77 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่4_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง3

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
(เนื้อหาตอนที่ 4)
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3

โดย

อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ

สื่อการสอนชุดนี้ เกิดจากความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย และ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล
ิ
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน
ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา)
- ความหมายของสถิติ
- ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล
- การสารวจความคิดเห็น
3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
- ค่ากลางของข้อมูล
- แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
- มัธยฐาน
- ฐานนิยม
- ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
- ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล
- ตาแหน่งของข้อมูล
7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1
- การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์
- พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ความแปรปรวน

1


- พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์
- สัมประสิทธ์พิสัย
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- สัมประสิทธ์ของความแปรผัน
11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน
- คะแนนมาตรฐาน
- การแจกแจงปกติ
12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา
14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
- โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
- โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
16. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล
23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล
24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล
25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ
2


26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง
27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่
คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชา
คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้

3


เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 4 (4/14)

หัวข้อย่อย 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
2. มัธยฐาน
3. ฐานนิยม
4. ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
5. ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิก

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจองค์ประกอบต่างๆ ของอันตรภาคชั้น
2. เข้าใจวิธีการคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต และค่าเฉลี่ยฮาร์โม
นิกจากข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายขององค์ประกอบต่างๆ ของอันตรภาคชั้น ตลอดจนหาองค์ประกอบ
เหล่านั้นจากอันตรภาคชั้นที่กาหนดให้ได้
2. อธิบายขั้นตอนการคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต และ
ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกจากข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้นได้

4


เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

5


1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

6


1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ก่อนที่จะอธิบายถึงการหาค่ากลางแบบต่างๆ จากข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น สื่อได้ชักจูงให้เห็น
ความสาคัญของการนาข้อมูลมาแจกแจงความถี่ซึ่งได้เคยกล่าวถึงในสื่อตอนที่ 1 แล้วว่าการแจกแจงความถี่ของ
ข้อมูลรายตัวนั้นไม่นิยม แต่นิยมที่จะแจกแจงในรูปอันตรภาคชั้น ดังนั้นในสื่อเรื่องสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
ทั้ง 14 ตอนนี้ หากกล่าวถึงข้อมูลที่แจกแจงความถี่ จะหมายถึงข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น

จากนั้นได้ทบทวนการสร้า งอันตรภาคชั้น และองค์ประกอบต่างๆ ของอันตรภาคชั้นให้นักเรียนที่อาจหลงลืม
จากที่ได้ศึกษามาแล้วในระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

7


เมื่อมาถึงตอนนี้สื่อได้ตั้งข้อสังเกตว่า จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้น อาจคานวณได้จาก ค่าเฉลี่ยของผลรวมของจุด
ปลายทั้งสองของอันตรภาคชั้น ขอให้ค รูชักชวนให้นักเรียนช่วยกันพิสูจน์ข้อสังเกตดังกล่าวนี้ นอกจากนี้ครูยัง
อาจตั้ ง ข้ อสั ง เกตต่อ ว่า หากอั นตรภาคชั้ น แต่ ล ะชั้น มีค วามกว้ างเท่ ากั นทั้ งหมดแล้ ว ผลต่า งของจุด กึ่ ง กลาง
อันตรภาคชั้นสองชั้นที่ติดกันใดๆ จะมีค่าเท่ากัน และเท่ากับความกว้างของอันตรภาคชั้นนั่นเอง

การพิสูจน์ข้อสังเกตนี้ ทาได้โดย กาหนดให้อันตรภาคชั้นชุดหนึ่งมีความกว้างเท่ากันทั้งหมด สมมติว่า a b
และ c d เป็ น อั น ตรภาคชั้ น สองชั้ น ที่ ติ ด กั น ในอั น ตรภาคชั้ น ชุ ด นั้ น โดยที่ a b c d และ
b c c b
c
2 2
จะได้ว่า ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นที่เท่ากันนั้นคือ
(b ) (a ) b a 2 c a
และ (d ) (c ) d c 2 d b ตามลาดับ
ดังนั้น c a d b

ต่อมา จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น a b คือ a b
และ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น c d คือ c d
2 2
ซึ่งมีผลต่างเท่ากับ c d (a b) (c a) (d b)
2 2
c a ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้น

