1. 43
บทเรียนสําเเร็จรูป
บทเรียนสํ ร็
ตามหลักเกณฑและวิธีการจัดการศึกษานอกโรงเรียน
หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544
หมวดวิชาคณิตศาสตร
ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
เรื่อง เซต
หนวยที่ 2
ความสัมพันธของเซต
ของเซต

2. 44
หนวยที่ 2
เรื่อง ความสัมพันธของเซต
นธ
จุดประสงคการเรียนรู 
จุดประสงคการเรียนรู
เมื่อผูเรียนเรียนจบเนื้อหาเรื่อง ความสัมพันธของเซตแลว ผูเรียนสามารถ
1. หาสับเซตของเซตที่กําหนดใหได
2. หาจํานวนสับเซตทั้งหมดของเซตที่กําหนดใหได
3. เขียนเพาเวอรเซตของเซตที่กําหนดใหได
4. บอกเอกภพสัมพัทธของเซตที่กําหนดใหได
5. เขียนแผนภาพเวนน - ออยเลอรแสดงความสัมพันธของเซตที่กําหนดใหได
สื่อการเรียน
สื่อการเรียน
บทเรียนสําเร็จรูป เรื่อง ความสัมพันธของเซต
คําาแนะนําาในการเรียน
คํ แนะนํ ในการเรียน
ในการเรียนเนื้อหาจากบทเรียนสําเร็จรูปนี้ ผูเรียนจะตองปฏิบัติดังนี้
1. ไมใหขีดเขียน หรือทําเครื่องหมายใด ๆ ทั้งสิ้นลงในบทเรียนสําเร็จรูป
2. ในการเรียนบทเรียนสําเร็จรูปนี้ ใหผเู รียนอานและศึกษาในหนาแรก
3. ตอบคําถามทายเนื้อหา โดยเลือกคําตอบที่ใหมา
4. เมื่อเลือกคําตอบแลว ใหผูเรียนดูเลขหนาที่ระบุไวทายคําตอบแลวเปดไปดูหนานั้น
5. ใหผูเรียนอานขอความในหนานั้น จะทําใหทราบวาคําตอบที่เลือกถูกหรือผิด ถาผิด
ใหทบทวนเนื้อหาในหนานั้นอีกครั้ง จากนั้นเปดตอไปยังหนาที่บอกตอ ๆ ไป ทําเชนนี้ไป
เรื่อย ๆ จนจบหนวย
6. เนื้อหา และกิจกรรมตาง ๆ ที่ผูเรียนศึกษานี้เปนบทเรียนไมใชขอสอบ
7. ผูเรียนตองมีความซื่อสัตยตอตนเอง โดยไมควรเปดดูเฉลยกอนที่จะตอบคําถาม
เพราะจะทําใหผูเรียนไมเขาใจเนื้อหาเทาที่ควร
8. หลังจากเรียนจบหนวยแลว ใหผูเรียนทําแบบฝกหัดประจําหนวย พรอมทั้งตรวจ
คําตอบดวยตนเองจากเฉลยทายบทเรียน

3. 45
สับเซต
บทนิยาม
บทนิยาม
กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ เรากลาววา A เปนสับเซตของ B
ก็ตอเมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B เขียนแทนดวย A ⊂ B
สัญลักษณ “ ⊂ ” อานวา เปนสับเซต
เชน A = {1, 2, 3}
B = {4, 3, 2, 1}
จะได A ⊂ B เพราะสมาชิกของ A เปนสมาชิกของ B
ลองคิด ลองทําา
ลองคิด ลองทํ
ถาให C = {2, 4, 6, 8} และ D = {2, 4, 6, 8, 10} ขอใดถูกตอง
ก. D ⊂ C
ข. C ⊂ D
ตอบ ขอ ก..
ตอบ ขอ ก เปดไปหนาา 55
เปดไปหน
ตอบ ขอ ข..
ตอบ ขอ ข เปดไปหน 3
เปดไปหนาา 113
1

