75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง1

คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์

เรื่อง

สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
(เนื้อหาตอนที่ 2)
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1

โดย

อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ

สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

สื่อการสอน เรื่อง สถิตและการวิเคราะห์ข้อมูล
ิ
สื่อการสอน เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 27 ตอน
ซึ่งประกอบด้วย

1. บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
2. เนื้อหาตอนที่ 1 บทนา (เนื้อหา)
- ความหมายของสถิติ
- ข้อมูลและการนาเสนอข้อมูล
- การสารวจความคิดเห็น
3. เนื้อหาตอนที่ 2 แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
- ค่ากลางของข้อมูล
- แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง
- ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
- มัธยฐาน
- ฐานนิยม
- ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
- ค่ากลางฮาร์โมนิก
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การกระจายของข้อมูล
- ตาแหน่งของข้อมูล
7. เนื้อหาตอนที่ 6 การกระจายสัมบูรณ์ 1
- การกระจายสัมบูรณ์และการกระจายสัมพัทธ์
- พิสัย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
- ความแปรปรวน

1


- พิสัย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ข้อมูลแจกแจงความถี่)
10. เนื้อหาตอนที่ 9 การกระจายสัมพัทธ์
- สัมประสิทธ์พิสัย
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
- สัมประสิทธ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
- สัมประสิทธ์ของความแปรผัน
11. เนื้อหาตอนที่ 10 คะแนนมาตรฐาน
- คะแนนมาตรฐาน
- การแจกแจงปกติ
12. เนื้อหาตอนที่ 11 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
13. เนื้อหาตอนที่ 12 ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
- ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่อยู่ในรูปอนุกรมเวลา
14. เนื้อหาตอนที่ 13 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
- โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
15. เนื้อหาตอนที่ 14 โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
- โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
16. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
21. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
22. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การนาเสนอข้อมูล
23. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดค่ากลางของข้อมูล
24. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การวัดการกระจายของข้อมูล
25. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง การแจกแจงปกติ
2


26. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงเส้นตรง
27. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ความสัมพันธ์เชิงพาราโบลาและความสัมพันธ์เชิงชี้กาลัง

คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่
คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชา
คณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้

3


เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล (แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 2 (2/14)

หัวข้อย่อย 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)
2. ฐานนิยม (ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่)

จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้
2. สามารถหาฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้

ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายและคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้
2. อธิบายความหมายและคานวณของฐานนิยมของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ได้
3. อธิบายสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและนาไปใช้ได้

4


เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

5


1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

6


1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
สาหรับสื่อตอนนี้จะกล่าวถึงข้อมูลที่ยังไม่ได้แจกแจงความถี่เท่านั้น ในช่วงแรกได้ให้คาอธิบายเกี่ยวกับค่ากลาง
ของข้อมูล ประเภทของค่ากลางที่นิยมใช้ ก่อนหน้านี้ครูอาจทบทวนกับนักเรียนว่าการวิเคราะห์ข้อมูลนั้น บางครั้ง
อาจวิเคราะห์จากข้อมูลระดับประชากร หรือบางครั้งอาจสุ่มตัวอย่างมากลุ่มหนึ่งจากประชากรที่สนใจก็ได้ จากนั้น
สื่อในช่วงนี้ได้เน้นไปที่ค่ากลางตัวแรก คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลประชากร และข้อมูลตัวอย่าง บางตาราอาจ
ใช้คาว่า ค่ากลางเลขคณิต หรือมัชฌิมเลขคณิต แทนคาว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

มาถึงตอนนี้ครูควรย้ากับนักเรียนสังเกตว่าข้อมูลที่จะนามาหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั้นต้องเป็นข้อมูลเชิงปริมาณ
และให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายว่าหากต้องการพยายามใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตไปวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพ
นักเรียนน่าจะมีวิธีการอย่างไร

