แบบฝึกหัด

1. 0
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 1 | โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เอกสารประกอบการเรียน
บทที่ 3 เรื่อง กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102)
ชื่อ – นามสกุล ......................................................................................
ชั้น ม.1/ ............ เลขที่ .................
ผู้สอน
อาจารย์น้าผึ้ง ชูเลิศ (อ.น้าผึ้ง)
อาจารย์ชลดา ปานสมบูรณ์ (อ.อ้อม)
โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา (ฝ่ายมัธยม)

2. 1
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ในชีวิตประจำวันเราพบสิ่งที่มีความเกี่ยวข้องกันอยู่เสมอ ซึ่งอาจอยู่ในรูปของตัวเลขหรือไม่อยู่ในรูป
ของตัวเลขก็ได้ ความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ 2 กลุ่ม แต่ละกลุ่มมีสมาชิกหลายตัว สามารถแสดงความสัมพันธ์
ในรูปของ ตาราง แผนภาพ คู่อันดับ และกราฟ
คู่อันดับ เป็นการเขียนสัญลักษณ์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของการจับคู่ระหว่างสมาชิกของกลุ่มสองกลุ่มที่มี
ความสัมพันธ์กันภายใต้เงื่อนไขหรือข้อตกลง
การจับคู่ระหว่าง a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b) อ่านว่า คู่อันดับเอบี
เรียก a ว่า สมาชิกตัวที่หนึ่งหรือสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่า สมาชิกตัวที่สองหรือสมาชิกตัวหลัง
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนไข่ไก่และราคาไข่ไก่ในร้านค้าแห่งหนึ่ง ในรูปของแผนภาพ
และคู่อันดับ จากตารางที่กำหนดให้ ต่อไปนี้
เขียนแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนไข่ไก่ (ฟอง) และราคาไข่ไก่ (บาท)
เขียนคู่อันดับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนไข่ไก่ (ฟอง) และราคาไข่ไก่ (บาท) ทั้งหมดได้ดังนี้
(1, 4) , (2, 8) , ………………………………………………………………………………………………………………..
จำนวนไข่ไก่ (ฟอง) 1 2 3 4 5
ราคาไข่ไก่ (บาท) 4 8 12 16 20
คู่อันดับ (ordered pair)
จำนวนไข่ไก่ (ฟอง) ราคาไข่ไก่ (บาท)
4
1
2
3
5
16
4
8
12
.......
บทที่ 3 เรื่อง กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
1. คู่อันดับและกราฟ
ของคู่อันดับ

3. 2
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนความสัมพันธ์ระหว่างน้ำหนักของส้มและราคา ในรูปของแผนภาพ และคู่อันดับ
จากตารางที่กำหนดให้ ต่อไปนี้
เขียนแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระหว่างน้ำหนักของส้ม(กิโลกรัม) และราคา(บาท)
เขียนคู่อันดับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างน้ำหนักของส้ม(กิโลกรัม) และราคา(บาท) ทั้งหมดได้ดังนี้
........................................................................................................................................................
จากตัวอย่างที่ 2 สมาชิกตัวที่หนึ่งของคู่อันดับมาจากกลุ่มของน้ำหนักของส้ม สมาชิกตัวที่สองมาจากกลุ่ม
ของราคา การสลับตำแหน่งระหว่างสมาชิกตัวที่หนึ่งและสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับ ทำให้ได้คู่อันดับที่แตกต่างจาก
เดิม และมีความหมายเปลี่ยนไป เช่น
(1, 45) มีความหมายว่า น้ำหนักส้ม 1 กิโลกรัม จะมีราคา 45 บาท
(45, 1) มีความหมายว่า ……………………………………………………………………………………..
จะเห็นว่า อันดับของคู่อันดับมีความสำคัญมาก สมาชิกของคู่อันดับ (a, b) จะสลับกันไม่ได้
ดังนั้น (a, b) ≠ (b, a)
น้ำหนักของส้ม (กิโลกรัม) 1 2 3 4 5 6
ราคา (บาท) 45 90 130 175 220 260
ถ้ากำหนดให้คู่อันดับ (a, b) และคู่อันดับ (c, d) เป็นคู่อันดับสองคู่ใด ๆ จะได้ว่า
1) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2) ถ้า a = b แล้ว (a, b) = (b, a)