4. 46
ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้
อีกครั้งนะคะ
• ถา U = {1, 2, 3, …}
A = {2, 4, 6}
B = {x ⏐ x เปนจํานวนนับ และ 6< x < 14}
จะได B = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
ดังนั้น A ⊂ U เพราะสมาชิกทุกตัวของ A อยูใน U
B ⊂ U เพราะสมาชิกทุกตัวของ B อยูใน U
A กับ B ไมมีสมาชิกรวมกัน
สามารถเขียนแสดงความสัมพันธดวยแผนภาพเวนน-ออยเลอร ไดดังนี้
U
1 3
5
13 7 9 A
8 10
11 12
B
เมื่อศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําาอีกครั้งในหนาา 17
ลองคิ ดลองทํ หน 17
2

5. 47
เกงมากคะที่ตอบขอ ก
จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร
จะได U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็ม} และ
{x ⏐x
A = {-1, -2, -3, …, -10 }
เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางลางไดเลยคะ...
จากกรอบข
แผนภาพเวนน - ออยเลอร
ถา A และ B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U และ A ⊂ B จะเขียนไดดงรูป
ั
U
B A
ลองคิด ลองทําา
ลองคิด ลองทํ
ถาให U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็มบวก}
U
B A
จากแผนภาพเวนน - ออยเลอรที่กําหนดให ขอใดถูกตอง
ก. A = {1, 3, 5, 7} B = {x ⏐x เปนจํานวนคี่ และ 1 < x < 7}
ข. A = {1, 3, 5, 7} B = {x ⏐x เปนจํานวนนับ และ 1 ≤ x < 10}
ตอบ ขอ ก..
ตอบ ขอ ก เปดไปหนาา 114
เปดไปหน 4
ตอบ ขอ ข..
ตอบ ขอ ข เปดไปหนาา 17
เปดไปหน 17
3

6. 48
เกงมากคะที่ตอบขอ ก
B = {2, 4, 6} P(B) = {∅, {2}, {4}, {6},
{2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}
จากกรอบ ...
เอกภพสัมพัทธ
บทนิยาม
เอกภพสัมพัทธ คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกทั้งหมดในขอบขายที่กําลัง
พิจารณาอยูในขณะนั้น เขียนแทนดวย U
เชน U = เซตของอักษรในภาษาอังกฤษ
A = เซตของสระในภาษาอังกฤษ
B = เซตของคําวา “Math”
ดังนั้น A ⊂ U , B ⊂ U
ลองคิด ลองทําา
ลองคิด ลองทํ
กําหนดให A = {1, 2, 3, ..., 10} ขอใดเปนเอกภพสัมพัทธของ A
ก. U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็มลบ }
ข. U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็มบวก}
ตอบ ขอ ก..
ตอบ ขอ ก เปดไปหนาา 110
เปดไปหน 0
ตอบ ขอ ข..
ตอบ ขอ ข เปดไปหน 0
เปดไปหนาา 220
4

7. 49
ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้
อีกครั้งนะคะ
จากบทนิยามกลาวไววา ถากําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ เรากลาววา
A เปนสับเซตของ B ก็ตอเมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B
จะเห็นไดวา
สมาชิกของ C ประกอบไปดวย 1, 3, 5, 7
สมาชิกของ D ประกอบไปดวย 3, 7, 5, 1, 9
ซึ่งสมาชิกทุกตัวของเซต C เปนสมาชิกของเซต D
เมื่อศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําาอีกครั้งในหนาา 1
ลองคิ ดลองทํ หน 1
5

