1. สรุปเนื้อหาวิชา เซต
นิยาม : เซตเปนอนิยาม คือ ไมมีนิยามนั่นเอง
เมื่อพูดถึง เซต ใหนึกถึง ”กลุม” ซึ่งกลุมนั้นอาจจะมีสมาชิก หรือไมมีสมาชิกก็ได
สําหรับเซตซึ่งมีสมาชิก สามารถแบงไดเปน 2 ประเภท คือ สมาชิกมีจํานวนที่แนนอน --> เราเรียกเซตนั้นวา “เซตจํากัด” หาก
จํานวนสมาชิกมีจํานวนมากมายไมสามารถบอกปริมาณที่แนนอนไดเราเรียก “เซตอนันต”
การเขียนเซต
นิยมทํากัน 2 วิธี คือ 1. แบบแจกแจงสมาชิก, 2. แบบบอกเงื่อนไข
ก. แบบแจกแจงสมาชิก
เชน A = {1, 2,3} อานวา A เปนเซตซึ่งมีสมาชิกเปน 1, 2 และ 3
ข. แบบบอกเงื่อนไข
เชน A = { x ∈ I + 4 < x < 6} อานวา A เปนเซตของ x ซึ่ง x เปนสมาชิกของจํานวนเต็มบวก โดยที่ x มีคามากกวา 4 แตนอยกวา 6

ซึ่ง เราสามารถที่จะเขียนแทนเซต A ไดดวยการแจกแจงสมาชิก คือ A ={5}
สัญลักษณที่ใชในเซต
1. ∈ แทน เปนสมาชิก
เชน 2 ∈ I+ อานวา 2 เปนสมาชิกของจํานวนเต็มบวก
2. U แทน เอกภพสัมพัทธ
ใชเพื่อกําหนดขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจและกําลังศึกษา
3. ∅,{ } แทน เซตวาง
สัญลักษณของระบบจํานวนที่พบบอย
R : จํานวนจริง
Q : จํานวนตรรกยะ Q’ : จํานวนอตรรกยะ
I: จํานวนเต็ม เศษสวน ทศนิยมซ้ํา
I-: จํานวนเต็มลบ I0: จํานวนเต็ม 0 I+: จํานวนเต็มบวก
การเทากันของเซต
1. จํานวนสมาชิกเทากัน 2. สมาชิกเหมือนกัน
การเทียบเทากันของเซต
1. จํานวนสมาชิกเทากัน
การกําหนดเซต
จะตอง 1.) มีสมาชิกแนนอน หรือ ไมมีสมาชิกเลย
2.) หากกําหนดเปนแบบบกเงื่อนไข จะตองไมกํากวม คือ ทุกคนตองตอบเหมือนกัน
ตัวอยางของการกําหนดเซตที่ไมถูกตอง
ใหเซต A แทนเซตของคนที่หลอที่สุดในโรงเรียน เปนตน

2. สับเซต สัญลักษณ ⊂
A ⊂ B อานวา “A เปนสับเซตของ B”
นิยาม : A จะเปนสับเซตของ B ได ก็ตอเมื่อ สมาชิกทุกตัวในเซต A ตองอยูในเซต B
ขอควรจํา : เซตวางเปนสับเซตของทุกเซต
ตัวอยางการหาสับเซต
ตย.1 จงหาสับเซตที่เปนไปไดทั้งหมดของ A เมื่อ A = {1, 2}
สับเซต A = ∅ , {1}, {2}, {1,2}
จะสังเกตไดวา แตละเซตของสับเซต A เชน {1} มีสมาชิกหนึ่งตัว คือ 1 ซึ่งก็เปนสมาชิกของ A ดวยเชนกัน
จํานวนสับเซตของ A มีทั้งหมด 4 เซต
ตย.2 จงหาสับเซตที่เปนไปไดทั้งหมดของ B เมื่อ B = {3, 4, 5}
สับเซต B = ∅ , {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5}
จํานวนสับเซตของ B มีทั้งหมด 8 เซต
จาก ตย.1 และ ตย.2 จะสามารถสังเกตไดวา จํานวนสับเซตมีความสัมพันธกับจํานวนสมาชิกของเซตเดิมคือ
จํานวนสับเซต = 2 ยกกําลังจํานวนสมาชิกของเซตเดิม = 2n เมื่อ n คือจํานวนสมาชิกของเซตเดิม
สับเซตแท คือสับเซตที่ไมใชเซตเดิม
เชน A = {1, 2} สับเซต A = ∅ , {1}, {2}, {1,2}
สับเซตแท สับเซตไมแท
การ Operation ของเซต
1. Union : รวม -> สัญลักษณ ∪ 2. Intersection : เหมือน -> สัญลักษณ ∩
3. Difference : ตาง -> ลัญลักษณ - 4. Complement : ไมเอา -> สัญลักษณ ‘
ตัวอยางการใชงาน
U = {1, 2, 3, 4, …, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}
1. Union : A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} ; B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10} -> A ∪ B = B ∪ A
2. Intersection : A ∩ B = {2, 4} ; B ∩ A = {2, 4} -> A ∩ B = B ∩ A
3. Difference : A - B = {1, 3, 5} ; B – A = {6, 8, 10} -> A – B ≠ B – A
จํางาย ๆ วา : เปนสมาชิกที่อยูเฉพาะในเซตหนา ไมอยูในเซตหลัง
4. Complement : A’ = {6, 7, 8, 9, 10} ; B’ = {1, 3, 5, 7, 9}
ไมเอาสมาชิกในเซตที่มีเครื่องหมาย ‘ แตสมาชิกที่ไดยังคงตองอยูใน U
สมบัติของการ Operation
1. A ∪ B = B ∪ A การสลับที่
2. A ∩ B = B ∩ A
3. A ∪ ∅ = A
4. A ∩ ∅ = ∅ เอกลักษณ
5. A ∪ U = U
6. A ∩ U = A
7. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C การเปลี่ยนกลุม
8. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

3. 9. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
10. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) การกระจาย
11. A – (B ∩ C) = (A – B) ∩ (A – C)
12. A – (B ∪ C) = (A – B) ∪ (A – C)
13. (A’)’ = A
14. (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ สมบัติของ Complement
15. A ∪ A’ = U
16. A ∩ A’ = ∅
17. **A - B = A ∩ B’ = B’ – A’ ** Difference
18. A – B ≠ B – A
เพาเวอรเซต (Power Set)
คือ เซตของสับเซต
เชน A = {1, 2} -> Subset A = ∅ , {1}, {2}, {1, 2}
Power Set A = { ∅ , {1}, {2}, {1, 2}}
ความสัมพันธของ Power Set กับการ Operation
P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)
P(A ∪ B) ≠ P(A) ∪ P(B)
ถา A ⊂ B แลว P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) -> ดังนั้นสามารถสรุปไดวา P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B)
P(A – B) ≠ P(A) – P(B)
แผนภาพเวนน – ออยเลอร เปนแผนภาพหรือสัญลักษณแทนการแจกแจง
ประโยชน คือ ทําใหงายตอการทําความเขาใจและการคํานวณ
แทน U เอกภพสัมพัทธดวย กรอบสี่เหลี่ยม
แทนเซตตาง ๆ ดวยวงกลมในกรอบ
การหาจํานวนสมาชิกของเซต
สามารถพิสูจนไดจากการเขียนแผนภาพเวนน – ออยเลอร
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
สําหรับเนื้อหาในเรื่องเซต สรุปคราว ๆ ไดดังแสดงไวดานบน
ตอจากนี้ลองทําโจทยดูนะครับ
ใหเนนเรื่องนิยาม คําจํากัดความ และหลักการกอน สวนเทคนิคจะคอย ๆเพิ่มพูนจากการทําโจทยนะครับ
จากนั้นใหเนนในเรื่องการเขียนแผนภาพโดยเฉพาะพวกโจทยที่มี เชา เย็น, ฝนตก ไมตก
ขอใหสนุกนะครับ
ณัฐ