4. สาระการเรียนรู
จํานวนจริง ( Real Number )
แผนภูมิแสดงความสัมพันธของจํานวนชนิดตางๆ
จํานวนเชิงซอน
จํานวนจริง จํานวนเชิงซอนที่ไมใชจํานวนจริง
จํานวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะ
จํานวนตรรกยะที่ไมใชจํานวนเต็ม จํานวนเต็ม
จํานวนเต็มลบ ศูนย จํานวนเต็มบวก
หรือจํานวนนับ
จํานวนตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่สามารถเขียนอยูในรูปของเศษสวนได โดยที่สวนไมเปนศูนย
a
Q = { x / x = ,
b
เมื่อ a , b Î I และ b ¹ 0 }
จํานวนอตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่ไมสามารถเขียนอยูในรูปของเศษสวนได
ตัวอยาง 3
4
เปนจํานวนตรรกยะ
-15 เปนจํานวนตรรกยะ
3 เปนจํานวนอตรรกยะ
5. 4 + 25 เปนจํานวน ตรรกยะ
1.732… เปนจํานวนอตรรกยะ
1.3356 เปนจํานวน ตรรกยะ
การเทากันในระบบจํานวนจริง
ขอตกลงพื้นฐานที่ไมพิสูจน จะมีสมบัตดังนี้ ให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ
ิ
1. สมบัติการสะทอน a = a
จํานวนจริงใดๆยอมเทากับจํานวนจริงนันเสมอ ้
เชน 5 = 5 เปนตน
2. สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a
เชน ถา 2+3 = 5 แลว 5 = 2+3
3. สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c
เชน ถา 6+5 = 11 และ 11 = 11 ´ 1 แลว 6+5 = 11 ´ 1
4. สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน ถา a = b แลว a+c = b+c
เชน ถา x = 6 แลว x + 3 = 6+3
5. สมบัติการคูณดวยจํานวนทีเ่ ทากัน ถา a = b แลว ac = bc
เชน ถา x = 5 แลว 4x = 4 ´ 5 = 20
การบวกและการคูณในระบบจํานวนจริง
นิยาม ในระบบจํานวนจริง เรียกจํานวนจริงที่บวกกับจํานวนจริงจํานวนใดก็ตามแลวได
จํานวนจริงจํานวนนั้นวา “ เอกลักษณการบวก”
จะได เอกลักษณการบวกคือ ศูนย ( 0) เพราะ 0 + a = a = a + 0 เมื่อ a เปนจํานวนจริงใดๆ
นิยาม ในระบบจํานวนจริง อินเวอรสการบวกของจํานวนจริง a ( ใชแทนดวยสัญลักษณ - a )
หมายถึง
จํานวนจริงที่บวกกับ a แลวได เอกลักษณการบวก คือ 0 กลาวคือ a + ( – a) = 0 = ( – a) + a
เชน เอกลักษณการบวกของ 2 คือ - 2
เพราะ 2 + ( - 2 ) = 0 หรือ ( - 2 ) + 2 = 0
5
เอกลักษณการบวกของ คือ - 5
6 6
5
เพราะ + ( - 5 ) = 0 หรือ ( - 5 ) + 5 = 0 เปนตน
6 6 6 6
6. สมบัติของจํานวนจริงเกี่ยวกับการบวก
กําหนดให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ
1. สมบัติการปดของการบวก
ถา aÎ R และ bÎ R แลว a + b Î R
เชน ถา 5 Î R และ 2 Î R แลว 5 + 2 R
Î
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก
ในการบวกจํานวนจริงสองจํานวนเมื่อสลับที่จํานวนทั้งสองนั้นแลว ผลบวกจะ
เทาเดิม นั่นคือ
a + b = b + a
เชน 6 + (-8) = ( -8 ) + 6 = -2
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุมของการบวก
ในการบวกจํานวนจริงสามจํานวน จะบวกสองจํานวนหลังกอนหรือสองจํานวน
แรกกอน ผลบวกจะเทาเดิม นั่นคือ
a + (b + c) = (a + b) + c
เชน 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
2 + 7 = 5 + 4
9 = 9 เปนตน
4. สมบัติการมีเอกลักษณ
ในระบบจํานวนจริงมี 0 (ศูนย) เปนเอกลักษณการบวก นันคือ
่
a + 0 = a = 0 + a
เชน (-15) + 0 = -15 = 0 + ( -15) เปนตน
5. สมบัติการมีอินเวอรสการบวก
ในระบบจํานวนจริง ถา a เปนจํานวนจริงจะมี จํานวนจริง –a ซึ่ง