7


เมื่อมาถึงตอนนี้ ครูควรย้าเรื่องสัญลักษณ์ที่นิยมใช้ในการแยกแยะว่าสิ่งที่กาลังคานวณนั้นเกี่ยวกับประชากรหรือ
ตัวอย่าง เช่น (มิว) ใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร ในขณะที่ x (เอ็กซ์ บาร์) ใช้แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ของตัวอย่าง สาหรับการพูดนั้นบางครั้งอาจใช้คาว่า “mean” (มีน) แทนการพูดว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ นอกจากนี้
หากไม่ได้ระบุไว้ในคาถามจะถือว่าข้อมูลที่กาหนดมาให้เป็นข้อมูลประชากร

เมื่อนักเรียนเข้าใจตัวอย่างในสื่อแล้วครูอาจเน้นย้าอีกครั้งว่า จานวนจริงที่เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุด
หนึ่ง อาจไม่ใช่จานวนจริงที่เป็นข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งในชุดนั้นเลยก็ได้ นอกจากนี้อาจมีข้อมูลในชุดนั้นบาง
ตัวที่น้อยกว่า หรือมากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เสมอ ครูอาจชวนนักเรียนให้ช่วยกันอภิปรายว่าข้อมูลแบบใด
ที่จะรับประกันว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น จะเท่ากับข้อมูลตัวใดตัวหนึ่งในชุดนั้นเสมอ อย่างไรก็
ตามสูตรสาหรับคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต สะท้อนความเป็นค่ากลางของข้อมูลที่นามาเฉลี่ย กล่าวคือ สาหรับ
a b
ข้อมูลที่ประกอบด้วยจานวนจริง a และ b เมื่อ a b จะได้ว่า a b นั่นคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต
2
เป็นจานวนจริงที่อยู่ระหว่าง a และ b

8


พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ สมมติว่า a b
จะได้ว่า a a a b b b
a a a b b b
2 2 2
a b
a b
2
N
ในตอนนี้ได้อธิบายสมบัติที่สาคัญของสัญลักษณ์ xi ซึ่งใช้แทนผลบวก x1 x2 x3 ... xN
i 1

9


เมื่อมาถึงตอนนี้ได้อธิบายสมบัติที่สาคัญของค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่นักเรียนอาจนามาใช้ในการช่วยคานวณ หรือ
แก้ปัญหาต่างๆ ได้ นอกจากนี้ยังได้ยกตัวอย่างเกี่ยวกับการใช้สมบัติดังกล่าวเพื่อสร้างความคุ้นเคยให้กับนักเรียน

ก่อนที่จะยกตัวอย่างเพิ่มเติม ครูควรชวนให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายเหตุผล เพื่อสนับสนุนว่าสมบัติต่างๆ ที่
ได้อธิบายไปในสื่อนั้นเป็นจริง ในที่นี้จะแสดงการพิสูจน์เฉพาะข้อมูลประชากรเท่านั้น เนื่องจากข้อมูล
ตัวอย่างมีสมบัติเหมือนกัน แต่ใช้สัญลักษณ์แตกต่างกันเท่านั้น
N
1. xi N
i 1
N
xi N
พิสูจน์ เนื่องจาก i 1
จึงได้ว่า xi N
N i 1
N
2. (x i ) 0
i 1

พิสูจน์ จากสมบัติของ (ซิกม่า) และสมบัติข้อ 1 ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะได้ว่า

10


N N N
(x i ) xi
i 1 i 1 i 1
N N 0
N
3. (x i m)2 มีค่าน้อยที่สุดเมื่อ m
i 1

พิสูจน์ เนื่องจาก
N N N N
(x i m )2 (x i 2 2x im m2) xi2 2m xi m 2N
i 1 i 1 i 1 i 1
2 2
N N

xi xi N
i 1
N m i 1
xi2
N N i 1

2
N

N
xi
2 2 i 1
N (m ) xi
i 1 N

ซึ่งเป็นสมการพาราโบลาหงายในตัวแปร m ซึ่งมีค่าต่าสุดเมื่อ m นั่นเอง
4. x max x min
พิสูจน์ การพิสูจน์คล้ายกับการพิสูจน์ว่าสาหรับจานวนจริง a และ b ใดๆ
a b
ถ้า a b แล้ว a b ที่ได้แสดงไว้ให้แล้ว
2
ดังนั้นจึงให้นักเรียนช่วยกันพิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด
5. สาหรับจานวนจริง a และ b ใดๆ ถ้า yi axi b ทุก i แล้ว y ax b
พิสูจน์ ให้ a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ และ yi ax i b ทุก i
N N N N
yi (ax i b) yi b
จะได้ว่า y i 1 i 1
a i 1 i 1
ax b
N N N N