จากข้อสังเกตดังกล่าวนี้ หากทราบว่าอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นมีความกว้างเท่ากันและกาหนดจุดกึ่งกลางชั้นของ
อันตรภาคชั้นมาเพียงบางส่วนแล้ว สามารถหาจุดกึ่งกลางชั้นทั้งหมดได้ เช่น กาหนดว่าตารางแจกแจงความถี่
ของข้อมูลชุดหนึ่ง มีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากันเป็นดังต่อไปนี้

ชั้นที่ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น ความถี่
1 ... 8
2 ... 8
3 ... 20
4 30 14
5 35 10

ทราบได้ทันทีว่าความกว้างของอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นเป็น 5 และจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ 1 ถึง 3 เป็น
15, 20 และ 25 ตามลาดับ

ทั้งนี้จุดกึ่งกลางชั้นจะถือว่าเป็นตัวแทนของอันตรภาคชั้นนั้นๆ มาถึงตอนนี้ครูอาจถามนาว่า มีอันตรภาคชั้นแบบ
ใดหรือไม่ที่หาจุดกึ่งกลางชั้นไม่ได้
8


นอกจากนี้สื่อยังได้ตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับการกาหนดจานวนและความกว้างของอันตรภาคชั้นซึ่งนักเรียนจะเห็น
ได้ว่าไม่มีกฎเกณฑ์ใดๆ ตายตัว หากแต่ขึ้นกับวัตถุประสงค์การใช้ข้อมูล และลักษณะการกระจายของข้อมูล ซึ่ง
การกระจายของข้อมูลนั้น นักเรียนจะได้ศึกษาอย่างละเอียดในสื่ อเรื่องสถิติและการวิเคราะห์ข้อ มูล ตอน การ
กระจายของข้อมูล โดย ศ.ดร.กฤษณะ ต่อไป

นอกจากนี้ครูยังควรทบทวนนิยามของศัพท์ต่างๆ เช่น ความถี่สะสม ความถี่สัมพัทธ์ ร้อยละของความถี่สัมพัทธ์
ความถี่สะสมสัมพัทธ์ และร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ เป็นต้น

ตัวอย่าง 1 จงเติมตารางต่อไปนี้ให้สมบูรณ์
อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม ร้อยละของความถี่สัมพัทธ์
2 6 A D F
7 11 B 12 20%
12 16 C 24 G
17 21 16 E H

16
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า จานวนข้อมูลทั้งหมด E 24 16 40 ดังนั้น H 100% 40%
40
12
ต่อมา C 24 12 12 ทาให้ G 100% 30%
40
20
จากนั้น B (40) 8 และ F 100% (20 30 40)% 10%
100
สุดท้ายจึงได้ว่า A 10 (40) 4 D
100

9


เมื่อมาถึงตอนนี้ สื่อได้อธิบายการคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต สาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น
อีก ทั้ งสรุป เป็ นสูตรโดยเที ยบกั บ สูตรที่ เคยอธิบายมาก่ อนหน้าแล้วส าหรับข้อมูล ที่ยั งไม่ได้แจกแจงความถี่
ซึ่ง นัก เรี ย นจะเห็น ได้ ว่า ค่ า เฉลี่ ย เลขคณิ ตส าหรั บข้ อมู ล ที่ แจกแจงความถี่ ใ นรู ปอั นตรภาคชั้ นนั้ นเป็น เพี ย ง
ค่าประมาณ ไม่ได้มาจากการนาค่าของข้อมูลจริงๆ มาเฉลี่ยกัน

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจตั้งข้อสังเกตต่อ โดยข้อสังเกตนี้อยู่ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าอันตรภาคชั้นทุกชั้นของข้อมูลที่
กาหนดให้มีความกว้างเท่ากัน สมมติว่าเป็น I
k
fi x i
ในขั้นแรกสมมติว่าข้อมูลแบ่งออกเป็น k ชั้น ดังนั้นจะได้ว่า i 1
k
fi
i 1