8. 50
เกงมากคะที่ตอบขอ ก
-
จะได A = {1, 3, 5} และ
{1,
B = {x ⏐x 5 ≤ x < 13}
จากกรอบ ...
แผนภาพเวนน - ออยเลอร
ถา A และ B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U และ A กับ B มีสมาชิก
บางตัวซ้ํากัน จะเขียนไดดังรูป
U
B
A
ลองคิด ลองทําา
ลองคิด ลองทํ
ถาให U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็ม}
U
B
A
จากแผนภาพเวนน - ออยเลอรที่กําหนดให ขอใดถูกตอง
ก. A = {2, 4, 6, 8} B = {x ⏐x เปนจํานวนคู และ 8 < x < 18}
ข. A = {2, 4, 6, 8} B = {x ⏐x เปนจํานวนนับ และ 6 ≤ x < 10}
ตอบ ขอ ก..
ตอบ ขอ ก เปดไปหนาา 16
เปดไปหน 16
ตอบ ขอ ข..
ตอบ ขอ ข เปดไปหนาา 23
เปดไปหน 23 6

9. 51
จากบทนิยาม
ถากําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ เรากลาววา A เปนสับเซตของ B
ก็ตอเมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B
เซต A ไมเปนสับเซตของ B ถามีสมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของ A ที่ไม
เปนสมาชิกของ B เขียนแทนดวย A ⊄ B
ซึ่งสมาชิกทุกตัวของเซต C เปนสมาชิกของเซต D
ดังนั้น C เปนสับเซตของ D เขียนแทนดวย C ⊂ D
แต สมาชิกอยางนอยหนึ่งตัวของ D คือ 9 ไมเปนสมาชิกของ C
ดังนั้น D จึงไมเปนสับเซตของ C เขียนแทนดวย D ⊄ C
เมื่อศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําาอีกครั้งในหนาา 13
ลองคิ ดลองทํ หน 13
7

10. 52
ข
B = {x ⏐x 21 < x < 26}
B = {22, 23, 24, 25} B=4
= 2n = 24 = 16
จากกรอบ ...
ดังนั้น A เปนสับเซตแทของ B
. 19
. 11
1
8

11. 53
ถามีสมาชิกอยางนอย 1 ตัวของเซต A ไมเปนสมาชิกของ B หรือมีสมาชิก
อยางนอย 1 ตัวของเซต B ไมเปนสมาชิกของ A เรากลาววา A ไมเทากับ B เขียน
แทนดวย A ≠ B
•
B = {8, 4, 1}
•
เชน A = {1, 2} มีจํานวนสมาชิก 2 ตัว คือ 1 และ 2
B = {2, 2, 1} มีจํานวนสมาชิก 2 ตัว คือ 1 และ 2
ถือวา เซต A เทากับเซต B เขียนแทนดวย A = B
เมื่อศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําาอีกครั้งในหนาา 11
ลองคิ ดลองทํ หน 11
9

12. 54
ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้
อีกครั้งนะคะ
กครั
กําหนดเอกภพสัมพัทธ (U) เปนเซตของจํานวนนับ
ถา A = {x ⏐x เปนจํานวนนับ และ x ≤ 5}
B = {x ⏐3 ≤ x + 2 ≤ 14 }
C = {x ⏐x เปนจํานวนนับที่หารดวย 6 ลงตัว }
จะเห็นไดวา A ⊂ U , B ⊂ U, C ⊂ U
นั่นคือ ขอบขายที่กําลังพิจารณาอยูคือเซตที่ประกอบไปดวยสมาชิกที่เปน
จํานวนนับ
U = {1, 2, 3, …}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
ซึ่งสมาชิกทุกตัวของ A เปนจํานวนนับและอยูในเอกภพสัมพัทธ
ดังนั้น A ⊂ U
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
ซึ่งสมาชิกทุกตัวของ B เปนจํานวนนับและอยูในเอกภพสัมพัทธ
ดังนั้น B ⊂ U
C = {6, 12, 18, … }
ซึ่งสมาชิกทุกตัวของ C เปนจํานวนนับและอยูในเอกภพสัมพัทธ
ดังนั้น C ⊂ U
เมื่อศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําาอีกครั้งในหนาา 4
ลองคิ ดลองทํ หน 4
10