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างเหล่านี้เพิ่มเติม
20 20
ตัวอย่าง 1 กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งมี 20 ตัวโดยที่ (x i 5)2 500 และ (x i b)2 มีค่าน้อยสุด
i 1 i 1
20
เมื่อ b 8 จงหาค่าของ xi2
i 1

วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 8 และ

11


20 20 20 20
500 (x i 5)2 xi 2 10 xi 25
i 1 i 1 i 1 i 1
20 20
xi2 10(20 ) 25(20) xi2 1100
i 1 i 1
20
ดังนั้น xi2 1600
i 1

ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x 7 ซึ่งเรียงจากน้อยไปมากแล้วมีค่าเป็น 2, 3, 3, x, 4, y, 7
7
x
ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เป็น 4 และ (x i )2 16 จงหาค่าของ
i 1 y

วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 4
2 3 3 x 4 y 7 x y 19
7 7
นั่นคือ y 9 x และ
7
16 (x i )2
i 1
(2 4)2 (3 4)2 (3 4)2 (x 4)2 (4 4)2 (y 4)2 (7 4)2
(x 4)2 (9 x 4)2 15
นั่นคือ 1 (x 4)2 (5 x )2

2x 2 18x 41
จะได้ว่า 0 2x 2
18x 40
2(x 2 9x 20) 2(x 4)(x 5)
แต่ x 4 ดังนั้น x 4
x 4
ทาให้ได้ว่า y 5 และ
y 5

ตัวอย่าง 3 สาหรับจานวนจริง a และ d และ จานวนนับ N
N (N 1)
กาหนดให้ 1 2 3 ... N
2
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล a, a d, a 2d, ..., a (N 1)d

วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่ามีข้อมูลอยู่ N ตัว ดังนั้น

12


a (a d) (a
2d ) ... (a (N 1)d )
N
aN d (1 2 3 ... (N 1))
N
N (N 1)
aN d
2
N
N 1
a d
2
หมายเหตุ ข้อมูลในรูปแบบที่กาหนดให้ในตัวอย่าง 3 เรียกว่า ลาดับเลขคณิต นักเรียนจะสังเกตได้ว่า ถ้า N
เป็นจานวนคี่แล้ว จะเป็นข้อมูลที่อยู่ตาแหน่งตรงกลางของข้อมูลทั้งหมดพอดี ในขณะที่ถ้า N เป็น
N N
จานวนคู่แล้ว จะเป็นข้อมูลที่อยู่ “ตรงกลาง” ระหว่างข้อมูลตัวที่ กับข้อมูลตัวที่ 1 สาหรับเรื่อง
2 2
ลาดับเลขคณิตนั้น นักเรียนจะได้ศึกษารายละเอียดในสื่อเรื่องลาดับและอนุกรม โดยอาจารย์ศันสนีย์ และ
อาจารย์ไพโรจน์

13


ในตอนนี้ได้อธิบายเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนัก ซึ่งจะนามาใช้เมื่อข้อมูลแต่ละตัวมีความสาคัญ หรือ
น้าหนักแตกต่างกัน เช่นในการคานวณระดับคะแนน (เกรด) เฉลี่ยของนักเรียนที่วิชาต่างๆ มีจานวนหน่วยกิตแตก
ต่างกันนั่นเอง

