1) This document contains examples of trigonometric functions involving angles and side lengths of right triangles.
2) It provides the values of trig functions like sine, cosine, and tangent for specific angles like 30°, 45°, and 60°.
3) Several problems apply trigonometric definitions and properties to solve for unknown side lengths or angles in right triangles.
1. The document defines various functions and relations using set-builder and function notation.
2. Examples of linear, quadratic, and polynomial functions are provided with their domain and range restrictions.
3. Common transformations of basic quadratic functions like y=x^2 are demonstrated, such as shifting the graph left or right and changing the sign of coefficients.
9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อมาถึงตอนนี้สื่อได้ตั้งข้อสังเกตว่า จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้น อาจคานวณได้จาก ค่าเฉลี่ยของผลรวมของจุด
ปลายทั้งสองของอันตรภาคชั้น ขอให้ค รูชักชวนให้นักเรียนช่วยกันพิสูจน์ข้อสังเกตดังกล่าวนี้ นอกจากนี้ครูยัง
อาจตั้ ง ข้ อสั ง เกตต่อ ว่า หากอั นตรภาคชั้ น แต่ ล ะชั้น มีค วามกว้ างเท่ ากั นทั้ งหมดแล้ ว ผลต่า งของจุด กึ่ ง กลาง
อันตรภาคชั้นสองชั้นที่ติดกันใดๆ จะมีค่าเท่ากัน และเท่ากับความกว้างของอันตรภาคชั้นนั่นเอง
การพิสูจน์ข้อสังเกตนี้ ทาได้โดย กาหนดให้อันตรภาคชั้นชุดหนึ่งมีความกว้างเท่ากันทั้งหมด สมมติว่า a b
และ c d เป็ น อั น ตรภาคชั้ น สองชั้ น ที่ ติ ด กั น ในอั น ตรภาคชั้ น ชุ ด นั้ น โดยที่ a b c d และ
b c c b
c
2 2
จะได้ว่า ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นที่เท่ากันนั้นคือ
(b ) (a ) b a 2 c a
และ (d ) (c ) d c 2 d b ตามลาดับ
ดังนั้น c a d b
ต่อมา จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น a b คือ a b
และ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น c d คือ c d
2 2
ซึ่งมีผลต่างเท่ากับ c d (a b) (c a) (d b)
2 2
c a ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้น
จากข้อสังเกตดังกล่าวนี้ หากทราบว่าอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นมีความกว้างเท่ากันและกาหนดจุดกึ่งกลางชั้นของ
อันตรภาคชั้นมาเพียงบางส่วนแล้ว สามารถหาจุดกึ่งกลางชั้นทั้งหมดได้ เช่น กาหนดว่าตารางแจกแจงความถี่
ของข้อมูลชุดหนึ่ง มีความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นเท่ากันเป็นดังต่อไปนี้
ชั้นที่ จุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้น ความถี่
1 ... 8
2 ... 8
3 ... 20
4 30 14
5 35 10
ทราบได้ทันทีว่าความกว้างของอันตรภาคชั้นแต่ละชั้นเป็น 5 และจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ 1 ถึง 3 เป็น
15, 20 และ 25 ตามลาดับ
ทั้งนี้จุดกึ่งกลางชั้นจะถือว่าเป็นตัวแทนของอันตรภาคชั้นนั้นๆ มาถึงตอนนี้ครูอาจถามนาว่า มีอันตรภาคชั้นแบบ
ใดหรือไม่ที่หาจุดกึ่งกลางชั้นไม่ได้
8
10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
นอกจากนี้สื่อยังได้ตั้งข้อสังเกตเกี่ยวกับการกาหนดจานวนและความกว้างของอันตรภาคชั้นซึ่งนักเรียนจะเห็น
ได้ว่าไม่มีกฎเกณฑ์ใดๆ ตายตัว หากแต่ขึ้นกับวัตถุประสงค์การใช้ข้อมูล และลักษณะการกระจายของข้อมูล ซึ่ง
การกระจายของข้อมูลนั้น นักเรียนจะได้ศึกษาอย่างละเอียดในสื่ อเรื่องสถิติและการวิเคราะห์ข้อ มูล ตอน การ
กระจายของข้อมูล โดย ศ.ดร.กฤษณะ ต่อไป
นอกจากนี้ครูยังควรทบทวนนิยามของศัพท์ต่างๆ เช่น ความถี่สะสม ความถี่สัมพัทธ์ ร้อยละของความถี่สัมพัทธ์
ความถี่สะสมสัมพัทธ์ และร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ เป็นต้น
ตัวอย่าง 1 จงเติมตารางต่อไปนี้ให้สมบูรณ์
อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม ร้อยละของความถี่สัมพัทธ์
2 6 A D F
7 11 B 12 20%
12 16 C 24 G
17 21 16 E H
16
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า จานวนข้อมูลทั้งหมด E 24 16 40 ดังนั้น H 100% 40%
40
12
ต่อมา C 24 12 12 ทาให้ G 100% 30%
40
20
จากนั้น B (40) 8 และ F 100% (20 30 40)% 10%
100
สุดท้ายจึงได้ว่า A 10 (40) 4 D
100
9
11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อมาถึงตอนนี้ สื่อได้อธิบายการคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต สาหรับข้อมูลที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น
อีก ทั้ งสรุป เป็ นสูตรโดยเที ยบกั บ สูตรที่ เคยอธิบายมาก่ อนหน้าแล้วส าหรับข้อมูล ที่ยั งไม่ได้แจกแจงความถี่
ซึ่ง นัก เรี ย นจะเห็น ได้ ว่า ค่ า เฉลี่ ย เลขคณิ ตส าหรั บข้ อมู ล ที่ แจกแจงความถี่ ใ นรู ปอั นตรภาคชั้ นนั้ นเป็น เพี ย ง
ค่าประมาณ ไม่ได้มาจากการนาค่าของข้อมูลจริงๆ มาเฉลี่ยกัน
เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจตั้งข้อสังเกตต่อ โดยข้อสังเกตนี้อยู่ภายใต้เงื่อนไขที่ว่าอันตรภาคชั้นทุกชั้นของข้อมูลที่
กาหนดให้มีความกว้างเท่ากัน สมมติว่าเป็น I
k
fi x i
ในขั้นแรกสมมติว่าข้อมูลแบ่งออกเป็น k ชั้น ดังนั้นจะได้ว่า i 1
k
fi
i 1
ต่อมาสมมติว่า fM เป็นความถี่สูงสุด จากข้อสังเกตเกี่ยวกับจุดกึ่งกลางชั้นและความกว้างของอันตรภาคชั้น
จะได้ว่า
f1(x M (1 M )I ) ... fM 1(x M I) fM x M fM 1(x M I) ... fk (x M (k M )I )
k
fi
i 1
(1 M )f1... fM 2 ( 2) fM 1( 1) (0)fM (1)fM 1
(2)fM 2
... (k M )fk
xM k
I
fi
i 1
k
fidi
ทาให้สรุปเป็นสูตรทั่วๆ ไปได้ว่า xM i 1
k
I
fi
i 1
เมื่อ x M คือจุดกึ่งกลางชั้นที่มีความถี่สูงสุด และ di คือตัวแปรเสริมที่มีค่าเป็นศูนย์ในชั้นที่มีความถี่สูงสุด โดยมี
ค่าลดลงทีละหนึ่งในอันตรภาคชั้นที่มีค่าต่าลงมา และมีค่าเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งในอันตรภาคชั้นที่มีค่าสูงขึ้นไป
10
16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. มัธยฐาน
ในช่วงนี้ได้อธิบายการหามัธยฐานสาหรับข้อมูล ที่แจกแจงความถี่ในรูปอันตรภาคชั้น โดยเริ่มจากแนวคิดที่ว่า
ข้อมูลที่จะนามาแจกแจงความถี่นั้นเป็นข้อมูลที่มีจานวนมาก ดังนั้นการหาตาแหน่งข้อมูลที่อยู่ตรงกลางนั้นจะใช้
N 1
หรือ N จะมีความแตกต่างกันน้อยมาก เพื่อความสะดวกจึงนิยมใช้ N
2 2 2
การหามัธยฐานที่นาเสนอในสื่อนั้นใช้แนวคิดของการทาให้ข้อมูลมีความต่อเนื่องกัน จึงต้องเริ่มจากการขยาย
อันตรภาคชั้นที่กาหนดให้เป็นขอบล่าง และขอบบนของแต่ละชั้น จากนั้นจึงหาชั้นที่มัธยฐานตกอยู่โดยการ
พิจารณาจากความถี่สะสมของแต่ละชั้น แล้วทาการเทียบสัดส่วน หรือเทียบบัญญัติไตรยางค์ เพื่อหาค่าประมาณ
N
ของข้อมูลตาแหน่งที่
2
จากการเทียบสัดส่วน นักเรียนจะเห็นได้ว่าหากเราพิจารณาได้แล้วว่ามัธยฐานตกอยู่ในชั้นใด
จะได้ว่า มัธยฐานมีค่า เท่า กับ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นนั้น d ซึ่ง d นี้คานวณได้จากการเทียบสัดส่วน
จานวนข้อมูลจากขอบล่างชั้นนั้นถึงมัธยฐาน : จานวนข้อมูลทั้งหมดในชั้นนั้น d : ความกว้างของชั้นนั้น
15
17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
N
นั่นคือ fL : fm d : I
2
N
fL
ทาให้ได้ว่า d 2 I จึงสามารถสรุปเป็นสูตรทั่วๆ ไปได้ดังนี้
fm
หากมองในมุมกลับกันอาจพิจารณาได้ว่ามัธยฐานที่ได้จากการเทียบสัดส่วนนั้นมีค่าเท่ากับ
ขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น ซึ่ง นี้คานวณได้จากการเทียบสัดส่วน
จานวนข้อมูลจากมัธยฐานถึงขอบบนชั้นนั้น : จานวนข้อมูลทั้งหมดในชั้นนั้น : ความกว้างของชั้นนั้น
ซึ่งทาให้ได้สูตรทั่วๆ ไปดังนี้
16