Math

หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน
รายวิชา คณิตศาสตร
(พค21001)
ระดับมัธยมศึกษาตอนตน
(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2554)
หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พุทธศักราช 2551
สํานักงานสงเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย
สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ
กระทรวงศึกษาธิการ

2
หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน
รายวิชา คณิตศาสตร (พค21001)
ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2554
ลิขสิทธิ์เปนของ สํานักงาน กศน. สํานักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ
เอกสารทางวิชาการลําดับที่ 7/2555

4
สารบัญ
เรื่อง หนา
คํานํา 3
สารบัญ 4
คําแนะนําการใชหนังสือ 5
โครงสรางวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน 6
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ 7
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม 18
บทที่ 3 เลขยกกําลัง 46
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ 58
บทที่ 5 การวัด 75
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว 106
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ 128
บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ 138
บทที่ 9 สถิติ 151
บทที่ 10 ความนาจะเปน 182
บทที่ 11 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ 192

5
คําแนะนําการใชแบบเรียน
หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร พค 21001 ระดับมัธยมศึกษา
ตอนตน เปนหนังสือเรียนที่จัดทําขึ้น สําหรับผูเรียนที่เปนนักศึกษานอกระบบ ในการศึกษา
หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร ผูเรียนควรปฏิบัติดังนี้
1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหัวขอสาระสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
และขอบขายเนื้อหา
2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามที่กําหนด
แลวตรวจสอบกับแนวตอบกิจกรรมที่กําหนด ถาผูเรียนตอบผิดควรกลับไป
ศึกษาและทําความเขาใจในเนื้อหานั้นใหมใหเขาใจกอนที่จะศึกษาเรื่องตอไป
3. ปฏิบัติกิจกรรมทายเรื่องของแตละเรื่อง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของ
เนื้อหาในเรื่องนั้นๆ อีกครั้ง และการปฏิบัติกิจกรรมของแตละเนื้อหาในแตละ
เรื่อง ผูเรียนสามารถนําไปตรวจสอบกับครูและเพื่อนๆ ที่รวมเรียนในรายวิชา
และระดับเดียวกันได
4. แบบเรียนเลมนี้มี 10 บท
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม
บทที่ 3 เลขยกกําลัง
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ
บทที่ 5 การวัด
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ
บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
บทที่ 9 สถิติ
บทที่ 10 ความนาจะเปน

6
โครงสรางรายวิชาคณิตศาสตร
สาระสําคัญ
ใหผูเรียนมีความรูความเขาใจเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการ เศษสวน และทศนิยม เลข
ยกกําลัง อัตราสวน สัดสวน และรอยละ การวัด ปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ
ความสัมพันธระหวางรูปทรงเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ สถิติ และความนาจะเปน
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการ เศษสวนและทศนิยม เลขยก
กําลังอัตราสวน สัดสวน รอยละ การวัด การหาปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ
ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติ สามมิติ สถิติ และความนาจะเปน
2. สามารถคิดคํานวณและแกปญหาโจทยที่ใชในชีวิตประจําวัน
ขอบขายเนื้อหา
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม
บทที่ 3 เลขยกกําลัง
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ
บทที่ 5 การวัด
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ
บทที่ 8 ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
บทที่ 9 สถิติ
บทที่ 10 ความนาจะเปน
สื่อการเรียนรู
1. ใบงาน
2. หนังสือเรียน

7
บทที่ 1
จํานวนและการดําเนินการ
เรื่องของจํานวนและการดําเนินการ เปนหลักการเบื้องตนที่เปนพื้นฐานในการนําไปใชใน
ชีวิตจริงเกี่ยวกับการเปรียบเทียบ การบวก การลบ การคูณ และการหาร
1. ระบุหรือยกตัวอยางจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได
2. เปรียบเทียบจํานวนเต็มได
3. บวก ลบ คูณ หาร จํานวนเต็ม และอธิบายผลที่เกิดขึ้นได
4. บอกสมบัติของจํานวนเต็มและนําความรูเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนเต็มไปใชได
เรื่องที่ 1 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย
เรื่องที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม
เรื่องที่ 3 การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม
เรื่องที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช

8
เรื่องที่ 1 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย
จํานวนเต็มประกอบไปดวย จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มศูนย ดัง
โครงสรางตอไปนี้
จํานวนเต็มบวก คือ จํานวนนับ เปนจํานวนชนิดแรกที่มนุษยรูจัก มีคามากกวาศูนย จํานวนนับจํานวน
แรก คือ 1 จํานวนที่อยูถัดไปจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 เสมอ เห็นวาไมสามารถหาจํานวนนับที่มากที่สุด และ
สามารถเขียนจํานวนนับ เรียงตามลําดับไดดังนี้ 1, 2, 3,... ไปเรื่อยๆ จํานวนนับเหลานี้อาจเรียกไดวา
“จํานวนเต็มบวก” ถานําจํานวน 0 และจํานวนเต็มบวกมาเขียนแสดงดวยเสนจํานวนได ดังนี้
จํานวนเต็มศูนย มีจํานวนเดียว คือ ศูนย(0)
สําหรับ 0 ไมเปนจํานวนนับ เพราะจะไมกลาววามีผูเรียนจํานวน 0 คน แตศูนยก็ไมได
หมายความวา ไมมีเสมอไป เชน เมื่อกลาวถึงอุณหภูมิ เพราะทําใหเราทราบและเกิดความรูสึกขณะ
อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสได
จํานวนเต็มลบ หมายถึงจํานวนที่ตรงขามกับจํานวนเต็มบวก มีคานอยกวาศูนย (0) มีคาลดลง
เรื่อยๆ ไมมีที่สิ้นสุด เชน -1, -2, -3, ....
พิจารณาจากเสนจํานวน จะเห็นวาจํานวนที่อยูทางซายของ 0 เปนระยะทาง 1 หนวย เขียน
แทนดวย -1 อานวา ลบหนึ่ง
จากจํานวนที่อยูทางซายของ 0 สองชอง เขียนแทนดวย -2 อานวา ลบสอง ถาอยูทางซาย
ของ 0 สามชอง เขียนแทนดวย -3 อานวา ลบสาม
จํานวนเต็ม
จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มศูนย จํานวนเต็มลบ

9
เรื่องที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม
จํานวนเต็ม 2 จํานวน เมื่อนํามาเปรียบเทียบกันจะไดวา จํานวนหนึ่งที่มากกวาจํานวนหนึ่ง
หรือจํานวนหนึ่งที่นอยกวาอีกจํานวนหนึ่ง หรือจํานวนทั้ง 2 จํานวนเทากัน เพียงอยางใดอยางหนึ่ง
เทานั้น
ถา a, b, c เปน จํานวนธรรมชาติใดๆ แลว
a – b = c แลว a มากกวา b
a – b = - c แลว b มากกวา a
หรือ a นอยกวา b
a – b = 0 แลว a เทากับ b
เครื่องหมายที่ใช > แทนมากกวา
< แทนนอยกวา
= แทนเทากับ หรือเทากัน
การเปรียบเทียบจํานวนเต็มสามารถเปรียบเทียบจากเสนจํานวนไดดังนี้
จากเสนจํานวนจะเห็นวา 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > -1 > -2 > -3 ซึ่งจะเห็นไดวา จํานวนที่อยู
บนเสนจํานวนดานขวามีคามากกวาจํานวนที่อยูดานซายเสมอ

10
แบบฝกหัดที่ 1
1. จงเลือกจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มจากจํานวนตอไปนี้
- 1,
2
4
, 0, - 3,
1000
500
,
250
500
−
จํานวนเต็มบวก ประกอบดวย...............................................................................................
จํานวนเต็มลบ ประกอบดวย...............................................................................................
จํานวนเต็ม ประกอบดวย..............................................................................................
2. จงเติมเครื่องหมาย < หรือ > เพื่อใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
1) -4 ..................................... 3
2) -4 .................................... -3
3) -2 ..................................... -5
4) 4..................................... -2
5) 4..................................... -8
3. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก
1) -2, -8, -4, -15, -20, -7
…………………………………………………………………………………………………..
2) 4, -8, 0, -2, 16, -17
…………………………………………………………………………………………………..

11
2.1 จํานวนตรงขามของจํานวนเต็ม
ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขามของ a มีเพียงจํานวนเดียว เขียนแทนดวย -a
พิจารณาจากเสนจํานวน
จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบจะอยูคนละขางของศูนย (0) และอยูหางจาก 0 เปน
ระยะเทากัน เชน -3 กับ 3 เปนจํานวนตรงขามกัน
ซึ่งสรุปไดวา
สําหรับจํานวนเต็ม a ใดๆ จํานวนตรงขามของ a คือ –a
และจํานวนตรงขามของ -a คือ –a
เนื่องจากจํานวนตรงขามของ(-a) เขียนแทนดวย – (-a)
ดังนั้น – (-a) = a
เชน จํานวนตรงขามของ (-3) เขียนแทนดวย –(-3) คือ 3
2.2 คาสัมบูรณของจํานวนเต็ม
สัญลักษณของคาสัมบูรณ ไดแก
ขอสังเกต เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ
พิจารณาจากเสนจํานวนจะเห็นวา
คาสัมบูรณของ 2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 22 =
คาสัมบูรณของ -2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 22 =−
ซึ่งสรุปไดวาคาสัมบูรณของจํานวนใดๆ เทากับระยะทางที่จํานวนนั้นอยูหางจาก 0 บนเสน
จํานวน

12
1. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอยกวา” หรือ “เทากับ”
1) คาสัมบูรณของ (-3).................................................คาสัมบูรณของ 3
2) จํานวนตรงขามของ (-4) .........................................จํานวนตรงขามของ 4
3) จํานวนตรงขามของ 5 ..............................................จํานวนตรงขามของ -5
4) คาสัมบูรณของ A....................................คาสัมบูรณของ(-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ
5) จํานวนตรงขามของ A ...........................จํานวนตรงขามของ (-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ
2. จงเติมเครื่องหมาย <, > หรือ = ลงในชองวาง
1) – (- 5) ............................................5
2) จํานวนตรงขามของ 8 .........................................8
3) จํานวนตรงขามของ (-8).......................................(-8)
4) 25.........................................25 −−
5) ( )20.........................................20 −−
6) 5..........................................25 −−
7) จํานวนตรงขามของ (-2) .........................................จํานวนตรงขามของ(-7)
8) จํานวนตรงขามของ 32.............................................จํานวนตรงขามของ 77

13
เรื่องที่ 3 การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม
3.1 การบวกจํานวนเต็ม
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก เชน 2 + 3 = 5
1). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ 5
จะได 5 เปนผลบวกของ 2 กับ 3
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ เชน
(-2) + (-3) = (-5)
2). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางซายอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ -5
จะได -5 เปนผลบวกของ -2 กับ -3
3.1 กรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา
3). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน 12 + (-8) = 4
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 12 ชอง เมื่อบวกดวย -8 ใหนับลดไปทางซายอีก 8 ชอง
จะสิ้นสุดที่ 4
จะได 4 เปนผลบวกของ 12 กับ -8

14
3.2 กรณีที่ จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน 3 +(-10) = -7
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 3 ชอง เมื่อบวกดวย – 10 ใหนับลดไปทางซายอีก 10 ชอง
จะสิ้นสุดที่ -7
จะได -7 เปนผลบวกของ 3 กับ -10
4.1 กรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา
4). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน (-3) + 5 = 2
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 3 ชอง เมื่อบวกดวย 5 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 5 ชอง
จะสิ้นสุดที่ 2
จะได 2 เปนผลบวกของ -3 กับ 3
4.2 กรณีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน (-5) + 3 = -2
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 5 ชอง เมื่อบวกดวย 3 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง
จะสิ้นสุดที่ -2
จะได -2 เปนผลบวกของ -5 กับ 3

15
1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจํานวนที่กําหนดให โดยใชเสนจํานวน
1. 3+2
2. (-3)+(-2)
3. 2+1
4. (-2)+(-1)
5. 5+ (-1)
6. (-1) +5
7. (-5) +3
8. 3 + (-5)

16
2. จากผลการบวกโดยใชเสนจํานวน จงเติมคําตอบตอไปนี้ใหสมบูรณ
ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสัมบูรณของ a คาสัมบูรณของ b คาสัมบูรณของ(a+b) ผลบวกของ a กับ b
เทากันหรือไมกับ ba +
1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากัน
2. (-3)+(-2) = -5
3. 2+1 = 3
4. (-2)+(-1) = -3
5. 5+ (-1) = 4
6. (-1) +5 = 4
7. (-5) +3 = -2
8. 3 + (-5) = -2
สรุป หลักการบวกจํานวนเต็ม
1. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกัน แลว
ตอบเปนจํานวนเต็มบวก
2. การบวกจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนเต็มลบ
3. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณ
มากกวาใหนําคาสัมบูรณมาลบกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก
4. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
ใหนําคาสัมบูรณมาลบกัน แลวคําตอบเปนจํานวนเต็มลบ
5. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากัน ผลบวกเปน 0
3.2 การลบจํานวนเต็ม
ทบทวนจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มดังตอไปนี้
จํานวนตรงขามของ 3 คือ -3
จํานวนตรงขามของ – 3 คือ 3 และ 3+(-3) = 0
จํานวนตรงขามของ -3 เขียนแทนดวย –(-3) ดังนี้ –(-3) = 3

17
พิจารณาการลบจํานวนเต็มสองจํานวนที่กําหนดใหดังนี้
1. 3 – 2
2. 3 – 5
โดยพิจารณาทั้งสองแบบ
1. แสดงการหาผลลบของสองจํานวนที่กําหนดให โดยใชเสนจํานวน
1). 3 – 2 = 1
2). 3 – 5 = -2
2. แสดงการหาผลลบโดย กําหนดให – b แทนจํานวนตรงขามของ b แลวพิจารณาคาของ a + (-b)
ประโยคแสดงผลลัพธของ a – b a b (-b) ประโยคแสดงผลลัพธของ a + (-b)
1). 3 – 2 = 1 3 2 (-2) 3 + (-2) = 1
2). 3 – 5 = -2 3 5 (-5) 3 + (-5) = -2
จากการลบจํานวนเต็มสองจํานวนทั้ง 2 แบบจะเห็นไดวา
กําหนด (-b) เปนจํานวนตรงขามของ b
ผลลัพธของ a-b และผลลัพธของ a+(-b) มีคาเทากัน
ดังนั้น การลบจํานวนเต็ม เราอาศัยการบวกตามขอตกลงดังตอไปนี้
ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ
นั่นคือ เมื่อ a และ b แทนจํานวนใดๆ
a –b = a + จํานวนตรงขามของ b
หรือ a – b = a + (-b)

18
1. จงทําใหเปนผลสําเร็จ
1. (-12) – 7
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. 7 – (-12)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. (-8) – (-5)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4. (-5) – (-8)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
5. [8 – (-2)] – 6
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
6. 8 – [(-2) – 6]
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมื่อกําหนด a และ b ดังตอไปนี้
1. a = 5, b = (-3)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. a = (-14), b = (-6)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. a = (-4), b = (-4)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

19
3.3 การคูณจํานวนเต็ม
1) การคูณจํานวนเต็มบวกดวนจํานวนเต็มบวก
เชน 3 × 5 = 5 + 5 + 5
= 15
7 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
= 28
การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวกนั้น ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคา
สัมบูรณเทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
2) การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ
เชน 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8)
= -24
2 × (-7) = (-7) + (-7)
= -14
การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณ
เทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
3) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก
เชน (-7) × 4 = 4 × (-7) (สมบัติการสลับที่การคูณ)
= (-7) + (-7)+ (-7) + (-7)
= -28
การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณ
4) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ
เชน (-3) × (-5) = 15
( -11) × (-20) = 220
การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคาสัมบูรณ

20
จงหาผลลัพธ
1). [(-3) × (-5)] × (-2)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………
2). (-3) × [(-5) × (-2)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3). [4 × (-3)] × (-1)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4). 4 × [(-3) × (-1)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
6). (-5) × [6 + (-6)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
8). (-7) × [(-5) + 2]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
9). [5 × (-7)] + [5 × 3]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
10). 5 × [(-7) + 3]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

21
3.4 การหารจํานวนเต็ม
การหารจํานวนเต็ม เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใดๆ ที่ b ไมเทากับ 0 จะหาผลหารได
โดยอาศัยการคูณ ดังนี้
ตัวตั้ง ÷ ตัวหาร = ผลลัพธ มีความหมายเดียวกับ ผลลัพธ × ตัวหาร = ตัวตั้ง
ถา cba =÷ แลว cba ×=
การหาผลหาร
5
25−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ 5 แลวได -25 ดังนั้น 5
5
25
−=
−
5
25
−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ -5 แลวได 25 ดังนั้น 5
5
25
−=
−
จากการหาผลหารขางตนจะไดวา
ถาทั้งตัวตั้งหรือตัวหาร ตัวใดตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มลบโดยที่อีกตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวก
คําตอบเปนจํานวนเต็มลบ ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
5
25
−
−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ -5 แลวได -25 ดังนั้น 5
5
25
=
−
−
5
25
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ 5 แลวได 25 ดังนั้น 5
5
25
=
จากการหาผลหารขางตนจะไดวา
ถาทั้งตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือจํานวนเต็มลบทั้งคู คําตอบเปนจํานวน
เต็มบวก ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น

22
1. จงเติมคําตอบใหสมบูรณเพื่อแสดงหลักของความสัมพันธระหวางการหารและการคูณ ตอไปนี้
ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba ×= ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba =÷ หรือ bca =÷
10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรือ 10 ÷ 2 = 5
35 = 7 x 5
33 = 3 x 11
(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรือ (-14) ÷ (-2) = 7
(-21) = 7 x (-3)
(-15) = 3 x (-5)
10 = (-5) x (-2)
จงหาผลหาร
1. 17 ÷ 17
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
2. 23 ÷ (-23)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3. 15 ÷ (-3)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4. (-72) ÷ 9
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………

17
เรื่องที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช
4.1 สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม
1). สมบัติการสลับที่
ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ
a + b = b + a (สมบัติการสลับที่การบวก)
a × b = b × a (สมบัติการสลับที่การคูณ)
2) สมบัติการเปลี่ยนหมู
(a + b) + c = a + (b + c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการบวก)
(a × b) × c = a × (b × c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการคูณ)
3) สมบัติการแจกแจง
a + (b × c) = ab + ac
และ (b + c) × a = ba + ca
4.2 สมบัติของหนึ่งและศูนย
1). สมบัติของหนึ่ง
1). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 1 = 1 × a = a
2). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a
a
=
1
2).สมบัติของศูนย
1). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a + 0 = 0 + a = a
2). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0
3). ถา a แทนจํานวนใดๆ ที่ไมใช 0 แลว 0
0
=
a
(เราไมใช 0 เปนตัวหาร
ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว
0
a
ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร)
4). ถา a และ b แทนจํานวนใดๆ และ a × b = 0 แลว จะได a = 0 หรือ b = 0
บทที่ 2
เศษสวนและทศนิยม

18
การอาน เขียนเศษสวน และทศนิยมโดยใชสมบัติ การบวก การลบ การคูณ การหาร
การเปรียบเทียบ และการแกโจทยปญหาตามสภาพการณจริงได
1. บอกความหมายของเศษสวนและทศนิยมได
2. เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมและเขียนทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวนได
3. เปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยมได
4. สามารถบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยมได และอธิบายผลที่เกิดขึ้นได
5. นําความรูเกี่ยวกับเศษสวนและทศนิยมไปใชแกโจทยปญหา
เรื่องที่ 1 ความหมายของเศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 4 การบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 1 ความหมายของเศษสวน และทศนิยม
1.1 เศษสวน หมายถึง สวนตางๆ ของจํานวนเต็มที่ถูกแบงออกเปนสวนละเทาๆ กัน การ
นําเสนอเศษสวนสามารถนําเสนอไดทั้งแบบรูปภาพ หรือแบบเสนจํานวน เชน

19
รูปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน
สวนที่แรเงาเปน 1 สวนใน 4 สวน
เขียนแทนดวย
4
1
อานวา “เศษหนึ่งสวนสี่”
หรือ
1 หนวยบนเสนจํานวนแบงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน
จุด A อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 3 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น A แทนดวย
5
3
จุด B อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 7 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น B แทนดวย
5
7
หรือ
5
2
1
จุด C อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 13 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น C แทนดวย
5
13
หรือ
5
3
2
จุด D อยูหางจาก 0 ไปทางซายมือเปนระยะ 8 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น D แทนดวย
5
8−
หรือ
5
3
1−
เศษสวน
"
บทนิยาม เศษสวนเปนจํานวนที่เขียนอยูในรูป เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็ม โดยที่ b ไมเทากับศูนย
เรียก a วา "ตัวเศษ" เรียก b วา "ตัวสวน”
อานวา เศษหนึ่งสวนหา
อานวา เศษหนึ่งสวนสอง
อานวา ลบเศษสามสวนสอง
อานวา ลบเศษสี่สวนสาม

20
ตัวอยางที่ 1 จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง
1.2. ทศนิยม
ทศนิยม คือ จํานวนที่อยูในรูปทศนิยมประกอบดวยสองสวนคือ สวนที่เปนจํานวนเต็ม
และสวนที่เปนทศนิยม และมีจุด (.) คั่นระหวางจํานวนเต็มกับสวนที่เปนทศนิยม
ทศนิยมแบงไดเปน 2 ชนิด คือ
1. ทศนิยมแบบไมซ้ํา เชน 1.5 , 2.35, 3.14, ...
2 ทศนิยมซ้ํา แบงเปน
2.1 ทศนิยมซ้ําศูนย เชน 1.5000 … เขียนแทนดวย 1.5
0.0030000 … เขียนแทนดวย 0.003
ถาตัวซ้ําเปน 0 ไมนิยมเขียน
2.2 ทศนิยมที่ตัวซ้ําไมเปนศูนย เชน
0.3333… เขียนแทนดวย 0.3 อานวา ศูนยจุดสามสามซ้ํา

21
1.414141 … เขียนแทนดวย 1.41 อานวา หนึ่งจุดสี่หนึ่งสี่หนึ่งซ้ํา
0.213213213 … เขียนแทนดวย 0.213 อานวา ศูนยจุดสองหนึ่งสาม สองหนึ่งสามซ้ํา
2.10371037 … เขียนแทนดวย 2.1037 อานวา สองจุดหนึ่งศูนยสามเจ็ด หนึ่งศูนยสามเจ็ดซ้ํา
1. จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง
2. จงเขียนเสนจํานวนแลวหาจุดที่แทนจํานวนตอไปนี้
1)
8
4
,
2
1
1 ,
8
20
2)
2
1
1 ,
6
3
4 ,
6
29
จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของทศนิยม
1.
10
6
= ………………………… 2. .................................
100
12
=
3. ................................
1000
357
= 4.
..............
1000
3
100
2
10
1
=++
เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
2.1 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม
1)
2)

22
เศษสวนและทศนิยมอาจเปลี่ยนรูปกันได หมายความวา เศษสวนสามารถเขียนใน
รูปของทศนิยมได และทศนิยมสามารถเขียนในรูปของเศษสวนไดเชนเดียวกัน เชน
1. ทําสวนใหเปน 10 , 100 , 1,000,.......
เชน 0.2 =
10
2
0.25 = 





×+





×
100
1
5
10
1
2
=
100
5
10
2
+
=
100
25
เพื่อใหเกิดความรวดเร็วในการเปลี่ยนทศนิยมเปนเศษสวน อาจทําไดโดยการเลื่อน
จุดทศนิยมและตัวหารเปนจํานวน 10, 100 หรือ 1,000 ขึ้นอยูกับจํานวนทศนิยม เชน ถาทศนิยม 1
ตําแหนง ตัวที่เปนสวนก็จะเปน 10 ถา 2 ตําแหนง ตัวที่เปนสวนก็จะเปน 100 หรือสรุปไดวา จํานวน
0 ที่ถัดเลข 1 จะเทากับจํานวนตําแหนงของทศนิยม
หมายเหตุ เศษสวนที่เปนลบเมื่อเขียนใหอยูในรูปทศนิยมจะไดทศนิยมที่เปนลบ
เชน
10
7−
= 7.0− ,
000,1
39−
= 039.0−
2.2 การเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
ทศนิยมซ้ํา คือ จํานวนเต็มของทศนิยมที่ซ้ําๆ กัน เชน 0.777.... เขียนแทนดวย 7.0 
เมื่อจะเขียนใหเปนเศษสวน สามารถทําไดดังนี้
ตัวอยางที่ 1 จงเปลี่ยน 7.0  ใหเปนเศษสวน
วิธีทํา 7.0  = 0.77777..... = X
ให X = 0.77777… -------------- (1)
(1) × 10 ------> 10X = 7.7777… -------------- (2)
(2) –(1) ------> 10X – X = 7.7777… - 0.777…
9X = 7
X =
9
7
∴ 7.0  =
9
7
ตัวอยางที่ 2 จงเปลี่ยน 312.1  เปนเศษสวน
จาก 312.1  = 1.2131313…

23
ให x = 1.2131313… -------------- (1)
(1) × 10 10x = 12.131313….. ---------------(2)
(1) × 1,000 1,000x = 1213.131313… ---------------(3)
(3) – (2) 1,000x – 10x = 1213 – 12
990x = 1213 – 12
x =
990
121213 −
x =
990
1201
ดังนั้น 312.1  =
990
1201
จากตัวอยาง สรุปไดวา การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวนโดยวิธีลัด ทําไดดังนี้
1. 7134.0  =
9900
373417 −
=
9900
3383
เศษ เขียนจํานวนทั้งหมดลบดวยจํานวนที่ไมซ้ํา สวน แทนดวย 9 เทากับจํานวนที่ซ้ําและ
แทนดวย 0 เทากับจํานวนไมซ้ํา
2. 513.1  =
990
131315 −
=
990
1302
=
495
651
3. 3410.3  =
9900
31031043 −
=
9900
30733

24
1. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้ใหเปนทศนิยม โดยการทําสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000, .......
1)
4
9
2)
4
3
1
........................................................... ............................................................
............................................................ ............................................................
3)
40
39
4)
25
7
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
5)
8
1
6)
125
8
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
2. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้เปนทศนิยม โดยการหารเศษสวน
1)
11
9
2)
7
1
3
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
3)
16
7
4)
4
5
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
5)
6
5
6)
5
3
8
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม
3.1 การเปรียบเทียบเศษสวน

25
เศษสวนที่เทากัน
การหาเศษสวนที่เทากัน ใชจํานวนที่ไมเทากับศูนยมาคูณหรือหารทั้งตัวเศษและ
ตัวสวน
เชน
4
3
=
24
23
×
×
=
8
6
4
3
=
8
6
=
12
9
เปนเศษสวนที่เทากัน
4
3
=
34
33
×
×
=
12
9
18
12
=
218
212
÷
÷
=
9
6
3
2
9
6
18
12
== เปนเศษสวนที่เทากัน
18
12
=
618
612
÷
÷
=
3
2
เศษสวนที่ไมเทากัน
การเปรียบเทียบเศษสวนที่ไมเทากันตองทําสวนใหเทากัน โดยนํา ค.ร.น. ของตัว
สวนของเศษสวนที่ตองการเปรียบเทียบกัน คูณทั้งตัวเศษและตัวสวน เมื่อตัวสวนเทากันแลวใหนํา
ตัวเศษมาเปรียบเทียบกัน
เชน
5
4
มากกวาหรือนอยกวา
10
7
ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คือ 10
5
4
=
25
24
×
×
=
10
8
จะเห็นวา 8 > 7
ดังนั้น
10
7
10
8
> หรือ
10
7
5
4
>
ยังมีวิธีเปรียบเทียบโดยใชผลคูณไขว ถาผลคูณขางใดมีคามากกวา เศษสวนขางนั้น
จะมีคามากกวา
เชน
5
4
10
7
เปรียบเทียบ 104× กับ 75× จะเห็นวา 3540 >
10
7
5
4
>
ตัวอยางที่ 1 จงเปรียบเทียบ
12
7
และ
18
11

26
วิธีที่ 1 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 ได 36
ทําสวนของเศษสวนทั้งสองใหเปน 36
312
37
×
×
=
36
21
218
211
×
×
=
36
22
จะได
36
22
>
36
21
18
11
>
12
7
วิธีที่ 2
12
7
18
11
ผลจากการคูณไขว จะได
7 × 18 และ 12 × 11
จะเห็นวา 126 < 132
12
7
<
18
11
2.1 เปรียบเทียบทศนิยม
การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนบวก ใหพิจารณาเลขโดดจากซายไปขวา ถาเลขโดด
ตัวใดมีคามากกวาทศนิยม จํานวนนั้นจะมีคามากกวา เชน 38.586 กับ 38.498 ทศนิยมใน
ตําแหนงที่ 1 ของทั้ง 2 จํานวนมีเลขโดดคือ 5 และ 4 ตามลําดับ จะเห็นไดวา 5 มากกวา 4
ดังนั้น 38.586 มากกวา 38.498
การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนลบ เชน -0.7 กับ -0.8
คาสัมบูรณของ -0.7 เทากับ 0.7
คาสัมบูรณของ -0.8 เทากับ 0.8
จํานวนที่มีคาสัมบูรณนอยกวาจะเปนจํานวนที่มีคามากกวา ดังนั้น
- 0.7 มากกวา - 0.8
1. ใหเติมตัวเศษหรือตัวสวนของเศษสวนลงใน เพื่อใหไดเศษสวนที่เทากัน

27
2. ใหเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ลงใน ใหถูกตอง
3. ใหนักศึกษาเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ระหวางจํานวนสองจํานวน
1) -0.500 ..............0.501 2) 103.012 ...................... – 0.501
3) 5.28 .................... 5.82 4) – 5.28 .......................... -5.28

28
5) 8.354 ................. 8.534 6) -8.544 ........................... -8.534
7) -13.06 ................. 13.06 8) 103.012 ....................... -103.012
9) -5.125 .................. -5.1250 10) -7.10 ......................... -7.01
4. ใหนักศึกษาเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากคานอยไปคามาก
1) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000
2) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017
3) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500
4) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50
เรื่องที่ 4 การบวก ลบ คูณ หารเศษสวนและทศนิยม
4.1 การบวกเศษสวน
วิธีการหาผลบวกของเศษสวน สามารถทําไดดังนี้

29
1) หา ค.ร.น.ของตัวสวน
2) ทําเศษสวนแตละจํานวนใหมีตัวสวนเทากับ ค.ร.น.ที่หาไดจากขอ 1
3) บวกตัวเศษเขาดวยกันโดยที่ตัวสวนยังคงเทาเดิม
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลบวก
วิธีทํา ค.ร.น. ของ 3 กับ 4 คือ 12
=
12
9
12
4
+
ตอบ
4.2 การลบเศษสวน
การลบเศษสวน ใชหลักการเดียวกันกับการลบจํานวนเต็ม คือ
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลบ
วิธีทํา ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คือ 12
=
= 





×
×
+





×
×
112
17
26
25
=
=
12
7
12
10
+
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ

30
=
12
17
=
12
5
1
ตอบ

31
1. ใหหาผลลัพธตอไปนี้
2. ใหเติมจํานวนลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง
3. ใหหาจํานวนมาเติมลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง

32
4.5 การคูณเศษสวน

33
ผลคูณของเศษสวนสองจํานวน คือ เศษสวนซึ่งมีตัวเศษเทากับผลคูณของตัวเศษสอง
จํานวนและตัวสวนเทากับผลคูณของตัวสวนสองจํานวนนั้น
เมื่อ
b
a
และ
d
c
เปนเศษสวน ซึ่ง b , d 0
ผลคูณของ
b
a
และ
d
c
หาไดจากกฎ
b
a
×
d
c
=
db
ca
×
×
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลคูณของจํานวน
วิธีทํา
=
=
ตอบ
ตัวอยางที่ 2 จงหาผลคูณของ
101
25
5
2
2
1
××
101
5
1
1
1
1
××
=
10111
511
××
××
=
101
5
ตอบ
101
5

34
จงหาผลคูณตอไปนี้
1)
5
1
1
3
1
2 ×
2)
9
5
5
1
1 ×
3)
9
1
1
11
2
5 ×
4)
10
7
3
2
16 ×
5)
5
2
1
3
2
2
16
5
××
6)
6
1
4
3
3
2
6 ××
7)
18
35
25
24
49
15
××
8)
22
10
25
11
27
10
25
24
×××
4.6 การหารเศษสวน

35
การหารจํานวนที่เปนเศษสวนไมมีสมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู
เมื่อ
b
a
และ
d
c
แทนเศษสวนใดๆ และ
พิจารณาผลหารที่เกิดจากการหาร
b
a
ดวย
d
c
ดังนี้
d
c
b
a
÷ =
d
c
b
a
=
c
d
d
c
c
d
b
a
×
×
=
1
c
d
b
a
×
=
c
d
b
a
×
d
c
b
a
÷ =
c
d
b
a
×
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลหารของ
=
ตอบ

36
1. จงหาผลลัพธตอไปนี้
4.7 การนําความรูเรื่องเศษสวนไปใชในการแกโจทยปญหา

37
โจทยปญหาเศษสวน
การทําโจทยปญหาเศษสวน ควรกําหนดจํานวนทั้งหมดเปน 1 หนวย แลวดําเนินการตาม
โจทย เชน นักเรียนหองหนึ่ง เปนชาย
5
3
ของจํานวนนักเรียนในหอง
ดังนั้น หองนี้เปนนักเรียนหญิง 1 -
5
3
=
5
2
ของจํานวนนักเรียนในหอง
ตัวอยางที่ 1 ถังใบหนึ่งจุน้ํา 140 ลิตร มีน้ําอยู
4
3
ถัง หลังจากใชน้ําไปจํานวนหนึ่งจะ
เหลือน้ําอยู
2
1
ถัง จงหาวาใชน้ําไปเทาไหร
วิธีทํา มีน้ําในถัง
4
3
× 140 = 105 ลิตร
หลังจากใชน้ําเหลือน้ําในถัง ×
2
1
140 = 70 ลิตร
ดังนั้นใชน้ําไปจํานวน 70105 − = 35 ลิตร

38
1. ใหหาคําตอบของโจทยปญหาตอไปนี้
1) ตองมีเงิน 320 บาท ซื้อรองเทา
5
2
ของเงินทั้งหมด ซื้อเสื้อ
16
5
ของเงินที่เหลือ จง
หาวาตองเหลือเงินเทาไร
2) หองประชุมหองหนึ่งมีความยาวเปน
4
3
3 ของความกวาง และความกวางเปน
5
2
4 ของ
ความสูง ถาหองสูง
2
1
3 เมตร และมีนักเรียน 462 คน จงหาวา โดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่งมีอากาศ
หายใจกี่ลูกบาศกเมตร
3) จางคนปลูกหญาบนสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง
5
4
6 เมตร ยาว
2
1
10 เมตร ใน
ราคาตารางเมตรละ 45 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร
4) โทรทัศนเครื่องหนึ่งประกาศลดราคาลง
4
1
ของราคาที่ปดไวเดิม แตผูซื้อเปนเพื่อน
กับผูขายลดใหอีก
5
1
ของราคาที่ประกาศลดแลวในครั้งแรก ซึ่งปรากฏวาผูซื้อจายไป 4,200 บาท
จงหาวาโทรทัศนเครื่องนี้ปดราคาเดิมไวเทาไร
5) ในการเดินทางครั้งหนึ่งเสียคาที่พัก
5
2
ของคาใชจายทั้งหมด คาเดินทาง
4
1
ของ
คาใชจายทั้งหมด คาใชจายอื่น ๆ คิดเปนเงิน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทั้งหมดเปนเงินเทาไร

39
4.8 การบวก และการลบทศนิยม
การหาผลบวกของทศนิยมใดๆ จะใชหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
2. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนลบ
3. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาลบ
กันแลวตอบเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา
การหาผลลบของทศนิยมใด ๆ ใชขอตกลงเดียวกันกับที่ใชในการหาผลลบของจํานวน
เต็ม คือ
สรุป การบวกและการลบทศนิยม จะตองตั้งใหจุดทศนิยมตรงกันกอน แลวจึงบวก
ลบ จํานวนในแตละหลัก ถาจํานวนตําแหนงทศนิยมไมเทากัน นิยมเติมศูนยขางทายเพื่อให
จํานวนตําแหนงทศนิยมเทากัน
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ

40
1. จงเติมผลลัพธตอไปนี้

41
4.9 การคูณทศนิยม
การคูณทศนิยม มีหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปน
2. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปน
3. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณ
กันแลวตอบเปนจํานวนลบ
หมายเหตุ ผลคูณทศนิยม จะมีจํานวนหลักทศนิยมเทากับผลบวกของจํานวนหลัก
ทศนิยมของตัวตั้งและจํานวนหลักทศนิยมของตัวคูณ
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลคูณของ
1. 1.25 ×2.431
1.25 ×2.431 = 2.431 × 1.25
2.431
12155
125
4862
303875 0
2431 0
∴ 1.25 ×2.431 = 3.03875
2. -5.12 × 0.125
512
2560
125
1024
64000 0
512 0
∴-5.12 × 0.125 = - 0.64000 = -0.64
×
×

42
4.10 การหารทศนิยม
การหารทศนิยม มีหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปน
2. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปน
3. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหาร
กันแลวตอบเปนจํานวนลบ ขอสําคัญตองทําใหตัวหารเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ
1. 15.015 ÷(-0.15)
วิธีทํา 15.015 ÷(-0.15) =
15.0
015.15
−
=
10015.0
100015.15
×−
×
=
15
5.1501
−
1.100
15
5.150115
00
0
01
0
15
15
∴15.015 ÷(-0.15) = -100.1
2. (-37.65) ÷ (-1.5)
วิธีทํา (-37.65) ÷ (-1.5) =
5.1
65.37
−
−
=
105.1
1065.37
×
×
=
15
5.376
1.125
30
5.37615
76
75
15
15
∴(-37.65) ÷ (-1.5) = 25.1

43
1. จงหาคาของ
1) {(-12.4) ×33.6} +{(-12.4 × 66.4)
………………………………………………………………………………………………...
2) {(-3.145) × 2.76} + {(-27.39) ÷18.26}
………………………………………………………………………………………………...
3) (-14.307 – 2.809) + (6.78 ÷1.5)
………………………………………………………………………………………………...
4) {(0.036 ÷0.15) + (-4.07 ×1.1)} ของ (-5.8)
………………………………………………………………………………………………...
5) (-1.58 ÷0.15) – [ 2×(-3.6)]
………………………………………………………………………………………………...

44
4.11 การนําความรูเรื่องทศนิยมไปใชในการแกโจทยปญหา
ตัวอยางที่ 1 เหล็กเสนกลมขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร ยาว 1 เมตร จะ
หนัก 3.862 กิโลกรัม ถาเหล็กเสนขนาดเดียวกันนี้ยาว 1.25 เมตร จะหนักกี่กิโลกรัม
วิธีทํา เหล็กเสนกลมมีขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร
และยาว 100 เซนติเมตร หนัก 3.862 กิโลกรัม
ถายาว 1 เซนติเมตร หนัก 03862.0
100
862.3
= กิโลกรัม
ดังนั้น เหล็กเสนขนาดเดิมแตยาว 125 เซนติเมตร หนัก 12503862.0 ×
= 8275.4 กิโลกรัม
เหล็กเสนขนาดเดิมยาว 25.1 เมตร หนัก 8275.4 กิโลกรัม
ตัวอยางที่ 2 รูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปหนึ่งมีพื้นที่ 11.3364 ตารางเซนติเมตร ถาดานยาว
เทากับ 4.23 เซนติเมตร ดานยาวยาวกวาดานกวางเทาไร
วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว
11.3364 = กวาง × 4.23
ดังนั้น กวาง =
23.4
3364.11
= 68.2 เซนติเมตร
ดานยาวยาวกวาดานขาง = 68.223.4 −
= 55.1 เซนติเมตร
ดานยาวยาวกวาดานกวาง = 55.1 เซนติเมตร

45
1. ใหนักศึกษาแกปญหาโจทยตอไปนี้
1) เชือกยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหนึ่งยาว 5.2 เมตร มาผูกตอกันทําใหเสียเชือกตรง
รอยตอ 0.15 เมตร นําเชือกที่ตอแลวมาวางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5
เมตร ดานยาวจะยาวดานละกี่เมตร
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
2. น้ําตาลถุงหนึ่งหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม
จะใชน้ําตาลไดทั้งหมดกี่วัน
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
3. หองรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นํากระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 32
ตารางเซนติเมตร มาปูหองจะตองใชกระเบื้องกี่แผน
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
4. มีทองคําแทงหนึ่งหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม แบงขายไปสองครั้ง หนักครั้งละ
8.02 กรัม ที่เหลือนําไปทําแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทาๆ กัน จะเหลือทองอีกกี่กรัม
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………

46
บทที่ 3
เลขยกกําลัง
สัญลักษณของการเขียนแทนการคูณจํานวนเดียวกันซ้ํา ๆ หลาย ๆ ครั้ง เขียนแทนดวย n
a
อานวา a ยกกําลัง n และการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได
1. บอกความหมายและเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่
กําหนดใหได
2. บอกและนําเลขยกกําลังมาใชในการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได
3. อธิบายการคูณและหารของเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มได
เรื่องที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง
เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
เรื่องที่ 3 การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

47
เรื่องที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง
เลขยกกําลัง หมายถึง การใชสัญลักษณ เขียนแทนจํานวนที่เกิดขึ้นจากการคูณ ซ้ําๆ กัน
หลายๆ ครั้ง เชน 3333 ××× สามารถเขียนแทนไดดวย 4
3 อานวา สามยกกําลังสี่ ซึ่งมีบทนิยาม
ดังนี้
บทนิยาม
n
a
ถา a แทนจํานวนใด ๆ และ n แทนจํานวนเต็มบวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a
กําลัง n” เขียนแทนดวย =   
n
aaaa ×××× ......
เรียก n
a วาเลขยกกําลังที่มี a เปนฐานและ n เปนเลขชี้กําลัง เชน
5
4 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4
5
4 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขชี้กําลัง
สัญลักษณ 5
4 อานวา “สี่ยกกําลังหา” หรือ “สี่กําลังหา” หรือกําลังหาของสี่
( )6
2− แทน ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2−
( )6
2− มี ( )2− เปนฐาน และมี 6 เปนเลขชี้กําลัง
ในทํานองเดียวกันสัญลักษณ ( )6
2− อานวา “ลบสองทั้งหมดยกกําลังหก” หรือกําลัง
หกของลบสอง
จงพิจารณาตารางตอไปนี้
เลขยกกําลัง ฐาน เลขชี้กําลัง เขียนในรูปของการคูณ แทนจํานวน
3
3 3 3 3×3×3 27
5
4 4 5 4×4×4×4×4 1,024
( )4
2− -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16
2
2
1






2
1 2
2
1
×
2
1
4
1
y
x x y X×X×X…(y ครั้ง) X×X×X…(y ครั้ง)
ตัวอยาง จงตอบคําถามตอไปนี้
1. 3
8 อานวาอยางไร
2. 3
10 มีจํานวนใดเปนฐาน
3. 5
11 มีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง
4. 3
5 มีความหมายอยางไร
5. ( )5
5− อานวาอยางไร
วิธีทํา 1. 3
8 อานวา 8 ยกกําลัง 3
2. 3
10 มี 10 เปนฐาน
3. 5
11 มี 5 เปนเลขชี้กําลัง
4. 3
5 มีความหมายเทากับ 5 ×5×5
5. ( )5
5− อานวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกําลังหา

48
1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 พรอมทั้ง
บอกฐานและเลขชี้กําลัง
1.1 25 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.2 64 = ……………………………….=…………………………..
1.3 169 = ……………………………….=…………………………..
1.4 729 = ……………………………….=…………………………..
1.5 -32 = ……………………………….=…………………………..
1.6 -243 = ……………………………….=…………………………..
1.7 0.125 = ……………………………….=…………………………..
2. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปนี้
2.1 8
2 =…………………………………=………………………………
2.2 ( )4
3− =…………………………………=………………………………
2.3 ( )5
3.0 =…………………………………=………………………………
2.4 ( )6
02.0 =…………………………………=………………………………
2.5
3
3
1






=…………………………………=………………………………
2.6
3
7
2






=…………………………………=………………………………
2.7 ( )4
5− =…………………………………=………………………………
2.8 3
2− =…………………………………=………………………………
2.9
5
10
1






=…………………………………=………………………………
2.10 ( )6
5.0 =…………………………………=………………………………

49
เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
การเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร มีรูปทั่วไปเปน A × n
10
เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม
พิจารณาการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรตอไปนี้
1. 2,000 = 2 × 1,000
= 2 × 3
10
2. 800,000 = 8 × 100,000
= 8 × 5
10
ตัวอยางที่ 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา 600,000,000 = 6 × 100,000,000
= 6 × 8
10
ตอบ 6 × 8
10
ตัวอยางที่ 2 จงเขียน 73,200,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา 73,200,000 = 732 × 100,000
= 7.32 × 100 × 100,000
= 7.32 × 2
10 × 5
10
= 7.32 × 7
10
ตัวอยางที่ 3 ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขียนใหอยูใน
รูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร
113,000,000 = 113 × 1,000,000
= 113 × 100 × 1,000,000
= 1.13 × 2
10 × 6
10
= 1.13 × 8
10
ตอบ 1.13 × 8
10 เมตร

50
1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
1. 400,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. 23,000,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. 639,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
4. 247,500,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กิโลเมตร จงเขียนใหอยูในรูปสัญกรณ
วิทยาศาสตร
1,430,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปนี้แทนจํานวนใด
3.1 2 × 6
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.2 4.8 × 13
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.3 4.03 × 9
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.4 9.125 × 5
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………

51
3. การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเปนเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
3.1 การคูณเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
พิจารณาการคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันตอไปนี้
3
2 × 4
2 = ( ) ( )2222222 ××××××
= 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2
= 7
2 หรือ 43
2 +
32
33 × = ( ) ( )33333 ××××
= 3 × 3 × 3 × 3 ×3
= 5
3 หรือ 32
3 +
23
3
1
3
1






×





=












×





×












×





×





3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
= 





×





×





×





×





3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
=
5
3
1






หรือ 23
3
1
+





การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไป
ตามสมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้
เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ m และ n แทนจํานวนเต็มบวก nm
aa × = nm
a +

52
1.1 65
22 × =……………………………=…………………………………
1.2 25
32 × =……………………………=…………………………………
1.3 ( )3
32× =……………………………=…………………………………
1.4 ( )2
75.0 =……………………………=…………………………………
1.5 2
2
3
3
1
×




 −
=……………………………=…………………………………
1.6 ( )3
23×− =……………………………=…………………………………
1.7
43
2
5
5
2






×





=……………………………=…………………………………
1.8
56
2
7
7
1






×





=……………………………=…………………………………
1.9 ( )
4
3
2
1
5.0 





=……………………………=…………………………………
1.10 ( ) ( )32
1111 −− =……………………………=…………………………………
2. จงเขียนผลคูณของจํานวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลัง
2.1 732
222 ×× =……………………………=…………………………………
2.2 ( ) ( ) ( )53
333 −×−×− =……………………………=………………………………
2.3 5 × 625 × 2
5 =……………………………=…………………………………
2.4 121 × 11 × 2
11 =……………………………=…………………………………
2.5 ( ) ( ) ( )734
333 −×−×− =……………………………=………………………………

53
การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนยมีเลขชี้กําลังเปน
จํานวนเต็มบวกในรูปของ
3.2 การหารเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
m
a ÷ n
a จะพิจารณาเปน 3 กรณี คือ เมื่อ m > n , m = n และ m <
n ดังนี้
กรณีที่ 1 m
a ÷ n
a เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m,n แทนจํานวนเต็มบวก
และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกําลังตอไปนี้
1. 2
5
2
2
=
22
22222
×
××××
= 222 ××
= 3
2 หรือ 25
2 −
2.
7
5
3
3
=
33333
3333333
××××
××××××
= 2
3 หรือ 57
3 −
3. ( )
( )3
8
5
5
−
−
= ( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )555
55555555
−−−
−−−−−−−−
= ( )( )( )( )( )55555 −−−−−
= ( )5
5− หรือ ( ) 38
5
−
−
จากการหารเลขยกกําลังขางตนจะเห็นวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิม
และเลขชี้กําลังเทากับเลขชี้กําลังของตัวตั้ง ลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร ซึ่งเปนไปตามสมบัติของ
การหารเลขยกกําลังดังนี้
เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก และ m > n
nm
aa ÷ = nm
a −

54
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลัพธ 410
55 ÷
วิธีทํา 4
10
5
5
= 410
5 −
= 6
5
ตอบ 6
5
ตัวอยางที่ 2 จงหาผลลัพธ ( ) ( )36
2.02.0 ÷
วิธีทํา ( )
( )3
6
2.0
2.0
= ( ) 36
2.0
−
= ( )3
2.0
= ( )( )( )2.02.02.0
= 008.0
ตอบ 008.0
กรณีที่ 2 nm
aa ÷ เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก
และ m = n พิจารณา 44
55 ÷
ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลังจะได 4
4
5
5
=
5555
5555
×××
×××
= 1
ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง nm
aa ÷ = nm
a −
, oa ≠ ในกรณีที่ m = n จะได
4
4
5
5
= 44
5 −
= 0
5
แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังดังที่แสดงไวขางตน เราไดวา 155 44
=÷
ดังนั้น เพื่อใหสมบัติของการหารเลขยกกําลัง nm
aa ÷ = nm
a −
ใชไดในกรณีที่ m = n
ดวยจึงตองให 150
= ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ 0
a ดังนี้
จะเห็นวา nm
aa ÷ = nm
a −
, oa ≠ เปนจริงในกรณีที่ m = n ดวย
บทนิยาม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย 10
=a

55
53
7
77 ×
53
7
77 ×
= 8
83
7
7 +
= 8
8
7
7
= 88
7 −
= 0
7
= 1
ตอบ 1
กรณีที่ 3 nm
aa ÷ เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก
และ m < n พิจารณา 85
22 ÷ ถาใชบทนิยามของเลขยกกําลัง
จะได 8
5
2
2
=
22222222
22222
×××××××
××××
=
222
1
××
= 3
2
1
ถาลองใชสมบัติของการหารเลขยกกําลัง nm
aa ÷ = nm
a −
, 0≠a ในกรณีที่ m < n
จะได
8
5
2
2
= 85
2 −
= 3
2−
แตจากการใชบทนิยามของเลขยกกําลังขางตน เราไดวา 85
22 ÷ = 3
2
1
ดังนั้นเพื่อให
สมบัติของการหารเลขยกกําลัง nm
aa ÷ = nm
a −
ใชไดในกรณีที่ m < n ดวยจึงตองให
3
3
2
1
2 =−
ในกรณีทั่ว ๆ ไปมีบทนิยามของ n
a−
ดังนี้
บทนิยาม เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนยและ n แทนจํานวนเต็มบวก
n
a−
= n
a
1

56
746
111111
111111
××
××
ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนบวก
746
111111
111111
××
××
= 2313
746
11
11
++
++
= 18
17
11
11
= 1817
11 −
= 1
11−
=
11
1
ตอบ
11
1

57
1. จงหาผลลัพธ
1.1 29
22 ÷
1.2 336
÷
1.3 63
1111 ÷
1.4
24
5
1
5
1






÷





1.5 ( ) ( )45
03.003.0 ÷
1.6 ( )
7
5
5
4
8.0 





÷
1.7 ( ) 743
555 ÷×
1.8 ( ) 46
777 ÷×
1.9 ( )542
131313 ÷×
1.10 ( ) 476
mmm ×÷ เมื่อ 0≠m
2. จงหาผลลัพธตอไปนี้ในรูปที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก
2.1 43
55 −
×
2.2 2
68
3
33 −
×
2.3 44 6
÷−
2.4
( )0
16
2
22
−
× −
2.5 ( )
( )3
2
5.1
5.1
2.6 52
xx ÷ เมื่อ 0≠x
2.7 ( ) ( )503
aaaa ×÷× เมื่อ 0≠a
2.8 5
7
−
−
m
m
เมื่อ 0≠m

58
บทที่ 4
อัตราสวนและรอยละ
1. อัตราสวนเปนการเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณขึ้นไป จะมีหนวยเหมือนกัน หรือ
ตางกันก็ได
2. รอยละเปนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณหนึ่ง ตอ 100
1. บอกและกําหนดอัตราสวนได
2. สามารถคํานวณสัดสวนได
3. สามารถหาคารอยละได
4. สามารถแกโจทยปญหาในสถานการณตางๆ เกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละได
เรื่องที่ 1 อัตราสวน
เรื่องที่ 2 สัดสวน
เรื่องที่ 3 รอยละ
เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละ

59
เรื่องที่ 1 อัตราสวน
อัตราสวน (Ratio) ใชเปรียบเทียบปริมาณ 2 ปริมาณ หรือมากกวาก็ได โดยที่ปริมาณ 2
ปริมาณที่นํามาเปรียบเทียบกันนั้นจะมีหนวยเหมือนกัน หรือตางกันก็ได
บทนิยาม อัตราสวนของปริมาณ a ตอ ปริมาณ b เขียนแทนดวย a : b หรือ
b
a
เรียก a วา จํานวนแรกหรือจํานวนที่หนึ่งของอัตราสวน
เรียก b วา จํานวนหลังหรือจํานวนที่สองของอัตราสวน
(อัตราสวน a : b หรือ
b
a
อานวา a ตอ b )
การเขียนอัตราสวน มี 2 แบบ
1. ปริมาณ 2 ปริมาณมีหนวยเหมือนกัน
เชน โตะตัวหนึ่งมีความกวาง 50 เซนติเมตร ยาว 120 เซนติเมตร
เขียนเปนอัตราสวนไดวา
ความกวางตอความยาวของโตะ เทากับ 50 : 120
2. ปริมาณสองปริมาณมีหนวยตางกัน
เชน นมเปรี้ยว 4 กลอง ราคา 23 บาท
เขียนเปนอัตราสวนไดวา
อัตราสวนของนมเปรี้ยวเปนกลองตอราคาเปนบาท เปน 4 : 23
ตัวอยางเชน
ถาเปนปริมาณที่มีหนวยเหมือนกัน อัตราสวนจะไมมีหนวยเขียนกํากับ เชน
มานะหนัก 25 กิโลกรัม มานีหนัก 18 กิโลกรัม
จะกลาววาอัตราสวนของน้ําหนักของมานะตอมานีเทากับ 25: 18 หรือ
18
25
ถาเปนปริมาณที่มีหนวยตางกัน อัตราสวนจะตองเขียนหนวยแตละประเภทกํากับดวย เชน
สุดาสูง 160 เซนติเมตร หนัก 34 กิโลกรัม
อัตราสวนความสูงตอน้ําหนักของสุดา เทากับ 160 เซนติเมตร : 34 กิโลกรัม

60
1. จงเขียนอัตราสวนจากขอความตอไปนี้
1). ระยะทางในแผนที่ 1 เซนติเมตร แทนระยะทางจริง 100 กิโลเมตร
……………………………………………………………………………………………...
2). รถยนตแลนไดระยะทาง 200 กิโลเมตร ในเวลา 3 ชั่วโมง
……………………………………………………………………………………………...
3). โรงเรียนแหงหนึ่งมีครู 40 คน นักเรียน 1,000 คน
……………………………………………………………………………………………...
4). อัตราการเตนของหัวใจมนุษยเปน 72 ครั้งตอนาที
……………………………………………………………………………………………...
2. สลากกินแบงรัฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลัก เชน 889748 ซึ่งมีหมายเลขตางกันทั้งหมด
1,000,000 ฉบับ ในจํานวนทั้งหมดนี้มีสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวทั้งหมด 10,000 ฉบับ ถูก
รางวัลเลขทาย 3 ตัว 4,000 ฉบับ และถูกรางวัลที่ 1 อีก 1 ฉบับ
จงเขียนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบจํานวนตอไปนี้
1) จํานวนที่ถูกรางวัลที่ 1 ตอทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
2) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 3 ตัวตอทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
3) จํานวนที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวตอทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
4) อัตราสวนของสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัว ตอเลขทาย 3 ตัว
……………………………………………………………………………………………...
3. พอคาจัดลูกกวาดคละสีขนาดเทากันลงในขวดโหลเดียวกัน โดยนับเปนชุดดังนี้ “ลูกกวาดสีแดง
3 เม็ด สีเขียว 2 เม็ด สีเหลือง 5 เม็ด” จงหา
1) อัตราสวนจํานวนลูกกวาดสีแดงตอลูกกวาดทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
2) อัตราสวนของจํานวนลูกกวาดสีแดงตอลูกกวาดสีเหลือง
……………………………………………………………………………………………...
3) ถาสุมหยิบลูกกวาดขึ้นมาจากโหลจํานวน 5 เม็ด นาจะไดลูกกวาดสีใดมากที่สุด เพราะ
เหตุใด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...

61
อัตราสวนที่เทากัน
การหาอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดให ทําไดโดยการคูณหรือหารอัตราสวน
ทั้งตัวแรกและตัวที่สองดวยจํานวนเดียวกัน ตามหลักการ ดังนี้
หลักการคูณ เมื่อคูณแตละจํานวนในอัตราสวนใดดวยจํานวนเดียวกัน โดยที่จํานวนนั้นไม
เทากับศูนย จะไดอัตราสวนใหมที่เทากับอัตราสวนเดิม
นั่นคือ
db
da
cb
ca
b
a
×
×
=
×
×
= เมื่อ c ≠ 0 และ d ≠0
หลักการหาร เมื่อหารแตละจํานวนในอัตราสวนใดดวยจํานวนเดียวกัน โดยที่จํานวนนั้นไม
เทากับศูนย จะไดอัตราสวนใหมเทากับอัตราสวนเดิม
db
da
cb
ca
b
a
÷
÷
=
÷
÷
= เมื่อ c ≠ 0 และ d ≠0
ตัวอยาง
จงหาอัตราสวนอีก 3 อัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนด
วิธีทํา 3 : 4 หรือ
16
12
44
43
4
3
=
×
×
=
36
27
94
93
4
3
=
×
×
=
44
33
114
113
4
3
=
×
×
=
ดังนั้น , , เปนอัตราสวนที่เทากับอัตราสวน 3 : 4
การตรวจสอบการเทากันของอัตราสวนใดๆ ทําไดโดยใชลักษณะการคูณไขว ไดโดยใชวิธีดังนี้
เมื่อ a , b, c และ d เปนจํานวนนับ
1) ถา cbda ×=× แลว
d
c
b
a
=
2) ถา cbda ×≠× แลว
d
c
b
a
≠

62
ตัวอยาง จงตรวจสอบวาอัตราสวนในแตละขอตอไปนี้เทากันหรือไม
1)
4
3
และ
6
5
2)
30
26
และ
45
39
1) พิจารณาการคูณไขวของ
4
3
และ
6
5
เนื่องจาก 63× = 18
54× = 20
ดังนั้น 63× ≠ 54×
4
3
≠
6
5
2) พิจารณาการคูณไขวของ
30
26
และ
45
39
เนื่องจาก 4526× = 1,170
3930× = 1,170
ดังนั้น 4526× = 3930×
30
26
=
45
39
1. ถาอัตราการแลกเปลี่ยนเงินดอลลารตอเงินหนึ่งบาทเทากับ 1 : 43 จงเติมราคาเงินในตาราง
2. จงเขียนอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหตอไปนี้มาอีก 3 อัตราสวน
1)
3
2
= ...............................................................................................................................
2)
9
5
= ...............................................................................................................................

63
3. จงตรวจสอบวาอัตราสวนตอไปนี้เทากันหรือไม
4. จงทําใหอัตราสวนตอไปนี้มีหนวยเดียวกันและอยูในรูปอยางงาย
ตัวอยาง อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 เซนติเมตร : 1.2 เมตร
มีความหมายเหมือนกับ
50 เซนติเมตร : 1.2 x 100 เซนติเมตร
ดังนั้น อัตราสวนความกวางตอความยาวของโตะเปน 50 : 120 หรือ 5 : 12
1) อัตราสวนของจํานวนวันที่นาย ก. ทํางาน ตอชั่วโมงที่นาย ข. ทํางาน เปน 2 วัน : 10 ชั่วโมง
ดังนั้น อัตราสวนเวลาที่นาย ก. ทํางาน ตอเวลาที่นาย ข. ทํางานเปน
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน 200 เมตร : 1.5
กิโลเมตร ดังนั้น อัตราสวนของระยะทางจากบานไปตลาด ตอระยะทางจากบานไปโรงเรียนเปน
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...

64
อัตราสวนตอเนื่อง (อัตราสวนของจํานวนหลาย ๆ จํานวน)
ในสถานการณจริงที่เกี่ยวกับชีวิตประจําวัน เรามักจะพบความสัมพันธของจํานวนหลาย ๆ
จํานวน เชน ขนมผิงบานคุณยาย ใชสวนผสมดังนี้
แปงขาวเจา 3 ถวยตวง
น้ํากะทิเขมขน 1 ถวยตวง
น้ําตาลมะพราว
2
1
ถวยตวง
นั่นคือ อัตราสวนของจํานวนแปงขาวเจาตอน้ํากะทิเปน 3 : 1 หรือ 6 : 2
อัตราสวนของจํานวนน้ํากะทิตอน้ําตาลมะพราวเปน 1 :
2
1
หรือ 2 : 1
อัตราสวนของจํานวนแปงขาวเจาตอน้ําตาลมะพราวเปน 3 :
2
1
หรือ 6 : 1 หรือเขียนในรูป
อัตราสวนของจํานวนหลาย ๆ จํานวน ดังนี้
อัตราสวนของแปงขาวเจาตอน้ํากะทิ ตอน้ําตาลมะพราว เปน 3 : 1 :
2
1
หรือ 6 : 2 : 1
ตัวอยาง หองเรียนหองหนึ่งมีอัตราสวนของความกวางตอความยาวหองเปน 3 : 4 และความสูงตอ
ความยาวของหองเปน 1 : 2 จงหาอัตราสวนของความกวาง : ความยาว : ความสูงของหอง
วิธีทํา อัตราสวนความกวาง : ความยาวของหอง เทากับ 3 : 4
อัตราสวนความสูง : ความยาวของหอง เทากับ 1 : 2 หรือ 1 x 2 : 2 x 2
เทากับ 2 : 4
นั่นคือ อัตราสวนความกวางตอความยาว ตอความสูงของหอง
เทากับ 3 : 4 : 2

65
1. พอแบงเงินใหลูกสามคนโดยกําหนด
อัตราสวนของจํานวนเงินลูกคนโต ตอคนกลาง ตอคนเล็กเปน 5 : 3 : 2 จงหาอัตราสวนตอไปนี้
1) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนโตไดรับตอลูกคนเล็ก
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนเล็กไดรับตอลูกคนกลาง
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
3) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนกลางไดรับตอเงินทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
4) อัตราสวนจํานวนเงินที่ลูกคนเล็กไดรับตอเงินทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2. เศรษฐีคนหนึ่งไดเขียนพินัยกรรมไวกอนจะเสียชีวิตวา ถาภรรยาที่กําลังตั้งครรภคลอดลูกเปนชาย
ใหแบงเงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรชายเปน 1 : 2 แตถาคลอดลูกเปนหญิง
ใหแบงเงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรหญิงเปน 2 : 1 เมื่อเศรษฐีคนนี้เสียชีวิต
ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลูกแฝด เปนชาย 1 คน หญิง 1 คน จงหาอัตราสวนของเงินในพินัยกรรม
ของภรรยาตอบุตรชาย ตอบุตรหญิง
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

66
เรื่องที่ 2 สัดสวน
สัดสวนเปนการเขียนแสดงการเทากันของอัตราสวนสองอัตราสวน
เชน a : b = c : d หรือ
d
c
b
a
= อานวา เอตอบี เทากับ ซีตอดี
ตัวอยางที่ จงหาคา m ในสัดสวน
12
53
=
m
12
53
=
m
5
3
12
5
3
5
3
×
×
=
m
(ทําเศษใหเทากับ 3 โดยคูณดวย
5
3
)
2.7
33
=
m
ดังนั้น m มีคาเทากับ 7.2
12
53
=
m
12
53
=
m
(คูณไขว)
m=
×
5
123
ดังนั้น m= 7.2
1. จงเขียนสัดสวนจากอัตราสวนตอไปนี้
1) 3 ตอ 4 เทากับ 6 ตอ 8 ……………………………………………………..
2) A ตอ 7 เทากับ 9 ตอ 27 ……………………………………………………..
3) 12 ตอ 10 เทากับ B ตอ 5 ……………………………………………………..
4) 5 ตอ 4 เทากับ 65 ตอ D ……………………………………………………..
2. จงหาคาตัวแปรจากสัดสวนที่กําหนดใหตอไปนี้
1)
15
12
3
=
A
……………………………………………………..………………………………………………
2)
28
213
=
B
……………………………………………………..………………………………………………

67
การแกโจทยปญหาโดยใชสัดสวน
ในชีวิตประจําวันเราจะพบสถานการณที่ตองแกไขปญหาโดยการใชหลักการคิดคํานวณ
เชน
กําหนดอัตราสวนของเครื่องดื่มโกโกสําเร็จรูป 1 ถวย ตอผงโกโก 2 ชอนโตะ ตอน้ําตาล
1 ชอนโตะ ตอน้ําตมสุก 1 ถวย เทากับ 1 : 2 : 1 : 1
ถามีผงโกโกทั้งหมด 30 ชอนโตะ
สมมติวา ชงเครื่องดื่มได A ถวย ใชน้ําตาล B ชอนโตะ ครีมเทียม C ชอนโตะ และน้ําตมสุก
D ถวย
ดังนั้น อัตราสวนของจํานวนถวยโกโกที่ชงไดตอจํานวนผงโกโก เทากับ 1 ถวย ตอ 2 ชอน
โตะ หรือ A ถวย ตอ 30 ชอนโตะ
นั่นคือ 1 : 2 = A : 30
หรือ
2
1
=
30
A
จะไดวา 1 x 30 = A x 2
A = 15
ดังนั้น ผงโกโก 30 ชอนโตะ จะชงเครื่องดื่มได 15 ถวย
ตัวอยาง ซื้อสมโอมา 3 ลูก ราคา 50 บาท ถามีเงิน 350 บาท จะซื้อสมโอในอัตราเดิมไดกี่ลูก
วิธีทํา สมมติ มีเงิน 350 บาท ซื้อสมโอได A ลูก
ราคาของสมโอ 50 บาท ซื้อได 3 ลูก
จะไดวา A × 50 = 3 × 350
50
50×Ä
=
50
3503×
A = 21
จะซื้อสมโอได 21 ลูก

68
1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงินเทาไร
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
2. กศน.แหงหนึ่งมีนักศึกษาทั้งหมด 400 คน มีจํานวนนักศึกษาหญิงตอจํานวนนักศึกษาชาย
เปน 5: 3 จงหาวา มีนักศึกษาชายกี่คนและนักศึกษาหญิงกี่คน
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
3. พอแบงมรดกใหลูกสองคน โดยอัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสวนแบงลูกคนเล็ก
เปน 7: 3 ถาลูกคนโตไดเงินมากกวาลูกคนเล็ก 80,000 บาท จงหาสวนแบงที่แตละคนไดรับ
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………
……………………………………………………..………………………………………………

69
เรื่องที่ 3 รอยละ
ในชีวิตประจําวัน ผูเรียนจะเห็นวาเราเกี่ยวของกับรอยละอยูเสมอ เชน การซื้อขาย กําไร
ขาดทุน การลดหรือการเพิ่มที่คิดเปนรอยละ การคิดภาษีมูลคาเพิ่ม ฯลฯ
คําวา รอยละ หรือ เปอรเซ็นต เปนอัตราสวนแสดงการเปรียบเทียบปริมาณใดปริมาณ
หนึ่งตอ 100 เชน
รอยละ 50 หรือ 50% เขียนแทนดวย 50:100 หรือ
100
50
รอยละ 7 หรือ 7% เขียนแทนดวย 7:100 หรือ
100
7
การเขียนอัตราสวนใดใหอยูในรูปรอยละ จะตองเขียนอัตราสวนนั้นใหอยูในรูปที่มีจํานวน
หลังอัตราสวนเปน 100 ดังตัวอยางตอไปนี้
80
100
80
5
4
== %
20
100
20
10
2
2.0 === %
การเขียนรอยละใหเปนอัตราสวนทําไดโดยเขียนอัตราสวนที่มีจํานวนหลังเปน 100
ดังตัวอยางตอไปนี้
33% =
100
33
25.75 % =
400
103
10000
2575
100
75.25
==
ตัวอยาง จงเขียน
7
3
ใหอยูในรูปรอยละ
วิธีทํา วิธีที่ 1
7
3
ทําใหอัตราสวน โดยมีจํานวนหลังของอัตราสวนเปน 100
7
3
=
7
100
7
7
100
3
×
×
=
100
7
300
7
3
คิดเปนรอยละ
7
300
หรือ
7
300
%
7
3
สมมติ = รอยละ A หรือ
100
A
3 x 100 = A x 7
A =
7
300
7
1003
=
×

70
การคํานวณเกี่ยวกับรอยละ
ผูเรียนเคยคํานวณโจทยปญหาเกี่ยวกับรอยละมาแลวโดยไมไดใชสัดสวน ตอไปนี้จะเปนการ
นําความรูเรื่องสัดสวนมาใชคํานวณเกี่ยวกับรอยละ ซึ่งจะพบใน 3 ลักษณะ ดังตัวอยางตอไปนี้
1. 25% ของ 60 เทากับเทาไร หมายความวา ถามี 25 สวนใน 100 สวน แลวจะมีกี่สวน
ใน 60 สวน
ใหมี a สวนใน 60 สวน
เขียนสัดสวนไดดังนี้
100
25
60
=
a
จะได 2560100 ×=×a
100
2560×
=a
ดังนั้น 15=a
นั่นคือ 25% ของ 60 คือ 15
2. 9 เปนกี่เปอรเซ็นตของ 45 หมายความวา ถามี 9 สวนใน 45 สวน แลวจะมีกี่สวน
ใน 100 สวน
ให 9 เปน x% ของ 45
x% หมายถึง
100
x
10045
9 x
=
จะได x×=× 451009
45
1009×
=x
ดังนั้น 20=x
นั่นคือ 9 เปน 20% ของ 45
3. 8 เปน 25% ของจํานวนใด หมายความวา ถามี 25 สวนใน 100 สวน แลวจะ
มี 8 สวนในกี่สวน
ให 8 เปน 25% ของ y
100
258
=
y
จะได 251008 ×=× y
25
1008×
=y
ดังนั้น 32=y
นั้นคือ 8 เปน 25% ของ 32

71
1. จงแสดงวิธีหาคําตอบ
1) 15% ของ 600 เทากับเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) 120% ของ 40 เทากับเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
3) 28 คิดเปนกี่เปอรเซ็นต ของ 400
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
4) 1.5 เปนกี่เปอรเซ็นตของ 6
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
5) 180 เปน 30 % ของจํานวนใด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
6) 0.125 เปน 25% ของจํานวนใด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...

72
เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอัตราสวน สัดสวน และรอยละ
ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางโจทยปญหาและวิธีแกปญหาเกี่ยวกับรอยละ โดยใชสัดสวน
หรืออัตราสวน ตอไปนี้
ตัวอยาง 1 ในหมูบานแหงหนึ่งมีคนอาศัยอยู 1,200 คน 6% ของจํานวนคนที่อาศัยอยูในหมูบาน
ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง จงหาจํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานแหงนี้
ใหจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปอง เปน s คน
อัตราสวนของจํานวนคนที่ทํางานในโรงงานตอจํานวนคนทั้งหมด เปน
200,1
s
อัตราสวนดังกลาวคิดเปน
100
6
%6 =
100
6
200,1
=
s
จะได 6200,1100 ×=×s
100
6200,1 ×
=s
ดังนั้น 72=s
นั่นคือ จํานวนคนงานที่ทํางานในโรงงานสับปะรดกระปองเปน 72 คน
ตอบ 72 คน
โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียน 1,800 คน นักเรียนคนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัมมีอยู 81 คน จง
หาวา จํานวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม คิดเปนกี่เปอรเซ็นตของจํานวนนักเรียนทั้งหมด
ตัวอยางที่ 2
ใหจํานวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัม เปน n% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด
800,1
81
100
=
n
จะได 81100800,1 ×=×n
800,1
81100×
=n
ดังนั้น 5.4=n
นั่นคือ จํานวนนักเรียนที่หนักเกิน 60 กิโลกรัมคิดเปน 4.5% ของจํานวนนักเรียนทั้งหมด
ตอบ 4.5 เปอรเซ็นต

73
จงแสดงวิธีหาคําตอบ
1. นักศึกษา กศน. 500 คน สอบไดเกรด 4 จํานวน 25% ของทั้งหมด จงหาจํานวนนักศึกษาที่
สอบไดเกรด 4
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2. โรงเรียนแหงหนึ่งมีนักเรียน 2,000 คน เปนชาย 40% ของทั้งหมด ในจํานวนนี้มาจาก
ตางจังหวัดรอยละ60 จงหา
1) จํานวนนักเรียนหญิง
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
2) จํานวนนักเรียนชายที่ไมไดมาจากตางจังหวัดทั้งหมด
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
3. รานคาแหงหนึ่งประกาศลดราคาสินคาทุกชนิด รอยละ 20 ถาคุณแมซื้อเครื่องแกวมาไดรับ
สวนลด 250 บาท จงหาวารานคาปดราคาขายผลิตภัณฑนั้นกอนลดราคาเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...

74
4. แผนผังสนามหญาแหงหนึ่งกวาง 5 เซนติเมตร ยาว 8 เซนติเมตร ใชมาตราสวน 1
เซนติเมตร : 50 เมตร จงหาวาสนามหญาแหงนี้มีพื้นที่เทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
5. นกนอยฝากเงินไวกับธนาคารเปนเวลา 2 ป อัตราดอกเบี้ยรอยละ 3 ตอป คิดดอกเบี้ยทบตน
ทุก 12 เดือนและถูกหักภาษีดอกเบี้ย 15% ถานกนอยฝากเงินไว 10,000 บาท ครบ 2 ป จะมี
เงินในบัญชีเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
6. วีระซื้อรถยนตมาคันหนึ่งราคา 200,000 บาท นําไปขายตอไดกําไรรอยละ 20 ตอมาเอาเงิน
ทั้งหมดไปเลนหุนขาดทุนรอยละ 20 วีระจะมีเงินเหลือจากการเลนหุนเทาไร
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………………...

75
บทที่ 5
การวัด
1. การวัดความยาวพื้นที่ ที่มีหนวยตางกันสามารถนํามาเปรียบเทียบกันได
2. เครื่องมือการวัด ตองเลือกใชใหเหมาะสมกับสิ่งที่จะวัด
3. การคาดคะเนเกิดจากประสบการณของผูสังเกตเปนสําคัญ
1. บอกการเปรียบเทียบหนวยความยาวพื้นที่ในระบบเดียวกันและตางระบบได
2. เลือกใชหนวยการวัดเกี่ยวกับความยาวและพื้นที่ไดอยางเหมาะสม
3. แสดงการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตได
4. สามารถแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นที่สถานการณตาง ๆ ในชีวิตประจําวันได
5. อธิบายวิธีการคาดคะเนและนําวิธีการไปใชในการคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด
น้ําหนัก
เรื่องที่ 1 การเปรียบเทียบหนวยความยาวและพื้นที่
เรื่องที่ 2 การเลือกใชหนวยการวัด ความยาวและพื้นที่
เรื่องที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต
เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในสถานการณตาง ๆ
เรื่องที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก

76
เรื่องที่ 1 การเปรียบเทียบหนวยความยาวและพื้นที่
การวัด
การวัดเปนเรื่องที่มีความสําคัญ และจําเปนตอชีวิตประจําวันอยางมากในทุกยุคทุกสมัย ใน
แตละถิ่นฐานแตละประเทศ จะมีหนวยการวัดที่แตกตางกันออกไป และเมื่อโลกเจริญกาวหนาทั้ง
ดานเทคโนโลยีและการสื่อสาร จึงมีความจําเปนที่ตองมีความชัดเจนของการสื่อสารความหมาย
เกี่ยวกับปริมาณของการวัด หนวยการวัด เพื่อใหเกิดความสะดวกในการนํามาเปรียบเทียบ และเพื่อ
ประโยชนในการใชงาน
โดยทั่วไปคนเรามักจะคุนเคยกับการวัด หมายถึง การชั่ง การตวง การวัดความยาว การจับ
เวลา เปนตน ในความเปนจริงนั้นการวัดมีหลายอยางเชน
1. การวัดความยาว มีหนวยเปน มิลลิเมตร เซนติเมตร นิ้ว ฟุต เมตร กิโลเมตร
2. การวัดพื้นที่ มีหนวยเปน ตารางวา ตารางเมตร งาน ไร
3. การชั่ง มีหนวยเปน กรัม ขีด ปอนด ตัน
4. การตวง มีหนวยเปน ลูกบาศกเซนติเมตร ลิตร ถัง
5. การวัดอุณหภูมิ มีหนวยเปน องศาเซลเซียส องศาฟาเรนไฮต
6. การวัดเวลา มีหนวยเปน วินาที นาที ชั่วโมง วัน ป
7. การวัดความเร็วหรืออัตราเร็ว มีหนวยเปน กิโลเมตร/ชั่วโมง
1.1 การเปรียบเทียบการวัดความยาว
หนวยการวัดความยาวที่นิยมใชกันในประเทศไทย
หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษ
12 นิ้ว เทากับ 1 ฟุต
3 ฟุต เทากับ 1 หลา
1,760 หลา เทากับ 1 ไมล
หนวยการวัดความยาวในระบบเมตริก
10 มิลลิเมตร เทากับ 1 เซนติเมตร
100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร
1,000 เมตร เทากับ 1 กิโลเมตร
หนวยการวัดความยาวในมาตรไทย
12 นิ้ว เทากับ 1 คืบ
2 คืบ เทากับ 1 ศอก

77
4 ศอก เทากับ 1 วา
20 วา เทากับ 1 เสน
400 เสน เทากับ 1 โยชน
กําหนดการเทียบ 1 วา เทากับ 2 เมตร
หนวยการวัดความยาวในระบบอังกฤษเทียบกับระบบเมตริก ( โดยประมาณ )
1 นิ้ว เทากับ 2.54 เซนติเมตร
1 หลา เทากับ 0.9144 เมตร
1 ไมล เทากับ 1.6093 กิโลเมตร
ตัวอยาง การเปรียบเทียบหนวยการวัดในระบบเดียวกันและตางระบบกัน
1. สุดาสูง 160 เซนติเมตร อยากทราบวาสุดาสูงกี่เมตร
เนื่องจาก 100 เซนติเมตร เทากับ 1 เมตร และสุดาสูง 160 เซนติเมตร
ดังนั้น สุดาสูง 160 = 1.60 เมตร
100
2. ความกวางของรั้วบานดานติดถนนเปน 1.05 กิโลเมตร อยากทราบวาความกวางของรั้ว
บานดานติดกับถนนเปนกี่เมตร
เนื่องจาก 1 กิโลเมตร เทากับ 1,000 เมตร และรั้วบานกวาง 1.05 กิโลเมตร
ดังนั้น ความกวางของรั้วบานเปน 1.05 x 1,000 = 1,050 เมตร
1.2 การเปรียบเทียบการวัดพื้นที่
หนวยการวัดพื้นที่ที่สําคัญ ที่ควรรูจัก
หนวยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริก
1 ตารางเซนติเมตร เทากับ 100 หรือ 102
ตารางมิลลิเมตร
1 ตารางเมตร เทากับ 10,000 หรือ 104
ตารางเซนติเมตร
1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 1,000,000 หรือ 106
ตารางเมตร
หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษ
1 ตารางฟุต เทากับ 144 หรือ 122
ตารางนิ้ว
1 ตารางหลา เทากับ 9 หรือ 32
ตารางนิ้ว
1 เอเคอร เทากับ 4, 840 ตารางหลา
1 ตารางไมล เทากับ 640 เอเคอร
หรือ 1 ตารางไมล เทากับ 1, 7602
ตารางหลา

78
หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทย
100 ตารางวา เทากับ 1 งาน
4 งาน เทากับ 1 ไร
หรือ 400 ตารางวา เทากับ 1 ไร
หนวยการวัดพื้นที่ในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก
1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร
1 งาน เทากับ 400 ตารางเมตร
หรือ 1 ไร เทากับ 1, 600 ตารางเมตร
1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 625 ไร
หนวยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษกับระบบเมตริก ( โดยประมาณ )
1 ตารางนิ้ว เทากับ 6.4516 ตารางเซนติเมตร
1 ตารางฟุต เทากับ 0.0929 ตารางเมตร
1 ตารางหลา เทากับ 0.8361 ตารางเมตร
1 เอเคอร เทากับ 4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร )
1 ตารางไมล เทากับ 2.5899 ตารางกิโลเมตร
1. ที่ดิน 12.5 ตารางกิโลเมตร คิดเปนกี่ตารางเมตร
เนื่องจากพื้นที่ 1 ตารางกิโลเมตร เทากับ 106
ดังนั้นพื้นที่ 12.5 ตารางกิโลเมตร เทากับ 12.5 x 106
= 1.25 x 107
ตอบ 1.25 x 107
2. พื้นที่ชั้นลางของบานรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 6 วา ยาว 12 วา ผูรับเหมาปูพื้นคิดคาปูพื้น
ตารางเมตรละ 37 บาท จะตองเสียคาปูพื้นเปนเงินเทาไร
พื้นที่ชั้นลางของบานมีความกวาง 6 วา
ความยาว 12 วา
ดังนั้น พื้นที่ชั้นลางของบานมีพื้นที่เปน 6 x 12 = 72 ตารางวา
พื้นที่ 1 ตารางวา เทากับ 4 ตารางเมตร
ถาคิดพื้นที่เปนตารางเมตร พื้นที่ชั้นลางของบานมีพื้นที่เปน
72 x 4 = 288 ตารางเมตร
ดังนั้น เสียคาปูพื้นเปนเงิน 288 x 37 = 10, 656 บาท
ตอบ 10, 656 บาท

79
1. จงเติมหนวยความยาวหรือหนวยพื้นที่ใหเหมาะสมกับขอความตอไปนี้
1) ไมอัดชนิดบางมีความหนาแผนละ 4 .........................................................................................
2) สมุดปกออนมีความกวาง 16.5 .....................ยาว 24......................หนา 4 ................................
3) จังหวัดเชียงใหมและจังหวัดเลยอยูหางกันประมาณ 1,600 ......................................................
4) สนามฟุตบอลแหงหนึ่งมีความกวาง 45 …………… มีความยาว 90 ..................... และถาวิ่ง
รอบสนามแหงนี้สามรอบ จะไดระยะทาง 1 ...............................
5) แผนดิสกมีความกวาง 9 ................... ยาว 9.4 ........................... และหนา 3 .........................
6) กระดาษ A4 มีพื้นที่ประมาณ 630 .........................................
7) หองเรียนมีพื้นที่ประมาณ 80 ................................................
9) การวัดความยาวของที่ดินในประเทศไทยนิยมใชหนวยเปน ................... หรือ....................
และอาจบอกจํานวนพื้นที่ของที่ดินตามมาตราไทยเปน ..........................หรืออาจบอกโดยใช
มาตรเมตริกเปน ........................ ก็ได
10) แมน้ําโขงชวงจังหวัดมุกดาหารมีความกวางประมาณ 200 ............................
2. จงเติมคําลงในชองวางที่กําหนดใหถูกตอง
1) พื้นที่ 1 ไร เทากับ ..................................... ตารางเมตร
2) พื้นที่ 17 ตารางเมตร คิดเปนพื้นที่ .................................. ตารางเซนติเมตร
3) ที่ดิน 3,119 ตารางวา เทากับที่ดิน ............................... (ตอบเปนไร งาน ตารางวา)
4) กระดาษแผนหนึ่งมีพื้นที่ 720 ตารางนิ้ว กระดาษแผนนี้มีพื้นที่ ............................ ตารางฟุต
5) พื้นที่ 2 ตารางกิโลเมตร คิดเปนพื้นที่ .................... ตารางเซนติเมตร (ตอบในรูป n
A 10×
เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม)
6) สวนสาธารณะแหงหนึ่งมีพื้นที่ 5 ไร 2 งาน 22 ตารางวา แลวสวนสาธารณะแหงนี้จะมีพื้นที่
.................... ตารางวา
7) ที่นา 2,900,000 ตารางเมตร เทากับที่นา ................................ ตารางกิโลเมตร
8) โลหะแผนหนึ่งมีพื้นที่ 3 ตารางฟุต โลหะแผนนี้จะมีพื้นที่ ................... .. ตารางนิ้ว
9) พื้นที่ 9.5 ตารางวา จะเทากับ .......................... ตารางเมตร
10) ลุงสอนมีที่ดินอยู 2 งาน 68 ตารางวา คิดเปนพื้นที่ ..................... ตารางเมตร แลวถาลุงสอน
ขายที่ดินไป ตารางเมตรละ 875 บาท ลุงสอนจะไดรับเงิน ...................... บาท แสดงวาที่ดิน
ของลุงสอน ราคาไรละ......................... บาท

80
3. จงตอบคําถามตอไปนี้ พรอมแสดงวิธีทํา
1) สวนแหงหนึ่งมีพื้นที่ 4,800 ตารางเมตร คิดเปนพื้นที่กี่ไร
2) พื้นที่ 25 ตารางฟุต คิดพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร
3) ลุงแดงแบงที่ดินใหลูกชาย 3 คน โดยแบงใหลูกชายคนโตได 2 ไร ลูกชายคนกลาง 850
ตารางวา และลูกชายคนเล็กได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงที่ดินมากที่สุด
4) พื้นที่ 5,625 ไร คิดเปนพื้นที่ กี่ตารางกิโลเมตร
5) สมเกียรติซื้อโลหะแผนชนิดหนึ่ง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนึกซื้อโลหะแผน
ชนิดเดียวกัน 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซื้อไดถูกกวากัน ตารางเมตรละกี่บาท
(กําหนด 1 หลา = 90 เซนติเมตร)

81
เรื่องที่ 2 การเลือกใชหนวยการวัดความยาวและพื้นที่
การวัดความยาว หรือการวัดพื้นที่ ควรเลือกใชหนวยการวัดที่เปนมาตรฐาน และเหมาะสมกับ
สิ่งที่ตองการวัด เชน
- ความหนาของกระเบื้องหรือความหนาของกระจก ใชหนวยวัดเปน "มิลลิเมตร"
- ความยาวของกระเปาหรือความสูงของนักเรียน ใชหนวยวัดเปน "เซนติเมตร"
- ความยาวของถนน ความสูงของตึก ใชหนวยวัดเปน "เมตร"
- ระยะทางจากรุงเทพฯ ถึงนครศรีธรรมราช ใชหนวยวัดเปน "กิโลเมตร"
1.จงเติมหนวยการวัดที่เหมาะสมลงในชองวาง
1.ความยาวของรั้วโรงเรียน …………………………………
2.ความหนาของหนังสือ ………………………………….
3. ระยะทางจากกรุงเทพฯ ถึงเชียงใหม ……………………………..
4. น้ําหนักของแตงโม …………………………………………..
5. เวลาที่นักเรียนใชในการวิ่งแขงในระยะทาง 100 เมตร ……………………..
6. อุณหภูมิหอง .....................................
7. พื้นที่สวน ......................................
8. ปริมาณของน้ํา 1 เหยือก ......................................
9. สวนสูงของนักเรียน .....................................
10. น้ําหนักของขาวสาร 1 ถุง ....................................

82
เรื่องที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต
1. รูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยม คือ รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปน
ฐานของรูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอด
มาตั้งฉากกับฐาน หรือสวนตอของฐานจะเรียกเสนตั้งฉากวาสวนสูง
จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกําหนด BC เปนฐาน
เรียก A วา มุมยอด
เรียก AD วา สวนสูง
จากรูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา ABCD แตละรูปเทากับ 12 ตารางหนวย
และพื้นที่สามเหลี่ยมแตละรูปเทากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา
จากสูตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา = ฐาน x สูง
ดังนั้น พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = ×
2
1
ฐาน × สูง

83
ตัวอยาง รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งพื้นที่ 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูง
กี่เซนติเมตร
ดังนั้น ความสูงของสามเหลี่ยมเทากับ 10 เซนติเมตร
1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาของรูปตอไปนี้ ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมี
หนวยเปนหนวยความยาว
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
....................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
.......................................................................
ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนติเมตร
สูตร พื้นที่  = ×
2
1
ฐาน × สูง
40 = h×× 8
2
1
h=
×
8
240
10 = h

84
2. รูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปมีพื้นที่ 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูง
กี่เซนติเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ
ยาวของดาน A
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

85
4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี
หนวยเปนเซนติเมตร)
30
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. รูปสี่เหลี่ยม
2.1 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมแตละมุมเปนมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมี 2 ชนิด คือ
ก) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานทุกดานยาวเทากัน
ข) รูปสี่เหลี่ยมผืนผา
เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานตรงขามยาวเทากัน

86
ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ
เทาๆ กัน แลวลากเสนเชื่อมจุดแบงดังรูป
จากรูปตารางเล็กๆ ที่เกิดจากแบงแตละรูป จะมีความกวาง 1 หนวย และยาว 1 หนวย คิด
เปน พื้นที่ 1 ตารางหนวย
การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1
สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 3 หนวย เมื่อแบงแลวไดจํานวนตาราง
9 ตาราง หรือมีพื้นที่ 9 ตารางหนวย
สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 2 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 4 หนวย เมื่อแบงแลวไดจํานวนตาราง
12 ตาราง หรือมีพื้นที่ 12 ตารางหนวย
การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว
นั่นคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดานกวาง x ดานยาว
ในกรณีที่เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีดานกวางเทากับดานยาว
นั่นคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดาน x ดาน
หรือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = (ดาน)2
ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมตอไปนี้

87
(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง x ยาว
= 5 x 8
= 40 ตารางหนวย
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 40 ตารางหนวย ตอบ
(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = ดาน x ดาน
= 4 x 4
= 16 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 16 ตารางเซนติเมตร ตอบ
(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = (2x3) + (4x7)
= 6 + 28
= 34 ตารางนิ้ว
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 34 ตารางนิ้ว ตอบ
2.2 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู

88
การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน
ถารูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD กําหนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ
สูง DE
จากรูปที่ 1 ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหตั้งฉากกับ AB ดังรูปที่ 2 เราสามารถ
ใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD ไดดังนี้
พื้นที่ของ ABCD เทากับผลบวกของพื้นที่  ABD และพื้นที่  CDB
เนื่องจาก พื้นที่  ABD เทากับ พื้นที่  CDB
ดังนั้น พื้นที่ ABCD = 2 เทาของพื้นที่  ABD
= 





××× ba
2
1
2
สูตรพื้นที่ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง
รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานทุกดานยาวเทากันและมุมไมเปนมุมฉาก เรียกวา รูปสี่เหลี่ยม
ขนมเปยกปูน
ในกรณีเปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ถาลากเสนทแยงมุม แบงรูปสี่เหลี่ยมออกเปนรูป
สามเหลี่ยมสองรูป และไดสูตรดังนี้
สูตรพื้นที่ ขนมเปยกปูน = ×
2
1
ผลคูณของเสนทแยงมุม
ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD

89
รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน × สูง
= AB × AB
= 10 × 7 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD = 70 ตารางเซนติเมตร ตอบ
2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานขนานกันหนึ่งคูเทานั้น
รูปสี่เหลี่ยมทั้งสามรูป แตละรูปมีดานขนานกันเพียง 1 คูเทานั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งสามรูปจึง
เปนสี่เหลี่ยมคางหมู
รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 2 มีดานที่ไมขนานกัน 1 ดาน ตั้งฉากกับดานคูขนาน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคาง
หมูนี้วา สี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 3 มีดานที่ไมขนานกันยาวเทากัน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูนี้วา สี่เหลี่ยม
คางหมูหนาจั่ว
รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มีดาน AB ขนานกับดาน CD ลาก CE ใหตั้งฉากกับ AB
และลากเสนทแยงมุม AC ดังรูปที่ 2
กําหนด a แทนความยาวของดาน AB
b แทนความยาวของดาน CD
c แทนความสูง
เราสามารถใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ไดดังนี้

90
พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่  ABC และพื้นที่  ACD
จากพื้นที่  ABC = ca ××
2
1
พื้นที่  ACD = cb ××
2
1
ดังนั้น พื้นที่ ABCE = 





××+





×× ebea
2
1
2
1
= )(
2
1
bac +××
สูตร พื้นที่ คางหมู = ×
2
1
สูง × ผลบวกดานคูขนาน
ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD
พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = ×
2
1
สูง × ผลบวกดานคูขนาน
= ( )DCABDE +××
2
1
= ( )8126
2
1
+××
= 3 × 20 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร
2.4 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปวาว
บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานประชิดกันยาวเทากันสองคู
เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และ
แบงครึ่งซึ่งกันและกัน

91
การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว
เราสามารถใชพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ไดดังนี้
พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่  ACD และพื้นที่  ABC
จาก  ABC = 





××× ba
2
1
2
1
 ADC = 





××× ba
2
1
2
1
ดังนั้น พื้นที่ ABCD = 











×××+











××× baba
2
1
2
1
2
1
2
1
พื้นที่ ABCD = 











×+





××× bba
2
1
2
1
2
1
= 





+××
222
1 bb
a
= ba ××
2
1
สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว = ×
2
1
รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD มี ADAB = และ CDBC =
กําหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC
b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD
เสนทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด E
ทําให DE ตั้งฉากกับ AC
BE ตั้งฉากกับ AC

92
ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ที่มี 10=BD เซนติเมตร และ 12=AC เซนติเมตร
พื้นที่รูปวาว = ×
2
1
= BDAC ××
2
1
= 1012
2
1
×× ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร
2.5 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ
รูปสี่เหลี่ยมใดๆ เปนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมเขาลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมขางตน การหาพื้นที่อาจทํา
ไดโดยลากเสนทแยงมุม แลวหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น
พื้นที่ ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่  ABC และพื้นที่  ADC
จากพื้นที่  ABC = BEAC ××
2
1
พื้นที่  ABD = DFAC ××
2
1
ดังนั้น พื้นที่ ABCE = 





××+





×× DFACBEAC
2
1
2
1
= ( )DFBEAC +××
2
1
จากรูปสี่เหลี่ยม ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมใดๆ จากเสนทแยงมุม AC
จากจุด B ลากเสน BE ใหตั้งฉากกับ AC
D ลากเสน DF ใหตั้งฉากกับ AC
ซึ่งเสน BE และ DF เรียกวา เสนกิ่ง

93
สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมใดๆ =
2
1
× ความยาวของเสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง
ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสนกิ่ง DF = 7 เซนติเมตร และ
EB = 5 เซนติเมตร
พื้นที่ ABCD = ×
2
1
เสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง
= ( )DFBEAC +××
2
1
= ( )5710
2
1
+×× ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่ ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร

95
2. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว
เปนเมตร
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

96
2.6 พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม
การหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ใชวิธีแบงรูปหลายเหลี่ยม เปนรูปสี่เหลี่ยมยอยๆ แลว หาพื้นที่
ของรูปแตละรูปนําผลลัพธมารวมกัน แตบางครั้งอาจใชวิธีตอเติมรูปเพื่อใหเกิดรูปเหลี่ยมใหมแลว
นํามาหักลบกัน ดังตัวอยาง
ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปเหลี่ยมที่แรเงา
วิธีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากยอย 3 รูป คือ DEJC,
FGKJ, ABKH
พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH
= ( 2×6) + (1×4) + (3×10)
= 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้น พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร
2.7 พื้นที่รูปวงกลม
การหาพื้นที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบงออกเปนสวนเล็กๆ แลวนําแตละสวนมาสลับกัน ดัง
รูป
จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร
FJ = 4 เซนติเมตร

97
จะเห็นไดวา ถายิ่งแบงสวนยอยใหมีจํานวนมากขึ้น รูปสี่เหลี่ยมที่ไดจะมีรูปใกลเคียงกับรูป
สี่เหลี่ยมผืนผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม
ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ ( ) rr ππ =2
2
1
จากสูตร พื้นที่ ผืนผา = ฐาน × สูง
= ( ) rr ×π
= 2
rπ
สูตร พื้นที่วงกลม = 2
rπ
เมื่อ
7
22
=π หรือ 3.14 โดยประมาณ
r แทนความยาวรัศมี
ตัวอยาง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร
พื้นที่วงกลม = 2
rπ
= 77
7
22
×× ตารางเซนติเมตร
พื้นที่วงกลม = 154 ตารางเซนติเมตร

98
1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับดานมีหนวยเปนเซนติเมตร และจุด O แทน
จุดศูนยกลางของวงกลม
1

99
สรุปสูตรการหาพื้นที่

101
เรื่องที่ 4 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในสถานการณตางๆ
ตัวอยาง ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตองการทําถนนในที่ดินกวาง 1 วา
โดยรอบถนนจะมีพื้นที่กี่ตารางวา
ตัวอยาง หองๆ หนึ่ง 6.5 เมตร กวาง 4 เมตร ตองการปูกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีความกวาง
ดานละ 25 เซนติเมตร จะตองใชกระเบื้องกี่แผน
วิธีทํา หองหนึ่งมีความยาว 6.5 เซนติเมตร = 650 เซนติเมตร
ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนติเมตร
พื้นที่หอง = 400 × 650 = 260,000 เซนติเมตร
พื้นที่กระเบื้อง = 25 × 25 = 625 ตารางเซนติเมตร
ตองใชกระเบื้อง = 416
625
000,260
= แผน
ดังนั้น ตองใชกระเบื้อง 416 แผน
พื้นที่ทั้งหมด = 12 × 20
= 240 ตารางวา
พื้นที่รูปใน = 10 × 18
= 180 ตารางวา
พื้นที่ถนน = 240 – 180
∴ พื้นที่ถนน = 60 ตารางวา

102
1. แผนผังบานหลังหนึ่งมีลักษณะและขนาดดังรูป ถาบริเวณที่แรเงาตองการเทปูนซีเมนต โดยเสีย
คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเปนเมตร
2. ตองการตัดเสื้อตัวหนึ่งมีลักษณะดังรูป จะตองใชผากี่ตารางเมตร (ไมคิดตะเข็บ) ความยาวที่
กําหนดมีหนวยเปนเซนติเมตร

103
เรื่องที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก
ในชีวิตประจําวันบางครั้งเราอาจตองการทราบรายละเอียดเกี่ยวกับเวลา ระยะทาง ขนาด
หรือน้ําหนัก ของสิ่งตางๆ แตไมสะดวกที่จะวัดสิ่งตางๆ เหลานั้น เนื่องจากมีขอจํากัดบางประการ
ตัวอยางเชน ตองการวัดความยาว และความกวางของสนามฟุตบอลของโรงเรียน แตไมมีอุปกรณที่
เหมาะสม ทําใหตองมีกี่ประมาณอยางคราวๆ ซึ่งในบางครั้งอาจจะถูกตอง หรืออาจผิดไปจากความ
เปนจริงบาง เราเรียกวิธีการประมาณในลักษณะนี้วา การคาดคะเน
การคาดคะเนปริมาณตางๆ เชน ชวงเวลา ระยะทาง ขนาด และน้ําหนักของสิ่งตางๆ ผู
คาดคะเนมักใชสายตารวมกับประสบการณของผูคาดคะเนเอง ซึ่งในการคาดคะเนแตละครั้งอาจ
ถูกตองพอดี หรืออาจมีขอผิดพลาดเกิดขึ้นบางก็ได เราเรียกขอผิดพลาดนี้วา ความคลาดเคลื่อน และ
ความคลาดเคลื่อนคํานวณไดจากผลตางของปริมาณที่คาดคะเนไวกับปริมาณที่วัดไดจริง เชน
คะเนวาหนังสือเรียนกวาง 15 เซนติเมตร ยาว 20 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเมื่อ
วัดจริงพบวาหนังสือเรียนกวาง 14.6 เซนติเมตร ยาว 20.9 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร ดังนั้น
คะเนความกวาง และความยาวของหนังสือเรียนคลาดเคลื่อนไป 0.4 และ 0.9 ตามลําดับ (15.0
เซนติเมตร – 14.6 เซนติเมตร = 0.4 เซนติเมตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนติเมตร = 0.9
เซนติเมตร สวนความหนาคาดคะเนไดถูกตองไมคลาดเคลื่อนเลย )
หมายเหตุ บางครั้งอาจพบการใชสัญลักษณ ± ตามความคลาดเคลื่อน เชน เครื่องบรรจุน้ํา
ไดขวดละ 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ± 5 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลวน้ําดื่มที่
บรรจุขวดโดยเครื่องนี้จะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร แตอาจจะมีบางขวดที่มีปริมาตร
มากกวาหรือนอยกวา 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ซึ่งปริมาตรที่คลาดเคลื่อนนี้ไมเกิน 5 ลูกบาศก
เซนติเมตร นั่นคือ น้ําดื่มที่บรรจุขวดจะมีปริมาตรตั้งแต 995 ลูกบาศกเซนติเมตร ถึง 1,005
ลูกบาศกเซนติเมตร

104
1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้
1) ฟาใกลสวาง อากาศเย็นสบาย ไกตัวผูตีปกและสงเสียงขัน มีน้ําคางจับตามยอดหญา
นาจะเปนเวลาประมาณ...................นาฬิกา
2) เมื่ออยูกลางแจงดวงอาทิตยอยูตรงศีรษะพอดี เงาของตัวเองอยูบนพื้นที่ยืนอยูพอดี นาจะ
เปนเวลาประมาณ...................นาฬิกา
3) ในจังหวัดทางภาคเหนือเปนเวลาเชาตรู ฟาสวางแลว แตยังไมเห็นพระอาทิตย ทองฟาขมุกขมัว
อากาศหนาวเย็นจัด นาจะเปนฤดู....................และควรจะเปนชวงเดือน.....................
2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือ
ขนาดของสิ่งตอไปนี้
1) ความยาวของคัตเตอร
ก. 1.5 มิลลิเมตร ข. 15 เซนติเมตร ค. 15 เมตร
2) น้ําหนักของมะพราว 1 ผล
ก. 1 กรัม ข. 1 กิโลกรัม ค. 1 ตัน
3) ปริมาณของนม 1 กลอง
ก. 4 ×5×12 เซนติเมตร3
ข. 4 ×5×12 ฟุต3
ค. 4 ×5×12 เมตร3
4) รถกระบะ
4.1 มีน้ําหนัก ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน
4.2 ความกวาง ก. 160 เซนติเมตร ข. 16 ฟุต ค. 16 เมตร
4.3 ความยาว ก. 5 ฟุต ข. 5 เมตร ค. 5 วา
4.4 ความสูง ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มิลลิเมตร ค. 16,000 มิลลิเมตร
5) เกาอี้นั่ง
5.1 กวาง ยาว สูง
ก. 40 ×50×80 มิลลิเมตร3
ข. 40 ×50×80 เซนติเมตร3
ค. 4 ×5×8 เมตร3
5.2 น้ําหนัก
ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน

105
3. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กิโลเมตร รถประจําทางปรับอากาศวิ่งบน
ทางหลวงสายนี้ตลอดเสนทางดวยอัตราเร็ว 80-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง
(1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวิ่งตลอดเสนทางนานเทาไร
(2) ถารถออกจากกรุงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬิกา จะถึงแมสายในชวงใด
(3) ถาตองการใหถึงแมสายประมาณเที่ยงวันที่ 16 กันยายน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลา
เทาไร
4. ลิฟตของโรงแรมแหงหนึ่งบรรทุกผูโดยสายไดเที่ยวละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรัม) บางครั้งมี
ผูโดยสารเขาลิฟตเพียง 8 คน ลิฟตจะมีเสียงเตือน บางครั้งมีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไมมีเสียงเตือนยัง
ใชงานไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย
5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จังหวัดนราธิวาส) 1,352 กิโลเมตร ทาง
หลวงสายมิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวัดหนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรุงเทพฯ-
จังหวัดตราด) 400 กิโลเมตร
(1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรุงเทพฯ แลวมุงสู
จังหวัดหนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดวยอัตราเร็วในชวง 90-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง จะใช
เวลาประมาณกี่ชั่วโมง
(2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬิกา วันนี้ จะ
ถึงจังหวัดนราธิวาสเมื่อใด โดยใชอัตราความเร็ว 100 กิโลเมตรตอชั่วโมง
(3) ถาตองการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปจังหวัดตราดทางหลวงสายสุขุมวิท และถึงจังหวัด
ตราดประมาณเที่ยงวัน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาใด เมื่อใชอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรตอ
ชั่วโมง
(4) ใหนักเรียนเปรียบเทียบความยาวของทางหลวงทั้งสามสาย

106
บทที่ 6
ปริมาตรและพื้นที่ผิว
การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของ ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปน
จะตองรูกระบวนการคิด และการใชสูตร เพื่อสะดวกในการคํานวณอันจะเปนประโยชนตอการ
นําไปใชในชีวิตจริง
1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หา
ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปริซึมได
2. สามารถหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได
3. สามารถหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลมได
4. เปรียบเทียบหนวย ความจุ หรือหนวยปริมาตรในระบบเดียวกันหรือตางระบบ และ
เลือกใชหนวยการวัดเกี่ยวกับความจุหรือปริมาตรไดอยางเหมาะสม
5. ใชความรูเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวแกปญหาในสถานการณตางๆ ได
6. ใชการคาดคะเนเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม
เรื่องที่ 1 ลักษณะสมบัติและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม
เรื่องที่ 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก
เรื่องที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม
เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร
เรื่องที่ 5 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิว
เรื่องที่ 6 การคาดคะเนปริมาตรและพื้นที่ผิว

107
เรื่องที่ 1 ลักษณะสมบัติและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม
พื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม
รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหนาตัด (ฐาน) ทั้งสองเปนรูปหลายเหลี่ยมที่เทากันทุกประการและ
อยูในระนาบที่ขนานกัน มีหนาขางเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน เรียกวา ปริซึม
สวนตางๆ ของปริซึมมีชื่อเรียกดังนี้
เราเรียกชื่อปริซึมชนิดตาง ๆ ตามลักษณะของฐานของปริซึมดังตัวอยาง
ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผา ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู
ปริซึมหาเหลี่ยม ปริซึมหกเหลี่ยม
สูตร การหาพื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ผิวหนาตัด
ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง

108
ตัวอยาง 1 จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมตอไปนี้ กําหนดความยาวที่หนวยเปนเซนติเมตร
ตัวอยาง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ (ความยาวที่กําหนดใหมีหนวยเปนเมตร)
จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมตอไปนี้
ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
= (4 x 5) x 8
= 160 ลูกบาศกเมตร
พื้นที่ผิวดานขาง 4 ดาน = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5)
พื้นที่หนาตัด = 2 ( 3 x 4)
พื้นที่ผิวของปริซึม = 70 + 24

109
เรื่องที่ 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก
ทรงกระบอก คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ และอยูในระนาบ
ที่ขนานกัน ซึ่งเมื่อตัดทรงสามมิตินี้ดวยระนาบที่ขนานกับฐานแลวจะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากัน
ทุกประการกับฐานเสมอ
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก
เมื่อคลี่ผิวขางของทรงกระบอกใดๆ พบวา จะเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่มีความยาวเทากับเสน
รอบฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสูงของทรงกระบอก
สูตร พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐานทั้งสอง
= 2
22 rrh ππ +
เมื่อ r แทน รัศมีของฐานของทรงกระบอก
h แทน ความสูงของทรงกระบอก

110
ปริมาตรทรงกระบอก
จาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
ปริมาตรทรงกระบอก = hr 2
π
สูตร ปริมาตรทรงกระบอก = hr 2
π
ตัวอยางที่ 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนติเมตร และสูง 10 เซนติเมตร
ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาทั้งสองจะตองใชกระดาษกี่ตาราง
เซนติเมตร
ข) กระปองใบนี้มีความจุกี่ลูกบาศกเซนติเมตร
ข) ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง
= hr 2
π
= 1077
7
22
×××
= 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร
ดังนั้น ก. ตองใชกระดาษ 748 ตารางเซนติเมตร
ข. กระปองมีความจุ 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร
ก) พื้นที่ฐานทั้งหมด = 2
2 rπ
= 77
7
22
2 ×××
พื้นที่ผิวขาง = ความยาวรอบฐาน x สูง
= hr ×π2
= 107
7
22
2 ×××
พื้นที่ผิวกระปอง = 308 + 440

111
1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีของฐาน 3.5 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของถังเก็บน้ํารูปทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีที่ฐาน 3 เมตร
สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

112
เรื่องที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม
3.1 พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด
พีระมิด คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลม ซึ่งไมอยูในระนาบเดียวกับ
ฐาน และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยม ที่มีจุดยอดรวมกันที่ยอดแหลม
ลักษณะของพีระมิดตรง
1. หนาของพีระมิดตรงเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
2. สันของพีระมิดตรงจะยาวเทากันทุกเสน
3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรง ดานเทา มุมเทา จะยาวเทากันทุกเสน
4. ปริมาตรของพีระมิด เปนหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเทากับพีระมิด และมี
สวนสูงเทากับพีระมิด
สูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = ×
2
1
ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง
พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน
ปริมาตรของพีระมิด = ×
3
1
พื้นที่ฐาน x สูง

113
ตัวอยางที่ 3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสูงของ
พีระมิดเปน 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองดาน
1. ความสูงเอียงดานกวาง
2. ความสูงเอียงดานยาว
ตัวอยางที่ 4 พีระมิดแหงหนึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 6 เมตร สูงเอียง 5 เมตร และ
สูงตรง 4 เมตร จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด
พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = ×
2
1
= ×
2
1
(6x4) x 5
= 60 ตารางเมตร
พื้นที่ฐาน = 6 x 6
ดังนั้นพื้นที่ผิวของพีระมิด = 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรของพีระมิด = ×
3
1
= ×
3
1
36 x 4
222
912 +=a
=144 + 81
2252
=a
15=a เซนติเมตร
222
125 +=c
= 25 + 144
= 169
c = 13 เซนติเมตร

114
1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดที่สูง 6 เซนติเมตร ฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาว
ดานละ 16 เซนติเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สูงเอียง
7.5 เซนติเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

115
3.2 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย
กรวย คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไมอยูบนระนาบเดียวกับฐาน
และเสนที่ตอระหวางจุดยอดกับจุดใด ๆ บนเสนรอบวงของฐาน เรียกเสนตรงนี้วา “สูงเอียง”
พื้นที่ผิวของกรวย
การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทําไดโดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแลวคลี่แผออกจะเกิดเปน
รูปสามเหลี่ยมฐานโคง
สูตร พื้นที่ผิวของกรวย =
2
rrl ππ +
เมื่อ r เปนรัศมีของฐานกรวย
l เปนความยาวของสูงเอียง
ปริมาตรของกรวย
ความสัมพันธของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธของ
ปริซึมกับพีระมิด ที่มีสวนสูงและพื้นที่ฐานเทากัน นั่นคือ
สูงตรง
สูงเอียง
h

116
ปริมาตรของกรวย เปน
3
1
ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นที่ฐานและสวนสูงเทากับ
กรวย
สูตร ปริมาตรของกรวย = ×
3
1
hr 2
π
เมื่อ r แทน รัศมีของฐานกรวย
h แทน ความสูงของกรวย
ตัวอยางที่ 6 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร และเสนผานศูนยกลาง 14
พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พื้นที่ฐาน
= 550 + 154
ปริมาตรของกรวย = ×
3
1
hr 2
π
= 2477
7
22
3
1
××××
พื้นที่ผิวทั้งหมด 704 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรของกรวย 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร
รัศมี = 7
2
14
= เซนติเมตร
หาความสูงเอียง (l) จาก  ABO
222
724 +=l
= 576 + 49 = 625
l = 25 เซนติเมตร
พื้นที่ผิวขาง = rlπ
= 257
7
22
××
พื้นที่ฐาน = 2
rπ
= 77
7
22
××

117
1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 8
เซนติเมตร (ตอบในรูป π)
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร ความยาว
ทรงกระบอก 30 เซนติเมตร ความสูงยอดกรวย 12 เซนติเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

118
3.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม
ทรงกลม คือ ทรงสามมิติที่มีผิวโคงเรียบ และจุดทุกจุดอยูบนผิวโคงอยูหางจากจุดคงที่จุด
หนึ่งเปนระยะเทากัน
จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม
ระยะที่เทากัน เรียกวา รัศมีของทรงกลม
พื้นที่ผิวของทรงกลม
พื้นที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลม
จาก พื้นที่ของรูปวงกลม = 2
rπ
ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 2
rπ
สูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 2
rπ
ปริมาตรของทรงกลม
ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสัมพันธระหวางปริมาตรของครึ่ง
วงกลมกับปริมาตรของกรวย
ขอกําหนด
2) กรวยที่มีรัศมีเทากับครึ่งทรงกลม r หนวย และสวนสูงของกรวย (h) เปน 2 เทา
ของรัศมี ฐานของกรวย คือ 2 r หนวย
1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หนวย

119
สูตร ปริมาตรของทรงกลม = 3
3
4
rπ
เมื่อแทน r รัศมีของทรงกลม
ตัวอยางที่ 7 จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของลูกโลกพลาสติก ซึ่งมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร
พื้นที่ผิวของทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร
พื้นที่ผิวทรงกลม = 4 2
rπ
= 77
7
22
4 ×××
ปริมาตรทรงกลม = 3
3
4
rπ
= 777
7
22
3
4
××××
=
3
312,4
= 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร

120
1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนติเมตร จงหารัศมีและพื้นที่ผิว
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. ทรงกลมมีพื้นที่ผิว 616 ตารางนิ้ว จงหาปริมาตรของทรงกลม
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
4. โลหะกลมลูกหนึ่ง รัศมีภายนอก 21 เซนติเมตร รัศมีภายใน 7 เซนติเมตร จงหาปริมาตรเนื้อโลหะ
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

121
เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร
การตวง คือ การนําสิ่งที่ตองการหาปริมาตรใสในภาชนะที่ใชสําหรับตวง หนวยการตวง
ที่นิยมและใชกันมาก คือ ลิตร
เมื่อเทียบกับหนวยปริมาตร
หนวยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงที่นิยมใชกันมาก คือ
1 ลิตร = 1,000 มิลลิลิตร
1,000 ลิตร = 1 กิโลลิตร
1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
10 มิลลิลิตร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร
1 ลูกบาศกเมตร = 1,000 ลิตร
1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
1 ถัง = 20 ลิตร (ทะนานหลวง)
1 เกวียน = 100 ถัง
1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเมตร
1 เกวียน = 2,000 ลิตร
1 แกลลอน = 4.546 ลิตร
1 ลูกบาศกนิ้ว = 16.103235 ลูกบาศกเซนติเมตร
1 ลูกบาศกนิ้ว = 0.0164 ลิตร
1 ลูกบาศกฟุต = 1.728 ลูกบาศกนิ้ว
1 ลูกบาศกฟุต = 28.32 ลิตร
1 บารเรล = 158.98 ลิตร

122
ตัวอยางที่ 1 อางน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่ง กวาง 30 เซนติเมตร ยาว 50 เซนติเมตร และสูง
40 เซนติเมตร
1. อางใบนี้จุน้ํากี่ลิตร
2. ถามีน้ําบรรจุเต็มอาง และน้ํา 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรัม จงหาน้ําหนักของ
น้ําในอางใบนี้
วิธีทํา 1. ปริมาตรของอางน้ํา = ความกวาง × ความยาว × ความสูง
แทนคา
ปริมาตรของอางน้ํา = 30 × 50 × 40
เมื่อเทียบกับหนวยปริมาตร
1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลิตร
60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
000,1
000,60
= = 60 ลิตร
2. น้ํา 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรัม
น้ํา 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 60,000 กรัม
000,1
000,60
= = 60 กิโลกรัม
ตอบ 60 กิโลกรัม
ตัวอยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสนผานศูนยกลางภายใน 3 เมตร สูง 5 เมตร คิดเปน
ปริมาตรของน้ํากี่ลิตร
วิธีทํา ปริมาตร = πr2
h
= 55.15.1
7
22
×××
= 35.36 ลูกบาศกเมตร
= 35.36 X 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
= 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
เนื่องจาก 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลิตร
ดังนั้น 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร =
000,1
000,360,35
= 35,360 ลิตร

123
1. สระแหงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กนสระกวาง 5 วา ลึก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครื่องสูบน้ํา
ออกจากสระไดนาทีละ 9,000 ลิตร จะตองใชเวลาสูบน้ําเทาไร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.2 เมตร จุน้ํา 540 ลิตร ตองการปู
กระเบื้องภายในอางดวยแผนกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชกระเบื้อง
อยางนอยที่สุดเทาไร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. นายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลิตร ใชอมปวนปากครั้งละ 10 มิลลิลิตร วันละ 2
ครั้ง จะใชไดกี่วัน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จุน้ําไดกี่ลิตร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.50 เซนติเมตร สูง 1.20 เมตร บรรจุน้ํา
เต็มถัง ถาตองการตวงน้ําจากถังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตร จะไดน้ําทั้งหมดกี่แกลอน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

124
เรื่องที่ 5 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิว
ตัวอยาง ลังกระดาษบรรจุกลองซีดี วัดความยาวภายในไดกวาง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนติเมตร
และสูง 15 เซนติเมตร และบรรจุกลองซีดีเต็มลังพอดี ลังกระดาษนี้มีปริมาตรเทาไร และถาหยิบกลอง
ซีดีออกมา 1 กลอง ซึ่งมีปริมาตร 270 ลูกบาศกเซนติเมตร กลองซีดีจะหนาเทาไร
= (12 x 14) x 15
ลังกระดาษมีปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง
= 2, 520 ลูกบาศกเซนติเมตร
กลองซีดี 1 กลอง มีปริมาตร = พื้นที่ฐาน x หนา
270 = (12 x 15) x หนา
หนา =
1512
270
×
กลองใสซีดีมีความหนา = 1.5 เซนติเมตร
ลังกระดาษมีปริมาตร 2,520 ลูกบาศกเซนติเมตร
ตัวอยาง น้ําขันครึ่งวงกลมรัศมี 3 นิ้ว ตักน้ําใสถังทรงกระบอกที่มีรัศมี 10 นิ้ว และสูง 27 นิ้ว กี่ครั้ง
น้ําจึงจะเต็มถัง
2
1
ปริมาตรน้ํา 1 ขัน = ของปริมาตรของทรงกลม
= 3
3
4
2
1
rπ×
= 333
3
4
2
1
××××× π
= 18 π ลูกบาศกนิ้ว
ปริมาตรถังทรงกระบอก = hr 2
π
= π 27102
××
= 2,700 π ลูกบาศกนิ้ว
จะตองตักน้ํา =
π
π
18
700,2
ครั้ง
= 150 ครั้ง
ตอบ 150 ครั้ง

125
1. ถังเก็บน้ํามันของปมแหงหนึ่งเปนรูปทรงกลม มีเสนผานศูนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสีครึ่ง
ทรงกลมบน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. หินออนทรงลูกบาศกมีขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมีขนาดเสน
ผานศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศก จงหาวาจะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3. นําแทงตะกั่วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 นิ้ว ยาว 11 นิ้ว หนา 5 นิ้ว ไปหลอมเปนลูกปนทรงกลม
ขนาดรัศมี 1 นิ้ว จะหลอมไดกี่ลูก
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

126
เรื่องที่ 6 การคาดคะเนเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิว
การคาดคะเนพื้นที่ เปนการประมาณพื้นที่อยางคราวๆ จากการมองโดยอาศัยประสบการณ
และความรูเกี่ยวกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทียบและตัดสินใจ เพื่อใหใกลเคียงกับ
พื้นที่จริงมากที่สุด หนวยพื้นที่ที่นิยมใช คือ ตารางเซนติเมตร(ซม.2
) ตารางเมตร(ม.2
) และตารางวา
(วา2
)
การคาดคะเนพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม
ตัวอยาง จงคะเนหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมตอไปนี้

127
วิธีคิด ในบางครั้งการหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมตางๆ ที่ไมไดระบุหนวยความยาว เราอาจจะใช
วิธีการสรางหนวยตาราง 1 หนวย คลุมพื้นที่ดังกลาว
โดยกําหนด แทนพื้นที่ 1 หนวย
หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางเซนติเมตร
หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางเมตร
หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางวา
จากรูปภาพนับรูป ได 22 รูป ซึ่งแทนพื้นที่ 22 ตารางหนวย
ดังนั้นพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม = 22 ตารางหนวย

128
บทที่ 7
คูอันดับและกราฟ
คูอันดับ เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม เพื่อนําไปจัดทํากราฟบนระนาบพิกัด
หาปริมาณ ความเกี่ยวของของปริมาณสองชุด
1. อานและอธิบายความหมายคูอันดับได
2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากที่กําหนดใหได
3. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของของปริมาณสองชุดที่กําหนดใหได
เรื่องที่ 1 คูอันดับ
เรื่องที่ 2 กราฟของคูอันดับ
เรื่องที่ 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช

129
เรื่องที่ 1 คูอันดับ
คูอันดับ (Ordered pairs) เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม 2 กลุมที่มี
ความสัมพันธภายใตเงื่อนไขที่กําหนด เขียนแทนดวยสัญลักษณ (a , b) อานวา คูอันดับเอบี
เรียก a วา สมาชิกตัวหนา หรือสมาชิกตัวที่หนึ่ง
และเรียก b วา สมาชิกตัวหลัง หรือสมาชิกตัวที่สอง ดังแผนภาพ
เขียนเปนคูอันดับไดดังนี้ (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48)
หมายเหตุ คูอันดับ (1,a) ≠ (a,1)
ถากําหนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคูอันดับ 2 คูใดๆ จะไดวา ( a , b ) = ( x , y ) ก็ตอเมื่อ
a = x และ b = y
เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12)
ดังนั้น x = 5 และ y = 12
2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0)
วิธีทํา x – 3 = 0 และ y – 2 = 0
ดังนั้น x = 3 และ y = 2

130
1. จงเขียนคูอันดับจากแผนภาพที่กําหนดใหตอไปนี้
1).
…………………………………………………………………………………………
2).
…………………………………………………………………………………………
3).
…………………………………………………………………………………………
2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้
1). (x,y) = (4,3)
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
2). (x,y) = (y,2)

131
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
3). (x,0) = (6,y)
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
4). (x+1,y) = (5,4)
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

132
เรื่องที่ 2 กราฟของคูอันดับ
กราฟของคูอันดับเปนแผนภาพที่แสดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลุมหนึ่งกลับ
สมาชิกของอีกกลุมหนึ่งโดยใชเสนจํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหตัดกันเปนมุมฉาก ที่
ตําแหนงของจุดที่แทนศูนย (0) ซึ่งเราเรียกวา จุดกําเนิด ดังภาพ
เสนจํานวนในแนวนอน หรือแกน X และเสนจํานวนในแนวตั้ง หรือแกน Y อยูบนระนาบ
เดียวกัน และแบงระนาบออกเปน 4 สวนเรียกวา จตุภาค (Quadrant)
การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากที่กําหนดให

133
ตําแหนงของจุด A คือ (1,2)
ตําแหนงของจุด B คือ (-2,3)
ตําแหนงของจุด C คือ (-3,-2)
ตําแหนงของจุด D คือ (2,-4)
เรียกจุดที่แทนตําแหนงคูอันดับวากราฟของคูอันดับ และเรียกตําแหนงของคูอันดับวา พิกัด
ตัวอยาง กําหนด A = (-4,6) , B= (3,-5) , C= (2,2) , D = (-1,-2) จุด A, B, C, D อยูในจตุภาคใด
วิธีทํา จุด A = (-4,6) อยูในจตุภาคที่ 2
จุด B = (3,-5) อยูในจตุภาคที่ 4
จุด C = (2,2) อยูในจตุภาคที่ 1
จุด D = (-1,-2) อยูในจตุภาคที่ 3

134
1. จงหาพิกัดของจุด A, B, C, D ในแตละขอ
1.1
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
1.2
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

135
2. จงเขียนกราฟของคูอันดับในแตละขอ
1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0)
2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

136
เรื่องที่ 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช
เราสามารถนําคูอันดับและกราฟไปใชในชีวิตประจําวันได ซึ่งจะกลาวในตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยางที่ 1 กราฟที่แสดงปริมาณน้ํามัน (ลิตร) และราคาน้ํามัน (บาท) ของวันที่ 5 เดือนมีนาคม ป 2552
ซึ่งมีราคาลิตรละ 19 บาท
ตัวอยางที่ 2 จากกราฟในตัวอยางที่ 1 จงตอบคําถามตอไปนี้
(1) น้ํามัน 9 ลิตร ราคาเทาใด
(2) เงิน 209 บาท ซื้อน้ํามันไดกี่ลิตร
ราคาน้ํามัน (บาท)
ปริมาณน้ํามัน (ลิตร)

137
(1) จากตําแหนงแสดงปริมาณน้ํามัน 9 ลิตร ลากเสนตรงใหขนานกับแกนตั้งไป
ตัดกราฟและจากจุดที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตัดแกนที่แสดงราคาน้ํามัน เปนเงิน
171 บาท ดังนั้น น้ํามัน 9 ลิตร เปนราคา 171 บาท
(2) จากตําแหนงแสดงราคาน้ํามัน 209 ลิตร ลากเสนตรงใหขนานกับแกนนอนไปตัดกราฟและ
จากจุดที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนตั้งไปตัดที่แกนแสดงจํานวนน้ํามันเปนปริมาณ 11 ลิตร
ดังนั้น เงิน 209 ลิตร จะซื้อน้ํามันได 11 ลิตร
กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธ
จงใชกราฟที่กําหนดใหตอบคําถามตอไปนี้
1.อนุวัฒนออกเดินทางกอนอนุพันธกี่ชั่วโมง 4.อนุวัฒนออกเดินทางนานเทาไรจึงจะหยุดพัก
................................................................. .................................................................
2.อนุพันธใชเวลาเดินทางกี่ชั่วโมงจึงทันอนุวัฒน 5.ตําแหนงที่อนุวัฒนหยุดพักหางจากตําแหนงที่
อนุพันธออกเดินทางกี่กิโลเมตร
................................................................. .................................................................
3. อนุพันธเดินทางทันอนุวัฒนเมื่อทั้งสอง
เดินทางไดกี่กิโลเมตร
.................................................................

138
บทที่ 8
ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มีความสัมพันธกันเปนอยางมาก เหมาะที่จะนําไปใชใน
การประดิษฐเปนรูปลูกบาศกและใชประโยชนในชีวิตประจําวัน
1. อธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติจากภาพสองมิติที่กําหนดใหได
2. ระบุภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรูปเรขาคณิตสาม
มิติที่กําหนดใหได
3. วาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกเมื่อกําหนดภาพสองมิติที่ได
จากการมองทางดานหนา ดานขาง หรือดานบนได
เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจากการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ
เรื่องที่ 2 ภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ
เรื่องที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก

139
เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจาการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ
รูปเรขาคณิตมีสวนเกี่ยวของสัมพันธกับชีวิตประจําวันมนุษยตั้งแตอดีตจนถึงปจจุบัน
สิ่งแวดลอมตางๆ ที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากนี้เราใชเรขาคณิตเพื่อ
ทําความเขาใจหรืออธิบายสิ่งตางๆ รอบตัว เชน ในการสํารวจพื้นที่ สรางผังเมือง เปนตน
ภาพของรูปเรขาคณิต
รูปเรขาคณิต เปนรูปที่ประกอบดวย จุด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอยหนึ่งอยาง
ตัวอยางภาพเรขาคณิตสองมิติ
ตัวอยางรูปเรขาคณิตสามมิติ
จะเห็นวา รูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติ มีสวนประกอบของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติ
และสองมิติ

140
รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ
รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติใดๆ เปนรูปเรขาคณิตสองมิติที่สามารถ
นํามาประกอบกันแลวไดทรงสามมิติ
พิจารณาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูง 1 หนวย เทากัน ซึ่งเรา
เรียกทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้วา “ลูกบาศก”

141
1. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีรูปคลี่ดังตอไปนี้
1. ……..………………………...…. 2. ….……………………………….
3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

142
2. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละขอตอไปนี้

143
เรื่องที่ 2 ภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดานบนของรูปเรขาคณิต
สามมิติ
โดยทั่วไปการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติ
นิยมเขียน 3 ภาพ ซึ่งประกอบดวย ภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบน ดัง
ตัวอยาง จงแรเงาพรอมทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติสวนที่เปนดานบน ดานหนา และดานขางของ
ทรงสามมิติที่กําหนดใหตอไปนี้

145
จงเขียนภาพดานบน ดานหนา และดานขางของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให

146
เรื่องที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก
พิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกตอไปนี้
จะเห็นวา เมื่อเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ แสดงภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง และ
ดานบนดังภาพ
จะเห็นวาการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ เพื่อแสดงรูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจาก
ลูกบาศก เราสามารถเขียนจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในดานที่มองทั้งสาม
ดานดังภาพตอไปนี้

147
ตัวอยาง จงเขียนภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปสามมิติที่
กําหนดให พรอมทั้งเขียนตัวเลขแสดงจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตาราง
เขียนแสดงภาพทั้งหมดไดดังนี้

148
จงจับคูภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปนี้กับรูปเรขาคณิตสามมิติที่
กําหนดใหทางขวามือ โดยเลือกตัวอักษรที่กํากับไวในรูปเรขาคณิตสามมิติ เขียนเติมลงในชองวาง
บนขวาของแตละขอ

150
2. จงเขียนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้ พรอมทั้งเขียน
จํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส

151
บทที่ 9
สถิติ
1. ขอมูลเบื้องตนของสถิติ จะชวยใหทราบขอเท็จจริงที่ชัดเจนถูกตอง ซึ่งจะเปนประโยชน
สําหรับการวางแผนการดําเนินงาน และตัดสินใจปรับปรุงการดําเนินงานตามผลที่ไดนําเสนอขอมูล
ไว
2. การนําเสนอขอมูล มีความมุงหมายเพื่อแสดงใหเห็นรายละเอียดของขอมูลไดงาย ชัดเจน
และรวดเร็ว สามารถนําขอมูลไปใชประโยชนไดทันที ฉะนั้นการเลือกใชวิธีการนําเสนอขอมูลตอง
ใหเหมาะสมกับลักษณะของขอมูลและการใชประโยชนเปนสําคัญ
1. สามารถจัดเก็บรวบรวมขอมูลที่เหมาะสมได
2. สามารถนําเสนอขอมูลในรูปแบบที่เหมาะสมได
3. หาคากลางของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่
4. เลือกและใชคากลางของขอมูลที่กําหนดใหไดอยางเหมาะสม
5. อาน แปลความหมาย และวิเคราะหขอมูลจากการนําเสนอขอมูลที่กําหนดใหได
6. อภิปรายและใหขอคิดเห็นเกี่ยวกับขอมูลขาวสารทางสถิติที่สมเหตุสมผลได
เรื่องที่ 1 การรวบรวมขอมูล
เรื่องที่ 2 การนําเสนอขอมูล
เรื่องที่ 3 การหาคากลางของขอมูล
เรื่องที่ 4 การเลือกใชคากลางของขอมูล
เรื่องที่ 5 การใชสถิติขอมูลและสารสนเทศ

152
เรื่องที่ 1 การรวบรวมขอมูล
1.1 สถิติ
คําวา สถิติ (Statistics) มาจากภาษาเยอรมันวา Statistik มีรากศัพทมาจาก Stat
สถิติ หมายถึง ขอมูลหรือสารสนเทศ หรือตัวเลขแสดงจํานวนหรือปริมาณของสิ่งตาง ๆ ที่
ไดรวบรวมไว
สถิติ หมายถึง วิธีการที่วาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล การวิเคราะห
ขอมูลและการตีความหมายขอมูล สถิติในความหมายนี้เปนทั้งวิทยาศาสตรและศิลปศาสตร เรียกวา
"สถิติศาสตร”
สรุป สถิติ หมายถึง ศาสตรที่วาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล และการวิเคราะห
ขอมูล
1.2 การรวบรวมขอมูล (Data Collection)
การรวบรวมขอมูล หมายถึง การนําเอาขอมูลตางๆ ที่ผูอื่นไดเก็บไวแลว หรือรายงานไวใน
เอกสารตางๆ มาทําการศึกษาวิเคราะหตอ
1.3 ประเภทของขอมูล
ขอมูล หมายถึง ขอเท็จจริงเกี่ยวกับตัวแปรที่สํารวจโดยใชวิธีการวัดแบบใดแบบหนึ่ง
โดยทั่วไปจําแนกตามลักษณะของขอมูลไดเปน 2 ประเภท คือ
1) ขอมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data) คือ ขอมูลที่เปนตัวเลขหรือนํามาใหรหัสเปน
ตัวเลข ซึ่งสามารถนําไปใชวิเคราะหทางสถิติได เชน อายุ น้ําหนัก สวนสูง
2) ขอมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) คือ ขอมูลที่ไมใชตัวเลข ไมไดมีการใหรหัส
ตัวเลขที่จะนําไปวิเคราะหทางสถิติ แตเปนขอความหรือขอสนเทศ เชน เพศ ระดับการศึกษา อาชีพ
1.4 แหลงที่มาของขอมูล
แหลงขอมูลที่สําคัญ ไดแก บุคคล เชน ผูใหสัมภาษณ ผูกรอกแบบสอบถาม บุคคลที่ถูก
สังเกต เอกสารทุกประเภท และขอมูลสถิติจากหนวยงาน รวมไปถึง ภาพถาย แผนที่ แผนภูมิ หรือ
แมแตวัตถุ สิ่งของ ก็ถือเปนแหลงขอมูลไดทั้งสิ้น โดยทั่วไปสามารถจัดประเภทขอมูลตาม
แหลงที่มาได 2 ประเภท คือ

153
1) ขอมูลปฐมภูมิ (Primary Data) คือ ขอมูลที่ผูวิจัยเก็บขึ้นมาใหมเพื่อ
ตอบสนองวัตถุประสงคการวิจัยในเรื่องนั้นๆ โดยเฉพาะการเลือกใชขอมูลแบบปฐมภูมิ ผูวิจัยจะ
สามารถเลือกเก็บขอมูลไดตรงตามความตองการและสอดคลองกับวัตถุประสงค ตลอดจนเทคนิค
การวิเคราะห แตมีขอเสียตรงที่สิ้นเปลืองเวลา คาใชจาย และอาจมีคุณภาพไมดีพอ หากเกิดความ
ผิดพลาดในการเก็บขอมูลภาคสนาม
2) ขอมูลทุติยภูมิ (Secondary Data) คือ ขอมูลตางๆ ที่มีผูเก็บหรือรวบรวมไว
กอนแลว เพียงแตนักวิจัยนําขอมูลเหลานั้นมาศึกษาใหม เชน ขอมูลสํามะโนประชากร สถิติจาก
หนวยงาน และเอกสารทุกประเภท ชวยใหผูวิจัยประหยัดคาใชจาย ไมตองเสียเวลากับการเก็บขอมูล
ใหม และสามารถศึกษายอนหลังได ทําใหทราบถึงการเปลี่ยนแปลงและแนวโนมการเปลี่ยนแปลง
ของปรากฏการณที่ศึกษา แตจะมีขอจํากัดในเรื่องความครบถวนสมบูรณ เนื่องจากบางครั้งขอมูลที่
มีอยูแลวไมตรงตามวัตถุประสงคของเรื่องที่ผูวิจัยศึกษา และปญหาเรื่องความนาเชื่อถือของขอมูล
กอนจะนําไปใชจึงตองมีการปรับปรุงแกไขขอมูล และเก็บขอมูลเพิ่มเติมจากแหลงอื่นในบางสวนที่
ไมสมบูรณ
1.4 วิธีการเก็บรวบรวมขอมูล อาจแบงเปนวิธีการใหญๆ ได 3 วิธี คือ
1) การสังเกตการณ (Observation) ทั้งการสังเกตการณแบบมีสวนรวม และการ
สังเกตการณแบบไมมีสวนรวม หรืออาจจะแบงเปนการสังเกตการณแบบมีโครงสราง และการ
สังเกตการณแบบไมมีโครงสราง
2) การสัมภาษณ (Interview) นิยมมากในทางสังคมศาสตร โดยเฉพาะการ
สัมภาษณโดยใชแบบสอบถาม การสัมภาษณแบบเจาะลึก หรืออาจจะจําแนกเปนการสัมภาษณเปน
รายบุคคล และการสัมภาษณเปนกลุม เชน เทคนิคการสนทนากลุม ซึ่งนิยมใชกันมาก
3) การรวบรวมขอมูลจากเอกสาร เชน หนังสือ รายงานวิจัย วิทยานิพนธ บทความ
สิ่งพิมพตางๆ เปนตน
1.5 ขั้นตอนการเก็บรวบรวมขอมูล
1. การสัมภาษณบุคคลที่เกี่ยวของ
2. การบันทึกขอมูลจากจากบันทึกหรือเอกสารของหนวยงานตางๆ
3. การอานและศึกษาคนควา
4. การคนหาขอมูลจากอินเทอรเน็ต
5. การเขารวมในเหตุการณตางๆ
6. การฟงวิทยุและดูโทรทัศน

154
1. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปนี้แลวเขียนเครื่องหมาย  ลงในชองที่ตรงกับความคิดเห็นของ
ผูเรียน
ขอที่ ขอความ
ขอมูลสถิติ
เปน ไมเปน
1 แดงสูง 163 เซนติเมตร
2 นางสาวิภาวีมีสวนสัดเปน 35-24-36
3 น้ําหนักของนักเรียนทุกคนที่เรียนชุดการเรียนทางไกล
4 อุณหภูมิที่จังหวัดปทุมธานีวันนี้วัดได 25 องศาเซลเซียส
5 สมศรีไดคะแนน 15 คะแนน
6
ในการโยนเหรียญ 10 ครั้ง เกิดหัว 6 ครั้ง เกิดกอย 4 ครั้ง ได
อัตราสวนที่จะเกิดหัว
10
6
7 อาจารยศุภราเงินเดือน 23,000 บาท
8 ความสูงเฉลี่ยของประชาชนที่เปนชาย 162 เซนติเมตร
9 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญิง 2 คน ที่อยูในบานวิชัย
10
จํานวนคดีอาชญากรรมในป 2551 ซึ่งรวบรวมมาจากบันทึกคดี
อาชญากรรมแตละวันในแตละสถานีตํารวจ
2. ใหผูเรียนพิจารณาขอมูลในแตละขอตอไปนี้ แลวเขียนเครื่องหมาย  ลงในชองที่ตรงกับความ
คิดเห็น
ขอมูล
คุณภาพ
ขอมูล
ปริมาณ
1 สถิติคนไขแยกตามเชื้อโรคของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง
2
จํานวนครั้งของการโทรศัพททางไกลจากแตละเครื่องใน
สํานักงาน 10 เครื่อง ในวันหนึ่ง
3
ผูจัดการถูกสัมภาษณถึงจํานวนเปอรเซ็นตของเวลาทํางานที่ใชใน
การประชุม
4
เครื่องสําอางโดยเฉพาะสีของสีทาปาก ซึ่งแตละบริษัทใน 10
บริษัท ไดระบุวามียอดขายมากที่สุด

155
3. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปนี้ แลวเติมคําตอบลงในชองวางตามความคิดเห็นของผูเรียนวา
เปนขอมูลปฐมภูมิ หรือทุติยภูมิ
1) รายงานประจําปของหนวยงานตางๆ
………………………………………………………………………………………………………
2) สํานักงานสถิติแหงชาติ ตองการเก็บสถิติผลผลิตขาวทั่วประเทศ โดยการไปสัมภาษณ
ชาวนา
………………………………………………………………………………………………………
3) ศิรินภาไปขอขอมูลเกี่ยวกับจํานวนคนเกิด ตาย และยาย ซึ่งสํานักงานเทศบาลแหงหนึ่ง
ไดรวบรวมไว
………………………………………………………………………………………………………
4) บรรณารักษหองสมุดโรงเรียนแหงหนึ่ง ไดสังเกตและบันทึกการใชหองสมุดของ
นักเรียนแตละวัน
………………………………………………………………………………………………………
5) ครูคนหนึ่งตองการทราบวาหองสมุดของโรงเรียนมีนักเรียนใชมากหรือนอยเพียงใดใน
แตละวัน จึงไปขอลอกขอมูลจากบรรณารักษ
………………………………………………………………………………………………………

156
เรื่องที่ 2 การนําเสนอขอมูล
การนําเสนอขอมูลเปนการนําขอมูลที่เก็บรวบรวมมาจากแหลงตาง ๆ ซึ่งยังไมเปนระบบ
มาจัดเปนหมวดหมูใหมีความสัมพันธเกี่ยวของกันตามวัตถุประสงค เพื่อสะดวกแกการอาน ทํา
ความเขาใจ การวิเคราะห และแปลความหมาย เพื่อประยุกตใชในชีวิตประจําวันตอไป
การนําเสนอขอมูลแบงออกเปน 2 ประเภท ไดแก
1. การนําเสนอขอมูลอยางไมมีแบบแผน (informal presentation) หมายถึง การนําเสนอ
ขอมูลที่ไมมีกฎเกณฑ หรือแบบแผนที่แนนอนตายตัว เปนการอธิบายลักษณะของขอมูลตามเนื้อหา
ขอมูล ที่นิยมใชมีสองวิธีคือ การนําเสนอขอมูลในรูปบทความหรือขอความเรียง และการนําเสนอ
ขอมูลในรูปบทความกึ่งตาราง
- การนําเสนอขอมูลในรูปขอความ นิยมใชกับขอมูลที่มีจํานวนไมมากนัก เชน ใน
ปงบประมาณ 2552 กศน.บานแพว ไดอนุมัติใหนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนตนจบการศึกษา
จํานวน 480 คน คิดเปนรอยละ 92 อนุมัติใหนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจบการศึกษา
จํานวน 372 คน คิดเปนรอยละ 95
- การนําเสนอขอมูลในรูปขอความกึ่งตาราง (Semi – tabular arrangement) คือ การนําเสนอ
ขอมูล โดยแยกตัวเลขออกจากขอความ เพื่อตองการใหเห็นตัวเลขที่ชัดเจนและเปรียบเทียบความ
แตกตางไดสะดวกยิ่งขึ้น ตัวอยาง เชน บริษัทคอมพิวเตอรแหงหนึ่งมีจํานวนยอดขายประจําเดือน
มกราคม 2553 ของลูกคา จําแนกตามภาคตาง ๆ ดังนี้
ภาค จํานวนยอดขาย ( พันเครื่อง )
เหนือ 210
กลาง 398
ตะวันออก 135
ตะวันออกเฉียงเหนือ 102
ใต 170
2. การนําเสนอขอมูลอยางมีแบบแผน เปนการนําเสนอขอมูลที่มีกฎเกณฑ โดยแตละแบบ
จะตองประกอบดวยชื่อเรื่อง สวนของการนําเสนอ และแหลงที่มาของขอมูล การนําเสนอขอมูล
อยางมีแบบแผน ประกอบดวย การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง แผนภูมิรูปภาพ แผนภูมิวงกลม
(แผนภูมิกง) แผนภูมิแทง กราฟเสน และตารางแจกแจงความถี่
2.1 การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง
การนําเสนอในรูปตาราง (Tabular presentation) ขอมูลตางๆ ที่เก็บรวบรวมมาไดเมื่อทํา
การประมวลผลแลวจะอยูในรูปตาราง เปนการนําเสนอขอมูลที่งาย และนิยมใชกันอยาง
แพรหลาย เพราะมีความสะดวกและงายแกการนําไปวิเคราะหและแปลความหมายทางสถิติ

157
เปรียบเทียบการปรับราคาน้ํามันป 2521-2523
(ราคา : บาท / ลิตร)
ชนิดน้ํามัน 2521 2522 2523
10 มี.ค. 31 ม.ค. 22 มี.ค. 13 ก.ค. 20 ก.ค. 9 ก.พ. 20 มี.ค.
เบนซินพิเศษ 4.98 5.60 - 7.84 - 9.80 -
เบนซินธรรมดา 4.98 5.12 - 7.45. - 9.26 -
น้ํามันกาด 2.68 3.06 - 5.12 4.20 6.71 5.70
ดีเซลหมุนเร็ว 2.64 3.03 - 4.88 - 7.39 6.50
ดีเซลหมุนชา 2.50 2.93 - 4.71 - 7.12 6.27
น้ํามันเตา 450 1.52 - - - - - -
น้ํามันเตา 600 1.66 1.86 1.90 3.04 - 3.78 -
น้ํามันเตา 1,200 1.62 1.79 1.83 2.93 - 3.64 -
น้ํามันเตา 1,500 1.61 1.77 1.81 2.90- - 3.61 -
ที่มา: ภาวะการคาของประเทศไทยป 2522 สภาหอการคาแหงประเทศไทย
2.2 การนําเสนอขอมูลดวยแผนภูมิรูปภาพ
แผนภูมิรูปภาพ คือ แผนภูมิที่ใชรูปภาพแทนจํานวนของขอมูลที่นําเสนอ เชน แผนภูมิ
รูปภาพคน รูปภาพคน 1 คน แสดงประชากรที่นําเสนอ 1 ลานคน เปนตน
การเขียนแผนภูมิรูปภาพ อาจกําหนดใหรูปภาพ 1 รูปแทนจํานวนสิ่งของ 1 หนวย หรือ
หลายหนวยก็ไดรูปภาพแตละรูปตองมีขนาดเทากันเสมอ
แผนภูมิแสดงงานอดิเรกของนักเรียนชั้น ป. 6 ของโรงเรียนแหงหนึ่ง (สํารวจเมื่อวันที่ 19 มกราคม
2548)
ปลูกตนไม
อานหนังสือ
วาดรูป
เลี้ยงสัตว
เลนกีฬา
หมายเหตุ 1 ภาพ แทนจํานวนนักเรียน 15 คน

158
2.3 การนําเสนอดวยแผนภูมิแทง (Bar chart) ประกอบดวยรูปแทงสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งแตละ
แทงมีความหนาเทาๆ กัน โดยจะวางตามแนวตั้งหรือแนวนอนของแกนพิกัดฉากก็ได
แผนภูมิแทงแบบทางเดียว เปนการนําขอมูลเพียงขอมูลเดียวมานําเสนอในรูปแบบของ
แทงสี่เหลี่ยม
ตัวอยาง แผนภูมิแทงแสดงการสงออกไกไปตางประเทศ
แผนภูมิแทงแสดงการเปรียบเทียบ เปนการนําขอมูลตั้งแต 2 ชุดขึ้นไปที่เปนเรื่องเดียวกัน
นํามาเขียนบนแกนคูเดียวกัน แลวระบายสีแทงสี่เหลี่ยมใหตางกันเพื่องายตอการดู แลวอธิบายวาสี
ใดแทนอะไร
ตัวอยาง แผนภูมิแสดงการเปรียบเทียบยอดการขายแตละเดือนของบริษัทหนึ่ง
ปริมาณ (ตัน)
ประเทศ
จํานวน (ลานบาท)

159
2.4 การนําเสนอดวยกราฟเสน (Line graph) เปนแบบที่รูจักกันดีและใชกันมากที่สุดแบบ
หนึ่ง เหมาะสําหรับขอมูลที่อยูในรูปของอนุกรมเวลา เชน ราคาขาวเปลือกในเดือนตางๆ ปริมาณ
สินคาสงออกรายป เปนตน
จากตาราง นําเสนอขอมูลดวนกราฟเสน ดังนี้
2.5 การนําเสนอดวยรูปแผนภูมิวงกลม (Pie chart) เปนการแบงวงกลมออกเปนสวนตางๆ
ตามจํานวนชนิดของขอมูลที่จะนําเสนอ
ตัวอยาง แผนภูมิวงกลมแสดงการใชที่ดินที่ถือครอบ เพื่อการเกษตร พ.ศ. 2518

160
2.6 การนําเสนอขอมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่
ขอมูลที่เก็บรวบรวมมาไดนั้น ถามีจํานวนมากหรือซ้ํากันอยูมาก เมื่อมาเรียงกันหรือจัดให
อยูเปนหมวดหมูแลว จะชวยใหเราบอกรายละเอียดตางๆ หรือสรุปผลเกี่ยวกับขอมูลไดสะดวกและ
รวดเร็วขึ้น
เชน
ในการชั่งน้ําหนักของนักเรียน 40 คน หนวยเปนกิโลกรัม ปรากฏผลดังนี้
57 44 46 41 48 50 51 42 43 45
45 43 42 40 50 41 47 60 50 52
46 42 42 53 46 55 45 41 50 42
44 41 40 45 59 44 49 50 39 42
ในทางสถิติเรียกวา ขอมูลดิบ หรือคะแนนดิบ หรือคาจากสังเกต เมื่อนํามาจัดเรียงใหมให
เปนระบบโดยอาจเรียงจากมากไปหานอยหรือจากนอยไปหามาก แลวบันทึกรอยขีด แสดงจํานวน
ครั้งของขอมูลที่เกิดขึ้นซ้ํากันในตาราง จํานวนรอยขีดที่นับไดเรียกวา ความถี่ของแตละขอมูล
ตารางที่นําเสนอขอมูลในรูปแบบนี้เรียกวา ตารางแจกแจงความถี่ และวิธีการจําแนกขอมูล
โดยการบันทึกรอยขีดเพื่อหาคาความถี่เรียกวา การแจกแจงความถี่
การสรางตารางแจกแจงความถี่
ในกรณีที่ขอมูลที่เก็บรวบรวมมามีจํานวนมากๆ และไมคอยซ้ํากัน ถาจะเรียงลําดับจะเปน
การเสียเวลาและสิ้นเปลืองมาก จึงกําหนดขอมูลเปนชวงๆ และหาความถี่ของชวงขอมูลนั้นๆ
วิธีการสรางตารางแจกแจงความถี่ โดยจัดเปนอันตรภาคชั้นใหทุกๆ ชั้นมีความกวาง
เทากัน มีวิธีการดังนี้
1. หาพิสัยของขอมูล
พิสัย = ขอมูลที่มีคาสูงสุด – ขอมูลที่มีคาต่ําสุด

161
2. กําหนดจํานวนชั้นหรือกําหนดความกวางของอันตรภาคชั้นขึ้นมา
- ถากําหนดจํานวนชั้นก็ใหหาความกวางของอันตรภาคชั้น
ความกวางของอันตรภาคชั้น =
พิสัย
จํานวนอันตรภาคชั้น
(เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ)
- ถากําหนดความกวางของอันตรภาคชั้นก็หาจํานวนชั้นไดจาก
จํานวนอันตรภาคชั้น =
พิสัย
ความกวางของอันตรภาคชั้น
(เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ)
3. เขียนอันตรภาคชั้นโดยเรียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย ถาเรียงคาจากนอยไปมาก
ตองใหขอมูลที่มีคาต่ําสุดในอันตรภาคชั้นแรก และขอมูลที่มีคาสูงสุดอยูในอันตรภาคชั้นสุดทาย
4. นําขอมูลดิบมาใสในตารางโดยใชรอยขีด
5. รวมความถี่ตามรอยขีด
ตัวอยาง จากขอมูล
72 74 49 50 62 43 44 54 46 54
45 53 63 67 65 57 65 50 66 69
80 77 60 55 52 56 61 61 82 74
48 66 71 81 51 59 48 68 70 63
จงหา
1. พิสัย
2. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ ใหมีทั้งหมด 6 ชั้น
3. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ ใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นทุกชั้นเปน 8 ทุกชั้น

162
1. ขอมูลที่มีคาสูงสุดเปน 82
ขอมูลที่มีคาต่ําสุดเปน 43
ดังนั้นพิสัย = 82 – 43= 39
ตอบ พิสัยเปน 39
2. โจทยกําหนดใหสรางตารางแจกแจงความถี่ทั้งหมด 6 ชั้น
จํานวนอันตรภาคชั้น =
พิสัย
ความกวางของอันตรภาคชั้น
จํานวนชั้น =
6
39
= 6.5
≈ 7
ดังนั้นความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7
เขียนอันตรภาคชั้นโดยเรียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย ถาเอาขอมูลที่มีคาต่ําสุดเปนตัว
เริ่มตน และใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7 จัดไดดังนี้
อันตรภาคชั้น รอยขีด ความถี่
43-49 //// // 7
50-56 //// //// 9
57-63 //// /// 8
64-70 //// /// 8
71-77 //// 5
78-84 /// 3
รวม 40
จากตารางแจกแจงความถี่ขางตน มีคาตางๆ ที่ผูเรียนควรทราบอีก คือ
1. ขอบลาง =
คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้น + คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่ต่ํากวาหนึ่งชั้น
2
หรือ ขอบลาง = คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่เราตองการ - 0.5
เชน ขอบลางของอัตรภาคชั้น 50-56 ไดแก 49.5

163
2. ขอบบน =
คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้น + คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชั้นที่สูงกวาหนึ่งชั้น
2
หรือ ขอบบน = คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นที่เราตองการ + 0.5
เชน ขอบบนของอันตรภาคชั้น 50 - 56 = 5.56
2
5756
=
−
หรือ ขอบบน = 56 + 0.5 = 56.5
3. จุดกึ่งกลางชั้น =
ขอบลาง + ขอบบน (ของอันตรภาคชั้น)
2
เชน อันตรภาคชั้น 50 – 56 มีขอบบน และขอบลาง ไดแก 49.5 และ 56.5 ตามลําดับ
ดังนั้น จุดกึ่งกลางชั้น = 53
2
5.565.49
=
+

164
1. แผนภูมิรูปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสินคาแหงหนึ่งโดยเฉลี่ยตอวัน จําแนกตามแผนกตางๆ
จากแผนภูมิจงตอบคําถามตอไปนี้
1) รายไดจากแผนกเสื้อผาบุรุษ และแผนกเสื้อผาสตรีรวมกันมากกวาหรือนอยกวารายไดจากแผนก
เครื่องเขียน แบบเรียนอยูกี่เปอรเซ็นต
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2) รายไดจากแผนกใดนอยที่สุด และคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกที่รายไดมากที่สุด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
3) รายไดจากแผนกเสื้อผาสตรีคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกเครื่องเขียน แบบเรียน
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
4) แผนกใดที่มีรายไดมากเปนอันดับสอง และรายไดนั้นคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดทั้งหมด
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

165
2. จากการสอบถามงบประมาณที่แตละกลุมสาระการเรียนรูไดมาจากการจัดสรรงบประมาณของ
ทางโรงเรียน เปนดังนี้
กลุมสาระการเรียนรู งบประมาณ
(บาท)
จํานวนเปอรเซ็นต ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลาง
ของรูปวงกลม (องศา)
คณิตศาสตร 35,000 29.10100
340000
35000
=× 06.37360
340000
35000
=× 
วิทยาศาสตร 100,000
ภาษาตางประเทศ 48,000
ภาษาไทย 34,500
ศิลปะ 18,500
การงานอาชีพและเทคโนโลยี 40,500
สุขศึกษาและพลศึกษา 29,500
สังคมศึกษา ศาสนา และ
วัฒนธรรม
34,000
รวม 340,000
3. จงเขียนแผนภูมิรูปวงกลมโดยใชจํานวนเปอรเซ็นตและขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของรูป
วงกลมที่คํานวณไดจากตารางขางตน

166
4. ใหผูเรียนพิจารณากราฟเสนตอไปนี้
จากกราฟเสน จงตอบคําถามตอไปนี้
1) ใน พ.ศ. ใดบางที่ปริมาณไมสักที่ผลิตไดมีมากกวาไมประดู
.............................................................................................................................................................
2) ในพ.ศ. ใดที่ปริมาณของไมสักและไมประดูที่ผลิตไดตางกันมากที่สุด และตางกันประมาณกี่
ลูกบาศกเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

167
3) ในชวง พ.ศ. 2531 – 2533 ปริมาณไมสักและไมประดูที่ผลิตไดมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงเปน
อยางไร และชนิดใดมีการเปลี่ยนแปลงมากกวา
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
4) ใน พ.ศ. 2532 ปริมาณไมสักที่ผลิตไดคิดเปนกี่เปอรเซ็นตของปริมาณไมประดูที่ผลิตไดในป
เดียวกัน (ตอบเปนคาประมาณของจํานวนเต็มหนวย)
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
5) ปริมาณไมประดูในปที่ผลิตไดมากที่สุดและในปที่ผลิตไดนอยที่สุดแตกตางกันประมาณกี่
ลูกบาศกเมตร
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

168
4. ตารางแสดงรายจับ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดือนแรกของป พ.ศ. 2546 เปนดังนี้
จากตารางจงนําเสนอขอมูลดวยกราฟเสน

169
เรื่องที่ 3 การหาคากลางของขอมูล
การหาคากลางของขอมูลที่เปนตัวแทนของขอมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุป
เรื่องราวเกี่ยวกับขอมูลนั้นๆ จะชวยทําใหเกิดการวิเคราะหขอมูลถูกตองดีขึ้น การหาคากลางของ
ขอมูลมีวิธีหาหลายวิธี แตละวิธีมีขอดีและขอเสีย และมีความเหมาะสมในการนําไปใชไมเหมือนกัน
ขึ้นอยูกับลักษณะขอมูลและวัตถุประสงคของผูใชขอมูลนั้นๆ
คากลางของขอมูลที่สําคัญ มี 3 ชนิด คือ
1. คาเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean) คือ คาที่ไดจากผลรวมของขอมูลทั้งหมด หารดวยจํานวน
ขอมูลทั้งหมด ใชสัญลักษณ คือ x
N
xxxx
x n...321 +++
=
X แทน ขอมูล
N แทน จํานวนขอมูล
ตัวอยาง จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุมหนึ่งเปนดังนี้ 14 , 16 , 20 , 25 , 30
วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ คือ
5
3025201614 ++++
=
5
105
= 21
ตัวอยาง จากขอมูล 4, 8, 4, 5, 8, 5, 6, 8
วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ คือ
8
86585484 +++++++
=
8
48
= 6

170
2. มัธยฐาน (Median)
คือ คาที่มีตําแหนงอยูกึ่งกลางของขอมูลทั้งหมด เมื่อไดเรียงขอมูลตามลําดับ ไมวาจากนอย
ไปมาก หรือจากมากไปนอย ใชสัญลักษณ Med
หลักการคิด
2
1+N
1) เรียงขอมูลที่มีอยูทั้งหมดจากนอยไปมาก หรือมากไปนอยก็ได
2) ตําแหนงมัธยฐาน คือ ตําแหนงกึ่งกลางขอมูล ดังนั้นตําแหนงของมัธยฐาน =
เมื่อ N คือ จํานวนขอมูลทั้งหมด
ตัวอยาง จงหามัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้ 3, 10, 4, 15, 1,24, 28, 8, 30, 40, 23
วิธีทํา 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย
จะได 1, 3, 4, 8, 10, 15, 23, 24, 28, 30, 40
2. หาตําแหนงของขอมูล จาก
2
1+N
จะได 6
2
111
=
+
ดังนั้น มัธยฐานอยูตําแหนงที่ 6 มีคาเปน 15
ถาขอมูลชุดนั้นเปนจํานวนคู จะใชคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลคูที่อยูตรงกลางเปนมัธยฐาน
ตัวอยาง จงหามัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้ 25, 3, 2, 10, 14, 6, 19, 22, 30, 8, 45, 36, 50, 17
วิธีทํา 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย
จะได 2, 3, 6, 8, 10, 14, 17, 19, 22, 25, 30, 36, 45, 50
2. หาตําแหนงของขอมูล จาก
2
1+N
จะได 5.7
2
114
=
+
มัธยฐานอยูระหวางตําแหนงที่ 7 และ 8
ดังนั้น มัธยฐาน คือ 18
2
1917
=
+

171
3. ฐานนิยม (Mode)
ฐานนิยมของขอมูลชุดหนึ่ง คือ ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในขอมูลชุดนั้น หรืออาจกลาววา
ขอมูลใดการซ้ํากันมากที่สุด(ความถี่สูงสุด) ขอมูลนั้นเปนฐานนิยมของขอมูลชุดนั้น และ ฐาน
อาจจะไมมี หรือ มีมากกวา 1 คาก็ได
ตัวอยาง จากขอมูล 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7 จงหาฐานนิยม
วิธีทํา จากขอมูลจะเห็นวา
มี 2 อยูหนึ่งตัว
มี 3 อยูสองตัว
มี 4 อยูสามตัว
มี 6 อยูสามตัว
ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในที่นี้มี 2 ตัวคือ 4 และ 6 ซึ่งตางก็มีความถี่เปน 3
ดังนั้น ฐานนิยมของขอมูลชุดนี้ คือ 4 และ 6

172
1. จากขอมูล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน
คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….
มัธยฐาน = ………………………………………………….
ฐานนิยม = ………………………………………………….
เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก
คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….
มัธยฐาน คือ = ………………………………………………….
ฐานนิยม คือ = ………………………………………………….
2. จากขอมูล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน
คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….
มัธยฐาน = ………………………………………………….
ฐานนิยม = ………………………………………………….
คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….
มัธยฐาน คือ = ………………………………………………….
ฐานนิยม คือ = ………………………………………………….
3. จากขอมูล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน
คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….
มัธยฐาน = ………………………………………………….
ฐานนิยม = ………………………………………………….
คาเฉลี่ยเลขคณิต = ………………………………………………….
มัธยฐาน คือ = ………………………………………………….
ฐานนิยม คือ = ………………………………………………….

173
เรื่องที่ 4 การเลือกใชคากลางของขอมูล
ในการที่จะเลือกใชคากลางคาใดนั้น ขึ้นอยูกับจุดประสงคของผูใช ซึ่งคากลางทั้งสามมี
สมบัติที่แตกตางกันดังนี้
คาเฉลี่ยเลขคณิต
ขอเสีย
1. ถาขอมูลมีบางคาต่ําเกินไปหรือสูงเกินไป จะมีผลตอคาเฉลี่ยเลขคณิต จึงไมเหมาะสมที่
จะใช เชน รายไดของพนักงาน 5 คน เปนดังนี้ 7,000 บาท 9,000 บาท 13,500 บาท 18,000 บาท
80,000 บาท
2. ถาขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปด เชน นอยกวาหรือเทากับ มากกวาหรือเทากับ จะ
คํานวณหาคาเฉลี่ยเลขคณิตไมได
3. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น
ขอดี
1. มีประโยชนในการใชขอมูลจากตัวอยางอางอิงไปสูประชากร
2. สามารถคํานวณไดงายโดยใชคาที่ไดมาทุกจํานวน
3. มีการนําไปใชในสถิติชั้นสูงมากกวาคาเฉลี่ยแบบอื่น ๆ
4. สามารถเปรียบเทียบกับขอมูลชุดอื่นไดงาย
ฐานนิยม
1. บางครั้งหาฐานนิยมไมได
2. การคํานวณฐานนิยมไมไดใชคาของขอมูลทุกตัว จึงไมเปนตัวแทนที่ดีนัก
3. คาฐานนิยมไมคอยนิยมใชในสถิติชั้นสูง
ขอดี
1. เขาใจงายและคํานวณงาย
2. สามารถคํานวณจากกราฟได
3. เปนคากลางที่ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพ
4. เมื่อมีขอมูลบางตัวเล็กหรือใหญผิดปกติจะไมกระทบฐานนิยม
5. ใชไดดีเมื่อจุดประสงคมุงที่จะศึกษาสิ่งที่เกิดขึ้นบอย หรือลักษณะที่คนชอบมากหรือมี
คะแนนสวนใหญรวมกันอยู ณ คาใดคาหนึ่ง
6. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดสามารถหาฐานนิยมได

174
มัธยฐาน
1. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น
2. สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่หรือขอมูลที่จัดกลุมมัธยฐานที่คํานวณไดจะไมใชคา
ขอมูลจริง
ขอดี
1. คํานวณไดงายสําหรับขอมูลไมจัดกลุม
2. ขอมูลบางคามีคาสูงหรือต่ําเกินไป ไมกระทบกระเทือนตอมัธยฐาน จึงเหมาะที่จะใชมัธย
ฐานมากที่สุด
3. กรณีที่ขอมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดก็สามารถหามัธยฐานได
1. จากตารางใหนักเรียนหาความถี่สะสม โดยเติมลงในชองความถี่สะสม

175
2. จากตารางในขอ 1
ฐานนิยม คือ ........................................................................................
มัธยฐาน คือ .......................................................................................
หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ
คาเฉลี่ยเลขคณิต = ……………………………………………..
= ……………………………………………..
ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ .......................................................

176
3. ตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนัก (หนวยเปนกิโลกรัม) ของนักเรียน 60 คน

177
2) ฐานนิยมของน้ําหนักอยูในชวงใด
.............................................................................................................................................................
3) โดยสวนใหญนักเรียนหนักอยูในชวงใด
.............................................................................................................................................................
4) ถาเรียงน้ําหนักนอยที่สุดไปยังน้ําหนักมากที่สุด จงหาตําแหนงของมัธยฐาน
.............................................................................................................................................................
5) นักเรียนคิดวามัธยฐานของน้ําหนักอยูในชวงใด
.............................................................................................................................................................
6) หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ
คาเฉลี่ยเลขคณิต = ……………………………………………..
= ……………………………………………..
ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิต คือ .......................................................

178
เรื่องที่ 5 การใชสถิติ ขอมูลสารสนเทศ
5.1 สถิติในชีวิตประจําวัน
ในชีวิตประจําวันของคนเรานั้น สถิติมีสวนเกี่ยวของอยูเสมอ เชน
ในเรื่องเกี่ยวกับตัวนักเรียน อาจจะมีการหาความสูงโดยเฉลี่ย หรือหาน้ําหนักโดยเฉลี่ย
หรือหาคะแนนเฉลี่ย หรือหาสวนสัดโดยเฉลี่ยของนักเรียนทั้งหองเรียน เปนตน
ในเรื่องเกี่ยวกับครู-อาจารย ก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนครู-อาจารย ระดับผลการเรียนของ
นักเรียน จํานวนนักเรียนที่ติด 0, ร. มส. จํานวนนักเรียนที่สอบเขามหาวิทยาลัยไดในแตละรุน แต
ละปและสถิติการทํางานในสถานที่ตางๆ ของนักเรียนที่จบการศึกษาในแตละรุน เปนตน
ในเรื่องของขาวสาร สารสนเทศ จะเห็นวาในหนังสือพิมพ หรือในโทรทัศนจะมีตัวเลข
แสดงใหเห็นขอเท็จจริงตางๆ เชน สถิติเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงราคาหุน อาจจะนําเสนอในรูปแบบ
ตางๆ เชน นําเสนอในรูปตาราง นําเสนอในรูปแผนภูมิแทง นําเสนอในรูปแผนภูมิวงกลม หรือ
นําเสนอในรูปกราฟเสน เปนตน
ในเรื่องของแรงงาน ก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนคนในกําลังแรงงาน เปอรเซ็นตของคนวางงาน
รายไดและสวัสดิการที่คนงานไดรับ เปนตน
ในเรื่องเกี่ยวกับการกสิกรรม จะเห็นวาเกษตรกรตองมีการพัฒนาอยูเรื่อยๆ เชน การศึกษา
ผลผลิตขาวพันธุใหมเทียบกับพันธุเดิม หรือการทดลองปลูกออยในที่ดินลักษณะตางๆ การปลูกมัน
สําปะหลังแบบใดจึงจะเหมาะกับสภาพดินของตนเอง หรือการปลูกหมอนเลี้ยงไหมพันธุไหนดีกวา
กัน จึงจะไดใบหมอนที่มีคุณภาพทั้งยังเปนการประหยัดเวลาและแรงงาน ซึ่งสถิติมีสวนในการวาง
แผนการ ทดลองและการวิเคราะหขอมูล
ในเรื่องของการประกันชีวิต บริษัทประกันก็ตองมีสถิติของพนักงานหรือตัวแทน หรือ
ผูจัดการแตละฝาย หรือตําแหนงที่สูงกวา หรือสถิติยอดขายในแตละเดือน หรือการปรับอัตราการ
ชําระเบี้ยประกันที่มีการปรับปรุงเปลี่ยนแปลง อาจจะแยกตามเพศ ตามอายุ ตามวงเงิน การกําหนด
อัตราเบี้ยประกัน จะตองอาศัยขอมูลที่ผานมา สถิติมีสวนในการคํานวณเบี้ยประกันตามวิธีของการ
ประกันภัย พรอมทั้งมีการเสนอในรูปแบบตางๆ โดยเฉพาะแบบตาราง เปนตน
ในเรื่องเกี่ยวกับธุรกิจการคา บริษัทหางรานหรือสรรพสินคาตางๆ ก็มีสถิติเกี่ยวกับยอดขาย
สินคาในแผนกตางๆ สถิติแสดงปริมาณสินคาที่ขายประเภทตางๆ สถิติยอดขายของพนักงานแตละ
คน นอกจากนี้สถิติยังไปเกี่ยวของกับการรับประกันอายุใชงานของสินคา สถิติชวยในการกําหนด
วิธีเก็บรวบรวมขอมูลและการวิเคราะหขอมูล นอกจากนี้สถิติก็ยังมีสวนเกี่ยวของกับการควบคุม
คุณภาพสินคาที่ผลิตดวย

179
ในวงการแพทยก็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนแพทย พยาบาล จํานวนผูปวย จําแนกโรคตางๆ
สถิติการผลิตและจํานวนยาประเภทตางๆ จํานวนคนตายจําแนกตามสาเหตุของการตาย จํานวนผู
บริจาคเลือดในแตละป เปนตน นอกจากนี้สถิติยังไมเกี่ยวของในการออกแบบ และการวางแผนการ
ทดลอง การเก็บรวบรวมขอมูล การวิเคราะหขอมูลเพื่อหาขอสรุป เกี่ยวกับการทดสอบประสิทธิผล
ของยารักษาโรคชนิดตางๆ อีกดวย
ในเรื่องของการบริหารงานขององคกรตางๆ อาทิ องคกรของรัฐ เชน ระดับอําเภอก็มีสถิติ
เกี่ยวกับประชากร ในแตละหมูบาน ในแตละตําบล สถิติเกี่ยวกับอาชีพตาง ๆ ผลผลิตแตละป
การศึกษาของคนในแตละชุมชนเปนอยางไร จะจัดสรรงบประมาณไปใหแตละแหงมากนอย
เพียงใด สถิติมีสวนเกี่ยวของมาก
นอกจากที่กลาวมาแลวขางตน สถิติยังไปเกี่ยวของกับชีวิตประจําวันอีกหลายอยาง เชน การ
สํารวจความคิดเห็นหรือโพล การรวมแสดงความคิดเห็นโดยการสง sms ซึ่งคิดออกมาในรูปรอยละ
เห็นดวยไมเห็นดวย นําเสนอผานหนาจอโทรทัศนเปนประจํา สถิติเกี่ยวกับน้ําทวม ไรนาเสียหายไป
กี่ไร จะมีมาตรการอยางไรที่จะแกไข ในปตอไปซึ่งตองมีการเก็บรวบรวมขอมูลจากปที่ผานๆ มา
หรือสถิติคนใชบริการรถโดยสารในชวงเทศกาลตางๆ สถิติการเกิดอุบัติเหตุบนทองถนน ซึ่งขอมูล
เหลานี้ลวนแตเกี่ยวของกับสถิติทั้งสิ้น
ใหนักศึกษาอภิปรายหาขอมูลสารสนเทศที่เคยมีประสบการณ มา 4 – 5 ชนิด

180
5.2 การใชขอมูลสารสนเทศ
การเลือกใชขอมูลในการตัดสินใจ เปนสิ่งที่มีประโยชนมาก เพราะในการดํารงชีวิตของ
คนเรามักเกี่ยวของกับเหตุการณตางๆ มากมาย จึงจําเปนตองอาศัยการตัดสินใจอยางมีระบบระเบียบ
มีหลักมีเกณฑ และมีเหตุผล โดยนําปจจัยตางๆ มาพิจารณากอนที่จะตัดสินใจ เพื่อใหไดทางเลือกที่
ดีที่สุด ซึ่งตองอาศัยทั้งความรู ประสบการณ ขอมูล ขาวสารตางๆ เปนสวนประกอบ เพื่อไมใหเกิด
ความผิดพลาดหรือโอกาสที่จะผิดพลาดมีนอยที่สุด เชน
การเลือกสิ่งตาง ๆ การตัดสินใจ
การเลือกซื้อสินคาอยางหนึ่ง 1. คุณภาพดี
2. ราคาไมแพงเกินไป
3. มีคนนิยมมาก
4. จําเปนตองใช
5. ชอบเปนชีวิตจิตใจ
การเลือกธนาคารเพื่อการออม 1. ธนาคารของรัฐบาล
2. ธนาคารใกลบาน
3. ธนาคารใกลที่ทํางาน
4. ใหผลประโยชนมาก
5. การไปมาสะดวก
6. ธนาคารที่มีความมั่นคงไม
สั่นคลอน หรือ ไมมีขาวออกมา
ในทางไมสูดีอยูเสมอๆ
การลงทุนในกิจการอยางใดอยางหนึ่ง 1. เงินลงทุน
2. ผลผลิตที่ได
3. คุมคาแรงงานหรือไม
4. เปนที่นิยมหรือเปลา
การเลือกชมรายการโทรทัศนชองตางๆ 1. รายการโปรด
2. เนื้อหาสาระดี
3. ใหความบันเทิง
4. การนําเสนอทันสมัย
5. มีประโยชนสามารถนําไป
ประยุกตใชได
6. เพื่อการลงทุน เชน หุน

181
การเดินทาง
รายงานขาวบอกวามีรถติดที่ถนนใดบาง 1. อาจหลีกเลี่ยงเสนทางดังกลาว
2. รอจนกวาจะเดินรถสะดวกกอน
เทศกาลตางๆ รถจะแนน เมื่อเดินทาง 1. อาจไมกลับในชวงเทศกาล
ไปตางจังหวัด 2. อาจเลือกกลับหลังเทศกาล 1 – 2 วัน
เปนตน
นอกจากนี้การตัดสินใจยังมีความสําคัญในการประกอบธุรกิจตางๆ ทั้งธุรกิจขนาดเล็กและ
ธุรกิจขนาดใหญ นักธุรกิจอาจพบปญหาในดานตางๆ มากมายที่จะตองตัดสินใจอยูเสมอ เชน
ปญหาดานการตลาด ปญหาดานการขยายการลงทุน ปญหาแรงงาน ปญหาในดานการกําหนดราคา
ปญหาพนักงาน คาครองชีพ ปญหาดานการเงิน ซึ่งนักธุรกิจจะใชประสบการณหรือคําสั่งสอน
อบรมจากพอแม บรรพบุรุษมาแกปญหาอยางเดียวไมได อาจจะเกิดความผิดพลาดได ดังนั้น
นักธุรกิจควรใชขอมูลและวิธีการทางสถิติมาชวยในการตัดสินใจ
สําหรับในระดับนี้การเลือกใชขอมูลในการตัดสินใจอาจจะเกี่ยวกับคากลางที่กลาวมาแลวดวย
เชนถาตองการกะประมาณรายไดของประชากรทั้งประเทศ ควรใชคากลาง คือคาเฉลี่ยเลขคณิต หรือ
ประมาณจํานวนพลเมืองที่ชอบดูทีวีสีชอง 7 ควรเลือกใชคากลางฐานนิยม หรือถาขอมูลมีคาต่ําและ
คาสูงแตกตางกันมากควรตัดสินใจเลือกใชคากลางมัธยฐาน เปนตน
ในเรื่องนี้ผูเรียนจะไดเรียนละเอียดในชั้นสูงตอไป

182
บทที่ 10
ความนาจะเปน
1. การนับจํานวนผลลัพธที่เกิดจากการทดลองใด ๆ
2. ความนาจะเปน แสดงใหทราบวา เหตุการณใดเหตุการณหนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอย
เพียงใด อันจะมีประโยชนตอการตัดสินใจในการดําเนินงานนั้น ๆ
1. หาความนาจะเปนของเหตุการณจากการทดลองสุมที่ผลแตละตัวมีโอกาสที่จะเกิดขึ้น
เทา ๆ กัน
2. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล
3. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนประกอบการตัดสินใจ
เรื่องที่ 1 การทดลองสุมและเหตุการณ
เรื่องที่ 2 ความนาจะเปนของเหตุการณ
เรื่องที่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณตางๆ ไปใช

183
เรื่องที่ 1 การทดลองสุม และเหตุการณ
1.1 การทดลองสุม
คือการกระทําที่เราทราบผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได แตเราไมทราบวาผลลัพธใดจะ
เกิดขึ้น เชน
1. โยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้ง ผลที่เกิดขึ้นไดมีสองอยาง คือ “ออกหัว” หรือ “ออกกอย” จะได
วาผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นคือ หัวและกอย
2. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง ผลที่เกิดขึ้น คือ การขึ้นแตมของหนาใดหนาหนึ่งของลูกเตา ซึ่ง
มีทั้งหมด 6 หนา ไดแก 1, 2 , 3, 4, 5, 6
ตัวอยาง จงเขียนผลที่อาจเกิดขึ้นไดทั้งหมดในการโยนเหรียญสิบบาท 1 อัน และเหรียญหาบาท 1
อัน พรอมกัน
วิธีทํา ในการโยนเหรียญ 1 อัน ผลที่อาจเกิดขึ้นคือ หัวและกอย
ถาให H แทนหัว
ให T แทนกอย
ในการหาผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมด จากการโยนเหรียญสิบบาท และโยนเหรียญหาบาท
อยางละ 1 อัน อาจใชแผนภาพชวยไดดังนี้
H

184
จากแผนภาพจะเห็นวา ถาเหรียญสิบบาทออกหัว เหรียญหาบาทจะออกหัวหรือออกกอยก็
ได จึงไดผลที่อาจเกิดจากการโยนทั้งสองเหรียญเปน H,H กับ H,T
ในทํานองเดียวกัน ถาเหรียญสิบบาทออกกอย เหรียญหาบาทอาจจะออกหัวหรือออกกอยก็
ได จึงไดผลที่อาจเกิดจากการโยนเหรียญทั้งสองเปน T,H กับ T,T
ฉะนั้น ถาเราใชคูอันดับเขียนผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได โดยใหสมาชิกตัวที่หนึ่งของคู
อันดับแทนผลที่อาจเกิดขึ้นจากเหรียญสิบบาท สมาชิกตัวที่สองของคูอันดับแทนผลที่อาจเกิดขึ้น
จากเหรียญหาบาท จะได
ผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น คือ (H,H), (H,T), (T,H), (T,T)
เราอาจเขียนแสดงผลในรูปตารางไดดังนี้

185
1. ใหผูเรียนพิจารณาการทดลองสุมตอไปนี้วาผลจากการทดลองสุมอาจเปนอยางไรบาง
1). โยนเหรียญสิบบาท 1 อัน
……………………………………………………………………………………………...
2). โยนเหรียญสิบบาทสองอันพรอมกัน
……………………………………………………………………………………………...
3). หยิบลูกปงปอง 2 ลูกพรอมๆกัน จากกลองที่มีลูกปงปองสีเหลือง 3 ลูก สีแดง 1 ลูก
……………………………………………………………………………………………...
2. จงเขียนผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการหมุนแปนวงกลมที่มีหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยน
เหรียญบาท 1 อัน
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
3. จงเขียนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดจากการหยิบสลาก 1 ใบ จากสลากที่เขียนหมายเลขตั้งแต
10 ถึง 20 ไว
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….
1.2 เหตุการณ
ในการทดลองสุมโยนเหรียญบาท 1 เหรียญและเหรียญหาสิบสตางค 1 เหรียญ นักเรียน
ทราบแลววาผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดคือ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) ถาเราสนใจผลที่
จะเกิดกอยอยางนอย 1 เหรียญ จะไดวา ผลที่จะเกิดกอยอยางนอย 1 เหรียญ คือ (H, T), (T, H)
และ (T, T) เราเรียกผลที่เราสนใจจากการทดลองสุมวา
พิจารณาการหลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากถุงซึ่งมีลูกบอลสีเขียว 4 ลูก คือ ข1, ข2, ข3
และ ข4 ดังนั้น
เหตุการณ

186
จากการทดลองสุมครั้งนี้จะเห็นไดวาจะหยิบลูกบอลครั้งใดก็จะไดลูกบอลสีเขียวเสมอ ซึ่งผล
ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดคือ ข1, ข2, ข3 และ ข4
และถาสนใจเหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีเขียว” จะไดวาเหตุการณคือ ข1, ข2, ข3 และ ข4
จะเห็นวา ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได และเหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลสีเขียวเปนผลชุด
เดียวกัน เราเรียกเหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีเขียว" จากการทดลองสุมครั้งนี้วา "เหตุการณที่
แนนอน"
และจากการทดลองสุมครั้งนี้จะเห็นวาเราไมอาจที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงไดเลย เราเรียก
เหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีแดง" จากการทดลองสุมครั้งนี้วา "เหตุการณที่เปนไปไมได”
ตัวอยางเหตุการณ
ตัวอยางที่ 1
จงหาความนาจะเปนของเหตุการณตอไปนี้
หลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกลองที่มีลูกบอลสีแดง 1 ลูก สีขาว 1 ลูก และสีน้ํา
เงิน 1 ลูก
(1) หยิบไดลูกบอลสีแดง
(2) หยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดง
ดังนั้น จํานวนทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดเปน 3
ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นไดจากการทดลองสุมคือ แดง ขาว และน้ําเงิน
(1) เหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดง คือ แดง
จํานวนผลที่เกิดในเหตุการณนี้เปน 1
ฉะนั้นความนาจะเปนของเหตุการณหยิบไดลูกบอลสีแดงเปน
(2) เหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดง คือ
หยิบได ขาว และ น้ําเงิน
จํานวนผลที่เกิดขึ้นในเหตุการณเปน 2
ฉะนั้นความนาจะเปนของเหตุการณหยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดงเปน

187
1. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง จงเขียน
1) ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น
……………………………………………………………………………………………
2) เหตุการณที่ไดแตมไมเกิน 5
……………………………………………………………………………………………
3) เหตุการณที่ไดแตมเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว
……………………………………………………………………………………………
2. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 ครั้งจงเขียน
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
2) ผลรวมของแตมเปน 8
……………………………………………………………………………………………
3) ผลรวมของแตมมากกวา 9
……………………………………………………………………………………………
4) ผลรวมของแตมนอยกวา 4
……………………………………………………………………………………………
5) ผลรวมของแตมหารดวย 2 ลงตัว
……………………………………………………………………………………………
6) ผลรวมของแตมนอยกวา 2
……………………………………………………………………………………………
3. จากการสอบถามถึงปกรายงานที่ผูเรียนชอบ 2 สี ในจํานวน 5 สี คือ สีขาว สีฟา สีชมพู สี
เขียว และสีเหลือง จงเขียน
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
2) เหตุการณที่นิตยาจะชอบสีฟาหรือสีชมพู
…………………………………………………………………………………………

188
เรื่องที่ 2 ความนาจะเปนของเหตุการณ
พิจารณาการทดลองสุมและเหตุการณที่สนใจ
ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ซึ่งมีทั้งหมด 6 จํานวน
1). ถาเหตุการณที่สนใจ คือ แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู ซึ่งไดแก 2, 4, 6 จะเห็น
ไดวามี 3 จํานวน นั่นคือ จํานวนผลที่จะเกิดในเหตุการณ เปน 3
เรากลาววาความนาจะเปนของเหตุการณที่แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู คือ
6
3
หรือ
2
1
2). ถาเหตุการณที่สนใจ คือ แตมที่หงายบนหนาลูกเตา เปนจํานวนที่นอยกวา 3 ซึ่งไดแก
1, 2 จะเห็นวามีทั้งหมด 2 จํานวน นั่นคือ จํานวนผลที่จะเกิดในเหตุการณเปน 2
เรากลาววาความนาจะเปนของเหตุการณที่แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคู คือ
6
2
หรือ
3
1
จากทั้ง 2 เหตุการณที่กลาวมาเราสามารถเขียนใหอยูในรูปของตารางได ดังนี้
จากตัวอยางที่กลาวมาแลวขางตน อาจจะสรุปเปนสูตรการหาความนาจะเปนของเหตุการณไดดังนี้
จํานวนผลของเหตุการณที่สนใจ
จํานวนเหตุการณทั้งหมดของการทดลองสุม
ความนาจะเปน =

189
1. เหตุการณที่แนนอน คือ เหตุการณที่มีความนาจะเปน = 1 เสมอ
ขอควรจํา
2. เหตุการณที่เปนไปไมได คือ เหตุการณที่มีความนาจะเปน = 0
3. ความนาจะเปนใด ๆ จะมีคาไมต่ํากวา 0 และ ไมเกิน 1 เสมอ
4. ในการทดลองหนึ่งสามารถทําใหเกิดผลที่ตองการอยางมีโอกาสเทากันและมีโอกาส
เกิดได N สิ่ง และเหตุการณ A มีจํานวนสมาชิกเปน n ดังนั้นความนาจะเปนของ A
คือ P(A) =
N
n

190
1. มีสลาก 10 ใบ เขียนเลข 1-10 แลวมวนใสกลอง ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสลากที่เปน
จํานวนคี่เทาไร
………………………………………………………………………………………………………
2. ใสลูกเตา 1 ลูกลงในถวยแกว เขยาแลวเทออก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณที่ขึ้นแตม 6
………………………………………………………………………………………………………
3. ถุงใบหนึ่งมีลูกกวาดสีแดง 5 เม็ด สีเหลือง 2 เม็ด แมวหยิบขึ้นรับประทาน 1 เม็ดโดยไมไดดู
จงหาความนาจะเปนที่แมวจะหยิบไดลูกกวาดสีแดง
………………………………………………………………………………………………………
4. ความนาจะเปนที่จะหยิบไดไพ K โพแดง จากไพ 1 สํารับเปนเทาไร
………………………………………………………………………………………………………
5. ความนาจะเปนที่จะหยิบไดไพสีดําจากไพ 1 สํารับ เปนเทาไร
………………………………………………………………………………………………………
6. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่จะทอดไดแตมรวมกันเปน 7 คือขอใด
………………………………………………………………………………………………………
7. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่จะทอดไดแตมรวมกันไมเกิน 1 คือขอใด
………………………………………………………………………………………………………
8. ถาตองการถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวแนๆ จะตองซื้อสลากกินแบงรัฐบาลกี่ใบ
………………………………………………………………………………………………………
9. จากการทดลองโยนเหรียญหนึ่งอัน 3 ครั้ง ความนาจะเปนที่ออกหัว 1 ครั้ง เปนเทาไร
………………………………………………………………………………………………………
10. ถาทอดลูกเตาที่สมดุล 1 ลูกพรอมกันกับโยนเหรียญ 1 เหรียญ จงหาความนาจะเปนที่แตมบน
ลูกเตาจะเปนแตมคู
………………………………………………………………………………………………………

191
เรื่องที่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณตางๆไปใช
ในชีวิตประจําวัน คนเราไดนําประโยชนจากความนาจะเปนมาใชอยูตลอดเวลา เพียงแต
ไมไดเรียกวาความนาจะเปนเทานั้น เชน ในเรื่องการซื้อหวย หรือสลากกินแบงรัฐบาล จะเห็นวา
โอกาสที่จะถูกเลขทาย 2 ตัวมีคาเปน 1 ใน100 และโอกาสที่จะถูกรางวัลอื่นๆ ยิ่งนอยลงตามลําดับ
นอกจากนี้ยังมีการคํานวณคาความนาจะเปนเพื่อประมาณคาอัตราการเกิดอุบัติเหตุ ในแต
ละลักษณะของการกําหนดเบี้ยประกันภัยรถยนต หรือการคาดหมายผลการเลือกตั้ง การพยากรณ
ตางๆ ทางธุรกิจ การทดสอบคุณภาพผลิตภัณฑใหมจากโรงงาน ฯลฯ ซึ่งความนาจะเปนมีบทบาท
สําคัญมาก ผูเรียนจะไดเห็นประโยชนชัดเจนขึ้นเมื่อเรียนตอในระดับสูงขึ้นไป
จากโจทยตอไปนี้ใหนักเรียนตอบวาใครไดเปรียบ
1. ใหนักเรียนทําลูกบาศกหนึ่งลูกแลวเขียนเลข 1 ที่หนาหนึ่งของลูกบาศก เขียนเลข 2 ที่หนาอีก
สองหนา สวนอีกสามหนาที่เหลือเขียน 3 ใชกติกาตอไปนี้ตัดสินการแพ ชนะ เสมอ ในการโยน
ลูกบาศกที่ทําขึ้นนี้คนละครั้ง
1) ผูเลนคนที่หนึ่งชนะถาเขาโยนลูกบาศกแลวหนาที่เขียนเลข 3 หงายขึ้น และคูแขงขัน
ไดเลข 3 ดวย ผูเลนคนที่สองชนะถาไดเลขที่ต่ํากวา 3 และผูแขงขันไดเลขที่ต่ํากวา 3 กรณีอื่น ๆ
ถือวาเสมอกัน
2) ผูเลนคนที่หนึ่งถาเขาโยนลูกบาศกแลวหนาที่เขียนเลข 1 หงายขึ้น และคูแขงขันได
เลขที่ต่ํากวา 3 ผูเลนคนที่สองชนะ ถาเขาโยนลูกบาศกหงายหนาที่เขียนเลข 3 และคูแขงขันไดเลข
สูงกวา 1 กรณีอื่นถือวาเสมอกัน

192
บทที่ 11
การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ
ในการประกอบอาชีพตาง ๆ ในสังคม ผูประกอบอาชีพในหลายสาขา เชน เกษตรกรรม
การประมง การกอสราง การบัญชี งานบริการและการทองเที่ยว เปนตน จําเปนตองใชทักษะ
กระบวนการทางคณิตศาสตรไปใชในการพัฒนาอาชีพใหมีความมั่นคง เพื่อเสริมสรางรายไดและ
ผลกําไรที่สูงขึ้น
1. สามารถวิเคราะหงานอาชีพในสังคมที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร
2. มีความสามารถในการเชื่อมโยงความรูและทักษะตาง ๆ ทางคณิตศาสตรกับงานอาชีพได
เรื่องที่ 1 ลักษณะประเภทของงานอาชีพที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร
เรื่องที่ 2 การนําความรูทางคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับงานอาชีพในสังคม

193
เรื่องที่ 1 ลักษณะ ประเภทของงานอาชีพที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร
1.1 กลุมอาชีพเกษตรกรรม ไดแก อาชีพ การทํานา ทําไร การปลูกผัก การเลี้ยงสัตว ฯลฯ
(1) ลักษณะงานเบื้องตนที่ใชทักษะทางคณิตศาสตร
1. การสํารวจของตลาดที่จะปลูกพืชเกษตรกรรม
2. การเตรียมพื้นที่ดิน ซึ่งขึ้นอยูกับความกวาง ความยาวของพื้นที่วา
ผูประกอบการใชพื้นที่กี่ไร กี่งาน กี่ตารางวา ในการทําแปลง ขุดรอง
เพื่อใชเปนพื้นที่นา 1 สวน พื้นที่ปลูกผัก 1 สวน บอน้ํา 1 สวน
การเลี้ยงสัตว 1 สวน พื้นที่อยูอาศัย 1 สวน เปนตน
3. การเตรียมเมล็ดพันธุขาว ผัก และพืชพันธุอื่น ๆ (ภาพ)
4. การเตรียมปุยวาใชขนาดกี่กิโลกรัมตอไร
5. การรดน้ํา พรวนดิน ซึ่งตองกําหนดวา รดน้ําวันละ 2 ครั้ง ในปริมาณ
มากนอยเทาไร
6. การฉีดยาฆาแมลงโดยใชสารกําจัดศัตรูพืชทางชีวภาพ เชน สะเดา และ
สมุนไพรอื่น ๆ เปนตน ใชความรูเรื่องอัตราสวน สัดสวน เพื่อผสม
ยากําจัดศัตรูพืชกับน้ํากอนฉีดพน
7. การเก็บเกี่ยวผลผลิต ซึ่งตองใชทักษะการคํานวณระยะเวลาตั้งแต
การปลูกจนถึงระยะการเก็บเกี่ยวผลผลิต
- การตรวจสอบความชื้นของวัสดุและสถานที่เก็บผลผลิต
- การคํานวณพื้นที่ในการเก็บรักษาผลผลิต
8. การจําหนายผลผลิต ซึ่งตองใชทักษะการจัดทําบัญชีรับ – จาย
การจดบันทึกจํานวนและบันทึกของผลผลิตที่ได
9. การคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา

194
(2) เครื่องมือและเทคโนโลยีที่ใช
1. เครื่องคิดเลข
2. สมุดบันทึกรายรับ รายจายหรือคอมพิวเตอรโนตบุค
3. สมุดจดบันทึกระยะเวลาการเจริญเติบโตตั้งแตการปลูกจนถึง
การเก็บเกี่ยวผลผลิต
(3) ความรูทางคณิตศาสตรที่ใช
1. การวัดความยาว การหาพื้นที่
2. อัตราสวนในการผสมปุยตอความกวางความยาวของพื้นที่ดิน
3. การชั่งผลผลิตที่ได
4. การกําหนดราคาขายตอกิโลกรัม
5. การบวก ลบ คูณ หาร
6. การทําบัญชีรายรับ รายจายประจําวัน
1.2 กลุมอาชีพอุตสาหกรรม ไดแก อาชีพพนักงานในโรงงานอุตสาหกรรมตางๆ ไดแก
อุตสาหกรรมหองเย็น ถวยชามอุปกรณเซรามิค ผาขนหนู กระดาษและสิ่งพิมพ สแตนเลส เหล็ก
พลาสติก ฯลฯ
(1) ลักษณะงานเบื้องตนที่ใชทักษะคณิตศาสตร
1. การคํานวณเงินรายไดประจําวัน
2. การคํานวณเงินคาทํางานลวงเวลา
3. การคํานวณเงินกูและดอกเบี้ยคงที่หรือดอกเบี้ยทบตน
4. การทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวัน
5. การจัดทําบัญชีพัสดุ (การจัดซื้อ การเบิกจายพัสดุ)
6. การสํารวจและวิจัยการตลาด

195
2. เครื่องคอมพิวเตอร
3. เครื่องจักรอุตสาหกรรมในแตละสาขาอุตสาหกรรม
4. เครื่องบรรจุภัณฑลงกลองหรือแพ็คเปนพลาสติก
(3) ความรูและทักษะทางคณิตศาสตรที่ใช
1. การคํานวณเงินรายไดประจําสัปดาห ประจําเดือนโดยหักวันลาหยุด
2. การคํานวณเงินคาทํางานลวงเวลาเปนจํานวนชั่วโมงตอคาจางรายชั่วโมง
3. การคํานวณเงินกูและดอกเบี้ย (ดอกเบี้ยคงที่, ดอกเบี้ยทบตน)
4. การทําบัญชีรับ – จายประจําวัน
1.3 กลุมอาชีพพาณิชยกรรม ไดแก อาชีพคาขาย ผูประกอบการรานอาหารและเครื่องดื่ม
ผูประกอบการขายปลีกและขายสง ธุรกิจการซื้อขายอสังหาริมทรัพย ธุรกิจการซื้อขายหุนในตลาด
หลักทรัพย อาชีพการทําบัญชี การตลาด เปนตน
1. การจัดเตรียมสถานที่ การคํานวณการจัดวางโตะ เกาอี้ หรือวัสดุ
อุปกรณในการขาย
2. การจัดซื้อวัตถุดิบในการคาขายปลีกหรือขายสง
3. การจําหนายสินคา การคํานวณราคาสินคาตอหนวย การทอนเงิน
5. การจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวัน
6. การฝากเงิน การถอนเงิน การออมเงิน

196
7. การประชาสัมพันธในงานธุรกิจคาขายหรือพาณิชยกรรม ซึ่งตองใช
ทักษะในการคํานวณขนาดของปายโฆษณา ขนาดตัวอักษร ขนาดและ
จํานวนแผนพับหรือใบปลิวโฆษณา
2. เครื่องเก็บเงิน – ทอนเงิน
4. เครื่องไมโครเวฟ
5. เครื่องปนน้ําผลไม
1. การคํานวณขนาดของพื้นที่ใชสอยเพื่อจัดวาง โตะ เกาอี้หรือวัสดุ
อุปกรณในการขาย
2. การคํานวณปริมาณการจัดซื้อวัตถุดิบในแตละวัน
3. การคํานวณในการจัดซื้อพัสดุ
5. การคํานวณขนาดของปายโฆษณา ประชาสัมพันธหรือแผนพับ
แผนปลิว โฆษณา
1.4 กลุมอาชีพดานความคิดสรางสรรค ไดแก ธุรกิจโฆษณา ธุรกิจการออกแบบตกแตงที่
อยูอาศัย สํานักงานและสวนหยอม การจัดดอกไมและแจกันประดับ ธุรกิจการทําพวงหรีด การจัด
กระเชาของขวัญ เปนตน

197
1. การจัดเตรียมขนาด ปริมาตร รูปทรงของพื้นที่หรือชิ้นงานในการจัดทํา
ธุรกิจ ซึ่งตองใชการวัดความกวาง ความยาว ความสูงของพื้นที่หรือ
ชิ้นงาน การออกแบบรูปทรงโดยใชรูปเรขาคณิตสามมิติ
2. การคํานวณปริมาณของวัสดุอุปกรณในการใชประดิษฐสรางสรรค
ชิ้นงาน หรือการจัดตกแตงสวนหยอม
3. การคํานวณเพื่อกําหนดราคาขายสินคา
5. การจัดทําบัญชีรับ – จาย ประจําวัน
6. การประชาสัมพันธในอาชีพธุรกิจทุกประเภท ซึ่งตองใชทักษะใน
การคํานวณเปนพื้นฐาน
3. โปรแกรมสําเร็จรูปในการออกแบบสินคา
1. การคํานวณพื้นที่ผิว ปริมาตรของพื้นที่หรือออกแบบรูปทรงที่ใชใน
การทํางานอาชีพ
2. การคํานวณปริมาณของวัสดุ อุปกรณที่ใชประดิษฐ สรางสรรค ชิ้นงาน
3. การคํานวณตนทุนและกําไร เพื่อกําหนดราคาขายสินคา
4. การจัดทําบัญชีพัสดุ
1.5 กลุมอาชีพบริหารจัดการและการบริการ ไดแก อาชีพกลุมงานบริการและการทองเที่ยว
งานบริการรักษาความปลอดภัย บริการดูแลสตอก บริการดูแลผูสูงอายุ บริการสันทนาการและการ
กีฬา เปนตน

198
1. การสํารวจพื้นที่ในการใหบริการ การคํานวณระยะทางในการใหบริการ
2. การจัดซื้อวัสดุ อุปกรณในการใหบริการ
3. การรับสมัครและกําหนดเงินเดือนตามตําแหนงงานของเจาหนาที่ใน
การใหบริการ
4. การจัดทําตารางเวลา การอยูเวร - ยามของเจาหนาที่ประจําสํานักงาน
5. การจัดทํากําหนดการทองเที่ยวและการใหบริการ รวมทั้งกําหนด
ราคาขายบริการในแตละพื้นที่
6. การคํานวณการใชน้ํามันเชื้อเพลิงของยานพาหนะที่ใหบริการ
7. การจัดทําบัญชีพัสดุ และการเบิกจายพัสดุ
9. การจัดทําแผนปายโฆษณา ประชาสัมพันธการใหบริการ
10. การจัดทําสรุปรายงานและการนําเสนอขอมูล
3. เครื่องออกกําลังกาย
4. อุปกรณในการเตรียมอาหาร น้ําดื่ม นมแกทารกและผูสูงอายุ
5. ยานพาหนะในการใหบริการ
6. แผนที่ของสถานที่หรือจุดที่ใหบริการ

199
1. การคํานวณพื้นที่และการวัดระยะทาง
2. การคํานวณปริมาณของวัสดุ อุปกรณที่จําเปนตองจัดซื้อ จัดหา
เพื่อใหบริการ
3. การคํานวณเงินเดือนและกําหนดตําแหนงงานของเจาหนาที่
4. การจัดทําตารางการปฏิบัติงาน
5. การคํานวณการใชเชื้อเพลิงรถยนตตอระยะทางที่ใหบริการ
6. การจัดทําบัญชีเบื้องตน
7. การใชสถิติในการจัดทําสรุปรายงานหรือนําเสนอขอมูล

200
เรื่องที่ 2 การนําความรูทางคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับงานอาชีพในสังคม
คณิตศาสตรเปนวิชาที่วาดวยเหตุผล กระบวนการคิดและแกปญหาเสริมสรางใหมีการคิด
อยางมีวิจารญาณเปนระบบ เปนคนมีเหตุผล มีทักษะการแกปญหา สามารถวิเคราะหปญหาและ
สถานการณไดอยางถี่ถวน รอบคอบ
การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรกับงานอาชีพเปนการนําความรูและทักษะ/
กระบวนการตาง ๆ ทางคณิตศาสตรไปสัมพันธกับเนื้อหาและความรูของงานอาชีพอยางเปนเหตุ
เปนผล ชวยในการตัดสินใจในงานอาชีพ เชน การใชตารางและกราฟประกอบการใชสถิติมาชวยใน
การวิเคราะหงานอาชีพเพื่อสํารวจความตองการสินคาเพื่อการผลิต ใชรอยละในการคิดคํานวณ
ดอกเบี้ย ภาษี กําไรขาดทุน เปนตน
2.1 ทักษะการจัดทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวัน
ตัวอยาง การจัดทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวันของผูประกอบการรานอาหาร
วันที่ 25 กันยายน 2554 จายคาซื้อวัตถุดิบในการขายอาหาร 3,000 บาท คาน้ํา คาไฟฟา
850 บาท คาอาหาร 250 บาท ไดรับเงินจากการขายอาหาร 6,500 บาท
วันที่ 26 กันยายน 2554 จายคาโทรศัพท 650 บาท จายคาน้ํามันรถยนต 1,400 บาท
จายคาอาหาร 280 บาท จายคาผลไม 150 บาท ไดรับเงินจาก
การขายอาหาร 5,400 บาท
วันที่ 27 กันยายน 2554 จายคาหนังสือพิมพ 480 บาท จายคาอาหาร 310 บาท จายคาน้ําดื่ม
270 บาท จายคาซอมรถยนต 4,800 บาท ไดรับเงินจากการขายอาหาร
4,500 บาท
วันที่ 28 กันยายน 2554 จายคาอาหาร 240 บาท จายคาบัตรการกุศล 1,000 บาท
ซื้อถุงพลาสติกใสอาหาร 550 บาท ไดรับเงินจากการขายอาหาร
6,800 บาท

201
ตัวอยาง การจัดทําบัญชีรายรับ – รายจายประจําวันของผูประกอบการรานอาหาร
วัน เดือน ป รายการรับ
จํานวนเงิน
วัน เดือน ป รายการจาย
บาท สต. บาท สต.
25 ก.ย. 54 ไดเงินจากการขาย
อาหาร
6,500 - 25 ก.ย. 54 ซื้อวัตถุดิบในการ
ขายอาหาร
คาน้ํา คาไฟฟา
คาอาหาร
3,000
850
250
-
-
-
อาหาร
5,400 - 26 ก.ย. 54 คาโทรศัพท
คาน้ํามันรถยนต
คาผลไม
650
1,400
280
150
-
-
-
-
อาหาร
4,500 - 27 ก.ย. 54 คาหนังสือพิมพ
คาน้ําดื่ม
คาซอมรถยนต
480
310
270
4,800
-
-
-
-
อาหาร
6,800 - 28 ก.ย. 54 คาอาหาร
คาบัตรการกุศล
ซื้อถุงพลาสติกใส
อาหาร
240
1,000
550
-
-
-
รวม 23,200 - รวม 14,230 -
ยอดคงเหลือยกไป 8,970 -
เมื่อจัดทําบัญชีรายรับและรายจายประจําวันแลว ผูเรียนจะคํานวณยอดคงเหลือ ซึ่งไดจากการ
นํารายรับไปลบกับรายจาย เมื่อจัดทําบัญชีในหนาถัดไปหรือในเดือนถัดไปก็จะนํายอดคงเหลือไป
บันทึกในรายการของรายรับในหนาถัดไป ซึ่งจะไปเปนยอดรายการรับรวมกับรายการรับเงินที่จะได
จากการรับเงินจากการขายอาหารในวันตอ ๆ ไป

202
2.2 ทักษะการคํานวณรายไดและการแลกเปลี่ยนเงินตรา
ตัวอยางบริษัทแหงหนึ่งสั่งซื้อเครื่องจักรจากตางประเทศราคา 45,000 ดอลลารสหรัฐ เมื่อสินคา
สงมาถึงเมืองไทยตองผานพิธีการศุลกากร เสียภาษีศุลกากร 10% ภาษีมูลคาเพิ่ม 7%
คาธรรมเนียมและคาบริการตาง ๆ รวม 4,000 บาท ราคาเครื่องจักรและคาใชจายทั้งหมดรวม
เปนเงินเทาไร (1 ดอลลารสหรัฐ เทากับ 30.42 บาท)
ราคาเครื่องจักร 45,000 × 30.42 = 1,368,900 บาท
เสียภาษีศุลกากร 10% = 1,368,900 ×
100
10
= 136,890 บาท
เสียภาษีมูลคาเพิ่ม 7% = 1,368,900 ×
100
7
= 95,823 บาท
∴ ราคาเครื่องจักรและคาใชจายทั้งหมด รวมเปนเงิน
= ราคาเครื่องจักร + ภาษีศุลกากร + ภาษีมูลคาเพิ่ม +
คาธรรมเนียมและคาบริการตาง ๆ
= 1,368,900 + 136,890 + 95,823 + 4,000
= 1,605, 613 บาท
2.3 การคิดคํานวณดอกเบี้ยสินเชื่อธนาคาร
ตัวอยางบริษัทสั่งซื้อเครื่องจักรจากตัวอยางขางตน บริษัทไดขอสินเชื่อจากธนาคารไดรับสิทธิในการ
ผอนชําระเครื่องจักรเปนรายเดือน เดือนละ 120,000 บาท คิดดอกเบี้ยปละ 7.5% เมื่อผอนชําระ
ครบ 1 ป จะตองเสียเงินทั้งหมดเทาไร
ดอกเบี้ย =
100
ระยะเวลาี้ยอัตราดอกเบเงินตน ××
เดือนที่ 1 เสียดอกเบี้ย =
12
1
100
7.5
1,368,900 ×× = 8,555.63 บาท
เดือนที่ 2 เงินตนคงเหลือ = 1,368,900 – 120,000 = 1,248,900 บาท
เสียดอกเบี้ย =
12
1
100
7.5
1,248,900 ×× = 7,805.63 บาท
12
1
100
7.5
128,9001 ××, = 7,055.63 บาท

203
12
1
100
7.5
1,008,900 ×× = 6,305.63 บาท
เดือนที่ 5 เงินตนคงเหลือ = 1,008,900 – 120,000 = 888,900 บาท
12
1
100
7.5
888,900 ×× = 5,555.63 บาท
เดือนที่ 6 เงินตนคงเหลือ = 888,900 – 120,000 = 768,900 บาท
12
1
100
7.5
768,900 ×× = 4,805.63 บาท
12
1
100
7.5
648,900 ×× = 4,055.63 บาท
12
1
100
7.5
528,900 ×× = 3,305.63 บาท
12
1
100
7.5
408,900 ×× = 2,555.63 บาท
12
1
100
7.5
288,900 ×× = 1,805.63 บาท
12
1
100
7.5
168,900 ×× = 1,055.63 บาท
12
1
100
7.5
48,900 ×× = 305.63 บาท
เมื่อผอนชําระครบ 1 ป จะตองเสียเงินทั้งหมด = ราคาเครื่องจักร + ดอกเบี้ย 12 เดือน
= 1,368,900 + 8,555.63 + 7,805.63 + 7,055.63 +
6,305.63 + 5,555.63 + 4,805.63 + 4,055.63 +
3,305.63 + 2,555.63 + 1,805.63 + 1,055.63 + 305.63
= 1,422,067.56 บาท

204
2.4 การคํานวณกําลังการผลิต (อัตราสวน/สัดสวน)
ตัวอยางเครื่องจักรบรรจุน้ําตาลทรายขนาด 8 กรัม ไดนาทีละ 100 ซอง ทํางานวันละ 8 ชั่วโมง
เครื่องจักรจะทําการบรรจุไดกี่ซอง
วิธีทํา อัตราสวนของเวลาที่ใชในการบรรจุตอจํานวนซองเทากับ 1 นาที ตอ 100 ซอง หรือ 8 ชั่วโมง
ตอ A (8 ชั่วโมง × 60 นาที : A)
นั่นคือ 1 : 100 = 8 ×60 : A
100
1
=
A
480
A = 480 × 100
A = 48,000
ดังนั้น เครื่องจักรบรรจุน้ําตาลทรายขนาด 8 กรัม วันละ 8 ชั่วโมง
เทากับ 48,000 ซอง
2.5 การคํานวณรายได (รอยละ อัตราสวน สัดสวน)
ตัวอยางพนักงานไดรับเงินเดือน ๆ ละ 12,000 บาท คาเบี้ยขยัน 10% ของเงินเดือน คาลวงเวลาได
ชั่วโมงละ 50 บาท เดือนนี้ทํางานลวงเวลา 8 วัน ๆ ละ 3 ชั่วโมง หักเงินคาประกันสังคม 5%
ของเงินเดือน พนักงานคนนี้จะไดรับเงินเทาไร
วิธีทํา คาเบี้ยขยัน = 12,000
100
10
× = 1,200 บาท
อัตราสวนของจํานวนชั่วโมงลวงเวลา : รายได เทากับ 1 ชั่วโมง ตอ 50 บาท
นั่นคือ 8 × 3 : รายได = 1 : 50
24 : รายได = 1 : 50
รายได
24
=
50
1
รายได = 24 × 50 = 1,200 บาท
คาประกันสังคม = 12,000
100
5
× = 600 บาท
พนักงานคนนี้ไดรับเงิน = เงินเดือน + เบี้ยขยัน + คาลวงเวลา – คาประกันสังคม
= 12,000 + 1,200 + 1,200 – 600
= 13,800 บาท

205
2.6 ทักษะการคํานวณภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา
ตัวอยางที่ 5 โอฬารมีรายไดจากการประกอบอาชีพเดือนละ 10,500 บาท ไมมีครอบครัว เมื่อยื่นแบบ
คํานวณภาษี มีสิทธิหักคาใชจายได 40% ของรายไดแตไมเกิน 60,000 บาท
คาลดหยอนผูมีเงินได 30,000 บาท สิ้นปโอฬารจะตองชําระภาษีหรือไม
วิธีทํา เงินไดพึงประเมินของโอฬารตลอดป = 10,500 × 12 = 126,000 บาท
หัก คาใชจายไดรอยละ 40 ของเงินไดพึงประเมิน = 126,000
100
40
× = 50,400 บาท
หัก คาลดหยอนผูมีเงินได 30,000 บาท
เงินไดสุทธิที่ตองคํานวณภาษี = เงินไดพึงประเมิน – (เงินหักคาใชจาย + คาลดหยอน)
= 126,000 – (50,400 + 30,000)
= 45,600 บาท
กรมสรรพากรกําหนดใหผูมีเงินไดสุทธิตั้งแต 0 ถึง 150,000 บาท ไดรับการยกเวนภาษี
ดังนั้น โอฬารตองยื่นแบบภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา (ภ.ง.ด.91) แตไมตองชําระเงิน
เพราะไดรับการยกเวนภาษี ดังตาราง
ตารางอัตราภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา
ขั้นเงินไดสุทธิตั้งแต
เงินไดสุทธิ
จํานวนสูงสุด
ของขั้น
เงินไดสุทธิ
แตละขั้น
อัตราภาษี
รอยละ
ภาษีเงินได
ภาษีในแตละ
ขั้นเงินได
ภาษีสะสม
สูงสุดของขั้น
0 ถึง 100,000
เกิน 100,000 ถึง 150,000
เกิน 150,000 ถึง 500,000
เกิน 500,000 ถึง 1,000,000
เกิน 1,000,000 ถึง 4,000,000
เกิน 4,000,000 บาทขึ้นไป
100,000
50,000
350,000
500,000
3,000,000
..............
..............
..............
..............
..............
..............
....
....
....
…
…
…
5
10
10
20
30
37
..............
..............
..............
..............
..............
..............
....
....
....
…
…
…
ยกเวน
ยกเวน
35,000
100,000
900,000
0
0
35,000
135,000
1,035,000
รวม →

206
2.7 การทําปายจากแผนอะครีลิก
ตัวอยางทําปายจากแผนอะครีลิกติดหนาหองตาง ๆ ดังนี้
ปายทั้ง 3 ทําดวยแผนอะครีลิกหนา 3 มม. สีขาว โดยมีขนาดกวาง 8 นิ้ว ยาว 21 นิ้ว โดยทางราน
คิดคาใชจายการจัดทําตารางฟุตละ 165 บาท จะตองเสียคาใชจายทําปายทั้งสามเทากับเทาไร
ปายมีความกวาง 8 นิ้ว =
12
8
ฟุต
ความยาว 21 นิ้ว =
12
21
ฟุต
พื้นที่ปายทั้งหมด = 3
12
21
12
8
×× = 3.5 ตารางฟุต
เสียคาใชจายทําปาย = 3.5 × 165 = 577.50 บาท
หองประชุม
Meeting Room
หองแสดงสินคา
Show Room
หองเก็บของ
Store Room

207
แบบฝกหัด
1. จงจัดทําบัญชีรับจายประจําวันของนายสมพร ซึ่งประกอบอาชีพเปนผูขายปาทองโก ในเวลา 5 วัน
ดังรายการดังนี้
วันที่ 1 ตุลาคม 2554 ยอดเงินคงเหลือมาจากเดือนกันยายน 2554 8,000 บาท
จายคาซื้อแปงสาลีและวัตถุดิบอื่น ๆ 2,500 บาท
จายคาแกสหุงตม 350 บาท คาอาหาร 270 บาท
ไดรับเงินจากการขายปาทองโก 4,800 บาท
วันที่ 2 ตุลาคม 2554 จายคาน้ํา คาไฟฟา 840 บาท คาอาหาร 320 บาท
คาถุงพลาสติก 200 บาท คาถุงกระดาษ 100 บาท
วันที่ 3 ตุลาคม 2554 จายคาโทรศัพท 430 บาท คาอาหาร 290 บาท
จายคาหนังสือเรียนลูก 950 บาท คาน้ําดื่ม 160 บาท
วันที่ 4 ตุลาคม 2554 จายคาเสื้อผา 1,250 บาท คาอาหาร 340 บาท
ซื้อแปงสาลีและวัตถุดิบอื่น ๆ 2,000 บาท
วันที่ 5 ตุลาคม 2554 จายคาอาหาร 250 บาท คาน้ําดื่ม 120 บาท
จายคาหนังสือพิมพ 480 บาท
2. ใหผูเรียนจัดทําบัญชีรับ – จายประจําวันของตนเองในเวลา 1 สัปดาห ตามความเปนจริง พรอมทั้ง
สรุปรายรับ รายจาย และยอดเงินคงเหลือ
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

208
3. รานเฟอรนิเจอรแหงหนึ่ง ซื้อเฟอรนิเจอรครบ 25,000 บาท (ราคาสินคา + ภาษีมูลคาเพิ่ม) ไดลด 10%
และทุกรายการตองเสียภาษีมูลคาเพิ่ม 7% สมรตองการซื้อ
เตียงนอน ตูเสื้อผา และโตะ สมรตองจายเงินเทาไร
หากสมรซื้อเฟอรนิเจอรทุกรายการในตาราง สมรตองจายเงิน
เทาไร
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
4. อมรมีเงินสด 500,000 บาท อมรควรนําเงินสดไปออมประเภทใด จึงจะไดผลตอบแทนมากที่สุด
ในระยะเวลา 1 ป จงบอกเหตุผล
(1) ฝากออมทรัพยไดดอกเบี้ยรอยละ 0.75 บาท/ป
(2) ฝากประจํา 4 เดือนไดดอกเบี้ยรอยละ 3.42 บาท/ป
กรณีฝากประจําตองเสียภาษี 15% ของดอกเบี้ย
(3) ซื้อสลากออมสิน ฉบับละ 50 บาทไดดอกเบี้ยฉบับละ 2.50 บาท เมื่อฝากครบ 3 ป
ฝากครบ 1 ป ไดดอกเบี้ยฉบับละ 0.25 บาท และมีสิทธิถูกรางวัลเลขทาย 4 ตัว รางวัลละ
150 บาท จํานวน 2 รางวัล/เดือน
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
ราคาเฟอรนิเจอร
ประเภท ราคา
เตียงนอน
ตูเสื้อผา
เกาอี้
โตะ
ตูติดผนัง
6,000
8,500
600
5,500
3,200

209
5. จํานงเปนพนักงานขายอุปกรณการแพทยไดคาตอบแทนเดือนละ 15,000 บาท แตยังไมมีครอบครัว
สิ้นปมีสิทธิหักคาใชจายรอยละ 40 ของเงินไดพึงประเมิน แตไมเกิน 60,000 บาท หักลดหยอน
ผูมีเงินได 30,000 บาท หักคาเบี้ยประกันชีวิต 10,000 บาท สิ้นปยื่นแบบแสดงรายการภาษีเงินได
บุคคลธรรมดาตองชําระภาษีหรือไม ถาชําระตองชําระภาษีเทาไร
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
6. การใชสถิติชวยในการวิเคราะห (สถิติ)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค.
บริษัทแหงหนึ่งจําหนายกระเปาไดตามกราฟขางตน เมื่อพิจารณาจากกราฟ บริษัทแหงนี้ควร
ดําเนินการอยางไร
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
ชิ้น

210
7. พนักงานไดรับคาจางรายวันวันละ 215 บาท ไดคาลวงเวลา 1.5 เทาของรายได ทํางานปกติ 5 วัน
ทําลวงเวลา 3 วัน พนักงานคนนี้ไดรับคาจางเทาไร
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
8. ถาตองการดูแนวโนมผลกําไรของธุรกิจยอนหลัง 3 ป ควรใชแผนภูมิชนิดใดในการวิเคราะห
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
9. ทําแผนปายติดหนาหองตางๆ ดังนี้
ปายทั้ง 3 ทําดวยแผนอะคริลิกหนา 2 มม. สีครีม โดยมีขนาดกวาง 10 นิ้ว ยาว 21 นิ้ว โดยทาง
รานคิดคาใชจายตารางฟุตละ 185 บาท ตองเสียคาใชจายทั้งหมดเทาไร
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
สตูดิโอ
Studio
หองประชุม 1
Meeting Room 1
หองประชุม 2
Meeting Room 2

211
เฉลยแบบฝกหัด

212
เฉลย บทที่ 1
จํานวนและการดําเนินการ
1. จงเลือกจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มจากจํานวนตอไปนี้
- 1,
2
4
, 0, -3,
1000
500
,
250
500
−
จํานวนเต็มบวก ประกอบดวย
2
4
จํานวนเต็มลบ ประกอบดวย -1 -3
250
500
−
จํานวนเต็ม ประกอบดวย -1,
2
4
, 0, -3,
250
500−
2. จงเติมเครื่องหมาย < หรือ > เพื่อใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
1) -4 ............... <................. 3
2) -4 .............. <................. -3
3) -2 .............. >............... -5
4) 4................ >................ -2
5) 4................ >................. -8
3. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก
1) -2, -8, -4, -15, -20, -7
………-20, -15, -8, -7, -4, -2…………………
2) 4, -8, 0, -2, 16, -17
………-17, -8, -2, 0, 4, 16 ……………………

213
1. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอยกวา” หรือ “เทากับ”
1) คาสัมบูรณของ (-3)..................เทากับ...........คาสัมบูรณของ 3
2) จํานวนตรงขามของ (-4) ...........มากกวา..........................จํานวนตรงขามของ 4
3) จํานวนตรงขามของ 5 ...............นอยกวา..........................จํานวนตรงขามของ -5
4) คาสัมบูรณของ A...........เทากับ...................คาสัมบูรณของ(-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ
5) จํานวนตรงขามของ A .....นอยกวา......จํานวนตรงขามของ (-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ
2. จงเติมเครื่องหมาย <, > หรือ = ลงในชองวาง
1) – (- 5) .....................=...........................5
2) จํานวนตรงขามของ 8 .................. <..................................8
3) จํานวนตรงขามของ (-8)................. >................................(-8)
4) 25......................................25 −=−
5) ( )20........................................20 −〉−
6) 5..........................................25 −〉−
7) จํานวนตรงขามของ (-2) .......................... <.........................จํานวนตรงขามของ(-7)
8) จํานวนตรงขามของ 32........................ >...............................จํานวนตรงขามของ 77

214
1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจํานวนที่กําหนดให โดยใชเสนจํานวน
1. 3+2
2. (-3)+(-2)
3. 2+1
4. (-2)+(-1)
5. 5+ (-1)
6. (-1) +5
7. (-5) +3
8. 3 + (-5)

215
2. จากผลการบวกโดยใชเสนจํานวน จงเติมคําตอบตอไปนี้ใหสัมบูรณ
ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสัมบูรณของ a คาสัมบูรณของ b คาสัมบูรณของ(a+b) ผลบวกของ a กับ b
เทากันหรือไมกับ ba +
1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากัน
2. (-3)+(-2) = -5 3 2 5 เทากัน
3. 2+1 = 3 2 1 3 เทากัน
4. (-2)+(-1) = -3 2 1 3 เทากัน
5. 5+ (-1) = 4 5 1 4 เทากัน
6. (-1) +5 = 4 1 5 6 เทากัน
7. (-5) +3 = -2 5 3 2 เทากัน
8. 3 + (-5) = -2 3 5 2 เทากัน

216
1. (-12) – 7
วิธีทํา (-12) – 7 = (-12) + (-7)
= - 19
2. 7 – (-12)
วิธีทํา 7 – (-12) = 7 + 12
= 19
3. (-8) – (-5)
วิธีทํา (-8) – (-5) = (-8) + 5
= -3
4. (-5) – (-8)
วิธีทํา (-5) – (-8) = (-5) + 8
= 3
5. [8 – (-2)] – 6
วิธีทํา [8 – (-2)] – 6 = [ 8 + 2] + (-6)
= 10 + (-6)
= 4
6. 8 – [(-2) – 6]
วิธีทํา 8 – [(-2) + (-6)] = 8 – (-8)
= 8 + 8
= 16
2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมื่อกําหนด a และ b ดังตอไปนี้
1. a = 5, b = (-3)
วิธีทํา a – b = 5 – (-3) b – a = (-3) – 5
= 5 + 3 = (-3) + (-5)
= 8 = -8
2. a = (-14), b = (-6)
วิธีทํา a – b = (-14) – (-6) b – a = (-6) – (-14)
= (-14) + 6 = (-6) + 14
= (-8) = 8
3. a = (-4), b = (-4)
วิธีทํา a – b = (-4) – (-4) b – a = (-4) – (-4)
= (-4) + 4 = (-4) + 4
= 0 = 0

217
จงหาผลลัพธ
1). [(-3) × (-5)] × (-2)
วิธีทํา [(-3) × (-5)] × (-2) = 15 × (-2)
= (-30)
2). (-3) × [(-5) × (-2)]
วิธีทํา (-3) × [(-5) × (-2)] = (-3) × 10
= -30
3). [4 × (-3)] × (-1)
วิธีทํา [4 × (-3)] × (-1) = (-12) × (-1)
= 12
4). 4 × [(-3) × (-1)]
วิธีทํา 4 × [(-3) × (-1) ] = 4 × 3
= 12
5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]
วิธีทํา [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)] = 30+30
= 60
6). (-5) × [6 + (-6)]
วิธีทํา (-5) × [6 + (-6)] = (-5) ×0
= 0
7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]
วิธีทํา [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2] = 35 + (-14)
= 21
8). (-7) × [(-5) + 2]
วิธีทํา (-7) × [(-5) + 2] = (-7) × (-3)
= 21
9). [5 × (-7)] + [5 × 3]
วิธีทํา [5 × (-7)] + [5 × 3] = (-35) + 15
= (-20)
10). 5 × [(-7) + 3]
วิธีทํา 5 × [(-7) + 3] = 5 × (-4)
= (-20)

218
1. จงเติมคําตอบใหสมบูรณเพื่อแสดงหลักของความสัมพันธระหวางการหารและการคูณ ตอไปนี้
ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba ×= ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba =÷ หรือ bca =÷
10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรือ 10 ÷ 2 = 5
35 = 7 x 5 35 ÷ 7 = 5 หรือ 35 ÷ 5 = 7
33 = 3 x 11 33 ÷ 3 = 11 หรือ 33 ÷ 11 = 3
(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรือ (-14) ÷ (-2) = 7
(-21) = 7 x (-3) (-21) ÷7 = (-3) หรือ (-21) ÷ (-3) = 7
(-15) = 3 x (-5) (-15) ÷3 = (-5) หรือ (-15) ÷ (-5) = 3
10 = (-5) x (-2) 10÷(-5) = (-2) หรือ 10÷(-2) = (-5)
จงหาผลหาร
1. 17 ÷ 17
วิธีทํา 17 ÷ 17 = 1
2. 23 ÷ (-23)
วิธีทํา 23 ÷ (-23) = -1
3. 15 ÷ (-3)
วิธีทํา 15 ÷ (-3) = -5
4. (-72) ÷ 9
วิธีทํา (-72) ÷ 9 = -8
5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]
วิธีทํา [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)] = 3 ÷ (-3)
= -1
6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]
วิธีทํา [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)] = (-8) ÷ (-8)
= 1

198
1. จงเติมจํานวนเต็มในชองวางที่เวนไวเพื่อใหแตละประโยคตอไปนี้เปนจริง
1.1 5 1.2 (-5)
1.3 7 1.4 6
1.5 (-9) 1.6 (-5)
1.7 (-13) 1.8 13
1.9 0 1.10 (-3)
2. เมื่อกําหนดให a = 8, b = 10, c = 3 และ d = -6 จงหาคาของ
ba
bdac
+
+
วิธีทํา ( ) ( )( ) ( )
18
6024
108
61038 −+
=
+
−×+×
( )
18
36−
=
= (-2)

199
เศษสวนและทศนิยม
1. จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง
1)
2)
2. จงเขียนเสนจํานวนแลวหาจุดที่แทนจํานวนตอไปนี้
1)
8
4
,
2
1
1 ,
8
20
2)
2
1
1 ,
6
3
4 ,
6
29
3. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของทศนิยม
1.
10
6
= 0.6 2. =
100
12
0.12
3. =
1000
357
0.357 4. =++
1000
3
100
2
10
1
0.123
*
2
1
1
0 1 2 3

200
1. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้ใหเปนทศนิยม โดยการทําสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000,.......
1)
4
9
=
100
225
= 2.25 2)
4
3
1 =
100
175
= 1.75
3)
40
39
=
100
5.97
= 0.975 4)
25
7
=
100
28
= 0.28
5)
8
1
=
1000
125
= 0.125 6)
125
8
=
1000
64
= 0.064
2. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้ใหเปนทศนิยม โดยการหารเศษสวน
1)
11
9
= 18.0  2)
7
1
3 = 3.14
3)
16
7
= 0.4375 4)
4
5
= 1.25
5)
6
5
= 38.0  6)
5
3
8 = 8.6

201
1. ใหเติมตัวเศษหรือตัวสวนของเศษสวนลงใน เพื่อใหไดเศษสวนที่เทากัน
2. ใหเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ลงใน ใหถูกตอง

202
3. ใหนักศึกษาเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ระหวางจํานวนสองจํานวน
1) -0.500 ......<........0.501 2) 103.012 .........>............. – 0.501
3) 5.28 .......... <.......... 5.82 4) – 5.28 .........=................. -5.28
5) 8.354 ......... <........ 8.534 6) -8.544 .............. <............. -8.534
7) -13.06 ......... <........ 13.06 8) 103.012 ......... >........... -103.012
9) -5.125 ..........=........ -5.1250 10) -7.10 .............. <........... -7.01
4. ใหนักศึกษาเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากคานอยไปคามาก
5) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000
- 2.000, - 1.738, -1.724, 0.832
6) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017
-30.710, -31.170, -31.107, 30.017
7) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500
-138.500, -83.001, -38.000, 83.000
8) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50
-42.50, -41.54, -39.62, -37.40, -34.50
1.1 6
2
12
= 1.2
2
1
12
6
=
1.3 2
12
24
= 1.4
11
16
=
11
5
1
1.5
6
1
12
2
= 1.6
12
1
24
2
=

203
2. ใหเติมจํานวนลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง
2.1
8
6
2.2
6
6
2.3
8
12
2.4
3
5
2.5
8
7
3. ใหหาจํานวนมาเติมลงใน แลวทําใหประโยคเปนจริง
3.1
6
3
3.2
14
9
3.3
6
1
3.4
6
15
=
2
1
2
6
3
2 =
3.5
4
7
=
4
3
1 3.6
24
14
3.7
18
35
=
18
17
1 3.8
28
111
1. วิธีทํา = 





++
35
20
35
14
7
3
2. วิธีทํา =
9
9
10
7
9
4
9
5
10
7
+=





++
=
35
34
35
15
35
34
57
53
35
34
7
3
+=+
×
×
=+ = 1
10
7
+
=
35
49
=
10
7
1
=
35
14
1
=
5
2
1
3. วิธีทํา =
5
2
5
5
8
7
8
8
5
3
+











++





× 4. วิธีทํา = 





−+
33
7
3
7
11
46
=
5
2
40
35
40
24
+



+ = 





−





×+
33
7
11
11
3
7
11
46
=
5
2
40
59
+ = 



−+
33
7
33
77
11
46
= 





×+
8
8
5
2
40
59
=
33
70
11
46
+
=
40
16
40
59
+ =
33
70
3
3
11
46
+



×
=
40
35
1
40
75
= =
33
70
33
138
+ =
33
208
=
33
10
6

204
1. จงหาผลคูณตอไปนี้
1)
5
1
1
3
1
2 ×
วิธีทํา =
5
6
3
7
×
=
15
42
=
5
4
2
15
12
2 =
2)
9
5
5
1
1 ×
9
5
5
6
×
=
3
2
45
30
=
3)
9
1
1
11
2
5 ×
9
10
11
57
×
=
33
25
5
99
75
5
99
570
==
4)
10
7
3
2
16 ×
10
7
3
50
×
=
3
2
11
3
35
=
5)
5
2
1
3
2
2
16
5
××
5
7
3
8
16
5
××
=
6
1
1
6
7
=
6)
6
1
4
3
3
2
6 ××
6
1
4
3
3
20
×× =
6
5
321
115
=
××
××

205
7)
18
35
25
24
49
15
××
18
35
25
24
49
15
××
=
7
4
8)
22
10
25
11
27
10
25
24
×××
22
10
25
11
27
10
25
24
×××
=
1595
1128
×××
×××
=
225
16
1. จงหาผลลัพธตอไปนี้
1.1 วิธีทํา =
5
8
5
4
×
=
25
7
1
25
32
=
5
2
11
10
×
=
11
4
6
12
24
9
×
=
4
3
5
24
16
15
×
=
2
1
4
2
9
=
11
25
100
99
×
=
4
1
2
4
9
=
3
1
2
3
×
=
2
1

206
2.1 วิธีทํา = 





−×
9
31
5
21
17
9
=
45
34
17
9
45
155
45
189
17
9
×=





−×
=
5
2
2.2 วิธีทํา = 





−÷





+
6
2
6
3
6
2
6
3
= 6
6
5
6
1
6
5
×=÷
= 5
11
12
6
7
3
11
××
=
3
14
=
3
2
4
3
10
5
7
7
24
××
= 16
1. ใหหาคําตอบของโจทยปญหาตอไปนี้
1) ตองมีเงิน 320 บาท ซื้อรองเทา
5
2
ของเงินทั้งหมด ซื้อเสื้อ
16
5
ของเงินที่เหลือ จง
หาวาตองเหลือเงินเทาไร
วิธีทํา ตองมีเงิน 320 บาท
ซื้อรองเทา
5
2
ของเงินทั้งหมด คิดเปน 128320
5
2
=×
เหลือเงินจากการซื้อรองเทา 320 – 128 = 192 บาท
ซื้อเสื้อ
16
5
ของเงินที่เหลือ คิดเปน 60192
16
5
=× บาท
เหลือเงินจากการซื้อเสื้อ 192 – 60 = 132 บาท
ตอบ ตองเหลือเงิน 132 บาท

207
2) หองประชุมหองหนึ่งมีความยาวเปน
4
3
3 ของความกวาง และความกวางเปน
5
2
4 ของ
ความสูง ถาหองสูง
2
1
3 เมตร และมีนักเรียน 462 คน จงหาวาโดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่ง
มีอากาศหายใจกี่ลูกบาศกเมตร
วิธีทํา หองประชุมมีความกวาง
5
2
4 ของความสูง =
5
77
2
7
5
22
=× เมตร
มีความยาวเปน
4
3
3 ของความกวาง =
4
231
5
77
4
15
=× เมตร
ดังนั้นหองประชุมมีปริมาตร =
40
509,124
4
231
5
77
2
7
=×× ลูกบาศกเมตร
ในหองประชุมมีนักเรียน 462 คน โดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่งมีอากาศหายใจ
= 462
40
509,124
÷
=
462
1
40
509,124
×
ตอบ โดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่งมีอากาศหายใจ 6.7375 ลูกบาศกเมตร
3) จางคนปลูกหญาบนสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง
5
4
6 เมตร ยาว
2
1
10 เมตร ในราคาตาราง
เมตรละ 45 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร
วิธีทํา สนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง
5
4
6 เมตร =
5
34
เมตร
ยาว
2
1
10 เมตร =
2
21
เมตร
พื้นที่สนาม =
5
357
2
21
5
34
=× ตารางเมตร
จายคาจางคนปลูกหญา ตารางเมตรละ 45 บาท
ตองจายเงิน = 375,3
5
357
45 =× บาท
ตอบ จายคาจางปลูกหญาบนสนามเทากับ 3,213 บาท

208
4) โทรทัศนเครื่องหนึ่งประกาศลดราคาลง
4
1
ของราคาที่ปดไวเดิม แตผูซื้อเปนเพื่อนกับผูขาย
ลดใหอีก
5
1
ของราคาที่ประกาศลดแลวในครั้งแรก ซึ่งปรากฏวาผูซื้อจายไป 4,200 บาท จงหาวา
โทรทัศนเครื่องนี้ปดราคาเดิมไวเทาไร
วิธีทํา โทรทัศนเครื่องหนึ่งลดราคาลง
4
1
ของราคาที่ปดไว
ถาลดราคา
4
1
บาท ราคาที่ลดแลวเหลือ
4
3
4
1
1 =− บาท
ขายใหเพื่อนลดใหอีก
5
1
ของราคาที่ประกาศลด
20
3
4
3
5
1
=×
ขายไปจริงราคา
5
3
20
12
20
315
20
3
4
3
==
−
=− บาท
เศษสวน
5
3
คิดเปนเงิน 4,200 บาท
ดังนั้นราคาเดิมขายไว = 000,7
3
5
200,4 =× บาท
ตอบ เดิมติดราคาไว 7,000 บาท
5) ในการเดินทางครั้งหนึ่งเสียคาที่พัก
5
2
ของคาใชจายทั้งหมด คาเดินทาง
4
1
ของคาใชจาย
ทั้งหมด คาใชจายอื่น ๆ คิดเปนเงิน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทั้งหมดเปนเงินเทาไร
วิธีทํา คาใชจายทั้งหมดเปนเงิน 1 บาท
เสียคาที่พัก
5
2
ของคาใชจายทั้งหมดเปนเงิน =
5
2
บาท
เสียคาเดินทาง
4
1
ของคาใชจายทั้งหมดเปนเงิน =
4
1
บาท
รวมคาที่พักและคาเดินทาง =
20
13
4
1
5
2
=+ บาท
เปนคาใชจายอื่นๆ =
20
7
20
13
1 =− บาท
20
7
คิดเปนเงิน 1,470 บาท
ดังนั้น คาใชจายทั้งหมด = 1,470 x 200,4
7
20
= บาท
ตอบ คาใชจายทั้งหมด 4,200 บาท

209
1. จงเติมผลลัพธตอไปนี้
1.1 0.99 1.2 -0.2
1.3 -0.1 1.4 0.1
1.5 -16.7 1.6 -12.5
1.7 50.09 1.8 -15.15
1.9 10.1 1.10 3.306
1.11 -9.1 1.12 -16.57
1.13 -36.7 1.14 -50.1
1.15 8.4782 1.16 2.7843
1.17 -57.03 1.18 -63.938
1.19 -3.237 1.20 3.327
1.1 -28.92 1.2 -0.1176
1.3 6.6742 1.4 -32.6808
2.1 -1,240
2.2 -10.1802
2.3 -12.596
2.4 24.5746
2.5 -3.33

210
ใหนักศึกษาแกปญหาโจทยตอไปนี้
1. เชือกยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหนึ่งยาว 5.2 เมตร มาผูกตอกันทําใหเสียเชือกตรงรอยตอ
0.15 เมตร นําเชือกที่ตอแลวมาวางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5 เมตร ดาน
ยาวจะยาวดานละกี่เมตร
วิธีทํา เชือกที่เหลือจากการนํามาตอกันคิดเปน (17.25 + 5.2) – 0.15 = 22.3 เมตร
นํามาวางใหเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาใหดานกวางยาว 1.5 เมตร
ดานกวางทั้ง 2 ดานจะใชเชือกไป 1.5 x 2 = 3 เมตร
เหลือเชือกเปนดานยาว 22.3 – 3 = 19.3
แตดานยาว มี 2 ดาน ดังนั้นดานยาว ดานละ 19.3 ÷ 2 = 9.65 เมตร
ตอบ ดานยาวจะยาวดานละ 9.65 เมตร
2. น้ําตาลถุงหนึ่งหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม
จะใชน้ําตาลไดทั้งหมดกี่วัน
วิธีทํา น้ําตาลถุงหนึ่งหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง = 9.35 x 16 = 149.6 กิโลกรัม
ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม จะใชน้ําตาลได = 34
4.4
6.149
= วัน
ตอบ จะใชน้ําตาลไดทั้งหมด 34 วัน
3. หองรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นํากระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 32
ตารางเซนติเมตร มาปูหองจะตองใชกระเบื้องกี่แผน
วิธีทํา พื้นที่หองสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร = 480 x 960 = 460,800 ตร.ซม.
พื้นที่กระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด = 32 ตร.ซม.
ถาปูหองจะตองใชกระเบื้อง = 400,14
32
800,460
แผน
ตอบ จะตองใชกระเบื้อง 14,400 แผน

211
4. มีทองคําแทงหนึ่งหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม แบงขายไปสองครั้ง หนักครั้งละ
8.02 กรัม ที่เหลือนําไปทําแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทาๆ กัน จะเหลือทองอีกกี่กรัม
วิธีทํา ทองคําแทงหนึ่งหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม = 12.04 + 25.22 = 37.26 กรัม
แบงขายไปสองครั้ง หนักครั้งละ 8.02 กรัม = 8.02 x 2 = 16.04 กรัม
เหลือทอง = 37.26 – 16.04 = 21.22 กรัม
นําไปทําแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทา ๆ กัน = 5 x 3.45 = 17.25 กรัม
ทองที่เหลือจากการทําแหวนจะได = 21.22 – 17.25 = 3.97 กรัม
ตอบ จะเหลือทองอีก 3.97 กรัม

212
เลขยกกําลัง
1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 พรอมทั้ง
บอกฐานและเลขชี้กําลัง
1.1 25 = ……… 5 x 5…………………=……..… 2
5 ……………..
มี = …………5…………….เปนฐานและ..............2..................เปนเลขชี้กําลัง
1.2 64 = ………8 x 8…………………=…………… 2
8 …………..
มี = …………8…………….เปนฐานและ...............2..................เปนเลขชี้กําลัง
1.3 169 = ………13 x 13……………....=…………… 2
13 …….…..
มี = ……………13……….เปนฐานและ..............2....................เปนเลขชี้กําลัง
1.4 729 = ……………27 x 27………..=………… 2
27 ……….…..
มี = …………27………….เปนฐานและ............2......................เปนเลขชี้กําลัง
1.5 -32 = …(-2) (-2) (-2) (-2) (-2)…….=…………( )5
2− ………..
มี = …………(-2)…………เปนฐานและ............5.....................เปนเลขชี้กําลัง
1.6 -243 = …(-3) (-3) (-3) (-3) (-3)……….=………( )5
3− …………..
มี = ……………(-3)………เปนฐานและ............5.....................เปนเลขชี้กําลัง
1.7 0.125 = …(0.5) (0.5) (0.5)………….=…………( )3
5.0 ……..…..
มี = …………(0.5)………เปนฐานและ.....................3..............เปนเลขชี้กําลัง
2.1 2 × 2 ×2 ×2 ×2× 2× 2 × 2 = 256
2.2 (-3) (-3) (-3) (-3) = 81
2.3 (0.3) (0.3) (0.3) (0.3) (0.3) = 0.00243
2.4 (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) (0.02) = 0.000000000064
2.5 





3
1






3
1






3
1
= 





27
1
2.6 





7
2






7
2






7
2
=
343
8
2.7 (-5) (-5) (-5) (-5) = 625
2.8 - (2×2×2) = -8
2.9 





10
1






10
1






10
1






10
1






10
1
=
100000
1
2.10 (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) (0.5) = 0.015625

213
1 จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
1. 4 x 5
10
2. 2.3 x 10
10
3. 6.39 x 8
10
4. 2.475 x 8
10
2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กิโลเมตร จงเขียนใหอยูในรูปสัญกรณ
วิทยาศาสตร
ตอบ 1.43 x 9
10
3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปนี้แทนจํานวนใด
3.1 2,000,000
3.2 48,000,000,000,000
3.3 4,030,000,000
3.5 912,500
1 จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปนี้
1.1 65
2 +
= 2,048
1.2 32 x 9 = 288
1.3 3
6 = 216
1.4 2
75.0 = 0.5625
1.5 9
9
1
×





= 1
1.6 ( )3
6− = -216
1.7
16
625
125
8
× =
2
5
=
2
1
2
1.8
32
16807
117649
1
× =
224
1
1.9 ( ) 





16
1
125.0 = 0.0078125
1.10 ( )5
11− = 161051

214
2. จงเขียนผลคูณของจํานวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลัง
2.1 732
2 ++
= 12
2
2.2 ( ) 513
3
++
− = ( )9
3−
2.3 24
555 ×× = 241
5 ++
= 7
5
2.4 22
111111 ×× = 212
11 ++
= 5
11
2.5 ( ) 734
3
++
− = ( )14
3−
1. จงหาผลลัพธ
1.1 29
2 −
= 7
2
1.2 16
3 −
= 5
3
1.3 63
11 −
= 3
11−
= 3
11
1
1.4
24
5
1
−






=
2
5
1






1.5( ) 45
03.0
−
= ( )03.0
1.6 ( ) 75
)8.0(8.0 ÷ = ( ) 75
8.0 −
= 2
)8.0( −
= 2
)8.0(
1
1.7 ( ) 743
5 −+
= 0
5 = 1
1.8 ( ) 416
7 −+
= 3
7
1.9 ( )542
13 −+
= 13
1.10 ( ) 476 +−
m = 3
m
2. จงหาผลลัพธตอไปนี้ในรูปที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก
2.1 )4(3
5 −+
= 1
5−
=
5
1
2.2 ( ) 268
3 −−+
= 0
3 = 1
2.3 ( ) 16
4 −−
= 7
4−
= 7
4
1
2.4 ( )16
2 −+
= 5
2
2.5 ( ) 32
5.1
−
= ( ) 1
5.1
−
=
5.1
1
2.6 52−
x = 3−
x = 3
1
x
2.7 ( ) ( )5013 ++
÷ aa = 54−
a = 1−
a =
a
1
2.8 ( )57 −−−
m = 57+−
m = 2−
m = 2
1
m

215
อัตราสวนรอยละ
1.จงเขียนอัตราสวนจากขอความตอไปนี้
1.1 1 เซนติเมตร : 100 กิโลเมตร
1.2 200 กิโลเมตร : 3 ชั่วโมง
1.3 40 คน : 1,000 คน
1.4 72 ครั้ง : 1 นาที
2. สลากกินแบงรัฐบาลแตละงวดเปนเลข 6 หลัก เชน 889748 ซึ่งมีหมายเลขตางกันทั้งหมด
1,000,000 ฉบับ ในจํานวนทั้งหมดนี้มีสลากที่ถูกรางวัลเลขทาย 2 ตัวทั้งหมด 10,000 ฉบับ ถูก
รางวัลเลขทาย 3 ตัว 4,000 ฉบับ และถูกรางวัลที่ 1 อีก 1 ฉบับ
2.1 1 : 1,000,000
2.2 10,000 : 1,000,000
2.3 4,000 : 1,000,000
2.4 10,000 : 4,000
3. พอคาจัดลูกกวาดคละสีขนาดเทากันลงในขวดโหลเดียวกัน โดยนับเปนชุดดังนี้ “ลูกกวาดสีแดง
3 เม็ด สีเขียว 2 เม็ด สีเหลือง 5 เม็ด” จงหา
3.1 3: 10
3.2 3: 5
3.3 สีเหลืองเพราะมีจํานวนมากที่สุด ดังนั้นโอกาสที่จะหยิบไดสีเหลืองจึงมีมาก
1. ถาอัตราการแลกเปลี่ยนเงินดอลลารตอเงินหนึ่งบาทเทากับ 1 : 43 จงเติมราคาเงินในตาราง
43 86 129 430 860

216
2. จงเขียนอัตราสวนที่เทากับอัตราสวนที่กําหนดใหตอไปนี้มาอีก 3 อัตราสวน
2.1
12
8
,
9
6
,
6
4
2.2
36
20
,
27
15
,
18
10
3. จงตรวจสอบวาอัตราสวนตอไปนี้เทากันหรือไม
4. จงทําใหอัตราสวนตอไปนี้มีหนวยเดียวกันและอยูในรูปอยางงาย
4.1 2x 24 : 10 หรือ 48 : 10 หรือ 24 : 5
4.2 200 : 1.5 x 1,000 เมตร หรือ 200 : 1,500
6 x9 = 8 x 7
54 ≠ 56
12 x15 = 18 x 10
180 =180
0.3 x200 = 6 x 10
60 = 60
8
6
≠
9
7
10
12
=
15
18
10
3.0
=
200
6

217
1. พอแบงเงินใหลูกสามคนโดยกําหนด
อัตราสวนของจํานวนเงินลูกคนโต ตอคนกลาง ตอคนเล็กเปน 5 : 3 : 2 จงหาอัตราสวนตอไปนี้
1.1 5 : 2
1.2 2 : 3
1.3 3 : 10
1.4 2 : 10
2. เศรษฐีคนหนึ่งไดเขียนพินัยกรรมไวกอนจะเสียชีวิตวา ถาภรรยาที่กําลังตั้งครรภคลอดลูกเปนชาย
ใหแบงเงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรชายเปน 1 : 2 แตถาคลอดลูกเปนหญิง
ใหแบงเงินในพินัยกรรมเปนอัตราสวนเงินของภรรยาตอบุตรหญิงเปน 2 : 1 เมื่อเศรษฐีคนนี้เสียชีวิต
ลงปรากฏวาภรรยาคลอดลูกแฝด เปนชาย 1 คน หญิง 1 คน จงหาอัตราสวนของเงินในพินัยกรรม
ของภรรยาตอบุตรชาย ตอบุตรหญิง
ตอบ อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรชาย เปน 1 : 2
อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรหญิง เปน 2 : 1
เมื่อเศรษฐีเสียชีวิตลงภรรยาคลอดลูกเปนฝาแฝด ชาย 1 คน หญิง 1 คน ตองแบงพินัยกรรมเปน
สามสวน คือ
อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรชาย เปน 1: 2 = 2: 4
อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรหญิง เปน 2 : 1
นั่นคือ อัตราสวนเงินของภรรยาตอเงินของบุตรชายตอบุตรหญิงเปน 2 :4 : 1
1. จงเขียนสัดสวนจากอัตราสวนตอไปนี้
1.1
8
6
4
3
=
1.2
27
9
7
=
A
1.3
510
12 B
=
1.4
D
65
4
5
=

218
2. จงหาคาตัวแปรจากสัดสวนที่กําหนดใหตอไปนี้
2.1
15
12
3
=
A
15
12
×=A
= 2.4
2.2
28
213
=
B
21
28
3×=B
= 4
1. ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท ถาขาย มะละกอ 15 ผล จะไดเงินเทาไร
วิธีทํา ขายมะละกอ 3 ผล ราคา 50 บาท
ขายมะละกอ 15 ผล ราคา x บาท
จะได
x
15
50
3
=
3
5015x
x =
x = 250
2. กศน.แหงหนึ่งมีนักศึกษาทั้งหมด 400 คน มีจํานวนนักศึกษาหญิงตอจํานวนนักศึกษาชาย
เปน 5: 3 จงหาวา มีนักศึกษาชายกี่คนและนักศึกษาหญิงกี่คน
วิธีทํา กศน. แหงหนึ่งมีนักศึกษาทั้งหมด 400 คน
มีจํานวนนักศึกษาหญิงตอจํานวนนักศึกษาชาย เปน 5: 3
ดั้งนั้นถาแบงนักศึกษา กศน.ทั้งหมดออกเปน 5+3 = 8 สวน
จะไดนักศึกษา กศน. สวนละ
8
400
= = 50 คน
ฉะนั้น มีนักศึกษาชาย อยู 3 สวน เปน 3 x 50 = 150 คน
มีนักศึกษาหญิงอยู 5 สวน เปน 5 x 50 = 250 คน

219
3. พอแบงมรดกใหลูกสองคน โดยอัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสวนแบงลูกคนเล็ก
เปน 7: 3 ถาลูกคนโตไดเงินมากกวาลูกคนเล็ก 80,000 บาท จงหาสวนแบงที่แตละคนไดรับ
วิธีทํา อัตราสวนของสวนแบงของลูกคนโตตอสวนแบงลูกคนเล็ก เปน 7: 3
ดังนั้น พอแบงเงินทั้งหมดเปน 10 สวน
ลูกคนโตมีเงินมากกวาลูกคนเล็ก 4 สวน เปนเงิน 80,000 บาท
ดังนั้น เงิน 1 สวน เปนเงิน 000,20
4
000,80
= บาท
สรุปไดวา ลูกคนโตไดรับเงินมรดก 7 สวน เปนเงิน 7 x 20,000 = 140,000 บาท
ลูกคนเล็กไดรับเงินมรดก 3 สวน เปนเงิน 3 x 20,000 = 60,000 บาท
1.1 90
1.2 48
1.3 7%
1.4 25%
1.5 600
1.6 0.5
1. 125 คน
2. 2.1 1,200 คน
2.2 480 คน
3.
วิธีทํา สินคาทุกชนิดลดราคา 20 %
คุณแมซื้อเครื่องแกวแลวไดสวนลด 250 บาท
ดังนั้นรานคาปดราคา =×
20
100
250 1, 250 บาท
4. วิธีทํา สนามหญาแหงหนึ่งกวาง 5 เซนติเมตร ยาว 8 เซนติเมตร
มาตราสวน 1 เซนติเมตร : 50 เมตร
ดังนั้นสนามหญาจริงกวาง 250 เมตร ยาว 400 เมตร
หาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา จะได 250 x 400 = 100,000 ตารางเมตร

220
5. วิธีทํา นกนอยไดอัตราดอกเบี้ยรอยละ 3 ตอป แตถูกหักภาษีรอยละ 15 คิดเปน 45.03
100
15
=×
เทากับดอกเบี้ยที่ถูกหักภาษีแลว 3 – 0.45 = 2.55
นกนอยฝากเงิน 10,000 บาท สิ้นปจะไดดอกเบี้ยที่ถูกหักภาษี รอยละ 2.55
คิดเปน 255000,10
100
55.2
=× บาท
รวมมีเงินบัญชี 10,000 + 225 = 10,225 บาทในตนปที่สอง
สิ้นปที่สองจะไดดอกเบี้ยรอยละ 2.55 ของเงินฝากปที่สอง = 50.261255,10
100
55.2
=× บาท
ครบสองปจะมีเงินในบัญชี 10,255 + 261.50 = 10,516.50 บาท
6. วิธีทํา วีระซื้อรถยนต ราคา 200,000 บาท
ขายตอไดกําไร 20% เปนเงิน 000,40000,200
100
20
=× บาท
วีระมีเงินทั้งหมด 240,000 บาท
วีระเอาเงินไปเลนหุนขาดทุน 20% เปนเงิน 000,48000,240
100
20
=× บาท
ดังนั้นวีระเหลือเงิน 240,000 - 48,000 = 192,000 บาท

221
การวัด
1. จงเติมหนวยความยาวหรือหนวยพื้นที่ใหเหมาะสมกับขอความตอไปนี้
1.1 มิลลิเมตร
1.2 เซนติเมตร, เซนติเมตร, มิลลิเมตร
1.3 กิโลเมตร
1.4 เมตร, เมตร, กิโลเมตร
1.5 เซนติเมตร, เซนติเมตร, มิลลิเมตร
1.6 ตารางเซนติเมตร
1.7 ตารางเมตร
1.8 เมตร หรือ วา , ไร-งาน-ตารางวา, ตารางเมตร
1.9 เมตร
2. จงเติมคําลงในชองวางที่กําหนดใหถูกตอง
2.1 1,600
2.2 170,000
2.3 7 ไร 3 งาน 19 ตารางวา
2.4 5
2.5 2 x 10
10
2.6 2,222
2.7 2.9
2.8 432
2.9 38
2.10 1,072 938,000 และ 1,400,000
3. จงตอบคําถามตอไปนี้ พรอมแสดงวิธีทํา
1) สวนแหงหนึ่งมีพื้นที่ 4,800 ตารางเมตร คิดเปนพื้นที่กี่ไร
วิธีทํา พื้นที่ 1,600 ตารางเมตร เทากับ 1 ไร
พื้นที่ 4,800 ตารางเมตร เทากับ 3
600,1
800,4
= ไร

222
2) พื้นที่ 25 ตารางฟุต คิดพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร
วิธีทํา 1 ฟุต = 30 เซนติเมตร
1 ตารางฟุต = 30 x 30 ตารางเซนติเมตร
25 ตารางฟุต = 30 x 30 x 25 = 22,500 ตารางเซนติเมตร
3) ลุงแดงแบงที่ดินใหลูกชาย 3 คน โดยแบงใหลูกชายคนโตได 2 ไร ลูกชายคนกลาง 850
ตารางวา และลูกชายคนเล็กได 3,000 ตารางเมตร อยากทราบวาใครไดสวนแบงที่ดินมากที่สุด
วิธีทํา คนโตได 2 ไร คิดเปน 2 x 1,600 = 3,200 ตารางเมตร
คนที่สองได 850 ตารางวา คิดเปน 850 x 4 = 3,400 ตารางเมตร
คนเล็กได 3,000 ตารางเมตร
แสดงวา คนกลางไดมากที่สุด
4) พื้นที่ 5,625 ไร คิดเปนพื้นที่ กี่ตารางกิโลเมตร
วิธีทํา พื้นที่ 625 ไร = 1 ตารางกิโลเมตร
พื้นที่ 5,625 ไร = 9
625
625,5
= ตารางกิโลเมตร
5) สมเกียรติซื้อโลหะแผนชนิดหนึ่ง 3 ตารางเมตร ราคา 456 บาท สมนึกซื้อโลหะแผน
ชนิดเดียวกัน 4 ตารางหลา ราคา 567 บาท อยากทราบวาใครซื้อไดถูกกวากัน ตารางเมตรละกี่บาท
(กําหนด 1 หลา = 90 เซนติเมตร)
วิธีทํา 1 หลา = 90 เซนติเมตร
1 ตารางหลา = 90 x 90 ตารางเซนติเมตร
4 ตารางหลา = 90 x 90 x 4 ตารางเซนติเมตร
100 x 100 ตารางเซนติเมตร = 1 ตารางเมตร
ดังนั้น 90 x 90 x 4 ตารางเซนติเมตร = 24.3
100100
49090
=
x
xx
ดังนั้น สมนึกซื้อโลหะแผน ราคา 567 บาท คิดเปนราคาตารางเมตรละ 175
24.3
567
= บาท
สมเกียรติซื้อโลหะแผนราคา 456 บาท คิดเปนราคาตารางเมตรละ 152
3
456
= บาท
ดังนั้น สมเกียรติซื้อไดในราคาที่ถูกกวา

223
1.จงเติมหนวยการวัดที่เหมาะสมลงในชองวาง
2.1 เมตร
2.2 มิลลิเมตร
2.3 กิโลเมตร
2.4 กิโลกรัม
2.5 วินาที
2.6 องศาเซลเซียส
2.7 ไร – งาน – ตารางวา
2.8 ลูกบาศกเซนติเมตร หรือ ลิตร
2.10 กิโลกรัม
1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาของรูปตอไปนี้ ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมี
หนวยเปนหนวยความยาว
1. 1501520
2
1
=xx ตารางหนวย 2. 25510
2
1
=xx ตารางหนวย
2. รูปสามเหลี่ยมหนึ่งรูปมีพื้นที่ 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูงกี่
วิธีทํา 90 = xx12
2
1
สูง
ความสูง = 15
12
290
=
x

224
3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ
ยาวของดาน A
วิธีทํา ABC เมื่อ AB เปนฐาน พื้นที่สามเหลี่ยมคือ 12486
2
1
−−−−−=xx
ABC เมื่อ BC เปนฐาน พื้นที่สามเหลี่ยม คือ 210
2
1
−−−−−−−xax
สมการที่ 1 = สมการที่ 2 จะได 2410
2
1
=xax
ดังนั้น a = 4.8 หนวย
4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี
หนวยเปนเซนติเมตร)
30
วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยมรูปนอก = 3752530
2
1
พื้นที่สามเหลี่ยมรูปใน = 2402024
2
1
ดังนั้น พื้นที่สวนที่แรเงามีพื้นที่เทากับ 375 – 240 = 135 ตารางหนวย

225
1.1 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ดาน x ดาน = 8 x 8 = 64 ตารางเซนติเมตร
1.2 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = x
2
1
ผลคูณของเสนทแยงมุม = 72)1212(
2
1
=× ตาราง
1.3 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง x ยาว = 4 x 7 = 28 ตารางเซนติเมตร
1.4 พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน x สูง = 12 x 8 =96 ตารางเมตร
1.5 พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู =
2
1
x ผลบวกดานคูขนาน x สูง = ( ) 486115
2
1
=+ xx ตารางเมตร
1.6 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน = x
2
1
ผลคูณของเสนทแยงมุม = 48812
2
1
=xx ตารางเมตร
1.7 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว = x
2
1
2
1
1.8 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว = x
2
1
2
1
1.9 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมใดๆ = x
2
1
เสนทแยงมุม x ผลบวกของเสนกิ่ง = ( ) 607510
2
1
=+xx
2. จงหาพื้นที่สวนที่แรงเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว
เปนเมตร
วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยมรูปเล็ก = 844
2
1
พื้นที่สามเหลี่ยมรูปใหญ = 2468
2
1
จะเห็นวาพื้นที่สวนที่แรเงามีพื้นที่เทากับ 24 – 8 = 16 ตารางเมตร

226
วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปใหญ = 000,24050 =x ตารางเมตร
พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปเล็ก = 496,13444 =x ตารางเมตร
จะเห็นวาพื้นที่สวนที่แรเงามีพื้นที่เทากับ 2,000 – 1,496 = 504 ตารางเมตร
1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับดานมีหนวยเปนเซนติเมตร และจุด O, Q แทนจุด
ศูนยกลางของวงกลม
1.1
วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยม รูป 1 = 1238
2
1
=xx
พื้นที่สี่เหลี่ยม รูป 2 = 40810
2
1
=xx
ดังนั้น พื้นที่ที่แรเงาทั้งหมด = 12 + 40 = 52 ตารางหนวย

227
1.2
วิธีทํา พื้นที่วงกลม = 5.35.3
7
22
xx
พื้นที่ที่แรเงาทั้งหมด = 38.5 ตารางหนวย
1.3
วิธีทํา พื้นที่วงกลม = 15477
7
22
=xx
พื้นที่สี่เหลี่ยม = 14 x 14 = 196
พื้นที่ที่แรเงาทั้งหมด = 196 – 154 = 42 ตารางหนวย

228
1.4
วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 1 = 1 x 6 = 6
พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 2 = 2 x 1 = 2
พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 3 = 1 x 6 = 6
ดังนั้นพื้นที่แรเงาทั้งหมด = 6+2+6 = 14 ตารางหนวย
1.5
วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 1 = 4 x 5 = 20
พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 2 = 634
2
1
=xx
ดังนั้น พื้นที่ทั้งหมด = 20 + 6 = 26 ตารางหนวย
1.6
วิธีทํา พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 1 = พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 2
พื้นที่สามเหลี่ยมรูปที่ 1และรูปที่ 2 = 6223
2
1
=





xxx
พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 3 = 5 x 3 = 15
ดังนั้นพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด = 6 + 15 = 21 ตารางหนวย
1 1
6
2.5
2.5
2

229
1. แผนผังบานหลังหนึ่งมีลักษณะและขนาดดังรูป ถาบริเวณที่แรเงาตองการเทปูนซีเมนต โดยเสีย
คาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเปน
วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 1 = 1 x 2 = 2 ตารางเมตร
พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 2 = 1 x 3 = 3 ตารางเมตร
พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปที่ 3 = 1.5 x 2 = 3 ตารางเมตร
ดังนั้นพื้นที่สวนที่แรเงา = 2+3+3 = 8 ตารางเมตร
ตองการเทปูนซีเมนตโดยเสียคาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท
จะตองเสียคาใชจายทั้งหมด = 250 x 8 = 2,000 บาท
2. ตองการตัดเสื้อตัวหนึ่งมีลักษณะดังรูป จะตองใชผากี่ตารางเมตร (ไมคิดตะเข็บ) ความยาวที่
กําหนดมีหนวยเปนเซนติเมตร

230
วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมสวนแขนเสื้อ สวนที่ 1= (
2
1
x (0.2+0.3) x 0.15) = 0.0375 ตารางเมตร
พื้นที่สี่เหลี่ยมสวนแขนเสื้อ สวนที่ 2= (
2
1
x (0.2+0.3) x 0.15) = 0.0375 ตารางเมตร
พื้นที่สี่เหลี่ยมสวนที่เปนลําตัว = 0.4 x 0.4 = 0.16 ตารางเมตร
พื้นที่ทั้งหมด คือ 0.0375 + 0.0375 + 0.16 = 0.235
จะตองใชผา 2 ชิ้น จะตองใชผาทั้งหมด 0.235 x 2 = 0.47 ตารางเมตร
1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้
1.1 5.00 นาฬิกา
1.2 12.00 นาฬิกา
1.3 หนาว , ธันวาคม
2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือ
ขนาดของสิ่งตอไปนี้
2.1 ข
2.2 ข
2.3 ก
2.4
2.4.1 ค
2.4.2 ก
2.4.3 ข
2.4.4 ข
2.5
2.5.1 ข
2.5.2 ก
3. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กิโลเมตร รถประจําทางปรับอากาศวิ่งบน
ทางหลวงสายนี้ตลอดเสนทางดวยอัตราเร็ว 80-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง
3.1 10 – 12 ชั่วโมง
3.2 4.00 – 6.00
3.3 24.00 – 2.00

231
4. ลิฟตของโรงแรมแหงหนึ่งบรรทุกผูโดยสายไดเที่ยวละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรัม) บางครั้งมี
ผูโดยสารเขาลิฟตเพียง 8 คน ลิฟตจะมีเสียงเตือน บางครั้งมีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไมมีเสียงเตือนยัง
ใชงานไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย
ตอบ ถาน้ําหนักของคน 8 คน รวมกันเกิน 600 กิโลกรัม
ถาน้ําหนักของคน 12 คน รวมกันไมเกิน 600 กิโลกรัม
5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จังหวัดนราธิวาส) 1,352 กิโลเมตร ทาง
หลวงสายมิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวัดหนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรุงเทพฯ-
จังหวัดตราด) 400 กิโลเมตร
5.1 ระยะทาง 1,352 + 508 = 1,860 กิโลเมตร
ใชอัตราเร็ว 90 – 100 กิโลเมตร ตอชั่วโมง จะใชเวลาประมาณ 19 – 22 ชั่วโมง
5.2 ใชเวลา 52.13
100
352,1
= ชั่วโมง จะถึงนราธิวาสเมื่อเวลาประมาณ ตี 2
5.3 ใชเวลา 5
80
400
= ชั่วโมง
5.4 ทางหลวงเพชรเกษม ประมาณ 1,400 กิโลเมตร
ทางหลวงมิตรภาพ ประมาณ 500 กิโลเมตร
ทางหลวงสุขุมวิท ประมาณ 400 กิโลเมตร

232
พื้นที่ผิวและปริมาตร
1. จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมตอไปนี้
วิธีทํา ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง
= 538
2
1
xxx 





= 60 ลูกบาศกเซนติเมตร
วิธีทํา ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง
= 4212
2
1
xxx 





= 48 ลูกบาศกเซนติเมตร
1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14
วิธีทํา ปริมาตร = ¶ 2
r h
= 540,11077
7
22
=xxx ลูกบาศกเซนติเมตร
พื้นที่ฐาน = ¶ 2
r
= 15477
7
22
=xx ตารางเซนติเมตร
พื้นที่ผิวขาง = 2¶rh
= 440107
7
22
2 =xxx ตารางเซนติเมตร

233
ดังนั้นพื้นที่ผิวทั้งหมด คือ 440 + (154 x 2) = 748 ตารางเซนติเมตร
2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีของฐาน 3.5 นิ้ว และสูง 5 นิ้ว
r h
= 5.19255.35.3
7
22
=xxx ลูกบาศกนิ้ว
3. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของถังเก็บน้ํารูปทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีที่ฐาน 3 เมตร
สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร
r h
= 6.1389.433
7
22
=xxx ลูกบาศกเมตร
พื้นที่ผิวขาง = 2¶rh
= 4.929.43
7
22
2 =xxx ตารางเมตร
พื้นที่ฐานทั้ง 2 ขาง = 2 x (3.14)x 3x 3 = 56.52 ตารางเมตร
ดังนั้นพื้นที่ผิวทั้งหมด = 92.4 + 56.52 = 148.92 ตารางเมตร
1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิดที่สูง 6 เซนติเมตร ฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาว
ดานละ 16 เซนติเมตร
วิธีทํา หาสูงเอียง จากสูตร 222
bac +=
222
68 +=c
C = 10
พื้นที่ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = 16 x 16 = 256 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรพีระมิด = x
3
1
= 6256
3
1
xx = 512 ตารางเซนติเมตร
พื้นที่ผิวเอียง = ( ) 10164
2
1
xxx = 320 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้นพื้นที่ผิวทั้งหมด = 256 + 320 = 576 ตารางเซนติเมตร

234
2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สูงเอียง
วิธีทํา พื้นที่ผิวเอียง = x
2
1
= x
2
1
(4 x 6) x 7.5
= 2 x 6 x 7.5 = 90 ตารางเซนติเมตร
1. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14
วิธีทํา ปริมาตร =
3
1
¶ 2
r h
= 2477
7
22
3
1
xxxx
สูงเอียง = 222
724 +=A = 625
A = 25
r
= 15477
7
22
พื้นที่ผิวเอียง = ¶rl
= 550257
7
22
ดังนั้นพื้นที่ผิวทั้งหมด = 154 + 550 = 704 ตารางเซนติเมตร
2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง
8 เซนติเมตร (ตอบในรูป π)
วิธีทํา หาสูงตรง 222
bac +=
222
45 −=a
a = 3
ปริมาตร =
3
1
¶ 2
r h
=
3
1
¶ 342
x = 16 ¶ ลูกบาศกเซนติเมตร
พื้นที่ผิวเอียง = ¶rl

235
= ¶ (4)(5) = 20 ¶ ตารางเซนติเมตร
r
= ¶ 2
4 = 16 ¶ ตารางเซนติเมตร
พื้นที่ผิวทั้งหมด = 20 ¶ + 16¶ = 36¶ ตารางเซนติเมตร
3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร ความยาว
ทรงกระบอก 30 เซนติเมตร ความสูงยอดกรวย 12 เซนติเมตร
วิธีทํา ปริมาตรทรงกระบอก = ¶ 2
r h
= 3077
7
22
xxx = 4,620 ลูกบาศกเซนติเมตร
ปริมาตรทรงกรวย =
3
1
¶ 2
r h
= 1277
7
22
3
1
xxxx = 616 ลูกบาศกเซนติเมตร
ปริมาตรทั้งหมด = 4,620 + 616 = 5,236 ลูกบาศกเซนติเมตร
1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร
วิธีทํา ปริมาตรทรงกลม =
3
4
¶ 3
r
= 777
7
22
3
4
×××× = 1,437.3 ลูกบาศก
พื้นที่ผิวทรงกลม = 4¶ 2
r
= 4 x 77
7
22
xx = 616 ตารางเซนติเมตร

236
2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนติเมตร จงหารัศมีและพื้นที่ผิว
วิธีทํา ปริมาตรทรงกลม =
3
4
¶ 3
r
38,808 = 3
7
22
3
4
xrx
3
r =
224
73808,38
×
××
r = 21 เซนติเมตร
พื้นที่ผิวทรงกลม = 4¶ 2
r
= 2121
7
22
4 xxx = 5,544 ตารางเซนติเมตร
3. ทรงกลมมีพื้นที่ผิว 616 ตารางนิ้ว จงหาปริมาตรของทรงกลม
วิธีทํา พื้นที่ผิวทรงกลม = 4¶ 2
r
616 = 2
7
22
4 r××
2
r = 616
22
7
4
1
××
r = 7 เซนติเมตร
ปริมาตรทรงกลม =
3
4
¶ 3
r
= 777
7
22
3
4
××××
4. โลหะกลมลูกหนึ่ง รัศมีภายนอก 21 เซนติเมตร รัศมีภายใน 7 เซนติเมตร จงหาปริมาตรเนื้อโลหะ
วิธีทํา ปริมาตรทรงกลมรูปนอก =
3
4
¶ 3
r
= 212121
7
22
3
4
××××
ปริมาตรทรงกลมรูปใน =
3
4
¶ 3r
= 777
7
22
3
4
××××
ดังนั้นปริมาตรเนื้อโลหะ = 38,808 - 1,437.33 = 37,370.67

237
1. สระแหงหนึ่งเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กนสระกวาง 5 วา ลึก 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครื่องสูบน้ํา
ออกจากสระไดนาทีละ 9,000 ลิตร จะตองใชเวลาสูบน้ําเทาไร
วิธีทํา ปริมาตรสระน้ํา = กวาง x ยาว x ลึก
= 10 x 15 x 3 ลูกบาศกเมตร
1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
= 450 x 1,000,000
1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
= 000,450
000,1
000,000,450
= ลิตร
สูบน้ําออกจากสระไดนาทีละ = 9,000 ลิตร
ตองใชเวลาสูบน้ํา = 50
000,9
000,450
= นาที
2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.2 เมตร จุน้ํา 540 ลิตร ตองการปู
กระเบื้องภายในอางดวยแผนกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชกระเบื้อง
อยางนอยที่สุดเทาไร
วิธีทํา อางเลี้ยงปลาจุน้ํา 540 ลิตร คิดเปน 540 x 1,000 = 540,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
หาความลึกอางเลี้ยงปลาจาก 540,000 = 90 x 120 x ลึก
ความลึก = 50
12090
000,540
=
×
หาพื้นที่อางเลี้ยงปลาดานที่ 1 = 50 x 90 = 4,500 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้นพื้นที่อางเลี้ยงปลาทั้งหมด = 4,500 +4,500 +6,000 +6,000 +
10,800 +10,800= 42,600 ตารางเซนติเมตร
หาพื้นที่กระเบื้อง = 10 x 10 = 100 ตารางเซนติเมตร
ดังนั้นตองใชกระเบื้อง = 426
100
600,42
= แผน

238
3. น้ํายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลิตร ใชอมปวนปากครั้งละ 10 มิลลิลิตร วันละ 2
ครั้ง จะใชไดกี่วัน
วิธีทํา น้ํายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลิตร
ใชน้ํายาบวนปาก ครั้งละ 10 มิลลิลิตร วันละ 2 ครั้ง = 10 x 2 = 20 มิลลิลิตร
จะใชไดทั้งหมด = 35
20
700
= วัน
4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จุน้ําไดกี่ลิตร
วิธีทํา ถังน้ําทรงลูกบาศก มีความจุ = 2 x 2 x 2 = 8 ลูกบาศกเมตร
คิดเปน = 8 x 1,000,000 = 8,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร
จุน้ําได =
000,1
000,000,8 = 8,000 ลิตร
5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.50 เซนติเมตร สูง 1.20 เมตร บรรจุน้ํา
เต็มถัง ถาตองการตวงน้ํามันจากถังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตร จะไดน้ําทั้งหมดกี่แกลอน
วิธีทํา ถังทรงสี่เหลี่ยมมีปริมาตร = 90 x 150 x 120
สามารถจุน้ําได =
000,1
000,620,1
= 1,620 ลิตร
และแกลอน 1 ใบสามารถจุน้ําได = 4.5 ลิตร
ดังนั้น น้ํา 1,620 ลิตร สามารถจุได = 360
5.4
620,1
= แกลอน

239
1. ถังเก็บน้ํามันของปมแหงหนึ่งเปนรูปทรงกลม มีเสนผานศูนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสีครึ่งทรงกลม
บน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท
วิธีทํา พื้นที่ผิวทรงกลม = 4¶ 2
r
พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลม = x
2
1
4¶ 2
r
= 5.35.3
7
22
4
2
1
××××
เสียคาทาสีตารางเมตรละ = 40 บาท
จะเสียคาทาสี = 77 x 40
= 3,080 บาท
2. หินออนทรงลูกบาศกมีขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมีขนาดเสน
ผานศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศก จะหาวาจะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด
ปริมาตรลูกบาศก = ดาน3
= 2.1 x 2.1 x 2.1 = 9.261 ลูกบาศกเมตร
ปริมาตรทรงกลม =
3
4
¶ 3
r
= 





×





×





××
2
1.2
2
1.2
2
1.2
7
22
3
4
จะตองกลึงออก = 9.261 – 4.851

240
3. นําแทงตะกั่วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 นิ้ว ยาว 11 นิ้ว หนา 5 นิ้ว ไปหลอมเปนลูกปนทรงกลม
ขนาดรัศมี 1 นิ้ว จะหลอมไดกี่ลูก
วิธีทํา ปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = 8 x 11 x 5
= 440 ลูกบาศกนิ้ว
ปริมาตรลูกปนทรงกลม 1 ลูก =
3
4
¶ 3
r
= ( )3
1
7
22
3
4
××
=
21
88
ลูกบาศกนิ้ว
จํานวนลูกปนที่ได = 440 ÷
21
88
= 440 ×
88
21
= 105 ลูก

241
เฉลยบทที่ 7
คูอันดับและกราฟ
1. จงเขียนคูอันดับจากแผนภาพที่กําหนดใหตอไปนี้
1.1 (1,-1), (2,-2), (3,-3), (4,-4)
1.2 (1,c), (2,b), (3,a) , (4,d)
1.3 (1,0), (2,-1), (3,-2), (4,-3),(5,-4)
2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหในแตละขอตอไปนี้
2.1 x = 4 , y = 3
2.2 x = y , y = 2
2.3 x = 6 , y = 0
2.4 x = 4 , y = 4
1.1 A = ( 1,3) B= (-1,2) C= (-4, -2) D=(1,-1)
1.2 A = ( 0,2) B= (-3,1) C= (4, 0) D=(3,-4)

243
2.2
กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธ
3.1 2 ชั่วโมง
3.3 320 กิโลเมตร
3.5 160 กิโลเมตร

244
ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
1. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีรูปคลี่ดังตอไปนี้
1. พีระมิดฐานสามเหลี่ยม 2. ปริซึมสี่เหลี่ยม หรือทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
3. พีระมินฐานหกเหลี่ยม 4. ปริซึมหาเหลี่ยม
2. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละขอตอไปนี้

246

247
จงจับคูภาพดานหนา ดานขาง และดานบน ในแตละขอตอไปนี้กับรูปเรขาคณิตสามมิติที่
กําหนดใหทางขวามือ โดยเลือกตัวอักษรที่กํากับไวในรูปเรขาคณิตสามมิติ เขียนเติมลงในชองวาง
บนขวาของแตละขอ
ค
ก

249
2. จงเขียนภาพดานหนา ดานขาง และดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้ พรอมทั้งเขียน
จํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส

250
สถิติ
เปน ไมเปน
1 แดงสูง 163 เซนติเมตร 
2 นางสาวิภาวีมีสวนสัดเปน 35-24-36 
3 น้ําหนักของนักเรียนทุกคนที่เรียนชุดการเรียนทางไกล 
4 อุณหภูมิที่จังหวัดปทุมธานีวันนี้วัดได 25 องศาเซลเซียส 
5 สมศรีไดคะแนน 15 คะแนน 
6
ในการโยนเหรียญ 10 ครั้ง เกิดหัว 6 ครั้ง เกิดกอย 4 ครั้ง ได
อัตราสวนที่จะเกิดหัว
10
6

7 อาจารยศุภราเงินเดือน 23,000 บาท 
8 ความสูงเฉลี่ยของประชาชนที่เปนชาย 162 เซนติเมตร 
9 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญิง 2 คน ที่อยูในบานวิชัย 
10
จํานวนคดีอาชญากรรมในป 2551 ซึ่งรวบรวมมาจากบันทึกคดี
อาชญากรรมแตละวันในแตละสถานีตํารวจ

2. ใหผูเรียนพิจารณาขอมูลในแตละขอตอไปนี้ แลวเขียนเครื่องหมาย  ลงในชองที่ตรงกับ
ความคิดเห็น
ขอมูล
คุณภาพ
ขอมูล
ปริมาณ
1 สถิติคนไขแยกตามเชื้อโรคของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง 
2
จํานวนครั้งของการโทรศัพททางไกลจากแตละเครื่องใน
สํานักงาน 10 เครื่อง ในวันหนึ่ง

3
ผูจัดการถูกสัมภาษณถึงจํานวนเปอรเซ็นตของเวลาทํางานที่ใชใน
การประชุม

4
เครื่องสําอางโดยเฉพาะสีของสีทาปาก ซึ่งแตละบริษัทใน 10
บริษัท ไดระบุวามียอดขายมากที่สุด


251
3. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปนี้ แลวเติมคําตอบลงในชองวางตามความคิดเห็นของผูเรียนวา
เปนขอมูลปฐมภูมิ หรือทุติยภูมิ
3.1 ทุติยภูมิ
3.2 ปฐมภูมิ
3.4 ปฐมภูมิ
1. แผนภูมิรูปวงกลมแสดงรายไดของหางสรรพสินคาแหงหนึ่งโดยเฉลี่ยตอวัน จําแนกตามแผนก
ตางๆ
1.1 นอยกวา 0.86 %
1.2 รายไดจากแผนกเครื่องสําอางนอยที่สุด คิดเปน 12.87% ของรายไดจากแผนกที่รายไดมากที่สุด
1.3 51.43%
1.4 แผนกเครื่องเขียนแบบเรียน คิดเปน 20.11% ของรายไดทั้งหมด

252
2. จากการสอบถามงบประมาณที่แตละกลุมสาระการเรียนรูไดมาจากการจัดสรรงบประมาณของ
ทางโรงเรียน เปนดังนี้
กลุมสาระการเรียนรู งบประมาณ
(บาท)
จํานวนเปอรเซ็นต ขนาดของมุมที่จุดศูนยกลาง
ของรูปวงกลม (องศา)
คณิตศาสตร 35,000 29.10100
000,340
000,35
=× 06.37360
000,340
000,35
=×
วิทยาศาสตร 100,000 29.41 105.88
ภาษาตางประเทศ 48,000 14.12 50.82
ภาษาไทย 34,500 10.15 36.53
ศิลปะ 18,500 5.44 19.59
การงานอาชีพและเทคโนโลยี 40,500 11.91 42.83
สุขศึกษาและพลศึกษา 29,500 8.68 31.24
สังคมศึกษา ศาสนา และ
วัฒนธรรม
34,000 10.00 36.0
3. จงเขียนแผนภูมิรูปวงกลมโดยใชจํานวนเปอรเซ็นตและขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของรูป
วงกลมที่คํานวณไดจากตารางขางตน

253
4. ใหผูเรียนพิจารณากราฟเสนตอไปนี้
4.1 พ.ศ. 2529 , พ.ศ. 2531 , พ.ศ. 2533
4.2 พ.ศ. 2529 แตกตางกันประมาณ 28,000 ลูกบาศกเมตร
4.3 ปริมาณไมสักและไมประดูที่ผลิต จะลดลงเรื่อยๆ แตปริมาณไมประดูจะมีการเปลี่ยนแปลง
มากกวา
4.4 ไมสักผลิตได %47.76100
000,34
000,26
=× ของไมประดู
4.5 ปที่ผลิตไดมากที่สุด คือ พ.ศ. 2530 คือ 52,000 ลูกบาศกเมตร
ปที่ผลิตไดนอยสุด คือ พ.ศ. 2533 คือ 5,000 ลูกบาศกเมตร
ดังนั้น ทั้งสองปนี้ตางกันอยู 52,000 – 5,000 = 47,000 ลูกบาศกเมตร
5. ตารางแสดงรายรับ – รายจายของนาย ก ในรอบ 6 เดือนแรกของป พ.ศ. 2546 เปนดังนี้

254
จากตารางนําเสนอขอมูลดวยกราฟเสน ไดดังนี้
1. จากขอมูล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน
คาเฉลี่ยเลขคณิต = 7
มัธยฐาน = 4
ฐานนิยม = 6
2. จากขอมูล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน
คาเฉลี่ยเลขคณิต = 20.33
3. จากขอมูล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน
คาเฉลี่ยเลขคณิต = 11.83
มัธยฐาน = 11.95
ฐานนิยม = -

255
1. จากตารางใหนักเรียนหาความถี่สะสม โดยเติมลงในชองความถี่สะสม
คาเฉลี่ยเลขคณิต คือ 44.72

256
3. ตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนัก (หนวยเปนกิโลกรัม) ของนักเรียน 60 คน
หาความถี่สะสมไดดังนี้
2) ฐานนิยมของน้ําหนักอยูในชวงใด ตอบ 40 -44
3) โดยสวนใหญนักเรียนหนักอยูในชวงใด ตอบ 40 -44
4). ถาเรียงน้ําหนักนอยที่สุดไปยังน้ําหนักมากที่สุด จงหาตําแหนงของมัธยฐาน
ตอบ มัธยฐานอยูระหวางน้ําหนักของคนที่ 30 และ 31
5) นักเรียนคิดวามัธยฐานของน้ําหนักอยูในชวงใด ตอบ 40 -44

257
6) หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ

259
ความนาจะเปน
1. ใหผูเรียนพิจารณาการทดลองสุมตอไปนี้วาผลจากการทดลองสุมอาจเปนอยางไรบาง
1.1 อาจได หัว หรือ กอย
1.2 อาจไดหัวทั้ง 2 เหรียญ หรือได หัว และ กอย หรืออาจไดกอยทั้งสองเหรียญ
1.3 อาจไดลูกปงปองสีเหลืองสองลูก หรือสีเหลือง 1 ลูกและสีแดง 1 ลูก
2. จงเขียนผลที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการหมุนแปนวงกลมที่มีหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยน
เหรียญบาท 1 อัน
ตอบ H,1 H,2 T,1 T, 2
3. จงเขียนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดจากการหยิบสลาก 1 ใบ จากสลากที่เขียนหมายเลขตั้งแต
10 ถึง 20 ไว
ตอบ 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
1. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง จงเขียน
1.1 1, 2, 3, 4, 5,6
1.2 1, 2, 3, 4, 5
1.3 3, 6
2. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน 1 ครั้งจงเขียน
2.1 {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
2.2 (2,6), (3,5), (4,4), (5,3) (6,2)
2.3(4,6), (5,5), (5,6), (6,4),(6,5),(6,6)
2.4 (1,1),(1,2), (2,1)

260
2.5 (1,1), (1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,4),(2,6), (3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),
(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)
2.6 ไมมี หรือ เปนเหตุการณที่เปนไปไมได
3. จากการสอบถามถึงปกรายงานที่ผูเรียนชอบ 2 สี ในจํานวน 5 สี คือ สีขาว สีฟา สีชมพู สี
เขียว และสีเหลือง จงเขียน
3.1 (สีขาว,สีฟา), (สีขาว,สีชมพู), (สีขาว,สีเขียว), (สีขาว,สีเหลือง), (สีฟา,สีชมพู), (สีฟา,
สีเขียว), (สีฟา,สีเหลือง), (สีชมพู,สีเขียว), (สีชมพู,สีเหลือง), (สีเขียว,สีเหลือง)
3.2 (สีขาว,สีฟา), (สีขาว,สีชมพู), (สีฟา,สีชมพู), (สีฟา,สีเขียว), (สีฟา,สีเหลือง), (สีชมพู.
สีเขียว), (สีชมพู,สีเหลือง)
1
10
5
2.
6
1
3.
7
5
4.
52
1
5.
52
26
6.
36
6
7. ไมมี
8. 100 ใบ
9.
4
1
10.
12
6
จากโจทยตอไปนี้ใหนักเรียนตอบวาใครไดเปรียบ
1. ใหนักเรียนทําลูกบาศกหนึ่งลูกแลวเขียนเลข 1 ที่หนาหนึ่งของลูกบาศก เขียนเลข 2 ที่หนาอีก
สองหนา สวนอีกสามหนาที่เหลือเขียน 3 ใชกติกาตอไปนี้ตัดสินการแพ ชนะ เสมอในการโยน
ลูกบาศกที่ทําขึ้นนี้คนละครั้ง
1.1 ไมมีใครไดเปรียบเสียเปรียบ
1.2 ผูเลนคนที่สองไดเปรียบ

261
เรื่อง การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ
1. บัญชีรับจายประจําวันของนายสมพร ซึ่งประกอบอาชีพเปนผูขายปาทองโกในเวลา 5 วัน
1 ต.ค. 54
2 ต.ค.54
3 ต.ค. 54
4 ต.ค. 54
5 ต.ค. 54
- ยอดเงินคงเหลือ
ยกมาจากเดือน
กันยายน 2554
- ไดรับเงินจาก
การขายปาทองโก
8,000
4,800
4,200
3,900
4,500
3,800
-
-
-
-
-
-
1 ต.ค. 54
2 ต.ค. 54
3 ต.ค. 54
4 ต.ค. 54
5 ต.ค. 54
- ซื้อแปงสาลีและ
วัตถุดิบอื่น ๆ
- คาแกสหุงตม
- คาอาหาร
- คาน้ํา คาไฟฟา
- คาถุงพลาสติก
- คาถุงกระดาษ
- จายคาโทรศัพท
- คาหนังสือเรียน
- คาน้ําดื่ม
- จายคาเสื้อผา
- ซื้อแปงสาลีและ
วัตถุดิบอื่น ๆ
- คาหนังสือพิมพ
2,500
350
270
840
320
200
100
430
290
950
160
1,250
340
2,000
250
120
480
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
รวมรายรับ 29,200 - รวมรายจาย 10,850 -

262
2. ใหผูเรียนจัดทําบัญชีรับจายประจําวันของผูเรียนในเวลา 1 สัปดาห
วันที่ 1
ไดรับเงินเดือนหรือ
ไดเงินจากการขาย
ไดดอกเบี้ยจาก
เงินฝาก
18,000
3,000
-
-
- คาน้ํามันรถยนต
- คาผลไม
- คาโทรศัพท
- คากาซหุงตม
- คาหนังสือพิมพ
- คาเสื้อผา
- คาซักอบรีด
- คาน้ํามันรถยนต
- คาผลไม
- คาอาหารและนมสด
- คารองเทา
1,200
340
130
280
430
150
360
240
240
220
850
350
1,200
280
180
400
1,800
280
140
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
รวมรายรับ 21,000 - รวมรายจาย 9,070 -

263
3. (1) สมรตองการซื้อเตียงนอน ตูเสื้อผา และโตะ
= 6,000 + 8,500 + 5,500 = 20,000
เสียภาษีมูลคาเพิ่ม = 20,000
100
7
× = 1,400 บาท
สมรตองจายเงิน = 20,000 + 1,400 = 21,400 บาท
สมรซื้อเฟอรนิเจอรขางตนไมครบ 25,000 บาท ไมไดรับสวนลด
(2) สมรซื้อทุกรายการจากตาราง 6,000 + 8,500 + 600 + 5,500 +3,200 = 23,800 บาท
เสียภาษีมูลคาเพิ่ม 23,800
100
7
× = 1,666 บาท
ราคาเฟอรนิเจอรทั้งหมด 23,800 + 1,666 = 25,466 บาท
สมรซื้อสินคาเกิน 25,000 บาท ไดรับสวนลด 10%
∴ ไดรับสวนลด 25,466
100
10
× = 2,546.60 บาท
สมรตองจายเงิน = 25,466 – 2,546.60 = 22,919.40 บาท
4. (1) ดอกเบี้ยออมทรัพย = 500,000 1
100
0.75
×× = 3,750 บาท
(2) ดอกเบี้ยฝากประจํา 4 เดือน = 500,000
12
4
100
3.42
×× = 5,700 บาท
ฝากครบ 1 ป = 5,700 × 3 = 17,100 บาท
เสียภาษี = 17,100
100
15
× = 2,565 บาท
ไดรับดอกเบี้ยจริง = 14,535 บาท
(3) ซื้อสลากออมสินได =
50
500,000
= 10,000 ฉบับ
ฝากครบ 1 ป ขอถอนไดรับดอกเบี้ยฉบับละ 0.25 บาท
ไดรับดอกเบี้ย 0.25
50
500,000
× = 2,500 บาท
มีสิทธิถูกรางวัลเลขทาย 4 ตัว 12 เดือน ๆ ละ 2 รางวัล ๆ ละ 150 บาท
= 12 ×2 × 150 = 3,600 บาท
∴ ไดรับเงินรางวัลและดอกเบี้ยจากการซื้อสลากออมสิน
= 2,500 + 3,600 = 6,100 บาท
∴ อมรควรฝากประจํา 4 เดือน จะไดรับผลตอบแทนมากที่สุด

264
5. เงินไดพึงประเมินของจํานง 15,000 × 12 = 180,000 บาท
หัก คาใชจาย 40% ของเงินไดพึงประเมิน แตไมเกิน 60,000 บาท
= 180,000
100
40
× = 72,000 บาท
จํานงสามารถหักคาใชจายไดแค 60,000 บาท
หัก คาลดหยอนตนเอง 30,000 บาท และคาเบี้ยประกันชีวิต 10,000 บาท
รวมหักคาลดหยอน 30,000 + 10,000 = 40,000 บาท
เงินไดสุทธิของจํานง = เงินไดพึงประเมิน – (หักคาใชจาย + หักคาลดหยอน)
= 180,000 – (60,000 + 40,000)
= 80,000 บาท
ดังนั้น จํานงตองยื่นแบบภาษีเงินไดบุคคลธรรมดา (ภ.ง.ด. 91) แตไมตองชําระเงิน
เพราะไดรับการยกเวนภาษี (กรมสรรพากรกําหนดใหผูมีเงินไดสุทธิตั้งแต 0 ถึง 150,000 บาท
ไดรับการยกเวนภาษี)
6. เมื่อพิจารณาขอมูลจากกราฟ บริษัทแหงนี้จําหนายกระเปาไดสูงขึ้นตามลําดับ
ควรเพิ่มจํานวนในการสั่งซื้อกระเปาเพิ่มขึ้น เพื่อเปนสตอคในการจําหนาย
7. คาจางทํางานปกติ = 215 × 5 = 1,075 บาท
คาลวงเวลา = 215 × 1.5 × 3 = 967.50 บาท
พนักงานคนนี้ไดรับคาจาง = 1,075 + 967.50
= 2,042.50 บาท
8. ควรใชกราฟเสนในการดูแนวโนมผลกําไรของธุรกิจยอนหลัง
9. วิธีทํา ปายมีความกวาง 10 นิ้ว =
12
10
ฟุต
ยาว 21 นิ้ว =
12
21
ฟุต
พื้นที่ปายทั้งหมด = 3
12
21
12
10
×× = 4.375 ตารางฟุต
เสียคาใชจายทั้งหมด = 4.375 × 185 = 809.375 บาท

265
คณะผูจัดทํา
ที่ปรึกษา
1. นายประเสริฐ บุญเรือง เลขาธิการ กศน.
2. ดร.ชัยยศ อิ่มสุวรรณ รองเลขาธิการ กศน.
3. นายวัชรินทร จําป รองเลขาธิการ กศน.
4. ดร.ทองอยู แกวไทรฮะ ที่ปรึกษาดานการพัฒนาหลักสูตร กศน.
5. นางรักขณา ตัณฑวุฑโฒ ผูอํานวยการกลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
ผูเขียนและเรียบเรียง
1. นายไชโย มวงบุญมี ขาราชการบํานาญ
2. นางสาวกรุณา ตติยรัตนาภรณ ขาราชการบํานาญ
ผูบรรณาธิการ และพัฒนาปรับปรุง
1. นายชุมพล หนูสง ขาราชการบํานาญ
2. นายไชโย มวงบุญมี ขาราชการบํานาญ
3. นางสาวสิรินธร นาคคุม สํานักงาน กศน. จ.สมุทรสาคร
4. นางสาวบีบีฮารา สะมัท สํานักงาน กศน. จ.สมุทรสาคร
5. นางพรทิพย กลารบ กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
6. นายสุรพงษ มั่นมะโน กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
คณะทํางาน
1. นายสุรพงษ มั่นมะโน กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
2. นายศุภโชค ศรีรัตนศิลป กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
3. นางสาววรรณพร ปทมานนท กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
4. นางสาวศริญญา กุลประดิษฐ กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
5. นางสาวเพชรินทร เหลืองจิตวัฒนา กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
ผูพิมพตนฉบับ
นางสาวเพชรินทร เหลืองจิตวัฒนา กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
ผูออกแบบปก
นายศุภโชค ศรีรัตนศิลป กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

266
คณะผูพัฒนาและปรับปรุงครั้งที่ 2
ที่ปรึกษา
1. นายประเสริฐ บุญเรือง เลขาธิการ กศน.
2. ดร.ชัยยศ อิ่มสุวรรณ รองเลขาธิการ กศน.
3. นายวัชรินทร จําป รองเลขาธิการ กศน.
4. นางวัทนี จันทรโอกุล ผูเชี่ยวชาญเฉพาะดานพัฒนาสื่อการเรียนการสอน
5. นางชุลีพร ผาตินินนาท ผูเชี่ยวชาญเฉพาะดานเผยแพรทางการศึกษา
6. นางอัญชลี ธรรมวิธีกุล หัวหนาหนวยศึกษานิเทศก
7. นางศุทธีนี งามเขต ผูอํานวยการกลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
ผูพัฒนาและปรับปรุงครั้งที่ 2
1. นางจารุพร พุทธวิริยากร ศูนยเทคโนโลยีทางการศึกษา
2. น.ส.วรวรรณ เบ็ญจนิรัตน ขาราชการบํานาญ สํานักงาน กศน.
3. นางพรรณทิพา ชินชัชวาล กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
4. น.ส.เบ็ญจวรรณ อําไพศรี กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน
5. นางสาวปยวดี คะเนสม กลุมพัฒนาการศึกษานอกโรงเรียน

Math

More Related Content

What's hot

Similar to Math

More from peter dontoom

Math