13. 55
เกงมากคะที่ตอบขอ ข
A = {1, 3, 5, 7} และ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
{1,
ดังนัน A เปนสับเซตแทของ C เพราะ A ⊂ B แต A ≠ B
้
เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางลางไดเลยคะ...
จากกรอบข
• กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ เรากลาววา A = B ก็ตอเมื่อ A ⊂ B
และ B ⊂ A หรือกลาวอีกอยางหนึ่งวา เซต A และเซต B จะเทากันก็ตอเมื่อเซตทั้ง
สองเหมือนกันทุกตัว เขียนแทนดวย A = B
เชน A = {1, 8, 4} และ B = {8, 4, 1}
จะได A = B เพราะ A ⊂ B และ B ⊂ A
ลองคิด ลองทําา
ลองคิด ลองทํ
ถาให A = {1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5} และ B = {1, 3, 1, 4, 4, 2, 5}
ขอใดถูกตอง
ก. A = B
ข. B ≠ A
ตอบ ขอ ก.. เปดไปหนาา 18
ตอบ ขอ ก เปดไปหน 18
ตอบ ขอ ข.. เปดไปหนาา 99
ตอบ ขอ ข เปดไปหน
11

14. 56
ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้
อีกครั้งนะคะ
กําหนดให
ดังนั้น A ⊂ U
U
U
A
20
12

15. 57
เกงมากคะที่ตอบขอ ข
C = {2, 4, 6, 8} และ D = {2, 4, 6, 8, 10}
{2,
ดังนัน C ⊂ D เพราะสมาชิกทุกตัวของ C
้
เปนสมาชิกของ D
เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางลางไดเลยคะ...
จากกรอบข
จะได A ⊄ B เพราะวา b เปนสมาชิกของ A แตไมเปนสมาชิกของ B
และจะได B ⊄ A เพราะวา i เปนสมาชิกของ B แตไมเปนสมาชิกของ A
ลองคิด ลองทําา
ลองคิด ลองทํ
ถาให C = {a, e, i, o} และ D = {e, u, a, o, i} ขอใดถูกตอง
ก. D ⊄ C และ C ⊂ D
ข. D ⊂ C และ C ⊄ D
ตอบ ขอ ก.. เปดไปหนาา 115
ตอบ ขอ ก เปดไปหน 5
ตอบ ขอ ข.. เปดไปหนาา 77
ตอบ ขอ ข เปดไปหน
13

16. 58
ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้
ลองทบทวนใหม
อีกครั้งนะคะ
A = {2, 4, 6, 8}
จะได B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 10}
U
10 2 6
4 A
9 8
5 3
B 7
เมื่อศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําาอีกครั้งในหนาา 3
ลองคิ ดลองทํ หน 3
14

17. 59
ก
C = {a, e, i, e} D = {e, u, a, e, i}
C⊂D C
D D C
เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางลางไดเลยคะ...
จากกรอบข
ก. 24
ตอบ ขอ ก..
ตอบ ขอ ก เปดไปหนาา 22
เปดไปหน 22
. 8
15

18. 60
ลองทบทวนใหมจากกรอบขางลางนี้
อีกครั้งนะคะ
• ถา U = {1, 2, 3, …}
A = {3, 5, 7, 9}
U
10
B 8 9 3 7 A
5
6
16

19. 61
เกงมากคะที่ตอบขอ ข
จากแผนภาพเวนน-ออยเลอร
A = {1, 3, 5, 7} และ
B = {x ⏐x เปนจํานวนนับ และ 1 ≤ x < 10}
จากกรอบ ...
แผนภาพเวนน - ออยเลอร
ถา A และ B เปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ U และ A กับ B ไมมสมาชิก
ี
รวมกัน จะเขียนไดดงรูป
ั
A
B
ลองคิด ลองทําา
ลองคิด ลองทํ
ถาให U = {x ⏐x เปนจํานวนเต็ม}
B
. 6
. 2
17

20. 62
ก
A=B A 1, 2, 3, 4, 5 และ
B 1, 2, 3, 4, 5
เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางลางไดเลยคะ...
จากกรอบข
บทนิยาม
กําหนดให A เปนเซตใด ๆ เพาเวอรเซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเปน
สับเซตทั้งหมดของเซต A เขียนแทนดวย P(A)
เขียนใหอยูในรูปเซต นั่นคือ P(A) = { x ⏐x ⊂ A }

วิธีเขียนเซต
ถา A เปนเซตใด ๆ ที่มีสมาชิก n ตัว การหาจํานวนสับเซตของ A = 2n
การเขียนสับเซต จะตองเขียนเซตซึ่งประกอบดวย
1. เซตวาง
2. เซตที่ประกอบไปดวยสมาชิก 1 ตัว
3. เซตที่ประกอบไปดวยสมาชิก 2 ตัว
4. เซตที่ประกอบไปดวยสมาชิก n ตัว
เชน A = {1, 2}
จะไดสับเซตของ A คือ ∅, {1}, {2}, {1, 2}
ก. P(B) = {∅, {2}, {4}, {6}, {2, 4}, {2, 6}, {4, 6}, {2, 4, 6}}
. 4
18
. 21

21. 63
A เปนสับเซตแทของ B ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซตA เปนสมาชิกของ
เซต B นั่นก็คอ เซต A เปนสับเซตของเซต B แต เซต A ไมเทากับเซต B นั่นก็คือ
ื
เซต A มีจํานวนสมาชิกไมเทากับเซต B
เชน
A = {2, 4, 6, 8}
B = { x ⏐x เปนจํานวนคู และ 2 ≤ x ≤ 8 }
จะได B = {2, 4, 6, 8}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
ดังนั้น
A ไมเปนสับเซตแทของ B เพราะ เซต A เทากับ B (เขียนแทนดวย A = B )
A เปนสับเซตแทของ C เพราะ สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ C แต
เซต A ไมเทากับ C (เขียนแทนดวย A ≠ C )
เมื่อศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิดลองทําาอีกครั้งในหนาา 8
ลองคิ ดลองทํ หน 8
19

22. 64
เกงมากคะที่ตอบขอ ข
A = {1, 2, 3, …, 10} ดังนั้น เอกภพสัมพัทธของ A คือ
U={ }
เมื่อเขาใจแลว ศึกษาเนื้อหาใหมจากกรอบขางลางไดเลยคะ...
จากกรอบข
แผนภาพเวนน - ออยเลอร
U
U
A
ลองคิด ลองทําา
ลองคิด ลองทํ
A
จากแผนภาพเวนน - ออยเลอรที่กําหนดให ขอใดถูกตอง
ตอบ ขอ ก..
ตอบ ขอ ก เปดไปหนาา 33
เปดไปหน
ตอบ ขอ ข..
ตอบ ขอ ข เปดไปหนาา 112
เปดไปหน 2 20

23. 65
• เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวเอง นันคือ ถา A เปนเซตใด ๆ แลว A⊂A
• ่
•
2. เซตที่ประกอบไปดวยสมาชิก 1 ตัว นั่นคือ {1}, {2}, {3}
เมื่อศึกษาเขาใจแลว ใหกลับไปลองคิิดลองทําาอีกครั้งในหนาา 18
ลองค ดลองทํ
ลองคิ หน 18
21

24. 66
ะ
จําานวนสับเซตของเซต = 2nn
จํ นวนสับเซตของเซต = 2
15
22

25. 67
ข
-
A = {2, 4, 6, 8} และ
B = {x ⏐x 6 ≤ x < 10}
A B A
B A⊂B
จํานวนสับเซตของเซต = 2n
A A
P(A)
เอกภพสัมพัทธ คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชิกทั้งหมดในขอบขายที่
กําลังพิจารณาอยูในขณะนั้น เขียนแทนดวย U
–
-
23

26. 68
2
ถาามั่นใจแลวเชิญทําาแบบฝกหัดประจําา
ถ มั่นใจแลวเชิญทํ แบบฝกหัดประจํ
หนวยที่ ่ 2 ไดเเลยคะ
หนวยที 2 ได ลยคะ
24