ต่อมาสมมติว่า fM เป็นความถี่สูงสุด จากข้อสังเกตเกี่ยวกับจุดกึ่งกลางชั้นและความกว้างของอันตรภาคชั้น
จะได้ว่า
f1(x M (1 M )I ) ... fM 1(x M I) fM x M fM 1(x M I) ... fk (x M (k M )I )
k
fi
i 1
(1 M )f1... fM 2 ( 2) fM 1( 1) (0)fM (1)fM 1
(2)fM 2
... (k M )fk
xM k
I
fi
i 1
k
fidi
ทาให้สรุปเป็นสูตรทั่วๆ ไปได้ว่า xM i 1
k
I
fi
i 1

เมื่อ x M คือจุดกึ่งกลางชั้นที่มีความถี่สูงสุด และ di คือตัวแปรเสริมที่มีค่าเป็นศูนย์ในชั้นที่มีความถี่สูงสุด โดยมี
ค่าลดลงทีละหนึ่งในอันตรภาคชั้นที่มีค่าต่าลงมา และมีค่าเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งในอันตรภาคชั้นที่มีค่าสูงขึ้นไป

10


ตัวอย่าง 2 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียน 20 คน ที่มีคะแนนดังตารางต่อไปนี้
คะแนน จานวนนักเรียน
10 19 5
20 29 3
30 39 5
40 49 7

วิธีทา เนื่องจากความกว้างของแต่ละชั้นเป็น 10 เท่ากัน และความถี่สูงสุดคือ 7 ซึ่งจุดกึ่งกลางของชั้นนี้คือ
44.5 ดังนั้นจะสร้างตารางเพิ่มดังนี้
คะแนน จานวนนักเรียน ( fi ) di fidi

10 19 5 3 15
20 29 3 2 6
30 39 5 1 5
40 49 7 0 0

26
ดังนั้น 44.5 (10) 31.5 คะแนน
20
ซึ่งจะเห็นว่าสูตรนี้ช่วยให้การคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตสาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้นนั้นง่าย
ขึ้น ครูควรถามนาต่อไปว่าด้วยแนวคิดเดียวกันนี้ ถ้าไม่ให้ di 0 ในชั้นที่มีความถี่สูงสุดจะยังทาให้ได้สูตร
การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตเหมือนกันหรือไม่ และคิดว่าทาไมจึงกาหนดให้ di 0 ในชั้นที่มีความถี่สูงสุด

11


แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต

สาหรับข้อ 1-4 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1.
ช่วงอายุ (ปี) ความถี่ (คน)
21 25 4
26 30 9
31 35 2
36 40 5

2.
น้าหนัก (กิโลกรัม) จานวนคน
30 39 4
40 49 5
50 59 13
60 69 17
70 79 6
80 89 5

3.
น้าหนัก (กิโลกรัม) จานวนคน
56 60 6
61 65 15
66 70 21
71 75 8

12


4.
ส่วนสูง (เซนติเมตร) จานวนคน
121 130 6
131 140 8
141 150 8
151 160 7
161 170 3

5. ในการสอบครั้งหนึ่งมีตารางแจกแจงความถี่ผลการสอบดังนี้
ช่วงคะแนน ความถี่ (คน)
20 24 4
25 29 5
30 34 a
35 39 7
ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้เท่ากับ 31 แล้วจงหาจานวนนักเรียนทั้งหมดที่เข้าสอบครั้งนี้

13



14



ในช่วงนี้ได้อธิบายการหามัธยฐานสาหรับข้อมูล ที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น โดยเริ่มจากแนวคิดที่ว่า
ข้อมูลที่จะนามาแจกแจงความถี่นั้นเป็นข้อมูลที่มีจานวนมาก ดังนั้นการหาตาแหน่งข้อมูลที่อยู่ตรงกลางนั้นจะใช้
N 1
หรือ N จะมีความแตกต่างกันน้อยมาก เพื่อความสะดวกจึงนิยมใช้ N
2 2 2

การหามัธยฐานที่นาเสนอในสื่อนั้นใช้แนวคิดของการทาให้ข้อมูลมีความต่อเนื่องกัน จึงต้องเริ่มจากการขยาย
อันตรภาคชั้นที่กาหนดให้เป็นขอบล่าง และขอบบนของแต่ละชั้น จากนั้นจึงหาชั้นที่มัธยฐานตกอยู่โดยการ
พิจารณาจากความถี่สะสมของแต่ละชั้น แล้วทาการเทียบสัดส่วน หรือเทียบบัญญัติไตรยางค์ เพื่อหาค่าประมาณ
N
ของข้อมูลตาแหน่งที่
2