4. 3
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
การใช้กราฟแสดงความสัมพันธ์ เราเขียนเส้นจำนวนในแนวนอนและแนวตั้งให้ตัดกันเป็นมุมฉากที่ตำแหน่ง
ของจุดที่แทนศูนย์ (0) บนเส้นจำนวนแต่ละเส้น จุดที่เส้นจำนวนทั้งสองตัดกัน เรียกว่า ...........................................
แทนด้วย 0 เส้นจำนวนในแนวนอน เรียกว่า แกนนอน (horizontal axis) หรือ .......................... และเส้นจำนวน
ในแนวตั้ง เรียกว่า แกนตั้ง (vertical axis) หรือ ............................
ระบบที่แสดงตำแหน่งของจุดต่าง ๆ บนระนาบดังกล่าวนี้ เรียกว่า ระบบพิกัดฉาก
คู่อันดับแต่ละคู่อันดับแทนได้ด้วยจุดบนระนาบ เรียกจุดนี้ว่า กราฟของคู่อันดับ
กราฟของคู่อันดับ (a, b) หมายถึง จุดที่ได้จากการลากเส้นตั้งฉากกับแกน X ที่ตำแหน่ง a ไปตัดกับเส้นตรง
ที่ลากตั้งฉากกับแกน Y ที่ตำแหน่ง b
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -3 -1 1 3 5
Y
X
แกน Y
แกน X
จุดกำเนิด
จตุภาคที่ 1
จตุภาคที่ 2
จตุภาคที่ 3 จตุภาคที่ 4
กราฟของคู่อันดับ
เกร็ดน่ารู้
เดการ์ต, เรอเน นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส
เป็นผู้ริเริ่มแนวคิดเกี่ยวกับระบบพิกัดฉาก

5. 4
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของคู่อันดับที่กำหนดให้ให้อยู่บนระนาบ
1. (3,4)
2. (-4,5)
3. (-6,0)

6. 5
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนกราฟของคู่อันดับต่อไปนี้บนระนาบ
(-4, 6), (5, 9), (-7, -6)และ (8, -8)
- กราฟของ (-4, 6) เป็นจุดที่ได้จากการลากเส้นตรงให้ตั้งฉากกับแกน X ที่ตำแหน่งของ -4 ไปตัดกับ
เส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับแกน Y ที่ตำแหน่งของ 6 ซึ่งอยู่ในจตุภาคที่ 2
- กราฟของ (5, 9) เป็นจุดที่ได้จากการลากเส้นตรงให้ตั้งฉากกับแกน X ที่ตำแหน่งของ ....... ไปตัดกับ
เส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับแกน Y ที่ตำแหน่งของ ........ ซึ่งอยู่ในจตุภาคที่ ........
- กราฟของ (-7, -6) เป็นจุดที่ได้จากการลากเส้นตรงให้ตั้งฉากกับแกน X ที่ตำแหน่งของ ....... ไปตัดกับ
เส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับแกน Y ที่ตำแหน่งของ ........ ซึ่งอยู่ในจตุภาคที่ ........
- กราฟของ (8, -8) เป็นจุดที่ได้จากการลากเส้นตรงให้ตั้งฉากกับแกน X ที่ตำแหน่งของ ....... ไปตัดกับ
เส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับแกน Y ที่ตำแหน่งของ ........ ซึ่งอยู่ในจตุภาคที่ ........
(-4, 6)

7. 6
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ถ้า P เป็นจุดจุดหนึ่งบนระนาบที่กราฟของ (x, y) จะกล่าวว่า จุด P มีพิกัด (coordinate) เป็น (x, y)
โดย x เป็นพิกัดที่หนึ่ง และ y เป็นพิกัดที่สอง และอาจเขียนแทนพิกัดของจุด P ด้วย P(x, y) เช่น ถ้าจุด P มีพิกัด
เป็น (2, -3) อาจเขียนแทนด้วย P(2, -3)
ตัวอย่างที่ 5 จากรูปจงหาพิกัด P, Q, R, S และ T
วิธีทำ พิกัดของจุดที่กำหนดให้เป็นดังนี้
พิกัดของ P คือ (1, 6) หรือเขียนแทนด้วย P(1, 6)
พิกัดของ Q คือ .............. หรือเขียนแทนด้วย ...............
พิกัดของ R คือ .............. หรือเขียนแทนด้วย ...............
พิกัดของ S คือ .............. หรือเขียนแทนด้วย ...............
พิกัดของ T คือ .............. หรือเขียนแทนด้วย ...............
P
Q
R
S
T

8. 7
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดตำแหน่งของวัด โรงเรียน ตลาด บ้าน สถานีตำรวจและโรงพยาบาล ลงบนระนาบเดียวกัน
โดยให้แกน Y อยู่ในแนวทิศเหนือ-ใต้ และพิกัดของวัดเป็น (3, 1) ถ้าบ้านอยู่ห่างจากวัดไปทางทิศ
เหนืออยู่ 6 หน่วย โรงเรียนอยู่ห่างจากบ้านไปทางทิศตะวันตก 4 หน่วย ตลาดอยู่ห่างจากโรงเรียนไป
ทางทิศตะวันตก 5 หน่วย โรงพยาบาลอยู่ห่างจากตลาดไปทางทิศใต้ 10 หน่วย และสถานีตำรวจอยู่
ห่างจากโรงพยาบาลไปทางทิศตะวันออก 6 หน่วย จงเขียนกราฟแสดงตำแหน่งและหาพิกัดของบ้าน
โรงเรียน ตลาด สถานีตำรวจและโรงพยาบาล
วิธีทำ จากข้อมูลที่กำหนดให้ จะได้กราฟแสดงตำแหน่งและพิกัดของสถานที่ต่าง ๆ ได้ดังนี้
ดังนั้น บ้าน มีพิกัดเป็น .......................
โรงเรียน มีพิกัดเป็น .......................
ตลาด มีพิกัดเป็น .......................
สถานีตำรวจ มีพิกัดเป็น .......................
โรงพยาบาล มีพิกัดเป็น .......................

9. 8
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
1. จากรูป จงหาพิกัดของจุดบนกราฟต่อไปนี้
ดังนั้น จุด A มีพิกัดเป็น ................... จุด F มีพิกัดเป็น ...................
จุด B มีพิกัดเป็น ................... จุด G มีพิกัดเป็น ...................
จุด C มีพิกัดเป็น ................... จุด H มีพิกัดเป็น ...................
จุด D มีพิกัดเป็น ................... จุด I มีพิกัดเป็น ...................
จุด E มีพิกัดเป็น ................... จุด J มีพิกัดเป็น ...................
2. จงเขียนกราฟของจุดต่อไปนี้ A(1, 3), B(2, 7), C(-5, 0), D(3, 6), E(6, 2), F(-1, 1), G(3, -1), H(8, -1),
I(3, -3), J(-3, -3), K(-8, 0), L(-10, -1) และ M(-9, 3) พร้อมทั้งเขียนชื่อจุด และลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุด
ต่าง ๆ โดยเริ่มจากจุด A ถึง จุด M ตามลำดับ และลากเส้นตรงเชื่อมจุด M และจุด C ลงในกระดาษกราฟ
หรือกระดาษ A4 ให้ถูกต้อง
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
แบบฝึกหัดที่ 1