a + ( -a) = 0 = ( -a ) + a
เชน อินเวอรสการบวกของ 12 คือ - 12 เพราะ
12 + ( -12) = 0 = ( -12) + 12
3
อินเวอรสการบวกของ คือ - 3 เพราะ
5 5
3
+ (- 3 ) = (- 3 ) + 3
= 0 เปนตน
5 5 5 5
7. สมบัติจํานวนจริงเกี่ยวกับการคูณ
ให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ
บทนิยาม ในระบบจํานวนจริง เรียกจํานวนจริงที่ไมเปนศูนยซึ่งคูณกับจํานวนจริงจํานวนใดก็ตาม
ไดผลลัพธเปนจํานวนจริงจํานวนนันวา เอกลักษณการคูณ
้
ในระบบจํานวนจริงมี 1 เปนเอกลักษณของการคูณ เพราะวา
a ´ 1 = a = 1 ´ a
เชน 56 ´ 1 = 56 = 1 ´ 56 เปนตน
บทนิยาม ในระบบจํานวนจริง อินเวอรสการคูณของจํานวนจริง a ¹ 0 ( ใชแทนดวยสัญลักษณ a -1 )
หมายถึง จํานวนทีคูณกันกับ a แลวได 1 นั่นคือ
่
a ´ a -1 = 1 = a -1 ´ a
เชน อินเวอรสการคูณของ 3 คือ 3 -1 เพราะ
3 ´ 3 -1 = 1 หรือ 3 -1 ´ 3 = 1 เปนตน
8. สมบัติของจํานวนจริงเกี่ยวกับการคูณ
การคูณจํานวนจริงมีสมบัติปดของการคูณ สมบัติการสลับที่ของการคูณ สมบัติการ
เปลี่ยนกลุมของการคูณ การมีเอกลักษณของการคูณ และการมีอินเวอรสของการคูณ ในทํานองเดียวกับสมบัติ
เกี่ยวกับการบวก นอกจากนันเมื่อพิจารณาทั้งการบวกและการคูณยังมีสมบัติอีกขอหนึ่ง คือ
้
สมบัติการแจกแจง กลาวคือ
a (b + c) = (ab) + (ac)
เชน 2(3 + 4) = (2 ´ 3) + (2 ´ 4)
2 ´ 7 = 6 + 8
14 = 14 เปนตน
หมายเหตุ ในระบบจํานวนจริงจะกลาวถึงสมบัติของการบวกและการคูณเทานั้น เพราะ การ
ลบจะหมายถึงการบวกและการหารจะหมายถึงการคูณ กลาวคือ
a - b หมายถึง a + ( -a) และ
a
หมายถึง a ´ 1
b b
เชน 5 – 8 หมายถึง 5 + ( -8)
7
หมายถึง 7 ´ 1
8 8
สรุป สมบัติของระบบจํานวนจริง
สมบัติ การบวก การคูณ
ปด 1. a + b Î R 6. ab Î R
การสลับที่ 2. a + b = b + a 7. ab = ba
การเปลี่ยนกลุม 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. ( ab )c = a ( bc )
การมีเอกลักษณ 4. มีจํานวนจริง 0 ซึ่ง 9. มีจํานวนจริง 1 , 1 ¹ 0 ซึ่ง
0 + a = a = a + 0 1a = a
การมีอินเวอรส 5. สําหรับ a จะมีจํานวนจริง –a 10. สําหรับ a ที่ไมเปน 0 จะมี
โดยที่ จํานวนจริง a -1 โดยที่
(-a) + a = 0 = a + ( -a) ( a -1 )a = 1 = a( a -1 )
อาน -a วาอินเวอรสการบวกของ a อาน a -1 วาอินเวอรสการคูณของ a
การแจกแจง 11. a (b + c) = (ab) + (ac)
9. นอกจากสมบัติทั้ง 11 ประการนี้แลว ระบบจํานวนจริงจะมีระบบยอย R + ซึ่ง
R + Ì R มีสมบัติเพิ่มเติมอีก 3 ประการ คือ
12. 0 Ï R + และถา a เปนจํานวนจริงที่ a ¹ 0 แลวตองเปนไปประการใดประการหนึ่ง
เทานั้นคือ
ก. a Î R + หรือ
ข. –a Î R + , a < 0 ( a เปนจํานวนจริงลบ)
13. ถา a , b Î R + แลว a + b Î R +
14. ถา a , b Î R + แลว ab Î R +
นอกจากนี้ ระบบจํานวนจริงยังมีสมบัติสําคัญอีกประการหนึ่งคือ สมบัติความบริบูรณ ซึ่งจะ
กลาวถึงภายหลัง สมบัติทั้ง 15 ประการนี้เปนสมบัติพื้นฐานเฉพาะของระบบจํานวนจริง ทําใหระบบ
จํานวนจริงมีโครงสรางเฉพาะตัวที่มีขอแตกตางจากระบบจํานวนอื่นๆ
จากสมบัติทั้งหมดใชในการพิสูจนทฤษฎีตอไปนี้
ทฤษฎีบทที่ 1 (กฎการตัดออกสําหรับการบวก) เมื่อ a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ
ถา a + c = b + c แลว a = b