จากการเทียบสัดส่วน นักเรียนจะเห็นได้ว่าหากเราพิจารณาได้แล้วว่ามัธยฐานตกอยู่ในชั้นใด
จะได้ว่า มัธยฐานมีค่า เท่า กับ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นนั้น d ซึ่ง d นี้คานวณได้จากการเทียบสัดส่วน
จานวนข้อมูลจากขอบล่างชั้นนั้นถึงมัธยฐาน : จานวนข้อมูลทั้งหมดในชั้นนั้น d : ความกว้างของชั้นนั้น
15


N
นั่นคือ fL : fm d : I
2
N
fL
ทาให้ได้ว่า d 2 I จึงสามารถสรุปเป็นสูตรทั่วๆ ไปได้ดังนี้
fm

หากมองในมุมกลับกันอาจพิจารณาได้ว่ามัธยฐานที่ได้จากการเทียบสัดส่วนนั้นมีค่าเท่ากับ
ขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น ซึ่ง นี้คานวณได้จากการเทียบสัดส่วน
จานวนข้อมูลจากมัธยฐานถึงขอบบนชั้นนั้น : จานวนข้อมูลทั้งหมดในชั้นนั้น : ความกว้างของชั้นนั้น
ซึ่งทาให้ได้สูตรทั่วๆ ไปดังนี้

16


ตัวอย่าง 3 จงหามัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรียน 20 คนที่มีคะแนนดังตาราง
10 19 5
20 29 3
30 39 5
40 49 7

วิธีทา จากโจทย์สร้างตารางเพิ่มได้ดังนี้
คะแนน ขอบล่าง-ขอบบน จานวนนักเรียน ความถี่สะสม
10 19 9.5 19.5 5 5
20 29 19.5 29.5 3 8
30 39 29.5 39.5 5 13
40 49 39.5 49.5 7 20

N
ดังนั้น 10 นั่นคือมัธยฐานอยู่ในชั้นที่ 3 ที่มี U 39.5, fU 13, fm 5 และ I 10 ทาให้ได้
2
13 10
ว่า มัธยฐาน 39.5 10 33.5 คะแนน
5
จะเห็นว่าสูตรต่างๆ จะให้ค่ามัธยฐานเท่ากัน เพราะมาจากแนวคิดเรื่องการเทียบสัดส่วนเหมือนกัน

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจตั้งข้อสังเกตว่า ในการหามัธยฐานนั้นไม่จาเป็นต้องใช้จุดกึ่งกลางชั้น ดังนั้นข้อมูลที่มี
อันตรภาคชั้ นเปิ ด เช่ น น้อยกว่า a หรือ มากกว่า b นั้นไม่ส ามารถหาจุดกึ่ งกลางชั้นได้ แต่ยั งสามารถหา
มัธยฐานได้ นอกจากนี้ยังควรสังเกตด้วยว่าความกว้างของชั้นที่มัธยฐานตกอยู่เท่านั้นที่มีบทบาทในการคานวณ

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม
ตัวอย่าง 4 กาหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนห้องหนึ่งดังนี้
คะแนน ความถี่
16 18 a
19 21 2
22 24 3
25 27 6
28 30 4

17


ถ้ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 24.5 คะแนนแล้ว จงหาค่า a

N a 15
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า , fL 5 a, fm 6 และ I 3 ดังนั้นจะได้ว่า
2 2
a 15
(5 a)
24.5 24.5 2 3 นั่นคือ a 5
6

หมายเหตุ จากตัวอย่างนี้ทาให้ได้ข้อสังเกตว่า มัธยฐานเป็นขอบล่างของชั้นใดชั้นหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ
N
fL นั่นเอง
2

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องมัธยฐาน
สาหรับข้อ 1-2 จงหามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้
1.
คะแนนสอบ ความถี่สะสม
11 20 2
21 30 8
31 40 14
41 50 31
51 60 45
61 70 52
71 80 60

18


2. คะแนนสอบวิชาภาษาจีนของนักเรียน 80 คน เป็นดังนี้
ขอบล่าง-ขอบบน ความถี่สัมพัทธ์
29.5 39.5 0.025
39.5 49.5 0.050
49.5 59.5 0.075
59.5 69.5 0.350
69.5 79.5 0.375
79.5 89.5 0.075
89.5 99.5 0.050