ในสื่อนั้นได้กล่าวถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้าหนักของข้อมูลตัวอย่าง อย่างไรก็ดีหากเป็นข้อมูลประชากร ยัง
สามารถคานวณได้ในลักษณะเดียวกัน แต่ใช้สัญลักษณ์แตกต่างกันกล่าวคือ ถ้าให้ w1, w2, w 3, ..., wN เป็น
น้าหนักของข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x N ตามลาดับ แล้วจะได้ว่า
N
wi x i
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้าหนัก แทนด้วย เท่ากับ i 1
N
wi
i 1

14


N
มาถึงตอนนี้ได้ใช้สมบัติที่ว่า xi N มาช่วยคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลที่ถูกแยกออกเป็น
i 1

ข้อมูลย่อยหลายๆ ชุด ซึ่งในแต่ละชุดได้คานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดย่อยๆ นั้นมาแล้ว

ในสื่อนั้นได้กล่าวถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของข้อมูลตัวอย่าง อย่างไรก็ดีหากเป็นข้อมูลประชากร ยังสามารถ
คานวณได้ในลักษณะเดียวกัน แต่ใช้สัญลักษณ์แตกต่างกันกล่าวคือ ถ้าให้ 1, 2, 3, ..., k เป็นค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของข้อมูลชุดที่ 1, 2, 3, ..., k ตามลาดับและ N 1, N 2, N 3, ..., N k เป็นจานวนข้อมูลชุดที่ 1, 2, 3, ..., k
ตามลาดับ แล้วจะได้ว่า
k
Ni i
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม แทนด้วย เท่ากับ i 1
k
Ni
i 1

เมื่อมาถึงตอนนี้ครูอาจยกตัวอย่างนี้ให้นักเรียนเพื่อเสริมประสบการณ์

ตัวอย่าง 5 นักเรียนชั้นหนึ่งจานวน 500 คนมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายจ่ายต่อวันเป็น 70 บาท ในจานวนนักเรียน
ทั้งชั้นนี้มีผู้ชายอยู่ 300 คน และมีผู้หญิงอยู่ 200 คน ถ้ากลุ่มนักเรียนหญิงมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายจ่ายต่อวัน
มากกว่ากลุ่มผู้ชายอยู่ 5 บาท แล้วจงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายจ่ายต่อวันของนักเรียนทั้งสองกลุ่มนี้

วิธีทา กาหนดให้ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ต่อวันของนักเรียนทั้งชั้น
1
และ 2 แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ต่อวันของกลุ่มนักเรียนชายและกลุ่มนักเรียนตามลาดับ
300 200 300 200( 5)
ดังนั้น 2 1
5 และ 70 1 2 1 1

500 500
นั่นคือ 35000 500 1 1000
ทาให้ 1 68 บาท และ 2
73 บาท

15


แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต
1. ข้อมูลชุดหนึ่งเรียกจากน้อยไปมากเป็นดังนี้ 98, 100, 101, 104, a, 109, 110, 111, b ถ้าค่าเฉลี่ยเลข
คณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 106 และผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดกับข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดเป็น 14
แล้วจงหา a b
2. ให้ x 2.60 เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเกรดเฉลี่ยสะสมทั้งสามปีของนักเรียนสามคน โดยทั้งสามปีคน
แรกลงทะเบียนไปทั้งหมด 124 หน่วยกิต และได้เกรดเฉลี่ยสะสมของตนเองเป็น 3.00 คนที่สอง
ลงทะเบียนไปทั้งหมด 121 หน่วยกิต และได้เกรดเฉลี่ยสะสมของตนเองเป็น 2.50 สุดท้ายนักเรียนคนที่
สาม ลงทะเบียนไปทั้งหมด 125 หน่วยกิต จงหาเกรดเฉลี่ยสะสมของนักเรียนคนที่สาม
3. กาหนดให้ x1, x 2, x 3, x 4 มีค่าเป็น a, 3, 7, b โดยที่ 1 a b ถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น
4
4 และ (x i )2 20 แล้วจงหา b a
i 1

4. นักเรียนห้องหนึ่งมีทั้งหมด 100 คน โดยส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนชายเป็น 165 เซนติเมตร และ
ส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนหญิงเป็น 150 เซนติเมตร ถ้าส่วนสูงเฉลี่ยของนักเรียนทั้งห้องเป็น 159
เซนติเมตร จงหาผลต่างของจานวนนักเรียนชายและจานวนนักเรียนหญิงของห้องนี้
5. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักของนักเรียนชั้นหนึ่งเท่ากับ 50 กิโลกรัม ถ้านักเรียนชั้นนี้เป็นนักเรียนชาย
57 คนและนักเรียนหญิง 43 คน และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้าหนักกลุ่มนักเรียนหญิงเท่ากับ 45 กิโลกรัม
แล้ว จงหาน้าหนักรวมของกลุ่มนักเรียนชายทุกคน
6. บริษัทแห่งหนึ่งมีพนักงาน 379 คน โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของพนักงานกลุ่มนี้เป็น 32 ปี ถ้ามี
พนักงานลาออกจากบริษัท 4 คน ซึ่งมีอายุ 34, 35, 35 และ 37 ปี ตามลาดับ และมีการรับพนักงานเพิ่ม
อีก 5 คน ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุพนักงานที่รับเพิ่มนี้เป็น 27 ปี แล้วจงหาอายุเฉลี่ยของพนักงาน
บริษัทนี้หลังจากบรรจุพนักงานใหม่
7. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุคนกลุ่มหนึ่งเท่ากับ 48 ปี ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุผู้หญิงในกลุ่มนี้เท่ากับ
52 ปี และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุผู้ชายในกลุ่มนี้เท่ากับ 42 แล้วจงหาอัตราส่วนระหว่างจานวนผู้หญิงต่อ
จานวนผู้ชายของคนกลุ่มนี้
8. ถ้าในปี พ.ศ. 2553 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายรับของครูในโรงเรียนแห่งหนึ่งเท่ากับ 20, 000 บาท ในปี
ต่อมาโรงเรียนนี้รับครูเพิ่มอีก 20 ท่าน ทาให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายรับของครูโรงเรียนนี้ในปี พ.ศ. 2554
เท่ากับ 22, 000 บาท และผลรวมของรายรับของครูเพิ่มขึ้นจากปี พ.ศ. 2553 อีก 648, 000 บาท เมื่อสิ้นปี
พ.ศ. 2554 โรงเรียนแห่งนี้มีครูทั้งหมดจานวนเท่าใด

16


9. ผลการสอบรายวิชาในภาคการศึกษาที่หนึ่งของนิสิตคนหนึ่งเป็นดังนี้
วิชา แคลคูลัส ปฏิบัติการฟิสิกส์ ชีววิทยา พละศึกษา
จานวนหน่วยกิต 4 1 3 2

เกรด 3.5 2.5 2.0 4

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลการเรียน (เกรดเฉลี่ย) ในภาคการศึกษาแรกของนิสิตคนนี้
15 15
10. กาหนดข้อมูล x 1, x 2, x 3, ..., x 15 ถ้า (x i 8)2 105 และ (x i 9)2 60 แล้วจงหา
i 1 i 1

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้

17


2. ฐานนิยม

18


2. ฐานนิยม
เมื่อมาถึงตอนนี้ได้อธิบายบทนิยามของฐานนิยมและให้ตัวอย่างในการหาฐานนิยมจากข้อมูลที่กาหนดมาให้ ทั้งนี้
ในบางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์ Mo, Mo. หรือ Mode เพื่อแทนฐานนิยม

สิ่งที่ครูควรย้ากับนักเรียนคือ การจาแนกให้ออกว่าข้อมูลที่สนใจคือสิ่งใด และสิ่งใดคือความถี่หรือจานวนครั้งที่
ข้อมูลนั้นปรากฏ ดังเช่นตัวอย่างในการหาฐานนิยมของจานวนประตูที่ทีมฟุตบอลของทั้งสี่โรงเรียนทาได้ที่ยกให้
เป็นอนุสติไว้ในสื่อชุดนี้แล้ว