ถา a + b = a + c แลว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2 (กฎการตัดออกสําหรับการคูณ) เมื่อ a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ
ถา ac = bc และ c ¹ 0 แลว a = b
ถา ab = ac และ a ¹ 0 แลว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เปนจํานวนจริงใดๆ
a(0) = 0
0(a) = 0
ทฤษฎีบทที่ 4 ถา a เปนจํานวนจริงใดๆ
( - 1 )a = - a
10. ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ
ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6 เมือ a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ
่
1. a(- b) = - ab
2. (-a)b = - ab
3. (- a)( - b) = ab
11. การบวกและการลบจํานวนจริง
นิยาม เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ a – b = a + (-b)
นิยาม เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ b ¹ 0 , a = a ( b -1
)
b
ทฤษฎีบทที่ 7 เมือ a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ
่
1. a(b – c) = ab - ac
2. (a – b)c = ac - bc
3. ( - a)(b – c) = - ab + ac
ทฤษฎีบทที่ 8 ถา a ¹ 0 จะได a -1 ¹ 0
a
( )
ทฤษฎีบทที่ 9 1. b = a เมื่อ b , c ¹ 0
c bc
2. a = ac เมื่อ b , c ¹ 0
b bc
3. a + c = ad + bc เมื่อ b , d ¹ 0
b d bd
4. ( a )( c ) = ac เมื่อ b , d ¹ 0
b d bd
5. ( ) =
b -1 c
เมื่อ b , c ¹ 0
c d
12. การไมเทากัน
ในจํานวนจริง ใชสัญลักษณ < , > , £ , ³ และ ¹ แทน ความสัมพันธ
นอยกวา มากกวา นอยกวาหรือเทากับ มากกวาหรือเทากับ และไมเทากับ ตามลําดับ
ถา a และ b เปนจํานวนจริง สัญลักษณ a < b หมายความวา a มีคานอยกวา b
และ สัญลักษณ a > b หมายความวา a มีคามากกวา b
สมบัติของการไมเทากัน
นิยาม สมบัติไตรวิภาค ( trichotomy property )
ถา a และ b เปนจํานวนจริง แลว a = b , a < b และ a > b
จะเปนจริงเพียงอยางใดอยางหนึง เทานัน
่ ้
นิยาม
a £ b หมายถึง a นอยกวาหรือเทากับ b
a ³ b หมายถึง a มากกวาหรือเทากับ b
a < b < c หมายถึง a < b และ b < c
a £ b £ c หมายถึง a £ b และ b £ c
a < b £ c หมายถึง a < b และ b £ c
a £ b < c หมายถึง a £ b และ b < c
13. สมบัติการไมเทากัน
ให a ,b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ
1. สมบัติการถายทอด
ถา a > b และ b > c แลว a > c
เชน ถา 15 > 8 และ 8 > - 4 แลว 15 > - 4 เปนตน
2. สมบัติการบวกดวยจํานวนทีเ่ ทากัน
ถา a > b แลว a + c > b + c
เชน ถา 5 > 3 แลว 5 + ( - 6 ) > 3 + (- 6)
- 1 > -3 เปนตน
3. จํานวนบวกและจํานวนลบเปรียบเทียบกับ 0
a เปนจํานวนบวก ก็ตอเมื่อ a > 0
a เปนจํานวนลบ ก็ตอเมื่อ a < 0
4. สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน
4.1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc
เชน ถา 7 > 3 แลว 7(5) > 3(5)
35 > 15 เปนตน
4.2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc
เชน ถา 6 > 4 แลว 6( -2) < 4( -2)
-12 < -8
5. สมบัติการตัดออกการบวก
ถา a + c > b + c แลว a > b
เชน 56 + 23 > 35 + 23 แลว 56 > 35
6. สมบัติการตัดออกของการคูณ
6.1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b
เชน 13(7) > 8(7) แลว 13 > 8
6.2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b
เชน 5 ( -3) > 7( -3) แลว 5 < 7
- 15 > - 21
14. ชวงและการแกอสมการ
บทนิยาม เมือเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง และ a < b
่
ชวงเปด ( a , b ) หมายถึง { x / a < x < b }
ชวงปด [ a , b ] หมายถึง { x / a £ x £ b }
ชวงครึ่งเปด ( a , b ] หมายถึง { x / a < x £ b }
ชวงครึ่งเปด [ a , b ) หมายถึง { x / a £ x < b }
ชวง ( a , ¥ ) หมายถึง { x / x > a }
ชวง [ a , ¥ ) หมายถึง { x / x ³ a }
ชวง ( - ¥ , a ) หมายถึง { x / x < a }
ชวง ( - ¥ , a ] หมายถึง { x / x £ a }
ชวง ( - ¥ , ¥ ) หมายถึง { x / x Î R }
จากสมบัติดังกลาวจะนําไปใชในการแกอสมการ
เชน
ตัวอยาง จงหาคาของ x เมื่อ 3x + 7 ³ 19
วิธีทํา จาก 3x + 7 ³ 19
บวกดวย - 7 3x + 7 +(-7) ³ 19 +(-7)
3x ³ 12
คูณดวย 1 3x( 1 ) ³ 12( 1 )
3 3 3
x ³ 4
คําตอบคือ { x / x ³ 4 } = +¥
4
15. ตัวอยาง จงหาคาของ x เมื่อ x 2 +5x + 6 £ 0
วิธีทํา จาก x 2 +5x + 6 £ 0
เนื่องจาก x 2 +5x + 6 = ( x + 2)(x + 3)
ดังนั้น จะได
( x + 2)(x + 3) £ 0
พิจารณา ( x + 2)(x + 3) £ 0 ก็ตอเมื่อ กรณีที่ 1 x+2 ³ 0 และ x + 3 £ 0
กรณีที่ 2 x+2 £ 0 และ x + 3 ³ 0
พิจารณาคําตอบกรณีที่ 1
x+2 ³ 0 และ x + 3 £ 0
x ³ - 2 และ x £ - 3
+¥
2
+¥
3 +¥
2
คําตอบกรณีที่ 1 จะไดคาของ x คือ { x / x ³ - 2 }
พิจารณาคําตอบกรณีที่ 2
x+2 £ 0 และ x + 3 ³ 0
x £ - 2 และ x ³ - 3
16. คาสัมบูรณ ( Absolute value , Modulus)
บทนิยาม
ให a เปนจํานวนจริงใดๆ
ì a เมื่อ a > 0
ï
a = í 0 เมื่อ a = 0
î - a เมื่อ a < 0
ï
5 = 5
เชน - 5 = - ( 5 = 5
- )
0 = 0
ทฤษฎีบทคาสัมบูรณ
เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริงใดๆ
1. x = - x
เชน 13 = - 13 = 13
2. xy = x y
2( 3 = 2 - 3
- )
เชน - 6 = 2 ´ 3
6 = 6
3. x
=
x
y y
15 15
=
- 3 - 3
เชน - 5 =
15
3
5 = 5
4. x - y = y - x
4 - 7 = 7 - 4
เชน - 3 = 3
3 = 3
5. ( x )
2 2
= x
( - 6 ) 2
= (- 6
)2
เชน 2
(6 ) =
36
36 = 36
17. 6. x + y £ x + y
5 + ( 8 < 5 + - 8
- )
เชน - 3 < 5 + 8
3 < 13
7. เมือ a เปนจํานวนจริงบวก
่
7.1 x < a ความหมายตร งกับ - a < x < a
7.2 x £ a ความหมายตร งกับ - a £ x £ a
ตัวอยางที่ 1
จงหาคาของ x เมื่อ x < 3
วิธีทํา จาก x < 3
¥ +¥
คาของ x คือ { x / - 3 < x < 3 } =
3 3
ตัวอยางที่ 2
จงหาคาของ x เมื่อ x + 5 £ 7
วิธีทํา จาก x + 5 £ 7
จะได – 7 £ x + 5 £ 7
– 7 – 5 £ x £ 7 – 5
– 12 £ x £ 2
¥
คําตอบ { x / – 12 £ x £ 2 } = 12 2
8. เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก
8.1 x > a ความหมายตรงกับ x < - a หรือ x > a
8.2 x ³ a ความหมายตรงกับ x £ - a หรือ x ³ a
ตัวอยางที่ 1
จงหาคาของ x เมื่อ x > 9
วิธีทํา จาก x > 9
คาของ x ที่แทนอสมการเปนจริง คือ x < - 9 หรือ x > 9
คําตอบ { x / x < - 9 หรือ x > 9 } =
¥ +¥
9 9
18. ตัวอยางที่ 2
จงหาคาของ x เมื่อ x + 2 ³ 8
วิธีทํา จาก x + 2 ³ 8
จะได x + 2 £ - 8 หรือ x + 2 ³ 8
x £ - 8 - 2 หรือ x ³ 8 - 2
x £ - 10 หรือ x ³ 6
+¥
คําตอบคือ { x / x £ - 10 หรือ x ³ 6 } =
¥
10 6
หมายเหตุ
ถา a เปนจํานวนจริงลบ
x < a คาของ x จะเปนเซตวาง
เชน x < - 20 จะได x = f
x > a คาของ x จะเปนจํานวนจริง
เชน x > - 16 คาของ x = R
