แบบฝึกหัด

1. เอกสารประกอบการเรียน
คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 (ค31202)
เรื่อง เมตริกซ์
สอนโดย
อ.ณัฐสันต์ สินธุชัยภาคเสรี
รวบรวมโดย
ชื่อ............................................................................
ชั้น.......................เลขที่....................
ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2564

2. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 2 เรื่อง เมทริกซ์
แถวที่ 1
แถวที่ 2
แถวที่ m
หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ n
เมทริกซ์และดีเทอร์มินันต์
(Matrix and Determinant)
ใบความรู้ที่ 1 ความหมายและสัญลักษณ์ของเมทริกซ์
ความหมายและสัญลักษณ์ของเมทริกซ์
บทนิยาม เมทริกซ์ (Martix) คือ กลุ่มของจานวนที่เรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
โดยที่แต่ละแถวมีจานวนเท่าๆ กัน และอยู่ภายในเครื่องหมาย [ ] หรือ ( ) ก็ได้
A =
n
m
mn
n2
m1
2n
22
21
1n
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a




















แต่ละจานวนในเครื่องหมาย [ ] ว่า สมาชิกของเมทริกซ์
ตัวเลขที่เรียงกันในแนวนอน เรียกว่า แถว (Row)
ตัวเลขที่เรียงกันในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (Column)
เรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว n หลัก ว่า เมทริกซ์มีมิติ m  n หรือ m  n เมทริกซ์
ij
a คือ สมาชิกของเมทริกซ์ A ซึ่งอยู่ในแถวที่ i หลักที่ j
ตัวอย่างที่ 1 จากเมทริกซ์ที่กาหนดให้ จงหา มิติของเมทริกซ์และบอกสมาชิกแต่ละตัว
1) A = 







6
4
2
5
3
1
วิธีทา มิติของเมทริกซ์ A เท่ากับ 2  3
มีสมาชิก คือ 1
a11  , 3
a12 
 , 5
a13  ,
2
a21  , 4
a22  , 6
a23 

2) B =












7
0
9
3
4
2
…………………………………………….
…………………………………………….
…………………………………………….
…………………………………………….

3. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 3 เรื่อง เมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A =  
9
5
4  , B =










8
7
6
และ C = 





4
3
2
1
จงหา
1) 22
11
11 3c
b
2a 
 = ……………………………………………………………….
2)    
21
13
11
11 b
2a
c
a 

 = ……………………………………………………………….
การเท่ากันของเมทริกซ์
บทนิยาม ถ้า A = [ ij
a ] n
m และ B = [ ij
b ] n
m
A = B ก็ต่อเมื่อ ij
a = ij
b หมายความว่า A = B ก็ต่อเมื่อ A และ B มีมิติเท่ากัน
และสมาชิกของ A และ B ในตาแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่
1) 





3
1
0
2
= 





3
1
0
2
2) 





6
4
5
3
…..….. 









3
2
1
3
1
5
2
1
3)










 9
2
4
7
1
6
3
0
5
…..….










9
2
4
7
1
6
3
0
5
ตัวอย่างที่ 4 ถ้าเมทริกซ์ที่กาหนดให้เป็นเมทริกซ์ที่เท่ากัน จงหาค่า x และ y
1) 





 0
3
1
x
= 







y
3
1
4
 x = – 4 , y = 0
2) 







5
2
3
1
x
= 







5
2
2
6 y
…………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….

4. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 4 เรื่อง เมทริกซ์
3)













8
6
1
2
5
1
0
1
2
1
2
x
x
=












8
6
5
5
1
0
1
2
3
x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4) 




 

6
0
5
x
4
1
x3
= 








6
1
x
5
1
4
0
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

5. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 5 เรื่อง เมทริกซ์
ใบกิจกรรมที่ 1 ความหมายและสัญลักษณ์ของเมทริกซ์
จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. ถ้า A = 







9
2
6
1
0
3
4
5
และ B =










 7
9
8
2
4
6
1) มิติของ A = …….……….. มิติของ B = …………………
2) จานวนสมาชิกของ A เท่ากับ ................. จานวนสมาชิกของ B เท่ากับ .................
3) 11
a = …….…. 14
a = …………. 22
a = ……..….. 23
a = ……..…...
21
b = …….…. 22
b = ……...…. 12
b = ….….…. 32
b = …….…..
2. จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่ เพราะเหตุใด
1) 





0
0
0
0
กับ










0
0
0
0
0
0
0
0
0
....................................................................................
2) 





4
0
3
0
กับ 





4
3
....................................................................................
3. ถ้าเมทริกซ์ที่กาหนดให้เป็นเมทริกซ์ที่เท่ากัน จงหาค่า x และ y
1) 







6
5
x
1
3
y
= 





6
4
1
9
....................................................................................
....................................................................................
2) 





 2
y
2
3
x
= 





2x
2
3
y
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................
3) 







2x
y
y
x
= 





8
1
....................................................................................
....................................................................................
....................................................................................

6. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 6 เรื่อง เมทริกซ์
แบบฝึกทักษะที่ 1
1. ให้ A =










5
7
2
6
4
7
6
5
2
1
4
3
1.1 จงบอกมิติของเมทริกซ์ A 1.2 จงเขียนสมาชิกในแถวที่สอง
1.3 จงเขียนสมาชิกในหลักที่สาม 1.4 จงหาค่าของ 13
a , 23
a และ 34
a
2. ให้ B =