19


นอกจากนีข้อสังเกตเกี่ยวกับฐานนิยมที่ได้ให้ไว้ในสื่อนั้น เป็นข้อสังเกตที่อาจมีความแตกต่างกันไปในตารา
้
ที่ต่างกัน อีกทั้งไม่ได้เป็นกฎเกณฑ์ที่ตายตัว เช่น บางตาราอาจกล่าวว่าหากมีฐานนิยมเกินกว่า 2 ตัวขึ้นไปจะ
ถือว่าข้อมูลนั้นไม่มีฐานนิยม อย่างไรก็ดีในการนาฐานนิยมไปใช้ตัดสินใจหรือสารวจความนิยมของข้อมูล
บางอย่าง อาจต้องการข้อมูลที่ผู้คนนิยมกันมากกว่า 2 ตัวก็เป็นไปได้

เมื่อมาถึงตรงนี้ครูอาจยกตัวอย่างนี้เพิ่มเติม

ตัวอย่าง 4 กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งเรียงลาดับจากน้อยไปมากได้เป็น x1, x 2, 16, x 4 , x 5 มีค่าเฉลี่ยเลข
คณิตเป็น 17 มีฐานนิยมเป็น 15 และ ผลต่างระหว่างข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดกับข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดเป็น 5
แล้วจงหาข้อมูลชุดนี้
x1 x2 16 x4 x5
วิธีทา จากโจทย์จะได้ว่า 17
5
x1 x2 16 x4 x1 5
5
นอกจากนี้จากการที่ข้อมูลเรียงลาดับจากน้อยไปมาก โดยข้อมูลตาแหน่งตรงกลางเป็น 16 และฐานนิยมเป็น
15 ทาให้ได้ว่า x1 x 2 15 และสุดท้าย 5 x 5 x1 x 5 15
15 15 16 x4 20
นั่นคือ x 5 20 ดังนั้น 17
5
ทาให้ได้ว่า x 4 19 สรุปว่าข้อมูลชุดนี้คือ 15, 15, 16, 19, 20

20


แบบฝึกหัดเพิ่มเติมเรื่องฐานนิยม
1. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 100, 120, 150, 130 และ 100 แล้วข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่
ก. ฐานนิยมน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ข. มีข้อมูลบางตัวที่มีค่าน้อยกว่าฐานนิยม
2. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 จงหา | Mo | เมื่อ Mo คือฐานนิยมของ
ข้อมูลชุดนี้
3. จากการสอบถามพนักงานบริษัทแห่งหนึ่งว่าปีนเี้ คยไปเที่ยวทะเลมาแล้วทั้งหมดจานวนกี่ครั้งปรากฏผล
ดังนี้

จานวนครั้งที่เคย จานวนพนักงาน
ไปเที่ยวทะเล
1 0
2 2
3 5
4 3
5 1
6 1

จงหาฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้
4. จากการสารวจนักเรียนกลุ่มหนึ่งจานวน 100 คน ได้ข้อมูลว่ามีนักเรียนสวมรองเท้าขนาดต่างๆ กันดังนี้

เบอร์รองเท้า จานวนนักเรียน
5 3
6 12
7 35
8 27
9 16
10 7

มีนักเรียนกี่เปอร์เซ็นต์ที่สวมรองเท้าขนาดที่แตกต่างจากฐานนิยม
5. ถ้าค่าโดยสารรถประจาทางต่อวัน (บาท) ของนักเรียน 10 คนเป็นดังนี้
11, 15, 22, 36, 11, 18, 22, 22, 16, 28 มีนักเรียนที่ต้องจ่ายเงินค่าโดยสารรถประจาทางต่ากว่าฐานนิยม
มากกว่านักเรียนที่ต้องจ่ายเงินค่าโดยสารรถประจาทางสูงกว่าฐานนิยมอยู่กี่เปอร์เซ็นต์