10. 9
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
การใช้คู่อันดับในการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ เช่น จำนวนปากกาที่ต้องการซื้อ
เป็นด้ามกับราคาขายเป็นบาท เมื่อมีความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ เราสามารถแสดงความสัมพันธ์ได้โดย
ใช้กราฟของคู่อันดับ และเมื่อมีกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ เราสามารถหาพิกัดของจุดที่อยู่
บนกราฟนั้นได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 7 จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนลูกชิ้นปิ้งเป็นไม้ และราคาขายเป็นบาท จากตาราง
ที่กำหนดให้ต่อไปนี้
วิธีทำ จากตาราง เขียนคู่อันดับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนลูกชิ้นปิ้งเป็นไม้ และราคาขายเป็นบาท
ได้ดังนี้ (1, 10), ...................................................................................
เมื่อกำหนดให้ แกน X แสดงจำนวนลูกชิ้นปิ้งเป็นไม้
และ แกน Y แสดง ...........................................................
กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนลูกชิ้นปิ้งเป็นไม้ และราคาขายเป็นบาท คือ
จุด P, Q, R, S และ T
จำนวนลูกชิ้นปิ้ง (ไม้) 1 2 3 4 5
ราคาขาย (บาท) 10 20 30 40 50
P(1, 10)
Q(2, 20)
R(3, 30)
S(4, 40)
T(5, 50)
ข้อสังเกต
เนื่องจากจำนวนไม้ของลูกชิ้นปิ้งและราคาขายเป็นจำนวน........... แสดงว่า
กราฟของความสัมพันธ์จะอยู่ในจตุภาคที่ ........ ในที่นี้จึงเขียนแสดงบนระนาบเฉพาะ
จตุภาคที่ ........ เท่านั้น
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5 6 7
ลูกชิ้นปิ้ง (ไม้)
ราคาขาย (บาท)
0
2.กราฟและการนำไปใช้
การอ่านและแปลความหมายของกราฟ

11. 10
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 8 จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนผู้โดยสารรถประจำทางเป็นคน และค่าโดยสาร
เป็นบาท จากตารางที่กำหนดให้ต่อไปนี้
วิธีทำ จากตาราง เขียนคู่อันดับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนผู้โดยสารรถประจำทางเป็นคน และค่า
โดยสารเป็นบาท
ได้ดังนี้ .............................................................................................................................
เมื่อกำหนดให้ แกน X แสดง ...........................................................
และ แกน Y แสดง ...........................................................
กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนผู้โดยสารรถประจำทางเป็นคน และค่าโดยสารเป็นบาท
คือ จุด M, N, O, P, Q และ R
จำนวนผู้โดยสารรถประจำทาง(คน) 0 1 2 3 4 5
ค่าโดยสาร (บาท) 0 7 14 21 28 35
7
14
21
28
35
42
49
1 2 3 4 5 6 7 .............................................................
.....................................
0

12. 11
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 9 กำหนดกราฟแสดงจำนวนมะนาวที่ชาวสวนคนหนึ่งเก็บส่งขายตั้งแต่วันที่ 1 ถึงวันที่ 10
ของเดือนพฤศจิกายน ได้ดังนี้
จากข้อมูลข้างต้น ให้นักเรียนตอบคำถามต่อไปนี้
1. วันที่ 2 ชาวสวนเก็บมะนาวส่งขายได้กี่ผล
ตอบ ..........................................................................................................................
2. วันที่เท่าไรที่ชาวสวนเก็บมะนาวส่งขายได้มากที่สุด และเก็บได้กี่ผล
ตอบ ..........................................................................................................................
3. วันที่เท่าไรบ้างที่ชาวสวนเก็บมะนาวส่งขายได้เท่ากัน และได้วันละกี่ผล
ตอบ ..........................................................................................................................
..........................................................................................................................
4. วันที่เท่าไรที่ชาวสวนเริ่มเก็บมะนาวส่งขายได้ลดลง
ตอบ ..........................................................................................................................
5. จำนวนมะนาวที่ชาวสวนเก็บส่งขายได้ในรอบ 10 วันนี้ มีการเปลี่ยนแปลงอย่างไร จงอธิบาย
ตอบ ..........................................................................................................................
.........................................................................................................................
6. ถ้าวันที่ 3 ราคาขายส่งมะนาว คือ 100 ผล ราคา 300 บาท ชาวสวนคนนี้มีรายได้จากการขายส่งมะนาว
ในวันที่ 3 กี่บาท
ตอบ ..........................................................................................................................
วันที่
จำนวนมะนาว (ร้อยผล)

13. 12
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 10 ถังน้ำของโรงเรียนมีความจุ 400 ลิตร เมื่อเปิดน้ำออกจากถังเพื่อนำไปใช้รดน้ำแปลงผักสวนครัว
พบว่าปริมาณน้ำที่เหลือในถังเมื่อเวลาผ่านไปเป็นนาที เป็นดังนี้
เวลาที่ผ่านไป (นาที) 0 1 2 3 4 5 6
ปริมาณน้ำที่เหลือในถัง (ลิตร) 400 360 320 280 240 200 160
จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลาที่ผ่านไปและปริมาณน้ำที่เหลือในถัง แล้วตอบคำถาม
วิธีทำ
1. ก่อนเปิดน้ำออกจากถัง ในถังมีน้ำอยู่เท่าใด
ตอบ ...........................................................................................................................
2. น้ำจะเหลืออยู่ครึ่งถังเมื่อเวลาผ่านไปเท่าใด
ตอบ ...........................................................................................................................
3. เมื่อเวลาผ่านไป 4 นาที 30 วินาที จะมีน้ำเหลือในถังเท่าใด
ตอบ ...........................................................................................................................
4. น้ำจะหมดถังเมื่อเวลาผ่านไปกี่นาที
ตอบ ...........................................................................................................................
5. เมื่อเวลาผ่านไปกี่นาที จะใช้น้ำไป 120 ลิตร
ตอบ ...........................................................................................................................
ปริมาณน้ำที่เหลือในถัง (ลิตร)
เวลาที่ผ่านไป (นาที)

14. 13
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
คำถาม ปริมาณน้ำฝนที่วัดเป็นมิลลิเมตรที่หาดเจ้าสำราญ จังหวัดเพชรบุรี ในวันที่ 1-10 กรกฎาคม แสดงด้วยกราฟ
ได้ดังนี้
จงตอบคำถามต่อไปนี้
1. ปริมาณน้ำฝนที่วัดได้ในวันที่ 2 เป็นเท่าใด
ตอบ ...........................................................................................................................
2. วันที่เท่าใดที่ฝนตกมากที่สุด และวัดปริมาณน้ำฝนได้กี่มิลลิเมตร
ตอบ ...........................................................................................................................
3. วันที่ฝนตกน้อยที่สุด และวันที่ฝนตกมากที่สุด มีปริมาณน้ำฝนต่างกันเท่าใด
ตอบ ...........................................................................................................................
4. วันที่เท่าใดที่มีปริมาณน้ำฝนเท่ากัน และวัดปริมาณน้ำฝนได้กี่มิลลิเมตร
ตอบ ...........................................................................................................................
5. ปริมานน้ำฝนทั้งหมด ตั้งแต่วันที่ 1-10 กรกฎาคม วัดปริมาณน้ำฝนได้กี่มิลลิเมตร
ตอบ ...........................................................................................................................
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ปริมาณน้ำฝน (มิลลิเมตร)
วันที่
แบบฝึกหัดที่ 2
การอ่านและแปลความหมายของกราฟ

15. 14
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 11 ถ้ากำหนดให้ไข่ไก่ราคาฟองละ 5 บาท เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนไข่ไก่เป็นฟอง
และราคาไข่ไก่เป็นบาทสำหรับจำนวนไข่ไก่ 7 ฟอง 8 ฟอง ไปได้เรื่อย ๆ
ในกรณีที่กราฟความสัมพันธ์มีลักษณะเป็นจุด ถ้าต้องการดูแนวโน้มของกราฟของความสัมพันธ์
เรานิยมเขียนต่อจุดเหล่านั้นให้เป็นเส้น ซึ่งจะเห็นแนวโน้มของกราฟของความสัมพันธ์นี้เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง
ดังรูป
ในทางกลับกัน เมื่อมีกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ เราอาจบอกแนวโน้มของ
ความสัมพันธ์จากกราฟได้ โดยที่กราฟนั้นอาจไม่มีการแสดงค่าบนแกน X และแกน Y หรือ พิกัดบนกราฟ
ตัวอย่างที่ 12 ร้านอาหารแห่งหนึ่งเปิดให้บริการตั้งแต่เวลา 10.00 น. ถึง 16.00 น. โดยร้านนี้สามารถรองรับลูกค้า
ได้สูงสุด80 คน และมีจำนวนลูกค้าที่มารับประทานอาหารในแต่ละช่วงเวลาแสดงได้ดังกราฟต่อไปนี้
ราคาไข่ไก่ (บาท)
จำนวนไข่ไก่ (ฟอง)
V(7, 35)
W(8, 40)
จำนวนลูกค้า (คน)
เวลา
(นาฬิกา)
จากกราฟ
จะสังเกตเห็นว่า เมื่อเริ่มเปิดร้านเวลา 10.00 น.
จะมีลูกค้าเข้ามารับประทานอาหารและ
............................................................................
จนกระทั่งเวลา 11.00 - 14.00 น.พบว่า
.................................................. จากนั้นจำนวนลูกค้า
ค่อย ๆ ลดลงจนถึงเวลาร้านปิดในเวลา 16.00 น.
แนวโน้มของกราฟ

16. 15
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 13 อันดาขี่จักรยานจากหมู่บ้านไปยังจุดชมวิวบนสันเขื่อน กราฟต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง
ระยะทางและเวลาที่อันดาใช้ในการขี่จักรยาน จากกราฟจงอธิบายอัตราเร็วของการเดินทาง
ของเขาในแต่ละช่วง ดังนี้
วิธีทำ จากกราฟ จะเห็นว่า
การเดินทางของอันดามีสองช่วง และกราฟในแต่ละช่วงเป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรง
ดังนั้น อัตราเร็วในการเดินทางจึงเป็น .........................................................................
เนื่องจากทั้งสองช่วงใช้เวลาเดินทางใกล้เคียงกัน แต่ช่วงแรกได้ระยะทาง ............... ช่วงที่สอง
แสดงว่า อัตราเร็วของการเดินทางในช่วงแรก .................... อัตราเร็วของการเดินทางในช่วงที่สอง
ระยะทาง
เวลา

17. 16
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 14 จากการสอบถามยอดขายโทรศัพท์รุ่น A และรุ่น B ของร้านค้าแห่งหนึ่ง ในทุก ๆ สิ้นเดือน
ตั้งแต่มกราคมถึงเดือนกันยายน สามารถนำข้อมูลมาแสดงได้ดังกราฟต่อไปนี้
จากกราฟ จงตอบคำถามต่อไปนี้
1. ในเดือนมีนาคม ร้านค้าแห่งนี้ขายโทรศัพท์รุ่นใดได้มากกว่ากัน และนักเรียนทราบได้อย่างไร
ตอบ .......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
2. ในเดือนใดที่ยอดขายโทรศัพท์รุ่น A และรุ่น B เท่ากัน และนักเรียนทราบได้อย่างไร
ตอบ .......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
3. ในเดือนต่อไป ร้านค้าแห่งนี้ควรสั่งโทรศัพท์รุ่นใดมาขายมากกว่ากัน เพราะเหตุใด
ตอบ .......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
จำนวนโทรศัพท์ที่ขายได้
เดือน
ม.ค. พ.ค. ก.ย.
รุ่น B
รุ่น A

18. 17
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
การเขียนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณโดยใช้กราฟบนระนาบในระบบพิกัดฉาก กราฟ
เหล่านั้นมีทั้งกราฟที่เป็นแนวเส้นตรงและไม่เป็นแนวเส้นตรง ซึ่งกราฟที่เป็นแนวเส้นตรง กล่าวคือ เป็นเส้นตรง ส่วน
ของเส้นตรง หรือเป็นจุดที่เรียงอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
ให้นักเรียนพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 15 สุธีและปรีดาต้องการหารายได้พิเศษในวันหยุด จึงไปช่วยกันขายเสื้อมือสองที่ตลาดนัดใกล้บ้าน
โดยวันอาทิตย์ที่แล้วสุธีและปรีดาต่างก็ขายเสื้อได้จำนวนหนึ่งซึ่งรวมกันได้ 7 ตัว
ถ้าให้ x แทนจำนวนเสื้อที่สุธีขายได้ (ตัว)
y แทนจำนวนเสื้อที่ปรีดาขายได้ (ตัว)
จำนวนเสื้อที่แต่ละคนขายได้จะต้องเป็นจำนวนนับที่รวมกันแล้วเท่ากับ 7 แสดงได้ดังตารางต่อไปนี้
x 1 2
y 6 5
จากตาราง เขียนคู่อันดับ (x, y) ได้ดังนี้ …………………………………………………………………….................
เมื่อกำหนดให้ แกน X แสดงจำนวนเสื้อที่สุธีขายได้ (ตัว) และแกน Y แสดงจำนวนเสื้อที่ปรีดาขายได้ (ตัว)
จะได้กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเสื้อที่สุธีและปรีดาขายได้ ดังนี้
จากกราฟจะเห็นว่าทุกจุดของคู่อันดับในตัวอย่างข้างต้น และกราฟที่ได้จะมีลักษณะเป็น ………………………
Y
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3. ความสัมพันธ์เชิงเส้น

19. 18
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 16 การบอกอุณหภูมิในประเทศไทยและหลายประเทศ นิยมบอกโดยใช้หน่วยเป็นองศาเซลเซียส (o
C )
แต่ก็มีบางประเทศ เช่น สหรัฐอเมริกา นิยมบอกอุณหภูมิโดยใช้หน่วยเป็นองศาฟาเรนไฮต์ (o
F )
ความสัมพันธ์ของอุณหภูมิทั้งสองหน่วย แสดงได้ด้วยสมการ
9
F = C + 32
5
โดยที่ C แทนอุณหภูมิในหน่วยองศาเซลเซียส
และ F แทนอุณหภูมิในหน่วยองศาฟาเรนไฮต์
เมื่อกำหนดอุณหภูมิในหน่วยองศาเซลเซียสดังต่อไปนี้
จากค่า C แต่ละค่าที่กำหนดให้ เราสามารถหาค่า F ที่ทำให้สมการเป็นจริงได้ โดยแทนค่า C แต่ละ
ค่าลงในสมการ ....................................................................................... แล้วคำนวณหาค่า F จะได้
จากตาราง เขียนคู่อันดับแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิในหน่วยองศาเซลเซียสกับอุณหภูมิ
ในหน่วยองศาฟาเรนไฮต์ ได้ดังนี้ .......................................................................................................................
เมื่อกำหนดให้ แกน X แสดงอุณหภูมิในหน่วยองศาเซลเซียส
แกน Y แสดงอุณหภูมิในหน่วยองศาฟาเรนไฮต์
จะได้กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิในหน่วยองศาเซลเซียสกับอุณหภูมิในหน่วยองศาฟาเรนไฮต์
ดังนี้
C -30 -20 -10 0 10 20 30
C -30 -20 -10 0 10 20 30
F -22 -4 ................. 32 ................. 68 .................

20. 19
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
จากกราฟ จุดแต่ละจุดในกราฟซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิในหน่วยองศาเซลเซียสกับอุณหภูมิใน
หน่วยองศาฟาเรนไฮต์อยู่ในแนว...................................
จากตัวอย่างที่ 15 และตัวอย่างที่ 16 จะเห็นว่า หากค่าของจำนวนจริงบนแกน X เพิ่มขึ้น ค่าของจำนวนจริง
บนแกน Y จะ ............................. และหากค่าของจำนวนจริงบนแกน X ลดลง ค่าของจำนวนจริงบนแกน Y ก็จะ
................................. และเป็นตัวอย่างของความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณที่มีกราฟอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
เราเรียกความสัมพันธ์ในลักษณะเช่นนี้ว่า ความสัมพันธ์เชิงเส้น (Linear relation)
ตัวอย่างที่ 17 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ “จำนวนเต็มจำนวนหนึ่งลบสามเท่ากับจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง”
ถ้าให้ x แทนจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง
y แทนจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง
เขียนข้อความข้างต้นในรูปสมการได้เป็น ..........................................................
เมื่อกำหนดค่า x บางค่า และหาค่า y ที่ทำให้สมการ ............................... เป็นจริง จะได้ค่า x และ y
ดังตารางต่อไปนี้
x … -4 -2 0 2 4 …
y … …
จากตาราง คู่อันดับที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเต็มหนึ่งและจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง คือ
......................................................................................................................................
นำคู่อันดับที่ได้มาเขียนกราฟได้ดังนี้

21. 20
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
จะเห็นว่า กราฟที่ได้เป็นจุดที่เรียงอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ความสัมพันธ์ของจำนวนเต็มทั้งสองจึงเป็น
ความสัมพันธ์เชิงเส้น
สมการของความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แสดงความเกี่ยวข้องระหว่างปริมาณสองปริมาณ จะเรียกว่า
สมการเชิงเส้นสองตัวแปร (two-variable linear equation)
ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่ 16 สมการ
9
F = C + 32
5
เป็นสมการเชิงเส้นสองตัวแปร นอกจากนี้ตัวอย่างที่ 17
สมการ x y = 3
− ที่กล่าวมาข้างต้นก็เป็นสมการเชิงเส้นสองตัวแปรเช่นเดียวกัน
ลักษณะสำคัญ
กรณีที่กำหนดสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในรูป Ax + By + C = 0 ถ้าไม่ระบุเงื่อนไขของ x และ y ให้ถือว่า
x และ y แทนจำนวนใด ๆ และกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนี้ จะเป็นเส้นตรงที่เรียกว่า ...............................
สมการเชิงเส้นสองตัวแปร เป็นสมการที่สามารถเขียนได้ในรูปทั่วไปเป็น
Ax + By + C = 0 เมื่อ x, y เป็นตัวแปร
A, B และ C เป็นค่าคงตัว โดยที่ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
1. มีตัวแปรสองตัว
2. ไม่มีการคูณกันของตัวแปร
3. เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวต้องเป็นหนึ่ง
4. A และ B ตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ได้ แต่จะเป็นศูนย์พร้อมกันไม่ได้
สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

22. 21
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 19 จงเขียนกราฟของสมการ y = 4
วิธีทำ กำหนดค่า X และค่า y จากสมการ y = 4ได้ดังตาราง
x
y
จากตาราง จะได้คู่อันดับ ......................................................................................................
และได้กราฟของสมการ y = 4 เป็นดังนี้

23. 22
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 20 จงเขียนกราฟของสมการ y = x - 1
วิธีทำ กำหนดค่า X และค่า y จากสมการ y = x - 1 ได้ดังตาราง
x … 0 …
y … …
จากตาราง จะได้คู่อันดับ ......................................................................................................
และได้กราฟของสมการ y = x - 1 เป็นดังนี้

24. 23
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
ตัวอย่างที่ 19 จงเขียนกราฟของสมการ y = -2x + 3
วิธีทำ กำหนดค่า X และค่า y จากสมการ y = -2x + 3ได้ดังตาราง
x … 0 …
y … …
จากตาราง จะได้คู่อันดับ ......................................................................................................
และได้กราฟของสมการ y = -2x + 3 เป็นดังนี้

25. 24
วิชาคณิตศาสตร์ 2 (ค21102) บทที่ 3 | กราฟและความสัมพันธ์เชิงเส้น
จงเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวน จากข้อความ
“ผลบวกของสี่เท่าของจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งกับสอง มีค่าเท่ากับจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง”
วิธีทำ ถ้าให้ x แทนจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง
y แทนจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง
เขียนข้อความข้างต้นในรูปสมการได้เป็น ..............................................
เมื่อกำหนดค่า x บางค่า และหาค่า y ที่ทำให้สมการ ............................... เป็นจริง จะได้ค่า x และ y
ดังตารางต่อไปนี้
x … 0 …
y … …
จากตาราง คู่อันดับที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนเต็มหนึ่งและจำนวนเต็มอีกจำนวนหนึ่ง คือ
......................................................................................................................................
นำคู่อันดับที่ได้มาเขียนกราฟได้ดังนี้
แบบฝึกหัดที่ 3