬ ‫نعوض‬
x2
48
+
y2
36
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
2):‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
36
+
y2
48
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
e)‫تساوي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬8‫يساوي‬ ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫ونصف‬ , ‫وحدات‬5.‫وحدة‬
/‫الحل‬
1):‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
2c = 8 ⟹ c = 4 , b = 3
a2
= b2
+ c2
⟹ a2
= 9 + 16 ⟹ a2
=25 ⟹ a = 5
x2
25
+
y2
9
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
2)‫المحور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫الصادي‬:
x2
9
+
y2
25
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫فروع‬‫السنوات‬ ‫من‬ ‫اضافية‬‫السابقة‬:
f)‫رأساه‬(0.-6),(0.6)‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫ومجموع‬15.‫وحدة‬
/‫الحل‬
V1 (0, -6) , V2 (0, 6) ⟹ a = 6 ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
2a + 2b = 16 ÷2
a + b = 8 ⟹ 6 + b = 8 ⟹ b = 2 ⟹
x2
4
+
y2
36
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
g)‫المستطيل‬ ‫اضلع‬a,b,c,d‫حيث‬ ‫له‬ ‫مماسات‬a(4,3) , b(-4,3) , c(-4,-3) , d(4,-3).
/‫الحل‬
2a = 8 ⇒ a = 4
2b = 6 ⇒ b = 3
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬:
x2
16
+
y2
9
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
3
3
4
4

81. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬81/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
h)‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫بنقطتي‬ ‫يمر‬2x + y = 8.‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫مع‬
/‫الحل‬
2x + y = 8
‫نأخذ‬x = 0‫قيمة‬ ‫لنحدد‬y:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫في‬
x = 0 ⇒ y = 8 ⇒ (0,8)
‫نأخذ‬y = 0‫قيمة‬ ‫لنحدد‬x:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫في‬
y = 0 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4 ⇒ (4,0)
‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫اذا‬(0,8) , (4,0)
: ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬a = 8 , b = 4
x2
16
+
y2
64
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
i)‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬5‫بالنقطتيــــن‬ ‫ويمر‬ ‫وحدات‬(-3,0) , (3,0).
/‫الحل‬
2c = 6 ⟹ c = 3
‫بالنقطتيــــن‬ ‫يمر‬(-3,0) , (3,0)
‫االحداثي‬ ‫فان‬ )‫صفر‬ ‫احداثييها‬ ‫احد‬ ‫ان‬ ‫(اي‬ ‫المحورين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫وتقع‬ , ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ )‫(تمر‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
‫اما‬ ‫االخر‬a‫او‬b.
‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬a = 3‫الن‬a > c
b = 3
∴‫النقطتين‬(-3,0) , (3,0)‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫قطبي‬ ‫هما‬:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتين‬ ‫ان‬ ‫اي‬
a2
= b2
+ c2
⟹ a2
= 9 + 5 ⟹ a2
=18
x2
9
+
y2
18
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
j)‫البؤرتان‬(-2,0) , (2,0)‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬(2,-3).
/‫الحل‬
F1 (2, 0) , F2 (-2, 0) ⟹ c = 2
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
‫النقطة‬(2,-3):‫المعادلة‬ ‫تحقق‬
x2
a2 +
y2
b2 = 1
4
a2 +
9
b2 = 1 . a2
.b2
4b2
+ 9a2
= a2
.b2
……..…..❶
a2
= b2
+ c2
= b2
+ 4
‫في‬ ‫نعوض‬❶‫عن‬2
a‫بـ‬+ 42
b:
4b2
+ 9(b2
+ 4) = (b2
+ 4).b2
⟹ 4b2
+ 9b2
+ 36 = b4
+ 4b2
9b2
+ 36 = b4
⟹ b4
- 9b2
– 36 = 0 ⟹ (b2
-12)(b2
+3) = 0
b2
- 12 = 0 ⇒ b2
= 12 , b2
+3≠0 ‫تهمل‬
a2
= b2
+ 4 = 12 + 4 = 16
x2
16
+
y2
12
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
/‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
F1 (2, 0) , F2 (-2, 0) , P(2,-3) ⟹ c = 2
PF1 + PF2 = 2a ‫التعريف‬
√(2 − 2)2 + (−3)2 + √(2 + 2)2 + (−3)2 = 2a

82. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬82/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
√9 + √16 + 9 = 2a ⟹ √9 + √25 = 2a ⟹ 3 + 5 = 2a ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4
a2
= b2
+ c2
⇒ 16 = b2
+ 4 ⇒ b2
= 12
x2
16
+
y2
12
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
3):‫علم‬ ‫اذا‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
a)‫النقطتان‬ ‫بؤرتاه‬(0,±2)‫النقطتان‬ ‫وراساه‬(0,±3)‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬.
/‫الحل‬‫الصادي‬ ‫للمحور‬ ‫تنتميان‬ ‫البؤرتان‬
MF1 + MF2 = 2a = 6 ‫التعريف‬
√(x − 0)2 + (y − 2)2 + √(x − 0)2 + (y + 2)2 = 6
√x2 + (y − 2)2 = 6 - √x2 + (y + 2)2
x2
+ (y − 2)2
= 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + x2
+ (y + 2)2
x2
+ y2
− 4y + 4 = 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + x2
+ y2
+ 4y + 4
−4y = 36 - 12√x2 + (y + 2)2 + 4y
12√x2 + (y + 2)2 = 36 + 8y ÷ 4
3√x2 + (y + 2)2 = 9 + 2y ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
9(x2
+ (y + 2)2) = 81 + 36y + 4y2
9x2
+ 9y2
+ 36y + 36 = 81 + 36y + 4y2
9x2
+ 5y2
= 81- 36 = 45 ÷ 45
x2
5
+
y2
9
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
b)‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬5‫الثابت‬ ‫والعدد‬ ‫وحدة‬16.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫والبؤرتان‬
/‫الحل‬‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬5
2c = 6 ⇒ c = 3
‫الثابت‬ ‫البعد‬ = 2a = 10 ⟹ a = 5
MF1 + MF2 = 2a
√(x + 3)2 + (y − 0)2 + √(x − 3)2 + (y − 0)2 = 2a = 10
√(x + 3)2 + y2 = 10 - √(x − 3)2 + y2 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
(x + 3)2
+ y2
= 100 - 20√(x − 3)2 + y2 + (x − 3)2
+ y2
x2
+ 6x + 9 = 100 - 20√(x − 3)2 + y2 + x2
− 6x + 9
6x = 100 - 20√(x − 3)2 + y2 −6x
20√(x − 3)2 + y2 = 100 − 12x ÷ 4
5√(x − 3)2 + y2 = 25 − 3x ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
25((x − 3)2
+ y2) = 625 − 150x + 9x2
25(x2
− 6x + 9 + y2) = 625 − 150x + 9x2
25x2
− 150x + 225 + 25y2
= 625 − 150x + 9x2
16x2
+ 25y2
= 400 ÷ 400
x2
25
+
y2
16
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
F2(0,-2)
F1 (0,2)
V2(0, -3)
V1(6,3)
M(x,y)
F2F1
M(x,y)
3 3

83. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬85/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
4)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬‫معادلته‬ ‫الذي‬
+ 8x = 02
y‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بان‬ ‫علما‬)√3,√3(2
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬:‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫احدى‬ ‫وهي‬ ‫البؤرة‬ ‫نجد‬
y2
+ 8x = 0
y2
= -8x
y2
= -4px
(-2,0) ‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬
(2,0) , (-2,0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
c = 2
a2
= b2
+ c2
⟹ a2
= b2
+ 4 ……❶
:‫القياسية‬ ‫والمعادلة‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
a2
+
y2
b2
= 1
(2√3 , √3) ∈ ‫للقطع‬
12
a2
+
3
b2
= 1 a2
.b2
‫بـ‬ ‫نضرب‬
12b2
+ 3a2
= a2
b2
…….. ❷
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
a‫معادلة‬ ‫من‬❶‫معادلة‬ ‫في‬❷:
12b2
+ 3(b2
+ 4) = (b2
+ 4)b2
⟹ 12b2
+ 3b2
+ 12 = b4
+ 4b2
b4
- 11 b2
- 12 = 0 ⟹ (b2
- 12)( b2
+ 1) = 0
b2
+ 1 = 0 ‫تهمل‬
b2
– 12 = 0 ⟹ b2
= 12
‫قيمة‬ ‫نستخرج‬ ‫معادلة‬ ‫من‬2
a:
a2
= 12 + 4 = 16 ⟹
x2
16
+
y2
12
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
5)‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(6,2) ,
(3,4).
/‫الحل‬:‫هي‬ ‫المعادلة‬ , ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
a2 +
y2
b2 = 1
(3,4) ∈ ‫للقطع‬ ⇒
9
a2
+
16
b2
= 1 …..… ❶
(2,6) ∈ ‫للقطع‬ ⇒
36
a2 +
4
b2 = 1 …..… ❷
‫نضرب‬‫المعادلة‬❶‫بـ‬5‫معادلة‬ ‫من‬ ‫ونطرحها‬❷:
36
a2 +
64
b2 = 4
36
a2 +
4
b2 = 1
‫بالطرح‬
0 +
60
b
2 = 3
b2
=
60
3
= 20
4p = 8
p = 2
‫بالمقارنة‬ ⟹

84. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬85/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
b‫على‬ ‫لنحصل‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬2
a:
9
a2 +
16
20
= 1 ⇒
9
a2 +
4
5
= 1 ⟹
9
a2 =
1
5
⇒ a2
= 45
x2
45
+
y2
20
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
6)‫المنحني‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطتا‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
3x = 16–2
+ y2
x‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬‫المكافئ‬= 12x2
y.
/‫الحل‬‫عندما‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬ ‫نستخرج‬ ‫المنحني‬ ‫معادلة‬ ‫من‬x = 0:
02
+ y2
– 3(0) = 16 ⇒ y2
= 16
y = ± 4
(0,4) , (0,-4) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬c = 4
‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬:‫الدليل‬ ‫نجد‬
y2
= 12x
y2
= 4px
4p = 12 ⇒ p = 3 ⇒ x = -3 ‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫معادلة‬‫المكافئ‬
‫القطع‬ ‫دليل‬‫المكافئ‬x = -3‫عند‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫يمس‬(-3,0)
(3,0) , (-3,0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫قطبي‬
a2
= b2
+ c2
⇒ a2
= 9 + 16 = 25
x2
9
+
y2
25
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
7)‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ومركزه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫الى‬ ‫تنتميان‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫القطع‬ ‫ويقطع‬ ‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫ضعف‬ ‫الكبير‬‫المكافئ‬+ 8x = 02
y‫السيني‬ ‫احداثيها‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫عند‬
‫يساوي‬(-2).
/‫الحل‬‫عن‬ ‫نعوض‬x = -2‫اليجاد‬ ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫في‬‫قيمتي‬y
‫ل‬:‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬
y2
+ 8x = 0 ⇒ y2
+ 8(-2) = 0
y2
= 16 ⇒ y = ±4
‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬(-2, ±4):‫ومعادلته‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتميان‬
x2
a2 +
y2
b2 = 1 ⇒
(−2)2
a2 +
(4)2
b2 = 1 ⇒
4
a2 +
16
b2 = 1………… ❶
2a = 2(2b) ⇒ a = 2b ……….. ❷
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫معادلة‬ ‫من‬❷‫معادلة‬ ‫في‬❶:
4
(2b)2
+
16
b2
= 1 ⇒
4
4b2
+
16
b2
= 1 ⇒
1
b2
+
16
b2
= 1
17
b2 = 1 ⇒ b2
= 17 ⇒ b = √17
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
b‫معادلة‬ ‫في‬❶‫لنجد‬2
a:
a = 2b ⇒ a = 2√17 ⇒ a2
= 68
x2
68
+
y2
17
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫بالمقارنة‬
(-2,4)
(-2,4)
-2

85. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬83/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
8)‫معادلته‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬= 362
+ ky2
hx( ‫يساوي‬ ‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫مربعي‬ ‫ومجموع‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬56)
‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ,‫المكافئ‬‫معادلته‬ ‫الذي‬x√3= 42
y‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫ما‬ ,R∈h , k‫؟‬
/‫الحل‬‫على‬ ‫بقسمتها‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫نعيد‬55:
hx2
+ ky2
= 36 ⇒
x2
36
h
+
y2
36
k
= 1
(2a)2
+ (2b) 2
= 60 ⇒ 4a2
+ 4b2
= 60 ⟹ a2
+ b2
= 15 ……. ❶ 5 ‫على‬ ‫بالقسمة‬
‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬:‫بؤرته‬ ‫نجد‬
y2
= 4√3x
y2
= 4px
)√3 , 0) ‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬
)√3 , 0) , )−√3 , 0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
c = √3
a2
= b2
+ c2
⟹ a2
= b2
+ 3
a2
- b2
= 3 ..….. ❷
a2
+ b2
= 15 ……. ❶
‫بالجمع‬
2a2
+ 0 = 18 ⇒ 2a2
= 18 ⇒ a2
= 9
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
a‫معادلة‬ ‫في‬❶‫لنجد‬2
b:
9 + b2
= 15 ⇒ b2
= 6
‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬h‫و‬k(‫البؤر‬‫تان‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬: )
a2
=
36
h
⇒ 9 =
36
h
⇒ h =
36
9
= 4
b2
=
36
k
⇒ 6 =
36
k
⇒ k =
36
6
= 6
9)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬= 24y2
x
‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫ومجموع‬55.‫وحدة‬
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫نجد‬‫المكافئ‬:
x2
= 24y
x2
= 4py
F(0,6) ‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬
F1(0,6) , F2(0.-6) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
c = 6 ⟹ a2
= b2
+ c2
⇒ a2
= b2
+ 36 ………... ❶
2a + 2b = 36 ⇒ a + b = 18 ⟹ a = 18 - b ………. ❷
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫معادلة‬ ‫في‬❶:
a2
= b2
+ 36 ⇒ (18 - b)2
= b2
+ 36 ⟹ 324 – 36b + b2
= b2
+ 36
36b = 324 – 36 = 288 ⟹ b =
288
36
= 8
‫معادلة‬ ‫من‬❶‫قيمة‬ ‫نعوض‬b‫قيمة‬ ‫لنجد‬a:
a = 18 – b ⇒ a = 18 – 8 = 10
:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
64
+
y2
100
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫بالمقارنة‬
‫بالمقارنة‬ 4p = 24
p = 6
⇒
⇒ 4p = 4√3 ⇒ p = √3

86. [ 2 – 5 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫ل‬ ‫المحاور‬ ‫انسحاب‬‫لقطع‬‫الناقص‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬85/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
11)‫بؤرتيه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬4 , 0)-(2F(4 , 0) ,1𝐹‫والنقطة‬P‫بحيث‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬
‫المثلث‬ ‫محيط‬ ‫ان‬2F1FP‫يساوي‬25.‫وحدة‬
/‫الحل‬
‫الثلث‬ ‫اضلعه‬ ‫اطوال‬ ‫مجموع‬ = ‫المثلث‬ ‫محيط‬
PF1 + PF2 + F1F2 = 24
PF1+PF2 = 2a , F1F2 =2c ‫التعريف‬ ‫من‬
2a + 2c = 24 ⇒ a + c = 12 ..…. ❶
F1(4 , 0) , F2(-4 , 0) ‫البؤرتان‬
c = 4
‫قيمة‬ ‫نعوض‬c‫المعادلة‬ ‫في‬❶‫على‬ ‫لنحصل‬a:
a + 4 = 12 ⇒ a = 8
a2
= b2
+ c2
⇒ 64 = b2
+ 16 ⇒ b2
= 64 - 16 = 48
x2
64
+
y2
48
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫لتكن‬+12x=02
y,12x=0–2
y‫ثم‬ , ‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بؤرة‬ ‫جد‬ , ‫مكافئين‬ ‫قطعين‬ ‫معادلتي‬
‫الصغير‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫المكافئين‬ ‫القطعين‬ ‫بؤرتي‬ ‫هما‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬16.‫وحدات‬
/‫الحل‬
y2
+ 12x = 0 ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫نعيد‬
y2
= -12x
y2
= -4px
F1(-3,0) ‫المكافئ‬ ‫بؤرة‬ , x = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y2
- 12x = 0 ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫نعيد‬
y2
= 12x
y2
= 4px
F2(3,0) ‫المكافئ‬ ‫بؤرة‬ , x = -3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
F1(-3,0) , F2(3,0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
c = 3
2b = 10 ⇒ b = 5
a2
= b2
+ c2
⇒ a2
= 23 + 5 = 34
:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
34
+
y2
25
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
F1
P(x,y)
(-4,0)
F2
(4,0)
‫بالمقارنة‬ 4p = 12
p = 3
⇒
‫بالمقارنة‬ 4p = 12
p = 3
⇒

87. [ 2 – 6 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫الزائد‬ ‫القطع‬(Hyperbola)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬85/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
6 ]–[ 2‫الزائد‬ ‫القطع‬(Hyperbola):
: ‫تعريف‬‫نقطتين‬ ‫عن‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫بعدي‬ ‫لفرق‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫تكون‬ ‫التي‬ ‫المستوي‬ ‫في‬ ‫النقط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬
( ‫ثابتا‬ ‫عددا‬ ‫يساوي‬ )‫(البؤرتان‬ ‫ثابتتين‬2a.‫الوحدات‬ ‫من‬ )
1-‫معادلة‬‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬
:‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫السينات‬
‫النقطة‬P(x,y)‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬
:‫التعريف‬ ‫من‬
|PF1 – PF2| = 2a
√(x − c)2 + y2 − √(x + c)2 + y2 = 2a
: ‫المعادلة‬ ‫تبسيط‬ ‫ومن‬
:‫فيه‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬
𝐱 𝟐
𝐚 𝟐 −
𝐲 𝟐
𝐛 𝟐 = 1
1-‫نقطة‬ ‫مركزه‬.‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫منتصف‬ ‫وهي‬ ‫االصل‬
2-‫البؤرتان‬c,0)-(2(c,0) , F1F‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
5-‫الرأسان‬a,0)-(2(a,0) , V1V
5-1PF,2PF‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسومين‬ ‫البؤريين‬ ‫القطرين‬ ‫نصفي‬ ‫طولي‬ ‫يسميان‬P.
3-‫الرأسين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬V1V2
̅̅̅̅̅̅‫يساوي‬ ‫وطوله‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫تسمى‬2a.‫الوحدات‬ ‫من‬
5-‫المحور‬‫العمود‬‫وط‬ )‫(التخيلي‬ ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫يسمى‬ ‫القطع‬ ‫بمركز‬ ‫والمار‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫ي‬‫ــــــــ‬‫يس‬ ‫وله‬‫اوي‬
2b.‫الوحدات‬ ‫من‬
5-‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬F1F2
̅̅̅̅̅̅‫و‬ ‫البؤري‬ ‫البعد‬ ‫تسمى‬‫تساوي‬2c.
8-‫بين‬ ‫العلقة‬a , b , c‫هي‬2
b+2
a=2
c‫حيث‬b>c‫و‬a>c‫ان‬ ‫كما‬ ‫دائما‬a,b,c‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫ثلثة‬
.‫موجبة‬
2-‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
:‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
‫النقطة‬P(x,y)‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫نقاط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬
:‫التعريف‬ ‫من‬
|PF1 – PF2| = 2a
√(x − 0)2 + (y − c)2 − √(x − 0)2 + (y + c)2 = 2a
: ‫المعادلة‬ ‫تبسيط‬ ‫ومن‬
:‫فيه‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫تمثل‬
𝐲 𝟐
𝐚 𝟐 −
𝐱 𝟐
𝐛 𝟐 = 𝟏
1-.‫البؤرتين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬ ‫منتصف‬ ‫وهي‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬
2-‫البؤرتان‬c)-0,(2c) , F0,(1F‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
5-‫الرأسان‬a)-0,(2a) , V0,(1V
5-1PF,2PF‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسومين‬ ‫البؤريين‬ ‫القطرين‬ ‫نصفي‬ ‫طولي‬ ‫يسميان‬P.
3-‫الرأسين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬V1V2
̅̅̅̅̅̅‫يساوي‬ ‫وطوله‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫تسمى‬2a.‫الوحدات‬ ‫من‬
5-‫يساوي‬ ‫وطوله‬ )‫(التخيلي‬ ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫يسمى‬ ‫القطع‬ ‫بمركز‬ ‫والمار‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫العمودجي‬ ‫المحور‬
2b.‫الوحدات‬ ‫من‬
5-‫البؤرت‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬‫ين‬F1F2
̅̅̅̅̅̅‫و‬ ‫البؤري‬ ‫البعد‬ ‫تسمى‬‫تساوي‬2c.
8-‫بين‬ ‫العلقة‬a , b , c‫هي‬2
b+2
a=2
c‫حيث‬b>c‫و‬a>c‫ان‬ ‫كما‬ ‫دائما‬a,b,c‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫ثلثة‬
.‫موجبة‬
(b,0)(-b,0)
F2(o,-c)
P(x,y)
V1(0,a)
V2(0,-a)
F1(0,c)
x
y
(0,b)
(0,-b)
F2(-c,0)
F1(c,0)
P(x,y)
V2(-a,0)
V1(a,0)
x
y

88. [ 2 – 6 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫الزائد‬ ‫القطع‬(Hyperbola)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬88/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
:‫مالحظات‬
1-‫من‬ ‫اكبر‬ ‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫االختالف‬1‫ان‬ ‫اي‬ ,> 1e =
𝐜
𝐚
2-‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫في‬a > b‫أو‬a = b‫أو‬a < b
3-‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬.‫لدالة‬ ‫قاعدة‬ ‫ليست‬
4-.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫وحول‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫وحول‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ً‫ا‬‫متناظر‬ ‫يكون‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬
5-‫اليجاد‬a , b:‫ان‬ ‫يجب‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
= ‫للمعادلة‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬1
‫معامل‬2
x‫معامل‬ = ‫البسط‬ ‫في‬2
y= ‫البسط‬ ‫في‬1
6-‫ان‬ ‫اي‬ , ‫رأس‬ ‫نقطة‬ ‫فهي‬ )‫صفر‬ ‫احداثييها‬ ‫(احد‬ ‫المحورين‬ ‫الحد‬ ‫تنتمي‬ ‫عندما‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫مرور‬ ‫نقطة‬
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫االحداثي‬a.
:‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫رسم‬ ‫طريقة‬
‫لتكن‬
𝐱 𝟐
𝐚 𝟐 −
𝐲 𝟐
𝐛 𝟐 = 1:‫القطع‬ ‫هذا‬ ‫ولرسم‬ ‫اردنا‬ ‫واذا‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتميان‬ ‫بؤرتاه‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬
1-‫القطع‬ ‫رأسي‬ ‫نعين‬‫بالنقطتين‬(a,0) , (-a,0).
2-‫النقطتين‬ ‫نعين‬(0,b) , (0,-b).
3-.‫المحورين‬ ‫توازي‬ ‫اضالعه‬ ‫تكون‬ ‫بحيث‬ ‫النقط‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ً‫ال‬‫مستطي‬ ‫نرسم‬
4-.‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫لمنحني‬ ‫المحاذيين‬ ‫المستقيمين‬ ‫يمثالن‬ ‫وهما‬ ‫استقامته‬ ‫على‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫ونمد‬ ‫المستطيل‬ ‫قطري‬ ‫نرسم‬
5-‫البؤرتين‬ ‫نعين‬c,0)-(2(c,0) , F1F‫نرسم‬ ‫ثم‬.‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫ذراعي‬
‫مثال‬25/:‫ارسمه‬ ‫ثم‬ , ‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫والمرافق‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وطول‬ ‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫عين‬-
x2
64
−
y2
36
= 1
/‫الحل‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫والمعادلة‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫بين‬ ‫نقارن‬
x2
64
−
y2
36
= 1
x2
a2 −
y2
b2 = 1
c2
= a2
+ b2
⇒ c2
= 64 + 36 = 100
c = 10
F1(10,0) , F2(-10,0) ‫البؤرتان‬
V1(8,0) , V2(-8,0) ‫الرأسان‬
(0,6) , (0,-6) ‫القطبان‬
‫مثال‬26/‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬5‫يساوي‬ ‫المركزي‬ ‫واالختلف‬ ‫وحدات‬2‫والبؤرتان‬ ‫و‬
.‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫على‬
/‫الحل‬‫قيمة‬ ‫نجد‬a: ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫من‬
2a = 6 ⇒ a = 3
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫المركزي‬ ‫االختلف‬ ‫معادلة‬ ‫مع‬c:
e =
c
a
⇒ 2 =
c
3
⇒ c = 6
‫قيمة‬ ‫نجد‬b: ‫العلقة‬ ‫من‬
c2
= a2
+ b2
⇒ 36 = 9 + b2
⇒ b2
= 36 - 9 = 27
a2
= 64 ⇒ a = 8
2a = 16 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬
b2
= 36 ⇒ b = 6
2b = 12 ‫المرافق‬ ‫المحور‬
(0,6)
(0,-6)
F2(-10,0)
F1(10,0)
V2(-8,0)
V1(8,0)
x
y

89. [ 2 – 6 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫الزائد‬ ‫القطع‬(Hyperbola)
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬85/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
9
−
y2
27
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫مثال‬27/‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬5‫النقطتان‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫وحدات‬
)√8-(0,2) , F√8(0,1F.
/‫الحل‬
F1(0,√8) , F2(0,- √8) ⇒ c = √8
2b = 4 ⇒ b = 2 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫من‬ b ‫قيمة‬ ‫نجد‬
c2
= a2
+ b2
⇒ 8 = a2
+ 4 ⇒ a2
= 8 - 4 = 4 ‫العلقة‬ ‫من‬ a ‫قيمة‬ ‫نجد‬
‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬‫الصادات‬:
y2
4
−
x2
4
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
: ‫المثال‬ ‫هذا‬ ‫في‬ /‫ملحظة‬
‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬b‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬ =a
‫(الرأسين‬ ‫االربعة‬ ‫النقط‬ ‫الن‬ )‫االضلع‬ ‫(المتساوي‬ ‫او‬ )‫القائم‬ ‫الزائد‬ ‫(القطع‬ ‫يدعى‬ ‫الزائدة‬ ‫القطوع‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫مثل‬
‫تشكل‬ )‫والقطبين‬‫ويكون‬ ‫مربع‬ ‫رؤوس‬
e = √2.‫ثابت‬ ‫مقدار‬
‫المعادلة‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
a2 −
y2
b2 = 1
‫المركز‬‫االصل‬ ‫نقطة‬(0,0)
‫الرأسان‬
‫القطبان‬
‫البؤرتان‬
a,0)-(2V(a,0) ,1V
(0,b) , (0,-b)
c,0)-(2(c,0) , F1F
‫التناظر‬ ‫محور‬‫السينات‬ ‫محور‬y = 0
‫المعادلة‬‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬‫الصادات‬
y2
a2 −
x2
b2 = 1
‫المركز‬‫االصل‬ ‫نقطة‬(0,0)
‫الرأسان‬
‫القطبان‬
‫البؤرتان‬
a)-0,(2V) ,a,0(1V
(b,0) , (-b,0)
c)-0,(2) , Fc,0(1F
‫التناظر‬ ‫محور‬‫الصادات‬ ‫محور‬x = 0

90. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬56/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
7 ]–[ 2:‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬
‫النقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬(h,k)‫المتعامدين‬ ‫المحورين‬ ‫يوازيان‬ ‫ومحوراه‬
/ً‫ال‬‫او‬‫بمقدار‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫مركز‬ ‫انسحاب‬ ‫عند‬(h)‫من‬
‫وبمقدار‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الوحدات‬(k)‫الوحدات‬ ‫من‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫من‬‫و‬‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬
:‫السينات‬
:‫المعادلة‬ ‫تصبح‬
(x−h)2
a2 −
(y−k)2
b2 = 1
‫البؤرتان‬ ‫انسحاب‬c,0)-(2(c,0) , F1F‫الى‬
c+h , k)-(2F̅(c+h , k) ,1F̅
‫الرأسان‬ ‫انسحاب‬a,0)-V1(a,0) , V2(‫الى‬
a+h , k)-(2V̅(a+h , k) ,1V̅
‫القطبان‬ ‫انسحاب‬(0,b) , (0,-b)‫الى‬(h , b+k) , (h , -b+k)
‫بين‬ ‫العلقة‬ ‫تبقى‬a , b , c‫هي‬2
+ b2
= a2
c‫حيث‬c > b‫و‬c > a‫ا‬‫ا‬‫دائم‬.
/ً‫ا‬‫ثاني‬‫بمقدار‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫مركز‬ ‫انسحاب‬ ‫عند‬(h)‫من‬
‫وبمقدار‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الوحدات‬(k)‫من‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الحقيقي‬ ‫والمحور‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬
: ‫المعادلة‬ ‫تصبح‬
(y−k)2
a2 −
(x−h)2
b2 = 1
‫البؤرتان‬ ‫انسحاب‬c)-(0,2(0,c) , F1F‫الى‬
c+k)-(h ,2F̅(h , c+k) ,1F̅
‫الرأسان‬ ‫انسحاب‬a)-V1(0,a) , V2(0,‫الى‬
a+k)-(h ,2V̅(h , a+k) ,1V̅
‫القطبان‬ ‫انسحاب‬(0,b) , (0,-b)‫الى‬(h + b , k)
, (h - b , k)
‫بين‬ ‫العلقة‬a , b , c‫هي‬2
b+2
a=2
c
‫حيث‬c > b‫و‬c > a‫دائما‬.
‫مثال‬28/:‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫المركزي‬ ‫واالختلف‬ ‫والرأسين‬ ‫والبؤرتين‬ ‫المركز‬ ‫احداثيات‬ ‫جد‬
(x+2)2
9
−
(y−1)2
4
= 1
/‫الحل‬:‫القياسية‬ ‫بالمعادلة‬ ‫بالمقارنة‬
(x+2)2
9
−
(y−1)2
4
= 1 ⇒
(x−h)2
a2 −
(y−k)2
b2 = 1
a2
= 9 ⇒ a = 3 ⇒ 2a = 6 unit ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
b2
= 4 ⇒ b = 2 ⇒ 2b = 4 unit ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
h = -2 , k = 1 ⇒ (h,k) =(-2,1) ‫المركز‬
(h,b+k)
(h,-b+k)
(h-c,k) F̅2
F̅1(h+c,k)
V̅2(h-a,k)
V̅1(h+a,k)
x
y
y̅
x̅
x
y y̅
x̅
(h+b,k)(h-b,k)
V̅2(h,-a+k)
V̅1(h,a+k)
F̅1 (h,c+k)
F̅2
(h,-c+k)

91. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬51/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
c2
= a2
+ b2
⇒ c2
= 9 + 4 = 13 ⇒ c = √13
:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬
F̅1(c+h , k) = (√13 -2 , 1)
F̅2(-c+h , k) = (−√13 -2 , 1)
V̅1(a+h,k) =(3-2 , 1) =(1,1)
V̅2(-a+h,k) =(-3-2 , 1) =(-5,1)
e =
c
a
=
√13
3
> 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬3–2
1)‫واالختلف‬ ‫المحورين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫والبؤرتين‬ ‫الرأسين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عين‬:‫االتية‬ ‫الزائدة‬ ‫للقطوع‬ ‫المركزي‬
a) 12x2
– 4y2
= 48
/‫الحل‬:‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
12x2
– 4y2
= 48 ÷ 48
x2
4
−
y2
12
= 1
x2
a2 −
y2
b2 = 1
c2
= a2
+ b2
‫العلقة‬ ‫من‬
c2
= 4 + 12 = 16 ⟹ c = 4
b) 16x2
– 9y2
= 144
/‫الحل‬:‫المعادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
16x2
– 9y2
= 144 ÷ 144
x2
9
−
y2
16
= 1
x2
a2 −
y2
b2 = 1
c2
= a2
+ b2
‫العلقة‬ ‫من‬
c2
= 9 + 16 = 25 ⟹ c = 5
c) 2(y+1)2
– 4(x-1)2
= 8
/‫الحل‬‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫بقسمة‬ ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫نعيد‬8:
(y+1)2
4
−
(x−1)2
2
= 1
(y−k)2
a2 −
(x−h)2
b2 = 1
a2
= 4 ⇒ a = 2 , b2
= 2 ⇒ b = √2
c2
= a2
+ b2
⇒ c2
= 5 + 2 = 6 ⇒ c = √6
h = 1 , k = -1
‫البؤرتان‬
‫الرأسان‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
: ‫بالمقارنة‬
a2
= 4 ⇒ a = 2
b2
= 12 ⇒ b = 2√3
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
:‫بالمقارنة‬
a2
= 9 ⇒ a = 3
b2
= 16 ⇒ b = 4
‫الحقيقي‬ ‫المحور‬
‫محور‬ ‫يوازي‬
‫الصا‬‫دات‬
: ‫بالمقارنة‬
2a = 4 unit ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2b = 4√3 unit ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
F1(4,0) , F2(-4,0) ‫البؤرتان‬
V1(2,0) , V2(-2,0) ‫الرأسان‬
e =
c
a
=
4
2
= 2 > 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
2a = 6 unit ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
2b = 8 unit ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
F1(5,0) , F2(-5,0) ‫البؤرتان‬
V1(3,0) , V2(-3,0) ‫الرأسان‬
e =
c
a
=
5
3
> 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬

92. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬52/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
𝑂̅(h,k) =(-1,1) ‫المركز‬
2a = 4 unit ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⇒ x = 1 ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2b = 2√2 unit ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⇒ y = -1 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
d) 16x2
+ 160x – 9y2
+ 18y = 185
/‫الحل‬:‫حدانية‬ ‫مربعي‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫بجعل‬ ‫المعادلة‬ ‫ترتيب‬ ‫نعيد‬
16(x2
+ 10x + 25) – 9(y2
- 2y +1) = 185 + 400 - 9
‫اخرجنا‬ ‫ان‬ ‫بعد‬ /‫ملحظة‬-9.‫الثاني‬ ‫القوس‬ ‫في‬ ‫الحدود‬ ‫اشارات‬ ‫انعكسن‬ ‫مشترك‬ ‫عامل‬
16(x + 5)2
– 9(y - 1)2
= 576 ÷ 576
(x+5)2
36
−
(y−1)2
64
= 1
(x−h)2
a2 −
(y−k)2
b2 = 1
a2
= 36 ⇒ a = 6
b2
= 64 ⇒ b = 8
c2
= a2
+ b2
⇒ c2
= 36 + 64 = 100
c = 10
h = -5 , k = 1
𝑂̅(h,k) = (-5,1) ‫المركز‬
2a = 12 unit ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
y = k ⇒ y = 1 ‫معادلة‬‫الحقيقي‬ ‫المحور‬
2b = 16 unit ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
x = h ⇒ x = -5 ‫المرافق‬ ‫المحور‬ ‫معادلة‬
2)‫االتية‬ ‫الحاالت‬ ‫في‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬,:‫القطع‬ ‫ارسم‬ ‫ثم‬
a)‫النقطتان‬ ‫هما‬ ‫البؤرتان‬(±5,0)‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫ويتقاطع‬(x = (±3.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
/‫الحل‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
F(±5,0) ⇒ c = 5
x = ±3 ⇒ y = 0
∴‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطتي‬V(±3,0)‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫رأسي‬ ‫وهما‬
∴ a = 3
c2
= a2
+ b2
⇒ 25 = 9 + b2
⇒ b2
= 16
x2
9
−
y2
16
= 1
‫الحقيقي‬ ‫المحور‬
‫محور‬ ‫يوازي‬
‫الصا‬‫دات‬
: ‫بالمقارنة‬
(0,4)
(0,-4)
F2(-5,0)
F1(5,0)
V2(-5,0)
V1(5,0)
x
y
F̅1(h , c+k) = (1 , √6 − 1) :‫البؤرتان‬
F̅2(h , -c+k) = (1 , −√6 -1)
V̅1(h, a+k) =(1 , 2-1) =(1,1) :‫الرأسان‬
V̅2(h, -a+k) =(1 , -2-1) =(1,-3)
e =
c
a
=
√6
2
> 1 ‫المركزي‬ ‫االختالف‬
‫البؤرتان‬:5 , 1)k) = (,c+h(1F̅
F̅2(-c+h , k) = (−15 , 1)
:‫الرأسان‬= (1,1)k),a+h(1V̅
V̅2(-a+h,k) = (-11,1)
e =
c
a
=
10
6
=
5
3
> 1 ‫المركزي‬ ‫االختلف‬

93. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
b)‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬(12)‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫وحدة‬(10)‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫وحدات‬
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ ‫االحداثيين‬
/‫الحل‬
2a = 12 ⇒ a = 6 , 2b = 10 ⇒ b = 5
c2
= a2
+ b2
⇒ c2
= 36 + 25 = 61
c = √61
‫االحتمال‬‫االول‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ /
x2
36
−
y2
25
= 1
‫االحتمال‬‫الثاني‬:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ /
y2
36
−
x2
25
= 1
c)‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬2√2‫المركزي‬ ‫واختلفه‬ ‫وحدة‬
‫يساوي‬(3).
/‫الحل‬
2b = 2√2 ⇒ b = √2 ⇒ b2
= 2
e = 3 ⇒ e =
c
a
⇒
c
a
= 3 ⇒ c = 3a
c2
= a2
+ b2
⇒ 9a2
= a2
+ 2
8a2
= 2 ⇒ a2
=
2
8
=
1
4
⇒ a =
1
2
y2
1
4
−
x2
2
= 1 ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
c = 3a =
3
2
‫فقط‬ ‫الرسم‬ ‫لغرض‬ ‫البؤرة‬ ‫نحدد‬
(0,5)
(0,-5)
F2(-√61,0)
F1(√61,0)
V2(-5,0)
V1(5,0)
x
y
(5,0)(-5,0)
F2(o,- √61)
V1(0,6)
V2(0,-6)
F1(0, √61)
x
y
(√2,0)(-√2,0)
V1(0,
1
2
)
V2(0,-
1
2
)
F1(0, 3
2
)
x
y
F2(0,-
3
2
)

94. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
:‫السابقة‬ ‫السنوات‬ ‫من‬ ‫اضافية‬ ‫تمارين‬
d)‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬(5,4)‫و‬‫وطوله‬ ‫افقي‬ ‫الحقيقي‬ ‫محوره‬(2√5).‫وحدات‬
/‫الحل‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتين‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫افقي‬ ‫الحقيقي‬ ‫ومحوره‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬
2a = 2√5 ⇒ a = √5 ⇒ a2
= 5
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬(5,4):‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫تحقق‬ ‫انها‬
x = 5 , y = 4 , a2
= 5
x2
a2
−
y2
b2 = 1 ⇒
52
5
−
42
b2 = 1
25
5
−
16
b2 = 1 ⇒ 5 -
16
b2 = 1
16
b2 = 5 – 1 = 4 ⇒ b2
=
16
4
= 4
b = 2
x2
5
−
y2
4
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
c2
= a2
+ b2
⇒ c2
= 3 + 4 = 9 ⇒ c = 3
e)‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫يقع‬ ‫الحقيقي‬ ‫ومحوره‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬(1,-3) , (4,6).
/‫الحل‬:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫الحقيقي‬ ‫ومحوره‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬
y2
a2 −
x2
b2 = 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
‫بالنقط‬ ‫يمر‬‫تين‬(1,-3),(4,6):
(1,-3) ∈ ⇒
9
a2 −
1
b2 = 1 ……. ❶
(4,6) ∈ ⇒
36
a2 −
16
b2 = 1 ……. ❷
‫المعادلة‬ ‫نضرب‬❶‫بـ‬5‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫ونطرحها‬❷:
36
a2 −
4
b2 = 5
36
a2 −
16
b2 = 1
‫قيمة‬ ‫نعوض‬2
b‫معادلة‬ ‫في‬❷‫قيمة‬ ‫لنجد‬a:
36
a2 −
16
4
= 1 ⇒
36
a2 - 4 = 1 ⇒
36
a2 = 5
a2 =
36
5
5y2
36
−
x2
4
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
:‫فقط‬ ‫الرسم‬ ‫لغرض‬ ‫البؤرة‬ ‫نحدد‬
c2
=
36
5
+ 4 ⇒ c2
=
36+20
5
=
56
5
c =
√56
√5
‫بالطرح‬ ⇒
12
b2 = 3 ⇒ b2 = 4
(2,0)(-2,0)
V1(0,
6
√5
)
V2(0,-
6
√5
)
F1(0,
√56
√5
)
x
y
F2(0,-
√56
√5
)
(0,2)
(0,-2)
F2(-5,0)
F1(5,0)
V2(-5,0)
V1(5,0)
x
y

95. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬53/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
3)‫وبؤرتي‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫تعريف‬ ‫باستخدام‬ ‫جد‬‫ـ‬‫ه‬(2√2,0) , (-2√2,0)‫وينطبق‬
‫يساوي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫عن‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بعدي‬ ‫بين‬ ‫المطلقة‬ ‫والقيمة‬ ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬(4).‫وحدات‬
/‫الحل‬‫البؤرتان‬(2√2,0) , (-2√2,0):‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬
c = 2√2
|PF1 – PF2| = 2a ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫تعريف‬ ‫من‬
|√(x − 2√2)
2
+ y2 − √(x + 2√2)
2
+ y2| = 4
√(x − 2√2)
2
+ y2 − √(x + 2√2)
2
+ y2 = ±4 ⇒ √(x − 2√2)
2
+ y2 = ±4 + √(x + 2√2)
2
+ y2
:‫الطرفين‬ ‫بتربيع‬
(x − 2√2)
2
+ y2
= 16 ± 8√(x + 2√2)
2
+ y2 + (x + 2√2)
2
+ y2
x2
- 4√2x + 8 + y2
= 16 ± 8√(x + 2√2)
2
+ y2 + x2
+ 4√2x + 8 + y2
± 8√(x + 2√2)
2
+ y2 = 16 + 4√2x + 4√2x
± 8√(x + 2√2)
2
+ y2 = 16 + 8√2x ÷ 8
± √(x + 2√2)
2
+ y2 = 2 + √2x ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
(x + 2√2)
2
+ y2
= 4 + 4√2x + 2x2
⇒ x2
+ 4√2x + 8 + y2
= 4 + 4√2x + 2x2
x2
- 2x2 +
+ y2
= 4 - 8 ⇒ -x2
+ y2
= -4 ÷ −4
x2
4
−
y2
4
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
4)‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫طول‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬(6)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫وحدات‬‫الذي‬ ‫المكافئ‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬
‫بالنقطتين‬ ‫ويمر‬(1,2√5) , (1,-2√5)‫القطع‬ ‫معادلتي‬ ‫جد‬ ,‫المكافئ‬)‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫(الذي‬‫والقطع‬
)‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫(الذي‬ ‫الزائد‬.
/‫الحل‬‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫ا‬‫ال‬‫او‬ ‫نجد‬:‫المكافئ‬-
‫القطع‬‫يمر‬ ‫المكافئ‬‫بالنقطتين‬(1,-2√5),(1,2√5)
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬ ‫النقطتان‬‫ان‬ ‫أي‬‫هي‬ ‫القياسية‬ ‫وصيغتها‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرة‬= 4px2
y
‫قيمة‬ ‫اليجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫النقطتين‬ ‫من‬ ‫اي‬p:-
(2√5)2
= 4p(1) ⇒ 20 = 4p ⇒ p = 5
F(5,0) ‫القطع‬ ‫بؤرة‬‫المكافئ‬
y2
= 4(5)x ⇒ y2
= 20x ‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
: ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫نجد‬-
c = 5 ⇒ F1(5,0) , F2(-5,0) ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
2a = 6 ⇒ a = 3
c2
= a2
+ b2
⇒ 25 = 9 + b2
⇒ b2
= 16
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬:
x2
9
−
y2
16
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬

96. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
5)‫ومعادلته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬= 902
ky–2
hx‫الحقيقي‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬√26‫وبؤرتاه‬ ‫وحدة‬
‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫على‬ ‫تنطبقان‬= 5762
+ 16y2
9x‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ,h , k‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬
.‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬
/‫الحل‬:‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
hx2
– ky2
= 90 ÷ 90
x2
90
h
−
y2
90
k
= 1
:‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
9x2
+ 16y2
= 576 ÷ 576
x2
64
+
y2
36
= 1
:‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫لنجد‬ ‫الناقص‬ ‫للقطع‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مع‬ ‫نقارنها‬
x2
64
+
y2
36
= 1
x2
a2 +
y2
b2 = 1
F1(√28,0)
F2(-√28,0)
c = √28 ⇒ c2
= 28 ‫الزائد‬ ‫للقطع‬
‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫الحقيقي‬ ‫المحور‬ ‫طول‬6√2:
2a = 6√2 ⇒ a = 3√2 ⇒ a2
= 18
c2
= a2
+ b2
⇒ 28 = 18 + b2
⇒ b2
= 10 ‫العلقة‬ ‫من‬ b ‫قيمة‬ ‫نجد‬
: ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬-
x2
90
h
−
y2
90
k
= 1
a2
=
90
h
= 18 ⇒ h = 5
b2
=
90
k
= 10 ⇒ k = 9
6)‫بالعددين‬ ‫البؤرتين‬ ‫عن‬ ‫يبعد‬ ‫رأسيه‬ ‫احد‬ ‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬1 , 9
.‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫محوراه‬ ‫وينطبق‬ ‫الترتيب‬ ‫على‬ ‫وحدات‬
/‫الحل‬
VF1 + VF2 = 1 + 9 = 10 ⇒ 2c = 10 ⇒ c = 5
a = 5 – 1 = 4
c2
= a2
+ b2
⇒ 25 = 16 + b2
⇒ b2
= 9
y2
16
−
x2
9
= 1 ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
x2
16
−
y2
9
= 1 ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
⇒‫بالمقارنة‬
‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
‫والزائد‬ ‫الناقص‬
F2 F1V1
x
y
9 1
a2
= 55 ⇒ b2
= 36
c2
= a2
- b2
⇒ c2
= 64 - 36 ⇒ c2
= 28
c = √28 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬

97. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
7)‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتا‬ ‫هما‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬= 122
3y–2
x‫بين‬ ‫والنسبة‬
= ‫محوريه‬ ‫طولي‬
5
3
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬
/‫الحل‬:‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬
x2
– 3y2
= 12 ÷ 12
x2
12
−
y2
4
= 1
a2
= 12 , b2
= 4
c2
= a2
+ b2
= 12 + 4
c2
= 16 ⇒ c = 4
F1(5,0)
F2(-5,0)
‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫النسبة‬
5
3
:
2a
2b
=
5
3
⇒
a
b
=
5
3
2a > 2b ‫ان‬ ‫الحظ‬
a =
5
3
b ⇒ a2
=
25
9
b2
a2
= b2
+ c2
‫الناقص‬ ‫للقطع‬
25
9
b2
= b2
+ 15 9 ‫بـ‬ ‫نضرب‬
25b2
= 9b2
+ 144 ⇒ 16b2
= 144 ⇒ b2
= 9 ⇒ b = 3
a =
5
3
b =
5
3
. 3 = 5
x2
25
+
y2
9
= 1 ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫ومعادلة‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
8)‫النقطة‬P(6,L)‫ومعادلته‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬= 122
3y–2
x: ‫من‬ ‫ا‬‫ل‬‫ك‬ ‫جد‬
a)‫قيمة‬L
/‫الحل‬
P(6,L) ∈ x2
– 3y2
= 12
36 - 3L2
= 12 ⇒ 3L2
= 24
L2
= 8 ⇒ L = ±√8 = ±2√2
b)‫النقطة‬ ‫من‬ ‫اليمنى‬ ‫الجهة‬ ‫في‬ ‫المرسوم‬ ‫للقطع‬ ‫البؤري‬ ‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫طول‬P.
/‫الحل‬‫قيمة‬ ‫اليجاد‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫بترتيب‬ ‫نقوم‬c:
x2
– 3y2
= 12 ÷ 12
x2
12
−
y2
4
= 1
a2
= 12 , b2
= 4
c2
= a2
+ b2
⇒ c2
= 12 + 4 ⇒ c2
= 16 ⇒ c = 4 , F1(5,0) , F2(-5,0)
PF1 = √(6 − 4)2 + 8 = √4 + 8 = √12 = 2√3 unit ‫البؤري‬ ‫القطر‬ ‫نصف‬
PF2 =√(6 + 4)2 + 8 =√100 + 8 =√108= 6√3 unit ‫البؤري‬ ‫القطر‬ ‫نصف‬
‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
‫والزائد‬ ‫الناقص‬
‫الناقص‬ ‫للقطع‬c = 4

98. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬58/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
9)‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫هما‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
x2
9
+
y2
25
= 1‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬‫المكافئ‬
+ 12y = 02
x.
/‫الحل‬:‫البؤرتين‬ ‫نجد‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
x2
9
+
y2
25
= 1 ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬
b2
= 9 , a2
= 25
c2
= a2
- b2
⇒ c2
= 25 - 9 ⇒ c2
= 16
c = 4 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬
F1(5,0) ‫الزائد‬ ‫و‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
F2(-5,0)
c = 4 ‫الزائد‬ ‫للقطع‬
‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫المكافئ‬‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ‫نجد‬:
x2
+ 12y = 0
x2
= -12y
x2
= -4py ⇒ 4p = 12 ⇒ p = 3
(0,-3) ‫بؤرة‬‫المكافئ‬ , y = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
‫الدليل‬ ‫يمس‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬y = 3‫النقطة‬ ‫عند‬(0,3)
V(0,3) ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫رأس‬ ‫تعتبر‬ ⇒ a = 3
c2
= a2
+ b2
‫الزائد‬ ‫للقطع‬
15 = 5 + b2
⇒ b2
= 7
:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
y2
9
−
x2
7
= 1
:‫السابقة‬ ‫السنوات‬ ‫من‬ ‫اضافية‬ ‫تمارين‬
11)‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫رأسي‬ ‫هما‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
x2
100
+
y2
64
= 1‫القطع‬ ‫ببؤرتي‬ ‫ويمر‬
‫نفسه‬ ‫الناقص‬.
/‫الحل‬‫والرأسين‬ ‫البؤرتين‬ ‫نجد‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬:
x2
100
+
y2
64
= 1
a2
= 100 ⇒ a = 10
(10,0) , (-10,0) ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫نفس‬ ‫وهما‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫رأسي‬
a2
= b2
+ c2
‫الناقص‬ ‫للقطع‬
100 = 64 + c2
⇒ c2
= 36 ⇒ c = 6
(6,0) , (-6,0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
(6,0) , (-6,0) ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫رأسي‬
a = 6 ⇒ c2
= a2
+ b2
‫الزائد‬ ‫للقطع‬
100 = 36 + b2
⇒ b2
= 64
:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
x2
36
−
y2
64
= 1

99. [ 2 – 7 ]‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫القطع‬ ‫محاور‬ ‫انسحاب‬‫الزائد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬55/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
11)‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫ببؤرتي‬ ‫يمر‬‫الناقص‬ ‫القطع‬
x2
49
+
y2
24
= 1‫بؤرتيه‬ ‫بين‬ ‫البعد‬ ‫بين‬ ‫والنسبة‬
‫المرافق‬ ‫محوره‬ ‫وطول‬
5
4
.
/‫الحل‬:‫البؤرتين‬ ‫نجد‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
x2
49
+
y2
24
= 1
a2
= 49 , b2
= 24
c2
= a2
- b2
⇒ c2
= 49 - 24 ⇒ c2
= 25
c = 5 ‫الناقص‬ ‫للقطع‬
F1(5,0) , F2(-5,0) ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬
‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬(5,0),(-5,0)
V1(5,0) , V2(-5,0) ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫رأسي‬
a = 5 ‫للزائد‬
2c
2b
=
5
4
⇒
c
b
=
5
4
⇒ c =
5
4
b
c2
= a2
+ b2
‫الزائد‬ ‫للقطع‬
25
16
b2
= 23 + b2
. 16
25b2
= 400 + 16b2
⇒ 9b2
= 400 ⇒ b2
=
400
9
x2
25
−
9y2
400
= 1 ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫و‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البؤرتان‬

100. ‫الفصل‬‫الثاني‬(‫المخروطية‬ ‫القطوع‬)‫واثرائية‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫االستاذ‬166/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫عامة‬ ‫تمارين‬
1), ‫االخر‬ ‫ببؤرة‬ ‫يمر‬ ‫احدهما‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫محوريه‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫زائد‬ ‫وقطع‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬
‫هي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫كانت‬ ‫فاذا‬= 2252
+ 25y2
9x:‫فجد‬
a.‫القطع‬ ‫منطقة‬ ‫مساحة‬.‫الناقص‬
b..‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫محيط‬
c..‫ارسمه‬ ‫ثم‬ , ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬
d..‫منهما‬ ‫لكل‬ ‫المركزي‬ ‫االختلف‬
2)‫منطقته‬ ‫ومساحة‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركزه‬ , ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتميان‬ ‫بؤرتاه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(7𝜋)
‫ومحيطه‬ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬(10𝜋)‫وحدة‬
‫تمارين‬‫أثرائية‬
1)‫القطرين‬ ‫نصفي‬ ‫وطوال‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫وبؤرتاه‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫النقطة‬ ‫من‬ ‫المرسومين‬ ‫للقطع‬ ‫البؤريين‬(4√5,9)‫هما‬21 , 9.‫طول‬ ‫وحدة‬
2)‫لتكن‬= h2
4x–2
5y‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫احدى‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬‫المكافئ‬= 02
x√5-4y‫قيمة‬ ‫فما‬ ,h.
5)= k2
3x+2
hy‫المستقيم‬ ‫تقاطع‬ ‫بنقطة‬ ‫يمر‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬√32x + y =‫ان‬ ‫علما‬ , ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬
‫تساوي‬ ‫منطقته‬ ‫مساحة‬(2√3𝜋)‫قيمة‬ ‫جد‬ , ‫مربعة‬ ‫وحدة‬h,k.
5)‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫هما‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
= 322
x–2
8y‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬‫المكافئ‬‫معادلته‬ ‫الذي‬+ 16x = 02
y.
3)‫القطع‬ ‫بؤرة‬ ‫هي‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬= 24y2
x
‫محوريه‬ ‫طولي‬ ‫بين‬ ‫والفرق‬5.‫وحدات‬
5)‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬+ 16x = 02
y‫بمقدار‬ ‫البؤرة‬ ‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫والتي‬5.‫وحدات‬
5)‫(متساوي‬ ‫قائم‬ ‫زائد‬ ‫قطع‬)‫االضلع‬‫يساوي‬ ‫المركزي‬ ‫اختلفه‬ ‫ان‬ ‫برهن‬√2.
8)‫النقطة‬ ‫بؤرتيه‬ ‫واحدى‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(5,0)1F‫القطع‬ ‫ببؤرة‬ ‫ويمر‬
‫المكافئ‬0=+ 248x–8y–2
y.
5)‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫بؤرتي‬ ‫هما‬ ‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
= 322
x–2
8y‫القطع‬ ‫دليل‬ ‫ويمس‬‫المكافئ‬2
5)+= 4(x2
1)+(y.
16)‫القطع‬ ‫رأس‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫المكافئ‬+2y + 8 = 02
x‫ومحوره‬ ‫االصل‬ ‫بنقطة‬ ‫ويمر‬
‫يساوي‬ ‫المركزي‬ ‫واختلفه‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫الكبير‬
3
5
.
11)‫لتكن‬= (M+3)x2
y‫دليله‬ ‫معادلة‬ , ‫مكافيء‬ ‫قطع‬ ‫معادلة‬02 =+x‫قيمة‬ ‫جد‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫ورأسه‬
M ∈ R.
12)‫ويمر‬ ‫االحداثيين‬ ‫المحورين‬ ‫على‬ ‫ينطبقان‬ ‫ومحوراه‬ , ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
‫القطع‬ ‫ببؤرة‬‫المكافئ‬‫معادلته‬ ‫الذي‬= 16x2
y‫تساوي‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫منطقة‬ ‫مساحة‬ ‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ,)𝜋(20
.‫مربعة‬ ‫وحدة‬
15)‫ا‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬‫وبؤرتاه‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫مركزه‬ ‫الذي‬ )‫االضلع‬ ‫(متساوي‬ ‫القائم‬ ‫لزائد‬(0,4) , (0,-4).

101. 2015 - 2016
‫ا‬
‫ملزمة‬‫الرياضيات‬
‫السادس‬‫العلمي‬

103. [ 3 - 1 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬301/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫الفصل‬‫الثالث‬(‫التفاضل‬):
]1-3[‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتقات‬:
‫كانت‬ ‫اذا‬y‫لـ‬ ‫دالة‬x‫بـ‬ ‫تعرف‬ ‫فانها‬y = f(x)‫على‬ ‫ويطلق‬x‫وعلى‬ ‫المستقل‬ ‫المتغير‬ ‫اسم‬y.‫التابع‬ ‫المتغير‬
‫ان‬‫المتغير‬ ‫مشتقة‬‫التابع‬y‫الى‬ ‫بالنسبة‬x‫لها‬ ‫يرمز‬:‫التالية‬ ‫الرموز‬ ‫باحد‬
y′ = y(1)
=
dy
dx
= fˊ(x)
‫الناتجة‬ ‫والمشتقة‬‫و‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫تكون‬‫شروط‬ ‫فيها‬ ‫توفرت‬ ‫واذا‬ ‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫تمثل‬‫م‬ ‫على‬ ‫نطلق‬ ‫فاننا‬ ‫االشتقاق‬‫شتقتها‬
:‫التالية‬ ‫الرموز‬ ‫باحد‬ ‫لها‬ ‫ويرمز‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اسم‬
y‫״‬
= y(2)
=
d
2
dx
2 y =
d2y
dx2 = fˊˊ(x)
‫الناتجة‬ ‫والمشتقة‬‫و‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫تكون‬‫مشتقتها‬ ‫على‬ ‫نطلق‬ ‫فاننا‬ ‫االشتقاق‬ ‫شروط‬ ‫فيها‬ ‫توفرت‬ ‫واذا‬ ‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫تمثل‬
‫ويرمز‬ ‫الثالثة‬ ‫المشتقة‬ ‫اسم‬:‫التالية‬ ‫الرموز‬ ‫باحد‬ ‫لها‬
yˊˊˊ = y(3)
=
d3
dx3 y =
d3y
dx3 = fˊˊˊ(x)
‫متتال‬ ‫مشتقات‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ ‫المنوال‬ ‫هذا‬ ‫وعلى‬‫ي‬‫يطلق‬ ‫يليها‬ ‫وما‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫من‬ ‫وبدءا‬ , ‫ة‬‫العل‬ ‫المشتقات‬ ‫عليها‬‫يا‬
‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المشتقة‬ ‫وتكتب‬n:‫يأتي‬ ‫كما‬
y(𝐧) =
d
n
dx
n y =
dny
dxn = f(𝐧)
(x)
‫التفسير‬:‫للمشتقة‬ ‫الهندسي‬‫يسا‬ ‫اليه‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫لمنحني‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬‫الن‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫المنحني‬ ‫مشتقة‬ ‫وي‬‫قطة‬
‫ان‬ ‫علما‬‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫معادلة‬‫النقطة‬ ‫عند‬)1, y1x(‫هي‬:
y − y1 = m(x − x1)
‫حيث‬m.‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫ميل‬ ‫تمثل‬
:‫الحركة‬ ‫معادالت‬
‫كانت‬ ‫اذا‬s = f(t)‫تمثل‬‫ازاحة‬‫جسم‬‫متحرك‬‫حيث‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫على‬t:‫فان‬ ‫الزمن‬
‫السرعة‬(t)v=(t)ˊf=
ds
dt
‫التعجيل‬(t)a=(t)ˊˊf=
d2s
dt2
‫ال‬‫معدل‬‫ل‬ ‫اللحظي‬= ‫التعجيل‬ ‫تغير‬(t)ˊˊˊf=
d3s
dt3
:‫الجبرية‬ ‫الدوال‬ ‫الشتقاق‬ ‫االساسية‬ ‫القواعد‬
1):‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الثابت‬ ‫مشتقة‬
f(x) = 2 ⟹ fˊ(x) = 0
f(x) = √2 ⟹ fˊ(x) = 0
f(x) = a ⟹ fˊ(x) = 0
2)‫لتكن‬n
f(x) = x‫حيث‬n , x ∈ R − {0}‫فان‬
1-n
= n xfˊ(x):
1. f(x) = x6 ⟹ fˊ(x) = 6x5
2. f(x) = x -3
⟹ fˊ(x) = −3x−4

104. [ 3 - 1 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬304/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
3):‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫في‬ ‫الثابت‬ ‫تساوي‬ ‫دالة‬ ‫في‬ ‫المضروب‬ ‫الثابت‬ ‫مشتقة‬
f(x) = 5x ⟹ fˊ(x) = 5 . x0
= 5
f(x) = 3x2
⟹ fˊ(x) = 3 . 2x2−1
= 6x
f(x) = 2x4
⟹ fˊ(x) = 2 . 4x4−1
= 8x3
4)= ‫الجذر‬ ‫مشتقة‬
‫الجذر‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬
‫الجذر‬ ‫أس‬ .‫نفسه‬ ‫الجذر‬
:
1. f(x)=√x ⟹ f(x) = x
1
2 ⟹ fˊ(x) =
1
2
x−
1
2 =
1
2√x
5):‫مشتقاتها‬ ‫طرح‬ ‫او‬ ‫جمع‬ ‫يساوي‬ ‫دالتين‬ ‫طرح‬ ‫او‬ ‫جمع‬ ‫مشتقة‬
1. f(x) = x3
+ x2
-x +1 ⟹ fˊ(x) = 3x2
+ 2x − 1
2. f(x) = 2x3
- 3 + x2
⟹ fˊ(x) = 6x2
+ 2x
6)‫واحد‬ ‫ناقص‬ ‫لالس‬ ‫مرفوعة‬ ‫بالدالة‬ ‫مضروب‬ ‫االس‬ ‫تساوي‬ ‫اس‬ ‫الى‬ ‫مرفوعة‬ ‫دالة‬ ‫مشتقة‬:‫القوس‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬ ‫في‬
‫لتكن‬ /‫مثال‬f(x) = (x2
− 2)3
:‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫جد‬
1. f(x) = (x2
− 2)3
⟹ fˊ(x) = 3(x2
− 2)2
.(2x) ⟹ fˊ(x) = 6x(x2
− 2)2
2. f(x) = √x4 + 1
4
= (x4
+ 1)
1
4 ⟹ fˊ(x) =
1
4
(x4
+ 1)
1
4
−1
. (4x3
)
fˊ(x) =
1
4
(x4
+ 1)
−3
4 . (4x3
) ⟹ fˊ(x) =
x3
√(x4+1)34
7)‫االول‬ ‫في‬ ‫الثاني‬ ‫مشتقة‬ ‫زائد‬ ‫الثاني‬ ‫في‬ ‫االول‬ ‫مشتقة‬ ‫تساوي‬ ‫دالتين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫مشتقة‬:
f(x) = (x2
-2)(x+3) ⟹ fˊ(x) =(x2
- 2) + (x + 3)(2x)
fˊ(x) =x2
- 2 + 2x2
+ 6x ⟹ fˊ(x) = 3x2
+ 6x – 2
8)‫يساوي‬ ‫دالتين‬ ‫قسمة‬ ‫مشتقة‬):‫المقام‬ ‫مربع‬ ‫تقسيم‬ )‫المقام‬ ‫مشتقة‬ ‫في‬ ‫البسط‬ ‫ناقص‬ ‫البسط‬ ‫مشتقة‬ ‫في‬ ‫المقام‬
1. f(x) =
x2
x+3
⟹ fˊ(x) =
(x+3)(2x)− (x2)
(x+3)
2 ⟹ fˊ(x) =
2x2+6x− x2
x2+6x+9
fˊ(x) =
x2
+ 6x
x2 + 6x + 9
9):‫العليا‬ ‫المشتقات‬
‫المشتق‬ ‫مثال/جد‬‫ات‬‫العليا‬:‫التالية‬ ‫للدوال‬
1. f(x) = x3
+ x2
-x +1 ⟹ f′(x) = 3x2
+ 2x − 1 ⟹ f′′(x) = 6x + 2
f′′′(x) = 6 ⟹ f′′′′(x) = 0
2. f(x) = √x ⟹ f(x) = x
1
2 ⟹ f′(x) =
1
2
x−
1
2
f′′(x) = −
1
4
x−
3
2 =
−1
4√x3
⟹ f′′′(x) = 3
8
x−5
2 =
3
8√x5

105. [ 3 - 1 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬303/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
11)‫مشتقات‬‫المثلثية‬ ‫الدوال‬:
𝐝
𝐝𝐱
( 𝐬𝐢𝐧 𝐲) = ( 𝐜𝐨𝐬 𝐲) .
𝐝𝐲
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
( 𝐜𝐨𝐬 𝐲) = (−𝐬𝐢𝐧 𝐲) .
𝐝𝐲
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
( 𝐭𝐚𝐧 𝐲) = ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐
𝐲) .
𝐝𝐲
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
( 𝐜𝐨𝐭 𝐲) = (−𝐜𝐬𝐜 𝟐
𝐲) .
𝐝𝐲
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
( 𝐬𝐞𝐜 𝐲) = ( 𝐬𝐞𝐜 𝐲). ( 𝐭𝐚𝐧 𝐲) .
𝐝𝐲
𝐝𝐱
𝐝
𝐝𝐱
( 𝐜𝐬𝐜 𝐲) = (−𝐜𝐬𝐜 𝐲). ( 𝐜𝐨𝐭 𝐲) .
𝐝𝐲
𝐝𝐱
‫مالحظة‬/‫الخاصة‬ ‫االساسية‬ ‫القواعد‬ ‫نفس‬ ‫نطبق‬ ‫ان‬ ‫ويمكننا‬ ‫الزاوية‬ ‫بمشتقة‬ ‫نضرب‬ ‫دائما‬ ‫المثلثية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬
.‫المثلثية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫الجبرية‬ ‫بالدوال‬
‫مثال‬1/‫مشتقة‬ ‫ان‬ ‫اثبت‬tan x‫الدالة‬ ‫هي‬sec2
x
f(x) = tna x =
sin x
cos x
:‫دالتين‬ ‫قسمة‬ ‫مشتقة‬ ‫قاعدة‬ ‫نطبق‬
fˊ(x) =
cos x (cos x)−sin x(− sin x)
cos2 x
⟹ fˊ(x) =
cos2 x+ sin2x
cos2 x
fˊ(x) =
1
cos2 x
= sec2 x
‫مثال‬2/‫كانت‬ ‫اذا‬y = cos 2x‫جد‬
d4y
dx4.
y = cos 2x ⟹
dy
dx
= - sin 2x . 2 ⟹
d2y
dx2 = -(cos 2x) . 2 . 2 = -4 cos 2x
d3y
dx3 = -4(-sin 2x . 2) = 8 sin 2x ⟹
d4y
dx4 = -8(cos 2x . 2) = 16 cos 2x
11):‫السلسلة‬ ‫قاعدة‬‫لتكن‬y= f(n)‫ولتكن‬n = f(x)‫فان‬
dy
dx
:‫التالية‬ ‫بالطريقة‬ ‫تحسب‬
‫الدالة‬ ‫نشتق‬n‫الى‬ ‫بالنسبة‬x‫على‬ ‫لنحصل‬
dn
dx
‫الدالة‬ ‫نشتق‬y‫الى‬ ‫بالنسبة‬n‫على‬ ‫لنحصل‬
dy
dn
‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫نضرب‬n‫الدالة‬ ‫بمشتقة‬y‫على‬ ‫لنحصل‬
dy
dx
:
dy
dx
=
dy
dn
.
dn
dx
= yˊ . nˊ
‫مثال‬3/‫جد‬
dy
dx
‫كانت‬ ‫اذا‬+ 12
y = f(t) = t‫و‬2-t = f(x) = 2x
/‫الحل‬
dy
dt
= 2t ,
dt
dx
= 2 ⟹
dy
dx
=
dy
dt
.
dt
dx
= 2t . 2 = 4t

106. [ 3 - 1 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬301/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
12):‫الضمنية‬ ‫العالقات‬ ‫اشتقاق‬
‫متغيرين‬ ‫تحوي‬ ‫دالة‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬x‫و‬y‫عند‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫معادلة‬ ‫واردنا‬ ‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫او‬ ‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫ذلك‬ ‫مثال‬
‫فاننا‬ ‫نقطة‬ ‫اي‬‫نشتق‬‫الدالة‬ ‫في‬ ‫حد‬ ‫كل‬‫الى‬ ‫بالنسبة‬x‫و‬y‫و‬‫على‬ ‫لنحصل‬ ‫المشتقة‬ ‫نبسط‬
dy
dx
‫تكون‬ ‫احيانا‬ ‫والتي‬
‫بداللة‬x‫و‬y‫وليس‬x.‫فقط‬
‫المشتقة‬ ‫مثال/جد‬
dy
dx
‫الت‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬‫ا‬:‫لية‬
a) x2
+ y2
= 25 ⟹ 2x dx + 2y dy = 0 ⟹ 2y dy = -2x dx
dy
dx
=
−2x
2y
=
−x
y
b) xy2
+ x2
-5y = 4 ⟹ x . 2ydy + y2
dx + 2xdx – 5dy = 0
2xy dy– 5 dy = -y2
dx -2x dx ⟹ dy(2xy– 5) = dx(-y2
-2x)
dy
dx
=
−y2 −2x
2xy– 5
=
y2+2x
5−2xy
‫مثال‬4/‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬= 12
+ x2
y:‫ان‬ ‫برهن‬
d3y
dx3 + 3
d2y
dx2
dy
dx
= 0y.
/‫الحل‬
y2
+ x2
= 1 ⟹ 2y
dy
dx
+ 2x = 0 ⟹ y
dy
dx
+ x = 0 2 ‫على‬ ‫القسمة‬
y
d
dx
(
dy
dx
)+
dy
dx
dy
dx
+ 1 = 0 ⟹ y
d2y
dx2 + (
dy
dx
)
2
+ 1 = 0
y
d3y
dx3 +
dy
dx
d2y
dx2+ 2
dy
dx
d2y
dx2 = 0 ⟹ y
d3y
dx3 + 3
dy
dx
d2y
dx2 = 0 ‫المطلوب‬ ‫وهو‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬1-3
1.‫جد‬
d2y
dx2:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬
a) y = √2 − x ∀ x < 2
y = (2 − x)
1
2
dy
dx
=
1
2
(2 − x)−1
2 (-1) =
−1
2
(2 − x)−1
2
d2y
dx2 =
1
4
(2 − x)−3
2 (-1)=
−1
4 √(2−x)3
b) y =
2−x
2+x
x ≠ 2
dy
dx
=
−(2+x)− (2−x)
(2+x)2 =
−2−x− 2+x
(2+x)2 =
−4
(2+x)2

107. [ 3 - 1 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬300/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
d2y
dx2 =
0 −(−4)(2(2+x))
(2+x)4 =
16 + 8x
(2+x)4
c) 2x y – 4y + 5 = 0 , y ≠ 0 , x ≠ 2
y(2x - 4) = -5 ⟹ y=
−5
2x −4
=
−5
2(x −2)
=
−5
2
(x − 2)−1
dy
dx
=
5
2
(x − 2)−2
⟹
d2y
dx2 = −5 (x − 2)−3 =
−5
(x −2)
3
2.‫جد‬)1(ˊˊˊf:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬
a)f(x) = 4 √6 − 2x ∀ x < 3
f(x) = 4 (6 − 2x)
1
2 ⟹ fˊ(x) = 2 (6 − 2x)
−1
2 (-2)
fˊ(x) = −4 (6 − 2x)
−1
2 ⟹ fˊˊ(x) = 2 (6 − 2x)
−3
2 (-2)
fˊˊ(x) =−4 (6 − 2x)
−3
2 ⟹ fˊˊˊ(x) = 6 (6 − 2x)
−5
2 (-2)
fˊˊˊ(x) =
−12
√(6−2x)5
⟹ fˊˊˊ(1) =
−12
√(6−2)5
=
−12
32
=
−3
8
b)f(x) = sin πx
fˊ(x) = π cos πx ⟹ fˊˊ(x) = − π2
sin πx
fˊˊˊ(x) = − π3
cos πx ⟹ fˊˊˊ (1) = − π3
cos π = − π3
(−1) = π3
c)f(x) =
3
2−x
x ≠ 2
f(x) = 3(2 - x)-1
⟹ fˊ(x) = -3(2 - x)-2
(-1) = 3(2 - x)-2
fˊˊ(x) = -6(2 - x)-3
(-1) = 6(2 - x)-3
⟹ fˊˊˊ(x) =-18(2 - x)-4
(-1) = 18(2 - x)-4
fˊˊˊ(1) =
18
(2−x)4 =
18
(2−1)4 = 18

108. [ 3 - 1 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫العليا‬ ‫الرتب‬ ‫ذات‬ ‫المشتقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬300/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
3.‫كانت‬ ‫اذا‬y = tan x:‫ان‬ ‫فبرهن‬)2
= 2y (1 + y
d2y
dx2,‫حيث‬x ≠
(2n+1)π
2
, ∀ n ∈ Z
/‫الحل‬
dy
dx
= sec2
x
d2y
dx2 = 2 sec x (sec x tan x) = 2 sec2
x tan x = 2 sec2
x tan x
∵ sec2
x = 1 + tan2
x
∴
d2y
dx2 = 2 tan x (1 + tan2
x) = 2 tan x (1 + tan2
x)
∵ y = tan x
∴
d2y
dx2 = 2y (1 + y2
) ‫المطلوب‬ ‫وهو‬
4.‫كانت‬ ‫اذا‬y = x sin x‫ان‬ ‫فبرهن‬:y˝˝ – y + 4 cos x = 0
/‫الحل‬
yˊ = x cos x + sin x ⟹
yˊˊ= -x sin x + cos x + cos x = -x sin x + 2cos x
yˊˊˊ = -x cos x – sin x – 2sin x = -x cos x – 3sin x
yˊˊˊˊ= x sin x – cos x – 3cos x = x sin x – 4cos x
yˊˊˊˊ- x sin x + 4cos x = 0
∵ y = x sin x
∴ y˝˝
- y + 4cos x = 0
‫المطلوب‬ ‫وهو‬

109. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬307/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
]2-3[:‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
.‫ثالثة‬ ‫لقيمة‬ ‫بالنسبة‬ ‫قيمتين‬ ‫تغير‬ ‫من‬ ‫تنشأ‬ ‫والتي‬ ‫المرتبطة‬ ‫الزمنية‬ ‫المعدالت‬ ‫او‬ ‫الزمنية‬ ‫المعدالت‬ ‫احيانا‬ ‫عليها‬ ‫ويطلق‬
‫المتغير‬ ‫قيمة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬x‫الزمن‬ ‫مع‬ ‫تتغير‬‫بمعدل‬
dx
dt
‫و‬‫المتغير‬ ‫كان‬x‫للدالة‬ ‫المستقل‬ ‫المتغير‬ ‫هو‬y = f(x)‫قيمة‬ ‫فان‬
y‫الزمن‬ ‫مع‬ ‫االخرى‬ ‫هي‬ ‫تتغير‬‫بمعدل‬
dy
dt
‫نقول‬ ‫لذلك‬‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫ان‬y‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫مع‬ ‫زمنيا‬ ‫مرتبط‬x.
‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫الموضوع‬ ‫هذا‬ ‫اسئلة‬ ‫لحل‬:
1-‫التوضيحي‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬‫للمسألة‬.
2-‫تحديد‬.‫والمطلوب‬ ‫والثوابت‬ ‫المتغيرات‬
3-‫وضع‬‫معادلة‬‫تحوي‬‫المتغيرين‬y‫و‬x.
4-‫المتغيرات‬ ‫هذه‬ ‫تربط‬ ‫عالقة‬ ‫بايجاد‬ ‫نقوم‬ ‫فاننا‬ ‫متغيرين‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫تحوي‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫الختصارها‬.
5-‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫االرتباط‬ ‫معادلة‬ ‫اشتقاق‬t.
6-‫تحوي‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫مجاهيل‬‫فاننا‬‫الثابتة‬ ‫قيمها‬ ‫بحساب‬ ‫نقوم‬.
7-‫تعويض‬‫ال‬‫المعلوم‬ ‫قيم‬‫ة‬‫لحساب‬‫ال‬‫قيمة‬‫المطلوبة‬.
‫مثال‬1/‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫بالماء‬ ‫مملوء‬ ‫خزان‬2m‫منه‬ ‫يتسرب‬
‫بمعدل‬ ‫الماء‬/h3
0.4m‫زمن‬ ‫اي‬ ‫عند‬ ‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫انخفاض‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬t.
/‫الحل‬
‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫ارتفاع‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=h‫متغير‬
‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫حجم‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=v‫متغير‬
‫معدل‬‫تسرب‬‫الماء‬
dv
dt
=0.4 m3/h‫ثابت‬
‫الماء‬ ‫ارتفاع‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫المطلوب‬
dh
dt
‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬
‫الخزان‬ ‫قاعدة‬ ‫مساحة‬A=2.2=42
m
v = A . h ⟹ v = 2 . 2 . h ⟹ v = 4 . h ‫الدالة‬
‫ال‬ ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫الدالة‬ ‫نشتق‬‫ز‬‫من‬t:
𝐝𝐯
𝐝𝐭
= 𝟒
𝐝𝐡
𝐝𝐭
‫المشتقة‬
‫الحجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬
𝐝𝐯
𝐝𝐭
‫يتناقص‬ ‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫حجم‬ ‫كون‬ ‫سالبة‬ ‫باشارة‬‫اي‬‫نعوض‬- 0.4:
−0.4 = 4
dh
dt
⟹
dh
dt
=
−0.4
4
= −0.1 m/h ‫الماء‬ ‫ارتفاع‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
∴‫معدل‬‫انخفاض‬= ‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬0.1 m/h
‫مستوى‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫سالبة‬ ‫باشارة‬ ‫ظهر‬ ‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫ارتفاع‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬‫الخزان‬ ‫في‬ ‫يتناقص‬ ‫الماء‬
.‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫االنخفاض‬ ‫معدل‬ ‫يكون‬ ‫لذلك‬
2m
h
dh
‫بوحداة‬ ‫الماء‬ ‫تسرب‬ ‫معدل‬ /‫مالحظة‬
3
m‫حجم‬ ‫نقصان‬ ‫معدل‬ ‫يمثل‬ ‫وهو‬
.‫الخزان‬ ‫في‬ ‫الماء‬

110. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬330/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫مثال‬2/‫تساوي‬ ‫مساحتها‬ ‫المعدن‬ ‫من‬ ‫مستطيلة‬ ‫صفيحة‬2
96cm‫بمعدل‬ ‫طولها‬ ‫يتمدد‬2 cm/s‫مساحتها‬ ‫تبقى‬ ‫بحيث‬
‫عرضها‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫وذلك‬ ‫عرضها‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫ثابتة‬8cm.
/‫الحل‬‫اي‬ ‫طولها‬ ‫في‬ ‫تمدد‬ ‫ويحصل‬ ‫ثابتة‬ ‫الصفيحة‬ ‫مساحة‬ ‫ان‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫ذكر‬‫انه‬‫يزداد‬‫الزمن‬ ‫مع‬‫لهذا‬‫ان‬ ‫يجب‬
‫وبذلك‬ ‫ثابتة‬ ‫المساحة‬ ‫لتبقى‬ ‫الصفيحة‬ ‫عرض‬ ‫يقل‬: ‫ان‬ ‫نفرض‬
‫الصفيحة‬ ‫طول‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=y‫متغير‬
‫الصفيحة‬ ‫عرض‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=x‫متغير‬
‫الصفيحة‬ ‫مساحة‬A=2
96 cm‫ثابت‬
‫الطول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
dy
dt
=2cm/s‫ثابت‬
‫الطول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫المطلوب‬
dx
dt
‫عند‬x = 8
A = x . y = 96 cm2
⟹ ∴ x . y = 96 ‫الدالة‬
𝐱
𝐝𝐲
𝐝𝐭
+ 𝐲 .
𝐝𝐱
𝐝𝐭
= 𝟎 ‫المشتقة‬
‫المتغيرين‬ ‫تحوي‬ ‫المشتقة‬ /‫مالحظة‬x‫و‬y‫لذلك‬‫قيمتيهما‬ ‫حساب‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬‫خالل‬ ‫من‬‫معدل‬ ‫طلب‬ ‫حيث‬ ‫الشرط‬
‫الصفيحة‬ ‫عرض‬ ‫تغير‬
dx
dt
‫عندما‬x = 8‫قيمة‬ ‫نعوض‬ ‫لذلك‬x‫في‬‫المساحة‬ ‫معادلة‬‫قيمة‬ ‫ونستخرج‬y:‫مبين‬ ‫كما‬
x . y = 96 ⟹ 8 . y = 96 ⟹ y =
96
8
⟹ ∴ y = 12 cm
‫نعوض‬‫المشتقة‬ ‫في‬‫قيمة‬ ‫عن‬y = 12‫قيمة‬ ‫و‬x = 8‫وقيمة‬= 2
𝐝𝐲
𝐝𝐭
:
8 (2) + 12 .
dx
dt
= 0 ⟹ 12 .
dx
dt
= −16 ⟹
dx
dt
=
−16
12
=
−4
3
cm/s
∴‫معدل‬‫تناقص‬‫الصفيحة‬ ‫عرض‬
4
3
cm/s
‫مثال‬3/‫حرفه‬ ‫صلد‬ ‫مكعب‬8 cm‫مكعبا‬ ‫يبقى‬ ‫شكله‬ ‫بحيث‬ ‫الجليد‬ ‫من‬ ‫بطبقة‬ ‫مغطى‬,‫بمعدل‬ ‫بالذوبان‬ ‫الجليد‬ ‫بدأ‬ ‫فاذا‬
6 cm3/s‫السمك‬ ‫هذا‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫اللحظة‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ ‫بسمك‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬1 cm.
/‫الحل‬
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ ‫سمك‬x
‫الجليد‬ ‫حجم‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=v
‫الجليد‬ ‫حجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
dv
dt
=/s3
6 cm-
‫المطلوب‬:‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
dx
dt
‫عند‬x = 1
= ‫الجليد‬ ‫مع‬ ‫المكعب‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬8 + 2x
= v‫ح‬‫الجليد‬ ‫مع‬ ‫المكعب‬ ‫جم‬-‫فقط‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬
v = (8 + 2x)3
- 83
‫الدالة‬
𝐝𝐯
𝐝𝐭
= 3(8 + 2x)2 . 2
𝐝𝐱
𝐝𝐭
‫المشتقة‬
8
cm8
8 + 2x
x
x
296cmA =
296cmA =
2 cm/s

111. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬333/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫واحد‬ ‫مجهول‬ ‫تحوي‬ ‫المشتقة‬ /‫مالحظة‬‫هو‬x‫التغير‬ ‫معدل‬ ‫طلب‬ ‫السؤال‬ ‫وفي‬
𝐝𝐱
𝐝𝐭
‫عندما‬x = 1‫لذلك‬
‫بدل‬ ‫نعوض‬x‫بـ‬1.
dv
dt
= -6 cm3
/s , x = 1
−6 = 6(8 + 2 . 1)2
dx
dt
⟹ (10)2
dx
dt
= -1 ⟹
dx
dt
=
−1
100
= - 0.01 cm/s
∴‫معدل‬‫نقصان‬= ‫السمك‬
1
100
cm/s
‫مثال‬4/‫طوله‬ ‫سلم‬10 m‫ر‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫العلوي‬ ‫وطرفه‬ ‫افقية‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬‫أ‬‫فاذا‬ )‫سي(عمودي‬
‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫انزلق‬2 m/s‫بعد‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬8m: ‫جد‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬
1).‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬
2)‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫سرعة‬.‫واالرض‬
/‫الحل‬
1):‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬
‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫السفلي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=x
‫السفلي‬ ‫الطرف‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬
d𝐱
dt
=2cm/s
‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫ارتفاع‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=y
‫المطلوب‬:‫معدل‬‫انزالق‬‫العلوي‬ ‫الطرف‬
𝐝𝐲
𝐝𝐭
‫عند‬x = 8
y2
+ x2
= (10)2
‫فيتاغورس‬ ‫من‬
y2
+ x2
= 100 ‫الدالة‬
2y
𝐝𝐲
𝐝𝐭
+ 2x
𝐝𝐱
𝐝𝐭
= 0 ‫المشتقة‬
‫متغيرين‬ ‫تحوي‬ ‫المشتقة‬ /‫مالحظة‬x‫و‬y‫عندما‬ ‫طلب‬ ‫السؤال‬ ‫وفي‬x = 8 cm‫و‬ ‫الدالة‬ ‫في‬ ‫نعوضها‬ ‫لذلك‬‫نحسب‬y:
y2
+ x2
= 100 ⟹ y2
+ 82
= 100 ⟹ y2
= 100 - 64 = 36 ⟹ y = 6 cm
‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬, x , y
d𝐱
dt
2 . 6
dy
dt
+ 2 . 8 (2) = 0 ⟹ 12
dy
dt
= - 32 ⟹
dy
dt
=
−32
12
=
−8
3
m/s
∴‫معدل‬‫انزالق‬= ‫العلوي‬ ‫الطرف‬
− 8
3
m/s
dx
dt
= 2 m/sx
y
10 m

112. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬331/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
2):‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫سرعة‬
‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=θ
sin θ =
y
10
⟹ cos θ
dθ
dt
=
1
10
.
dy
dt
dy
dt
=
−8
3
m/s , x = 8 ,
8
10
= cos θ ‫الرسم‬ ‫من‬
8
10
.
dθ
dt
=
1
10
.
−8
3
⟹
dθ
dt
= −
1
3
red/s ‫الزاوية‬ ‫تغير‬ ‫سرعة‬
∴‫معدل‬‫نقصان‬‫الزاوية‬=
1
3
red/s
‫مثال‬5/‫بمعدل‬ ‫االسفل‬ ‫الى‬ ‫وراسه‬ ‫افقية‬ ‫قاعدته‬ ‫الشكل‬ ‫مخروطي‬ ‫مرشح‬ ‫من‬ ‫ماء‬ ‫يتسرب‬5cm3/s‫نصف‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬
‫المرشح‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬10cm‫وارتفاعه‬20cm‫في‬ ‫الماء‬ ‫ارتفاع‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫المخروط‬ ‫في‬ ‫الماء‬ ‫انخفاض‬ ‫معدل‬ ‫جد‬
‫المرشح‬15cm.
/‫الحل‬
‫حجم‬‫الماء‬= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬v
‫حجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬‫الماء‬
dv
dt
=/s3
5 cm-
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫المخروط‬ ‫في‬ ‫السائل‬ ‫عمق‬h
‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫المطلوب‬
dh
dt
‫عند‬h = 15
‫الماء‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=r
‫الس‬‫و‬‫ائل‬‫ت‬‫أ‬‫االناء‬ ‫شكل‬ ‫خذ‬‫يحتويها‬ ‫الذي‬‫من‬ ‫تستخرج‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬:
v =
1
3
π r2
h
‫ثالث‬ ‫تحوي‬ ‫الدالة‬ /‫مالحظة‬
‫متغيرات‬v‫و‬r‫و‬h‫اننا‬ ‫وبما‬
‫نحتاج‬v‫و‬h‫نحاول‬ ‫فاننا‬ ‫فقط‬
‫لنختصر‬ ‫عالقة‬ ‫نجد‬ ‫ان‬r‫كما‬
:‫الرسم‬ ‫في‬ ‫مبين‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬r:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫بمتغيرين‬ ‫لتصبح‬ ‫الدالة‬ ‫في‬
v =
1
3
π (
1
2
h)2
h ⟹ 𝐯 =
𝟏
𝟏𝟐
𝛑 𝐡 𝟑
‫الدالة‬
dv
dt
=
1
12
π (3h2
)
dh
dt
⟹
𝐝𝐯
𝐝𝐭
=
𝛑 𝐡 𝟐
𝟒
.
𝐝𝐡
𝐝𝐭
‫المشتقة‬
dv
dt
= -5 , h = 15 ‫المشتق‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
30
r
θh
20
/s3cm5
h
10 cm
20 cm
r
y
x
θ
10 m
tan θ =
10
20
=
1
2
tan θ =
r
h
=
1
2
r =
1
2
h

113. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬331/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
−5 =
π (15)2
4
.
dh
dt
⟹
dh
dt
=
20
225π
=
−4
45π
cm/s
∴‫معدل‬‫انخفاض‬‫الماء‬=
4
45π
cm/s
‫مثال‬6/‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ , ‫لالسفل‬ ‫ورأسه‬ ‫افقية‬ ‫قاعدته‬ ‫مخروطي‬ ‫مرشح‬24 m‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬16 cm‫يصب‬
‫بمعدل‬ ‫سائل‬ ‫في‬/s3
5 cm‫السائل‬ ‫منه‬ ‫يتسرب‬ ‫بينما‬/s3
cm1‫يكون‬ ‫التي‬ ‫اللحظة‬ ‫في‬ ‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬
‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫فيها‬12 cm.
/‫الحل‬
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬v
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
dv
dt
‫المخروط‬ ‫في‬ ‫السائل‬ ‫عمق‬‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬=h
‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫المطلوب‬
dh
dt
‫عند‬h = 12
‫الس‬‫ت‬ ‫وائل‬‫تستخرج‬ ‫السائل‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫اذا‬ ‫االناء‬ ‫شكل‬ ‫أخذ‬
‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫من‬:
v =
1
3
π r2
h
tan θ =
8
24
=
1
3
tan θ =
r
h
=
1
3
⟹ r =
1
3
h
‫قيمة‬ ‫نعوض‬r:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫بمتغيرين‬ ‫لتصبح‬ ‫الدالة‬ ‫في‬
v =
1
3
π (
1
3
h)2
h ⟹ 𝐯 =
𝟏
𝟐𝟕
𝛑 𝐡 𝟑
‫الدالة‬
dv
dt
=
1
27
π (3h2
)
dh
dt
⟹
𝐝𝐯
𝐝𝐭
=
𝛑 𝐡 𝟐
𝟗
.
𝐝𝐡
𝐝𝐭
‫المشتقة‬
‫اذا‬ ‫وتسريب‬ ‫صب‬ ‫تحوي‬ ‫المسئلة‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬:= ‫الحجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬‫الصب‬ ‫حجم‬–‫التسرب‬ ‫حجم‬
𝐝𝐯
𝐝𝐭
= 5 – 1 = 4 cm3/s
dv
dt
= 4 , h = 12 ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
4 =
π (12)2
9
.
dh
dt
⟹
dh
dt
=
36
π 144
=
1
4π
cm/s ‫السائل‬ ‫عمق‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
∴‫معدل‬‫ازدياد‬= ‫السائل‬ ‫عمق‬
1
4π cm/s
8
r
θh
24
2
‫متغيرات‬ ‫ثالث‬ ‫تحوي‬ ‫الدالة‬ /‫مالحظة‬v‫و‬r‫و‬h‫نحتاج‬ ‫اننا‬ ‫وبما‬v‫و‬h‫فاننا‬ ‫فقط‬
‫لنختصر‬ ‫عالقة‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫نحاول‬r:‫الرسم‬ ‫في‬ ‫مبين‬ ‫كما‬
/s35 cm
/s3cm1
h
16 cm
24 cm
r

114. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬334/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫مثال‬7/‫لتكن‬M‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫منحني‬ ‫على‬ ‫متحركة‬ ‫نقطة‬= 4x2
y( ‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫ابتعادها‬ ‫معدل‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬7,0)
‫يساوي‬0.2 unit/s‫اال‬ ‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫جد‬ ,‫ح‬‫للنقطة‬ ‫السيني‬ ‫داثي‬M‫يكون‬ ‫عندمـــا‬x = 4.
/‫الحل‬
‫لتكن‬‫النقطة‬ ‫احداثيات‬M‫هي‬ ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬x‫و‬y.
‫لتكن‬N‫واحداثياتها‬ ‫المعلومة‬ ‫النقطة‬(7,0)
‫النقطة‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬N‫و‬M= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬s.
‫معدل‬‫زيادة‬‫البعد‬
ds
dt
=0.2 unit/s
‫المطلوب‬:‫االحداثي‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬‫السيني‬
dx
dt
‫عند‬x = 4
s = √(x – 7)2 + (y – 0)2 = √(x – 7)2 + y = √x2 – 14x + 49 + y2
/‫مالحظة‬‫متغيرات‬ ‫ثالث‬ ‫تحوي‬ ‫الدالة‬s‫و‬x‫و‬y‫ومن‬‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬= 4x2y,‫عن‬ ‫نعوض‬2y‫بـ‬4x:
s = √x2 – 14x + 49 + 4x = √x2 – 10x + 49 = (𝐱 𝟐
– 𝟏𝟎𝐱 + 𝟒𝟗)
𝟏
𝟐
‫الدالة‬
ds
dt
=
1
2
(x2
– 10x + 49)
−1
2 (2x -10)
dx
dt
t ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
𝐝𝐬
𝐝𝐭
=
𝟐𝐱 −𝟏𝟎
𝟐 .√ 𝐱 𝟐 – 𝟏𝟎𝐱+𝟒𝟗
𝐝𝐱
𝐝𝐭
‫المشتقة‬
‫نعوض‬‫المشتقة‬ ‫في‬x = 4‫و‬= 0.2
ds
dt
:
0.2 =
2 .4 −10
2 .√42
– 10 .4+ 49
dx
dt
⟹ 0.2 =
−2
2 .√16 – 40 + 49
dx
dt
0.2 =
−1
√25
dx
dt
⟹ 0.2 = -
1
5
dx
dt
⟹
dx
dt
= -1 unit/s x ‫تغير‬ ‫معدل‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬2-3
1.‫مبتعدا‬ ‫االسفل‬ ‫الطرف‬ ‫انزلق‬ ‫فاذا‬ ‫رأسي‬ ‫حائط‬ ‫على‬ ‫االعلى‬ ‫وطرفه‬ ‫افقية‬ ‫ارض‬ ‫على‬ ‫االسفل‬ ‫طرفه‬ ‫يستند‬ ‫سلم‬
‫بمعدل‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬2m/s‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫انزالق‬ ‫معدل‬ ‫فجد‬ ,
‫تساوي‬
π
3
.
/‫الحل‬= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫الحائط‬ ‫عن‬ ‫السفلي‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬x
‫معدل‬‫انزالق‬‫السفلي‬ ‫الطرف‬
dx
dt
=2m/s
=‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫االرض‬ ‫عن‬ ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫ارتفاع‬y
= ‫السلم‬ ‫طول‬S‫ثابت‬ ‫وهو‬
‫معدل‬ ‫المطلوب‬‫انزالق‬‫العلوي‬ ‫الطرف‬
dy
dt
‫الزاوية‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬‫واالرض‬ ‫السلم‬ ‫بين‬=π
3⁄
:‫فان‬ ‫فيتاغورس‬ ‫نظرية‬ ‫حسب‬
dx
dt
= 2 m/sy
x
dy
dt
s
(7, 0)
s
M(x , y)

115. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬333/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
x2
+ y2
= s2
‫الدالة‬
‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬t2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0
2y
dy
dt
= −2x
dx
dt
⟹
dy
dt
=
−2x
2y
dx
dt
⟹
𝐝𝐲
𝐝𝐭
=
−𝐱
𝐲
𝐝𝐱
𝐝𝐭
‫المشتقة‬
‫مجهولين‬ ‫تحوي‬ ‫المشتقة‬x‫و‬y‫لذلك‬‫الزاوية‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬θ=π
3⁄:‫فان‬
tan π
3⁄ =
y
x
⟹ √3 =
y
x
∴
x
y
=
1
√3
&
dx
dt
2= ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
dy
dt
=
−x
y
dx
dt
=
−1
√3
. 2 =
−2
√3
m/s ‫العلوي‬ ‫الطرف‬ ‫ارتفاع‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
∴‫معدل‬‫انخفاض‬‫العلوي‬ ‫الطرف‬
2
√3
m/s
2.‫طوله‬ ‫عمود‬7.2 m‫طوله‬ ‫رجل‬ ‫يتحرك‬ , ‫مصباح‬ ‫نهايته‬ ‫في‬1.8 m‫وبسرعة‬ ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫مبتعدا‬30m/min
.‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ ,
/‫الحل‬
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫العمود‬ ‫عن‬ ‫الشخص‬ ‫بعد‬x
‫العمود‬ ‫عن‬ ‫الشخص‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬
dx
dt
=30m/min
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬y
‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫المطلوب‬
dy
dt
‫تشابه‬ ‫من‬:‫المثلثين‬
1.8
7.2
=
y
x+y
⟹
1
4
=
y
x+y
⟹ 4y = x + y ⟹ 3y – x = 0 ‫الدالة‬
3
dy
dt
−
dx
dt
= 0 t ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
𝐝𝐲
𝐝𝐭
=
𝟏
𝟑
𝐝𝐱
𝐝𝐭
‫المشتقة‬
‫نعوض‬
dx
dt
= 30:
dy
dt
=
1
3
. 30 = 10 m/min ‫الرجل‬ ‫ظل‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
∴‫معدل‬‫ازدياد‬‫طول‬‫الرجل‬ ‫ظل‬10 m/min
7.2m
1.8m
x
30 m/min
y

116. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬331/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
3.‫لتكن‬M‫القط‬ ‫على‬ ‫تتحرك‬ ‫نقطة‬‫ــــ‬‫المكاف‬ ‫ع‬‫ـــــ‬‫ئ‬2
y = x‫النقطة‬ ‫احداثيي‬ ‫جد‬ ,M‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬
( ‫النقطة‬ ‫عن‬ ‫البتعادها‬0,
3
2
‫للنقطة‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫لتغير‬ ‫الزمن‬ ‫المعدل‬ ‫ثلثي‬ ‫يساوي‬ )M.
/‫الحل‬‫المعلومة‬ ‫النقطة‬ ‫لتكن‬N‫واحداثياتها‬(0,
3
2
)
‫النقطة‬ ‫بعد‬M‫النقطة‬ ‫عن‬N= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬s
‫النقطة‬ ‫ابتعاد‬ ‫معدل‬M‫النقطة‬ ‫عن‬N=
ds
dt
‫النقطة‬ ‫احداثيات‬M= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬x , y
‫معدل‬‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫تغير‬‫ل‬‫لنقطة‬M=
dy
dt
‫النقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫المطلوب‬M:‫عندما‬
2
3
dy
dt
ds
dt
=
s = √(0 − x)2 + (
3
2
− y)2 = √x2 + (
3
2
− y)
2
‫المكافئ‬ ‫القطع‬ ‫معادلة‬ ‫من‬‫نعو‬‫ض‬= y2
x:
s = √y + (
3
2
− y)
2
= √y +
9
4
− 3y + y2 = (𝐲 𝟐
− 𝟐𝐲 +
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐 ‫الدالة‬
‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫الدالة‬ ‫نشتق‬t:
ds
dt
=
1
2
(y2
- 2y +
9
4
)
−1
2 (2y-2)
dy
dt
=
2(y – 1)
2 .√y2−2y+
9
4
dy
dt
‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
ds
dt
=
2
3
dy
dt
2
3
dy
dt
=
y – 1
√y2−2y+ 9
4
dy
dt
2 . √y2 − 2y +
9
4
= 3(y − 1) ⟹ 4 . (y2
− 2y +
9
4
) = 9(y − 1)2
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
4y2
− 8y + 9 = 9(y2
− 2y + 1) ⟹ 5y2
− 10y = 0
5y(y − 2) = 0 ⟹ 5y = 0 ∴ y = 0 ‫تهمل‬
/‫مالحظة‬‫يكون‬ ‫عندما‬0=y‫النقطة‬ ‫فان‬M‫النقطة‬ ‫من‬ ‫تقترب‬N‫اليسار‬ ‫او‬ ‫لليمين‬ ‫تحركت‬ ‫سواء‬.
N (0,
3
2
)
s M(x, y)
x

117. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬330/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
∴ y − 2 = 0 ⟹ y = 2
x2
= 2 ∴ x = ±√2
‫النقطة‬ ‫أحداثيات‬M( ‫النقطتين‬ ‫عند‬ ‫هي‬−√2,2( ‫و‬ )√2, 2)
4.‫للدائرة‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫النقط‬ ‫جد‬108=8y-4x+2
y+2
x‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬ ‫يكون‬ ‫عندها‬ ‫والتي‬x‫يساوي‬
‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬y‫الى‬ ‫بالنسبة‬t.
/‫الحل‬‫المطلوبة‬ ‫النقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫نفرض‬M‫هي‬x‫و‬y
‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬x=
dx
dt
‫لتغير‬ ‫الزمني‬ ‫المعدل‬y=
dy
dt
‫النقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫المطلوب‬M‫عند‬
dx
dt
=
dy
dt
x2 + y2 + 4x - 8y = 108 ‫الدالة‬
2x
𝐝𝐱
𝐝𝐭
+ 2y
𝐝𝐲
𝐝𝐭
+4
𝐝𝐱
𝐝𝐭
- 8
𝐝𝐲
𝐝𝐭
= 0 ‫المشتقة‬
∵
dx
dt
=
dy
dt
⟹ 2x
dx
dt
+ 2y
dx
dt
+4
dx
dt
- 8
dx
dt
= 0
2
dx
dt
(x + y+ 2 – 4) = 0
∵ 2
dx
dt
≠ 0 ⟹ ∴ x + y + 2 – 4 = 0 ⟹ x = 2 – y
‫قيمة‬ ‫نعوض‬x:‫الدائرة‬ ‫معادلة‬ ‫في‬
(2 - y)2
+ y2
+ 4(2 - y) - 8y = 108 ⟹ 4 – 4y + y2
+ y2
+ 8 – 4y – 8y = 108
2y2
-16y - 96 = 0 ⟹ y2
- 8y - 48 = 0 ⟹ (y - 12)(y + 4) = 0
y = 12 ⟹ x = 2 – 12 ∴ x = -10
y = -4 ⟹ x = 2 + 4 ∴ x = 6
∴( ‫النقطتين‬ ‫عند‬10,12-( ‫و‬ )4-6,‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫يتساوى‬ )x‫مع‬‫تغير‬ ‫معدل‬y.
M
(x,y) dx
dt
dy
dt

118. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬330/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
5.‫بمعدل‬ ‫القاعدة‬ ‫طول‬ ‫يزداد‬ , ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫تبقى‬ ‫بحيث‬ ‫تتغير‬ ‫ابعاده‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬0.3cm/s
‫بمعدل‬ ‫يتناقص‬ ‫وارتفاعه‬ ,0.5 cm/s‫القاعدة‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫الحجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ ,4cm
‫واالرتفاع‬3cm.
/‫الحل‬= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫الجسم‬ ‫ارتفاع‬ ‫ليكن‬y
‫االرتفاع‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
dy
dt
=-0.5 cm/s
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫الجسم‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫ليكن‬x
‫القاعدة‬ ‫طول‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
dx
dt
=0.3 cm/s
= ‫الجسم‬ ‫حجم‬ ‫ليكن‬v
‫الحجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫المطلوب‬
dv
dt
‫عندما‬y= 3 cm‫و‬x = 4 cm
: ‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
v = x2
. y ‫الدالة‬
dv
dt
= x2 dy
dt
+ 2 x y
dx
dt
t ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫الدالة‬ ‫نشتق‬
dy
dt
= -0.5 ,
dx
dt
= 0.3 , x = 4 , y = 3 ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫المجاهيل‬ ‫نعوض‬
dv
dt
= (4)2
(-0.5) + 2(4 . 3)(0.3) = -8 + 7.2 = -0.8 cm/s
∴‫معدل‬‫تناقص‬‫الحجم‬0.8 cm/s
‫اسئلة‬‫اضافية‬
‫س‬1/‫تساوي‬ ‫ثابتة‬ ‫بمساحة‬ ‫ناقص‬ ‫قطع‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫معدنية‬ ‫قطعة‬60𝜋‫محورها‬ ‫طول‬ ‫ازداد‬ ‫فاذا‬ ‫مربعة‬ ‫وحدة‬
‫بمعدل‬ ‫االصغر‬0.2‫محورها‬ ‫طول‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫االكبر‬ ‫محرها‬ ‫طول‬ ‫في‬ ‫النقصان‬ ‫معدل‬ ‫جد‬ , ‫الدقيقة‬ ‫في‬ ‫طول‬ ‫وحدة‬
‫االصغر‬12.‫طول‬ ‫وحدة‬
/‫الحل‬: ‫نفرض‬
‫المعدنية‬ ‫القطعة‬ ‫مساحة‬A=60𝜋‫مربعة‬ ‫وحدة‬
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬2a
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬2b
‫تغير‬ ‫معدل‬‫طول‬‫المحور‬‫الصغير‬
db
dt
=0.2‫بالدقيقة‬ ‫وحدة‬
‫تغير‬ ‫معدل‬ ‫المطلوب‬‫طول‬‫الكبير‬ ‫المحور‬
da
dt
‫عندما‬‫االصغر‬ ‫المحور‬ ‫طول‬2b=12unit
:‫الناقص‬ ‫القطع‬ ‫مساحة‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
A = 𝜋. a. b = 60 𝜋 ⟹ 60 𝜋 = 𝜋 .a .b
60 = a .b ‫الدالة‬
‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬t:
dx
dt
dy
dt
2a
2b

119. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬337/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
a
𝐝𝐛
𝐝𝐭
+ b
𝐝𝐚
𝐝𝐭
= 0 ‫المشتقة‬
‫مجهولين‬ ‫تحوي‬ ‫المشتقة‬a‫و‬b‫عندما‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫وبما‬2b = 12‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫المساحة‬ ‫معادلة‬ ‫نستخدم‬ ‫فاننا‬a:
2b = 12 ⟹ b = 6 unit
‫عن‬ ‫نعوض‬b‫المساحة‬ ‫معادلة‬ ‫في‬‫اليجاد‬a:
60 = a . 6 ⟹ a = 10 unit
a = 10 , b = 6 ,
db
dt
= 0.2 ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
11 (0.2) + 6
da
dt
= 0 ⟹ 6
da
dt
= -2 ⟹
da
dt
=
−2
6
=
−1
3
unit / min
‫معدل‬‫نقصان‬‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
1
3
unit/min
‫س‬2/‫بمعدل‬ ‫يتناقص‬ ‫حجمه‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ , ‫مكعبا‬ ‫شكله‬ ‫يظل‬ ‫بحيث‬ ‫يذوب‬ ‫الثلج‬ ‫من‬ ‫مكعب‬/s3
0.03 cm‫معدل‬ ‫جد‬ ,
‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫السطحية‬ ‫ومساحته‬ ‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫نقصان‬10cm.
/‫الحل‬= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫المكعب‬ ‫حرف‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬x
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬v
‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫تغير‬ ‫معدل‬
dv
dt
=/s3
0.03 cm-
= ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫في‬ ‫المكعب‬ ‫اسطح‬ ‫مساحة‬A
‫المكعب‬ ‫حرف‬ ‫طول‬ ‫نقصان‬ ‫معدل‬ ‫المطلوب‬
dx
dt
‫و‬‫السطحية‬ ‫المساحة‬ ‫نقصان‬ ‫معدل‬
dA
dt
‫عند‬x = 10
1-:‫المكعب‬ ‫حرف‬ ‫طول‬ ‫نقصان‬ ‫معدل‬ ‫حساب‬
:‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫اذا‬ ‫مكعب‬ ‫الشكل‬ ‫يبقى‬ ‫الذوبان‬ ‫خالل‬
v = x3
‫الدالة‬
𝐝𝐯
𝐝𝐭
= 3x2 𝐝𝐱
𝐝𝐭
‫المشتقة‬
dv
dt
= -0.03 , x = 10 ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
-0.03 = 3(10)2 dx
dt
⟹
dx
dt
=
−0.03
3(10)2
=
−0.03
300
= - 0.0001 cm/s
∴‫معدل‬‫نقصان‬= ‫المكعب‬ ‫حرف‬ ‫طول‬0.0001 cm/s
x

120. [3 – 2]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
2-:‫للمكعب‬ ‫السطحية‬ ‫المساحة‬ ‫نقصان‬ ‫معدل‬ ‫حساب‬
‫الذوبان‬ ‫خالل‬:‫للمكعب‬ ‫السطحية‬ ‫المساحة‬ ‫معادلة‬ ‫من‬ ‫اذا‬ ‫مكعب‬ ‫الشكل‬ ‫يبقى‬
A = 6 x2
‫الدالة‬
dA
dt
= 12x
dx
dt
‫المشتقة‬
dx
dt
= -0.0001 , x = 10 ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
dA
dt
= 12 . 10 . (-0.0001) = 120(-0.0001) = -0.012 cm2
/s
∴‫معدل‬‫نقصان‬= ‫للمكعب‬ ‫السطحية‬ ‫المساحة‬/s2
0.012 cm

121. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬313/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
3 ]–[ 3:‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬‫التعاريف‬ ‫بعض‬ ‫نستعرض‬ ‫المبرهنات‬ ‫هذه‬ ‫شرح‬ ‫الى‬ ‫الدخول‬ ‫قبل‬
:‫لها‬ ‫تمهد‬ ‫التي‬ ‫والمبرهنات‬
‫الشك‬ ‫الحظ‬‫ل‬‫النقطة‬ ‫عند‬ :‫اعاله‬c‫عن‬ ‫تختلف‬ ‫التي‬a‫و‬b‫والتي‬
‫موازيا‬ ‫المماس‬ ‫يكون‬ ‫صغرى‬ ‫او‬ ‫عظمى‬ ‫قيمة‬ ‫الدالة‬ ‫عندها‬ ‫تكون‬
‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫ميله‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬.
: ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬‫الد‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬‫عندها‬ ‫وتكون‬ ‫الة‬
.‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬ ‫او‬ ‫صفر‬ = ‫االولى‬ ‫المشتقة‬
‫لتكن‬ /‫مثال‬f(x) = |x|f:[-1,1] ⟶R‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬
‫عند‬ ‫معرفة‬x = 0‫وان‬f´(0)‫موجودة‬ ‫غير‬‫ان‬ ‫يقال‬ ‫لكن‬
‫العدد‬1‫للدالة‬ ‫حرج‬ ‫عدد‬ ‫هو‬f‫النقطة‬ ‫وان‬(0,f(0))‫هي‬
:‫حرجة‬ ‫نقطة‬
: ‫رول‬ ‫مبرهنة‬‫في‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫اليجاد‬ ‫المبرهنة‬ ‫هذه‬ ‫تستخدم‬
:‫مغلقة‬ ‫فترة‬ ‫ضمن‬ ‫تقع‬ ‫والتي‬ ‫الدوال‬
‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬f:
1)‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬[a,b].
2)‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(a,b).
3)f(a) = f(b).
‫واحدة‬ ‫قيمة‬ ‫االقل‬ ‫على‬ ‫يوجد‬ ‫فانه‬c‫الى‬ ‫تنتمي‬(a,b)
‫وتحقق‬f´(c) = 0.
‫مثال‬1/‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫تتحقق‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ‫هل‬ ‫بين‬
‫قيمة‬ ‫وجد‬c:‫امكن‬ ‫ان‬
a) f(x) = (2 - x)2
, x ∈ [0,4]
1)f‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬[0,4].‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2)F‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(0,4).‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3)‫ا‬‫ختبار‬f(a) = f(b):
f(0) = (2 - 0)2
= 4
f(4) = (2 – 4)2
= 4 = f(0) ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬ ∴
‫قيمة‬ ‫ايجاد‬c:
f´(x) = 2(2 - x) .
(-1) = -4 + 2x ‫المشتقة‬
f´(c) = -4 + 2c = 0 ⟹ -4 + 2c = 0 ⟹ 2c = 4 ⟹ c = 2 ∈ (0,4)
‫تعريف‬1]-[3:‫كانت‬ ‫اذا‬f‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬[a,b]:‫فان‬
1)f‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫قيمة‬ ‫تأخذ‬c‫حيث‬c ∈ [a, b]:‫اذا‬ ‫وفقط‬ ‫اذا‬f(c) ≥ f(x) ∀ x ∈ [a, b]
2)f‫عند‬ ‫صغرى‬ ‫قيمة‬ ‫تأخذ‬c‫حيث‬c ∈ [a, b]:‫اذا‬ ‫وفقط‬ ‫اذا‬f(c) ≤ f(x) ∀ x ∈ [a, b]
‫مبرهنة‬[3-1]:‫كانت‬ ‫اذا‬f‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬[a,b]‫عند‬ ‫صغرى‬ ‫او‬ ‫عظمى‬ ‫قيمة‬ ‫للدالة‬ ‫وكان‬c
‫حيــــث‬c ∈ [a, b]‫وان‬f´(c)‫فان‬ ‫موجودة‬f´(c) = 0
f(x) = |x|
f´(0)‫موجودة‬ ‫غير‬
f´(c) = 0
a b

122. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
b) f(x) = 9x + 3x2
- x3
, x ∈ [−1,1]
1)f‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬[-1,1].‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
2)f‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(-1,1).‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3)‫اختبار‬f(a) = f(b):
f(-1) = -9 + 3 + 1= -5
f(1) = 9 + 3 – 1 =11 ≠ f(0) ∴‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬
c) f(x) = {
x2
+ 1 , x ∈ [−1,2]
−1 , x ∈ [−4, −1]
= ‫الدالة‬ ‫مجال‬[-4,2]
1)‫عند‬ ‫االستمرارية‬ ‫نفحص‬-1:)‫التالقي‬ ‫(نقطة‬
L1 = lim
x→−1+
(x2
+ 1)= 2
L2 = lim
x→−1−
(−1)= -1 ≠ L1 -1 ‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫غير‬
∴.‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫ال‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬
d) f(x) = k , x ∈ [a, b]
1)f‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬[a,b].‫ثابتة‬ ‫دالة‬ ‫النها‬
2)f‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(a, b).
3)‫اختبار‬f(a) = f(b):
f(a) = k
f(b) = k = f(a) ∴‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫الدالة‬
‫قيمة‬ ‫ايجاد‬c:
f´(x) = 0 ‫المشتقة‬
f´(c) = 0
‫قيمة‬ ‫ان‬c‫الفتـــــــرة‬ ‫ضمن‬ ‫قيمة‬ ‫اي‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬(a , b)‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫المشتقة‬ ‫قيمة‬ ‫الن‬x.
‫لمبرهنة‬ ‫الهندسي‬ ‫التفسير‬ ‫يعطي‬ ‫التالي‬ ‫المخطط‬
: ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬
:‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬‫كانت‬ ‫اذا‬f‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬[a,b]‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬
‫المفتوحة‬(a,b)‫واحدة‬ ‫قيمة‬ ‫االقل‬ ‫على‬ ‫يوجد‬ ‫فانه‬c‫الى‬ ‫تنتمي‬(a,b):‫وتحقق‬
f´(c) =
f(b)−f(a)
b−a
‫أ‬‫و‬:f(b) − f(a) = f´(c) (b-a)
A
(a , f(a))
B
(b , f(b))
a b1c 2c
‫الوتر‬

123. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫بالنقطتين‬ ‫المار‬ ‫الوتر‬ ‫ميل‬A‫و‬B: ‫يساوي‬
∆y
∆x
=
f(b)−f(a)
b−a
‫للمنحني‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬f‫عند‬c‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ =f´(c)‫عند‬c
:‫اذا‬ ‫الوتر‬ ‫ميل‬ ‫يساوي‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫بما‬f´(c) =
f(b)−f(a)
b−a
‫هي‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬‫ان‬ ‫تشترط‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫ان‬ ‫حيث‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬f(a) = f(b)‫اي‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يوازيان‬ ‫والمماس‬ ‫الوتر‬ ‫ان‬∆𝐲 = 𝟎‫وهذا‬=‫الميل‬ ‫ان‬ ‫يعني‬0‫على‬ ‫فنحصل‬(c) = 0´f.
‫مثال‬2/‫الدوال‬ ‫ان‬ ‫برهن‬‫قيم‬ ‫واوجد‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫االتية‬c:
a) f(x) = x2
– 6x + 4 , x ∈ [-1,7]
1)‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬[-1,7].‫حدود‬ ‫كثيرة‬
2)‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫الدالة‬(-1,7).‫حدود‬ ‫كثيرة‬
∴.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تتحق‬
: ‫فان‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬= ‫الوتر‬ ‫ميل‬‫المماس‬ ‫ميل‬f´(c)
:‫الوتر‬ ‫ميل‬
f(b)−f(a)
b−a
=
f(7)−f(−1)
7+1
=
11−11
8
= 0
f(7) = 49 – 42 + 4 = 11
f(-1) = 1 + 6 + 4 = 11
:‫المماس‬ ‫ميل‬
f´(x) = 2x – 6 ⟹ f´(c) = 2c – 6 = 0 ⟹ 2c = 6 ⟹ ∴ c = 3 ∈
(−1,7)
b) f(x) = √25 − x2 , x ∈ [-4,0]
1)‫اال‬‫ستمرارية‬:
∀ a ϵ [−4,0] ⇒ f(a) = √25 − a2 ϵ R
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
√25 − x2 = lim
x→a
√25 − a2 = f(a)
f‫عند‬ ‫مستمرة‬a‫ان‬ ‫وبما‬a‫المجال‬ ‫عناصر‬ ‫من‬ ‫عنصر‬ ‫كل‬ ‫تمثل‬
f ∴‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬[-4,0]
2):‫االشتقاق‬ ‫قابلية‬f( ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬-4,0)∀ x ϵ
∴.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تتحقق‬
:‫المماس‬ ‫ميل‬
f´(x) =
−2x
2 √25 − x2
=
−c
√25 − c2
:‫الوتر‬ ‫ميل‬
f(b)−f(a)
b−a
=
f(0)−f(−4)
4
=
5−3
4
=
1
2
: ‫فان‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫المماس‬ ‫ميل‬f´(c)‫الوتر‬ ‫ميل‬ =

124. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬314/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
−c
√25 − c2
=
1
2
⟹ -2c = √25 − c2 ⟹ 4c2
= 25 – c2
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
5c2
= 25 ⟹ c2
=
25
5
= 5 ⟹ c = ∓ √5
c = √5 ∉ (−4,0) ‫تهمل‬
c = −√5 ∈ (−4,0) ⟹ ∴ c = −√5
‫مثال‬3/‫كانت‬ ‫اذا‬2
4x-3
R , f(x) = x⟶f:[0,b]‫وكانت‬f‫عند‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬2
3
c =‫فجد‬
‫قيمة‬b.
/‫الحل‬8x-2
(x) = 3x
´
f
f
´
(c) = 3c2
– 8c c =
2
3
f´
(
2
3
) = 3(
2
3
)2
– 8(
2
3
) = 3
4
9
–
16
3
=
4
3
–
16
3
=
−12
3
= - 4 ‫المماس‬ ‫ميل‬
f(b)−f(a)
b−a
=
f(b)−f(0)
b−0
⟹
b3−4b2−0
b
= b2
− 4b ‫الوتر‬ ‫ميل‬
: ‫فان‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫المماس‬ ‫ميل‬f´(c)‫الوتر‬ ‫ميل‬ =
b2
− 4b = −4 ⟹ b2
− 4b + 4 = 0 ⟹ (b – 2) (b – 2) = 0
∴ b = 2
‫ن‬: ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تيجة‬
‫كانت‬ ‫اذا‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫ومعرفة‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬[a,b]‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬(a,b)‫اعتبرنا‬ ‫ولو‬h = b – a‫فان‬b =
h + a‫حيث‬h ≠ 0 , h ∈ R: ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫بموجب‬ ‫فانه‬
f´(c) =
f(a+h)−f(a)
h
f(a + h) = f(a) + h f´(c)
‫اقتراب‬ ‫يكون‬ ‫وعندما‬b‫من‬a‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫تكون‬ ‫كافيا‬ ‫قربا‬h‫من‬ ‫قريبتين‬ ‫ونهايتيه‬ ‫صغيرا‬ ‫الوتر‬ ‫ويصبح‬ ‫صغيرة‬
a‫عند‬ ‫المماس‬ ‫ان‬ ‫اي‬c‫حيث‬ ‫النقطة‬ ‫من‬ ‫جدا‬ ‫قريبة‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫للمنحني‬ ‫مماسا‬ ‫سيكون‬x = a: ‫يصبح‬ ‫ولذلك‬
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a)
‫للقيمة‬ ‫يقال‬h f´(a)‫للدالة‬ ‫التقريبي‬ ‫التغير‬ ‫مقدار‬f(x)‫قيمة‬ ‫تتغير‬ ‫عندما‬x‫من‬a‫الى‬b.
‫خطوات‬/‫الحل‬
1)‫الدالة‬ ‫صيغة‬ ‫وضع‬f(x)‫المتغير‬ ‫باستخدام‬x.
2)‫قيمة‬b=‫للمتغير‬ ‫الحقيقية‬ ‫القيمة‬x.
3)‫قيمة‬a=‫رقم‬ ‫اقرب‬‫لـ‬b‫حسابه‬ ‫يمكن‬‫ا‬‫من‬f(x).
4)‫نحسب‬‫ال‬‫قيم‬f(a)‫و‬h‫و‬f´(a)
5)‫قيمة‬ ‫ونحسب‬ ‫القانون‬ ‫في‬ ‫نعوض‬f(a+h)
‫مثال‬4/‫للعدد‬ ‫مناسبا‬ ‫تقريبا‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫جد‬√26.
/‫الحل‬‫جذر‬ ‫ايجاد‬ ‫المطلوب‬62‫جذر‬ ‫الدالة‬ ‫ستكون‬ ‫لذلك‬x.

125. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬313/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫الدالة‬:f(x) = √x , x ≥ 0
‫لتكن‬:
b = 26 x ‫للمتغير‬ ‫الحقيقية‬ ‫القيمة‬
a = 25 ‫لل‬ ‫قيمة‬ ‫اقرب‬‫ـ‬26‫جذرها‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬
f(25) = √25 = 5 f(a) ‫حساب‬
h = b – a = 26 – 25 = 1 h ‫حساب‬
f´(x) =
1
2√x
f´(a) ‫حساب‬
f´(25) =
1
2√25
=
1
10
= 0.1
:‫القانون‬ ‫في‬ ‫التعويض‬
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(25 + 1) ≅ f(25) + h f´(25)
f(26) ≅ 5 + 1 . 0.1 = 5.1 ⟹ ∴ √26 ≅ 5.1
‫م‬‫ثال‬5/‫كان‬ ‫اذا‬+ 4x + 52
+ 3x3
f(x) = x‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫فجد‬f(1.001).
/‫الحل‬
f(x) = x3
+ 3x2
+ 4x + 5 ‫الدالة‬
:‫لتكن‬1a =,b = 1.001
f(1) = 13
+ 3 . 12
+ 4 . 1 + 5 = 1 + 3 + 4 + 5 = 13
h = b – a = 1.001 – 1 = 0.001
f´(x) = 3x2
+ 6x + 4
f´(1) = 3 . 12
+ 6 . 1 + 4 = 13
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(1 + 0.001) ≅ f(1) + h f´(1)
f(1.001) ≅ 13 + 0.001 . 13 ⟹ ∴ f(1.001) ≅ 13 .013
‫مثال‬6/‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬9.98 cm.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫جد‬
/‫الحل‬: ‫الدالة‬ ‫صيغة‬ ‫نضع‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
V(x) = x3
‫الدالة‬
: ‫لتكن‬10b = 9.98 , a =
V(10) = 103
= 1000
h = b – a = 9.98– 10 = -0.02
V´(x) = 3x2
V´(10) = 3 . 102
= 300
V(a + h) ≅ V(a) + h V´(a) ⟹ V(10 − 0.02) ≅ V(10) + h V´(10)
V(9.98) ≅ 1000 − 0.02 . 300 ⟹ ∴ V(9.98) ≅ 994 ‫للمكعب‬ ‫التقريبي‬ ‫الحجم‬
‫مثال‬7/‫لتكن‬f(x) = √x23
‫تغيرت‬ ‫فاذا‬x‫من‬8‫الى‬8.06.‫للدالة‬ ‫التقريبي‬ ‫التغير‬ ‫مقدار‬ ‫فما‬
/‫الحل‬= ‫للدالة‬ ‫التقريبي‬ ‫التغير‬h f´(a)

126. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f:[8,8.06] ⟶ R , f(x) = √x23
‫الدالة‬
b = 8.06 , a = 8 : ‫لتكن‬
h = b – a = 8.06 – 8 = 0.06
f´(x) =
2
3 . √x
3 ⟹ f´(8) =
2
3 . √8
3 =
2
3 . 2
=
1
3
‫التقريبي‬ ‫التغير‬‫للدالة‬=h f´(8)
h f´(8) = 0.06 .
1
3
= 0.02
‫مثال‬8/‫ضلعه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬ ‫طالء‬ ‫يراد‬10 cm‫الطالء‬ ‫سمك‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬0.15 cm‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫اوجد‬ ,
.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫وباستخدام‬ ‫تقريبية‬
/‫الحل‬
‫المكعب‬ ‫مع‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ = ‫الطالء‬ ‫حجم‬–‫المكعب‬ ‫حجم‬
v(x) = x3
‫الدالة‬
a = 10 : ‫لتكن‬
b = 10 + 2 (0.15) = 10.3
h = b – a = 10.3 – 10 = 0.3
v´(x) = 3x2
⟹ v´(10) = 3 . 102
= 300 ⟹ h v´(10) = 0.3 . 300 = 90 cm3
= ‫للطالء‬ ‫التقريبي‬ ‫الحجم‬3
90 cm
‫مثال‬9/‫كل‬ ‫االقل‬ ‫على‬ ‫عشرية‬ ‫مراتب‬ ‫لثالث‬ ‫ومقربا‬ ‫تقريبية‬ ‫وبصورة‬ ‫جد‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
:‫من‬
a) √(0.98)35
+ (0.98)4
+ 3
/‫الحل‬‫الرقم‬ ‫تعديل‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫التقريبي‬ ‫المقدار‬ ‫لحساب‬0.98‫مكانه‬ ‫نعوض‬ ‫لذلك‬x.
:‫الدالة‬+ 34
+ xx
3
5=+ 34
+ x√x35
f(x) =
b = 0.98 , a = 1 :‫لتكن‬
h = b – a = 0.98 – 1 = -0.02
f(1) = 1
3
5 + 14
+ 3 = 5
f´(x) =
3
5
x
−2
5 + 4x3
⟹ f´(1) =
3
5
1
−2
5 + 4 . 13
=
3
5
+ 4 = 4.6
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(1 − 0.02) ≅ f(1) + h f´(1)
f(0.98) ≅ 5 + (−0.02) . 4.6 ⟹ f(0.98) ≅ 5 − 0.092 = 4.908
∴ √(0.98)35
+ (0.98)4
+ 3 ≅ 4.908
10 cm
0.15 cm
10.3 cm
‫المكعب‬
‫الطالء‬

127. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
b)√7.8
3
f(x) = √x
3
= x
1
3 ‫الدالة‬
b = 7.8 , a = 8 : ‫لتكن‬
h = b – a = 7.8 – 8 = -0.2
f(8) = √8
3
= 2
f´(x) =
1
3
x
−2
3 =
1
3 √x23 ⟹ f´(8) =
1
3 √823 =
1
12
= 0.083
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(8 − 0.2) ≅ f(8) + h f´(8)
f(7.8) ≅ 2 + (−0.2) . 0.083 ⟹ f(7.8) ≅ 2 − 0.0166 = 1.9834
√7.8
3
≅ 1.9834 ∴
c) √17 + √17
4
f(x) = √x + √x
4
= x
1
2 + x
1
4 :‫الدالة‬
b = 17 , a = 16 : ‫لتكن‬
h = b – a = 17 – 16 = 1
f(16) = √16 + √16
4
= 4 + 2 = 6
f´(x) =
1
2
x
−1
2 +
1
4
x
−3
4 ⟹ f´(x) =
1
2√x
+
1
4 .√x34
f´(16) =
1
2√16
+
1
4 . √1634 =
1
8
+
1
32
=
5
32
= 0.156
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(16 + 1) ≅ f(16) + h f´(16)
f(17) ≅ 6 + 1 . (0.156) ⟹ f(17) ≅ 6 + 0.156 = 6. 156
√17 + √17
4
≅ 6. 156 ∴
d)√0.12
3
√0.12
3
= √0.120
3
‫يجب‬:‫العشرية‬ ‫المراتب‬ ‫عدد‬ = ‫الجذر‬ ‫دليل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬
f(x) = √x
3
= x
1
3 ‫الدالة‬
b = 0.120 , a = 0.125 : ‫لتكن‬
h = b – a = 0.12 – 0.125 = -0.005
f(0.125) = √0.125
3
= 0.5
f´(x) =
1
3
x
−2
3 =
1
3 √x23 ⟹ f´(0.125) =
1
3 √(0.125)23
f´(0.125) =
1
3(0.25)
=
1
0.75
= 1.333

128. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(0.125 − 0.005) ≅ f(0.125) + h f´(0.125)
f(0.12) ≅ 0.5 + (−0.005) . 1.333 ⟹ f(0.12) ≅ 0.5 − 0.006665 ≅ 0.493335
√0.12
3
≅ 0.493335 ∴
‫مثال‬11/‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫مكعب‬10cm‫بسمك‬ ‫الجليد‬ ‫من‬ ‫بطبقة‬ ‫مغطى‬0.3 cm‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الجليد‬ ‫كمية‬ ‫جد‬
.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬
/‫الحل‬)‫الجليد‬ ‫(مع‬ ‫الكبير‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬ = )‫الجليد‬ ‫كمية(حجم‬–‫الصغير‬ ‫المكعب‬ ‫حجم‬
= )‫(الكبير‬ ‫الجليد‬ + ‫المكعب‬ )‫ضلع(حرف‬ ‫طول‬ ‫ليكن‬x
v(x) = x3
– (10)3
‫الدالة‬
a = 10 , b = 10 + 2(0.3) = 10.6
h = b – a = 10.6 – 10 = 0.6
v‫׳‬(x) = 3x2
– 0 ‫المشتقة‬
v‫׳‬(10) = 300 x=10 ‫عند‬ ‫المشتقة‬
h v‫׳‬(a) = (0.6) (300) = 180 cm3
‫الجليد‬ ‫كمية‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬3-3
1-‫قيمة‬ ‫اوجد‬c:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تعينها‬ ‫التي‬
a)f(x) = x3
– 9x , x ∈ [-3,3]
1.‫الدالة‬f‫على‬ ‫مستمرة‬[-3,3].‫حدود‬ ‫كثيرة‬
2.‫الدالة‬f‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(-3,3).‫الحدود‬ ‫كثيرة‬
3.‫اختبار‬f(-3) = f(3):
f(-3) = (-3)3
– 9(-3) = 0
f(3) = (3)3
– 9(3) = 0 = f(-3)
∴‫لذلك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬f´(c) = 0:
f´(x) = 3x2
– 9 ⟹ f´(c) = 3c2
– 9 = 0 ⟹ 3c2
= 9
c2
= 3 ⟹ ∴ c = ± √ 𝟑 ∈ (-3,3)
b)f(x) = 2x +
2
x
, x ∈ [
1
2
,2]
1.‫الدالة‬f‫على‬ ‫مستمرة‬[
1
2
,2]:‫الن‬0 ∉ [
1
2
,2]
2.‫الدالة‬f‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(
1
2
,2):‫الن‬0 ∉ [
1
2
,2]
3.‫اختبار‬f(
1
2
) = f(2):
f(
1
2
) = 2 .
1
2
+
2
1
2
= 1+ 4 = 5
f(2) = 2 . 2 +
2
2
= 5 = f(
1
2
)

129. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬317/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
∴‫لذلك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬f´(c) = 0:
f(x) = 2x + 2x-1
f´(x) = 2 – 2x-2
= 2 -
2
x2 ⟹ f´(c) = 2 -
2
c2 = 0
2
c2 = 2 ⟹ c2
= 1 ⟹ c = ±1
c = -1 ∉ (
1
2
,2) ⟹ ∴ c ≠ −1
c = 1 ∈ (
1
2
,2) ⟹ ∴ 𝐜 = 𝟏
c)f(x) = (x2
– 3)2
, x ∈ [-1,1]
1.‫الدالة‬f‫على‬ ‫مستمرة‬[-1,1].‫الحدود‬ ‫كثيرة‬
2.‫الدالة‬f‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(-1,1).‫الحدود‬ ‫كثيرة‬
3.‫اختبار‬f(-1) = f(1):
f(-1) = (1 - 3)2
= 4
f(1) = (1 - 3)2
= 4 = f(-1)
∴‫لذلك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬f´(c) = 0:
f´(x) = 2(x2
– 3) (2x) = 4x(x2
- 3) ⟹ f´(c) = 4c(c2
- 3) = 0
c2
– 3 = 0 ⟹ c2
= 3 c = ±√3 ∉ (-1,1) ⟹ ∴ c ≠ ±√3
4c = 0 ⟹ c = 0 ∈ (-1,1) ⟹ ∴ 𝐜 = 𝟎
2-‫يلي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫تقريبا‬ ‫جد‬:‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬
a) √63 + √63
3
f(x) = √x + √x
3
= x
1
2 + x
1
3 :‫الدالة‬
b = 63 , a = 64 :‫لتكن‬
h = b – a = 63 – 64 = -1
f(64) = √64 + √64
3
= 8 + 4 = 12
f´(x) =
1
2
x
−1
2 +
1
3
x
−2
3 =
1
2√x
+
1
3 .√x23
f´(64) =
1
2√64
+
1
3 . √6423 =
1
16
+
1
48
=
4
48
=
1
12
= 0.183
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(64 − 1) ≅ f(64) + h f´(64)
f(63) ≅ 12 + (−1)0.083 ⟹ f(17) ≅ 12 − 0.083 = 11. 917
∴ √63 + √63
3
≅ 11. 917

130. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
b) (1.04)3
+ 3(1.04)4
f(x) = x3
+ 3x4
:‫الدالة‬
b = 1.04 , a = 1 , h = b – a = 1.04 – 1 = 0.04
f(1) =1 + 3 = 4
f´(x) = 3x2
+ 12x3
⟹ f´(1) = 3 + 12 = 15
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(1 + 0.04) ≅ f(1) + h f´(1)
f(1.04) ≅ 4 + (0.04)15 ⟹ f(1.04) ≅ 4 + 0.6 = 4.6
∴ (1.04)3
+ 3(1.04)4
≅ 4.6
c)
1
√9
3
f(x) =
1
√x
3 = x
−1
3 :‫الدالة‬
b = 9 , a = 8 , h = 9 – 8 = 1
f(8) =
1
√8
3 =
1
2
= 0.5
f´(x) =
−1
3
x
−4
3 =
−1
3 . √x43 ⟹ f´(8) =
−1
3 . √843 =
−1
3 .16
=
−1
48
f´(8) = - 0.021
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(8 + 1) ≅ f(8) + h f´(8)
f(9) ≅ 0.5 + 1(−0.021) ⟹ f(1.04) ≅ 0.5 − 0.021 = 0.479
∴
1
√9
3 ≅ 0.479
d)
1
101
f(x) =
1
x
:‫الدالة‬
b = 101 , a = 100 :‫لتكن‬
h = b - a =101 – 100 = 1
f(100) =
1
100
= 0.01
f´(x) =
−1
x2 ⟹ f´(100) =
−1
10000
= -0.0001
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(100 + 1) ≅ f(100) + h f´(100)
f(101) ≅ 0.01 + 1(−0.0001) ⟹ f(101) ≅ 0.01 − 0.0001 = 0.0099
∴
1
101
≅ 0.1199

131. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬313/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
e) √
1
2
= √0.50
f(x) = √x , x ≥ 0 :‫الدالة‬
b = 0.5 , a = 0.49 :‫لتكن‬
h = b – a = 0.5 – 0.49 = 0.01
f(0.49) = √0.49 = 0.7
f´(x) =
1
2√x
⟹ f´(0.49) =
1
2√0.49
=
1
2 .0.7
⟹ f´(a) =
1
1.4
=
10
14
= 0.728
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(0.49 + 0.01) ≅ f(0.49) + h f´(0.49)
f (
1
2
) ≅ 0.7 + 0.01 . 0.728 ⟹ f (
1
2
) ≅ 0.7 + 0.00728 = 0.70728
∴ √
1
2
≅ 0.70728
3-‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬6 cm‫سمكه‬ ‫بطالء‬ ‫طليت‬0.1 cm‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫الطالء‬ ‫حجم‬ ‫جد‬
.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬
/‫الحل‬
‫الكرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ليكن‬=r
:‫الكرة‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬V(r) =
4
3
π r3
)‫الطالء‬ + ‫(الكرة‬ ‫حجم‬ = ‫الطالء‬ ‫حجم‬–‫الكرة‬ ‫حجم‬
V(r) =
4
3
π r3
−
4
3
π 63
: ‫الدالة‬
:‫ليكن‬
b = 6.1 ‫الطالء‬ ‫مع‬ ‫الكرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
a = 6 ‫الكرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
h = b – a = 6.1 – 6 = 0.1
V´(r) =
4
3
π . 3r2
– 0 ‫صفر‬ ‫الثابت‬ ‫مشتقة‬
V´(r) = 4π r2
⟹ V´(6) = 4π 62
= 144 π
‫بالحجم‬ ‫التغير‬ ‫مقدار‬ = ‫الطالء‬ ‫حجم‬
h . V´(6) = 0.1 . 144 π = 14.4 π cm3
6 cm
6.1 cm
‫الكرة‬
‫الطالء‬

132. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
4-‫حجمها‬ ‫كرة‬3
cm𝜋84.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫جد‬ ,
/‫الحل‬‫الكرة‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬
V(r) =
4
3
π r3
⟹ 84𝜋 =
4
3
π r3
r3
= 63 ⟹ ∴ r = √63
3
r(x) = √x
3
= x
1
3 :‫الدالة‬
b = 11 , a = 14 , h = b – a = 61 – 64 = -1 ‫لتكن‬:
r(64) = √64
3
= 4
r´(x) =
1
3
x
−2
3 =
1
3 √x23 ⟹ r´(64) =
1
3 √6423 =
1
3 .16
=
1
48
= 0.021
r(a + h) ≅ r(a) + h r´(a) ⟹ r(64 − 1) ≅ r(64) + h r´(64)
r(63) ≅ 4 + (−1)(0.021) ⟹ r(63) ≅ 4 − 0.021 = 3.979 cm
∴ r ≅ 3.709 cm
5-‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬2.98 cm‫بصورة‬ ‫حجمه‬ ‫فجد‬
.‫نتيجتها‬ ‫او‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫باستخدام‬ ‫تقريبية‬
/‫الحل‬‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬h,‫المخروط‬ ‫حجم‬v‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬r:
V =
1
3
π r2
h ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫من‬ ‫الدالة‬
h = 2r ⟹ r =
h
2
V =
1
3
π (
h
2
)
2
. h =
π
12
h3
V = f(h) =
π h3
12
‫الدالة‬
b = 2.98 , a = 3 , h = b – a = 2.98 – 3 = -0.02 :‫لتكن‬
f(3) =
π 33
12
=
π 9
4
= 2.25 π
f´(h) =
π 3 h2
12
=
π h2
4
⟹ f´(3) =
π 32
4
=
π 9
4
= 2.25 π
f(a + h) ≅ f(a) + h f´(a) ⟹ f(3 − 0.02) ≅ f(3) + h f´(3)
f(2.98 ) ≅ 2.25 π + (−0.02)(2.25 π)
f(2.98 ) ≅ 2.25 π − 0.045π ≅ 2.205 π cm3
6-‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫ازاء‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬ ‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫دالة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫بين‬c:
a) f(x) = (x - 1)4
, [-1,3]
1.‫الدالة‬f‫على‬ ‫مستمرة‬[-1,3].‫حدود‬ ‫كثيرة‬
2.‫الدالة‬f‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(-1,3).‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3.‫نبرهن‬f(-1) = f(3)
f(-1) = (-1-1)4
= 16

133. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f(3) = (3-1)4
= 16 = f(-1)
∴‫لذلك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬f´(c) = 0:
f´(x) = 4(x - 1)3
⟹ f´(c) = 4(c - 1)3
= 0 ⟹ (c - 1)3
= 0
c - 1 = 0 ⟹ ∴ c = 1 ∈ (-1,3)
b)f(x) = x3
– x , [-1,1]
1.‫الدالة‬f‫على‬ ‫مستمرة‬[-1,1].‫حدود‬ ‫كثيرة‬
2.‫الدالة‬f‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(-1,1).‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3.‫نبرهن‬f(-1) = f(1)
f(-1) = (-1)3
– (-1)= 0
f(1) = (1)3
- 1= 0 = f(-1)
∴‫لذلك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬f´(c) = 0:
f´(x) = 3x2
- 1 ⟹ f´(c) = 3c2
- 1 = 0 ⟹ 3c2
= 1
c2
=
1
3
⟹ ∴ c = ±
1
√3
∈ (-1,1)
c) f(x) = x2
– 3x , [-1,4]
1.‫الدالة‬f‫على‬ ‫مستمرة‬[-1,4].‫حدود‬ ‫كثيرة‬
2.‫الدالة‬f‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(-1,4).‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
3.‫نبرهن‬f(-1) = f(4)
f(-1) = (-1)2
– 3(-1)= 4
f(4) = (4)2
– 3 . 4 = 4 = f(-1)
∴‫لذلك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬f´(c) = 0:
f´(x) = 2x - 3 ⟹ f´(c) = 2c - 3 = 0 ⟹ 2c = 3
∴ c =
3
2
∈ (-1,4)
d)f(x) = cos 2x + 2cos x , [0, 𝜋2 ]
1.‫الدالة‬f‫على‬ ‫مستمرة‬[0,2𝜋].
2.‫الدالة‬f‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬(0, 𝜋2 ).
3.‫نبرهن‬f(0) = f(2𝜋)
f(1) = cos 1 + 2cos 1 = 3
f(2𝜋)= cos 4𝜋 + 2cos 2𝜋 = 3 = f(0)
∴‫لذلك‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬f´(c) = 0:
f´(x) = -2sin 2x – 2 sin x ⟹ f´(c) = -2sin 2c – 2 sin c = 0
2sin 2c + 2 sin c = 0 ⟹ 4 sin c cos c + 2 sin c = 0 ÷ 𝟐
2 sin c cos c + sin c = 0 ⟹ sin c (2cos c + 1) = 0 sin c ‫مشترك‬ ‫عامل‬

134. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬314/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
Nither:
sin c = 0 ⟹ c = 0 , 𝜋 , 2𝜋
0 ∉ ( 0 , 2𝜋) , 2𝜋 ∉ (0 , 2𝜋) ‫تهمل‬
∴ c = π
OR:
2cos c + 1 = 0 ⟹ 2cos c = -1 ⟹ cos c = −
1
2
cos‫الربع‬ ‫في‬ ‫سالب‬‫والثالث‬ ‫الثاني‬:= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝜋
3
c = 𝜋 −
𝜋
3
=
2𝜋
3
∈ (0,2𝜋)
c = 𝜋 +
𝜋
3
=
4𝜋
3
∈ (0,2𝜋)
7-‫تحققت‬ ‫وان‬ ‫السبب‬ ‫ذكر‬ ‫مع‬ ‫ازاءها‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫على‬ ‫التالية‬ ‫للدوال‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫تطبيق‬ ‫امكانية‬ ‫اختبر‬
‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫و‬ ‫المبرهنة‬c:‫الممكنة‬
a) f(x) = x3
– x – 1 , [-1,2]
1.‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬[-1,2].‫حدود‬ ‫كثيرة‬
2.‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫الدالة‬(-1,2).‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
∴‫تتحق‬‫ق‬:‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬‫المماس‬ ‫ميل‬f´(x)‫الوتر‬ ‫ميل‬ =
f(b)−f(a)
b−a
=
f(2)−f(−1)
2−(−1)
=
5−(−1)
3
= 2 ‫الوتر‬ ‫ميل‬
:‫المماس‬ ‫ميل‬
f´(x) = 3x2
– 1 ⟹ f´(c) = 3c2
– 1 = 2 ⟹ 3c2
= 3 ⟹ ∴ c = ± 1 ∈ (-1,2)
b)h(x) = x2
– 4x + 5 , [-1,5]
1.‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬[-1,5].‫حدود‬ ‫كثيرة‬
2.‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫الدالة‬(-1,5).‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫النها‬
∴‫تتحق‬‫ق‬.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬
: ‫فان‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫المماس‬ ‫ميل‬h´(x)‫الوتر‬ ‫ميل‬ =
:‫الوتر‬ ‫ميل‬
h(b)−h(a)
b−a
=
h(5)−h(−1)
5−(−1)
=
10−10
6
= 0
:‫المماس‬ ‫ميل‬
h´(x) = 2x – 4
h´(c) = 2c – 4 = 0 ⟹ 2c = 4 ⟹ ∴ c = 2 ∈ (-1,5)
c) g(x) =
4
x+2
, [-1,2]
: ‫الدالة‬ ‫مجال‬
x ≠ -2 ⟹ -2 ∉ [−1,2] ⟹ R – {-2}

135. [3 – 3 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المتوسطة‬ ‫والقيمة‬ ‫رول‬ ‫مبرهنتا‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬313/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
1.‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬[-1,2].
2.‫الفترة‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫الدالة‬(-1,2).
∴‫تتحق‬‫ق‬.‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬
: ‫فان‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫المماس‬ ‫ميل‬g´(x)‫الوتر‬ ‫ميل‬ =
:‫الوتر‬ ‫ميل‬
g(b)−g(a)
b−a
=
g(2)−g(−1)
2−(−1)
=
1−4
3
= -1
:‫المماس‬ ‫ميل‬
g´(x) =
−4
(x+2)2
g´(c) =
−4
(c+2)2 = -1 ⟹ (c + 2)2
= 4
c2
+ 4c + 4 = 4 ⟹ c2
+ 2c = 0 ⟹ c(c + 2) = 0
c + 2 = 0 ⟹ c = -2 ∉ (-1,2)
c = 0 ∈ (-1,2) ⟹ ∴ c = 0
d)B(x) = √(x + 1)23
, [-2,7]
‫الدالة‬ ‫مجال‬:R
1.‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬[-2,7]‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫الن‬R.
2.‫قابل‬‫ي‬‫ة‬‫ا‬‫الفترة‬ ‫على‬ ‫الشتقاق‬(-2,7):
B(x) = √(x + 1)23
= (x + 1)
2
3
B´(x) =
2
3
(x + 1)
−1
3 =
2
3 . √(x+1)3
:‫المشتقة‬ ‫مجال‬R – {-1}
∵ −1 ∈ (−2,7) (-2,7) ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬ ‫الدالة‬ ∴

136. [3 – 4 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
4 ]-[ 3:‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدم‬ ‫للدالة‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫اختبار‬
‫لتكن‬f‫المغلقة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مستمرة‬[a,b]‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬(a,b):‫كانت‬ ‫فاذا‬
1-‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬x
‫المفتوحة‬ ‫للفترة‬ ‫تنتمي‬ ‫والتي‬(a,b)‫الدالة‬ ‫فان‬f
‫قيم‬ ‫ازدياد‬ ‫مع‬ ‫تتزايد‬x:
2-‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬x‫والتي‬
‫المفتوحة‬ ‫للفترة‬ ‫تنتمي‬(a,b)‫الدالة‬ ‫فان‬f‫تتناقص‬
‫قيم‬ ‫ازدياد‬ ‫مع‬x:
‫مثال‬1/‫لتكن‬2
y = f(x) = x:‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬ ,
/‫الحل‬
f´(x) = 2x ‫المشتقة‬ ‫ايجاد‬
f´(x) = 1 = ‫المشتقة‬ ‫نجعل‬1
2x = 0 ⟹ x = 0
:‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫نختبر‬
fˊ(x) > 0 , ∀ x > 0 {x: x > 0} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬
fˊ(x) < 0 , ∀ x < 0 {x: x < 0} ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬
‫مثال‬2/:‫التاليتين‬ ‫الدالتين‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬
a) f(x) = 9x + 3x2
– x3
/‫الحل‬
f´(x) = 9 + 6x – 3x2
= 0
9 + 6x – 3x2
= 0 -3 ‫على‬ ‫بالتقسيم‬
x2
- 2x - 3 = 0 ⟹ (x - 3)(x + 1) = 0 ⟹ x = 3 , x = -1
:‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫نختبر‬
‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬:(-1,3)
‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬:{x: x > 3}‫و‬{x: x < -1}
‫الدالة‬‫متناقصة‬‫في‬
‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬
(a,b)
a b
‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬
‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬
(a,b)
a b
0
--------- + + + + + + +
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + ++ ------
-1 3
3
------
‫اشارة‬(x)ˊf

137. [3 – 4 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
b) f(x) = √x23
/‫الحل‬
f(x) = √x23
= x
2
3
f´(x) =
2
3
x
−1
3
=
2
3 . √x
3 = 0
‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫المشتقة‬x = 0‫ان‬ ‫اي‬x = 0.‫حرج‬ ‫عدد‬ ‫يمثل‬
:‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x > 0}
‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬:{x: x < 0}
‫تجعلها‬ ‫التي‬ ‫القيم‬ ‫عند‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫نختبر‬ ‫فاننا‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫المشتقة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ / ‫مالحظة‬‫غ‬‫ير‬
.‫سالب‬ ‫الجذر‬ ‫تحت‬ ‫او‬ ‫صفر‬ ‫المقام‬ ‫تجعل‬ ‫التي‬ ‫مثل‬ ‫معرفة‬
‫اشارة‬(x)ˊf
---------- + + + + + + +
0

138. [3 – 5 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المحلية‬ ‫الصغرى‬ ‫والنهاية‬ ‫العظمى‬ ‫النهاية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
]5-[ 3‫المحلية‬ ‫الصغرى‬ ‫والنهاية‬ ‫العظمى‬ ‫النهاية‬:
‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نقط‬ ‫نحدد‬ ‫ان‬ ‫يمكننا‬ ‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫تنزيل‬ ‫وبعد‬ ‫االعداد‬ ‫مخطط‬ ‫خالل‬ ‫من‬
:‫التالي‬ ‫الشكل‬ ‫وفي‬ ‫للدالة‬ ‫المحلية‬
‫عندما‬x = -1‫نهاية‬ ‫تكون‬‫صغرى‬‫للدالة‬ ‫محلية‬f(x)‫هي‬ ‫واحداثياتها‬(-1,f(-1)).
‫عندما‬x = 3‫نهاية‬ ‫تكون‬‫عظمى‬‫للدتلة‬ ‫محلية‬f(x)‫هي‬ ‫واحداثياتها‬(3,f(3)).
:‫تعريف‬
‫لتكن‬f‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬[a,b]‫عنـــد‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬x = c‫حيث‬c‫الفترة‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬(a,b):‫فان‬
1- f´(x) < 0 , ∀ x ∈ (c, b)
f´(x) > 0 , ∀ x ∈ (a, c)
f´(c) = 0
‫الدالة‬ ‫فان‬f(x)‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬x = c
‫تساوي‬ ‫قيمتها‬f(c).
2- f´(x) > 0 , ∀ x ∈ (c, b)
f´(x) < 0 , ∀ x ∈ (a, c)
f´(c) = 0
‫الدالة‬ ‫فان‬f(x)‫نهاية‬ ‫تملك‬‫صغرى‬‫عند‬ ‫محلية‬x = c
‫تساوي‬ ‫قيمتها‬f(c).
:‫نوعها‬ ‫وبيان‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫ايجاد‬ ‫خطوات‬
1-.‫للدالة‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
2-‫قيم‬ ‫نجد‬x.‫موجودة‬ ‫غير‬ ‫او‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫المشتقة‬ ‫تجعل‬ ‫التي‬
3-.‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫نختبر‬
4-‫العظمة‬ ‫النهايات‬.‫تناقص‬ ‫وبعدها‬ ‫تزايد‬ ‫قبلها‬ ‫يكون‬
5-.‫تزايد‬ ‫وبعدها‬ ‫تناقص‬ ‫قبلها‬ ‫يكون‬ ‫الصغرى‬ ‫النهايات‬
6-.‫نهاية‬ ‫وليست‬ ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫تسمة‬ ‫تناقص‬ ‫او‬ ‫تزايد‬ ‫وبعدها‬ ‫قبلها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫النقاط‬
‫مثال‬3/‫للدالة‬ ‫المحلية‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫نقط‬ ‫جد‬f:‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ‫وجودها‬ ‫حالة‬ ‫في‬
a) f(x) = 1 + (x - 2)2
/‫الحل‬
f´(x) = 2(x - 2) = 0
x – 2 = 0 ⟹ x = 2 ⟹ f(2) = 1 + (2 -2)2
= 1
:‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x > 2}
‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬:{x: x < 2}
‫النقطة‬(2,1)‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬
+ + + ++ ------
-1 3
3
------
‫اشارة‬(x)ˊf
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + ++ + + + ----------
ca b
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + +----------
ca b
2
---------- + + + + + + +
‫اشارة‬(x)ˊf

139. [3 – 5 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫المحلية‬ ‫الصغرى‬ ‫والنهاية‬ ‫العظمى‬ ‫النهاية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬317/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
b) f(x) = 1 – (x - 2)2
/‫الحل‬
f´(x) = -2(x - 2) = 0 ⟹ x – 2 = 0 ⟹ x = 2
:‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < 2}
‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬:{x: x > 2}
= 12
2)-(2-f(2) = 1
‫النقطة‬(2,1)‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
c) f(x) = x3
-9x2
+ 24x
/‫الحل‬
f´(x) = 3x2
- 18x + 24 = 0 ⟹ 3x2
- 18x + 24 = 0 3 ‫على‬ ‫نقسم‬
x2
- 6x + 8 = 0 ⟹ (x - 4) (x - 2) = 0 ⟹ x = 4 , x = 2
f(2) = 23
-9 . 22
+24 . 2 = 8 –36 +48 = 20
f(4) = 43
- 9 . 42
+ 24 . 4 = 64 – 144 + 96 = 16
:‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < 2} , {x: x > 4}
‫المفتوحة‬ ‫فيالفترة‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬(2 , 4)
‫النقطة‬(2,20)‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
‫النقطة‬(4,16)‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
1
f´(x) ‫اشارة‬
-------- + + +
++
2 4
+ + +
++

140. [3 – 6 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫المنحنيات‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬340/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
6 ]-[ 3‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫المنحنيات‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬:‫كانت‬ ‫اذا‬f‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬[a,b]‫وتملك‬
‫على‬ ‫وثانية‬ ‫اولى‬ ‫مشتقة‬(a,b):‫فانها‬
1-‫الفترة‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫تكون‬(a,b).‫موجبة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
2-‫الفترة‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫تكون‬(a,b).‫سالبة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
3-.‫االنقالب‬ ‫نقاط‬ ‫عند‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫تكون‬
‫خطوات‬:‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫ايجاد‬
1-‫المشتقة‬ ‫ايجاد‬‫و‬ ‫االولى‬.‫للدالة‬ ‫الثانية‬
2-‫نجعل‬‫تساوي‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬1‫قيم‬ ‫ونحسب‬x.
3-‫قيم‬ ‫ايجاد‬y‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫الدالة‬ ‫معادلة‬ ‫من‬x.
4-.‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اشارة‬ ‫لتحديد‬ ‫االعداد‬ ‫خط‬ ‫استخدام‬
‫مثال‬1/:‫الدالتين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫ادرس‬
a) f(x) = x2
/‫الحل‬
fˊ(x) = 2x
f˝(x) = 2 ⟹ f˝(x) > 0 ∀ x ∈ R
∴‫على‬ ‫مقعرة‬ ‫الدالة‬R
b) f(x) = x3
/‫الحل‬
fˊ(x) = 3x2
f˝(x) = 6x = 0 ⟹ x = 0 ⟹ f(0) = 0
‫التحدب‬ ‫منطقة‬x < 0}{x:
‫التقعر‬ ‫منطقة‬x > 0}{x:
( ‫النقطة‬0, 0.‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ )
‫مثال‬2/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫وجدت‬ ‫ان‬ ‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫مناطق‬ ‫جد‬
1) f(x) = x3
– 3x2
– 12x +1
/‫الحل‬
fˊ(x) = 3x2
– 6x - 12
f˝(x) = 6x - 6 = 0 ⟹ x = 1
f(1) = 1 – 3 – 12 +1= -13
‫التحدب‬ ‫منطقة‬x < 1}{x:
‫التقعر‬ ‫منطقة‬x > 1}{x:
( ‫النقطة‬1, -13.‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ )
2) f(x) = 4x3
– x4
/‫الحل‬
‫التقعر‬(x) > 0˝f
‫التحدب‬(x) < 0˝f
‫انقالب‬ ‫نقطة‬
(x) = 0˝f
‫اشارة‬f˝(x)0
---------- + + + + + + +
‫اشارة‬f˝(x)
1
---------- + + + + + + +

141. [3 – 6 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫المنحنيات‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬343/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
fˊ(x) = 12x2
– 4x3
f˝(x) = 24x – 12x2
= 0
24x – 12x2
= 0 ‫مشترك‬ ‫عامل‬ 12x
12x(2 – x) = 0
x = 0 , x = 2
f(0) = 0
f(2) = 4 . 23
– 24
= 32 – 16 = 16
‫التحدب‬ ‫منطقة‬x > 2}{x:,x < 0}{x:
‫التقعر‬ ‫منطقة‬(0 , 2)
: ‫االنقالب‬ ‫نقط‬(2,16),(0, 0)
3) f(x) = x +
1
x
, x ≠ 0
/‫الحل‬
fˊ(x) = 1 -
1
x2
f˝(x) = −
−2x
x4 =
2x
x4 =
2
x3 = 0
‫عند‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬x = 0‫قيم‬ ‫نختبر‬ ‫لذلك‬x.‫صفر‬ ‫من‬ ‫واالقل‬ ‫االكبر‬
‫التحدب‬ ‫منطقة‬x < 0}{x:
‫التقعر‬ ‫منطقة‬x > 0}{x:
‫الدالة‬ ‫في‬ ‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬.
4) f(x) = 4 – (x+2)4
/‫الحل‬
fˊ(x) = -4(x+2)3
f˝(x) = -12(x+2)2
= 0 ⟹ (x + 2)2
= 0
x + 2 = 0 ⟹ x = -2
‫التحدب‬ ‫منطقة‬x > -2}{x:,x < -2}{x:
.‫الدالة‬ ‫في‬ ‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫ال‬ ‫فانها‬ ‫مقعرة‬ ‫منطقة‬ ‫تحوي‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫وبما‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬ ‫بين‬ ‫تقع‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫االنقالب‬ ‫نقاط‬ / ‫مالحظة‬
.‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫تحوي‬
+ + + +
0 2
------
‫اشارة‬f˝(x)
------
‫اشارة‬f˝(x)
---------- + + + + + + +
0
‫اشارة‬f˝(x)
----------
-2
----------

142. [3 – 6 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫االنقالب‬ ‫ونقط‬ ‫المنحنيات‬ ‫وتحدب‬ ‫تقعر‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬341/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
5) f(x) = 3 – 2x – x2
/‫الحل‬
fˊ(x) = -2 – 2x
f˝(x) = -2 ⟹ f˝(x) < 0 ∀ x ∈ R
∴‫على‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬R
‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬.
6) f(x) = x4
+ 3x2
- 3
/‫الحل‬
fˊ(x) = 4x3
+ 6x
f˝(x) = 12x2
+ 6 ⟹ f˝(x) > 0 ∀ x ∈ R
∴‫الدالة‬‫مقعرة‬‫على‬R
.‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫والمتغير‬ ‫جمع‬ ‫عملية‬ ‫تحوي‬ ‫النها‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫دائما‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫قيمة‬ / ‫مالحظة‬x‫للقوة‬ ‫مرفوع‬2.

143. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬341/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
[ 3 - 7 ]: ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬‫فيما‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫نوع‬ ‫معرفة‬ ‫الممكن‬ ‫من‬
:‫التالية‬ ‫وبالطريقة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫وذلك‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫او‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
1-‫قيم‬ ‫نجد‬x‫عند‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫عند‬f´(x) = 0‫عندما‬ ‫ولتكن‬x = c.
2-‫للدالة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬f"(x):
f"(c) < 0 & f´(c) = 0 ‫عندما‬ ‫العظمى‬ ‫النهاية‬ f"(c) > 0 & f´(c) = 0 ‫عندما‬ ‫الصغرى‬ ‫النهاية‬
:‫مهمة‬ ‫مالحظة‬‫كانت‬ ‫اذا‬(c)"f‫نوع‬ ‫معرفة‬ ‫في‬ ‫الطريقة‬ ‫هذه‬ ‫تصح‬ ‫فال‬ ‫موجودة‬ ‫غير‬ ‫او‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬
.‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫باستخدام‬ ‫تعلمناها‬ ‫التي‬ ‫الطريقة‬ ‫الى‬ ‫الرجوع‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫ويتعين‬ ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬
‫مثال‬1/:‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫في‬ ‫المحلية‬ ‫النهايات‬ ‫جد‬ , ‫امكن‬ ‫ان‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬ ‫باستخدام‬
a) f(x) = 6x – 3x2
-1
/‫الحل‬
fˊ(x) = 6 – 6x
6 – 6x = 0 ⟹ x = 1
f˝(x) = -6 ⟹ f˝(1) = -6 < 0
‫ان‬ ‫بما‬(x) = 0ˊf‫عند‬x = 1‫و‬(x) < 0˝f‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬x = 1
f(1) = 6 – 3 -1 = 2
∴‫نقطة‬‫نهاية‬‫عظمى‬‫محلية‬( ‫عند‬1,2)
b) f(x) = x –
4
x2 , x ≠ 0
/‫الحل‬
f(x) = 1 – 4x−2
fˊ(x) = 1 + 8x−3
fˊ(x) = 0 ⟹ 1+
8
x3 = 0 ⟹
8
x3 = -1 ⟹ x3
= -8 ⟹ x = -2
f˝(x) = −24x−4
=
−24
x4 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
f˝(-2) =
−24
(−2)4 =
−3
2
< 0 x = -2 ‫نعوض‬
‫للدالة‬‫نهاية‬ ‫نقطة‬‫عظمى‬‫عند‬ ‫محلية‬x = -2
f(-2) = -2 –
4
4
= -3
∴‫نقطة‬‫عظم‬ ‫نهاية‬‫ى‬‫محلية‬(-2,-3)

144. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬344/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
c) f(x) = x3
– 3x2
– 9x
/‫الحل‬
fˊ(x) = 3x2
– 6x – 9 = 0 ⟹ x2
– 2x – 3 = 0 3 ‫على‬ ‫بالقسمة‬
(x - 3) (x + 1) = 0 ⟹ x = 3 , x = -1
f˝(x) = 6x - 6
f˝(3) = 6 . 3 - 6 = 12 > 0
‫ان‬ ‫بما‬(x) = 0ˊf‫عند‬x = 3‫و‬(x) > 0˝f‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬x = 3
f(3) = 33
– 3 . 32
– 9 . 3 = 27 – 27 – 27 = - 27
∴( ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬3,-27)
f˝(-1) = 6 . (-1) - 6 = -12 < 0
‫ان‬ ‫بما‬(x) = 0ˊf‫عند‬1-x =‫و‬(x) < 0˝f‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬ ‫اذا‬1-x =
f(-1) = (-1)3
– 3 (-1)2
– 9 (-1) = -1 – 3 + 9 = 5
∴( ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬-1, 5)
d) f(x) = 4 – (x+1)4
/‫الحل‬
fˊ(x) = -4(x+1)3
= 0 ⟹ (x+1)3
= 0 ⟹ x + 1 = 0 ⟹ x = -1
f˝(x) = -12(x+1)2
f˝(-1) = -12(-1 +1)2
= 0
‫ان‬ ‫بما‬(x) = 0˝f:‫االعداد‬ ‫وخط‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬ ‫االولة‬ ‫بالطريقة‬ ‫الحل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬ ‫اذا‬
:‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < -1}
‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬:{x: x > -1}
f(-1) = 4 - (-1 +1)4
= 4
‫النقطة‬(-1,4)‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
‫مثال‬2/‫لتكن‬, x ≠ 0
a
x
+2
R , f(x) = x∈a
1-‫قيمة‬ ‫جد‬a‫عند‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫للدالة‬ ‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬x = 1.
2-‫قيمة‬ ‫كانت‬ ‫مهما‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بين‬a.
/‫الحل‬1–‫قيمة‬ ‫حساب‬a:
f(x) = x2
+ a x-1
⟹ fˊ(x) = 2x – a x-2
⟹ f˝(x) = 2 + 2a x-3
= 2 +
2a
x3
‫عند‬x = 1‫أي‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬‫نعوض‬0=)1(˝f
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
-1

145. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬343/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f˝(x)= 2 +
2a
(1)
3 = 0 ⟹
2a
1
= -2 ⟹ 2a = -2 ⟹ a = -1
2–:‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫اختبار‬
fˊ(x) = 2x – a x-2
= 2x −
a
x2 = 0 ⟹ 2x =
a
x2
2x3
= a ⟹ x3
=
a
2
⟹ x = √
a
2
3
f˝(x) = 2 + 2a x-3
= 2 +
2a
x3
f˝(√
a
2
3
) = 2 +
2a
( √
a
2
3
)3
= 2 +
2a
a
2
= 2 + 4 = 6 > 0
∴‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬x = √
−𝟏
𝟐
𝟑
‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫الدالة‬ ‫تحوي‬ ‫ال‬‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫محلية‬a.
/‫مالحظة‬
:‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫دالة‬ ‫منحني‬ ‫في‬ ‫ثوابت‬ ‫اليجاد‬
1-‫الثوابت‬ ‫عدد‬ ‫بقدر‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫نكون‬: ‫من‬ ‫المعادالت‬ ‫وتتكون‬ ,
a.= ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫وعندها‬ )‫الدالة‬ ‫(تحقق‬ ‫للدالة‬ ‫تنتمي‬ ‫فانها‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫او‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫للدالة‬ ‫كان‬ ‫اذا‬1.
b.‫للدالة‬ ‫كان‬ ‫اذا‬= ‫عندها‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫وقيمة‬ )‫الدالة‬ ‫(تحقق‬ ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫فانها‬ )‫انقالب‬ ‫(نقطة‬1.
c..‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫يساوي‬ ‫له‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫دالة‬ ‫لمنحني‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬
d.‫قيمة‬ ‫هي‬ ‫النهاية‬ ‫بقيمة‬ ‫المقصود‬(x)ˊf‫وليس‬x‫قيمة‬ ‫واليجاد‬ ,x‫نجعل‬= 0(x)ˊf.
2-‫المعادالت‬ ‫نحل‬.‫الثوابت‬ ‫قيم‬ ‫اليجاد‬ ‫انيا‬
‫مثال‬3/‫الثابتين‬ ‫قيمتي‬ ‫عين‬b , a‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬+ bx2
+ ax3
y = x‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬‫مــــــا‬
x = -1‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫ونهاية‬ ,x = 2‫نقط‬ ‫جد‬ ‫ثم‬.‫االنقالب‬
/‫الحل‬
y´ = 3x2
+ 2ax + b
3x2
+ 2ax + b = 0 ‫صفر‬ = ‫المشتقة‬ ‫النهايات‬ ‫عند‬
3(-1)2
+ 2a(-1) + b = 0
3 - 2a + b = 0 ………… x = -1 ‫عظمى‬ ‫نهاية‬‫عند‬
3(2)2
+ 2a(2) + b = 0
12 + 4a + b = 0 ………… x = 2 ‫نهاية‬‫صغرى‬‫عند‬
‫معادلة‬ ‫من‬‫و‬:
3 - 2a + b = 0
12 + 4a + b = 0
‫بالطرح‬
-9 – 6a + 0 = 0
-9 – 6a = 0 ⟹ 6a = -9 ⟹ a = −
3
2

146. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬341/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫معادلة‬ ‫من‬:
3 - 2a + b = 0 ⟹ 3 + 2
3
2
+ b = 0 ⟹ 3 + 3 + b = 0 ⟹ b = -6
∴ y = x3
−
3
2
x2
- 6x
:‫االنقالب‬ ‫نقاط‬
y´ = 3x2
- 3x – 6 ⟹ y˝ = 6x - 3 = 0
6x - 3 = 0 ⟹ 6x = 3 ⟹ x =
1
2
y = (
1
2
)3
−
3
2
(
1
2
)2
– 6(
1
2
)
y =
1
8
−
3
8
– 3 =
1−3−24
8
=
−26
8
=
−13
4
‫التقعر‬ ‫منطقة‬x <
𝟏
𝟐
}{x:
‫التحدب‬ ‫منطقة‬x >
𝟏
𝟐
}{x:
( ‫النقطة‬
1
2
,
−13
4
.‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ )
‫مثال‬4/‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬+c2
+bx3
f(x) = ax‫في‬ ‫مقعر‬1}>{x : x‫في‬ ‫ومحدب‬1}<{x : x‫ويمس‬
‫المستقيم‬y + 9x = 28‫النقطة‬ ‫عند‬(3,1)‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫قيم‬ ‫فجد‬c , b , a.
/‫الحل‬
f´(x) = 3ax2
+ 2bx
‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫يمس‬ ‫المنحني‬(3,1):‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫عند‬ ‫المعلوم‬ ‫المستقيم‬ ‫ميل‬ ‫يساوي‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫اي‬
‫معامل‬ ‫سالب‬ = ‫المستقيم‬ ‫ميل‬x‫معامل‬ ‫تقسيم‬y
y + 9x = 28 ‫المعلوم‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬
m = -9 ‫المستقيم‬ ‫ميل‬
f´(3) = 3a . 32
+ 2b . 3 = -9
27a + 6b = -9 ……………
‫عند‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫فيوجد‬ ‫ومحدب‬ ‫مقعر‬ ‫المنحني‬ ‫ان‬ ‫بما‬x = 1‫االنقالب‬ ‫نقاط‬ ‫وفي‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫والتي‬
= ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬1:
f˝ (x) = 6ax + 2b = 0
6a . 1 + 2b = 0
6a + 2b = 0
6a + 2b = 0 ‫بـ‬ ‫نضرب‬3
18a + 6b = 0 …………………
‫معادلة‬ ‫من‬‫و‬:
27a + 6b = -9
18a + 6b = 0
‫اشارة‬(x)˝f
+ + + + + + +----------
𝟏
𝟐

147. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬340/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫بالطرح‬
9a + 0 = -9
9a = -9 ⟹ ∴ a = -1
‫معادلة‬ ‫من‬‫قيمة‬ ‫نحسب‬b:
18(-1) + 6b = 0 ⟹ 6b = 18 ⟹ b = 3
∴ f(x) = -x3
+ 3x2
+ c
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫المنحني‬(3,1):‫اي‬
f(3) = -33
+ 3 . 32
+ c = 1 ⟹ -27 + 27 + c = 1 ⟹ c = 1
∴ a = -1 , b = 3 , c = 1
‫مثال‬5/‫اذا‬‫للدالة‬ ‫كان‬+ c2
+ 3x3
f(x) = ax‫تساوي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬8‫عند‬ ‫انقالب‬ ‫ونقطة‬ ,x = 1‫فجد‬
‫قيمة‬a , c ∈ R.
:‫الحل‬
f(x) = ax3
+ 3x2
+ c ⟹ f´(x) = 3ax2
+ 6x ⟹ f˝(x) = 6ax + 6
‫عندما‬x = 1‫اذا‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫توجد‬(1) = 0˝f:
f˝(1) = 6a . 1 + 6 = 0 ⟹ 6a = -6 ⟹ ∴ a = -1
∴ f´(x) = -3x2
+ 6x
‫قيمتها‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬8‫النهايات‬ ‫وفي‬f´(x)=0‫قيم‬ ‫ونحسب‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬ ‫لذلك‬ ‫موجودة‬ ‫غير‬ ‫او‬
x:
f´(x) = -3x2
+ 6x = 0 ⟹ 3x(-x + 2) = 0 ⟹ x = 0 , x = 2
‫عند‬x = 2‫قيمتها‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬8‫هي‬ ‫العظمى‬ ‫النهاية‬ ‫نقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫اي‬(2 , 8)‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫النقطة‬ ‫وهذه‬
:‫لذلك‬ ‫الدالة‬
f(x) = - x3
+ 3x2
+ c ⟹ f(2) = -(23
) + 3 . (22
) + c = 8 ⟹ -8 + 12 + c = 8
∴ c = 4
‫مثال‬6/‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬c+2
+ 8x4
f(x) = ax‫نهاية‬ ‫تملك‬‫عظمى‬‫قيمتها‬16‫عند‬x = 2‫قيمة‬ ‫جد‬ ,, ca.
/‫الحل‬
f(x) = ax4
+ 8x2
+ c ⟹ f´(x) = 4ax3
+ 16x
‫النهاية‬ ‫عند‬= 0f´(2):
f´(2) = 4a . 23
+ 16 . 2 = 0 ⟹ 32a + 32 = 0 ⟹ a = -1
‫النقطة‬(2,16):‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬
f(2) = -(24
) + 8 . 22
+ c = 16 ⟹ -16 + 32 + c = 16 ⟹ 16 + c = 16
c = 0
‫التمارين‬ ‫حلول‬4-3
+ + + ++ ------
0 2
------
‫اشارة‬(x)ˊf

148. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬340/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
1.‫لتكن‬6x + b–2
f(x) = ax‫ان‬ ‫حيث‬R∈4,8} , b-{∈a‫قيمة‬ ‫جد‬ ,a:‫كانت‬ ‫اذا‬
‫أ‬)‫الدالة‬f‫الدالة‬ )‫ب‬ .‫محدبة‬f.‫مقعرة‬
/‫الحل‬
f(x) = ax2
– 6x + b ⟹ f´(x) = 2ax – 6 ⟹ f˝(x) = 2a
‫أ‬): ‫ان‬ ‫اي‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
f˝(x) < 0 ⟹ 2a < 0 ⟹ ∴ a = -4
‫ب‬): ‫ان‬ ‫اي‬ ‫مقعرة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
f˝(x) > 0 ⟹ 2a > 0 ⟹ ∴ a = 8
2.‫كانت‬ ‫اذا‬(2,6)‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬4
b)-(x-f(x) = a‫قيمة‬ ‫فجد‬R∈a , b‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫وبين‬
.‫الحرجة‬
/‫الحل‬
f(x) = a - (x - b)4
⟹ f´(x) = -4 (x - b)3
:‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫المشتقة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫عند‬
f´(2) = -4 (2 - b)3
= 0 ⟹ (2 - b)3
= 0 ⟹ 2 - b = 0 ⟹ ∴ b = 2
∴ f(x) = a - (x - 2)4
‫النقطة‬(2,6): ‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬
f(2) = a - ( 2- 2)4
= 6 ⟹ a – 0 = 6 ⟹ ∴ a = 6
‫عند‬ ‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫نوع‬ ‫تحديد‬x = 2:
f´(x) = -4 (x - 2)3
( ‫النقطة‬2,6.‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ )
3.‫كان‬ ‫اذا‬+ cx2
+ bx3
axf(x) =‫و‬12x–g(x) = 1‫من‬ ‫كل‬ ‫وكان‬f‫و‬g‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫متماسان‬
‫المنحني‬f‫وهي‬(1,-11)‫قيمة‬ ‫فجد‬a , b , c ∈ R.
/‫الحل‬:‫الثوابت‬ ‫عدد‬ ‫بقدر‬ ‫معادالت‬ ‫ثالث‬ ‫نكون‬
‫النقطة‬(1,-11):‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬
f(1) = a . 13
+ b . 12
+ c . 1 = a + b + c
a + b + c = -11 ……………..
f‫و‬g‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫متماسان‬(1,-11):‫للدالتين‬ ‫نفسه‬ ‫هو‬ ‫النقطة‬ ‫هذه‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫ان‬ ‫اين‬
g´(x) = – 12
g´(1) = – 12 g ‫للمنحني‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬
f´(x) = 3ax2
+ 2bx + c
f´(1) = 3a . 12
+ 2b . 1 + c = g´(1)
3a . 12
+ 2b . 1 + c = – 12
3a + 2b + c = – 12 ……………. 
‫النقطة‬ ‫عند‬(1,-11)‫للدالة‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬f:‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫االنقالب‬ ‫نقاط‬ ‫وعند‬
f˝(x) = 6ax + 2b
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
1

149. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬347/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f˝(1) = 6a . 1 + 2b = 0
6a + 2b = 0 …………………….
‫المعادلة‬ ‫من‬‫و‬:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫بالطرح‬
a + b + c = -11
3a + 2b + c = – 12
‫بالطرح‬
-2a – b + 0 = 1 . -2
4a + 2b = -2 …………………..
‫معادلة‬ ‫من‬‫و‬:‫بالطرح‬
6a + 2b = 0
4a + 2b = -2
2a + 0 =2 ‫بالطرح‬
2a = 2 ⟹ ∴ a = 1
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫معادلة‬ ‫في‬‫على‬ ‫لنحصل‬b:
6 . 1+ 2b = 0 ⟹ 2b = -6
∴ b = -3
‫قيمتي‬ ‫نعوض‬a‫و‬b‫معادلة‬ ‫في‬‫على‬ ‫لنحصل‬c:
1 - 3 + c = -11 ⟹ -2 + c = -11
c = -11 + 2 ⟹ ∴ c = -9
4.‫اذاكانت‬6‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫تمثل‬+ c3
x–2
f(x) = 3x‫قيمة‬ ‫فجد‬R∈c‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
.‫انقالبه‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫المنحني‬ ‫مماس‬
/‫الحل‬
f(x) = 3x2
– x3
+ c ⟹ f´(x) = 6x – 3x2
:‫صفر‬ ‫المشتقة‬ ‫النهايات‬ ‫عند‬
f´(x) = 6x – 3x2
= 0 ⟹ 3x(2 – x) = 0 ⟹ x = 0 , x = 2
‫عند‬x = 0‫قيمتها‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬6‫هي‬ ‫الصغرى‬ ‫النهاية‬ ‫نقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫ان‬ ‫اي‬(0,6)‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫وهي‬
:‫الدالة‬
f(1) = 3 . 02
– 03
+ c = 6
∴ c = 6
∴ f(x) = 3x2
– x3
+ 6
:‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬ ‫ايجاد‬
f˝(x) = 6 – 6x = 0 ‫صفر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫االنقالب‬ ‫نقاط‬ ‫في‬
6 – 6x = 0 ⟹ 6 = 6x ⟹ ∴ x = 1
:‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫من‬ ‫نحسبه‬ ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬
f´(1) = 6 . 1 – 3 . 12
= 3 = m
+ + + ++ ------
0 2
------
‫اشارة‬(x)ˊf

150. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬330/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
:‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫الصادي‬ ‫االحداثي‬ ‫قيمة‬ ‫نحدد‬
f(1) = 3 . 12
– 13
+ 6 = 8
= ‫المماس‬ ‫ميل‬3‫بالنقطة‬ ‫ويمر‬(1,8):
y - y1 = m ( x – x1) ⟹ y - 8 = 3 ( x – 1) ⟹ y - 8 = 3x – 3 ⟹ y – 3x = 5
‫االنقالب‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫المماس‬ ‫معادلة‬
5.‫كان‬ ‫اذا‬+ cx2
+ bx3
f(x) = ax‫وكانت‬f‫مقعرة‬x > 1∀‫ومحدبة‬x < 1∀‫وللدالة‬f‫نهاية‬ ‫نقطة‬
‫هي‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬(-1,5)‫الثوابت‬ ‫قيمة‬ ‫فجد‬a , b , c ∈ R.
/‫الحل‬‫النقطة‬(-1,5):‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬
f(-1) = a . (-1)3
+ b . (-1)2
+ c(-1) = 5
-a + b – c = 5 ………….. 
‫للدالة‬f‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬x = -1:
f´(x) = 3ax2
+ 2bx + c
f´(-1) = 3a(-1)2
+ 2b(-1) + c = 0 ‫صفر‬ = ‫المشتقة‬ ‫النهايات‬ ‫عند‬
3a - 2b + c = 0 …………….
f‫مقعرة‬x > 1∀‫ومحدبة‬x < 1∀‫عند‬ ‫اي‬x = 1:‫صفر‬ = ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫وفيها‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
f´(x) = 3ax2
+ 2bx + c ⟹ f˝(x) = 6ax + 2b
f˝(1) = 6a . 1 + 2b = 0
6a + 2b = 0 …………….. 
‫معادلة‬ ‫من‬1‫و‬2:‫بالجمع‬
-a + b – c = 5
3a - 2b + c = 0
2a - b + 0 = 5
2a - b = 5 ‫بـ‬ ‫نضرب‬2
4a - 2b = 11 ………………..
‫معادلة‬ ‫من‬3‫و‬4:‫بالجمع‬
6a + 2b = 0
4a - 2b = 11
10a + 0 = 10
10a = 10 ⟹ ∴ a = 1
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫في‬4‫قيمة‬ ‫لنجد‬b:
4 . 1 - 2b = 11
-2b = 10 – 4 = 6 ⟹ ∴ b = -3
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫و‬b‫رقم‬ ‫معادلة‬ ‫في‬1‫قيمة‬ ‫لنجد‬c:
-1 - 3 – c = 5 ⟹ -4 – c = 5 ⟹ c = -4 – 5 ⟹ ∴ c = -9
6.‫لتكن‬, x ≠ 0∈ R/{0}, a
a
x
–2
f(x) = x‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬f.‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫تمتلك‬ ‫ال‬
/‫الحل‬

151. [3 – 7 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫للنهايات‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫اختبار‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬333/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f(x) = x2
– ax-1
f´(x) = 2x + ax-2
= 2x +
a
x2 ‫االولى‬ ‫المشتقة‬
f˝(x) = 2 - 2ax-3
= 2 -
2a
x3 ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
‫عندما‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫نحدد‬f´(x) = 0:
f´(x) = 2x +
a
x2 = 0 ⟹
a
x2 = -2x ⟹ x3
= −
a
2
⟹ ∴ x = √−
𝐚
𝟐
𝟑
:‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫في‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬
f˝(√−
𝐚
𝟐
𝟑
) = 2 -
2a
( √
− 𝐚
𝟐
𝟑
)
3 = 2 -
2a
−
𝐚
𝟐
= 2 + 4 = 6 > 0
‫موجبة‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬⟸.‫فقط‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬
∴‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهايات‬ ‫اي‬ ‫تحوي‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬a.
7.‫المستقيم‬y = 7–3x‫المنحني‬ ‫يمس‬+ bx + c2
y = ax‫عند‬1)-(2,‫عند‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬ ‫له‬ ‫وكانت‬
1
2
x =
‫قيمة‬ ‫جد‬a , b , c ∈ R.‫النهاية‬ ‫نوع‬ ‫وما‬
/‫الحل‬
‫النقطة‬(2,-1):‫الدالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬
y = a . 22
+ b . 2 + c = -1 ⟹ 4a + 2b + c = -1 …………….. 
‫عند‬
1
2
x == ‫المشتقة‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫محلية‬ ‫نهاية‬1:
y´ = 2ax + b ⟹ 2a .
1
2
+ b = 0 ⟹ a + b = 0 …………………. 
‫عند‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬x = 2‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫يساوي‬x = 2:
3x – y = 7 ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬
m =
−3
−1
= 3 y ‫معامل‬ ‫على‬x ‫معامل‬ ‫سالب‬ = ‫الميل‬
y´ = 2ax + b
2a . 2 + b = 3 ⟹ 4a + b = 3 …………………. 
‫معادلة‬ ‫من‬‫و‬:‫بالطرح‬
a + b = 0
4a + b = 3
-3a + 0 = -3 ⟹ a = 1
4 . 1 + b = 3 ⟹ b = -1 : b ‫على‬ ‫لنحصل‬ ‫معادلة‬ ‫في‬ a ‫قيمة‬ ‫نعوض‬
‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫و‬b‫معادلة‬ ‫في‬‫على‬ ‫لنحصل‬c:
4 . 1 + 2 . (-1) + c = -1 ⟹ 4 – 2 + c = -1 ⟹ c = -3
y´ = 2x – 1=0 ⟹ 2x = 1
x =
1
2
‫صغرى‬ ‫نهاية‬
1
2
---------- + + + + + + +
‫اشارة‬(x)ˊf

152. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬331/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
8 ]–[ 3:‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬‫لرسم‬:‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫التفاضل‬ ‫باستخدام‬ ‫لدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬
1-:‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫نحدد‬
a.‫قيم‬ ‫كل‬ ‫هو‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫فان‬ ‫حدود‬ ‫كثيرة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬R.
b.( ‫مستقل‬ ‫متغير‬ ‫يحوي‬ ‫المقام‬ ‫وكان‬ )‫(كسرية‬ ‫نسبية‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬x‫هو‬ ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬ ‫فان‬ )R‫قيم‬ ‫عدى‬
‫ت‬ ‫التي‬ ‫المستقل‬ ‫المتغير‬.‫صفر‬ ‫المقام‬ ‫جعل‬
2-‫نبي‬‫ن‬‫التنا‬ ‫نوع‬‫ظ‬:‫ر‬
a.‫متماثلين‬ ‫جزأين‬ ‫الى‬ ‫المنحني‬ ‫يقسم‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ان‬ ‫اي‬ : ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬:
f : A⟶B‫متناظر‬‫ا‬‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬⟺∀ 𝐱 ∈ 𝐀 , ∃ (−𝐱) ∈ 𝐀 ⟹ 𝐟( 𝐱) = 𝐟(−𝐱)
‫مثل‬ ‫زوجية‬ ‫دوال‬ ‫تكون‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫المتناظرة‬ ‫الدوال‬}0
, x2
, x4
{sec , cos ,…, x‫الدوال‬ ‫وفي‬
‫اسس‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬x.‫زوجية‬ ‫اعداد‬
b.: ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬‫المنحني‬ ‫على‬ ‫نقطتين‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫تنصف‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرتين‬ ‫النقطتين‬ ‫هاتين‬ ‫فان‬:
f : A⟶B‫متناظر‬‫ا‬‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬⟺∀ 𝐱 ∈ 𝐀 , ∃(−𝐱) ∈ 𝐀 ⟹ 𝐟(−𝐱) = −𝐟(𝐱)
‫مثل‬ ‫فردية‬ ‫دوال‬ ‫تكون‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫المتناظرة‬ ‫الدوال‬, x}3
{tan , sin ,…, x‫اذا‬ ‫الحدود‬ ‫كثيرة‬ ‫الدوال‬ ‫وفي‬
‫اسس‬ ‫كانت‬x.‫فردية‬ ‫اعداد‬
‫االشارات‬ ‫لقاعدة‬ ‫مماثلة‬ ‫قاعدة‬ ‫هناك‬ /‫مالحظة‬‫قسمة‬ ‫خارج‬ ‫او‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫على‬ ‫التناظر‬ ‫معرفة‬ ‫بواسطتها‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬
:‫وذلك‬ ‫دالتين‬
)+( ‫باالشارة‬ ‫الزوجية‬ ‫الدالة‬ ‫نمثل‬( ‫باالشارة‬ ‫الفرديـــة‬ ‫الدالــــة‬ ‫ونمثل‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ‫وتكون‬-)
.‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫متناظرة‬ ‫وتكون‬
3-:)‫امكن‬ ‫المحورين(ان‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬‫نجعل‬f(x)‫قيم‬ ‫ونحسب‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬x‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫لنقاط‬
‫نجعل‬ ‫وكذلك‬x = 0‫لنحد‬.‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬ ‫د‬
4-:)‫فقط‬ ‫النسبية‬ ‫المحاذية(للدوال‬ ‫المستقيمات‬
a.:‫العمودي‬ ‫المحاذي‬ ‫المستقيم‬‫المستقيم‬x = a‫لمنحني‬ ‫عموديا‬ ‫محاذيا‬ ‫يكون‬( ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫الدالة‬x - a‫احد‬ )
‫قيم‬ ‫نجد‬ ‫معادلته‬ ‫واليجاد‬ , ‫المقام‬ ‫عوامل‬‫ة‬x.‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫تجعل‬ ‫التي‬
b.:‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ ‫المستقيم‬‫المستقيم‬y = b( ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫الدالــــة‬ ‫لمنحني‬ ‫افقيا‬ ‫محاذيا‬ ‫يكون‬y - b‫عوامل‬ ‫احد‬ )
‫مق‬‫ــ‬‫الدال‬ ‫ام‬‫ــ‬‫العكس‬ ‫ة‬‫ـــ‬‫ية‬(x‫بداللة‬y‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫واليجاد‬ , ):
‫نجد‬‫العكسية‬ ‫الدالة‬‫قيمة‬ ‫ونجد‬y‫ت‬ ‫التي‬.‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫جعل‬
‫مالحظة‬/: ‫العكسية‬ ‫الدالة‬ ‫الى‬ ‫اللجوء‬ ‫دون‬ ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ ‫معادلة‬ ‫اليجاد‬-
‫هي‬ ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫فان‬ ‫المقام‬ ‫درجة‬ ‫من‬ ‫اقل‬ ‫البسط‬ ‫درجة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(y = 0)‫محور‬ ‫وهو‬
.‫نفسه‬ ‫السينات‬
‫افقي‬ ‫محاذي‬ ‫مستقيم‬ ‫يوجد‬ ‫فال‬ ‫المقام‬ ‫درجة‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫البسط‬ ‫درجة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬.
‫درجة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬:‫هي‬ ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬ ‫معادلة‬ ‫فان‬ ‫المقام‬ ‫درجة‬ ‫تساوي‬ ‫البسط‬
y =
‫البسط‬ ‫في‬ 𝐱 ‫لـ‬ ‫درجة‬ ‫اعلى‬ ‫معامل‬
‫المقام‬ ‫في‬ 𝐱 ‫لـ‬ ‫درجة‬ ‫اعلى‬ ‫معامل‬
5-: ‫والثانية‬ ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬‫والتقعر‬ ‫والتحدب‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫نحدد‬ ‫المشتقات‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬ ‫من‬
.‫االنقالب‬ ‫ونقاط‬ ‫والنهايات‬
6-:)‫الحاجة‬ ‫االضافية(عند‬ ‫النقاط‬‫لـ‬ ‫قيم‬ ‫عدة‬ ‫نختار‬ ‫ان‬ ‫يمكننا‬ ‫وجد‬ ‫ان‬ ‫ادالة‬ ‫مجال‬ ‫معرفة‬ ‫خالل‬ ‫من‬x‫قيمة‬ ‫ونحسب‬
y.‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫نرسم‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬
‫مثال‬1/:‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫منحني‬ ‫ارسم‬ , ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫بمعلوماتك‬ ‫باالستعانة‬
1) f(x) = x5
/‫الحل‬

153. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬331/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
1-= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R
2-‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬:‫الن‬ ‫االصل‬∀ 𝐱 ∈ 𝐀 , ∃(−𝐱) ∈ 𝐀 ⟹ 𝐟(−𝐱) = −𝐟(𝐱)
3-.‫محاذية‬ ‫مستقيمات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
5-:‫المشتقات‬
f(x) = x5
f´(x) = 5x4
= 0 ⟹ x = 0 ‫حرج‬ ‫عدد‬
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < 0},{x: x > 0}
( ‫النقطة‬0, 0‫حرجة‬ ‫نقطة‬ )‫نهاية‬ ‫وليست‬
f
˝
(x) = 20x3
= 0 ⟹ x = 0 ‫مرشحة‬
‫التحدب‬ ‫منطقة‬< 0}{x:x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬> 0}{x:x
( ‫النقطة‬0,0.‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ )
2) f(x) = x3
– 3x2
+ 4
/‫الحل‬
1-= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R
2-:‫التناظر‬
:‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬f(x) ≠ f(-x)
‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬:‫الن‬ ‫االصل‬f(-x) ≠ -f(x)
3-.‫محاذية‬ ‫مستقيمات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a) x = 0 ⟹ y = 4 ⟹ (0 ,4) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
b) y = 0
‫تنتمي‬ ‫نقاط‬ ‫وايجاد‬ ‫الخطوة‬ ‫هذه‬ ‫اهمال‬ ‫يمكن‬ ‫لذلك‬ ‫العادية‬ ‫بالطرق‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬:‫للمنحني‬
5-:‫المشتقات‬
f´(x) = 3x2
- 6x = 0 ⟹ 3x2
- 6x = 0 ⟹ 3x(x – 2) = 0
x = 0 , x = 2
-22-110x
-3232-110y
(0 ,0)a) x = 0 ⟹ y = 0
b) y = 0 ⟹ x = 0
‫اشارة‬(x)˝f0
---------- + + + + + + +
(0,0)
(-1,-1)
(1,1)
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + + + + + + + +
0

154. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬334/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < 0},{x: x > 2}
‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬(0,2)
( ‫النقطة‬0, 4‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ )
( ‫النقطة‬2, 0‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ )
f
˝
(x) = 6x – 6 = 0 ⟹ x = 1 ‫مرشحة‬
‫التحدب‬ ‫منطقة‬< 1}{x:x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬> 1}{x:x
( ‫النقطة‬1,2.‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ )
3) f(x) =
3x−1
x+1
/‫الحل‬
1-‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬:- {-1}R
2-:‫التناظر‬
:‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬‫العدد‬1‫و‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬-1.‫ينتمي‬ ‫ال‬
3-‫ال‬‫مستقيمات‬‫ال‬‫محاذية‬:
: ‫معادلته‬ ‫العمودي‬x+1 = 0 ⟹ x = -1
: ‫معادلته‬ ‫االفقي‬y =
3
1
⟹ y = 3
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a) x = 0 ⟹ y = -1 ⟹ (0 ,-1)‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
b) y = 0 ⟹
3x−1
x+1
= 0 ⟹ 3x − 1 = 0 ⟹ 3x = 1 ⟹ ∴ x =
1
3
‫نقط‬‫ة‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬(
𝟏
𝟑
,0)
5-:‫المشتقات‬
f´(x) =
3(x+1)− 1(3x−1)
(x+1)2 =
3x+3− 3x+1
(x+1)
2 =
4
(x+1)
2 ≠ 0
‫وهو‬ ‫صفر‬ ‫المقام‬ ‫يجعل‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫ويمين‬ ‫يسار‬ ‫الى‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫ندرس‬ ‫لذلك‬ ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬-1:
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < -1},{x: x > -1}
32-110x
40024y
‫اشارة‬(x)˝f1
---------- + + + + + + +
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + + + + + + + +
-1
(0,4)
(-1,0)
(12,)
0 ‫اشارة‬(x)ˊf
--------
--------
+ + + +
+ + + +
1
+ + + +
+ + + +

155. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬333/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f′(x) = 4(x+1)-2
⟹ f˝(x) = -8(x+1)-3
=
−8
(x+1)3 ≠ 0
‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫العدد‬ ‫ويسار‬ ‫يمين‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬ ‫ندرس‬-1
‫التحدب‬ ‫منطقة‬> -1}{x:x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬< -1}{x:x
4) f(x) =
x2
x2+1
/‫الحل‬
1-‫مجال‬ ‫اوسع‬R‫يساوي‬ ‫ال‬ ‫(المقام‬1‫قيم‬ ‫لكل‬x)
2-‫الن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬f(x) = f(-x)
3-:‫المحاذية‬ ‫المستقيمات‬
a)‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬ ‫المقام‬ ‫الن‬ ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬x ∈ R
b): ‫معادلته‬ ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬y = 1
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a) x = 0 ⟹ y = 1 (0 , 0) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
b) y = 0 ⟹ x = 1
5-:‫المشتقات‬
f´(x) =
2x(x2+1)− x2(2x)
(x2+1)2 =
2x3+2x− 2x3
(x2+1)
2 =
2x
(x2+1)
2 = 0
‫عند‬ ‫حرج‬ ‫عدد‬x = 0
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x > 0}
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬{x: x < 0}
‫النقطة‬(0,0)‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬
f′(x) =
2x
(x2+1)2
f˝(x) =
2(x2+1)
2
− 2x .2(x2+1) .2x
(x2+1)4 =
2(x2+1)
2
− 8x2(x2+1)
(x2+1)4
‫اشارة‬(x)˝f
+ + + + + + + ----------
-1
(0,-1)
(
1
3
,0)
y = 3
x = -1
0
---------- + + + + + + +
‫اشارة‬(x)ˊf

156. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬331/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f˝(x) =
(x2+1)(2(x2+1)− 8x2)
(x2+1)4 =
(2(x2+1)− 8x2)
(x2+1)3
f˝(x) =
2x2+2− 8x2
(x2+1)3 =
2− 6x2
(x2+1)3 = 0
2 - 6x2
= 0 ⟹ 6x2
= 2 ⟹ x2
=
1
3
⟹ ∴ x = ∓√1
3
‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫مرشحة‬
f(√
𝟏
𝟑
) =
(√
𝟏
𝟑
)
2
(√
𝟏
𝟑
)
2
+1
=
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
+1
=
𝟏
𝟑
𝟒
𝟑
=
𝟏
𝟒
‫التحدب‬ ‫منطقة‬}< −√
𝟏
𝟑
{x: x,}>√
𝟏
𝟑
{x: x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬(−√
𝟏
𝟑
, √
𝟏
𝟑
)
‫االنقالب‬ ‫نقاط‬(−√
𝟏
𝟑
,
𝟏
𝟒
) , (√
𝟏
𝟑
,
𝟏
𝟒
)
‫التمارين‬ ‫حلول‬5–3
:‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫معلوماتك‬ ‫باستخدام‬ ‫ارسم‬
1) f(x) = 10 – 3x – x2
/‫الحل‬
1-= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R
2-:‫التناظر‬
:‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬f(x) ≠ f(-x)
:‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬f(-x) ≠ -f(x)
3-.)‫نسبية‬ ‫دالة‬ ‫محاذية(ليست‬ ‫مستقيمات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a)x = 0 ⟹ y = 11 ⟹ (0 ,00) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
b)y = 0 ⟹ f(x) = 10 – 3x – x2
= 0 ⟹ (5 + x) (2 - x) = 0
x = 2 , x = -5 (2 ,0) , (-5 ,0) ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬
5-:‫المشتقات‬
f´(x) = -3 - 2x f´(x) = 0
-3 - 2x = 0
2x = -3 ⟹ x =
−𝟑
𝟐
------+ + + +
√
𝟏
𝟑
------
‫اشارة‬(x)˝f−√
𝟏
𝟑
y = 1
√
𝟏
𝟑−√
𝟏
𝟑
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
−𝟑
𝟐

157. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬330/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f(
−𝟑
𝟐
) = 10 – 3
−𝟑
𝟐
– (
−𝟑
𝟐
)2
= 10 +
𝟗
𝟐
–
𝟗
𝟒
=
𝟒𝟗
𝟒
:‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{ x : x <
−𝟑
𝟐
}
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬{ x : x >
−𝟑
𝟐
} :
( ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬
−𝟑
𝟐
,
𝟒𝟗
𝟒
)
f˝(x) = -2 < 0 ‫مجالها‬ ‫في‬ ‫محدبة‬ ‫الدالة‬
2) f(x) = x2
+ 4x + 3
/‫الحل‬
1-= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R
2-:‫التناظر‬
‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬:‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬f(x) ≠ f(-x)
:‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬f(-x) ≠ -f(x)
3-.)‫نسبية‬ ‫دالة‬ ‫محاذية(ليست‬ ‫مستقيمات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a)x = 0 ⟹ y = 3 ⟹ (0 ,3) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
b)y = 0
f(x) = x2
+ 4x + 3 = 0 ⟹ (x + 1) (x + 3) = 0 ⟹ x = -1 , x = -3
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬(-1 ,0) , (-3 ,0)
5-:‫المشتقات‬
f´(x) = 2x + 4 = 0 ⟹ 2x + 4 = 0 ⟹ x = -2
f(-2) = (-2) 2
+ 4(-2) + 3
f(-2) = 4 - 8 + 3 = -1
:‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{ x : x > -2 }
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬{ x : x < -2 } :
‫نهاية‬ ‫نقطة‬‫صغرى‬( ‫محلية‬-2,-1)
f˝(x) = 2 > 0 ‫مجالها‬ ‫في‬ ‫مقعرة‬ ‫الدالة‬
20−𝟑
𝟐
-5x
010𝟒𝟗
𝟒
0y
(
−𝟑
𝟐
,
𝟒𝟗
𝟒
)
(0,10)
(2,0)
(-5,0)
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + +----------
2-

158. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬330/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
3) f(x)= (1 – x)3
+1
/‫الحل‬
1-= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R
2-:‫التناظر‬
:‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬f(x) ≠ f(-x)
:‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬f(-x) ≠ -f(x)
3-‫مستقيمات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬.)‫نسبية‬ ‫دالة‬ ‫محاذية(ليست‬
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a)x = 0 ⟹ y = 2 (0 ,2) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
b)y = 0
f(x) = (1 – x)3
+ 1 = 0 ⟹ (1 – x)3
= -1 ⟹ 1 - x = -1 ⟹ x = 2
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬(2,0)
5-:‫المشتقات‬
f´(x) = 3(1 – x)2
(-1) = -3(1 – x)2
= 0 ⟹ -3(1 – x)2
= 0 ⟹ (1 – x)2
= 0
1 - x = 0 ⟹ x = 1 ⟹ f(1) = (1 – 1)3
+ 1 = 1
‫متناقصة‬ ‫الدالة‬{ x : x < 1 } , { x : x > 1 }
f˝(x) = 6(1 – x) = 0 ⟹ 6(1 – x) = 0
(1 – x) = 0 ⟹ x = 1
‫التحدب‬ ‫منطقة‬> 1}{x:x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬< 1}{x:x
‫النقطة‬(1 , 1)‫االنقالب‬ ‫نقطة‬
10-1-2-3x
030-10y
3120x
-7102y
(-1,0)
(0,3)
(-2,-1)
(-3,0)
‫اشارة‬(x)ˊf
--------------------
1
‫اشارة‬(x)˝f
+ + + + + + + ----------
1
(0,2)
(2,0)

159. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬337/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
4) f(x) = 6x – x3
/‫الحل‬
1-= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R
2-:‫التناظر‬
:‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬(x) ≠ f(-x)
:‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬f(-x) = -f(x)
3-‫مستقيمات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬.)‫نسبية‬ ‫دالة‬ ‫محاذية(ليست‬
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a)x = 0 ⟹ y = 0 ⟹ (0 ,0) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
b)y = 0
f(x) = 6x – x3
= 0 ⟹ x (6 – x2
) = 0 ⟹ 6 – x2
= 0
x = 0 , x = ±√6 (0,0), (±√ 𝟔 ,0) ‫نقط‬‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬
5-:‫المشتقات‬
f´(x) = 6 – 3x2
= 0
6 – 3x2
= 0 ⟹ 3x2
= 6 ⟹ x2
= 2 ⟹ x = ±√2
f(√2) = 6 (√2 )– (√2)3
= 4√2
f(−√2) = 6 . (−√2 ) – (−√2)3
= -4√2
‫متناقصة‬ ‫الدالة‬{ x: x < −√2 } , { x: x > √2 }
‫متزايدة‬ ‫الدالة‬(−√2, √2)
‫عند‬ ‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬(√2, 4√2)
‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬(-√2, -4√2)
f˝(x) = -6x = 0 ⟹ 6x = 0 ⟹ x = 0 ⟹ f(0) = 6 (0 )– (0)3
= 0
‫التحدب‬ ‫منطقة‬> 0}{x:x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬< 0}{x:x
‫النقطة‬(0 , 0)‫االنقالب‬ ‫نقطة‬
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + ------
−√2 √2
------
‫اشارة‬(x)˝f
+ + + + + + + ----------
0
±√2±√60x
±4√202y
(0,0)
(√2, 4√2)
(−√2,−4√2)
(−√6,0)
(√6,0)

160. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
5) f(x) =
1
x
/‫الحل‬
1-: ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬- {0}R
2-‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬‫الن‬f(-x) = -f(x)
3-:‫المحاذية‬ ‫المستقيمات‬
: ‫معادلته‬ ‫العمودي‬x = 0
: ‫معادلته‬ ‫االفقي‬y = 0
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a) x ≠ 0 ‫الدالة‬ ‫لمجال‬ ‫ينتمي‬ ‫ال‬ ‫الصفر‬ ‫الن‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬
b) y ≠ 0 y = 0 ‫تجعل‬ x ‫لـ‬ ‫قيمة‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬
‫للمستقيم‬ ‫محاذية‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫(بما‬ ‫أو‬x = 0‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫فهي‬,‫للمستقيم‬ ‫محاذية‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬y = 0
)‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫ال‬ ‫فهي‬
5-:‫المشتقات‬
f(x) =
1
x
= x-1
⟹ f´(x) = -x-2
=
−1
x2 ⟹ f´(x) ≠ 0
‫الدالة‬‫متناقصة‬‫الفترة‬ ‫في‬{x: x < 0},{x: x > 0}
f˝(x) = 2x-3
=
2
x3 f˝(x) ≠ 0
‫التحدب‬ ‫منطقة‬< 0}{x:x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬> 0}{x:x
6) f(x) =
x−1
x+1
/‫الحل‬
1-: ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬- {-1}R
2-:‫التناظر‬
:‫الن‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬-1 ∉ f , 1 ∈ f
21-1-2x
0.51-1-0.5y
‫اشارة‬(x)ˊf
---------- ----------
0
‫اشارة‬(x)˝f
---------- + + + + + + +
0

161. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬313/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
3-:‫المحاذية‬ ‫المستقيمات‬
: ‫معادلته‬ ‫العمودي‬x = -1
: ‫معادلته‬ ‫االفقي‬y = 1
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
c) x = 0 ⟹ y = -1 (0 ,-1) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
d) y = 0
x−1
x+1
= 0 ⟹ x − 1 = 0 ⟹ x = 1 (1,0) ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
5-:‫المشتقات‬
f´(x) =
1(x+1)− 1(x−1)
(x+1)2 =
x+1− x+1
(x+1)
2 =
2
(x+1)
2 ≠ 0
‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < -1},{x: x > -1}
f′(x) = 2(x+1)-2
⟹ f˝(x) = -4(x+1)-3
=
−4
(x+1)3 ≠ 0
‫توجد‬ ‫ال‬‫انقالب‬ ‫نقاط‬
‫التحدب‬ ‫منطقة‬> -1}{x:x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬< -1}{x:x
-3-210x
230-1y
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + + + + + + + +
-1
‫اشارة‬(x)˝f
+ + + + + + + ----------
-1
(0,-1)
(1,0)
y = 1
x = -1

162. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
7) f(x) = (x + 2)(x - 1)2
/‫الحل‬
1-= ‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R
2-:‫التناظر‬
:‫ألن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬f(x) ≠ f(-x)
:‫الن‬ ‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫تناظر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬f(-x) ≠ -f(x)
3-.‫محاذية‬ ‫مستقيمات‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a) x = 0 ⟹ y = 2 (0 ,2) ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬‫الصادات‬
b) y = 0
f(x) = (x + 2)(x - 1)2
= 0 ⟹ (x + 2) = 0 ⟹ x = -2
(x - 1)2
= 0 ⟹ x - 1 = 0 ⟹ x = 1 (-2 ,0) , (1 ,0) ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬
5-:‫المشتقات‬
f(x) = (x + 2) (x - 1)2
f´(x) = (x + 2) [2(x - 1) . 1] + 1 . (x - 1)2
= 2(x + 2) (x - 1) + (x - 1)2
f´(x) = (x - 1) [ 2(x + 2) + (x - 1)] = (x - 1) [ 2x + 4 + x - 1]
f´(x) = (x - 1) (3x + 3) = 3(x - 1) (x + 1) = 0
(x - 1) = 0 ⟹ x = 1 ⟹ f(1) = (1 + 2)(1 - 1)2
= 0
(x + 1) = 0 ⟹ x = -1 ⟹ f(-1) = (-1 + 2)(-1 - 1)2
= 4
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < -1},{x: x > 1}
‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬(-1,1)
( ‫النقطة‬-1, 4‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ )
( ‫النقطة‬1, 0‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ )
f´(x) = 3(x - 1) (x + 1)
f˝(x) = 3(x - 1) . 1 + (x + 1) . 3 = 3x - 3 + 3x + 3 = 6x = 0 ⟹ x = 0 ‫مرشحة‬
f(0) = (0 + 2)(0 - 1)2
= 2
‫التحدب‬ ‫منطقة‬< 0}{x:x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬> 0}{x:x
( ‫النقطة‬0,2.‫انقالب‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ )
2-11-20x
44002y
‫اشارة‬(x)˝f0
---------- + + + + + + +
(11,)
(0,2)
(-1,4)
(-2,0)
‫اشارة‬(x)ˊf
- - - - - - - - + + + +
-1 0
+ + + +

163. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
8) f(x) =
x2−1
x2+1
/‫الحل‬
1-‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R)‫مربعين‬ ‫مجموع‬ ‫(المقام‬
2-‫الن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬f(x) = f(-x)
3-:‫المحاذية‬ ‫المستقيمات‬
a)‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬ ‫المقام‬ ‫الن‬ ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬x ∈ R
b):‫معادلته‬ ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬y = 1
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a) x = 0 ⟹ y = -1 (0 , -1) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬
b) y = 0
x2−1
x2+1
= 0 ⟹ x2
- 1 = 0 ⟹ x2
= 1 ⟹ x = ±1
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬)0(±1 ,
5-:‫المشتقات‬
f´(x) =
2x(x2+1)− 2x(x2−1)
(x2+1)2 =
2x3+2x− 2x3+ 2x
(x2+1)
2 =
4x
(x2+1)
2 = 0
4x = 0 ⟹ x = 0 ‫حرج‬ ‫عدد‬
f(0) =
0−1
0+1
= -1
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x > 0}
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬{x: x < 0}
‫النقطة‬(0,-1)‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬
f′(x) =
4x
(x2+1)2 =
4(x2+1)
2
− 4x .2(x2+1) .2x
(x2+1)4
f˝(x) =
4(x2+1)
2
− 16x2(x2+1)
(x2+1)4 =
(x2+1)(4(x2+1)− 16x2)
(x2+1)4
f˝(x) =
(4(x2+1)− 16x2)
(x2+1)3 =
4x2+4− 16x2
(x2+1)3 =
4 − 12x2
(x2+1)3 = 0
4 − 12x2
= 0 ⟹ 12x2
= 4 ⟹ x2
=
4
12
=
1
3
⟹ x = ∓√1
3
= ∓ 0.6
‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫مرشحة‬
------+ + + +
0.6
------
‫اشارة‬(x)˝f-0.6
‫اشارة‬(x)ˊf
---------- + + + + + + +
0

164. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬314/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f(∓√1
3
) =
1
2
‫التحدب‬ ‫منطقة‬}< −√
𝟏
𝟑
{x: x,}>√
𝟏
𝟑
{x: x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬(−√
𝟏
𝟑
, √
𝟏
𝟑
)
‫االنقالب‬ ‫نقاط‬(−√
𝟏
𝟑
,
𝟏
𝟐
) , (√
𝟏
𝟑
,
𝟏
𝟐
)
9) f(x) = 2x2
– x4
/‫الحل‬
1-‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R
2-‫الن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬f(x) = f(-x)
3-‫توجد‬ ‫ال‬‫مستقيمات‬‫محاذية‬
4-‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬:‫المحورين‬
a) x = 0 ⟹ y = 1 (0 , 0) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬
b) y = 0
2x2
– x4
= 0 ⟹ x2
(2 – x2
) = 0 ⟹ x2
= 0 ⟹ x = 0
2 – x2
= 0 ⟹ x = ∓√2 (0 , 0),( ∓√ 𝟐 , 0) ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬
5-:‫المشتقات‬
f´(x) = 4x – 4x3
= 0 ⟹ 4x – 4x3
= 0 ⟹ 4x(1 – x2
) = 0
4x = 0 ⟹ x = 0 ‫حرج‬ ‫عدد‬
1 – x2
= 0 ⟹ x = ±1 ‫حرج‬ ‫عدد‬
f(1) = 1 , f(-1) = 1 , f(0) = 0
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < -1} , (0,1)
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬{x: x > 1} , (-1,0)
‫النقطة‬(0,0)‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬
‫النقطتين‬(1, 1)‫و‬(-1, 1)‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
f´(x) = 4x – 4x3
⟹ f˝(x) = 4 – 12x2
= 0 ⟹ 4 – 12x2
= 0 ⟹ 12x2
= 4
x2
=
4
12
=
1
3
⟹ x =±
1
√3
‫انقالب‬ ‫مرشحة‬
f(∓√1
3
) =
5
9
y = 1
‫اشارة‬(x)ˊf0
------+ + + + + + + + -----
-1 1
------+ + + +
1
√3
------
‫اشارة‬(x)˝f−
1
√3

165. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬313/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫التحدب‬ ‫منطقة‬}< −√
𝟏
𝟑
{x: x,}>√
𝟏
𝟑
{x: x
‫التقعر‬ ‫منطقة‬(−√
𝟏
𝟑
, √
𝟏
𝟑
)
‫االنقالب‬ ‫نقاط‬(−√
𝟏
𝟑
,
𝟓
𝟗
) , (√
𝟏
𝟑
,
𝟓
𝟗
)
10) f(x) =
6
x2+3
/‫الحل‬
1-‫للدالة‬ ‫مجال‬ ‫اوسع‬R)‫مربعين‬ ‫مجموع‬ ‫(المقام‬
2-‫الن‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫التناظر‬f(x) = f(-x)
3-:‫المحاذية‬ ‫المستقيمات‬
a)‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬ ‫المقام‬ ‫الن‬ ‫عمودي‬ ‫محاذي‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬x ∈ R
b)‫معادلته‬ ‫االفقي‬ ‫المحاذي‬y = 0
4-:‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
a) x = 0 ⟹ y = 2 (0 , 2) ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقط‬
b) y ≠ 0
‫للمستقيم‬ ‫محاذية‬ ‫الدالة‬y = 0.‫السينات‬ ‫محور‬ ‫وهو‬
5-:‫المشتقات‬
f´(x) =
0 − 6 (2x)
(x2+3)2 =
− 12x
(x2+3)2 = 0 ⟹
− 12x
(x2+3)2 = 0 ⟹ -12x = 0
⟹ x = 0 ‫حرج‬ ‫عدد‬
f(0) =
6
0+3
= 2
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬{x: x < 0}
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬{x: x > 0}
‫النقطة‬(0, 2)‫نهاية‬‫عظمى‬‫محلية‬
f′(x) =
− 12x
(x2+3)2
f˝(x) =
−12(x2+3)
2
+12x .2(x2+3) .2x
(x2+3)4 =
−12(x2+3)
2
+48x2(x2+3)
(x2+3)4
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
0
(0,0)
(1,1)(-1,1)
±
1
√3
±1∓√20x
𝟓
𝟗
100y

166. [3 – 8 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المخطط‬ ‫رسم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬311/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
f˝(x) =
(x2+3)[−12(x2+3)+ 48x2]
(x2+3)4 =
−12(x2+3)+ 48x2
(x2+3)3
f˝(x) =
−12x2−36+ 48x2
(x2+3)3 =
36x2−36
(x2+3)3 = 0
36x2
− 36 = 0 ⟹ 36x2
= 36 ⟹ x2
= 1 ⟹ x = ∓1
f(∓1) =
6
4
=
3
2
‫انقالب‬ ‫نقاط‬ ‫مرشحة‬
‫منطقة‬‫التقعر‬}< −1{x: x,}>1{x: x
‫منطقة‬‫التحدب‬‫المفتوحة‬ ‫الفترة‬ ‫في‬(−1,1)
‫نقاط‬‫االنقالب‬(−1,
3
2
) , (1,
3
2
)
±10x
𝟑
𝟐
2y
------ + + + +
1 ‫اشارة‬(x)˝f-1
+ + + +
y = 0
(0,2)

167. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
9 ]–[ 3:‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫بالنهايات‬ ‫المتعلقة‬ ‫المسائل‬ ‫لحل‬
:‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ , ‫المحلية‬
1-.‫للمتغيرات‬ ‫الرموز‬ ‫تحديد‬ ‫مع‬ . ‫الممكنة‬ ‫الحاالت‬ ‫في‬ ‫المسألة‬ ‫يوضح‬ ‫شكال‬ ‫نرسم‬
2-‫(الدالة‬ ‫المسألة‬ ‫شروط‬ ‫من‬ ‫وذلك‬ ‫دراستها‬ ‫الواجب‬ ‫الدالة‬ ‫نعين‬.)‫المعتمدة‬
3-.)‫الثوابت‬ ‫(من‬ ‫بينها‬ ‫فيما‬ ‫المتغيرات‬ ‫تربط‬ )‫(عالقة‬ ‫معادلة‬ ‫عن‬ ‫نبحث‬ , ‫متغير‬ ‫من‬ ‫باكثر‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬
4-‫من‬ ‫الواردة‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬3‫من‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫في‬2.‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫الدالة‬ ‫تصبح‬ ‫لكي‬
5-‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫فيما‬ ‫نوعها‬ ‫ونبين‬ ‫للدالة‬ ‫الحرجة‬ ‫النقاط‬ ‫نجد‬.‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫او‬ ‫عظمى‬ ‫نهايات‬
‫مثال‬1/.‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اصغر‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مربعه‬ ‫الى‬ ‫اضيف‬ ‫اذا‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
‫العدد‬ ‫ليكن‬x =‫العدد‬ ‫مربع‬ ,=2
x
f(x) = x + x2
‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫الدالة‬
f´(x) = 1 + 2x = 0 ⟹ 2x = -1 ⟹ ∴ x =
−1
2
‫الحرج‬ ‫العدد‬
:‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫او‬ ‫المشتقة‬ ‫الشارة‬ ‫االعداد‬ ‫مستقيم‬ ‫من‬ ‫اما‬ : ‫االختبار‬
f˝(x) = 2 > 0 ‫ا‬‫الحرج‬ ‫العدد‬ ‫عند‬ ‫محلية‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬ ‫للدالة‬ ‫ذا‬
∴‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫العدد‬
−𝟏
𝟐
‫مثال‬2/‫ضلعها‬ ‫طول‬ ‫الشكل‬ ‫مربعة‬ ‫النحاس‬ ‫من‬ ‫قطعة‬ ‫من‬ ‫مفتوح‬ ‫صندوق‬ ‫صنع‬12 cm‫مربعات‬ ‫اربعة‬ ‫بقص‬ ‫وذلك‬
.‫العلبة‬ ‫لهذه‬ ‫االعظم‬ ‫الحجم‬ ‫هو‬ ‫ما‬ , ‫منها‬ ‫البارزة‬ ‫االجزاء‬ ‫ثنيت‬ ‫ثم‬ ‫االربعة‬ ‫اركانها‬ ‫من‬ ‫االبعاد‬ ‫متساوية‬
/‫الحل‬
‫للصندوق‬ ‫ممكن‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
‫تكون‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬
)‫المستطيالت‬ ‫(متوازي‬ ‫الصندوق‬
= ‫االركان‬ ‫من‬ ‫المقطوع‬ ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫نفرض‬x
= ‫العلبة‬ ‫حجم‬ ‫ليكن‬V
:‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
V = f(x) = ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬.‫االرتفاع‬
f(x) = (12 - 2x)2
. x ‫واحد‬ ‫بمتغير‬ ‫الدالة‬
f´(x) = (12 - 2x)2
. 1 + x . [2(12 – 2x)(-2)] = (12 - 2x)2
- 4x (12 – 2x)
f´(x) = (12 - 2x) [(12 - 2x) - 4x] = (12 - 2x) (12 - 2x - 4x) = (12 - 2x) (12 - 6x) = 0
12 – 2x = 0 ⟹ x = 6
12 - 6x = 0 ⟹ x = 2
‫عظم‬ ‫نهاية‬‫ى‬‫عند‬x = 2,‫عند‬ ‫صغرى‬ ‫نهاية‬x = 6
‫قيمة‬x:‫العظمى‬ ‫النهاية‬ ‫عند‬
∴ x = 2
V = f(2) = (12 – 2 . 2)2
. 2 = 128 cm3
‫صنعه‬ ‫يمكن‬ ‫صندوق‬ ‫اكبر‬
12 – 2x
x
x
12 – 2x
x
31
‫اشارة‬(x)ˊf-------- + + + +
2 6
+ + + +

168. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬310/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫مثال‬3/‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬12 cm‫ان‬ ‫برهن‬ ‫ثم‬ ,
‫م‬ ‫نسبة‬‫س‬‫كنسبة‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫احة‬
3 √3
4π
.
/‫الحل‬‫نفرض‬‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬h‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫و‬2x
‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫مثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬:
A =
1
2
(2x) . h ……………….
‫أو‬ ‫دائرة‬ ‫الخارجي‬ ‫الشكل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المتداخلة‬ ‫لالشكال‬ ‫بالنسبة‬ /‫مالحظة‬
.‫فيتاغورس‬ ‫نستخدم‬ ‫فاننا‬ ‫كرة‬
:‫فان‬ ‫المظلل‬ ‫للمثلث‬ ‫فيتاغورس‬ ‫نظرية‬ ‫حسب‬
x2
+ (h - 12)2
= 122
⟹ x2
+ h2
- 24h + 144 = 144 ⟹ x2
+ h2
- 24h = 0
x2
= 24h - h2
⟹ x = √24h − h2
………………..
‫نعوض‬‫في‬:
A =
1
2
(2√24h − h2) . h = h √24h − h2 = √h2 √24h − h2 = √h2(24h − h2)
A = f(h) = √24h3 − h4 ‫ال‬‫واح‬ ‫بمتغير‬ ‫دالة‬‫د‬
f(h) = (24h3
− h4
)
1
2 ⟹ f´(h) =
1
2
(24h3
− h4
)
−1
2 (72h2
− 4h3
)
f´(h) =
72h2−4h3
2√24h3−h4
=
36h2−2h3
√24h3−h4
= 0
36h2
− 2h3
= 0 ⟹ 2h2
(18 − h) = 0
h = 0 ‫ست‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫الن‬ ‫تهمل‬‫ك‬‫صفر‬ ‫ون‬
h = 18 ‫مرشحة‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬
‫عند‬h = 18‫محلية‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬
∴ h = 18 cm
‫المعادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬2‫قيمة‬ ‫نحسب‬x:
x = √24 . 18 − 182 = √18(24 − 18) = √18(6) = √18 . 2 . 3 = √36 . 3
x = 6√3 ⟹ 2x = 12√3 cm
‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬=18
= ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬12√3
2x
h
12
x
h12
h-12
12
x
‫اشارة‬)h(ˊf
+ + + + + + + ----------
18

169. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬317/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
A =
1
2
(12√3) . 18 = 108√3 cm3
‫سم‬ 12 ‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫داخل‬ ‫مثلث‬ ‫اكبر‬ ‫مساحة‬
‫اثبات‬‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫الى‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫نسبة‬=
3 √3
4π
‫المثلث‬ ‫مساحة‬
‫الدائرة‬ ‫مساحة‬
=
108 √3
122 𝜋
=
108 √3
144 𝜋
=
3 √3
4π
‫المطلوب‬ ‫وهو‬
‫مثال‬4/‫بعدي‬ ‫جد‬‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مثلث‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬
24cm‫وارتفاعه‬18cm‫تقع‬ ‫المستطيل‬ ‫رؤوس‬ ‫من‬ ‫متجاورين‬ ‫رأسين‬ ‫ان‬ ‫بحيث‬
.‫ساقيه‬ ‫على‬ ‫تقعان‬ ‫الباقيين‬ ‫والراسين‬ ‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫على‬
/‫الحل‬‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬x , y cm
‫تكون‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫لمستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬
= ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫من‬ ‫الدالة‬‫بعديه‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
A = x . y ………………
‫المثلثات‬ ‫تشابه‬ ‫من‬ ‫العالقة‬ ‫فان‬ ‫مخروط‬ ‫او‬ ‫مثلث‬ ‫الخارجي‬ ‫الشكل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ , ‫المتداخلة‬ ‫االشكل‬ ‫حالة‬ ‫في‬ /‫مالحظة‬
‫المثلثين‬ ‫تشابه‬ ‫خالل‬ ‫من‬bns‫و‬bcr:‫فان‬
ns
cr
=
ba
bp
⟹
y
24
=
18 − x
18
y =
24(18−x)
18
=
4(18−x)
3
…….….
‫نعوض‬‫في‬
A= f(x) = x .
4(18−x)
3
=
4
3
(18x − x2
)
f´(x) =
4
3
(18 − 2x) = 0
4
3
(18 − 2x) = 0 ⟹ 18 − 2x = 0 ⟹ ∴ x = 9
:‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫النهاية‬ ‫نوع‬ ‫نختبر‬
f˝(x) =
4
3
(−2) < 0 x = 9 ‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬ ‫نقطة‬ ‫المساحة‬ ‫لدالة‬ ∴
y =
4(18−9)
3
=
4(9)
3
= 12 cm x = 9 ‫عندما‬ y ‫قيمة‬ ‫نحسب‬
∴‫هما‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬9cm‫و‬12cm
‫مثال‬5/‫يساوي‬ ‫ومربع‬ ‫دائرة‬ ‫محيطي‬ ‫مجموع‬60cm‫الشكلين‬ ‫مساحتي‬ ‫مجموع‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫انه‬ ‫اثبت‬‫اصغر‬‫ما‬
.‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬ ‫فان‬ ‫يمكن‬
/‫الحل‬‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ليكن‬‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫وطول‬h:
‫المربع‬ ‫مساحة‬ ‫مجموع‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫للشكلين‬ ‫مساحة‬ ‫اقل‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
.‫والدائرة‬
x
r
24 cm
18 cm
x
y
c
n
b
s
r
24 cm
y
x
18 - x
p
a

170. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬300/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
A = x2
+ π r2
………………
∵= ‫المربع‬ ‫محيط‬ + ‫الدائرة‬ ‫محيط‬61
∴ 4x + 2πr = 60 ⟹ 2x + πr = 30 ⟹ πr = 30 – 2x
r =
1
π
(30 – 2x) ………………
‫نعوض‬‫في‬:
A = x2
+ π r2
= f(x) = x2
+ π (
1
π
(30 – 2x) )2
= x2
+ π
1
π2 (30 – 2x)2
A = f(x) = x2
+
1
π
(30 – 2x)2
= 2x +
1
π
. 2 (30 – 2x) (-2)
f´(x) = 2x -
4
π
(30 – 2x) =0 ⟹ 2x -
4
π
(30 – 2x) = 0 π ‫بـ‬ ‫نضرب‬
2x π - 4(30 – 2x) = 0 ⟹ 2xπ - 120 + 8x = 0 ⟹ 2x(π + 4) = 120
x =
120
2(π + 4)
=
60
π + 4
cm ‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬
r =
1
π
(30 – 2x) =
1
π
[30 – 2 (
60
π + 4
)] =
1
π
[30 –
120
π + 4
] =
1
π
[
30(π + 4)−120
π + 4
]
r =
1
π
[
30π + 120 − 120
π + 4
] =
1
π
[
30π
π + 4
] =
30
π + 4
cm
∴ 2r =
60
π + 4
cm ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬
∴‫المربع‬ ‫ضلع‬ ‫طول‬ = ‫الدائرة‬ ‫قطر‬ ‫طول‬‫المطلوب‬ ‫وهو‬
‫مثال‬6/‫الزائد‬ ‫للقطع‬ ‫تنتمي‬ ‫نقاط‬ ‫او‬ ‫نقطة‬ ‫جد‬= 32
x–2
y‫النقطة‬ ‫الى‬ ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقرب‬ ‫تكون‬ ‫بحيث‬(0,4).
/‫الحل‬‫هي‬ ‫المطلوبة‬ ‫النقطة‬ ‫نفرض‬p(x,y):‫معادلته‬ ‫وتحقق‬ ‫للمنحني‬ ‫تنتمي‬ ‫وهي‬
‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫مسافة‬ ‫اقل‬ ‫يريد‬ ‫انه‬ ‫اي‬ ‫نقطة‬ ‫اقرب‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
‫المس‬.‫افة‬
s = √(x − 0)2 + (y − 4)2 = √x2 + y2 − 8y + 16 …………
‫النقطة‬p(x,y):‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫انها‬ ‫اي‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫دالة‬ ‫لمنحني‬ ‫تنتمي‬
y2
– x2
= 3 ⟹ x2
= y2
- 3 …….
‫نعوض‬‫في‬‫معادلة‬
s = √x2 + y2 − 8y + 16 = √y2 − 3 + y2 − 8y + 16 = f(y) = √2y2 − 8y + 13
f(y) = (2y2
− 8y + 13)
1
2 ⟹ f´(y) =
4y−8
2√2y2−8y+13
=
2y−4
√2y2−8y+13
=0
2y − 4 = 0 ⟹ ∴ y = 2
‫عند‬ ‫الصغرى‬ ‫نهايتها‬ ‫في‬ ‫المسافة‬ ‫دالة‬y = 2
‫قيمة‬ ‫نعوض‬y‫قيمة‬ ‫لنجد‬ ‫الزائد‬ ‫القطع‬ ‫دالة‬ ‫في‬x:
x2
= y2
- 3 = 22
– 3 = 1
∴ x = ± 1
∴‫هما‬ ‫االقرب‬ ‫النقطتان‬(1,2)‫و‬(-1,2)
2
---------- + + + + + + +
‫اشارة‬(x)ˊf

171. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬303/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫تمارين‬ ‫حلول‬6–3
1-‫مجموعهما‬ ‫موجبين‬ ‫عددين‬ ‫جد‬75.‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫االخر‬ ‫مربع‬ ‫في‬ ‫احدهما‬ ‫ضرب‬ ‫وحاصل‬
/‫الحل‬‫االول‬ ‫العدد‬ ‫ليكن‬x‫الثاني‬ ‫والعدد‬y‫ضربهما‬ ‫حاصل‬ ‫و‬M
‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬.‫الضرب‬ ‫معادلة‬
M = x2
. y ………………
‫يساوي‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫ان‬ ‫بما‬75:
x + y = 75 ⟹ y = 75 – x……..
‫نعوض‬‫في‬‫المعادلة‬
M = x2
. y
M = f(x) = x2
. (75 – x) = 75 x2
– x3
f´(x) = 150x – 3x2
= 0 ⟹ x(150 – 3x) = 0
x = 0 ‫تهمل‬
150 – 3x = 0 ⟹ 3x = 150 ⟹ x = 50
‫عند‬ ‫عظمى‬ ‫نهاية‬x = 50
y = 75 – x = 75 – 50 = 25
∴‫االول‬ ‫العدد‬51‫الثاني‬ ‫والعدد‬25
2-‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫جد‬(4√3) cm.
/‫الحل‬‫االسطوانه‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫ليكن‬r‫االسطوانه‬ ‫وارتفاع‬2h= ‫االسطوانة‬ ‫وحجم‬V
‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫اسطوانه‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
.‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬
‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ = ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬.‫االرتفاع‬
V = r2
. 𝜋 . (2h) ………………
:‫فيتاغورس‬ ‫من‬
(4√3)
2
= h2
+ r2
⟹ 16 . 3 = h2
+ r2
48 = h2
+ r2
⟹ r2 =
48 - h2
……
V = r2
. 𝜋 . (2h)  ‫في‬ ‫نعوض‬
V = f(h) = (48 - h2
) 𝜋 . (2h) = 2𝜋 (48h – h3
)
f´(h) = 2𝜋 (48 – 3h2
) = 0
2𝜋 (48 – 3h2
) = 0 ⟹ 48 – 3h2
= 0 ⟹ 3h2
= 48
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
30
𝟒√𝟑
2h
h
r
h
4√3
2h
h
h
r

172. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬301/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
h2
= 16 ⟹ h = 4 cm
‫عند‬ ‫العظمى‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ ‫الحجم‬h = 4
‫قيمة‬ ‫نحسب‬r:
r2 =
48 - h2
= 48 – 16 = 32 cm
∴‫اسطوانه‬ ‫اكبر‬ ‫ارتفاع‬ ‫ابعاد‬4cm‫قاعدتها‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬32cm
3-‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫نصف‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬4√2.
/‫الحل‬‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ ‫ليكن‬x‫و‬y
‫من‬ ‫تكون‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
.‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬
:‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫من‬ ‫الدالة‬
A = 2x . y ………………..
‫بين‬ ‫العالقة‬x‫و‬y:‫فيتاغورس‬ ‫خالل‬ ‫من‬
(4√2)
2
= x2
+ y2
⟹ x2
+ y2
= 16 . 2 = 32 ⟹ y2
= 32 - x2
y = √32 − x2 …….
‫نعوض‬‫في‬‫المعادلة‬
A = 2x . y
A = f(x) = 2x . √32 − x2 = 2 . √32x2 − x4
f′(x) = 2 .
64x−4x3
2√32x2−x4
=
64x−4x3
√32x2−x4
= 0
64x – 4x3
= 0 ⟹ 4x(16 –x2
) = 0
x = 0 ‫تهمل‬
16 – x2
= 0 ⟹ x2
= 16 ⟹ x = 4
∴‫عند‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬x = 4
2x = 8 cm ‫المستطيل‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬
y = √32 − 16 = √16 = 4 cm ‫المستطيل‬ ‫ارتفاع‬
4-‫ساقيه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫لمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫جد‬cm8√2.
/‫الحل‬‫المثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬ ‫ليكن‬2x‫وارتفاعه‬h‫ومساحته‬A:
‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫مثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬‫تك‬‫ون‬
.‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
4
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
4
8√28√2
h
xx
y
xx
x2
𝟒√ 𝟐

173. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬301/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫من‬ ‫الدالة‬
A =
1
2
. 2x . h ………………..
‫بين‬ ‫العالقة‬x‫و‬h:‫فيتاغورس‬ ‫خالل‬ ‫من‬
x2
+ h2
= (8√2)
2
⟹ x2
+ h2
= 64 . 2 = 128 ⟹ h2
= 128 - x2
h = √128 − x2 ………....
‫نعوض‬‫في‬‫المعادلة‬
A =
1
2
. 2x . h = x . h
A = f(x) = x . √128 − x2 = √128x2 − x4
f´(x) =
256x − 4x3
2 .√128x2−x4
= 0 ⟹
256x − 4x3
2 .√128x2−x4
= 0
256x − 4x3
= 0 ⟹ 4x(64 − x2
) = 0
x = 0 ‫تهمل‬
64 − x2
= 0 ⟹ x2
= 64 ⟹ x = 8cm ⟹ 2x = 16cm ‫القاعدة‬ ‫طول‬
‫عند‬ ‫العظمى‬ ‫نهايتها‬ ‫في‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬x = 8
‫خالل‬ ‫من‬ ‫المثلث‬ ‫ارتفاع‬ ‫نحسب‬‫المعادلة‬2:
h = √128 − 64 = √64 = 8 cm
A = x . h = 8 . 8 = 64 cm2
‫للمثلث‬ ‫مساحة‬ ‫اكبر‬
5-‫مساحته‬ ‫الذي‬ ‫للمستطيل‬ ‫ممكن‬ ‫محيط‬ ‫اقل‬ ‫جد‬2
16 cm.
/‫الحل‬‫ابعاد‬ ‫نفرض‬‫المستطيل‬x,y‫والمحيط‬P
.‫المستطيل‬ ‫محيط‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬ ‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫محيط‬ ‫اقل‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
:‫المستطيل‬ ‫محيط‬ ‫معادلة‬ ‫من‬
P = 2x + 2y ………….
= ‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫خالل‬ ‫من‬163
cm:
A = x . y = 16 ⟹ y =
16
x
……..
‫نعوض‬‫الدالة‬ ‫في‬:
P = 2x + 2y
P = f(x) = 2x + 2
16
x
= 2x +
32
x
⟹ f´(x) = 2 -
32
x2 = 0
2 -
32
x2
= 0 ⟹
32
x2
= 2 ⟹ x2
=
32
2
= 16 ⟹ x = 4 cm
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
0

174. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬304/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫عند‬ ‫الصغرى‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ ‫المحيط‬x = 4
‫قيمة‬ ‫نحسب‬y:‫العالقة‬ ‫خالل‬ ‫من‬
y =
16
x
=
16
4
= 4 cm
∴:‫للمستطيل‬ ‫محيط‬ ‫اقل‬
P = 2 . (4 + 4) = 16 cm
6-‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫وضعه‬ ‫يمكن‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬3 cm.
/‫الحل‬‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬h‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬r= ‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫و‬v
‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫اذا‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
.‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫معادلة‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬
‫معادل‬ ‫من‬‫ة‬:‫فان‬ ‫المخروط‬ ‫حجم‬
v =
1
3
r2
πh ………….. 
:‫فيتاغورس‬ ‫نظرية‬ ‫خالل‬ ‫من‬
32
= r2
+ (h - 3)2
⟹ 9 = r2
+ h2
– 6h + 9 ⟹ r2
= 6h - h2
……..
‫نعوض‬‫الدالة‬ ‫في‬:
v =
1
3
r2
πh
v = f(h) =
1
3
(6h − h2
)πh =
π
3
(6h2
− h3
)
f´(h) =
π
3
(12h − 3h2
) = 0 ⟹ 12h − 3h2
= 0 ⟹ 3h(4 − h) = 0
h = 0 ‫تهمل‬
4 – h = 0 ⟹ h = 4 cm
‫عند‬ ‫العظمى‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ ‫الحجم‬h = 4
‫قيمة‬ ‫نحسب‬ ‫العالقة‬ ‫من‬r:
r2
= 6h - h2
= 6 . 4 - 42
= 24 – 16 = 8 ⟹ r = √8 cm
v =
1
3
(√8)2
π . 4 =
32
3
π cm3
‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬
7-‫النقطة‬ ‫من‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(6,8)‫اصغر‬ ‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫المحورين‬ ‫مع‬ ‫يصنع‬ ‫والذي‬
.‫مثلث‬
4
---------- + + + + + + +
‫اشارة‬(x)ˊf
h
1
r
1
h - 3
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
4

175. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬303/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
/‫الحل‬‫عند‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫يقطع‬ ‫المستقيم‬ ‫نفرض‬(x,0)‫عند‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ويقطع‬(0,y)
/‫مالحظة‬‫أ‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫مثلث‬ ‫صغر‬
:‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫قانون‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬
A =
1
2
x y ………….. 
‫تشابه‬ ‫خالل‬ ‫من‬‫المثلث‬‫ين‬abd‫و‬ecd‫فان‬:
ab
bd
=
ec
cd
⟹
y
x
=
8
x−6
∴ y =
8x
x−6
………….. 
‫نعوض‬‫الدالة‬ ‫في‬:
A =
1
2
x y ⟹ A = f(x) =
1
2
x
8x
x−6
=
4x2
x−6
f´(x) =
8x(x−6)− 4x2
(x−6)2 =
8x2−48x− 4x2
(x−6)2 =
4x2−48x
(x−6)2 = 0
4x2−48x
(x−6)2 = 0 ⟹ 4x2
− 48x = 0 ⟹ 4x (x − 12) = 0
x = 0 ‫تهمل‬
x − 12 = 0 ⟹ x = 12
‫عند‬ ‫الصغرى‬ ‫نهايتها‬ ‫في‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬x = 12
‫قيمة‬ ‫نحسب‬y:‫العالقة‬ ‫من‬
y =
8x
x−6
=
8 .12
12−6
=
8 .12
6
= 16
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫المستقيم‬ ‫اذا‬(12,0)‫النقطة‬ ‫و‬(0,16)
‫نجد‬‫معادلة‬:‫بهما‬ ‫يمر‬ ‫نقطتين‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫المستقيم‬
y − y1
x − x1
=
y2− y1
x2 − x1
⟹
y − 16
x −0
=
0− 16
12 −0
⟹
y − 16
x
=
− 16
12
=
− 4
3
3y – 48 = -4x ⟹ 3y + 4x = 48 ‫المستقيم‬ ‫معادلة‬
(6,8)
y
x y
(6,8)
x - 6
8
6
x
a
b c
d
e
‫اشارة‬(x)ˊf
---------- + + + + + + +
12

176. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬301/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
8-‫بالدالة‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫داخل‬ ‫يوضع‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬ ‫جد‬2
x–f(x) = 12, ‫السينات‬ ‫ومحور‬
.‫محيطه‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ , ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫االخران‬ ‫والرأسان‬ ‫المنحني‬ ‫على‬ ‫رؤسه‬ ‫من‬ ‫رأسان‬
/‫الحل‬‫هما‬ ‫المستطيل‬ ‫بعدي‬ ‫نفرض‬y‫و‬2x‫احد‬ ‫ويتقاطع‬
‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫مع‬ ‫رؤوسه‬o:
/ ‫مالحظة‬‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬‫أكبر‬‫المعتمدة‬ ‫الدالة‬ ‫فان‬ ‫مستطيل‬
:‫المستطيل‬ ‫مساحة‬ ‫قانون‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫تكون‬
A = 2x . y ………………
‫النقطة‬o:‫معادلته‬ ‫تحقق‬ ‫فهي‬ ‫للمنحني‬ ‫تنتمي‬
y = 12 – x2
……………..
‫نعوض‬‫الدالة‬ ‫في‬:
A = 2x . y ⟹ A = g(x) = 2x . (12 – x2
) = 24x – 2x3
g´(x) = 24 – 6x2
= 0 ⟹ 24 – 6x2
= 0
6x2
= 24 ⟹ x2
= 4 ⟹ x = 2 unit
‫عند‬ ‫العظمى‬ ‫نهايتها‬ ‫في‬ ‫المساحة‬x = 2
2x = 2 . 2 = 4 unit ‫االول‬ ‫البعد‬
‫الثاني‬ ‫البعد‬ ‫قيمة‬ ‫نحسب‬ ‫العالقة‬ ‫من‬y:
y = 12 – x2
= 12 – 22
= 8 unit
∴‫هما‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫بعدي‬4unit‫و‬8unit
P = 2 (8)+ 2(4) = 24 unit ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫محيط‬
9-‫ارتفاعه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫داخل‬ ‫توضع‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانه‬ ‫اكبر‬ ‫ابعاد‬ ‫جد‬8cm‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫وطول‬
12cm.
/‫الحل‬‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬h‫قاعدتها‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬r:
‫الدالة‬ ‫تكون‬ ‫اذا‬ ‫اسطوانه‬ ‫اكبر‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬
‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫قانون‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫المعتمدة‬v:
xx
y
2x–y = 12
o
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
1
0
h
r
6

177. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬300/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
v = r2
𝜋 h ……………
‫بين‬ ‫العالقة‬r‫و‬h:
tan θ =
6
8
=
r
8−h
6(8 − h) = 8r ⟹ 3(8 − h) = 4r ⟹ 24 – 3h = 4r
3h = 24 - 4r ⟹ 3h = 4(6 - r)
h =
4
3
(6 - r) …………
‫نعوض‬‫الدالة‬ ‫في‬:
v = r2
𝜋 h ⟹ v = f(r) = r2
𝜋
4
3
(6 - r) =
4𝜋
3
(6r2
– r3
)
f´(r) =
4𝜋
3
(12r – 3r2
) = 0 ⟹
4𝜋
3
(12r – 3r2
) = 0
12r – 3r2
= 0 ⟹ 3r(4 – r)= 0
r = 0 ‫تهمل‬
4 – r = 0 ⟹ ∴ r = 4 cm ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫عند‬ ‫العظمى‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ ‫االسطوانه‬ ‫حجم‬r = 4
‫نحسب‬ ‫العالقة‬ ‫خالل‬ ‫من‬‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬h:
h =
4
3
(6 - r) =
4
3
(6 - 4) =
8
3
cm
11-‫وتره‬ ‫طول‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬ ‫مثلث‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫ناتج‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬ ‫جد‬6√3cm‫كاملة‬ ‫دورة‬
.‫القائمين‬ ‫ضلعيه‬ ‫احد‬ ‫حول‬
/‫الحل‬‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬ ‫نفرض‬h‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬r‫وحجمه‬v
:‫المخروط‬ ‫حجم‬ ‫قانون‬ ‫من‬
v =
1
3
𝜋 r2
h ……… 
:‫فان‬ ‫فيتاغورس‬ ‫نظرية‬ ‫وباستخدام‬ ‫المثلث‬ ‫وتر‬ ‫طول‬ ‫خالل‬ ‫من‬
r2
+ h2
= (6√3) = 36 . 3 = 108 ⟹ r2
= 108 - h2
…………..
‫نعوض‬‫الدالة‬ ‫في‬:
8 - h
h
r
6
θ
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
4
6√3
h
r

178. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬300/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
v =
1
3
𝜋 r2
h ⟹ v = f(h) =
1
3
𝜋 (108 − h2
) h =
1
3
𝜋 (108h − h3
) = 0
108 − 3h2
= 0 ⟹ 3h2
= 108 ⟹ h2
=
108
3
= 36
∴ h = 6 cm
‫ال‬‫عند‬ ‫العظمى‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ ‫حجم‬h = 6
r2
= 108 - h2
= 108 – 36 = 72 ⟹ r = √72 cm ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
v =
1
3
𝜋 (√72)2
6 =
1
3
𝜋 . 72 . 6 = 𝜋 .72 .2 = 144 𝜋 cm3
‫مخروط‬ ‫اكبر‬ ‫حجم‬
11-‫سعتها‬ ‫االعلى‬ ‫من‬ ‫مفتوحة‬ ‫الشكل‬ ‫اسطوانية‬ ‫حاوية‬3
cm𝜋125‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫ابعادها‬ ‫جد‬
.‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اقل‬ ‫صناعتها‬ ‫في‬ ‫المستخدم‬
/‫الحل‬‫ليكن‬‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬h‫قاعدتها‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬ ‫و‬r‫ومساحة‬
‫سطح‬‫ها‬S:)‫الغطاء‬ ‫(بدون‬
‫بم‬ / ‫مالحظة‬‫فان‬ ‫للتصنيع‬ ‫مساحة‬ ‫اقل‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫ا‬‫مساحة‬
‫الكلية‬ ‫المعدن‬S: ‫تساوي‬
= ‫الكلية‬ ‫المساحة‬‫الجانبية‬ ‫المساحة‬‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ +
‫الجانبية‬ ‫المساحة‬=‫الق‬ ‫محيط‬‫اعدة‬‫االرتفاع‬ .
S = π r2
+ 2πrh ………. 
:‫فان‬ )‫(سعتها‬ ‫االسطوانة‬ ‫حجم‬ ‫خالل‬ ‫من‬
V = π r2
h ⟹ 125𝜋 = π r2h ⟹ h =
125𝜋
𝜋r2 =
125
r2 ………. 
‫نعوض‬‫في‬:
S = π r2
+ 2πrh ⟹ S = f(r) = π r2
+ 2πr
125
r2 = π (r2
+
250
r
) = 0
2r −
250
r2 = 0 ⟹ 2r =
250
r2 ⟹ r3
=
250
2
= 125
∴ r = 5 cm ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫عند‬ ‫الصغرى‬ ‫نهايتها‬ ‫في‬ ‫السطحية‬ ‫المساحة‬r = 5
‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫نحسب‬h:‫العالقة‬ ‫من‬
h =
125
r2 =
125
25
= 5 cm
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
1
h
r
‫اشارة‬(x)ˊf
---------- + + + + + + +
5

179. [3 – 9 ]‫الثالث‬ ‫الفصل‬‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫القيم‬ ‫على‬ ‫عملية‬ ‫تطبيقات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬307/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
12-‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬ ‫فاذا‬ ‫عرضها‬ ‫ضعف‬ ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫خزان‬
‫صناعته‬ ‫في‬ ‫المستخدم‬2
108cm‫الخزان‬ ‫ان‬ ‫علما‬ , ‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫حجمه‬ ‫يكون‬ ‫لكي‬ ‫الخزان‬ ‫ابعاد‬ ‫جد‬ ,
.‫كامل‬ ‫غطاء‬ ‫ذو‬
/‫الحل‬‫القاعدة‬ ‫عرض‬ ‫نفرض‬x‫وطولها‬2x‫واالرتفاع‬y
‫والحجم‬v‫السطحية‬ ‫والمساحة‬S=108:
‫طل‬ ‫انه‬ ‫بما‬ / ‫مالحظة‬‫ب‬‫حجم‬ ‫قانون‬ ‫نستخدم‬ ‫فاننا‬ ‫حجم‬ ‫اكبر‬
:‫المستطيالت‬ ‫متوازي‬
V = 2x . x . y ⟹ V = 2x2
. y …….. 
:‫فان‬ ‫السطوح‬ ‫لمتوازي‬ ‫السطحية‬ ‫المساحة‬ ‫قانون‬ ‫خالل‬ ‫من‬
S = 2(2x + x) y + 2x .2x = 6xy + 4x2
108 = 6xy + 4x2
2 ‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫بقسمة‬
54 = 2x2
+ 3xy ⟹ y =
54 − 2x2
3x
……..
‫نعوض‬‫في‬:
V = 2x2
. y ⟹ V = f(x) = 2x2
.
54 − 2x2
3x
=
108x − 4x3
3
V = f(x) =
1
3
(108x − 4x3
) ⟹ f´(x) =
1
3
(108 − 12x2
)= 0
108 = 12x2
⟹ x2
=
108
12
= 9 ⟹ ∴ x = 3 cm ‫الخزان‬ ‫قاعدة‬ ‫عرض‬
‫العظم‬ ‫نهايته‬ ‫في‬ ‫الصندوق‬ ‫حجم‬‫ى‬‫عند‬x = 3
2x = 2 . 3 = 6 cm ‫الخزان‬ ‫قاعدة‬ ‫طول‬
y =
54 − 2x2
3x
=
54 − 2(3)2
3(3)
=
54 − 18
9
=
36
9
= 4 cm ‫الخزان‬ ‫ارتفاع‬
2x x
y
‫اشارة‬(x)ˊf
+ + + + + + + ----------
1

180. ‫العامة‬ ‫التمارين‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬300/‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬00001430710
‫عامة‬ ‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬
dy
dx
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬
a) x3
y2
– 2y = 5x + 3 b) y = sin 4x tan 2x c) y = tan (cos x)
d) y = ex2
ln|2x| e) y = x2
ln x f) y =
ex + e−x
ex − e−x
‫س‬2/‫قيم‬ ‫اليجاد‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫ثم‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬c:‫للدالة‬
f(x) = x4
– 2x2
, x ∈ [-2,2]
‫س‬3/4x + 5–2
f(x) = ax‫الفترة‬ ‫على‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫دالة‬1,b]-[‫كانت‬ ‫فاذا‬c = 2‫تنتمي‬
‫الى‬(-1,b)‫قيم‬ ‫فجد‬a , b ∈ R.
‫س‬4/‫له‬ ‫التقريبي‬ ‫الحجم‬ ‫جد‬ , ‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫امثال‬ ‫ثالثة‬ ‫ارتفاعه‬ , ‫مربعة‬ ‫قاعدته‬ ‫مستطيلة‬ ‫سطوح‬ ‫متوازي‬
‫قاعدته‬ ‫طول‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬2.97cm.
‫س‬5/‫حجمه‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬3
cmπ210‫ارتفاعه‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫قاعدته‬ ‫قطر‬ ‫لنصف‬ ‫التقريبية‬ ‫القيمة‬ ‫جد‬ ,
10cm.
‫س‬6/‫كانت‬ ‫اذا‬f(x) = √31x + 1
5
‫الى‬ ‫التقريبية‬ ‫القيمة‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫نتيجة‬ ‫باستخدام‬ ‫جد‬ ,f(1.01).
‫س‬7/‫للدالة‬ ‫البياني‬ ‫المنحني‬ ‫ارسم‬ ‫التفاضل‬ ‫في‬ ‫معلوماتك‬ ‫باستخدام‬= 12
y x.
‫اثرائية‬ ‫تمارين‬
‫س‬1/‫كانت‬ ‫اذا‬x = sin y‫ان‬ ‫اثبت‬y2
y . sin3
= sec´˝xy
‫س‬2/‫كانت‬ ‫اذا‬y = cos4 x – sin 4 x‫جد‬y˝‫ثم‬y˝´.
‫س‬3/‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫حديدية‬ ‫كرة‬4cm‫بمعدل‬ ‫يذوب‬ ‫الجليد‬ ‫كان‬ ‫فاذا‬ ‫الجليد‬ ‫من‬ ‫بطبقة‬ ‫مغطاة‬10 cm3/s,
‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫فيها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫اللحظة‬ ‫في‬ ‫الجليد‬ ‫سمك‬ ‫نقصان‬ ‫سرعة‬ ‫جد‬2cm.
‫س‬4/: ‫كانت‬ ‫اذا‬1-+ 2x2
R: f(x) = x→f: [a,1]‫عند‬ ‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫مبرهنة‬ ‫تحقق‬)
1
2
(c =‫جد‬ ,
‫قيمة‬a.
‫س‬5/‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫فيما‬ ‫بين‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫رول‬ ‫مبرهنة‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬[0,2]: ‫حيث‬
f(x) = {x2
0 ≤ x < 1
2 − x 1 ≤ x ≤ 2
‫س‬6/‫لتكن‬√x
3
f(x) =,g(x) = 3x -2‫المتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫نتيجة‬ ‫وباستخدام‬ ‫تقريبية‬ ‫بصورة‬ ‫جد‬
(fog)(0.98).
‫س‬7/‫النقطة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(1,2)‫للمنحني‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫تمثل‬= 52
+ bxy + by2
ax‫قيم‬ ‫جد‬R∈a , b
‫س‬8/:‫البرهان‬ ‫مع‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫مثاال‬ ‫اعط‬
1-‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫دالة‬R.‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫تمتلك‬2-‫في‬ ‫محدبة‬ ‫دالة‬R.
‫س‬9/‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫معادلة‬ ‫اكتب‬+ cx2
bx–3
f(x) = ax‫ان‬ ‫حيث‬1,4)-(‫وميل‬ , ‫له‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫يساوي‬ ‫عندها‬ ‫المماس‬-1.
‫س‬11/‫يمكن‬ ‫ما‬ ‫اكبر‬ ‫سعتها‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫نهاياتها‬ ‫احدى‬ ‫من‬ ‫مسدودة‬ ‫الشكل‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانية‬ ‫علبة‬ ‫ابعاد‬ ‫جد‬
‫تساوي‬ ‫صناعتها‬ ‫في‬ ‫المستخدم‬ ‫المعدن‬ ‫مساحة‬ ‫ان‬ ‫علما‬ ,3
cmπ12.
‫س‬11/‫قطرها‬ ‫نصف‬ ‫دائرة‬ ‫نصف‬ ‫داخل‬ ‫رسمه‬ ‫يمكن‬ ‫مستطيل‬ ‫اكبر‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬6 cm.

181. 2016-2015
‫ا‬
‫ملزمة‬‫الرياضيات‬
‫السادس‬‫العلمي‬

183. 1-4( ‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫التكامل‬‫بمنحنيات‬ ‫المحدد‬ ‫المناطق‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬181/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
( ‫الرابع‬ ‫الفصل‬‫التكامل‬):
]1-4[:‫بمنحنيات‬ ‫المحددة‬ ‫المناطق‬‫السابق‬ ‫دراستنا‬ ‫في‬ ‫تعرفنا‬‫المناطق‬ ‫على‬ ‫ة‬‫المنتظمة‬ ‫المستوية‬:
‫حيث‬1A‫مس‬ ‫منطقة‬, ‫تطيلة‬2A, ‫منحرف‬ ‫شبه‬ ‫منطقة‬3A, ‫دائرية‬ ‫منطقة‬4A‫مساحات‬ ‫ايجاد‬ ‫ويمكن‬ .‫مثلثة‬ ‫منطقة‬
.‫المناطق‬ ‫هذه‬
‫المنطقة‬ ‫لتكن‬A‫الشكل‬ ‫في‬‫المجاور‬: ‫مضلعه‬ ‫منطقة‬ ‫تسمى‬ ‫والتي‬
‫مثلثة‬ ‫مناطق‬ ‫الى‬ ‫تقسيمها‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫مساحتها‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬1A‫و‬2A‫و‬3A‫و‬4A
‫وتكون‬‫مساحة‬A=‫مساحة‬1A‫مساحة‬ +2A‫مساحة‬ +3A‫مساحة‬ +4A
.‫الخ‬ ... ‫مستطيله‬ ‫او‬ ‫مربعة‬ ‫او‬ ‫مثلثة‬ ‫مناطق‬ ‫الى‬ ‫نقسمها‬ ‫ان‬ ‫بعد‬ ‫مضلعه‬ ‫منطقة‬ ‫اي‬ ‫مساحة‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬
‫المنطقة‬ ‫اما‬A‫الشك‬ ‫في‬ ‫كما‬‫ل‬‫التالي‬:
‫ف‬‫المنطقة‬ ‫تسمى‬A‫المنحني‬ ‫تحت‬ ‫بالمنطقة‬f‫المنطقة‬ ‫وهي‬ ,‫المنحني‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬f‫السينات‬ ‫ومحور‬‫والمستقيمين‬
x = a‫و‬x = b)‫دائرة‬ , ‫مستطيل‬ , ‫مربع‬ , ‫(مثلث‬ ‫معلومة‬ ‫مناطق‬ ‫الى‬ ‫تقسيمها‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬ ,.
:‫تسميات‬
: ‫مالحظة‬
1-.‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫هي‬ ‫مستوية‬ ‫منطقة‬ ‫اي‬ ‫مساحة‬
2-‫كانت‬ ‫اذا‬⊆ AA′: ‫فان‬
‫المنطقة‬ ‫مساحة‬A′
≥‫المنطقة‬ ‫مساحة‬A
‫الشكل‬ ‫الحظ‬‫التالي‬:
1A3A
4A 2A
1A
2A
3A
4A
A
1A:‫اكبر‬‫منطقة‬‫المنطقة‬ ‫داخل‬ ‫مستطيلة‬A
)1A‫داخل‬ ‫بالكامل‬ ‫محتوات‬A)
1A
1′A:‫اصغر‬‫منطقة‬‫كل‬ ‫تحوي‬ ‫مستطيلة‬
‫المنطقة‬A
1′A
A‫المنحني‬ ‫تحت‬ ‫منطقة‬ :
A
1A
1′A
f
a b
A

184. 1-4( ‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫التكامل‬‫بمنحنيات‬ ‫المحدد‬ ‫المناطق‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬184/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫مثال‬1/‫المنطقة‬ ‫لمساحة‬ ‫تقريبية‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬A:
A = {(x, y) ∶ 2 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ f(x) ∶ f(x) = √x − 1 }
/‫الحل‬‫المنحني‬ ‫تحت‬ ‫المساحة‬ ‫حساب‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المطلوب‬f(x)‫من‬ ‫الفترة‬ ‫في‬x = 2‫الى‬x = 5:‫حيث‬
f(2) = √2 − 1 = 1
f(5) = √5 − 1 = 2
A1 = (5-2) . 1 = 3 unit2
Aˊ1 = (5-2) . 2 = = 6 unit2
A =
A1+Aˊ
1
2
=
3+6
2
= 4.5 unit2
/‫مالحظة‬‫ان‬ ‫نجد‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫في‬1A‫الفترة‬ ‫في‬ ‫للدالة‬ ‫قيمة‬ ‫اصغر‬ ‫يساوي‬ ‫ارتفاعها‬ ‫التي‬ ‫المستطيلة‬ ‫المنطقة‬ ‫هي‬
[2,5]‫تساوي‬ ‫والتي‬1=y‫بالرمز‬ ‫االرتفاع‬ ‫لهذا‬ ‫وسنرمز‬m‫اما‬ ,'1A‫ارتفاعها‬ ‫التي‬ ‫المستطيلة‬ ‫المنطقة‬ ‫فهي‬
‫الفترة‬ ‫في‬ ‫للدالة‬ ‫قيمة‬ ‫اكبر‬ ‫يساوي‬[2,5]‫بالرمز‬ ‫االرتفاع‬ ‫لهذا‬ ‫وسنرمز‬M‫في‬ ‫تعرفت‬ ‫وكما‬‫ف‬‫فان‬ ‫التفاضل‬ ‫صل‬m
‫المستمرة‬ ‫للدالة‬ ‫قيمة‬ ‫(اصغر‬[a,b]‫وكذلك‬M‫على‬ ‫المستمرة‬ ‫للدالة‬ ‫قيمة‬ ‫(اكبر‬[a,b]‫طرفي‬ ‫في‬ ‫عنهما‬ ‫ونبحث‬ ,
‫النقاط‬ ‫وعند‬ ‫الفترة‬.‫وجدت‬ ‫ان‬ ‫الحرجة‬
‫مثال‬2/‫المنطقة‬ ‫لمساحة‬ ‫تقريبية‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬A:
A = {(x, y) ∶ 1 ≤ x ≤ 4 . 0 ≤ y ≤ f(x) ∶ f(x) = x2
+ 1}
/‫الحل‬
f(1) = 12
+1 = 2 ⇒ A1 = 2 . (4-1) = 6 unit2
f(4) = 42
+1 = 17 ⇒ Aˊ1 = 17 (4-1) = 51 unit2
A =
A1+Aˊ
1
2
=
6+51
2
= 28.5 unit2
22 = ‫المنحني‬ ‫تحت‬ ‫الحقيقية‬ ‫المساحة‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬
: ‫االستنتاج‬‫المثال‬ ‫خالل‬ ‫من‬2‫التقريبية‬ ‫المساحة‬ ‫ان‬ ‫نجد‬‫عليها‬ ‫حصلنا‬ ‫التي‬4.5‫الحقيقية‬ ‫المساحة‬ ‫من‬ ‫قريبة‬
4.667‫المثال‬ ‫في‬ ‫ولكن‬2‫التقريبية‬ ‫المساحة‬ ‫على‬ ‫حصلنا‬ ‫حيث‬ ‫كبير‬ ‫الفرق‬ ‫ان‬ ‫نجد‬28.5‫الحقيقية‬ ‫المساحة‬ ‫بينما‬
‫هي‬22‫قيمة‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫ان‬ ‫نستنتج‬ ‫ومنها‬A1‫و‬A1
′
‫للمساحة‬ ‫ادق‬ ‫نتيجة‬ ‫على‬ ‫حصلنا‬ ‫كلما‬ ‫اصغر‬ ‫كان‬ ‫كلما‬
‫التقريبية‬‫اكبر‬ ‫دقة‬ ‫اردنا‬ ‫اذا‬ ‫لذلك‬‫المنطقة‬ ‫نجزء‬ ‫فاننا‬A‫قسم‬ ‫لكل‬ ‫المساحات‬ ‫ونحسب‬ ‫طولية‬ ‫اقسام‬ ‫عدة‬ ‫الى‬‫ويطلق‬
‫طريقة‬ ‫االسلوب‬ ‫هذا‬ ‫على‬‫التجزئة‬‫الشكل‬ ‫وفي‬‫التالي‬‫بتقسي‬ ‫قمنا‬‫المنطقة‬ ‫م‬‫رقم‬ ‫المثال‬ ‫في‬2:‫طولية‬ ‫اجزاء‬ ‫ثالثة‬ ‫الى‬
x = 1 x = 4
y = 2
y = 17
A
x = 2 x = 5
1A
y = 2
y =
2
y = 1
x = 1 x = 4
y = 2
1A
x = 1 x = 4
y = 17
1ˊA
‫تساوي‬ ‫المنحني‬ ‫تحت‬ ‫الحقيقية‬ ‫المساحة‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬4.667
.‫عليها‬ ‫حصلنا‬ ‫التي‬ ‫التقريبية‬ ‫المساحة‬ ‫قيمة‬ ‫من‬ ‫قريب‬ ‫وهي‬
y = 2
x = 5x = 2
1ˊAy = 1
x = 2 x = 5
1A
y = 2

185. 1-4( ‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫التكامل‬‫بمنحنيات‬ ‫المحدد‬ ‫المناطق‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬183/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
:‫مالحظات‬
1-‫التقسيم‬ ‫هذا‬ ‫على‬ ‫يطلق‬‫المرتبة‬ ‫الرباعية‬(4,x3,x2,x1x)‫وتدعى‬‫للفترة‬ ‫تجزيئا‬]4,x1[x‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫ويرمز‬σ
‫ان‬ ‫اي‬ )‫(سيكما‬(4,x3,x2,x1x)=σ
2-‫من‬ ‫الفترة‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬[a,b]‫الى‬ ‫تجزئتها‬ ‫واردنا‬n‫طول‬ ‫فان‬ ‫المنتظمة‬ ‫الفترات‬ ‫من‬‫له‬ ‫نرمز‬ ‫جزئية‬ ‫فترة‬ ‫كل‬ih
‫و‬‫يساوي‬
b−a
n
.
2-‫للفترات‬ ‫يقال‬]2,x1[x‫و‬]3,x2[x‫و‬]4,x3[x‫الفترة‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫فترات‬ ‫هي‬]4,x1[x
4-‫ك‬‫مساحاتي‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫فان‬ ‫التجزيء‬ ‫مناطق‬ ‫زادت‬ ‫لما‬A‫و‬Aˊ.‫اقل‬ ‫سيكون‬
‫مثال‬3/‫التجزئة‬ ‫طريقة‬ ‫باستخدام‬‫المنطقة‬ ‫لمساحة‬ ‫تقريبية‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬A:
A = {(x, y): 1 ≤ x ≤ 4 . 0 ≤ y ≤ f(x): f(x) = x2
+ 1}
/‫الحل‬‫الى‬ ‫الفترة‬ ‫بتقسيم‬ ‫نقوم‬‫هي‬ ‫جزئية‬ ‫فترات‬ ‫ثالثة‬[1,2]‫و‬[2,3]‫و‬[3,4]‫ان‬ ‫اي‬σ = (1,2,3,4)
A1 = 2 . )2-1) = 2 unit2
Aˊ1 = 5 . )2-1) = 5 unit2
A2 = 5 . )3-2) = 5 unit2
Aˊ2 = 10 . )3-2) = 10 unit2
A3 = 10 . )4-3) = 10 unit2
Aˊ3 = 17 . )4-3) = 17 unit2
A =
∑ Ai+∑ A
′
i
2
=
2+5+10+5+10+17
2
A=
49
2
= 24.5 unit2
‫المنحني‬ ‫تحت‬ ‫الحقيقية‬ ‫المساحة‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬=22‫ان‬ ‫حيث‬ ‫الناتج‬ ‫دقة‬ ‫زادت‬ ‫التجزئة‬ ‫طريقة‬ ‫استخدمنا‬ ‫ان‬ ‫بعد‬ ‫وهنا‬
‫المثال‬ ‫حل‬ ‫من‬ ‫المساحة‬2‫كانت‬28.5‫المثال‬ ‫في‬ ‫بينما‬4‫المساحة‬ ‫كانت‬24.5.
‫مثال‬4/:‫التالية‬ ‫للمنطقة‬ ‫التقريبية‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬A = {(x, y) ∶ 2 ≤ x ≤ 5 ∶ f(x) = x2
+ 1}‫باستخدام‬ ‫وذلك‬
.‫التجزئة‬ ‫طريقة‬
a) σ = (2,3,5)
b) σ = (2,3,4,5)
/‫الحل‬
1A
3A2A
)1f(x
)2f(x
)3f(x
1x 2x 3x 4x
1A'
3A'
2A'
)2f(x
)3f(x
)4f(x
1x 2x 3x 4x
3 4
1A
3A
2A
y=2
y=5
y=10
x
y=17
21

186. 1-4( ‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫التكامل‬‫بمنحنيات‬ ‫المحدد‬ ‫المناطق‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬181/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
a) σ = (2,3,5)
: ‫الفترات‬[2,3]‫و‬[3,5]
A1 = 5 . )3-2) = 5 unit2
Aˊ1 = 10 . )3-2) = 10 unit2
A2 = 10 . )5-3) = 20 unit2
Aˊ2 = 26 . )5-3) = 52 unit2
A =
5+20+10+52
2
=
87
2
= 43.5 unit2
b) σ = (2,3,4,5)
: ‫الفترات‬[2,3]‫و‬[3,4]‫و‬[4,5]
A1 = 5 . )3-2) = 5 unit2
Aˊ1 = 10 . )3-2) = 10 unit2
A2 = 10 . )4-3) = 10 unit2
Aˊ2 = 17 . )4-3) = 17 unit2
A3 = 17 . )5-4) = 17 unit2
Aˊ3 = 26 . )5-4) = 26 unit2
A =
5+10+17+10+17+26
2
=
85
2
= 42.5 unit2
x
1A
2A
(5,26)
(3,10)
(2,5)
2ˊA
1ˊA
2 3 5
y
x
1A
2A
(5,26)
(3,10)
(2,5)
2ˊA
1ˊA
3A
3ˊA
(4,17)
52 3 4
y

187. 2-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫السفلى‬ ‫والمجاميع‬ ‫العليا‬ ‫المجاميع‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬180/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
]2-4[:‫السفلى‬ ‫والمجاميع‬ ‫العليا‬ ‫المجاميع‬‫ان‬‫قيم‬ ‫مجموع‬A‫المجاميع‬ ‫عليها‬ ‫يطلق‬ ‫الفترات‬ ‫لكل‬
‫السفلى‬Lower Rectangles‫ومجموع‬‫قيم‬A′‫العليا‬ ‫المجاميع‬ ‫عليه‬ ‫يطلق‬Upper rectangles‫واالن‬
‫كيفية‬ ‫سنتعلم‬‫القيم‬ ‫هذه‬ ‫حساب‬:‫ان‬ ‫حيث‬ ‫جدول‬ ‫بصورة‬
a & b=‫الكلية‬ ‫الفترة‬ ‫ونهاية‬ ‫بداية‬
i& bia=‫الجزئية‬ ‫الفترة‬ ‫ونهاية‬ ‫بداية‬i
ih=‫الجزئية‬ ‫الفترة‬ ‫طول‬i
‫الفترة‬ ‫طول‬ ‫على‬ ‫متناقصة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬i‫فـــ‬‫ا‬‫ن‬:)if(a=iM,)if(b=im
‫الفترة‬ ‫طول‬ ‫على‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬i‫ف‬‫ــــ‬‫ان‬:)if(b=iM,)if(a=im
‫الفترة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬i‫قيم‬ ‫نحسب‬ ‫فاننا‬ ‫صغرى‬ ‫او‬ ‫عظمى‬ ‫نهايات‬ ‫تحوي‬‫الدالة‬ ‫ة‬‫عند‬ia‫و‬ib‫وعند‬‫النهايات‬ ‫نقط‬
:‫وتكون‬
im=‫للدالة‬ ‫قيمة‬ ‫اقل‬f‫الجزئية‬ ‫الفترة‬ ‫في‬i
iM=‫للدالة‬ ‫قيمة‬ ‫اكبر‬f‫الجزئية‬ ‫الفترة‬ ‫في‬i
h.m∑L(σ,f) =‫االسفل‬ ‫المجموع‬
h.M∑U(σ,f) =‫االعلى‬ ‫المجموع‬
:‫فان‬ ‫الحل‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫للتأكد‬L(σ,f)≥U(σ,f)&im≥iM
:‫ادناه‬ ‫الجدول‬ ‫في‬ ‫كما‬ ‫البيانات‬ ‫نرتب‬
h.Mh.miMimhi‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
]i,bi[a
)1x–2(x1M)1x–2(x1m1M1m1x–2x]2,x1[x
)2x–3(x2M)2x–3(x2m2M2m2x–3x]3,x2[x
)3x–4(x3M)3x–4(x3m3M3m3x–4x]4,x3[x
h.M∑h.m∑
‫مثال‬5/‫لتكن‬f(x) = 5+2x,f:[1,4] → R‫كانت‬ ‫فاذا‬σ = (1,2,3,4)‫االسفل‬ ‫المجموع‬ ‫فاوجد‬L(σ,f)
‫االعلى‬ ‫والمجموع‬U(σ,f).
/‫الحل‬‫الحرجة‬ ‫والنقاط‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫نحدد‬:
f(x) = 5 + 2x ⟹ f′
(x) = 2
‫متزايدة‬ ‫والدالة‬ ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬‫مجالها‬ ‫في‬‫قيم‬ ‫ان‬ ‫اي‬im‫تساوي‬i)af(‫وقيم‬iM‫تساوي‬i)bf(.
L(σ,f) = 27 ‫االسفل‬ ‫المجموع‬
U(σ,f) = 33 ‫االعلى‬ ‫المجموع‬
‫مثال‬6/‫لتكن‬2
x–3x=f(x),R→f:[0,4]‫من‬ ‫كل‬ ‫اوجد‬L(σ,f)‫و‬U(σ,f)‫مستخدما‬‫تجزيئات‬ ‫اربعة‬
.‫منتظمة‬
/‫الحل‬h =
b−a
n
=
4−0
4
= 1⟹n = 4
: ‫الفترات‬[3,4]‫و‬[2,3]‫و‬[1,2]‫و‬[0,1]
:‫الحرجة‬ ‫والنقاط‬ ‫والتناقص‬ ‫التزايد‬ ‫مناطق‬ ‫نحدد‬
f(x) = 3x – x2
⟹ f′
(x) = 3 – 2x = 0 ⟹ 3 – 2x = 0 ⟹ 2x = 3
∴ x =
3
2
∈ [0,4]
+++++++ -------
𝟑
𝟐
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
97f(2) = 9f(1) = 71[1,2]
119f(3)= 11f(2) = 91[2,3]
1311f(4)= 13f(3)= 111[3,4]
3327

188. 2-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫السفلى‬ ‫والمجاميع‬ ‫العليا‬ ‫المجاميع‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬188/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫الفترة‬ ‫في‬[1,2],:‫الحرجة‬ ‫النقطة‬ ‫وعند‬ ‫ونهايتها‬ ‫الفترة‬ ‫بداية‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫قيمة‬ ‫نحسب‬ ‫حرجة‬ ‫نقطة‬ ‫تحوي‬ ‫التي‬
f(1) = 3.1 - 12
= 2 = m
f(2) = 2.2 - 22
= 2
f(
3
2
) = 3 .
3
2
– (
3
2
)2
=
9
2
-
9
4
=
9
4
= M
L(σ,f) = -2 ‫االسفل‬ ‫المجموع‬
U(σ,f) = 6
1
4
‫االعلى‬ ‫المجموع‬
‫تمارين‬ ‫حلول‬1-4
‫اوجد‬L(σ,f)‫و‬U(σ,f):‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬
1)f:[-2,1] → R , f(x) = 3 – x
a) σ = (-2,0,1)
b) ‫الفترة‬ ‫تقسم‬[2,1-]‫منتظمة‬ ‫جزئية‬ ‫فترات‬ ‫ثالث‬ ‫الى‬
/‫الحل‬
a): ‫الفترات‬[-2,0]‫و‬[0,1]
f(x) = 3 – x ⟹ f′
(x) = –1 < 0
.‫مجالها‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫والدالة‬ ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
106532[-2,0]
32321[0,1]
138
L(σ,f) = 8 ‫االسفل‬ ‫المجموع‬
U(σ,f) = 13 ‫االعلى‬ ‫المجموع‬
b)‫الفترة‬ ‫تقسم‬[2,1-]:‫منتظمة‬ ‫جزئية‬ ‫فترات‬ ‫ثالث‬ ‫الى‬
h =
b−a
n
=
1−(−2)
3
= 1
∴ σ = (-2,-1,0,1)
: ‫الفترات‬[-2,-1]‫و‬[-1,0]‫و‬[0,1]
.‫مجالها‬ ‫في‬ ‫متناقصة‬ ‫والدالة‬ ‫حرجة‬ ‫نقاط‬ ‫توجد‬ ‫ال‬
L(σ,f) = 9 ‫االسفل‬ ‫المجموع‬
U(σ,f) = 12 ‫االعلى‬ ‫المجموع‬
2) f:[0,4] → R , f(x) = 4x – x2
, σ = (0,1,2,3,4)
/‫الحل‬: ‫الفترات‬[3,4]‫و‬[2,3]‫و‬[1,2]‫و‬[0,1]
f(x) = 4x – x2
f′
(x) = 4 – 2x
4 – 2x = 0 ⟹ ∴ x = 2 ∈ [0,4]
‫ال‬ ‫قبل‬ ‫الفترات‬‫نهاية‬‫ال‬‫عظمى‬)if(a=im‫و‬)if(b=iM
‫العظمى‬ ‫النهاية‬ ‫بعد‬ ‫الفترات‬)if(b=im‫و‬)if(a=iM
+ + + + + + + + ----------
2
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
20201[0,1]
9 4⁄29 4⁄21[1,2]
20201[2,3]
0-40-41[3,4]
6
1
4
-2
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
54541[-2,-1]
43431[-1,0]
32321[0,1]
129

189. 2-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫السفلى‬ ‫والمجاميع‬ ‫العليا‬ ‫المجاميع‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬187/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
L(σ,f) = 6 ‫االسفل‬ ‫المجموع‬
U(σ,f) = 14 ‫االعلى‬ ‫المجموع‬
3) f:[ 1,4] → R , f(x) = 3x2
+ 2x
a) σ = (1,2,4)
b) ‫متساوية‬ ‫جزئية‬ ‫فترات‬ ‫ثالث‬ ‫استخدم‬
/‫الحل‬
a): ‫الفترات‬[2,4]‫و‬[1,2]
f(x) = 3x2
+ 2x
f′
(x) = 6x + 2
6x + 2 = 0 ⟹ ∴ x =
−1
3
∉ [1,4] ‫الفترة‬ ‫خارج‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬
.‫مجالها‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬
L(σ,f) = 37 ‫االسفل‬ ‫المجموع‬
U(σ,f) = 128 ‫االعلى‬ ‫المجموع‬
b)‫متساوية‬ ‫جزئية‬ ‫فترات‬ ‫ثالث‬ ‫استخدم‬:
h =
b−a
n
=
4−1
3
= 1
: ‫الفترات‬[3,4]‫و‬[2,3]‫و‬[1,2]
.‫مجالها‬ ‫في‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬
L(σ,f) = 54 ‫االسفل‬ ‫المجموع‬
U(σ,f) = 105 ‫االعلى‬ ‫المجموع‬
+ + + + + + + +
−𝟏
𝟑
+ + + + + + + +
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
1651651[1,2]
1123256162[2,4]
12837
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
1651651[1,2]
331633161[2,3]
563356331[3,4]
10554
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
203f(1) =f(0) = 01[0,1]
434f(2) =3f(1) =1[1,2]
424f(2) =2f(3) =1[2,3]
202f(3) =0f(4) =1[3,4]
146

190. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫التكامل‬ ‫تعريف‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬178/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
]3-4[‫تعريف‬‫المحدد‬ ‫التكامل‬:‫ل‬ ‫التقريبية‬ ‫القيمة‬‫للدالة‬ ‫المحدد‬ ‫لتكامل‬f‫الفترة‬ ‫في‬ ‫المستمرة‬[a,b]‫عنها‬ ‫يعبر‬
:‫بالمعادلة‬
∫ 𝐟
𝐛
𝐚
≈
ǀ 𝐋( 𝛔, 𝐟)ǀ + ǀ 𝐔( 𝛔, 𝐟)ǀ
𝟐
‫مثال‬1/‫لتكن‬2
x=R , f(x)→1,3]f:[‫للتكامل‬ ‫تقريبية‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬∫ 𝐱 𝟐𝟑
𝟏
. 𝐝𝐱‫الفترة‬ ‫تجزأت‬ ‫اذا‬
[1,3].‫تجزيئتين‬ ‫الى‬
/‫الحل‬
h =
3−1
n
=
2
2
= 1
f(x) = x2
f′
(x) = 2x = 0 ⟹ 2x = 0 ⟹ ∴ x = 0 ∉ [1,3]
∴‫الفترة‬ ‫خارج‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬
‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬[1,3].
∴ ∫ x23
1
. dx ≈
13+5
2
= 9 unit2
‫مثال‬2/‫كانت‬ ‫اذا‬f:[2,5] → R , f(x) = 2x - 3‫اوجد‬∫ 𝐟
𝟓
𝟐
‫تحت‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫بحساب‬ ‫هندسيا‬ ‫تحقق‬ ‫ثم‬
‫المنحني‬f.
/‫الحل‬‫نفرض‬σ = (2,3,4,5)
f(x) = 2x - 3
f′
(x) = 2
‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬[2,5].
∴ ∫ f(x)
3
1
. dx ≈
15+9
2
= 12 unit2
‫مثال‬3/‫كانت‬ ‫اذا‬f:[1,5] → R , f(x) = 3‫اوجد‬∫ 𝐟
𝟓
𝟏
‫تحت‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫بحساب‬ ‫هندسيا‬ ‫تحقق‬ ‫ثم‬
‫المنحني‬f.
/‫الحل‬‫نفرض‬σ = (1,3,5)
f(x) = 3
+ + + + + + + +8----------
y = 1
y = 7
2 5
:‫الهندسي‬ ‫التحقق‬
A =
𝟏
𝟐
(1+7) . 3 = 12
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
41411[1,2]
94941[2,3]
135
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
21211[2,3]
52521[3,4]
75751[4,5]
159

191. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫التكامل‬ ‫تعريف‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬171/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫الدالة‬f‫قيمة‬ ‫اي‬ ‫نختار‬ ‫ان‬ ‫ويمكننا‬ ‫متناقصة‬ ‫وال‬ ‫متزايدة‬ ‫ليست‬ ‫اي‬ ‫صفر‬ ‫ومشتقتها‬ ‫افقي‬ ‫خط‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬m‫و‬M:
∴ ∫ f(x)
5
1
. dx ≈
12+12
2
= 12 unit2
‫تمارين‬ ‫حلول‬2-4
1)‫للتكامل‬ ‫تقريبية‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬∫
𝟑
𝐱
𝟑
𝟏
. dx‫التجزئة‬ ‫باستخدام‬σ = (1,2,3).
/‫الحل‬
f(x) =
𝟑
𝐱
f´(x) =
−𝟑
𝐱 𝟐
‫متناقصة‬ ‫الدالة‬.‫مجالها‬ ‫كل‬ ‫في‬
∴ ∫
𝟑
𝐱
3
1
. dx ≈
7
2
= 3
𝟏
𝟐
unit2
2)‫لتكن‬f:[ 1,4] → R , f(x) = 3x-3‫للتكامل‬ ‫تقريبية‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬∫ 𝐟
𝟒
𝟏
‫التج‬ ‫باستخدام‬‫ـــــــــــــ‬‫ــزئة‬σ =
(1,2,3,4)‫المنحني‬ ‫تحت‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫بحساب‬ ‫هندسيا‬ ‫تحقق‬ ‫ثم‬f.
/‫الحل‬f(x) = 3x - 3
f′
(x) = 2
‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬[1,4].
∴ ∫ f
4
1
≈
18+9
2
= 13
𝟏
𝟐
unit2
:‫الهندسي‬ ‫التحقق‬
A = 3.4 = 12 unit2
y=3 y=3
1 5
8
------ ------
:‫الهندسي‬ ‫التحقق‬
A =
𝟗 .𝟑
𝟐
= 𝟏𝟑
𝟏
𝟐
𝐮𝐧𝐢𝐭 𝟐
(1,0)
y=9
1 4
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
66232[1,3]
66322[3,5]
1212
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
33
2
33
2
1[1,2]
3
2
13
2
11[2,3]
4
1
2
2
1
2
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
20201[1,2]
62621[2,3]
96961[3,4]
189

192. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫التكامل‬ ‫تعريف‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬172/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
3)‫التكامل‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬∫ (3x2
− 3)
4
2
. dx‫التجزئة‬ ‫باستخدام‬σ = (2,3,4).
/‫الحل‬
f(x) = 2x2
- 3
f′
(x) = 6x ⟹ 6x = 0 ⟹ x = 0 ∉ [2,4]
∴‫الفترة‬ ‫خارج‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬
‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬[2,4].
∫ (3x2
− 3)
4
2
. dx ≈
33+69
2
= 51 unit2
4)‫التكامل‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬∫ f
2
−3
‫حيث‬f(x) = -4.
/‫الحل‬‫نفرض‬σ = (-3,0,2)
‫الدالة‬f‫قيمة‬ ‫اي‬ ‫نختار‬ ‫ان‬ ‫ويمكننا‬ ‫متناقصة‬ ‫وال‬ ‫متزايدة‬ ‫ليست‬ ‫اي‬ ‫صفر‬ ‫ومشتقتها‬ ‫افقي‬ ‫خط‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬m‫و‬M:
∴ ∫ f(x)
2
−3
. dx ≈
20+20
2
= 20 unit2
5)‫التكامل‬ ‫قيمة‬ ‫اوجد‬∫ x35
1
. dx‫منتظمة‬ ‫تجزيئات‬ ‫اربعة‬ ‫باستخدام‬.
/‫الحل‬
h =
5−1
4
=
4
4
= 1
f(x) = x2
f′
(x) = 2x2
2x2
= 0 ⟹ ∴ x = 0 ∉ [1,5]
∴‫الفترة‬ ‫خارج‬ ‫الحرج‬ ‫العدد‬
‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫متزايدة‬ ‫الدالة‬[1,5].
∴ ∫ x35
1
. dx ≈
224+100
2
= 162 unit2
8
----- + + + + +
+ + + + + + + +
8
+ + + + + + + +
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
2492491[2,3]
452445241[3,4]
6933
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
-12-12-4-43[-3,0]
-8-8-4-42[0,2]
-20-20
h.Mh.miMimhi
‫الجزئية‬ ‫الفترة‬
[a,b]
81811[1,2]
2782781[2,3]
642764271[3,4]
12564125641[4,5]
224100

193. 4-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫للتكامل‬ ‫االساسية‬ ‫النظرية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬171/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
]4-4[‫للتكامل‬ ‫االساسية‬ ‫النظرية‬–:‫المقابلة‬ ‫الدالة‬‫بين‬ ‫التقريبية‬ ‫المساحات‬ ‫حساب‬ ‫كيفية‬ ‫تعلمنا‬ ‫االن‬ ‫لغاية‬
‫للتكامل‬ ‫الحقيقية‬ ‫القيمة‬ ‫ايجاد‬ ‫كيفية‬ ‫سنتعلم‬ ‫واالن‬ ‫المحدد‬ ‫بالتكامل‬ ‫عنه‬ ‫يعبر‬ ‫والذي‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬ ‫دالة‬ ‫اي‬ ‫منحني‬
.‫تقريب‬ ‫اي‬ ‫بدون‬ ‫المحدد‬
‫الدالة‬ ‫وتسمى‬F‫للدالة‬ ‫المقابلة‬ ‫الدالة‬f‫الفترة‬ ‫على‬[a,b].
‫ان‬ ‫فرضنا‬ ‫اذا‬f‫من‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬(x = 1)‫الى‬(x = 2)‫حيث‬f(x) = 2x:‫التالية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وتكتب‬
f:[1,2] → R , f(x) = 2x
‫من‬ ‫مستمرة‬ ‫ايضا‬ ‫المقابلة‬ ‫دالتها‬ ‫فان‬)1=x)‫الى‬)2=x(‫حيث‬2
x=F(x):‫التالية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وتكتب‬
F:[1,2] → R , F(x) = x2
‫فان‬ ‫وبذلك‬:
∫ f
2
1
(x)dx = [F(x)]
2
1
= F(2) − F(1) = 22
− 12
= 3 unit2
‫مثال‬1/‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬f‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬[1,5]‫حيث‬2
3x=F(x)‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬f‫جد‬∫ f
5
1
.
∫ f
5
1
= [F(x)]
5
1
= F(5) − F(1)
= 3 . 52
− 3 . 12
= 75 – 3 = 72 unit2
‫مثال‬2/‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬f‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬[0,
𝜋
2
]‫للدالة‬ ‫المقابلة‬ ‫الدالة‬ ‫وان‬f:‫هي‬
F:[0,
𝜋
2
] → R , F(x) = sin x,‫اوجد‬∫ f
π
2⁄
0
/‫الحل‬
∫ f
𝜋
2
0
= [F(x)]
π
2⁄
0
= F(π
2
) − F(0) = sin(π
2
) − sin(0) = 1 − 0 = 1
‫مثال‬3/‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫فيما‬ ‫اثبت‬+ 23
x=R , F(x)→]3F:[1,‫لـ‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ‫هي‬2
3x=f(x)
/‫الحل‬
1-‫الدالة‬F(x)‫الفترة‬ ‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬ ‫مستمرة‬[1, 3].‫الحدود‬ ‫كثير‬ ‫النها‬
2-‫الدالة‬f(x)‫الفترة‬ ‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬ ‫مستمرة‬(1, 3).‫الحدود‬ ‫كثير‬ ‫النها‬
2-‫الدالة‬ ‫مشتقة‬F(x)‫الدالة‬ ‫تساوي‬f(x):
F´(x) = 3x2
= f(x) , ∀ 𝐱 ∈ (𝟏, 𝟑)
‫الدالة‬ ‫اذا‬F(x)‫للدالة‬ ‫المقابلة‬ ‫الدالة‬ ‫هي‬f(x).
‫مثال‬4/:‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫اثبت‬sin(2x)F: → R , F(x) =
1
2
:‫للدالة‬ ‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ‫هي‬f: → R , f(x) = cos(2x)‫قيمة‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬∫ cos(2x)
𝛑
𝟒⁄
0
/‫الحل‬
1-‫الدالة‬F(x)‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬ ‫مستمرة‬R.
2-‫الدالة‬f(x)‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬ ‫مستمرة‬R.
2-‫الدالة‬ ‫مشتقة‬F(x)‫الدالة‬ ‫تساوي‬f(x):
‫مبرهنة‬:‫ا‬‫كانت‬ ‫ذا‬f‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬[a,b]‫دالة‬ ‫توجد‬ ‫فانه‬F‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬[a,b]: ‫بحيث‬
F
′
(x) = f(x) , ∀ 𝐱 ∈ (𝐚, 𝐛)
:‫ويكون‬
∫ 𝐟
𝐛
𝐚
= [ 𝐅( 𝐱)]
𝐛
𝐚
= 𝐅( 𝐛) − 𝐅(𝐚)

194. 4-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫للتكامل‬ ‫االساسية‬ ‫النظرية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬174/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
F´ (x) =
1
2
cos(2x) .2 = cos(2x)
∴ F´ (x) = f(x) , ∀ 𝐱 ∈ 𝐑
‫الدالة‬ ‫اذا‬F(x)‫للدالة‬ ‫المقابلة‬ ‫الدالة‬ ‫هي‬f(x).
∫ 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝐱)
𝛑
𝟒⁄
𝟎
= [ 𝐅( 𝐱)]
𝛑
𝟒⁄
𝟎
= 𝐅( 𝛑
𝟐⁄ ) − 𝐅( 𝟎)=
𝟏
𝟐
sin(2 .
𝝅
𝟒
) -
𝟏
𝟐
sin(2 . 0)
=
𝟏
𝟐
sin(
𝝅
𝟐
) -
𝟏
𝟐
sin(0) =
𝟏
𝟐
− 𝟎 =
𝟏
𝟐
1) ∫ (3x2
+ 2x − 2)dx
2
1
= [3
x3
3
+ 2
x2
2
− 2x] 2
1
= [x3
+ x2
− 2x] 2
1
= [23
+ 22
− 2(2)] − [13
+ 12
− 2(1)] = [8 + 4 − 4] − [1 + 1 − 2] = 8 − 0 = 8
2) ∫
2x
√x2+16
dx
3
0
= ∫ 2x . (x2
+ 16)−
1
2 . dx
3
0
= [
(x2+16)
1
2
1
2
]
3
0
= [2√ x2 + 16 ]
3
0
=[2√ 32 + 16 ] − [2√ 02 + 16 ] =[2√25 ] − [2√16 ] = 2 .5 − 2 . 4 = 2
3) ∫ x(x − 1)(x − 2)dx
0
4
= ∫ (x2
− 2x)(x − 1)dx
0
4
‫االول‬ ‫القوس‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬2x-2‫بـ‬ ‫نضرب‬ ‫اذا‬
2
2
:
=
1
2
∫ (x2
− 2x) . 2(x − 1)dx
0
4
=
1
2
∫ (x2
− 2x) . (2x − 2)dx
0
4
=
1
2
[
(x2−2x)2
2
] 0
4
=
1
2
[
(02−2(0))2
2
]-
1
2
[
(42−2(4))2
2
] = 0 -
(16−8)2
4
= -
(8)2
4
= -
64
4
= -16
:‫للتكامل‬ ‫العامة‬ ‫المبادئ‬
1-:‫الدالة‬ ‫تكامل‬ ‫في‬ ‫الثابت‬ ‫يساوي‬ ‫ثابت‬ ‫في‬ ‫دالة‬ ‫تكامل‬∫ c . f´(x) . dx= c . ∫ f´(x) . dx
2-:‫دالة‬ ‫كل‬ ‫تكامل‬ ‫طرح‬ ‫او‬ ‫مجموع‬ ‫يساوي‬ ‫دالتين‬ ‫طرح‬ ‫او‬ ‫مجموع‬ ‫تكامل‬
∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
2-‫للقوة‬ ‫مرفوعة‬ ‫دالة‬ ‫تكامل‬n‫لالس‬ ‫مرفوعة‬ ‫الدالة‬ ‫تساوي‬ ‫القوس‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬ ‫في‬n+1‫على‬ ‫مقسومة‬n+1:
∫[f(x)]n
. f´(x) . dx =
[f(x)]n+1
n+1
:‫المحدد‬ ‫التكامل‬ ‫خواص‬
1)‫كانت‬ ‫اذا‬> 0f(x)‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫ومستمرة‬[a,b]‫فان‬:∫ 𝐟( 𝐱) 𝐝𝐱 > 𝟎
𝐛
𝐚
2)‫كانت‬ ‫اذا‬< 0f(x)‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫ومستمرة‬[a,b]: ‫فان‬∫ 𝐟( 𝐱) 𝐝𝐱 < 𝟎
𝐛
𝐚
3)‫كانت‬ ‫اذا‬f(x)‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫مستمرة‬[a,b]‫وكان‬c‫للفترة‬ ‫ينتمي‬ ‫حقيقيا‬ ‫عدد‬[a,b]:‫فان‬
∫ 𝐟( 𝐱) 𝐝𝐱 = ∫ 𝐟( 𝐱) 𝐝𝐱 + ∫ 𝐟( 𝐱) 𝐝𝐱
𝐛
𝐜
𝐜
𝐚
𝐛
𝐚
4):‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫المحدد‬ ‫التكامل‬ ‫قيمة‬ ‫فان‬ ‫المحدد‬ ‫التكامل‬ ‫حدي‬ ‫تساوى‬ ‫اذا‬∫ 𝐟( 𝐱) 𝐝𝐱 = 𝟎
𝐚
𝐚
5):‫التكامل‬ ‫اشارة‬ ‫نعكس‬ ‫التكامل‬ ‫حدود‬ ‫عكس‬ ‫عند‬∫ 𝐟( 𝐱) 𝐝𝐱 = − ∫ 𝐟( 𝐱) 𝐝𝐱
𝐚
𝐛
𝐛
𝐚

195. 4-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫للتكامل‬ ‫االساسية‬ ‫النظرية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬173/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
4) ∫ (
√ √x
3
− 1
√x23 )dx
125
1
= ∫ (
√
x
1
3− 1
x
2
3
)dx
125
1
= ∫ (x
1
3 − 1)
1
2 . x−
2
3 . dx
125
1
L = x
1
3 − 1 ⟹ L´ =
1
3
x−
2
3 ⟹
3
3
‫بـ‬ ‫نضرب‬ ‫اذا‬
= 3 ∫ (x
1
3 − 1)
1
2 .
x
−
2
3
3
. dx
125
1
= 3[
(x
1
3− 1)
3
2
3
2
]
125
1
= [2√(√x
3
− 1)3]
125
1
= [2√(√125
3
− 1)3 ]- [2√(√1
3
− 1)3 ] = [2√(5 − 1)3 ]- [2√(0)3 ]
= 2√(4)3 = 2√16 . 4 = 2 . 4 . 2 = 16
:‫التالية‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬ / ‫مثال‬
1) ∫ sec2
x
π
4⁄
0
dx = [tan x]0
π
4⁄
= tan π
4⁄ - tan 0 = 1 – 0 = 1
2) ∫ csc2
x
π
2⁄
π
4⁄
dx = [-cot x]π
4⁄
π
2⁄
= [-cot π
2⁄ ] – [-cot π
4⁄ ] = 0 + 1 =1
3) ∫ sec x . tan x
π
3⁄
0
dx = [sec x]0
π
3⁄
= [sec π
3⁄ ] – [sec 0] = 2-1 = 1
‫لت‬ ‫العامة‬ ‫المبادئ‬:‫المثلثية‬ ‫الدوال‬ ‫كامل‬
1) ∫ cos θ dθ = sin θ + c
2) ∫ sin θ dθ = −cos θ + c
3) ∫ sec2
θ dθ = tan θ + c
4) ∫ csc2
θ dθ = −cot θ + c
5) ∫ (sec θ . tan θ) dθ = sec θ + c
6) ∫ (csc θ . cot θ) dθ = −csc θ + c
‫في‬ / ‫مالحظة‬‫المث‬ ‫الدوال‬‫الزاوية‬ ‫مشتقة‬ ‫تتوفر‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫لثية‬.‫نكاملها‬ ‫ان‬ ‫قبل‬
:‫المطلقة‬ ‫للدوال‬ ‫المحدد‬ ‫التكامل‬
a): ‫المطلقة‬ ‫الدالة‬∫ |f(x)|
b
a
dx ‫أو‬ ∫ √x2b
a
dx
b)‫قيم‬ ‫نحدد‬‫ة‬ox‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫الدالة‬ ‫تقاطع‬ ‫عند‬
c)‫نحدد‬‫الدالتين‬ ‫قيمة‬ ‫تكون‬ ‫بحيث‬ ‫المركبة‬ ‫الدالة‬f(x)‫و‬−f(x).‫دالة‬ ‫كل‬ ‫فترة‬ ‫خالل‬ ‫موجبة‬
d)‫كان‬ ‫اذا‬‫ت‬‫قيم‬‫ة‬ox‫ضمن‬ ‫تقع‬‫فان‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬‫من‬ ‫التكامل‬ ‫نقسم‬ ‫نا‬a‫الى‬ox‫ومن‬ox‫الى‬b.
e).‫دالة‬ ‫كل‬ ‫مجال‬ ‫حسب‬ ‫التكامل‬ ‫عملية‬ ‫نجري‬
‫للدوال‬ ‫المحدد‬ ‫التكامل‬‫المركبة‬:
a)‫كانت‬ ‫اذا‬ox‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫استمرارية‬ ‫نبحث‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫ضمن‬ ‫تقع‬ox.
b)‫الفقرة‬ ‫من‬ ‫الخطوات‬ ‫نكمل‬d.

196. 4-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫للتكامل‬ ‫االساسية‬ ‫النظرية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬171/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫جد‬ /‫مثال‬:‫التالية‬
1) ∫ |x|
4
−3
dx
f(x( = x = 0 ∴ x = 0
f(x) = {
x , x ≥ 0
−x , x < 0
∫ |x|
4
−3
dx = ∫ (−x)
0
−3
dx + ∫ (x)
4
0
dx = [
−x2
2
]−3
0
+ [
x2
2
]0
4
=[0 −
−(−3)2
2
] [
42
2
− 0]
=
9
2
+
16
2
=
25
2
2) ∫ |x − 3|
1
−1
dx
f(x( = x -3 = 0 ∴ x = 3
f(x) = {
x − 3 , x ≥ 3
3 − x , x < 3
‫العدد‬3‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫يجزء‬ ‫ال‬[-1,1]:
∫ |x − 3|
1
−1
dx = ∫ (3 − x)
1
−1
dx
‫التكامل‬ ‫فترة‬[-1,1]‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫ضمن‬ ‫تقع‬–x2
= [𝟑𝐱 −
𝐱 𝟐
𝟐
]−𝟏
𝟏
= [𝟑 −
𝟏
𝟐
] - [−𝟑 −
𝟏
𝟐
] = 𝟑 −
𝟏
𝟐
+ 𝟑 +
𝟏
𝟐
= 6
3) ∫ f(x)
5
0
dx
f(x) = {
2x + 1 , x ≥ 1
3 , x < 1
‫اذا‬:‫كانت‬
/‫الحل‬1=ox
‫ان‬ ‫بما‬ox‫ضمن‬ ‫تقع‬‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫استمرارية‬ ‫نبحث‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬1=x:
f(1) = 2 . 1 + 1 = 3
L1 = lim
x→1+
(2x + 1) = 2 . 1 + 1 = 3
L2 = lim
x→1−
(3) = 3 = L1
L1 = f(1) = 3
‫مستمرة‬ ‫الدالة‬‫عند‬x = 1.
‫العدد‬1‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫يجزء‬[0,5]:
∫ f(x)
5
0
dx = ∫ 3
1
0
dx + ∫ (2x + 1)
5
1
dx = [3x]0
1
+ [x2
+ x]1
5
= [3 − 0] + [[52
+ 5] − [12
+ 1]] = 3 + 25 + 5 − 2 = 31
‫التمارين‬ ‫حلول‬3-4
1):‫االتية‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫احسب‬
a) ∫ (3x − 2)
2
−2
dx = [
3x2
2
− 2x]−2
2
=[
3 . 22
2
− 2 . 2]- [
3(−2)2
2
− 2(−2)]
= [6 − 4] − [6 + 4]= 2-10 = -8
b) ∫ (x−2
+ 2x + 1)
2
1
dx = [
x−1
−1
+ x2
+ x]1
2
= [
−1
x
+ x2
+ x]1
2
x - 33 - x 3
x+123 3

197. 4-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫للتكامل‬ ‫االساسية‬ ‫النظرية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬170/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
= [
−1
2
+ 22
+ 2] − [
−1
1
+ 12
+ 1] = [
−1
2
+ 4 + 2] — [−1 + 1 + 1]
= [
−1
2
+ 6] − [1] =
9
2
c) ∫ (x4
+ 4x)
3
1
dx= [
x5
5
+ 2x2
]1
3
= [
35
5
+ 2 . 32
] − [
15
5
+ 2 . 12
]
=
243
5
+ 18 -
1
5
− 2 =
242
5
+ 16 =
242+80
5
=
322
5
d) ∫ |x − 1|
2
0
dx
f(x( = x - 1 = 0 x ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
∴ x = 1
f(x) = {
x − 1 , x ≥ 1
1 − x , x < 1
‫العدد‬1‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫يجزء‬[0,2]:
∫ |x − 1|
2
0
dx = ∫ (1 − x)
1
0
dx + ∫ (x − 1)
2
1
dx = [x-
x2
2
]0
1
+ [
x2
2
− x]1
2
= [[1 −
1
2
] − [0]] + [[2 – 2] − [
1
2
– 1]] =
1
2
+
1
2
= 1
e) ∫ (x + cos x)
0
−π
2
dx = [
x2
2
+ sin x]−π
2
0
= [
02
2
+ sin 0] − [
(−π
2
)2
2
+ sin(-
π
2
)]
=−[
π2
8
-1] = −
π2− 8
8
=
8−π2
8
f) ∫
x3−1
x−1
2
3
dx
= − ∫
(x−1)(x
2
+x+1)
x−1
3
2
dx =− ∫ (x2
+ x + 1)
3
2
dx = -[
x3
3
+
x2
2
+ x]2
3
= -[
33
3
+
32
2
+ 3] + [
23
3
+
22
2
+ 2] = – 9 −
9
2
− 3 +
8
3
+ 2 + 2
=
8
3
– 8 −
9
2
=
16−48−27
6
=
−59
6
g)∫
2x3−4x2+5
x2
3
1
dx = ∫
2x3
x2 −
4x2
x2 +
5
x2
3
1
dx = ∫ (2x − 4 + 5x−2
)
3
1
dx
= [x2
– 4x +
5x−1
−1
]1
3
= [x2
– 4x -
5
x
]1
3
= [32
– 4.3 -
5
3
]-[ 12
– 4.1 -
5
1
]
= 9 – 12 -
5
3
- 1 + 4 + 5 = -
5
3
+ 5 =
−5+15
3
=
10
3
x-1
1
-x1
0 2

198. 4-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫للتكامل‬ ‫االساسية‬ ‫النظرية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬178/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
2)‫ان‬ ‫اثبت‬F‫مقابلة‬ ‫دالة‬ ‫هي‬‫للدالة‬f(x)‫حيث‬:
F:[0,
π
6
] → R , F(x) = sin x + x,f:[0,
π
6
] → R , f(x) = 1+ cos x,‫احسب‬ ‫ثم‬∫ f
π
6⁄
0
.
/‫الحل‬‫لتكن‬a ∈ [0,
π
6
]
lim
x→a
(sin x + x) = sin a + a
F(a) = sin a + a = lim
x→a
(sin x + x)
‫الدالة‬F‫في‬ ‫مستمرة‬[0,
π
6
]( ‫في‬ ‫لالشتقاق‬ ‫وقابلة‬0,
π
6
)
F′
(x) = cos x + 1 = f(x)
∴‫الدالة‬F‫للدالة‬ ‫المقابلة‬ ‫الدالة‬ ‫هي‬f.
∫ f
π
6
0
= [sin x + x]0
π
6
= [sin
π
6
+
π
6
] – [sin 0 + 0] =
1
2
+
π
6
− 0 =
3+ π
6
3)‫االتية‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫اوجد‬
1. ∫ (x − 2)(x + 1)24
1
dx = ∫ (x − 2)(x2
+ 2x + 1)
4
1
dx
= ∫ (x3
+ 2x2
+ x − 2x2
− 4x − 2)
4
1
dx = ∫ (x3
− 3x − 2)
4
1
dx = [
x4
4
-
3x2
2
- 2x]1
4
= [
44
4
–
3 .42
2
– 2.4]-[
14
4
–
3 .12
2
– 2.1] = 64 - 24 – 8 -
1
4
+
3
2
+ 2
= 34 -
1
4
+
3
2
=
136−1+6
4
=
141
4
2. ∫ |x + 1|
1
−1
dx
f(x( = x + 1 = 0 x ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬
∴ x = -1
f(x) = {
x + 1 , x ≥ −1
−x − 1 , x < −1
‫العدد‬-1‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫يجزء‬ ‫ال‬[-1,1]:
∫ |x + 1|
1
−1
dx = ∫ (x + 1)
1
−1
dx = [
x2
2
+ x]−1
1
= [
12
2
+ 1]-[
(−1)2
2
+ (−1)]
=
3
2
+
1
2
= 2
3. ∫
x4−1
x−1
3
2
dx = ∫
(x2−1)(x2+1)
x−1
3
2
dx = ∫
(x−1)(x+1)(x2+1)
x−1
3
2
dx
= ∫ (x + 1)(x2
+ 1)
3
2
dx = ∫ (x3
+ x2
+ x + 1)
3
2
dx = [
x4
4
+
x3
3
+
x2
2
+ x]2
3
= [
34
4
+
33
3
+
32
2
+3]-[
24
4
+
23
3
+
22
2
+2] = [
81
4
+
27
3
+
9
2
+ 3] - [
16
4
+
8
3
+
4
2
+ 2]
x+1
-1
-x-1

199. 4-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫للتكامل‬ ‫االساسية‬ ‫النظرية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬177/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
= [
81
4
+ 9 +
9
2
+ 3] - [4 +
8
3
+ 2 + 2] =
81
4
+ 9 +
9
2
+ 3 - 4 -
8
3
- 2 - 2
=
81
4
+ 4 +
9
2
-
8
3
=
243 + 48 + 54 − 32
12
=
313
12
4. ∫ √x
1
0
(√x + 2)
2
dx = ∫ √x(x + 4√x + 4)
1
0
dx = ∫ (x
3
2 + 4x + 4x
1
2)
1
0
dx
= [
x
5
2
5
2
+
4x2
2
+
4x
3
2
3
2
]0
1
= [
2 x
5
2
5
+ 2x2
+
8x
3
2
3
]0
1
= [
2 . 1
5
2
5
+ 2 . 12
+
8 .1
3
2
3
] - [0] =
2
5
+ 2 +
8
3
=
6+30+40
15
=
76
15
4)‫كانت‬ ‫اذا‬:, f(x) = {
2x , x ≥ 3
6 , x < 3
‫جد‬∫ f(x)
4
1
dx
‫ان‬ ‫بما‬‫من‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬1‫الى‬4‫الدال‬ ‫مجال‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫وهي‬‫تين‬‫عند‬ ‫االستمرارية‬ ‫نفحص‬ ‫اذا‬x = 3:
f(2) = 2 . 2 = 6
L1 = lim
x→3+
(2x) = 2 . 3 = 6
L2 = lim
x→3−
(6) = 6
L1 =L2 = f(3) = 6 x = 3 ‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬
∫ f(x)
4
1
dx = ∫ 6
3
1
dx + ∫ 2x
4
3
dx = [6x]1
3
+ [x2
]3
4
= [6 . 3 − 6 . 1] + [42
− 32
]
= [18 − 6] + [16 − 9] = 12 + 7 = 19
5)‫كانت‬ ‫اذا‬:f(x) = {
3x2
, x ≥ 0
2x , x < 0
,‫جد‬∫ f(x)
3
−1
dx
/‫الحل‬‫ان‬ ‫بما‬‫من‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬1-‫الى‬3‫عند‬ ‫االستمرارية‬ ‫نفحص‬ ‫اذا‬ ‫الدالة‬ ‫مجال‬ ‫مع‬ ‫تتقاطع‬ ‫وهي‬x = 0:
f(0) = 0
L1 = lim
x→0+
(3x2
) = 0
L2 = lim
x→0−
(2x) = 0
L1 =L2 = f(0) = 0 x = 0 ‫عند‬ ‫مستمرة‬ ‫الدالة‬
∫ f(x)
3
−1
dx = ∫ 2x
0
−1
dx + ∫ 3x23
0
dx = [x2
]−1
0
+ [x3
]0
3
= [0 − 1] + [33
− 03
]
= [−1] + [27] = 26

200. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬288/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
6-4:‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬‫التكامل‬ ‫سنستخدم‬ ‫واالن‬ ‫الدوال‬ ‫لمنحنيات‬ ‫المساحات‬ ‫لحساب‬ ‫تستخدم‬ ‫المحدد‬ ‫التكامل‬ ‫عملية‬ ‫ان‬
‫لغرض‬ ‫المحدد‬ ‫الغير‬‫استنتاج‬‫ال‬‫المبادئ‬ ‫نفس‬ ‫نستخدم‬ ‫وهنا‬ ‫مشتقتها‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫دالة‬‫العامة‬‫سابقا‬ ‫تعلمناها‬ ‫التي‬,‫ك‬ ‫اذا‬‫انت‬F(x)
‫للدالة‬ ‫مشتقة‬f(x)‫فان‬‫الدالة‬ ‫تكامل‬F(x)‫الدالة‬ ‫عنه‬ ‫ينتج‬f(x)‫التالية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وتكتب‬:
∫ 𝐅( 𝐱) 𝐝𝐱 = f(x) + c
‫مثال‬1/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬ ‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫جد‬
1) f(x) = x2
-1 ⟹ f′
(x) = 2x
2) f(x) = x2
-2 ⟹ f′
(x) = 2x
3) f(x) = x2
+5 ⟹ f′
(x) = 2x
4) f(x) = x2
-4 ⟹ f′
(x) = 2x
‫خالل‬ ‫من‬‫االمثلة‬ ‫هذه‬‫التي‬ ‫الدوال‬ ‫من‬ ‫منتهي‬ ‫غير‬ ‫عدد‬ ‫هناك‬ ‫ان‬ ‫نجد‬‫المشتقة‬ ‫نفس‬ ‫تمتلك‬‫الثابت‬ ‫قيمة‬ ‫في‬ ‫تختلف‬ ‫ولكنها‬‫ذلك‬
‫الثابت‬ ‫نضيف‬c‫التكامل‬ ‫لناتج‬‫محدد‬ ‫الغير‬‫نستنتجه‬ ‫ان‬ ‫ونحاول‬‫اخرى‬ ‫معطيات‬ ‫خالل‬ ‫من‬‫وجدت‬ ‫ان‬ ‫السؤال‬ ‫في‬.
‫مثال‬2/:‫التالية‬ ‫التكامالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫جد‬
1) ∫(3x2
+ 2x + 1)dx = x3
+ x2
+ x + 𝐜
2) ∫(x2
+ 3)2
. 2x. dx =
(x2+3)3
3
+ 𝐜
3) ∫(3x2
+ 8x + 5)6
(3x + 4). dx
2
2
‫بـ‬ ‫نضرب‬ ‫اذا‬ (6x+8)‫القوس‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬
=
1
2
∫(3x2
+ 8x + 5)6
(6x + 8). dx =
1
2
(3x2+8x+5)7
7
+ c =
(3x2+8x+5)7
14
+ c
4) ∫ 1 . dx =∫ x0
. dx =
x0+1
0+1 + c = x + c
5) ∫ (√x −
3
√x23 − 1) . dx =∫ (x
1
2 − 3 (x)
−2
3 − 1) . dx
=
x
3
2
3
2
− 3
x
1
3
1
3
– x + c =
2
3
x
3
2 − 9 x
1
3 – x + c =
2
3
√x3
− 9√x
3
– x + c
6) ∫
x4−8x
x−2
dx = ∫
x(x3−8)
x−2
dx = ∫
x(x−2)(x2+2x+4)
x−2
dx
= ∫(x3
+ 2x2
+ 4x)dx =
x4
4
+
2x3
3
+
4x2
2
+ c =
x4
4
+
2x3
3
+ 2x2
+ c

201. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬281/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫مثال‬3/:‫التالية‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬
1) ∫(cos x + x−2
). dx = sin x +
x−1
−1
+ c = sin x −
1
x
+ c
2) ∫(x + sec x. tan x). dx =
x2
2
+ sec x + c
3) ∫ sin(2x + 4) . dx =
1
2
∫ sin(2x + 4) . 2. dx =
−1
2
cos(2x + 4) + c
4) ∫ sin4
x . cos x . dx = ∫(sin x)4
. cos x . dx =
(sin x)5
5
+ c
5) ∫ tan6
x . sec2
x . dx =∫(tan x)6
. sec2
x . dx =
(tan x)7
7
+ c
‫مثال‬4/:‫التالية‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬
1) ∫ 9 sin 3x . dx = 3 ∫ 3 sin 3x . dx = −3 cos 3x + c
2) ∫ x2
. sin x3
. dx =
1
3
∫ 3x2
. sin x3
. dx = −
1
3
cos x3
+ c
:‫التربيعية‬ ‫المثلثية‬ ‫الدوال‬ ‫تكامل‬
1) ∫ tan2
θ dθ = ∫(sec2
θ − 1)dθ = ∫ sec2
θdθ − ∫ dθ = tan θ − θ + c
2) ∫ cot2
θ dθ = ∫(cec2
θ − 1) dθ = −cot θ − θ + c
3) ∫ sin2
θ dθ = ∫
1−cos2θ
2
dθ =
1
2
∫ dθ −
1
4
∫ cos 2θ (2)dθ
=
θ
2
−
sin2θ
4
+ c
4) ∫ cos2
θ dθ = ∫
1+cos2θ
2
dθ =
θ
2
+
sin2θ
4
+ c
 sin2
θ + cos2
θ = 1
 tan2
θ = sec2
θ − 1 =
1
csc2 θ
− 1
 cot2
θ = csc2
θ − 1 =
1
sec2 θ
− 1
 sin2
θ =
1−cos2θ
2
 cos2
θ =
1+cos2θ
2
 sin 2θ = 2sin θ cos θ
 cos 2θ = cos2
θ − sin2
θ
 1 - sin 2θ = (sin θ − cos θ)2

202. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬282/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
3) ∫ √1 − sin 2x . dx
‫نعوض‬sin2
θ + cos2
θ = 1
‫نعوض‬sin 2x = 2sin x cos x
= ∫ √sin2
x + cos2x − 2sin x cos x . dx = ∫ √sin2
x − 2sin x cos x +cos2x . dx
‫الكامل‬ ‫المربع‬ ‫باستخدام‬ ‫الجذر‬ ‫تحت‬ ‫تحليل‬
=∫ √(sin x − cos x)2
. dx = ± ∫(sin x − cos x) . dx = ±(−cos x − sin x) + c
= ±(cos x +sin x) + c
4)∫ sin4
x . dx =∫ (sin2
x)2
. dx = ∫ (
(1−cos 2x)
2
)
2
. dx = ∫
(1−cos 2x)2
4
. dx
=
1
4
∫(1 − 2cos2x + cos2 2x).dx =
1
4
(∫ dx − 2 ∫ cos 2x dx + ∫ cos2
2x . dx)
=
1
4
(x − 2
1
2
sin 2x + ∫
1+cos4x
2
. dx) =
1
4
(x − sin 2x +
1
2
∫(1 + cos4x) . dx)
=
1
4
(x − sin 2x +
1
2
(x +
sin4x
4
)) + c =
x
4
−
1
4
sin 2x +
x
8
+
sin4x
32
+ c
=
3x
8
−
sin 2x
4
+
sin4x
32
+ c
5) ∫(sin x − cos x)7
(cos x + sin x) . dx =
(sin x−cos x)8
8
+ c
6) ∫
1+tan2 x
tan3 x
. dx = ∫ tan−3
x . (1 + tan2
x). dx
‫ان‬ ‫بما‬sec2
θ = tan2
θ + 1:‫اذا‬
= ∫ tan−3
x . sec2
θ . dx
:‫تربيع‬ ‫قاطع‬ ‫الضل‬ ‫مشتقة‬
= ∫(tan x)−3
. sec2
θ . dx =
tan−2 x
−2
+ c =
−1
2 tan2 x
+ c
7) ∫ cos3
x dx = ∫ cos2
x . cos x . dx
‫ان‬ ‫بما‬cos2
x = 1 − sin2
x:‫اذا‬
= ∫(1 − sin2
x) . cos x . dx = ∫ cosx . dx − ∫ sin
2
x .cosx .dx = sin x -
sin3x
3
+ c
8) ∫
tan x
cos2 x
dx = ∫ tan x . sec2
x . dx =
1
2
tan2
x + c
9) ∫ sin 6x . cos2
3x . dx =∫ 2sin 3x . cos 3x . cos2
3x . dx
/ ‫مالحظة‬sin 2x = 2sin x .cos x
=2 ∫ sin 3x . cos3
3x . dx
‫مشتقة‬𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱=-3 sin 3x‫بـ‬ ‫نضرب‬ ‫اذا‬
−𝟑
−𝟑
:

203. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬281/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
=2 .
1
−3
∫ (−3sin 3x) . cos3
3x . dx =
−2
3
.
cos4 3x
4
+ c = −
cos4 3x
6
+ c
10) ∫
cos 4x
cos 2x−sin 2x
dx = ∫
cos2 2x− sin2 2x
cos 2x−sin 2x
dx
/‫مالحظة‬cos 2θ = cos2
θ − sin2
θ
= ∫
(cos 2x− sin 2x) (cos 2x+ sin 2x)
cos 2x−sin 2x
dx = ∫ (cos 2x + sin 2x) dx
=
1
2
∫ cos 2x . 2dx +
−1
2
∫ sin 2x (−2)dx =
1
2
sin 2x −
1
2
cos 2x + c
11) ∫ sin2
3x dx =
1
2
∫(1 − cos 6x) dx =
1
2
(x −
1
6
sin 6x) + c
12) ∫ cot2
5x dx = ∫(csc2
5x − 1) dx = −
1
5
cot 5x − x + c
13) ∫ tan2
7x dx = ∫(sec2
7x − 1) dx =
1
7
tan 7x − x + c
‫التمارين‬ ‫حلول‬4-4
1)∫
(2x2−3)2−9
x2 dx = ∫
((2x2−3)−3)((2x2−3)+3)
x2 dx = ∫
(2x2−3−3)(2x2−3+3)
x2 dx
= ∫
(2x2−6).2x2
x2 dx = ∫ 2(2x2
− 6)dx = 2 (
2x3
3
− 6x) + c =
4x3
3
− 12x + c
2) ∫
(3−√5x )7
√7x
dx = ∫
(3 − √5 .√x )7
√7 .√x
dx =
1
√7
∫ (3 − √5 . x
1
2 )
7
x−1
2dx
‫القوس‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬=(
−√5
2
x−1
2)
=
1
√7
.
2
−√5
∫ (3 − √5 . x
1
2)
7
(
−√5
2
x−1
2) dx =
−2
√35
(3−√5x )
8
8
+ c =
−(3−√5x )
8
4√35
+ c
3)∫
cos3 x
1−sin x
dx = ∫
cos2 x .cos x
1−sin x
dx = ∫
(1−sin2 x) .cos x
1−sin x
dx
= ∫
(1−sin x) (1+sin x).cos x
1−sin x
dx = ∫(1 + sin x). cos x dx
= ∫(cos x + sin x cos x) dx = ∫ cos x dx + ∫ sin x cos x dx
= sin x +
sin2 x
2
+ c

204. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬284/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
4)∫ csc2
x . cos x dx = ∫ sin−2
x . cos x dx =
(sin−1 x)
−1
+ c
=
−1
sinx
+ c = -csc x + c
‫ثانية‬ ‫طريقة‬:‫للحل‬
∫ csc2
x . cos x dx = ∫ csc x . csc x . cos x dx = ∫ csc x .
1
sin x
. cos x dx
= ∫ csc x . cot x dx = -csc x + c
5) ∫
x
(3x2+5)4 dx = ∫(3x2
+ 5)−4
. x dx
‫القوس‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬6x:
=
1
6
∫(3x2
+ 5)−4
. 6x dx =
1
6
(3x2+5)−3
−3
+ 𝑐 =
−1
18(3x2+5)3 + c
6) ∫ √x2 + 10x + 25
3
dx =∫ √(x + 5)(x + 5)
3
dx =∫(x + 5)
2
3 dx
=
(x+5)
5
3
5
3
+ c =
3
5
√(x + 5)53
+ c
7) ∫ sin3
x dx = ∫ sin2
x . sin x . dx
‫ان‬ ‫بما‬sin2
x = 1 − cos2
x:‫اذا‬
= ∫(1 − cos2
x) . sin x . dx = ∫ sinx . dx −
1
−1
∫ cos
2
x .(−sinx) .dx
= -cos x +
cos3x
3
+ c
8) ∫
cos √1−x
√1−x
dx = ∫ cos(1 − x)
1
2 . (1 − x)−1
2 dx
L = (1 − x)
1
2 ⇒ L´ =
−1
2
(1 − x)−1
2 ⇒
−2
−2
‫بـ‬ ‫نضرب‬ ‫اذا‬
= −2 ∫ cos(1 − x)
1
2 (
−1
2
(1 − x)−1
2) dx = -2 sin (1 − x)
1
2 + c
9) ∫(3x2
+ 1)2
. dx =∫(9x4
+ 6x2
+ 1). dx =
9x5
5
+ 6x3
3
+ x + c
=
9x5
5
+ 2x3
+ x + c
10) ∫
√√x −x
√x34 dx = ∫ (x
1
2 − x)
1
2
x
−3
4 dx = ∫ (x
1
2 (1 − x
1
2))
1
2
x
−3
4 dx
= ∫ ((1 − x
1
2))
1
2
. x
1
4 . x
−3
4 dx = ∫ ((1 − x
1
2))
1
2
. x
−2
4 dx
= ∫ ((1 − x
1
2))
1
2
. x
−1
2 dx
: ‫حيث‬csc2
x =
1
sin2 x

205. 1-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬283/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫القوس‬ ‫داخل‬ ‫مشتقة‬−
1
2
x
−1
2
= −2 ∫ (1 − x
1
2)
1
2
. (−
1
2
x
−1
2 )dx = −2
(1−x
1
2)
3
2
3
2
+ c =
−4
3
√(1 − √x)
3
+ c
11) ∫(1 + cos 3x)2
dx = ∫(1 + 2cos 3x + cos2
3x) dx
= x +
2
3
sin 3x +
1
2
(x +
1
6
sin 6x)+c = x +
2
3
sin 3x +
x
2
+
sin 6x
12
+ c
=
3
2
x +
2
3
sin 3x +
sin 6x
12
+ c
12) ∫ sec2
4x dx =
tan 4x
4
+ c
13) ∫ csc2
2x dx = -
cot 2x
2
+ c
14) ∫ tan2
8x dx =
tan 8x
8
− x + c
OR ∫ tan2
8x dx = ∫(sec2
8x − 1) dx =
1
8
tan 8x − x + c
15) ∫
√cot 2x
1−cos2 2x
dx= ∫
√cot 2x
sin2 2x
dx = ∫(cot 2x)
1
2
1
sin2 2x
dx
= ∫(cot 2x)
1
2 csc2
2x dx =
1
−2
∫(cot 2x)
1
2 csc2
2x (−2)dx
=
1
−2
.
(cot2x)
3
2
3
2
+c =
−√cot3 2x
3
+c
16) ∫ cos2
2x dx = ∫
(1+cos 4x)
2
dx =
1
2
∫ (1 + cos 4x) dx
=
1
2
(x +
1
4
sin 4x) + c
17) ∫ sin2
8x dx = ∫
(1−cos 16x)
2
dx =
1
2
∫ (1 − cos 16x) dx
=
1
2
(x −
sin16x
16
) + c =
x
2
−
sin 16x
32
+c
18) ∫ cos4
3x dx =∫(cos2
3x)2
dx =∫ (
1 + cos 6x
2
)
2
dx
= ∫
(1 + cos 6x)2
4
dx =
1
4
∫(1 + 2cos 6x + cos2
6x ) dx
=
1
4
[x +
1
3
. sin 6x +
1
2
(x +
sin12x
12
)]+c =
1
4
[x +
1
3
. sin 6x +
x
2
+
sin12x
24
]+c
=
x
4
+
1
12
. sin 6x +
x
8
+
sin12x
96
+ c =
3x
8
+
sin 6x
12
+
sin12x
96
+ c

206. 0-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬281/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
]7-4[:‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬‫هو‬ ‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬‫ل‬ ‫اللوغارتم‬‫الساس‬e‫حي‬‫ـــ‬‫ث‬2.71828=e‫له‬ ‫ويرمز‬
ln‫العشري‬ ‫اللوغارتم‬ ‫بها‬ ‫نعامل‬ ‫التي‬ ‫الطريقة‬ ‫بنفس‬ ‫ويعامل‬log‫حيث‬:
y = ln x ⟹ ey
= x
‫حيث‬x‫اكبر‬ ‫عدد‬ ‫اي‬.‫صفر‬ ‫من‬
ln 1 = 0 ⟹ e0
= 1
ln 10 = 2.302585 ⟹ e2.302585
= 10
‫كسرية‬ ‫دالة‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬‫ي‬‫كون‬‫البسط‬ ‫فيها‬u´‫مشتقة‬‫ل‬‫المقام‬ ‫دالة‬u‫ا‬‫واردنا‬:‫فان‬ ‫التكامل‬ ‫اجراء‬
∫
u´
u
= ∫(u)−1
. u´ =
(u)−1+1
−1+1
=
u0
𝟎
=
1
𝟎
‫لمثل‬ ‫التكامل‬ ‫عملية‬ ‫تكون‬ ‫لذلك‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫تمثل‬ ‫ال‬ ‫القيمة‬ ‫وهذه‬
‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬ ‫باستخدام‬ ‫الدوال‬ ‫هذه‬,‫ف‬‫كانت‬ ‫اذا‬‫الدالة‬u
‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫خالل‬ ‫او‬ ‫مجالها‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬‫يمكنن‬ ‫عندها‬‫ا‬
‫ان‬ ‫نعتبر‬ ‫ان‬:
∫
u´
u
= ln u + c
‫سبق‬ ‫مما‬‫اللوغارتمية‬ ‫الدالة‬ ‫مشتقة‬ ‫حساب‬ ‫يمكننا‬‫فا‬‫ان‬ ‫فرضنا‬ ‫ذا‬u‫لـ‬ ‫دالة‬ ‫هي‬x‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫قيمتها‬x
‫فان‬:
d
dx
(ln u) =
1
u
.
du
dx
u > 0 ∀ x ∈ R
‫مثال‬1/‫جد‬‫تكامل‬ ‫ناتج‬‫الدالة‬f(x) =
1
x
‫للفترة‬[2,4].
/‫مالحظة‬‫ال‬‫دالة‬‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬x‫من‬2‫الى‬4.
∫
1
x
4
2
dx = [ln x]2
4
= (ln 4 − ln 2) =ln
4
2
= ln 2
‫مثال‬2/‫التكامل‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬∫
2x
x2+5
2
0
dx
‫مالحظة‬/‫ا‬ ‫الدالة‬‫اكبر‬‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫من‬x‫من‬0‫الى‬2.
∫
2x
x2+5
2
0
dx = [ln(x2 + 5)]0
2
= (ln 9 − ln 5) = ln
9
5
‫مثال‬3/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬
1) ∫
2x
3x2+4
3
0
dx
‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫صفر‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫المقام‬ /‫مالحظة‬x‫من‬0‫الى‬3
ln x
1
‫قوانين‬:‫اللوغارتمية‬ ‫الدوال‬
1) ln xa
= a ln x
2) ln a – ln b = ln(
a
b
)
3) ln a + ln b = ln(a . b)
4) ln a > 0 ∀ a > 1
5) ln a < 0 ∀ 0 < a < 1

207. 0-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬280/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
∫
2x
3x2+4
3
0
dx =
1
3
∫
6x
3x2+4
3
0
dx =
1
3
[ln (3x2
+ 4)]0
3
=
1
3
ln(3 . 32
+ 4) –
1
3
ln(3. 02
+ 4) =
1
3
ln 31 –
1
3
ln 4 =
1
3
ln
31
4
2) ∫
sin x
1+ cos x
dx = ∫
sin x
1+ cos x
dx = - ln (1 + cos x) + c
‫مثال‬4/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫مشتقة‬ ‫جد‬
1) y = ln(3x2
+ 4)
dy
dx
=
1
3x2+4
. (6x) =
6x
3x2+4
2) y = ln(
2x+5
3
) = ln (2x + 5) – ln 3
dy
dx
=
1
2x+5
. (2) − 0 =
2
2x+5
‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬ ‫معكوس‬ ‫دالة‬1-
Ln:‫الدالة‬1-
Ln‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬ ‫معكوس‬ ‫تمثل‬‫حيث‬:
Ln-1
x = ex
‫والتكامل‬ ‫التفاضل‬ ‫عملية‬ ‫اجراء‬ ‫ويمكننا‬‫ك‬‫مبين‬ ‫ما‬:
dx.x
e=)x
(e𝐝
∫ 𝐞 𝐱
. 𝐝𝐱 = 𝐞 𝐱
+ c
‫المتغير‬ ‫يحوي‬ ‫الس‬ ‫مرفوع‬ ‫موجب‬ ‫عدد‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬x:‫فان‬
d(ax
)= ax
. ln a .dx a > 0
∫ ax
. ln a . dx = ax
+ c a > 0
‫مثال‬1/:‫التالية‬ ‫الدوال‬ ‫مشتقة‬ ‫جد‬
1)y = e(x – sin 2x)
⇒
dy
dx
= e(x – sin 2x)
. (1 − 2cos 2x)
2) y = e(tan x)
⇒
dy
dx
= e(tan x)
. sec2
x
3) y = 2(2x-5)
⇒
dy
dx
= 3(2x−5)
. (2) . ln 3 = 3(2x−5)
ln 9
4) y = 2−x2
⇒
dy
dx
= 2−x2
. (-2x) . ln 2
5) y = 5sin x
⇒
dy
dx
= 5sin x
. (cos x) . ln 5
‫معكوس‬ ‫قوانين‬:‫اللوغارتمية‬ ‫الدالة‬
1) ln e = 1
2) ax
= ex ln a
∀ a > 0
3) ln ea
= eln a
= aln e
= a ∀ a > 0
f(x) = ex
1

208. 0-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬288/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫مثال‬2/‫ناتج‬ ‫جد‬∫ x ex2
dx.
‫االس‬ ‫مشتقة‬=2x‫ب‬ ‫نضرب‬ ‫اذا‬
2
2
:
∫ x ex2
dx =
1
2
∫ ex2
(2x)dx =
ex2
2
+ c
‫التمارين‬ ‫حلول‬5-4
1-‫جد‬
dy
dx
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬
a) y = ln 3x ⇒
dy
dx
=
1
3x
.3 =
1
x
b)y = ln(
x
2
) ⇒
dy
dx
=
1
x
2
.
1
2
=
1
x
c)y = ln x2
⇒
dy
dx
=
1
x2 . 2x =
2
x
d) y = (ln x)2
⇒
dy
dx
= 2(ln x)
1
x
=
2
x
(ln x)
e)y = ln(
1
x
)3
⇒
dy
dx
= ln
1
x3 = ln x-3
= -3 ln x = −31
x
=
−3
x
f) y = ln(2 - cos x) ⇒
dy
dx
=
1
2 − cos x
(sin x) =
sin x
2 − cos x
g) y = e−5x2+3x+5
⇒
dy
dx
= e−5x2+3x+5
(−10x + 3)
h) y = 9√x
⇒
dy
dx
= 9√x
(
1
2 √x
) ln 9
i) y = 7
−x
4 ⇒
dy
dx
= 7
−x
4 (
−1
4
) ln 7 = −7
−x
4 (
ln 7
4
)
j) y = x2
ex
⇒
dy
dx
= x2
ex
+ 2x ex
= ex
(x2
+ 2x)
2-:‫االتية‬ ‫التكامالت‬ ‫جد‬
a) ∫
1
x+1
3
0
dx = [ ln(x + 1)]0
3
= ln 4 – ln 1 = ln 4 = 2 ln2
b) ∫
2x
x2+9
4
0
dx= [ ln(x2
+ 9)]0
4
= ln 25 – ln 9 = ln
25
9
c) ∫ e2xln 5
ln 3
dx = [
e2x
2
]ln3
ln5
=
e2ln5
2
-
e2ln3
2
=
25
2
-
9
2
=
16
2
= 8
d)∫ e−xln 2
0
dx = [−e−x
]0
ln2
= -[e−ln2
−e0
] = -[eln2−1
− 1 ]
= -[2−1
− 1 ]= −
1
2
+ 1 =
1
2
e)∫ (1 + ex1
0
)2
ex
dx = [
(1+ex)3
3
]0
1
= [
(1+e1)3
3
] − [
(1+e0)3
3
]
=
(1+e)3
3
−
(1+1)3
3
=
(1+e)3−8
3

209. 0-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬287/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
f) ∫
3x2+4
x3+4x+1
1
0
dx = ln[x3
+ 4x + 1]0
1
= ln[13
+ 4 + 1] − ln[0 + 0 + 1]
= ln 6 − ln1= ln 6
g)∫
e√x
2√x
4
1
dx = ∫ e√x
(
1
2√x
4
1
) dx = [e√x
]1
4
= e√4
- e√1
= e2
– e
∫
sec2 x
2+tan x
π
4⁄
−π
4⁄
dx = [ln(2 + tan x)]−π
4⁄
π
4⁄
=ln(2 + tan
π
4
) − ln(2 + tan(−
π
4
))
=ln(2 + 1) − ln(2 − 1) = ln 3
h)∫
cos x
√sin x
π
2⁄
π
6⁄
dx =∫ (sin x)
−1
2 cos x
π
2⁄
π
6⁄
dx = [2(sin x)
1
2]π
6⁄
π
2⁄
= 2√sin
π
2
− 2√sin
π
6
= 2 – 2 √
1
2
= 2 −
2
√2
= 2 − √2
i) ∫ cot3
5x dx = ∫ cot2
5x . cot 5x . dx = ∫(csc2
5x − 1) . cot 5x . dx
= ∫ csc2
5x . cot 5x . dx − ∫ cot 5x dx =−
1
5
∫ −5csc2
5x . cot 5x . dx −
1
5
∫
5cos 5x
sin 5x
dx
=
−1
5
cot2 5x
2
-
1
5
ln|sin 5x| + c =
−cot2 5x
10
-
1
5
ln|sin 5x| + c
j) ∫ ecosx
π
2⁄
0
sin x dx = −∫ ecosx
π
2⁄
0
(−sinx) dx
= −[e
cosx
]0
π
2⁄
=-[ecosπ
2⁄ - ecos 0
] = -[1 - e] = e - 1
k) ∫ xe−ln x2
1
dx = ∫ xeln x−12
1
dx = ∫ x . x−12
1
dx =∫ dx
2
1
= [x]1
2
= 2 – 1 = 1
3-: ‫ان‬ ‫اثبت‬
1)∫
√ √x
3
−1
√x23 dx = 2
8
1
L.H.S =∫
√ √x
3
−1
√x23 dx
8
1
=∫ (x
1
3 − 1)
1
2
. x
−2
3 dx
8
1
=𝟑 ∫ (x
1
3 − 1)
1
2
.1
3
x
−2
3
dx
8
1
= 3[2
3
(x
1
3 − 1)
3
2
]1
8
= 2[ √(√x
3
− 1)
3
]1
8
= 2[ √(√8
3
− 1)
3
− √(√1
3
− 1)
3
] = 2[ √(2 − 1)3
− √(1 − 1)3
]
= 2[ √1 − 0] = 2 = R.H.S ‫المطلوب‬ ‫وهو‬
L = x
1
3 − 1 ⇒ L´ =
1
3
x
−2
3
‫بـ‬ ‫نضرب‬
3
3

210. 0-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬218/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
2) ∫ |3x − 6|dx = 30
4
−2
:‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫نحدد‬
3x − 6 = 0 ⟹ 3x = 6 ⟹ x = 2
∫ |3x − 6|dx
4
−2
= ∫ (6 − 3x)dx
2
−2
+ ∫ (3x − 6)dx
4
2
=[6x −
3
2
x2
]−2
2
+ [
3
2
x2
− 6x]2
4
=[(12 − 6)— (−12 − 6)] + [(24 − 24) − (6 − 12)] = [6 + 18] + [0 + 6]
= 30 = R.H.S ‫المطلوب‬ ‫وهو‬
4-f(x)‫الفترة‬ ‫على‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬[-2,6]‫كان‬ ‫فاذا‬∫ f(x)dx = 6
6
1
‫وكان‬∫ [f(x) + 3]dx = 32
6
−2
‫فجد‬∫ f(x)dx
1
−2
.
/‫الحل‬
∫ [f(x) + 3]dx
6
−2
= 32 ⇒ ∫ f(x) dx
6
−2
+ ∫ 3 dx
6
−2
= 32
∫ f(x) dx
6
−2
+ [3x]−2
6
= 32 ⇒ ∫ f(x) dx
6
−2
+ [18 − (−6)] = 32
∫ f(x) dx
6
−2
+ 24 = 32 ⇒ ∫ f(x) dx
6
−2
= 8
∫ f(x) dx
6
−2
=∫ f(x)dx
1
−2
+ ∫ f(x)dx
6
1
⇒ 8 =∫ f(x)dx
1
−2
+ 6
∫ f(x)dx
1
−2
= 8 - 6 = 2
5-‫قيمة‬ ‫جد‬a ∈ R‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬:∫ (x +
1
2
) dx = 2 ∫ sec2
x dx
π
4⁄
0
a
1
/‫الحل‬
2 ∫ sec2
x dx
π
4⁄
0
= 2 [tan x]0
π
4⁄
= 2 tan π
4⁄ − 2tan 0 = 2 – 0 = 2
∴ ∫ (x +
1
2
) dx = 2
a
1
[
x2
2
+
1
2
x]1
a
= 2 ⇒
a2
2
+
1
2
a − (
1
2
+
1
2
) = 2
a2
2
+
a
2
− 1 = 2 ‫بـ‬ ‫نضرب‬2
a2
+ a − 2 = 4 ⇒ a2
+ a − 6 = 0
(a + 3)(a - 2) = 0 ⇒ a = -3 or a = 2
6-‫لتكن‬+ 2x + k2
x=f(x)‫حيث‬Rk ∈( ‫تساوي‬ ‫الصغرى‬ ‫نهايتها‬ ‫دالة‬ ,5-‫جد‬ )∫ f(x)dx
3
1
/‫الحل‬
f′
(x) = 2x + 2 = 0 ‫صفر‬ ‫المشتقة‬ ‫النهايات‬ ‫عند‬
2x = -2 ⟹ x = −1
( ‫النقطة‬-1,-5‫صغرى‬ ‫نهاية‬ )
2 +-

211. 0-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الطبيعي‬ ‫اللوغارتم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬211/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
f(-1) = (-1)2
+ 2(-1) + k = -5 ⇒ 1 – 2 + k = -5 ⇒ k = -4
∫ f(x)dx
3
1
= ∫ (x2
+ 2x − 4)dx
3
1
= [
x3
3
+ x2
− 4x]1
3
=[
33
3
+ 32
− 4 . 3] − [
13
3
+ 12
− 4] =[ 9 + 9 − 12] − [
1
3
+ 1 − 4]
=6 −
𝟏
𝟑
− 1 + 4 = 9 −
1
3
=
26
3
= 8
2
3
7-‫للمنحني‬ ‫كان‬ ‫اذا‬+13
3)-(x=f(x)( ‫انقالب‬ ‫نقطة‬a,b‫للمقدار‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫جد‬ )
∫ f′
(x)dx
b
0
- ∫ f‫״‬(x) dx
a
0
/‫الحل‬
f′
(x)= 3(x - 3)2
f‫״‬
(x)= 6(x - 3) = 0 ‫صفر‬ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫االنقالب‬ ‫نقاط‬ ‫عند‬
6(x - 3) = 0
X - 3 = 0 ⇒ x = 3 = a
f(3)= (3-3)3
+1 = 1 = b
( ‫االنقالب‬ ‫نقطة‬3,1)
∫ f′
(x)dx
1
0
- ∫ f‫״‬(x) dx
3
0
= ∫ 3(x − 3)2
dx
1
0
- ∫ 6(x − 3) dx
3
0
= 3∫ (x − 3)2
dx
1
0
- 6 ∫ (x − 3) dx
3
0
= [(x − 3)3
]0
1
- 3[(x − 3)2
]0
3
= [(−2)3
− (−3)3
] - 3[0 − (−3)2
] = [−8 + 27] - 3[−9] = 19 + 27 = 46

212. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬212/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
]8-4[‫المستوية‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫ايجاد‬:
1-‫ومحور‬ ‫بمنحني‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬x:‫لتكن‬f(x)‫من‬ ‫مستمرة‬ ‫دالة‬x = a‫الى‬x = b‫مساحة‬ ‫حساب‬ ‫اردنا‬ ‫فاذا‬
‫والمحور‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المنطقة‬x‫من‬x = a‫الى‬x = b:‫التالي‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬
1)‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬f(x) = 0.
2)‫تقسي‬‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫حسب‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫م‬.
2)‫حساب‬.‫للتكامالت‬ ‫المطلقة‬ ‫القيم‬ ‫مجموع‬
‫مثال‬1/‫الدالـــــة‬ ‫بمنحــني‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬4x-3
x=f(x)‫وعلى‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬2,2]-[.
/‫الحل‬
1).‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬
f(x) = x3
- 4x = 0 ⇒ x(x2
– 4) = 0 ⇒ x(x – 2) (x + 2) = 0
x = 0 , x = 2 , x = -2
2)‫التكامل‬ ‫فترات‬[-2,0]‫و‬[0,2]
‫من‬ ‫قسمين‬ ‫الى‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫نقسم‬ ‫اذا‬ ‫مساحتها‬ ‫حساب‬ ‫المطلوب‬ ‫الفترة‬ ‫ضمن‬ ‫يقع‬ ‫الصفر‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬-2
‫الى‬0‫ومن‬0‫الى‬2.
3):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (x3
− 4x)
0
−2
dx = [
x4
4
− 2x2
] 0
−2
= 0 − [
(−2)4
4
− 2(−2)2
]
A1 = 0 − [
16
4
− 8]= −4 + 8 = 4 unit2
A2 = ∫ (x3
− 4x)
2
0
dx = [
x4
4
− 2x2
] 2
0
=[
(2)4
4
− 2(2)2
] − [
(0)4
4
− 2(0)2
]
A2 = [
16
4
− 8] − 0 = 4 − 8 = -4 unit2
A = |A1| + |A2| = 4 + 4 = 8 unit2
‫مثال‬2/‫الدالة‬ ‫مخطط‬ ‫يحددها‬ ‫التي‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬2
x=y‫والمستقيمين‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬3=x‫و‬1=x.
/‫الحل‬
1).‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬
y = x2
= 0 ⇒ x = 0
2)‫التكامل‬ ‫فترات‬[1,3]
.‫كاملة‬ ‫وتأخذ‬ ‫الفترة‬ ‫نقسم‬ ‫ال‬ ‫لذلك‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫ضمن‬ ‫تقع‬ ‫ال‬ ‫التقاطع‬ ‫نقطة‬ /‫مالحظة‬
2):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A = ∫ x2
dx
3
1
= [
x3
3
] 3
1
= [
(3)3
3
−
(1)3
3
] = 9 − 1
3
= 82
3
unit2
‫مثال‬3/‫الدالـــــة‬ ‫بمنحــني‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬+ 2x2
3x–3
x=f(x)‫ومحور‬.‫السينات‬
/‫الحل‬‫توضيح‬:.‫السينات‬ ‫ومحور‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫بين‬ ‫المغلقة‬ ‫المناطق‬ ‫باختيار‬ ‫نقوم‬ ‫فاننا‬ ‫فترة‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫انه‬ ‫بما‬
1).‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬
f(x) = x3
– 3x2
+ 2x = 0 ⇒ x(x2
– 3x + 2) = 0 ⇒ x(x – 2) (x - 1) = 0
x = 0 , x = 2 , x = 1
2)‫التكامل‬ ‫فترات‬[1,2]‫و‬[0,1]
/‫مالحظة‬‫اقل‬ ‫من‬ ‫متدرجة‬ ‫الفترات‬ ‫تكون‬ ‫االسئلة‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫في‬x‫اكبر‬ ‫الى‬x.
2):‫المساحات‬ ‫حساب‬

213. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬211/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
A1 =∫ (x3
– 3x2
+ 2x)
1
0
dx = [
x4
4
− x3
+ x2
] 1
0
= [
14
4
− 13
+ 12
] − 0=
1
4
unit2
A2 = ∫ (x3
– 3x2
+ 2x )
2
1
dx = [
x4
4
− x3
+ x2
] 2
1
=[
24
4
− 23
+ 22
] − [
14
4
− 13
+ 12
] = [
16
4
− 8 + 4] −
1
4
= −
1
4
unit2
A = |A1| + |A2|=
1
4
+
1
4
=
1
2
unit2
‫مثال‬4/‫بالمنحني‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬1–2
x=y‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬2,3]-[.
1).‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬
y = x2
- 1= 0 ⇒ x2
- 1= 0 ⇒ (x – 1)(x + 1)= 0 ⇒ x = 1 , x = -1
2)‫التكامل‬ ‫فترات‬[1,3]‫و‬[-1,1]‫و‬[-2,-1]
2):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (x2
− 1 )
−1
−2
dx = [
x3
3
− x] −1
−2
= [
(−1)3
3
− (−1)] − [
(−2)3
3
− (−2)]
A1 = [
−1
3
+ 1] − [
−8
3
+ 2] =
2
3
−
−2
3
=
2
3
+
2
3
=
4
3
unit2
A2 = ∫ (x2
− 1 )
1
−1
dx = [
x3
3
− x] 1
−1
= [
(1)3
3
− (1)] − [
(−1)3
3
− (−1)]
A2 = [
1
3
− 1] − [
−1
3
+ 1] =
−2
3
−
2
3
= −
4
3
unit2
A3 = ∫ (x2
− 1 )
3
1
dx = [
x3
3
− x] 3
1
= [
(3)3
3
− 3] − [
(1)3
3
− 1]
A3 = [9 − 3] − [
1
3
− 1] = 6 −
−2
3
= 6 +
2
3
=
20
3
A = |A1| + |A2|+ |A3| =
4
3
+
4
3
+
20
3
=
28
3
unit2
‫مثال‬5/‫بالمنحني‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬y = sin x‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬[−
𝜋
2
, 𝜋]
1).‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬
y = sin x = 0
x = …. −𝜋 , 0 , 𝜋 , 2𝜋 ….
2)‫التكامل‬ ‫فترات‬[0, 𝜋]‫و‬[−
𝜋
2
, 0]
2):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (sin x)
0
− 𝜋
2⁄
dx = [− cos x] 0
− 𝜋
2⁄
= [− cos 0 − (− cos(−
𝜋
2
))] = [−1 − 0] = -1
A2 = ∫ (sin x)
𝜋
0
dx = [− cos x] 𝜋
0
= [− cos 𝜋 − (− cos 0)] = [−(−1) − (−1)] = 2
A = |A1| + |A2|= 2 + 1 = 3 unit2

214. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬214/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫مثال‬6/‫بالمنحني‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬y = cos x‫الفترة‬ ‫وعلى‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬[−𝜋, 𝜋].
/‫الحل‬
1).‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬
y = cos x = 0
x = …. −
3𝜋
2
, −
𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
….
2)‫التكامل‬ ‫فترات‬[
𝜋
2
, 𝜋]‫و‬[−
𝜋
2
,
𝜋
2
]‫و‬[−𝜋, −
𝜋
2
]
2):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (cos x)
− 𝜋
2⁄
−𝜋
dx = [sin x] − 𝜋
2⁄
−𝜋
= [sin(−
𝜋
2
) − (sin(−𝜋))] = -1
A2 = ∫ (cos x)
𝜋
2⁄
− 𝜋
2⁄
dx = [sin x]
𝜋
2⁄
− 𝜋
2⁄
= [sin(
𝜋
2
) − (sin(−
𝜋
2
))]= 1- (-1) = 2
A3 = ∫ (cos x)
𝜋
𝜋
2⁄
dx = [sin x] 𝜋
𝜋
2⁄
= [sin(𝜋) − (sin(
𝜋
2
))] = 0 - 1 = -1
A = 1 + 2 + 1 = 4 unit2
2-:‫بمنحنيين‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬‫لتكن‬f(x)‫و‬g(x)‫مستمرتين‬ ‫دالتين‬‫من‬ ‫الفترة‬ ‫في‬a=x‫الى‬b=x‫اردنا‬ ‫فاذا‬
‫مساحة‬ ‫حساب‬‫المنطقة‬‫بينهما‬ ‫المحصورة‬‫الفترة‬ ‫هذه‬ ‫خالل‬:‫التالي‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬
a)‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫انشاء‬h(x):‫حيث‬
h(x) = f(x) – g(x)
‫و‬‫بين‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬h(x).‫السينات‬ ‫ومحور‬
b).‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫حسب‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫تقسيم‬
c)‫فترة‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫ناتج‬ ‫مجموع‬ ‫حساب‬‫باستخدام‬‫الدالة‬h(x).
‫مثال‬7/‫بالمنحني‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬y = √x‫والمستقيم‬y = x.
/‫الحل‬
a)‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫انشاء‬h(x)‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫وايجاد‬:
h(x) = √x − x = 0 ⇒ √x − x = 0 ⇒ √x = x ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x = x2
⇒ x2
− x = 0 ⇒ x(x − 1) = 0 ⇒ x = 0 , x = 1
b)‫تقسي‬:‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫حسب‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫م‬‫الفترات‬[0,1]
c)‫ن‬ ‫مجموع‬ ‫حساب‬‫و‬‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫اتج‬‫الفترات‬.
A = ∫ (√x − x)
1
0
dx = ∫ (x
1
2 − x)
1
0
dx = [
2
3
x
3
2 −
x2
2
] 1
0
=
2
3
(1)
3
2 −
12
2
– 0
=
2
3
−
1
2
=
4−3
6
=
1
6
unit2
‫مثال‬8/‫بالمنحنيين‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬ ‫جد‬y = sin x‫و‬y = cos x‫الفترة‬ ‫وعلى‬[– 𝝅
𝟐⁄ , 𝝅
𝟐⁄ ]
/‫الحل‬
a)‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫انشاء‬h(x)‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫وايجاد‬:

215. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬213/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
h(x) = cos x − sin x = 0 ⇒ cos x = sin x ⇒
sin x
cos x
= 1 ⟹ tan x = 1
x = …. −
7𝜋
4
, −
3𝜋
4
,
𝜋
4
,
5𝜋
4
….
b)‫تقسي‬:‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫حسب‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬ ‫م‬: ‫الفترات‬[
−𝜋
2
,
𝜋
4
]‫و‬[
𝜋
4
,
𝜋
2
]
c).‫الفترات‬ ‫لكل‬ ‫التكامل‬ ‫نواتج‬ ‫مجموع‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (cos x − sin x)
𝜋
4⁄
− 𝜋
2⁄
dx = [sin x + cos x]
𝜋
4⁄
− 𝜋
2⁄
= [sin(
𝜋
4
) + cos(
𝜋
4
)] -[sin(
−𝜋
2
) + cos(
−𝜋
2
)] = [
1
√2
+
1
√2
] -[−1 + 0]=
2
√2
+ 1 = √2 + 1
A2 = ∫ (cos x − sin x)
𝜋
2⁄
𝜋
4⁄
dx = [sin x + cos x]
𝜋
2⁄
𝜋
4⁄
= [sin(
𝜋
2
) + cos(
𝜋
2
)] -[sin(
𝜋
4
) + cos(
𝜋
4
)] =[1 + 0] -[
1
√2
+
1
√2
] = 1 −
2
√2
= 1 − √2
A = |√2 + 1| + |1 − √2|
‫المقدار‬ /‫مالحظة‬√𝟐‫من‬ ‫اكبر‬1‫المقدار‬ ‫فان‬ ‫لذلك‬𝟏 − √𝟐‫المطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫اننا‬ ‫وبما‬ ‫سالب‬ ‫يكون‬
.‫الطرح‬ ‫عملية‬ ‫نعكس‬ ‫فاننا‬ ‫الطرح‬ ‫لحاصل‬
A = (√2 + 1) + (√2 − 1) = 𝟐√ 𝟐 unit2
‫المسافة‬d‫واالزاحة‬s:
1)‫المسافة‬d‫الذي‬ ‫المسار‬ ‫طول‬ ‫هي‬ :‫متحرك‬ ‫جسم‬ ‫يقطعه‬‫وايابا‬ ‫ذهابا‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫على‬,‫الجسم‬ ‫ان‬ ‫فرضنا‬ ‫واذا‬
‫دال‬ ‫وفق‬ ‫يتحرك‬‫ة‬‫السرعة‬v(t):‫التالي‬ ‫بالقانون‬ ‫تحسب‬ ‫يسيرها‬ ‫التي‬ ‫المسافة‬ ‫فان‬
d = ∫ |v(t)|
t2
t1
dt
2)‫االزاحة‬s‫الزمن‬ ‫عند‬ ‫الجسم‬ ‫موقع‬ ‫بين‬ ‫يفصل‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬ ‫الخط‬ ‫طول‬ ‫هي‬ :1t‫في‬ ‫وموقعه‬‫الزمن‬2t‫واذا‬ ,
‫السرعة‬ ‫دالة‬ ‫وفق‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسم‬ ‫ان‬ ‫فرضنا‬v(t)‫فان‬‫االزاحة‬:‫التالي‬ ‫بالقانون‬ ‫تحسب‬
s = ∫ v(t)
t2
t1
dt
2)‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬ ‫تحديد‬ ‫طلب‬ ‫اذا‬ ‫اما‬n:‫التالي‬ ‫القانون‬ ‫نستخدم‬ ‫فاننا‬
dn = ∫ |v(t)|
n
n−1
dt
4)‫موجبة‬ ‫قيمة‬ ‫ترجع‬ ‫السرعة‬ ‫دالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫قيم‬ ‫لكل‬ ‫فقط‬ ‫سالبة‬ ‫او‬ ‫فقط‬t‫الجسم‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫ذلك‬ ‫فان‬‫باتجاه‬ ‫يتحرك‬
‫واحد‬‫وعندها‬‫المسافة‬ ‫تساوي‬ ‫االزاحة‬‫ترجع‬ ‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬‫ذهابا‬ ‫يتحرك‬ ‫الجسم‬ ‫فان‬ ‫وموجبة‬ ‫سالبة‬ ‫قيم‬
‫وايابا‬‫والمسافة‬ ‫االزاحة‬ ‫تتساوى‬ ‫ال‬ ‫قد‬ ‫وعندها‬.
‫خطوات‬/‫الحل‬
‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫نحدد‬t.
.‫جزئية‬ ‫فترات‬ ‫الى‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫نقسم‬
.‫التكامالت‬ ‫حساب‬

216. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬211/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫مثال‬9/‫بسرعــــــــة‬ ‫مستقيــــــم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫يتحرك‬ ‫جسم‬/s2
4)m-(2t=v(t):‫جد‬
1-‫الفترة‬ ‫في‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬[1,3].
2-‫الفترة‬ ‫في‬ ‫المقطوعة‬ ‫االزاحة‬[1,3].
2-.‫الخامسة‬ ‫الثانية‬ ‫في‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬
4-‫مضي‬ ‫بعد‬ ‫بعده‬4.‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثواني‬
/‫الحل‬
1-‫الفترة‬ ‫في‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬[1,3].
‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫نحدد‬t:
v(t) = (2t - 4) = 0 ⇒ t = 2
‫جزئية‬ ‫فترات‬ ‫الى‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫المعطاة‬ ‫الفترة‬ ‫نقسم‬:: ‫الفترات‬[1,2]‫و‬[2,3]
‫التكامل‬ ‫حساب‬:
d1 = ∫ (2t − 4)
2
1
dt = [(t2
–4t)] 2
1
=[(22
–4 .2)] − [(12
–4 .1)]
= [(4–8)] − [(1–4)] = -4 +3 = -1
d2 = ∫ (2t − 4)
3
2
dt = [(t2
–4t)] 3
2
= [(32
–4 .3)] − [(22
–4 .2)]
= [(9–12)] − [(4–8)] = -3 + 4 = 1
d = ǀd1ǀ + ǀd2ǀ = 1 + 1 = 2 m
2-‫الفترة‬ ‫في‬ ‫المقطوعة‬ ‫االزاحة‬[1,3].
S = = ∫ (2t − 4)
3
1
dt = [(t2
–4t)] 3
1
= [(32
–4 .3)] − [(12
–4 .1)]
= [(9–12)] − [(1–4)] = -3 + 3 = 0
‫قيم‬ ‫نستخدم‬ ‫ان‬ ‫فيمكننا‬ ‫االسبق‬ ‫الفرع‬ ‫فترة‬ ‫نفس‬ ‫الفرع‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫الفترة‬ ‫ان‬ ‫بما‬1d‫و‬2d‫مباشرة‬.
2-‫المسافة‬.‫الخامسة‬ ‫الثانية‬ ‫في‬ ‫المقطوعة‬
d = ∫ (2t − 4)
5
5−1
dt = ∫ (2t − 4)
5
4
dt = [(t2
–4t)] 5
4
=[(5
2
–4 .5)] − [(42
–4 .4)]
= [(25–20)] − [(16–16)] = 5 m
4-‫مضي‬ ‫بعد‬ ‫بعده‬4‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثواني‬:
‫بعد‬ ‫البعد‬ ‫طلب‬ ‫انه‬ ‫وبما‬ ‫االزاحة‬ ‫يعني‬ ‫البعد‬ /‫مالحظة‬4‫مــــن‬ ‫يكون‬ ‫التكامل‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثواني‬t = 0
‫الى‬t = 4.
S = ∫ (2t − 4)
4
0
dt = [t2
–4t] 4
0
=[42
–4 .4] − [02
–4 .0]= 0 m
‫مثال‬11/‫قدره‬ ‫بتعجيل‬ ‫مستقيــــــم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫يتحرك‬ ‫جسم‬112
m/s‫اصبحت‬ ‫قد‬ ‫سرعته‬ ‫وكانت‬12m/s‫بعد‬
‫مرور‬4:‫جد‬ ‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثوان‬
1-.‫الثالثة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬
2-‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫بعده‬2.‫ثواني‬
/‫الحل‬:‫التعجيل‬ ‫دالة‬ ‫تكامل‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫السرعة‬ ‫دالة‬ ‫نحسب‬
v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ 18 dt = 18t + c m/s
‫قيمة‬ ‫نحسب‬c,‫عن‬‫الثانية‬ ‫د‬4‫سرعته‬ ‫اصبحت‬22‫اي‬:

217. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬210/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
v(4) = 18.4 + c = 82 ⇒ 72 + c = 82 ⇒ ∴ c = 10
v(t) = 18t + 10 ‫السرعة‬ ‫دالة‬
1-:‫الثالثة‬ ‫الثانية‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬
d = ∫ (18t + 10 )
3
2
dt = [9t2
+ 10t] 3
2
=[9 .32
+ 10 .3] − [9 .22
+ 10 .2]
= [81 + 30] − [36 + 20] = 111 – 56 = 55 m
2-‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫بعده‬2‫ثواني‬:
S = ∫ (18t + 10 )
3
0
dt = [9t2
+ 10t] 3
0
=[(9 .32
+ 10 .3)] − 0 = 111 m
‫التمارين‬ ‫حلول‬6–4
1-‫بالمنحني‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬x-4
x=y‫والمستقيمين‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬1-=x‫و‬1=x.
/‫الحل‬
a):‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
y = x4
- x = 0 ⇒ x(x3
– 1) = 0 ⇒ x = 0 , x = 1
b)‫التكامل‬ ‫فترات‬[0,1]‫و‬[-1,0]
c):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (x4
− x)
0
−1
dx = [
x5
5
−
x2
2
] 0
−1
= 0 − [
(−1)5
5
−
(−1)2
2
] = − [
−1
5
−
1
2
]= [
1
5
+
1
2
]
=
7
10
unit2
A2 = ∫ (x4
− x)
1
0
dx = [
x5
5
−
x2
2
] 1
0
= [
(1)5
5
−
(1)2
2
] − 0 = [
1
5
−
1
2
] = −
3
10
unit2
A = A1 + A2 =
7
10
+
3
10
= 1 unit2
2-‫بالدالة‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬4-2
3x-4
x=y=f(x)‫الفترة‬ ‫وعلى‬2,3]-[.‫السينات‬ ‫ومحور‬
/‫الحل‬
a)‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬:‫السينات‬ ‫محور‬
y = x4
- 3x2
- 4 = 0 ⇒ (x2
– 4) (x2
+ 1) = 0 ⇒ x = ±2 , x2
+ 1 ≠ 0
b)‫التكامل‬ ‫فترات‬[2,3]‫و‬[-2,2]
c):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (x4
− 3x2
− 4)
2
−2
dx = [
x5
5
− x3
− 4x] 2
−2
A1 = [
25
5
− 23
− 4 . 2] − [
(−2)5
5
− (−2)3
− 4 . (−2)]
A1 = [
32
5
− 8 − 8] − [
−32
5
+ 8 + 8] =
32
5
− 16 +
32
5
− 16 =
64
5
− 32
A1 =
64−160
5
= −
96
5
unit2

218. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬218/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
A2 = ∫ (x4
− 3x2
− 4)
3
2
dx = [
x5
5
− x3
− 4x] 3
2
A2 = [
35
5
− 33
− 4 . 3] − [
(2)5
5
− (2)3
− 4 . 2]
A2 = [
243
5
− 27 − 12] − [
32
5
− 8 − 8] =
243
5
− 39 −
32
5
+ 16=
211
5
− 23
A2 =
211−115
5
=
96
5
A = A1 + A2 =
96
5
+
96
5
=
192
5
unit2
2-‫بالدالة‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬2
x–4
x=f(x).‫السينات‬ ‫ومحور‬
/‫الحل‬
a):‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
y = x4
– x2
= 0 ⇒ x2
(x2
– 1) = 0 ⇒ x = 0 , x = ±1
b)‫التكامل‬ ‫فترات‬[0,1]‫و‬[-1,0]
c):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (x4
− x2
)
0
−1
dx = [
x5
5
−
x3
3
] 0
−1
= 0 − [
(−1)5
5
−
(−1)3
3
] = − [
−1
5
+
1
3
] =
2
15
unit2
A2 = ∫ (x4
− x2
)
1
0
dx = [
x5
5
−
x3
3
] 1
0
= [
(1)5
5
−
(1)3
3
] − 0 = [
1
5
−
1
3
] = −
2
15
unit2
A = A1 + A2 =
2
15
+
2
15
=
4
15
unit2
4-‫بالمنحني‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬y = sin 3x‫وعلى‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬[0,
𝜋
2
].
/‫الحل‬
a).‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬
y = sin 2x = 0
3x = …. 0 , 𝜋 , 2𝜋 ….
x = …. 0 ,
𝜋
3
,
2𝜋
3
, ….
b)‫التكامل‬ ‫فترات‬[
𝜋
3
,
𝜋
2
]‫و‬[0,
𝜋
3
]
c):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (sin 3x)
𝜋
3⁄
0
dx =
1
3
∫ (sin 3x)
𝜋
3⁄
0
3 dx =
1
3
[−cos 3x]
𝜋
3⁄
0
A1 =
1
3
[− cos 3
𝜋
3
− (− cos0)] =
1
3
[− cos 𝜋 + cos0] =
1
3
[1 + 1] =
2
3
unit2
A2 = ∫ (sin 3x)
𝜋
2⁄
𝜋
3⁄
dx =
1
3
∫ (sin3x)
𝜋
2⁄
𝜋
3⁄
3 dx =
1
3
[− cos 3x]
𝜋
2⁄
𝜋
3⁄
A2 =
1
3
[− cos 3
𝜋
2
− (− cos 3
𝜋
3
)] =
1
3
[0 −1]= −
1
3
unit2
A = A1 + A2 =
2
3
+
1
3
= 1 unit2

219. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬217/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
5-‫بالمنحني‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬1-x2
2cos=y‫وعلى‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬[0,
𝜋
2
].
/‫الحل‬
a).‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫ايجاد‬
y = 2cos2
x - 1
‫المثلثات‬ ‫قانون‬ ‫خالل‬ ‫من‬cos 2
x =
1+cos2x
2
:‫نحلل‬
y = 2cos2
x - 1 = 2
1+cos 2x
2
- 1 = 1 + cos2x − 1 = cos2x
y = cos 2x = 0 ⟹ 2x = ∓
𝜋
2
, ∓
3𝜋
2
x = …., −
3𝜋
4
, −
𝜋
4
,
𝜋
4
,
3𝜋
4
,….
b)‫التكامل‬ ‫فترات‬[
𝜋
4
,
𝜋
2
]‫و‬[0,
𝜋
4
]
c):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 =∫ (cos 2x)
𝜋
4⁄
0
dx =
1
2
∫ (cos 2x)
𝜋
4⁄
0
2dx =
1
2
[sin 2x]
𝜋
4⁄
0
=
1
2
[sin 2(
𝜋
4
) − sin 0]
A1 =
1
2
[sin(
𝜋
2
)] =
1
2
unit2
A2 =∫ (cos 2x)
𝜋
2⁄
𝜋
4⁄
dx =
1
2
∫ (cos 2x)
𝜋
2⁄
𝜋
4⁄
2dx =
1
2
[sin 2x]
𝜋
2⁄
𝜋
4⁄
=
1
2
[sin 2(
𝜋
2
) − sin 2(
𝜋
4
)] =
1
2
[0 − 1 ] = −
1
2
unit2
A =
1
2
+
1
2
= 1 unit2
6-‫بالدالتي‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬‫ــ‬‫ن‬y =√x − 1‫و‬y =
1
2
x‫وعلى‬[2,5].
a)‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫انشاء‬h(x)‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫وايجاد‬:
h(x) = √x − 1 −
1
2
x = 0 ⇒ √x − 1 =
1
2
x ⇒ x − 1 =
x2
4
‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
− 4x + 4 = 0 ‫بطرفين‬ ‫وسطين‬
(x − 2)(x − 2) = 0 ⇒ x = 2
a): ‫الفترات‬[2,5]
b)‫التكامل‬ ‫حساب‬:
A = ∫ (√x − 1 −
1
2
x)dx
5
2
= ∫ ((x − 1)
1
2 −
1
2
x )dx
5
2
= [
2
3
(x − 1)
3
2
−
x2
4
] 5
2
=[
2
3
(5 − 1)
3
2 −
52
4
]-[
2
3
(2 − 1)
3
2 −
22
4
] = [
16
3
−
25
4
]- [
2
3
− 1 ]
=
16
3
−
25
4
−
2
3
+ 1 =
14
3
−
25
4
+ 1 =
56−75+12
12
= −
7
12
=
7
12
unit2

220. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬228/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
7-‫بالدالتيــن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬12-4
x=y‫و‬2
x=y.
/‫الحل‬
a)‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫انشاء‬h(x)‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫وايجاد‬:
h(x) = x4
– 12 − x2
= 0 ⇒ x4
– 12 = x2
⇒ x4
– x2
-12 = 0
(x2
- 4)(x2
+ 3) = 0 ⇒ x = ±2 , x2
= -3 ‫تهمل‬
b): ‫الفترات‬[-2,2]
c)‫التكامل‬ ‫حساب‬:
A = |∫ (x4
– x2
− 12)dx
2
−2
| = [
x5
5
–
x3
3
− 12x ] 2
−2
=[
25
5
–
23
3
− 12 . 2]-[
(−2)5
5
–
(−2)3
3
− 12 . (−2)]
=[
32
5
−
8
3
− 24]-[
−32
5
−
−8
3
+ 24] =
32
5
−
8
3
− 24 +
32
5
−
8
3
− 24
=
64
5
−
16
3
− 48 =
192−80−720
15
=
608
15
unit2
1-‫بالدالتيــن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬f(x) = sin x‫و‬g(x) = sin x cos x‫حيث‬x∈ [0,2𝜋].
/‫الحل‬
a)‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫انشاء‬h(x)‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫وايجاد‬:
h(x) = sin x − sin x cos x = 0 ⇒ sin x - sin x cos x = 0
sin x(cos x – 1) = 0 ⇒ sin x = 0
x = … , −2𝜋 , −𝜋 , 0 , 𝜋 , 2𝜋 , …
cos x – 1 = 0
cos x = 1
x = … , −2𝜋 , 0 , 2𝜋 , …
b): ‫الفترات‬[0, 𝜋]‫و‬[𝜋, 2𝜋]
c)‫التكامل‬ ‫حساب‬:
A1 = ∫ sin x(cos x – 1)
𝜋
0
dx = ∫ (sin x cos x – sin x)
𝜋
0
dx
A1 = [
sin2 x
2
+ cosx ] 𝜋
0
= [
sin2 𝜋
2
+ cos𝜋] − [
sin2 0
2
+ cos 0]
A1 = [(0 − 1) − (0 + 1)] = -2 unit2
A2 = ∫ sin x(cos x – 1)
2𝜋
𝜋
dx = [−
(cos x– 1)2
2
] 2𝜋
𝜋
A2 = [−
(cos 2𝜋 –1)2
2
− (−
(cos 𝜋–1)2
2
)]= 0 − (−
(−1– 1)2
2
) = 0 − (−2) = 2unit2
A = |−2| + |2| = 4 unit2

221. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬221/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
9-‫بالدالتيــن‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬f(x) = sin x‫و‬g(x) = 2sin x +1‫حيث‬x ∈ [0,
3𝜋
2
].
/‫الحل‬
a)‫جديدة‬ ‫دالة‬ ‫انشاء‬h(x)‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫وايجاد‬:
h(x) = sin x – (2sin x + 1) ⇒ h(x) = sin x – 2sin x − 1
h(x) = −sin x -1 = 0 ⇒ sin x = -1
x = … ,
−3𝜋
2
,
3𝜋
2
, …
b): ‫الفترات‬[0,
3𝜋
2
]
c)‫التكامل‬ ‫حساب‬:
A = ∫ (−sin x – 1)
3𝜋
2
0
dx = − ∫ (sin x + 1)
3𝜋
2
0
dx =−[−cos x + x]
3𝜋
2
0
A = -([−cos
3𝜋
2
+
3𝜋
2
]- [−cos 0 + 0]) = -([0 +
3𝜋
2
]- [−1]) = (
3𝜋
2
+ 1)unit2
10-‫بالدالة‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫جد‬+ 3x2
+ 4x3
x=f(x).‫السينات‬ ‫ومحور‬
/‫الحل‬
a):‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬
y = x3
+ 4x2
+ 3x = 0 ⇒ x(x2
+ 4x + 3) = 0 ⇒ x(x + 3) (x + 1) = 0
x = 0 , x = -3 , x = -1
b)‫التكامل‬ ‫فترات‬[-3,-1]‫و‬[-1,0]
c):‫المساحات‬ ‫حساب‬
A1 = ∫ (x3
+ 4x2
+ 3x)
−1
−3
dx = [
x4
4
+
4x3
3
+
3x2
2
] −1
−3
= [
(−1)4
4
+
4(−1)3
3
+
3(−1)2
2
] − [
(−3)4
4
+
4(−3)3
3
+
3(−3)2
2
]
=[
1
4
+
−4
3
+
3
2
] − [
81
4
+
−108
3
+
27
2
] =
1
4
−
4
3
+
3
2
−
81
4
+
108
3
−
27
2
= −
80
4
+
104
3
−
24
2
=
−240−104+192
12
=
−240+416−144
12
=
32
12
=
8
3
unit2
A2 = ∫ (x3
+ 4x2
+ 3x)
0
−1
dx = [
x4
4
+
4x3
3
+
3x2
2
] 0
−1
= 0 − [
(−1)4
4
+
4(−1)3
3
+
3(−1)2
2
] = − [
1
4
+
−4
3
+
3
2
]
A2 = −
1
4
+
4
3
−
3
2
=
−3+16−18
12
=
−5
3
unit2
A =
8
3
+
5
12
=
32+5
12
=
37
12
unit2

222. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬222/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
11-‫بسرعــــــــة‬ ‫مستقيــــــم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫يتحرك‬ ‫جسم‬6t + 3)m2/s-2
(3t=v(t):‫جد‬
a)‫في‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬[2,4].
b)‫الفترة‬ ‫في‬ ‫االزاحة‬[0,5].
/‫الحل‬
a)‫الفترة‬ ‫في‬ ‫المقطوعة‬ ‫المسافة‬[2,4].
‫المحور‬ ‫مع‬ ‫التقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫نحدد‬t:
v(t) = 3t2
- 6t + 3 = 0 ⇒ t2
- 2t + 1 = 0 2 ‫على‬ ‫القسمة‬
(t - 1)(t - 1) = 0 ⇒ t = 1
: ‫الفترات‬[2,4]
‫التكامل‬ ‫حساب‬:
d = ∫ (3t2
− 6t + 3 )
4
2
dt = [(t3
–3t2
+ 3t)] 4
2
=[(43
–3 .42
+ 3 .4)] − [23
–3 .22
+ 3 .2]
= [64–48 + 12] − [8 − 12 + 6] = 28 - 2 = 26 m
b)‫الفترة‬ ‫في‬ ‫المقطوعة‬ ‫االزاحة‬[0,5].
s = = ∫ (3t2
− 6t + 3 )
5
0
dt = [(t3
–3t2
+ 3t)] 5
0
=[(5
3
–3 .5
2
+ 3 .5)] − 0
s = 125– 75 + 15 = 65 m
12-‫قدره‬ ‫بتعجيل‬ ‫مستقيــــــم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫يتحرك‬ ‫جسم‬(4t+12)2
m/s‫مرور‬ ‫بعد‬ ‫سرعته‬ ‫وكانت‬4‫ثوان‬‫ي‬‫تساوي‬
90 m/s‫احسب‬:
a)‫عند‬ ‫عند‬ ‫السرعة‬t = 2 s.
b)‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬[1,2].
c)‫بعد‬ ‫االزاحة‬10.‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثواني‬
/‫الحل‬‫التعجيل‬ ‫دالة‬ ‫تكامل‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫السرعة‬ ‫دالة‬ ‫نحسب‬:
v(t) = ∫ a(t) dt = ∫(4t + 12) dt = 2t2
+ 12t + c
‫الثانية‬ ‫عند‬4‫سرعته‬ ‫اصبحت‬90:‫اي‬
v(4) = 2(4)2
+ 12(4) + c = 90
32 + 48 + c = 90 ⇒ ∴ c = 10
v(t) = 2t2
+ 12t + 10 ‫السرعة‬ ‫دالة‬
a)‫عند‬ ‫السرعة‬‫الزمن‬t = 2‫ثانية‬.
v(2) = 2(2)2
+ 12(2) + 10 = 8 + 24 + 10 = 42 m/s t = 2 ‫عند‬ ‫السرعة‬
b)‫الفترة‬ ‫خالل‬ ‫المسافة‬[1,2]:
v(t) ≠ 0‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مع‬ ‫تقاطع‬ ‫نقاط‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫اذا‬
d = ∫ (2t2
+ 12t + 10 )
2
1
dt = [
2t3
3
+ 6t2
+ 10t] 2
1
=[
2(2)
3
3
+ 6(2)
2
+ 10(2)] − [
2(1)
3
3
+ 6(1)
2
+ 10(1)]
= [
16
3
+ 24 + 20] − [
2
3
+ 6 + 10] =
16
3
+ 44 –
2
3
− 16 =
14
3
+ 28 =
14+84
3
=
98
3
m

223. 8-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫المساحات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬221/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
c)‫بعد‬ ‫االزاحة‬10.‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثواني‬
s = ∫ (2t2
+ 12t + 10 )
10
0
dt = [
2t3
3
+ 6t2
+ 10t] 10
0
=[
2(10)3
3
+ 6(10)2
+ 10(10)] − 0 = [
2000
3
+ 600 + 100] =
4100
3
m
12-‫من‬ ‫نقطة‬ ‫تتحرك‬‫السكون‬‫وبعد‬t‫سرعتها‬ ‫اصبحت‬ ‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫من‬ ‫ثانية‬)2
6t-(100t‫الالزم‬ ‫الزمن‬ ‫اوجد‬
‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫لعودة‬‫االول‬ ‫موضعها‬.‫عندها‬ ‫التعجيل‬ ‫احسب‬ ‫ثم‬ ‫منه‬ ‫بدأت‬ ‫الذي‬
/‫الحل‬
v(t) = 100t - 6t2
s(t) = ∫ v(t) dt = ∫(100t − 6t2) dt = 50t2
− 2t3
+ c
‫الحركة‬ ‫بدء‬ ‫عند‬t = 0‫و‬s = 0
s(0) = 50(0)2
− 2(0)3
+ c = 0 ⇒ c = 0 ⇒ ∴ s(t) = 𝟓𝟎𝐭 𝟐
− 𝟐𝐭 𝟑
‫يعني‬ ‫االول‬ ‫موضعها‬ ‫الى‬ ‫النقطة‬ ‫عودة‬‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫االزاحة‬
s(t) = 50t2
− 2t3
= 0 ⇒ 2t2
(25 – t) = 0 ⇒ t = 0 ‫تهمل‬
25 – t = 0 ⇒ t = 25 sec ‫االول‬ ‫موضعه‬ ‫الى‬ ‫الجسم‬ ‫عودة‬
a(t) = v'(t) ⇒ a(t) = 100 – 12t ‫السرعة‬ ‫مشتقة‬ ‫هو‬ ‫التعجيل‬
a(25) = 100 – 12 (25) = -200 m/s2
‫االول‬ ‫موضعه‬ ‫الى‬ ‫الجسم‬ ‫عودة‬ ‫عند‬ ‫التعجيل‬

224. 7-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الحجوم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬224/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
9]-[4:‫الحجوم‬‫محور‬ ‫حول‬ ‫مستوية‬ ‫منطقة‬ ‫دارت‬ ‫اذا‬‫فإنها‬.‫التكامل‬ ‫باستخدام‬ ‫حجمه‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬ ‫مجسم‬ ‫تولد‬
1-:‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫المنطقة‬ ‫دوران‬
a)‫الدالة‬ ‫نستخرج‬y = f(x).
b)‫بداللة‬ ‫الفترة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬y‫فإننا‬‫بداللة‬ ‫نحولها‬x‫قيم‬ ‫نعوض‬ ‫حيث‬y‫قيم‬ ‫ونستخرج‬ ‫الدالة‬ ‫في‬x.
c)‫فقط‬ ‫نهايتها‬ ‫او‬ ‫الفترة‬ ‫بداية‬ ‫حدد‬ ‫اذا‬(a‫او‬b)‫يحددها‬ ‫لم‬ ‫او‬‫فإننا‬‫قيمة‬ ‫نحسب‬x‫عندما‬y = 0.
d):‫التكامل‬ ‫من‬ ‫الحجم‬ ‫نحسب‬
v = π. ∫ y2b
a
dx
2-:‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫المنطقة‬ ‫دوران‬
a)‫الدالة‬ ‫نستخرج‬x = f(y).
b)‫بداللة‬ ‫الفترة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬x‫فإننا‬‫بداللة‬ ‫نحولها‬y‫قيم‬ ‫نعوض‬ ‫حيث‬x‫قيم‬ ‫ونستخرج‬ ‫الدالة‬ ‫في‬y.
c)‫نهايتها‬ ‫او‬ ‫الفترة‬ ‫بداية‬ ‫حدد‬ ‫اذا‬(a‫او‬b‫يحددها‬ ‫لم‬ ‫او‬ )‫فإننا‬‫قيمة‬ ‫نحسب‬y‫عندما‬x = 0.
d):‫التكامل‬ ‫من‬ ‫الحجم‬ ‫نحسب‬
v = π. ∫ x2b
a
dy
‫مثال‬1/‫المنحني‬ ‫بين‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬y = √x‫حيث‬0 ≤ x ≤ 4, ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫دارت‬ , ‫السينات‬ ‫ومحور‬
.‫حجمها‬ ‫جد‬
/‫الحل‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬
y =f(x) = √x , x = 0 , x = 4
v = π. ∫ y2b
a
dx = π. ∫ (√x )24
0
dx
= π.∫ x
4
0
dx = π [
x2
2
] 4
0
v = π [
42
2
]- 0 =
16π
2
= 8π unit3
‫مثال‬2/:‫المنحني‬ ‫بين‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬x =
1
√y
, 1 ≤ y ≤ 4.‫حجمها‬ ‫جد‬ , ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫دارت‬
/‫الحل‬‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬‫الصادات‬:
x =f(y) =
1
√y
, y = 1 , y = 4
v = π. ∫ x2b
a
dy = π. ∫ (
1
√y
)
2
4
1
dy = π.∫
1
y
4
1
dy= π. [ln(y)] 4
1
v = π.ln4 - π. ln 1= π. ln 22
- π. (0) = 2π ln 2 unit3
‫مثال‬3/‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫بالقطع‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫الحجم‬ ‫اوجد‬8x=2
y‫والمستقيم‬‫ـــ‬‫ين‬=x
0‫و‬x = 2.‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
/‫الحل‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬
y = f(x) = √8x , x = 0 , x = 2
v = π. ∫ y2b
a
dx = π. ∫ 8x
2
0
dx = π [8
x2
2
] 2
0 = π [4x2
] 2
0
= π[4 .22
− 0] = 16π unit3
‫مثال‬4/‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫بالقطع‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫الحجم‬ ‫اوجد‬2
2x=y‫والمستقيمـــين‬=x
5‫و‬x = 0.‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
y = √x
‫للتوضيح‬ ‫الرسم‬

225. 7-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الحجوم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬223/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
/‫الحل‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬
y = f(x) = 2x2
, x = 0 , x = 5
v = π. ∫ y2b
a
dx = π. ∫ 4x45
0
dx
= 4π [
x5
5
] 5
0 = 4π[
5
5
5
− 0]
= 4π[625] = 2500 π unit3
‫مثال‬5/‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المكافئ‬ ‫بالقطع‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫الحجم‬ ‫اوجد‬2
4x=y‫والمستقيمـــين‬=y
16‫و‬y = 0.‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
/‫الحل‬‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬‫الصادات‬:
x = f(y) = √
y
4
, y = 0 , y = 16
v = π. ∫ x2b
a
dy = π. ∫
y
4
16
0
dy
v =
π
4
[
y2
2
] 16
0
=
π
4
[
162
2
− 0]
=
π
4
.256
2
=
128π
4
= 32 π unit3
‫مثال‬6/‫حجم‬ ‫اوجد‬‫المنطقة‬‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬y =
1
x
‫والمستقيمـــين‬x =
1
2
‫و‬x = 1‫الصادات‬ ‫ومحور‬
.‫الصادي‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫كاملة‬ ‫دورة‬
/‫الحل‬‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬‫الصادات‬:
y =
1
x
⟹ x =
1
y
x = f(y) =
1
y
, y = 0 , y = 16
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫ب‬ ‫نقوم‬‫تحوي‬‫ل‬‫المحور‬ ‫من‬ ‫التكامل‬ ‫حدود‬x‫المحور‬ ‫الى‬y:
x = 1 ⟹ y =
1
1
= 1
x =
1
2
⟹ y =
1
1
2
= 2
v = π. ∫ x2b
a
dx = π. ∫
1
y2
2
1
dy
v = π. ∫ y−22
1
dy
v = π [
y−1
−1
] 2
1
= π [
−1
y
] 2
1
= π[
−1
2
−
−1
1
] = π[−
1
2
+ 1 ] =
π
2
unit3
2y = 4x
0
16
‫للتوضيح‬ ‫الرسم‬
y =
1
x
x = 1x =
1
2
y = 2
y = 1
‫للتوضيح‬ ‫الرسم‬
‫للتوضيح‬ ‫الرسم‬
2y = 2x
0 5
v

226. 7-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الحجوم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬221/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫التمارين‬ ‫حلول‬7-4
1-‫المكافئ‬ ‫بالقطع‬ ‫المحددة‬ ‫المساحة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫المتولد‬ ‫الدوراني‬ ‫الحجم‬ ‫اوجد‬2
x=y‫والمستقيميــــــن‬2=x‫و‬
x = 1.‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
/‫الحل‬:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬
y = f(x) = x2
, x = 1 , x = 2
v = π. ∫ y2b
a
dx = π. ∫ x42
1
dx = π [
x5
5
] 2
1
= π [
25
5
−
15
5
]
v = π [
32
5
−
1
5
] =
31π
5
unit3
2-‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫الحجم‬ ‫اوجد‬+12
x=y‫والمستقيم‬4=y‫حول‬
.‫الصادي‬ ‫المحور‬
/‫الحل‬‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬‫الصادات‬:
x = f(y) = √y − 1 , y = 4
‫والمستقيم‬ ‫الدالة‬ ‫بين‬ ‫محصورة‬ ‫المنطقة‬ ‫ان‬ ‫بما‬y = 4‫قيمة‬ ‫يساوي‬ ‫االخر‬ ‫التكامل‬ ‫حد‬ ‫فان‬y‫عندما‬x = 0:
y = x2
+1 = 0 + 1 = 1
‫من‬ ‫التكامل‬ ‫حدود‬ ‫اذا‬y = 1‫الى‬y = 4.
v = π. ∫ x2b
a
dy = π. ∫ (y − 1)
4
1
dy
v = π [
(y−1)
2
2
] 4
1
= π [
32
2
− 0] =
9π
2
unit3
2-‫المنحني‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫المتولد‬ ‫الحجم‬ ‫احسب‬1=+ x2
y‫والمستقيم‬0=x‫المحور‬ ‫حول‬
.‫الصادي‬
/‫الحل‬‫المستقيم‬x = 0‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫نفسه‬ ‫هو‬
∵:‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬
∴ x = f(y) =1- y2
‫من‬ ‫تبدء‬ ‫التكامل‬ ‫فترة‬x = 0‫نحولها‬ ‫اذا‬‫بداللة‬y‫قيمة‬ ‫نحسب‬ ‫حيث‬y‫عند‬x = 0:
y2
+ x = 1 ⇒ y2
+ 0 = 1 ⇒ y = ±1
‫للتوضيح‬ ‫الرسم‬
+12xy =
0
4
1
‫المحصورة‬ ‫المنطقة‬
‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫بين‬
‫والمستقيم‬x = 0
‫للتوضيح‬ ‫الرسم‬ x = 0
2y-x = 1

227. 7-4‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫الحجوم‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬220/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫عندما‬x = 0‫فان‬y = ±1‫اي‬‫من‬ ‫التكامل‬ ‫حدود‬y = 1‫الى‬y = -1:
v = π. ∫ x2b
a
dy = π. ∫ (1 − y2
)21
−1
dy = π.∫ (1 − 2y
2
+ y4)1
−1 dy
v = π [y −
2y3
3
+
y5
5
] 1
−1
= π([1 − 2 .13
3
+ 15
5
] − [−1 − 2 .(−1)
3
3
+ (−1)
5
5
])
= π([1 −
2
3
+
1
5
] − [−1 +
2
3
−
1
5
]) = π(1 − 2
3
+ 1
5
+ 1 − 2
3
+ 1
5
) = π(2 − 4
3
+ 2
5
)
=
30−20+6
15
π =
16π
15
unit3
4-‫المنحني‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫المساحة‬ ‫دوران‬ ‫من‬ ‫المتولد‬ ‫الحجم‬ ‫احسب‬2
x=2
y‫والمستقي‬‫ـــــ‬‫مين‬2=x‫و‬0=x
.‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫حول‬
:‫السينات‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫الدوران‬ /‫الجل‬
y = f(x) = √x3 , x = 0 , x = 2
v = π. ∫ y2b
a
dx = π. ∫ x32
0
dx v = π [
x4
4
] 2
0
= π [
24
4
− 0]= 4π unit3
‫الرسم‬‫للتوضيح‬
y = √𝐱 𝟑
x = 0
x = 2
‫للتوضيح‬ ‫الرسم‬
(0,1)
(0,-1)

228. ‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫وإثرائية‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬228/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫عامة‬ ‫تمارين‬
‫س‬1/‫جد‬
dy
dx
:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫لكل‬
a) y = ex2
. ln|2x|
b) y = x2
. ln|x|
c) y =
ex+e−x
ex−e−x
d) y = ln(tan2
𝑥)
e) y = cos(eπx
)
‫س‬2/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬
a)∫(cos4
x − sin4
x)dx
b)∫(sin 2x– 1)(cos2
2x + 2) dx
c) ∫
ln(x)
x
dx
d)∫
2 sin √x
3
√x23 dx
e)∫ cot x csc3
x dx
f) ∫ √3x3 − 5x53
dx
g)∫
1
x2−14x+49
dx
h) ∫ sec2
3x . etan 3x
dx
‫اثرائية‬ ‫تمارين‬
‫س‬1/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫تكامالت‬ ‫جد‬
a) ∫ cos2
2x sin x dx
b) ∫ cos 2x sin2
x dx
c) ∫ sin4
x cos3
x dx
d) ∫(x7
− 6x4
+ 9x)2
dx
‫س‬2/‫كان‬ ‫اذا‬3
x=y: ‫لـ‬ ‫العددية‬ ‫القيمة‬ ‫جد‬ ,∫ y dx + ∫ x dy
64
0
4
0
‫س‬2/‫كان‬ ‫اذا‬∫ (x − x3) dx =
−9
4
b
−1
‫قيمة‬ ‫فما‬b 𝜖 R.
‫س‬4/‫كان‬ ‫اذا‬∫ (2x − 3) dx = 12
b
a
‫وكان‬a+2b = 3‫قيمة‬ ‫فما‬a,b ϵ R.
‫س‬5/‫قيمة‬ ‫جد‬a ∈ R: ‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬∫ (x − x3)dx =
9
8
∫ csc2
x dx
π
4
−
π
4
a
−1
‫س‬6/‫بتعجيل‬ ‫السكون‬ ‫من‬ ‫مبتدأ‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫يتحرك‬ ‫جسم‬(30 - 6t)‫متى‬ ‫اوجد‬ , ‫حركته‬ ‫من‬ ‫لحظة‬ ‫اي‬ ‫عند‬
.‫الثانية‬ ‫للمرة‬ ‫يسكن‬ ‫واين‬
‫س‬7/‫جد‬∫ |2x + 5| dx
1
−1
‫س‬1/‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫عند‬ ‫ميله‬ ‫الذي‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬(x,y)‫يساوي‬(2x+1)‫بالنقطة‬ ‫والمار‬(-1,-6)‫جد‬ ‫ثم‬ ,
‫ب‬ ‫المحددة‬ ‫المنطقة‬ ‫مساحة‬‫والمستقـــــيم‬ ‫الدالة‬ ‫منحني‬y = 2x.

229. ‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫وإثرائية‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬227/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710
‫س‬9/‫نقطة‬ ‫اي‬ ‫عند‬ ‫ميله‬ ‫منحني‬9)-6x–2
(ax‫حيث‬R∈a‫النقطــــة‬ ‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ‫معادلته‬ ‫جد‬ ,6)-(1,
.‫له‬ ‫انقالب‬ ‫نقطة‬
‫س‬10/:‫هي‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫على‬ ‫يتحرك‬ ‫جسم‬ ‫سرعة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬+6t + 32
v(t) 3t: ‫احسب‬
1-‫الفترة‬ ‫في‬ ‫المسافة‬[2,4]
2-‫التعجيل‬ ‫ليصبح‬ ‫الالزم‬ ‫الزمن‬2
18 m/s

230. ‫الرابع‬ ‫الفصل‬)‫(التكامل‬‫وإثرائية‬ ‫عامة‬ ‫تمارين‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬218/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80081438710

231. 2016-2015
‫ا‬
‫الرياضيا‬ ‫ملزمة‬‫ت‬
‫السادس‬‫العلمي‬

233. [5 – 1 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬)‫التفاضلية‬ ‫(المعادالت‬‫المقدمة‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬322/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
‫الفصل‬‫الخامس‬(‫المعادالت‬‫التفاضل‬‫االعتيادية‬ ‫ية‬):
]1-5[‫المقدمة‬:
‫تعريف‬:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬‫المعادلة‬ ‫هي‬‫(اي‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫المجهولة‬ ‫للدالة‬ ‫اكثر‬ ‫او‬ ‫واحدة‬ ‫مشتقة‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫التي‬
)‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫التابع‬ ‫المتغير‬
/‫مالحظة‬( ‫مستقل‬ ‫متغير‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫هي‬ ‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬Independent Variable‫وليكن‬ )x
‫المعرفة‬ ‫غير‬ ‫ودالته‬y(Dependent Variable‫مشتقات‬ ‫وبعض‬ )y‫الى‬ ‫بالنسبة‬x‫لها‬ ‫ويرمز‬ODE‫والتي‬
( ‫الى‬ ‫مختصر‬ ‫هي‬Ordinary Differential Equation)‫فمثال‬:
1)
dy
dx
= 3y − 4x
2) y' + x2
y + x = y
3)
d3y
dx3 +
dy
dx
= y − 4
4) x2
y'' + 5xy' – x3
y = 0
5) (y'')3
+ 2y' + x2
ln x = 5
6) y(4)
+ cos y + x2
yy' = 0
‫المتغير‬ ‫الن‬ ‫اعتيادية‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادالت‬ ‫كلها‬y‫المتغير‬ ‫على‬ ‫فقط‬ ‫يعتمد‬x.
/‫مثال‬
1)
dy
dx
+ x − 7y = 0 ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
2)
d2y
dx2= 5x - 3xy + 7 ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
3) (y''')4+ y' - y =0 ‫الرابعة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
4) y'' +2(y')3 =0 ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
5) (
dy
dx
)
4
= x3
− 5 ‫الرابعة‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
6) x2 (
dy
dx
)4 + (
d3y
dx3)2 + 2(
d2y
dx2) ‫الثانية‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
7) y(4) + cos y + x2yy' = 0 ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الرابعة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
‫المعادلة‬ ‫درجة‬ /‫مالحظة‬‫اعلى‬ ‫ذات‬ ‫للمشتقة‬ ‫الجبرية‬ ‫الدرجة‬ ‫هي‬ ‫مشتقاتها‬ ‫في‬ ‫جبرية‬ ‫تكون‬ ‫التي‬ ‫التفاضلية‬
:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫فمثال‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫تظهر‬ ‫رتبة‬
(y'')2 = √1 + (y′)2 ‫الثانية‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
‫ونحصل‬ ‫الكسرية‬ ‫االسس‬ ‫او‬ ‫الجذور‬ ‫ازالة‬ ‫يمكن‬ ‫حيث‬‫على‬‫الرابعة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫معادلة‬:
(y'')4 = 1 + (y′)2
:‫تعريف‬
‫الدرجة‬Degree:.‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫مشتقة‬ ‫أكبر‬ ‫أس‬ ‫هي‬
‫الرتبة‬Order:.‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫مشتقة‬ ‫أكبر‬ ‫رتبة‬ ‫هير‬

234. [5 – 2 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬324/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
]2-5[:‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫يتم‬‫بإيجاد‬‫التابع‬ ‫المتغير‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬y‫المستقل‬ ‫والمتغير‬x‫خالية‬ ‫العالقة‬ ‫تكون‬ ‫بحيث‬
.‫التعويض‬ ‫عند‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫وان‬ ‫االشتقاقات‬ ‫من‬
‫تحقق‬ ‫المستقل‬ ‫المتغير‬ ‫بداللة‬ )‫التابع‬ ‫(المتغير‬ ‫لمجهول‬ ‫دالة‬ ‫اية‬ ‫هو‬ ‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ان‬ ‫اي‬
.‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬
‫مثال‬1/‫العالقة‬ ‫ان‬ ‫بين‬+ 3x2
x=y‫ا‬‫ال‬‫ح‬‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬+ y2
x=xy'.
/‫الحل‬
y' = 2x + 3 y' ‫نجد‬
‫عن‬ ‫نعوض‬y‫و‬y':‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫وااليسر‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫في‬
‫االيسر‬ ‫الطرف‬L.H.S:
xy' = x (2x + 3) = 2x2
+ 3x
‫االيمن‬ ‫الطرف‬R.H.S:
x2
+ y = x2
+ (x2
+ 3x) = 2x2
+ 3x
L.H.S = R.H.S
∴‫العالقة‬+ 3x2x=y‫ا‬‫ال‬‫ح‬ ‫هي‬‫للمعادلة‬‫التفاضلية‬+ y2
x='xy
‫الحل‬‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫والعام‬ ‫الخاص‬
‫الحل‬ ‫ان‬‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫اي‬ ‫هو‬ ‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫الخاص‬x‫و‬y‫العام‬ ‫الحل‬ ‫اما‬ , ‫المعادلة‬ ‫تحقق‬
‫مساو‬ ‫االعتيادية‬ ‫الثوابت‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫على‬ ‫المشتمل‬ ‫الحل‬ ‫فهو‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬.‫المعادلة‬ ‫لرتبة‬
‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫كانت‬ ‫فاذا‬‫ثابت‬ ‫هو‬ ‫واحد‬ ‫اختياري‬ ‫ثابت‬ ‫على‬ ‫يحتوي‬ ‫العام‬ ‫حلها‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬
:‫ا‬‫ال‬‫مث‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫لمعادالت‬ ‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬ ‫اجراء‬ ‫عند‬ ‫يظهر‬ ‫الذي‬ ‫التكامل‬
dy
dx
− 5y = 0
‫الحل‬ ‫ويحققها‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬:‫الخاص‬5x
e=y
‫واحد‬ ‫اختياري‬ ‫ثابت‬ ‫على‬ ‫يشتمل‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫العام‬ ‫حلها‬ ‫ان‬ ‫اي‬ , ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫التعويض‬ ‫من‬ ‫يبدو‬ ‫كما‬
‫مثل‬c: ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫فيكون‬
y = c e5x
‫ا‬‫ا‬‫نظر‬ ‫تكامل‬ ‫ثابتي‬ ‫على‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫يحوي‬ ‫ان‬ ‫فيجب‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬‫إل‬‫جراء‬
:‫مثال‬ , ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫عند‬ ‫تكامل‬ ‫خطوتي‬
d2y
dx2 + y = 0:‫الخاصة‬ ‫الحلول‬ ‫وتحققها‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬
y = cos x , y = sin x
‫مثل‬ ‫اختياريين‬ ‫ثابتين‬ ‫على‬ ‫يحتوي‬ ‫ان‬ ‫فيجب‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫اما‬A‫و‬B:‫العام‬ ‫الحل‬ ‫فيصبح‬
y = A sin x + B cos x
‫مثال‬2/‫ان‬ ‫اثبت‬y = x ln ǀxǀ – x‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫احد‬x .
dy
dx
= x + y , x > 0
/‫الحل‬
‫المعادلة‬ ‫ان‬y = x ln ǀxǀ – x‫في‬ ‫ومعرفة‬ ‫المشتقات‬ ‫من‬ ‫خالية‬x > 0
:‫تعريف‬:‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫ان‬ ‫بحيث‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫متغيرات‬ ‫بين‬ ‫عالقة‬ ‫اية‬ ‫هو‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
1).‫المشتقة‬ ‫من‬ ‫خالية‬2).‫معينة‬ ‫فترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬3)‫المعادلة‬ ‫تحقق‬.‫التفاضلية‬

235. [5 – 2 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬323/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
y = x ln ǀxǀ – x ………..❶
‫المعادلة‬ ‫نشتق‬❶:
dy
dx
= x .
1
x
+ ln ǀxǀ . 1 – 1 = 1+ ln ǀxǀ –1
dy
dx
= ln ǀxǀ ……..….. ❷
‫نعوض‬❶‫و‬❷:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫في‬
L.H.S : x .
dy
dx
= x. ln ǀxǀ
R.H.S : x + y = x + x ln ǀxǀ – x = x ln ǀxǀ ⟹ L.H.S = R.H.S
∴‫المعادلة‬y = x ln ǀxǀ – x‫هي‬‫الخاصة‬ ‫الحلول‬ ‫احد‬‫للمعادلة‬‫التفاضلية‬x .
dy
dx
= x + y
‫مثال‬3/‫ان‬ ‫بين‬x + a=2
ln y,R∈a‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ,0=y–2y'.
/‫الحل‬
ln y2
= x + a ⟹ 2ln |y| = x + a
:‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نشتق‬
2 (
1
y
) y' = 1 ⟹ 2 y' = y ‫المشتقة‬
:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫نعوض‬
L.H.S : 2y' – y = y - y =0 = R.H.S
∴‫المعادلة‬x + a=2
ln y‫هي‬‫حال‬‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬0=y–2y'
‫مثال‬4/‫هل‬2-+ x3
x=y‫للمعادلة‬ ‫حال‬‫التفاضلية‬6x=
d2y
dx2.
/‫الحل‬
y = x3
+ x -2…….. ❶
dy
dx
= 3x2
+ 1 ⟹
d2y
dx2 = 6x ….. ❷ ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
‫نعوض‬❷‫في‬‫المعادلة‬ ‫طرفي‬‫التفاضلية‬:
L.H.S :
d2y
dx2 = 6x = R.H.S
∴‫المعادلة‬2-+ x3
x=y‫هي‬‫حل‬‫للمعادلة‬6x=
𝐝 𝟐 𝐲
𝐝𝐱 𝟐
‫مثال‬5/‫ان‬ ‫برهن‬y = 3 cos2x + 2 sin2x‫للمعادلة‬ ‫حال‬y'' + 4y = 0.
/‫الحل‬
y = 3 cos2x + 2 sin2x …… ❶
y′ = -6sin2x + 4cos2x ‫االولى‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
y′′ = -12 cos2x – 8 sin2x ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬ ‫نجد‬
y′′ = -4(3 cos2x +2 sin2x) ….. ❷
‫نعوض‬❶‫و‬❷‫ال‬ ‫في‬:‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫االيسر‬ ‫طرف‬
L.H.S : y'' + 4y =
-4(3 cos2x +2 sin2x) + 4(3 cos2x + 2 sin2x) = 0 = R.H.S
∴‫المعادلة‬y = 3 cos2x + 2 sin2x‫هي‬‫حل‬‫للمعادلة‬y'' + 4y = 0

236. [5 – 2 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬322/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
‫مثال‬6/‫هل‬3
+ x2
x3=2
y‫حل‬ ‫هو‬‫للمعادلة‬5=3x–2
'' + (y')yy.
/‫الحل‬
y2
= 3x2
+ x3
2yy' = 6x + 3x2
‫االولى‬ ‫المشتقة‬
2yy'' + 2y' y'= 6 + 6x ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
2yy'' + 2(y')2
= 6 + 6x 2 ‫على‬ ‫نقسم‬
y y'' + (y')2
= 3 + 3x
‫نعوض‬‫المقدار‬2
yy'' + (y')‫في‬‫ل‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬‫لمعادلة‬‫التفاضلية‬:
L.H.S : y y'' + (y')2
– 3x
3 + 3x -3x = 3 ≠ 5 R.H.S
∴‫المعادلة‬3
x+2
3x=2
y‫ليست‬‫ا‬‫ال‬‫ح‬‫للمعادلة‬‫التفاضلية‬5=3x–2
y'' + (y')
‫مثال‬7/‫ان‬ ‫بين‬3x-
+ e2x
e=y‫ا‬‫ال‬‫ح‬ ‫هو‬‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬0=6y-y'' + y'.
/‫الحل‬
y = e2x
+ e-3x
y' = 2e2x
- 3e-3x
‫االولى‬ ‫المشتقة‬
y'' = 4e2x
+ 9e-3x
‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
‫نعوض‬‫في‬‫ال‬:‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫االيسر‬ ‫طرف‬
L.H.S : y'' + y' - 6y =
(4e2x
+ 9e-3x
) + (2e2x
- 3e-3x
) -6(e2x
+ e-3x
)
6e2x
+ 6e-3x
- 6e2x
- 6e-3x
= 0
= R.H.S
∴‫المعادلة‬3x-
+ e2x
e=y‫ا‬‫ال‬‫ح‬‫للمعادلة‬‫التفاضلية‬0=6y-y'' + y'
‫تمارين‬ ‫حلول‬1-5
1.‫األ‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬ ‫بين‬:‫تية‬
a) (x2
-y2
) + 3xy
dy
dx
= 0 ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
b)
d2y
dx2 + x
dy
dx
− 5y = 7 ‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
c) (y''')3
– 2y' + 8y = x3
+ cos x ‫الثالثة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
d) (
d3y
dx3)
2
- 2(
dy
dx
)
5
+3y = 0 ‫الثانية‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
2.‫ان‬ ‫برهن‬y = sin x‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬y'' + y = 0.
/‫الحل‬

237. [5 – 2 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬320/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
y = sin x
y' = cos x ⟹ y'' = - sin x
L.H.S : y'' + y = - sin x + sin x = 0
= R.H.S
∴‫الدالة‬y = sin x‫اعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
3.‫العالقة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬s= 8 cos 3t + 6 sin 3t‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
d2s
dt2 + 9s = 0
/‫الحل‬
s= 8 cos 3t + 6 sin 3t
ds
dt
= -24 sin 3t + 18 cos 3t
d2s
dt2= -72 cos 3t – 54 sin 3t = -9(8 cos 3t + 6 sin 3t)
L.H.S :
d2s
dt2 + 9s =-9(8 cos 3t + 6 sin 3t) + 9(8 cos 3t + 6 sin 3t) = 0
L.H.S = R.H.S
∴‫العالقة‬s= 8 cos 3t + 6 sin 3t‫اعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
4.‫ان‬ ‫هل‬y = x +2‫للمعادلة‬ ‫حال‬y'' + 3y' + y = x.
/‫الحل‬
y = x +2 ⟹ y' = 1 ⟹ y'' = 0
L.H.S : y'' + 3y' + y =
0 + 3(1) + (x+2) = x + 5 ≠ R.H.S ∴‫حال‬ ‫ليست‬
5.‫هل‬tan x=y‫للمعادلة‬ ‫حال‬)2
y+2y(1=y''.
/‫الحل‬
y = tan x
y' = sec2
x
y'' = 2 sec x .(sec x .tan x)
y'' = 2 tan x .sec2
x
L.H.S = y'' = 2 tan x .sec2
x = 2 tan x (1 + tan2
x) = 2y (1 + y2
) = R.H.S
∴‫العالقة‬y = tan x‫اعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬
6.‫هل‬1=2
+ y2
2x‫للمعادلة‬ ‫حال‬2-=y''3
y
/‫الحل‬
2x2
+ y2
=1
4x + 2yy' = 0 x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
2y y' = -4x
Sec2
x = (1 + tan2
)

238. [5 – 2 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬320/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
y y' = -2x ‫على‬ ‫بالقسمة‬2
y' =
−2x
y
2 + y y'' + (y')2
= 0 ‫ثانية‬ ‫مرة‬ ‫نشتق‬
y y'' + (y')2
= -2 ⟹ y y'' + (
−2x
y
)2
= -2
y y'' +
4x2
y2 = -2 y2
‫بـ‬ ‫الطرفي‬ ‫نضرب‬
y3
y'' + 4x2
= -2 y2
⟹ y3
y'' = - 4x2
- 2 y2
y3
y'' = -2 (2x2
+ y2
)
y3
y'' = -2 (1)
L.H.S = y3
y'' = -2 = R.H.S ‫اعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬ ‫∴العالقة‬
7.‫هل‬yx = sin 5x‫للمعادلة‬ ‫حال‬xy''+2y' + 25yx = 0
/‫الحل‬
yx = sin 5x
y (1) + x y' = 5 cos 5x
y + x y' = 5 cos 5x ‫االولى‬ ‫المشتقة‬
y' + x y'' + y' (1) = -25 sin 5x
x y'' + 2y' = -25 sin 5x ‫الثانية‬ ‫المشتقة‬
L.H.S : xy''+2y' + 25yx
(-25sin 5x) + 25(sin 5x) = 0= R.H.S
∴yx = sin 5x‫اعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
8.‫ان‬ ‫بين‬x-
ae=y‫للمعادلة‬ ‫حال‬0=y+y',‫حيث‬R∈a
/‫الحل‬
y = ae-x
y' = -ae-x
L.H.S : y' + y = -ae-x
+ ae-x
= 0 = R.H.S
∴x-
ae=y‫اعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
9.‫ان‬ ‫بين‬+ c2
x=ǀyǀln,R∈c‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬y + 2y2
4x=y''
/‫الحل‬
ln ǀyǀ = x2
+ c
1
y
.y' = 2x ⟹ y' = 2xy ‫االولى‬ ‫المشتقة‬
y'' = 2x y' + 2y = 2x (2xy) + 2y = 4x2
y + 2y
L.H.S: y'' = 4x2
y + 2y = R.H.S
∴‫العالقة‬+ c2
x=ǀyǀln‫اعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هي‬
1=2
+ y2
2x
y' = 2xy

239. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬327/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
]3-5[:‫االولى‬ ‫والرتبة‬ ‫االولة‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬
‫على‬ ‫نعتمد‬ ‫اي‬ ‫للتفاضل‬ ‫معاكس‬ ‫عمل‬ ‫هو‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ان‬‫عكس‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬ ‫انه‬ ‫وبما‬ , ‫التكامل‬
‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫فان‬ ‫لذلك‬ )‫عام‬ ‫حل‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادلة‬ ‫لكل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫نتوقع‬ ‫ال‬ ‫(اي‬ ‫دالة‬ ‫لكل‬ ‫التفاضل‬
.‫العام‬ ‫حلها‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫طريقة‬ ‫حسب‬ ‫متعددة‬ ‫انواع‬ ‫الى‬ ‫تقسم‬ ‫حلها‬
‫ا‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫نستعرض‬ ‫سوف‬ ‫الفصل‬ ‫هذا‬ ‫في‬‫و‬ ‫الولى‬‫بمتغيرين‬ ‫االولى‬ ‫الدرجة‬x‫و‬y.
:‫انواع‬ ‫عدة‬ ‫الى‬ ‫مباشرة‬ ‫بطريقة‬ ‫العام‬ ‫حلها‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكن‬ ‫والتي‬ ‫المعادالت‬ ‫هذه‬ ‫نقسم‬ ‫سوف‬
1-.‫متغيراتها‬ ‫تنفصل‬ ‫التي‬ ‫المعادالت‬
2-.‫المتجانس‬ ‫النوع‬ ‫من‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادالت‬
3-.‫تامة‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادالت‬
4-‫خطية‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادالت‬)‫برنولي‬ ‫(معادلة‬
‫الفصل‬ ‫هذا‬ ‫في‬:‫فمثال‬ , ‫فقط‬ ‫والثاني‬ ‫االول‬ ‫النوعين‬ ‫من‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫طرق‬ ‫على‬ ‫نقتصر‬ ‫سوف‬
1)
dy
dx
= F(x,y)
2) M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
‫حيث‬N(x,y) ≠ 0‫و‬M(x,y) ≠ 0
‫التالية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫ا‬‫ال‬‫مث‬
dy
dx
=
3xy
x+y
:‫التالية‬ ‫بالصيغة‬ ‫تكتب‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
(3xy) dx = (x + y) dy ⟹ (3xy) dx - (x + y) dy = 0
: ‫حيث‬M(x,y) = 3xy,N(x,y) = x + y
‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫طرق‬ ‫بعض‬
:‫متغيراتها‬ ‫تنفصل‬ ‫التي‬ ‫المعادالت‬ /‫ا‬‫ال‬‫او‬
‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫التي‬ ‫الحدود‬ ‫نعزل‬ ‫ان‬ ‫نستطيع‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫النوع‬ ‫هذا‬ ‫في‬x‫مع‬ ‫فقط‬dx‫التي‬ ‫والحدود‬ , ‫جانب‬ ‫في‬
‫على‬ ‫تحتوي‬y‫مع‬ ‫فقط‬dy‫اخر‬ ‫جانب‬ ‫في‬,‫على‬ ‫فنحصل‬:f(x) dx = g(y) dy
:‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬
∫ g(y) dy = ∫ f(x) dx + c
‫حيث‬c‫اختياري‬ ‫ثابت‬
‫مثال‬8/‫المعادلة‬ ‫حل‬
dy
dx
= 2x + 5
/‫الحل‬
dy
dx
= 2x + 5 ⟹ dy = (2x + 5) dx ‫المتغيرات‬ ‫نعزل‬
∫ dy = ∫(2x + 5)dx ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬
y = x2
+ 5x + c

240. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬348/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
‫مثال‬9/‫المعادلة‬ ‫حل‬
dy
dx
=
x−1
y
/‫الحل‬:‫بصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نجعل‬f(x) dx = g(y) dy
dy
dx
=
x−1
y
⟹ y dy = (x - 1)dx
∫ ydy = ∫(x − 1)dx ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬
y2
2
=
x2
2
- x + c 2 ‫بـ‬ ‫نضرب‬
y2
= x2
- 2x + 2c ⟹ y = ±(x2
− 2x + 2c)
1
2
y = ±(x2
− 2x + c1)
1
2
‫حيث‬c1‫اختياري‬ ‫ثابت‬,2c=c1
‫مثال‬11/‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬y .dx2
sin x . cos=dy‫حيث‬cos y ≠ 0,
π
2
y ≠ (2n+1).
/‫الحل‬:‫بصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نجعل‬f(x) dx = g(y) dy
dy
cos 2y
= sin x .dx ⟹ sec2
y .dy = sin x .dx
∫ sec2
y . dy = ∫ sin x dx ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬
tan y = -cos x + c
‫حيث‬c‫اختياري‬ ‫ثابت‬
‫مثال‬11/‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬y'– x √y = 0y = 9 ,,x = 2.
/‫الحل‬:‫بصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نجعل‬f(x) dx = g(y) dy
y'– x √y = 0
dy
dx
- x √y = 0 ⟹
dy
dx
= x √y ⟹
dy
√y
= x dx ⟹ y
−1
2 dy = x dx
∫ y
−1
2 dy = ∫ x dx ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬
2 y
1
2 =
x2
2
+ c ⟹ 2 √y =
x2
2
+ c
‫قيمة‬ ‫نحسب‬c‫عندما‬y = 9‫و‬x = 2:
2 √9 =
22
2
+ c ⟹ 6 = 2 + c ⟹ ∴ c = 6 -2 = 4
2 √y =
x2
2
+ 4 ⟹ √y =
x2
4
+ 2 ∴ y = (
x2
4
+ 2)2
‫مثال‬12/‫المعادلة‬ ‫حل‬
dy
dx
= e2x+y
‫حيث‬
y = 0‫عندما‬x = 0.

241. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬341/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
/‫الحل‬:‫بصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نجعل‬f(x) dx = g(y) dy
dy
dx
= e2x+y
= e2x
. ey
⟹
dy
ey = e2x
. dx ⟹ e-y
dy = e2x
.dx
∫ e−y dy = ∫ e2x .dx ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬
− ∫ e−y
(−1)dy =
1
2
∫ e2x
(2). dx ⟹ -e-y
=
e2x
2
+ c
‫قيمة‬ ‫نحسب‬c‫عندما‬y = 0‫و‬x = 0:
-e-0
=
e0
2
+ c ⟹ -1 =
1
2
+ c ⟹ ∴ c = -1 -
1
2
= -
3
2
-e-y
=
e2x
2
-
3
2
-1 ‫بـ‬ ‫نضرب‬
e-y
=
3
2
−
e2x
2
=
1
2
(3 – e2x
) ⟹
1
ey =
3 – e2x
2
⟹ ey
=
2
3 – e2x
‫نأخذ‬ln: ‫للطرفين‬
ln(ey
) = ln |
2
3 – e2x | ⟹ y ln e = ln |
2
3 – e2x |
∴ y = ln |
2
3 – e2x |
‫مثال‬13/‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬(x+1)
dy
dx
= 2y.
/‫الحل‬:‫بصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نجعل‬f(x) dx = g(y) dy
(x+1)
dy
dx
= 2y ⟹ (x+1) dy = 2y dx ⟹
dy
y
= 2
dx
x+1
∫
dy
y
= 2 ∫
dx
x+1
‫الطرفين‬ ‫نكامل‬
ln|y| = 2 ln|x + 1| + c = ln(x + 1)2 + c ⟹ ln|y| − ln(x + 1)2 = c
ln
|y|
(x+1)2 = c
|y|
(x+1)2 = ec
|y| = ec
. (x + 1)2
y = ± c1 . (x + 1)2
ln e = 1
‫نرفع‬‫الى‬ ‫الطرفين‬e‫والن‬:x=
lnx
e
c1 = ec

242. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬343/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
‫التمارين‬ ‫حلول‬2-5
1.:‫المتغيرات‬ ‫فصل‬ ‫بطريقة‬ ‫االتية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
a)y' cos3
x = sin x
dy
dx
cos3
x = sin x
dy
dx
=
sin x
cos3x
⟹ dy =
sin x
cos3x
dx ⟹ dy = cos−3
x . sin x dx
∫ dy = − ∫ cos−3
x . (−sin x) dx
y = −
1
−2
cos−2
x + c ⟹ y =
1
2
sec2
x + c
b)
dy
dx
+ xy = 3x , x = 1 , y = 2
dy
dx
+ xy = 3x ⟹
dy
dx
= 3x - xy ⟹
dy
dx
= x(3 – y) ⟹
dy
3 – y
= x dx
∫
dy
3–y
=∫ x dx ⟹ -ln|3-y| =
1
2
x2
+ c
-ln|1| =
1
2
. 12
+ c ⟹ -ln|1| =
1
2
+ c 0 =
1
2
+ c ⟹ ∴ c = −
1
2
-ln|3 – y| =
1
2
x2
−
1
2
=
1
2
(x2
-1) ⟹ ln|3 – y| =
(1 – x2)
2
e
ln|3 – y|
1 = e
(1 – x2)
2
e ⟹ 3 – y= e
(1 – x2)
2
e
∴ y = 3 − e
(1 – x2)
2
e
c)
dy
dx
= (x + 1)(y – 1)
dy
dx
= (x + 1)(y – 1) ⟹
dy
y – 1
= (x + 1) dx
∫
dy
y – 1
= ∫(x + 1) dx ⟹ ln |y - 1| =
(x + 1)2
2
+ c
eln|y - 1| = e
(x + 1)2
2
+ c
x ⟹ y – 1= e
(x + 1)2
2
x . ec
y – 1=c1 e
(x + 1)2
2
x c1 = ec ⟹ ∴ y = 1 + c1 e
(x + 1)2
2
x
d) (y2
+ 4y -1) y' = x2
– 2x + 3
(y2
+ 4y -1)
dy
dx
= x2
– 2x + 3 ⟹ (y2
+ 4y -1) dy = (x2
– 2x + 3) dx
∫(y2
+ 4y − 1)dy = ∫(x2
− 2x + 3)dx

243. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬342/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
y3
3
+ 2y2
− y =
x3
3
− x2
+ 3x + c1 ⟹ y3
+ 6y2
- 3y = x3
- 3x2
+ 9x + 3c1
∴ y3
+ 6y2
- 3y = x3
- 3x2
+ 9x + c
e) y y' = 4 √(1 + y2)3
y
dy
dx
= 4 √(1 + y2)3 ⟹
y
√(1 + y2)3
dy = 4 dx
(1 + y2
)
−3
2
3 y dy = 4 dx
1
2
∫(1 + y2
)
−3
2
3 (2y) dy = ∫ 4 dx ⟹
1
2
(1+ y2)
−1
2
3
−1
2
= 4x + c
−
1
√1+ y2
= 4x + c ⟹
1
1+ y2 = (4x + c)2
⟹ 1 + y2
=
1
(4x + c)2
y2
=
1
(4x + c)2
− 1 ⟹ ∴ y = √
1
(4x + c)2 − 1
f) ex
dx – y3
dy = 0
ex
dx = y3
dy
∫ ex
dx = ∫ y3
dy ⟹ ex
+ c1 =
y4
4
⟹ y4
= 4ex
+ 4c1
y4
= 4ex
+ c c = 4 c1
∴ y = √4ex + c
4
g) y' = 2ex
y3
, x = 0 , y =
1
2
dy
dx
= 2ex
y3
⟹
dy
y3 = 2ex
dx ⟹ y-3
dy = 2ex
dx
∫ y−3
dy = 2 ∫ ex
dx ⟹
y−2
−2
= 2ex
+ c1 ⟹
−1
y2 = 4ex
+ 2c1
−1
y2 = 4ex
+ c c = 2c1
−1
(
1
2
)
2 = 4e0
+ c ⟹ -4 = 4 + c ⟹ ∴ c = -8
y2
=
−1
4ex− 8
⟹ ∴ y = √
−1
4ex− 8
x ≤ 0

244. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬344/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
2.:‫االتية‬ ‫التفاضلية‬ ‫للمعادالت‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬
a) xy
dy
dx
+ y2
= 1– y2
xy
dy
dx
+ y2
= 1– y2
⟹ xy
dy
dx
= 1– 2y2
⟹
y dy
1– 2y2 =
dx
x
−1
4
∫
−4y dy
1– 2y2
= ∫
dx
x
−1
4
ln |1– 2y2
| = ln |x| + c ⟹
−1
4
ln |1– 2y2
| = ln |x| + ln ec
ln |1– 2y2
|
−1
4
= ln (x .ec
) ⟹ ±(1– 2y2
)
−1
4
= x .ec
b)sin x cos y
dy
dx
+ cos x sin y = 0
sin x cos y
dy
dx
= - cos x sin y
∫
𝐜𝐨𝐬 𝐲
𝐬𝐢𝐧 𝐲
dy = − ∫
𝐜𝐨𝐬 𝐱
𝐬𝐢𝐧 𝐱
dx
ln sin y = -ln sin x + c ⟹ ln sin y + ln sin x = ln ec
ln (sin y sin x) = ln (ec
) ⟹ ∴ sin y sin x = ec
c) x cos2
y .dx + tan y .dy = 0
tan y .dy = - x cos2
y .dx ⟹
1
cos2y
tan y .dy = - x .dx
sec2
y tan y .dy = − x .dx
∫ sec2
y tan y .dy = − ∫ x .dx ⟹ ∴
tan2 y
2
= −
x2
2
+ c
d) tan2
y dy = sin3
x dx
tan2
y .dy = sin2
x .sin x .dx ⟹ tan2
y .dy = (1 - cos2
x) .sin x .dx
tan2
y .dy =sin x .dx -sin x .cos2
x dx
∫tan2
y .dy = ∫sin x .dx - ∫sin x cos2
dx
∫(sec2
y - 1).dy = ∫sin x .dx - ∫sin x cos2
dx
∴ tan y - y = - cos x +
1
3
cos3
x + c
e)
dy
dx
= cos2
x cos2
y
dy
cos2y
= cos2
x dx ⟹ sec2
y .dy= cos2
x dx
∫sec2
y .dy= ∫cos2
x dx
x = ln ex
x = ln ex

245. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬343/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
tan y =
1
2
(x +
1
2
sin 2x) + c ⟹ ∴ tan y =
x
2
+
1
4
sin 2x + c
f)
dy
dx
=
cosx
3y2+ey
dy
dx
=
cosx
3y2+ey ⟹ (3y2
+ ey) dy = cos x dx
∫(3y2
+ ey) dy = ∫ cos x dx ⟹ ∴ y3
+ ey
= sin x + c
g) ex+2y
+ y' = 0
ex+2y
+
dy
dx
= 0 ⟹ ex
. e2y
+
dy
dx
= 0 ⟹
dy
dx
= - ex
. e2y
e−2y
dy = - ex
.dx
−1
2
∫ e−2y
(2)dy = -∫ex
.dx ⟹
−1
2
e−2y
= -ex
+ c1
1
e2y = 2ex
- 2c1 ⟹ ∴
1
e2y = 2ex
- c
h)
d2y
dx2 - 4x = 0
d2y
dx2 - 4x = 0 ⟹
d2y
dx2 = 4x
∫
d2y
dx2 =
dy
dx
= 2x2
+ c1 ⟹ dy = (2x2
+ c1) dx
∫dy = ∫(2x2
+ c1) dx ⟹ ∴ y =
2x3
3
+ c1x + c2
:‫المتجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ /‫ثانيا‬
‫ولكن‬ ‫فيها‬ ‫المتغيرات‬ ‫لفصل‬ ‫قابلة‬ ‫ليست‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫تكون‬ ‫قد‬‫قاب‬ ‫نفسه‬ ‫الوقت‬ ‫في‬ ‫تكون‬ ‫قد‬‫للتحويل‬ ‫لة‬
‫المعادل‬ ‫الصور‬ ‫هذه‬ ‫ومن‬ ‫التحويالت‬ ‫بعض‬ ‫باستخدام‬ ‫وذلك‬ ‫للفصل‬ ‫قابلة‬ ‫معادلة‬ ‫الى‬‫ة‬‫المتجانس‬ ‫التفاضلية‬‫ة‬
:‫الصورة‬ ‫على‬ ‫كتابتها‬ ‫يمكن‬ ‫والتي‬
dy
dx
= f(
y
x
)
‫المعادلة‬ ‫ا‬‫ال‬‫فمث‬y3
x=
dy
dx
)4
+ y4
(x:‫الصورة‬ ‫على‬ ‫كتابتها‬ ‫يمكن‬
dy
dx
=
x3 y
(x4+ y4)
‫و‬ ‫بسط‬ ‫نقسم‬‫لمقام‬‫االيمن‬ ‫الطرف‬‫على‬x4
≠ 0:
dy
dx
=
x3 y
x4
(x4+ y4)
x4
=
(
y
x
)
x4
x4+
y4
x4
=
(
y
x
)
1+ (
y
x
)
4 ∴‫متجانسة‬ ‫اعاله‬ ‫المعادلة‬

246. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬342/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
‫مثال‬14/:‫متجانسة‬ ‫تفاضلية‬ ‫معادالت‬ ‫االتية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫اي‬ ‫بين‬
1)
dy
dx
=
x3+ y3
3x2 y
‫ومقام‬ ‫بسط‬ ‫نقسم‬‫االيمن‬ ‫الطرف‬‫على‬x3
≠ 0:
dy
dx
=
x3+ y3
x3
3x2 y
x3
=
x3
x3+
y3
x3
3
y
x
=
1+ (
y
x
)
3
3 (
y
x
)
∴‫متجانسة‬ ‫اعاله‬ ‫المعادلة‬
2) 2xy y' – y2
+ 2x2
= 0
2xy y' = y2
- 2x2
dy
dx
= y' =
y2−2x2
2xy
y' =
y2 − 2x2
x2
2
xy
x2
=
y2
x2 − 2
x2
x2
2
y
x
=
(
y
x
)
2
− 2
2 (
y
x
)
∴‫متجانسة‬ ‫اعاله‬ ‫المعادلة‬
3)
dy
dx
= y' =
x2+ y
x3
dy
dx
= y' =
x2+ y
x3 =
x2
x3 +
y
x3 ⟹
dy
dx
= y' =
1
x
+
y
x3 ∴‫متجانسة‬ ‫ليست‬ ‫المعادلة‬
:‫المتجانسة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫طريقة‬‫متجانسة‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫فإننا‬‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫حلها‬ ‫لغرض‬
:‫االتية‬
1)‫بصيغة‬ ‫نكتبها‬
dy
dx
= f(
y
x
)‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬v =
y
x
‫او‬y = vx‫حيث‬v‫لـ‬ ‫دالة‬ ‫وهو‬ ‫جديد‬ ‫متغير‬x.
2)‫نشتق‬y = vx‫الى‬ ‫بالنسبة‬x:‫على‬ ‫فنحصل‬
dy
dx
= x
dv
dx
+ v
3)‫بين‬ ‫بالربط‬1)‫و‬2): ‫ينتج‬x
dv
dx
+ v = f(v) ⟹ x
dv
dx
= f(v) - v
4)‫فصل‬ ‫بعد‬‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتغيرات‬:
dv
f(v) − v
=
dx
x
5)‫بداللة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫تكامل‬ ‫بأخذ‬v‫و‬x:∫
dv
f(v) − v
= ∫
dx
x
6)‫عن‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫نعوض‬v =
y
x
‫على‬ ‫فنحصل‬‫ح‬‫بداللة‬ ‫المعادلة‬ ‫ل‬x‫و‬y.
‫مثال‬15/‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬y′ =
3y
2
− x2
2xy
/‫الحل‬‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫ومقام‬ ‫بسط‬ ‫بقسمة‬≠ 02
x:
dy
dx
=
3(
y
x
)
2
− 1
2(
y
x
)
……. ❶ ∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬x2
(x2
≠ 0)

247. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬340/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
=
3v2
− 1
2v
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= v(1) + x
dv
dx
……. ❸
‫نعوض‬
dy
dx
‫معادلة‬ ‫من‬❷‫في‬❸:
v + x
dv
dx
=
3v2− 1
2v
⟹ x
dv
dx
=
3v2− 1
2v
– v
x
dv
dx
=
3v2− 1 − 2v2
2v
=
v2− 1
2v
⟹
dx
x
=
2v
v2− 1
dv ‫المتغيرات‬ ‫فصل‬
∫
dx
x
= ∫
2v
v2− 1
dv ‫الطرفين‬ ‫نكامل‬
ln |x| = ln |v2
− 1| + ln |c|
‫التكامل‬ ‫ثابت‬ln |c|.‫الحل‬ ‫لتسهيل‬
ln |x| = ln |c. (v2
− 1)| ⟹ x = ± [c. (v2
− 1)]
x = ± [c. (
y2
x2 − 1)] v =
y
x
‫نعوض‬
x = ± [c. (
y2−x2
x2 )] ⟹ ∴ c = ±
x3
y2−x2 ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬
‫مثال‬16/‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
dy
dx
=
y+ x
y−x
/‫الحل‬‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫بقسمة‬x ≠ 0:
dy
dx
=
(
y
x
)+ 1
(
y
x
)−1
……. ❶ ∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬❶:
dy
dx
=
v+ 1
v−1
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= v(1) + x
dv
dx
……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
V + x
dv
dx
=
v+ 1
v−1
⟹ x
dv
dx
=
v+ 1
v−1
– v ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬

248. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬340/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
x
dv
dx
=
v+ 1−(v2−v)
v−1
=
v+ 1−v2+v
v−1
⟹ x
dv
dx
=
2v−v2+ 1
v−1
dx
x
=
v−1
2v−v2+ 1
dv =
−(1−V)
2v−v2+ 1
dv
∫
dx
x
= −
1
2
∫
2(1−v)
2v − v2+ 1
dv ‫ونكامل‬
2
2
‫نضرب‬‫بـ‬
ln |x| = −
1
2
ln |2v − v2 + 1| + ln |c| ⟹
1
2
ln |2v − v2
+ 1| = ln |c| - ln |x|
ln (2v + 1 − v2)
1
2
1 = ln |
c
x
| ⟹ √2v − v2 + 1 = |
c
x
|
2v − v2
+ 1 =
c 2
x2
‫نعوض‬v =
y
x
:
2
y
x
+ 1 −
y2
x2 =
c2
x2 ⟹ 2xy + x2
− y2
= c2
∴ c = √2xy + x2 − y2 ‫العام‬ ‫الحل‬
‫مثال‬17/‫حل‬‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬0=2
+ x2
y-2xyy'
/‫الحل‬
2xyy' = y2
- x2
⟹
dy
dx
=
y2− x2
2xy
‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫بقسمة‬≠ 02
x:
dy
dx
=
(
y
x
)
2
− 1
2(
y
x
)
……. ❶ ∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬❶:
dy
dx
=
v2− 1
2v
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= v(1) + x
dv
dx
……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
v + x
dv
dx
=
v2− 1
2v
⟹ x
dv
dx
=
v2− 1
2v
– v =
v2− 1−2v2
2v
x
dv
dx
=
−1−v2
2v
dx
x
=
−2v
1+v2 dv v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬

249. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬347/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
∫
dx
x
= − ∫
2v
1+v2 dv
ln |x| = −ln |1 + v2
| + ln |c| ⟹ ln |x| + ln |1 + v2
| = ln |c|
ln |x (1 + v2)| = ln |c| ⟹ c = ±[x (1 + v2)]
‫نعوض‬v =
y
x
:
c = ± [x (1 +
y2
x2 )] = ± (x +
y2
x
) ⟹ ∴ c = ± (
x2+ y
2
x
) ‫العام‬ ‫الحل‬
‫مثال‬18/‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(3x – y) y' = x + y
/‫الحل‬
(3x – y)
dy
dx
= x + y ⟹
dy
dx
=
x+ y
3x – y
‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫بقسمة‬x ≠ 0:
dy
dx
=
1+ (
y
x
)
3−(
y
x
)
……. ❶ ∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
=
1+ v
3−v
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫نشتق‬‫الى‬ ‫بالنسبة‬
dy
dx
= v(1) + x
dv
dx
……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
v + x
dv
dx
=
1+ v
3−v
⟹ x
dv
dx
=
1+ v
3−v
– v =
1+ v−v(3−v)
3−v
x
dv
dx
=
1+ v− 3v + v2
3−v
⟹ x
dv
dx
=
1− 2v + v2
3−v
=
(1−v)2
3−v
dx
x
=
3−v
(1−v)2 dv v ‫و‬ x ‫عزل‬‫المتغيرات‬
‫قسمين‬ ‫الى‬ ‫البسط‬ ‫نجزء‬v–2 + 1=v–3
dx
x
=
2+ (1−v)
(1−v)2 dv=
2
(1−v)2 dv +
(1−v)
(1−v)2 dv
dx
x
=
2
(1−v)2 dv +
1
(1−v)
dv
∫
dx
x
= 2 ∫
dv
(1−v)2 + ∫
dv
(1−v)
∫
dx
x
= -2 ∫(1 − v)−2
(−1)dv − ∫
− dv
(1−v)

250. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬338/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
ln |x| = −2
(1−v)−1
−1
- ln |1 − v| + c
ln |x| =
2
(1−v)
- ln |1 − v| + c ⟹ ln |x| + ln |1 − v| =
2
(1−v)
+ c
ln |x (1 − v)| =
2
(1−v)
+ c ⟹ ln |x − vx| =
2
(1−v)
+ c
‫نعوض‬v =
y
x
:
ln |x −
y
x
x| =
2
(1−
y
x
)
+ c ⟹ ln |x − y| =
2
x − y
x
+ c
∴ ln |x − y| =
2x
x − y
+ c ‫العام‬ ‫الحل‬
‫مثال‬91/‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬2
+ y2
x=.
dy
dx
2
2x
/‫الحل‬
dy
dx
=
x2+ y2
2x2
‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫بقسمة‬≠ 02
x:
dy
dx
=
1+ (
y
x
)
2
2
……. ❶
∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
=
1+ v2
2
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= v + x
dv
dx
……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
v + x
dv
dx
=
1+ v2
2
⟹ x
dv
dx
=
1+ v2
2
– v =
1+ v2−2v
2
x
dv
dx
=
v2 − 2v + 1
2
=
(v−1)2
2
dx
x
=
2 dv
(V−1)2 = 2(v − 1)−2
dv v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬
∫
dx
x
= 2 ∫(v − 1)−2
dv
ln |x| = 2
(V−1)−1
−1
+ c =
−2
(v−1)
+ c ⟹ ln |x| - c =
−2
(v−1)

251. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬331/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
v − 1=
−2
ln |x| − c
⟹ v = 1 -
2
ln |x| − c
‫نعوض‬v =
y
x
:
y
x
= 1 -
2
ln |x| − c
⟹ ∴ y = x –
2x
ln |x| − c
‫العام‬ ‫الحل‬
‫تمارين‬ ‫حلول‬3-5
:‫االتية‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫حل‬
1) y' =
y
x
+ e
y
x
a
dy
dx
=
y
x
+ e
y
x
a
……. ❶ ∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
= v + e
va
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= v + x
dv
dx
……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
v + x
dv
dx
= v + e
va
⟹ x
dv
dx
= e
va
dx
x
=
dv
e
va
= e
−va
dv v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬
∫
dx
x
= ∫ e
−va
dv ⟹ ln |x| = −e
−va
+ c
‫نعوض‬v =
y
x
:
c = ln |x| + e
−
y
x
a ‫العام‬ ‫الحل‬
2) (y2
– xy) .dx + x2
dy = 0
/‫الحل‬‫بقسمة‬‫المعادلة‬ ‫طرفي‬‫على‬≠ 02
x:
(y2 – xy) .dx+ x2dy
x2 = 0 ⟹
(y2 – xy) .dx
x2 +
x2 dy
x2 = 0
(
y2
x2 –
xy
x2) . dx + dy = 0 ⟹ [(
y
x
)
2
– (
y
x
)]. dx + dy = 0
dy = -[(
y
x
)
2
– (
y
x
)] . dx ⟹ dy = [(
y
x
) – (
y
x
)
2
] . dx

252. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬333/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
dy
dx
= (
y
x
) − (
y
x
)
2
…. ❶ ∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
= v − v2
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= v + x
dv
dx
……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
v + x
dv
dx
= v − v2
⟹ x
dv
dx
= v − v2
– v = −v2
dx
x
=
dv
−v2 = −v−2
dv v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬
∫
dx
x
= − ∫ v−2
dv ‫نكامل‬
ln |x| = −
v−1
−1
+ c =
1
v
+ c
‫نعوض‬v =
y
x
:
ln |x| =
1
y
x
+ c =
x
y
+ c ⟹
x
y
= ln |x|- c ⟹ y =
x
ln |x|− c
‫العام‬ ‫الحل‬
3) (x + 2y) .dx + (2x + 3y) . dy = 0
(2x + 3y) . dy = - (x + 2y) .dx ⟹
dy
dx
=
− (x + 2y)
(2x + 3y)
…. ❶
‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫بقسمة‬x ≠ 0:
dy
dx
=
− (1 + 2
y
x
)
(2 + 3
y
x
)
∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
=
− (1 + 2 v)
(2 + 3 v)
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= x
dv
dx
+ v ……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:

253. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬332/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
x
dv
dx
+ v =
− (1 + 2 v)
(2 + 3 v)
⟹ x
dv
dx
=
− (1 + 2 v)
(2 + 3 v)
– v
x
dv
dx
=
− (1 + 2 v)−v(2 + 3 v)
(2 + 3 v)
⟹ x
dv
dx
=
− 1− 2v − 2v− 3v2
(2 + 3 v)
x
dv
dx
= −
3v2+ 4v + 1
2 + 3v
⟹
dx
x
=
−(2 + 3v) dv
3v2+ 4v + 1
v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬
∫
dx
x
= − ∫
(2 + 3v)
3v2+ 4v + 1
dv ⟹ ∫
dx
x
= −
1
2
∫
2(2 + 3v)
3v2+ 4v + 1
dv
ln |x| =
−1
2
ln|3v2
+ 4v + 1|+ ln |c| ⟹ ln |(3v2
+ 4v + 1)
1
2
|= ln |c| - ln |x|
ln |(3v2
+ 4v + 1)
1
2
|= ln |
c
x
| ⟹ √3v2 + 4v + 1= |
c
x
|
3v2
+ 4v + 1=
c2
x2 ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
3v2
+ 4v + 1=
c2
x2
‫نعوض‬v =
y
x
:
3
y2
x2 + 4
y
x
+ 1=
c2
x2 ⟹ 3y2
+ 4xy + x2
= c2
‫نفرض‬k = c2
3y2
+ 4xy + x2
= k ‫العام‬ ‫الحل‬
4)
dy
dx
=
x2+ y2
2xy
/‫الحل‬‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫بقسمة‬≠ 02
x:
dy
dx
=
1+ (
y
x
)
2
2(
y
x
)
……. ❶
∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
=
1+ v2
2v
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= x
dv
dx
+ v ……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:

254. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬334/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
x
dv
dx
+ v =
1+ v2
2v
⟹ x
dv
dx
=
1+ v2
2v
– v =
1+v2−2v2
2v
=
1−v2
2v
dx
x
=
2v dv
1−v2 =
−2v dv
v2−1
v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬
∫
dx
x
= − ∫
2v
v2−1
dv
ln |x| = −ln |v2
− 1| + ln |c| ⟹ ln |x| + ln |v2
− 1| = ln |c|
ln |x (v2 − 1)| = ln |c| ⟹ c = ±[x (v2 − 1)]
‫نعوض‬v =
y
x
:
c = ± [x (
y2
x2 − 1)] ⟹ ∴ c = ± (
y2−x2
x
) ‫العام‬ ‫الحل‬
5) (y2
– x2
) dx + xy dy = 0
(y2
– x2
) dx = - xy dy ⟹
dy
dx
=
y2− x2
−xy
=
x2−y2
xy
‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫بقسمة‬≠ 02
x:
dy
dx
=
1− (
y
x
)
2
(
y
x
)
……. ❶ ∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
=
1− v2
v
……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= x
dv
dx
+ v ……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
x
dv
dx
+ v =
1− v2
v
⟹ x
dv
dx
=
1− v2
v
– v =
1−v2− v2
v
=
1−2v2
v
dx
x
=
v
1−2v2 dv v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬
:‫نكامل‬
∫
dx
x
= ∫
v
1−2v2 dv ⟹ ∫
dx
x
=
−1
4
∫
−4v
1−2v2 dv
ln |x| =
−1
4
ln |1 − 2v2
| + ln |c| ⟹ ln |x| +
1
4
ln |1 − 2v2
| = ln |c| ‫بـ‬ ‫نضرب‬4
4ln |x| + ln |1 − 2v2
| = 4ln |c| ⟹ ln |x4 (1 − 2v2)| = ln |c4
|
x4 (1 − 2v2) = c4
⟹ x4 (1 − 2v2) = k , k = c4

255. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬333/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
‫نعوض‬v =
y
x
:
k = ± x4
(1 − 2
y2
x2 ) ⟹ k = ±(x4
− 2 x2
y2
) ‫العام‬ ‫الحل‬
6) x2
y dx = ( x3
+ y3
) dy
dy
dx
=
x2y
x3+ y3
‫على‬ ‫االيمن‬ ‫للطرف‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫بقسمة‬≠ 03
x:
dy
dx
=
(
y
x
)
1+ (
y
x
)
3 ……. ❶ ∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
=
v
1+ v3 ……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= x
dv
dx
+ v ……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
x
dv
dx
+ v =
v
1+ v3 ⟹ x
dv
dx
=
v
1+ v3 – v =
v − v (1 + v3)
1+ v3 =
−v4
1+ v3
dx
x
= −
1+ v3
v4 dv ⟹
dx
x
=
−1
v4 dv -
1
v
dv v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬
:‫نكامل‬
∫
dx
x
= − ∫
dv
v4 − ∫
dv
v
⟹ ∫
dx
x
= − ∫ v−4
dv − ∫
dv
v
ln |x| = -
v−3
−3
- ln |v| + c ⟹ ln |x| + ln |v| =
v−3
3
+ c
ln |xv| =
1
3v3 + c
‫نعوض‬v =
y
x
:
ln |x.
y
x
| =
1
3(
y
x
)
3 + c ⟹ ∴ ln |y| =
x3
3y3 + c ‫العام‬ ‫الحل‬

256. [5 – 3 ]‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫االعتيادية‬ ‫المعادالت‬1‫والرتبة‬1
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬332/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
7) x(
dy
dx
- tan
y
x
) = y
dy
dx
- tan
y
x
=
y
x
⟹
dy
dx
=
y
x
+ tan
y
x
∴‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
‫لتكن‬v =
y
x
‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫ونعوضها‬ ,❶:
dy
dx
= v + tan v ……. ❷
v =
y
x
⟹ y = vx x ‫الى‬ ‫بالنسبة‬ ‫نشتق‬
dy
dx
= x
dv
dx
+ v ……. ❸
‫نعوض‬❷‫في‬❸:
x
dv
dx
+ v = v + tan v ⟹ x
dv
dx
= v + tan v – v = tan v = tan v
dx
x
=
dv
tan v
=
cos v
sin v
dv v ‫و‬ x ‫المتغيرات‬ ‫عزل‬
:‫نكامل‬
∫
dx
x
= ∫
cos v
sin v
dv
ln |x| = ln |sin v| + ln |c| ⟹ ln |x| = ln |c .sin v|
x = c .sin v ⟹ c =
x
sin v
‫نعوض‬v =
y
x
:
∴ c =
x
sin
y
x
‫العام‬ ‫الحل‬

257. ‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫واالسئلة‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬330/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720
‫العامة‬ ‫التمارين‬
1.:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬y' =
cos2 y
x
‫حيث‬x = 1,y = 1
2.‫حل‬‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬‫حيث‬:
dy
dx
= −2x . tan y , x = 0,y =
π
2
3.:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬xy' = y – x‫ان‬ ‫حيث‬y = 1,x = 1.
4.:‫التفاضلية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬0=2xy .dy–) .dx2
+ 3y2
(x
‫االثرائية‬ ‫التمارين‬
‫س‬1/‫المعادلة‬ ‫ان‬ ‫بين‬2xsco2sin 2x + c1c=y‫ا‬‫ال‬‫ح‬‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬0=y'' + 4y
‫س‬2/‫الدالة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫فيما‬ ‫بين‬2x
e=y: ‫التفاضلية‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫تمثل‬0=4y' + 16y–4y''–y'''
‫س‬3/‫المعادلة‬ ‫حل‬0=.dy2
y–x .dx
‫س‬4/‫المعادلة‬ ‫حل‬3
x2
y=y'
‫س‬5/‫المعادلة‬ ‫حل‬3
yx
2e=y'‫حيث‬0=x,
1
2
=y

258. ‫الخامس‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫واالسئلة‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬330/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80082430720

259. 2016-2015
‫ا‬
‫ملزمة‬‫الرياضي‬‫ات‬
‫السادس‬‫العلمي‬

261. [ 6 – 1 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫تمهيد‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬162/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫الفصل‬‫السادس‬(‫الفضائية‬ ‫الهندسة‬):
1 ]–[ 6‫تمهيد‬:
:‫التوازي‬ ‫عبارة‬.‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫المعلوم‬ ‫المستقيم‬ ‫يوازي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫فيوجد‬ , ‫ونقطة‬ ‫مستقيم‬ ‫علم‬ ‫اذا‬
:‫التعامد‬ ‫عبارات‬
1).‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫يوجد‬ , ‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ‫في‬
2).‫اليه‬ ‫تنتمي‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫يوجد‬ , ‫الفراغ‬ ‫في‬
3)‫الفراغ‬ ‫في‬.‫اليه‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫العمودية‬ ‫المستقيمات‬ ‫من‬ ‫منته‬ ‫غير‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ,
:‫وحيد‬ ٍ‫مستو‬ ‫ايجاد‬ ‫عبارات‬
1).‫يحتويهما‬ ‫وحيد‬ ٍ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫اليه‬ ‫تنتمي‬ ‫ال‬ ‫ونقطة‬ ‫مستقيم‬ ‫لكل‬
2)‫ل‬ ‫نقط‬ ‫ثالث‬ ‫لكل‬‫يست‬.‫يحتويها‬ ‫وحيد‬ ٍ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫واحدة‬ ‫استقامة‬ ‫على‬
3)ٍ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫لكل‬.‫يحتويهما‬ ‫وحيد‬
4).‫يحتويهما‬ ‫وحيد‬ ٍ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫متوازيين‬ ‫مستقيمين‬ ‫لكل‬
:‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫بمستقيم‬ ‫مستقيم‬ ‫عالقة‬
1).‫فقط‬ ‫واحدة‬ ‫بنقطة‬ ‫يشتركان‬ ‫اللذان‬ ‫المستقيمان‬ ‫هما‬ :‫المتقاطعان‬ ‫المستقيمان‬
2).‫متقاطعين‬ ‫وغير‬ ‫واحد‬ ٍ‫مستو‬ ‫يحتويهما‬ ‫اللذان‬ ‫المستقيمان‬ ‫هما‬ :‫المتوازيان‬ ‫المستقيمان‬
3)‫المستقيمان‬.‫واحد‬ ٍ‫مستو‬ ‫يحتويهما‬ ‫ال‬ ‫اللذان‬ ‫المستقيمان‬ ‫هما‬ :‫المتخالفان‬
:‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫بمستو‬ ‫مستو‬ ‫عالقة‬
1).‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫بمستقيم‬ ‫اشتركا‬ ‫اذا‬ ‫وفقط‬ ‫اذا‬ ‫متقاطعين‬ ‫المستويان‬ ‫يكون‬ :‫التقاطع‬
2).‫متساويان‬ ‫كانا‬ ‫او‬ ‫نقطة‬ ‫بأية‬ ‫يشتركا‬ ‫لم‬ ‫اذا‬ ‫متوازينن‬ ‫المستويان‬ ‫يكون‬ :‫التوازي‬
‫العبارات‬ ‫سبق‬ ‫مما‬ ‫نستنتج‬:‫االتية‬
.‫بمستقيم‬ ‫المستويان‬ ‫يتقاطع‬
.‫متقاطعان‬ ‫فانهما‬ ‫بنقطة‬ ‫المستويان‬ ‫اشترك‬ ‫اذا‬
.‫كليهما‬ ‫في‬ ‫محتوى‬ ‫مستويين‬ ‫تقاطع‬ ‫مستقيم‬
.‫نفسه‬ ‫يوازي‬ ‫مستوي‬ ‫كل‬
‫مبرهنة‬1:.‫متوازيين‬ ‫ثالث‬ ‫بمستو‬ ‫متوازيين‬ ‫مستويين‬ ‫تقاطع‬ ‫خطي‬
‫نتيجة‬1:.‫االخر‬ ‫يقطع‬ ‫متوازيان‬ ‫مستويين‬ ‫احد‬ ‫يقطع‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬
‫مبرهنة‬2:.‫االخر‬ ‫يوازي‬ ‫احدهما‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫فالمستوي‬ ‫مستقيمان‬ ‫توازى‬ ‫اذا‬
‫مبرهنة‬3:.‫متوازيان‬ ) ‫الفراغ‬ ‫(في‬ ‫ثالث‬ ‫لمستقيم‬ ‫الموازيان‬ ‫المستقيمان‬
‫مبرهنة‬4:.‫االخر‬ ‫ويوازي‬ ‫احدهما‬ ‫في‬ ‫محتوى‬ ‫مستقيم‬ ‫كل‬ ‫يوازي‬ ‫مستويين‬ ‫تقاطع‬ ‫مستقيم‬
‫نتيجة‬1:‫فالمس‬ ‫معلوما‬ ‫مستويا‬ ‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫اذا‬‫المعلوم‬ ‫للمستقيم‬ ‫موازيا‬ ‫المستوي‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫تقيم‬
.‫المستوي‬ ‫في‬ ‫محتوى‬ ‫يكون‬
:‫والمستويات‬ ‫المستقيمات‬ ‫تعامد‬
.‫المستو‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫اثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقيمات‬ ‫جميع‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ٍ‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقيم‬ /‫تعريف‬
‫من‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقيم‬.‫مستويهما‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬
.‫معلوم‬ ٍ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫يمكن‬ ‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
.‫عليه‬ ‫عموديا‬ ‫وليس‬ ‫له‬ ‫قاطعا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫مائال‬ ‫المستقيم‬ ‫يكون‬
.‫االخر‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬ ‫مستويين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقيم‬
‫م‬ ‫على‬ ‫العموديان‬ ‫المستويان‬.‫متوازيان‬ ‫واحد‬ ‫ستقيم‬
‫مبرهنة‬5:.‫االخر‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬ ‫مستقيمين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوي‬
‫نتيجة‬‫مبرهنة‬5:.‫متوازيان‬ ‫واحد‬ ٍ‫مستو‬ ‫على‬ ‫العموديان‬ ‫المستقيمان‬
‫مبرهنة‬6:)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫(مبرهنة‬‫واالخر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫احدهما‬ ‫مستقيمان‬ , ‫مستوي‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ , ‫رسم‬ ‫اذا‬
‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقيم‬ ‫نقط‬ ‫من‬ ‫نقطة‬ ‫اية‬ ‫بين‬ ‫الواصل‬ ‫فالمستقيم‬ , ‫المستوي‬ ‫في‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
.‫المعلوم‬ ‫المستقيم‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫المستقيمين‬ ‫تالقي‬ ‫ونقطة‬ ‫المستوي‬
‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬6‫االع‬ ‫(نتيجة‬:)‫الثالثة‬ ‫مدة‬‫على‬ ‫عمودي‬ ‫احدهما‬ ‫مستقيمان‬ ‫معلوم‬ ‫مستو‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫رسم‬ ‫اذا‬
‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫العمودين‬ ‫اثري‬ ‫بين‬ ‫الواصل‬ ‫فالمستقيم‬ ‫المستوي‬ ‫في‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫واالخر‬ ‫المستوي‬
.‫المستوي‬ ‫في‬ ‫المعلوم‬ ‫المستقيم‬

262. [ 6 – 2 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستويات‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬161/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
]2–[ 6‫المتعامدة‬ ‫والمستويات‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬:
:‫تعريف‬‫الزاوية‬ ‫حرف‬ ‫المشتركة‬ ‫الحافة‬ ‫تسمى‬ , ‫مشتركة‬ ‫حافة‬ ‫لهما‬ ‫مستويين‬ ‫نصفي‬ ‫اتحاد‬ ‫هي‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
.‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫وجهي‬ ‫المستويين‬ ‫نصفي‬ ‫ويسمى‬ , ‫الزوجية‬
‫حيث‬AB⃡‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫حرف‬‫المستويين‬ ‫اما‬ ,(X),(y)‫فهما‬. ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫وجهي‬
‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫بحرف‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫عن‬ ‫يعبر‬AB⃡‫أو‬(x) – AB⃡ - (y).
‫تكتب‬ ‫واحد‬ ٍ‫مستو‬ ‫في‬ ‫ليست‬ ‫نقط‬ ‫اربعة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ :‫مالحظة‬‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬A - 𝐁𝐂⃡ – D‫الزاوية‬ ‫او‬
‫المستويين‬ ‫بين‬ ‫الزوجية‬(ABC) , (DBC)
/ ‫تعريف‬‫الزاوية‬ ‫حرف‬ ‫على‬ ‫عموديين‬ ‫شعاعين‬ ‫اتحاد‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫الزاوية‬ ‫هي‬ ‫زوجية‬ ‫لزاوية‬ ‫العائدة‬ ‫المستوية‬ ‫الزاوية‬
‫وجه‬ ‫في‬ ‫شعاع‬ ‫وكل‬ ‫واحدة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الزوجية‬
(x) – AB⃡ - (y)‫زوجية‬ ‫زاوية‬
DE̅̅̅̅̅ ⊂ (x) , DC̅̅̅̅̅ ⊂ (y)
DE̅̅̅̅̅ ⊥ AB̅̅̅̅̅ , DC̅̅̅̅̅ ⊥ AB̅̅̅̅̅
∢ CDE:‫الزوجية‬ ‫للزاوية‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫هي‬
:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫استنتاج‬ ‫يمكن‬ ‫والعائدة‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاويتين‬ ‫تعريف‬ ‫من‬
1-.‫ثابت‬ ‫زوجية‬ ‫لزاوية‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬
2-‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يساوي‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬‫ال‬.‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫عائدة‬
3-‫كا‬ ‫اذا‬‫ن‬‫الزاوية‬ ‫ت‬.‫وبالعكس‬ ‫متعامدين‬ ‫المستويين‬ ‫فان‬ ‫قائمة‬ ‫الزوجية‬
:‫المعطيات‬-(y)⊥(x),AB⃡(y) =∩(x),CD⃡ ⊂ (y),CD⃡ ⊥ AB⃡
: ‫اثباته‬ .‫م‬-CD⃡ ⊥ (x)
: ‫البرهان‬-
‫في‬(x)‫نرسم‬DE⃡ ⊥ AB⃡‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫يمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ‫(في‬
)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
CD⃡ ⊥ AB⃡,CD⃡ ⊂ (y))‫(معطى‬
∴∢ CDE‫الزوجية‬ ‫للزاويـة‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫هي‬
(x) – AB⃡ - (y))‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫(تعريف‬
(x) ⊥ (y))‫(معطى‬
∴∢ CDE = 90°
m)‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يساوي‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫(قياس‬
CD⃡ ⊥ DE⃡‫مستقيمين‬ ‫بين‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬ ‫(اذا‬°09)‫متعامدين‬ ‫المستقيمين‬ ‫فان‬
CD⃡ ⊥ AB⃡)‫(معطى‬
∴CD⃡ ⊥ (x))‫مستويهما‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫(المستقيم‬
‫و.هـ.مـ‬
A
D
B
C
A
x
B
y
C
D
E
‫مبرهنة‬7:‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ‫في‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقيم‬ ‫مستويان‬ ‫تعامد‬ ‫اذا‬
.‫االخر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬
y
x
A
B
C
D
E
x y
A
BA
B
y
x A
B
y
x

263. [ 6 – 2 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستويات‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬167/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
:‫المعطيات‬-CD⃡ ⊥ (x),(y)⊥(x),C ∈ (y)
.‫م‬‫اثباته‬:-CD⃡ ⊂ (y)
:‫البرهان‬-‫ليكن‬AB⃡(y) =∩(x)
‫يكن‬ ‫لم‬ ‫ان‬CD⃡ ⊂ (y):
‫ليكن‬CE⃡ ⊥ AB⃡,CE⃡ ⊂ (y)‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ‫(في‬
‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫يمكن‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬
(x) ⊥ (y))‫(معطى‬
∴CE⃡ ⊥ (x))‫يكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ‫في‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقيم‬ ‫مستويان‬ ‫تعامد‬ ‫اذا‬
‫االخر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عموديا‬(
‫لكن‬CD⃡ ⊥ (x))‫(معطى‬
∴CD⃡ = CE⃡‫فيوجد‬ , ‫ونقطة‬ ‫مستوي‬ ‫علم‬ ‫(اذا‬)‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬
∴CD⃡ ⊂ (y)‫و.هـ.مـ‬
:‫المعطيات‬-AB⃡ ⊥ (x),AB⃡ ⊂ (y)
‫المعطيات‬:-AB⃡ ⊂ (y),AB⃡ ⊥ (x)
: ‫اثباته‬ .‫م‬-(x) ⊥ (y)
: ‫البرهان‬-
‫ليكن‬(x) ∩ (y) = CD⃡)‫مستقيم‬ ‫بخط‬ ‫المستويان‬ ‫(يتقاطع‬
‫في‬(x)‫نرسم‬BE⃡ ⊥ CD⃡‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫يمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ‫(في‬
‫عمودي‬ ‫وحيد‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬
∴AB⃡ ⊥ BE⃡ , CD⃡‫جميع‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫(المستقيم‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫اثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقيمات‬
AB⃡ ⊂ (y))‫(معطى‬
∴∢ ABE‫الزوجية‬ ‫للزاوية‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫هي‬CD⃡‫الزاوية‬ ‫(تعريف‬)‫العائدة‬
∴= 90°∢ ABEm‫(الن‬AB⃡ ⊥ BE⃡)
∴‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬(x) –AB⃡ − (y) = 90°
‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫يساوي‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫(قياس‬
‫وبالعكس‬)
(x) ⊥ (y) ∴)‫قائمة‬ ‫بينهما‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫المستويان‬ ‫(يتعامد‬‫و.هـ.مـ‬
:‫المعطيات‬-AB⃡( ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غير‬(x
: ‫اثباته‬ .‫م‬-‫يحوي‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫يوجد‬AB⃡‫على‬ ‫وعمودي‬(x)
‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬7:‫المرسوم‬ ‫فالمستقيم‬ ‫مستويان‬ ‫تعامد‬ ‫اذا‬‫االخر‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫احدهما‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
.‫فيه‬ ‫محتوى‬ ‫يكون‬
y
x
A
B
C
DE
y
x
A
B
C
DE
‫مبرهنة‬8:.‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫اخر‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫بمستقيم‬ ‫مار‬ ‫مستو‬ ‫كل‬
)‫االخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫اذا‬ ‫المستويان‬ ‫أو(يتعامد‬
y
x
C
D
D
A
B
E
‫مبرهنة‬9:.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ٍ‫و‬‫مست‬ ‫يوجد‬ ‫معلوم‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غير‬ ‫مستقيم‬ ‫من‬

264. [ 6 – 2 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستويات‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬164/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
: ‫البرهان‬-‫نقطة‬ ‫من‬A‫نرسم‬AC⃡ ⊥ (x)‫مستقيم‬ ‫(يوجد‬‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬
)‫اليه‬ ‫تنتمي‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬
∵AC⃡,AB⃡‫متقاطعان‬
∴‫مثل‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫يوجد‬(y)‫يحتويهما‬‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫(لكل‬
)‫يحتويهما‬ ‫وحيد‬
∴(x) ⊥ (y)‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫اخر‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫بمستقيم‬ ‫مار‬ ‫مستو‬ ‫(كل‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫على‬
:‫الوحدانية‬ ‫برهان‬-
‫ليكن‬(z)‫يحوي‬ ‫اخر‬ ‫مستو‬AB⃡‫على‬ ‫وعمودي‬(x)
AC⃡ ⊥ (x),(x) ⊥ (z),A ⊂ (z))‫(بالبرهان‬
∴AC⃡ ⊂ (z)‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫احدهما‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقيم‬ ‫مستويان‬ ‫تعامد‬ ‫(اذا‬
)‫فيه‬ ‫محتوى‬ ‫يكون‬ , ‫االخر‬
∴(y) = (z)‫(لكل‬)‫يحتويهما‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬
∴(y)‫الوحيد‬ ‫المستوي‬ ‫هو‬‫و.هـ.مـ‬
:‫المعطيات‬-(x) ∩ (y) = AB⃡,(x), (y) ⊥ (z)
.‫م‬‫اثباته‬:-AB⃡ ⊥ (z)
‫البرهان‬:-‫يكن‬ ‫لم‬ ‫ان‬AB⃡ ⊥ (z)
∴‫اصبح‬(x)‫و‬(y)‫يحويان‬AB⃡‫على‬ ‫وعموديان‬(z)‫تناقض‬ ‫وهذا‬‫معلوم‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غير‬ ‫مستقيم‬ ‫(من‬
)‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫يوجد‬
∴AB⃡ ⊥ (z)‫و.هـ.مـ‬
‫مثال‬1/‫في‬∆ABC:m ∢ 𝐴 = 30°,BD⃡ ⊥ (ABC),BD = 5cm,AB = 10cm‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫جد‬
‫الزوجية‬D – AC⃡ – B.
:‫المعطيات‬-BD⃡ ⊥ (ABC),m ∢ BAC = 30°
BD = 5m,AB = 10m
.‫م‬‫اثباته‬:-‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫أيجاد‬B–AC⃡–D
‫البرهان‬:-‫المستوي‬ ‫في‬(ABC)‫نرسم‬:
BE⃡ ⊥ AC⃡‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫يوجد‬ , ‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ‫(في‬
‫من‬ ‫اخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬
∵BD⃡ ⊥ (ABC))‫(معطى‬
∴DE⃡ ⊥ AC⃡)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
∢DEB ⟸‫الزوجية‬ ‫للزاوية‬ ‫عائدة‬AC⃡)‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫(تعريف‬
∴DB⃡ ⊥ BE⃡‫في‬ ‫المحتواة‬ ‫المستقيمات‬ ‫جميع‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقيم‬
‫والمارة‬ ‫المستوى‬) ‫اثره‬ ‫في‬
∆DBE ⟸‫في‬ ‫الزاوية‬ ‫قائم‬B
‫في‬∆BEA‫في‬ ‫الزاوية‬ ‫القائم‬E:⟹ BE = 5 cm
BE
BA
⟹
1
2
=
BE
10
sin 30° =
y
xC
A
B
z
‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬9:‫مستو‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستويين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
.‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقيم‬ ‫فان‬ ‫ثالث‬
x
z
y
A
B
A
B
C
E
D
30°

265. [ 6 – 2 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستويات‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬163/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫في‬∆DBE‫في‬ ‫الزاوية‬ ‫القائم‬B:tan ∢BED =
5
5
= 1
∴‫قياس‬m ∢ BED = 45°
∴‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬D – AC⃡ – B = 45°‫(قياس‬)‫وبالعكس‬ ‫لها‬ ‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫هو‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫و.هـ.مـ‬
‫مثال‬2/‫ليكن‬ABC‫وليكن‬ ‫مثلث‬:AF⃡ ⊥ (ABC),BD⃡ ⊥ CF⃡,BE⃡ ⊥ CA⃡.
:‫ان‬ ‫برهن‬BE⃡ ⊥ (CAF),ED⃡ ⊥ CF⃡
:‫المعطيات‬-BD⃡ ⊥ CF⃡,BE⃡ ⊥ CA⃡,AF⃡ ⊥ (ABC)
.‫م‬‫اثباته‬:-DE⃡ ⊥ CF⃡,BE⃡ ⊥ (CAF)
‫البرهان‬:-
∵AF⃡ ⊥ (ABC))‫(معطى‬
∴(CAF) ⊥ (ABC)(‫مبرهنة‬8‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫اذا‬ ‫المستويان‬ ‫يتعامد‬ :
)‫االخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقيم‬
∵BE⃡ ⊥ CA⃡)‫(معطى‬
∴BE⃡ ⊥ (CAF)(‫مبرهنة‬7‫والعمودي‬ ‫احدهما‬ ‫في‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقيم‬ ‫مستويان‬ ‫تعامد‬ ‫اذا‬ :......)
∵BD⃡ ⊥ CF⃡)‫(معطى‬
∴ED⃡ ⊥ CF⃡()‫الثالث‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬‫و.هـ.مـ‬
‫مثال‬3/(x)‫و‬(y)‫متعامدان‬ ‫مستويان‬,AB⃡ ⊂ (x),BD⃡‫و‬BC⃡‫على‬ ‫عموديان‬AB⃡‫ويقطعان‬(y)‫في‬D,C
‫الترتيب‬ ‫على‬,: ‫ان‬ ‫برهن‬CD⃡ ⊥ (x)
:‫المعطيات‬-(x) ⊥ (y),AB⃡ ⊂ (x)
BC⃡ ‫و‬ BD⃡‫على‬ ‫عموديان‬AB⃡‫ويقطعان‬(y)‫في‬D,C.‫الترتيب‬ ‫على‬
.‫م‬‫اثباته‬:-CD⃡ ⊥ (x)
‫البرهان‬:-
‫ليكن‬(z)‫المستقيمين‬ ‫مستوي‬BC⃡ ‫و‬ BD⃡)‫يحويهما‬ ‫وحيدا‬ ‫مستوي‬ ‫يوجد‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫(لكل‬
∵AB⃡ ⊥ BC⃡ , BD⃡)‫(معطى‬
∴AB⃡ ⊥ (z)(‫مستويهما‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقيم‬)
∵AB⃡ ⊂ (x))‫(معطى‬
∴(x) ⊥ (z)()‫االخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫اذا‬ ‫المستويان‬ ‫يتعامد‬
∵(x) ⊥ (y))‫(معطى‬
‫وكان‬(z) ∩ (y) = CD⃡)‫منهما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫محتوى‬ ‫(النه‬
∴CD⃡ ⊥ (x)(‫مستو‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستويين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫مستقيم‬ ‫فان‬ ‫ثالث‬
‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫عمودي‬)
‫و.هـ.مـ‬
y
C D
x
B
A
z
A
B
C
D
E
F

266. [ 6 – 2 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستويات‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬166/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫التمارين‬ ‫حلول‬1-6
1)‫ان‬ ‫برهن‬.‫حرفها‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫زوجية‬ ‫لزاوية‬ ‫العائدة‬ ‫المستوية‬ ‫الزاوية‬ ‫مستوي‬
:‫المعطيات‬-∢ CDE‫الزوجية‬ ‫للزاوية‬ ‫عائدة‬ ‫زاوية‬AB⃡
:‫م.اثباته‬-AB⃡ ⊥ (CDE)
:‫البرهان‬-AB⃡ ⊥ ED⃡ , CD⃡)‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫(تعريف‬
ED⃡ , CD⃡‫المستوي‬ ‫في‬ ‫محتويان‬(CDE)
AB⃡ ⊥ (CDE) ∴‫(المستقيم‬‫على‬ ‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫على‬ ‫العمودي‬
)‫مستويهما‬‫و.هـ.م‬
2).‫متعامدان‬ ‫المستويين‬ ‫فان‬ ‫اخر‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫وكان‬ ‫مستويا‬ ‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫اذا‬ : ‫انه‬ ‫برهن‬
:‫المعطيات‬-AB⃡ ⊥ (x),AB⃡ //(y)
:‫م.اثباته‬-(y) ⊥ (x)
:‫البرهان‬-AB⃡ //(y))‫(معطى‬
∴‫اما‬AB⃡ ⊂ (y)‫أو‬AB⃡ ∩ (y) = Φ
1-‫كان‬ ‫اذا‬AB⃡ ⊂ (y):
∵AB⃡ ⊥ (x))‫(معطى‬
∵AB⃡ ⊂ (y))‫(بالفرض‬
∴(y) ⊥ (x)‫يكون‬ ‫اخر‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫بمستقيم‬ ‫مار‬ ‫مستو‬ ‫(كل‬)‫عليه‬ ً‫ا‬‫عمودي‬
2-‫كان‬ ‫اذا‬AB⃡ ∩ (y) = Φ:
‫لتكن‬C ⊂ (y)
‫ليكن‬CD⃡‫لـ‬ ‫موازيا‬AB⃡()‫التوازي‬ ‫عبارة‬
AB⃡ //(y))‫(معطى‬
∴CD⃡ ⊂ (y)‫من‬ ‫نقطة‬ ‫اي‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫فالمستقيم‬ ‫مستويا‬ ‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫(اذا‬
)‫فيه‬ ‫محتوى‬ ‫يكون‬ ‫المعلوم‬ ‫للمستقيم‬ ‫موازيا‬ ‫المستوي‬ ‫نقاط‬
∵AB⃡ ⊥ (x))‫(معطى‬
∴CD⃡ ⊥ (x))‫االخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬ ‫مستقيمين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫(المستوي‬
∴(y) ⊥ (x))‫عليه‬ ً‫ا‬‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫اخر‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫بمستقيم‬ ‫مار‬ ‫مستو‬ ‫(كل‬
‫و.هـ.مـ‬
3)‫مستويين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستوي‬ ‫ان‬ ‫برهن‬.‫ايضا‬ ‫االخر‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬
:‫المعطيات‬-(z) ⊥ (x),(x) ∥ (y)
:‫م.اثباته‬-(z) ⊥ (y)
:‫البرهان‬-
‫ليكن‬(z) ∩ (x) = CD⃡)‫بمستقيم‬ ‫المستويان‬ ‫(يتقاطع‬
‫ليكن‬AB⃡ ⊥ CD⃡,AB⃡ ⊂ (z)‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫يوجد‬ ‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ‫(في‬
)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬
∵(z) ⊥ (x))‫(معطى‬
x y
A
B
E C
D
AB⃡ ∩ (y) = Φ
x
B
A
y
C
D
x
B
A
y
AB⃡ ⊂ (y)
x
y
A
B
CD
z

267. [ 6 – 2 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستويات‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬160/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
∴AB⃡ ⊥ (x)‫المرسوم‬ ‫فالمستقيم‬ ‫مستويان‬ ‫تعامد‬ ‫(اذا‬‫في‬‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫احدهما‬
‫على‬‫المستوي‬)‫االخر‬
∵(x)//(y))‫(معطى‬
∴AB⃡ ⊥ (y)()‫االخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬ ‫مستويين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫المستقيم‬
∴(y) ⊥ (z)(‫االخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫اذا‬ ‫المستويان‬ ‫يتعامد‬)‫و.هـ.مـ‬
4)A,B,C,D‫بحيث‬ ‫واحد‬ ‫مستو‬ ‫في‬ ‫ليست‬ ‫نقط‬ ‫اربع‬AB = AC,E ∈ BC⃡‫كانت‬ ‫فاذا‬ ,∢ AED‫عائدة‬
‫الزوجية‬ ‫للزاوية‬A-BC⃡ -D‫ان‬ ‫برهن‬CD = BD.
:‫المعطيات‬-A,B,C,D‫في‬ ‫ليست‬.‫واحد‬ ‫مستو‬
AB = AC,E ∈ BC⃡,∢ AED‫الزوجية‬ ‫للزاوية‬ ‫عائدة‬BC⃡
:‫م.اثباته‬-CD = BD
:‫البرهان‬-
∵∢ AED‫الزوجية‬ ‫للزاوية‬ ‫عائدة‬BC⃡)‫(معطى‬
∴AE⃡ ⊥ BC⃡,DE⃡ ⊥ BC⃡)‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬ ‫(تعريف‬
‫في‬ABC△:AB = AC)‫(معطى‬
∴CE = BE)‫القاعدة‬ ‫ينصف‬ ‫الساقين‬ ‫المتساوي‬ ‫المثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬
‫في‬BCD△:DE⃡‫للقاعدة‬ ‫ومنصف‬ ‫عمود‬BC⃡
∴BD = CD)‫طرفها‬ ‫عن‬ ‫البعدين‬ ‫المتساوية‬ ‫النقاط‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫مستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫(محور‬
‫و.هـ.مـ‬
‫تطابق‬ ‫من‬ ‫أو‬CED,BED△△⟸BD = CD
5)‫فان‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستويين‬ ‫على‬ ‫عموديين‬ ‫وكانا‬ ‫معلوما‬ ‫مستويا‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وازى‬ ‫اذا‬ : ‫انه‬ ‫برهن‬
.‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫المتقاطعين‬ ‫المستويين‬ ‫تقاطع‬ ‫مستقيم‬
:‫المعطيات‬-CD⃡ , CE⃡ //(Z),(X) ∩ (Y) = AB⃡
CE⃡ ⊥ (Y),CD⃡ ⊥ (X)
:‫م.اثباته‬-AB⃡ ⊥ (Z)
:‫البرهان‬-
‫ليكن‬(R)‫المتقاطعين‬ ‫المستقيمين‬ ‫مستوي‬CE⃡,CD⃡)‫يحتويهما‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫(لكل‬
CE⃡ ⊥ (Y),CD⃡ ⊥ (X))‫(معطى‬
∴(R) ⊥ (X),(R) ⊥ (Y))‫االخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقيم‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫اذا‬ ‫المستويان‬ ‫(يتعامد‬
(X) ∩ (Y) = AB⃡)‫(معطى‬
∴AB⃡ ⊥ (R)(‫مستقيم‬ ‫فان‬ ‫ثالث‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عموديين‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستويين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
‫الثالث‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬)
CD⃡ , CE⃡ //(Z))‫(معطى‬
∴(R) ⊥ (Z))‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫يوازي‬ ‫مستويهما‬ ‫فان‬ً‫ا‬‫معلوم‬ ً‫ا‬‫مستوي‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫وازى‬ ‫(اذا‬
∴AB⃡ ⊥ (Z)(‫االخر‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬ ‫مستويين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫المستقيم‬)
‫و.هـ.مـ‬
A
B
C
E
D
Z
Y
B
A
X
E
D
CR

268. [ 6 – 2 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المتعامدة‬ ‫والمستويات‬ ‫الزوجية‬ ‫الزاوية‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬160/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
6)‫قطرها‬ ‫دائرة‬AB⃡,AC⃡, ‫مستويها‬ ‫على‬ ‫عمودي‬D‫ان‬ ‫برهن‬ . ‫للدائرة‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬(CDA)‫على‬ ‫عمودي‬
(CDB).
:‫المعطيات‬-‫قطرها‬ ‫دائرة‬AB⃡,AC⃡‫الدائرة‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمود‬
D.‫للدائرة‬ ‫تنتمي‬ ‫نقطة‬
:‫م.اثباته‬-(CDB) ⊥ (CDA)
:‫البرهان‬-
∵m ∢ ADB = 90°‫في‬ ‫المرسومة‬ ‫المحيطية‬ ‫(الزاوية‬
)‫قائمة‬ ‫دائرة‬ ‫نصف‬
∴AD⃡ ⊥ BD⃡‫بينهما‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫المستقيمان‬ ‫(يتعامد‬°90)
∵AC⃡‫الدائرة‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمود‬)‫(معطى‬
∴CD⃡ ⊥ BD⃡)‫الثالث‬ ‫االعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
∴BD⃡ ⊥ (CDA))‫مستويهما‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستقيمين‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقيم‬
∴(CDB) ⊥ (CDA))‫االخر‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫احدهما‬ ‫احتوى‬ ‫اذا‬ ‫المستويان‬ ‫(يتعامد‬
‫و.هـ.مـ‬
B
A
C
D

269. [ 6 – 3 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬167/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
3 ]–[ 6:‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
1-: ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫مسقط‬-‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫اثر‬ ‫هو‬
‫المستوي‬ ‫على‬.
2-: ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقط‬ ‫مجموعة‬ ‫مسقط‬-‫االعمدة‬ ‫اثار‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬
.‫المستوي‬ ‫على‬
3-:‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫غير‬ ‫مستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫مسقط‬-‫المستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫هي‬
‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ‫نهايتي‬ ‫من‬ ‫المرسومين‬ ‫العمودين‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬
.‫المعلوم‬
AB⃡‫على‬ ‫عمودي‬ ‫غير‬(X)
AC⃡ ⊥ (X)⟸‫مسقط‬A‫على‬(X)‫هو‬C
BD⃡ ⊥ (X)⟸‫مسقط‬B‫على‬(X)‫هو‬D
∴‫مسقط‬AB⃡‫على‬(x)‫هو‬CD⃡
‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬AB⃡ //(X)‫فان‬AB = CD
4-‫مستو‬ ‫على‬ ‫المائل‬ ‫المستقيم‬:-.‫له‬ ‫وقاطع‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫غير‬ ‫المستقيم‬ ‫هو‬
5-: ‫الميل‬ ‫زاوية‬-.‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬ ‫المحددة‬ ‫الزاوية‬ ‫هي‬
‫ليكن‬:-
AB⃡‫على‬ ‫مائال‬(X)‫في‬B
AC⃡ ⊥ (X)‫في‬C
∢ ABC‫الميل‬ ‫زاوية‬ ‫هي‬
𝟎 < 𝜃 < 90°
6-: ‫المسقط‬ ‫طول‬-
AB⃡‫على‬ ‫مائال‬(X)𝛉BC = AB . cos
7-: ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستوي‬ ‫مسقط‬-‫العائدة‬ ‫المستوية‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫هو‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫مائل‬ ‫مستوي‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬
‫للزاوية‬.‫بينهما‬ ‫الزوجية‬
= ‫المسقط‬ ‫مساحة‬)‫المائلة‬ ‫المنطقة‬ ‫(مساحة‬.‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫تمام‬ ‫(جيب‬cos 𝛉)
‫مثال‬4/.‫متعامدان‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫ضلعيها‬ ‫مسقطي‬ ‫فان‬ ‫معلوما‬ ‫مستويا‬ ‫قائمة‬ ‫زاوية‬ ‫ضلعي‬ ‫احد‬ ‫وازى‬ ‫اذا‬
:‫المعطيات‬-∢ ABC‫في‬ ‫قائمة‬B,AB⃡ //(X)
A′B′⃡‫مسقط‬ ‫هو‬AB⃡‫على‬(X),B′C′⃡‫مسقط‬ ‫هو‬BC⃡‫على‬(X)
:‫م.اثباته‬-A′B′⃡ ⊥ B′C′⃡
:‫البرهان‬-A′B′⃡‫مسقط‬ ‫هو‬AB⃡)‫(معطى‬
B′C′⃡‫مسقط‬ ‫هو‬BC⃡)‫(معطى‬
⟸CC′⃡ , BB′⃡ , AA′⃡ ⊥ (X)‫مستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬‫العمودين‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫القطعة‬ ‫هو‬ ‫معلوم‬ ‫مستو‬ ‫على‬
)‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫طرفي‬ ‫من‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫المرسومين‬
CC′⃡ // BB′⃡ , AA′⃡ //BB′⃡‫العموديان‬ ‫(المستقيمان‬)‫متوازيان‬ ‫واحد‬ ‫مستو‬ ‫على‬
‫المتوازيين‬ ‫بالمستقيمين‬AA′⃡ ‫و‬ BB′⃡‫نعين‬(Y))‫يحتويهما‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫متوازيين‬ ‫مستقيمين‬ ‫(لكل‬
‫المتوازيين‬ ‫بالمستقيمين‬CC′⃡ ‫و‬ BB′⃡‫نعين‬(Z))‫يحتويهما‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫متوازيين‬ ‫مستقيمين‬ ‫(لكل‬
‫لكن‬AB⃡ //(X))‫(معطى‬
A′B′⃡=(Y) ∩ (X))‫مستقيم‬ ‫بخط‬ ‫المستويان‬ ‫(يتقاطع‬
A
B
X
A
B
X C
D
A
B
X
CDθ
Z
B A
X
C
Y
A'B'
C'

270. [ 6 – 3 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬108/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
⟸AB⃡ //A′B′⃡‫هذا‬ ‫تقاطع‬ ‫من‬ ‫الناتجة‬ ‫المستقيمات‬ ‫جميع‬ ‫يوازي‬ ‫فانه‬ ‫معلوما‬ ‫مستويا‬ ‫مستقيم‬ ‫وازى‬ ‫(اذا‬
)‫المستقيم‬ ‫تحوي‬ ‫التي‬ ‫والمستويات‬ ‫المستوي‬
‫كذلك‬BB′⃡ //A′B′⃡(‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقيمات‬ ‫جميع‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقيم‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫اثره‬
BB′⃡ ⊥ AB⃡()‫االخر‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬ ‫مستقيمين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫المستقيم‬ : ‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ‫في‬
‫لكن‬AB⃡ ⊥ BC⃡‫(الن‬= 90°∢ ABCm)‫معطى‬
AB⃡ ⊥ (Z))‫مستويهما‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقيم‬
A′B′⃡ ⊥ (Z) ⟸(‫العمودي‬ ‫المستوي‬‫على‬ ‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫متقاطعين‬ ‫مستقيمين‬ ‫على‬
‫مستويهما‬)
∴A′B′⃡ ⊥ B′C′⃡(‫جميع‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫المستقيم‬‫اثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقيمات‬
‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬)‫و.هـ.مـ‬
‫مثال‬5/ABC, ‫مثلث‬BC⃡ ⊂ (X)‫المثلث‬ ‫مستوي‬ ‫بين‬ ‫الزوجية‬ ‫والزاوية‬ ,ABC‫والمستوي‬(X)‫قياسها‬°00
‫كان‬ ‫فاذا‬BC = 10cm,AB = AC = 13cm‫المثلث‬ ‫مسقط‬ ‫جد‬ ,(ABC)‫على‬(X)‫مساحة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬
‫مسقط‬△ABC‫على‬(X).
:‫المعطيات‬-BC⃡ ⊂ (X),BCA△,BC = 10cm
m ∢ (ABC) − BC⃡ − (X) = 00°,AB = AC = 13cm
:‫م.اثباته‬-‫مسقط‬ ‫ايجاد‬ABC△‫على‬(X)‫مسقط‬ ‫ومساحة‬ABC△‫على‬(X)
:‫البرهان‬-
‫نرسم‬AD⃡ ⊥ (X)‫في‬D)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫رسم‬ ‫(يمكن‬
∴CD⃡‫مسقط‬ ‫هو‬AC⃡
BD⃡‫مسقط‬ ‫هو‬AB⃡
BC⃡‫مسقط‬ ‫هو‬
‫على‬ ‫نفسه‬(X)
∴△BCD‫مسقط‬ ‫هو‬△ABC‫على‬(X)
‫في‬(ABC)‫نرسم‬BC⃡ ⊥ AE⃡‫في‬E‫رسم‬ ‫يمكن‬ ‫الواحد‬ ‫المستوي‬ ‫(في‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫اخر‬ ‫على‬ ‫عمود‬ ‫مستقيم‬
∵AC = AB)‫(معطى‬
∴EC = BE = 5cm)‫ينصفها‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫(العمود‬
∴ED⃡ ⊥ BC⃡)‫الثالثة‬ ‫االعمدة‬ ‫مبرهنة‬ ‫(نتيجة‬
∴∢ DEA‫الزوجية‬ ‫للزاوية‬ ‫عائدة‬BC⃡)‫العائدة‬ ‫الزاوية‬ ‫(تعريف‬
m ∢ (ABC) − BC⃡ − (X) = 00°)‫(معطى‬
‫في‬EBA△‫في‬ ‫القائم‬E:= 12 cm√144=√109 − 25AE =
‫في‬EDA△‫في‬ ‫القائم‬D:ED = 6cm⟹
ED
12
=
1
2
⟹
ED
AE
cos 60° =
BCD ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ =
1
2
. 10 . 0 = 30cm2
‫و.هـ.مـ‬
:‫كاالتي‬ ‫ايجاده‬ ‫فيمكن‬ ‫فقط‬ ‫المسقط‬ ‫مساحة‬ ‫طلب‬ ‫لو‬ /‫مالحظة‬
△BCD ‫مساحة‬ = cos 60° . △ABC ‫مساحة‬ =
1
2
(12)(10)
1
2
= 30cm2
A
B
C
D
X
E
‫قطعة‬ ‫(مسقط‬‫هو‬ ‫معلوم‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫مستقيم‬
‫العمودين‬ ‫بأثري‬ ‫المحددة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬
‫المستوي‬ ‫على‬ ‫القطعة‬ ‫نهايتي‬ ‫من‬ ‫المرسومين‬
)‫المعلوم‬

271. [ 6 – 3 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬102/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫التمارين‬ ‫حلول‬2-6
1-‫طول‬ ‫يساوي‬ ‫معلوم‬ ‫لمستو‬ ‫الموازي‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫طول‬ : ‫ان‬ ‫برهن‬.‫ويوازيه‬ ‫المعلوم‬ ‫المستوي‬ ‫على‬ ‫مسقطه‬
:‫المعطيات‬-AB⃡ //(X)
:‫م.اثباته‬AB‫على‬ ‫مسقطه‬ =(X)‫ويوازيه‬
:‫البرهان‬
‫ليكن‬BC⃡ ⊥ (X),AD⃡ ⊥ (X))‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫(يمكن‬
∴D‫مسقط‬A‫على‬(X)
∴C‫مسقط‬B‫على‬(X)
∴CD⃡‫مسقط‬AB⃡‫على‬(X)‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫هي‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫غير‬ ‫مستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
)....... ‫المرسومين‬ ‫العمودين‬ ‫اثري‬
∴AD⃡ // BC⃡)‫متوازيان‬ ‫واحد‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫العموديان‬ ‫(المستقيمان‬
‫ليكن‬(y)‫المتوازيين‬ ‫المستقيمين‬ ‫مستوي‬AD⃡‫و‬BC⃡)‫يحويهما‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫يوجد‬ ‫متوازيين‬ ‫مستقيمين‬ ‫(لكل‬
∴AB⃡ // CD⃡(‫احدهما‬ ‫في‬ ‫محتوى‬ ‫مستقيم‬ ‫كل‬ ‫يوازي‬ ‫مستويين‬ ‫تقاطع‬ ‫مستقيم‬‫ويوازي‬)‫االخر‬
∴‫الشكل‬ABCD‫اضالع‬ ‫متوازي‬ ‫يمثل‬‫توازى‬ ‫اذا‬ ‫اضالع‬ ‫متوازي‬ ‫الشكل‬ ‫(يكون‬)‫متقابلين‬ ‫ضلعين‬ ‫كل‬
∴AB = CD)‫متساويين‬ ‫متقابلية‬ ‫ضلعين‬ ‫كل‬ ‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫(في‬
‫و.هـ.مـ‬
2-‫احد‬ ‫على‬ ‫ميله‬ ‫فان‬ ‫بمستقيم‬ ‫متوازيان‬ ‫مستويان‬ ‫قطع‬ ‫اذا‬ :‫انه‬ ‫برهن‬‫ه‬.‫االخر‬ ‫على‬ ‫ميله‬ ‫يساوي‬ ‫ما‬
:‫المعطيات‬-(x) // (y)
AC⃡‫المستويين‬ ‫يقطع‬(x)‫و‬(y)‫بالنقطتين‬C‫و‬B
:‫م.اثباته‬‫ميل‬AC⃡‫على‬(x)=‫ميل‬AC⃡‫على‬)y(
:‫البرهان‬
‫ليكن‬AE⃡ ⊥ (x)(‫يوجد‬‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬‫معلوم‬)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬
∵(x) // (y))‫(معطى‬
∴AE⃡ ⊥ (y)‫مستويين‬ ‫احد‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقيم‬)‫االخر‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫متوازيين‬
∴D‫مسقط‬A‫على‬(X)
∴E‫مسقط‬A‫على‬(y)
∴BD⃡‫مسقط‬AB⃡‫على‬(X)
∴CE⃡‫مسقط‬AC⃡‫على‬(y)
∴∢1‫ميل‬ ‫زاوية‬AC⃡‫على‬(x)
∴∢2‫ميل‬ ‫زاوية‬AC⃡‫على‬(y)
‫ليكن‬z‫المستقيمين‬ ‫مستوي‬AC⃡‫و‬AE⃡)‫يحويهما‬ ‫وحيد‬ ‫مستو‬ ‫متوازيين‬ ‫مستقيمين‬ ‫(لكل‬
∴BD⃡ // CE⃡(‫اذا‬‫متوازيان‬ ‫التقاطع‬ ‫مستقيمي‬ ‫فان‬ ‫ثالث‬ ‫بمستو‬ ‫متوازيين‬ ‫مستويين‬ ‫قطع‬)
∴∢1m=∢2m)‫(بالتناظر‬
∴‫ميل‬AC⃡‫على‬(x)=‫ميل‬AC⃡‫على‬(y)‫و.هـ.مـ‬
x
AB
C D
y
)‫مستو‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫مسقط‬ ‫(تعريف‬
2
B
C
D
E
x
y
1
A
‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫هي‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫غير‬ ‫مستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
‫المرسومين‬ ‫العمودين‬ ‫اثري‬…..)
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬ ‫المحددة‬ ‫الزاوية‬ ‫هي‬ /‫الميل‬ ‫(زاوية‬
‫النقطة‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫اثر‬ ‫هي‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ ‫(مسقط‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫وعلى‬

272. [ 6 – 3 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬101/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
3-‫الميل‬ ‫لها‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫المائلة‬ ‫المتوازية‬ ‫المستقيمات‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫برهن‬.‫نفسه‬
:‫المعطيات‬-AB⃡ //CD⃡,‫على‬ ‫مائل‬ ‫منهما‬ ‫وكل‬(x)
:‫م.اثباته‬‫ميل‬AB⃡‫على‬(x)=‫ميل‬CD⃡‫على‬)x(
:‫البرهان‬
‫ليكن‬AE⃡ ⊥ (X),CF⃡ ⊥ (X)‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫(يمكن‬
)‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستو‬ ‫على‬
∴BE⃡‫مسقط‬AB⃡‫على‬(x)
∴DF⃡‫مسقط‬CD⃡‫على‬(x)
∴∢1‫ميل‬ ‫زاوية‬AB⃡‫على‬(x)
∴∢2‫ميل‬ ‫زاوية‬CD⃡‫على‬(x)
∴∢ 3m=∢ 4m)‫قياسهما‬ ‫تساوى‬ ‫اخرى‬ ‫زاوية‬ ‫ضلعي‬ ‫زاوية‬ ً‫ا‬‫ضلع‬ ‫وازى‬ ‫(اذا‬
∵AE⃡ ⊥ BE⃡,CF⃡ ⊥ DF⃡‫المرسومة‬ ‫المستقيمات‬ ‫جميع‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقيم‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫اثره‬ ‫من‬
∴∢ E = 90°m=∢ Fm
∴∢ 1m=∢ 2m(‫تساوي‬ ‫المثل‬ ‫زوايا‬ ‫قياسات‬ ‫مجموع‬°189)
∴‫ميل‬AB⃡‫على‬(x)=‫ميل‬CD⃡‫على‬(x)‫و.هـ.مـ‬
4-‫تكون‬ ‫اطولهما‬ ‫فان‬ ‫معلوم‬ ‫مستو‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫ال‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫الطول‬ ‫في‬ ‫مختلفان‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫اذا‬ :‫انه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
‫الم‬ ‫على‬ ‫ميله‬ ‫زاوية‬.‫عليه‬ ‫االخر‬ ‫ميل‬ ‫زاوية‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫ستوي‬
:‫المعطيات‬-AB⃡ , AC⃡‫على‬ ‫مائل‬ ‫منهما‬ ‫كل‬(x)
A ∉ (x),AB > AC
:‫م.اثباته‬‫ميل‬AB⃡‫على‬(x)‫من‬ ‫اصغر‬‫ميل‬AC⃡‫على‬)x(
:‫البرهان‬
‫ليكن‬AD⃡ ⊥ (x)()‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫يوجد‬
∴BD⃡‫مسقط‬AB⃡‫على‬(x)
∴CD⃡‫مسقط‬AC⃡‫على‬(x)
∴∢1‫ميل‬ ‫زاوية‬AB⃡‫على‬(x)
∴∢2‫ميل‬ ‫زاوية‬AC⃡‫على‬(x)
AB > AC ∵)‫(معطى‬
∴
1
AB
<
1
AC
)‫االعداد‬ ‫(خواص‬
∵AD > 0‫(النقطة‬A‫المستوي‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫ال‬x)
∴
AD
AB
<
AD
AC
)‫االعداد‬ ‫(خواص‬
∵AD⃡ ⊥ BD⃡ , CD⃡‫ضمن‬ ‫اثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقيمات‬ ‫جميع‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقيم‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬
∴sin ∢1 < sin ∢2‫من‬ ‫كل‬ ‫ولكن‬‫الزاويتين‬1‫و‬2‫حادة‬ ‫زاوي‬
∴∢ 2m<∢ 1m
∴‫ميل‬AB⃡‫على‬(x)‫من‬ ‫اصغر‬‫ميل‬AC⃡‫على‬(x)‫و.هـ.مـ‬
2
7
B E
A
1
4
D F
C
X
‫المستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫هي‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫غير‬ ‫مستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
‫اثري‬ ‫بين‬ ‫الواصلة‬‫المرسومين‬ ‫العمودين‬…..)
)‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬ ‫المحددة‬ ‫الزاوية‬ ‫هي‬ /‫الميل‬ ‫(زاوية‬
‫بين‬ ‫الواصلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫هي‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫عمودية‬ ‫غير‬ ‫مستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫(مسقط‬
).....‫العمودين‬ ‫اثري‬
)‫ومسقطه‬ ‫بالمائل‬ ‫المحددة‬ ‫الزاوية‬ ‫هي‬ /‫الميل‬ ‫(زاوية‬
D
B
A
X
C
1
2

273. [ 6 – 3 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫مستو‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬107/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
5-.‫االطول‬ ‫هو‬ ‫ميال‬ ‫فاصغرهما‬ ‫مستو‬ ‫الى‬ ‫ما‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مائالن‬ ‫رسم‬ ‫اذا‬ :‫انه‬ ‫على‬ ‫برهن‬
:‫المعطيات‬-AB⃡ , AC⃡‫على‬ ‫مائل‬ ‫منهما‬ ‫كل‬(x),∢ 2m<∢ 1m,∢1‫ميل‬ ‫زاوية‬AB⃡‫على‬(x),
∢2‫ميل‬ ‫زاوية‬AC⃡‫على‬(x)
:‫م.اثباته‬AB > AC
:‫البرهان‬∢ 2m<∢ 1m)‫(معطى‬
sin ∢1 < sin ∢2 ∴
∴
AD
AB
<
AD
AC
‫على‬ ‫بالقسمة‬AD:
1
AB
<
1
AC
AB > AC ∴(‫االعداد‬ ‫خواص‬)
‫و.هـ.مـ‬
6-‫نفسه‬ ‫المستقيم‬ ‫بين‬ ‫المحصورة‬ ‫الزاوية‬ ‫من‬ ‫اصغر‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫ومسقطه‬ ‫المستقيم‬ ‫بين‬ ‫الميل‬ ‫زاوية‬ : ‫ان‬ ‫على‬ ‫برهن‬
.‫المستوي‬ ‫ضمن‬ ‫موقعه‬ ‫من‬ ‫مرسوم‬ ‫اخر‬ ‫مستقيم‬ ‫واي‬
:‫المعطيات‬-AB⃡‫على‬ ‫مائل‬(x),AB⃡ ⊂ (x)
∢1‫ميل‬ ‫زاوية‬AB⃡‫على‬(x),∢2∢ABD =
:‫م.اثباته‬∢ 2m<∢ 1m
:‫البرهان‬‫نأخذ‬BC = BD‫ونصل‬AD⃡
‫في‬ABC,ABD△△,AB⃡‫مشترك‬,BC = BD
AC < AD‫الن‬AC⃡ ⊥ (x)
∴∢ 2m<∢ 1m‫من‬ ‫الثالث‬ ‫الصلع‬ ‫طول‬ ‫وكان‬ ‫اخر‬ ‫مثلث‬ ‫من‬ ‫نظيريهما‬ ‫مثلث‬ ‫من‬ ‫ضلعين‬ ‫طول‬ ‫تساوى‬ ‫(اذا‬
‫كان‬ , ‫الثاني‬ ‫المثلث‬ ‫من‬ ‫المناظر‬ ‫الثالث‬ ‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫االول‬ ‫المثلث‬‫الزاوية‬ ‫قياس‬
)‫االصغر‬ ‫للضلع‬ ‫المقابلة‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫من‬ ‫اكبر‬ ‫االكبر‬ ‫للضلع‬ ‫المقابلة‬
‫و.هـ.مـ‬
D
B
A
X
C
1
2
D
B
A
X
C1
2

274. [ 6 – 4 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المجسمات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬104/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
]4–6[:‫المجسمات‬
‫سبق‬‫والكلية‬ ‫الجانبية‬ ‫والمساحات‬ ‫الحجوم‬ ‫قوانين‬ ‫يلي‬ ‫فيما‬ ‫ونلخص‬ ‫المتوسطة‬ ‫المرحلة‬ ‫في‬ ‫المجسمات‬ ‫دراسة‬ ‫للطالب‬
‫داخل‬ ‫الواقعة‬ )‫(الفضاء‬ ‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫المنطقة‬ ‫حجم‬ ‫به‬ ‫نقصد‬ ‫مجسم‬ ‫حجم‬ ‫عن‬ ‫الحديث‬ ‫ان‬ ‫علما‬ , ‫المجسمات‬ ‫لبعض‬
.‫الجسم‬
4-‫االسطوانة‬(‫القائمة‬ ‫الدائرية‬Right Circular
Cylinder:)
V = r2
𝜋 h ‫الحجم‬
L.A = 2 𝜋 r h ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
T.A = 2 𝜋 r h + 2 𝜋 r2 ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
1-( ‫القائم‬ )‫(المنشور‬ ‫الموشور‬Right Prism:)
V = ‫مساحة‬‫القاعدة‬.‫االرتفاع‬ ‫الحجم‬
L.A = ‫القاعدة‬ ‫محيط‬.‫االرتفاع‬ ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
T.A = L.A + ‫القاعدتين‬ ‫مساحة‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
2-‫المستطيلة‬ ‫السطوح‬ ‫متوازي‬‫(متوازي‬
)‫المستطيالت‬(ParallelPiped:)
V = x . y . z ‫الحجم‬
L.A = 2(x+y) . z ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
T.A = 2(x+y)z + 2xy ‫الكلية‬ ‫المساحة‬
3-(‫المكعب‬Cube:)
V = x3
‫الحجم‬
L.A = 4x2
‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
T.A = 6x2
‫الكلية‬ ‫المساحة‬
x
x
x
5-(‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬Right Circular
Cone:)
V =
1
3
𝜋 r2 h ‫الحجم‬
L.A = 𝜋 r 𝓵 ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬
T.A = 𝜋 r 𝓵 + 𝜋 r2
‫الكلية‬ ‫المساحة‬
6-(‫الكرة‬Sphere:)
V =
4
3
𝜋 r3 ‫الحجم‬
S = 4 𝜋 r2 ‫مساحة‬‫الكرة‬ ‫سطح‬
‫العظمى‬ ‫الدائرة‬ ‫مساحة‬ ‫امثال‬ ‫اربعة‬ = ‫للكرة‬ ‫السطحية‬ ‫المساحة‬

275. [ 6 – 4 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المجسمات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬103/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
7-(‫الهرم‬Pyramid:)
V =
𝟏
𝟑
𝐛. 𝐡 ‫الحجم‬
L.A =
𝟏
𝟐
(‫القاعدة‬ ‫الجانبي()محيط‬ ‫)االرتفاع‬ ‫المساحة‬‫الجانبية‬
T.A = ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ + ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬ ‫المساحة‬‫الكلية‬
8-.‫ومتطابقة‬ ‫االضالع‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫االربعة‬ ‫اوجهه‬ , ‫منتظم‬ ‫قائم‬ ‫ثالثي‬ ‫هرم‬ :‫المنتظم‬ ‫االربعة‬ ‫الوجوه‬ ‫ذو‬
:‫االربعة‬ ‫الوجوه‬ ‫ذي‬ ‫خواص‬
1-‫متساوية‬ ‫اضالعه‬ ‫اطوال‬
AB = AD = AC = CD = BD = BC = ℓ
2-:‫ومتطابقة‬ ‫االضالع‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫االربعة‬ ‫االوجه‬
-= ‫الثالث‬ ‫الزوايا‬ ‫قياس‬ ‫االضالع‬ ‫المتساوي‬ ‫المثلث‬ ‫في‬69.‫درجة‬
-‫عمودي‬ ‫يكون‬ ‫االضالع‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫في‬ ‫لزاوية‬ ‫المنصف‬ ‫المستقيم‬‫المق‬ ‫الضلع‬ ‫على‬‫ابل‬
‫للزاوية‬‫وينصفه‬.
-‫مركز‬ ‫في‬ ‫تتقاطع‬ ‫االضالع‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫لزوايا‬ ‫المنصفة‬ ‫المستقيمات‬
‫المثلث‬ ‫رؤوس‬ ‫خارج‬ ‫او‬ ‫داخل‬ ‫الواقعة‬ ‫الدائرة‬.
3-‫داخل‬ ‫او‬ ‫خارج‬ ‫تقع‬ ‫التي‬ ‫الدائرة‬ ‫بمركز‬ ‫يمر‬ ‫القاعدة‬ ‫على‬ ‫الهرم‬ ‫راس‬ ‫من‬ ‫النازل‬ ‫العمود‬
‫المثلث‬ ‫رؤوس‬.
AE⃡.‫ومنتظم‬ ‫قائم‬ ‫النه‬ ‫الهرم‬ ‫ارتفاع‬ ‫يمثل‬
AE⃡ ⊥ (BCD)‫النقطة‬ ‫عند‬E
CF⃡=ℓ
2⁄
CE⃡=
ℓ
2
cos 30
=
ℓ
2
√3
2
=
ℓ
√3
A
B
C
D
ℓ
60° 60°
D
B C
60°
30°
60° 60°
D
B C
ℓ
2⁄
ℓ
ℓ
2⁄
D
B C
30°
ℓ
E
A
B
C
D
F

276. [ 6 – 4 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المجسمات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬106/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
AE⃡=√ℓ2 − (
ℓ
√3
)
2
=
√2ℓ
√3
AE⃡
CE⃡
=
√2
√3
9-‫قطع‬ ‫اذا‬‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫في‬ ‫المثلث‬ ‫ويكون‬ ‫مثلث‬ ‫المقطع‬ ‫فان‬ ‫مولداته‬ ‫احد‬ ‫من‬ ‫مار‬ ‫بمستوي‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬
.‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫القائم‬
1-‫المستطيالت‬ ‫لمتوازي‬ ‫الكلية‬ ‫المساحة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬2
724cm‫قاعدته‬ ‫ومساحة‬2
132cm‫اوجهه‬ ‫احد‬ ‫ومساحة‬
‫الجانبية‬2
110cm.‫وحجمه‬ ‫ابعاده‬ ‫جد‬
/‫الحل‬
:‫المعطيات‬-:‫فيه‬ ‫المستطيالت‬ ‫متوازي‬= ‫القاعدة‬ ‫مساحة‬2
132 cm
= ‫الجانبية‬ ‫االوجه‬ ‫احد‬ ‫مساحة‬2
110 cm
= ‫الكلية‬ ‫المساحة‬2
724cm
:‫م.اثباته‬-‫المستطيالت‬ ‫متوازي‬ ‫وحجم‬ ‫ابعاد‬ ‫أيجاد‬
:‫البرهان‬-‫مساحة‬ + ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ = ‫الكلية‬ ‫المساحة‬‫القاعدتين‬
724 = ‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ + 2(132)
‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ = 724 – 264 = 460 cm2
‫الجانبية‬ ‫المساحة‬ = 2A1 + 2A2
460 = 2A1 + 2(110)
∴ A1 = 120 cm2
‫هي‬ ‫المجسم‬ ‫قاعدة‬ ‫ابعاد‬ ‫لتكن‬x , y‫وارتفاعه‬z
x . y = 132 …………. ❶
y . z = 110 …………. ❷
x . z = 120 …….….... ❸
x2
. y2
. z2
= (132).(120).(110) = (12.11).(12.10).(11.10) = (12)2
.(11)2
.(10)2
x . y . z =12 . 11 . 10 =1320 cm3
‫الحجم‬ = 1320 cm3
∴: ‫المستطيالت‬ ‫متوازي‬ ‫ابعاد‬10 , 11 , 12 cm‫و.هـ.مـ‬
x
y
z
‫دائري‬ ‫مخروط‬‫مائل‬
AC ≠ AB
A
C
X B
‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬
AC = AB
A
C
X
B
‫بالضرب‬

277. [ 6 – 4 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المجسمات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬100/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
2-‫الجانبية‬ ‫مساحتها‬ ‫قائمة‬ ‫دائرية‬ ‫اسطوانة‬2
cm𝜋400‫وحجمها‬3
cm𝜋2000‫قطر‬ ‫ونصف‬ ‫ارتفاعها‬ ‫اوجد‬
.‫قاعدتها‬
:‫المعطيات‬-:‫فيها‬ ‫قائمة‬ ‫اسطوانة‬‫الجانبية‬ ‫المساحة‬L.A=2
cm𝜋400
‫الحجم‬V=3
cm𝜋2000
:‫م.اثباته‬-‫القاعدة‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬ ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫أيجاد‬
:‫البرهان‬-‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫ليكن‬h‫قاعدتها‬ ‫قطر‬ ‫ونصف‬r:
∵‫الجانبية‬ ‫المساحة‬L.A=2
cm𝜋400)‫(معطى‬
∴ L.A = 2𝜋rh = 400𝜋 ⟹ 2rh = 400 ⟹ h =
200
r
…………. ❶
∵‫الحجم‬V=2
cm𝜋2000)‫(معطى‬
∴ V = 𝜋r2
.h = 2000𝜋 ⟹ r2
.h = 2000…………. ❷
‫نعوض‬❶‫في‬❸:
r2
.
200
r
= 2000 ⟹ r =
2000
200
= 10 cm ‫االسطوانة‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
‫عن‬ ‫نعوض‬r‫في‬❶:
h =
200
10
= 20 cm ‫االسطوانة‬ ‫ارتفاع‬ ‫و.هـ.مـ‬
3-‫حرفه‬ ‫طول‬ ‫الذي‬ ‫المنتظم‬ ‫االربعة‬ ‫الوجوه‬ ‫ذي‬ ‫حجم‬ :‫ان‬ ‫على‬ ‫برهن‬ℓ‫هو‬
√2ℓ3
12
.‫مكعبة‬ ‫وحدة‬
/‫الحل‬
:‫المعطيات‬-‫االربعة‬ ‫الوجوه‬ ‫ذي‬= ‫حرفه‬ ‫طول‬ℓ‫طول‬ ‫وحدة‬
:‫م.اثباته‬-= ‫االربعة‬ ‫الوجوه‬ ‫ذي‬ ‫حجم‬
√2ℓ3
12
:‫البرهان‬-= ‫الهرم‬ ‫ارتفاع‬ ‫ليكن‬h
‫نرسم‬AE̅̅̅̅ ⊥ (BCD))‫معلومة‬ ‫نقطة‬ ‫من‬ ‫مستو‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫وحيد‬ ‫مستقيم‬ ‫رسم‬ ‫(يمكن‬
∴AE̅̅̅̅‫الهرم‬ ‫ارتفاع‬ =
(‫النقطة‬E‫القاعدة‬ ‫داخل‬ ‫او‬ ‫خارج‬ ‫تقع‬ ‫التي‬ ‫الدائرة‬ ‫مركز‬ ‫تمثل‬BCD
‫المتسا‬ ‫المثلث‬ ‫الضالع‬ ‫المنصفة‬ ‫االعمدة‬ ‫تالقي‬ ‫نقطة‬ ‫وهي‬‫االضالع‬ ‫وي‬
)‫منتظم‬ ‫قائم‬ ‫الهرم‬ ‫الن‬
‫المثلث‬ ‫في‬EBF:
cos 30 =
1
2
ℓ
BE̅̅̅̅
⟹
√3
2
=
ℓ
2 .BE̅̅̅̅
⟹ BE̅̅̅̅ =
ℓ
√3
∵AE⃡ ⊥ (BCD)
∴AE⃡ ⊥ BE⃡‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫اثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقيمات‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬ ‫العمودي‬ ‫(المستقيم‬
)‫المستوي‬
‫المثلث‬ ‫في‬AEB‫في‬ ‫القائم‬E:
h2 +
ℓ2
3
= ℓ2
(‫)فيتاغورس‬
h
r
30°
60° 60°
E
D
B C
F
ℓ
E
A
B
C
D
F
h
30º

278. [ 6 – 4 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المجسمات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬100/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
h2 =
2ℓ2
3
⟹ ∴ h = √
2
3
ℓ
‫القاعدة‬ ‫مساحة‬(BCD)=
√3 ℓ2
4
)‫االضالع‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫(القاعدة‬
‫مساحة‬∆= ‫االضالع‬ ‫متساوي‬2
)‫الضلع‬ ‫(طول‬
√3
4
V =
1
3
(‫القاعدة‬ ‫)مساحة‬ (‫)االرتفاع‬ ‫الهرم‬ ‫حجم‬
V =
1
3
(
√3 ℓ2
4
) (
√2 ℓ
√3
) =
√2ℓ3
12
unit3
‫و.هـ.مـ‬
4-‫بمقدار‬ ‫القاعدة‬ ‫مركز‬ ‫عن‬ ‫تبعد‬ ‫مستقيم‬ ‫بقطعة‬ ‫قاعدته‬ ‫فقطع‬ ‫مستو‬ ‫برأسه‬ ‫مر‬ ‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬8cm‫فاذا‬ ,
‫الناتج‬ ‫المثلث‬ ‫مساحة‬ ‫كانت‬2
102cm‫المخروط‬ ‫وارتفاع‬15cm:‫احسب‬ ,
1)‫حجمه‬.2)‫الجانبية‬ ‫مساحته‬.3).‫الكلية‬ ‫مساحته‬
:‫المعطيات‬-‫قائم‬ ‫دائري‬ ‫مخروط‬
‫المقطع‬ ‫ونتج‬ ‫قاعدته‬ ‫فقطع‬ ‫مستو‬ ‫برأسه‬ ‫مر‬ABC
‫المثلث‬ ‫مساحة‬ABC=2
102 cm
‫المخروط‬ ‫ارتفاع‬AE=15
‫المستقيم‬ ‫بعد‬CB= ‫القاعدة‬ ‫مركز‬ ‫عن‬ED=8cm
:‫م.اثباته‬-.‫للمخروط‬ ‫والكلية‬ ‫الجانبية‬ ‫والمساحتين‬ ‫الحجم‬ ‫أيجاد‬
:‫البرهان‬-
AE̅̅̅̅ ⊥ (‫القاعدة‬ ‫)مستوي‬‫(أرتفاع‬)‫قاعدته‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫راسه‬ ‫من‬ ‫المرسوم‬ ‫المستقيم‬ ‫هو‬ ‫المخروط‬
∵ED̅̅̅̅ ⊥ BC̅̅̅̅)‫(معطى‬
∴AD̅̅̅̅ ⊥ BC̅̅̅̅)‫الثالث‬ ‫االعمدة‬ ‫(مبرهنة‬
‫المقطع‬ABC‫فيه‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬AB = AC
‫المثلث‬ ‫في‬AED‫في‬ ‫القائم‬E‫العمود‬ ‫(المستقيم‬‫جميع‬ ‫على‬ ‫عموديا‬ ‫يكون‬ ‫مستوي‬ ‫على‬
)‫المستوي‬ ‫ذلك‬ ‫ضمن‬ ‫اثره‬ ‫من‬ ‫المرسومة‬ ‫المستقيمات‬
(AD)2 = (AE)2 + (ED)2 (‫)فيتاغورس‬
(AD)2 = 225 + 64 = 289 ⟹ AD = 17 cm
‫المثلث‬ ‫مساحة‬ABC=2
102 cm)‫(معطى‬
102 =
1
2
(BC) (AD) =
1
2
(BC) (17)
BC =
2.102
17
= 12 cm
∵CE = BE)‫واحدة‬ ‫دائرة‬ ‫قطر‬ ‫(نصفي‬
∴‫المثلث‬BCE‫الساقين‬ ‫متساوي‬
CD =
1
2
(BC) = 6 cm )‫ينصفها‬ ‫الساقين‬ ‫متساوي‬ ‫مثلث‬ ‫قاعدة‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫(المستقيم‬
‫المثلث‬ ‫في‬ECD‫في‬ ‫القائم‬D( :ED̅̅̅̅ ⊥ BC̅̅̅̅)
(EC)2 = (8)2 + (6)2 (‫)فيتاغورس‬
(EC)2 = 04 + 30 = 100 ⟹ ∴ EC = 10 cm ‫المخروط‬ ‫قاعدة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
A
C
15
8
B
E
D

279. [ 6 – 4 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المجسمات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬107/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫المثلث‬ ‫في‬AEC‫في‬ ‫القائم‬E:
(AC)2 = (15)2 + (10)2 (‫)فيتاغورس‬
(AC)2 = 225 + 100 = 325 ⟹ ∴ AC = 5√13 cm ‫الجانبي‬ ‫االرتفاع‬
1-‫المخروط‬ ‫حجم‬V:
V =
1
3
𝜋 r2
h =
1
3
𝜋 (10)2
(15)
V = 500 𝜋 cm3
2-‫الجانبية‬ ‫المساحة‬L.A:
L.A =
1
2
(‫القاعدة‬ ‫الجانبي()محيط‬ ‫)االرتفاع‬
L.A = 𝜋 r (‫الجانبي‬ ‫)االرتفاع‬
L.A = 𝜋 (10) (5√13 )= 50√13 𝜋 cm2
3-‫الكلية‬ ‫المساحة‬T.A:
T.A = (‫الجانبية‬ ‫)المساحة‬ + (‫القاعدة‬ ‫)مساحة‬
T.A = (‫الجانبية‬ ‫)المساحة‬ + r2
𝜋
T.A = 50√13 𝜋 + (10)2
𝜋 = 50√13 𝜋 + 100 𝜋 ‫و.هـ.مـ‬
5-, ‫المنتظم‬ ‫االربعة‬ ‫الوجوه‬ ‫ذي‬ ‫خارج‬ ‫كرة‬ ‫رسم‬ ‫يمكن‬ ‫انه‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬
:‫ان‬ ‫برهن‬= ‫الكرة‬ ‫قطر‬ ‫نصف‬
3
4
.‫االرتفاع‬
/‫الحل‬
:‫المعطيات‬-ABC-D‫اربعة‬ ‫وجوه‬ ‫ذو‬ ‫شكل‬
‫ارتفاعه‬h‫في‬ ‫مركزها‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬ ‫مرسوم‬E‫قطرها‬ ‫ونصف‬r.
:‫م.اثباته‬-
3
4
hr =
:‫البرهان‬-
∵‫الهرم‬D-ABC‫منتظم‬ ‫وجوه‬ ‫اربعة‬ ‫ذي‬ ‫شكل‬
∴.‫ومتطابقة‬ ‫االضالع‬ ‫متساوية‬ ‫مثلثات‬ ‫له‬ ‫الجانبية‬ ‫االوجه‬
‫منها‬ ‫الواحد‬ ‫الوجه‬ ‫مساحة‬ ‫لتكن‬M.
‫نصل‬AE,BE,CE‫الهرم‬ ‫فينقسم‬D-ABC:‫هي‬ ‫اهرامات‬ ‫اربعة‬ ‫الى‬
E-DBC,E-ABC,E-DAC,E-DAB
‫هو‬ ‫االهرامات‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ارتفاع‬(h-r)= ‫منها‬ ‫كل‬ ‫قاعدة‬ ‫ومساحة‬M
∴‫الحجم‬ ‫متطابقة‬ ‫االربعة‬ ‫االهرامات‬)‫ارتفاعاتها‬ ‫وتساوت‬ ‫قاعدتيهما‬ ‫مساحات‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ‫هرمين‬ ‫حجم‬ ‫(يتساوى‬
‫الهرم‬ ‫حجم‬ABC-DV=]ABC-EV.[ 4
1
3
M h = 4[
1
3
M(h − r)]
h = 4(h-r)
h = 4h – 4r ⟹ 3h = 4r
∴ r =
3
4
h ‫و.هـ.مـ‬
AB
C
D
E
h - r
F
r

280. [ 6 – 4 ]‫السادس‬ ‫الفصل‬)‫الفضائية‬ ‫(الهندسة‬‫المجسمات‬
‫الشمري‬ ‫أحمد‬ ‫األستاذ‬108/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087430770
‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
:‫المعطيات‬-ABC-D‫ارتفاعه‬ ‫اربعة‬ ‫وجوه‬ ‫ذو‬ ‫شكل‬h‫مرسوم‬
‫في‬ ‫مركزها‬ ‫كرة‬ ‫داخل‬E‫قطرها‬ ‫ونصف‬r.
:‫م.اثباته‬-
3
4
hr =
:‫البرهان‬-‫الهرم‬ABC-D‫ليكن‬ , ‫منتظم‬ ‫وجوه‬ ‫اربعة‬ ‫ذي‬ ‫شكل‬
= ‫حرفه‬ ‫طول‬ℓ
‫النقطة‬ ‫من‬ ‫عمود‬ ‫نرسم‬D‫بالنقطة‬ ‫وتقطعها‬ ‫الهرم‬ ‫قاعدة‬ ‫على‬F
∵‫المستقيم‬DF‫الكرة‬ ‫ومركز‬ ‫الهرم‬ ‫بمركز‬ ‫يمر‬
∴ DE = EB = r )‫الكرة‬ ‫اقطار‬ ‫(انصاف‬
‫المثلث‬ ‫في‬BFG:
cos 30 =
1
2
ℓ
BF̅̅̅̅
⟹
1
2
ℓ
BF̅̅̅̅
=
√3
2
BF̅̅̅̅ =
2
√3
∗
ℓ
2
BF̅̅̅̅ =
ℓ
√3
‫المثلث‬ ‫في‬BDF:
(BF)2
+ h2
= ℓ2
)‫)فيتاغورس‬
ℓ2
3
+ h2
= ℓ2
⟹ h2
=
2ℓ2
3
⟹ ℓ =
√3
√2
h
‫في‬‫المثلث‬BEF:
r2
= (h – r)2
+ (BF)2
r2
= h2
– 2hr + r2
+ (
ℓ
√3
)2
⟹ 0 = h2
– 2hr +
ℓ2
3
0 = h2
– 2hr +
(
√3
√2
h )
2
3
⟹ 0 = h2
– 2hr +
3
2
h
2
3
0 = h2
– 2hr +
h
2
2 ⟹ 2hr =
3 h
2
2 ⟹ r =
3
4
h
‫و.هـ.م‬
D
B F
E
h - r
r
ℓ
r
AB
C
D
E
h - r
r
r
78
F
ℓ
2
ℓ
G