—-

1. พหุนาม

2. OUTLINE
เอกนาม
เอกนามคล้าย
การบวกและการลบเอกนาม
พหุนาม
การบวกและการลบพหุนาม
การคูณพหุนาม
เอกนามกับพหุนาม
พหุนามกับพหุนาม
การหารพหุนาม
การหารเอกนามด้วยเอกนาม
การหารพหุนามด้วยเอกนาม

3. นิพจน์ (expression) คือ ข้อความที่เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ต่าง ๆ แต่ในทางพีชคณิต
จะมีการใช้ตัวอักษร เช่น a, b, c, A, B, C แทนจานวนต่าง ๆ ที่เราต้องการ โดยมีตัวอย่าง
เช่น 3 3x

2
1
7
x 4x y

, , , เป็นต้น
โดยเรียกตัวอักษรว่า และตัวเลขเรียกว่า
ตัวแปร (Variable) ค่าคงตัว (Constant)
ข้อตกลงในการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปร
1) กรณีที่มีค่าคงตัวมากกว่า 1 ตัว ให้หาผลคูณของค่าคง
ตัวก่อน แล้วเขียนผลลัพธ์ไว้หน้าตัวแปร
เช่น เขียนเป็น
2 3 4 x
   24x

4. 2) กรณีที่มีตัวแปรมากกว่า 1 ตัว ให้เขียนเรียงลาดับตัวอักษรและเขียนเรียงชิดติดกันไป
และใช้รูปเลขยกกาลังถ้ามีตัวแปรซากัน
เช่น เขียนเป็น
เขียนเป็น
7
5
m m n
   2
7
5
m n
3 4
a b a b c
      2 2
12a b c
3) กรณีที่ค่าคงตัวเป็น 1 ไม่ต้องเขียนค่าคงตัว ถ้าค่าคงตัวเป็น -1
ให้เขียนเฉพาะเครื่องหมายลบหน้าตัวแปรทังหมด
เช่น เขียนเป็น
เขียนเป็น
1 x y
  xy
 
1 y z x
    xyz


5. เอกนาม
เอกนาม (monomial) คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตังแต่หนึ่งตัวขึน
ไป และเลขชีกาลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจานวนเต็มบวก
ตัวอย่างนิพจน์ที่เป็นเอกนาม ตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม
2x 4
1
2
x
6
3z

3
xy 3
, ,
,
,
1
7x
4x
y
2
2 5x
 2 5
x y z
 
,
,

6. เอกนาม
ส่วนที่เป็นค่าคงตัว
ส่วนที่เป็นตัวแปร
เรียกว่า “สัมประสิทธิ์ของเอกนาม”
โดยผลบวกของเลขชีกาลังของตัวแปรทังหมดในเอกนาม
เรียกว่า “ดีกรีของเอกนาม”
เช่น เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็น............................. มีดีกรีเป็น.............................
เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็น............................. มีดีกรีเป็น.............................
เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็น............................. มีดีกรีเป็น.............................
เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็น............................. มีดีกรีเป็น.............................
เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็น............................. มีดีกรีเป็น.............................
2xy
2
xy

2 3 4
2 a b
8

2
3
xyz
2 2
1
 3
2
2 4
 7
8
 0
1
3
4

7. เอกนามคล้าย
เอกนาม 2 เอกนามใด ๆ จะเป็นเอกนามคล้ายกันก็ต่อเมื่อ
1. เอกนามทังสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน
2. เลขชีกาลังของตัวแปรแต่ละตัวในเอกนามทังสองเท่ากัน
ตัวอย่างเอกนามที่คล้ายกัน
………………………….คล้ายกันกับ………………………….
………………………….คล้ายกันกับ………………………….
………………………….คล้ายกันกับ………………………….
ตัวอย่างเอกนามที่ไม่คล้ายกัน
………………………….ไม่คล้ายกันกับ………………………….
………………………….ไม่คล้ายกันกับ………………………….
………………………….ไม่คล้ายกันกับ………………………….
4x 9x

2
3x y 2
2yx
2
a
b

2
a
b
5x 5y
2
2x y 2
2xy
2 4
24x y 2
12xy

8. การบวกและการลบเอกนาม
การบวกและการลบเอกนามใด ๆ มีหลักการดังนี
1. เอกนามที่จะนามาบวกหรือลบกันจะต้องเป็นเอกนามที่คล้ายกัน
2. ผลลัพธ์ที่ได้มาจากการนาสัมประสิทธิ์ของเอกนามมาบวกหรือลบกัน ส่วนตัวแปรยังเป็นชุดเดิม
การบวกเอกนาม
ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์) × (ชุดของตัวแปรที่คล้ายกัน)

9. ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของเอกนามต่อไปนี
3 4
x x
  
2 2
7 2
xy xy
   
3 3 3 3
5
s t s t
 
   
4ab ab
      
3 3 3
2 3 3
y y y
   
1) 2) 3)
4) 5)
วิธีทา 3 4
x x

1) = 𝑥
 
3 4

= 7x
 
2 2
7 2
xy xy
 
2) =  
  2
7 2 xy
 
= 2
5xy


10.  
3 3 3 3
5
s t s t
 
3) =  
  3 3
1 5 s t
 
=
3 3
4s t

   
4ab ab
  
4) =
=
   
 
4 1 ab
  
5ab

   
3 3 3
2 3 3
y y y
   
5) =
=
   
  3
2 3 3 y
   
3
2y

*** สาหรับเอกนามไม่คล้ายกัน เช่น กับ นัน ไม่สามารถเขียนผลบวกในรูปเอกนามได้ แต่เขียน
ผลบวกในรูปการบวกได้เป็น
xy 3
2y
3
2
xy y


11. การลบเอกนาม
การลบเอกนาม อาศัยหลักการเช่นเดียวกับการลบจานวนสองจานวนที่กล่าวว่า
“การลบ คือ การบวกด้วยจานวนตรงข้ามของตัวลบ” ตามข้อตกลงดังนี
การลบเอกนามสองเอกนามที่คล้ายกัน  เขียนการลบให้อยู่รูปการบวก
เช่น แล้วจึงใช้หลักการบวกเอกนามที่คล้ายกัน
 
2 2 2 2
4 3 4 3
a a a a
   
ตัวตัง – ตัวลบ = ตัวตัง + จานวนตรงข้ามของตัวลบ

12. ผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลลบของสัมประสิทธิ์) × (ชุดของตัวแปรที่คล้ายกัน)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลบของเอกนามต่อไปนี
1) 2) 3)
4) 5)
5 2
xy xy
  
2 2
6 3
a b a b
   
2 4
2 4
x x
 
 
3 ( 3 )
mn mn
    
9 4 8
x x x
   
วิธีทา 1) 5 2
xy xy
 =
=
 
5 2
xy xy
 
 
 
5 2 xy
 
= 3xy

13. 2)  
2 2
6 3
a b a b
  =
=
2
6a b 2
3a b
2
9a b
3)  
2 2
2 4
x x
  =
=
   
2 2
2 4
x x
  
2
6x

4)  
3 ( 3 )
mn mn
   =
=
 
3 3
mn mn
 
0
5)  
9 4 8
x x x
    =
=
   
9 4 8
x x x
   
5x

*** สาหรับเอกนามไม่คล้ายกัน เช่น ลบด้วย
นัน ไม่สามารถเขียนผลลบในรูปเอกนามได้ แต่เขียนผล
ลบในรูปการลบได้เป็น
4x
 5xy
4 5
x xy
 

14. พหุนาม
พหุนาม (Polynomial) คือ จานวนที่เขียนในรูปเอกนาม หรือผลบวกของเอกตังแต่ 2 เอกนามขึนไป
เช่น , , , , , เป็นต้น
3
4
 8s 5 7
y  10 3
x  2
3
x  2
8 9 4
x x
 
ดีกรีของพหุนาม
ดีกรีของพหุนาม คือ ดีกรีที่สูงที่สุดของเอกนามซึ่งอยู่ในพหุนามชุดนัน
เช่น 2 2 2 3
5 3 7
x y xy x y
  เป็นพหุนามดีกรี
2 2
4 2
1
2 4
3
3
a b
a b abc
c
   เป็นพหุนามดีกรี
5
6

15. พหุนามในรูปผลสาเร็จ
พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ พหุนามที่ไม่มีเอกนามคล้ายกันประกอบอยู่
เช่น
2 2
3 14 7 2
x x
    =    
2 2
3 7 14 2
x x
   
2
4 16
x
 
=
เอกนามแต่ละเอกนามที่อยู่ในพหุนาม เรียกว่า ……………………………………………..
พหุนามที่มีเอกนามที่คล้ายกัน เรียกว่า ……………………………………………..
พจน์ (term)
พจน์ที่คล้ายกัน

16. ตัวอย่างที่ 4 จงทาให้เป็นผลสาเร็จและบอกดีกรีของพหุนาม
1) 2 2
7 9 5 2 6
x x x x
    2) 4 8 10
xy y x y
  
วิธีทา 2 2
7 9 5 2 6
x x x x
    =    
2 2
7 5 9 2 6
x x x x
   
= 2
2 7 6
x x
 
ดีกรีของพหุนาม คือ 2
1)
2) =
=
4 8 10
xy y x y
    
4 8 10
xy y y x
   
 
 
4 9 10
xy y x
 
ดีกรีของพหุนาม คือ 2