3. เมื่อสร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนของนักเรียน 360 คน โดยใช้ความกว้างของแต่ละอันตรภาค
ชั้นเป็น 5 แล้วปรากฏว่ามัธยฐานของคะแนนทั้งหมดอยู่ในช่วง 50 54 ถ้ามีนักรียนที่สอบได้คะแนนต่า
กว่า 49.5 คะแนนอยู่จานวน 120 คน และมีนักเรียนได้คะแนนต่ากว่า 54.5 คะแนนอยู่จานวน 200 คน
แล้วจงหามัธยฐานของคะแนนสอบครั้งนี้

4. สร้างตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนการสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง โดยให้ความกว้างของแต่ละ
อั น ตรภาคชั้ น เป็ น 5 แล้ ว ปรากฏว่ า มั ธ ยฐานของคะแนนการสอบเท่ า กั บ 77 คะแนน ซึ่ ง อยู่ ใ นช่ ว ง
75 79 ถ้ามีนักเรียนที่สอบได้คะแนนต่ากว่า 74.5 อยู่จานวน 24 คน และมีนักเรียนได้คะแนนต่ากว่า
79.5 อยู่จานวน 40 คน แล้วจงหาจานวนนักเรียนกลุ่มนี้

5. อายุของคนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงดังนี้
อายุ จานวนคน
21 23 3
24 26 a
27 29 6
30 32 4
ถ้ามัธยฐานของคนกลุ่มนี้เท่ากับ 27 แล้วจงหาค่า a

19



20


ในช่วงนี้ได้อธิบายการหาฐานนิยมสาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น สิ่งที่นักเรียนต้องระวังให้
จงหนักคือ ข้อมูลที่มีความกว้างของแต่ละชั้นไม่เท่ากัน เพราะจะทาให้ความหนาแน่นมากสุดของอันตรภาคชั้น
กับความถี่สูงสุดของอันตราภาคชั้น อาจแตกต่างกันได้ ดังตัวอย่างที่แสดงให้ดูในสื่อ

21



22



ในช่วงนี้ได้อธิบายการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น ซึ่งมีแนวคิดคล้าย
กับการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต โดยพิจารณาว่าจุดกึ่งกลางชั้นของแต่ละอันตรภาคชั้นเป็นตัวแทนของข้อมูลชั้นนั้นๆ
ที่มีอยู่ซ้ากันเท่ากับจานวนความถี่ของชั้นนั้น ทาให้ได้สูตรทั่วๆ ไปในการคานวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิตสาหรับ
ข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้นเป็นดังนี้

23



24


ในช่วงนี้ได้อธิบายการหาค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกสาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น ซึ่งมีแนวคิดคล้าย
กับการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเรขาคณิต โดยพิจารณาว่าจุดกึ่งกลางชั้นของแต่ละอันตรภาคชั้นเป็น
ตัวแทนของข้อมูลชั้นนั้นๆ ที่มีอยู่ซ้ากันเท่ากับจานวนความถี่ของชั้นนั้น ทาให้ได้สูตรทั่วๆ ไปในการคานวณ
ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกสาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้นเป็นดังนี้

ต่อมาได้ยกตัวอย่างการคานวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกจากข้อมูลที่กาหนดให้ เมื่อถึงตอนนี้ครู
อาจนาข้อมูลที่อยู่ในตัวอย่าง 2 มาให้นักเรียนช่วยกันคานวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกเพื่อฝึกฝน
ให้ชานาญยิ่งขึ้น

25


ในช่วงสุดท้ายได้ยกตัวอย่างที่นักเรียนต้องคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมจากข้อมูลที่แจกแจง
ความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น เพื่อเป็นการทบทวนสูตรต่างๆ

อาจมีนักเรียนบางคนที่สนใจเรียนและตั้งคาถามว่า แล้วกึ่งกลางพิสัยที่เป็นค่ากลางของข้อมูลแบบหยาบๆ จะ
คานวณอย่างไรในกรณีที่ข้อมูลแจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น ครูควรตบหัวนักเรียนผู้นั้นอย่างอ่อนโยน
x max x min
แล้วตอบว่า กึ่งกลางพิสัยในกรณีนี้นั้นยังคงหาได้จากสูตร อย่างไรก็ดี x max ในที่นี่คือขอบบน
2
ของชั้นที่มีช่วงคะแนนมากที่สุด และ x min ในที่นี่คือขอบล่างของชั้นที่มีช่วงคะแนนน้อยที่สุด เช่นในตัวอย่าง
สุดท้ายในสื่อนี้ กึ่งกลางพิสัยจะมีค่า 14.5 ( 0.5)
7 วัน
2

เมื่อมาถึงตรงนี้ครูอาจย้าอีกครั้งว่า ค่ากลางแบบต่างๆ ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้นนั้น เป็น
เพียงค่าประมาณเท่านั้น ไม่เหมือนกับค่ากลางแบบต่างๆ ของข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่ที่นาข้อมูลจริงๆ
มาคานวณค่ากลางนั้นๆ

26


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

27


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

28


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

29


แบบฝึกหัดระคน

สาหรับข้อ 1-5 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต และค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิกของ
1. ข้อมูลคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 20 คนที่กาหนดให้ดังตาราง
31 39 2
40 48 3
49 57 5
58 66 4
67 75 3
76 84 2
85 93 1

2. ข้อมูลน้าหนักตัวของนักเรียน 200 คนที่กาหนดให้ดังตาราง
น้าหนักตัว (กิโลกรัม) ความถี่
19 22 20
23 26 60
27 30 30
31 34 40
35 38 50

3. ข้อมูลชุดหนึ่งที่มีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากัน ดังนี้
ชั้นที่ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น ความถี่สะสม
1 ... 8
2 ... 16
3 ... 36
4 85 40
5 90 50

30


4. ข้อมูลคะแนนของนักเรียนห้องหนึ่ง ดังนี้
ช่วงคะแนน ความถี่สะสม
10 19 1
20 29 11
30 39 18
40 49 20

5. ข้อมูลร้อยละของนักเรียนที่สอบได้คะแนนในช่วงต่างๆ จากจานวนนักเรียนทั้งหมด 500 คน ดังนี้
ช่วงคะแนน ร้อยละของนักเรียน
1 20 20
21 40 40
41 60 24
61 80 10
81 100 6

6. ในการสารวจส่วนสูงของนักเรียนจานวน 30 คนได้ผลดังแสดงในตาราง
ส่วนสูง (เซนติเมตร) ความถี่สะสม (คน)
130 149 13
150 169 22
170 189 30
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนสูงของนักเรียนกลุ่มนี้

7. กาหนดตารางแสดงผลการสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้
คะแนน จานวนนักเรียน ความถี่สะสม
21 29 12 12
30 38 18 30
39 47 a b
48 56 10 50
จงหามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้

31


8. กาหนดตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ (เป็นจานวนเต็มทั้งหมด) ของนักเรียน
40 คนดังนี้
คะแนน ความถี่
20 24 4
25 29 a
30 34 10
35 39 b
40 44 7
เมื่อสุ่มเลือกนักเรียนกลุ่มนี้มาหนึ่งคน จะได้ว่าความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะได้คะแนนมากกว่า 29
คะแนน มีค่าเท่ากับ 0.7 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้

32


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

33


เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต
่
1. 30 ปี 2. 60.7 กิโลกรัม 3. 66.1 กิโลกรัม 4. 143.31 เซนติเมตร 5. 30 คน

เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องมัธยฐาน
่
1. 49.91 คะแนน 2. 69.5 คะแนน 3. 53.25 คะแนน 4. 74 คน 5. 5 คน

เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 58.85; 57.5; 53; 57.01; 55.15 คะแนน 2. 29.3; 29.17; 24.5; 28.78; 28.26 กิโลกรัม
3. 80; 79.75; 80; 79.74; 79.48 4. 29.5; 28.5; 24.5; 28.56; 27.59 คะแนน
5. 38.9; 35.5; 30.5; 32.28; 25.64 คะแนน 6. 150.83 เซนติเมตร
7. 36 คะแนน 8. 33.125; 33.5; 37 คะแนน

34


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

35


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

36


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

37


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

38

77 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่4_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง3

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to 77 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่4_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง3

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

77 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่4_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง3