More Related Content Similar to คณิตศาสตร์ ม.ต้น พค21001 Similar to คณิตศาสตร์ ม.ต้น พค21001 (12) More from Thidarat Termphon More from Thidarat Termphon (8) คณิตศาสตร์ ม.ต้น พค210014. 4
สารบัญ
เรื่อง หนา
คํานํา 3
สารบัญ 4
คําแนะนําการใชหนังสือ 5
โครงสรางวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศึกษาตอนตน 6
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ 7
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม 18
บทที่ 3 เลขยกกําลัง 46
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ 58
บทที่ 5 การวัด 75
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว 106
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ 128
บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ 138
บทที่ 9 สถิติ 151
บทที่ 10 ความนาจะเปน 182
บทที่ 11 การใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรในงานอาชีพ 192
5. 5
คําแนะนําการใชแบบเรียน
หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร พค 21001 ระดับมัธยมศึกษา
ตอนตน เปนหนังสือเรียนที่จัดทําขึ้น สําหรับผูเรียนที่เปนนักศึกษานอกระบบ ในการศึกษา
หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร ผูเรียนควรปฏิบัติดังนี้
1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหัวขอสาระสําคัญ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
และขอบขายเนื้อหา
2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามที่กําหนด
แลวตรวจสอบกับแนวตอบกิจกรรมที่กําหนด ถาผูเรียนตอบผิดควรกลับไป
ศึกษาและทําความเขาใจในเนื้อหานั้นใหมใหเขาใจกอนที่จะศึกษาเรื่องตอไป
3. ปฏิบัติกิจกรรมทายเรื่องของแตละเรื่อง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของ
เนื้อหาในเรื่องนั้นๆ อีกครั้ง และการปฏิบัติกิจกรรมของแตละเนื้อหาในแตละ
เรื่อง ผูเรียนสามารถนําไปตรวจสอบกับครูและเพื่อนๆ ที่รวมเรียนในรายวิชา
และระดับเดียวกันได
4. แบบเรียนเลมนี้มี 10 บท
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม
บทที่ 3 เลขยกกําลัง
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ
บทที่ 5 การวัด
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ
บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
บทที่ 9 สถิติ
บทที่ 10 ความนาจะเปน
6. 6
โครงสรางรายวิชาคณิตศาสตร
ระดับมัธยมศึกษาตอนตน
สาระสําคัญ
ใหผูเรียนมีความรูความเขาใจเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการ เศษสวน และทศนิยม เลข
ยกกําลัง อัตราสวน สัดสวน และรอยละ การวัด ปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ
ความสัมพันธระหวางรูปทรงเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ สถิติ และความนาจะเปน
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการ เศษสวนและทศนิยม เลขยก
กําลังอัตราสวน สัดสวน รอยละ การวัด การหาปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ
ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติ สามมิติ สถิติ และความนาจะเปน
2. สามารถคิดคํานวณและแกปญหาโจทยที่ใชในชีวิตประจําวัน
ขอบขายเนื้อหา
บทที่ 1 จํานวนและการดําเนินการ
บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม
บทที่ 3 เลขยกกําลัง
บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ
บทที่ 5 การวัด
บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว
บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ
บทที่ 8 ความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ
บทที่ 9 สถิติ
บทที่ 10 ความนาจะเปน
สื่อการเรียนรู
1. ใบงาน
2. หนังสือเรียน
8. 8
เรื่องที่ 1 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย
จํานวนเต็มประกอบไปดวย จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มศูนย ดัง
โครงสรางตอไปนี้
จํานวนเต็มบวก คือ จํานวนนับ เปนจํานวนชนิดแรกที่มนุษยรูจัก มีคามากกวาศูนย จํานวนนับจํานวน
แรก คือ 1 จํานวนที่อยูถัดไปจะเพิ่มขึ้นทีละ 1 เสมอ เห็นวาไมสามารถหาจํานวนนับที่มากที่สุด และ
สามารถเขียนจํานวนนับ เรียงตามลําดับไดดังนี้ 1, 2, 3,... ไปเรื่อยๆ จํานวนนับเหลานี้อาจเรียกไดวา
“จํานวนเต็มบวก” ถานําจํานวน 0 และจํานวนเต็มบวกมาเขียนแสดงดวยเสนจํานวนได ดังนี้
จํานวนเต็มศูนย มีจํานวนเดียว คือ ศูนย(0)
สําหรับ 0 ไมเปนจํานวนนับ เพราะจะไมกลาววามีผูเรียนจํานวน 0 คน แตศูนยก็ไมได
หมายความวา ไมมีเสมอไป เชน เมื่อกลาวถึงอุณหภูมิ เพราะทําใหเราทราบและเกิดความรูสึกขณะ
อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสได
จํานวนเต็มลบ หมายถึงจํานวนที่ตรงขามกับจํานวนเต็มบวก มีคานอยกวาศูนย (0) มีคาลดลง
เรื่อยๆ ไมมีที่สิ้นสุด เชน -1, -2, -3, ....
พิจารณาจากเสนจํานวน จะเห็นวาจํานวนที่อยูทางซายของ 0 เปนระยะทาง 1 หนวย เขียน
แทนดวย -1 อานวา ลบหนึ่ง
จากจํานวนที่อยูทางซายของ 0 สองชอง เขียนแทนดวย -2 อานวา ลบสอง ถาอยูทางซาย
ของ 0 สามชอง เขียนแทนดวย -3 อานวา ลบสาม
จํานวนเต็ม
จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มศูนย จํานวนเต็มลบ
9. 9
เรื่องที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม
จํานวนเต็ม 2 จํานวน เมื่อนํามาเปรียบเทียบกันจะไดวา จํานวนหนึ่งที่มากกวาจํานวนหนึ่ง
หรือจํานวนหนึ่งที่นอยกวาอีกจํานวนหนึ่ง หรือจํานวนทั้ง 2 จํานวนเทากัน เพียงอยางใดอยางหนึ่ง
เทานั้น
ถา a, b, c เปน จํานวนธรรมชาติใดๆ แลว
a – b = c แลว a มากกวา b
a – b = - c แลว b มากกวา a
หรือ a นอยกวา b
a – b = 0 แลว a เทากับ b
เครื่องหมายที่ใช > แทนมากกวา
< แทนนอยกวา
= แทนเทากับ หรือเทากัน
การเปรียบเทียบจํานวนเต็มสามารถเปรียบเทียบจากเสนจํานวนไดดังนี้
จากเสนจํานวนจะเห็นวา 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > -1 > -2 > -3 ซึ่งจะเห็นไดวา จํานวนที่อยู
บนเสนจํานวนดานขวามีคามากกวาจํานวนที่อยูดานซายเสมอ
10. 10
แบบฝกหัดที่ 1
1. จงเลือกจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มจากจํานวนตอไปนี้
- 1,
2
4
, 0, - 3,
1000
500
,
250
500
−
จํานวนเต็มบวก ประกอบดวย...............................................................................................
จํานวนเต็มลบ ประกอบดวย...............................................................................................
จํานวนเต็ม ประกอบดวย..............................................................................................
2. จงเติมเครื่องหมาย < หรือ > เพื่อใหประโยคตอไปนี้เปนจริง
1) -4 ..................................... 3
2) -4 .................................... -3
3) -2 ..................................... -5
4) 4..................................... -2
5) 4..................................... -8
3. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก
1) -2, -8, -4, -15, -20, -7
…………………………………………………………………………………………………..
2) 4, -8, 0, -2, 16, -17
…………………………………………………………………………………………………..
11. 11
2.1 จํานวนตรงขามของจํานวนเต็ม
ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขามของ a มีเพียงจํานวนเดียว เขียนแทนดวย -a
พิจารณาจากเสนจํานวน
จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบจะอยูคนละขางของศูนย (0) และอยูหางจาก 0 เปน
ระยะเทากัน เชน -3 กับ 3 เปนจํานวนตรงขามกัน
ซึ่งสรุปไดวา
สําหรับจํานวนเต็ม a ใดๆ จํานวนตรงขามของ a คือ –a
และจํานวนตรงขามของ -a คือ –a
เนื่องจากจํานวนตรงขามของ(-a) เขียนแทนดวย – (-a)
ดังนั้น – (-a) = a
เชน จํานวนตรงขามของ (-3) เขียนแทนดวย –(-3) คือ 3
2.2 คาสัมบูรณของจํานวนเต็ม
สัญลักษณของคาสัมบูรณ ไดแก
ขอสังเกต เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ
พิจารณาจากเสนจํานวนจะเห็นวา
คาสัมบูรณของ 2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 22 =
คาสัมบูรณของ -2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 22 =−
ซึ่งสรุปไดวาคาสัมบูรณของจํานวนใดๆ เทากับระยะทางที่จํานวนนั้นอยูหางจาก 0 บนเสน
จํานวน
12. 12
แบบฝกหัดที่ 2
1. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอยกวา” หรือ “เทากับ”
1) คาสัมบูรณของ (-3).................................................คาสัมบูรณของ 3
2) จํานวนตรงขามของ (-4) .........................................จํานวนตรงขามของ 4
3) จํานวนตรงขามของ 5 ..............................................จํานวนตรงขามของ -5
4) คาสัมบูรณของ A....................................คาสัมบูรณของ(-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ
5) จํานวนตรงขามของ A ...........................จํานวนตรงขามของ (-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ
2. จงเติมเครื่องหมาย <, > หรือ = ลงในชองวาง
1) – (- 5) ............................................5
2) จํานวนตรงขามของ 8 .........................................8
3) จํานวนตรงขามของ (-8).......................................(-8)
4) 25.........................................25 −−
5) ( )20.........................................20 −−
6) 5..........................................25 −−
7) จํานวนตรงขามของ (-2) .........................................จํานวนตรงขามของ(-7)
8) จํานวนตรงขามของ 32.............................................จํานวนตรงขามของ 77
13. 13
เรื่องที่ 3 การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม
3.1 การบวกจํานวนเต็ม
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก เชน 2 + 3 = 5
1). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ 5
จะได 5 เปนผลบวกของ 2 กับ 3
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ เชน
(-2) + (-3) = (-5)
2). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 2 ชอง และนับเพิ่มไปทางซายอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ -5
จะได -5 เปนผลบวกของ -2 กับ -3
3.1 กรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา
3). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน 12 + (-8) = 4
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 12 ชอง เมื่อบวกดวย -8 ใหนับลดไปทางซายอีก 8 ชอง
จะสิ้นสุดที่ 4
จะได 4 เปนผลบวกของ 12 กับ -8
14. 14
3.2 กรณีที่ จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน 3 +(-10) = -7
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 3 ชอง เมื่อบวกดวย – 10 ใหนับลดไปทางซายอีก 10 ชอง
จะสิ้นสุดที่ -7
จะได -7 เปนผลบวกของ 3 กับ -10
4.1 กรณีที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา
4). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน (-3) + 5 = 2
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 3 ชอง เมื่อบวกดวย 5 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 5 ชอง
จะสิ้นสุดที่ 2
จะได 2 เปนผลบวกของ -3 กับ 3
4.2 กรณีจํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน (-5) + 3 = -2
พิจารณาจากเสนจํานวน
เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 5 ชอง เมื่อบวกดวย 3 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง
จะสิ้นสุดที่ -2
จะได -2 เปนผลบวกของ -5 กับ 3
16. 16
2. จากผลการบวกโดยใชเสนจํานวน จงเติมคําตอบตอไปนี้ใหสมบูรณ
ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสัมบูรณของ a คาสัมบูรณของ b คาสัมบูรณของ(a+b) ผลบวกของ a กับ b
เทากันหรือไมกับ ba +
1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากัน
2. (-3)+(-2) = -5
3. 2+1 = 3
4. (-2)+(-1) = -3
5. 5+ (-1) = 4
6. (-1) +5 = 4
7. (-5) +3 = -2
8. 3 + (-5) = -2
สรุป หลักการบวกจํานวนเต็ม
1. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกัน แลว
ตอบเปนจํานวนเต็มบวก
2. การบวกจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนเต็มลบ
3. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณ
มากกวาใหนําคาสัมบูรณมาลบกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก
4. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา
ใหนําคาสัมบูรณมาลบกัน แลวคําตอบเปนจํานวนเต็มลบ
5. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณเทากัน ผลบวกเปน 0
3.2 การลบจํานวนเต็ม
ทบทวนจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มดังตอไปนี้
จํานวนตรงขามของ 3 คือ -3
จํานวนตรงขามของ – 3 คือ 3 และ 3+(-3) = 0
จํานวนตรงขามของ -3 เขียนแทนดวย –(-3) ดังนี้ –(-3) = 3
17. 17
พิจารณาการลบจํานวนเต็มสองจํานวนที่กําหนดใหดังนี้
1. 3 – 2
2. 3 – 5
โดยพิจารณาทั้งสองแบบ
1. แสดงการหาผลลบของสองจํานวนที่กําหนดให โดยใชเสนจํานวน
1). 3 – 2 = 1
2). 3 – 5 = -2
2. แสดงการหาผลลบโดย กําหนดให – b แทนจํานวนตรงขามของ b แลวพิจารณาคาของ a + (-b)
ประโยคแสดงผลลัพธของ a – b a b (-b) ประโยคแสดงผลลัพธของ a + (-b)
1). 3 – 2 = 1 3 2 (-2) 3 + (-2) = 1
2). 3 – 5 = -2 3 5 (-5) 3 + (-5) = -2
จากการลบจํานวนเต็มสองจํานวนทั้ง 2 แบบจะเห็นไดวา
กําหนด (-b) เปนจํานวนตรงขามของ b
ผลลัพธของ a-b และผลลัพธของ a+(-b) มีคาเทากัน
ดังนั้น การลบจํานวนเต็ม เราอาศัยการบวกตามขอตกลงดังตอไปนี้
ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ
นั่นคือ เมื่อ a และ b แทนจํานวนใดๆ
a –b = a + จํานวนตรงขามของ b
หรือ a – b = a + (-b)
18. 18
1. จงทําใหเปนผลสําเร็จ
แบบฝกหัดที่ 4
1. (-12) – 7
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. 7 – (-12)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. (-8) – (-5)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4. (-5) – (-8)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
5. [8 – (-2)] – 6
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
6. 8 – [(-2) – 6]
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมื่อกําหนด a และ b ดังตอไปนี้
1. a = 5, b = (-3)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. a = (-14), b = (-6)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. a = (-4), b = (-4)
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
19. 19
3.3 การคูณจํานวนเต็ม
1) การคูณจํานวนเต็มบวกดวนจํานวนเต็มบวก
เชน 3 × 5 = 5 + 5 + 5
= 15
7 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
= 28
การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวกนั้น ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคา
สัมบูรณเทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
2) การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ
เชน 3 × (-8) = (-8) + (-8) + (-8)
= -24
2 × (-7) = (-7) + (-7)
= -14
การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณ
เทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
3) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก
เชน (-7) × 4 = 4 × (-7) (สมบัติการสลับที่การคูณ)
= (-7) + (-7)+ (-7) + (-7)
= -28
การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มลบที่มีคาสัมบูรณ
เทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
4) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ
เชน (-3) × (-5) = 15
( -11) × (-20) = 220
การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคาสัมบูรณ
เทากับผลคูณของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
20. 20
จงหาผลลัพธ
แบบฝกหัดที่ 5
1). [(-3) × (-5)] × (-2)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………
2). (-3) × [(-5) × (-2)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3). [4 × (-3)] × (-1)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4). 4 × [(-3) × (-1)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
6). (-5) × [6 + (-6)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
8). (-7) × [(-5) + 2]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
9). [5 × (-7)] + [5 × 3]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
10). 5 × [(-7) + 3]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
21. 21
3.4 การหารจํานวนเต็ม
การหารจํานวนเต็ม เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใดๆ ที่ b ไมเทากับ 0 จะหาผลหารได
โดยอาศัยการคูณ ดังนี้
ตัวตั้ง ÷ ตัวหาร = ผลลัพธ มีความหมายเดียวกับ ผลลัพธ × ตัวหาร = ตัวตั้ง
ถา cba =÷ แลว cba ×=
การหาผลหาร
5
25−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ 5 แลวได -25 ดังนั้น 5
5
25
−=
−
การหาผลหาร
5
25
−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ -5 แลวได 25 ดังนั้น 5
5
25
−=
−
จากการหาผลหารขางตนจะไดวา
ถาทั้งตัวตั้งหรือตัวหาร ตัวใดตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มลบโดยที่อีกตัวหนึ่งเปนจํานวนเต็มบวก
คําตอบเปนจํานวนเต็มลบ ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
การหาผลหาร
5
25
−
−
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ -5 แลวได -25 ดังนั้น 5
5
25
=
−
−
การหาผลหาร
5
25
จะตองหาจํานวนที่คูณกับ 5 แลวได 25 ดังนั้น 5
5
25
=
จากการหาผลหารขางตนจะไดวา
ถาทั้งตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือจํานวนเต็มลบทั้งคู คําตอบเปนจํานวน
เต็มบวก ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
22. 22
แบบฝกหัดที่ 6
1. จงเติมคําตอบใหสมบูรณเพื่อแสดงหลักของความสัมพันธระหวางการหารและการคูณ ตอไปนี้
ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba ×= ประโยคที่แสดงความสัมพันธ cba =÷ หรือ bca =÷
10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรือ 10 ÷ 2 = 5
35 = 7 x 5
33 = 3 x 11
(-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรือ (-14) ÷ (-2) = 7
(-21) = 7 x (-3)
(-15) = 3 x (-5)
10 = (-5) x (-2)
จงหาผลหาร
1. 17 ÷ 17
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
2. 23 ÷ (-23)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
3. 15 ÷ (-3)
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
4. (-72) ÷ 9
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
5. [(-51) ÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
6. [(-72) ÷ 9] ÷ [ 16 ÷ (-2)]
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
23. 17
เรื่องที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช
4.1 สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณจํานวนเต็ม
1). สมบัติการสลับที่
ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ
a + b = b + a (สมบัติการสลับที่การบวก)
a × b = b × a (สมบัติการสลับที่การคูณ)
2) สมบัติการเปลี่ยนหมู
ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ
(a + b) + c = a + (b + c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการบวก)
(a × b) × c = a × (b × c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการคูณ)
3) สมบัติการแจกแจง
ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ
a + (b × c) = ab + ac
และ (b + c) × a = ba + ca
4.2 สมบัติของหนึ่งและศูนย
1). สมบัติของหนึ่ง
1). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 1 = 1 × a = a
2). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a
a
=
1
2).สมบัติของศูนย
1). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a + 0 = 0 + a = a
2). ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0
3). ถา a แทนจํานวนใดๆ ที่ไมใช 0 แลว 0
0
=
a
(เราไมใช 0 เปนตัวหาร
ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว
0
a
ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร)
4). ถา a และ b แทนจํานวนใดๆ และ a × b = 0 แลว จะได a = 0 หรือ b = 0
บทที่ 2
เศษสวนและทศนิยม
24. 18
สาระสําคัญ
การอาน เขียนเศษสวน และทศนิยมโดยใชสมบัติ การบวก การลบ การคูณ การหาร
การเปรียบเทียบ และการแกโจทยปญหาตามสภาพการณจริงได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. บอกความหมายของเศษสวนและทศนิยมได
2. เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมและเขียนทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวนได
3. เปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยมได
4. สามารถบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยมได และอธิบายผลที่เกิดขึ้นได
5. นําความรูเกี่ยวกับเศษสวนและทศนิยมไปใชแกโจทยปญหา
ขอบขายเนื้อหา
เรื่องที่ 1 ความหมายของเศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 4 การบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยม
เรื่องที่ 1 ความหมายของเศษสวน และทศนิยม
1.1 เศษสวน หมายถึง สวนตางๆ ของจํานวนเต็มที่ถูกแบงออกเปนสวนละเทาๆ กัน การ
นําเสนอเศษสวนสามารถนําเสนอไดทั้งแบบรูปภาพ หรือแบบเสนจํานวน เชน
25. 19
รูปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน
สวนที่แรเงาเปน 1 สวนใน 4 สวน
เขียนแทนดวย
4
1
อานวา “เศษหนึ่งสวนสี่”
หรือ
1 หนวยบนเสนจํานวนแบงออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน
จุด A อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 3 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น A แทนดวย
5
3
จุด B อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 7 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น B แทนดวย
5
7
หรือ
5
2
1
จุด C อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 13 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น C แทนดวย
5
13
หรือ
5
3
2
จุด D อยูหางจาก 0 ไปทางซายมือเปนระยะ 8 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น D แทนดวย
5
8−
หรือ
5
3
1−
เศษสวน
"
บทนิยาม เศษสวนเปนจํานวนที่เขียนอยูในรูป เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็ม โดยที่ b ไมเทากับศูนย
เรียก a วา "ตัวเศษ" เรียก b วา "ตัวสวน”
อานวา เศษหนึ่งสวนหา
อานวา เศษหนึ่งสวนสอง
อานวา ลบเศษสามสวนสอง
อานวา ลบเศษสี่สวนสาม
26. 20
ตัวอยางที่ 1 จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง
1.2. ทศนิยม
ทศนิยม คือ จํานวนที่อยูในรูปทศนิยมประกอบดวยสองสวนคือ สวนที่เปนจํานวนเต็ม
และสวนที่เปนทศนิยม และมีจุด (.) คั่นระหวางจํานวนเต็มกับสวนที่เปนทศนิยม
ทศนิยมแบงไดเปน 2 ชนิด คือ
1. ทศนิยมแบบไมซ้ํา เชน 1.5 , 2.35, 3.14, ...
2 ทศนิยมซ้ํา แบงเปน
2.1 ทศนิยมซ้ําศูนย เชน 1.5000 … เขียนแทนดวย 1.5
0.0030000 … เขียนแทนดวย 0.003
ถาตัวซ้ําเปน 0 ไมนิยมเขียน
2.2 ทศนิยมที่ตัวซ้ําไมเปนศูนย เชน
0.3333… เขียนแทนดวย 0.3 อานวา ศูนยจุดสามสามซ้ํา
27. 21
1.414141 … เขียนแทนดวย 1.41 อานวา หนึ่งจุดสี่หนึ่งสี่หนึ่งซ้ํา
0.213213213 … เขียนแทนดวย 0.213 อานวา ศูนยจุดสองหนึ่งสาม สองหนึ่งสามซ้ํา
2.10371037 … เขียนแทนดวย 2.1037 อานวา สองจุดหนึ่งศูนยสามเจ็ด หนึ่งศูนยสามเจ็ดซ้ํา
แบบฝกหัดที่ 1
1. จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง
2. จงเขียนเสนจํานวนแลวหาจุดที่แทนจํานวนตอไปนี้
1)
8
4
,
2
1
1 ,
8
20
2)
2
1
1 ,
6
3
4 ,
6
29
จงเขียนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปของทศนิยม
1.
10
6
= ………………………… 2. .................................
100
12
=
3. ................................
1000
357
= 4.
..............
1000
3
100
2
10
1
=++
เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
2.1 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม
1)
2)
28. 22
เศษสวนและทศนิยมอาจเปลี่ยนรูปกันได หมายความวา เศษสวนสามารถเขียนใน
รูปของทศนิยมได และทศนิยมสามารถเขียนในรูปของเศษสวนไดเชนเดียวกัน เชน
1. ทําสวนใหเปน 10 , 100 , 1,000,.......
เชน 0.2 =
10
2
0.25 =
×+
×
100
1
5
10
1
2
=
100
5
10
2
+
=
100
25
เพื่อใหเกิดความรวดเร็วในการเปลี่ยนทศนิยมเปนเศษสวน อาจทําไดโดยการเลื่อน
จุดทศนิยมและตัวหารเปนจํานวน 10, 100 หรือ 1,000 ขึ้นอยูกับจํานวนทศนิยม เชน ถาทศนิยม 1
ตําแหนง ตัวที่เปนสวนก็จะเปน 10 ถา 2 ตําแหนง ตัวที่เปนสวนก็จะเปน 100 หรือสรุปไดวา จํานวน
0 ที่ถัดเลข 1 จะเทากับจํานวนตําแหนงของทศนิยม
หมายเหตุ เศษสวนที่เปนลบเมื่อเขียนใหอยูในรูปทศนิยมจะไดทศนิยมที่เปนลบ
เชน
10
7−
= 7.0− ,
000,1
39−
= 039.0−
2.2 การเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
ทศนิยมซ้ํา คือ จํานวนเต็มของทศนิยมที่ซ้ําๆ กัน เชน 0.777.... เขียนแทนดวย 7.0
เมื่อจะเขียนใหเปนเศษสวน สามารถทําไดดังนี้
ตัวอยางที่ 1 จงเปลี่ยน 7.0 ใหเปนเศษสวน
วิธีทํา 7.0 = 0.77777..... = X
ให X = 0.77777… -------------- (1)
(1) × 10 ------> 10X = 7.7777… -------------- (2)
(2) –(1) ------> 10X – X = 7.7777… - 0.777…
9X = 7
X =
9
7
∴ 7.0 =
9
7
ตัวอยางที่ 2 จงเปลี่ยน 312.1 เปนเศษสวน
จาก 312.1 = 1.2131313…
29. 23
ให x = 1.2131313… -------------- (1)
(1) × 10 10x = 12.131313….. ---------------(2)
(1) × 1,000 1,000x = 1213.131313… ---------------(3)
(3) – (2) 1,000x – 10x = 1213 – 12
990x = 1213 – 12
x =
990
121213 −
x =
990
1201
ดังนั้น 312.1 =
990
1201
จากตัวอยาง สรุปไดวา การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวนโดยวิธีลัด ทําไดดังนี้
1. 7134.0 =
9900
373417 −
=
9900
3383
เศษ เขียนจํานวนทั้งหมดลบดวยจํานวนที่ไมซ้ํา สวน แทนดวย 9 เทากับจํานวนที่ซ้ําและ
แทนดวย 0 เทากับจํานวนไมซ้ํา
2. 513.1 =
990
131315 −
=
990
1302
=
495
651
3. 3410.3 =
9900
31031043 −
=
9900
30733
แบบฝกหัดที่ 2
30. 24
1. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้ใหเปนทศนิยม โดยการทําสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000, .......
1)
4
9
2)
4
3
1
........................................................... ............................................................
............................................................ ............................................................
3)
40
39
4)
25
7
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
5)
8
1
6)
125
8
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
2. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้เปนทศนิยม โดยการหารเศษสวน
1)
11
9
2)
7
1
3
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
3)
16
7
4)
4
5
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
5)
6
5
6)
5
3
8
............................................................ ............................................................
............................................................ ............................................................
เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม
3.1 การเปรียบเทียบเศษสวน
32. 26
วิธีที่ 1 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 18 ได 36
ทําสวนของเศษสวนทั้งสองใหเปน 36
312
37
×
×
=
36
21
218
211
×
×
=
36
22
จะได
36
22
>
36
21
ดังนั้น
18
11
>
12
7
วิธีที่ 2
12
7
18
11
ผลจากการคูณไขว จะได
7 × 18 และ 12 × 11
จะเห็นวา 126 < 132
ดังนั้น
12
7
<
18
11
2.1 เปรียบเทียบทศนิยม
การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนบวก ใหพิจารณาเลขโดดจากซายไปขวา ถาเลขโดด
ตัวใดมีคามากกวาทศนิยม จํานวนนั้นจะมีคามากกวา เชน 38.586 กับ 38.498 ทศนิยมใน
ตําแหนงที่ 1 ของทั้ง 2 จํานวนมีเลขโดดคือ 5 และ 4 ตามลําดับ จะเห็นไดวา 5 มากกวา 4
ดังนั้น 38.586 มากกวา 38.498
การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนลบ เชน -0.7 กับ -0.8
คาสัมบูรณของ -0.7 เทากับ 0.7
คาสัมบูรณของ -0.8 เทากับ 0.8
จํานวนที่มีคาสัมบูรณนอยกวาจะเปนจํานวนที่มีคามากกวา ดังนั้น
- 0.7 มากกวา - 0.8
แบบฝกหัดที่ 3
1. ใหเติมตัวเศษหรือตัวสวนของเศษสวนลงใน เพื่อใหไดเศษสวนที่เทากัน
33. 27
2. ใหเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ลงใน ใหถูกตอง
3. ใหนักศึกษาเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ระหวางจํานวนสองจํานวน
1) -0.500 ..............0.501 2) 103.012 ...................... – 0.501
3) 5.28 .................... 5.82 4) – 5.28 .......................... -5.28
34. 28
5) 8.354 ................. 8.534 6) -8.544 ........................... -8.534
7) -13.06 ................. 13.06 8) 103.012 ....................... -103.012
9) -5.125 .................. -5.1250 10) -7.10 ......................... -7.01
4. ใหนักศึกษาเรียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากคานอยไปคามาก
1) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000
2) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017
3) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500
4) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50
เรื่องที่ 4 การบวก ลบ คูณ หารเศษสวนและทศนิยม
4.1 การบวกเศษสวน
วิธีการหาผลบวกของเศษสวน สามารถทําไดดังนี้
35. 29
1) หา ค.ร.น.ของตัวสวน
2) ทําเศษสวนแตละจํานวนใหมีตัวสวนเทากับ ค.ร.น.ที่หาไดจากขอ 1
3) บวกตัวเศษเขาดวยกันโดยที่ตัวสวนยังคงเทาเดิม
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลบวก
วิธีทํา ค.ร.น. ของ 3 กับ 4 คือ 12
=
12
9
12
4
+
ตอบ
4.2 การลบเศษสวน
การลบเศษสวน ใชหลักการเดียวกันกับการลบจํานวนเต็ม คือ
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลลบ
วิธีทํา ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คือ 12
=
=
×
×
+
×
×
112
17
26
25
=
=
12
7
12
10
+
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ
43. 37
โจทยปญหาเศษสวน
การทําโจทยปญหาเศษสวน ควรกําหนดจํานวนทั้งหมดเปน 1 หนวย แลวดําเนินการตาม
โจทย เชน นักเรียนหองหนึ่ง เปนชาย
5
3
ของจํานวนนักเรียนในหอง
ดังนั้น หองนี้เปนนักเรียนหญิง 1 -
5
3
=
5
2
ของจํานวนนักเรียนในหอง
ตัวอยางที่ 1 ถังใบหนึ่งจุน้ํา 140 ลิตร มีน้ําอยู
4
3
ถัง หลังจากใชน้ําไปจํานวนหนึ่งจะ
เหลือน้ําอยู
2
1
ถัง จงหาวาใชน้ําไปเทาไหร
วิธีทํา มีน้ําในถัง
4
3
× 140 = 105 ลิตร
หลังจากใชน้ําเหลือน้ําในถัง ×
2
1
140 = 70 ลิตร
ดังนั้นใชน้ําไปจํานวน 70105 − = 35 ลิตร
แบบฝกหัดที่ 7
44. 38
1. ใหหาคําตอบของโจทยปญหาตอไปนี้
1) ตองมีเงิน 320 บาท ซื้อรองเทา
5
2
ของเงินทั้งหมด ซื้อเสื้อ
16
5
ของเงินที่เหลือ จง
หาวาตองเหลือเงินเทาไร
2) หองประชุมหองหนึ่งมีความยาวเปน
4
3
3 ของความกวาง และความกวางเปน
5
2
4 ของ
ความสูง ถาหองสูง
2
1
3 เมตร และมีนักเรียน 462 คน จงหาวา โดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่งมีอากาศ
หายใจกี่ลูกบาศกเมตร
3) จางคนปลูกหญาบนสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง
5
4
6 เมตร ยาว
2
1
10 เมตร ใน
ราคาตารางเมตรละ 45 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร
4) โทรทัศนเครื่องหนึ่งประกาศลดราคาลง
4
1
ของราคาที่ปดไวเดิม แตผูซื้อเปนเพื่อน
กับผูขายลดใหอีก
5
1
ของราคาที่ประกาศลดแลวในครั้งแรก ซึ่งปรากฏวาผูซื้อจายไป 4,200 บาท
จงหาวาโทรทัศนเครื่องนี้ปดราคาเดิมไวเทาไร
5) ในการเดินทางครั้งหนึ่งเสียคาที่พัก
5
2
ของคาใชจายทั้งหมด คาเดินทาง
4
1
ของ
คาใชจายทั้งหมด คาใชจายอื่น ๆ คิดเปนเงิน 1,470 บาท จงหาวาคาใชจายทั้งหมดเปนเงินเทาไร
45. 39
4.8 การบวก และการลบทศนิยม
การหาผลบวกของทศนิยมใดๆ จะใชหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
2. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปน
จํานวนลบ
3. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาลบ
กันแลวตอบเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบตามจํานวนที่มีคาสัมบูรณมากกวา
การหาผลลบของทศนิยมใด ๆ ใชขอตกลงเดียวกันกับที่ใชในการหาผลลบของจํานวน
เต็ม คือ
สรุป การบวกและการลบทศนิยม จะตองตั้งใหจุดทศนิยมตรงกันกอน แลวจึงบวก
ลบ จํานวนในแตละหลัก ถาจํานวนตําแหนงทศนิยมไมเทากัน นิยมเติมศูนยขางทายเพื่อให
จํานวนตําแหนงทศนิยมเทากัน
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ
47. 41
4.9 การคูณทศนิยม
การคูณทศนิยม มีหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
2. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
3. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณ
กันแลวตอบเปนจํานวนลบ
หมายเหตุ ผลคูณทศนิยม จะมีจํานวนหลักทศนิยมเทากับผลบวกของจํานวนหลัก
ทศนิยมของตัวตั้งและจํานวนหลักทศนิยมของตัวคูณ
ตัวอยางที่ 1 จงหาผลคูณของ
1. 1.25 ×2.431
1.25 ×2.431 = 2.431 × 1.25
2.431
12155
125
4862
303875 0
2431 0
∴ 1.25 ×2.431 = 3.03875
2. -5.12 × 0.125
512
2560
125
1024
64000 0
512 0
∴-5.12 × 0.125 = - 0.64000 = -0.64
×
×
48. 42
4.10 การหารทศนิยม
การหารทศนิยม มีหลักเกณฑดังนี้
1. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
2. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปน
จํานวนบวก
3. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหาร
กันแลวตอบเปนจํานวนลบ ขอสําคัญตองทําใหตัวหารเปนจํานวนเต็ม
ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ
1. 15.015 ÷(-0.15)
วิธีทํา 15.015 ÷(-0.15) =
15.0
015.15
−
=
10015.0
100015.15
×−
×
=
15
5.1501
−
1.100
15
5.150115
00
0
01
0
15
15
∴15.015 ÷(-0.15) = -100.1
2. (-37.65) ÷ (-1.5)
วิธีทํา (-37.65) ÷ (-1.5) =
5.1
65.37
−
−
=
105.1
1065.37
×
×
=
15
5.376
1.125
30
5.37615
76
75
15
15
∴(-37.65) ÷ (-1.5) = 25.1
49. 43
แบบฝกหัดที่ 9
1. จงหาคาของ
2. จงหาคาของ
1) {(-12.4) ×33.6} +{(-12.4 × 66.4)
………………………………………………………………………………………………...
2) {(-3.145) × 2.76} + {(-27.39) ÷18.26}
………………………………………………………………………………………………...
3) (-14.307 – 2.809) + (6.78 ÷1.5)
………………………………………………………………………………………………...
4) {(0.036 ÷0.15) + (-4.07 ×1.1)} ของ (-5.8)
………………………………………………………………………………………………...
5) (-1.58 ÷0.15) – [ 2×(-3.6)]
………………………………………………………………………………………………...
50. 44
4.11 การนําความรูเรื่องทศนิยมไปใชในการแกโจทยปญหา
ตัวอยางที่ 1 เหล็กเสนกลมขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร ยาว 1 เมตร จะ
หนัก 3.862 กิโลกรัม ถาเหล็กเสนขนาดเดียวกันนี้ยาว 1.25 เมตร จะหนักกี่กิโลกรัม
วิธีทํา เหล็กเสนกลมมีขนาดเสนผานศูนยกลาง 1.75 เซนติเมตร
และยาว 100 เซนติเมตร หนัก 3.862 กิโลกรัม
ถายาว 1 เซนติเมตร หนัก 03862.0
100
862.3
= กิโลกรัม
ดังนั้น เหล็กเสนขนาดเดิมแตยาว 125 เซนติเมตร หนัก 12503862.0 ×
= 8275.4 กิโลกรัม
เหล็กเสนขนาดเดิมยาว 25.1 เมตร หนัก 8275.4 กิโลกรัม
ตัวอยางที่ 2 รูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปหนึ่งมีพื้นที่ 11.3364 ตารางเซนติเมตร ถาดานยาว
เทากับ 4.23 เซนติเมตร ดานยาวยาวกวาดานกวางเทาไร
วิธีทํา พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง × ยาว
11.3364 = กวาง × 4.23
ดังนั้น กวาง =
23.4
3364.11
= 68.2 เซนติเมตร
ดานยาวยาวกวาดานขาง = 68.223.4 −
= 55.1 เซนติเมตร
ดานยาวยาวกวาดานกวาง = 55.1 เซนติเมตร
51. 45
แบบฝกหัดที่ 10
1. ใหนักศึกษาแกปญหาโจทยตอไปนี้
1) เชือกยาว 17.25 เมตร นําอีกเสนหนึ่งยาว 5.2 เมตร มาผูกตอกันทําใหเสียเชือกตรง
รอยตอ 0.15 เมตร นําเชือกที่ตอแลวมาวางเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา ใหดานกวางยาวดานละ 1.5
เมตร ดานยาวจะยาวดานละกี่เมตร
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
2. น้ําตาลถุงหนึ่งหนัก 9.35 กิโลกรัม จํานวน 16 ถุง ใชทําขนมเฉลี่ยแลววันละ 4.4 กิโลกรัม
จะใชน้ําตาลไดทั้งหมดกี่วัน
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
3. หองรูปสี่เหลี่ยมผืนผา กวาง 4.8 เมตร ยาว 9.6 เมตร นํากระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 32
ตารางเซนติเมตร มาปูหองจะตองใชกระเบื้องกี่แผน
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
4. มีทองคําแทงหนึ่งหนัก 12.04 กรัม ซื้อเพิ่มอีก 25.22 กรัม แบงขายไปสองครั้ง หนักครั้งละ
8.02 กรัม ที่เหลือนําไปทําแหวน 5 วง หนักวงละ 3.45 กรัมเทาๆ กัน จะเหลือทองอีกกี่กรัม
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………
52. 46
บทที่ 3
เลขยกกําลัง
สาระสําคัญ
สัญลักษณของการเขียนแทนการคูณจํานวนเดียวกันซ้ํา ๆ หลาย ๆ ครั้ง เขียนแทนดวย n
a
อานวา a ยกกําลัง n และการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. บอกความหมายและเขียนเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มแทนจํานวนที่
กําหนดใหได
2. บอกและนําเลขยกกําลังมาใชในการเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรได
3. อธิบายการคูณและหารของเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มได
ขอบขายเนื้อหา
เรื่องที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง
เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
เรื่องที่ 3 การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
53. 47
เรื่องที่ 1 ความหมายและการเขียนเลขยกกําลัง
เลขยกกําลัง หมายถึง การใชสัญลักษณ เขียนแทนจํานวนที่เกิดขึ้นจากการคูณ ซ้ําๆ กัน
หลายๆ ครั้ง เชน 3333 ××× สามารถเขียนแทนไดดวย 4
3 อานวา สามยกกําลังสี่ ซึ่งมีบทนิยาม
ดังนี้
บทนิยาม
n
a
ถา a แทนจํานวนใด ๆ และ n แทนจํานวนเต็มบวก “a ยกกําลัง n” หรือ “a
กําลัง n” เขียนแทนดวย =
n
aaaa ×××× ......
เรียก n
a วาเลขยกกําลังที่มี a เปนฐานและ n เปนเลขชี้กําลัง เชน
5
4 แทน 4 × 4 × 4 × 4 × 4
5
4 มี 4 เปนฐาน และมี 5 เปนเลขชี้กําลัง
สัญลักษณ 5
4 อานวา “สี่ยกกําลังหา” หรือ “สี่กําลังหา” หรือกําลังหาของสี่
( )6
2− แทน ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2− × ( )2−
( )6
2− มี ( )2− เปนฐาน และมี 6 เปนเลขชี้กําลัง
ในทํานองเดียวกันสัญลักษณ ( )6
2− อานวา “ลบสองทั้งหมดยกกําลังหก” หรือกําลัง
หกของลบสอง
จงพิจารณาตารางตอไปนี้
เลขยกกําลัง ฐาน เลขชี้กําลัง เขียนในรูปของการคูณ แทนจํานวน
3
3 3 3 3×3×3 27
5
4 4 5 4×4×4×4×4 1,024
( )4
2− -2 4 (-2) ×(-2) ×(-2) ×(-2) 16
2
2
1
2
1 2
2
1
×
2
1
4
1
y
x x y X×X×X…(y ครั้ง) X×X×X…(y ครั้ง)
ตัวอยาง จงตอบคําถามตอไปนี้
1. 3
8 อานวาอยางไร
2. 3
10 มีจํานวนใดเปนฐาน
3. 5
11 มีจํานวนใดเปนเลขชี้กําลัง
4. 3
5 มีความหมายอยางไร
5. ( )5
5− อานวาอยางไร
วิธีทํา 1. 3
8 อานวา 8 ยกกําลัง 3
2. 3
10 มี 10 เปนฐาน
3. 5
11 มี 5 เปนเลขชี้กําลัง
4. 3
5 มีความหมายเทากับ 5 ×5×5
5. ( )5
5− อานวา (-5) ลบหาทั้งหมดยกกําลังหา
54. 48
แบบฝกหัดที่ 1
1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 พรอมทั้ง
บอกฐานและเลขชี้กําลัง
1.1 25 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.2 64 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.3 169 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.4 729 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.5 -32 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.6 -243 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
1.7 0.125 = ……………………………….=…………………………..
มี = ………………………….เปนฐานและ.................................เปนเลขชี้กําลัง
2. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปนี้
2.1 8
2 =…………………………………=………………………………
2.2 ( )4
3− =…………………………………=………………………………
2.3 ( )5
3.0 =…………………………………=………………………………
2.4 ( )6
02.0 =…………………………………=………………………………
2.5
3
3
1
=…………………………………=………………………………
2.6
3
7
2
=…………………………………=………………………………
2.7 ( )4
5− =…………………………………=………………………………
2.8 3
2− =…………………………………=………………………………
2.9
5
10
1
=…………………………………=………………………………
2.10 ( )6
5.0 =…………………………………=………………………………
55. 49
เรื่องที่ 2 การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
การเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร มีรูปทั่วไปเปน A × n
10
เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม
พิจารณาการเขียนจํานวนที่มีคามาก ๆ ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตรตอไปนี้
1. 2,000 = 2 × 1,000
= 2 × 3
10
2. 800,000 = 8 × 100,000
= 8 × 5
10
ตัวอยางที่ 1 จงเขียน 600,000,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา 600,000,000 = 6 × 100,000,000
= 6 × 8
10
ตอบ 6 × 8
10
ตัวอยางที่ 2 จงเขียน 73,200,000 ใหอยูในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา 73,200,000 = 732 × 100,000
= 7.32 × 100 × 100,000
= 7.32 × 2
10 × 5
10
= 7.32 × 7
10
ตัวอยางที่ 3 ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร จงเขียนใหอยูใน
รูปสัญกรณวิทยาศาสตร
วิธีทํา ดาวเสารมีเสนผานศูนยกลางยาวประมาณ 113,000,000 เมตร
113,000,000 = 113 × 1,000,000
= 113 × 100 × 1,000,000
= 1.13 × 2
10 × 6
10
= 1.13 × 8
10
ตอบ 1.13 × 8
10 เมตร
56. 50
แบบฝกหัดที่ 2
1. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร
1. 400,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. 23,000,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. 639,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
4. 247,500,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
2. ดาวเสารอยูหางจากดวงอาทิตยประมาณ1,430,000,000 กิโลเมตร จงเขียนใหอยูในรูปสัญกรณ
วิทยาศาสตร
1,430,000,000 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3. สัญกรณวิทยาศาสตรในแตละขอตอไปนี้แทนจํานวนใด
3.1 2 × 6
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.2 4.8 × 13
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.3 4.03 × 9
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
3.4 9.125 × 5
10 =………………………………………………………………
=………………………………………………………………
57. 51
3. การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเปนเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
3.1 การคูณเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
พิจารณาการคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันตอไปนี้
3
2 × 4
2 = ( ) ( )2222222 ××××××
= 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2
= 7
2 หรือ 43
2 +
32
33 × = ( ) ( )33333 ××××
= 3 × 3 × 3 × 3 ×3
= 5
3 หรือ 32
3 +
23
3
1
3
1
×
=
×
×
×
×
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
=
×
×
×
×
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
=
5
3
1
หรือ 23
3
1
+
การคูณเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและมีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวกเปนไป
ตามสมบัติของการคูณเลขยกกําลังดังนี้
เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ m และ n แทนจํานวนเต็มบวก nm
aa × = nm
a +
58. 52
แบบฝกหัดที่ 3
1. จงเขียนจํานวนที่แทนดวยสัญลักษณตอไปนี้
1.1 65
22 × =……………………………=…………………………………
1.2 25
32 × =……………………………=…………………………………
1.3 ( )3
32× =……………………………=…………………………………
1.4 ( )2
75.0 =……………………………=…………………………………
1.5 2
2
3
3
1
×
−
=……………………………=…………………………………
1.6 ( )3
23×− =……………………………=…………………………………
1.7
43
2
5
5
2
×
=……………………………=…………………………………
1.8
56
2
7
7
1
×
=……………………………=…………………………………
1.9 ( )
4
3
2
1
5.0
=……………………………=…………………………………
1.10 ( ) ( )32
1111 −− =……………………………=…………………………………
2. จงเขียนผลคูณของจํานวนในแตละขอตอไปนี้ในรูปเลขยกกําลัง
2.1 732
222 ×× =……………………………=…………………………………
2.2 ( ) ( ) ( )53
333 −×−×− =……………………………=………………………………
2.3 5 × 625 × 2
5 =……………………………=…………………………………
2.4 121 × 11 × 2
11 =……………………………=…………………………………
2.5 ( ) ( ) ( )734
333 −×−×− =……………………………=………………………………
59. 53
การหารเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดียวกันและฐานไมเทากับศูนยมีเลขชี้กําลังเปน
จํานวนเต็มบวกในรูปของ
3.2 การหารเลขยกกําลังเมื่อเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม
m
a ÷ n
a จะพิจารณาเปน 3 กรณี คือ เมื่อ m > n , m = n และ m <
n ดังนี้
กรณีที่ 1 m
a ÷ n
a เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m,n แทนจํานวนเต็มบวก
และ m > n พิจารณาการหารเลขยกกําลังตอไปนี้
1. 2
5
2
2
=
22
22222
×
××××
= 222 ××
= 3
2 หรือ 25
2 −
2.
7
5
3
3
=
33333
3333333
××××
××××××
= 2
3 หรือ 57
3 −
3. ( )
( )3
8
5
5
−
−
= ( )( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )555
55555555
−−−
−−−−−−−−
= ( )( )( )( )( )55555 −−−−−
= ( )5
5− หรือ ( ) 38
5
−
−
จากการหารเลขยกกําลังขางตนจะเห็นวา ผลหารเปนเลขยกกําลังที่มีฐานเปนจํานวนเดิม
และเลขชี้กําลังเทากับเลขชี้กําลังของตัวตั้ง ลบดวยเลขชี้กําลังของตัวหาร ซึ่งเปนไปตามสมบัติของ
การหารเลขยกกําลังดังนี้
เมื่อ a แทนจํานวนใด ๆ ที่ไมใชศูนย m , n แทนจํานวนเต็มบวก และ m > n
nm
aa ÷ = nm
a −