เฉลยการวัดตำแหน่งและกระจาย

1
เฉลยใบกิจกรรมชุดที่ 2
1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 9 คน ดังนี้
35 31 42 43 30 35 49 48 25 จงหา
1) Q1 = 30.5 , D5 = 35 และ P60 = 42
2) Q3 = 45.5 , D4 = 35 และ P80 = 48
2. คะแนนสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียน 10 คน ดังนี้
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 จงหา
1) Q1 = 12.75 , D5 = 15.5 และ P60 = 16.6
2) Q3 = 18.25 , D4 14.4 และ P80 = 18.8
3. ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาสถิติของนักเรียน 40 คน ดังนี้
คะแนน 3 - 5 6 - 8 9 - 11 12 - 14 15 - 17
จานวน(คน) 4 6 10 12 8
จงหา Q2 , D4 และ P75
4. ตารางแจกแจงความถี่แสดงคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
จานวน 50 คน จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนน 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 -39
จานวน(คน) 3 7 10 14 9 7
จงหา Q3 = 31.44 , D7 = 30.06 และ P20 = 19.5
5. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 60 คน เป็นดังนี้
คะแนน 11 - 20 21 - 30 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 - 70 71 - 80 81 - 90
จานวน 1 2 4 12 20 10 5 6
1) นายเอสอบได้ 56 คะแนน อยู่ตาแหน่งเปอร์เซนไตล์ที่เท่าใด ตอบ P50
2) นางสาวบีสอบได้ 66.5 คะแนน อยู่ตาแหน่งควอร์ไทล์ที่เท่าใด ตอบ Q3
3) นายเอฟสอบได้ 75.5 คะแนน อยู่ตาแหน่งเดไซล์ที่เท่าใด ตอบ D8.58
6. ข้อมูลต่อไปนี้เป็นคะแนนสอบวิชา สถิติ ของนักเรียน 40 คน
คะแนน 20 - 26 27 - 33 34 - 40 41 - 47 48 - 54
จานวน(คน) 6 12 18 3 1
จงหา
1) สมชายสอบได้คะแนน 35.5 คะแนน อยู่ตาแหน่งเปอร์เซนไตล์ที่เท่าใด
ตอบ 57.85
2) สมลักษณ์สอบได้คะแนน 50 คะแนน อยู่ตาแหน่งเดไซล์ที่เท่าใด
ตอบ 9.84
3) จงหาคะแนนต่าสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 30 % ของนักเรียนทั้งชั้น
ตอบ 4.28 + 33.5 = 37.78
4) จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนต่าสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น 20 % ของนักเรียนทั้งชั้น
ตอบ 1.17 + 26.5 = 27.67

2
เฉลยใบกิจกรรมชุดที่ 3
1. ครอบครัวหนึ่งมีบุตรเท่ากัน ครอบครัวละ 5 คน ซึ่งบุตรแต่ละคนมีอายุดังนี้
ครอบครัวสมชาย 7 12 16 20 25
ครอบครัวสมศักดิ์ 6 9 12 15 18
จงเปรียบเทียบตารางการกระจายของครอบครัวของอายุบุตรของครอบครัวทั้งสอง
ค่าสถิติ
อายุบุตร (ปี )
ครอบครัวสมชาย ครอบครัวสมศักดิ์
1. ค่าควอร์ไทล์ที่ 1 ( Q1) 9.5 7.5
2. ค่าควอร์ไทล์ที่ 3 ( Q3) 22.5 16.5
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) 16 12
4. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ( Q.D.) 6.5 4.5
5. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.) 5.2 3.6
6. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( S.D.) 6.96 4.74
7. สัมประสิทธิ์ของพิสัย =
minmax
minmax
xx
xx

 0.56 0.5
8. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
=
13
13
QQ
QQ


0.41 0.375
9. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย = 
X
.D.M 0.33 0.3
10. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของแปรแปรผัน = 
X
.D.S 0.44 0.395
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
2. ครอบครัวหนึ่งมีบุตรเท่ากัน ครอบครัวละ 6 คน ซึ่งบุตรแต่ละคนมีอายุดังนี้
ครอบครัวที่ 1 8 14 18 20 23 25
ครอบครัวที่ 2 5 6 9 12 16 18
จงเปรียบเทียบตารางการกระจายของครอบครัวของอายุบุตรของครอบครัวทั้งสอง
อายุบุตร (ปี )
ค่าสถิติ ครอบครัวที่ 1 ครอบครัวที่ 2
1. ค่าควอร์ไทล์ที่ 1 12.5 5.75
2. ค่าควอร์ไทล์ที่ 2 22.5 16.5
3. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 18 11
4. ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 5.5 5.375
5. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 4.67 4.33
6. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.69 4.83
7. สัมประสิทธิ์ของพิสัย 0.52 0.56
8. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 0.31 0.48
9. สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 0.26 039
10. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของแปรแปรผัน 0.32 0.44

3
3. ปัจจุบัน อายุของนักเรียน 8 คน ดังนี้ 15 14 12 10 10 9 8 6 จงหา
1) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุปัจจุบัน ตอบ 8  2.83
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของอายุในอีก 5 ปีข้างหน้าปัจจุบัน ตอบ 8  2.83
3) ความแปรปรวน ตอบ 8
4) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ตอบ 2.375
4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 10 ข้อมูลเท่ากับ 3 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 1
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกาลังสองของข้อมูลเดิม ตอบ 100
5. มีนักเรียน 4 คน จากการสารวจเงินที่เขาติดตัวไปโรงเรียนเป็นค่าอาหารกลางวัน พบว่า
มีฐานนิยมเท่ากับ 15 บาท มัธยฐานเท่ากับ 18 บาท และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 19 บาท จงหา
1) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ตอบ 4
2) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตอบ 18  4.24
6. ถ้าสัมประสิทธิ์ของพิสัยของน้าหนักนักเรียนห้องหนึ่ง เท่ากับ 0.25 นักเรียนที่หนักที่สุดในห้องมีน้าหนัก
65 กิโลกรัม จงหาว่านักเรียนที่ผอมที่สุดในห้องมีน้าหนักเท่าไร ตอบ 39
7. ตารางแจกแจงความถี่แสดงคะแนนสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6
จานวน 50 คน จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนน 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 -39
จานวน(คน) 3 7 10 14 9 7
Q.D. =
2
75204431 .. 
= 5.35 , M.D. =
50
290
= 5.8
S.D. =
49
2500
= 0251. = 7.142  7.14
คะแนน ความถี่ (f) จุดกึ่งกลาง (x) (f)(x) f(x-X )2
f x2
10 - 14 3 12 36 3(12-26)2
= 588 3(12)2
= 432
15 – 19 7 17 119 7(17-26)2
= 567 7(17)2
= 2023
20 – 24 10 22 220 10(22-26)2
= 160 10(22)2
= 4840
25 – 29 14 27 378 14(27-26)2
= 14 14(27)2
= 10206
30 – 34 9 32 288 9 (32-26)2
= 324 9 (32)2
= 9216
35 - 39 7 37 259 7(37-26)2
= 847 7(37)2
= 9583
รวม 50 1300 f(x-X )2
= 2500 f x2
= 36300
วิธีทา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (X ) =
n
Xf
n
i
ii
1
=
50
1300
= 26
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง
สูตรที่ 1 S.D. =
1
2
1

 

n
)Xx(f
n
i
ii

4
=
150
2500

= 0251. = 7.142  7.14 @
สูตรที่ 2 S.D. =
1
2
1
2

 

n
Xnxf
n
i
ii
=
150
265036300 2

 )(
=
49
3380036300
=
49
2500
= 0251. = 7.142  7.14 @
8. ความแปรปรวนรวม (S2
) = ( 0251. )2
= 51.02

5
ใบกิจกรรม 2.1
1. ในการสอบปลายปีของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 450 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐาน 75 คะแนน ในการตัดสินถือเกณฑ์ว่าต้องได้ 500 คะแนน จึงจะสอบได้ถามว่าคนที่สอบได้นั้นจะต้อง
ได้ค่ามาตรฐานอย่างต่าที่สุดเท่าใด ตอบ จะต้องได้ค่ามาตรฐานอย่างต่าที่สุด 0.67
2. กรรมกรกลุ่มหนึ่งมีความสูงเฉลี่ยเป็น 150 ซม. และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของกรรมกรกลุ่มนี้มีค่า
เป็น 10 ซม. ถ้ากาหนดการคัดเลือกให้ทางานอย่างหนึ่งโดยถือเกณฑ์ว่า จะต้องได้ค่ามาตรฐานความสูงเป็น 2.5
กรรมกรที่มีความสูงตั้งแต่เท่าไรขึ้นไปจึงจะได้รับการคัดเลือก ตอบ มีความสูงตั้งแต่ 175 เซนติเมตรขึ้นไป
3. ในการสอบวิชาหนึ่งปรากฏว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มนี้เป็น 18 คะแนน เกณฑ์
การตัดสินต้องได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานไม่ต่ากว่า 1.5 ปรากฏว่าผู้ที่ได้คะแนนต่ากว่า 117 คะแนนถือว่า
สอบตก ถามว่าในการสอบคราวนี้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มนี้เป็นเท่าใด
ตอบ X = 90 คะแนน
4. ในการสอบคราวหนึ่งของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนเฉลี่ยเป็น 575 คะแนน ถ้า นาย ก. เป็นนักเรียน
ห้องนี้ และสอบได้คะแนน 705 คะแนน ซึ่งคิดเป็นค่ามาตรฐานได้เท่ากับ 2 ถามว่า ในการสอบคราวนี้ ค่าส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับเท่าใด ตอบ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 65 คะแนน
5. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่ง ปรากฏว่าได้คะแนนที่นายฉลาดทาได้เท่ากับ 30 คะแนน คิด
เป็นค่ามาตรฐาน 1 ส่วนคะแนนที่นายขยันทาได้เท่ากับ 15 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐาน -2 จงคานวณว่า ในการ
สอบคราวนี้นักเรียนห้องนั้นทาคะแนนเฉลี่ยได้เป็นเท่าใด และค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นเท่าใด
ตอบ S = 5 , X = 25
6. ก. และ ข. สอบวิชาเดียวกัน แต่ข้อสอบต่างกัน ก. สอบได้คะแนน 85 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตห้องที่ ก. สอบเป็น 90
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 8 ส่วน ข. สอบได้คะแนน 50 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนห้องที่ ข. สอบ
เป็น 75 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 50 จงพิจารณาผลการสอบว่าของใครดีกว่ากัน
ตอบ Zก = - 0.60 , Zข = - 0.50 จะได้ว่า ข เรียนดีกว่า ก
7. โรงเรียนมาลาวิทยา มีการประเมินผลโดยใช้คะแนนมาตรฐานในการสอบ ปรากฏว่า น.ส.ใจดี ขยันจริง สอบได้
คะแนนมาตรฐานเป็น 2.00 ในการสอบครั้งนั้น ค้าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเป็น 300 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบน
มารตฐานเป็น 33 คะแนน ถ้าคะแนนเต็มในการสอบเท่ากับ 600 คะแนน จงหาว่า น.ส.ใจดี ขยันจริง สอบได้กี่
เปอร์เซ็นต์ ตอบ น.ส.ใจดี สอบได้ 61 %

6
8. ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานแห่งหนึ่ง มีวิชาที่ต้องสอบ 2 วิชา ปรากฏว่าจากผู้สมัครทั้งหมดมีผู้ที่ได้คะแนนกัน
สูงสุด 3 คน คือ นายสมศักดิ์ น.ส. ฉวีวรรณ และนายนิพนธ์ ซึ่งได้คะแนนในแต่ละวิชา ดังนี้
วิชาที่ 1 วิชาที่2
นายสมศักดิ์ 70 72
น.ส. ฉวีวรรณ 80 65
นายนิพนธ์ 72 73
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 75 70
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 10
ถ้าหน่วยงานแห่งนี้ต้องการรับเพียงคนเดียวและสารองหนึ่งคน ผู้ที่จะได้รับการคัดเลือกไว้เป็นตัวจริงและ
ตัวสารองคือใคร ตอบ Z สมศักดิ์ = - 0.4 , Z ฉวีวรรณ = - 0.5 , Z นิพนธ์ = - 0.15
Z ของฉวีวรรณมากที่สุด และรองลงมาคือนิพนธ์ ตัวจริงคือ ฉวีวรรณ สารองคือ นิพนธ์
9. ตารางต่อไปนี้ เป็นผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ และภาษาฝรั่งเศสของนักเรียนโรงเรียนแห่งหนึ่ง
จานวนผู้สมัคร คะแนนเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คณิตศาสตร์
ฝรั่งเศส
200
100
76
80
10
20
ถ้านายขยันสอบ วิชา คณิตศาสตร์ได้ 82 คะแนน และวิชาฝรั่งเศสได้ 90 คะแนน นายขยันเรียนวิชาอะไรดีกว่ากัน
ตอบ Zคณิต = 0.6 , Zฝรั่งเศส = 0.5 ดังนั้น นายขยันเรียนวิชาคณิตศาสตร์ดีกว่าฝรั่งเศส
10. ในการสอบคราวหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 20 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2 ถ้านาย ก. สอบได้คะแนนคิด
เป็นค่ามาตรฐานต่างกับนาย ข. อยู่ 1 อยากทราบว่าคะแนนดิบที่แต่ละคนสอบได้คะแนนต่างกันเท่าใด และถ้าทั้ง
สองคนสอบได้คะแนนดิบต่างกัน 5 คะแนน ค่ามาตรฐานของคะแนนทั้งสองต่างกันเท่าไร ตอบ Zก – Zข = 2.5
11. ในการสอบคราวหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 50 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 10 ถ้านายดา และนายแดง สอบ
ได้คะแนนคิดเป็นค่ามาตรฐานแล้วรวมกันเป็น 3 จงหาผลรวมของคะแนนทั้งสองคนสอบได้รวมกัน
ตอบ Xดา + Xแดง = 130
12. จงตัดสินว่าผลการสอบของนักเรียน 3 คน ได้คะแนนตามตารางข้างล่างนี้ ใครดีกว่ากัน
วิชาภาษาไทย วิชาภาษาอังกฤษ วิชาคณิตศาสตร์ วิชาวิทยาศาสตร์
นายเอกชัย
นายสุรินทร์
นายนิพนธ์
คะแนนเฉลี่ยทั้งสองห้อง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
70
75
68
70
5
60
55
72
65
10
83
79
67
75
8
85
88
75
70
15
ตอบ เอกชัยZ = 0.375 สุรินทร์
Z = 0.425 นิพนธ์
Z = - 0.1
สุรินทร์
Z มีค่ามากที่สุด ดังนั้น สรินทร์เก่งที่สุดรองลงมาคือ เอกชัยและนิพนธ์ ตามลาดับ

7
ใบกิจกรรมที่ 2.2
1. ด.ช. วิชัย สอบได้คะแนนวิชาคณิตศาสตร์ในชั้น ม. 3 และ ม.4 เป็น 75 คะแนน และ 80 คะแนน
ตามลาดับ ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนทุกคนใน
ชั้น ม.3 ที่ ด.ช. วิชัย เรียนอยู่เท่ากับ 70 และ 15 คะแนน และของนักเรียนทุกคนในชั้น ม. 4 เท่ากับ 80 และ 20
คะแนน ตามลาดับ ด.ช.วิชัย เรียนวิชาคณิตศาสตร์ในชั้นไหนได้ดีกว่ากัน
ตอบ 3mZ =
15
7075
=
15
5
= 0.33
4mZ =
20
8080
= 0
2. ในการทดสอบเวลาที่ใช้วิ่งแข่งระยะทาง 100 เมตร ของนักกีฬาในโรงเรียนแห่งหนึ่ง เพื่อคัดเลือก
ตัวแทนไปทาการแข่งขันกับโรงเรียนอื่นจะถือว่าผู้ที่ผ่านการทดสอบจะต้องได้ค่ามาตรฐานของเวลาที่ใช้
ไม่สูงกว่า 1.0 ถ้าจากผลการทดสอบ ปรากฏว่านักกีฬาที่ใช้เวลามากกว่า 12 วินาที ไม่ผ่านการทดสอบ ถามว่า
ในการทดสอบคราวนี้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาที่ใช้ในการวิ่งของนักกีฬาทั้งหมดเป็นเท่าไร ถ้าส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของเวลาที่ใช้ในการวิ่งของนักกีฬาเป็น 1.1 วินาที
ตอบ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเวลาเท่ากับ 13.1 วินาที
3. ถ้าคะแนนสอบวิชาต่างๆ ของ ด.ญ.จิตรา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนแต่ละ
วิชาของนักเรียนทั้งหมดในชั้นที่ ด.ญ.จิตรา เรียนอยู่เป็นดังนี้
วิชา คะแนนที่สอบได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ภาษาไทย
ภาษาอังกฤษ
วิทยาศาสตร์
80
60
70
85
75
65
15
20
5
ด.ญ. จิตรา เรียนวิชาไหนดีกว่ากัน
ตอบ Zไทย =
15
8580
= -
15
5
= -0.33
Zอังกฤษ =
20
7560
=
20
15
 = - 0.75
Zวิทย์ =
5
6570
=
5
5
= 1
ด.ญ. จิตรา เรียนวิชาวิทยาศาสตร์ได้ดีกว่าวิชาอื่น
4. ในโรงงานอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งต้องการรับสมัครคนงานที่เป็นชาย โดยมีข้อแม้ว่าคนงานที่บริษัท
จะรับเข้าทางานจะต้องมีค่ามาตรฐานของอายุตั้งแต่ 2.0 ขึ้นไป ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานของอายุคนงานทั้งหมดที่มาสมัครเข้าทางาน เป็น 25 ปีและ 2 ปี ตามลาดับ คนงานที่มีอายุตั้งแต่
เท่าไรขึ้นไป จึงมีโอกาสได้รับเลือกเข้าเป็นคนงานของโรงงานอุตสาหกรรมนั้น
ตอบ กZ =
3
330500 .. 
=
3
170.
= 0.057
ขZ =
3
121 
= 0

8
5.ในการสอบคัดเลือกเข้าทางานในหน่วยงานแห่งหนึ่ง ซึ่งมีวิชาที่จะต้องสอบ 3 วิชา ถ้าผู้สมัคร
เข้าสอบคัดเลือกจานวน 2 คน คือ นาย ก และนางสาว ข ได้คะแนนในแต่ละวิชาดังนี้
วิชาที่ 1 วิชาที่ 2 วิชาที่ 3
นาย ก
นางสาว ข
70
75
75
50
75
95
จงหาว่า นาย ก หรือนางสาว ข จะได้ตาแหน่งที่ในการสอบคัดเลือกดีกว่ากัน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ
วิชาที่ 1 วิชาที่ 2 และวิชาที่ 3 ของคะแนนผู้สมัครสอบทั้งหมดเป็น 70,70 และ 80 คะแนนและส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 5 , 10 และ 15 คะแนนตามลาดับ ถ้าหน่วยงานแห่งนี้ตั้งหลักเกณฑ์ไว้ว่า ผู้ที่จะ
สอบคัดเลือกได้ต้องได้ค่ามาตรฐานเฉลี่ยของคะแนนทั้ง 3 วิชา ไม่ต่ากว่า 0 ถามว่า นาย ก และนางสาว ข
จะสอบคัดเลือกได้หรือไม่
ตอบ กZ =
3
330500 .. 
=
3
170.
= 0.057
ขZ =
3
121 
= 0
นาย ก และนางสาว ข ผ่านการสอบคัดเลือก นาย กได้คะแนนดีกว่า นางสาว ข
6. ในการสอบแข่งขันชิงทุนการศึกษา นายประพันธ์ ซึ่งสอบได้ที่ 1 ได้คะแนน 650 คะแนน และ
น.ส. มะลิวัลย์ซึ่งสอบได้ที่ 10 ได้คะแนน 540 ถ้าคะแนนมาตรฐานของนายประพันธ์ และ น.ส. มะลิวัลย์
เป็น 3 และ 1.9 ตามลาดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครั้งนี้
ตอบ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 620 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน
7. ในการตรวจผู้ป่วยโรคหัวใจและมะเร็งในประเทศสหรัฐอเมริกาให้ข้อมูลประชากร 100,000 คนต่อปี
ของ 50 รัฐ พบว่ามีผู้ป่วยเสียชีวิตด้วยโรคดังกล่าว โดยแสดงเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ดังนี้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
โรคหัวใจ
โรคมะเร็ง
289
200
54
31
(1) ถ้าในรัฐอลาสกา (Alaska) มีผู้ป่วยโรคหัวใจเสียชีวิตจานวน 90 คน ต่อประชากร 100,000 คน
โรคหัวใจในรัฐอลาสกาจะมีความรุนแรงมากหรือน้อยกว่ารัฐอื่นๆหรือไม่
(2) ถ้าในรัฐแคลิเฟอร์เนีย (California) มีผู้ป่วยเสียชีวิตด้วยโรคหัวใจ 240 คน และโรคมะเร็ง 166
คน ต่อประชากร 100,000
8. จงหาค่า x จากสูตรของค่ามาตรฐาน โดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้
Z =
S
XX 
จะได้ว่า ZS + X = X
1) Z = 2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 20 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 ตอบ 30
2) Z = -1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 25 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 ตอบ 22
3) Z = -1.5 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 100 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 ตอบ 88.5
4) Z = 2.5 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต -10 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0 ตอบ - 10

9
1. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 400 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 100
จงหา เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลซึ่งมีค่า
(1) มากกว่า 538
ตอบ Z > 1.38 พื้นที่ = 0.5 – 0.4162 = 0.0838 หรือ 8.38 เปอร์เซ็นต์
(2) มากกว่า 179
ตอบ Z > - 2.21 พื้นที่ = 0.5 + 0.4864 = 0.9864 หรือ 98.64 เปอร์เซ็นต์
(3) น้อยกว่า 356
ตอบ Z < - 0.44 พื้นที่ = 0.5 – 0.1700 = 0.33 หรือ 33 เปอร์เซ็นต์
(4) น้อยกว่า 621
ตอบ Z < - 2.21 พื้นที่ = 0.5 - 0.4864 = 0.0136 หรือ 1.36 เปอร์เซ็นต์
(5) ระหว่าง 318 และ 671
ตอบ - 0.82 < Z < 2.71 พื้นที่ = 0.2939 + 0.4966 = 0.7905 หรือ 79.05 เปอร์เซ็นต์
(6) ระหว่าง 484 และ 565
ตอบ 0.84 < Z < 1.65 พื้นที่ = 0.4505 + 0.2995 = 0.75 หรือ 75 เปอร์เซ็นต์
(7) ระหว่าง 249 และ 297
ตอบ - 1.51 < Z < - 1.03 พื้นที่ = 0.4345 - 0.3485 = 0.086 หรือ 8.6 เปอร์เซ็นต์
2. ในการบรรจุกาแฟชนิดหนึ่งลงขวดให้มีน้าหนักสุทธิ 115 กรัม ถ้าน้าหนักของกาแฟที่บรรจุมีการแจกแจงปกติโดย
มีน้าหนักโดยเฉลี่ยเท่ากับ 115.5 กรัม และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.3 กรัม จงหาว่ามีกี่เปอร์เซ็นต์ที่
กาแฟในแต่ละขวดมีน้าหนัก
(1) ระหว่าง 115 กรัม และ 115.5 กรัม
(2) ระหว่าง 114.9 กรัม และ 115.5 กรัม
(3) ระหว่าง 115.2 กรัม และ 115.9 กรัม
(4) ระหว่าง 114.7 กรัม และ 115 กรัม
(5) ระหว่าง 115.5 กรัม
(6) ระหว่าง 115 กรัม
3. คะแนนทดสอบความถนัดทางคณิตศาสตร์ (Mathematics Attitude Test) สาหรับกลุ่มนักเรียนหญิง
มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน และกลุ่มนักเรียนชาย มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต
64 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน ถ้าคะแนนของแต่ละกลุ่มมีการแจกแจงปกติ จงหาว่า
(1) ถ้านายไทสอบได้62 คะแนน คะแนนของเค้าเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรของคะแนนในกลุ่ม
นักเรียนชาย
ตอบ Z < - 0.25 พื้นที่ = 0.5 – 0.0987 = 0.4013 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 40.13
(2) ถ้านางสาวอาภัสราสอบได้ 73 คะแนน คะแนนของเขาเป็นตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรใน
กลุ่มนักเรียนหญิง และตาแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรในกลุ่มนักเรียนชาย
ตอบ Z < 1.3 พื้นที่ = 0.5+ 0.4032 = 0.9032 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 90.32
พื้นที่ = 0.5+ 0.3980 = 0.8980 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 89.80

10
4. การแจกแจงของคะแนนสอบครั้งหนึ่งเป็นการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 72 คะแนน และ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 12 คะแนน จงหา
(1) คะแนนที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ตอบ 63.9 คะแนน
(2) คะแนนที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90 ตอบ 87.39 คะแนน
5. ในการผลิตแผ่นพลาสติกของบริษัทแห่งหนึ่ง ปรากฏว่า ความหนาของแผ่นพลาสติกมีการแจกแจงแบบปกติโดย
มีความหนาโดยเฉลี่ย 0.0625 เซนติเมตร ความแปรปรวนเป็น 0.00000625 เซนติเมตร2
จงหาว่าแผ่นพลาสติกที่
ผลิตได้มีความหนาอยู่ระหว่าง 0.0595 เซนติเมตร และ 0.0659 เซนติเมตร มีกี่เปอร์เซ็นต์
6. ให้ x เป็นความคาดเคลื่อนในรอบ 24 ชั่วโมงของนาฬิกาที่ผลิตโดยโรงงานแห่งหนึ่ง ถ้าความ คาดเคลื่อนมีการ
แจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 0.00 วินาที และความแปรปรวน 0.160 วินาที2
จงหา x ซึ่งทาให้ 50.04%
ของนาฬิกาทั้งหมด ที่ผลิตได้จะมีความคาดเคลื่อนระหว่าง x กับ 0.136 วินาที
7. น้าหนักสุทธิของกระป๋ องบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทแห่งหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ โดยมีน้าหนักสุทธิเฉลี่ยเป็น
12.00 กรัม ถ้ากระป๋ องที่มีน้าหนักสุทธิน้อยกว่า 11.88 กรัม มีอยู่ 11.51% จงหาความแปรปรวนของน้าหนักสุทธิ
ของกระป๋ องบรรจุถั่วที่ผลิตโดยบริษัทนี้
8. ถ้า x แทนคะแนนที่สนใจศึกษาและ p แทนพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติของคะแนนที่ต่ากว่า x จงหาว่า a , b , c และ d
จากข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน X พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ(P)
3
10
a
10
1
2
3
b
2
c
6
12
d
0.18
0.09
0.60
9. คะแนนสอบ SAT (SAT Scores) มีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต 505 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 111
จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติในข้อต่อไปนี้
(1) คะแนน SAT อยู่ระหว่าง 400 และ 600 (2) คะแนน SAT มากกว่า 700
(3) คะแนน SAT น้อยกว่า 450

11
1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม. 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีการแจกแจกปกติ
โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน
จงหาตาแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ของนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่อไปนี้
1) ต่ากว่า 45 คะแนน
ตอบ Z < -1.5 พื้นที่ = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 6.68
2) ต่ากว่า 70 คะแนน
ตอบ Z < 1 พื้นที่ = 0.5 + 0.3413 = 0.8413 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 84.13
3) สูงกว่า 75 คะแนน
ตอบ Z > 1.5 พื้นที่ = 0.5 – 0.4332 = 0.0668 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 6.68
4) สูงกว่า 50 คะแนน
ตอบ Z > -1 พื้นที่ = 0.5 + 0.3413 = 0.8413 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 84.13
5) ระหว่าง คะแนน45 และ 65 คะแนน
ตอบ -1.5 < Z < 0.5 พื้นที่ = 0.4332 + 0.1915 = 0.6247 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 62.47
6) ระหว่างคะแนน 40 และ 50 คะแนน
ตอบ -2 < Z < -1 พื้นที่ = 0.4773 - 0.3413 = 0.1360 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 13.60
7) ระหว่าง คะแนน 65 และ 80 คะแนน
ตอบ 0.5 < Z < 2 พื้นที่ = 0.4773 - 0.1915 = 0.2858 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 28.58
8) ระหว่างคะแนน 70 และ 85 คะแนน
ตอบ 1 < Z < 2.5 พื้นที่ = 0.4938 - 0.3413 = 0.1525 หรือ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 15.25
2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 60 คะแนน และ 10 คะแนน ตามลาดับ จงหาคะแนนที่เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 11.51
ของการสอบครั้งนี้
ตอบ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 11.51 ตรงกับ 48 คะแนน
3. คะแนนทดสอบความสามารถทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 กลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ
โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 64 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8 คะแนน นาย ก เป็นนักเรียนคนหนึ่งในชั้น
นี้สอบได้ 62 คะแนน จงหาคะแนนที่ นาย ก สอบได้ตรงกับเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร
ตอบ
4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 200 คน มีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลข
คณิตเท่ากับ 60 คะแนน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้าในการสอบครั้งนี้ สมศรีสอบได้ 70 คะแนน
และสมบัติสอบได้85 คะแนน จงหาว่ามีนักเรียนประมาณกี่คนที่สอบได้คะแนนต่ากว่าสมศรี
ตอบ
5. คะแนนทดสอบไอคิวของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 90 คะแนน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 20 คะแนน ถ้าให้ x เป็นคะแนนของนักเรียนคนหนึ่ง ถ้าเปอร์เซ็นต์ของคะแนน
ระหว่าง x ถึง 90 คะแนน เท่ากับ 38.30 % แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าไร
ตอบ
6. ในการบรรจุกาแฟลงในขวดที่มีขนาดน้าหนักสุทธิโดยเฉลี่ย 300 กรัม มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 กรัม
บริษัทกาหนดไว้ว่ากล่องที่มีมาตรฐาน จะต้องมีน้าหนักเฉลี่ยสุทธิอยู่ระหว่าง 300 m กรัม ในการผลิตแต่ละครั้ง
จะต้องได้ของที่มาตรฐาน 95 % จงหาค่า m (ให้การแจกแจงของน้าหนักกาแฟเป็นการแจกแจงปกติ)
ตอบ

12
7. จากคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง x และ65 คะแนน เท่ากับ 77.45 %
จงหาคะแนน x
ตอบ
8. จากคะแนนสอบครั้งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 50 คะแนน และส่วนเบี่ยงเบน
มาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนระหว่าง x และ40 คะแนน เท่ากับ 13.59 %
จงหาคะแนน x
ตอบ
เฉลยใบงานที่ 2.1
ชื่อ………………………………………ชั้น…………………เลขที่……………
ผลการเรียนรู้ที่ 5 หาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานได้
1. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ Z = 1.32
ตอบ 0.5 + 0.4066 = 0.9066
2. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางซ้ายมือของ Z = - 1.84
ตอบ 0.5 - 0.4671 = 0.0329
3. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = 2.27
ตอบ 0.5 - 0.4884 = 0.0116
4. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทางขวามือของ Z = - 0.76
ตอบ 0.5 + 0.2764 = 0.7764
5. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = 0.72 และ Z = 2.13
ตอบ 0.4834 – 0.2642 = 0.2192
6. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.95 และ Z = 1.36
ตอบ 0.3829 + 0.4131 = 0.7420
7. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.75 และ Z = - 1.28
ตอบ 0.3997 – 0.2734 = 0.1263
ตอบ 0.2389 + 0.2389 = 0.4778
9. จงหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z = - 0.47 และ Z = - 1.28
ตอบ 0.3997 - 0.1808 = 0.2189
ตอบ 0.2324 + 0.4969 = 0.7393

13
ใบกิจกรรมที่ 3.1
จงแก้ระบบสมการ 2 ตัวแปรต่อไปนี้
1. x - y = 7
2x + y = 8 ( 5 , - 2 )
2. 3x + y = 12
x - y = 4 ( 4 , - 2 )
3. x + 3y = 9
2x - y = 4 ( 3 , 2 )
4. 3x - 4y = 8
x + y = - 2 ( 0 , - 2 )
5. 3x + 4y = 16
9x + 7y = 13 ( - 4 , 7 )
6. x + 3 y = 10
x + 9y = 22 ( 4 , - 1 )
7. 3x - 4y = 0
3x + 4y = -24 ( - 4 , - 3 )
8. 3x - y = 7
4x - 3y = 11 ( 2 , - 1 )
9. x + 7y = 8
3x + 2y = 5 (1, 1 )
10. 3x + 5y = - 2
2x + 15y = 22 ( - 4 , 2 )
11. x - 7y = 11
3x + 5y = 7 ( 4 , - 1 )
12. 4x + y = 5
2x - 3y = 13 ( 2 , - 3)
13. 2x - y = 2
x + y = 4 ( 2 , 2 )
14. 5x - 2y = 6
3x - y = 5 ( 4 , 7 )
15. x - 2y = 6
2x + y = 7 ( 4 , - 1 )
16. x + 5y = 19
2x - y = 5 ( 4 , 3 )
17. 2x + 3y = 12
x - 3y = - 3 ( 3 , 2 )
18. 3x - 4y = 18
2x + y = 1 ( 2 , - 3)
19. 2x - y = 4
x + y = 5 ( 3 , 2 )
20. 3x - y = 3
x + 2y = 8 ( 2 , 3 )
2. จงแก้ระบบสมการ 3 ตัวแปรต่อไปนี้
1. 2x - y + z = 2
x + 2y - 3z = 11
3x + 4y - 2z = 4
คาตอบของระบบสมการคือ ( 2 , - 3 , - 5 )
2. 2x + 2y + z = 1
x - y + 6 z = 21
3x + 2y - z = 4
คาตอบของระบบสมการคือ ( 1 , - 2 , 3 )

14
เฉลยใบกิจกรรมที่ 2.2
ในการหาความสัมพันธ์ระหว่างเงินเดือนกับค่าใช้จ่ายของพนักงานบริษัทแห่งหนึ่ง ซึ่งมีเงินเดือนต่างๆกัน
โดยการสุ่มพนักงานของบริษัทนี้มา 5 คน แล้วสอบถามเกี่ยวกับเงินเดือนและค่าใช้จ่ายได้ผล ดังตารางต่อไปนี้
เงินเดือน (หมื่นบาท) 1 2 3 4 5
ค่าใช้จ่าย (หมื่นบาท) 1 1 2 2 4
จงใช้กระบวนการแก้ปัญหาของโพลยา
1) จงสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลและประมาณค่า
ถ้า y เป็นตัวแปรตาม (รายจ่าย) และ x เป็นตัวแปรอิสระ (รายได้)
ตอบ สมการประมาณค่า คือ Yˆ = 0.7 Xˆ - 0.1
2) ถ้าพนักงานมีเงินเดือน 80,000 บาท เขาจะมีค่าใช้จ่ายเดือนละกี่บาท
ตอบ รายจ่ายเดือนละ 55,000 บาท
Independent: X
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1
Y LIN .817 3 13.36 .035 -.1000 .7000
1) ถ้าพนักงานมีค่าใช้จ่ายเดือนละ 30,000 บาท เขาจะต้องมีเงินเดือนๆละกี่บาท
ถ้า x เป็นตัวแปรตาม (รายได้) และ y เป็นตัวแปรอิสระ (รายจ่าย)
สมการประมาณค่า คือ Xˆ = 1.67 Yˆ + 0.66
ตอบ เงินเดือนๆละ 41,700 บาท
Independent: Y
X LIN .817 3 13.36 .035 .6667 1.1667
เฉลยแบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรมที่ 2
ข้อมูลต่อไปนี้แสดงปริมาณปุ๋ ยที่ใช้ (กิโลกรัม) กับผลผลิตที่ได้(ตันต่อไร่)
ของสวนลางสาดแห่งหนึ่ง
ปริมาณปุ๋ ย( กก.ต่อไร่) : X 2 4 6 8 10
ผลผลิต(ตันต่อไร่) : Y 4 6 8 9 13
1) จงหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปุ๋ ยกับผลผลิตที่ได้ของสวนแห่งนี้
ถ้า y เป็นตัวแปรตาม(ผลผลิต) และ x เป็นตัวแปรอิสระ (ปริมาณปุ๋ ย)
ตอบ สมการประมาณค่า คือ Yˆ = 1.05 Xˆ + 1.7
2) ถ้าปริมาณปุ๋ ยเท่ากับ 7 กิโลกรัมต่อไร่ แล้วผลผลิตลางสาดจะเป็นเท่าไร
ตอบ ผลผลิตลางสาดประมาณ 9.05 ตันต่อไร่

15
Independent: X
Y LIN .959 3 69.63 .004 1.7000 1.0500
3) ถ้าต้องการให้ผลผลิตลางสาดได้ 15 ตันต่อไร่ ต้องใช้ปริมาณปุ๋ ยเท่าไร
ตอบ ถ้า x เป็นตัวแปรตาม(ปริมาณปุ๋ ย) และ y เป็นตัวแปรอิสระ (ผลผลิต)
สมการประมาณค่า คือ Xˆ = 0.91Yˆ - 1.30
ใช้ปริมาณปุ๋ ยประมาณ 12.35 กิโลกรัมต่อไร่
Independent: Y
X LIN .959 3 69.63 .004 -1.3043 .9130
พิจารณาค่าของ Y และ Yˆ
X Y Yˆ = 1.05 Xˆ + 1.7 Y - Yˆ (Y - Yˆ )2
2 4 2.1 + 1.7 = 3.8 0.2 0.04
4 6 4.2 + 1.7 = 5.9 0.1 0.01
6 8 6.3 + 1.7 = 8 0 0
8 9 8.4 + 1.7 = 10.1 - 1.1 1.21
10 13 10.5 + 1.7 = 12.2 0.8 0.64

5
1i
ix = 30 
5
1i
iy = 40 - 

5
1
)ˆ(
i
i YY = 0
25
1
)ˆ(

i
i YY = 1.9
ลักษณะของเส้นตรงดังกล่าวต้องเป็นไปตามเงื่อนไข 3 ประการดังนี้
1. 

n
i
i YY
1
)ˆ( = 0
2. 

n
i
i YY
1
)ˆ( มีค่าน้อยที่สุด
3. (x , y ) ต้องเป็นจุดอยู่บนเส้นตรง Y = aX + b ซึ่งเป็นสมการเส้นตรงที่สร้างขึ้นมาเป็นตัวแทนของ
ข้อมูลนั้นคือ y = ax + b จะได้
x =
5
30
= 6 , y =
5
40
= 8 , a = 1.05 , b = 1.7
ดังนั้น y = a x + b
8 = 1.05(6) + 1.7
8 = 6.3 + 1.7 เป็นจริง
นักเรียนตรวจคาตอบด้วยตนเองโดยใช้โปรแกรมSPSS แต่ละข้อขึ้นอยู่กับข้อมูลของนักเรียน

16
จากการศึกษาถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณการให้นมชนิดหนึ่งต่อวันสาหรับทารกที่มี
อายุต่าง ๆ กัน
อายุ(เดือน): X 1 2 3 4
ปริมาณนม(กรัม) : Y 4 6 7 5
1) จงหาสมการของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
ถ้า y เป็นตัวแปรตาม (ปริมาณนม) และ x เป็นตัวแปรอิสระ (อายุ)
ตอบ สมการประมาณค่า คือ Yˆ = - Xˆ 2
+ 5.4 Xˆ - 0.5
2) จงทานายถ้าทารกอายุ 2.5 เดือน จะใช้นมปริมาณกี่กรัม
ตอบ จะใช้ปริมาณนมประมาณ 6.75 กรัม
Independent: X
Dependent Mth Rsq d.f. F Sigf b0 b1 b2
Y QUA .960 1 12.00 .200 -.5000 5.4000 -1.0000
1) จงหาสมการของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
ถ้า x เป็นตัวแปรตาม (อายุ) และ y เป็นตัวแปรอิสระ(ปริมาณนม)
สมการประมาณค่า คือ Xˆ = Yˆ 2
– 11.2Yˆ + 32.6
2) จงทานายถ้าปริมาณนม 4.5 กรัม ที่ใช้สาหรับทารกที่มีอายุกี่เดือน
ตอบ ใช้สาหรับทารกที่มีอายุ 2.45 เดือน
Independent: Y
X QUA .840 1 2.62 .400 32.6000 -11.200 1.0000
เฉลยแบบทดสอบท้ายชุดกิจกรรมชุดที่ 3
จากการศึกษาถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสารับทารกที่มีอายุต่างๆกัน
ในการรักษาโรค
อายุ(เดือน) : X 1 2 3 4
ปริมาณยา(มิลลิกรัม) : Y 3 5 6 4
1) จงหาความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างปริมาณการใช้ยาชนิดหนึ่งสารับทารกที่มีอายุต่างๆกัน
ในการรักษาโรค
ถ้า y เป็นตัวแปรตาม (ปริมาณยา) และ x เป็นตัวแปรอิสระ (อายุ)
ตอบ สมการประมาณค่า คือ Yˆ = - Xˆ 2
+ 5.4 Xˆ - 1.5

17
Independent: X
Y QUA .960 1 12.00 .200 -1.5000 5.4000 -1.0000
2) จงทานายปริมาณยาที่ใช้สาหรับทารกที่มีอายุ 2.5 เดือน
ตอบ จะใช้ปริมาณยาประมาณ 5.75 มิลลิกรัม
3) จงทานายปริมาณยา 5.5 มิลลิกรัมใช้สาหรับทารกที่มีอายุกี่เดือน
ถ้า x เป็นตัวแปรตาม (อายุ) และ y เป็นตัวแปรอิสระ(ปริมาณยา)
สมการประมาณค่า คือ Xˆ = -0.5Yˆ 2
+ 4.9Yˆ - 8.8
Independent: Y
X QUA .360 1 .28 .800 -8.8000 4.9000 -.5000
ตอบ ใช้สาหรับทารกที่มีอายุประมาณ 3.125 เดือน
ข้อมูลต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับเงินเดือนของชายคนหนึ่งในรูปเส้นตรง
ตั้งแต่ พ.ศ. 2546 – 2550 ดังนี้
ปี พ.ศ. : t 2546 2547 2548 2549 2550
เงินเดือน(พันบาท) : Y 7.5 8 9.5 11.2 12.8
1. จงเขียนแผนภาพการกระจาย
2. จงหาสมการของความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับเงินเดือน
ถ้า y เป็นตัวแปรตาม(เงินเดือน) และ t เป็นตัวแปรอิสระ (ระยะเวลา)
ตอบ สมการประมาณค่า คือ Yˆ = 1.38 t + 9.8
3. จงประมาณเงินเดือนของชายคนนี้ในปี 2555
ในปี พ.ศ. 2555 ค่า t = 7
ตอบ เงินเดือนของชายคนนี้ประมาณ 19.46 พันบาทหรือ 19,460 บาท
Independent: T
Y LIN .973 3 106.59 .002 9.8000 1.3800

18
1. จานวนรถยนต์ที่บริษัทแห่งหนึ่งขายได้(ร้อยคัน) มีความสัมพันธ์กับเวลาในรูปเส้นตรงระหว่าง
ปี พ.ศ. 2547 – 2552 ดังนี้
ปี พ.ศ. 2547 2548 2549 2550 2551 2552
จานวนรถยนต์(ร้อยคัน) 12 16 20 22 24 26
1. จงหาสมการของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างรถยนต์ที่ขายได้ในเวลาต่างๆ
ถ้า y เป็นตัวแปรตาม(จานวนรถยนต์) และ t เป็นตัวแปรอิสระ (ระยะเวลา)
ตอบ สมการประมาณค่า คือ Yˆ = 1.37 t + 20
2. จงประมาณจานวนรถยนต์ที่ขายได้ในปี พ.ศ. 2555
ในปี พ.ศ. 2555 ค่า t = 11
ตอบ จานวนรถยนต์ที่ขายได้ประมาณ 35.07 ร้อยคันหรือ 3507 คัน
Independent: T
Y LIN .968 4 121.26 .000 20.0000 1.3714
1. ข้อมูลต่อไปนี้แสดงเงินเดือนของชายคนหนึ่ง ตั้งแต่ พ.ศ. 2548 – 2552 เป็นดังนี้
พ.ศ. 2548 2549 2550 2551 2552
เงินเดือน (พันบาท) 18 19.8 20.2 21.4 22.5
1. จงหาสมการของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างเงินเดือนในเวลาต่างๆ
ตอบ สมการประมาณค่า คือ Yˆ = 1.06 t + 20.38
2. จงประมาณเงินเดือนของชายคนนี้ในปี พ.ศ. 2555 เป็นเงินกี่บาท
จงประมาณเงินเดือนของชายคนนี้ในปี พ.ศ. 2555
ในปี พ.ศ. 2555 ค่า t = 5
ตอบ เงินเดือนของชายคนนี้ในปี พ.ศ. 2555 ประมาณ 2.68 พันบาท หรือ 26,800 บาท
Independent: T
Y LIN .971 3 101.53 .002 20.3800 1.0600
2. จานวนรถยนต์ที่บริษัทแห่งหนึ่งขายได้(ร้อยคัน) มีความสัมพันธ์กับเวลาในรูปเส้นตรงระหว่าง
ปี พ.ศ. 2547 – 2552 ดังนี้
ปี พ.ศ. 2547 2548 2549 2550 2551 2552
จานวนรถยนต์(ร้อยคัน) 12 14 20 24 30 32
1. จงหาสมการของความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างรถยนต์ที่ขายได้ในเวลาต่างๆ
ถ้า y เป็นตัวแปรตาม(จานวนรถยนต์) และ t เป็นตัวแปรอิสระ (ระยะเวลา)
ตอบ สมการประมาณค่า คือ Yˆ = 2.17 t + 22

19
2. จงประมาณจานวนรถยนต์ที่ขายได้ในปี พ.ศ. 2557
ในปี พ.ศ. 2557 ค่า t = 15
ตอบ จานวนรถยนต์ที่ขายได้ประมาณ 54.55 ร้อยคันหรือ 5,455 คัน
Independent: T
Y LIN .982 4 222.15 .000 22.0000 2.1714
ข้อมูลต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับเงินเดือนของชายคนหนึ่งใน
รูปเอกซ์โพเนนเชียล ตั้งแต่ พ.ศ. 2548 – 2552 ดังนี้
ปี พ.ศ. : t 2548 2549 2550 2551 2552
เงินเดือน(พันบาท) : Y 7.5 8 9.5 11.2 12.8
2. จงหาสมการของความสัมพันธ์ระหว่างเวลากับเงินเดือน
ตอบ สมการประมาณค่าคือ log y = 0.9825 + 0.0610x
3. จงประมาณเงินเดือนของชายคนนี้ในปี พ.ศ. 2557
ในปี พ.ศ. 2557 ค่า t = 7
ตอบเงินเดือนของชายคนนี้ในปี พ.ศ. 2557 ประมาณ 25.68 พันบาท หรือ 25,680 บาท
Independent: T
LOGY EXP .986 3 211.92 .001 .9785 .0620
กาหนดข้อมูลซึ่งเป็นกาไรสุทธิ (ล้านบาท) ของบริษัทแห่งหนึ่งในช่วง 6 ปีที่ผ่านมา
มีความสัมพันธ์กับเวลาในรูปเอกซ์โพเนนเชียลระหว่าง ปี 2547 – 2552 ดังนี้
ปี พ.ศ. 2547 2548 2549 2550 2551 2552
กาไรสุทธิ (ล้านบาท) 8 9.5 10 11.5 13 15
2. จงหาสมการเพื่อใช้ประมาณกาไรสุทธิ (ล้านบาท)ในเวลาต่างๆ
ตอบ สมการประมาณค่า คือ log y = 1.0386 + 0.0262 t
3. จงประมาณกาไรสุทธิ (ล้านบาท)ในปี พ.ศ. 2554
ในปี พ.ศ. 2554 ค่า t = 7
ตอบ กาไรสุทธิประมาณ 18.81 ล้านบาท
Independent: T
LOGY EXP .988 4 328.23 .000 1.0347 .0253

20
1. จงสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบเอกซ์โพเนนเชียลของประชากรกับเวลา
ระหว่าง ปี พ.ศ. 2542 – 2550 ดังนี้
ปี พ.ศ. 2542 2543 2544 2545 2546 2547 2548 2549 2550
จานวนประชากร
(ล้านคน)
24.9 25.6 26.4 27.2 28.0 28.8 29.7 30.6 31.5
จงหาความสัมพันธ์ประมาณจานวนประชากรของท้องถิ่นแห่งนี้ในปี พ.ศ. 2560
ตอบ สมการประมาณค่าคือ log y = 1.4471 + 0.0128 t
ในปี พ.ศ. 2560 ค่า t = 14
จานวนประชากรของท้องถิ่นแห่งนี้ในปี พ.ศ. 2560 ประมาณ 42.3 ล้านคน
Independent: T
LOGY EXP 1.000 7 45340.0 .000 1.4436 .0102
2. ข้อมูลต่อไปนี้แสดงเงินเดือนของชายคนหนึ่ง ตั้งแต่ พ.ศ. 2548 – 2552 เป็นดังนี้
พ.ศ. 2548 2549 2550 2551 2552
เงินเดือน (พันบาท) 18 19.8 20.2 21.4 22.5
ถ้าใช้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันในรูปเอกซ์โพเนนเชียล ประมาณค่า
จงประมาณเงินเดือนของชายคนนี้ในปี พ.ศ. 2555 เป็นเงินกี่บาท
ตอบ สมการประมาณค่า คือ log y = 1.3082 + 0.0179 t
จงประมาณเงินเดือนของชายคนนี้ในปี พ.ศ. 2555
ในปี พ.ศ. 2555 ค่า t = 5
ตอบ เงินเดือนของชายคนนี้ในปี พ.ศ. 2555 ประมาณ 2.64 พันบาท หรือ 26,400 บาท
Independent: T
LOGY EXP .963 3 78.10 .003 1.3082 .0179

21
ภาคผนวก
ผลงานของนักเรียน

29
ใบกิจกรรมที่
หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ชื่อ............................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่,,,,,,,,,,,,,,,,,,,เลขที่.....................

30
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ได้
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน
คะแนน ความถี่ (f) จุดกึ่งกลางชั้น (X) fX
6 - 10 2
11 - 15 6
16 - 20 10
21 - 25 12
26 - 30 9
31 - 35 8
36 - 40 3
รวม 50
ใบกิจกรรมที่
หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกงแจงความถี่
ชื่อ............................................................ชั้นมัธยมศึกษาปีที่,,,,,,,,,,,,,,,,,,,เลขที่.....................
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ได้
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ ความสูงของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จานวน 30 คน

31
อันตรภาคชั้น ความถี่ (f) จุดกึ่งกลางชั้น (X) fX
145 - 149 4
150 - 154 3
155 - 159 7
160 - 164 4
165 - 169 8
170 – 174 2
175 - 179 2
รวม 30

เฉลยการวัดตำแหน่งและกระจาย

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to เฉลยการวัดตำแหน่งและกระจาย

More from krurutsamee

เฉลยการวัดตำแหน่งและกระจาย