21


สรุปสาระสาคัญประจาตอน

22


สรุปสาระประจาตอน

23


ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

24


แบบฝึกหัดระคน
1. ค่าแรงงานต่อวันของคนงานกลุ่มหนึ่งจานวน 8 คน เป็น 150, 152, 158, 168, 170, 177, 180, 185
บาท จงหาว่ามีคนงานกี่คนที่ได้ค่าแรงต่อวันต่ากว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าแรงต่อวันของคนงานกลุ่มนี้
2. กาหนดให้ x 1, x 2, x 3, ..., x 10 มีค่าเป็น 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 โดยที่ a 15 ถ้าผลต่าง
ระหว่างข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดกับข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดเป็น 12 และ b เป็นจานวนจริงที่ทาให้
10
(x i b)2 มีค่าน้อยที่สุด แล้วจงหาค่า a b
i 1

3. เลือกนักเรียนอนุบาลมาสี่คนมีอายุเป็น x1, x 2, x 3, x 4 ปี โดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุเป็น 5.5 ปี
ต่อมาเลือกนักเรียนที่มีอายุ 3 ปี ขึ้นมาอีกหนึ่งคน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนกลุ่มใหม่ที่มีห้าคนนี้
4. ในการชั่งน้าหนักกระเป๋าเดินทางสี่ใบ ได้น้าหนักเป็น 15.5, 14.8, 14.5, 15.2 กิโลกรัม เมื่อนากระเป๋า
ทั้งสี่ใบนี้ไปรวมกับกระเป๋าเดินทางอีกใบหนึ่งแล้วคานวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกระเป๋าทั้งห้าใบนี้ได้เป็น
16 กิโลกรัม จงหาน้าหนักของกระเป๋าอีกใบหนึ่งที่เพิ่มขึ้นมา
5. กาหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งที่เรียงจากน้อยไปมากแล้วคือ x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5 มีค่าเป็น a, 4, 5, 6, b ซึ่งมี
4
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 6 และ | xi | 12 จงหาข้อมูลชุดนี้
i 1

6. คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียนชั้นหนึ่งซึ่งมีอยู่สองห้อง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมเป็น 54 คะแนน
โดยที่ห้องที่ 1 และ ห้องที่ 2 มีนักเรียน 30 และ 20 คนตามลาดับ ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนห้องที่ 1
เท่ากับ 50 คะแนน จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนห้อง 2
7. ถ้า 20, x 2, x 3, ..., x 25 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่เรียกจากน้อยไปมาก และเป็นลาดับเลขคณิตโดยที่ผลต่าง
ระหว่างข้อมูลที่มีค่ามากที่สุดกับข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดเป็น 48 แล้วจงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้
8. กาหนดให้ x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5 เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 6 ถ้า
5 5
(x i 4)2
30 จงหาค่าของ (x i )2
i 1 i 1

9. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย x 1, x 2, x 3, ..., x 13 โดยที่ x n |6 n| เมื่อ n {1, 2, 3, ..., 13} จง
13
หาค่าของ a ที่ทาให้ (x i a )2 มีค่าน้อยที่สุด
i 1

10. ข้อมูลชุดหนึ่งเมื่อเรียงลาดับจากน้อยไปมากได้เป็น 10, 20, 30, 30, a, 50, 60, 60, 90, 120
ถ้าฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้เป็น 30 แล้วข้อมูลชุดต่อไปนี้คือ 9, 18, 27, 26, a 5, 44, 53, 52, 81, 110
มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นเท่าใด

25


ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด

26


เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต
่
1. 221 2. 2.30 3. 4 4. 20 คน 5. 3, 065 กิโลกรัม
6. 31.9 ปี 7. 3 : 2 8. 124 ท่าน 9. 3.05 10. 10

เฉลยแบบฝึกหัดเพิมเติมเรื่องฐานนิยม
่
1. ข้อ ก ถูก 2. 1 3. 3 ครั้ง 4. 65% 5. 30%
ข้อ ข ผิด

เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 3 คน 2. 11 3. 5 ปี 4. 20 กิโลกรัม 5. 3, 4, 5, 6, 12
43
6. 60 คะแนน 7. 44 8. 10 9. 3.31 10. 44.5
13

27


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน

28


รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์

29


ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม

30


การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้

31

75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง1

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to 75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง1

More from กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์

75 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่2_แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง1