Хавтгай дээрх шулууны янз бүрийн тэгшитгэл

1. ЛЕКЦ -2
СЭДЭВ : Хавтгай дээрх шулууны янз бүрийн тэгшитгэл
ЗОРИЛГО: Ýíý õè÷ýýëýýð Хавтгай дээрх шугам, Îãòîðãóé äàõü
гадаргуу,шулууны ерөнхий тэгшитгэл,параметрт ба хялбар тэгшитгэл,өнцгийн
коэффициенттой тэгшитгэлийн тухай ойлголт өгөх,энэ ойлголтоо ашиглан
бодлого бодох чадвартай болгох.
ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ :
Тодорхойлолт:
Хавтгайн ХОУ тэгш өнцөгт координатын системд L шугам өгсөн гэвэл
энэ шугамын цэг бүрийн координат 𝐹𝐹(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) = 0 тэгшитгэлийг
хангадаг,шугамын гаднах цэг бүрийн координат энэ тэгшитгэлийг
хангахгүй байвал энэ тэгшитгэлийг L шугамын тэгшитгэл гэнэ.
Хавтгай дээр ямар шугамууд мэдэх вэ. Тэгшитгэлүүдийг нь мэдэх үү.
Шулуун,тойрог,парабол,гипербол гэх мэт
тэгшитгэлүүд нь
𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑦𝑦 =
𝑘𝑘
𝑥𝑥
𝑥𝑥2
+ 𝑦𝑦2
= 𝑅𝑅2
байдаг тухай ярилцах
Хавтгай дээрх шугам нь дараах хэлбэрээр байна.
1. 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) хавтгай дээрх шугамын ил хэлбэр
2. 𝐹𝐹(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) = 0 хавтгай дээрх шугамын далд хэлбэр
3. �
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡)
хавтгай дээрх шугамын параметрт хэлбэр
Тодорхойлолт:
Огторгуйн ОХУZ координатын системд S гадаргуу өгсөн гэвэл энэ
гадаргуугийн цэг нэг бүрийн координат 𝐹𝐹(𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑧𝑧) = 0 тэгшитгэлийг
хангадаг,гадаргуугийн гаднах цэг бүрийн координат энэ тэгшитгэлийг
хангахгүй байвал дээрх тэгшитгэлийг S гадаргуугийн тэгшитгэл гэнэ.
Огторгуйд ямар гадаргуунууд мэдэх вэ. Бөмбөрцөг,
конус,цилиндр,призм,пирамид
Огторгуйд гадаргуу дараах хэлбэрээр байна.
1. 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) Огторгуйд гадаргуугийн ил хэлбэр
2. 𝐹𝐹(𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑧𝑧) = 0 Огторгуйд гадаргуугийн далд хэлбэр
3. �
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡)
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑡𝑡)
Огторгуйд гадаргуугийн параметрт хэлбэр гэсэн
хэлбэртэй байна.
Жишээлбэл Координатын эх дээр төвтэй R радиустай тойргийн
тэгшитгэл бичье.
Тойрог нь төв гэж нэрлэгдэх цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийг олонлог.
(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) цэгийн хувьсах координат гэнэ.

2. Гурвалжнаас пифагорын теорем бичвэл
𝑥𝑥2
+ 𝑦𝑦2
= 𝑅𝑅2
𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑅𝑅
Хэрвээ тойргийн параметрт тэгшитгэлийг
бичихийн
тулд 𝑂𝑂𝑂𝑂 = 𝑅𝑅 радиусийг цагийн зүүгий эсрэг хөдөлгөж ОХ тэнхлэгтэй
үүсгэх өнцгийг t гэвэл �
𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑦𝑦 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅
гэсэн тойргийн параметрт тэгшитгэлд
шилжинэ.
Одоо хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлүүдийг авч үзье.
1.Шулууны ерөнхий тэгшитгэл
Хавтгай дээр байгаа L шулуун дээр 𝑀𝑀0(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦𝑜𝑜) цэг, түүнд перпендикуляр
𝑛𝑛�⃗( 𝐴𝐴; 𝐵𝐵) вектор өгсөн бол шулууны тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж
болно.
Тэгшитгэлийг бичихийн тулд шулуун дээр 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) цэг авч 𝑀𝑀0 𝑀𝑀����������⃗ вектор
олж
учираас 𝑛𝑛�⃗ ∙ 𝑀𝑀0 𝑀𝑀���������⃗ = 0 болж
𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) + 𝐵𝐵(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0) = 0 хялбарчилж
бичвэл
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐷𝐷 = 0 хэлбэртэй болно.
Энэ тэгшитгэлийг хавтгай дээрх шулууны ерөнхий тэгшитгэл гэнэ.
𝑛𝑛�⃗( 𝐴𝐴; 𝐵𝐵) ийг шулууны нормаль вектор гэнэ
Энэ тэгшитгэл бүх шулууныг тодорхолно.
Жишээлбэл
M(2; −1) цэгийг дайрсан 𝑛𝑛�⃗(4; 3) векторт перпендикуляр шулууны тэгшитгэл бич.
4(𝑥𝑥 − 2) + 3(𝑦𝑦 + 1) = 0 4𝑥𝑥 − 8 + 3𝑦𝑦 + 3 = 0 4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 5 = 0
2.Шулууны хэрчимт тэгшитгэл
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0 ийг хэрчимт тэгшитгэлд шилжүүлэхдээ −
𝐴𝐴
𝐶𝐶
= 𝑎𝑎 −
𝐵𝐵
𝐶𝐶
= 𝑏𝑏
𝑥𝑥
𝑎𝑎
+
𝑦𝑦
𝑏𝑏
= 1 шулууны хэрчимт тэгшитгэл гэнэ
𝑀𝑀(𝑎𝑎; 0) 𝑀𝑀(0; 𝑏𝑏) цэгүүд координатын тэнхлэгүүдийг огтлох цэгүүд болно.
Жишээлбэл 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 ерөнхий тэгшитгэлийг хэрчимт тэгшитгэлд шилжүүл.
Шилжүүлэхийн тулд тэнцэтгэлийн хоёр талыг -2 т хуваана.
𝑥𝑥
−2
+
𝑦𝑦
1
= 1
3.Шулууны хялбар тэгшитгэл
Хавтгай дээр байгаа L шулуун дээр 𝑀𝑀0(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦𝑜𝑜) цэг, түүнтэй параллель байх
𝑚𝑚��⃗(𝑝𝑝; 𝑞𝑞) вектор өгсөн бол шулууны тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж
болно.
Тэгшитгэлийг бичихийн тулд шулуун дээр 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) цэг авч 𝑀𝑀0 𝑀𝑀����������⃗ вектор
олж
MMn 0⊥
→

3. Çóðãààñ õàðàõàä ó÷ðààñ ïàðàëëåëü âåêòîðûí
÷àíàðààð
𝑥𝑥−𝑥𝑥0
𝑝𝑝
=
𝑦𝑦−𝑦𝑦0
𝑞𝑞
тэгшитгэлийг хавтгайд шулууны хялбар
тэгшитгэл гэнэ. 𝑛𝑛�⃗(𝑝𝑝; 𝑞𝑞) ийг шулууны чиглүүлэгч вектор гэнэ.
Жишээлбэл 𝑀𝑀(3; −4 ) цэгийг дайрсан 𝑚𝑚��⃗(−3; 2) вектортой параллель шулууны
тэгшитгэл бич.
𝑀𝑀𝑀𝑀0
���������⃗(𝑥𝑥 − 3; 𝑦𝑦 + 4) нь 𝑚𝑚��⃗(−3; 2) вектортой параллель учираас
𝑥𝑥−3
−3
=
𝑦𝑦+4
2
байна.
4.Параметрт тэгшитгэл
t
p
xx
=
− 0
t
q
yy
=
− 0
гэж тэмдэглэвэл
rtzz
qtyy
ptxx
+=
+=
+=
0
0
0
хавтгайд шулууны параметр
тэгшитгэл гэнэ
5.ªãñºí õî¸ð öýãèéã äàéðñàí øóëóóíû òýãøèòãýë
𝑀𝑀0(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦0) 𝑀𝑀1(𝑥𝑥1; 𝑦𝑦1) хавтгайн цэгүүд өгчээ. Шулууны тэгшитгэл зохиохын
тулд шулуун дээр дурын 𝑀𝑀(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) цэгийг авч
÷èãë¿¿ëýã÷ âåêòîð áîëíî. 𝑀𝑀0 𝑀𝑀���������⃗(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0; 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0) 𝑀𝑀1 𝑀𝑀0
������������⃗ ; 𝑀𝑀0 𝑀𝑀���������⃗ Параллель
учираас векторуудын
параллелийн чанараар
𝑥𝑥−𝑥𝑥0
𝑥𝑥1−𝑥𝑥0
=
𝑦𝑦−𝑦𝑦0
𝑦𝑦1−𝑦𝑦0
болно. Энэ нь хавтгай дээрх өгсөн
хоёр цэгийг дайрсан шулууны тэгшитгэл болно.
.
Жишээлбэл 𝑨𝑨( 𝟏𝟏; −𝟏𝟏) 𝐵𝐵(2; −4) цэгүүдийг дайрсан шулууны тэгшитгэл бич.
𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗(1; −3) 𝑀𝑀𝑀𝑀������⃗(𝑥𝑥 − 2; 𝑦𝑦 + 4) векторууд параллель учираас
𝑥𝑥−2
1
=
𝑦𝑦+4
−3
6.Өнцгийн коэффициенттой тэгшитгэл
Хэрвээ хавтгай дээр L шулуун oy тэнхлэгтэй параллель биш байвал
𝑥𝑥−𝑥𝑥0
𝑝𝑝
=
𝑦𝑦−𝑦𝑦0
𝑞𝑞
тэгшитгэлээс
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 =
𝑞𝑞
𝑝𝑝
∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) болно.
𝑞𝑞
𝑝𝑝
= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 гэвэл
→→
MMn o//
( )01010101 ;; zzyyxxMM −−−
→

4. 𝛼𝛼 өнцөг нь шулуун ох тэнхлэгтэй үүсгэх өнцөг.
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 гэж тэмдэглээд
үүнийг шулууны өнцгийн коэффициент гэнэ.
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑘𝑘 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) энэ тэгшитгэлийг
𝑀𝑀(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦0) цэгийг дайрсан өнцгийн
коэффициенттой
шулууны тэгшитгэл гэнэ.
𝑏𝑏 = 𝑦𝑦0 − 𝑘𝑘𝑥𝑥0 гэвэл тэгшитгэл 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑏𝑏 болно.
Жишээлбэл
n�⃗ = ( 𝟐𝟐; 𝟑𝟑) вектортой параллель 𝑀𝑀(4; 7) цэгийг дайрсан өнцгийн коэффициенттой
шулууны тэгшитгэл бич.
𝑘𝑘 =
𝑞𝑞
𝑝𝑝
=
3
2
𝑏𝑏 = 𝑦𝑦0 − 𝑘𝑘𝑥𝑥0 = 7 −
3
2
∙ 4 = 1 𝑦𝑦 − 7 = (𝑥𝑥 − 4) 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 − 3 = 0
Өнцгийн коэффициенттой шулууны хавтгай дээрх
байршил
𝑦𝑦 = 𝑘𝑘1 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘2 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 хоёр шулуун хавтгай дээр дараах байрлалтай
байна.
1. Хоёр шулуун хоорондоо өнцөг үүсгэж байвал.
өнцгийг 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 =
𝑘𝑘1−𝑘𝑘2
1+𝑘𝑘1∙𝑘𝑘2
томъёогоор олно.
2. Хоёр шулуун параллель байвал 𝑘𝑘1 = 𝑘𝑘2
байна
3.Хоёр шулуун перпендикуляр байвал 𝑘𝑘1 ∙ 𝑘𝑘2 = −1
байна.

5. Жишээлбэл
2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 + 1 = 0 ба 6𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 3 = 0 хос шулуун перпендикуляр болохыг батал.
7.Өгсөн 𝐴𝐴(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦0) цэгийг дайруулан төгөсгөлгүй олон шулуун татаж
болох бөгөөд тэдгээрийг шулууны багц гэнэ.
Багцын тэгшитгэл нь 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑘𝑘 ∙ (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) байна. Үүнд к нь дурын тогтмол
тоо.
Багцын төв болох цэг нь 𝐴𝐴1 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1 = 0 ба 𝐴𝐴2 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶2 = 0 гэсэн
хоёр шулууны огтлолцол гэж өгвөл багцын тэгшитгэл
𝐴𝐴1 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1 +⋋∙ ( 𝐴𝐴2 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐2) = 0 байна.
8.Шулууны эгэл тэгшитгэл
𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0 ийн хоёр талыг
𝐴𝐴
√𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
∙ 𝑥𝑥 +
𝐵𝐵
√𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
+
𝐶𝐶
√𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
= 0 хуваавал
𝐴𝐴
√𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝐵𝐵
√𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
= 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝐶𝐶
√𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
= 𝑃𝑃 гэвэл
𝑥𝑥 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑦𝑦 ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑝𝑝 = 0 болох ба үүнийг хавтгайн эгэл
тэгшитгэл гэнэ.
M(x0; y0) өãñºí öýãээс 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑐𝑐 = 0 шулуун хүртлэх зайг дараах томъёогоор
олно.
𝒅𝒅 = �
𝑨𝑨𝒙𝒙𝟎𝟎+𝑩𝑩𝒚𝒚𝟎𝟎+𝑪𝑪
� 𝑨𝑨𝟐𝟐+𝑩𝑩𝟐𝟐
�
Жишээлбэл Координатын эхээс 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 3 = 0 цэг хүртлэх зайг ол.
Координатын эхийн цэг 𝑀𝑀(0; 0) учираас 𝑑𝑑 =
3
√5
болно.
- M(x0; y0). ªãñºí öýãээс 𝑥𝑥 ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑦𝑦 ∙ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑝𝑝 = 0 шулуун хүртлэх зайг дараах
томъёогоор олно.
𝒅𝒅 = |𝒙𝒙𝟎𝟎 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒚𝒚𝟎𝟎 ∙ 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒔𝒔 − 𝒑𝒑|