1
0
0
0
1
0
0
0
1
จงหาสิ่งต่างๆ ต่อไปนี้ของเมทริกซ์
2.1 มิติ 2.2 สมาชิกในแถวที่สอง
2.3 สมาชิกในหลักที่สอง 2.4 12
b
2.5 สาหรับ 0
bij  , i และ j มีความสัมพันธ์กันอย่างไร
2.6 สาหรับ 0
bij  , i และ j มีความสัมพันธ์กันอย่างไร
3. จงบอกจานวนสมาชิกของเมทริกซ์ที่มีมิติตามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
3.1 2  2 เมทริกซ์ 3.2 3  5 เมทริกซ์
3.3 m  n เมทริกซ์ 3.4 n  n เมทริกซ์
4. จงหาค่าของตัวแปรที่ทาให้สมการเมทริกซ์ที่กาหนดให้ในแต่ละข้อเป็นจริง
4.1  
1
3
y
x  =  
y
3
0
4.2 








x
4
1
3
2
y
1
x
= 




 
3
4
y
3
3
4
4.3













1
4
2x
2
0
1
x
y
1
3
=













1
4
6
1
0
4
x
1
3
y
4.4 







2
2y
2x
3
y
x
= 





2
1
3
2
5. ถ้า x2
– x + 1 = 0 แล้วเมทริกซ์ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่





 
x
0
x
x
x 2
2
, 







1
x
0
0
1
x
2

7. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 7 เรื่อง เมทริกซ์
เมทริกซ์บางชนิดที่ควรรู้
1. เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix)
เมทริกซ์ A = [aij]mn จะเป็นเมทริกซ์จัตุรัส ก็ต่อเมื่อ m = n
แสดงว่า เมทริกซ์จัตุรัส คือ เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับจานวนหลัก
ถ้า A = [aij]mn เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว เส้นทแยงมุมที่ลากจากมุมบนซ้ายมือมายังมุมล่าขวามือ
จะผ่านสมาชิก a11 , a22 , a33 , … , amn เส้นทแยงมุมนี้ เรียกว่า เส้นทแยงมุมหลัก (main diagonal)
ตัวอย่าง เมทริกซ์จัตุรัส
















8
9
2
5
1
5
1
3
2
3
5
4
7
1
2
0
2. เมทริกซ์ศูนย์ (Zero matrix)
ถ้า A = [aij]mn เราจะเรียก A ว่าเป็นเมทริกซ์ศูนย์ ก็ต่อเมื่อ aij = 0
เมื่อ i = 1, 2, 3, … , m และ j = 1, 2, 3, … , n
กล่าวอย่างง่ายๆ ว่า เมทริกซ์ศูนย์เป็นเมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเท่ากับศูนย์
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติ n
m เราจะใช้สัญลักษณ์แทน A ดังนี้
A = 0 n
m หรือ A = 0
ตัวอย่าง เมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติ 2
2 คือ 





0
0
0
0
, เมทริกซ์ศูนย์ที่มีมิติ 3
3 คือ










0
0
0
0
0
0
0
0
0
3. เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix)
ถ้า A = [aij]mn เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว เราจะเรียก A ว่าเป็น เมทริกซ์เอกลักษณ์ มิติ n
n
ก็ต่อเมื่อ aij =





j
i
เมื่อ
j
i
มื่อ
เ
0
1
ใช้สัญลักษณ์ In แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติ n
n
ตัวอย่าง I2 = 





1
0
0
1
, I3 =










1
0
0
0
1
0
0
0
1
เส้นทแยงมุมหลัก

8. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 8 เรื่อง เมทริกซ์
ใบความรู้ที่ 2 การบวกและการลบเมทริกซ์
การบวกและการลบเมทริกซ์
บทนิยาม ถ้าเมทริกซ์ A = [ ij
a ] n
m และ B = [ ij
b ] n
m
1. A + B = [ ij
a + ij
b ] n
m
2. A – B = [ ij
a – ij
b ] n
m
ข้อสังเกต
เมทริกซ์ A และ B จะบวกและลบกันได้ก็ต่อเมื่อ
1. A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน
2. ให้นาสมาชิกในตาแหน่งเดียวกันมาบวกกัน
3. ผลลัพธ์จะมีมิติเท่าเดิม
ในกรณีที่ A – A จะได้เมทริกซ์ใหม่ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์และใช้สัญลักษณ์ 0 แทน เมทริกซ์ศูนย์
สมบัติการบวกเมทริกซ์
ให้ A , B , C เป็น mn เมทริกซ์
1. สมบัติปิดการบวก (A + B เป็น mn เมทริกซ์)
2. สมบัติการสลับที่การบวก (A + B = B + A)
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก ((A + B) + C = A + (B + C))
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก (A + 0 = A = 0 + A)
เรียก 0 ว่าเป็น เอกลักษณ์การบวก
5. สมบัติการมีอินเวอร์สการบวกของ A คือ –A (A + (–A) = 0 = (–A) + A)
ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) 






 5
3
0
4
2
1
– 






 4
5
1
3
1
1
= 















)
4
(
5
)
5
(
3
1
0
3
4
1
2
1
1
= 






 1
2
1
1
1
0
2) 





1
0
5
2
+ 





6
5
0
3
= ……………………………………….……………………

9. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 9 เรื่อง เมทริกซ์
ใบกิจกรรมที่ 2 การบวกและการลบเมทริกซ์
1. กาหนด A = 





3
4
1
2
, B = 







4
4
4
4
และ C = 





1
0
0
1
จงหาคาตอบในแต่ละข้อ
1) (A + B) + C = ……………………………………………………………………………….…………..….
………………………………………………………………………………….…..……….
………………………………………………………………………………….…..……….
2) A – (B – C) = ……………………………………………………………………………….…………..….
………………………………………………………………………………….…..……….
………………………………………………………………………………….…..……….
3) A – (B + C) = ……………………………………………………………………………….…………..….
………………………………………………………………………………….…..……….
………………………………………………………………………………….…..……….
4) A + (B – C) = ……………………………………………………………………………….…………..….
………………………………………………………………………………….…..……….
………………………………………………………………………………….…..……….
2. จงหาเมทริกซ์ X ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 





2
8
3
4
+ 





3
1
4
2
+ X = 







5
2
4
1
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
2)













0
1
1
2
2
0
3
1
2
+ X =













1
1
3
1
5
8
3
0
2
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….
…………………………………………………………………………………………….…………………….

10. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 10 เรื่อง เมทริกซ์
3. กาหนด A = 





6
4
5
3
จงหาเมทริกซ์ X ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) A + X = A
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
2) A – X = A
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
3) A + X = 0
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
4) A – X = 





5
0
4
2
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
5) A + X = 





1
0
0
1
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….
…………………………………..……………………………………………………………………………….

11. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 11 เรื่อง เมทริกซ์
แบบฝึกทักษะที่ 2
1. จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้บวกกันได้หรือไม่ ถ้าบวกกันได้จงหาผลบวก
1.1 





2
5
3
1
, 





4
3
5
2
1.2 





2
1
3
5
7
0
, 





 2
1
3
2
1.3










5
6
1
,  
8
7
2 
1.4











 0
3
1
9
7
2
3
5
1
,












3
4
1
0
1
2
4
6
2
2. กาหนด A = 





5
3
4
1
, B = 





2
3
1
0
และ C = 








5
0
1
2
2.1 จงหา (A + B) + C
2.2 จงหา A + (B + C)
2.3 จงพิจารณาว่า (A + B) + C และ A + (B + C) เท่ากันหรือไม่
3. ถ้า A เป็น 34 เมทริกซ์ และ B เป็น 43 เมทริกซ์ จะหา A + B ได้หรือไม่
4. ถ้า A = 





3
4
2
2
จงหาเมทริกซ์ที่บวกกับ A แล้วได้
4.1 A
4.2 0
4.3 





1
0
0
1
4.4








 5
1
2
1
2

12. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 12 เรื่อง เมทริกซ์
ใบความรู้ที่ 3 การคูณเมทริกซ์
การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง
บทนิยาม ถ้า A = [ ij
a ] n
m และ c เป็นจานวนจริง แล้ว cA = [ ij
ca ] n
m
หลักการ เมื่อเอาจานวนจริง c คูณสมาชิกทุกตัว ผลลัพธ์จะมีมิติเท่าเดิม
สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง
ถ้า c , d เป็นจานวนจริงใด ๆ A และ B เป็น mn เมทริกซ์
1. (cd)A = c(dA)
2. c(A + B) = cA + cB
3. (c + d)A = cA + dA
4. (1)A = A
5. (–1)A = –A
6. 0A = 0
7. c0 = 0
ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลลัพธ์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
1) –4  
3
1
2
5 
 =  
)
3
(
)
4
(
)
1
(
)
4
(
)
2
(
)
4
(
5
)
4
( 









=  
12
4
8
20 

2) 








4
12
10
8
6
4
2
1
= ………………………………………………………………………….…
……………………………………………………………………………
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ A = 







2
1
4
3
, B = 





3
7
8
5
จงหา
1) 2A = ………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...
2) 3A – 2B = ………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………...

13. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 13 เรื่อง เมทริกซ์
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
บทนิยาม ถ้า A = [ ij
a ] n
m และ B = [ ij
b ] p
n ผลคูณ AB = C โดยที่ C = [ ij
c ] p
m
เมื่อ ij
c = 1j
i1b
a + 2j
i2b
a + … + nj
in b
a
หลักการ เมทริกซ์คูณกันได้ เมื่อจานวนหลักของตัวตั้งเท่ากับแถวของตัวคูณ
สมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
ถ้า A , B , C เป็น n
n เมทริกซ์ c เป็นจานวนจริงใด ๆ
1. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ (AB)C = A(BC)
2. สมบัติการแจกแจง A(B + C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
3. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ AIn = A = InA
เรียก In ว่าเป็นเอกลักษณ์การคูณ
4. c(AB) = (cA)B = A(cB)
ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
กาหนด A = 





22
21
12
11
a
a
a
a
, B = 





22
21
12
11
b
b
b
b
AB = 









22
22
12
21
21
22
11
21
22
12
12
11
21
12
11
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ A = 







2
1
4
3
, B = 





3
7
8
5
จงหา AB
วิธีทา AB = 























)
3
2
(
)
8
1
(
)
7
2
(
))
5
(
1
(
)
3
4
(
)
8
3
(
)
7
4
(
))
5
(
3
(
= 













6
8
14
5
)
12
(
)
24
(
)
28
(
15
= 







2
19
12
43

14. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 14 เรื่อง เมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A =  
4
3 , B = 





1
2
จงหา AB
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
ตัวอย่างที่ 5 กาหนดให้ A =











5
1
3
1
0
1
0
1
2
, B =










 1
4
2
2
1
0
จงหา AB และ BA
AB = ………………………………………………. BA = ………………………………………………
……………………………………………..… ………………………………………………
……………………………………………..… ………………………………………………
……………………………………………..… ………………………………………………
……………………………………………..… ………………………………………………
ตัวอย่างที่ 6 จงหาจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้
1)  
x
2
1










3
1
2x
=  
4

x 2)  
x
x 2
6
3 

















x
x
1
1
=  
0
วิธีทา  
x
x 3
2
2 
 =  
4

x …………………………………………………….
2x + 2 + 3x = x – 4 …………………………………………………….
5x + 2 = x – 4 …………………………………………………….
4x = – 6 …………………………………………………….
x =
4
6
 …………………………………………………….
x =
2
3
 …………………………………………………….
ดังนั้น x =
2
3
 …………………………………………………….

15. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 15 เรื่อง เมทริกซ์
ใบกิจกรรมที่ 3 การคูณเมทริกซ์
1. กาหนดให้ A = 





2
1
1
2
, B = 





0
2
1
0
และ C = 




 

2
1
2
1
จงหา
1) A + 2B – 3C
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
2) 2[5(A – B) + 3C]
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
3) A2
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
2. ให้ A = 




 
4
0
1
1
5
2
, B = 





5
0
1
0
2
3
และ C = 







0
4
2
5
2
1
จงหาเมทริกซ์ X จากสมการ     4C
}
3B
X
2{2X
2A
X
2
5





…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

16. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 16 เรื่อง เมทริกซ์
3. จงหาผลคูณของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1)  
5
2 





6
1
…………………………………………………….
…………………………………………………….
…………………………………………………….
…………………………………………………….
2)  
6
2
5











4
2
1
……………………………………………….……
…………………………………………………….
…………………………………………….………
…………………………………………………….
3) 





4
3
2
1






2
3
1
2
………………………………………………….…
…………………………………………………….
………………………………………………….…
…………………………………………….………
…………………………………………….………
4) 





 2
0
1
0
1
2













2
3
0
2
1
1
…………………………………………….………
…………………………………………………….
……………………………………………….……
…………………………………………………….
…………………………………………………..…
4. กาหนดให้ A = 





3
2
4
0
, I = 





1
0
0
1
จงหา
1) AI = ……………………………………...………………………………………….…………….
……………………………………...…………………………………………………….….
2) I2
= ……………………………………...……………………………………………………….
……………………………………...……………………………………………….……….
3) IA = …………………………..……...……………………………………………………...…….
……………………………………...………………………………………………………..
5. จงหาค่า x และ y ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 










 
y
x
2
1
1
1
= 





4
2
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
2) 





1
0
0
1






y
x
= 





12
3
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..

17. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 17 เรื่อง เมทริกซ์
แบบฝึกทักษะที่ 3
1. กาหนดให้ A = 





2
2
6
5
, B = 







0
3
1
1
และ C = 







3
1
2
1
จงหา
1.1 A + 3B – 4C 1.2 - 4 [5(A – B) + 2C]
1.3
3
2
A +
2
1
(C + B)
2. กาหนดให้ A = 




 
4
1
0
1
5
2
, B = 





 5
0
1
7
2
3
และ C = 





 0
4
2
8
3
1
จงหาเมทริกซ์ X จากสมการเมทริกซ์ต่อไปนี้
2.1
2
1
(X + A) = 2(X + B) – 3C 2.2 2X + A = 3{X + (2X + B)} + C
3. จงหาผลคูณต่อไปนี้
3.1  
1
3
4










4
3
1
3.2










6
4
2
 
2
1
5 
3.3









 
2
3
2
3
2
4
3
2
3
4
5
1












4
3
2
1
3.4 




 
7
5
0
1
2
3












0
5
4
4. กาหนดให้ A = 





5
3
1
0
, B = 




 
3
0
1
2
, I2 = 





1
0
0
1
, 0 = 





0
0
0
0
จงหา
4.1 BA 4.2 AB
4.3 A2
4.4 IB
4.5 0B 4.6 I2
2
5. จงพิจารณาว่าเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้คูณกันได้หรือไม่ ถ้าคูณได้จงหาผลคูณ
5.1 





0
1
1
2
 
4
5 5.2  
7
5
4
2












4
3
3
4
4
4
0
1

18. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 18 เรื่อง เมทริกซ์
ใบความรู้ที่ 4 ทรานสโพสของเมทริกซ์ (Transpose of a matrix)
ทรานสโพสของเมทริกซ์
บทนิยาม ถ้า A = [ ij
a ] n
m แล้ว เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ At
At
หมายถึง เมทริกซ์ [ ij
b ] m
n โดยที่ ij
b = ji
a เมื่อ i = 1, 2, 3, …, n และ j = 1, 2, 3, …, m
สมบัติของทรานสโพส
1. ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใด ๆ แล้ว t
t
)
(A = A
2. ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใด ๆ แล้ว t
(kA) = k t
A
3. ถ้า A และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ mn แล้ว (A B)t
= t
A  t
B
4. ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ mn และ B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ np แล้ว t
(AB) = t
B t
A
5. t
A)
( = - t
A
6. t
n
)
(A = ( t
A )n
, n 
I
ตัวอย่างที่ 1 จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) A = 





3
7
8
5
จะได้ t
A = 





3
8
7
5
2) B =












6
0
4
7
4
3
5
1
2
จะได้ t
B = ………………………………………..
…………………………………………………….
…………………………………………………….
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = 





y
x
3
6
จงหาค่าตัวแปรในแต่ละข้อที่ทาให้ A = t
A
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
ตัวอย่างที่ 3 กาหนด A = 




 
9
3
2
5
2
1
, B =










2
3
1
2
0
1
จงหา (Bt
)t
+ 2At
………………………………….…………..…………………………………………………………………….
………………………………….…………..…………………………………………………………………….
………………………………….…………..…………………………………………………………………….
………………………………….…………..…………………………………………………………………….

19. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 19 เรื่อง เมทริกซ์
ใบกิจกรรมที่ 4 ทรานสโพสของเมทริกซ์ (Transpose of a matrix)
1. จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ของเมทริกซ์ที่กาหนดให้แต่ละข้อ
1) A =












4
0
3
1
6
2
0
5
1
, At
=
2) B = 




 
5
4
2
3
, 2Bt
=
2. กาหนด A = 





3
4
1
2
, B = 





2
5
0
1
และ C = 





5
2
1
3
จงหา
1) (A + B)t
…………………………………………………………………………………….……………………………….
…………………………………………………………………………………….…………………………….…
………………………………………………………………………………….…………………………….……
……………………………………………………………………………….…………………………………….
2) At
+ Bt
…………………………………………………………………………………….……………………………….
…………………………………………………………………………………….…………………………….…
………………………………………………………………………………….…………………………….……
……………………………………………………………………………….…………………………………….
3) AB + 2Ct
…………………………………………………………………………………….……………………………….
…………………………………………………………………………………….…………………………….…
………………………………………………………………………………….…………………………….……
……………………………………………………………………………….…………………………………….
………………………………………………………………………………….…………………………….……
……………………………………………………………………………….…………………………………….
………………………………..…………………………….......…..
………………………………..…………………………….......…..
………………………………..…………………………….......…..
………………………………..…………………………….......…..
………………………………..……………………………….........
………………………………..……………………………….........

20. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 20 เรื่อง เมทริกซ์
แบบฝึกทักษะที่ 4
1. กาหนดเมทริกซ์ A , B , C , D และ E ดังนี้
A = 





4
1
2
0
2
1
, B =










2
3
1
2
0
1
, C =










3
1
2
0
1
4
3
1
-
3
, D = 





0
2
2
-
3
และ E =










0
2
2
1
-
1
1
5
4
-
2
จงหา
1.1 AB และ BA 1.2 AB + Dt
1.3 BA – 2C2
1.4 At
Bt
+ 2E
1.5 BA(C + E)
2. กาหนดเมทริกซ์ A , B และ C ดังนี้
A = 





1
-
2
3
1
, B = 





0
3
1
2
3
1
และ C =










2
-
3
1
0
2
1
จงหา
2.1 ABC 2.2 AB + ACt
2.3 A2
– 2BC
3. กาหนดให้ A = 





3
1
1
-
2
1
1
จงหาเมทริกซ์ X ที่ทาให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง
3.1 A + X = 2A – X 3.2 AAt
= 2I2 + X
3.3 2At
A = X – I3

21. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 21 เรื่อง เมทริกซ์
ใบความรู้ที่ 5 ดีเทอร์มินันต์ (Determinant)
ดีเทอร์มินันต์ (Determinant)
บทนิยาม ดีเทอร์มินันต์(Determinant) คือ ค่าตัวเลขจานวนใดจานวนหนึ่ง และมีเพียงจานวนเดียวเท่านั้น
ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์จัตุรัส
ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส จะเขียนแทนดีเทอร์มินันต์ของ A ด้วย det(A) หรือ A
การหาค่าดีเอร์มินันต์
1. ถ้า A =  
a เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 11 แล้ว det(A) = a
ตัวอย่างที่ 1 จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) A = [5] det (A) = 5
2) B = [-10] det (B) = ……………………………………………….
3) C = [0] det (C) = ……………………………………………….
4) D = [
5
3
] det (D) = ……………………………………………….
2. ถ้า A = 





d
c
b
a
เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 22 แล้ว det(A) = ad – bc
ตัวอย่างที่ 2 จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) A = 





5
3
4
2
det (A) = 2(5) – 3(4) = 10 – 12 = – 2
2) B = 





2
-
5
-
6
3
det (B) = ……………………………………………….
3) C = 





0
2
-
0
3
det (C) = ……………………………………………….
4) D = 





2
-
0
0
3
det (D) = ……………………………………………….
5) E = 





2
2
1
1
det (E) = ……………………………………………….

22. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 22 เรื่อง เมทริกซ์
3. ถ้า A =










i
h
g
f
e
d
c
b
a
เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 33 แล้ว
det(A) =










i
h
g
f
e
d
c
b
a
h
g
e
d
b
a
= (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
ตัวอย่างที่ 3 จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) A =













7
5
1
2
2
3
6
1
4
5
1
-
2
-
3
1
-
4
det (A) = (– 56 + 2 + 90) – (12 + 40 + (– 21))
= 36 – 31 = 5
2) B =













9
6
3
8
5
2
7
4
1
det (B) =…………………………………………..……
=…………………………………………..……
3) C =















6
5
0
2
0
1
4
3
2
det (C) =…………………………………………..……
=…………………………………………..……
4) D =












3
2
1
1
0
2
3
2
1
det (D) = …………………………………………..……
=…………………………………………..……
ตัวอย่างที่ 4 กาหนด A = 





x
x
4
4
ถ้า det (A) = 0 จงหา x
…………………………………………………………………………………….…………………………….
……………………………………………………………………………………………………….………….
……………………………………………………………………………………………………….………….
……………………………………………………………………………………………………….………….

23. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 23 เรื่อง เมทริกซ์
การคานวณหาดีเทอร์มินันต์โดยการกระจายโคแฟคเตอร์
วิธีนี้ใช้ได้สาหรับเมทริกซ์จัตุรัส nn , n  2
บทนิยาม กาหนดให้ A = [ ij
a ] n
m สัญลักษณ์ Mij (A) แทนเมทริกซ์ที่เกิดจากการตัดแถวที่ i หลักที่ j
ของ A ออกไป ค่าดีเทอร์มินันต์ของ Mij (A) เรียกว่า ไมเนอร์ (minor) ของ ij
a
ตัวอย่างที่ 3 กาหนด A =













0
5
1
1
2
3
0
1
4
จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์นี้
1) M11 (A) =
0
5
1
2

= 0 – 5 = – 5 2) M12 (A) = ……………………………………
3) M13 (A) = …………………………………… 4) M21 (A) =
0
5
0
1

= 0 – 0 = 0
5) M22 (A) = …………………………………… 6) M23 (A) = ……………………………………
7) M31(A) = …………………………………… 8) M32 (A) = ……………………………………
9) M33 (A) = ……………………………………
บทนิยาม กาหนดให้ A = [ ij
a ] n
m โคแฟกเตอร์ (cofactor) ของสมาชิก ij
a หรือตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ ij
a
ของ A จะเขียนแทนด้วย Cij (A) หมายถึงผลคูณของ Mij (A) และ (-1) j
i
Cij (A) = (-1) j
i
Mij (A)
ตัวอย่างที่ 4 กาหนด A =












1
3
0
2
1
1
2
2
1
จงหา C12(A) , C21(A) , C23(A) , C33(A)
C12(A) = (-1)1+2
M12(A) = (-1)
1
0
2
1

= (-1)(-1 – 0) = (-1)(-1) = 1
C21(A) = …………………………………………………………………………………………………
C23(A) = …………………………………………………………………………………………………
C33(A) = …………………………………………………………………………………………………

24. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 24 เรื่อง เมทริกซ์
การหาดีเทอร์มินันต์ อาจใช้แถวใดแถวหนึ่ง (หลักใดหลักหนึ่ง) เป็นหลัก เช่น
ใช้แถวที่ 1 เป็นหลัก จะได้
det (A) = 11
11C
a (A) + 12
12C
a (A) + 13
13C
a (A) + … + 1n
1nC
a (A)
ใช้แถวที่ 2 เป็นหลัก จะได้
det (A) = 12
12C
a (A) + 22
22C
a (A) + 32
32C
a (A) + … + m2
m2C
a (A)
ตัวอย่างที่ 5 กาหนด A =













0
5
1
1
2
3
0
1
4
จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ A (โดยการกระจายโคแฟคเตอร์)
วิธีทา det (A) = 11
11C
a (A) + 12
12C
a (A) + 13
13C
a (A)
= 4(-1)1+1
0
5
1
2

+ (-1)(-1)1+2
0
1
1
3

+ 0
= 4(0 – 5) + 1(0 – (– 1))
= – 20 + 1
= – 19
 det (A) = – 19
ตัวอย่างที่ 6 กาหนด A =

















1
0
5
6
2
4
1
3
0
1
2
0
1
1
0
1
จงหา det (A)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

25. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 25 เรื่อง เมทริกซ์
แบบฝึกทักษะที่ 5
1. จงหาจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการต่อไปนี้
1.1
11
3
14
x
= 2 1.2
2
4
3
1
0
1
1
x
2
= 0
2. จงหาดิเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
2.1 A =









 
1
2
4
1
2
4
0
1
2
2.2 B =












4
1
0
0
1
1
3
2
2
2.3 C =













6
6
3
2
4
1
4
1
2
2.4 D =














2
2
0
1
0
3
5
4
0
0
3
2
0
3
8
3
2.5 E =

















1
0
1
2
2
1
0
1
3
2
1
0
2
2
1
1

26. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 26 เรื่อง เมทริกซ์
ใบความรู้ที่ 6 สมบัติของดีเทอร์มินันต์
กาหนดให้ A = [ ij
a ] n
n และ B = [ ij
b ] n
n โดยที่ ij
a และ ij
b R และ n > 2 แล้ว
1. det(A) = det(At
)
ตัวอย่างที่ 1 จงหา det (A) และ det (At
) ของเมทริกซ์ A ต่อไปนี้
1.1 A = 





3
2
0
0
1.2 B =













2
4
6
2
1
0
1
2
3
วิธีทา det (A) = 0 – 0 = 0 ………………………………………………………
จาก det (A) = det (At
) ………………………………………………………
 det (At
) = 0 ………………………………………………………
………………………………………………………
2. det(AB) = det(A) det(B)
ตัวอย่างที่ 2 กาหนดให้ A = 





1
-
3
2
-
1
, B = 





1
1
4
2
และ C = 





1
-
1
4
3
จงหา
2.1 det(AB) 2.2 det(BC)
วิธีทา det(A) = –1 – (– 6) = 5 ………………………………………………………
det(B) = 2 – 4 = – 2 ………………………………………………………
จาก det(AB) = det(A) det(B) ………………………………………………………
 det(AB) = 5(– 2) = – 10 ………………………………………………………
3. det(An
) = [det(A)]n
ตัวอย่างที่ 3 กาหนดให้ A = 





 5
3
1
2
, B = 




 
4
1
2
3
จงหา
3.1 det(A2
) 3.2 det(B3
)
วิธีทา det(A) = 10 – (– 3) = 13 ………………………………………………………
จาก det(An
) = [det(A)]n
………………………………………………………
 det(A2
) = 132
= 169 ………………………………………………………

27. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 27 เรื่อง เมทริกซ์
4. det(A 1

) =
det(A)
1
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A = 







4
3
2
1
, B = 





 5
3
6
2
จงหา
4.1 det(A-1
) 4.2 det(B-1
)
วิธีทา det(A) = – 4 – (– 6) = 2 ………………………………………………………
จาก det(A-1
) =
det(A)
1
………………………………………………………
 det(A-1
) =
2
1
………………………………………………………
5. เมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) และเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non - singular matrix)
ถ้า det(A) = 0 เรียก A ว่า เมทริกซ์เอกฐาน หรือ ซิงกูลาร์เมทริกซ์
ถ้า det(A) 0 เรียก A ว่า เมทริกซ์ไม่เอกฐาน หรือ นอนซิงกูลาร์เมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 5 จงตรวจสอบว่าเมทริกซ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นเมทริกซ์เอกฐาน หรือเมทรืกซ์ไม่เอกฐาน
5.1 A = 





3
1
6
2
5.2 B =








2
1
0
0
4
วิธีทา det(A) = 6 – 6 = 0 ………………………………………………………
 เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ………………………………………………………
5.3 C = 







3
3
1
2
5.4 D =









 
0
1
3
0
1
2
0
4
1
………………………………………………… ………………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………………

28. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 28 เรื่อง เมทริกซ์
6. ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกแถวใดแถวหนึ่ง (หลักใดหลักหนึ่ง) เป็นศูนย์ทุกตัวแล้ว
det(A) = 0
ตัวอย่างที่ 6 จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
6.1 A = 





 2
3
0
0
6.2 B =









 
0
1
3
0
1
2
0
4
1
วิธีทา เนื่องจากแถวที่ 1 มีสมาชิกทุกตัวเท่ากับ 0 ………………………………………………………
 det(A) = 0 ………………………………………………………
7. ถ้า A มีสมาชิกสองแถว (หรือ 2 หลัก) ใดๆ เหมือนกันแล้ว
det(A) = 0
ตัวอย่างที่ 7 จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
7.1 A = 





2
2
1
1
7.2 B =












0
1
1
4
1
3
0
1
1
วิธีทา เนื่องจากหลักที่ 1 และหลักที่ 2 ………………………………………………………
มีสมาชิกซ้ากัน ………………………………………………………
 det (A) = 0 ………………………………………………………
8. ให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับแถว (หลัก) คู่ใดคู่หนึ่งของ A แล้ว
det (B) = – det (A)
ตัวอย่างที่ 8 จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
8.1 A =












0
1
1
1
1
2
1
2
1
8.2 B =












1
1
0
2
1
1
1
2
1
………………………………………………… ………………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………………
………………………………………………… ………………………………………………………

29. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 29 เรื่อง เมทริกซ์
จากสมบัติในข้อที่ 8 ระบุเพียงว่าให้สลับระหว่างแถว หรือสลับระหว่างหลักเพียงคู่เดียว แต่ในบางครั้งจะ
พบว่า B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากเมทริกซ์ A โดยการสลับกันระหว่างแถว หรือสลับกันระหว่างหลัก มากกว่า 1 คู่
เช่น
A =










i
h
g
f
e
d
c
b
a
, B =










c
b
a
i
h
g
f
e
d
จะพบว่า B เกิดจากการสลับที่ระหว่างแถวที่ 1 และแถวที่ 3 และนาผลที่ได้มาสลับกัน ระหว่างแถวที่ 1
และแถวที่ 2 อีกครั้งหนึ่ง ลักษณะเช่นนี้เรากล่าวว่า B เกิดจาก A โดยการสลับกันระหว่างแถวสองคู่ การกระทา
ดังกล่าว ถ้าเราทราบค่าดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ A เราจะทราบค่าดีเทอร์มินันต์ของ B ด้วย ดังนี้
A =










i
h
g
f
e
d
c
b
a
C =










c
b
a
f
e
d
i
h
g
B =










c
b
a
i
h
g
f
e
d
det(A) = k det(C) = - k det(B) = - (- k) = k
ดังนั้น เราสามารถสรุปเป็นสมบัติของดีเทอร์มินันต์ได้อีก 1 ประการ ดังสมบัติข้อที่ 9
9. ให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจาก A โดยการสลับกันระหว่างแถว หรือสลับกัน
ระหว่างหลักจานวน k คู่ แล้ว det(B) = (-1)k
det(A)
ตัวอย่างที่ 9 กาหนดให้ A =










i
h
g
f
e
d
c
b
a
และ det(A) = 2 จงหาค่าดีเทอร์มินันท์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
9.1 B =










h
g
i
e
d
f
b
a
c
9.2 C =










i
g
h
c
a
b
f
d
e
วิธีทา หลักที่ 1 สลับกับหลักที่ 3 ………………………………………………………
และหลักที่ 2 สลับกับหลักที่ 3 ………………………………………………………
จะเห็นว่า มีการสลับกัน 2 คู่ ………………………………………………………
จาก det(B) = (-1)k
det(A) ………………………………………………………
= (-1)2
 2 ………………………………………………………
= 1  2 ………………………………………………………
= 2 ………………………………………………………
 det(A) = 2 ………………………………………………………

30. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 30 เรื่อง เมทริกซ์
10. ให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส และ B เป็นเมทริกซ์ เกิดจากการคูณสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง
(หรือคูณหลักใดหลักหนึ่ง) ของเมทริกซ์ A ด้วยค่าคงตัว k  0 แล้ว det(B) = k det(A)
ประโยชน์ของสมบัติข้อที่ 10 คือ ช่วยทาให้สมาชิกของเมทริกซ์ที่ต้องการหาดีเทอร์มินันต์มีขนาดเล็กลง
เพื่อสะดวกในการกระจาย
ตัวอย่างที่ 10.1 จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
10.1.1
6
1
1
6
4
4
9
3
6




=
6
1
1
3
2
2
9
3
6
2




=
6
1
1
3
2
2
3
1
2
3
2




 =
2
1
1
1
2
2
1
1
2
3
3
2






=
2
1
1
1
2
2
1
1
2
18




1
1
2
2
1
2



= 18(5 – 0) = 90
10.1.2
3
3
5
2
6
10
1
3
5



 = ……………………………………………………………………………….
= ……………………………………………………………………………….
10.1.3
3
3
15
4
6
10
1
3
5


= ……………………………………………………………………………….
= ……………………………………………………………………………….
ตัวอย่างที่ 10.2 กาหนดให้
i
h
g
f
e
d
c
b
a
= 3 จงหาค่าของ
10.2.1
i
4
h
3
2g
f
4
e
3
2d
c
4
b
3
2a
……………………………………………………………………….……………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………
10.2.2
i
h
g
3c
3b
3a
f
e
d 


……………………………………………………………………….……………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………

31. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 31 เรื่อง เมทริกซ์
11. ให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n
n และ k เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า det(kA) = kn
det(A)
ตัวอย่างที่ 11 กาหนดให้ A , B และ C เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 2
2 , 3
3 และ 4
4 ตามลาดับ
และถ้า det(A) = 10 , det(B) = - 15 และ det(C) = 8 แล้ว จงหา
11.1 det(5A)
= …………………………………………………………….…………………………………
11.2 det(- 4B)
= …………………………………………………………….…………………………………
11.3 det( C
2
1
)
= …………………………………………………………….…………………………………
ข้อสังเกต ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n
n จะได้ว่า
det(-A) = det((-1)A) = (-1)n
det(A) =





่่
่่
่ี่่
เป็นจานวนค
n
เมื่อ
ู่
เป็นจานวนค
n
เมื่อ
det(A)
-
det(A)
12. ถ้า A เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมหรือเมทริกซ์ทแยงมุม det(A) เท่ากับ ผลคูณของสมาชิกในแนวเส้น
ทแยงมุมหลัก หรือ det(A) = nn
33
22
11 a
...
a
a
a 



ตัวอย่างที่ 12 จงหาดีเทอร์มินันต์ต่อไปนี้
12.1
1
0
0
0
0
2
0
0
1
1
2
0
4
0
1
3



12.2
3
0
0
0
3
0
0
0
3
วิธีทา เนื่องจากเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน ………………………………………………………
det(A) = (-3)2(-2) 1 = 12 ………………………………………………………
13. det(In) = 1 14. det(0) = 0
เมื่อ In เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
ตัวอย่างที่ 13
1
0
0
0
1
0
0
0
1
= 111 ตัวอย่างที่ 14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
= 0

32. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 32 เรื่อง เมทริกซ์
ใบกิจกรรมที่ 6 ดีเทอร์มินันต์ (Determinant)
1. จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) A = [9] det(A) = ……………………………………………………………..……….
2) B = 






 9
4
5
3
det(B) = ……………………………………………………………..……….
3) C = 





8
7
1
0
det(C) = ……………………………………………………………..……….
4) D =














5
6
1
7
5
0
4
3
2
det(D) = ……………………………………………………………..……….
……………………………………………………………..……….
5) E =












3
2
4
6
1
3
1
5
2
det(E) = ……………………………………………………………..……….
……………………………………………………………..……….
2. กาหนด A = 





4
2
3
1
, B = 





3
1
6
3
จงหา
1) det(AB)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
2) det(At
)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

33. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 33 เรื่อง เมทริกซ์
3) det(B 1

)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
4) det(A + B)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
5) det(A2
)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
6) det(3B)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
3. กาหนด A = 





1
4
2
x
x
, B = 







1
2
4
3
ถ้า det(A) = det(B) จงหา x
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

34. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 34 เรื่อง เมทริกซ์
4. กาหนด A =
















2
4
3
1
0
0
6
0
5
3
0
4
0
2
1
3
M32 (A) และ C32 (A)
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
5. จงหาดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (โดยการกระจายโคแฟคเตอร์)
1) A =













6
0
2
4
3
5
2
0
1
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
2) B =












3
1
2
0
0
2
1
3
3
0
2
1
3
1
0
2
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

35. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 35 เรื่อง เมทริกซ์
3) C =












1
1
0
2
2
1
0
1
1
1
0
2
1
2
0
1
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
4) D =
















1
2
1
1
0
8
3
1
2
1
0
2
2
5
1
1
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

36. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 36 เรื่อง เมทริกซ์
แบบฝึกทักษะที่ 6
1. ถ้า
u
t
s
r
q
p
z
y
x
= -1
1.1
z
y
x
r
q
p
u
t
s
1.2
z
y
x
3u
3t
3s
r
q
p
2. ให้ A =
z
y
x
r
q
p
c
b
a
และ det(A) = 3
จงหา det(3B-1
) เมื่อ B =












 r
q
p
2c
2b
2a
4z
4y
4x
3. ให้ A , B และ C เป็น n
n เมทริกซ์ เมื่อ n เป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 2 และ det(A) = 1 , det(B) = 2 ,
det(C) = -3 แล้ว จงหา
3.1 det(A2
BC-1
B-1
) 3.2 det(BC-1
AB-1
Ct
)

37. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 37 เรื่อง เมทริกซ์
ใบความรู้ที่ 7 อินเวอร์สของการคูณเมทริกซ์
อินเวอร์สของการคูณเมทริกซ์
บทนิยาม ให้ A เป็น nn เมทริกซ์ อินเวอร์สของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วย A 1

มีสมบัติว่า A A 1

= A 1

A = In
*** อินเวอร์สของการคูณเมทริกซ์ อาจเรียกว่า ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์
1. อินเวอร์สของการคูณของ 2 2 เมทริกซ์
เมื่อ A = 





d
c
b
a
โดยที่ ad – bc  0 (det A  0)
A 1

= 







 a
c
b
d
bc
ad
1
= 







a
c
b
d
det(A)
1
ตัวอย่างที่ 1 จงหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1) A = 





8
3
5
2
2) B = 





4
2
2
1
วิธีทา det(A) = 16 – 15 = 1 ……………………………………………………..
A-1
= 







2
3
5
8
1
1
……………………………………………………..
= 







2
3
5
8
……………………………………………………..
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = 





1
3
1
2
จงหา A 2

วิธีทา A-2
= (A2
)-1
A2
= 





1
3
1
2
 





1
3
1
2
= 









1
3
3
6
1
2
3
4
= 





4
9
3
7
det(A2
) = 28 – 27 = 1
(A2
)-1
= 







7
9
3
4
1
1
= 







7
9
3
4
 A 2

= 







7
9
3
4

38. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 38 เรื่อง เมทริกซ์
2. อินเวอร์สการคูณของ nn เมทริกซ์ เมื่อ n > 2
บทนิยาม ให้ A = [ ij
a ] n
n เมื่อ ij
a และ n เป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 1
1. เมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint Matrix) ของ A เขียนแทนด้วย adj(A) คือ ทรานโพสของ
เมทริกซ์ [Cij (A)] n
n
adj(A) = [Cij (A)]t
n
n
2. A(adj A) = adj(A)A = det(A) In
3. ถ้า det(A) 0 แล้ว A 1

=
det(A)
1
adj(A)
สมบัติของอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
กาหนด A , B เป็นเมทริกซ์มิติ nn ที่สามารถหา A 1

และ B 1

ได้
1. (A 1

) 1

= A
2. (AB) 1

= B 1

A 1

3. (At
) 1

= (A 1

)t
4. (An
) 1

= (A 1

)n
5. (kA) 1

=
k
1
A 1

, kR , k 0
6. det(A 1

) =
)
det(
1
A
ตัวอย่างที่ 3 กาหนด A =













8
5
2
2
1
3
1
0
1
จงหา
3.1 det(A)
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….

39. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 39 เรื่อง เมทริกซ์
3.2 adj(A)
วิธีทา adj(A) =
t










(A)
c
(A)
c
(A)
c
(A)
c
(A)
c
(A)
c
(A)
c
(A)
c
(A)
c
33
32
31
23
22
21
13
12
11
=
t




































1
3
0
1
2
3
1
1
2
1
1
0
5
2
0
1
8
2
1
1
8
5
1
0
5
2
1
3
8
2
2
3
8
5
2
1
=
t
















1
1
1
5
10
5
17
28
2
=
t
















1
5
17
1
10
28
1
5
2
3.3 A-1
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
………………………………………………………………………………………….………………….
ชีวิตต้องสู้ๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

40. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 40 เรื่อง เมทริกซ์
ใบกิจกรรมที่ 7 อินเวอร์สของการคูณเมทริกซ์
1. จงหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ต่อไปนี้ (ถ้ามี)
1.1) 





2
1
3
4
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
1.2) 





3
4
1
0
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
1.3) 







2
6
1
3
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
1.4)








2
1
2
1
3
2
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………

41. วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 41 เรื่อง เมทริกซ์
2. กาหนด A = 





2
3
3
5
จงหา A 1

, A 2

…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
3. กาหนด A =










8
6
1
5
2
3
3
1
2
A มีอินเวอร์สการคูณหรือไม่ ถ้ามีจงหา A 1

…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………
…………………………………………………………..……………………………………………….…………